مقالات

7.4: الكسور الجزئية - الرياضيات


أهداف التعلم

  • تكامل دالة كسرية باستخدام طريقة الكسور الجزئية.
  • يتعرف على العوامل الخطية البسيطة في دالة كسرية.
  • يتعرف على العوامل الخطية المتكررة في دالة كسرية.
  • يتعرف على العوامل التربيعية في دالة كسرية.

لقد رأينا بعض التقنيات التي تسمح لنا بدمج وظائف عقلانية محددة. على سبيل المثال ، نحن نعلم ذلك

[ int dfrac {du} {u} = ln | u | + C nonumber ]

و

[ int dfrac {du} {u ^ 2 + a ^ 2} = dfrac {1} {a} tan ^ {- 1} left ( dfrac {u} {a} right) + C .لا يوجد رقم]

ومع ذلك ، ليس لدينا حتى الآن تقنية تسمح لنا بمعالجة حواجز عشوائية من هذا النوع. وبالتالي ، ليس من الواضح على الفور كيفية الشروع في التقييم

[ int dfrac {3x} {x ^ 2 − x − 2} dx. nonumber ]

ومع ذلك ، فإننا نعلم من المواد التي سبق تطويرها

[ int left ( dfrac {1} {x + 1} + dfrac {2} {x − 2} right) ، dx = ln | x + 1 | +2 ln | x − 2 | + ج. عدد ]

في الواقع ، من خلال الحصول على قاسم مشترك ، نرى ذلك

[ dfrac {1} {x + 1} + dfrac {2} {x − 2} = dfrac {3x} {x ^ 2 − x − 2}. nonumber ]

بالتالي،

[ int dfrac {3x} {x ^ 2 − x − 2} ، dx = int left ( dfrac {1} {x + 1} + dfrac {2} {x − 2} right ) dx. nonumber ]

في هذا القسم ، ندرس طريقة التحلل الجزئي، مما يسمح لنا بالتحلل وظائف عقلانية إلى مجاميع من الوظائف المنطقية الأبسط والأسهل تكاملًا باستخدام هذه الطريقة ، يمكننا إعادة كتابة تعبير مثل:

[ dfrac {3x} {x ^ 2 − x − 2} nonumber ]

كتعبير مثل

[ dfrac {1} {x + 1} + dfrac {2} {x − 2}. nonumber ]

مفتاح طريقة التحلل الجزئي للكسر هو القدرة على توقع الشكل الذي سيتخذه تحلل دالة عقلانية. كما سنرى ، هذا النموذج يمكن التنبؤ به ويعتمد بشكل كبير على تحليل مقام الدالة المنطقية. من المهم أيضًا أن تضع في اعتبارك أنه يمكن تطبيق التحليل الجزئي للكسر على دالة عقلانية ( dfrac {P (x)} {Q (x)} ) فقط إذا (deg (P (x)) < درجة (س (س)) ). في حالة (deg (P (x)) ≥deg (Q (x)) ) ، يجب علينا أولاً إجراء قسمة مطولة لإعادة كتابة حاصل القسمة ( dfrac {P (x)} {Q (x)} ) بالصيغة (A (x) + dfrac {R (x)} {Q (x)} ) ، حيث (deg (R (x))

مثال ( PageIndex {1} ): تكامل ( displaystyle int frac {P (x)} {Q (x)} ، dx ) حيث (deg (P (x)) ≥deg (س (خ)) )

تقييم

[ int dfrac {x ^ 2 + 3x + 5} {x + 1} ، dx. لا يوجد رقم ]

المحلول

منذ (deg (x ^ 2 + 3x + 5) ≥deg (x + 1) ، ) نقوم بإجراء قسمة مطولة للحصول على

[ dfrac {x ^ 2 + 3x + 5} {x + 1} = x + 2 + dfrac {3} {x + 1}. لا يوجد رقم]

هكذا،

[ int dfrac {x ^ 2 + 3x + 5} {x + 1} ، dx = int left (x + 2 + dfrac {3} {x + 1} right) ، dx = dfrac {1} {2} x ^ 2 + 2x + 3 ln | x + 1 | + C. لا يوجد رقم]

قم بزيارة هذا الموقع لمراجعة القسمة المطولة لكثيرات الحدود.

تمرين ( PageIndex {1} )

تقييم

[ int dfrac {x − 3} {x + 2} ، dx. لا يوجد رقم ]

تلميح

استخدم القسمة المطولة للحصول على ( dfrac {x − 3} {x + 2} = 1− dfrac {5} {x + 2}. nonumber )

إجابه

[x − 5 ln | x + 2 | + C غير رقم ]

لدمج ( displaystyle int dfrac {P (x)} {Q (x)} ، dx ) حيث (deg (P (x))

العوامل الخطية غير المتكررة

إذا كان من الممكن تحليل (Q (x) ) كـ ((a_1x + b_1) (a_2x + b_2) ... (a_nx + b_n) ) ، حيث يكون كل عامل خطي مميزًا ، فمن الممكن إيجاد الثوابت ( A_1، A_2،… A_n ) مرضية

[ dfrac {P (x)} {Q (x)} = dfrac {A_1} {a_1x + b_1} + dfrac {A_2} {a_2x + b_2} + ⋯ + dfrac {A_n} {a_nx + b_n }. التسمية {eq: 7.4.1} ]

والدليل على وجود مثل هذه الثوابت هو خارج نطاق هذا المقرر.

في هذا المثال التالي ، نرى كيفية استخدام الكسور الجزئية لتكامل دالة كسرية من هذا النوع.

مثال ( PageIndex {2} ): الكسور الجزئية ذات العوامل الخطية غير المتكررة

تقييم ( displaystyle int dfrac {3x + 2} {x ^ 3 − x ^ 2−2x} ، dx. )

المحلول

بما أن (deg (3x + 2)

[ dfrac {3x + 2} {x (x − 2) (x + 1)} = dfrac {A} {x} + dfrac {B} {x − 2} + dfrac {C} {x +1}. لا يوجد رقم]

يجب علينا الآن إيجاد هذه الثوابت. للقيام بذلك ، نبدأ بالحصول على قاسم مشترك على اليمين. هكذا،

[ dfrac {3x + 2} {x (x − 2) (x + 1)} = dfrac {A (x − 2) (x + 1) + Bx (x + 1) + Cx (x − 2 )} {x (x − 2) (x + 1)}. لا يوجد رقم]

الآن ، جعلنا البسطين متساويين ، للحصول على

[3x + 2 = A (x − 2) (x + 1) + Bx (x + 1) + Cx (x − 2). label {Ex2Numerator} ]

هناك استراتيجيتان مختلفتان لإيجاد المعاملات (A ) و (B ) و (C ). نشير إلى هذه باسم طريقة معادلة المعاملات و ال طريقة الاستبدال الاستراتيجي.

الإستراتيجية الأولى: طريقة معادلة المعاملات

أعد كتابة المعادلة ( ref {Ex2Numerator} ) بالشكل

[3x + 2 = (A + B + C) x ^ 2 + (- A + B − 2C) x + (- 2A). لا يوجد رقم]

تنتج معاملات المعادلة نظام المعادلات

[ start {align *} A + B + C & = 0 [4pt] −A + B − 2C & = 3 [4pt] −2A & = 2. النهاية {محاذاة *} ]

لحل هذا النظام ، نلاحظ أولاً أن (−2A = 2⇒A = −1. ) استبدال هذه القيمة في المعادلتين الأوليين يعطينا النظام

(ب + ج = 1 )

(ب − 2 ج = 2 ).

ينتج عن ضرب المعادلة الثانية في (−1 ) وإضافة المعادلة الناتجة إلى المعادلة الأولى

(−3C = 1 ، )

وهذا بدوره يعني أن (C = - dfrac {1} {3} ). استبدال هذه القيمة في المعادلة (B + C = 1 ) ينتج (B = dfrac {4} {3} ). وبالتالي ، ينتج عن حل هذه المعادلات (A = −1 و B = dfrac {4} {3} ) و (C = - dfrac {1} {3} ).

من المهم ملاحظة أن النظام الناتج عن هذه الطريقة يكون متسقًا إذا وفقط إذا قمنا بإعداد التحلل بشكل صحيح. إذا كان النظام غير متسق ، فهناك خطأ في تحللنا.

الاستراتيجية الثانية: طريقة الاستبدال الاستراتيجي

تعتمد طريقة الاستبدال الاستراتيجي على افتراض أننا قمنا بإعداد التحلل بشكل صحيح. إذا تم إعداد التحليل بشكل صحيح ، فيجب أن تكون هناك قيم (A ، B ، ) و (C ) تفي بالمعادلة ( ref {Ex2Numerator} ) لجميع قيم (x ). أي أن هذه المعادلة يجب أن تكون صحيحة لأي قيمة لـ (س ) نحن نهتم بالتعويض عنها. لذلك ، باختيار قيم (س ) بعناية واستبدالها في المعادلة ، قد نجد (أ ، ب ) ، (ج ) بسهولة. على سبيل المثال ، إذا استبدلنا (x = 0 ) ، فإن المعادلة تقلص إلى (2 = A (−2) (1) ). حل من أجل (A ) ينتج (A = −1 ). بعد ذلك ، بالتعويض عن (س = 2 ) ، تقلل المعادلة إلى (8 = ب (2) (3) ) ، أو بشكل مكافئ (ب = 4/3 ). أخيرًا ، نعوض (x = −1 ) في المعادلة ونحصل على (−1 = C (−1) (- 3). ) الحل ، لدينا (C = - dfrac {1} {3 } ).

