مقالات

2.2: الرسوم البيانية للوظائف الخطية


أهداف التعلم

  • وظائف خطية الرسم البياني.
  • اكتب معادلة دالة خطية من التمثيل البياني لخط.
  • بالنظر إلى معادلات المستقيمين ، حدد ما إذا كانت رسوماتهما البيانية متوازية أم متعامدة.
  • اكتب معادلة الخط الموازي أو العمودي لخط معطى.
  • حل نظام معادلات خطية.

تقدم شركتا هاتف متنافستان خطط دفع مختلفة. تتقاضى الخطتان نفس السعر لكل دقيقة مسافة طويلة ، لكنهما تتقاضيان رسومًا ثابتة شهرية مختلفة. يريد المستهلك تحديد ما إذا كانت الخطتان ستكلفان نفس المبلغ لعدد معين من دقائق المسافة الطويلة المستخدمة. يمكن تمثيل التكلفة الإجمالية لكل خطة دفع بواسطة دالة خطية. لحل المشكلة ، سنحتاج إلى مقارنة الوظائف. في هذا القسم ، سننظر في طرق مقارنة الوظائف باستخدام الرسوم البيانية.

وظائف خطية بيانية

سابقًا ، رأينا أن التمثيل البياني للدالة الخطية هو خط مستقيم. تمكنا أيضًا من رؤية نقاط الدالة بالإضافة إلى القيمة الأولية من الرسم البياني. من خلال رسم وظيفتين بيانيًا ، يمكننا مقارنة خصائصهما بسهولة أكبر. هناك ثلاث طرق أساسية لرسم الوظائف الخطية:

  1. ارسم النقاط ثم ارسم خطًا من خلال النقاط.
  2. استخدم تقاطع y والميل.
  3. استخدم تحويلات دالة الهوية (f (x) = x ).

رسم وظيفة عن طريق رسم النقاط

للعثور على نقاط دالة ، يمكننا اختيار قيم الإدخال وتقييم الوظيفة عند قيم الإدخال هذه وحساب قيم المخرجات. قيم الإدخال وقيم الإخراج المقابلة تشكل أزواج إحداثيات. ثم نرسم أزواج الإحداثيات على شبكة. بشكل عام ، يجب علينا تقييم الدالة عند مدخلين على الأقل لإيجاد نقطتين على الأقل في الرسم البياني. على سبيل المثال ، بالنظر إلى الوظيفة ، (f (x) = 2x ) ، قد نستخدم قيمتي الإدخال 1 و 2. ينتج عن تقييم الدالة لقيمة الإدخال 1 قيمة الإخراج 2 ، والتي تمثلها النقطة ((1،2) ). يؤدي تقييم الدالة لقيمة الإدخال 2 إلى الحصول على قيمة إخراج قدرها 4 ، والتي يتم تمثيلها بالنقطة ((2،4) ). غالبًا ما يُنصح باختيار النقاط الثلاث لأنه إذا لم تقع النقاط الثلاث في نفس الخط ، فنحن نعلم أننا ارتكبنا خطأ.

الكيفية: إعطاء دالة خطية ، رسم بيانيًا عن طريق رسم النقاط.

  1. اختر ما لا يقل عن اثنين من قيم الإدخال.
  2. قيم الدالة عند كل قيمة إدخال.
  3. استخدم قيم الإخراج الناتجة لتحديد أزواج الإحداثيات.
  4. ارسم أزواج الإحداثيات على الشبكة.
  5. ارسم خطًا عبر النقاط.

مثال ( PageIndex {1} ): الرسم البياني بنقاط التآمر

رسم بياني (f (x) = - frac {2} {3} x + 5 ) عن طريق رسم النقاط.

المحلول

ابدأ باختيار قيم الإدخال. تتضمن هذه الوظيفة كسرًا مقامه 3 ، لذلك دعونا نختار مضاعفات 3 كقيم إدخال. سنختار 0 و 3 و 6.

قم بتقييم الوظيفة عند كل قيمة إدخال ، واستخدم قيمة المخرجات لتحديد أزواج الإحداثيات.

[ start {align *} x & = 0 & f (0) & = - dfrac {2} {3} (0) + 5 = 5 rightarrow (0،5) x & = 3 & f (3 ) & = - dfrac {2} {3} (3) + 5 = 3 rightarrow (3،3) x & = 6 & f (6) & = - dfrac {2} {3} (6) + 5 = 1 rightarrow (6،1) end {align *} ]

ارسم أزواج الإحداثيات وارسم خطًا عبر النقاط. يمثل الشكل ( PageIndex {1} ) الرسم البياني للدالة (f (x) = - frac {2} {3} x + 5 ).

التحليلات

الرسم البياني للدالة هو خط كما هو متوقع لوظيفة خطية. بالإضافة إلى ذلك ، فإن الرسم البياني لديه ميل هبوطي ، مما يشير إلى ميل سلبي. هذا متوقع أيضًا من معدل التغيير الثابت السلبي في معادلة الوظيفة.

تمرين ( PageIndex {1} )

رسم بياني (f (x) = - frac {3} {4} x + 6 ) عن طريق رسم النقاط.

إجابه

رسم دالة باستخدام تقاطع y والميل

هناك طريقة أخرى لرسم وظائف خطية وهي استخدام خصائص محددة للوظيفة بدلاً من رسم النقاط. السمة الأولى هي تقاطع ص، وهي النقطة التي تكون فيها قيمة الإدخال صفرًا. لإيجاد تقاطع y ، يمكننا تعيين (x = 0 ) في المعادلة.

السمة الأخرى للدالة الخطية هي ميلها (م ) ، وهو مقياس لانحدارها. تذكر أن الميل هو معدل تغير الوظيفة. يساوي ميل الوظيفة نسبة التغيير في المخرجات إلى التغيير في المدخلات. هناك طريقة أخرى للتفكير في الميل وهي قسمة الفرق الرأسي ، أو الارتفاع ، على الفرق الأفقي ، أو الجري. لقد واجهنا كلا من تقاطع y والميل في الدوال الخطية.

دعونا ننظر في الوظيفة التالية.

[f (x) = dfrac {1} {2} x + 1 ]

الميل هو ( frac {1} {2} ). نظرًا لأن الميل موجب ، فنحن نعلم أن الرسم البياني سينحرف لأعلى من اليسار إلى اليمين. تقاطع y هو النقطة على الرسم البياني عند (x = 0 ). يتقاطع الرسم البياني مع المحور y عند ((0،1) ). الآن نعرف الميل وتقاطع y. يمكننا أن نبدأ الرسم البياني عن طريق رسم النقطة ((0،1) ) نحن نعلم أن المنحدر يرتفع على الجري ، (m = frac { text {height}} { text {run}} ). من مثالنا ، لدينا (m = frac {1} {2} ) ، مما يعني أن الارتفاع يساوي 1 والتشغيل 2. لذا بدءًا من تقاطع y ((0،1) ) ، يمكننا الصعود 1 ثم تشغيل 2 ، أو الركض 2 ثم الارتفاع 1. نكرر ذلك حتى نحصل على بضع نقاط ، ثم نرسم خطًا عبر النقاط كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {3} ).

تفسير رسومي لوظيفة خطية

في المعادلة (f (x) = mx + b )

  • (ب ) هو تقاطع ص للرسم البياني ويشير إلى النقطة ((0 ، ب) ) التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع المحور ص.
  • (م ) هو ميل الخط ويشير إلى الإزاحة الرأسية (الارتفاع) والإزاحة الأفقية (المدى) بين كل زوج متتالي من النقاط. تذكر صيغة المنحدر:

[m = dfrac { text {change in output (height)}} { text {change in input (run)}} = dfrac {{ Delta} y} {{ Delta} x} = dfrac {y_2-y_1} {x_2-x_1} ]

تمرين ( PageIndex {1} )

هل كل الدوال الخطية لها تقاطعات ص؟

إجابه

نعم فعلا. تعبر جميع الدوال الخطية المحور y ومن ثم يكون لها تقاطعات y. (ملاحظة: الخط العمودي الموازي للمحور الصادي ليس له تقاطع ص ، لكنه ليس دالة.)

الكيفية: بالنظر إلى معادلة دالة خطية ، ارسم الدالة بيانيًا باستخدام تقاطع y والميل.

  1. احسب قيمة الدالة عند إدخال قيمة صفر لإيجاد تقاطع y.
  2. حدد الميل باعتباره معدل تغير قيمة الإدخال.
  3. ارسم النقطة التي يمثلها تقاطع y.
  4. استخدم ( frac { text {height}} { text {run}} ) لتحديد نقطتين أخريين على الأقل على السطر.
  5. ارسم الخط الذي يمر عبر النقاط.

مثال ( PageIndex {2} ): رسم بياني باستخدام تقاطع ص والميل

رسم بياني (f (x) = - frac {2} {3} x + 5 ) باستخدام تقاطع y والميل.

المحلول

احسب الدالة عند (x = 0 ) لإيجاد تقاطع y. قيمة المخرجات عندما (x = 0 ) هي 5 ، لذلك سيعبر الرسم البياني المحور y عند ((0،5) ).

وفقًا لمعادلة الدالة ، يكون ميل الخط (- frac {2} {3} ). يخبرنا هذا أنه لكل انخفاض رأسي في "الارتفاع" بمقدار -2 وحدة ، يزيد "المدى" بمقدار 3 وحدات في الاتجاه الأفقي. يمكننا الآن رسم الدالة عن طريق رسم تقاطع y أولاً على الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {4} ). من القيمة الأولية ((0،5) ) ننتقل إلى أسفل وحدتين وإلى اليمين 3 وحدات. يمكننا تمديد الخط إلى اليسار واليمين عن طريق التكرار ، ثم رسم خط يمر بالنقاط.

التحليلات

يميل الرسم البياني لأسفل من اليسار إلى اليمين ، مما يعني أن ميله سالب كما هو متوقع.

تمرين ( PageIndex {2} )

ابحث عن نقطة على الرسم البياني رسمناها في المثال ( PageIndex {2} ) التي لها قيمة س سالبة.

إجابه

تتضمن الإجابات المحتملة ((- 3،7) ) أو ((- 6،9) ) أو ((- 9،11) ).

رسم دالة باستخدام التحويلات

خيار آخر للرسم البياني هو استخدام التحولات من دالة الهوية (f (x) = x ). يمكن تحويل الوظيفة عن طريق التحول لأعلى أو لأسفل أو لليسار أو لليمين. يمكن أيضًا تحويل الوظيفة باستخدام انعكاس أو تمدد أو ضغط.

تمدد أو ضغط عمودي

في المعادلة (f (x) = mx ) ، يعمل (m ) على أنه امتداد عمودي أو ضغط من وظيفة الهوية. عندما يكون (م ) سالبًا ، يوجد أيضًا انعكاس رأسي للرسم البياني. لاحظ في الشكل ( PageIndex {5} ) أن ضرب معادلة (f (x) = x ) في (m ) يؤدي إلى تمديد الرسم البياني (f ) بمعامل (m ) ) الوحدات إذا (م> 1 ) ويضغط الرسم البياني (f ) بمعامل (م ) الوحدات إذا (0 <م <1 ). هذا يعني أنه كلما زادت القيمة المطلقة لـ (م ) ، كان المنحدر أكثر انحدارًا.

التحول العمودي

في (f (x) = mx + b ) ، يعمل (b ) مثل التحول العموديتحريك الرسم البياني لأعلى ولأسفل دون التأثير على ميل الخط. لاحظ في الشكل ( PageIndex {6} ) أن إضافة قيمة (b ) إلى معادلة (f (x) = x ) يغير الرسم البياني لـ (f ) إجمالي (ب ) وحدة لأعلى إذا كان (ب ) موجبًا و (| ب | ) وحدات أسفل إذا كان (ب ) سالبًا.

يعد استخدام الامتدادات أو الضغط الرأسي جنبًا إلى جنب مع التحولات الرأسية طريقة أخرى للنظر في تحديد أنواع مختلفة من الوظائف الخطية. على الرغم من أن هذه قد لا تكون أسهل طريقة لرسم هذا النوع من الوظائف ، إلا أنه لا يزال من المهم ممارسة كل طريقة.

بالنظر إلى معادلة الدالة الخطية ، استخدم التحويلات لرسم الدالة الخطية في الشكل (f (x) = mx + b ).

  1. رسم بياني (f (x) = x ).
  2. قم بمد الرسم البياني أو ضغطه رأسياً بواسطة عامل (م ).
  3. انقل الرسم البياني لأعلى أو لأسفل (ب ) وحدات.

مثال ( PageIndex {3} ): الرسم البياني باستخدام التحويلات

رسم بياني (f (x) = frac {1} {2} x − 3 ) باستخدام التحويلات.

المحلول

توضح معادلة الدالة أن (m = frac {1} {2} ) لذلك يتم ضغط دالة الهوية رأسياً بواسطة ( frac {1} {2} ). تُظهر معادلة الدالة أيضًا أن (b = −3 ) وبالتالي فإن وظيفة الهوية يتم إزاحتها رأسياً لأسفل بمقدار 3 وحدات. أولاً ، قم برسم دالة الهوية ، واعرض الضغط العمودي كما في الشكل ( PageIndex {7} ).

ثم اعرض التحول الرأسي كما في الشكل ( PageIndex {8} ).

تمرين ( PageIndex {3} )

رسم بياني (f (x) = 4 + 2x ) ، باستخدام التحويلات.

إجابه

في المثال 2.2.3 ، هل كان بإمكاننا رسم الرسم البياني بعكس ترتيب التحولات؟

لا ، ترتيب التحولات يتبع ترتيب العمليات. عندما يتم تقييم الوظيفة عند إدخال معين ، يتم حساب المخرجات المقابلة باتباع ترتيب العمليات. هذا هو السبب في أننا قمنا بالضغط أولاً. على سبيل المثال ، باتباع الترتيب: اجعل الإدخال 2.

[ start {align} f (2) & = dfrac {1} {2} (2) -3 & = 1-3 & = - 2 end {align} ]

كتابة معادلة دالة من الرسم البياني لخط

تذكر أنه في الدوال الخطية ، كتبنا معادلة دالة خطية من رسم بياني. يمكننا الآن توسيع ما نعرفه عن رسم الدوال الخطية لتحليل الرسوم البيانية عن كثب. ابدأ بإلقاء نظرة على الشكل ( PageIndex {10} ). يمكننا أن نرى على الفور أن الرسم البياني يقطع المحور y عند النقطة ((0 ، 4) ) لذلك هذا هو تقاطع المحور y.

ثم يمكننا حساب الميل بإيجاد الارتفاع والجري. يمكننا اختيار أي نقطتين ، لكن دعونا نلقي نظرة على النقطة (−2،0). للانتقال من هذه النقطة إلى تقاطع y ، يجب أن نتحرك لأعلى بمقدار 4 وحدات (ارتفاع) ووحدتان يمينان (تشغيل). لذلك يجب أن يكون المنحدر

[m = dfrac { text {height}} { text {run}} = dfrac {4} {2} = 2 ]

يعطينا استبدال الميل وتقاطع y بصيغة الميل والمقطع للخط

[ص = 2 س + 4 ]

بالنظر إلى رسم بياني للدالة الخطية ، أوجد المعادلة لوصف الدالة.

  1. حدد الجزء المقطوع من المحور y للمعادلة.
  2. اختر نقطتين لتحديد الميل.
  3. عوّض تقاطع y والميل في صيغة الميل والمقطع للخط.

مثال ( PageIndex {4} ): مطابقة الدوال الخطية بالرسوم البيانية

طابق كل معادلة للدوال الخطية بأحد الخطوط في الشكل ( PageIndex {11} ).

  1. (و (س) = 2 س + 3 )
  2. (ز (س) = 2 س − 3 )
  3. (ح (س) = - 2 س + 3 )
  4. (j (x) = frac {1} {2} x + 3 )

المحلول

تحليل المعلومات لكل وظيفة.

  1. هذه الوظيفة لها ميل 2 وتقاطع y 3. يجب أن تمر عبر النقطة ((0 ، 3) ) وتميل لأعلى من اليسار إلى اليمين. يمكننا استخدام نقطتين لإيجاد الميل ، أو يمكننا مقارنته بالدوال الأخرى المدرجة. الدالة (g ) لها نفس الميل ، لكن تقاطع y مختلف. الخطان الأول والثالث لهما نفس الميل لأنهما لهما نفس الميل. لا يمر السطر الثالث عبر ((0 ، 3) ) لذلك يجب تمثيل (f ) بالسطر الأول.
  2. ميل هذه الدالة أيضًا 2 ، لكن الجزء المقطوع من المحور y يساوي −3. يجب أن يمر بالنقطة ((0 ، −3) ) ويميل لأعلى من اليسار إلى اليمين. يجب أن يمثله السطر الثالث.
  3. هذه الدالة لها ميل –2 وتقاطع y عند 3. هذه هي الوظيفة الوحيدة المدرجة بميل سالب ، لذا يجب تمثيلها بالسطر IV لأنها مائلة للأسفل من اليسار إلى اليمين.
  4. هذه الدالة لها ميل ( frac {1} {2} ) وتقاطع y يساوي 3. ويجب أن تمر عبر النقطة (0 ، 3) وأن تميل لأعلى من اليسار إلى اليمين. يمر الخطان الأول والثاني من خلال ((0 ، 3) ) ، لكن ميل (ي ) أقل من ميل (و ) لذا يجب أن يكون خط (ي ) أكثر انبساطًا. يمثل السطر الثاني هذه الوظيفة.

يمكننا الآن إعادة تسمية الأسطر كما في الشكل ( PageIndex {12} ).

إيجاد تقاطع إكس لخط

حتى الآن ، وجدنا تقاطع y للدالة: النقطة التي يتقاطع عندها الرسم البياني للدالة مع المحور y. قد يكون للدالة أيضًا تقاطع x ، وهو الإحداثي x للنقطة التي يتقاطع فيها الرسم البياني للدالة مع المحور x. بمعنى آخر ، إنها قيمة الإدخال عندما تكون قيمة الإخراج صفرًا.

