مقالات

5.1: المناطق التقريبية


أهداف التعلم

  • استخدم تدوين سيجما (الجمع) لحساب مجاميع وقوى الأعداد الصحيحة.
  • استخدم مجموع المساحات المستطيلة لتقريب المساحة الواقعة أسفل منحنى.
  • استخدم مجموع ريمان لتقريب المساحة.

أرخميدس كان مفتونًا بحساب مساحات الأشكال المختلفة - بمعنى آخر ، مقدار المساحة التي يحيط بها الشكل. لقد استخدم عملية أصبحت تُعرف باسم طريقة استنفاد، والتي تستخدم أشكالًا أصغر وأصغر ، يمكن حساب مساحاتها بدقة ، لملء منطقة غير منتظمة وبالتالي الحصول على تقديرات تقريبية أقرب وأقرب إلى المساحة الإجمالية. في هذه العملية ، يتم تعبئة المنطقة التي تحدها المنحنيات بالمستطيلات والمثلثات والأشكال بصيغ المساحة الدقيقة. يتم بعد ذلك جمع هذه المناطق لتقريب مساحة المنطقة المنحنية.

في هذا القسم ، نطور تقنيات لتقريب المنطقة الواقعة بين منحنى ، محددة بواسطة دالة (f (x) ، ) والمحور x على فاصل مغلق ([a، b]. ) مثل أرخميدس ، نقوم أولاً بتقريب المساحة الواقعة أسفل المنحنى باستخدام أشكال منطقة معروفة (أي المستطيلات). باستخدام مستطيلات أصغر وأصغر ، نقترب أكثر فأكثر من المنطقة. يسمح لنا أخذ حد بحساب المساحة الدقيقة أسفل المنحنى.

لنبدأ بإدخال بعض الرموز لتسهيل العمليات الحسابية. ثم نأخذ في الاعتبار الحالة عندما يكون (f (x) ) مستمرًا وغير سالب. لاحقًا في الفصل ، نخفف بعض هذه القيود ونطور تقنيات تنطبق في الحالات الأكثر عمومية.

تدوين سيجما (التلخيص)

كما ذكرنا ، سوف نستخدم أشكال منطقة معروفة لتقريب مساحة منطقة غير منتظمة تحدها منحنيات. تتطلب هذه العملية غالبًا إضافة سلاسل طويلة من الأرقام. لتسهيل كتابة هذه المبالغ الطويلة ، نلقي نظرة على بعض الرموز الجديدة هنا ، تسمى تدوين سيجما (المعروف أيضًا باسم تدوين الجمع). يستخدم الحرف اليوناني الكبير (Σ ) ، سيجما ، للتعبير عن مجموعات طويلة من القيم في شكل مضغوط. على سبيل المثال ، إذا أردنا إضافة جميع الأعداد الصحيحة من 1 إلى 20 بدون تدوين سيجما ، فعلينا أن نكتب

[1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20.]

ربما يمكننا تخطي كتابة اثنين من المصطلحات والكتابة

[1+2+3+4+⋯+19+20,]

أيهما أفضل ، لكنه لا يزال مرهقًا. باستخدام تدوين سيجما ، نكتب هذا المجموع كـ

[ sum_ {i = 1} ^ {20} i ]

وهو أكثر إحكاما. عادة ، يتم تقديم تدوين سيجما في النموذج

[ sum_ {i = 1} ^ {n} a_i ]

حيث يصف (a_i ) المصطلحات المراد إضافتها ، ويسمى (i ) (الفهرس ). يتم تقييم كل مصطلح ، ثم نجمع كل القيم ، بدءًا من القيمة عند (i = 1 ) وتنتهي بالقيمة عند (i = n. ) على سبيل المثال ، تعبير مثل ( displaystyle sum_ {i = 2} ^ {7} s_i ) يتم تفسيره على أنه (s_2 + s_3 + s_4 + s_5 + s_6 + s_7 ). لاحظ أن الفهرس يُستخدم فقط لتتبع المصطلحات المراد إضافتها ؛ لا يدخل في حساب المجموع نفسه. لذلك يسمى الفهرس a متغير وهمي. يمكننا استخدام أي حرف نريده للفهرس. عادةً ما يستخدم علماء الرياضيات (i و و j و و k و و m ) و (n ) للمؤشرات.

لنجرب مثالين لاستخدام تدوين سيجما.

مثال ( PageIndex {1} ): استخدام تدوين سيجما

  1. اكتب تدوين سيجما وقم بتقييم مجموع المصطلحات (3 ^ i ) لـ (i = 1،2،3،4،5. )
  2. اكتب المجموع في تدوين سيجما:

[1+ dfrac {1} {4} + dfrac {1} {9} + dfrac {1} {16} + dfrac {1} {25}. لا يوجد رقم]

حل

  1. اكتب [ sum_ {i = 1} ^ {5} 3 ^ i = 3 + 3 ^ 2 + 3 ^ 3 + 3 ^ 4 + 3 ^ 5 = 363. لا يوجد رقم]
  2. مقام كل حد مربع كامل. باستخدام تدوين سيجما ، يمكن كتابة هذا المجموع كـ ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ 5 dfrac {1} {i ^ 2} ).

تمرين ( PageIndex {1} )

اكتب تدوين سيجما وقم بتقييم مجموع المصطلحات (2 ^ i ) لـ (i = 3،4،5،6. )

تلميح

استخدم خطوات الحل في المثال ( PageIndex {1} ) كدليل.

إجابه

( displaystyle sum_ {i = 3} ^ {6} 2 ^ i = 2 ^ 3 + 2 ^ 4 + 2 ^ 5 + 2 ^ 6 = 120 )

الخصائص المرتبطة بعملية الجمع معطاة في القاعدة التالية.

القاعدة: خصائص تدوين سيجما

لنفترض أن (a_1، a_2، ...، a_n ) و (b_1، b_2، ...، b_n ) يمثلان متتاليين من المصطلحات ولجعل (c ) ثابتًا. تحتوي الخصائص التالية على جميع الأعداد الصحيحة الموجبة (n ) وللأعداد الصحيحة (م ) ، مع (1≤m≤n. )

  1. (displaystyle sum_ {i = 1} ^ n c = nc)
  2. ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ n ca_i = c sum_ {i = 1} ^ na_i )
  3. ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ n (a_i + b_i) = sum_ {i = 1} ^ na_i + sum_ {i = 1} ^ nb_i )
  4. ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ n (a_i − b_i) = sum_ {i = 1} ^ na_i− sum_ {i = 1} ^ nb_i )
  5. ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ na_i = sum_ {i = 1} ^ ma_i + sum_ {i = m + 1} ^ na_i )

دليل

نثبت الخصائص 2. و 3. هنا ، ونترك إثباتًا على الخصائص الأخرى للتمارين.

2. لدينا

[ sum_ {i = 1} ^ nca_i = ca_1 + ca_2 + ca_3 + ⋯ + ca_n = c (a_1 + a_2 + a_3 + ⋯ + a_n) = c sum_ {i = 1} ^ na_i. ]

3. لدينا

[ start {align} sum_ {i = 1} ^ {n} (a_i + b_i) & = (a_1 + b_1) + (a_2 + b_2) + (a_3 + b_3) + ⋯ + (a_n + b_n) [4pt] & = (a_1 + a_2 + a_3 + ⋯ + a_n) + (b_1 + b_2 + b_3 + ⋯ + b_n) [4pt] & = sum_ {i = 1} ^ na_i + sum_ {i = 1 } ^ nb_i. نهاية {محاذاة} ]

هناك عدد قليل من الصيغ للوظائف التي يتم العثور عليها بشكل متكرر لتبسيط عملية الجمع بشكل أكبر. هذه موضحة في القاعدة التالية ، لـ مبالغ وقوى الأعداد الصحيحة، ونستخدمها في المجموعة التالية من الأمثلة.