من المهم أن تضع في اعتبارك أنه إذا حاولنا استخدام هذه الطريقة مع تحليل لم يتم إعداده بشكل صحيح ، فلا نزال قادرين على إيجاد قيم للثوابت ، لكن هذه الثوابت لا معنى لها. إذا اخترنا استخدام طريقة الاستبدال الاستراتيجي ، فمن الجيد التحقق من النتيجة من خلال إعادة دمج المصطلحات جبريًا.

الآن بعد أن أصبح لدينا قيم (A ، B ، ) و (C ، ) نعيد كتابة التكامل الأصلي:

[ int dfrac {3x + 2} {x ^ 3 − x ^ 2−2x} ، dx = int left (- dfrac {1} {x} + dfrac {4} {3} ⋅ dfrac {1} {x − 2} - dfrac {1} {3} ⋅ dfrac {1} {x + 1} right) ، dx. لا يوجد رقم]

نحصل على قيمة التكامل

[ int dfrac {3x + 2} {x ^ 3 − x ^ 2−2x} ، dx = - ln | x | + dfrac {4} {3} ln | x − 2 | - dfrac {1} {3} ln | x + 1 | + C. لا يوجد رقم]

في المثال التالي ، ندمج دالة كسرية لا تقل فيها درجة البسط عن درجة المقام.

مثال ( PageIndex {3} ): القسمة قبل تطبيق الكسور الجزئية

تقييم ( displaystyle int dfrac {x ^ 2 + 3x + 1} {x ^ 2−4} ، dx. )

المحلول

بما أن (deg (x ^ 2 + 3x + 1) ≥deg (x ^ 2−4) ، ) يجب علينا إجراء قسمة مطولة لكثيرات الحدود. وينتج عنه

[ dfrac {x ^ 2 + 3x + 1} {x ^ 2−4} = 1 + dfrac {3x + 5} {x ^ 2−4} nonumber ]

بعد ذلك ، نقوم بإجراء تحليل جزئي للكسر على ( dfrac {3x + 5} {x ^ 2−4} = dfrac {3x + 5} {(x + 2) (x − 2)} ). لدينا

[ dfrac {3x + 5} {(x − 2) (x + 2)} = dfrac {A} {x − 2} + dfrac {B} {x + 2}. لا يوجد رقم]

هكذا،

[3 س + 5 = أ (س + 2) + ب (س − 2). لا يوجد رقم]

لحل (A ) و (B ) باستخدام أي من الطريقتين ، نحصل على (A = 11/4 ) و (B = 1/4. )

لدينا إعادة كتابة التكامل الأصلي

[ int dfrac {x ^ 2 + 3x + 1} {x ^ 2−4} ، dx = int left (1+ dfrac {11} {4} ⋅ dfrac {1} {x− 2} + dfrac {1} {4} ⋅ dfrac {1} {x + 2} right) ، dx. لا يوجد رقم]

بحساب التكامل ينتج

[ int dfrac {x ^ 2 + 3x + 1} {x ^ 2−4} ، dx = x + dfrac {11} {4} ln | x − 2 | + dfrac {1} {4 } ln | x + 2 | + ج. لا يوجد رقم]

كما نرى في المثال التالي ، قد يكون من الممكن تطبيق تقنية تحلل الكسر الجزئي على دالة غير عقلانية. الحيلة هي تحويل الدالة غير النسبية إلى دالة كسرية من خلال التعويض.

مثال ( PageIndex {4} ): تطبيق الكسور الجزئية بعد الاستبدال

تقييم ( displaystyle int dfrac { cos x} { sin ^ 2x− sin x} ، dx. )

المحلول

لنبدأ بالسماح (u = sin x. ) بالتالي ، (du = cos x ، dx. ) بعد إجراء هذه الاستبدالات ، لدينا

[ int dfrac { cos x} { sin ^ 2x− sin x} ، dx = int dfrac {du} {u ^ 2 − u} = int dfrac {du} {u ( ش − 1)}. لا يوجد رقم]

يؤدي تطبيق التحليل الجزئي للكسر على ( dfrac {1} {u (u − 1)} ) إلى ( dfrac {1} {u (u − 1)} = - dfrac {1} {u} + dfrac {1} {u − 1}. )

هكذا،

[ int dfrac { cos x} { sin ^ 2x− sin x} ، dx = - ln | u | + ln | u − 1 | + C = - ln | sin x | + ln | sin x − 1 | + C. لا يوجد رقم]

تمرين ( PageIndex {2} )

تقييم ( displaystyle int dfrac {x + 1} {(x + 3) (x − 2)} ، dx. )

تلميح

[ dfrac {x + 1} {(x + 3) (x − 2)} = dfrac {A} {x + 3} + dfrac {B} {x − 2} nonumber ]

إجابه

[ dfrac {2} {5} ln | x + 3 | + dfrac {3} {5} ln | x − 2 | + C nonumber ]

العوامل الخطية المتكررة

بالنسبة لبعض التطبيقات ، نحتاج إلى دمج التعبيرات المنطقية التي لها قواسم مع عوامل خطية متكررة - أي وظائف عقلانية مع عامل واحد على الأقل من الشكل ((ax + b) ^ n ، ) حيث (n ) هو عدد صحيح موجب أكبر من أو يساوي (2 ). إذا كان المقام يحتوي على العامل الخطي المتكرر ((ax + b) ^ n ) ، فيجب أن يحتوي التحلل على

[ dfrac {A_1} {ax + b} + dfrac {A_2} {(ax + b) ^ 2} + ⋯ + dfrac {A_n} {(ax + b) ^ n}. التسمية {eq: 7.4.2} ]

كما نرى في المثال التالي ، فإن التقنية الأساسية المستخدمة في حل المعاملات هي نفسها ، ولكنها تتطلب المزيد من الجبر لتحديد البسط للكسور الجزئية.

مثال ( PageIndex {5} ): الكسور الجزئية ذات العوامل الخطية المتكررة

تقييم ( displaystyle int dfrac {x − 2} {(2x − 1) ^ 2 (x − 1)} ، dx. )

المحلول

لدينا (deg (x − 2)

[ dfrac {A} {2x − 1} + dfrac {B} {(2x − 1) ^ 2} nonumber ]

في التحلل في المعادلة المرجع {eq: 7.4.2}. هكذا،

[ dfrac {x − 2} {(2x − 1) ^ 2 (x − 1)} = dfrac {A} {2x − 1} + dfrac {B} {(2x − 1) ^ 2} + dfrac {C} {x − 1}. لا يوجد رقم]

بعد الحصول على مقام مشترك ومعادلة البسطين ، لدينا

[x − 2 = A (2x − 1) (x − 1) + B (x − 1) + C (2x − 1) ^ 2. التسمية {Ex5Numerator} ]

ثم نستخدم طريقة معادلة المعاملات لإيجاد قيم (A ، B ، ) و (C ).

[x − 2 = (2A + 4C) x ^ 2 + (- 3A + B − 4C) x + (A − B + C). لا يوجد رقم]

تنتج معاملات المعادلة (2A + 4C = 0 ) ، (- 3A + B − 4C = 1 ) ، و (A − B + C = −2 ). ينتج عن حل هذا النظام (A = 2 ، B = 3 ، ) و (C = −1. )

بدلاً من ذلك ، يمكننا استخدام طريقة الاستبدال الاستراتيجي. في هذه الحالة ، ينتج عن استبدال (x = 1 ) و (x = 1/2 ) في المعادلة ( المرجع {Ex5Numerator} ) القيمتين (B = 3 ) و (C = - 1 ). في هذه المرحلة ، قد يبدو أننا نفدنا الخيارات الجيدة لـ (x ) ، ومع ذلك ، نظرًا لأن لدينا بالفعل قيم لـ (B ) و (C ) ، يمكننا استبدال هذه القيم والاختيار أي قيمة لـ (x ) لم يتم استخدامها من قبل. القيمة (س = 0 ) خيار جيد. في هذه الحالة ، نحصل على المعادلة (−2 = A (−1) (- 1) +3 (−1) + (- 1) (- 1) ^ 2 ) أو ، على نحو مكافئ ، (A = 2 . )

الآن بعد أن أصبح لدينا قيم (A ، B ، ) و (C ) ، نعيد كتابة التكامل الأصلي ونقيمه:

[ start {align *} int dfrac {x − 2} {(2x − 1) ^ 2 (x − 1)} ، dx & = int left ( dfrac {2} {2x − 1 } + dfrac {3} {(2x − 1) ^ 2} - dfrac {1} {x − 1} right) ، dx [4pt]
& = ln | 2x − 1 | - dfrac {3} {2 (2x − 1)} - ln | x − 1 | + C. النهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {3} )

قم بإعداد تحليل الكسر الجزئي لـ

[ int dfrac {x + 2} {(x + 3) ^ 3 (x − 4) ^ 2} ، dx. لا يوجد رقم]

(لا تحل قيمة المعاملات أو تكمل التكامل.)