لإيجاد تقاطع x ، اضبط دالة (f (x) ) تساوي صفرًا وحل قيمة (x ). على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الوظيفة المعروضة.

[f (x) = 3x − 6 ]

ضع الدالة مساوية لصفر وحل من أجل (x ).

[ start {align} 0 & = 3x-6 6 & = 3x 2 & = x x & = 2 end {align} ]

يتقاطع الرسم البياني للوظيفة مع المحور x عند النقطة ((2 ، 0) ).

هل كل الدوال الخطية لها تقاطعات إكس؟

ملاحظة: x-intercept

ال x- تقاطع من الدالة قيمة (س ) عندما (و (س) = 0 ). يمكن حلها بالمعادلة (0 = mx + b ).

مثال ( PageIndex {5} ): البحث عن تقاطع س

أوجد تقاطع x لـ (f (x) = frac {1} {2} −3 ).

المحلول

ضع الدالة مساوية للصفر لحلها من أجل (x ).

[ begin {align *} 0 & = dfrac {1} {2} x-3 3 & = dfrac {1} {2} x 6 & = x x & = 6 end {align * } ]

يقطع الرسم البياني المحور x عند النقطة ((6، 0) ).

التحليلات

يظهر رسم بياني للوظيفة في الشكل ( PageIndex {14} ). يمكننا أن نرى أن تقاطع x هو ((6، 0) ) كما توقعنا.

تمرين ( PageIndex {5} )

أوجد تقاطع x لـ (f (x) = frac {1} {4} x − 4 ).

إجابه

((16, 0))

وصف الخطوط الأفقية والعمودية

توجد حالتان خاصتان للخطوط على الرسم البياني - الخطوط الأفقية والعمودية. أ خط أفقي يشير إلى ناتج ثابت ، أو قيمة ص. في الشكل ( PageIndex {15} ) ، نرى أن الناتج له قيمة 2 لكل قيمة إدخال. وبالتالي ، فإن التغيير في المخرجات بين أي نقطتين هو 0. في صيغة الميل ، يكون البسط هو 0 ، وبالتالي يكون الميل 0. إذا استخدمنا (m = 0 ) في المعادلة (f (x) = mx + b ) ، يتم تبسيط المعادلة إلى (f (x) = b ). بمعنى آخر ، قيمة الدالة ثابتة. يمثل هذا الرسم البياني الوظيفة (f (x) = 2 ).

أ خط عمودي يشير إلى إدخال ثابت ، أو قيمة س. يمكننا أن نرى أن قيمة الإدخال لكل نقطة على السطر هي 2 ، لكن قيمة المخرجات تختلف. نظرًا لأنه يتم تعيين قيمة الإدخال هذه إلى أكثر من قيمة إخراج واحدة ، فإن الخط العمودي لا يمثل دالة. لاحظ أنه بين أي نقطتين ، يكون التغيير في قيم الإدخال صفرًا. في صيغة الميل ، سيكون المقام صفرًا ، وبالتالي فإن ميل الخط العمودي غير محدد.

لاحظ أن الخط العمودي ، مثل الخط الموجود في الشكل ( PageIndex {17} ) ، له تقاطع س ، ولكن لا يوجد تقاطع ص إلا إذا كان الخط (س = 0 ) ). يمثل هذا الرسم البياني الخط (س = 2 ).

التعاريف: الخطوط الأفقية والعمودية

يمكن أن تكون الخطوط أفقية أو رأسية.

  • أ خط أفقي هو خط محدد بواسطة معادلة بالصيغة (f (x) = b ).
  • أ خط عمودي هو خط محدد بواسطة معادلة بالصيغة (س = أ ).

مثال ( PageIndex {6} ): كتابة معادلة خط أفقي

اكتب معادلة الخط المرسوم في الشكل ( PageIndex {18} ).

المحلول

لأي قيمة x ، تكون قيمة y هي −4 ، لذا فإن المعادلة هي (y = −4 ).

مثال ( PageIndex {7} ): كتابة معادلة خط عمودي

اكتب معادلة الخط المرسوم في الشكل ( PageIndex {19} ).

المحلول

قيمة x الثابتة هي 7 ، لذا فإن المعادلة هي (x = 7 ).

تحديد ما إذا كانت الخطوط متوازية أم متعامدة

السطرين في الشكل ( PageIndex {20} ) هما خطوط متوازية: لن يتقاطعوا أبدًا. لاحظ أن لديهم نفس الانحدار تمامًا ، مما يعني أن منحدراتهم متطابقة. والفرق الوحيد بين الخطين هو الجزء المقطوع من المحور y. إذا قمنا بإزاحة خط واحد رأسيًا باتجاه الجزء المقطوع من المحور y ، فسيصبحان على نفس الخط.

يمكننا تحديد ما إذا كان خطان متوازيان من معادلاتهما بمقارنة ميلهما. إذا كان الميلان متساويان ونقاط تقاطع y مختلفة ، فإن الخطين متوازيين. إذا كانت المنحدرات مختلفة ، فإن الخطوط ليست متوازية.

ليس للخطوط العمودية نفس المنحدر. تختلف منحدرات الخطوط المتعامدة عن بعضها البعض بطريقة معينة. ميل أحد الخطين هو سالب مقلوب ميل الخط الآخر. حاصل ضرب رقم ومقلوبه هو 1. لذلك ، إذا كان (m_1 ) و (m_2 ) مقلوبان سالبان لبعضهما البعض ، فيمكن ضربهما معًا للحصول على –1.

[m_1m_2 = −1 ]

لإيجاد مقلوب رقم ، اقسم 1 على الرقم.إذن مقلوب 8 هو ( frac {1} {8} ) ومقلوب ( frac {1} {8} ) هو 8. لإيجاد المقلوب السالب ، أوجد أولاً المقلوب ثم تغيير العلامة.

كما هو الحال مع الخطوط المتوازية ، يمكننا تحديد ما إذا كان الخطان متعامدين بمقارنة ميلهما ، بافتراض أن المستقيمين ليسا أفقيين ولا متعامدين. ميل كل خط أدناه هو سالب مقلوب الآخر ، وبالتالي فإن الخطين متعامدين.

[ start {align} f (x) & = dfrac {1} {4} x + 2 & text {سلبي متبادل لـ $ dfrac {1} {4} $ هو -4} f (x ) & = - 4x + 3 & text {سالب مقلوب -4 يساوي $ dfrac {1} {4} $} end {align} ]

حاصل ضرب المنحدرات هو –1.

[- 4 كبير ( dfrac {1} {4} كبير) = - 1 ]

التعاريف: الخطوط المتوازية والعمودية

سطرين خطوط متوازية إذا لم يتقاطعوا. منحدرات الخطوط هي نفسها.

(f (x) = m_1x + b_1 ) و (g (x) = m_2x + b_2 ) متوازيان إذا (m_1 = m_2 ).

إذا وفقط إذا (b_1 = b_2 ) و (m_1 = m_2 ) ، فإننا نقول إن الأسطر تتطابق. الأسطر المتزامنة هي نفس السطر.

سطرين خطوط متعامدة إذا تقاطعا بزوايا قائمة.

(f (x) = m_1x + b_1 ) و (g (x) = m_2x + b_2 ) عموديان إذا (m_1m_2 = −1 ) ، وهكذا (m_2 = dfrac {−1} { م_1} ).

مثال ( PageIndex {8} ): تحديد الخطوط المتوازية والعمودية

بالنظر إلى الوظائف أدناه ، حدد الوظائف التي تكون رسومها البيانية عبارة عن زوج من الخطوط المتوازية وزوج من الخطوط المتعامدة.

[ start {align} f (x) & = 2x + 3 & h (x) & = - 2x + 2 g (x) & = dfrac {1} {2} x-4 & f (x ) & = 2x-6 end {align} ]

المحلول

المستقيمات المتوازية لها نفس الميل. نظرًا لأن الدالات (f (x) = 2x + 3 ) و (j (x) = 2x − 6 ) لكل منها ميل 2 ، فإنها تمثل خطوطًا متوازية. الخطوط العمودية لها ميل سالب مقلوب. نظرًا لأن −2 و ( frac {1} {2} ) مقلوبان سالبان ، فإن المعادلات ، (g (x) = frac {1} {2} x − 4 ) و (h (x) = −2x + 2 ) تمثل خطوطًا عمودية.

التحليلات

يظهر رسم بياني للخطوط في الشكل ( PageIndex {22} ).

يوضح الرسم البياني أن الخطوط (f (x) = 2x + 3 ) و (j (x) = 2x – 6 ) متوازيتان ، وأن الخطوط (g (x) = frac {1} { 2} x – 4 ) و (h (x) = - 2x + 2 ) عموديان.

كتابة معادلة الخط الموازي أو العمودي لخط معطى

إذا عرفنا معادلة الخط المستقيم ، فيمكننا استخدام ما نعرفه عن الميل لكتابة معادلة الخط الموازي للخط المعطى أو العمودي عليه.

كتابة معادلات الخطوط المتوازية

لنفترض على سبيل المثال ، أننا حصلنا على المعادلة التالية.

[f (x) = 3x + 1 nonumber ]

نعلم أن ميل الخط الذي تشكله الدالة هو 3. ونعلم أيضًا أن تقاطع y هو ((0،1) ). أي خط آخر بميله 3 سيكون موازيًا لـ (f (x) ). لذا فإن الخطوط المكونة من جميع الوظائف التالية ستكون موازية لـ (f (x) ).

[ start {align *} g (x) & = 3x + 6 h (x) & = 3x + 1 p (x) & = 3x + dfrac {2} {3} end {align * } ]

لنفترض إذن أننا نريد كتابة معادلة الخط الموازي لـ (f ) ويمر بالنقطة ((1 ، 7) ). نحن نعلم بالفعل أن الميل هو 3. نحتاج فقط إلى تحديد قيمة (b ) التي ستعطي الخط الصحيح. يمكننا أن نبدأ بصيغة معادلة خط ما ونقطة وميل ، ثم نعيد كتابته بصيغة الميل والمقطع.

[ start {align *} y − y_1 & = m (x − x_1) y − 7 & = 3 (x − 1) y − 7 & = 3x − 3 y & = 3x + 4 end {align *} ]

إذن (g (x) = 3x + 4 ) موازي لـ (f (x) = 3x + 1 ) ويمر بالنقطة ((1، 7) ).

كيف ...

بالنظر إلى معادلة دالة ونقطة يمر من خلالها رسمها البياني ، اكتب معادلة خط موازٍ للخط المعطى الذي يمر عبر النقطة المحددة.

  1. أوجد ميل الدالة.
  2. استبدل القيم المعطاة إما في معادلة ميل ونقطة عامة أو معادلة ميل وتقاطع للخط.
  3. تبسيط.

مثال ( PageIndex {9} ): إيجاد خط موازٍ لخط معين

ابحث عن خط موازٍ لتمثيل الرسم البياني (f (x) = 3x + 6 ) الذي يمر بالنقطة ((3، 0) ).

المحلول

ميل الخط المحدد هو 3. إذا اخترنا نموذج تقاطع الميل ، فيمكننا استبدال (m = 3 ) ، (x = 3 ) ، و (f (x) = 0 ) في صيغة تقاطع الميل لإيجاد تقاطع y.

[ start {align *} g (x) & = 3x + b 0 & = 3 (3) + b b & = - 9 end {align *} ]

الخط الموازي لـ (f (x) ) الذي يمر عبر ((3،0) ) هو (g (x) = 3x − 9 ).

التحليلات

يمكننا التأكد من أن المستقيمين متوازيان من خلال تمثيلهما بيانيًا. يوضح الشكل ( PageIndex {23} ) أن الخطين لن يتقاطعان أبدًا.

كتابة المعادلات للخطوط المتعامدة

يمكننا استخدام عملية مشابهة جدًا لكتابة معادلة لخط عمودي على خط معين. لكن بدلًا من استخدام الميل نفسه ، نستخدم سالب مقلوب الميل المعطى. لنفترض أننا حصلنا على الوظيفة التالية:

[f (x) = 2x + 4 nonumber ]

ميل المستقيم هو 2 ومقلوبه السالب هو (- frac {1} {2} ). أي دالة بميل (- frac {1} {2} ) ستكون متعامدة مع (f (x) ). لذا فإن الخطوط المكونة من جميع الوظائف التالية ستكون متعامدة مع (f (x) ).

[ start {align *} g (x) & = - dfrac {1} {2} x + 4 [4pt] h (x) & = - dfrac {1} {2} x + 2 [4pt] p (x) & = - dfrac {1} {2} x- dfrac {1} {2} end {align *} ]

كما في السابق ، يمكننا تضييق نطاق خياراتنا لخط عمودي معين إذا علمنا أنه يمر بنقطة معينة. لنفترض إذن أننا نريد كتابة معادلة خط عمودي على (f (x) ) ويمر عبر النقطة ((4 ، 0) ). نحن نعلم بالفعل أن الميل هو (- frac {1} {2} ). يمكننا الآن استخدام النقطة لإيجاد تقاطع y بالتعويض عن القيم المعطاة في صيغة الميل والمقطع للخط وإيجاد (b ).

[ start {align *} g (x) & = mx + b [4pt] 0 & = - dfrac {1} {2} (4) + b [4pt] 0 & = -2 + b [4pt] 2 & = b b & = 2 end {align *} ]

معادلة الدالة ذات ميل (- frac {1} {2} ) وتقاطع y بمقدار 2 هي

[g (x) = - dfrac {1} {2} x + 2 ]

إذن (g (x) = - frac {1} {2} x + 2 ) عمودي على (f (x) = 2x + 4 ) ويمر بالنقطة ((4، 0) ). اعلم أن الخطوط العمودية قد لا تبدو متعامدة بشكل واضح على الآلة الحاسبة للرسم البياني إلا إذا استخدمنا ميزة تكبير المربع.

الخط الأفقي ميله صفر والخط العمودي ميل غير محدد. هذان الخطان متعامدان ، لكن حاصل ضرب ميلهما ليس -1. ألا تتعارض هذه الحقيقة مع تعريف الخطوط العمودية؟

لا ، بالنسبة إلى دالتين خطيتين متعامدين ، يكون حاصل ضرب ميلهما هو –1. ومع ذلك ، فإن الخط العمودي ليس دالة وبالتالي لا يتعارض التعريف.

كيف...

بالنظر إلى معادلة دالة ونقطة يمر من خلالها مخططها البياني ، اكتب معادلة خط عمودي على الخط المعطى.

  1. أوجد ميل الدالة.
  2. أوجد المقلوب السالب للميل.
  3. استبدل المنحدر الجديد وقيم (x ) و (y ) من زوج الإحداثيات المقدم في (g (x) = mx + b ).
  4. حل من أجل (ب ).
  5. اكتب معادلة الخط.

مثال ( PageIndex {10} ): إيجاد معادلة خط عمودي

أوجد معادلة الخط العمودي على (f (x) = 3x + 3 ) الذي يمر بالنقطة ((3، 0) ).

المحلول

الخط الأصلي لديه ميل (م = 3 ) ، وبالتالي فإن ميل الخط العمودي سيكون سالب مقلوب ، أو (- frac {1} {3} ). باستخدام هذا الميل والنقطة المعطاة ، يمكننا إيجاد معادلة الخط المستقيم.

[ start {align *} g (x) & = ؛ - dfrac {1} {3} x + b [4pt] 0 & = ؛ - dfrac {1} {3} (3) + b [4pt] 1 & = b b & = 1 end {align *} ]

الخط العمودي على (f (x) ) الذي يمر عبر ((3، 0) ) هو (g (x) = - frac {1} {3} x + 1 ).

التحليلات

يظهر رسم بياني للخطين في الشكل ( PageIndex {24} ) أدناه.

تمرين ( PageIndex {5} )

بالنظر إلى الوظيفة (ح (س) = 2 س − 4 ) ، اكتب معادلة للخط الذي يمر عبر ((0،0) ) أي

  1. بالتوازي مع (ح (س) )
  2. عمودي على (ح (س) )
إجابه

(f (x) = 2x ) (g (x) = - frac {1} {2} x )

كيف...

بالنظر إلى نقطتين على خط ونقطة ثالثة ، اكتب معادلة الخط العمودي الذي يمر بالنقطة.

  1. أوجد ميل الخط المار بالنقاط.
  2. أوجد المقلوب السالب للميل.
  3. استخدم صيغة الميل والمقطع أو صيغة الميل والنقطة لكتابة المعادلة باستبدال القيم المعروفة.
  4. تبسيط.

مثال ( PageIndex {11} ): إيجاد معادلة خط عمودي على خط معين يمر عبر نقطة

يمر الخط بالنقطتين ((- 2 ، 6) ) و ((4،5) ). أوجد معادلة الخط العمودي الذي يمر بالنقطة ((4،5) ).

من نقطتي الخط المعطى ، يمكننا حساب ميل ذلك الخط.

[ begin {align *} m_1 & = dfrac {5-6} {4 - (- 2)} & = dfrac {-1} {6} & = - dfrac {1} {6 } نهاية {محاذاة *} ]

أوجد المقلوب السالب للميل.

[ begin {align *} m_2 & = dfrac {-1} {- dfrac {1} {6}} & = - 1 Big (- dfrac {6} {1} Big) & = 6 end {align *} ]

يمكننا بعد ذلك إيجاد تقاطع y للخط المار بالنقطة ((4،5) ).

[ start {align *} g (x) & = 6x + b 5 & = 6 (4) + b 5 & = 24 + b −19 & = b b & = - 19 end {align *} ]

معادلة الخط العمودي على الخط الذي يمر عبر النقطتين المحددتين ويمر أيضًا بالنقطة ((4،5) ) هي

[y = 6x − 19 nonumber ]

تمرين ( PageIndex {1} )

يمر الخط بالنقاط ، ((- 2 ، −15) ) و ((2 ، −3) ). أوجد معادلة الخط العمودي الذي يمر بالنقطة ((6،4) ).

