مقالات

11.3: حاصل الضرب النقطي - الرياضيات


أهداف التعلم

  • احسب حاصل الضرب القياسي لمتجهين معطيين.
  • حدد ما إذا كان المتجهان المعطىان متعامدين.
  • أوجد اتجاه جيب التمام لمتجه معين.
  • اشرح ما هو المقصود بالإسقاط المتجه لأحد المتجهات على متجه آخر ، ووصف كيفية حسابه.
  • احسب الشغل المبذول بواسطة قوة معينة.

إذا طبقنا قوة على جسم ما بحيث يتحرك ، فإننا نقول إن الشغل يتم بواسطة القوة. في السابق ، نظرنا إلى قوة ثابتة وافترضنا أن القوة مؤثرة في اتجاه حركة الجسم. في ظل هذه الظروف ، يمكن التعبير عن العمل على أنه ناتج القوة المؤثرة على جسم والمسافة التي يتحرك بها الجسم. ومع ذلك ، فقد رأينا في هذا الفصل أن كلاً من القوة وحركة الجسم يمكن تمثيلهما بالمتجهات.

في هذا القسم ، نقوم بتطوير عملية تسمى المنتج النقطي ، والتي تتيح لنا حساب الشغل في الحالة التي يكون فيها متجه القوة ومتجه الحركة لهما اتجاهات مختلفة. يخبرنا حاصل الضرب النقطي بشكل أساسي عن مقدار متجه القوة المطبق في اتجاه متجه الحركة. يمكن أن يساعدنا حاصل الضرب النقطي أيضًا في قياس الزاوية المكونة من زوج من المتجهات وموضع المتجه بالنسبة إلى محاور الإحداثيات. حتى أنه يوفر اختبارًا بسيطًا لتحديد ما إذا كان متجهان يلتقيان بزاوية قائمة.

المنتج النقطي وخصائصه

لقد تعلمنا بالفعل كيفية جمع وطرح المتجهات. في هذا الفصل ، نتحرى نوعين من الضرب المتجه. النوع الأول من الضرب المتجه يسمى حاصل الضرب النقطي ، بناءً على الترميز الذي نستخدمه له ، ويتم تعريفه على النحو التالي:

التعريف: منتج نقطي

ال المنتج نقطة من المتجهات ( vecs {u} = ⟨u_1، u_2، u_3⟩ ) و ( vecs {v} = ⟨v_1، v_2، v_3⟩ ) من خلال مجموع منتجات المكونات

[ vecs {u} ⋅ vecs {v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3. ]

لاحظ أنه إذا كان (u ) و (v ) متجهين ثنائي الأبعاد ، فإننا نحسب حاصل الضرب النقطي بطريقة مماثلة. وبالتالي ، إذا ( vecs {u} = ⟨u_1، u_2⟩ ) و ( vecs {v} = ⟨v_1، v_2⟩، ) إذن

[ vecs {u} ⋅ vecs {v} = u_1v_1 + u_2v_2. ]

عندما يتم الجمع بين متجهين تحت الجمع أو الطرح ، تكون النتيجة متجهًا. عندما يتم الجمع بين متجهين باستخدام حاصل الضرب النقطي ، تكون النتيجة عددًا قياسيًا. لهذا السبب ، غالبًا ما يُطلق على المنتج النقطي اسم منتج عددي. قد يطلق عليه أيضًا منتج داخلي.

مثال ( PageIndex {1} ): حساب المنتجات النقطية

  1. ابحث عن حاصل الضرب القياسي لـ ( vecs {u} = ⟨3،5،2⟩ ) و ( vecs {v} = ⟨− 1،3،0⟩ ).
  2. ابحث عن المنتج القياسي لـ ( vecs {p} = 10 hat { textbf i} −4 hat { textbf j} +7 hat { textbf k} ) و ( vecs {q} = −2 قبعة { textbf i} + hat { textbf j} +6 hat { textbf k}. )

حل:

أ. عوض بمكونات المتجه في صيغة حاصل الضرب النقطي:

[ start {align *} vecs {u} ⋅ vecs {v} & = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 [4pt] & = 3 (−1) +5 (3) +2 (0) [4 نقطة] & = - 3 + 15 + 0 [4pt] & = 12. النهاية {محاذاة *} ]

ب. الحساب هو نفسه إذا تمت كتابة المتجهات باستخدام متجهات الوحدة القياسية. لا يزال لدينا ثلاثة مكونات لكل متجه للتعويض عنها في صيغة حاصل الضرب القياسي:

[ start {align *} vecs {p} ⋅ vecs {q} & = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 [4pt] & = 10 (−2) + (- 4) (1) + (7) (6) [4pt] & = - 20−4 + 42 [4pt] & = 18. end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {1} )

ابحث عن ( vecs {u} ⋅ vecs {v} ) ، حيث ( vecs {u} = ⟨2،9، −1⟩ ) و ( vecs {v} = ⟨− 3،1 ، −4⟩. )

تلميح

اضرب المكونات المتوافقة ثم أضف منتجاتها.

إجابه

(7)

مثل الجمع والطرح المتجه ، فإن حاصل الضرب النقطي له العديد من الخصائص الجبرية. نثبت ثلاثة من هذه الخصائص ونترك الباقي كتدريبات.

خصائص المنتج النقطي

لنكن ( vecs {u} ) و ( vecs {v} ) و ( vecs {w} ) متجهات ، ولنكن (c ) عدديًا.

  1. خاصية التبديل [ vecs {u} ⋅ vecs {v} = vecs {v} ⋅ vecs {u} ]
  2. خاصية التوزيع [ vecs {u} ⋅ ( vecs {v} + vecs {w}) = vecs {u} ⋅ vecs {v} + vecs {u} ⋅ vecs {w} ]
  3. ملكية مشتركة [c ( vecs {u} ⋅ vecs {v}) = (c vecs {u}) ⋅ vecs {v} = vecs {u} ⋅ (c vecs {v}) ]
  4. خاصية الحجم [ vecs {v} ⋅ vecs {v} = | vecs {v} | ^ 2 ]

دليل

دعونا ( vecs {u} = ⟨u_1، u_2، u_3⟩ ) و ( vecs {v} = ⟨v_1، v_2، v_3⟩. ) ثم

[ start {align *} vecs {u} ⋅ vecs {v} & = ⟨u_1، u_2، u_3⟩⋅⟨v_1، v_2، v_3⟩ [4pt] & = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 [4pt] & = v_1u_1 + v_2u_2 + v_3u_3 [4pt] & = ⟨v_1، v_2، v_3⟩⋅⟨u_1، u_2، u_3⟩ [4pt] & = vecs {v} ⋅ vecs {u} . end {محاذاة *} ]

تبدو الخاصية الترابطية مثل الخاصية الترابطية لمضاعفة العدد الحقيقي ، لكن انتبه جيدًا للاختلاف بين الكائنات العددية والمتجهة:

[ start {align *} c ( vecs {u} ⋅ vecs {v}) & = c (u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3) [4pt] & = c (u_1v_1) + c (u_2v_2) + c (u_3v_3) [4pt] & = (cu_1) v_1 + (cu_2) v_2 + (cu_3) v_3 [4pt] & = ⟨cu_1، cu_2، cu_3⟩⋅⟨v_1، v_2، v_3⟩ [4pt] & = c⟨u_1، u_2، u_3⟩⋅⟨v_1، v_2، v_3⟩ [4pt] & = (c vecs {u}) ⋅ vecs {v}. end {align *} ]

الدليل على أن (c ( vecs {u} ⋅ vecs {v}) = vecs {u} ⋅ (c vecs {v}) ) مشابه.

تُظهر الخاصية الرابعة العلاقة بين حجم المتجه وحاصل الضرب النقطي الخاص به مع نفسه:

[ start {align *} vecs {v} ⋅ vecs {v} & = ⟨v_1، v_2، v_3⟩⋅⟨v_1، v_2، v_3⟩ [4pt] & = (v_1) ^ 2 + ( v_2) ^ 2 + (v_3) ^ 2 [4pt] & = left [ sqrt {(v_1) ^ 2 + (v_2) ^ 2 + (v_3) ^ 2} right] ^ 2 [4pt ] & = | vecs {v} | ^ 2. end {align *} ]

لاحظ أنه من خلال الخاصية الرابع. لدينا ( vecs {0} ⋅ vecs {v} = 0. ) أيضًا عن طريق الخاصية iv. إذا ( vecs {v} ⋅ vecs {v} = 0، ) ثم ( vecs {v} = vecs {0}. )

مثال ( PageIndex {2} ): استخدام خصائص المنتج النقطي

دع ( vecs {a} = ⟨1،2، −3⟩ )، ( vecs {b} = ⟨0،2،4⟩ )، و ( vecs {c} = ⟨5، −1،3⟩ ).

ابحث عن كل من المنتجات التالية.

  1. (( vecs {a} ⋅ vecs {b}) vecs {c} )
  2. ( vecs {a} ⋅ (2 vecs {c}) )
  3. ( | vecs {b} | ^ 2 )

حل

أ. لاحظ أن هذا التعبير يطلب المضاعف القياسي لـ ( vecs {c} ) بواسطة ( vecs {a} ⋅ vecs {b} ):

[ begin {align *} ( vecs {a} ⋅ vecs {b}) vecs {c} & = (⟨1،2، −3⟩⋅⟨0،2،4⟩) ⟨5، - 1،3⟩ [4pt] & = (1 (0) +2 (2) + (- 3) (4)) ⟨5، −1،3⟩ [4pt] & = - 8⟨5 ، −1،3⟩ [4pt] & = ⟨− 40،8، −24⟩. end {align *} ]

ب. هذا التعبير هو منتج نقطي لمتجه ( vecs {a} ) ومضاعف عددي 2 ( vecs {c} ):

[ start {align *} vecs {a} ⋅ (2 vecs {c}) & = 2 ( vecs {a} ⋅ vecs {c}) [4pt] & = 2 (⟨1، 2، −3⟩⋅⟨5، −1،3⟩) [4pt] & = 2 (1 (5) +2 (−1) + (- 3) (3)) [4pt] & = 2 (−6) = - 12. نهاية {محاذاة *} ]

ج. يعد تبسيط هذا التعبير تطبيقًا مباشرًا للمنتج النقطي:

[ begin {align *} | vecs {b} | ^ 2 & = vecs {b} ⋅ vecs {b} [4pt] & = ⟨0،2،4⟩⋅⟨0، 2،4⟩ [4pt] & = 0 ^ 2 + 2 ^ 2 + 4 ^ 2 [4pt] & = 0 + 4 + 16 [4pt] & = 20. end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {2} )

ابحث عن المنتجات التالية لـ ( vecs {p} = ⟨7،0،2⟩ ) و ( vecs {q} = ⟨− 2،2 و −2⟩ ) و ( vecs {r } = ⟨0،2، −3⟩ ).

  1. (( vecs {r} ⋅ vecs {p}) vecs {q} )
  2. ( | vecs {p} | ^ 2 )
تلميح

( vecs {r} ⋅ vecs {p} ) هو عدد قياسي.

إجابه

(a. quad ( vecs {r} ⋅ vecs {p}) vecs {q} = ⟨12، −12،12⟩؛ quad b. quad | vecs {p} | ^ 2 = 53 )

استخدام حاصل الضرب القياسي لإيجاد الزاوية بين متجهين

عندما يتم وضع متجهين غير صفريين في الوضع القياسي ، سواء في بعدين أو ثلاثة أبعاد ، فإنهما يشكلان زاوية بينهما (الشكل ( فهرس الصفحة {1} )). يوفر حاصل الضرب القياسي طريقة لإيجاد قياس هذه الزاوية. هذه الخاصية ناتجة عن حقيقة أنه يمكننا التعبير عن حاصل الضرب القياسي بدلالة جيب تمام الزاوية المكونة من متجهين.

تقييم منتج نقطي

حاصل الضرب القياسي لمتجهين هو حاصل ضرب كل متجه وجيب تمام الزاوية بينهما:

[ vecs {u} ⋅ vecs {v} = ‖ vecs {u} ‖‖ vecs {v} ‖ cos θ. التسمية {evaldot} ]

دليل

ضع المتجهات ( vecs {u} ) و ( vecs {v} ) في الوضع القياسي واعتبر المتجه ( vecs {v} - vecs {u} ) (الشكل ( PageIndex { 2})). تشكل هذه المتجهات الثلاثة مثلثًا بأطوال أضلاعه (‖ vecs {u} ‖ و ‖ vecs {v} ‖ ) و (‖ vecs {v} - vecs {u} ‖ ).

تذكر من علم المثلثات أن قانون جيب التمام يصف العلاقة بين أطوال أضلاع المثلث والزاوية (θ ). تطبيق قانون جيب التمام هنا يعطي

[‖ vecs {v} - vecs {u} ‖ ^ 2 = ‖ vecs {u} ‖ ^ 2 + ‖ vecs {v} ‖ ^ 2−2‖ vecs {u} ‖‖ vecs { ت} ‖ cos θ. التسمية {eq20} ]

يوفر المنتج النقطي طريقة لإعادة كتابة الجانب الأيسر من المعادلة المرجع {eq20}:

[ start {align *} ‖ vecs {v} - vecs {u} ‖ ^ 2 & = ( vecs {v} - vecs {u}) ⋅ ( vecs {v} - vecs {u }) [4pt] & = ( vecs {v} - vecs {u}) ⋅ vecs {v} - ( vecs {v} - vecs {u}) ⋅ vecs {u} [4pt] & = vecs {v} ⋅ vecs {v} - vecs {u} ⋅ vecs {v} - vecs {v} ⋅ vecs {u} + vecs {u} ⋅ vecs { u} [4pt] & = vecs {v} ⋅ vecs {v} - vecs {u} ⋅ vecs {v} - vecs {u} ⋅ vecs {v} + vecs {u} ⋅ vecs {u} [4pt] & = ‖ vecs {v} ‖ ^ 2−2 vecs {u} ⋅ vecs {v} + ‖ vecs {u} ‖ ^ 2. end {align *} ]

الاستبدال في قانون جيب التمام ينتج

[ start {align *} ‖ vecs {v} - vecs {u} ‖ ^ 2 & = ‖ vecs {u} ‖ ^ 2 + ‖ vecs {v} ‖ ^ 2−2‖ vecs { u} ‖‖ vecs {v} ‖ cos θ [4pt] ‖ vecs {v} ‖ ^ 2−2 vecs {u} ⋅ vecs {v} + ‖ vecs {u} ‖ ^ 2 & = ‖ vecs {u} ‖ ^ 2 + ‖ vecs {v} ‖ ^ 2−2‖ vecs {u} ‖‖ vecs {v} ‖ cos θ [4pt] −2 vecs { u} ⋅ vecs {v} & = - 2‖ vecs {u} ‖‖ vecs {v} ‖ cos θ [4pt] vecs {u} ⋅ vecs {v} & = ‖ vecs {u} ‖‖ vecs {v} ‖ cos θ. النهاية {محاذاة *} ]

يمكننا استخدام صيغة حاصل الضرب النقطي في المعادلة ref {evaldot} لإيجاد قياس الزاوية بين متجهين غير صفريين بإعادة ترتيب المعادلة ref {evaldot} لإيجاد جيب تمام الزاوية:

[ cos θ = dfrac { vecs {u} ⋅ vecs {v}} {‖ vecs {u} ‖‖ vecs {v} ‖}. التسمية {dot2} ]

باستخدام هذه المعادلة ، يمكننا إيجاد جيب تمام الزاوية بين متجهين غير صفريين. نظرًا لأننا نفكر في أصغر زاوية بين المتجهات ، فإننا نفترض (0 ° ≤θ≤180 ° ) (أو (0≤θ≤π ) إذا كنا نعمل بالتقدير الدائري). جيب التمام العكسي فريد من نوعه على هذا النطاق ، لذا يمكننا بعد ذلك تحديد قياس الزاوية (θ ).