القاعدة: مبالغ الأعداد الصحيحة وسلطاتها

1. مجموع (n ) الأعداد الصحيحة مُعطى بواسطة

[ sum_ {i = 1} ^ n i = 1 + 2 + ⋯ + n = dfrac {n (n + 1)} {2}. التسمية {sum1} ]

2. مجموع تربيع الأعداد الصحيحة معطى من قبل

[ sum_ {i = 1} ^ n i ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + ⋯ + n ^ 2 = dfrac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}. التسمية {sum2} ]

3. مجموع الأعداد الصحيحة المتتالية تكعيب معطى بواسطة

[ sum_ {i = 1} ^ n i ^ 3 = 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + ⋯ + n ^ 3 = dfrac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2} {4}. التسمية {sum3} ]

مثال ( PageIndex {2} ): التقييم باستخدام تدوين Sigma

اكتب باستخدام تدوين سيجما وتقييم:

  1. مجموع المصطلحات ((i − 3) ^ 2 ) لـ (i = 1،2،…، 200. )
  2. مجموع المصطلحات ((i ^ 3 − i ^ 2) ) لـ (i = 1،2،3،4،5،6 )

حل

أ. بضرب ((i − 3) ^ 2 ) ، يمكننا تقسيم التعبير إلى ثلاثة حدود.

[ begin {align *} sum_ {i = 1} ^ {200} (i − 3) ^ 2 & = sum_ {i = 1} ^ {200} (i ^ 2−6i + 9) [4 نقطة]
& = sum_ {i = 1} ^ {200} i ^ 2− sum_ {i = 1} ^ {200} 6i + sum_ {i = 1} ^ {200} 9 [4pt]
& = sum_ {i = 1} ^ {200} i ^ 2−6 sum_ {i = 1} ^ {200} i + sum_ {i = 1} ^ {200} 9 [4pt]
& = dfrac {200 (200 + 1) (400 + 1)} {6} −6 left [ dfrac {200 (200 + 1)} {2} right] +9 (200) [4pt ]
& = 2،686،700−120،600 + 1800 [4pt]
& = 2567900 نهاية {محاذاة *} ]

ب. استخدام خاصية تدوين سيجما رابعا. وقواعد مجموع الحدود التربيعية ومجموع الحدود المكعبة.

[ begin {align *} sum_ {i = 1} ^ {6} (i ^ 3 − i ^ 2) & = sum_ {i = 1} ^ 6 i ^ 3− sum_ {i = 1} ^ 6 i ^ 2 [4pt]
& = dfrac {6 ^ 2 (6 + 1) ^ 2} {4} - dfrac {6 (6 + 1) (2 (6) +1)} {6} [4pt]
& = dfrac {1764} {4} - dfrac {546} {6} [4pt]
& = 350 end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {2} )

أوجد مجموع قيم (4 + 3i ) لـ (i = 1،2 ، ... ، 100. )

تلميح

استخدم خصائص تدوين سيجما لحل المشكلة.

إجابه

(15,550)

مثال ( PageIndex {3} ): إيجاد مجموع قيم الدالة

أوجد مجموع قيم (f (x) = x ^ 3 ) على الأعداد الصحيحة (1،2،3 ، ... ، 10. )

حل

باستخدام المعادلة المرجع {sum3} ، لدينا

[ sum_ {i = 0} ^ {10} i ^ 3 = dfrac {(10) ^ 2 (10 + 1) ^ 2} {4} = dfrac {100 (121)} {4} = 3025 لا يوجد رقم]

تمرين ( PageIndex {3} )

احسب المجموع المشار إليه بالرمز ( displaystyle sum_ {k = 1} ^ {20} (2k + 1) ).

تلميح

استخدم قاعدة مجموع وقوى الأعداد الصحيحة (المعادلات المرجع {sum1} - المرجع {sum3}).

إجابه

(440)

منطقة التقريب

الآن بعد أن أصبح لدينا الترميز الضروري ، سنعود إلى المسألة المطروحة: تقريب المساحة الواقعة أسفل المنحنى. لنفترض أن (f (x) ) دالة مستمرة وغير سالبة محددة في الفاصل الزمني المغلق ([a، b] ). نريد تقريب المنطقة (أ ) التي يحدها (و (س) ) أعلاه ، والمحور (س ) أدناه ، والخط (س = أ ) على اليسار ، والخط (x = b ) على اليمين (الشكل ( PageIndex {1} )).

كيف نقرب المساحة الواقعة تحت هذا المنحنى؟ النهج هو نهج هندسي. من خلال تقسيم المنطقة إلى العديد من الأشكال الصغيرة التي لها صيغ المنطقة المعروفة ، يمكننا تلخيص هذه المناطق والحصول على تقدير معقول للمساحة الحقيقية. نبدأ بتقسيم الفاصل ([a، b] ) إلى (n ) فترات فرعية متساوية العرض ، ( dfrac {b − a} {n} ). نقوم بذلك عن طريق تحديد نقاط متباعدة بشكل متساوٍ (x_0 ، x_1 ، x_2 ، ... ، x_n ) مع (x_0 = a ، x_n = b ، ) و

[x_i − x_ {i − 1} = dfrac {b − a} {n} ]

لـ (i = 1،2،3 ، ... ، n. )

نشير إلى عرض كل فترة فرعية بالتدوين (Δx، ) لذا (Δx = frac {b − a} {n} ) و

[x_i = x_0 + iΔx ]

من أجل (i = 1،2،3 ، ... ، n. ) يتم استخدام فكرة تقسيم الفاصل ([a ، b] ) إلى فترات فرعية عن طريق تحديد النقاط من داخل الفاصل الزمني في كثير من الأحيان لتقريب المنطقة الواقعة أسفل منحنى ، لذلك دعونا نحدد بعض المصطلحات ذات الصلة.

التعريف: أقسام

مجموعة من النقاط (P = {x_i} ) لـ (i = 0،1،2،…، n ) مع (a = x_0 تقسيم من ([أ ، ب] ). إذا كانت جميع الفترات الفرعية لها نفس العرض ، فإن مجموعة النقاط تشكل أ قسم عادي (أو قسم موحد) للفاصل ([a، b]. )

يمكننا استخدام هذا التقسيم العادي كأساس لطريقة لتقدير المساحة أسفل المنحنى. ندرس بعد ذلك طريقتين: تقريب نقطة النهاية اليسرى وتقريب نقطة النهاية اليمنى.

القاعدة: تقريب نقطة النهاية اليسرى

في كل فترة فرعية ([x_ {i − 1}، x_i] ) (بالنسبة إلى (i = 1،2،3 ، ... ، n )) ، قم بإنشاء مستطيل بعرض (Δx ) وارتفاع يساوي (f (x_ {i − 1}) ) ، وهي قيمة الوظيفة عند نقطة النهاية اليسرى للفاصل الزمني الفرعي. إذن مساحة هذا المستطيل هي (f (x_ {i − 1}) Δx ). بإضافة مساحات كل هذه المستطيلات ، نحصل على قيمة تقريبية لـ (A ) (الشكل ( PageIndex {2} )). نستخدم الترميز (L_n ) للإشارة إلى أن هذا ملف تقريب نقطة النهاية اليسرى من (A ) باستخدام (n ) فترات فرعية.

[A≈L_n = f (x_0) Δx + f (x_1) Δx + ⋯ + f (xn − 1) Δx = sum_ {i = 1} ^ nf (x_ {i − 1}) Δx ]

الطريقة الثانية لتقريب المنطقة الواقعة أسفل المنحنى هي تقريب نقطة النهاية اليمنى. إنه تقريبًا نفس تقريب نقطة النهاية اليسرى ، ولكن يتم الآن تحديد ارتفاعات المستطيلات بواسطة قيم الوظيفة الموجودة على يمين كل فترة فرعية.

القاعدة: تقريب نقطة النهاية اليمنى

أنشئ مستطيلًا على كل فترة فرعية ([x_ {i − 1}، x_i] ) ، هذه المرة فقط يتم تحديد ارتفاع المستطيل بواسطة قيمة الوظيفة (f (x_i) ) عند نقطة النهاية اليمنى للفاصل الزمني الفرعي . بعد ذلك ، تكون مساحة كل مستطيل هي (f (x_i) ، Δx ) ويتم إعطاء تقريب (A ) بواسطة

[A≈R_n = f (x_1) Δx + f (x_2) Δx + ⋯ + f (x_n) Δx = sum_ {i = 1} ^ nf (x_i) Δx. ]

يشير الترميز (R_n ) إلى أن هذا ملف تقريب نقطة النهاية اليمنى لـ (A ) (الشكل ( PageIndex {3} )).