إجابه

(y = ؛ - dfrac {1} {3} x + 6 )

حل نظام المعادلات الخطية باستخدام الرسم البياني

يتضمن نظام المعادلات الخطية معادلتين خطيتين أو أكثر. سوف تتقاطع الرسوم البيانية لخطين عند نقطة واحدة إذا لم تكن متوازية. يمكن أيضًا أن يتقاطع خطان متوازيان إذا كانا متطابقين ، مما يعني أنهما نفس الخط ويتقاطعان عند كل نقطة. بالنسبة للخطين غير المتوازيين ، ستلبي نقطة التقاطع المفردة كلا المعادلتين وبالتالي تمثل الحل للنظام.

لإيجاد هذه النقطة عند إعطاء المعادلات كوظائف ، يمكننا حل قيمة الإدخال بحيث (f (x) = g (x) ). بعبارة أخرى ، يمكننا ضبط معادلات الخطوط مساوية لبعضها البعض ، وإيجاد المدخلات التي تحقق المعادلة.

مثال ( PageIndex {12} ): إيجاد نقطة تقاطع جبريًا

أوجد نقطة تقاطع المستقيمين (h (t) = 3t − 4 ) و (j (t) = 5 − t ).

المحلول

اضبط (h (t) = j (t) ).

[ start {align} 3t-4 & = 5-t 4t & = 9 t & = dfrac {9} {4} end {align} ]

يخبرنا هذا أن الخطوط تتقاطع عندما يكون الإدخال ( frac {9} {4} ).

يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة المخرجات لنقطة التقاطع عن طريق تقييم أي من الدالتين عند هذا الإدخال.

[ start {align} j Big ( dfrac {9} {4} Big) & = 5- dfrac {9} {4} & = dfrac {11} {4} end {align } ]

تتقاطع هذه الخطوط عند النقطة ( Big ( frac {9} {4} ، frac {11} {4} Big) ).

التحليلات

بالنظر إلى الشكل ( PageIndex {25} ) ، تبدو هذه النتيجة معقولة.

إذا طُلب منا إيجاد نقطة تقاطع خطين متوازيين مختلفين ، فهل يجب أن ينبهنا شيء ما في عملية الحل إلى حقيقة أنه لا توجد حلول؟

نعم فعلا. بعد تعيين المعادلتين متساويتين ، ستكون النتيجة التناقض " (0 = text {non-zero real number} )".

تمرين ( PageIndex {7} )

انظر إلى الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {23} ) وحدد ما يلي للدالة (j (t): )

  1. تقاطع ص
  2. x- تقاطع (ق)
  3. ميل
  4. هل (j (t) ) موازيًا أم عموديًا على (h (t) ) (أم لا؟
  5. هل (j (t) ) دالة متزايدة أم متناقصة (أم لا)؟
  6. اكتب وصف التحويل لـ (j (t) ) من وظيفة مجموعة أدوات الهوية (f (x) = x ).
إجابه
  1. ((0,5))
  2. (5, 0)
  3. منحدر -1
  4. لا متوازي ولا متعامد
  5. وظيفة المتناقصة
  6. بالنظر إلى وظيفة الهوية ، قم بإجراء قلب رأسي (فوق المحور t) وزح 5 وحدات لأعلى.

مثال ( PageIndex {13} ): إيجاد نقطة التعادل

شركة تبيع الخوذات الرياضية. تتكبد الشركة تكلفة ثابتة لمرة واحدة بمبلغ 250.000 دولار. تبلغ تكلفة إنتاج كل خوذة 120 دولارًا ، وتباع بسعر 140 دولارًا.

  1. أوجد دالة التكلفة ، (ج ) ، لإنتاج (س ) الخوذات بالدولار.
  2. أوجد دالة الإيرادات (ص ) من مبيعات (س ) الخوذات بالدولار.
  3. ابحث عن نقطة التعادل ، نقطة تقاطع الرسمين البيانيين (C ) و (R ).

المحلول

أ. دالة التكلفة في مجموع التكلفة الثابتة ، 125000 دولار ، والتكلفة المتغيرة 120 دولارًا لكل خوذة.

(ج (س) = 120 س + 250.000 )

ب. دالة الإيرادات هي إجمالي الإيرادات من بيع (x ) الخوذات ، (R (x) = 140x ).

ج. نقطة التعادل هي نقطة تقاطع الرسم البياني لوظائف التكلفة والإيرادات. لإيجاد إحداثي x لزوج إحداثيات نقطة التقاطع ، ساوي المعادلتين وحل من أجل (x ).

[ start {align *} C (x) & = R (x) 250،000 + 120x & = 140x 250،000 & = 20x x & = 12،500 end {align *} ]

للعثور على (ص ) ، قم بتقييم إما الإيرادات أو دالة التكلفة عند 12500.

[ start {align *} R (20) & = 140 (12،500) & = 1،750،000 دولار أمريكي end {align *} ]

نقطة التعادل هي ((12،500،1،750،000) ).

التحليلات

هذا يعني أنه إذا باعت الشركة 12500 خوذة ، فإنها تتعادل ؛ بلغت المبيعات والتكلفة المتكبدة 1.75 مليون دولار. راجع الشكل ( PageIndex {26} ).

المفاهيم الرئيسية

  • يمكن رسم الدوال الخطية عن طريق رسم النقاط أو باستخدام تقاطع y والميل.
  • يمكن تحويل الرسوم البيانية للوظائف الخطية باستخدام التحولات لأعلى أو لأسفل أو لليسار أو لليمين ، وكذلك من خلال التمديدات والضغط والانعكاسات.
  • يمكن استخدام تقاطع y وميل الخط لكتابة معادلة الخط المستقيم.
  • تقاطع x هو النقطة التي يتقاطع عندها الرسم البياني للدالة الخطية مع المحور x.
  • تتم كتابة الخطوط الأفقية بالصيغة (f (x) = b ).
  • تتم كتابة الخطوط العمودية بالصيغة (س = ب ).
  • المستقيمات المتوازية لها نفس الميل.
  • الخطوط المتعامدة لها ميل سالب مقلوب ، بافتراض أن أيا منهما ليس عموديًا.
  • يمكن إيجاد خط موازٍ لخط آخر ، يمر عبر نقطة معينة ، عن طريق استبدال قيمة ميل الخط وقيمتي x و y للنقطة المعينة في المعادلة ، (f (x) = mx + b ) ، واستخدام (ب ) الناتج. وبالمثل ، يمكن أيضًا استخدام صيغة المعادلة ونقطة الميل.
  • يمكن إيجاد الخط العمودي على خط آخر ، الذي يمر عبر نقطة معينة ، بنفس الطريقة ، باستثناء استخدام الميل المقلوب السالب.
  • يمكن حل نظام المعادلات الخطية بوضع المعادلتين متساويتين مع بعضهما البعض وحل من أجل (س ). يمكن إيجاد قيمة y بتقييم إحدى المعادلتين الأصليتين باستخدام قيمة x هذه.
  • يمكن أيضًا حل نظام المعادلات الخطية عن طريق إيجاد نقطة التقاطع على الرسم البياني.

قائمة المصطلحات

خط أفقي
خط معرف بواسطة (f (x) = b ) ، حيث (b ) هو رقم حقيقي. ميل الخط الأفقي يساوي 0.

خطوط متوازية
خطان أو أكثر بنفس المنحدر

خطوط متعامدة
خطان يتقاطعان بزوايا قائمة ولهما ميلان سالبان مقلوبان لبعضهما البعض

خط عمودي
سطر محدد بواسطة (x = a ) ، حيث a هو رقم حقيقي. ميل الخط العمودي غير محدد.

x- تقاطع
النقطة على الرسم البياني للدالة الخطية عندما تكون قيمة الخرج 0 ؛ النقطة التي يتقاطع عندها الرسم البياني مع المحور الأفقي


8.2.2 المتتاليات والوظائف الخطية للمضخم

تمثيل الوظائف الخطية مع الجداول والأوصاف اللفظية والرموز والمعادلات والرسوم البيانية تترجم من تمثيل إلى آخر.

تحديد الخصائص الرسومية للوظائف الخطية بما في ذلك المنحدرات والتقاطعات. اعلم أن الميل يساوي معدل التغير وأن ذ- التقاطع هو صفر عندما تمثل الوظيفة علاقة تناسبية.

حدد كيف يتغير المعامل في المعادلة F (x) = مكس + ب تؤثر على الرسوم البيانية للوظائف الخطية. تعرف على كيفية استخدام تقنية الرسوم البيانية لفحص هذه التأثيرات.

تمثيل المتتاليات الحسابية باستخدام المعادلات والجداول والرسوم البيانية والأوصاف اللفظية واستخدامها لحل المسائل.

فمثلا: إذا بدأت الفتاة بمدخرات قدرها 100 دولار وتضيف 10 دولارات في نهاية كل شهر ، فستحصل على 100 + 10x الدولارات بعد x الشهور.

تمثيل المتتاليات الهندسية باستخدام المعادلات والجداول والرسوم البيانية والأوصاف اللفظية واستخدامها لحل المشكلات.

فمثلا: إذا استثمرت الفتاة 100 دولار بفائدة سنوية 10٪ ، فستحصل على 100 (1.1 x ) بعد الدولارات x سنوات.

ملخص

المعيار 8.2.2 التفاهمات الأساسية

في هذا المعيار ، من الضروري أن يكون الطلاب قادرين على التحرك بسلاسة بين التمثيلات المختلفة للوظائف الخطية. ينتقل الطلاب من تعلمهم السابق للعلاقات الخطية التي تتناسب مع جميع الوظائف الخطية. تُستخدم الجداول والرسوم البيانية والمعادلات لإيجاد الحلول وتفسيرها للمواقف الخطية في العالم الحقيقي. عندما يحدد الطلاب موقفًا ما على أنه خطي ، فمن الضروري أن يكونوا قادرين على تحديد المنحدر وتقاطع y وإضفاء المعنى عليه. يمكن للطلاب فهم المزيد عن الخطية عند مقارنة الدالة الخطية بالوظائف الأخرى. بينما يستكشف الطلاب وظائف أخرى مثل الوظائف العكسية والأسية ، من المهم أن تتم مقارنة الجداول والرسوم البيانية والمعادلات والمواقف باستمرار بما يعرفونه عن الوظائف الخطية.

جميع المعايير القياسية

8.2.2.1 تمثيل الوظائف الخطية مع الجداول والأوصاف اللفظية والرموز والمعادلات والرسوم البيانية تترجم من تمثيل إلى آخر.

8.2.2.2 تحديد الخصائص الرسومية للوظائف الخطية بما في ذلك المنحدرات والتقاطعات. اعلم أن الميل يساوي معدل التغير وأن ذ- التقاطع هو صفر عندما تمثل الوظيفة علاقة تناسبية.

مثال: يجب أن تحتوي الإحداثيات المستخدمة لتحديد المنحدر على قيم صحيحة.

8.2.2.3 حدد كيف يتغير المعامل في المعادلة F (x) = مكس + ب تؤثر على الرسوم البيانية للوظائف الخطية. تعرف على كيفية استخدام تقنية الرسوم البيانية لفحص هذه التأثيرات.

8.2.2.4 تمثيل المتتاليات الحسابية باستخدام المعادلات والجداول والرسوم البيانية والأوصاف اللفظية واستخدامها لحل المسائل.

مثال: إذا بدأت الفتاة بمدخرات قدرها 100 دولار وتضيف 10 دولارات في نهاية كل شهر ، فستحصل على 100 + 10x الدولارات بعد x الشهور.

8.2.2.5 تمثيل المتتاليات الهندسية باستخدام المعادلات والجداول والرسوم البيانية والأوصاف اللفظية واستخدامها لحل المشكلات.

مثال: إذا استثمرت الفتاة 100 دولار بفائدة سنوية 10٪ ، فستحصل على 100 (1.1 x ) بعد الدولارات x سنوات.

8.2.2 المتتاليات والوظائف

8.2.2.1 تمثيل الوظائف الخطية مع الجداول والأوصاف اللفظية والرموز والمعادلات والرسوم البيانية تترجم من تمثيل إلى آخر.

8.2.2.2 تحديد الخصائص الرسومية للوظائف الخطية بما في ذلك المنحدرات والتقاطعات. اعلم أن الميل يساوي معدل التغير وأن ذ- التقاطع هو صفر عندما تمثل الوظيفة علاقة تناسبية.

مثال: يجب أن تحتوي الإحداثيات المستخدمة لتحديد المنحدر على قيم عددية.

8.2.2.3 حدد كيف يتغير المعامل في المعادلة F (x) = مكس + ب تؤثر على الرسوم البيانية للوظائف الخطية. تعرف على كيفية استخدام تقنية الرسوم البيانية لفحص هذه التأثيرات.

8.2.2.4 تمثيل المتتاليات الحسابية باستخدام المعادلات والجداول والرسوم البيانية والأوصاف اللفظية واستخدامها لحل المسائل.

مثال: إذا بدأت الفتاة بمدخرات قدرها 100 دولار وتضيف 10 دولارات في نهاية كل شهر ، فستحصل على 100 + 10x الدولارات بعد x الشهور.

8.2.2.5 تمثيل المتتاليات الهندسية باستخدام المعادلات والجداول والرسوم البيانية والأوصاف اللفظية واستخدامها لحل المشكلات.

مثال: إذا استثمرت الفتاة 100 دولار بفائدة سنوية 10٪ ، فستحصل على 100 دولار (1.1 x ) بعد الدولارات x سنوات.

ما يجب أن يعرفه الطلاب ويكونون قادرين على فعله [على مستوى إتقان] فيما يتعلق بهذه المعايير:

  • التعرف على العلاقات الخطية كما يتم التعبير عنها في مجموعة متنوعة من التنسيقات
  • بالنظر إلى شكل واحد من الدالة الخطية ، مثل جدول أو كلمات أو معادلة أو رسم بياني ، تكون قادرًا على النقل إلى أي نموذج آخر
  • حدد ميل وتقاطع ص للدالة الخطية
  • فسر المنحدر ومفهوم y في سياق الموقف المحدد
  • اعرف كيف يغير تغيير المعامل الخط على الرسم البياني
  • تعرف على كيفية حل الموقف النسبي بشكل مختلف عن الدالة الخطية غير المتناسبة
  • يجب أن يكون الطلاب قادرين على وصف نمط التسلسل من خلال ذكر ما تتم إضافته بشكل متكرر أو تكرار ضربه في التسلسل
  • يجب أن يكون الطلاب قادرين على توصيل التسلسل بالوظيفة التي تمثل التسلسل
  • سيتمكن الطلاب من الترجمة بين المعادلة والجدول والرسم البياني والأوصاف اللفظية للتسلسلات
  • يجب على الطلاب أن يربطوا بين المتتاليات الحسابية والوظائف الخطية وكذلك المتواليات الهندسية والوظائف الأسية
  • سيتمكن الطلاب من استخدام التمثيلات المختلفة للمتواليات الحسابية / الهندسية لحل المشكلات.

يشمل العمل من الدرجات السابقة التي تدعم هذا التعلم الجديد ما يلي:

  • تعرف على كيفية تمثيل العلاقات التناسبية بالجداول والأوصاف اللفظية والرموز والمعادلات والرسوم البيانية
  • تعرف على كيفية حساب ثابت التناسب (معدل الوحدة أو الميل) في ظل علاقة تناسبية
  • استخدام الأس والشكل الأسي
  • فهم الدوال الخطية (المعادلات والجداول والرسوم البيانية).
    الأنماط والعلاقات والوظائف:
  • تمثيل مجموعة متنوعة من الأنماط وتحليلها وتعميمها باستخدام الجداول والرسوم البيانية والكلمات ، وعند الإمكان ، القواعد الرمزية
  • ربط ومقارنة أشكال مختلفة من التمثيل للعلاقة
  • حدد الوظائف على أنها خطية أو غير خطية وقارن خصائصها بالجداول أو الرسوم البيانية أو المعادلات.
    وتحليل المواقف والتراكيب الرياضية باستخدام الرموز الجبرية:
    • استكشف العلاقات بين التعبيرات الرمزية والرسوم البيانية للخطوط ، مع إيلاء اهتمام خاص لمعنى التقاطع والانحدار
    • استخدم الجبر الرمزي لتمثيل المواقف وحل المشكلات ، خاصة تلك التي تتضمن علاقات خطية. النماذج الرياضية لتمثيل وفهم العلاقات الكمية:
    • نمذجة المشاكل السياقية وحلها باستخدام تمثيلات مختلفة ، مثل الرسوم البيانية والجداول والمعادلات.
      التغيير في سياقات مختلفة:
    • استخدم الرسوم البيانية لتحليل طبيعة التغيرات في الكميات في العلاقات الخطية.