مثال ( PageIndex {3} ): إيجاد الزاوية بين متجهين

أوجد قياس الزاوية بين كل زوج من المتجهات.

  1. ( mathbf { hat i} + mathbf { hat j} + mathbf { hat k} ) و (2 mathbf { hat i} - mathbf { hat j} - 3 mathbf { قبعة ك} )
  2. (⟨2،5،6⟩ ) و (⟨− 2، −4،4⟩ )

حل

أ. لإيجاد جيب تمام الزاوية المكونة من المتجهين ، استبدل مكونات المتجهين في المعادلة المرجع {النقطة 2}:

[ start {align *} cos θ & = dfrac {( mathbf { hat i} + mathbf { hat j} + mathbf { hat k}) ⋅ (2 mathbf { hat i } - mathbf { hat j} −3 mathbf { hat k})} {∥ mathbf { hat i} + mathbf { hat j} + mathbf { hat k} ∥⋅∥2 mathbf { hat i} - mathbf { hat j} −3 mathbf { hat k} ∥} [4pt] & = dfrac {1 (2) + (1) (- 1) + (1 ) (- 3)} { sqrt {1 ^ 2 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2} sqrt {2 ^ 2 + (- 1) ^ 2 + (- 3) ^ 2}} [4pt] & = dfrac {−2} { sqrt {3} sqrt {14}} = dfrac {−2} { sqrt {42}}. النهاية {محاذاة *} ]

لذلك ، (θ = arccos dfrac {−2} { sqrt {42}} ) rad.

ب. ابدأ بإيجاد قيمة جيب التمام للزاوية بين المتجهات:

[ start {align *} cos θ & = dfrac {⟨2،5،6⟩⋅⟨ − 2، −4،4⟩} {∥⟨2،5،6⟩∥⋅∥⟨ − 2، −4،4⟩∥} [4pt] & = dfrac {2 (−2) + (5) (- 4) + (6) (4)} { sqrt {2 ^ 2 + 5 ^ 2 + 6 ^ 2} sqrt {(- 2) ^ 2 + (- 4) ^ 2 + 4 ^ 2}} [4pt] & = dfrac {0} { sqrt {65} sqrt {36}} = 0. النهاية {محاذاة *} ]

الآن ، ( cos θ = 0 ) و (0≤θ≤π ) ، لذلك (θ = π / 2 ).

تمرين ( PageIndex {3} )

أوجد قياس الزاوية بوحدات الراديان المكونة من المتجهات ( vecs {a} = ⟨1،2،0⟩ ) و ( vecs {b} = ⟨2،4،1⟩ ). قرّب لأقرب جزء من مائة.

تلميح

استخدم المعادلة المرجع {dot2}.

إجابه

(θ≈0.22 ) راد

يمكن أن تكون الزاوية بين متجهين حادة ((0 < cos θ <1) ، ) منفرجة ((- 1 < cos θ <0) ) ، أو مستقيمة (( cos θ = −1) ). إذا كان ( cos θ = 1 ) ، فإن كلا المتجهين لهما نفس الاتجاه. إذا كان ( cos θ = 0 ) ، فإن المتجهات ، عند وضعها في الوضع القياسي ، تشكل زاوية قائمة (الشكل ( فهرس الصفحة {3} )). يمكننا صياغة هذه النتيجة في نظرية تتعلق بالمتجهات المتعامدة (العمودية).

نواقل متعامدة

المتجهات غير الصفرية ( vecs {u} ) و ( vecs {v} ) هي نواقل متعامدة إذا وفقط إذا ( vecs {u} ⋅ vecs {v} = 0. )

دليل

لنفترض أن ( vecs {u} ) و ( vecs {v} ) متجهين غير صفريين ، ودع (θ ) يشير إلى الزاوية بينهما. أولاً ، افترض ( vecs {u} ⋅ vecs {v} = 0. ) ثم

[‖ vecs {u} ‖‖ vecs {v} ‖ cos θ = 0. ]

ومع ذلك ، (‖ vecs {u} ‖ ≠ 0 ) و (‖ vecs {v} ‖ ≠ 0، ) لذلك يجب أن يكون لدينا ( cos θ = 0 ). وبالتالي ، (θ = 90 ° ) ، والمتجهات متعامدة.

افترض الآن أن ( vecs {u} ) و ( vecs {v} ) متعامدان. ثم (θ = 90 ° ) ولدينا

[ start {align *} vecs {u} ⋅ vecs {v} & = ‖ vecs {u} ‖‖ vecs {v} ‖ cos θ [4pt] & = ‖ vecs {u } ‖‖ vecs {v} ‖ cos 90 ° [4pt] & = ‖ vecs {u} ‖‖ vecs {v} ‖ (0) [4pt] & = 0. النهاية {محاذاة *} ]

الشروط متعامد ، عمودي ، و عادي يشير كل منها إلى أن الكائنات الرياضية تتقاطع بزوايا قائمة. يتم تحديد استخدام كل مصطلح بشكل أساسي من خلال سياقه.نقول أن المتجهات متعامدة والخطوط متعامدة. على المدى عادي يستخدم في أغلب الأحيان عند قياس الزاوية المصنوعة بمستوى أو سطح آخر.

مثال ( PageIndex {4} ): تحديد المتجهات المتعامدة

حدد ما إذا كانت ( vecs {p} = ⟨1،0،5⟩ ) و ( vecs {q} = ⟨10،3، −2⟩ ) متجهات متعامدة.

حل

باستخدام التعريف ، نحتاج فقط إلى التحقق من حاصل الضرب النقطي للمتجهات:

[ vecs {p} ⋅ vecs {q} = 1 (10) + (0) (3) + (5) (- 2) = 10 + 0−10 = 0. لا يوجد رقم]

لأن ( vecs {p} ⋅ vecs {q} = 0، ) المتجهات متعامدة (الشكل ( PageIndex {4} )).

تمرين ( PageIndex {4} )

لأي قيمة من (x ) هي ( vecs {p} = ،2،8، −1⟩ ) متعامدة مع ( vecs {q} = ⟨x، −1،2⟩ )؟

تلميح

المتجهات ( vecs {p} ) و ( vecs {q} ) متعامدة إذا وفقط إذا ( vecs {p} ⋅ vecs {q} = 0 ).

إجابه

(س = 5 )

مثال ( PageIndex {5} ): قياس الزاوية المكونة من متجهين

دع ( vecs {v} = ⟨2،3،3⟩. ) أوجد قياسات الزوايا المكونة من المتجهات التالية.

  1. ( vecs {v} ) و ( mathbf { hat i} )
  2. ( vecs {v} ) و ( mathbf { hat j} )
  3. ( vecs {v} ) و ( mathbf { hat k} )

حل

أ α تكون الزاوية المكونة من ( vecs {v} ) و ( mathbf { hat i} ):

[ start {align *} cos {α} & = dfrac { vecs {v} ⋅ mathbf { hat i}} {‖ vecs {v} ‖⋅ | mathbf { hat i} |} = dfrac {⟨2،3،3⟩⋅⟨1،0،0⟩} { sqrt {2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 3 ^ 2} sqrt {1}} = dfrac {2 } { sqrt {22}} [4pt] α & = arccos dfrac {2} { sqrt {22}} ≈1.130 ، text {rad.} end {align *} ]

ب. يترك β تمثل الزاوية المكونة من ( vecs {v} ) و ( mathbf { hat j} ):

[ start {align *} cos {β} & = dfrac { vecs {v} ⋅ mathbf { hat j}} {‖ vecs {v} ‖⋅ | mathbf { hat j} |} = dfrac {⟨2،3،3⟩⋅⟨0،1،0⟩} { sqrt {2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 3 ^ 2} sqrt {1}} = dfrac {3 } { sqrt {22}} [4pt] β & = arccos dfrac {3} { sqrt {22}} ≈0.877 ، text {rad.} end {align *} ]

ج. يترك γ تمثل الزاوية المكونة من ( vecs {v} ) و ( mathbf { hat k} ):

[ start {align *} cos {γ} & = dfrac { vecs {v} ⋅ mathbf { hat k}} {‖ vecs {v} ‖⋅ | mathbf { hat k} |} = dfrac {⟨2،3،3⟩⋅⟨0،0،1⟩} { sqrt {2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 3 ^ 2} sqrt {1}} = dfrac {3 } { sqrt {22}} [4pt] γ & = arccos dfrac {3} { sqrt {22}} ≈0.877 ، text {rad.} end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {5} )

دع ( vecs {v} = ⟨3، −5،1⟩. ) أوجد قياس الزوايا التي شكلها كل زوج من المتجهات.

  1. ( vecs {v} ) و ( mathbf { hat i} )
  2. ( vecs {v} ) و ( mathbf { hat j} )
  3. ( vecs {v} ) و ( mathbf { hat k} )
تلميح

( mathbf { hat i} = ⟨1،0،0⟩، mathbf { hat j} = ⟨0،1،0⟩، ) و ( mathbf { hat k} = ⟨0، 0،1⟩ )

إجابه

(أ. α≈1.04 ) راد ؛ ب. (β≈2.58 ) راد ؛ ج. (γ≈1.40 ) راد

الزاوية التي يصنعها المتجه مع كل من محاور الإحداثيات ، والتي تسمى زاوية الاتجاه ، مهمة جدًا في الحسابات العملية ، خاصة في مجال مثل الهندسة. على سبيل المثال ، في هندسة الملاحة الفضائية ، يجب تحديد الزاوية التي يتم إطلاق الصاروخ عندها بدقة متناهية. يمكن أن يؤدي خطأ صغير جدًا في الزاوية إلى انحراف الصاروخ عن مساره مئات الأميال. غالبًا ما يتم حساب زوايا الاتجاه باستخدام حاصل الضرب القياسي وجيب جيب التمام للزوايا ، والتي تسمى اتجاه جيب التمام. لذلك ، نحدد كلا من هذه الزوايا وجيب التمام.

التعريف: زوايا الاتجاه

تسمى الزوايا المتكونة بواسطة متجه غير صفري ومحاور الإحداثيات بـ زوايا الاتجاه للمتجه (الشكل ( PageIndex {5} )). تسمى جيب التمام لهذه الزوايا جيب التمام الاتجاه.

على سبيل المثال ، جيب تمام اتجاه ( vecs {v} = ⟨2،3،3⟩ ) هي ( cos α = dfrac {2} { sqrt {22}} ، cos β = dfrac {3} { sqrt {22}}، ) و ( cos γ = dfrac {3} { sqrt {22}} ). زوايا اتجاه ( vecs {v} ) هي (α = 1.130 ) rad و (β = 0.877 ) rad و (γ = 0.877 ) rad.

حتى الآن ، ركزنا بشكل أساسي على المتجهات المتعلقة بالقوة والحركة والموقع في الفضاء المادي ثلاثي الأبعاد. ومع ذلك ، غالبًا ما تستخدم النواقل بطرق أكثر تجريدًا. على سبيل المثال ، افترض أن بائع فاكهة يبيع التفاح والموز والبرتقال. في يوم معين ، قام ببيع 30 تفاحة و 12 موزة و 18 برتقالة. قد يستخدم ناقل الكمية ، ( vecs {q} = ⟨30،12،18⟩ ، ) لتمثيل كمية الفاكهة التي باعها في ذلك اليوم. وبالمثل ، قد يرغب في استخدام متجه السعر ، ( vecs {p} = ⟨0.50،0.25،1⟩، ) للإشارة إلى أنه يبيع تفاحه مقابل 50 سنتًا ، والموز بـ 25 سنتًا لكل منهما ، والبرتقال مقابل 1 دولار لكل قطعة. في هذا المثال ، على الرغم من أنه لا يزال بإمكاننا رسم هذه المتجهات بالرسم البياني ، فإننا لا نفسرها على أنها تمثيلات حرفية للموضع في العالم المادي. نحن ببساطة نستخدم المتجهات لتتبع أجزاء معينة من المعلومات حول التفاح والموز والبرتقال.

قد تبدو هذه الفكرة غريبة بعض الشيء ، ولكن إذا نظرنا إلى المتجهات كوسيلة لطلب البيانات وتخزينها ، نجد أنها يمكن أن تكون أداة قوية للغاية. بالعودة إلى بائع الفاكهة ، دعونا نفكر في المنتج النقطي ، ( vecs {q} ⋅ vecs {p} ). نحسبها بضرب عدد التفاحات المباعة (30) في السعر لكل تفاحة (50 ¢) ، وعدد الموز المباع بالسعر لكل موزة ، وعدد البرتقال المباع بسعر كل برتقالة. ثم نجمع كل هذه القيم معًا. لذلك ، في هذا المثال ، يخبرنا المنتج النقطي عن مقدار الأموال التي حصل عليها بائع الفاكهة في المبيعات في ذلك اليوم المحدد.

عندما نستخدم المتجهات بهذه الطريقة الأكثر عمومية ، فلا يوجد سبب لتقليل عدد المكونات إلى ثلاثة. ماذا لو قرر بائع الفاكهة البدء في بيع الجريب فروت؟ في هذه الحالة ، قد يرغب في استخدام متجهات الكمية والسعر رباعية الأبعاد لتمثيل عدد التفاح والموز والبرتقال والجريب فروت المباع وأسعار وحداتها. كما قد تتوقع ، لحساب حاصل الضرب القياسي للمتجهات رباعية الأبعاد ، نجمع حاصل ضرب المكونات كما في السابق ، لكن المجموع يتكون من أربعة حدود بدلاً من ثلاثة.

مثال ( PageIndex {6} ): استخدام المتجهات في سياق اقتصادي

يبيع AAA Party Supply Store الدعوات ومفضلات الحفلات والديكورات وعناصر خدمة الطعام مثل الأطباق الورقية والمناديل. عندما تشتري AAA مخزونها ، فإنها تدفع 25 سنتًا لكل طرد للدعوات وخدمات الحفلات. تبلغ تكلفة الزينة 50 سنتًا AAA لكل منها ، وتكلفة عناصر الخدمة الغذائية 20 سنتًا لكل عبوة. تبيع AAA الدعوات مقابل 2.50 دولارًا لكل حزمة وتفضيلات الحفلة مقابل 1.50 دولارًا لكل حزمة. تباع الزينة مقابل 4.50 دولارًا لكل منها ومواد خدمة الطعام مقابل 1.25 دولارًا لكل عبوة.