تلميح

استخدم طريقة حل المشكلات على سبيل المثال ( PageIndex {5} ) للإرشاد.

إجابه

[ dfrac {x + 2} {(x + 3) ^ 3 (x − 4) ^ 2} = dfrac {A} {x + 3} + dfrac {B} {(x + 3) ^ 2 } + dfrac {C} {(x + 3) ^ 3} + dfrac {D} {(x − 4)} + dfrac {E} {(x − 4) ^ 2} nonumber ]

الطريقة العامة

الآن وقد بدأنا في الحصول على فكرة عن كيفية عمل تقنية التحلل الجزئي للكسر ، دعنا نلخص الطريقة الأساسية في إستراتيجية حل المشكلات التالية.

إستراتيجية حل المشكلات: التحليل الجزئي للكسر

لتحلل الدالة المنطقية (P (x) / Q (x) ) ، استخدم الخطوات التالية:

  1. تأكد من أن (deg (P (x))
  2. حلل (Q (x) ) إلى حاصل ضرب العوامل التربيعية الخطية وغير القابلة للاختزال. المعادلة التربيعية غير القابلة للاختزال هي تربيعية لا تحتوي على أصفار حقيقية.
  3. بافتراض أن (deg (P (x))
  4. إذا كان من الممكن تحليل (Q (x) ) كـ ((a_1x + b_1) (a_2x + b_2) ... (a_nx + b_n) ) ، حيث يكون كل عامل خطي مميزًا ، فمن الممكن إيجاد الثوابت ( A_1، A_2، ... A_n ) مرضي [ dfrac {P (x)} {Q (x)} = dfrac {A_1} {a_1x + b_1} + dfrac {A_2} {a_2x + b_2} + ⋯ + dfrac {A_n} {a_nx + b_n}. ]
  5. إذا احتوى (Q (x) ) على العامل الخطي المتكرر ((ax + b) ^ n ) ، فيجب أن يحتوي التحلل على [ dfrac {A_1} {ax + b} + dfrac {A_2} { (ax + b) ^ 2} + ⋯ + dfrac {A_n} {(ax + b) ^ n}. ]
  6. لكل عامل تربيعي غير قابل للاختزال (ax ^ 2 + bx + c ) يحتوي على (Q (x) ) ، يجب أن يشمل التحلل [ dfrac {Ax + B} {ax ^ 2 + bx + c}. ]
  7. لكل عامل تربيعي متكرر غير قابل للاختزال ((ax ^ 2 + bx + c) ^ n، ) يجب أن يتضمن التحلل [ dfrac {A_1x + B_1} {ax ^ 2 + bx + c} + dfrac {A_2x + B_2} {(ax ^ 2 + bx + c) ^ 2} + ⋯ + dfrac {A_nx + B_n} {(ax ^ 2 + bx + c) ^ n}. ]
  8. بعد تحديد الانحلال المناسب ، أوجد الثوابت.
  9. أخيرًا ، أعد كتابة التكامل في شكله المتحلل وقم بتقييمه باستخدام تقنيات مطورة مسبقًا أو معادلات تكامل.

عوامل تربيعية بسيطة

دعونا الآن نلقي نظرة على تكامل التعبير المنطقي الذي يحتوي فيه المقام على عامل تربيعي غير قابل للاختزال. تذكر أن التربيعي (ax ^ 2 + bx + c ) غير قابل للاختزال إذا كان (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) لا يحتوي على أصفار حقيقية — أي إذا (b ^ 2−4ac <0. )

مثال ( PageIndex {6} ): التعبيرات العقلانية بعامل تربيعي غير قابل للاختزال

تقييم

[ int dfrac {2x − 3} {x ^ 3 + x} ، dx. nonumber ]

المحلول

بما أن (deg (2x − 3)

[ dfrac {2x − 3} {x (x ^ 2 + 1)} = dfrac {Ax + B} {x ^ 2 + 1} + dfrac {C} {x}. nonumber ]

بعد الحصول على مقام مشترك ومساواة البسطين ، نحصل على المعادلة

[2x − 3 = (فأس + ب) س + ج (س ^ 2 + 1). بلا رقم ]

حل من أجل (A ، B ، ) و (C ، ) نحصل على (A = 3 ، B = 2 ، ) و (C = −3. )

هكذا،

[ dfrac {2x − 3} {x ^ 3 + x} = dfrac {3x + 2} {x ^ 2 + 1} - dfrac {3} {x}. nonumber ]

نستبدل التكامل مرة أخرى

[ start {align *} int dfrac {2x − 3} {x ^ 3 + x} ، dx & = int left ( dfrac {3x + 2} {x ^ 2 + 1} - dfrac {3} {x} right) ، dx nonumber [4pt]
& = 3 int dfrac {x} {x ^ 2 + 1} ، dx + 2 int dfrac {1} {x ^ 2 + 1} ، dx − 3 int dfrac {1} {x } ، dx & & text {انقسام التكامل} [4pt]
& = dfrac {3} {2} ln ∣x ^ 2 + 1∣ + 2 tan ^ {- 1} x − 3 ln | x | + C. & & text {تقييم كل جزء} end {align *} ]

ملاحظة: قد نعيد كتابة ( ln ∣x ^ 2 + 1∣ = ln (x ^ 2 + 1) ) ، إذا أردنا القيام بذلك ، منذ (x ^ 2 + 1> 0. )

مثال ( PageIndex {7} ): الكسور الجزئية بعامل تربيعي غير قابل للاختزال

تقييم ( displaystyle int dfrac {، dx} {x ^ 3−8}. )

الحل: يمكننا البدء بالتحليل إلى عوامل (x ^ 3−8 = (x − 2) (x ^ 2 + 2x + 4). ) نرى أن العامل التربيعي (x ^ 2 + 2x + 4 ) هو غير قابل للاختزال منذ (2 ^ 2−4 (1) (4) = - 12 <0. ) باستخدام التحليل الموصوف في استراتيجية حل المشكلات ، نحصل على

[ dfrac {1} {(x − 2) (x ^ 2 + 2x + 4)} = dfrac {A} {x − 2} + dfrac {Bx + C} {x ^ 2 + 2x + 4 }. لا يوجد رقم]

بعد الحصول على قاسم مشترك ومعادلة البسط ، يصبح هذا

[1 = A (x ^ 2 + 2x + 4) + (Bx + C) (x − 2). لا يوجد رقم]

بتطبيق أي من الطريقتين ، نحصل على (A = dfrac {1} {12} ، B = - dfrac {1} {12} ، ) و (C = - dfrac {1} {3}. )

إعادة كتابة ( int dfrac {، dx} {x ^ 3−8}، ) لدينا

[ int dfrac {، dx} {x ^ 3−8} = dfrac {1} {12} int dfrac {1} {x − 2} ، dx− dfrac {1} {12 } int dfrac {x + 4} {x ^ 2 + 2x + 4} ، dx. لا يوجد رقم]

يمكننا أن نرى أن

[ int dfrac {1} {x − 2} ، dx = ln | x − 2 | + C، nonumber ]

لكن

[ int dfrac {x + 4} {x ^ 2 + 2x + 4} ، dx nonumber ]

يتطلب المزيد من الجهد. لنبدأ استكمال المربع على (x ^ 2 + 2x + 4 ) للحصول عليها

[x ^ 2 + 2x + 4 = (x + 1) ^ 2 + 3. لا يوجد رقم]

بالسماح (u = x + 1 ) وبالتالي (du = ، dx، ) نرى ذلك

[ begin {align *} int dfrac {x + 4} {x ^ 2 + 2x + 4} ، dx & = int dfrac {x + 4} {(x + 1) ^ 2 + 3 } ، dx & & text {أكمل المربع على المقام} [4pt]
& = int dfrac {u + 3} {u ^ 2 + 3} ، du & & text {البديل} u = x + 1، ، x = u − 1، text {and} du = dx [4 نقطة]
& = int dfrac {u} {u ^ 2 + 3} du + int dfrac {3} {u ^ 2 + 3} du & & text {فصل البسط عن بعضها} [4pt]
& = dfrac {1} {2} ln ∣u ^ 2 + 3∣ + dfrac {3} { sqrt {3}} tan ^ {- 1} dfrac {u} { sqrt {3} } + C & & text {تقييم كل جزء} [4pt]
& = dfrac {1} {2} ln ∣x ^ 2 + 2x + 4∣ + sqrt {3} tan ^ {- 1} left ( dfrac {x + 1} { sqrt {3} } right) + C & & text {إعادة الكتابة من حيث} x text {وتبسيط} end {align *} ]

التعويض بالتكامل الأصلي والتبسيط يعطي

[ int dfrac {، dx} {x ^ 3−8} = dfrac {1} {12} ln | x − 2 | - dfrac {1} {24} ln | x ^ 2 + 2x + 4 | - dfrac { sqrt {3}} {12} tan ^ {- 1} left ( dfrac {x + 1} { sqrt {3}} right) + C. لا يوجد رقم]

هنا مرة أخرى ، يمكننا إسقاط القيمة المطلقة إذا أردنا القيام بذلك ، منذ (x ^ 2 + 2x + 4> 0 ) للجميع (x ).