    معايير الدولة الأساسية المشتركة (CCSS)

    • 8.F (الوظائف) تحديد وتقييم ومقارنة الوظائف.
      • 8.F.2. قارن خصائص وظيفتين يتم تمثيل كل منهما بطريقة مختلفة (جبريًا ، بيانيًا ، رقميًا في جداول ، أو عن طريق الأوصاف اللفظية). فمثلا، بالنظر إلى دالة خطية ممثلة بجدول قيم ودالة خطية ممثلة بتعبير جبري ، حدد الوظيفة التي لها معدل تغيير أكبر.
      • 8.F.4. أنشئ دالة لنمذجة علاقة خطية بين كميتين. تحديد معدل التغيير والقيمة الأولية للدالة من وصف العلاقة أو من اثنين (س ، ص) القيم ، بما في ذلك قراءتها من جدول أو من رسم بياني. فسر معدل التغيير والقيمة الأولية لوظيفة خطية من حيث الموقف الذي تمثله ومن حيث الرسم البياني أو جدول القيم.
      • 8.EE.5. ارسم العلاقات التناسبية مع تفسير معدل الوحدة على أنه ميل الرسم البياني. قارن بين علاقتين متناسبتين مختلفتين تم تمثيلهما بطرق مختلفة. فمثلا، قارن الرسم البياني للمسافة والوقت بمعادلة المسافة والزمن لتحديد أي من الجسمين المتحركين له سرعة أكبر.
      • F-LE.2 قم ببناء وظائف خطية وأسية ، بما في ذلك المتواليات الحسابية والهندسية ، مع إعطاء رسم بياني ، ووصف للعلاقة ، أو زوجين من المدخلات والمخرجات (بما في ذلك قراءتها من جدول)

      المفاهيم الخاطئة

      • عند إعطاء تمثيل جدول لوظيفة خطية مع عدم ظهور زوج الإدخال الأول للجدول "متى x = 0 ، "يعطي الطلاب أحيانًا الأول ذ القيمة المعطاة كـ ذ- اعتراض وليس ذ- القيمة المرتبطة بـ x = 0.
      • عند حساب المنحدر من الرسم البياني ، لن ينتبه الطلاب أحيانًا إلى "اتجاه" الارتفاع أو المسار الذي يتسبب في بعض الأحيان في أن تكون علامة المنحدر خاطئة.
      • عند إعطاء جدول لا يحتوي على قيم س متتالية ، يقوم الطلاب أحيانًا بحساب المنحدر بشكل خاطئ. سوف ينتبهون فقط إلى التغيير في y.
      • يشعر الطلاب بالارتباك بشأن القيمة التي يمثلها ذ- اعتراض في التسلسل.
      • يقفز الطلاب أحيانًا إلى الاستنتاجات ويحاولون تحديد نمط التسلسل بمجرد النظر إلى أول حدين. يقود هذا الطلاب أحيانًا إلى الخلط بين تسلسل حسابي وتسلسل هندسي (أو العكس) ثم توقع المصطلحات غير الصحيحة. فمثلا، يمكن أن تكون 1 ، 4 متوالية حسابية (1 ، 4 ، 7 ، 10.) أو متتالية هندسية (1 ، 4 ، 16 ، 64.).
      • في المتواليات الهندسية مثل 16 ، 8 ، 4 ، 2. سيرغب الطلاب في قول أن النمط مقسم على 2 بدلاً من الضرب في 0.5.

      المقالة القصيرة

      في هذه المقالة القصيرة ، يستخدم الطلاب سلسلة من الأشكال لمثلثات أعواد الأسنان وجدول الأرقام كطريقتين لتحديد تعبير جبري.

      معلم: اليوم سنعمل مع الأنماط ونرى ما سيأتي بعد ذلك.

      انظر إلى هذا النمط من الأرقام. من جاء إلى السبورة ورسم ما يعتقدون أن الشكل الرابع سيبدو عليه وشرح العملية.

      طالب: أستطيع ، إنه سهل. (يرسم الطالب الشكل الرابع). كل ما علينا فعله هو إضافة مثلث واحد آخر بحيث يكون ثلاثة أعواد أسنان ، لكن أحد الجوانب سيتداخل ، لذا سأطرح واحدًا.

      طالب: فكرت في الأمر بطريقة مختلفة. اعتقدت أن كل شكل يضيف مثلثًا ولكن نظرًا لوجود خط واحد بالفعل ، فأنا بحاجة إلى اثنين فقط لعمل المثلث.

      معلم: إذن من هو على حق؟

      طالب: أعتقد أن كلاهما على حق لأن كلاهما يضيف بشكل أساسي اثنين من أعواد الأسنان في كل مرة للحصول على الشكل التالي.

      معلم: لذلك دعنا نقول ذلك بن يشير إلى رقم الصندوق n. فمثلا، ب3 = 7 حيث أن الشكل الثالث به 7 أعواد أسنان. دعونا نرى ما إذا كان بإمكاننا التوصل إلى نوع من المعادلة التي ستمثل هذا النمط.

      دع الطلاب يعملون بمفردهم لبعض الوقت.

      طالب: أعتقد أنه من ذ = x + 2.

      معلم: أعلم أنك ربما تكون معتادًا على استخدام ذ = ولكن هنا سنستخدم ترميزًا مختلفًا ونستخدم bn و n كمتغيرين. ودعنا نجرب معادلتك: بن = ن + 2. لذلك في الشكل 3 ، ن = 3. استبدل ذلك في المعادلة و بن = 5 ، هل هذا ما كان من المفترض أن نحصل عليه؟

      طالب: لا ، كان يجب أن نحصل على 7. لقد فهمت سبب استخدامه 2 في معادلته لأن النمط يضيف اثنين ولكني أعتقد أنه يجب ضرب n في 2 بدلاً من إضافته إلى 2.

      طالب: لذلك تعتقد أن المعادلة هي بن = 2ن؟ ولكن إذا قمت بتوصيل 3 مثل المرة السابقة ، فسأحصل على 6 وكان يجب أن نحصل على 7. ماذا لو قلنا بن = 2ن + 1؟ هل سيعمل ذلك مع كل منهم؟

      معلم: حسنًا ، لنجرب واحدة. ماذا عن الشكل 5؟ كم عدد المسواك سيكون هناك؟

      طالب: لقد صنعته للتو ، وكان الشكل 5 يحتوي على 11 عود أسنان. وعملت في المعادلة بن = 2ن + 1.

      طالب: المعادلة التي توصلت إليها تعمل ، لكنها ليست نفس المعادلة التي لديك. قلت هذا بن = 2(ن - 1) + 3. لقد قمت بهذا لأن لدي ثلاثة أعواد أسنان في الشكل الأول ثم ظللت أضيف اثنين لكل شكل بعد ذلك. ويعمل. لقد قمت بتوصيل 5 من أجل ن و بن = 11.

      معلم: هل يمكن أن يعمل كلاهما؟

      يأخذ المعلم هذا الوقت لإعادة النظر في خاصية التوزيع إذا لم يمسك الطلاب بها على الفور.

      طالب: أعتقد أنهما يعملان لأنك إذا قمت بتبسيط المعادلة الثانية ، فستنتهي بنفس المعادلة الأولى تمامًا.

      معلم: حسنًا ، لنلقِ نظرة الآن على مشكلة مختلفة بدون الرسم. هنا ، المعلومات معطاة في جدول.

      طالب: إذن مع هذا الشكل 2 يحتوي على 11 عود أسنان والشكل 5 به 23؟

      معلم: نعم ، هذا ما تقوله هذه الطاولة. تحقق مما إذا كان يمكنك معرفة الأرقام المفقودة في الجدول.

      يعطي المعلم للطلاب وقتًا للعمل.

      طالب: حسنًا ، لقد لاحظت أن التغيير كان 4.

      معلم: كبف عرفت ذلك؟

      طالب: أليس هذا واضحا؟

      معلم: حسنًا ، ليس للبعض. هل يمكنك أن تكون أكثر تحديدًا؟

      طالب: حسنًا ، ارتفع الرقم السفلي بمقدار 12 عندما تغير الرقم العلوي 3 ، لذا فإن 12/3 يساوي +4 لكل تغيير.


      معلم: هذا التغيير عبارة عن سلسلة من الأرقام التي لها معدل تغير ثابت يسمى الاختلاف المشترك. لذلك أسمع أنك تقول أن ملف

      طالب: لذا في المرة الأخيرة مع رسم الصورة لعود الأسنان ، كانت المعادلة بن = 2n + 1 ، والفرق المشترك هو 2 ، وهنا 4؟

      معلم: نعم ، من أين أتى الرقم 1 في المعادلة الأخيرة وما الذي يجب أن يكون مكانه في هذا الجدول؟

      طالب: لقد لاحظت قبل ذلك أنه إذا كنا سنعود إلى الوراء ورسمنا الشكل 0 ، فستكون هناك عود أسنان واحد. هل يمكن أن يكون هذا ما يحدث؟

      معلم: حسنًا ، لنجربها. إذا ذهبنا إلى حيث n = 0 في الجدول ، فما القيمة التي ستكون هناك؟

      طالب: أعتقد أن الرقم في النقطة 0 يجب أن يكون 3. إذن ستكون المعادلة أن = 3 + 4ن?

      طالب: أعتقد أنها على حق. إنه يعمل مع n = 5. 3 + 4 * 5 يساوي 23. بشكل أساسي أعتقد أنك تبدأ بـ 3 وتأخذ ن خطوة للأمام بمعدل 4 أعواد أسنان لكل خطوة. هذا يعطينا أن = 3 + 4ن.

      ملاحظة: لقد اشتق الطلاب للتو معادلة المنحدر ووجدوا معادلة خط معطى نقطتين. كل ما تبقى لفعله هو تحويل المعرفة حول التسلسل لتصحيح لغة المعادلات الخطية.

      موارد

      • قد يحتاج الطلاب إلى دعم في مزيد من التطوير للمفاهيم والمهارات التي سبق دراستها.
      • من المهم للطلاب أن يكونوا قادرين على الترجمة بين جميع تمثيلات الوظيفة. عندما يعمل الطلاب مع موقف ما ، فإنهم بحاجة إلى إجراء اتصالات بين لغة السياق ولغة الرياضيات والجدول والرسم البياني والمعادلة. عند إعطاء تمثيل واحد ، يجب على الطلاب إنشاء تمثيلات أخرى لنفس الوظيفة باستمرار.

      • لن تتناول معظم المناهج المتتاليات الحسابية والهندسية. سوف يعالجون الدوال الخطية والأسية. المعيار يعني معرفة الوظيفة الأسية ، لكنه لا ينص صراحة على "الأسي". من الضروري أن يتعلم الطلاب كيفية كتابة المعادلات وإنشاء جداول ورسوم بيانية للوظائف الأسية وإجراء الاتصال بالتسلسلات الهندسية.
      • يحتاج الطلاب إلى فهم أن معدل التغيير / الميل هو ما يتغير المتغير التابع (المخرجات) عندما يتغير المتغير المستقل (المدخلات) بمقدار واحد. ذكّر الطلاب ألا ينظروا فقط إلى ماهية ملف ذ-القيمة تتغير حسب ، ولكن أيضًا ما x-قيمة التغييرات في الجدول. أشر إلى أنه في بعض الأحيان لتقييم ما إذا كان الطلاب يفهمون مفهوم الوظائف الخطية أم لا ، فإن كتّاب الأسئلة سيطرحون سؤال اختبار حيث توجد علاقة خطية ، ولكن x- القيمة لا تتغير بمقدار ثابت لذلك من الصعب التمييز بين الخطي والغير الخطي فقط من خلال فحص ذ القيم. لذلك من المهم تعريض الطلاب لجداول ليست دائمًا مرتبة و / أو تزيد بقيمة ثابتة. هذا يجعل الطلاب يفكرون بالفعل في المنحدر بدلاً من مجرد افتراض المنحدر من خلال النظر إلى الأنماط. فمثلا:
      • عند تحويل تسلسل إلى دالة ، من الشائع أن يكون المتغير المستقل هو موضع الرقم في التسلسل. لذلك ، تعتبر القيمة الأولى هي المصطلح الأول. من أجل العثور على ذ- اعتراض ، يحتاج الطلاب إلى العمل بشكل عكسي للعثور على الفصل الدراسي السابق. فمثلا، إذا كان التسلسل هو 3 ، 5 ، 7 ، 9. ذ- سيكون التقاطع 1.
      • للتحويل من قائمة التسلسل إلى جدول ، اطلب من الطلاب تسمية العمود الأول "مصطلح" والعمود الثاني "قيمة".
      • تُظهر بعض كتب / موارد الرياضيات كيفية العثور على ملف نالحد العاشر في متتالية حسابية باستخدام الصيغة أن = أ0 + (ن - 1)د. على المدى أن هي قيمة المصطلح الذي نبحث عنه ، أ0 هو الفصل الأول ، ن هو المصطلح الذي يتم حسابه و د هو الاختلاف المشترك. ستوجه كتب الرياضيات الأخرى الطلاب لإيجاد قيمة المصطلح الصفري (ذ-التقاطع) والاستخدام ص = م س + ب. في هذه المعادلة ، ذ هي قيمة المصطلح الذي نبحث عنه ، م هو الفرق المشترك (المنحدر) ، x هو رقم المصطلح الذي يتم حسابه و ب هي قيمة المصطلح "صفر".
      • تضع دراسة المتتاليات الأساس للمعادلات الخطية. إن العثور على الأنماط في المتواليات الحسابية واستخدامها للعثور على المصطلحات التالية في التسلسل يهيئ الطلاب لإيجاد منحدر للخط.
      • عندما يعثر الطلاب على ميل الخط ، شجعهم على العودة إلى الرسم البياني والبحث لمعرفة ما إذا كان الخط يتزايد أم يتناقص. سيساعدهم ذلك على تجنب ارتكاب خطأ علامة في المنحدر.
      • يقارن هذا الدرس الأنماط الخطية بالأنماط الأسية:

      لنفترض أنه قد تم تقديم هاتين الطريقتين لك مقابل 30 يومًا من العمل.

      • الخطة 1 - تتلقى 1000 دولار في اليوم الأول ، وفي كل يوم تالي ، تحصل على 100 دولار أكثر من اليوم السابق. هذا يعني أنك تحصل في اليوم الثاني على 1100 دولار ، وفي اليوم الثالث تحصل على 1200 دولار وهكذا. يستمر هذا لمدة 30 يومًا.
      • الخطة 2 - تحصل على دولار واحد في اليوم الأول ، ويتضاعف أجر كل يوم يليه. هذا يعني أنك تحصل في اليوم الثاني على 2 دولار ، وفي اليوم الثالث تحصل على 4 دولارات وهكذا. يستمر هذا لمدة 30 يومًا.
      • بدون القيام بأي حساب ، أي خطة تبدو أفضل؟ هل تعتقد أنه سيكون أفضل بكثير أم أفضل قليلاً؟
      • بعد أن تحدد اختيارك الأولي ، اعمل مع مجموعتك لحساب ومقارنة الأرباح في كلتا الخطتين. قرر كيفية عرض المعلومات والإبلاغ عن النتائج.
      • بعد ذلك يتم تقديم خطتين إضافيتين لك.
      • الخطة 3 - تحصل على 1000 دولار في اليوم الأول ، وفي كل يوم يليه تحصل على 1000 دولار أخرى. كيف تقارن هذه الخطة مع الخطط 1 و amp 2؟
      • الخطة 4 - تحصل على 1000 دولار في اليوم الأول ، و 10000 دولار إضافية عن كل يوم يليه. كيف تقارن هذه الخطة مع الخطط الأخرى؟
      • كيف يمكنك ترتيب الخطط الأربع من الأفضل إلى الأسوأ؟ ما المتغيرات التي قد تؤثر على ترتيب قائمتك؟
      • كيف يتغير ترتيبك إذا تغير عدد الأيام؟ (افحص كلاً من عدد الأيام الأقل وعدد الأيام.)
      • سيساعد هذا النشاط الطلاب على تعلم تقدير مفهوم النمو الهندسي وكيف يختلف عن النمو الخطي.
      • يمكن إبقاء التخمينات الأولية سرية أو مناقشتها. اسمح للطلاب باختيار مشاركة تخميناتهم.
      • قد ترغب المجموعات في استخدام الآلات الحاسبة أو حاسبات الرسوم البيانية أو الكمبيوتر للمساعدة في تنظيم وعرض مقارناتهم بين الخطتين.
      • شجع المجموعات على كتابة معادلات لتمثيل ما يرونه يحدث.
      • اطرح أسئلة مثل:
        • ما هي الخطة الأفضل إذا انتهت الوظيفة فجأة بعد 5 أيام؟ 10 أيام؟ 15 يوم؟ 20 يوم؟
        • في أي مرحلة تتغير "أفضل خطة" من خطة إلى أخرى؟ ماذا يحدث للرسوم البيانية في تلك المرحلة؟
        • ما هي العوامل - بخلاف اختيار خطة الدفع التي تدر أكبر قدر من المال - التي تؤثر على اختيارك للخطة؟

        مقتبس من وثيقة الإطار 97.

        مشكلة شائعة عندما يتعلم الطلاب عن معادلة تقاطع الميل ذ = مكس + ب هو أنها تحل محلها ميكانيكيا م و ب دون فهم معناها. يهدف هذا الدرس إلى تزويد الطلاب بطريقة لفهم ذلك م هو معدل التغيير و ب هي القيمة عندما x = 0. هذا النشاط الحركي يسمح للطلاب بتكوين تفسير مادي للمنحدر و ذ- اعتراض طريق الجري عبر ملعب كرة قدم. سيتمكن الطلاب من شرح معنى المعادلة لتعزيز الفهم واكتشاف أن المنحدر (أو معدل الحركة) هو نفسه لجميع مجموعات النقاط المعطاة لمجموعة من البيانات ذات علاقة خطية.

        موارد تعليمية إضافية

        العلاقات الخطية: الجداول والمعادلات والرسوم البيانية
        يقدم موقع الويب هذا أفكارًا جيدة تمثل نموذجًا لبيانات خطية في العالم الحقيقي باستخدام الجداول والرسوم البيانية والقواعد والتعبيرات.

        المنحدر المنزلق
        يسمح هذا النشاط للطلاب أو المعلمين بتحريك شريط التمرير لفحص ما يحدث للرسم البياني للدالة الخطية إذا تم تغيير المنحدر أو إذا تم تغيير تقاطع y.

        موارد الوظيفة الخطية
        يوفر موقع الويب هذا قائمة بالموارد لاستخدامها مع التركيز على تمثيل الوظائف الخطية. يتضمن الاتصال بجهات اتصال NCTM في الصف الثامن.

        آثار تغيير الميل أو تقاطع y

        تستكشف الآلة الحاسبة TI-83/84 ونشاط الملاح التأثيرات على الرسم البياني لتغيير المعامل أو الثابت في المعادلة الخطية.

        الرياضيات في العالم الحقيقي حقيقة!
        يُشرك هذا الدرس الطلاب في مناقشة ذات صلة واستكشاف الوظائف الخطية بناءً على تكلفة جهاز iPad. يتم تضمين ملاحظات المعلم وصفحات الطلاب.