خلال شهر مايو ، يبيع AAA Party Supply Store 1258 دعوة و 342 هدية للحفلات و 2426 زينة و 1354 عنصر خدمة طعام. استخدم المتجهات والمنتجات النقطية لحساب مقدار الأموال التي حققتها AAA في المبيعات خلال شهر مايو. ما مقدار ربح المتجر؟

حل

نواقل التكلفة والسعر والكمية

[ start {align *} vecs {c} & = ⟨0.25،0.25،0.50،0.20⟩ [4pt] vecs {p} & = ⟨2.50،1.50،4.50،1.25⟩ [4pt] vecs {q} & = ⟨1258،342،2426،1354⟩. النهاية {محاذاة *} ]

يمكن حساب مبيعات AAA لشهر مايو باستخدام المنتج النقطي ( vecs {p} ⋅ vecs {q} ). نحن لدينا

[ start {align *} vecs {p} ⋅ vecs {q} & = ⟨2.50،1.50،4.50،1.25⟩⋅⟨1258،342،2426،1354⟩ [4pt] & = 3145 + 513 + 10917 + 1692.5 [4pt] & = 16267.5. النهاية {محاذاة *} ]

لذلك ، استحوذت AAA على مبلغ 16267.50 دولارًا أمريكيًا خلال شهر مايو. لحساب الربح ، يجب علينا أولاً حساب مقدار AAA المدفوع مقابل العناصر المباعة. نستخدم المنتج النقطي (c⋅q ) للحصول على

[ start {align *} vecs {c} ⋅ vecs {q} & = ⟨0.25،0.25،0.50،0.20⟩⋅⟨1258،342،2426،1354⟩ [4pt] & = 314.5 + 85.5 + 1213 + 270.8 [4pt] & = 1883.8. النهاية {محاذاة *} ]

لذلك ، دفعت AAA 1،883.30 دولارًا أمريكيًا للعناصر التي قاموا ببيعها. ربحهم ، إذن ، يُعطى من قبل

[ vecs {p} ⋅ vecs {q} - vecs {c} ⋅ vecs {q} = 16267.5−1883.8 = 14383.7. لا يوجد رقم]

لذلك ، حقق AAA Party Supply Store 14383.70 دولارًا في مايو.

تمرين ( PageIndex {6} )

في 1 يونيو ، قرر AAA Party Supply Store زيادة السعر الذي يفرضونه مقابل خدمات الحفلات إلى 2 دولار لكل حزمة. لقد قاموا أيضًا بتغيير الموردين لدعواتهم ، وأصبحوا الآن قادرين على شراء الدعوات مقابل 10 فقط لكل حزمة. تظل جميع التكاليف والأسعار الأخرى كما هي. إذا باعت AAA 1408 دعوة ، و 147 تفضيلًا للحفلات ، و 2112 زينة ، و 1894 عنصرًا لخدمات الطعام في شهر يونيو ، فاستخدم المتجهات والمنتجات النقطية لحساب إجمالي مبيعاتها وأرباحها لشهر يونيو.

تلميح

استخدم المتجهات رباعية الأبعاد للتكلفة والسعر والكمية المباعة.

إجابه

المبيعات = 15685.50 دولارًا أمريكيًا ؛ الربح = 14،073.15 دولار

التوقعات

كما رأينا ، تجمع الجمع بين متجهين لإنشاء متجه ناتج. لكن ماذا لو أعطينا متجه وأردنا إيجاد الأجزاء المكونة له؟ نستخدم الإسقاطات المتجهة لإجراء العملية المعاكسة ؛ يمكنهم تقسيم المتجه إلى مكوناته. حجم الإسقاط المتجه هو إسقاط قياسي. على سبيل المثال ، إذا كان الطفل يسحب مقبض عربة بزاوية 55 درجة ، فيمكننا استخدام الإسقاطات لتحديد مقدار القوة على المقبض التي تحرك العربة للأمام ( ( PageIndex {6} )) . نعود إلى هذا المثال ونتعلم كيفية حله بعد أن نرى كيفية حساب الإسقاطات.

التعريف: المتجه والإسقاط

ال ناقلات الإسقاط من ( vecs {v} ) على ( vecs {u} ) هو المتجه المسمى ( text {proj} _ vecs {u} vecs {v} ) في الشكل ( PageIndex {7} ). له نفس النقطة الأولية مثل ( vecs {u} ) و ( vecs {v} ) ونفس اتجاه ( vecs {u} ) ، ويمثل مكون ( vecs {v} ) التي تعمل في اتجاه ( vecs {u} ). إذا كان (θ ) يمثل الزاوية بين ( vecs {u} ) و ( vecs {v} ) ، إذن ، من خلال خصائص المثلثات ، نعرف طول ( text {proj} _ vecs {u} vecs {v} ) هي ( | text {proj} _ vecs {u} vecs {v} | = ‖ vecs {v} ‖ cos θ. ) متى معربا عن ( cos θ ) من حيث حاصل الضرب النقطي ، يصبح هذا

[ | text {proj} _ vecs {u} vecs {v} | = ‖ vecs v‖ cos θ = ‖ vecs {v} ‖ left ( dfrac { vecs {u} ⋅ vecs {v}} {‖ vecs {u} ‖‖ vecs {v} ‖} right) = dfrac { vecs {u} ⋅ vecs {v}} { vecs {u} ‖ .} ]

نضرب الآن في متجه الوحدة في اتجاه ( vecs {u} ) لنحصل على ( text {proj} _ vecs {u} vecs {v} ):

[ text {proj} _ vecs {u} vecs {v} = dfrac { vecs {u} ⋅ vecs {v}} {‖ vecs {u} ‖} left ( dfrac {1 } {‖ vecs {u} ‖} vecs {u} right) = dfrac { vecs {u} ⋅ vecs {v}} {‖ vecs {u} ‖ ^ 2} vecs {u} . ]

يُعرف طول هذا المتجه أيضًا باسم الإسقاط القياسي من ( vecs {v} ) على ( vecs {u} ) ويشار إليها بواسطة

[ | text {proj} _ vecs {u} vecs {v} | = text {comp} _ vecs {u} vecs {v} = dfrac { vecs {u} ⋅ فيكس {v}} {‖ vecs {u} ‖.} ]

مثال ( PageIndex {7} ): البحث عن الإسقاطات

ابحث عن إسقاط ( vecs {v} ) على ( vecs {u} ).

  1. ( vecs {v} = ⟨3،5،1⟩ ) و ( vecs {u} = ⟨− 1،4،3⟩ )
  2. ( vecs {v} = 3 mathbf { hat i} −2 mathbf { hat j} ) و ( vecs {u} = mathbf { hat i} +6 mathbf { hat ي} )

حل

أ. استبدل مكونات ( vecs {v} ) و ( vecs {u} ) في صيغة العرض:

[ start {align *} text {proj} _ vecs {u} vecs {v} & = dfrac { vecs {u} ⋅ vecs {v}} {‖ vecs {u} ‖ ^ 2} vecs {u} [4pt] & = dfrac {⟨− 1،4،3⟩⋅⟨3،5،1⟩} {∥⟨ − 1،4،3⟩∥ ^ 2} ⟨− 1،4،3⟩ [4pt] & = dfrac {−3 + 20 + 3} {(- 1) ^ 2 + 4 ^ 2 + 3 ^ 2} ⟨− 1،4،3⟩ [ 4pt] & = dfrac {20} {26} ⟨− 1،4،3⟩ [4pt] & = ⟨− dfrac {10} {13}، dfrac {40} {13}، dfrac { 30} {13}⟩. للعثور على الإسقاط ثنائي الأبعاد ، قم ببساطة بتكييف الصيغة مع الحالة ثنائية الأبعاد:

[ start {align *} text {proj} _ vecs {u} vecs {v} & = dfrac { vecs {u} ⋅ vecs {v}} {‖ vecs {u} ‖ ^ 2} vecs {u} [4pt] & = dfrac {( mathbf { hat i} +6 mathbf { hat j}) ⋅ (3i − 2j)} {∥ mathbf { hat i } +6 mathbf { hat j} ∥ ^ 2} (i + 6j) [4pt] & = dfrac {1 (3) +6 (−2)} {1 ^ 2 + 6 ^ 2} ( mathbf { hat i} +6 mathbf { hat j}) [4pt] & = - dfrac {9} {37} ( mathbf { hat i} +6 mathbf { hat j} ) [4pt] & = - dfrac {9} {37} mathbf { hat i} - dfrac {54} {37} mathbf { hat j}. end {align *} ]

في بعض الأحيان يكون من المفيد تحليل المتجهات - أي تقسيم المتجه إلى مجموع. هذه العملية تسمى قرار متجه إلى مكونات. تسمح لنا الإسقاطات بتحديد متجهين متعامدين لهما المجموع المرغوب. على سبيل المثال ، دع ( vecs {v} = ⟨6، −4⟩ ) ودعنا ( vecs {u} = ⟨3،1⟩. ) نريد تحليل المتجه ( vecs {v } ) في مكونات متعامدة بحيث يكون لأحد متجهات المكون نفس اتجاه ( vecs {u} ).

نجد أولاً المكون الذي له نفس اتجاه ( vecs {u} ) عن طريق إسقاط ( vecs {v} ) على ( vecs {u} ). دعونا ( vecs {p} = text {proj} _ vecs {u} vecs {v} ). إذن لدينا

[ start {align *} vecs {p} = dfrac { vecs {u} ⋅ vecs {v}} {‖ vecs {u} ‖ ^ 2} vecs {u} [4pt] = dfrac {18−4} {9 + 1} vecs {u} [4pt] = dfrac {7} {5} vecs {u} = dfrac {7} {5} ⟨3،1 ⟩ = ⟨ dfrac {21} {5} ، dfrac {7} {5}⟩. النهاية {محاذاة *} ]

الآن ضع في اعتبارك المتجه ( vecs {q} = vecs {v} - vecs {p}. ) لدينا

[ start {align *} vecs {q} = vecs {v} - vecs {p} [4pt] = ⟨6، −4⟩ − ⟨ dfrac {21} {5}، dfrac {7} {5}⟩ [4pt] = ⟨ dfrac {9} {5} ، - dfrac {27} {5}⟩. النهاية {محاذاة *} ]

بوضوح ، بالمناسبة التي حددناها ( vecs {q} ) ، لدينا ( vecs {v} = vecs {q} + vecs {p}، ) و

[ start {align *} vecs {q} ⋅ vecs {p} = ⟨ dfrac {9} {5}، - dfrac {27} {5} ⟩⋅⟨ dfrac {21} {5} ، dfrac {7} {5}⟩ [4pt] = dfrac {9 (21)} {25} + - dfrac {27 (7)} {25} [4pt] = dfrac {189 } {25} - dfrac {189} {25} = 0. النهاية {محاذاة *} ]

لذلك ، ( vecs {q} ) و ( vecs {p} ) متعامدان.

مثال ( PageIndex {8} ): حل المتجهات في مكونات

التعبير عن ( vecs {v} = ⟨8، −3، −3⟩ ) كمجموع من المتجهات المتعامدة بحيث يكون لأحد المتجهات نفس اتجاه ( vecs {u} = ⟨2،3، 2⟩. )

حل

لنفترض أن ( vecs {p} ) يمثل إسقاط ( vecs {v} ) على ( vecs {u} ):

[ start {align *} vecs {p} & = text {proj} _ vecs {u} vecs {v} [4pt] & = dfrac { vecs {u} ⋅ vecs { v}} {‖ vecs {u} ‖ ^ 2} vecs {u} [4pt] & = dfrac {⟨2،3،2⟩⋅⟨8، −3، −3⟩} { 2،3،2⟩∥ ^ 2} ⟨2،3،2⟩ [4pt] & = dfrac {16−9−6} {2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 2 ^ 2} ⟨2،3 ، 2⟩ [4pt] & = dfrac {1} {17} ⟨2،3،2⟩ [4pt] & = ⟨ dfrac {2} {17} ، dfrac {3} {17} ، dfrac {2} {17}⟩. نهاية {محاذاة *} ]

ثم،

[ start {align *} vecs {q} & = vecs {v} - vecs {p} = ⟨8، −3، −3⟩ − ⟨ dfrac {2} {17}، dfrac { 3} {17} ، dfrac {2} {17}⟩ [4pt] & = ⟨ dfrac {134} {17} ، - dfrac {54} {17} ، - dfrac {53} {17 }⟩. النهاية {محاذاة *} ]

للتحقق من عملنا ، يمكننا استخدام المنتج النقطي للتحقق من أن ( vecs {p} ) و ( vecs {q} ) متجهات متعامدة:

[ begin {align *} vecs {p} ⋅ vecs {q} & = ⟨ dfrac {2} {17} ، dfrac {3} {17} ، dfrac {2} {17} ⟩⋅ ⟨ dfrac {134} {17} ، - dfrac {54} {17} ، - dfrac {53} {17}⟩ [4pt] & = dfrac {268} {17} - dfrac {162 } {17} - dfrac {106} {17} = 0. نهاية {محاذاة *} ]

ثم،

[ vecs {v} = vecs {p} + vecs {q} = ⟨ dfrac {2} {17} ، dfrac {3} {17} ، dfrac {2} {17}⟩ + ⟨ dfrac {134} {17} ، - dfrac {54} {17} ، - dfrac {53} {17}⟩. لا يوجد رقم]

تمرين ( PageIndex {7} )

التعبير عن ( vecs {v} = 5 mathbf { hat i} - mathbf { hat j} ) كمجموع من المتجهات المتعامدة بحيث يكون لأحد المتجهات نفس اتجاه ( vecs {u } = 4 mathbf { hat i} +2 mathbf { hat j} ).

تلميح

ابدأ بإيجاد إسقاط ( vecs {v} ) على ( vecs {u} ).

إجابه

( vecs {v} = vecs {p} + vecs {q}، ) حيث ( vecs {p} = dfrac {18} {5} mathbf { hat i} + dfrac { 9} {5} mathbf { hat j} ) و ( vecs {q} = dfrac {7} {5} mathbf { hat i} - dfrac {14} {5} mathbf { قبعة ي} )

مثال ( PageIndex {9} ): الإسقاط القياسي للسرعة

سفينة حاويات تغادر ميناء مسافرة (15 درجة ) شمال شرق. يولد محركها سرعة 20 عقدة على طول هذا المسار (انظر الشكل التالي). بالإضافة إلى ذلك ، يحرك تيار المحيط السفينة إلى الشمال الشرقي بسرعة 2 عقدة. بالنظر إلى كل من المحرك والتيار ، ما مدى سرعة تحرك السفينة في الاتجاه (15 درجة ) شمال الشرق؟ قرب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين.

حل

لنفترض أن ( vecs {v} ) هو متجه السرعة الذي يولده المحرك ، ولنكن w متجه السرعة للتيار. نحن نعلم بالفعل (‖ vecs {v} ‖ = 20 ) على طول المسار المطلوب. نحتاج فقط إلى إضافة الإسقاط القياسي لـ ( vecs {w} ) على ( vecs {v} ). نحن نحصل

[ start {align *} text {comp} _ vecs {v} vecs {w} = dfrac { vecs {v} ⋅ vecs {w}} {‖ vecs {v} ‖} [4pt] = dfrac {‖ vecs {v} ‖‖ vecs {w} ‖ cos (30 °)} {‖ vecs {v} ‖} = ‖ vecs {w} ‖ cos (30 °) = 2 dfrac { sqrt {3}} {2} = sqrt {3} ≈1.73 ، text {عقدة.} end {align *} ]

تتحرك السفينة بسرعة 21.73 عقدة في اتجاه (15 درجة ) شمال الشرق.