تمثل الرسوم البيانية في الشكل ( PageIndex {4} ) المنحنى (f (x) = dfrac {x ^ 2} {2} ). في الشكل ( PageIndex {4b} ) نقسم المنطقة الممثلة بالفاصل ([0،3] ) إلى ستة فترات فرعية ، كل منها بعرض (0.5 ). وهكذا ، (Δx = 0.5 ). ثم نشكل ستة مستطيلات برسم خطوط عمودية متعامدة مع (x_ {i − 1} ) ، نقطة النهاية اليسرى لكل فترة فرعية. نحدد ارتفاع كل مستطيل عن طريق حساب (f (x_ {i − 1}) ) لـ (i = 1،2،3،4،5،6. ) الفواصل الزمنية هي ([0،0.5 ] ، [0.5،1] ، [1،1.5] ، [1.5،2] ، [2،2.5] ، [2.5،3] ). نحسب مساحة كل مستطيل بضرب الارتفاع في العرض. بعد ذلك ، يقارب مجموع المساحات المستطيلة المساحة الواقعة بين (f (x) ) والمحور (x ). عندما يتم استخدام نقاط النهاية اليسرى لحساب الارتفاع ، يكون لدينا تقريب نقطة النهاية اليسرى. هكذا،

[ start {align *} A≈L_6 & = sum_ {i = 1} ^ 6f (x_ {i − 1}) Δx = f (x_0) Δx + f (x_1) Δx + f (x_2) Δx + و (x_3) Δx + f (x_4) Δx + f (x_5) Δx [4pt]
& = f (0) 0.5 + f (0.5) 0.5 + f (1) 0.5 + f (1.5) 0.5 + f (2) 0.5 + f (2.5) 0.5 [4pt]
& = (0) 0.5+ (0.125) 0.5+ (0.5) 0.5+ (1.125) 0.5+ (2) 0.5+ (3.125) 0.5 [4pt]
& = 0 + 0.0625 + 0.25 + 0.5625 + 1 + 1.5625 [4pt]
& = 3.4375 ، text {Units} ^ 2 end {align *} ]

في الشكل ( PageIndex {4b} ) ، نرسم خطوطًا عمودية متعامدة على (x_i ) بحيث تكون (x_i ) هي نقطة النهاية اليمنى لكل فترة فرعية ، ونحسب (f (x_i) ) لـ (أنا = 1،2،3،4،5،6 ). نضرب كل (f (x_i) ) في (Δx ) لإيجاد المساحات المستطيلة ، ثم نضيفها. هذا تقريب لنقطة النهاية اليمنى للمنطقة الواقعة تحت (f (x) ). هكذا،

[ start {align *} A≈R_6 & = sum_ {i = 1} ^ 6f (x_i) Δx = f (x_1) Δx + f (x_2) Δx + f (x_3) Δx + f (x_4) Δx + f (x_5) Δx + f (x_6) Δx [4pt]
& = f (0.5) 0.5 + f (1) 0.5 + f (1.5) 0.5 + f (2) 0.5 + f (2.5) 0.5 + f (3) 0.5 [4pt]
& = (0.125) 0.5+ (0.5) 0.5+ (1.125) 0.5+ (2) 0.5+ (3.125) 0.5+ (4.5) 0.5 [4pt]
& = 0.0625 + 0.25 + 0.5625 + 1 + 1.5625 + 2.25 [4pt]
& = 5.6875 ، text {Units} ^ 2. end {align *} ]

مثال ( PageIndex {4} ): تقريب المنطقة الواقعة أسفل منحنى

استخدم تقريب نقطة النهاية اليسرى ونقطة النهاية اليمنى لتقريب المنطقة الواقعة أسفل منحنى (f (x) = x ^ 2 ) على الفاصل ([0،2] ) ؛ استخدم (n = 4 ).

حل

أولاً ، قسّم الفاصل ([0،2] ) إلى (n ) فترات فرعية متساوية. باستخدام (n = 4، ، Δx = dfrac {(2−0)} {4} = 0.5 ). هذا هو عرض كل مستطيل. الفواصل الزمنية ([0،0.5] ، [0.5،1] ، [1،1.5] ، [1.5،2] ) موضحة في الشكل ( PageIndex {5} ). باستخدام تقريب نقطة النهاية اليسرى ، تكون الارتفاعات (f (0) = 0 ، ، f (0.5) = 0.25 ، ، f (1) = 1 ، ) و (f (1.5) = 2.25. ) ثم،

[ start {align *} L_4 & = f (x_0) )x + f (x_1) Δx + f (x_2) Δx + f (x_3) Δx [4pt] & = 0 (0.5) +0.25 (0.5) +1 (0.5) +2.25 (0.5) [4pt] & = 1.75 ، text {Units} ^ 2 end {align *} ]

يتم عرض تقريب نقطة النهاية اليمنى في الشكل ( PageIndex {6} ). الفواصل الزمنية هي نفسها ، (Δx = 0.5، ) ولكن الآن استخدم نقطة النهاية اليمنى لحساب ارتفاع المستطيلات. نحن لدينا

[ start {align *} R_4 & = f (x_1) Δx + f (x_2) Δx + f (x_3) Δx + f (x_4) Δx [4pt] & = 0.25 (0.5) +1 (0.5) +2.25 (0.5) +4 (0.5) [4pt] & = 3.75 ، text {Units} ^ 2 end {align *} ]

تقريب نقطة النهاية اليسرى هو (1.75 ، text {Units} ^ 2 )؛ تقريب نقطة النهاية اليمنى هو (3.75 ، نص {وحدات} ^ 2 ).

تمرين ( PageIndex {4} )

رسم تقريب لنقطة النهاية اليسرى ونقطة النهاية اليمنى لـ (f (x) = dfrac {1} {x} ) on ([1،2] ) ؛ استخدم (n = 4 ). تقريب المنطقة باستخدام كلتا الطريقتين.

تلميح

اتبع استراتيجية الحل في المثال ( PageIndex {4} ) خطوة بخطوة.

إجابه

تقريب نقطة النهاية اليسرى هو (0.7595 ، text {Units} ^ 2 ). تقريب نقطة النهاية اليمنى هو (0.6345 ، نص {وحدات} ^ 2 ). انظر أدناه وسائل الإعلام.

بالنظر إلى الشكل ( PageIndex {4} ) والرسوم البيانية في المثال ( PageIndex {4} ) ، يمكننا أن نرى أنه عندما نستخدم عددًا صغيرًا من الفواصل الزمنية ، فلا تقريب نقطة النهاية اليسرى ولا الزاوية اليمنى- تقريب نقطة النهاية هو تقدير دقيق بشكل خاص للمنطقة الواقعة أسفل المنحنى. ومع ذلك ، يبدو من المنطقي أنه إذا قمنا بزيادة عدد النقاط في قسمنا ، فإن تقديرنا لـ (A ) سيتحسن. سيكون لدينا المزيد من المستطيلات ، لكن كل مستطيل سيكون أرق ، لذلك سنتمكن من ملاءمة المستطيلات مع المنحنى بشكل أكثر دقة.

يمكننا توضيح التقريب المحسن الذي تم الحصول عليه من خلال فترات زمنية أصغر بمثال. دعنا نستكشف فكرة زيادة (n ) ، أولاً في تقريب نقطة النهاية اليسرى بأربعة مستطيلات ، ثم ثمانية مستطيلات ، وأخيراً (32 ) مستطيلات. بعد ذلك ، لنفعل الشيء نفسه في تقريب نقطة النهاية اليمنى ، باستخدام نفس مجموعات الفواصل ، لنفس المنطقة المنحنية. يوضح الشكل ( PageIndex {7} ) منطقة المنطقة الواقعة أسفل المنحنى (f (x) = (x − 1) ^ 3 + 4 ) على الفاصل ([0،2] ) باستخدام تقريب نقطة النهاية اليسرى حيث (n = 4. ) عرض كل مستطيل هو

[Δx = dfrac {2−0} {4} = dfrac {1} {2}. nonumber ]

يتم تقريب المنطقة بالمساحات المجمعة من المستطيلات ، أو

[L_4 = f (0) (0.5) + f (0.5) (0.5) + f (1) (0.5) + f (1.5) 0.5 = 7.5 ، text {Units} ^ 2 nonumber ]