مثال ( PageIndex {8} ): البحث عن وحدة تخزين

أوجد حجم المادة الصلبة للثورة التي تم الحصول عليها من خلال تدوير المنطقة المحاطة بالرسم البياني (f (x) = dfrac {x ^ 2} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} ) و x-المحور عبر الفاصل ([0،1] ) حول ذ-محور.

المحلول

لنبدأ برسم المنطقة المراد تدويرها (انظر الشكل ( PageIndex {1} )). من المخطط ، نرى أن طريقة الصدفة هي خيار جيد لحل هذه المشكلة.

الحجم معطى بواسطة

[V = 2π int ^ 1_0x⋅ dfrac {x ^ 2} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} ، dx = 2π int ^ 1_0 dfrac {x ^ 3} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} ، dx. لا يوجد رقم]

بما أن (deg ((x ^ 2 + 1) ^ 2) = 4> 3 = deg (x ^ 3) ، ) يمكننا المضي قدمًا في التحلل الجزئي للكسر. لاحظ أن ((x ^ 2 + 1) ^ 2 ) عبارة عن تربيعية متكررة غير قابلة للاختزال. باستخدام التحلل الموصوف في استراتيجية حل المشكلات ، نحصل عليها

[ dfrac {x ^ 3} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} = dfrac {Ax + B} {x ^ 2 + 1} + dfrac {Cx + D} {(x ^ 2 + 1 ) ^ 2}. لا يوجد رقم]

نحصل على إيجاد مقام مشترك ومعادلة البسط

[x ^ 3 = (Ax + B) (x ^ 2 + 1) + Cx + D. لا يوجد رقم]

بالحل ، نحصل على (A = 1 ، B = 0 ، C = −1 ، ) و (D = 0. ) استبدال التكامل مرة أخرى ، لدينا

[V = 2π int _0 ^ 1 dfrac {x ^ 3} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} ، dx = 2π int _0 ^ 1 left ( dfrac {x} {x ^ 2 +1} - dfrac {x} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} right) ، dx = 2π left ( dfrac {1} {2} ln (x ^ 2 + 1) + dfrac {1} {2} ⋅ dfrac {1} {x ^ 2 + 1} right) Big | ^ 1_0 = π left ( ln 2− tfrac {1} {2} right). لا يوجد رقم]

تمرين ( PageIndex {4} )

قم بإعداد تحليل الكسر الجزئي لـ [ int dfrac {x ^ 2 + 3x + 1} {(x + 2) (x − 3) ^ 2 (x ^ 2 + 4) ^ 2} ، dx. لا يوجد رقم]

تلميح

استخدم استراتيجية حل المشكلات.

إجابه

[ dfrac {x ^ 2 + 3x + 1} {(x + 2) (x − 3) ^ 2 (x ^ 2 + 4) ^ 2} = dfrac {A} {x + 2} + dfrac {B} {x − 3} + dfrac {C} {(x − 3) ^ 2} + dfrac {Dx + E} {x ^ 2 + 4} + dfrac {Fx + G} {(x ^ 2 + 4) ^ 2} غير رقم ]

المفاهيم الرئيسية

  • التحلل الجزئي للكسر هو تقنية تستخدم لتقسيم وظيفة عقلانية إلى مجموع وظائف عقلانية بسيطة يمكن دمجها باستخدام تقنيات تم تعلمها مسبقًا.
  • عند تطبيق التحليل الجزئي للكسر ، يجب أن نتأكد من أن درجة البسط أقل من درجة المقام. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فسنحتاج إلى إجراء قسمة مطولة قبل محاولة تحليل الكسر الجزئي.
  • يعتمد الشكل الذي يتخذه التحلل على نوع العوامل في المقام. تشمل أنواع العوامل عوامل خطية غير متكررة ، وعوامل خطية متكررة ، وعوامل تربيعية غير متكررة غير قابلة للاختزال ، وعوامل تربيعية متكررة غير قابلة للاختزال.

قائمة المصطلحات

التحلل الجزئي
تقنية تستخدم لتقسيم دالة كسرية إلى مجموع وظائف عقلانية بسيطة

7.4 الكسور الجزئية

في وقت سابق من هذا الفصل ، درسنا أنظمة معادلتين في متغيرين ، أنظمة من ثلاث معادلات في ثلاثة متغيرات ، وأنظمة غير خطية. نقدم هنا طريقة أخرى يمكن من خلالها استخدام أنظمة المعادلات - تحلل التعبيرات المنطقية.

يمكن أن تكون الكسور معقدة بإضافة متغير في المقام يجعلها أكثر تعقيدًا. ستساعد الطرق التي تمت دراستها في هذا القسم في تبسيط مفهوم التعبير العقلاني.

التحلل P (x) Q (x) P (x) Q (x) أين س (س) له عوامل خطية غير متكررة فقط

تذكر الجبر فيما يتعلق بجمع وطرح التعبيرات المنطقية. تعتمد هذه العمليات على إيجاد قاسم مشترك حتى نتمكن من كتابة المجموع أو الفرق كتعبير كسري واحد مبسط. في هذا القسم ، سنلقي نظرة على التحليل الجزئي للكسر ، وهو التراجع عن إجراء جمع أو طرح التعبيرات المنطقية. بمعنى آخر ، إنها عودة من التعبير المنطقي الفردي المبسط إلى التعبيرات الأصلية ، والتي تسمى الكسر الجزئي.

على سبيل المثال ، افترض أننا أضفنا الكسور التالية:

علينا أولًا إيجاد مقام مشترك (x + 2) (x −3). (س + 2) (س -3).

بعد ذلك ، نكتب كل تعبير بهذا المقام المشترك ونوجد مجموع الحدين.

التحلل الجزئي هو عكس هذا الإجراء. سنبدأ بالحل ونعيد كتابته (نحلله) في صورة مجموع كسرين.

سوف نتحرى عن التعبيرات المنطقية ذات العوامل الخطية والعوامل التربيعية في المقام حيث تكون درجة البسط أقل من درجة المقام. بغض النظر عن نوع التعبير الذي نقوم بتفكيكه ، فإن أول وأهم شيء يجب فعله هو عامل المقام.

عندما يحتوي مقام التعبير المبسط على عوامل خطية مميزة ، فمن المحتمل أن يكون لكل من التعبيرات المنطقية الأصلية ، التي تمت إضافتها أو طرحها ، أحد العوامل الخطية كمقام. بمعنى آخر ، باستخدام المثال أعلاه ، عوامل x 2 - x −6 x 2 - x −6 هي (x −3) (x + 2)، (x −3) (x + 2) ، مقامات التعبير العقلاني المتحلل. لذا سنعيد كتابة الصيغة المبسطة كمجموع الكسور الفردية ونستخدم متغيرًا لكل بسط. بعد ذلك ، سنحل لكل بسط باستخدام إحدى الطرق العديدة المتاحة للتحلل الجزئي للكسر.

التحلل الجزئي لـ P (x) Q (x): Q (x) P (x) Q (x): Q (x) له عوامل خطية غير متكررة

كيف

إعطاء تعبير منطقي بعوامل خطية مميزة في المقام ، حللها.

مثال 1

تحليل دالة منطقية بعوامل خطية مميزة

حلل التعبير المنطقي المحدد بعوامل خطية مميزة.

المحلول

سنفصل بين عوامل المقام ونعطي كل بسط تسمية رمزية ، مثل أ ، ب ، أ ، ب ، أو ج. ج.

اضرب طرفي المعادلة بالمقام المشترك لاستبعاد الكسور:

المعادلة الناتجة هي

قم بتوسيع الجانب الأيمن من المعادلة وجمع الحدود المتشابهة.

ضع نظام معادلات تربط المعاملات المتوافقة.

اجمع المعادلتين وحل من أجل B. ب .

وبالتالي ، فإن التحلل الجزئي هو

على الرغم من أن هذه الطريقة لا تظهر في كثير من الأحيان في الكتب المدرسية ، فإننا نقدمها هنا كبديل قد يجعل بعض التحليلات الجزئية أسهل. تُعرف باسم طريقة Heaviside ، التي سميت على اسم Charles Heaviside ، الرائد في دراسة الإلكترونيات.

أوجد التحلل الجزئي للتعبير التالي.

التحلل P (x) Q (x) P (x) Q (x) أين س (س) كرر العوامل الخطية

بعض الكسور التي قد نواجهها هي حالات خاصة يمكننا تحليلها إلى كسور جزئية بعوامل خطية متكررة. يجب أن نتذكر أننا نحسب العوامل المتكررة من خلال كتابة كل عامل في زيادة القوى.

التحلل الجزئي لـ P (x) Q (x): Q (x) P (x) Q (x): Q (x) لها عوامل خطية متكررة

اكتب قوى المقام بترتيب تصاعدي.

كيف

إعطاء تعبير منطقي مع عوامل خطية متكررة ، حللها.

مثال 2

التحلل بعوامل خطية متكررة

حلل التعبير المنطقي المحدد بعوامل خطية متكررة.

المحلول

بعد ذلك ، نضرب كلا الطرفين في المقام المشترك.