تمرين ( PageIndex {8} )

كرر المثال السابق ، لكن افترض أن تيار المحيط يتحرك باتجاه الجنوب الشرقي بدلاً من الشمال الشرقي ، كما هو موضح في الشكل التالي.

تلميح

احسب الإسقاط القياسي لـ ( vecs {w} ) على ( vecs {v} ).

إجابه

21 عقدة

عمل

الآن بعد أن فهمنا المنتجات النقطية ، يمكننا أن نرى كيفية تطبيقها على مواقف الحياة الواقعية. التطبيق الأكثر شيوعًا للمنتج النقطي لمتجهين هو في حساب العمل.

من الفيزياء ، نعلم أن الشغل يتم عندما يتحرك الجسم بقوة. عندما تكون القوة ثابتة ويتم تطبيقها في نفس الاتجاه الذي يتحرك فيه الكائن ، فإننا نحدد الشغل المنجز على أنه ناتج القوة والمسافة التي يقطعها الجسم: (W = Fd ). لقد رأينا عدة أمثلة من هذا النوع في الفصول السابقة. تخيل الآن أن اتجاه القوة يختلف عن اتجاه الحركة ، كما هو الحال مع مثال طفل يسحب عربة. لإيجاد الشغل المنجز ، علينا ضرب مركب القوة المؤثرة في اتجاه الحركة في مقدار الإزاحة. يسمح لنا المنتج النقطي بفعل ذلك بالضبط. إذا كنا نمثل قوة مطبقة بواسطة متجه ( vecs {F} ) وإزاحة كائن بواسطة متجه ( vecs {s} ) ، فإن العمل الذي تقوم به القوة هو المنتج النقطي لـ ( vecs {F} ) و ( vecs {s} ).

التعريف: القوة الثابتة

عندما يتم تطبيق قوة ثابتة على كائن ما بحيث يتحرك الكائن في خط مستقيم من النقطة (P ) إلى النقطة (Q ) ، فإن العمل (W ) الذي تقوم به القوة ( vecs {F} ) ، يتصرف بزاوية θ من خط الحركة ، من خلال

[W = vecs {F} ⋅ vecd {PQ} = ∥ vecs {F} ∥∥ vecd {PQ} ∥ cos θ. ]

دعونا نعيد النظر في مشكلة عربة الطفل التي قدمناها في وقت سابق. لنفترض أن طفلًا يسحب عربة بقوة مقدارها 8 أرطال على المقبض بزاوية مقدارها 55°. إذا سحب الطفل العربة لمسافة 50 قدمًا ، فابحث عن الشغل الذي أنجزته القوة (الشكل ( PageIndex {8} )).

نحن لدينا

[W = ∥ vecs {F} ∥∥ vecd {PQ} ∥ cos θ = 8 (50) ( cos (55 °)) ≈229 ، text {ft⋅lb.} nonumber ]

في الوحدات القياسية الأمريكية ، نقيس حجم القوة (∥ vecs {F} ∥ ) بالجنيه. يخبرنا مقدار متجه الإزاحة (∥ vecd {PQ} ∥ ) إلى أي مدى تحرك الجسم ، ويتم قياسه بالأقدام. إذن ، وحدة القياس المعتادة للعمل هي القدم الجنيه. رطل واحد هو مقدار الشغل المطلوب لتحريك جسم يزن 1 رطل لمسافة قدم واحدة لأعلى. في النظام المتري ، وحدة قياس القوة هي النيوتن (N) ، ووحدة قياس مقدار الشغل هي نيوتن-متر (N · m) ، أو الجول (J).

مثال ( PageIndex {10} ): حساب العمل

يولد الحزام الناقل قوة ( vecs {F} = 5 mathbf { hat i} −3 mathbf { hat j} + mathbf { hat k} ) التي تحرك الحقيبة من النقطة (( 1،1،1) ) للإشارة إلى ((9،4،7) ) على طول خط مستقيم. ابحث عن الشغل الذي أنجزه الحزام الناقل. يتم قياس المسافة بالأمتار والقوة تقاس بالنيوتن.

حل

يحتوي متجه الإزاحة ( vecd {PQ} ) على نقطة أولية ((1،1،1) ) ونقطة طرفية ((9،4،7) ):

[ vecd {PQ} = ⟨9−1،4−1،7−1⟩ = ⟨8،3،6⟩ = 8 mathbf { hat i} +3 mathbf { hat j} +6 mathbf { hat k}. لا يوجد رقم]

الشغل هو حاصل الضرب القياسي للقوة والإزاحة:

[ begin {align *} W & = vecs {F} ⋅ vecd {PQ} [4pt] & = (5 mathbf { hat i} −3 mathbf { hat j} + mathbf { hat k}) ⋅ (8 mathbf { hat i} +3 mathbf { hat j} +6 mathbf { hat k}) [4pt] = 5 (8) + (- 3) (3) +1 (6) [4pt] & = 37 ، text {N⋅m} [4pt] & = 37 ، text {J} end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {9} )

يتم تطبيق قوة ثابتة مقدارها 30 رطلاً بزاوية 60 درجة لسحب عربة يد 10 أقدام عبر الأرض. ما هو الشغل الذي تقوم به هذه القوة؟

تلميح

استخدم تعريف الشغل باعتباره حاصل الضرب القياسي للقوة والمسافة.

إجابه

150 قدمًا - رطل

المفاهيم الرئيسية

  • المنتج النقطي ، أو المنتج القياسي ، لمتجهين ( vecs {u} = ⟨u_1 ، u_2 ، u_3⟩ ) و ( vecs {v} = ⟨v_1 ، v_2 ، v_3⟩ ) هو ( vecs {u} ⋅ vecs {v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 ).
  • المنتج النقطي يلبي الخصائص التالية:
    • ( vecs {u} ⋅ vecs {v} = vecs {v} ⋅ vecs {u} )
    • ( vecs {u} ⋅ ( vecs {v} + vecs {w}) = vecs {u} ⋅ vecs {v} + vecs {u} ⋅ vecs {w} )
    • (c ( vecs {u} ⋅ vecs {v}) = (c vecs {u}) ⋅ vecs {v} = vecs {u} ⋅ (c vecs {v}) )
    • ( vecs {v} ⋅ vecs {v} = ‖ vecs {v} ‖ ^ 2 )
  • يمكن التعبير عن المنتج النقطي لمتجهين ، بدلاً من ذلك ، كـ ( vecs {u} ⋅ vecs {v} = ‖ vecs {u} ‖‖ vecs {v} ‖ cos θ. ) هذا الشكل من حاصل الضرب النقطي مفيد في إيجاد قياس الزاوية المكونة من متجهين.
  • المتجهات ( vecs {u} ) و ( vecs {v} ) متعامدة إذا ( vecs {u} ⋅ vecs {v} = 0 ).
  • تسمى الزوايا المتكونة بواسطة متجه غير صفري ومحاور الإحداثيات بـ زوايا الاتجاه للناقل. تُعرف جيب تمام هذه الزوايا باسم جيب التمام الاتجاه.
  • إسقاط المتجه لـ ( vecs {v} ) على ( vecs {u} ) هو المتجه ( text {proj} _ vecs {u} vecs {v} = dfrac { vecs {u} ⋅ vecs {v}} {‖ vecs {u} ‖ ^ 2} vecs {u} ). يُعرف حجم هذا المتجه باسم الإسقاط القياسي من ( vecs {v} ) على ( vecs {u} ) ، تم تقديمها بواسطة ( text {comp} _ vecs {u} vecs {v} = dfrac { vecs {u} ⋅ vecs {v}} {‖ vecs {u} ‖} ).
  • يتم الشغل عندما يتم تطبيق قوة على جسم ما ، مما يؤدي إلى الإزاحة. عندما يتم تمثيل القوة بالمتجه ( vecs {F} ) ويتم تمثيل الإزاحة بالمتجه ( vecs {s} ) ، فإن العمل المنجز (W ) يُعطى بالصيغة (W = vecs {F} ⋅ vecs {s} = ∥ vecs {F} ∥‖ vecs {s} ‖ cos θ. )

المعادلات الرئيسية

  • المنتج النقطي لـ ( vecs {u} ) و ( vecs {v} )

( vecs {u} ⋅ vecs {v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 = ‖ vecs {u} ‖‖ vecs {v} ‖ cos θ )

  • جيب التمام للزاوية المتكونة من ( vecs {u} ) و ( vecs {v} )

( cos θ = dfrac { vecs {u} ⋅ vecs {v}} {‖ vecs {u} ‖‖ vecs {v} ‖} )

  • إسقاط متجه لـ ( vecs {v} ) على ( vecs {u} )

( text {proj} _ vecs {u} vecs {v} = dfrac { vecs {u} ⋅ vecs {v}} {‖ vecs {u} ‖ ^ 2} vecs {u} )

  • الإسقاط العددي ( vecs {v} ) على ( vecs {u} )

( text {comp} _ vecs {u} vecs {v} = dfrac { vecs {u} ⋅ vecs {v}} {‖ vecs {u} ‖} )

  • العمل الذي تقوم به القوة ( vecs {F} ) لتحريك جسم من خلال متجه الإزاحة ( vecd {PQ} )

(W = vecs {F} ⋅ vecd {PQ} = ∥ vecs {F} ∥∥ vecd {PQ} ∥ cos θ )

قائمة المصطلحات

زوايا الاتجاه
الزوايا التي شكلتها متجه غير صفري ومحاور الإحداثيات
جيب التمام الاتجاه
جيب التمام للزوايا المكونة من متجه غير صفري ومحاور الإحداثيات
منتج نقطي أو منتج عددي
( vecs {u} ⋅ vecs {v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 ) حيث ( vecs {u} = ⟨u_1، u_2، u_3⟩ ) و ( vecs {v} = ⟨v_1 ، v_2 ، v_3⟩ )
الإسقاط القياسي
مقدار الإسقاط المتجه لمتجه
نواقل متعامدة
المتجهات التي تشكل زاوية قائمة عند وضعها في الوضع القياسي
ناقلات الإسقاط
مكون المتجه الذي يتبع اتجاهًا معينًا
العمل الذي تقوم به القوة
يُعتقد عمومًا أن العمل هو مقدار الطاقة اللازمة لتحريك الجسم ؛ إذا كنا نمثل قوة مطبقة بواسطة متجه ( vecs {F} ) وإزاحة كائن بواسطة متجه ( vecs {s} ) ، فإن الشغل الذي تقوم به القوة هو حاصل الضرب النقطي لـ ( vecs {F} ) و ( vecs {s} ).

المنتج نقطة

في الرياضيات ، فإن المنتج نقطة أو منتج عددي [الملاحظة 1] هي عملية جبرية تأخذ متتابعين متساويين الطول من الأرقام (عادة ما تنسق المتجهات) ، وتعيد رقمًا واحدًا. في الهندسة الإقليدية ، يتم استخدام المنتج النقطي للإحداثيات الديكارتية لمتجهين على نطاق واسع. غالبًا ما يطلق عليه "ال" منتج داخلي (أو نادرًا منتج الإسقاط) من الفضاء الإقليدي ، على الرغم من أنه ليس المنتج الداخلي الوحيد الذي يمكن تحديده في الفضاء الإقليدي (انظر مساحة المنتج الداخلية لمزيد من المعلومات).

جبريًا ، حاصل الضرب النقطي هو مجموع حاصل ضرب الإدخالات المقابلة لتسلسل الأرقام. هندسيًا ، هو نتاج المقادير الإقليدية للمتجهين وجيب الزاوية بينهما. هذه التعريفات متكافئة عند استخدام الإحداثيات الديكارتية. في الهندسة الحديثة ، غالبًا ما يتم تحديد المساحات الإقليدية باستخدام مسافات متجهة. في هذه الحالة ، يتم استخدام حاصل الضرب النقطي لتعريف الأطوال (طول المتجه هو الجذر التربيعي لحاصل الضرب النقطي للمتجه في حد ذاته) والزوايا (جيب التمام لزاوية المتجهين هو حاصل حاصل الضرب النقطي. بمنتج أطوالهم).

اسم "المنتج النقطي" مشتق من النقطة المركزية " · "، التي تُستخدم غالبًا لتعيين هذه العملية [1] [2] ، يؤكد الاسم البديل" المنتج القياسي "على أن النتيجة هي مقياس ، وليست متجه ، كما هو الحال بالنسبة للمنتج المتجه في الفضاء ثلاثي الأبعاد.


11.3: حاصل الضرب النقطي - الرياضيات

بشكل عام ، من الصعب للغاية ، وغالبًا ما يكون من المستحيل ، تحديد قيمة سلسلة بالضبط. في كثير من الحالات ، من الممكن على الأقل تحديد ما إذا كانت السلسلة تتقارب أم لا ، ولذا سنقضي معظم وقتنا في حل هذه المشكلة.

إذا كانت جميع المصطلحات $ ds a_n $ في سلسلة غير سالبة ، فمن الواضح أن تسلسل المبالغ الجزئية $ ds s_n $ غير متناقص. هذا يعني أنه إذا تمكنا من إظهار أن تسلسل المجاميع الجزئية محدود ، فيجب أن تتقارب السلسلة. نعلم أنه في حالة تقارب السلسلة ، فإن المصطلحات $ ds a_n $ تقترب من الصفر ، لكن هذا لا يعني أن $ ds a_n ge a_$ لكل $ n $. تمتلك العديد من السلاسل المفيدة والمثيرة هذه الخاصية ، وهي من أسهل السلاسل التي يمكن فهمها. لنلقي نظرة على مثال.

مثال 11.3.1 أظهر أن $ ds sum_^ infty <1 over n ^ 2> $ يتقارب.

المصطلحات $ ds 1 / n ^ 2 $ موجبة ومتناقصة ، ومنذ $ ds lim_ 1 / x ^ 2 = 0 $ ، المصطلحات $ ds 1 / n ^ 2 $ تقترب من الصفر. نسعى للحصول على حد أعلى لجميع المبالغ الجزئية ، أي أننا نريد إيجاد رقم $ N $ بحيث يكون $ s_n le N $ لكل $ n $. الحد الأعلى مقدم من باب المجاملة ، وهو متأصل في الشكل 11.3.1.

يوضح الشكل الرسم البياني لـ $ ds y = 1 / x ^ 2 $ مع بعض المستطيلات التي تقع أسفل المنحنى تمامًا والتي لها طول قاعدتها واحدًا. نظرًا لأنه يتم تحديد ارتفاعات المستطيلات من خلال ارتفاع المنحنى ، فإن مساحات المستطيلات هي $ ds 1/1 ^ 2 $ ، $ ds 1/2 ^ 2 $ ، $ ds 1/3 ^ 2 $ وهكذا و [مدشين] بعبارة أخرى ، بالضبط شروط السلسلة. المجموع الجزئي $ ds s_n $ هو ببساطة مجموع مناطق المستطيلات الأولى $ n $. نظرًا لأن المستطيلات تقع جميعها بين المنحنى والمحور $ x $ ، فإن أي مجموع لمساحات المستطيل يكون أقل من المساحة المقابلة أسفل المنحنى ، وبالتالي فإن أي مجموع لمساحات المستطيل يكون بالطبع أقل من المساحة الواقعة أسفل المنحنى بأكمله ، هذا هو ، على طول الطريق إلى ما لا نهاية. هناك القليل من المتاعب في الطرف الأيسر ، حيث يوجد خط مقارب ، ولكن يمكننا حلها بسهولة. ها هو: $ s_n = <1 over 1 ^ 2> + <1 over 2 ^ 2> + <1 over 3 ^ 2> + cdots + <1 over n ^ 2> مثال 11.3.2 ضع في اعتبارك نسخة معدلة قليلاً من الشكل 11.3.1 ، كما هو موضح في الشكل 11.3.2.