يوضح الشكل ( PageIndex {8} ) نفس المنحنى مقسمًا إلى ثمانية فترات فرعية. بمقارنة الرسم البياني بأربعة مستطيلات في الشكل ( PageIndex {7} ) بهذا الرسم البياني الذي يحتوي على ثمانية مستطيلات ، يمكننا أن نرى أنه يبدو أن هناك مساحة بيضاء أقل أسفل المنحنى عندما (n = 8. ) هذه المساحة البيضاء هي منطقة أسفل المنحنى لا يمكننا تضمينها باستخدام تقريبنا. مساحة المستطيلات هي

[L_8 = f (0) (0.25) + f (0.25) (0.25) + f (0.5) (0.25) + f (0.75) (0.25) + f (1) (0.25) + f (1.25) (0.25) ) + f (1.5) (0.25) + f (1.75) (0.25) = 7.75 ، text {Units} ^ 2 nonumber ]

يوضح الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {9} ) نفس الوظيفة مع (32 ) مستطيلات منقوشة أسفل المنحنى. يبدو أنه لم يتبق سوى القليل من المساحة البيضاء. المساحة التي تحتلها المستطيلات هي

[L_ {32} = f (0) (0.0625) + f (0.0625) (0.0625) + f (0.125) (0.0625) + ⋯ + f (1.9375) (0.0625) = 7.9375 ، نص {وحدات} ^ 2. عدد ]

يمكننا تنفيذ عملية مماثلة لطريقة تقريب نقطة النهاية اليمنى. تقريب نقطة النهاية اليمنى لنفس المنحنى ، باستخدام أربعة مستطيلات (الشكل ( PageIndex {10} )) ، ينتج عنه مساحة

[R_4 = f (0.5) (0.5) + f (1) (0.5) + f (1.5) (0.5) + f (2) (0.5) = 8.5 ، text {Units} ^ 2. nonumber ]

ينتج عن تقسيم المنطقة على الفاصل ([0،2] ) إلى ثمانية مستطيلات (Δx = dfrac {2−0} {8} = 0.25. ) يظهر الرسم البياني في الشكل ( PageIndex { 11} ). المنطقة

[R_8 = f (0.25) (0.25) + f (0.5) (0.25) + f (0.75) (0.25) + f (1) (0.25) + f (1.25) (0.25) + f (1.5) (0.25) ) + f (1.75) (0.25) + f (2) (0.25) = 8.25 ، text {Units} ^ 2 nonumber ]

أخيرًا ، تقريب نقطة النهاية اليمنى مع (n = 32 ) قريب من المنطقة الفعلية (الشكل ( PageIndex {12} )). المنطقة تقريبا

[R_ {32} = f (0.0625) (0.0625) + f (0.125) (0.0625) + f (0.1875) (0.0625) + ⋯ + f (2) (0.0625) = 8.0625 ، text {Units} ^ 2 عدد ]

بناءً على هذه الأرقام والحسابات ، يبدو أننا نسير على الطريق الصحيح. يبدو أن المستطيلات تقارب المساحة الواقعة أسفل المنحنى بشكل أفضل حيث (n ) يكبر. علاوة على ذلك ، كلما زاد (n ) ، يبدو أن تقريب نقطة النهاية اليسرى ونقطة النهاية اليمنى يقترب من مساحة (8 ) وحدات مربعة. يعرض الجدول ( PageIndex {15} ) مقارنة عددية بين طرق نقطة النهاية اليمنى واليسرى. إن الفكرة القائلة بأن التقريبات للمنطقة الواقعة أسفل المنحنى تتحسن بشكل أفضل مع زيادة (n ) زيادة حجمها وأكبرها مهمة جدًا ، ونحن الآن نستكشف هذه الفكرة بمزيد من التفصيل.

الجدول ( PageIndex {15} ): القيم المتقاربة لتقريب نقطة النهاية اليمنى واليسرى مثل (n ) الزيادات
قيمة (n )المساحة التقريبية (L_n )المساحة التقريبية (R_n )
(ن = 4 )(7.5)(8.5)
(ن = 8 )(7.75)(8.25)
(ن = 32 )(7.94)(8.06)

تشكيل مجموع ريمان

حتى الآن ، نستخدم المستطيلات لتقريب المساحة الواقعة أسفل المنحنى. تم تحديد ارتفاعات هذه المستطيلات من خلال تقييم الوظيفة عند نقاط النهاية اليمنى أو اليسرى للفاصل الزمني الفرعي ([x_ {i − 1}، x_i] ). في الواقع ، لا يوجد سبب لقصر تقييم الوظيفة على إحدى هاتين النقطتين فقط. يمكننا تقييم الوظيفة في أي نقطة (x ^ ∗ _ i ) في الفاصل الزمني الفرعي ([x_ {i − 1} ، x_i] ) ، واستخدام (f (x ^ ∗ _ i) ) كالارتفاع من المستطيل لدينا. يعطينا هذا تقديرًا لمساحة الصورة

[A≈ sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) ، Δx. ]

يُطلق على مجموع هذا النموذج اسم Riemann sum ، الذي سمي على اسم عالم الرياضيات برنارد ريمان من القرن التاسع عشر ، الذي طور الفكرة.

التعريف: ريمان سوم

دع (f (x) ) يتم تعريفه على فاصل مغلق ([a، b] ) ولجعل (P ) أي قسم من ([a، b] ). لنفترض أن (Δx_i ) هو عرض كل فاصل زمني فرعي ([x_ {i، 1}، x_i] ) ولكل (i ), دع (x ^ ∗ _ i ) أي نقطة في ([x_ {i − 1} ، ، x_i] ). يتم تعريف مجموع Riemann لـ (f (x) ) على أنه

[ sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) ، Δx_i. ]

في هذه المرحلة ، سنختار قسمًا عاديًا (P ) ، كما هو موضح في الأمثلة أعلاه. يفرض هذا على جميع (Δx_i ) أن تكون مساوية لـ (Δx = dfrac {b-a} {n} ) لأي عدد طبيعي للفواصل الزمنية (n ).

تذكر أنه باستخدام تقريب نقطة النهاية اليمنى واليسرى ، يبدو أن التقديرات تتحسن بشكل أفضل حيث (n ) تصبح أكبر وأكبر. نفس الشيء يحدث مع مبالغ ريمان. تعطي مجاميع Riemann تقديرات تقريبية أفضل للقيم الأكبر لـ (n ). نحن الآن جاهزون لتحديد المنطقة الواقعة تحت المنحنى من حيث مبالغ ريمان.

التعريف: المنطقة الواقعة تحت المنحنى

لنفترض أن (f (x) ) دالة مستمرة وغير سالبة على فاصل زمني ([a، b] ) وليكن ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) ، Δx ) يكون مجموع Riemann لـ (f (x) ) مع قسم عادي (P ). ثم ، المنطقة الواقعة تحت المنحنى (y = f (x) ) في ([a، b] ) مُعطى بواسطة

[A = lim_ {n → ∞} sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) ، Δx. ]

شاهد عرضًا بيانيًا لبناء مجموع ريمان.

بعض التفاصيل الدقيقة هنا تستحق المناقشة. أولاً ، لاحظ أن أخذ حد المجموع يختلف قليلاً عن أخذ حد الدالة (f (x) ) حيث أن (x ) يذهب إلى ما لا نهاية. تمت مناقشة حدود المجاميع بالتفصيل في الفصل الخاص بالمتتابعات والمتسلسلات ؛ ومع ذلك ، في الوقت الحالي يمكننا أن نفترض أن التقنيات الحسابية التي استخدمناها لحساب حدود الوظائف يمكن أيضًا استخدامها لحساب حدود المجاميع.

ثانيًا ، يجب أن نفكر في ما يجب فعله إذا تقارب التعبير إلى حدود مختلفة لاختيارات مختلفة لـ ({x ^ ∗ _ i}. ) لحسن الحظ ، لم يحدث هذا. على الرغم من أن الإثبات خارج نطاق هذا النص ، يمكن إثبات أنه إذا كان (f (x) ) مستمرًا في الفترة المغلقة ([a، b] ) ، إذن ( displaystyle lim_ {n → ∞} sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) Δx ) موجود وفريد ​​(بمعنى آخر ، لا يعتمد على اختيار ({x ^ ∗ _ i} )).