على الجانب الأيمن من المعادلة ، نوسع ونجمع الحدود المتشابهة.

بعد ذلك ، نقارن معاملات كلا الطرفين. سيعطي هذا نظام المعادلات في ثلاثة متغيرات:


من الممكن تقسيم العديد من الكسور إلى مجموع أو فرق اثنين أو أكثر من الكسور. هذا له العديد من الاستخدامات (مثل التكامل).

1 + 4 = 5 (× + 2)
(x + 1) (x + 6) (x + 1) (x + 6)

تسمح لنا طريقة الكسور الجزئية بتقسيم الجانب الأيمن من المعادلة أعلاه إلى الجانب الأيسر.

العوامل الخطية في المقام

تُستخدم هذه الطريقة عندما تكون العوامل في مقام الكسر خطية (بمعنى آخر لا تحتوي على أي مصطلحات مربعة أو مكعبة ، إلخ).

ينقسم 5 (× + 2) إلى كسور جزئية.
(x + 1) (x + 6)

5 (× + 2) º أ + ب
(x + 1) (x + 6) (x + 1) (x + 6)

والآن ، كل ما علينا فعله هو إيجاد A و B.

5 (× + 2) º أ (س + 6) + ب (س + 1)
(x + 1) (x + 6) (x + 1) (x + 6)
(وضع الكسور على قاسم مشترك)

5 (x + 2) º A (x + 6) + B (x + 1) (ألغينا المقامات)

التعبير أعلاه هو هوية (ومن ثم º بدلاً من =). الهوية صحيحة لكل قيمة x. هذا يعني أنه يمكننا التعويض بأي من قيم x في كلا طرفي التعبير لمساعدتنا في إيجاد A و B. عند محاولة حساب هذه الثوابت ، حاول اختيار قيم x التي ستجعل الحساب أسهل. في هذا المثال ، إذا عوضنا عن x = -6 في المتطابقة ، فسيختفي الحد A (x + 6) ، مما يسهل حله.

الجواب هو 1 + 4 (كما علمنا)
(x + 1) (x + 6)

طريقة التستر

تعتبر "طريقة التغطية" طريقة سريعة لحساب الكسور الجزئية ، ولكن من المهم أن ندرك أن هذا لا يعمل إلا عندما تكون هناك عوامل خطية في المقام ، كما هو الحال هنا.

لوضع 5 (× + 2) إلى كسور جزئية باستخدام طريقة التستر:
(x + 1) (x + 6)

غطِ x + 6 بيدك واستبدل -6 بما تبقى ، معطياً 5 (-6 + 2) / (- 6 + 1) = -20 / -5 = 4. هذا يخبرك أن أحد الكسور الجزئية هو 4 / (س + 6). الآن غطي (x + 1) واستبدل -1 بما تبقى لتكتشف أن الكسر الجزئي الآخر هو 1 / (x + 1)

العامل المتكرر في المقام

تذكر أن الطريقة أعلاه مخصصة فقط للعوامل الخطية في المقام. عندما يكون هناك عامل متكرر في المقام ، مثل (x - 1) 2 أو (x + 4) 2 ، يتم استخدام الطريقة التالية.

ينقسم س - 2 إلى كسور جزئية
(س + 1) (س - 1) 2

س - 2 º أ + ب + ج
(س + 1) (س - 1) 2 (x + 1) (× - 1) (x - 1) 2

لاحظ أننا وضعنا (x - 1) و أ (س - 1) 2 كسر في.
كما في السابق ، كل ما نفعله الآن هو إيجاد قيم A و B و C ، بوضعها فوق مقام مشترك ثم استبدالها بقيم x.
س - 2 º أ (س - 1) 2 + ب (س - 1) (س + 1) + ج (س + 1)

دع x = 0
-2 = أ - ب + ج
-2 = -3/4 - ب-
ب = 3/4

- 3 + 3 - 1
4 (× + 1) 4 (× - 1) 2 (× - 1) 2

العامل التربيعي في المقام

تستخدم هذه الطريقة عندما يكون هناك حد مربع في أحد عوامل المقام.

2x - 1 º أ + ب س + ج
(x + 1) (x 2 + 1) (x + 1) (× 2 + 1)

ابحث عن A و B و C بنفس الطريقة الموضحة أعلاه.

لاحظ أنه كذلك ب س + ج على بسط الكسر مع الحد التربيعي في المقام.


7.4: الكسور الجزئية - الرياضيات

في هذا القسم ، سنلقي نظرة على تكاملات التعبيرات المنطقية لكثيرات الحدود ومرة ​​أخرى لنبدأ هذا القسم بتكامل يمكننا فعله بالفعل حتى نتمكن من مقارنته بالتكاملات التي سنقوم بها في هذا القسم .

لذا ، إذا كان البسط هو مشتق المقام (أو مضاعف ثابت لمشتقة المقام) ، فإن هذا النوع من التكامل يكون بسيطًا إلى حد ما. ومع ذلك ، غالبًا لا يكون البسط مشتقًا من المقام (أو مضاعف ثابت). على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك التكامل التالي.

في هذه الحالة ، ليس البسط بالتأكيد مشتقًا للمقام ولا هو مضاعف ثابت لمشتقة المقام. لذلك ، لن يعمل الاستبدال البسيط الذي استخدمناه أعلاه. ومع ذلك ، إذا لاحظنا أنه يمكن تقسيم التكامل على النحو التالي ،

ثم التكامل هو في الواقع بسيط للغاية.

تسمى هذه العملية لأخذ تعبير عقلاني وتحليله إلى تعبيرات منطقية أبسط يمكننا جمعها أو طرحها للحصول على التعبير المنطقي الأصلي التحلل الجزئي. يمكن عمل العديد من التكاملات التي تتضمن مقادير كسرية إذا قمنا أولاً بعمل كسور جزئية على التكامل.

لذا ، فلنقم بمراجعة سريعة للكسور الجزئية. سنبدأ بتعبير منطقي في الشكل ،

حيث يكون كلا من (P left (x right) ) و (Q left (x right) ) متعدد الحدود ودرجة (P left (x right) ) أصغر من الدرجة من (س يسار (س يمين) ). تذكر أن درجة كثير الحدود هي الأس الأكبر في كثير الحدود. لا يمكن عمل الكسور الجزئية إلا إذا كانت درجة البسط أقل تمامًا من درجة المقام. من المهم أن نتذكر.

لذلك ، بمجرد أن نحدد إمكانية عمل الكسور الجزئية ، فإننا نحلل المقام بشكل كامل قدر الإمكان. ثم لكل عامل في المقام يمكننا استخدام الجدول التالي لتحديد المصطلح (المصطلحات) التي نلتقطها في تحليل الكسر الجزئي.

لاحظ أن الحالتين الأولى والثالثة هما حقًا حالات خاصة للحالتين الثانية والرابعة على التوالي.

هناك عدة طرق لتحديد المعاملات لكل مصطلح وسنستعرض كل منها في الأمثلة التالية.

لنبدأ الأمثلة بعمل التكامل أعلاه.

الخطوة الأولى هي تحليل المقام قدر الإمكان والحصول على شكل التحلل الجزئي للكسر. القيام بهذا يعطي ،

الخطوة التالية هي إضافة الجانب الأيمن احتياطيًا.

الآن ، نحتاج إلى اختيار (A ) و (B ) بحيث يتساوى البسطان مع كل (x ). للقيام بذلك ، سنحتاج إلى مساواة البسط.

[3 س + 11 = أ يسار ( يمين) + ب يسار ( حق)]

لاحظ أنه في معظم المسائل ، سننتقل مباشرة من الشكل العام للتحليل إلى هذه الخطوة ولن ننزعج عن إضافة المصطلحات احتياطيًا. النقطة الوحيدة لإضافة الحدود هي الحصول على البسط ويمكننا الحصول على ذلك دون كتابة نتائج الجمع فعليًا.

في هذه المرحلة ، لدينا إحدى طريقتين للمضي قدمًا. طريقة واحدة ستنجح دائمًا ولكن غالبًا ما تكون المزيد من العمل. الآخر ، على الرغم من أنه لا يعمل دائمًا ، إلا أنه غالبًا ما يكون أسرع عندما يعمل. في هذه الحالة ، سيعمل كلاهما ، لذا سنستخدم الطريقة الأسرع في هذا المثال. سنلقي نظرة على الطريقة الأخرى في مثال لاحق.

ما سنفعله هنا هو أن نلاحظ أن البسط يجب أن يتساوى أي x التي نختار استخدامها. على وجه الخصوص ، يجب أن يكون البسط متساويًا لـ (س = - 2 ) و (س = 3 ). لذا ، دعنا نوصّلها ونرى ما نحصل عليه.

[يبدأx & = - 2: & hspace <0.5in> 5 & = A left (0 right) + B left (<- 5> right) & hspace <0.25in> & Rightarrow & hspace < 0.25in> B & = - 1 x & = 3 ، ، ، ،: & hspace <0.5in> 20 & = A left (5 right) + B left (0 right) & hspace <0.25in> & Rightarrow & hspace <0.25in> A & = 4 end]

لذلك ، من خلال اختيار (س ) بعناية ، حصلنا على الثوابت المجهولة للإسقاط بسرعة. لاحظ أن هذه هي القيم التي زعمنا أنها ستكون أعلى.