        دالة خطية: وظيفة يمكن كتابة قاعدتها في النموذج F(x) = مكس + ب أين م و ب هي أرقام حقيقية. يمثل المصطلح م المنحدر و ب يمثل ذ- اعتراض الوظيفة. للدالة الخطية معدل تغير ثابت ينتج عنه رسم بياني بخط مستقيم.

        تسلسل حسابي: سلسلة من الأرقام بالشكل: أ ، أ + ب ، أ + 2 ب ، أ + 3 ب ،. ، أ + (ن - 1) ب. هناك رقم يتم إضافته باستمرار إلى كل مصطلح للحصول على المصطلح التالي.
        مثال: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, .

        تسلسل هندسي: سلسلة من الأرقام بالشكل: a ، ar ، ar 2 ، ar 3. ع (ن-1). يتم ضرب كل مصطلح في عدد ثابت للحصول على الحد التالي.
        مثال: 2, 4, 8, 16, 32, 64, .

        وظيفة غير خطية: أي دالة لا تتبع نمطًا خطيًا لمعدل تغيير ثابت ، ورسم بياني بخط مستقيم ومعادلة بالصيغة f (x) = مx + ب.

        ميل: نسبة التغيير الرأسي إلى التغيير الأفقي لخط على الرسم البياني. يمثل المنحدر المعدل الثابت للتغير في دالة خطية. إذا كانت نقطتان على منحدر خط هو نسبة التغير في y إلى التغير في x.

        ذ-تقاطع: القيمة على ذ-المحور حيث يتقاطع الرسم البياني مع ذ-محور.

        نطاق: طقم من x- إحداثيات مجموعة النقاط على الرسم البياني لمجموعة x- إحداثيات مجموعة معينة من الأزواج المرتبة القيمة التي تمثل الإدخال في دالة أو علاقة.

        نطاق: ال ذ- إحداثيات مجموعة النقاط على الرسم البياني أيضًا ذ- إحداثيات مجموعة معينة من الأزواج المرتبة. النطاق هو الناتج في دالة أو علاقة.

        متغير مستقل: متغير تحدد قيمته قيمة المتغيرات الأخرى. مثال: في صيغة مساحة الدائرة ، أ = πr 2 , ص هو المتغير المستقل ، حيث أن قيمته تحدد قيمة المنطقة (أ).

        المتغير التابع: متغير تحدد قيمته بقيمة متغير مستقل.
        مثال: في صيغة مساحة الدائرة ، أ =πr 2 , أ هو المتغير التابع ، حيث تعتمد قيمته على قيمة نصف القطر (ص).

        معامل في الرياضيات او درجة: العدد يضرب في منتج المتغيرات أو قوى المتغيرات في مصطلح.

        مثال: 123 هو المعامل في المصطلح 123x 3 y.

        مستمر: مصطلح أو تعبير بدون متغيرات.

        تسلسل حسابي: سلسلة من الأرقام يكون فيها الفرق بين أي حدين متتاليين هو نفسه. بعبارة أخرى ، تحدث المتتالية الحسابية عندما تضيف نفس الرقم في كل مرة وأنت تنتقل من حد إلى الحد التالي في المتسلسلة. يسمى هذا الرقم الثابت بالفرق المشترك للتسلسل.

        التسلسل الهندسي: سلسلة من الأرقام تكون فيها النسبة بين أي فترتين متتاليتين هي نفسها. بعبارة أخرى ، تضرب في نفس العدد في كل مرة لتحصل على الحد التالي في المتسلسلة. يسمى هذا الرقم الثابت النسبة المشتركة للتسلسل.

        دالة أسية: دالة بالصيغة y = a * b x حيث يمثل a ذ-تقاطع ويمثل ب عامل النمو (العدد مضروبًا في).

        انعكاس - أسئلة نقدية تتعلق بتعليم وتعلم هذه المعايير

        • لماذا من المهم أن يفهم الطلاب التمثيلات المختلفة الممكنة للعلاقة الخطية: وصف لفظي ، ووصف رقمي (جدول أو مجموعة أزواج مرتبة) ، ووصف هندسي (رسم بياني) ووصف جبري (معادلة)؟ ما هي نقاط القوة في كل تمثيل؟
          مأخوذة من نقاط الاتصال: التركيز في الصف الثامن ، ص 16.
        • ما هو الهدف النهائي من جعل الطلاب يقومون بالأنشطة التي يستكشفون فيها المعادلات والمنحدرات وتقاطعات y؟ ما الخلفية السابقة التي يقدمها الطلاب لهذه المناقشة والتي يمكن البناء عليها؟
          مأخوذة من نقاط الاتصال: التركيز في الصف الثامن ، ص 32
        • كيف أظهر الطلاب فهمهم للمواد المقدمة؟
        • هل قام الطلاب بالربط بين الانحدار ومعدل التغيير؟
        • كيف أوضح الطلاب أنهم يفهمون معنى معادلة تقاطع الميل؟
        • ما هي بعض الطرق التي أوضح الطلاب من خلالها أنهم يشاركون بنشاط في عملية التعلم؟
        • Interactivate: المنحدر المنحدر. (اختصار الثاني.). شودور: مصدر وطني لتعليم العلوم الحسابية. تم الاسترجاع في 20 حزيران (يونيو) 2011 من هذا المصدر.
        • الجبر 1 رسم المعادلات الخطية. (اختصار الثاني.). أدوات دراسة Glencoe Mathematics عبر الإنترنت. تم الاسترجاع في 20 حزيران (يونيو) 2011 من هذا المصدر.
        • إضاءات: حركة بوظائف. (اختصار الثاني.). إضاءات. تم الاسترجاع في 20 حزيران (يونيو) 2011 من هذا المصدر.
        • ممارسة الجبر المتكاملة أ. 34 # 1. (اختصار الثاني.). مشروع جيفرسون الرياضيات. تم الاسترجاع في 20 حزيران (يونيو) 2011 من هذا المصدر.
        • تفسير آثار تغيير المنحدر وتقاطع Y. (اختصار الثاني.). مرحبًا بك في صفحة واجبات الجبر للسيد ليفنجستون. تم الاسترجاع في 20 حزيران (يونيو) 2011 من هذا المصدر.
        • العلاقات الخطية: الجداول والمعادلات والرسوم البيانية. (اختصار الثاني.). شبكة التعليم في ولاية يوتا. تم الاسترجاع في 20 حزيران (يونيو) 2011 من هذا المصدر.
        • مبادئ ومعايير الرياضيات المدرسية. (2000). ريستون ، فيرجينيا: المجلس الوطني لمدرسي الرياضيات.
        • Schielack ، J.F (2010). التركيز في الصف الثامن: التدريس مع منسقي المناهج. ريستون ، فيرجينيا: المجلس الوطني لمدرسي الرياضيات.
        • أنشطة الفصل الدراسي: TAKS: آثار تغيير المنحدر أو تقاطع y - Texas Instruments - الولايات المتحدة وكندا. (اختصار الثاني.). الآلات الحاسبة وتكنولوجيا التعليم من شركة Texas Instruments - الولايات المتحدة وكندا. تم الاسترجاع في 20 حزيران (يونيو) 2011 من هذا المصدر.
        • iCost: ماثاليشوس. (اختصار الثاني.). ماثاليشوس. تم الاسترجاع في 20 حزيران (يونيو) 2011 من هذا المصدر.

        تقييم

        مأخوذة من عينة عنصر MCA III

        مأخوذة من عينة عنصر MCA III

        مأخوذة من FCAT Math أصدرت كتيب الاختبار

        مأخوذة من FCAT Math أصدرت كتيب الاختبار

        مأخوذة من اختبار صدر التقييم الشامل لماساتشوستس

        مأخوذة من اختبار Texas TAKS لعام 2009

        مأخوذة من اختبار Texas TAKS لعام 2009

        مأخوذة من عينة عنصر Minnesota MCA III

        مأخوذة من عينة عنصر Minnesota MCA III

        مأخوذة من اختبار صدر التقييم الشامل لماساتشوستس

        مأخوذة من تقييم شامل لماساتشوستس

        تتضمن الوثائق التالية أسئلة التقييم المتعلقة بهذه المعايير.

        التفاضل

        • امنح الطلاب فرصًا متعددة لتجربة الترجمة بين الرسم البياني والجدول والمعادلة والموقف. فمثلا:
          • قم بنشاط مطابق لتجميع كل تمثيلات الوظيفة نفسها. استخدم طاولة للتنظيم. ثم قارن الأشكال المختلفة.
          • استخدم مقطع فيديو لتذكير الطلاب بخطوات الترجمة من تمثيل إلى آخر.
          • استخدم الشركاء لوصف عمليتهم.
          • امنح الطلاب فرصًا متعددة لتجربة الترجمة بين الرسم البياني والجدول والمعادلة والموقف. فمثلا:
          • استخدم جدولًا لإظهار وظائف خطية متعددة في جميع الأشكال المختلفة.
          • استخدم مقطع فيديو لتذكير الطلاب بخطوات الترجمة من تمثيل إلى آخر.
          • استخدم الشركاء لوصف عمليتهم.
          • ابحث في المجلات أو الكتالوجات للعثور على أمثلة حقيقية لوظائف المنحدرات والخطية. قارن الأمثلة.
          • انظر إلى عائلات الوظائف. فمثلا، أعط الطلاب مجموعة من ثلاث وظائف مختلفة لها شيء مشترك. اطلب من الطلاب مناقشة كيفية مقارنة الوظائف ببعضها البعض. امنح الطلاب فرصة لمقارنة العائلات في كل تمثيل.
          • اطلب من الطلاب تحديد الكلمة نمط. أين يرون الأنماط في عالمهم؟ ارجع باستمرار إلى فهمهم للنمط لمساعدتهم على تمثيل الأنماط الخطية.

          تمثيل الأنماط بطرق متعددة
          يوفر هذا الرابط بعض خطط الدروس الموجهة لتوجيه الطلاب خلال عملية فهم كيفية تمثيل الأنماط الخطية (الحسابية). يتم استخدام العديد من الخرائط التنظيمية بما في ذلك نموذج Frayer.

          • قدم تمثيلات للنماذج غير الخطية ، واطلب من الطلاب مقارنتها بالنماذج الخطية.
          • أعط الطلاب المزيد من المسائل المفتوحة التي تتضمن تمثيلات خطية.
          • صف مزايا وعيوب كل تمثيل.

          الآباء / المشرف

          الطلاب: (قائمة وصفية)

          المدرسون هم: (قائمة وصفية)

          استخدام تقنيات الرسوم البيانية لاستكشاف تأثير تغيير قيمة m (المعامل) في المعادلة.

          طرح أسئلة مثل:
          ماذا يحدث للرسم البياني عندما يكون م أكبر؟
          ماذا يحدث للرسم البياني عندما يصغر م؟
          ماذا يحدث عندما تكون م سالبة؟
          ماذا يحدث عندما يكون m صفرًا أو غير محدد؟ "

          استكشاف وإنشاء أكثر من تمثيل واحد لكل دالة خطية يستكشفونها.

          وضع الطلاب في مواقف يجب عليهم فيها استخدام تمثيلات متعددة للوظائف لحل المشكلات.

          استخدام المواقف الملموسة في العالم الحقيقي لاستكشاف معنى الدوال الخطية.

          تعريض الطلاب لمجموعة متنوعة من الجداول التي لا تحتوي دائمًا على قيم x التي تزيد بمقدار واحد أو تتغير بمقدار ثابت.

          العمل بمجموعة متنوعة من المتتاليات الحسابية والهندسية وربطها بالجداول والرسوم البيانية والمعادلات.

          مطالبة الطلاب ليس فقط بحل المشكلات التي تنطوي على وظائف ، ولكن أيضًا لتبرير حلولهم.


          حدد رسمًا بيانيًا لمعادلة خطية

          نحن نفهم أن كل معادلة خطية في متغير واحد لها حل فريد. ثم ماذا عن حل معادلة خطية تتضمن متغيرين؟ إذا كان هناك متغيرين في المعادلة ، فإن الحل يتضمن زوجًا من القيم ، أحدهما لـ (س ) والآخر لـ (ص ) والتي تحقق المعادلة المعطاة.

          عندما نأخذ (x = 0 ) ، نحصل على (y = 0 ) ، لذلك ((0 ، ، 0) ) هو حل المعادلة. عندما نأخذ (x = 4 ) ، نحصل على (y = & # 8211 2 ) ، لذلك ((4، ، & # 8211 2) ) هو حل المعادلة. عندما نأخذ (x = 6 ) ، نحصل على (y = & # 8211 3 ) ، لذلك ((6، ، & # 8211 3) ) هو حل المعادلة.

          لذلك ، لا نهاية للحلول المختلفة للمعادلة الخطية في متغيرين. وهذا يعني أن المعادلة الخطية في متغيرين لها عدد لا نهائي من الحلول.

          يتم تمثيل المعادلة الخطية بيانياً بواسطة الخط الذي تعطي نقاطه مجموعة حلول المعادلة. هذا يسمى الرسم البياني المعادلة الخطية.


          وظائف خطية

          بالنظر إلى أي معادلة خطية في الشكل القياسي ، يمكن كتابة أي خط غير عمودي بالصيغة القياسية أ س + ب ص = ج. ، أ س + ب ص = ج ، يمكننا إيجاد حل لها ذ للحصول على نموذج تقاطع الميل يمكن كتابة أي خط غير عمودي بالصيغة y = m x + b ، حيث م هو المنحدر و (0 ، ب) هل ذ-تقاطع. ، ص = م س + ب. فمثلا،

          3 x - 4 y = 8 ← S tandard F orm - 4 y = - 3 x + 8 y = - 3 x + 8-4 y = - 3 x - 4 + 8-4 y = 3 4 x - 2 ← S lope - أنا أعترض F orm

          حيث x = 0 ، يمكننا أن نرى أن y = - 2 وبالتالي (0 ، - 2) هو حل زوج مرتب. هذه هي النقطة التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع ذ-محور ويسمى ذ-تقاطع النقطة (أو النقاط) حيث يتقاطع الرسم البياني مع ذ- المحور ، معبرًا عنه كزوج مرتب (0 ، ذ). . يمكننا استخدام هذه النقطة والميل كوسيلة لرسم خط بسرعة. على سبيل المثال ، لرسم y = 3 4 x - 2 ، ابدأ من ذ-تقاطع (0 ، - 2) وقم بتمييز المنحدر لإيجاد نقطة ثانية. ثم استخدم هذه النقاط لرسم الخط على النحو التالي:

          يشير اختبار الخط العمودي إلى أن هذا الرسم البياني يمثل دالة. علاوة على ذلك ، يتكون المجال والمدى من جميع الأرقام الحقيقية.

          بشكل عام ، دالة خطية أي دالة يمكن كتابتها بالصيغة f (x) = m x + b هي دالة يمكن كتابتها بالصيغة f (x) = m x + b L i n e a r F u n c t i o n حيث الميل م و ب تمثل أي أرقام حقيقية. نظرًا لأن y = f (x) ، يمكننا استخدام y و f (x) بالتبادل ، ويمكن كتابة الحلول الزوجية المرتبة على الرسم البياني (x ، y) بالصيغة (x ، f (x)).

          نحن نعلم أن أي ذ- التقاطع سيكون له x-قيمة تساوي الصفر. لذلك ، فإن ذ-يمكن التعبير عن التقاطع على أنه الزوج المرتب (0 ، f (0)). للوظائف الخطية ،

          ومن ثم ، فإن ذ- تقاطع أي دالة خطية هو (0 ، ب). لتجد ال x-تقاطع النقطة (أو النقاط) حيث يتقاطع الرسم البياني مع x- المحور ، معبرًا عنه كزوج مرتب (x، 0). ، النقطة التي تتقاطع فيها الوظيفة مع x-المحور ، نجد x حيث y = 0 أو f (x) = 0.

          مثال 3

          ارسم الدالة الخطية f (x) = - 5 3 x + 6 وقم بتسمية x-تقاطع.

          من الوظيفة ، نرى أن f (0) = 6 (أو b = 6) وبالتالي فإن ذ- التقاطع هو (0، 6). نلاحظ أيضًا أن الميل m = - 5 3 = - 5 3 = r i s e r u n. بدءًا من ذ- التقاطع ، ضع علامة على النقطة الثانية لأسفل بمقدار 5 وحدات و 3 وحدات لليمين. ارسم الخط الذي يمر عبر هاتين النقطتين باستقامة.

          لتحديد ال x-تقاطع ، ابحث عن x- القيمة حيث تكون الوظيفة تساوي صفرًا. بعبارة أخرى ، حدد x حيث f (x) = 0.

          و (س) = - 5 3 س + 6 0 = - 5 3 س + 6 5 3 س = 6 (3 5) 5 3 س = (3 5) 6 س = 18 5 = 3 3 5

          لذلك ، فإن x- التقاطع (18 5، 0). القاعدة العامة هي تسمية جميع النقاط المهمة التي لا يمكن قراءتها بوضوح من الرسم البياني.

          مثال 4

          حدد دالة خطية تعرف الرسم البياني المعطى وأوجد قيمة x-تقاطع.

          نبدأ بقراءة الميل من التمثيل البياني. في هذه الحالة ، يتم إعطاء نقطتين ويمكننا أن نرى ذلك ،

          بالإضافة إلى ذلك ، فإن ذ- التقاطع هو (0 ، 3) وبالتالي ب = 3. يمكننا التعويض بأي دالة خطية في المعادلة.

          ز (س) = م س + ب ↓ ↓ ج (س) = - ٢ ٣ س + ٣

          لتجد ال x- التقاطع ، نضع g (x) = 0 ونحل من أجل x.

          ز (س) = - 2 3 س + 3 0 = - 2 3 س + 3 2 3 س = 3 (3 2) 2 3 س = (3 2) 3 س = 9 2 = 4 1 2

          الجواب: ز (س) = - ٢ ٣ س + ٣ x- التقاطع: (9 2، 0)

          بعد ذلك ، ضع في اعتبارك الخطوط الأفقية والعمودية. استخدم اختبار الخط العمودي لترى أن أي خط أفقي يمثل دالة ، وأن الخط العمودي لا يمثل ذلك.