سنلقي نظرة على بعض الأمثلة بعد قليل. ولكن ، قبل أن نفعل ذلك ، دعنا نتوقف لحظة ونتحدث عن بعض الخيارات المحددة لـ ({x ^ ∗ _ i} ). على الرغم من أن أي اختيار لـ ({x ^ ∗ _ i} ) يعطينا تقديرًا للمنطقة الواقعة تحت المنحنى ، إلا أننا لا نعرف بالضرورة ما إذا كان هذا التقدير مرتفعًا جدًا (مبالغة في التقدير) أو منخفضًا جدًا (أقل من التقدير). إذا كان من المهم معرفة ما إذا كان تقديرنا مرتفعًا أم منخفضًا ، فيمكننا تحديد قيمة ({x ^ ∗ _ i} ) لضمان نتيجة أو أخرى.

إذا أردنا تقديرًا مبالغًا فيه ، على سبيل المثال ، يمكننا اختيار ({x ^ ∗ _ i} ) مثل ذلك لـ (i = 1،2،3 ، ... ، n ، ) (f (x ^ ∗ _ i) ≥f (x) ) للجميع (x∈ [x_i − 1، x_i] ). بمعنى آخر ، نختار ({x ^ ∗ _ i} ) بحيث يكون (i = 1،2،3 ، ... ، n ، ) (f (x ^ ∗ _ i) ) هو الحد الأقصى للدالة القيمة على الفاصل ([x_ {i − 1}، x_i] ). إذا حددنا ({x ^ ∗ _ i} ) بهذه الطريقة ، فإن Riemann sum ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) Δx ) يسمى المبلغ العلوي. وبالمثل ، إذا أردنا تقديرًا أقل من الواقع ، فيمكننا اختيار ({x ∗ i} ) بحيث يكون ذلك لـ (i = 1،2،3 ، ... ، n ، ) (f (x ^ ∗ _ i) ) هي أدنى قيمة للدالة في الفترة ([x_ {i − 1}، x_i] ). في هذه الحالة ، يسمى مجموع ريمان المرتبط a مبلغ أقل. لاحظ أنه إذا كان (f (x) ) يتزايد أو يتناقص خلال الفاصل الزمني ([a، b] ) ، فإن قيم الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة تحدث عند نقاط نهاية الفترات الفرعية ، وبالتالي المجاميع السفلية هي نفس تقريب نقطتي النهاية اليمنى واليسرى.

مثال ( PageIndex {5} ): البحث عن المجموع الأدنى والأعلى

ابحث عن مجموع أقل لـ (f (x) = 10 − x ^ 2 ) في ([1،2] ) ؛ السماح (n = 4 ) فترات فرعية.

حل

مع (n = 4 ) عبر الفاصل ([1،2] ، ، Δx = dfrac {1} {4} ). يمكننا سرد الفواصل الزمنية كـ ([1،1.25] ، ، [1.25،1.5] ، ، [1.5،1.75] ، ) و ([1.75،2] ). نظرًا لأن الوظيفة تتناقص خلال الفاصل الزمني ([1،2] ، ) يوضح الشكل أنه يتم الحصول على مجموع أقل باستخدام نقاط النهاية اليمنى.

مجموع ريمان هو

[ start {align *} sum_ {k = 1} ^ 4 (10 − x ^ 2) (0.25) & = 0.25 [10− (1.25) ^ 2 + 10− (1.5) ^ 2 + 10− ( 1.75) ^ 2 + 10− (2) ^ 2] [4pt]
& = 0.25 [8.4375 + 7.75 + 6.9375 + 6] [4pt]
& = 7.28 ، text {Units} ^ 2. end {align *} ]

مساحة (7.28 ) ( text {Units} ^ 2 ) هي مجموع أقل وأقل من الواقع.

تمرين ( PageIndex {5} )

  1. ابحث عن مجموع أكبر لـ (f (x) = 10 − x ^ 2 ) في ([1،2] ) ؛ اسمحوا (n = 4. )
  2. ارسم التقريب.
تلميح

(f (x) ) يتناقص في ([1،2] ) ، لذلك تحدث قيم الدالة القصوى عند نقاط النهاية اليسرى للفترات الفرعية.

إجابه

أ. المجموع العلوي = (8.0313 ، نص {وحدات} ^ 2. )

ب.

مثال ( PageIndex {6} ): إيجاد المجموع السفلي والعلوي لـ (f (x) = sin x )

ابحث عن مجموع أقل لـ (f (x) = sin x ) على الفاصل ([a، b] = left [0، frac {π} {2} right] ) ؛ اسمحوا (n = 6. )

حل

دعنا نلقي أولاً نظرة على الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {14} ) للحصول على فكرة أفضل عن مجال الاهتمام.

الفواصل الزمنية هي ( left [0، frac {π} {12} right]، ، left [ frac {π} {12}، frac {π} {6} right]، ، left [ frac {π} {6} ، frac {π} {4} right] ، ، left [ frac {π} {4} ، frac {π} {3} right] ، ، left [ frac {π} {3} ، frac {5π} {12} right] ) ، و ( left [ frac {5π} {12} ، frac {π} {2 }حق]). لاحظ أن (f (x) = sin x ) يتزايد على الفاصل ( left [0، frac {π} {2} right] ) ، لذا فإن تقريب نقطة النهاية اليسرى يعطينا القيمة الأدنى مجموع. تقريب نقطة النهاية اليسرى هو مجموع Riemann ( sum_ {i = 0} ^ 5 sin x_i left ( tfrac {π} {12} right) ). لدينا

[A≈ sin (0) left ( tfrac {π} {12} right) + sin left ( tfrac {π} {12} right) left ( tfrac {π} {12 } right) + sin left ( tfrac {π} {6} right) left ( tfrac {π} {12} right) + sin left ( tfrac {π} {4} يمين) يسار ( tfrac {π} {12} right) + sin left ( tfrac {π} {3} right) left ( tfrac {π} {12} right) + sin يسار ( tfrac {5π} {12} يمين) يسار ( tfrac {π} {12} right) حوالي 0.863 ، نص {وحدات} ^ 2. لا يوجد رقم]

تمرين ( PageIndex {6} )

باستخدام الدالة (f (x) = sin x ) على الفاصل ( left [0، frac {π} {2} right]، ) ابحث عن مجموع أعلى ؛ اسمحوا (n = 6. )

تلميح

اتبع الخطوات من مثال ( PageIndex {6} ).

إجابه

(A≈1.125 ، نص {وحدات} ^ 2 )

المفاهيم الرئيسية

  • استخدام تدوين سيجما (التجميع) للنموذج ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ na_i ) مفيد للتعبير عن مجاميع طويلة من القيم في شكل مضغوط.
  • لوظيفة مستمرة محددة خلال فترة ([أ ، ب] ، ) عملية تقسيم الفاصل الزمني إلى (n ) أجزاء متساوية ، وتوسيع مستطيل للرسم البياني للدالة ، وحساب مناطق سلسلة المستطيلات ، ثم جمع المساحات ينتج عنه تقريب لمساحة تلك المنطقة.
  • عند استخدام قسم عادي ، يكون عرض كل مستطيل (Δx = dfrac {b − a} {n} ).
  • مبالغ ريمان هي تعبيرات من النموذج ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) Δx، ) ويمكن استخدامها لتقدير المساحة الواقعة أسفل المنحنى (y = f (x). ) تعد تقريب نقطة النهاية اليمنى واليسرى أنواعًا خاصة من مجموع Riemann حيث يتم اختيار قيم ({x ^ ∗ _ i} ) لتكون نقاط النهاية اليسرى أو اليمنى للفترات الفرعية ، على التوالي.
  • تتيح مجاميع Riemann قدرًا كبيرًا من المرونة في اختيار مجموعة النقاط ({x ^ ∗ _ i} ) التي يتم من خلالها تقييم الوظيفة ، غالبًا مع الحرص على الحصول على مجموع أقل أو مبلغ أعلى.