تكون المستطيلات هذه المرة فوق المنحنى ، أي أن كل مستطيل يحتوي بالكامل على المنطقة المقابلة أسفل المنحنى. هذا يعني أن $ s_n = <1 over 1> + <1 over 2> + <1 over 3> + cdots + <1 over n >> int_1 ^ <1 over x> ، dx = ln x Big | _1 ^= ln (n + 1). $ عندما يكبر $ n $ ، يذهب $ ln (n + 1) $ إلى اللانهاية ، لذا فإن تسلسل المجاميع الجزئية $ ds s_n $ يجب أن يذهب أيضًا إلى اللانهاية ، لذا فإن التوافقي سلسلة يتباعد.

الحقيقة المهمة التي تحدد هذا المثال هي أن $ lim_ int_1 ^ <1 over x> ، dx = infty، $ والتي يمكننا إعادة كتابتها كـ $ int_1 ^ infty <1 over x> ، dx = infty. أن سلسلة تتقارب أو تثبت أنها تتباعد بحساب واحد للتكامل غير الصحيح. يُعرف هذا باسم اختبار متكامل، والتي نذكرها كنظرية.

نظرية 11.3.3 افترض أن $ f (x)> 0 $ وهو يتناقص على الفاصل اللانهائي $ [k، infty) $ (لبعض $ k ge1 $) وأن $ ds a_n = f (n) $ . ثم السلسلة $ ds sum_يتقارب ^ infty a_n $ إذا وفقط إذا كان التكامل غير الصحيح $ ds int_ <1> ^ infty f (x) ، dx $ يتقارب.

المثالان اللذان رأيناهما يسميان $ p $ -series a $ p $ -series أي سلسلة من النموذج $ ds sum 1 / n ^ p $. إذا كان $ p le0 $ ، $ ds lim_ 1 / n ^ p not = 0 $ ، لذا تتباعد السلسلة. بالنسبة للقيم الموجبة لـ $ p $ يمكننا تحديد السلسلة التي تتقارب بدقة.

تتقارب النظرية 11.3.4 A $ p $ -series مع $ p> 0 $ إذا وفقط إذا كان $ p> 1 $.

دليل.
نستخدم الاختبار المتكامل الذي أجريناه بالفعل $ p = 1 $ ، لذا افترض أن $ p not = 1 $. $ int_1 ^ < infty> <1 over x ^ p> ، dx = lim_ غادر. أكثر من 1-p> right | _ <1> ^ D = lim_ أكثر من 1-p> - <1 over 1-p>. $ إذا $ p> 1 $ ثم $ 1-p 0 $ و $ ds lim_D ^ <1-p> = infty $ ، لذلك يتباعد التكامل.

مثال 11.3.5 أظهر أن $ ds sum_^ infty <1 أكثر > $ يتقارب.

يمكننا بالطبع استخدام الاختبار المتكامل ، ولكن الآن بعد أن أصبح لدينا النظرية ، يمكننا ببساطة ملاحظة أن هذه سلسلة $ p $ مع $ p> 1 $.

مثال 11.3.6 أظهر أن $ ds sum_^ infty <5 over n ^ 4> $ يتقارب.

نعلم أنه إذا كان $ ds sum_^ infty 1 / n ^ 4 $ يتقارب ثم $ ds sum_^ infty 5 / n ^ 4 $ يتقارب أيضًا ، حسب النظرية 11.2.2. منذ $ ds sum_^ infty 1 / n ^ 4 $ متقارب $ p $ -series ، $ ds sum_^ infty 5 / n ^ 4 $ يتقارب أيضًا.

مثال 11.3.7 أظهر أن $ ds sum_^ infty <5 over sqrt> $ يتباعد.

هذا يتبع أيضًا من النظرية 11.2.2: منذ $ ds sum_^ infty <1 over sqrt> $ هو $ p $ -series مع $ p = 1/2 مثال 11.3.8 تقريبًا $ ds sum 1 / n ^ 2 $ إلى منزلتين عشريتين.

بالإشارة إلى الشكل 11.3.1 ، إذا قمنا بتقريب المجموع بمقدار $ ds sum_^ N 1 / n ^ 2 $ ، الخطأ الذي نرتكبه هو المساحة الإجمالية للمستطيلات المتبقية ، وكلها تقع تحت المنحنى $ ds 1 / x ^ 2 $ من $ x = N $ إلى ما لا نهاية. لذلك نعلم أن القيمة الحقيقية للسلسلة أكبر من التقريب وليست أكبر من التقريب بالإضافة إلى المساحة الواقعة أسفل المنحنى من $ N $ إلى اللانهاية. تقريبًا ، إذن ، نحتاج إلى إيجاد $ N $ بحيث يكون $ int_N ^ infty <1 over x ^ 2> ، dx <1 / 100. $ يمكننا حساب التكامل: $ int_N ^ infty <1 over x ^ 2> ، dx = <1 over N>، $ لذا $ N = 100 $ هي نقطة بداية جيدة. إضافة أول 100 مصطلح يعطي ما يقرب من 1.634983900 دولار ، وهذا زائد 1/100 دولار هو 1.644983900 دولار ، لذا فإن تقريب السلسلة بالقيمة في منتصف المسافة بينهما سيكون على الأكثر 1/200 = 0.005 دولار بالخطأ.نقطة المنتصف هي 1.639983900 دولار ، ولكن بينما يكون هذا صحيحًا عند $ pm0.005 $ ، لا يمكننا معرفة ما إذا كان التقريب الصحيح للعشريين هو 1.63 دولارًا أو 1.64 دولارًا. نحتاج إلى جعل $ N $ كبيرًا بما يكفي لتقليل الخطأ المضمون ، ربما إلى حوالي 0.004 $ لنكون آمنًا ، لذلك سنحتاج إلى $ 1 / N حوالي 0.008 $ ، أو $ N = 125 $. الآن مجموع أول 125 مصطلحًا هو 1.636965982 دولارًا تقريبًا ، وهذا زائد .008 دولار هو 1.644965982 دولارًا والنقطة في المنتصف بينهما هي 1.640965982 دولارًا. القيمة الحقيقية إذن هي 1.640965982 دولارًا لكل مساءً 0.004 دولار ، وجميع الأرقام في هذا النطاق تقترب من 1.64 دولارًا ، لذا فإن 1.64 دولارًا صحيحًا لأقرب منزلتين عشريتين. لقد ذكرنا أن القيمة الحقيقية لهذه السلسلة يمكن أن تظهر على أنها $ ds pi ^ 2/6 almost1.644934068 $ والتي تقرب إلى أسفل إلى $ 1.64 $ (بالكاد) وهي بالفعل أقل من الحد الأعلى البالغ 1.644965982 $ ، مرة أخرى فقط بالكاد. كثيرًا ما تكون التقديرات التقريبية أفضل من الدقة "المضمونة" ، ولكن ليس دائمًا ، كما يوضح هذا المثال.


11.3: حاصل الضرب النقطي - الرياضيات

ربما لديك على الأقل فهم بدائي لـ احتمال منفصل، والتي تقيس احتمال وقوع "حدث" عندما يكون هناك عدد محدود من الاحتمالات. على سبيل المثال ، عندما يتم دحرجة قالب نرد عادي من ستة جوانب ، يكون احتمال الحصول على أي رقم معين هو 1/6 دولار. بشكل عام ، احتمال وقوع حدث هو عدد الطرق التي يمكن أن يحدث بها الحدث مقسومًا على عدد الطرق التي يمكن أن يحدث بها "أي شيء".

للحصول على مثال أكثر تعقيدًا ، ضع في اعتبارك حالة نردتين سداسية الجوانب. يتم تمييز النرد ماديًا ، مما يعني أن دحرجة 2 & ndash5 مختلفة عن رمي 5 & ndash2 كل حدث متساوٍ من إجمالي 36 طريقة يمكن أن يهبط بها النرد ، لذلك لكل منها احتمال 1/36 دولار.

معظم الأحداث المثيرة ليست بهذه البساطة. الأمر الأكثر إثارة للاهتمام هو احتمال طرح مبلغ معين من الاحتمالات من 2 إلى 12. ومن الواضح أنه ليس صحيحًا أن جميع المبالغ متساوية في الاحتمال: الطريقة الوحيدة للتخلص من 2 هي التدحرج 1 و ndash1 ، في حين أن هناك العديد من الطرق لإخراج 7. نظرًا لأن عدد الاحتمالات صغير جدًا ، ولأن النمط سريعًا يصبح واضحًا ، فمن السهل ملاحظة أن احتمالات المجاميع المختلفة هي: $ eqalign

$ هنا نستخدم $ P (n) $ ليعني "احتمال دحرجة $ n $ . '' نظرًا لأننا قمنا بحساب جميع الاحتمالات بشكل صحيح ، فإن مجموع كل هذه الاحتمالات هو 36/36 دولارًا = 1 دولارًا ، واحتمال أن يكون المجموع واحدًا من 2 إلى 12 هو 1 ، لأنه لا توجد احتمالات أخرى.

تهتم دراسة الاحتمالات أيضًا بالأسئلة الأكثر صعوبة ، على سبيل المثال ، لنفترض أنه تم رمي النردين عدة مرات. في المتوسط ​​، ما المبلغ الذي سيظهر؟ في لغة الاحتمال ، هذا المتوسط ​​يسمى القيمة المتوقعة من المجموع. يعد هذا في البداية مضللًا بعض الشيء ، لأنه لا يخبرنا بما "نتوقعه" عند رمي نردتي النرد ، ولكن ما نتوقعه سيكون متوسط ​​المدى الطويل.

افترض أنه تم رمي نردتين 36 مليون مرة. بناءً على الاحتمالات ، نتوقع أن يكون حوالي 1 مليون لفة 2 ، وحوالي 2 مليون إلى 3 ، وهكذا ، مع لفة من 7 تتصدر القائمة بحوالي 6 ملايين. سيكون مجموع كل اللفات 1 مليون في 2 زائد 2 مليون مرة 3 ، وهكذا ، وبقسمة 36 مليون نحصل على المتوسط: $ eqalign < bar x & = (2 cdot 10 ^ 6 + 3 ( 2 cdot 10 ^ 6) + cdots + 7 (6 cdot 10 ^ 6) + cdots + 12 cdot10 ^ 6) <1 over 36 cdot 10 ^ 6> cr & = 2 <10 ^ 6 أكثر من 36 cdot 10 ^ 6> +3 <2 cdot 10 ^ 6 أكثر من 36 cdot 10 ^ 6> + cdots + 7 <6 cdot 10 ^ 6 over 36 cdot 10 ^ 6> + cdots +12 <10 ^ 6 أكثر من 36 cdot 10 ^ 6> cr & = 2P (2) + 3P (3) + cdots + 7P (7) + cdots + 12P (12) cr & = sum_^ <12> iP (i) = 7.> $ لا يوجد شيء مميز حول الـ 36 مليون في هذا الحساب. بغض النظر عن عدد اللفات ، بمجرد تبسيط المتوسط ​​، نحصل على نفس $ ds sum_^ <12> iP (i) $. في حين أن متوسط ​​القيمة الفعلية لعدد كبير من اللفات لن يكون بالضبط 7 ، يجب أن يكون المتوسط ​​قريبًا من 7 عندما يكون عدد اللفات كبيرًا. لقلب هذا ، إذا لم يكن المتوسط ​​قريبًا من 7 ، يجب أن نشك في أن النرد ليس عادلاً.

المتغير ، مثل $ X $ ، الذي يمكن أن يأخذ قيمًا معينة ، لكل منها احتمالية مقابلة ، يسمى a متغير عشوائي في المثال أعلاه ، كان المتغير العشوائي هو مجموع حجري النرد. إذا كانت القيم المحتملة لـ $ X $ هي $ ds x_1 $ ، $ ds x_2 $ ، & hellip ، $ ds x_n $ ، فإن القيمة المتوقعة للمتغير العشوائي هي $ ds E (X) = sum_^ n x_iP (x_i) $. تسمى القيمة المتوقعة أيضًا بامتداد تعني.

عندما يكون عدد القيم المحتملة لـ $ X $ محدودًا ، نقول إن $ X $ متغير عشوائي منفصل. في العديد من تطبيقات الاحتمالات ، يكون عدد القيم المحتملة للمتغير العشوائي كبيرًا جدًا ، وربما لا نهائيًا. للتعامل مع الحالة اللانهائية ، نحتاج إلى نهج مختلف ، وبما أن هناك مبلغًا متضمنًا ، فلا ينبغي أن يكون مفاجئًا تمامًا أن يكون التكامل أداة مفيدة. ثم يتبين أنه حتى عندما يكون عدد الاحتمالات كبيرًا ولكنه محدود ، فمن الأسهل في كثير من الأحيان التظاهر بأن العدد غير محدود. لنفترض ، على سبيل المثال ، أنه تم إلقاء سهم على لوحة السهام. نظرًا لأن لوحة النبال تتكون من عدد محدود من الذرات ، فلا يوجد بمعنى ما سوى عدد محدود من الأماكن التي يمكن أن تهبط فيها السهام ، ولكن من الأسهل استكشاف الاحتمالات المتضمنة من خلال التظاهر بأن السهم يمكن أن يهبط على أي نقطة في المعتاد $ x $ - $ y $ طائرة.

التعريف 11.3.1 اجعل $ f: R to R $ دالة. إذا كان $ f (x) geq 0 $ لكل $ x $ و $ ds int_ <- infty> ^ infty f (x) ، dx = 1 $ فإن $ f $ هو a دالة كثافة الاحتمال.

نربط دالة كثافة الاحتمال بمتغير عشوائي $ X $ من خلال اشتراط أن يكون احتمال أن يكون $ X $ بين $ a $ و $ b $ هو $ ds int_a ^ b f (x) ، dx $. نظرًا لمتطلبات أن يكون التكامل من $ - infty $ إلى $ infty $ 1 ، فإن جميع الاحتمالات أقل من أو تساوي 1 ، واحتمال أن يأخذ $ X $ بعض القيمة بين $ - infty $ و $ infty $ هو 1 ، كما ينبغي أن يكون.

مثال 11.3.2 ضع في اعتبارك مرة أخرى مثال النرد الذي يمكننا مشاهدته بطريقة تشبه إلى حد كبير نهج دالة كثافة الاحتمال. ضع في اعتبارك متغيرًا عشوائيًا $ X $ يأخذ أي قيمة حقيقية مع الاحتمالات المعطاة بواسطة دالة كثافة الاحتمال في الشكل 11.3.1. تتكون الوظيفة $ f $ من الحواف العلوية للمستطيلات فقط ، مع رسم الجوانب الرأسية للتوضيح ، تكون الدالة صفرًا تحت $ 1.5 $ وأعلى $ 12.5 $. مساحة كل مستطيل هي احتمال تدوير المجموع في منتصف الجزء السفلي من المستطيل ، أو $ P (n) = int_^ f (x) ، dx. $ احتمالية طرح 4 أو 5 أو 6 هي $ P (n) = int_ <7/2> ^ <13/2> f (x) ، dx. $ Of بالطبع ، يمكننا أيضًا حساب الاحتمالات التي لا معنى لها في سياق النرد ، مثل احتمال أن يكون $ X $ بين 4 و $ 5.8.