في هذه المرحلة ، لا يوجد الكثير لفعله بخلاف التكامل.

Recall that to do this integral we first split it up into two integrals and then used the substitutions,

on the integrals to get the final answer.

Before moving onto the next example a couple of quick notes are in order here. First, many of the integrals in partial fractions problems come down to the type of integral seen above. Make sure that you can do those integrals.

There is also another integral that often shows up in these kinds of problems so we may as well give the formula for it here since we are already on the subject.

It will be an example or two before we use this so don’t forget about it.

Now, let’s work some more examples.

We won’t be putting as much detail into this solution as we did in the previous example. The first thing is to factor the denominator and get the form of the partial fraction decomposition.

The next step is to set numerators equal. If you need to actually add the right side together to get the numerator for that side then you should do so, however, it will definitely make the problem quicker if you can do the addition in your head to get,

[ + 4 = Aleft( ight)left( <3x - 2> ight) + Bxleft( <3x - 2> ight) + Cxleft( حق)]

As with the previous example it looks like we can just pick a few values of (x) and find the constants so let’s do that.

[يبدأx & = 0 ,,,,, : & hspace<0.5in>4 & = Aleft( 2 ight)left( < - 2> ight) & hspace <0.5in>& Rightarrow & hspace<0.25in>A & = - 1 x & = - 2 : & hspace<0.5in>8 & = Bleft( < - 2> ight)left( < - 8> ight) & hspace<0.25in>&Rightarrow & hspace<0.25in>B & = frac<1><2> x & = frac<2><3>,, : & hspace<0.5in>frac<<40>> <9>& = Cleft( <3>> ight)left( <3>> ight) & hspace <0.25in>& Rightarrow & hspace<0.25in>C & = frac<<40>><<16>> = frac<5><2>end]

Note that unlike the first example most of the coefficients here are fractions. That is not unusual so don’t get excited about it when it happens.

Again, as noted above, integrals that generate natural logarithms are very common in these problems so make sure you can do them. Also, you were able to correctly do the last integral right? The coefficient of (frac<5><6>) is correct. Make sure that you do the substitution required for the term properly.

This time the denominator is already factored so let’s just jump right to the partial fraction decomposition.

[ - 29x + 5 = Aleft( ight)left( <+ 3> ight) + Bleft( <+ 3> ight) + left( ight) ight)^2>]

In this case we aren’t going to be able to just pick values of (x) that will give us all the constants. Therefore, we will need to work this the second (and often longer) way. The first step is to multiply out the right side and collect all the like terms together. Doing this gives,

[ - 29x + 5 = left( ight) + left( < - 4A + B - 8C + D> ight) + left( <3A + 16C - 8D> ight)x - 12A + 3B + 16D]

Now we need to choose (A), (B), (C), and (D) so that these two are equal. In other words, we will need to set the coefficients of like powers of (x) equal. This will give a system of equations that can be solved.

[left. يبدأ & :hspace <0.25in>& A + C & = 0 & :hspace <0.25in>& - 4A + B - 8C + D & = 1 & :hspace <0.25in>& 3A + 16C - 8D & = - 29 & :hspace <0.25in>& - 12A + 3B + 16D & = 5end ight>hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>A = 1,,B = - 5,,C = - 1,,D = 2]

Note that we used () to represent the constants. Also note that these systems can often be quite large and have a fair amount of work involved in solving them. The best way to deal with these is to use some form of computer aided solving techniques.

Now, let’s take a look at the integral.

In order to take care of the third term we needed to split it up into two separate terms. Once we’ve done this we can do all the integrals in the problem. The first two use the substitution (u = x - 4), the third uses the substitution (v = + 3) and the fourth term uses the formula given above for inverse tangents.

Let’s first get the general form of the partial fraction decomposition.

Now, set numerators equal, expand the right side and collect like terms.

Setting coefficient equal gives the following system.

[left. يبدأ & :hspace <0.25in>& A + B & = 0 & :hspace <0.25in>& C - B & = 1 & : hspace <0.25in>& 8A + 4B - C + D & = 10 & : hspace <0.25in>& - 4B + 4C - D + E & = 3 & :hspace <0.25in>& 16A - 4C - E & = 36end ight>,,,,, Rightarrow ,,,,,,,,A = 2,,B = - 2,,C = - 1,,D = 1,,E = 0]

Don’t get excited if some of the coefficients end up being zero. It happens on occasion.

To this point we’ve only looked at rational expressions where the degree of the numerator was strictly less that the degree of the denominator. Of course, not all rational expressions will fit into this form and so we need to take a look at a couple of examples where this isn’t the case.

So, in this case the degree of the numerator is 4 and the degree of the denominator is 3. Therefore, partial fractions can’t be done on this rational expression.

To fix this up we’ll need to do long division on this to get it into a form that we can deal with. Here is the work for that.

So, from the long division we see that,

The first integral we can do easily enough and the second integral is now in a form that allows us to do partial fractions. So, let’s get the general form of the partial fractions for the second integrand.

Setting numerators equal gives us,

[18 = Axleft( ight) + Bleft( ight) + C]

Now, there is a variation of the method we used in the first couple of examples that will work here. There are a couple of values of (x) that will allow us to quickly get two of the three constants, but there is no value of (x) that will just hand us the third.

What we’ll do in this example is pick (x)’s to get the two constants that we can easily get and then we’ll just pick another value of (x) that will be easy to work with (بمعنى آخر. it won’t give large/messy numbers anywhere) and then we’ll use the fact that we also know the other two constants to find the third.

[يبدأx & = 0 : & hspace <0.25in>18 & = Bleft( < - 3> ight) & hspace<0.15in>Rightarrow hspace<0.25in>B & = - 6 x & = 3 : & hspace <0.25in>18 & = Cleft( 9 ight) & hspace <0.15in>Rightarrow hspace<0.25in>C & = 2 x & = 1 : & 18 & = Aleft( < - 2> ight) + Bleft( < - 2> ight) + C = - 2A + 14 & hspace <0.15in>Rightarrow hspace<0.25in>A & = - 2end]

In the previous example there were actually two different ways of dealing with the () in the denominator. One is to treat it as a quadratic which would give the following term in the decomposition

and the other is to treat it as a linear term in the following way,

which gives the following two terms in the decomposition,

We used the second way of thinking about it in our example. Notice however that the two will give identical partial fraction decompositions. So, why talk about this? Simple. This will work for (), but what about () or ()? In these cases, we really will need to use the second way of thinking about these kinds of terms.

Let’s take a look at one more example.

In this case the numerator and denominator have the same degree. As with the last example we’ll need to do long division to get this into the correct form. We’ll leave the details of that to you to check.

So, we’ll need to partial fraction the second integral. Here’s the decomposition.

Setting numerator equal gives,

[1 = Aleft( ight) + Bleft( حق)]

Picking value of (x) gives us the following coefficients.

[يبدأx & = - 1 : & hspace <0.25in>1 & = Bleft( < - 2> ight) & hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.5in>B & = - frac<1><2> x & = 1 ,,,, : & hspace<0.25in>1 & = Aleft( 2 ight) & hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.5in>A & = frac<1><2>end]


السؤال رقم 1.
Write shaded portion as a fraction. Arrange them in ascending and descending order using correct sign ‘<‘, ‘=’, ‘>’ between the fraction:
(أ)

(b)


appropriate signs between the fractions given

المحلول:

(i) In ascending order, these are

(ii) In descending order, these are

(b)

(i) In ascending order, these are

(ii) In descending order, these are

(c)

السؤال 2.
Compare the fractions and put an appropriate sign.

Solution :


السؤال 3.
Make five more such pairs and make appropriate signs.

السؤال 4.
Look at the figures and write ‘<’ or ‘>’, ‘=’ between the pairs of fractions.
Solution :


Make five more such problems and solve them with your friends.
المحلول:

For the remaining part, please try yourself.

السؤال 5.
How quickly can you do this? Fill appropriate sign (<, =,>)

Solution :


السؤال 6.
The following fractions represent just three different numbers. Separate them into three groups of equivalent fractions, by changing each one to its simplest form.

Solution :


السؤال 7.
Find answers to the following. Write and indicate how you solved them.

Solution :
(أ) Equivalent fraction of (frac < 5 >< 9 >) are

Equivalent fraction of (frac < 4 >< 5 >) are

(b) Equivalent fraction of (frac < 9 >< 16 >) are

السؤال 8.
Ila reads 25 pages of a book containing 100 pages. Lalita reads (frac < 1 >< 2 >) of the same book. Who read less?

السؤال 9.
Rafiq exercised for (frac < 3 >< 6 >) of an hour, while 6 Rohit exercised for (frac < 3 >< 4 >) of an hour. Who exercised for a longer time?
Solution :
∴ (frac < 3 >< 4 >) > (frac < 3 >< 6 >)
∴ Rohit exercised for a longer time.

السؤال 10.
In class A of 25 students, 20 passed in first class in another class B of 30 students, 24 passed in first class. In which class was a greater fraction of students getting first class?
Solution :

Hence, in both the classes the same fraction (left( frac < 4 > < 5 > ight))of total students got first class.