          بالنظر إلى أي خط أفقي ، يوضح اختبار الخط العمودي أن كل خط x-تقابل القيمة في المجال واحدًا بالضبط ذ- القيمة في النطاق هي دالة. من ناحية أخرى ، يفشل الخط العمودي في اختبار الخط العمودي ، فهو ليس وظيفة. يمثل الخط العمودي مجموعة من الأزواج المرتبة حيث تكون جميع العناصر في المجال متساوية. هذا ينتهك المتطلبات التي تنص على أن الوظائف يجب أن تربط عنصرًا واحدًا بالضبط في النطاق بكل عنصر في المجال. نلخص ما يلي:


          2.2: الرسوم البيانية للوظائف الخطية

          بعد دراسة هذا القسم ستتمكن من:

          1. ارسم نقطة ، بالنظر إلى الإحداثيات.

          2. قم بتسمية إحداثيات النقطة المرسومة.

          3. ابحث عن أزواج مرتبة لمعادلة خطية معينة.

          التآمر على نقطة

          تصبح العديد من الأشياء في الحياة اليومية أكثر وضوحًا إذا رأينا صورة. وبالمثل ، في الرياضيات ، يمكننا تصور العلاقات الجبرية عن طريق رسم رسم بياني. لرسم رسم بياني ، نحتاج إلى إطار مرجعي.

          في درس سابق أوضحنا أنه يمكن تمثيل أي رقم حقيقي على خط الأعداد. انظر إلى خط الأعداد أدناه. يشير السهم إلى الاتجاه الإيجابي.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          لتكوين نظام إحداثيات مستطيل ، نرسم خط أعداد ثانٍ عموديًا. نقوم ببنائها بحيث تكون النقطة 0 على كل خط أرقام في نفس المكان تمامًا. نشير إلى هذا الموقع باسم الأصل. غالبًا ما يُطلق على خط الأرقام الأفقي اسم المحور السيني. غالبًا ما يُطلق على خط الرقم الرأسي اسم المحور ص. تظهر الأسهم الاتجاه الإيجابي لكل محور.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          يمكننا تمثيل نقطة في نظام الإحداثيات المستطيل هذا باستخدام زوج مرتب من الأرقام. يمثل الرقم الأول من الزوج المسافة من الأصل المقاسة على طول المحور الأفقي أو المحور x.يمثل الرقم الثاني للزوج المسافة المقاسة على المحور y أو على الخط الموازي للمحور y. على سبيل المثال (5 ، 2) هو زوج مرتب يمثل نقطة في نظام إحداثيات المستطيل.

          & emsp & emsp غالبًا ما يشار إلى زوج الأرقام المرتب الذي يمثل نقطة باسم
          إحداثيات من نقطة. تسمى القيمة الأولى بـ x-coordinate. القيمة الثانية تسمى ص-منسق. إذا كان تنسيق x موجبًا ، فإننا نحسب العدد المناسب من المربعات إلى اليمين (في الاتجاه الموجب). إذا كان الإحداثي x سالبًا ، فسنعد إلى اليسار. إذا كان التنسيق y موجبًا ، فإننا نحسب العدد المناسب من المربعات لأعلى (في الاتجاه الموجب). إذا كان الإحداثي y سالبًا ، فإننا نعد تنازليًا.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          مثال 1 ارسم النقطة (5 ، 2) على نظام إحداثيات مستطيل. قم بتسمية هذا بالنقطة أ.

          نظرًا لأن x-coordinate هو 5 ، فإننا نعد أولًا 5 وحدات على اليمين على المحور x. بعد ذلك ، نظرًا لأن المحور y هو 2 ، فإننا نعد وحدتين لأعلى من النقطة التي توقفنا عندها على المحور x. هذا يحدد النقطة المقابلة لـ (5 ، 2). نسمي هذه النقطة أ.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          من المهم أن تتذكر أن الرقم الأول في زوج مرتب هو x-coordinate ، والرقم الثاني هو y-coordinate. النقاط الممثلة بـ (5، 2) و (2.5) مختلفة تمامًا كما سنرى في المثال التالي.

          مثال 2 ارسم النقطة (2،5) على نظام إحداثيات مستطيل.

          نحسب 2 وحدة إلى اليمين لقيمة x للنقطة. ثم نحسب 5 وحدات لأعلى من أجل قيمة y للنقطة. نرسم نقطة ونسميها C في موقع الزوج المرتب (2 ، 5).

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          نلاحظ أن النقطة C (2،5) في موقع مختلف تمامًا عن النقطة A (5،2) في المثال 1.

          مثال 3 ارسم النقاط التالية.

          يتم رسم هذه النقاط في الشكل.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          ملاحظة: عندما تقوم بالتخطيط لقيم عشرية مثل (6.5 ، -7.2) ، ضع موقع النقطة المخططة في منتصف المسافة بين 6 و 7 للحصول على 6.5 وعلى أفضل تقدير تقريبي في اتجاه y لـ -7.2.

          تحديد إحداثيات نقطة مخططة

          في بعض الأحيان ، نحتاج إلى إيجاد إحداثيات نقطة تم رسمها. أولًا ، نحسب الوحدات التي نحتاجها على المحور x لنقترب قدر الإمكان من تلك النقطة. بعد ذلك ، نحسب الوحدات لأعلى أو لأسفل ، وعلينا أن ننتقل من المحور x لنصل أخيرًا إلى تلك النقطة.

          مثال 4 ما زوج الأرقام المرتب الذي يمثل النقطة أ في الشكل أدناه؟

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          نرى أن النقطة A يمثلها الزوج المرتب (5،4). عدنا أولًا 5 وحدات على يمين نقطة الأصل على المحور x. وهكذا نحصل على 5 كأول رقم للزوج المرتب. ثم عدنا 4 وحدات لأعلى على خط موازٍ لمحور y. وهكذا نحصل على 4 كرقم ثاني على الزوج المرتب.

          مثال 5 اكتب إحداثيات كل نقطة مرسومة أدناه.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          إحداثيات كل نقطة هي:

          كن حذرًا جدًا بحيث تضع x-coordinate أولاً و y-coordinate الثانية. كن حذرًا من أن كل علامة صحيحة.

          إيجاد أزواج مرتبة لمعادلة خطية معينة

          المعادلات مثل 3x + 2y = 5 و 6x + y = 3 تسمى المعادلات الخطية في متغيرين. أ معادلة خطية في متغيرين هي معادلة يمكن كتابتها بالصيغة Ax + By = C حيث A و B و C أعداد حقيقية بينما لا يمكن A و B على حد سواء يكون صفرا. قيم الاستبدال لـ x و y التي تجعلها بيانات رياضية صحيحة من المعادلة تسمى قيم الحقيقة ويسمى زوج مرتب من قيم الحقيقة هذه أ المحلول.

          & emsp & emsp ضع في اعتبارك المعادلة 3x + 2y = 5. الزوج المرتب (1 ، 1) هو حل للمعادلة. عندما نستبدل x بـ 1 و y بـ 1 نحصل على بيان صحيح.

          هناك عدد لا حصر له من الحلول لأي معادلة خطية في متغيرين.
          & emsp & emsp نحصل على أزواج مرتبة من فحص مثل هذه المعادلة الخطية. إذا كانت إحدى القيمتين للزوج المرتب معروفة ، فيمكن الحصول على الأخرى بسرعة. للقيام بذلك ، نستبدل متغيرًا واحدًا في المعادلة الخطية بالقيمة المعروفة. ثم باستخدام الطرق التي تعلمناها في الدرس السابق نقوم بحل المعادلة الناتجة عن المتغير الآخر.

          مثال 6 أوجد الإحداثي المفقود لإكمال الأزواج المرتبة التالية من أجل
          المعادلة 2 س + 3 ص = 15.

          (أ) في الزوج المرتب (0 ،؟) نعلم أن x = 0. استبدل x ب 0 في المعادلة.

          وبالتالي لدينا الزوج المرتب (0 ، 5).

          (ب) فى الزوج المرتب (؟ ، 1) لا نعرف قيمة x. ومع ذلك ، فنحن نعلم أن y = 1. لذلك نبدأ بالتعويض عن المتغير y بـ 1. سننتهي بمعادلة ذات متغير واحد x. يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة x.

          وبالتالي لدينا الزوج المرتب (6 ، 1).

          المعادلات الخطية التي نعمل معها لا تُكتب دائمًا بالصيغة Ax + By = C ولكن يتم حلها أحيانًا من أجل y كما في y = -6x + 3. ضع في اعتبارك المعادلة y = -6x + 3. الزوج المرتب (2 ، -9) هو حل المعادلة. عندما نستبدل x بـ 2 و y بـ -9 نحصل على بيان رياضي حقيقي:

          مثال 7 أوجد الإحداثي المفقود لإكمال الأزواج المرتبة التالية للمعادلة y = -3x + 4

          (أ) بالنسبة للزوج المرتب (2 ،؟) نعلم أن x تساوي 2 ، لذلك نستبدل x بـ 2 في المعادلة ونحل من أجل y.

          وبالتالي ، فإن الحل هو الزوج المرتب الكامل (2 ، -2).

          (ب) بالنسبة للزوج المرتب (-3 ،؟) نستبدل x ب -3 في المعادلة.

          وبالتالي ، فإن الحل هو الزوج المرتب (-3 ، 13).

          رسم المعادلات الخطية

          بعد دراسة هذا القسم ، ستتمكن من:

          1. ارسم خطًا مستقيمًا بإيجاد ثلاثة أزواج مرتبة تمثل حلولًا للمعادلة الخطية.

          2. ارسم خطًا مستقيمًا بإيجاد تقاطعتيه x و y.

          3. رسم الخطوط الأفقية والعمودية.

          رسم معادلة خطية بالرسم البياني لثلاثة أزواج مرتبة

          لقد رأينا أن الرسم البياني للزوج المرتب هو نقطة. يمكن أن يكون الزوج المرتب أيضًا حلاً لمعادلة خطية في متغيرين. نظرًا لوجود عدد لا حصر له من الحلول ، فهناك عدد لا حصر له من الأزواج المرتبة وعدد لا حصر له من النقاط. إذا تمكنا من رسم هذه النقاط ، فسنرسم المعادلة بالرسم البياني. كيف سيبدو هذا الرسم البياني؟ دع & rsquos ننظر إلى المعادلة y = -3x + 4. للبحث عن حل للمعادلة ، يمكننا اختيار أي قيمة لـ x. للراحة سنختار x = 0. أي أن أول إحداثي للزوج المرتب سيكون 0. لإكمال الزوج المرتب (0 ،) ، نعوض بـ 0 عن x في المعادلة:

          وهكذا يكون الزوج المرتب (0 ، 4).

          لإيجاد زوج مرتب آخر يمثل حلًا للمعادلة y = -3x + 4 ، دع x = 1.

          وبالتالي فإن الزوج المرتب (1 ، 1) هو حل آخر للمعادلة.

          يظهر الرسم البياني لهذين الأزواج أو الحلول المرتبة أدناه. نعلم من الهندسة أن نقطتين تحددان خطًا. وبالتالي يمكننا القول أن الخط الذي يحتوي على النقطتين هو الرسم البياني للمعادلة y = -3x + 4. حقيقة، الرسم البياني لأي معادلة خطية في متغيرين هو خط مستقيم.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          بينما تحتاج إلى نقطتين فقط لتحديد خط ما ، فإننا نوصي باستخدام ثلاث نقاط لرسم معادلة بيانية. نقطتان لتحديد الخط ونقطة ثالثة للتحقق. لتسهيل رسم النقاط ، من الأفضل أن تحتوي الأزواج المرتبة على أعداد صحيحة.

          مثال 1 أوجد ثلاثة أزواج مرتبة تحقق 2x + y = 4. ثم رسم الخط المستقيم الناتج.

          نظرًا لأنه يمكننا اختيار أي قيمة لـ x ، اختر تلك الأرقام المناسبة. لتنظيم النتائج ، سنضع جدولًا للقيم. سنترك x = 0 و x = 1 و x = 3 على التوالي. نكتب هذه الأعداد تحت x في جدول القيم. لكل من قيم x هذه ، نجد قيمة y المقابلة في المعادلة 2x + y = 4

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          نسجل هذه النتائج بوضع كل قيمة y في الجدول بجوار قيمة x المقابلة لها. ضع في اعتبارك أن هذه القيم تمثل أزواجًا مرتبة وكل منها يمثل حلًا للمعادلة. نظرًا لوجود عدد لا حصر له من الأزواج المرتبة ، فإننا نفضل تلك التي تحتوي على أعداد صحيحة كلما أمكن ذلك.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          إذا رسمنا هذه الأزواج المرتبة وقمنا بتوصيل النقاط الثلاث ، فسنحصل على خط مستقيم يمثل الرسم البياني للمعادلة 2x + y = 4. يظهر الرسم البياني للمعادلة في الشكل أدناه.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          مثال 2 الرسم البياني 5x-4y + 2 = 2.

          أولًا ، نبسط المعادلة بإضافة -2 إلى كل طرف.

          نظرًا لأننا أحرار في اختيار أي قيمة لـ x ، فإن x = 0 هو اختيار طبيعي. احسب قيمة ص عندما س = 0.

          y = 0 & emsp & emsp تذكر: أي عدد مرات 0 يساوي 0. بما أن -4y = 0 ، يجب أن يساوي y 0.

          الآن دع & rsquos نرى ما يحدث عندما تكون x = 1.

          y = -5 / -4 أو 5/4 & emsp & emsp هذا ليس رقمًا سهل الرسم البياني.

          الخيار الأفضل لاستبدال x هو رقم يقبل القسمة على 4. دعونا نرى لماذا & rsquos.

          للتفكير فى في المثال 2 ، اخترنا قيم x ووجدنا القيم المقابلة لـ y. الطريقة البديلة هي حل معادلة المتغير y أولاً. هكذا

          -4y = -5x & emsp & emsp أضف -5x إلى كل جانب.

          (-4y) / - 4 = (-5x) / - 4 & emsp & emsp اقسم كل جانب على -4.

          لنفترض الآن أن x = -4 ، و x = 0 ، و x = 4 ، وأوجد القيم المقابلة لـ y. ارسم المعادلة بيانيًا.

          في المثالين السابقين ، بدأنا باختيار قيم x. كان بإمكاننا اختيار قيم y بسهولة.

          مثال 3 الرسم البياني 3x-4y = 12.

          نجد أولًا ثلاثة أزواج مرتبة عن طريق الاختيار التعسفي لثلاث قيم لـ y وفي كل حالة نحل من أجل x. سنختار ص = 0 ، ص = 3 ، ص = -3. هل تستطيع أن ترى لماذا؟

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          رسم خط مستقيم برسم تقاطعاته

          ما القيم التي يجب أن نختارها لـ x و y؟ ما هي النقاط التي يجب أن نستخدمها للتخطيط؟ بالنسبة للعديد من الخطوط المستقيمة ، يكون من الأسهل اختيار الاثنين يعترض . بضعة أسطر لها تقاطع واحد فقط. سنناقش هذه بشكل منفصل.

          مثال 4. بياني 5y-3x = 15 بطريقة التقاطع.

          الزوج المرتب هو (-5 ، 0) ، نقطة تقاطع x.

          الزوج المرتب هو (0 ، 3) ، نقطة تقاطع ص.

          نجد زوجًا آخر له نقطة ثالثة.

          -3x = -15 & emsp & emsp اطرح 30 من كلا الجانبين.

          رسم بياني للخطوط الأفقية والعمودية

          ستلاحظ أن المحور السيني هو خط أفقي. إنه الخط y = 0 ، بما أن y يساوي 0 لأي x. جرب بعض النقاط. (1 ، 0) ، (3 ، 0) ، (-2 ، 0) كلها تقع على المحور السيني. سيكون أي خط أفقي موازيًا لمحور x. الخطوط مثل y = 5 و y = 2 هي خطوط أفقية. ماذا يعني y = 5؟ هذا يعني أن y تساوي 5 بالنسبة لأي x. وبالمثل ، فإن y = -2 تعني أنه ، لأي x ، y = -2.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          كيف يمكننا التعرف على معادلة الخط الأفقي ، أي الموازي لمحور x.

          مثال 5 الرسم البياني y = -3.

          يمكنك كتابة المعادلة على النحو التالي: 0 x + y = -3. ومن ثم يتضح أنك ستحصل دائمًا على y = -3 لأي قيمة س تعوضها. وهكذا ، كما هو موضح في الشكل ، (4 ، -3) ، (0 ، -3) ، (-3 ، -3) كلها أزواج مرتبة تحقق المعادلة ص = -3. نظرًا لأن المحور y لكل نقطة على هذا الخط هو -3 ، فمن السهل ملاحظة أن الخط الأفقي سيكون أسفل المحور x بثلاث وحدات.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          لاحظ أن المحور y عبارة عن خط عمودي. هذا هو الخط المستقيم x = 0 ، لأن x لأي y يساوي 0. جرب بعض النقاط. (0 ، 2) ، (0 ، -3) ، (0 ، 4) كلها تقع على المحور ص. سيكون أي خط عمودي موازيًا لمحور y. الخطوط مثل x = 2 و x = -3 هي خطوط عمودية. فكر فيما تعنيه x = 2. وهذا يعني أن x يساوي 2 لأي قيمة لـ y. x = 2 هو خط عمودي على يمين المحور y بوحدتين.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          كيف يمكننا التعرف على معادلة الخط الرأسي ، أي الموازي للمحور y؟

          مثال 6 الرسم البياني x = 5

          يمكن القيام بذلك على الفور عن طريق رسم خط عمودي 5 وحدات على يمين الأصل. المحور x لكل نقطة على هذا الخط هو 5.