تسمى الوظيفة $ F (x) = P (X leq x) = int _ <- infty> ^ x f (t) dt $ دالة التوزيع التراكمي أو ببساطة (الاحتمالية) التوزيع.

مثال 11.3.3 افترض أن مثال $ a 11.3.4 ضع في اعتبارك الوظيفة $ ds f (x) = e ^ <- x ^ 2/2> $. ماذا يمكننا أن نقول عن $ int _ <- infty> ^ infty e ^ <- x ^ 2/2> ، dx؟ $ لا يمكننا إيجاد المشتق العكسي لـ $ f $ ، لكن يمكننا أن نرى أن هذا التكامل هو بعض عدد محدود. لاحظ أن $ ds 0 1 $. هذا يعني أن المنطقة تحت $ ds e ^ <- x ^ 2/2> $ أقل من المنطقة تحت $ ds e ^ <- x / 2> $ ، عبر الفاصل الزمني $ [1، infty) $ . من السهل حساب المنطقة الأخيرة ، وهي $ int_1 ^ infty e ^ <- x / 2> ، dx = <2 over sqrt>، $ so $ int_1 ^ infty e ^ <- x ^ 2/2> ، dx $ هو عدد محدود أصغر من $ ds 2 / sqrt$. لأن $ f $ متماثل حول المحور $ y $ ، $ int _ <- infty> ^ <-1> e ^ <- x ^ 2/2> ، dx = int_1 ^ infty e ^ <- x ^ 2/2> ، dx. $ هذا يعني أن $ int _ <- infty> ^ infty e ^ <- x ^ 2/2> ، dx = int _ <- infty> ^ <-1 > e ^ <- x ^ 2/2> ، dx + int_ <-1> ^ 1 e ^ <- x ^ 2/2> ، dx + int_1 ^ infty e ^ <- x ^ 2 / 2> ، dx = A $ لبعض الأعداد الموجبة المحدودة $ A $. الآن إذا تركنا $ g (x) = f (x) / A $، $ int _ <- infty> ^ infty g (x) ، dx = <1 over A> int _ <- infty> ^ infty e ^ <- x ^ 2/2> ، dx = <1 over A> A = 1 ، $ لذا $ g $ دالة كثافة احتمالية. اتضح أنه مفيد للغاية ، ويطلق عليه اسم دالة الكثافة الاحتمالية العادية أو بشكل غير رسمي أكثر منحنى الجرس، مما أدى إلى ظهور التوزيع القياسي. انظر الشكل 11.3.2 للرسم البياني لمنحنى الجرس.

لقد أظهرنا أن $ A $ هو عدد محدود بدون حسابه لا يمكننا حسابه بالتقنيات المتوفرة لدينا. باستخدام بعض الأساليب من حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات ، يمكن إظهار أن $ ds A = sqrt <2 pi> $.

مثال 11.3.5 توزع استثنائى دالة كثافة الاحتمال $ f (x) = cases <0 & $ x تعريف 11.3.6 تعني من المتغير العشوائي $ X $ مع دالة كثافة الاحتمال $ f $ هو $ ds mu = E (X) = int _ <- infty> ^ infty xf (x) ، dx $ ، بشرط تقارب متكامل.

عندما يكون المتوسط ​​موجودًا يكون فريدًا ، لأنه نتيجة لعملية حسابية صريحة. الوسيلة غير موجودة دائما.

قد يبدو المتوسط ​​مألوفًا فهو مطابق بشكل أساسي لمركز كتلة شعاع أحادي البعد ، كما تمت مناقشته في القسم 11.1. تلعب دالة كثافة الاحتمال $ f $ دور دالة الكثافة الفيزيائية ، ولكن الآن "الحزمة" لها طول لانهائي. إذا أخذنا في الاعتبار جزءًا محدودًا فقط من الحزمة ، لنقل بين $ a $ و $ b $ ، فإن مركز الكتلة هو $ bar x = < ds int_a ^ b xf (x) ، dx over ds int_a ^ bf (x) ، dx>. $ إذا قمنا بتمديد الحزمة إلى ما لا نهاية ، نحصل على $ bar x = < ds int _ <- infty> ^ infty xf (x) ، dx over ds int _ <- infty> ^ infty f (x) ، dx> = int_ <- infty> ^ infty xf (x) ، dx = E (X)، $ لأن $ ds int _ <- infty> ^ infty f (x) ، dx = 1 $. في المركز في تفسير الكتلة ، هذا التكامل هو الكتلة الكلية للحزمة ، والتي تكون دائمًا 1 عندما $ f $ دالة كثافة احتمالية.

مثال 11.3.7 متوسط ​​التوزيع العادي القياسي هو $ int _ <- infty> ^ infty x over sqrt <2 pi >> ، dx. $ نحسب النصفين: $ int _ <- infty> ^ 0 x أكثر sqrt <2 pi >> ، dx = lim_متبقى.- over sqrt <2 pi >> right | _D ^ 0 = - <1 over sqrt <2 pi >> $ و $ int_0 ^ infty x أكثر sqrt <2 pi >> ، dx = lim_متبقى.- over sqrt <2 pi >> right | _0 ^ D = <1 over sqrt <2 pi >>. مجموع هذه هي 0 ، وهو المتوسط.

في حين أن الوسيلة مفيدة للغاية ، فهي عادة لا تكون معلومات كافية لتقييم الموقف بشكل صحيح. على سبيل المثال ، لنفترض أنه يمكننا تصنيع قالب من 11 جانبًا ، مع ترقيم الوجوه من 2 إلى 12 بحيث يكون كل وجه متساويًا على الأرجح في الأسفل عند دحرجة القالب. قيمة اللفة هي القيمة الموجودة على هذا الوجه السفلي. يعطي دحرجة النرد نفس نطاق القيم مثل رمي نرد عاديين ، ولكن الآن كل قيمة تحدث باحتمال 1/11 دولار. القيمة المتوقعة للفة هي $ <2 over 11> + <3 over 11> + cdots + <12 over 11> = 7. $ المتوسط ​​لا يميز بين الحالتين ، على الرغم من أنهما متطابقان بالطبع مختلف.

إذا كانت $ f $ دالة كثافة احتمالية لمتغير عشوائي $ X $ ، بمتوسط ​​$ mu $ ، فإننا نرغب في قياس المسافة بين القيمة "النموذجية" $ X $ و $ mu $. طريقة واحدة لقياس هذه المسافة هي $ ds (X- mu) ^ 2 $ ، نقوم بتربيع الفرق حتى نقيس جميع المسافات على أنها موجبة. للحصول على هذه المسافة المربعة النموذجية ، نحسب المتوسط. بالنسبة إلى حجري نرد ، على سبيل المثال ، نحصل على $ (2-7) ^ 2 <1 over 36> + (3-7) ^ 2 <2 over 36> + cdots + (7-7) ^ 2 <6 over 36> + cdots (11-7) ^ 2 <2 over36> + (12-7) ^ 2 <1 over36> = <35 over36>. لأننا قمنا بتربيع الاختلافات ، فإن هذا لا يقيس بشكل مباشر المسافة النموذجية التي نسعى إليها إذا كنا خذ الجذر التربيعي لهذا نحصل على مثل هذا المقياس ، $ ds sqrt <35/36> حوالي 2.42 $. عند إجراء الحساب لنرد غريب ذي 11 جانبًا ، نحصل على $ (2-7) ^ 2 <1 أكثر من 11> + (3-7) ^ 2 <1 أكثر من 11> + cdots + (7-7) ^ 2 <1 أكثر من 11> + cdots (11-7) ^ 2 <1 over11> + (12-7) ^ 2 <1 over11> = 10 ، $ مع الجذر التربيعي 3.16 تقريبًا. بمقارنة 2.42 إلى 3.16 يخبرنا أن رمي النردتين يتكتلان إلى حد ما c بالقرب من 7 من لفات الموت الغريب ، وهو ما عرفناه بالطبع لأن هذه الأمثلة بسيطة للغاية.

لإجراء نفس الحساب لوظيفة كثافة الاحتمال ، يتم استبدال المجموع بتكامل ، تمامًا كما هو الحال في حساب المتوسط. القيمة المتوقعة للمسافات المربعة هي $ V (X) = int _ <- infty> ^ infty (x- mu) ^ 2 f (x) ، dx ، $ يسمى فرق. الجذر التربيعي للتباين هو الانحراف المعياري، تدل على $ sigma $.

مثال 11.3.8 نحسب الانحراف المعياري للتوزيع العادي القياسي. الفرق هو $ <1 over sqrt <2 pi >> int _ <- infty> ^ infty x ^ 2 e ^ <- x ^ 2/2> ، dx. $ لحساب المشتق العكسي ، استخدم التكامل بالأجزاء ، مع $ u = x $ و $ ds dv = xe ^ <- x ^ 2/2> ، dx $. هذا يعطي $ int x ^ 2 e ^ <- x ^ 2/2> ، dx = -xe ^ <- x ^ 2/2> + int e ^ <- x ^ 2/2> ، dx. $ لا يمكننا عمل التكامل الجديد ، لكننا نعرف قيمته عندما تكون الحدود $ - infty $ to $ infty $ ، من مناقشتنا للتوزيع العادي القياسي. وبالتالي $ <1 over sqrt <2 pi >> int _ <- infty> ^ infty x ^ 2 e ^ <- x ^ 2/2> ، dx = left .- <1 over الجذر التربيعي <2 pi >> xe ^ <- x ^ 2/2> right | _ <- infty> ^ infty + <1 over sqrt <2 pi >> int _ <- infty> ^ infty e ^ <- x ^ 2/2> ، dx = 0+ <1 over sqrt <2 pi >> sqrt <2 pi> = 1. ثم يكون الانحراف المعياري هو $ ds sqrt <1> = 1 $.

مثال 11.3.9 هنا مثال بسيط يوضح كيف يمكن أن تكون هذه الأفكار مفيدة. لنفترض أنه من المعروف ، على المدى الطويل ، أن واحدة من كل 100 شريحة ذاكرة كمبيوتر ينتجها مصنع تصنيع معين تكون معيبة عندما تعمل عملية التصنيع بشكل صحيح. لنفترض أن 1000 شريحة تم اختيارها عشوائيًا وأن 15 منها معيبة. هذا الرقم أكبر من الرقم "المتوقع" (10) ، ولكن هل هو كثير لدرجة أننا يجب أن نشك في حدوث خطأ ما في عملية التصنيع؟ نحن مهتمون باحتمالية ظهور أعداد مختلفة من الشرائح المعيبة ، يكون توزيع الاحتمالات منفصلًا: لا يمكن أن يكون هناك سوى عدد صحيح من الشرائح المعيبة. لكن (في ظل الافتراضات المعقولة) يكون التوزيع قريبًا جدًا من التوزيع الطبيعي ، أي هذا التوزيع: $ f (x) = <1 over sqrt <2 pi> sqrt <1000 (.01) (. 99)> > exp left (<- (x-10) ^ 2 over 2 (1000) (. 01) (. 99)> right) ، $ الموضح في الشكل 11.3.3 (تذكر أن $ ds exp (x) = e ^ x $).

الآن كيف نقيس مدى احتمال أن نرى 15 رقاقة معيبة في ظل الظروف العادية؟ لا يمكننا حساب احتمال 15 شريحة معيبة بالضبط ، حيث سيكون هذا $ ds int_ <15> ^ <15> f (x) ، dx = 0 $. يمكننا حساب $ ds int_ <14.5> ^ <15.5> f (x) ، dx حوالي 0.036 $ وهذا يعني أن هناك فرصة 3.6 $٪ فقط أن عدد الرقائق المعيبة هو 15. (لا يمكننا حساب هذه التكاملات بالضبط تم استخدام برامج الكمبيوتر لتقريب القيم التكاملية في هذه المناقشة.) ولكن هذا مضلل: $ ds int_ <9.5> ^ <10.5> f (x) ، dx حوالي 0.126 $ ، وهو أكبر ، بالتأكيد ، لكنها لا تزال صغيرة ، حتى بالنسبة للنتيجة "الأكثر احتمالًا". السؤال الأكثر فائدة ، في معظم الظروف ، هو هذا: ما مدى احتمالية أن يكون عدد الرقائق المعيبة "بعيدًا عن" المتوسط؟ على سبيل المثال ، ما مدى احتمال أو احتمال اختلاف عدد الرقائق المعيبة بمقدار 5 أو أكثر عن القيمة المتوقعة البالغة 10؟ هذا هو احتمال أن يكون عدد الشرائح المعيبة أقل من 5 أو أكبر من 15 ، أي $ int _ <- infty> ^ <5> f (x) ، dx + int_ <15> ^ < infty> f (x) ، dx تقريبًا 0.11. $ إذن هناك فرصة 11 $٪ أن يحدث هذا و mdashnot كبير ، لكن ليس صغيرًا. ومن ثم لا يبدو أن الرقائق الخمسة عشر المعيبة مدعاة للقلق: حوالي مرة واحدة من تسعة نتوقع أن نرى عدد الرقائق المعيبة 5 أو أكثر بعيدًا عن 10. ماذا عن 20؟ نحسب هنا $ int _ <- infty> ^ <0> f (x) ، dx + int_ <20> ^ < infty> f (x) ، dx حوالي 0.0015. $ لذلك هناك فرصة بنسبة 15 $٪ فقط أن يكون عدد الرقائق المعيبة بعيدًا عن المتوسط ​​بأكثر من 10 من المتوسط ​​الذي يُفسَّر عادةً على أنه مشكوك فيه جدًا بحيث لا يمكن تجاهله ولا يجب أن يحدث mdashit إذا كانت العملية تعمل بشكل طبيعي.

السؤال الكبير ، بالطبع ، ما هو مستوى اللااحتمالية الذي يجب أن يثير القلق؟ يعتمد ذلك إلى حد ما على التطبيق ، وعلى وجه الخصوص على عواقب الخطأ في هذا الاتجاه أو ذاك. إذا كنا مخطئين ، فهل نخسر القليل من المال؟ الكثير من المال؟ هل يموت الناس؟ بشكل عام ، الخيارات القياسية هي 5٪ و 1٪. لذا ما يجب أن نفعله هو إيجاد عدد الرقائق المعيبة التي لديها ، دعنا نقول ، فرصة بنسبة 1٪ لحدوثها في ظل الظروف العادية ، واستخدامها كرقم ذي صلة. بمعنى آخر ، نريد أن نعرف متى $ int _ <- infty> ^ <10-r> f (x) ، dx + int_ <10 + r> ^ < infty> f (x) ، dx 0 دولار. أظهر أن $ N (x) = <1 over sqrt <2 pi> sigma> e ^ <- <(x- mu) ^ 2 over 2 sigma ^ 2 >> $ دالة كثافة احتمالية . لن تكون قادرًا على حساب هذا التكامل مباشرة باستخدام التعويض لتحويل التكامل إلى واحد من المثال 11.3.4. الدالة $ N $ هي دالة كثافة الاحتمال الخاصة بـ التوزيع الطبيعي بمتوسط ​​$ mu $ والانحراف المعياري $ sigma $. بيّن أن متوسط ​​التوزيع الطبيعي هو $ mu $ والانحراف المعياري هو $ sigma $.