We hope the NCERT Solutions for Class 6 Maths Chapter 7 Fractions Ex 7.4 help you. If you have any query regarding NCERT Solutions for Class 6 Maths Chapter 7 Fractions Ex 7.4, drop a comment below and we will get back to you at the earliest.


Defn: أ quadratic surd is a root of a non-trivial quadratic equation with integer coefficients.

Thm: An eventually periodic continued fraction has is equal to a quadratic surd.

Thm: (Lagrange) If &alpha is a quadratic surd, then &alpha has a periodic continued fraction.

proof: (Charves) [RS92, pg 41] As &alpha is a quadratic surd, there are integers p 0 > 0, q 0 and r 0 such that
Replace &alpha with ( a ك &zeta k +1 + أ k -1)/( b ك &zeta k +1 + ب k -1) and multiply the resulting expression by ( b ك &zeta k +1 + ب k -1) 2
to get p 0( a ك &zeta k +1 + أ k -1) 2 + q 0( a ك &zeta k +1 + أ k -1)( b ك &zeta k +1 + ب k -1) + r 0( b ك &zeta k +1 + ب k -1) 2 = 0
Expand and collect terms in &zeta k +1 to get:

  • ص k +1 = p 0 أ ك 2 + q 0 أ ك ب ك + r 0 ب ك 2
  • ف k +1 = 2 p 0 أ ك أ k -1 + q 0( a ك ب k -1 + أ k -1 ب ك ) + 2 r 0 ب ك ب k -1
  • ص k +1 = p 0 أ k -1 2 + q 0 أ k -1 ب k -1 + r 0 ب k -1 2

Defn: A quadratic surd &zeta is reduced iff &zeta > 0 and its conjugate &zeta * satisfies -1 < &zeta * < 0.

For square-free d we see that &radic d + &lfloor&radic d &rfloor are reduced.

Thm: A quadratic surd is purely periodic iff it is reduced. [NZM, Thm 7.20]

Thm: The length L of the repeating block in the periodic continued fraction of ( P 0 + &radic D )/ Q 0 satisfies L ( D ) = O (&radic D log( D )) [RS92, pg 50]


Partial Fractions

Remember these formulas of partial fractions for different types of fractions:

Types of fractionsForm of the partial fractions

We can recall from GCSE’s that to transform a function consisting of many fractions into a single fraction, we take LCM (lowest common factor) of the entire function i.e:

if we have a function , we take its LCM and make it into a single fraction:

Now the question is what do we do when we want to reverse this process and split a single fraction into two or more fractions. Well, the process of breaking a single fraction into multiple fractions is known as splitting into ”partial fractions”. It could be both sum or difference of two or more fractions.

There are three different types of fractions:

1. Where a fraction consists of only linear factors in the denominator.

2. Where there are repeated factors in the denominator of the fraction.

3. Where there are quadratic factors in the denominator of the fraction.

We will go through each one of the types with the methods used to solve them along with examples below.

1. Linear factors in the denominator

This included both proper fractions and improper fractions. Let’s have a look at the proper fractions first.

Example #1

Q. Find the partial fractions of

Note: This is the same function that resulted by taking LCM of fractions in the beginning of this article.

Since the denominator has linear factors, there required partial fractions will be:

First find the 2 values of x:

Substitute each value of x in equation 1, one at a time.

So to find the value of أ put x = -1 in equation 1,

So to find the value of ب put in equation 1:

Substituting the values of أ و ب in equation (i) above gives us our partial fractions:

For such proper fractions whose denominators are linear factors we can also use a cover up method.

Cover up method

This is basically a shortcut of finding the partial fractions, where we don’t have to do long calculations like we did in the above example i.e let’s do the above example now with the cover up method. You will see how quickly we can find the results.

Example #2

Q. Find the partial fractions of using the cover up methods.

As we know the partial fraction expression would be:

لايجاد أ we consider the left hand side of the equation:

We cover up one factor in the denominator first i.e cover up (x + 1)

Since we have covered up (x + 1), the value of x in this case is -1.

We get , substitute the value of x:

Similarly to find B we cover up (2x + 3) and find that in this case.

Substituting this value of x we get:

Therefore our partial fractions are

Now that we have understood how we find partial fractions for proper fractions, we move on to improper fractions.

Partial fractions of Improper fractions

Improper fractions are fractions whose degree of denominator is equal to or less than the degree of its numerator i.e:

these are both considered as improper fractions.

To find work out the partial fractions, we must have the function as a proper fraction. Therefore, we convert all improper fractions into proper ones before we decompose them into partial fractions. We do this by dividing the numerator by its denominator till it becomes a proper fractions. This is done through algebraic long division. Algebraic long division has been explained in detail in the article ”Algebraic long division”. Let’s work out an example now.

Example #3

Q. Find the partial fractions of

We can see that the above function is an improper fractions as the degree of numerator is equal to degree of the denominator. Hence, we must carry out long division to convert it into a proper fraction.

After the long division the fraction becomes:

Now is a proper fraction, we can therefore split it into partial fractions.

Now using the cover up method we find the values of أ و B.

Therefore, the required partial fractions are:

2. Repeated factors in the denominator

When a square term occurs in a denominator i.e , we consider two separate constants for such expressions.

Example #4

Q. Express in partial fractions

Comparing all the coefficients of :

Hence, the required partial fractions are:

3. Quadratic factors in the denominator

In the case, where a fraction has a quadratic factor in the denominator which cannot be simplified further, then that denominator will have a linear numerato in its partial fraction i.e:

If we have a function we will write it as .

We will then follow the same process as above to find the values of أ and after that we compare the coefficients of x to find the value of ب و ج.


Class 12 Maths Chapter 7 Integration by Partial Fractions

Integration by Partial Fractions in mathematics is basically used when we have to integrate a rational function.The complex rational expressions out there cannot be solved in a simpler way. Therefore, in order to avoid this complexity, partial fractions can be used which decompose the rational expressions into simpler partial fractions.

Integration by Partial Fractions falls under Unit 3 Chapter 3 of NCERT Class 12 Mathematics. The chapter has been included in the syllabus for the session 2020-21. في ال revised syllabus of CBSE, no topics have been omitted from this portion. The whole unit, i.e, Unit 3 will carry around 35 marks in the board examination.

Definition 

In mathematics, a rational function is defined as the ratio of two polynomials P(x)/Q(x), where Q(x) ≠ 0. It is a proper fraction if the degree of P(x) is less than the degree of Q(x), otherwise it is an improper fraction. Even if a fraction is improper, the long division method will reduce it to a correct fraction.

So, if P(x)/Q(x) is an improper fraction, then P(x)/Q(x) = T(x) + P1(x)/Q(x) … where T(x) is a polynomial and P1(x)/Q(x) is a proper rational fraction. We already know how to integrate polynomials, and we&aposll learn how to integrate partial fractions in this article. Furthermore, we can consider rational functions whose denominators can be factored into linear and quadratic equations.

Different Forms of Integration by Partial Fractions

Let&aposs assume we&aposre trying to find the value of [P(x)/Q(x)] dx, where P(x)/Q(x) is a proper rational fraction. In such cases, partial fraction decomposition can be used to write the integrand as a sum of simpler rational functions. Integration can then be done with ease. The picture below depicts some basic partial fractions that can be linked to a variety of rational functions:

Please keep in mind that A, B, and C are all real numbers whose values should be calculated appropriately.

For more reference, check this

Examples of Integration by Partial Fractions

Ques. ਏind ∫ dx / [(x + 1) (x + 2)]

The integrand is a rational function in the proper sense. As a result, if we use the partial fraction form from the image above, we get:

1 / [(x + 1) (x + 2)] = A / (x + 1) + B / (x + 2) … (1)

When we solve this equation, we get:

We must have LHS equal to RHS in order for LHS to be equal to RHS.

A + B = 0 and 2A + B = 1. On solving these two equations, we get

1 / [(x + 1) (x + 2)] = 1 / (x + 1) – 1 / (x + 2)

Hence, ∫ dx / [(x + 1) (x + 2)] = ∫ dx / (x + 1) – ∫ dx / (x + 2)

ملحوظة that Equation (1) holds for all possible x values. Some authors use the symbol ‘≡’ to represent an identity, while others use the symbol ‘=&apos to denote an equation, i.e., a statement that is valid only for certain values of x.


Ques.ਏind ∫ [(x 2 + 1) / (x 2 – 5x + 6)] dx

The integrand in this case is not a proper rational function. As a result, we divide

(x 2 + 1) by (x 2 – 5x + 6) and get,

(x 2 + 1) / (x 2 – 5x + 6) = 1 + (5x – 5) / (x 2 – 5x + 6)

Let&aposs take a look at the second half of the equation to see what we can learn.

5x – 5 = A (x – 3) + B (x – 2) = Ax – 3A + Bx – 2B = x (A + B) – (3A + 2B)

We get A + B = 5 and 3A + 2B = 5 by comparing the coefficients of the x term and constants. We also get A = – 5 and B = 10 when we solve these two equations.