          يمكن إعادة كتابة المعادلة x-5 = 0 كـ x = 5 ورسمها البياني كما هو موضح.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          منحدر خط

          بعد دراسة هذا القسم ، ستتمكن من:

          1. أوجد ميل خط مستقيم بمعلومية نقطتين على الخط.

          2. أوجد ميل الخط المستقيم وتقاطعه مع المحور y ، في ضوء معادلة الخط المستقيم.

          3. اكتب معادلة الخط ، بالنظر إلى الميل وتقاطع y.

          4. ارسم خطًا باستخدام الميل وتقاطع y.

          5. أوجد ميل المستقيمين المتوازيين أو المتعامدين.

          أوجد ميل الخط المستقيم ، مع إعطاء نقطتين على الخط المستقيم

          غالبًا ما نستخدم كلمة منحدر لوصف منحدر التل. سيشير النجار أو البناء إلى ميل أو منحدر السقف. المنحدر هو التغير في المسافة الرأسية مقارنة بالتغير في المسافة الأفقية أثناء انتقالك من نقطة إلى نقطة أخرى على طول السقف. إذا كان التغيير في المسافة العمودية أكبر من التغير في المسافة الأفقية ، فسيكون المنحدر حادًا. إذا كان التغير في المسافة الأفقية أكبر من التغير في المسافة الرأسية ، فسيكون الميل لطيفًا.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          في المستوى الإحداثي ، يتم تحديد ميل الخط المستقيم بالتغير في y مقسومًا على التغير في x.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          ضع في اعتبارك الخط المرسوم عبر النقطتين A و B في الشكل. إذا قمنا بقياس التغيير من النقطة A إلى النقطة B في الاتجاه x والاتجاه y ، فسنكون لدينا فكرة عن انحدار (أو ميل) الخط. من النقطة A إلى النقطة B يكون التغيير في قيم y من 2 إلى 4 ، وهو تغيير 2. من النقطة A إلى النقطة B يكون التغيير في قيم x من 1 إلى 5 ، أي تغيير 4.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          بشكل غير رسمي ، يمكننا وصف هذه الحركة بأنها الارتفاع على المدى: المنحدر = الارتفاع / الجري.

          نذكر الآن تعريفًا أكثر رسمية (وأكثر استخدامًا).

          يعد استخدام المصطلحات المكتوبة مثل x_1 و x_2 وما إلى ذلك مجرد طريقة للإشارة إلى أن قيمة x الأولى هي x_1 وقيمة x الثانية هي x_2. إذن (x_1، y_1) هما إحداثيات النقطة الأولى و (x_2، y_2) إحداثيات النقطة الثانية. يستخدم الحرف م بشكل شائع للمنحدر.

          مثال 1 أوجد ميل الخط المار عبر (2، 0) و (4، 2).

          لنفترض أن (2 ، 0) هي النقطة الأولى (x_1، y_1) و (4، 2) تكون النقطة الثانية (x_2، y_2)

          يظهر رسم الخط في الشكل أعلاه.

          لاحظ أن ميل الخط سيكون هو نفسه إذا سمحنا بأن تكون (4، 2) هي النقطة الأولى (x_1، y_1) و (2، 0) تكون النقطة الثانية (x_2، y_2).

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          وبالتالي ، في ضوء نقطتين ، لا يهم أيهما تسميه (x_1 ، y_1) والذي تسميه (x_2 ، y_2).

          تحذير كن حذرًا ، مع ذلك ، لا تضع x & rsquos في ترتيب واحد و y & rsquos في ترتيب آخر عند إيجاد المنحدر ، مع إعطاء نقطتين على الخط.

          مثال 2 أوجد ميل الخط المستقيم خلال (-3، 2) و (2، -4).

          لنفترض أن (-3، 2) تكون (x_1، y_1) و (2، -4) تكون (x_2، y_2)

          ميل هذا الخط سالب. نتوقع هذا لأن قيمة y انخفضت من 2 إلى -4.

          مثال 3 أوجد ميل الخط المستقيم الذي يمر بالنقاط المعطاة.

          (أ) 0 ، 2) و (5 ، 2) & emsp & emsp (ب) (-4 ، 0) و (-4 ، -4)

          (أ) توقف لحظة للنظر في قيم y. ماذا تلاحظ؟ ماذا يخبرك هذا عن الخط؟ الآن احسب الميل.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          ميل الخط الأفقي يساوي 0.

          (ب) توقف لحظة للنظر في قيم x. ماذا تلاحظ؟ ماذا يخبرك هذا عن الخط؟ الآن احسب الميل.

          تذكر أن القسمة على 0 غير محددة.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          ميل الخط العمودي غير محدد. نقول أن هذا الخط له لا منحدر.

          & emsp & emsp لاحظ في تعريفنا للميل أن x_2! = x_1. وبالتالي ، فليس من المناسب استخدام صيغة ميل النقاط في (ب). نفعل ذلك لتوضيح ما سيحدث إذا كانت x_2 = x_1. نحصل على موقف مستحيل ، (y_2-y_1) / 0. يمكنك الآن معرفة سبب تضمين التقييد x_2! = x_1 في تعريفنا.

          إيجاد ميل وتقاطع المستقيم مع معادلة المستقيم

          تذكر أن معادلة الخط هي معادلة خطية في متغيرين. يمكن كتابة هذه المعادلة بعدة طرق مختلفة. من الأشكال المفيدة جدًا لمعادلة الخط المستقيم صيغة الميل و mdashintercept. يمكن اشتقاق النموذج بالطريقة التالية. افترض أن خطًا مستقيمًا بميله m يعبر المحور y عند نقطة (0 ، ب). ضع في اعتبارك أي نقطة أخرى على الخط وقم بتسمية النقطة (س ، ص).

          يكشف هذا الشكل من المعادلة الخطية على الفور ميل الخط ، م ، وحيث يتقاطع الخط (يتقاطع) مع المحور ص ، ب.

          مثال 4 ما هو ميل الخط المستقيم الذي معادلته y = 4x - 5 وتقاطعها مع المحور y؟

          المعادلة بالصيغة y = mx + b.

          الميل 4 وتقاطع y هو -5.

          باستخدام العمليات الجبرية ، يمكننا كتابة أي معادلة خطية في صيغة mdash و mdashintercept واستخدام هذه الصيغة لتحديد ميل الخط وتقاطع y.

          مثال 5 ما هو الميل والجزء المقطوع من المحور y للخط 5x + 3y = 2؟

          نريد إيجاد y والحصول على المعادلة بالصيغة y = mx + b. علينا عزل المتغير y.

          كتابة معادلة خط ، بمعلومية الميل وتقاطع y

          إذا عرفنا ميل المستقيم m ، وتقاطع y ، b ، فيمكننا كتابة معادلة الخط ، y = mx + b.

          مثال 6 أوجد معادلة الخط المستقيم الذي ميله 2/5 وتقاطع ص -3.

          (أ) اكتب المعادلة بصيغة الميل و mdashintercept ، y = mx + b.

          (ب) اكتب المعادلة بصيغة Ax + By = C.

          (أ) لقد علمنا أن م = 2/5 و ب = -3. منذ

          (ب) تذكر ، بالنسبة للنموذج Ax + By = C ، أن A و B و C أعداد صحيحة. نزيل أولاً معادلة الكسور. ثم ننقل الحد x إلى الطرف الأيسر.

          5y = 5 ((2x) / 5) -5 (3) & emsp & emsp اضرب كل مصطلح ب 5.

          -2x + 5y = -15 & emsp & emsp اطرح 2x من كل جانب.

          2x-y = 15 & emsp & emsp اضرب كل حد ب -1. عادة ما يتم كتابة الشكل Ax + By = C مع A على أنه عدد صحيح موجب.

          رسم خط باستخدام الميل وتقاطع y

          إذا عرفنا ميل الخط وتقاطع المحور y ، فيمكننا رسم التمثيل البياني للخط المستقيم.

          مثال 7 ارسم خطًا بميله m = 2/3 وتقاطع y مع -3. استخدم نظام الإحداثيات أدناه.

          تذكر أن تقاطع y هو النقطة التي يتقاطع فيها الخط مع المحور y. تنسيق x لهذه النقطة هو 0. وبالتالي فإن إحداثيات التقاطع ص لهذا الخط هي (0 ، -3). نحن نرسم النقطة.

          تذكر أن المنحدر = الارتفاع / الجري. نظرًا لأن ميل هذا الخط هو 2/3 ، فسنصعد (نرتفع) وحدتين وننتقل (نركض) إلى اليمين 3 وحدات من النقطة (0 ، -3). انظر إلى الشكل أدناه. هذه هي النقطة (3 ، -1). ارسم النقطة. ارسم خطًا يربط النقطتين (0 ، -3) و (3 ، -1).

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          هذا هو الرسم البياني للخط الذي ميله 2/3 وتقاطع y مع -3.

          إيجاد ميل المستقيمات المتوازية أو المتعامدة

          الخطوط المتوازية هما خطان مستقيمان لا يتلامسان أبدًا. انظر إلى الخطوط المتوازية في الشكل أدناه.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          لاحظ أن ميل الخط أ يساوي -3 وميل الخط ب يساوي -3 أيضًا. لماذا تعتقد أن المنحدرات يجب أن تكون متساوية؟ ماذا سيحدث إذا كان ميل الخط ب يساوي -1. جربها.

          الخطوط العمودية عبارة عن خطين يلتقيان بزاوية 90 درجة. انظر إلى الخطوط العمودية في الشكل أدناه.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          ميل الخط c يساوي -3. ميل الخط d يساوي 1/3. لاحظ أن

          قد ترغب في رسم عدة أزواج من الخطوط المتعامدة لتحديد ما إذا كان هذا سيحدث دائمًا.

          مثال 8 ميل الخط e يساوي & ناقص 2/3.

          (أ) إذا كان الخط f موازيًا للخط e ، فما ميله؟

          (ب) إذا كان الخط g عموديًا على الخط e ، فما ميله؟

          (أ) الخطوط المتوازية لها نفس المنحدر.

          سيكون للخط f ميل يساوي & ناقص 2/3.

          (ب) الخطوط المتعامدة لها منحدرات ناتجها -1.

          (-3/2) (- 2/3) m_2 = -1 (-3/2) & emsp & emsp اضرب كلا الجانبين ب & ناقص 3/2.

          ميل الخط g يساوي 3/2

          الحصول على معادلة الخط

          بعد دراسة هذا القسم ستتمكن من:

          1. اكتب معادلة خط ، مع إعطاء نقطة وميل.

          2. اكتب معادلة خط ، بمعلومية نقطتين.

          3. اكتب معادلة خط ، مع إعطاء رسم بياني للخط.

          كتابة معادلة خط بمعلومية نقطة وميل

          إذا عرفنا ميل الخط وتقاطع المحور y ، فيمكننا كتابة معادلة الخط في صيغة mdashintercept والميل. أحيانًا يكون لدينا الميل ونقطة على الخط. نستخدم المعلومات لإيجاد تقاطع ص. ثم يمكننا كتابة معادلة الخط المستقيم.

          مثال 1 أوجد معادلة الخط المستقيم الذي ميله 4 ويمر بالنقطة (3 ، 1).

          لدينا القيم التالية: م = 4 ، س = 3 ، ص = 1.

          نعلم أن ميل الخط المستقيم يساوي 4.

          نظرًا لأن (3 ، 1) هي نقطة على الخط ، فإنها تفي بالمعادلة. عوّض x = 3 و y = 1 في المعادلة.

          وبالتالي فإن تقاطع y هو -11. يمكننا الآن كتابة معادلة الخط المستقيم.

          قد يكون من المفيد تلخيص نهجنا.

          مثال 2 أوجد معادلة المستقيم ذي الميل وسالب 2/3 الذي يمر بالنقطة (-3 ، 6).

          نكتب القيم م = & ناقص 2/3 ، س = -3 ، ص = 6.

          6 = (-2/3) (- 3) + b & emsp & emsp استبدل القيم المعروفة.

          معادلة الخط هي y = & ناقص 2/3 x + 4.

          إيجاد معادلة خط ، بإعطاء نقطتين

          يمكن أن تمتد إجراءاتنا إلى الحالة التي يتم فيها إعطاء نقطتين.

          مثال 3 أوجد معادلة الخط الذي يمر عبر (2 ، 5) و (6 ، 3).

          نوجد ميل الخط المستقيم أولًا. ثم ننتقل كما في المثال 2.

          m = (3-5) / (6-2) & emsp & emsp البديل (x_1، y_1) = (2،5) و (x_2، y_2) = (6، 3) في الصيغة.

          اختر أيًا من النقطتين ، قل (2،5) ، وتابع كما في المثال 2.

          معادلة الخط هي ص = & ناقص 1/2 س + 6.

          ملحوظة: بعد إيجاد المنحدر م = & ناقص 1/2 ، كان بإمكاننا استخدام النقطة الأخرى (6 ، 3) وسنصل إلى نفس الإجابة. جربها.

          إيجاد معادلة خط من الرسم البياني

          مثال 4 ما هي معادلة الخط المستقيم في الشكل أدناه؟

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          أولاً ، ابحث عن تقاطع ص. يقطع الخط المحور y عند (0،4). وهكذا ب = 4.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          ابحث عن نقطة أخرى على الخط. اخترنا (5 ، -2). احسب عدد الوحدات الرأسية من 4 إلى -2 (ارتفاع). احسب عدد الوحدات الأفقية من 0 إلى 5 (تشغيل).

          الآن يمكننا كتابة معادلة الخط ، م = & ناقص 6/5 و ب = 4.

          رسم المتباينات الخطية

          بعد دراسة هذا القسم ، ستتمكن من:

          1. رسم المتباينات الخطية في متغيرين.

          في درس سابق ناقشنا عدم المساواة في متغير واحد. انظر إلى المتباينة x & lt -2 (x أقل من -2). بعض حلول المتباينة هي -3 و -5 و -5 1/2. في الواقع ، كل الأرقام الموجودة على يسار -2 على خط الأعداد هي حلول. ويرد الرسم البياني لعدم المساواة أدناه. لاحظ أن الدائرة المفتوحة عند 2 تشير إلى أن 2 هي ليس حل.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          رسم المتباينات الخطية في متغيرين

          ضع في اعتبارك عدم المساواة y & gt = x. حل المتباينة هو مجموعة كل الأزواج المرتبة الممكنة والتي عند استبدالها في المتباينة ستنتج بيانًا صحيحًا. ما الأزواج المرتبة التي تجعل العبارة y & gt = x صحيحة؟ دعونا نجرب بعض.

          (0 ، 6) ، (-2 ، 1) ، (3 ، 5) ، (4 ، 4) حلول للمتباينة y & gt = x. في الواقع ، كل نقطة يكون فيها المحور y أكبر من أو يساوي x هو حل للمتباينة. يظهر ذلك من خلال المنطقة المظللة في الرسم البياني أدناه. لاحظ أن مجموعة الحلول تتضمن النقاط الموجودة على الخط y = x.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          هل احتجنا إلى اختبار العديد من النقاط؟ مجموعة حل المتباينة في متغيرين ستكون المنطقة فوق الخط أو المنطقة الواقعة أسفل الخط. يكفي اختبار نقطة واحدة. إذا كانت النقطة هي حل للمتباينة ، ظلل المنطقة التي تحتوي على النقطة. إذا لم تكن النقطة حلاً ، ظلل المنطقة على الجانب الآخر من الخط.

          مثال 1. الرسم البياني 5x + 3y & gt 15. استخدم نظام الإحداثيات أدناه.

          نبدأ برسم الخط 5x + 3y = 15. يمكنك استخدام أي طريقة تمت مناقشتها مسبقًا لرسم الخط. نظرًا لعدم وجود علامة مساوية في المتباينة ، سنرسم خطًا متقطعًا للإشارة إلى أن الخط موجود ليس جزء من مجموعة الحلول.

          & emsp & emsp ابحث عن نقطة اختبار. أسهل نقطة للاختبار هي (0 ، 0). عوّض (0، 0) عن (x، y) في المتراجحة.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          (0،0) ليس حلاً. ظلل جانب الخط الذي يعمل ليس تشمل (0 ، 0)

          مثال 2 الرسم البياني 2y & lt = -3x.

          الخطوة 1 الرسم البياني 2y = -3x. نظرًا لاستخدام & le ، يجب أن يكون الخط عبارة عن خط متصل.

          الخطوة 2 نرى أن الخط يمر عبر (0 ، 0).

          الخطوه 3 اختر نقطة اختبار أخرى. سنختار -3 ، -3

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          ظلل المنطقة التي تحتوي على (-3 ، -3). ظلل المنطقة أسفل الخط.

          إذا كنا نرسم المتباينة x & lt-2 بالرسم البياني على المستوى الإحداثي ، فسيكون الحل منطقة. لاحظ أن هذا يختلف كثيرًا عن الحل x & lt-2 على خط الأعداد الذي تمت مناقشته سابقًا.

          مثال 3 رسم بياني x & lt -2 على مستوى الإحداثيات.

          الخطوة 1 الرسم البياني x = -2. منذ استخدام & lt ، يجب أن يكون الخط متقطعًا.

          الخطوة 2 اختبار (0،0) في المتباينة.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          قم بتظليل المنطقة التي لا تحتوي على (0 ، 0). ظلل المنطقة على يسار الخط x = -2

          المهام

          بعد دراسة هذا القسم ستتمكن من:

          1. فهم واستخدام تعريف العلاقة والوظيفة.

          2. ارسم معادلات غير خطية بسيطة.

          3. حدد ما إذا كان الرسم البياني يمثل دالة.

          فهم واستخدام تعريفات العلاقة والوظيفة

          لقد درست حتى الآن معادلات خطية في متغيرين. لقد رأيت أن مثل هذه المعادلة يمكن تمثيلها بجدول القيم والمعادلة الجبرية نفسها والرسم البياني.