المعادلات الرئيسية

  • خصائص تدوين سيجما

[ start {align *} sum_ {i = 1} ^ nc & = nc [4pt]
sum_ {i = 1} ^ nca_i & = c sum_ {i = 1} ^ na_i [4pt]
sum_ {i = 1} ^ n (a_i + b_i) & = sum_ {i = 1} ^ na_i + sum_ {i = 1} ^ nb_i [4pt]
sum_ {i = 1} ^ n (a_i − b_i) & = sum_ {i = 1} ^ na_i− sum_ {i = 1} ^ nb_i [4pt]
sum_ {i = 1} ^ na_i & = sum_ {i = 1} ^ ma_i + sum_ {i = m + 1} ^ na_i end {align *} ]

  • مبالغ وصلاحيات الأعداد الصحيحة

[ sum_ {i = 1} ^ ni = 1 + 2 + ⋯ + n = dfrac {n (n + 1)} {2} nonumber ]

[ sum_ {i = 1} ^ ni ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + ⋯ + n ^ 2 = dfrac {n (n + 1) (2n + 1)} {6} non Number ]

[ sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + ⋯ + n ^ 3 = dfrac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2} {4} non Number ]

  • تقريب نقطة النهاية اليسرى

(A≈L_n = f (x_0) Δx + f (x_1) Δx + ⋯ + f (x_ {n − 1}) Δx = displaystyle sum_ {i = 1} ^ nf (x_ {i − 1}) Δx )

  • تقريب نقطة النهاية اليمنى

(A≈R_n = f (x_1) Δx + f (x_2) Δx + ⋯ + f (x_n) Δx = displaystyle sum_ {i = 1} ^ nf (x_i) Δx)

قائمة المصطلحات

تقريب نقطة النهاية اليسرى
تقريب للمساحة الواقعة أسفل منحنى محسوبة باستخدام نقطة النهاية اليسرى لكل فاصل زمني فرعي لحساب ارتفاع الجوانب الرأسية لكل مستطيل
مبلغ أقل
مبلغ تم الحصول عليه باستخدام الحد الأدنى لقيمة (f (x) ) في كل فترة فرعية
تقسيم
مجموعة من النقاط التي تقسم الفاصل الزمني إلى فترات فرعية
قسم عادي
قسم يكون فيه كل الفترات الفرعية بنفس العرض
ريمان سوم
تقدير للمساحة الواقعة أسفل منحنى النموذج (A≈ displaystyle sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) Δx )
تقريب نقطة النهاية اليمنى
تقريب نقطة النهاية اليمنى هو تقريب لمساحة المستطيلات تحت منحنى باستخدام نقطة النهاية اليمنى لكل فترة فرعية لإنشاء الجوانب الرأسية لكل مستطيل
تدوين سيجما
(أيضا، تدوين الجمع) يشير الحرف اليوناني سيجما ( (Σ )) إلى إضافة القيم ؛ تشير قيم الفهرس أعلى وأسفل سيجما إلى مكان بدء الجمع وأين ينتهي
المبلغ العلوي
مبلغ تم الحصول عليه باستخدام الحد الأقصى لقيمة (f (x) ) في كل فترة فرعية

مناطق برودمان

تم تحديدها وترقيمها في الأصل إلى 52 منطقة بواسطة عالم التشريح الألماني كوربينيان برودمان في أوائل القرن العشرين ، مناطق برودمان يتم تحديد القشرة الدماغية من خلال الهيكل الخلوي (الهيكل النسيجي والتنظيم الخلوي).

من المهم أن نتذكر أن نفس أرقام منطقة برودمان في البشر والرئيسيات لا تُترجم غالبًا إلى أنواع أخرى. بالإضافة إلى ذلك ، تم إعادة تعريف مناطق برودمان هذه ومناقشتها ومناقشتها وصقلها بشكل شامل بناءً على الهندسة الخلوية والوظائف القشرية وليونة الدماغ.

حقائق أساسية عن مناطق برودمان
المناطق 1 و 2 و 3 القشرة الحسية الجسدية الأولية (التلفيف اللاحق المركزي)
المنطقة 4 القشرة الحركية الأولية (التلفيف الأولي)
المنطقة 5 قشرة ارتباط الحسية الجسدية
المنطقة 6 القشرة الحركية السابقة والحركية التكميلية
المنطقة 9 القشرة الظهرية الوحشية / القشرة الأمامية الأمامية (تخطيط وتنظيم المحرك)
المنطقة 10 قشرة الفص الجبهي الأمامي (استرجاع الذاكرة)
المنطقة 17 القشرة البصرية الأولية
المنطقة 22 القشرة السمعية الأولية
المنطقة 37 التلفيف الخارجي الصدغي (المغزلي)
المناطق 22 ، 39 ، 40 منطقة Wernicke (فهم اللغة)
المناطق 44 و 45 منطقة بروكا (برمجة الكلام الحركي)

ستناقش هذه المقالة مناطق برودمان ووظائفها.


التعريف والترميز

ال انتجرا محدديعمم مفهوم المنطقة الواقعة تحت المنحنى. نرفع المتطلبات التي كن مستمرًا وغير سلبي ، وحدد التكامل المحدد على النحو التالي.

تعريف

إذا هي وظيفة محددة في فترة لا يتجزأ من من عند ل اعطي من قبل

بشرط وجود الحد. إذا كان هذا الحد موجودًا ، فإن الوظيفة يقال أنه قابل للتكامل على أو هي وظيفة قابلة للتكامل.

يجب أن يبدو الرمز المتكامل في التعريف السابق مألوفًا. لقد رأينا تدوينًا مشابهًا في الفصل الخاص بتطبيقات المشتقات ، حيث استخدمنا رمز التكامل غير المحدد (بدون و أعلاه وأدناه) لتمثيل المشتق العكسي. على الرغم من أن تدوين التكاملات غير المحددة قد يبدو مشابهًا لتدوين تكامل محدد ، إلا أنهما ليسا متطابقين. التكامل المحدد هو الرقم. التكامل غير المحدود هو مجموعة من الوظائف. لاحقًا في هذا الفصل ، ندرس كيفية ارتباط هذه المفاهيم. ومع ذلك ، يجب دائمًا إيلاء اهتمام وثيق للتدوين حتى نعرف ما إذا كنا نعمل مع تكامل محدد أو تكامل غير محدد.

يعود التدوين المتكامل إلى أواخر القرن السابع عشر وهو أحد مساهمات جوتفريد فيلهلم ليبنيز ، الذي غالبًا ما يُعتبر مكتشف الشفرات في حساب التفاضل والتكامل ، جنبًا إلى جنب مع إسحاق نيوتن. رمز التكامل ∫ هو حرف S ممدود ، مما يشير إلى سيجما أو الجمع. على تكامل محدد ، أعلى وأسفل رمز الجمع هي حدود الفاصل الزمني ، الارقام و نكون - القيم وتسمى حدود التكامل على وجه التحديد ، هو الحد الأدنى و هو الحد الأعلى. للتوضيح ، نحن نستخدم الكلمة حد بطريقتين مختلفتين في سياق التكامل المحدد. أولاً ، نتحدث عن حد المجموع كـ ثانيًا ، تسمى حدود المنطقة ب حدود التكامل.

نسمي الوظيفة ال Integrand، و ال dx يدل علي هي وظيفة فيما يتعلق ، ودعا متغير التكامل. لاحظ أنه ، مثل الفهرس في المجموع ، متغير التكامل متغير وهمي ، وليس له أي تأثير على حساب التكامل. يمكننا استخدام أي متغير نحبه كمتغير للتكامل:

في السابق ، ناقشنا حقيقة أنه إذا مستمر على ثم الحد موجود وفريد. هذا يقودنا إلى النظرية التالية التي نقولها دون برهان.

الوظائف المستمرة قابلة للتكامل

إذا مستمر على ومن بعد قابل للتكامل في

الوظائف التي لا يتم تشغيلها بشكل مستمر قد يكون لا يزال قابلاً للتكامل ، اعتمادًا على طبيعة الانقطاعات. على سبيل المثال ، الدوال ذات عدد محدود من فترات انقطاع الانتقال على فاصل زمني مغلق قابلة للتكامل.

ومن الجدير بالذكر هنا أيضًا أننا احتفظنا باستخدام التقسيم العادي في مبالغ ريمان. هذا القيد ليس ضروريًا تمامًا. يمكن استخدام أي قسم لتكوين مجموع Riemann. ومع ذلك ، إذا تم استخدام قسم غير منتظم لتعريف التكامل المحدد ، فلا يكفي أن تأخذ الحد لأن عدد الفترات الفرعية ينتقل إلى ما لا نهاية. بدلاً من ذلك ، يجب أن نأخذ النهاية لأن عرض أكبر فترة فرعية يذهب إلى الصفر. يقدم هذا تدوينًا أكثر تعقيدًا في حدودنا ويجعل الحسابات أكثر صعوبة دون اكتساب المزيد من البصيرة الإضافية ، لذلك نتمسك بالأقسام العادية لمجموع ريمان.