(x 2 + 1) / (x 2 – 5x + 6) = 1 – 5 / (x – 2) + 10 / (x – 3)

Therefore, ∫ [(x 2 + 1) / (x 2 – 5x + 6)] dx = ∫ dx – 5 ∫ 1 / (x – 2) + 10 ∫ 1 / (x – 3)

= x – 5log |x – 2| + 10log |x – 3| + C

Ques.ਏind ∫ [(3x – 2) / (x + 1) 2 (x + 3)] dx

If you look at the picture above, you&aposll find that the denominator is identical to example 4. As a result, we have

(3x – 2) / (x + 1) 2 (x + 3) = A / (x + 1) + B / (x + 1) 2 + C / (x + 3)

3x – 2 = A (x + 1) (x + 3) + B (x + 3) + C (x + 1) 2

= A (x 2 + 4x + 3) + B (x + 3) + C (x 2 + 2x + 1) = Ax 2 + 4Ax + 3A + Bx + 3B + Cx 2 + 2Cx + C

= x 2 (A + C) + x (4A + B + 2C) + (3A + 3B + C)

Comparing the coefficients of x 2 , x and the constant terms, we get

We get A = 11/4, B = 𠄵/2, and C = �/4 by solving these three equations.

(3x – 2) / (x + 1) 2 (x + 3) = 11 / 4(x + 1) – 5 / 2(x + 1) 2 – 11 / 4(x + 3)

Therefore, ∫ [(3x – 2) / (x + 1) 2 (x + 3)] dx = 11/4 ∫ dx / (x + 1) – 5/2 ∫ dx / (x + 1) 2 – 11/4 ∫ dx / (x + 3)

= 11/4 log |x + 1| + 5 / 2(x + 1) – 11/4 log |x + 3| + C

= 11/4 log |(x + 1) / (x + 3)| + 5 / 2(x + 1) + C

Sample Questions on Integration by Partial Fractions

Ques. What does the word "partial fractions" mean?

Ans. The process of decomposing a fraction into its simplest form is known as a partial fraction in mathematics.

Ques. What are the various types of denominators in partial fractions?

Ans. In partial fractions, there are four distinct types of denominators:

Irreducible factors of degree 2

Repeated irreducible factors of degree 2

Ques. What is the best way to integrate fractions?

Ans. If you&aposre asked to incorporate a fraction, try multiplying or dividing the fraction&aposs top and bottom by a number. Splitting a fraction into smaller bits before attempting to integrate it may often be beneficial. For this, you can use the partial fractions process.

Ques. What do you mean by integration?

Ans. Integration takes place at the time when distinct people or things are brought together. For example, the integration of students from all the colleges of a particular city at the university and more. As we already know that differentiate is to “set apart”, therefore integrate just the opposite of this. 

Previous Years’ Questions

Short Answer Questions

Ques. Find:   (CBSE 2019)

Ques. Find:   (CBSE 2018)

Ans. Given integral is,

Long Answer Questions

Ques. Find:      (Delhi 2017)

Ans. Given integral is,

Ques. Find:    (All India 2017)

Ans. Given integral is,

Ans. The given integral,

CBSE Class 12 Mathematics: Key Suggestions

The question paper will be divided into two parts: A and B, where both the parts will have internal choices. 

CBSE Class 12 Mathematics: Learning outcomes

From this portion of the chapter, the candidates get to know that partial fraction decomposition can be the methods to decompose the rational expressions.


NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 7 Integers Ex 7.4

NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 7 Integers Ex 7.4 are part of NCERT Solutions for Class 12 Maths. Here we have given Class 12 Maths NCERT Solutions Integrals Ex 7.4
السؤال رقم 1.
(frac < < 3x >^ < 2 >>< < x >^< 6 >+1 > )
المحلول:

السؤال 2.
(frac < 1 >< sqrt < 1+< 4x >^ < 2 >> > )
المحلول:

السؤال 3.
(frac < 1 >< sqrt < < (2-x) >^< 2 >+1 > > )
المحلول:

السؤال 4.
(frac < 1 >< sqrt < 9-< 25x >^ < 2 >> > )
المحلول:

السؤال 5.
(frac < 3x >< 1+< 2x >^ < 4 >> )
المحلول:

السؤال 6.
(frac < < x >^ < 2 >>< 1-< x >^ < 6 >> )
المحلول:

السؤال 7.
(frac < x-1 >< sqrt < < x >^< 2 >-1 > > )
المحلول:

السؤال 8.
(frac < < x >^ < 2 >>< sqrt < < x >^< 6 >+< a >^ < 6 >> > )
المحلول:

السؤال 9.
(frac < < sec >^< 2 >x >< sqrt < < tan >^< 2 >x+4 > > )
المحلول:

السؤال 10.
(frac < 1 >< sqrt < < x >^< 2 >+2x+2 > > )
المحلول:

السؤال 11.
(frac < 1 >< < 9x >^< 2 >+6x+5 > )
المحلول:

السؤال 12.
(frac < 1 >< sqrt < 7-6x-< x >^ < 2 >> > )
المحلول:

السؤال 13.
(frac < 1 > < sqrt < (x-1)(x-2) >> )
المحلول:

السؤال 14.
(frac < 1 >< sqrt < 8+3x-< x >^ < 2 >> > )
المحلول:

السؤال 15.
(frac < 1 > < sqrt < (x-a)(x-b) >> )
المحلول:

السؤال 16.
(frac < 4x+1 >< sqrt < < 2x >^< 2 >+x-3 > > )
المحلول:

السؤال 17.
(frac < x+2 >< sqrt < < x >^< 2 >-1 > > )
المحلول:


السؤال 18.
(frac < 5x-2 >< 1+2x+< 3x >^ < 2 >> )
المحلول:
put 5x-2=A(frac < d >< dx >)(1+2x+3x²)+B
⇒ 6A=5, A=(frac < 5 >< 6 >-2=2A+B), B=(-frac < 11 >< 3 >)

السؤال 19.
(frac < 6x+7 > < sqrt < (x-5)(x-4) >> )
المحلول:



Question 20.
(frac < x+2 >< sqrt < 4x-< x >^ < 2 >> > )
المحلول:



السؤال 21.
(frac < x+2 >< sqrt < < x >^< 2 >+2x+3 > > )
المحلول:


السؤال 22.
(frac < x+3 >< < x >^< 2 >-2x-5 > )
المحلول:


السؤال 23.
(frac < 5x+3 >< sqrt < < x >^< 2 >+4x+10 > > )
المحلول:


السؤال 24.
(int < frac < dx >< < x >^< 2 >+2x+2 > equals > )
(a) xtan -1 (x+1)+c
(b) (x+1)tan -1 x+c
(c) tan -1 (x+1)+c
(d) tan -1 x+c
المحلول:

السؤال 25.
(int < frac < dx >< sqrt < 9x-< 4x >^ < 2 >> > equals > )
(a) (frac < 1 > < 9 >< sin >^< -1 >left( frac < 9x-8 > < 8 > ight) +c)
(b) (frac < 1 > < 2 >< sin >^< -1 >left( frac < 8x-9 > < 9 > ight) +c)
(c) (frac < 1 > < 3 >< sin >^< -1 >left( frac < 9x-8 > < 8 > ight) +c)
(d) (< sin >^< -1 >left( frac < 9x-8 > < 9 > ight) +c)
المحلول:

NCERT Solutions for Class 12 Maths Exercise 7.4 in Hindi

प्रश्न 1 से 23 तक के फलनों का समाकलन कीजिए।

प्रश्न 1.

हल-

प्रश्न 2.

हल-

प्रश्न 3.

हल-

प्रश्न 4.

हल-

प्रश्न 5.

हल-

प्रश्न 6.

हल-

प्रश्न 7.

हल-

प्रश्न 8.

हल-

प्रश्न 9.

हल-

प्रश्न 10.

हल-

प्रश्न 11.

हल-

प्रश्न 12.

हल-

प्रश्न 13.

हल-

प्रश्न 14.

हल-

प्रश्न 15.

हल-

प्रश्न 16.

हल-

प्रश्न 17.

हल-

प्रश्न 18.

हल-


प्रश्न 19.

हल-


प्रश्न 20.

हल-

प्रश्न 21.

हल-

प्रश्न 22.

हल-

प्रश्न 23.

हल-

प्रश्न 24.

हल-

प्रश्न 25.

हल-


Partial fraction decomposition is a useful process when taking antiderivatives of many rational functions.

It involves factoring the denominators of rational functions and then generating a sum of fractions whose denominators are the factors of the original denominator. Bézout's identity suggests that numerators exist such that the sum of these fractions equals the original rational function. The process of partial fraction decomposition is the process of finding such numerators. The result is an expression that can be more easily integrated or antidifferentiated.

There are various methods of partial fraction decomposition. One method is the method of equating coefficients. This involves matching terms with equivalent powers and performing algebra to find missing coefficients. It is a common method, and one based on the method of undetermined coefficients. Alternative methods include one based on Lagrange interpolation, another based on residues and more.

The study of partial fraction decomposition is important to calculus, differential equations and other areas, and is also known as partial fraction expansion.


شاهد الفيديو: تكامل الدوال النسبية باستخدام الكسور الجزئية. للصف 12. المتقدم (شهر اكتوبر 2021).