مثال 11.3.7 دع $ f (x) = cases < ds <1 over x ^ 2> & $ x geq 1 $ cr 0 & $ x <1 $ cr> $ أظهر أن $ f $ دالة كثافة احتمالية ، وأن التوزيع لا يعنيه.

مثال 11.3.8 دع $ f (x) = cases $ أظهر أن $ ds int_ <- infty> ^ infty f (x) ، dx = 1 $. هل $ f $ دالة كثافة احتمالية؟ برر جوابك.

مثال 11.3.9 إذا كان لديك وصول إلى برنامج مناسب ، فابحث عن $ r $ بحيث يكون $ int _ <- infty> ^ <10-r> f (x) ، dx + int_ <10 + r> ^ < infty> f ( x) ، dx almost0.05، $ باستخدام دالة المثال 11.3.9.ناقش تأثير استخدام هذه القيمة الجديدة $ r $ لتقرير ما إذا كان يجب التحقيق في عملية تصنيع الرقائق. (إجابه)


منتج نقطي تفاعلي لمتجهين

نستخدم حاصل الضرب القياسي لمتجهين للإجابة على العديد من الأسئلة.

  • هل شخصيتان تنظران في نفس الاتجاه؟
  • هل الشخصية تنظر إلى علامة؟
  • كيف يجب أن يتفاعل شعاع الضوء مع السطح؟

ما هو المنتج النقطي

حاصل الضرب النقطي هو عملية تأخذ متجهين وتعيد رقمًا.
تذكر أن أ المتجه هو الطول والاتجاه.
يخبرنا إلى أي مدى نذهب في اتجاهها. ربما لا يساعد هذا الوصف كثيرًا.
يخبرنا حاصل الضرب النقطي عن مدى تشابه اتجاهات المتجهين.

كيف تجد المنتج النقطي

لنفترض أن لدينا متجهين باسم المتجه A والمتجه B.
هناك طريقتان لإيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهاتنا.

الطريقة رقم 1: مع الجبر الأساسي

نحن نفكر في هذا على أنه "طريقة المطور" للعثور على المنتج النقطي.

A.x * B.x + A.y * B.y Simple ، أليس كذلك؟ فقط الضرب والجمع. فائق السرعة لأجهزة الكمبيوتر.

بهذه الطريقة تجعلنا نفعل أكثر العمل على تطبيع منتجنا النقطي ، والذي يعني في هذه الحالة نريد نتيجتنا في النطاق من -1 إلى 1.
إذا أردنا تحويل رقم إلى واحد، نقسم هذا الرقم على نفسه ، لذا نقسم على أطوال كل من المتجهين مضروبًا في بعضهما البعض.
A.x * B.x + A.y * B.y / (|| A || * || B ||) The || حول المتجهات لدينا يعني أننا نأخذ طولها. نستخدم شريطين لأن أحدهما قد يعني أننا نأخذ القيمة المطلقة.

الطريقة رقم 2: مع Trig الأساسي

نحن نفكر في هذا على أنه طريقة "الرياضيات البحتة".
نطرح زاوية أحد المتجهين من زاوية الآخر (يعمل في كلتا الحالتين).
ثم نأخذ جيب التمام للنتيجة أو الطرح.
ثم نضرب ناتج جيب التمام في مقدار (طول) كلا المتجهين. فيولا ، لدينا منتج النقطة. كوس (الزاوية أ - الزاوية ب) * || أ || * || ب || حالتنا أبسط ، لأننا مهتمون بالنتيجة تطبيع (نريد نتيجتنا في النطاق من -1 إلى 1).

حسنًا ، هذا هو نطاق جيب التمام.
كوس (الزاوية أ - الزاوية ب) هذا كل ما نحتاجه ، حاصل الضرب القياسي هو جيب تمام اختلاف زوايا المتجهات. مثير للاهتمام.

ما هي الطريقة الأفضل؟

لذا ، كيف نعرف الطريقة التي نستخدمها؟
يعتمد ذلك على البيانات التي لدينا.
إذا كانت لدينا المواقف بالفعل ، فيمكننا استخدام طريقة الجبر.
إذا كانت لدينا الزوايا بالفعل ، فيمكننا استخدام طريقة حساب المثلثات.
إذا لم يكن لدينا أي منهما ، فسنحصل على أيهما أسهل بالنسبة لنا.
كلا الطريقتين تعطينا نفس النتيجة! لاحظ كيف أن كلا الطريقتين لهما عنصر الاتجاه

إسقاط المنتج النقطي

نحن نفكر في حاصل الضرب النقطي على أنه إسقاط لمتجه على الآخر.
الفكرة بسيطة.
نرسم كلا المتجهين ، ثم نسقط خطًا من طرف أحدهما لربطهما بزاوية 90 درجة.

نلاحظ أن النتيجة هي جيب تمام المثلث الذي أنشأناه عندما أسقطنا الخط.

ماذا يحدث عندما لا تتداخل المتجهات؟
إذا لم تتداخل المتجهات ، فسنحصل على نتيجة سلبية "نوسع" المتجه الذي نسقط عليه في الاتجاه المعاكس ، ثم نترك الخط.

المنتج العددي

هل تعتقد أنه من الغريب أن يأخذ حاصل الضرب النقطي متجهين ولكنه لا يعيد متجهًا؟

بدلاً من ذلك ، تقوم بإرجاع رقم يمكننا تسميته رقمًا قياسيًا.
هذا هو سبب تسمية البعض للمنتج النقطي بالمنتج القياسي.

اسم مختلف ولكن نفس الشيء.

لماذا من المنطقي أن يقوم المنتج النقطي بإرجاع مقياس قياسي وليس متجهًا جديدًا؟
لأن حاصل الضرب النقطي يصف العلاقة بين متجهين.

المنتج الداخلي مقابل المنتج النقطي

المنتج الداخلي أكثر عمومية من المنتج النقطي. المنتج النقطي هو حالة خاصة للمنتج الداخلي. أي أن المنتج النقطي هو تطبيق للمنتج الداخلي ، لكن المنتج الداخلي يتجاوز المنتج النقطي.

ماذا يمثل المنتج النقطي؟

نحصل على رقم (قياسي) ، وليس متجه ، ونتيجة لذلك تصف النتيجة العلاقة بين المتجهين. كلما كانت النتيجة أقرب إلى 1 كلما كانت المتجهات أكثر تشابهًا ، كلما كانت النتيجة أقرب إلى -1 وكلما كانت النتيجة أكثر اختلافًا ، كلما كانت النتيجة أقرب إلى الصفر كلما اقترب المتجهان من أن يكونا متعامدين.

استنتاج

يجيب المنتج النقطي على السؤال: ما مدى تشابه اتجاهات اثنين من النواقل.
الإجابة على هذا السؤال تحل العديد من أنواع المشاكل المختلفة بالنسبة لنا.


11.3: حاصل الضرب النقطي - الرياضيات

الموضوع التالي للمناقشة هو المنتج النقطي. دعنا ننتقل مباشرة إلى تعريف المنتج النقطي. بالنظر إلى المتجهين ( vec a = left langle <,,> يمين rangle ) و ( vec b = left langle <,,> right rangle ) حاصل الضرب النقطي هو ،

أحيانًا يُطلق على المنتج النقطي اسم منتج عددي. المنتج النقطي هو أيضًا مثال على منتج داخلي ، وبالتالي قد تسمعه أحيانًا يسمى منتجًا داخليًا.

  1. ( vec v = 5 vec i - 8 vec j ، ، ، vec w = vec i + 2 vec j )
  2. ( vec a = left langle <0،3، - 7> right rangle، ، ، vec b = left langle <2،3،1> right rangle )

ليس هناك الكثير لتفعله بهذه الأشياء بخلاف استخدام الصيغة.

أ (vec v centdot vec w = 5-16 = - 11 )

ب ( vec a centdot vec b = 0 + 9-7 = 2 )

فيما يلي بعض خصائص المنتج النقطي.

ملكيات

إن البراهين على هذه الخصائص هي في الغالب براهين "حسابية" ولذلك سنقوم بعمل اثنين منها فقط ونترك الباقي لك لإثبات ذلك.

دليل على ( vec u centdot left ( right) = vec u centerdot vec v + vec u centerdot vec w )

سنبدأ بالمتجهات الثلاثة ، ( vec u = left langle <,، ldots،> يمين rangle ) ، ( vec v = left langle <,، ldots،> يمين rangle ) و ( vec w = يسار langle <,، ldots،> right rangle ) ونعم نحن نعني أن لكل منها (n ) مكونات. تعمل النظرية مع النواقل العامة ، لذا يمكننا أيضًا القيام بإثبات النواقل العامة.

الآن ، كما هو مذكور أعلاه ، هذا إلى حد كبير مجرد دليل "حسابي". ما يعنيه ذلك هو أننا سنحسب الجانب الأيسر ثم نجري بعض العمليات الحسابية الأساسية على النتيجة لإظهار أنه يمكننا جعل الجانب الأيسر يبدو مثل الجانب الأيمن. هنا العمل.

دليل على: If ( vec v centerdot vec v = 0 ) ثم ( vec v = vec 0 )

هذا دليل بسيط جدا. لنبدأ بـ ( vec v = left langle <,، ldots،> right rangle ) واحسب حاصل الضرب النقطي.

الآن ، بما أننا نعرف (v_i ^ 2 ge 0 ) للجميع (i ) ، فإن الطريقة الوحيدة لكي يكون هذا المجموع صفرًا هي في الواقع أن يكون (v_i ^ 2 = 0 ). هذا بدوره يعني أنه يجب أن يكون لدينا ( = 0 ) ولذا يجب أن يكون لدينا ( vec v = vec 0 ).

هناك أيضًا تفسير هندسي لطيف للمنتج النقطي. افترض أولاً أن ( theta ) هي الزاوية بين ( vec a ) و ( vec b ) بحيث يكون (0 le theta le pi ) كما هو موضح في الصورة أدناه.

يمكننا بعد ذلك الحصول على النظرية التالية.

نظرية

دليل - إثبات

دعونا نعطي نسخة معدلة من الرسم أعلاه.

تشكل المتجهات الثلاثة أعلاه المثلث AOB ولاحظ أن طول كل جانب ليس أكثر من حجم المتجه الذي يشكل ذلك الجانب.

يخبرنا قانون جيب التمام أن ،

أيضًا باستخدام خصائص حاصل الضرب النقطي يمكننا كتابة الجانب الأيسر على النحو التالي ،

معادلتنا الأصلية إذن ،

غالبًا ما تستخدم الصيغة من هذه النظرية ليس لحساب حاصل الضرب النقطي ولكن بدلاً من ذلك للعثور على الزاوية بين متجهين. لاحظ أيضًا أنه في حين أن رسم المتجهين في الإثبات هو لمتجهات ثنائية الأبعاد ، فإن النظرية صالحة للمتجهات من أي بُعد (طالما أن لها نفس البعد بالطبع).

دعونا نرى مثالا على ذلك.

سنحتاج إلى حاصل الضرب القياسي بالإضافة إلى مقادير كل متجه.

[ vec a centdot vec b = - 22 hspace <0.25in> hspace <0.25in> left | < vec a> right | = sqrt <26> hspace <0.25in> hspace <0.25in> left | < vec b> right | = sqrt <29> ]

يعطينا حاصل الضرب النقطي طريقة جيدة جدًا لتحديد ما إذا كان متجهان متعامدين أم لا ، وسيعطي طريقة أخرى لتحديد متى يكون متجهان متوازيان. لاحظ أيضًا أننا سنستخدم المصطلح غالبًا متعامد في مكان عمودي.

الآن ، إذا كان المتجهان متعامدين ، فإننا نعلم أن الزاوية بينهما 90 درجة. من ( eqref) هذا يخبرنا أنه إذا كان المتجهان متعامدين ،

وبالمثل ، إذا كان متجهان متوازيان ، تكون الزاوية بينهما إما 0 درجة (تشير في نفس الاتجاه) أو 180 درجة (تشير إلى الاتجاه المعاكس). مرة أخرى باستخدام ( eqref) هذا يعني أن أحد العناصر التالية يجب أن يكون صحيحًا.

  1. ( vec a = left langle <6، - 2، - 1> right rangle، ، ، vec b = left langle <2،5،2> right rangle )
  2. ( displaystyle vec u = 2 vec i - vec j، ، ، vec v = - frac <1> <2> vec i + frac <1> <4> vec j )

احصل أولاً على المنتج النقطي لمعرفة ما إذا كان متعامدًا.

[ vec a centdot vec b = 12-10-2 = 0 ]

المتجهان متعامدان.

مرة أخرى ، دعنا نحصل على المنتج النقطي أولاً.

[ vec u centdot vec v = - 1 - frac <1> <4> = - frac <5> <4> ]

لذا فهي ليست متعامدة. دعونا نحصل على المقادير ونرى ما إذا كانت متوازية.

[ vec u centerdot vec v = - frac <5> <4> = - sqrt 5 left (< frac << sqrt 5 >> <4>> right) = - left | < vec u> right | ، ، left | < vec v> right | ]

إذن ، المتجهان متوازيان.

هناك أيضًا العديد من التطبيقات الرائعة للمنتج النقطي التي يجب أن ننظر إليها.

التوقعات

أفضل طريقة لفهم الإسقاطات هي رؤية رسمين تخطيطيين. لذلك ، بالنظر إلى متجهين ( vec a ) و ( vec b ) نريد تحديد إسقاط ( vec b ) على ( vec a ). يُشار إلى الإسقاط بواسطة (<< mathop < rm proj> nolimits> _ < vec a >> vec b ). فيما يلي بعض الرسومات التخطيطية التي توضح الإسقاط.

لذلك ، للحصول على إسقاط ( vec b ) على ( vec a ) ، نسقط مباشرة من نهاية ( vec b ) حتى نضغط (ونشكل زاوية قائمة) مع الخط هذا موازٍ لـ ( vec a ). الإسقاط هو إذن المتجه الموازي لـ ( vec a ) ، ويبدأ من نفس النقطة التي بدأ فيها كلا المتجهين الأصليين عند وينتهي حيث يصل الخط المتقطع إلى الخط الموازي لـ ( vec a ).

توجد صيغة جيدة لإيجاد إسقاط ( vec b ) على ( vec a ). ها هو،

لاحظ أننا نحتاج أيضًا إلى توخي الحذر الشديد فيما يتعلق بالتدوين هنا. يتم إعطاء إسقاط ( vec a ) على ( vec b ) بواسطة

يمكننا أن نرى أن هذا سيكون متجهًا مختلفًا تمامًا. هذا المتجه موازٍ لـ ( vec b ) ، بينما (<< mathop < rm proj> nolimits> _ < vec a >> vec b ) موازي لـ ( vec a ) . لذا ، كن حذرًا مع التدوين وتأكد من أنك تعثر على الإسقاط الصحيح.

نحتاج إلى حاصل الضرب النقطي وحجم ( vec a ).

لأغراض المقارنة ، دعنا نفعل ذلك بالعكس أيضًا.

نحتاج إلى حاصل الضرب النقطي وحجم ( vec b ).

كما نرى من المثالين السابقين ، فإن الإسقاطين مختلفان لذا كن حذرًا.