تقييم التكامل باستخدام التعريف

Use the definition of the definite integral to evaluate Use a right-endpoint approximation to generate the Riemann sum.

We first want to set up a Riemann sum. Based on the limits of integration, we have و ل يترك be a regular partition of ثم

Since we are using a right-endpoint approximation to generate Riemann sums, for each أنا, we need to calculate the function value at the right endpoint of the interval The right endpoint of the interval is and since ص is a regular partition,

Thus, the function value at the right endpoint of the interval is

Then the Riemann sum takes the form

Using the summation formula for نحن لدينا

Now, to calculate the definite integral, we need to take the limit as We get

Use the definition of the definite integral to evaluate Use a right-endpoint approximation to generate the Riemann sum.


What Is Simpson’s 1/3 Rule?

Simpson’s Rule is named after the English mathematician Thomas Simpson who was from Leicestershire England. But for some reason, the formulas used in this method of area approximation were similar to Johannes Kepler’s formulas used over 100 years prior. That is the reason why many mathematicians call this method the Kepler’s Rule.

Simpson’s Rule is considered as a very diverse numerical integration technique. It is entirely based on the type of interpolation you will use. Simpson’s 1/3 Rule or Composite Simpson’s Rule is based upon a quadratic interpolation while Simpson’s 3/8 Rule is based upon a cubic interpolation. Among all methods of area approximation, Simpson’s 1/3 Rule gives the most accurate area because parabolas are used to approximate each part of the curve, and not rectangles or trapezoids.

Area Approximation Using Simpson&aposs 1/3 Rule

Simpson&aposs 1/3 Rule states that if y0, y1, y2. ذ3 (n is even) are the lengths of a series of parallel chords of uniform interval d, the area of the figure enclosed above is given approximately by the formula below. Note that if the figure ends with points, then take y0 = yن = 0.


Example: Configuring OSPF Stub and Totally Stubby Areas

This example shows how to configure an OSPF stub area and a totally stubby area to control the advertisement of external routes into an area.

Requirements

  • Configure the device interfaces. See the Interfaces Feature Guide for Security Devices.
  • Configure the router identifiers for the devices in your OSPF network. See Example: Configuring an OSPF Router Identifier.
  • Control OSPF designated router election. See Example: Controlling OSPF Designated Router Election
  • Configure a multiarea OSPF network. See Example: Configuring a Multiarea OSPF Network.

ملخص

The backbone area, which is 0 in Figure 2, has a special function and is always assigned the area ID 0.0.0.0. Area IDs are unique numeric identifiers, in dotted decimal notation. Area IDs need only be unique within an autonomous system (AS). All other networks or areas (such as 3, 7, and 9) in the AS must be directly connected to the backbone area by area border routers (ABRs) that have interfaces in more than one area.

Stub areas are areas through which or into which OSPF does not flood AS external link-state advertisements (Type 5 LSAs). You might create stub areas when much of the topology database consists of AS external advertisements and you want to minimize the size of the topology databases on the internal routers in the stub area.

The following restrictions apply to stub areas:

  • You cannot create a virtual link through a stub area.
  • A stub area cannot contain an AS boundary router.
  • You cannot configure the backbone as a stub area.
  • You cannot configure an area as both a stub area and an not-so-stubby area (NSSA).

In this example, you configure each routing device in area 7 (area ID 0.0.0.7) as a stub router and some additional settings on the ABR:

  • stub —Specifies that this area become a stub area and not be flooded with Type 5 LSAs. You must include the stub statement on all routing devices that are in area 7 because this area has no external connections.
  • default-metric —Configures the ABR to generate a default route with a specified metric into the stub area. This default route enables packet forwarding from the stub area to external destinations. You configure this option only on the ABR. The ABR does not automatically generate a default route when attached to a stub. You must explicitly configure this option to generate a default route.
  • no-summaries —(Optional) Prevents the ABR from advertising summary routes into the stub area by converting the stub area into a totally stubby area. If configured in combination with the default-metric statement, a totally stubby area only allows routes internal to the area and advertises the default route into the area. External routes and destinations to other areas are no longer summarized or allowed into a totally stubby area. Only the ABR requires this additional configuration because it is the only routing device within the totally stubby area that creates Type 3 LSAs used to receive and send traffic from outside of the area.

In Junos OS Release 8.5 and later, the following applies:

  • A router-identifier interface that is not configured to run OSPF is no longer advertised as a stub network in OSPF LSAs.
  • OSPF advertises a local route with a prefix length of 32 as a stub link if the loopback interface is configured with a prefix length other than 32. OSPF also advertises the direct route with the configured mask length, as in earlier releases.

Figure 2: OSPF Network Topology with Stub Areas and NSSAs

Configuration

CLI Quick Configuration

  • To quickly configure an OSPF stub area, copy the following command and paste it into the CLI. You must configure all routing devices that are part of the stub area.

Step-by-Step Procedure

To configure OSPF stub areas:

ملحوظة: To specify an OSPFv3 stub area, include the ospf3 statement at the [edit protocols] hierarchy level.

نتائج

Confirm your configuration by entering the show protocols ospf command. If the output does not display the intended configuration, repeat the instructions in this example to correct the configuration.

Configuration on all routing devices:

Configuration on the ABR (the output also includes the optional setting):

To confirm your OSPFv3 configuration, enter the show protocols ospf3 command.

Verification

Confirm that the configuration is working properly.

Verifying the Interfaces in the Area

غرض

Verify that the interface for OSPF has been configured for the appropriate area. Confirm that the output includes Stub as the type of OSPF area.

Action

From operational mode, enter the show ospf interface detail command for OSPFv2, and enter the show ospf3 interface detail command for OSPFv3.

Verifying the Type of OSPF Area

غرض

Verify that the OSPF area is a stub area. Confirm that the output displays Normal Stub as the Stub type.

Action

From operational mode, enter the show ospf overview command for OSPFv2, and enter the show ospf3 overview command for OSPFv3.


Russia threatened to vaporize US cities — here are the areas in the US most likely to be hit in a nuclear attack

Russian state media on Sunday made a shocking threat, even by its own extreme standards, that detailed how Moscow would annihilate US cities and areas after a nuclear treaty collapsed and put the Cold War rivals back in targeting mode.

Russian President Vladimir Putin has threatened a new Cuban Missile Crisis with deployments near the US's borders and to aim missiles at the cities that command armed forces — but Russia's media took it a step further by naming their new targets.

Hyping up a new hypersonic nuclear-capable missile, Russian state TV on Sunday evening said the Pentagon, Camp David, Jim Creek Naval Radio Station in Washington, Fort Ritchie in Maryland, and McClellan Air Force Base in California, would be targets, according to Reuters .

But the latter two have been closed for about two decades, making them strange choices for targets.

With most everything from the Russia or its heavily censored media, it's best to take its claims with a grain of salt. Instead of taking Russia's word for it when it comes to nuclear targets, Business Insider got an expert opinion on where Moscow would need to strike.

Since the Cold War, the US and Russia have drawn up plans on how to best wage nuclear war against each other and while large population centers with huge cultural impact may seem like obvious choices, a smarter nuclear attack would focus on countering the enemy's nuclear forces.

So although people in New York City or Los Angeles may see themselves as being in the center of the world, in terms of nuclear-target priorities, they're not as important as states like North Dakota or Montana.

According to Stephen Schwartz, the author of "Atomic Audit: The Costs and Consequences of US Nuclear Weapons Since 1940," as the Cold War progressed and improvements in nuclear weapons and intelligence-collection technologies enabled greater precision in where those weapons were aimed, the emphasis in targeting shifted from cities to nuclear stockpiles and nuclear war-related infrastructure.

This map shows the essential points Russia would have to attack to wipe out the US's nuclear forces, according to Schwartz:

This map represents targets for an all-out attack on the US's fixed nuclear infrastructure, weapons, and command-and-control centers, but even a massive strike like this wouldn't guarantee anything.

"It's exceedingly unlikely that such an attack would be fully successful," Schwartz told Business Insider. "There's an enormous amount of variables in pulling off an attack like this flawlessly, and it would have to be flawless. If even a handful of weapons escape, the stuff you missed will be coming back at you."

Even if every single US intercontinental ballistic missile silo, stockpiled nuclear weapon, and nuclear-capable bomber were flattened, US nuclear submarines could — and would — retaliate.