جيب التمام الاتجاه

يتطلب تطبيق المنتج النقطي أن نكون في فضاء ثلاثي الأبعاد بخلاف جميع التطبيقات الأخرى التي نظرنا إليها حتى هذه النقطة.

لنبدأ بمتجه ، ( vec a ) ، في مساحة ثلاثية الأبعاد. سيشكل هذا المتجه زوايا بمحور (س ) (أ ) ، المحور (ص ) (ب ) والمحور (ض ) (ز ). تسمى هذه الزوايا زوايا الاتجاه ويطلق على جيب تمام هذه الزوايا جيب التمام الاتجاه.

فيما يلي رسم تخطيطي لمتجه وزوايا الاتجاه.

الصيغ لاتجاه جيب التمام هي ،

حيث ( vec i ) و ( vec j ) و ( vec k ) هي متجهات الأساس القياسية.

دعنا نتحقق من المنتج النقطي الأول أعلاه. سنترك الباقي لك للتحقق.

[ vec a centerdot ، vec i = left langle <,,> يمين rangle نقطية يسار langle <1،0،0> يمين rangle = ]

فيما يلي بعض الحقائق اللطيفة حول جيب التمام في الاتجاه.

  1. المتجه ( vec u = left langle < cos alpha، cos beta، cos gamma> right rangle ) هو متجه وحدة.


انسايت الرياضيات

لكن أولاً ، لاحظ أن السؤال & ldquohow الكثير من $ vc $ يشير في نفس اتجاه المتجه $ vcلا علاقة لـ rdquo بحجم (أو طول) $ vc$ يعتمد فقط على اتجاهه. (تذكر أن المتجه له مقدار واتجاه.) يجب ألا تعتمد الإجابة على هذا السؤال على مقدار $ vc$ ، فقط اتجاهها. لتفادي أي ارتباك ناتج عن حجم $ vc$ ، لنقيس المتجه بحيث يكون طوله واحدًا. بمعنى آخر ، دعنا نستبدل $ vc$ مع متجه الوحدة الذي يشير في نفس اتجاه $ vc$. سنسمي هذا المتجه $ vc$ ، والذي يتم تعريفه بواسطة $ vc = فارك < vc> < | vc|>.$

ومع ذلك ، فإن الصيغة الهندسية eqref غير مناسب لحساب حاصل الضرب النقطي عندما يتم منحنا المتجهين $ vc $ و $ vc$ من حيث مكوناتها. لتسهيل هذه الحسابات ، نشتق معادلة حاصل الضرب النقطي بدلالة مكونات المتجه. بوجود هذه الصيغة في متناول اليد ، يمكننا استعراض أمثلة لحساب حاصل الضرب القياسي.


المنتج نقطة

ثيتا هي الزاوية بين المتجهين. نسمي هذا التعريف الهندسي لأنه يتكون بالكامل من مصطلحات لها معنى هندسي: الزوايا والأطوال.

التعريف الجبري للمنتج النقطي هو أن

المعجزة أن هذين التعريفين ، الهندسي والجبراني ، هي نفسها.

هذا ليس واضحًا بأي حال من الأحوال ، وفي الواقع يجب أن تقضي عدة دقائق (أو أكثر) في التفكير في كيف ولماذا وإذا كان هذا صحيحًا. جرب تطبيق كلا التعريفين على أزواج من المتجهات بزوايا قابلة للحساب بسهولة مثل (1،0،0) و (0،0،1) ، أو بين متجهين تعسفيين في المستوى ، أو بين المتجه ونفسه.

قبل أن نثبت أن التعريفين متماثلان ، دعنا نلقي نظرة على بعض خصائص حاصل الضرب القياسي. أولاً وقبل كل شيء ، يتفق كلا التعريفين على أن حاصل الضرب النقطي لمتجهين هو رقم حقيقي قياسي. أنه ليس ناقل.

ثانيًا ، يتفق كلا التعريفين على أن المنتج النقطي تبادلي (that

الخامس · ث = ث · الخامس ) وأنه يمتص الثوابت:

الخامس) · ث = ج ( الخامس · ث). أيضا ، كلا التعريفين يعني ذلك

أخيرًا ، يقدم كلا التعريفين (مع القليل من المساعدة من نظرية فيثاغورس)

الخامس · الخامس = | الخامس | 2 = الخامس1 2 + ت2 2 + ت3 2. هذا جميل ، وهذا يعني كذلك

الخامس · الخامس > = 0 وذاك

الخامس · الخامس = 0 فقط إذا

    يعتبر التعريف الجبري للمنتج النقطي رائعًا للحساب. بالنظر إلى الإحداثيات الديكارتية لمتجهين ، يمكنك حساب حاصل الضرب النقطي. كما أنه مفيد جدًا في إثبات الهويات الجبرية مثل

( الخامس1 + الخامس2 ) · الخامس = الخامس1 · الخامس + الخامس2 · الخامس . حاول إثبات ذلك بالتعريف الهندسي!

مثال آخر هو إيجاد إسقاط متجه على متجه آخر. حسب علم المثلثات ، طول إسقاط المتجه

| مشروعالخامس ث| = |ث| كوس ثيتا = الخامس · ث / | الخامس |

إذا كنت تريد إسقاط المتجه

الخامس كمتجه ، فقط اضرب المقدار أعلاه في

مشروعالخامس ث = ( الخامس · ث ) الخامس / الخامس · الخامس يتم استخدام هذه التعبيرات طوال الوقت ، لذلك إما تذكرها أو تذكر كيفية اشتقاقها. إليك أحد التطبيقات: الشغل المبذول من خلال بذل القوة

F على النزوح

د يساوي حاصل ضرب مقدار الإزاحة ومكون القوة في اتجاه الإزاحة: الشغل =

|د| مشروعد F = د · F

على سبيل المثال ، هذه صيغة للزاوية بين متجهين تكون رائعة إذا كان لديك آلة حاسبة بها زر معكوس لجيب التمام:

ج 2 = أ 2 + ب 2 - 2 أ ب كوس ثيتا أين

ثيتا هي الزاوية المقابلة للضلع C في المثلث ABC. نطبقه على المثلث ذي الأضلاع الخامس, ث، و ضد w تحصل

|الخامس-ث| 2 = |الخامس| 2 + |ث| 2 - 2 |الخامس| |ث| كوس ثيتا

حق. ربما لاحظت أننا حرصنا دائمًا على تسمية حاصل الضرب النقطي بالحاصل الضرب النقطي ، بدلاً من مجرد حاصل ضرب متجهين. هذا بسبب وجود العديد من الطرق المختلفة لأخذ حاصل ضرب متجهين ، بما في ذلك كما سنرى قريبًا ، حاصل الضرب التبادلي.


11.3: حاصل الضرب النقطي - الرياضيات

أنت على وشك امسح عملك في هذا النشاط. هل انت متأكد من أنك تريد أن تفعل هذا؟

نسخة محدثة متوفرة

هناك نسخة محدثة من هذا النشاط. إذا قمت بالتحديث إلى أحدث إصدار من هذا النشاط ، فسيتم مسح تقدمك الحالي في هذا النشاط. بغض النظر ، سيبقى سجل الإنجاز الخاص بك. كيف تريد المتابعة؟

محرر التعبير الرياضي

نصف الطرق العددية والرسومية لفهم المعادلات التفاضلية.

حقول المنحدرات

لا يمكننا (حتى الآن) حل المعادلة التفاضلية ومع ذلك ، من المعادلة وحدها ، يمكننا وصف بعض الحقائق حول الحل.

هذا أمر إيجابي ، لذا فإن الدالة تتزايد عند.

بالنظر إلى معادلة تفاضلية ، على سبيل المثال ، يمكننا اختيار نقاط في المستوى وحساب ميل الحل عند هذه النقاط. بتكرار هذه العملية ، يمكننا إنشاء ملف مجال المنحدر. يبدو مجال المنحدر للمعادلة التفاضلية كما يلي:

  • اختيار شبكة من النقاط.
  • عند كل نقطة ، يتم حساب الميل المعطى بواسطة المعادلة التفاضلية ، باستخدام وقيم النقطة.
  • ارسم خطًا قصيرًا بهذا المنحدر عند كل نقطة.

هذا هو مجال المنحدر للمعادلة التفاضلية ، مع بعض الحلول للمعادلة التفاضلية موضحة أيضًا.

المعادلات التفاضلية المستقلة

ضع في اعتبارك المعادلات التفاضلية التالية

المعادلة التفاضلية الأولى سهلة الحل إلى حد ما ، فنحن ببساطة ندمج كلا الطرفين. يسمى هذا النوع من المعادلات التفاضلية أ معادلة تفاضلية نقية. تعبر المعادلات التفاضلية للوقت النقي عن مشتق الحل بشكل صريح كدالة لمتغير مستقل. يمكننا وصف المعادلة التفاضلية للوقت الخالص بشكل رمزي على أنها

من ناحية أخرى ، المعادلة التفاضلية الثانية ، لا تتضمن المتغير المستقل ، على الإطلاق! تسمى هذه المعادلات التفاضلية واثق من نفسه المعادلات التفاضلية.

أخيرًا ، يتم التعبير عن المعادلة التفاضلية الثالثة كدالة لكل من المتغير المستقل. تسمى هذه المعادلة التفاضلية أ معادلة تفاضلية غير ذاتية. يمكننا وصف المعادلة التفاضلية غير المستقلة بشكل رمزي

منذ المعادلات التفاضلية المستقلة فقط تعتمد على قيمة الوظيفة لا يعتمد سلوكها على المتغير المستقل ،

ضع في اعتبارك المعادلة التفاضلية المستقلة: الوظائف الثابتة وهي حلول لهذه المعادلة التفاضلية. في الواقع ، بالنسبة لأي معادلة تفاضلية مستقلة ، حيث تكون دالة ، إذا كانت لأي ثابت ، إذن ستكون حلاً ثابتًا للمعادلة التفاضلية. تُعرف هذه الحلول الثابتة أيضًا باسم حالة توازن حلول. يمكننا أن نشهد هذه الحلول إذا فحصنا مجال المنحدر:

أخيرًا ، لنعمل كمثال على المشكلة:

طريقة أويلر

في العلوم والرياضيات ، لا يكون إيجاد حلول دقيقة للمعادلات التفاضلية ممكنًا دائمًا. لقد رأينا بالفعل أن حقول المنحدرات تعطينا طريقة قوية لفهم السمات النوعية للحلول. نحتاج أحيانًا إلى فهم كمي أكثر دقة ، مما يعني أننا نرغب في تقريب عدد الحلول.

مرة أخرى ، افترض أنك قمت بإعداد المعادلة التفاضلية التالية إذا علمنا أن ذلك يحل هذه المعادلة التفاضلية ، وكيف يمكننا التقريب؟ تتمثل إحدى الأفكار في استخدام التقريب الخطي بشكل متكرر.

دعونا نقرب فقط باستخدام الفترتين الفرعيتين لأننا نعرف ذلك بالتقريب الخطي.


11.3: حاصل الضرب النقطي - الرياضيات

منتجات وتوقعات دوت

المنتج النقطي (المنتج الداخلي)

هناك طريقة طبيعية لإضافة المتجهات وضربها في العددية. هل هناك أيضًا طريقة لضرب متجهين والحصول على نتيجة مفيدة؟ اتضح أن هناك نوعين ينتج أحدهما مقياسًا (المنتج النقطي) بينما ينتج الآخر متجهًا (المنتج المتقاطع). سنناقش المنتج النقطي هنا.

حاصل الضرب النقطي للمتجهين a = & lta_1 ، a_2 ، a_3 & gt and b = & ltb_1 ، b_2 ، b_3 & gt مُعطى بواسطة

تعريف مكافئ للمنتج النقطي هو

حيث ثيتا هي الزاوية بين المتجهين (انظر الشكل أدناه) و | ج | يدل على حجم المتجه ج. هذا التعريف الثاني مفيد في إيجاد زاوية ثيتا بين المتجهين.

مثال

حاصل الضرب القياسي لـ a = & lt1،3، -2 & gt and b = & lt-2،4، -1 & gt هو

مما يدل على ثيتا = 45.6 درجة.

من الاستخدامات المهمة للمنتج النقطي اختبار ما إذا كان المتجهان متعامدين أم لا. يكون المتجهان متعامدين إذا كانت الزاوية بينهما 90 درجة. وهكذا ، باستخدام (**) نرى أن حاصل الضرب النقطي لمتجهين متعامدين هو صفر. على العكس من ذلك ، فإن الطريقة الوحيدة التي يمكن أن يكون بها حاصل الضرب النقطي هي صفر إذا كانت الزاوية بين المتجهين 90 درجة (أو تافهة إذا كان أحد المتجهين أو كليهما هو المتجه الصفري). وبالتالي ، فإن متجهين غير صفريين لهما حاصل الضرب النقطي صفر إذا كانا متعامدين فقط.

مثال

& lt1، -1،3 & gt و & lt3،3،0 & gt متعامدة لأن حاصل الضرب النقطي هو 1 (3) + (- 1) (3) +3 (0) = 0.

أحد الاستخدامات المهمة للمنتجات النقطية هو الإسقاطات. الإسقاط القياسي لـ b على a هو طول المقطع AB الموضح في الشكل أدناه. الإسقاط المتجه لـ b على a هو المتجه بهذا الطول الذي يبدأ عند النقطة A في نفس الاتجاه (أو الاتجاه المعاكس إذا كان الإسقاط القياسي سالبًا) مثل a.

وبالتالي ، من الناحية الرياضية ، فإن الإسقاط القياسي لـ b على a هو | ب | كوس (ثيتا) (حيث ثيتا هي الزاوية بين أ و ب) والتي من (*) معطاة من قبل

تسمى هذه الكمية أيضًا بمكون b في الاتجاه (ومن هنا جاءت علامة comp). وإسقاط المتجه هو مجرد متجه الوحدة a / | أ | يضاعف الإسقاط القياسي لـ b على a:

وبالتالي ، فإن الإسقاط القياسي لـ b على a هو حجم الإسقاط المتجه لـ b على a.

لنفترض أنك ترغب في العثور على الشغل W الذي تم إنجازه في نقل جسيم من نقطة إلى أخرى. نعلم من الفيزياء أن W = Fd حيث F هو مقدار القوة التي تحرك الجسيم و d هي المسافة بين النقطتين. ومع ذلك ، فإن هذه العلاقة صالحة فقط عندما تعمل القوة في الاتجاه الذي يتحرك فيه الجسيم. ان هذا ليس هو الحال. دع متجه القوة يكون F = & lt2،3،4 & gt ويكون متجه الإزاحة d = & lt1،2،3 & gt. في هذه الحالة ، يكون الشغل ناتجًا عن المسافة المقطوعة (مقدار متجه الإزاحة) وحجم مكون القوة التي تعمل في اتجاه الإزاحة (الإسقاط القياسي لـ F على d):

وبالتالي ، فإن الشغل الذي تقوم به القوة لإزاحة الجسيم من الأصل إلى النقطة (1،2،3) هو

لاحظ أن هذه هي أسهل طريقة لحساب حاصل الضرب النقطي لأن الزاوية بين المتجهين F و d غير معروفة.


شاهد الفيديو: جبر خطي طول المتجه والضرب النقطي او ما يسمى بالضرب العددي بين المتجهات (شهر اكتوبر 2021).