According to Schwartz, at any given time, the US has four to five nuclear-armed submarines "on hard alert, in their patrol areas, awaiting orders for launch."

Even high-ranking officials in the US military don't know where the silent submarines are, and there's no way Russia could chase them all down before they fired back, which Schwartz said could be done in as little as 5 to 15 minutes.

But a strike on a relatively sparsely populated area could still lead to death and destruction across the US, depending on how the wind blew. That's because of fallout.

The US has strategically positioned the bulk of its nuclear forces, which double as nuclear targets, far from population centers. But if you happen to live next to an ICBM silo, fear not.

There's a "0.0% chance" that Russia could hope to survive an act of nuclear aggression against the US, according to Schwartz. So while we all live under a nuclear "sword of Damocles," Schwartz added, people in big cities like New York and Los Angeles most likely shouldn't worry about being struck by a nuclear weapon.


What is PMBOK Knowledge Areas?

The overarching piece of our matrix are the Knowledge Areas. Each Knowledge Area is made up of a set of processes, each with inputs, tools and techniques, and outputs. These processes, together, accomplish proven project management functions and drive project success. Thus, the Knowledge Areas as shown in Figure 2, are formed by grouping the 47 processes of project management into specialized and focused areas. Knowledge Areas also assume specific skills and experience in order to accomplish project goals.


16 U.S. Code § 1133 - Use of wilderness areas

Except as otherwise provided in this chapter, each agency administering any area designated as wilderness shall be responsible for preserving the wilderness character of the area and shall so administer such area for such other purposes for which it may have been established as also to preserve its wilderness character. Except as otherwise provided in this chapter, wilderness areas shall be devoted to the public purposes of recreational, scenic, scientific, educational, conservation, and historical use.

Except as specifically provided for in this chapter, and subject to existing private rights, there shall be no commercial enterprise and no permanent road within any wilderness area designated by this chapter and, except as necessary to meet minimum requirements for the administration of the area for the purpose of this chapter (including measures required in emergencies involving the health and safety of persons within the area), there shall be no temporary road, no use of motor vehicles, motorized equipment or motorboats, no landing of aircraft, no other form of mechanical transport, and no structure or installation within any such area.

Within wilderness areas designated by this chapter the use of aircraft or motorboats, where these uses have already become established, may be permitted to continue subject to such restrictions as the Secretary of Agriculture deems desirable. In addition, such measures may be taken as may be necessary in the control of fire, insects, and diseases, subject to such conditions as the Secretary deems desirable.

Nothing in this chapter shall prevent within national forest wilderness areas any activity, including prospecting, for the purpose of gathering information about mineral or other resources, if such activity is carried on in a manner compatible with the preservation of the wilderness environment. Furthermore, in accordance with such program as the Secretary of the Interior shall develop and conduct in consultation with the Secretary of Agriculture, such areas shall be surveyed on a planned, recurring basis consistent with the concept of wilderness preservation by the United States Geological Survey and the United States Bureau of Mines to determine the mineral values, if any, that may be present and the results of such surveys shall be made available to the public and submitted to the President and Congress .

Notwithstanding any other provisions of this chapter, until midnight December 31, 1983 , the United States mining laws and all laws pertaining to mineral leasing shall, to the same extent as applicable prior to September 3, 1964 , extend to those national forest lands designated by this chapter as “wilderness areas” subject, however, to such reasonable regulations governing ingress and egress as may be prescribed by the Secretary of Agriculture consistent with the use of the land for mineral location and development and exploration, drilling, and production, and use of land for transmission lines, waterlines, telephone lines, or facilities necessary in exploring, drilling, producing, mining, and processing operations, including where essential the use of mechanized ground or air equipment and restoration as near as practicable of the surface of the land disturbed in performing prospecting, location, and, in oil and gas leasing, discovery work, exploration, drilling, and production, as soon as they have served their purpose. Mining locations lying within the boundaries of saidDecember 31, 1983 , except for the valid claims existing on or before December 31, 1983 . Mining claims located after September 3, 1964 , within the boundaries ofJanuary 1, 1984 , the minerals in lands designated by this chapter as (4) Water resources, reservoirs, and other facilities grazing

Within wilderness areas in the national forests designated by this chapter, (1) the President may, within a specific area and in accordance with such regulations as he may deem desirable, authorize prospecting for water resources, the establishment and maintenance of reservoirs, water-conservation works, power projects, transmission lines, and other facilities needed in the public interest, including the road construction and maintenance essential to development and use thereof, upon his determination that such use or uses in the specific area will better serve the interests of the United States and the people thereof than will its denial and (2) the grazing of livestock, where established prior to September 3, 1964 , shall be permitted to continue subject to such reasonable regulations as are deemed necessary by the Secretary of Agriculture.

Commercial services may be performed within the wilderness areas designated by this chapter to the extent necessary for activities which are proper for realizing the recreational or other wilderness purposes of the areas.

Nothing in this chapter shall constitute an express or implied claim or denial on the part of the Federal Government as to exemption from State water laws.

Nothing in this chapter shall be construed as affecting the jurisdiction or responsibilities of the several States with respect to wildlife and fish in the national forests.


Different areas can spawn different kinds of leaves. (Note: Fruits and Seeds can spawn in all areas.)

Currently available areas include:

  • Home Garden - Free (Starting Area). Types of leaves: ,
  • Neighbors' Garden - 5 Coins. Types of leaves: , ,
  • Mountain - 10 Coins. Types of leaves: , , ,
  • Space - 50 Coins. Types of leaves: , , , ,
  • The Void - 2500 Coins. Types of leaves: , , , , ,
  • The Abyss - 1m Strange Flasks. Types of leaves: ,
  • The Celestial Plane - 1m BLC Coins, Types of leaves: ,
  • The Mythical Garden - 50m BLC Coins, Types of leaves: , ,
  • The Volcano (!)- 500m BLC Coins, Types of leaves: , , ,
  • The Abandoned Research Station - 1b BLC coins, Types of leaves: , , ,
  • The Hidden Sea (!) - Water Seal Artifact, Types of leaves: , , , ,
  • The Moon - 50b BLC coins and floor 120 on the leaf tower,
  • Leafsink Harbor - 15b BLC coins, Types of leaves:, , , ,
  • The Cheese Pub - 500 Borbs, Types of leaves: None
  • The Leaf Tower (!) - 100b BLC coins, Types of leaves: , , , , , ,
  • Your House - 300 Cheese, Types of leaves: None

Dangerous Areas (!) - Areas marked with (!) actually deal damage to the player while they are in the area. Such inhospitable places take special upgrades and skills to navigate safely. If your health is reduced to 0 in one of these areas, you will be sent back to Home Garden or Teleported to any selected Area in the Areas tab if the "Area Teleport Bot" upgrade has been purchased in the BLC shop.


5.1: Approximating Areas



Urban population growth from now to 2030
Capital cities
World's largest cities
and their mayors 2010
World's largest cities 2007
Fastest growing cities 2007
Largest cities in the world
Largest urban areas
Richest cities in th world
Largest European cities
Largest US cities
Largest Canadian cities
Largest Brazilian cities
Largest German cities
Largest French cities
Largest French urban areas
Largest UK cities
Largest Italian cities
Largest Spanish cities
Largest Indian cities
Largest Japanese cities
Top US eCities
Top European eCities
Directories
Urbanisation 2008 to 2030


Worldwide | Elections | North America | Latin America | Europe | Asia | Africa |


























The world&rsquos largest cities and urban areas in 2020 Urban areas ranked 1 to 100

The tables provide population figures for cities and their surrounding urban areas. Most such agglomerations are economically, socially and culturally dominated by one city at their centre. Occasionally however, several cities of similar status and their suburbs make up an urban area. The 2020 population figures were calculated using the 2006 data as base and applying annual rates of population changes. The average annual rates of population changes are assumptions based on past growth/decline and forecasts by international and national statistics organisations.

THE LARGEST CITIES IN THE WORLD AND THEIR MAYORS 2010
مقدمة
Cities by size: 1 to 150 | 151 to 300 | 301 to 450 | 451 to 550 |
Cities in alphabetical order: A to D | E to L | M to R | S to Z |
Cities by countries: A to D | E to L | M to R | S to Z |


شاهد الفيديو: - Areas u0026 Distances Riemann Sums, Right,Left,Midpoints (شهر اكتوبر 2021).