          & emsp & emsp حلول المعادلة الخطية هي جميع الأزواج المرتبة التي تحقق المعادلة (اجعل المعادلة صحيحة). إنها جميع النقاط التي تقع على الرسم البياني للخط. يمكن تمثيل هذه الأزواج المرتبة في جدول القيم. لاحظ العلاقة بين الأزواج المرتبة. يمكننا اختيار أي قيمة لـ x. ولكن بمجرد اختيار قيمة x ، يتم تحديد قيمة y. على سبيل المثال ، في المعادلة y = -3x + 4 إذا كانت x تساوي 0 ، فيجب أن تكون y 4. نقول أن x هو متغير مستقل وأن ذ هو المتغير التابع .

          & emsp & emsp يسمي علماء الرياضيات مثل هذا الاقتران بين قيمتين أ علاقة.

          & emsp & emsp تشكل جميع الإحداثيات الأولى في كل زوج مرتب ملف نطاق من العلاقة. تشكل جميع الإحداثيات الثانية في كل زوج مرتب نطاق من العلاقة. لاحظ أن تعريف العلاقة واسع جدًا. لا يمكن وصف بعض العلاقات بتعبير جبري. قد تكون هذه العلاقات مجرد مجموعة من أزواج مرتبة منفصلة.

          مثال 1 اذكر المجال ونطاق العلاقة التالية.

          يتكون المجال من جميع الإحداثيات الأولى في الأزواج المرتبة.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          يتكون النطاق من جميع الإحداثيات الثانية في الأزواج المرتبة. هكذا

          النطاق <7 ، 11 ، 14> & emsp & emsp ندرج 7 مرة واحدة فقط.

          بعض العلاقات لها خاصية خاصة وتسمى المهام. العلاقة y = -3x + 4 دالة. إذا نظرت إلى جدول قيمه ، فلا يوجد زوجان مرتبان مختلفان لهما نفس الإحداثي الأول. إذا نظرت إلى الرسم البياني الخاص به ، ستلاحظ أن أي خط رأسي يتقاطع مع الرسم البياني مرة واحدة فقط. في بعض الأحيان نحصل على فكرة أفضل إذا نظرنا إلى بعض العلاقات ليس المهام. انظر إلى y ^ 2 = x.

          لاحظ أنه إذا كانت x تساوي 1 ، فقد تكون y 1 نظرًا لأن 1 ^ 2 = 1 أو يمكن أن تكون y هي -1 نظرًا لأن (-1) ^ 2 = 1. أي أن الأزواج المرتبة (1 ، -1) و (1 ، 1) لها نفس الإحداثي الأول. y ^ 2 = x ليست دالة. ماذا تلاحظ في الرسم البياني؟

          مثال 2 حدد ما إذا كانت العلاقة دالة أم لا.

          (أ) انظر إلى الأزواج المرتبة. لا يوجد زوجان مرتبان لهما نفس الإحداثي الأول. وبالتالي (أ) هي وظيفة. لاحظ أن الأزواج المرتبة (3،9) و (5،9) لها نفس الإحداثي الثاني ، لكن هذا لا يمنع العلاقة من أن تكون دالة.

          (ب) انظر إلى الأزواج المرتبة. زوجان مرتبان مختلفان (7 ، 8) و (7 ، 14) لهما نفس الإحداثي الأول. وبالتالي هذه العلاقة ليست وظيفة.

          الوظائف هي ما نأمل في العثور عليه عندما نحلل مجموعتين من البيانات. انظر إلى جدول القيم الذي يقارن درجة الحرارة المئوية بدرجة حرارة فهرنهايت. هل هناك علاقة بين درجة فهرنهايت ودرجات مئوية؟ هي العلاقة وظيفة؟

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          نظرًا لأن كل درجة حرارة فهرنهايت تنتج درجة حرارة مئوية فريدة ، نتوقع أن تكون هذه دالة. يمكننا التحقق من افتراضنا بالنظر إلى الصيغة C = 5/9 (F-32) والرسم البياني الخاص بها. الصيغة عبارة عن معادلة خطية ، والرسم البياني لها عبارة عن خط بميل 5/9 وتقاطع ص عند حوالي -17.8. العلاقة هي وظيفة. لاحظ أن ملف المتغير التابع هي C ، لأن قيمة C تعتمد على قيمة F. نقول أن F هو متغير مستقل . ال نطاق يمكن وصفها بأنها مجموعة القيم المحتملة للمتغير المستقل. ال نطاق هي مجموعة القيم المقابلة للمتغير التابع. يعتقد العلماء أن أبرد درجة حرارة ممكنة هي -273 درجة مئوية تقريبًا. يسمون هذه درجة الحرارة الصفر المطلق. هكذا،

          مثال 3 حدد ما إذا كانت العلاقة دالة أم لا. إذا كانت دالة ، حدد المجال والمدى.

          (أ) بالنظر إلى الجدول ، نرى أنه لا يوجد زوجان مرتبان مختلفان لهما نفس الإحداثي الأول. مساحة الدائرة هي دالة على طول نصف القطر.

          & emsp & emspNext نحتاج إلى تحديد المتغير المستقل لتحديد المجال. في بعض الأحيان يكون من الأسهل تحديد المتغير التابع. هنا نلاحظ أن مساحة الدائرة تعتمد على طول نصف القطر. وبالتالي فإن نصف القطر هو المتغير المستقل. نظرًا لأن الطول السالب لا معنى له ، فلا يمكن أن يكون نصف القطر عددًا سالبًا.

          (ب) لا يوجد زوجان مرتبان مختلفان لهما نفس الإحداثي الأول. الفائدة دالة على الوقت.

          & emsp & emsp نظرًا لأن مقدار الفائدة المدفوعة على القرض يعتمد على عدد السنوات (مدة القرض) ، فإن الفائدة هي المتغير التابع والوقت هو المتغير المستقل. الأرقام السالبة لا تنطبق في هذه الحالة.

          رسم المعادلات غير الخطية البسيطة بالرسوم البيانية

          حتى الآن في هذا الدرس قمنا برسم معادلات خطية في متغيرين. ننتقل الآن إلى رسم بعض المعادلات غير الخطية بالرسم البياني. سنحتاج إلى رسم أكثر من ثلاث نقاط للحصول على فكرة جيدة عن الشكل الذي سيبدو عليه الرسم البياني.

          مثال 4 الرسم البياني y = x ^ 2.

          ابدأ ببناء جدول القيم. نختار قيم x ثم نحدد بالمعادلة القيم المقابلة لـ y. سنقوم بتضمين القيم السالبة لـ x بالإضافة إلى القيم الموجبة. ثم نرسم الأزواج المرتبة ونربط النقاط بمنحنى سلس.

          يسمى هذا النوع من المنحنيات أ القطع المكافئ. سوف ندرس الرسم البياني لهذه الأنواع من المنحنيات بشكل مكثف في البرامج التعليمية اللاحقة.

          مثال 5 الرسم البياني x = y ^ 2 + 2.

          سنختار قيمة y ثم نستبدلها في المعادلة لنحصل على x. للراحة في الرسم البياني ، سنكرر العمود y في النهاية بحيث يكون من السهل كتابة الأزواج المرتبة (x ، y).

          إذا كانت المعادلة تحتوي على كسور ذات متغيرات في المقام ، فيجب أن نتوخى الحذر الشديد. لا يجوز لك القسمة على الصفر أبدًا.

          مثال 6 الرسم البياني y = 4 / x.

          من المهم ملاحظة أن x لا يمكن أن يكون صفرًا لأن القسمة على صفر لم يتم تعريفها. ص = 4/0 غير مسموح به! لاحظ أنه عندما نرسم الرسم البياني نحصل على فرعين منفصلين من المنحنى لا يتلامسان.

          تحديد ما إذا كان الرسم البياني يمثل وظيفة

          هل يمكننا معرفة ما إذا كان الرسم البياني للدالة هو الرسم البياني؟ تذكر أن الوظيفة يجب أن تتمتع بخاصية عدم وجود زوجين مرتبين مختلفين لهما نفس الإحداثي الأول. أي أن كل قيمة لـ x يجب أن يكون لها قيمة فريدة منفصلة لـ y. انظر إلى الرسم البياني لـ y = x ^ 2 في المثال 4. كل قيمة x لها قيمة y فريدة. انظر إلى الرسم البياني لـ x = y ^ 2 + 2 في المثال 5. عند x = 3 ، هناك قيمتان لـ y ، 1 و -1. في الواقع ، لكل قيمة x أكبر من 2 هناك قيمتان لـ y. x = y ^ 2 + 2 ليست دالة.

          لاحظ أنه يمكننا رسم خط عمودي من خلال (6 ، 2) و (6 ، -2). أي رسم بياني ليس دالة سيكون له منطقة واحدة على الأقل حيث سيعبر الخط العمودي المنحنى أكثر من مرة.

          مثال 7 حدد ما إذا كان كل مما يلي يمثل رسمًا بيانيًا للدالة.

          (أ) يمثل الرسم البياني للخط المستقيم دالة. يمكن للخط الرأسي أن يتخطى هذا الخط المستقيم في مكان واحد فقط

          (ب) و (ج) كل من هذه الرسوم البيانية ليس الرسم البياني للدالة. في كل حالة ، يمكن لخط رأسي أن يتخطى المنحنى في أكثر من مكان.

          استخدام تدوين الوظيفة

          لقد رأينا أن معادلة مثل y = 2x + 7 دالة. لكل قيمة من قيم x ، تعين المعادلة قيمة فريدة لـ y. يمكننا أن نقول إن & lsquo & lsquo y هي دالة في x. & rsquo & rsquo يمكن ترميز هذه العبارة باستخدام تدوين الوظيفة y = f (x). وبالتالي يمكنك تجنب المتغير y تمامًا ووصف تعبير مثل 2x + 7 كدالة في x عن طريق كتابة f (x) = 2x + 7.

          تحذير احذر. لا يعني الرمز f (x) أن f مضروبًا في x.

          مثال 8 إذا كانت f (x) = 2x + 7 ، فأوجد f (3).

          تعني f (3) أننا نريد إيجاد قيمة الدالة f (x) عندما تكون x = 3. في هذا المثال ، f (x) هي 2x + 7. وهكذا نعوض بـ 3 عن x أينما تحدث x في المعادلة ونوجد قيمة.

          مثال 9 إذا كانت f (x) = 3x ^ 2-4x + 5 ، فأوجد:

          و (2) == 3 (2) ^ 2-4 (2) +5 == 3 (4) -4 (2) +5 == 12-8 +5 == 9

          و (-2) == 3 (-2) ^ 2-4 (-2) + 5 == 3 (4) -4 (-2) +5 == 12 +8 +5 == 25

          و (4) == 3 (4) ^ 2-4 (4) + 5 == 3 (16) -4 (4) + 5 == 48-16 + 5 == 37

          عند تقييم دالة ، من المفيد وضع أقواس حول القيمة التي يتم استبدالها بـ x. سيؤدي أخذ الوقت الكافي للقيام بذلك إلى تقليل أخطاء الإشارات في عملك.


          النجاح في الرياضيات والعلوم يفتح الفرص

          اشترك للحصول على السبق في المنح وفرص العمل. استخدم Siyavula Practice للحصول على أفضل الدرجات الممكنة.

          حدد (x ) - التقاطع و (y ) - تقاطع المعادلات التالية.

          (س ) - تقاطع (= 1 ) و (ص ) - تقاطع (= - 1 )

          (س ) - تقاطع (= - 2 ) و (ص ) - تقاطع (= 2 )

          (س ) - تقاطع (= 3 ) و (ص ) - تقاطع (= - 3 )

          يوجد في الرسم البياني أدناه دالة بالمعادلة (y = mx + c ). حدد قيم (م ) (تدرج الخط) و (ج ) ( (ص ) - تقاطع الخط).

          لتحديد (م ) ، نستخدم إحداثيات أي نقطة أخرى على الخط باستثناء النقطة المستخدمة في التقاطع (ص ). في هذا الحل ، اخترنا إحداثيات النقطة (B ) وهي ((12) ).

          يبدأ y & amp = mx + c 2 & amp = m (1) - 1 2 & amp = m - 1 3 & amp = m end

          يوضح الرسم البياني أدناه دالة بالمعادلة (y = mx + c ). حدد قيم (م ) (تدرج الخط) و (ج ) ( (ص ) - تقاطع الخط).

          لتحديد (م ) ، نستخدم إحداثيات أي نقطة أخرى على الخط باستثناء النقطة المستخدمة في التقاطع (ص ). في هذا الحل ، اخترنا إحداثيات النقطة (B ) وهي ((12) ).

          يبدأ y & amp = mx + c 0 & amp = m (1) - 1 0 & amp = m - 1 1 & amp = m end

          قم بسرد (x ) و (y ) - تقاطعات الرسوم البيانية الخطية التالية. وضّح ما إذا كان الرسم البياني يتزايد أم يتناقص:

          للعثور على (x ) - التقاطع قمنا بتعيين (y = 0 ) ولإيجاد (y ) - التقاطع قمنا بتعيينه (x = 0 ). هذا يعطي النقطتين ((01) ) و ((- 10) ). الرسم البياني يتزايد ( (m & gt 0 )).

          للعثور على (x ) - التقاطع قمنا بتعيين (y = 0 ) ولإيجاد (y ) - التقاطع قمنا بتعيينه (x = 0 ). هذا يعطي النقاط ((0-1) ) و ((10) ). الرسم البياني يتزايد ( (m & gt 0 )).

          للعثور على (x ) - التقاطع قمنا بتعيين (y = 0 ) ولإيجاد (y ) - التقاطع قمنا بتعيينه (x = 0 ). هذا يعطي النقاط ((0-1) ) و ( يسار ( فارك <1> <2> 0 يمين) ). الرسم البياني يتزايد ( (m & gt 0 )).

          للعثور على (x ) - التقاطع قمنا بتعيين (y = 0 ) ولإيجاد (y ) - التقاطع قمنا بتعيينه (x = 0 ). هذا يعطي النقاط ((01) ) و ( يسار ( فارك <1> <3> 0 يمين) ). الرسم البياني يتناقص ( (m & lt 0 )).

          للعثور على (x ) - التقاطع قمنا بتعيين (y = 0 ) ولإيجاد (y ) - التقاطع قمنا بتعيينه (x = 0 ). يعطي هذا النقطتين ((02) ) و ( يسار (-30 يمين) ). الرسم البياني يتزايد ( (m & gt 0 )).

          للعثور على (x ) - التقاطع قمنا بتعيين (y = 0 ) ولإيجاد (y ) - التقاطع قمنا بتعيينه (x = 0 ). هذا يعطي النقطة ((03) ). الرسم البياني أفقي.

          للعثور على (x ) - التقاطع قمنا بتعيين (y = 0 ) ولإيجاد (y ) - التقاطع قمنا بتعيينه (x = 0 ). هذا يعطي نفس النقطة لكلا التقاطع: ((00) ). الرسم البياني يتزايد ( (m & gt 0 )).

          للعثور على (x ) - التقاطع قمنا بتعيين (y = 0 ) ولإيجاد (y ) - التقاطع قمنا بتعيينه (x = 0 ). هذا يعطي النقاط ((0-3) ) و ( يسار (20 يمين) ). الرسم البياني يتزايد ( (m & gt 0 )).

          اذكر ما إذا كان ما يلي صحيحًا أم لا.

          انحدار (2y = 3x -1 ) هو (3 ).

          لذلك فإن التدرج هو ( frac <3> <2> ).

          (y ) - تقاطع (y = x + 4 ) هو (4 ).

          انحدار (2 - y = 2x - 1 ) هو (- 2 ).

          انحدار (y = frac <1> <2> x - 1 ) هو (- 1 ).

          (y ) - تقاطع (2y = 3x - 6 ) هو (6 ).

          يبدأ 2y & amp = 3x - 6 y & amp = frac <3> <2> x - 3 end

          اكتب ما يلي بالصيغة القياسية ( (y = mx + c )):

          انظر إلى الرسوم البيانية أدناه. يتم تمييز كل رسم بياني بحرف. في الأسئلة التالية ، قم بمطابقة أي معادلة معينة مع تسمية الرسم البياني المقابل.

          بالنسبة للوظائف في الرسم البياني أدناه ، أعط معادلة كل سطر:

          (y ) - التقاطع هو ((03) ) ، لذلك (ج = 3 ).

          يبدأ y & amp = mx + 3 0 & amp = 4m + 3 so m & amp = frac <-3> <4> end

          (y ) - التقاطع هو ((0-6) ) ، لذلك (c = -6 ).

          يبدأ y & amp = mx - 6 0 & amp = 4m - 6 so m & amp = frac <3> <2> end

          (y ) - التقاطع هو ((03) ) ، لذلك (ج = 3 ).

          يبدأ y & amp = mx + 3 3 & amp = -4m + 3 0 & amp = -4m so m & amp = 0 end

          (y ) - التقاطع هو ((00) ) ، لذلك (ج = 0 ).

          يبدأ y & amp = mx 3 & amp = -4m so m & amp = frac <-3> <4> end

          ارسم الوظائف التالية على نفس مجموعة المحاور ، باستخدام طريقة التقاطع المزدوج. حدد بوضوح إحداثيات التقاطع مع المحاور ونقطة تقاطع الرسمين البيانيين: (x + 2y-5 = 0 ) و (3x-y-1 = 0 ).

          نكتب أولاً المعادلة في الشكل القياسي: (y = - frac <1> <2> x + frac <5> <2> ). من هذا نرى أن التقاطع (y ) - هو ( frac <5> <2> ). التقاطع (x ) - هو ( نص <5> ).

          نكتب أولاً المعادلة بالصيغة القياسية: (y = 3x - 1 ). من هذا نرى أن التقاطع (y ) - هو (- نص <1> ). (x ) - التقاطع هو ( frac <1> <3> ).

          لإيجاد نقطة التقاطع ، علينا حل المعادلتين في آن واحد. يمكننا استخدام الصيغة القياسية للمعادلة الأولى واستبدال قيمة (y ) هذه في المعادلة الثانية:

          يبدأ 3x + frac <1> <2> x - frac <5> <2> - 1 & amp = 0 frac <7> <2> x & amp = frac <7> <2> x & amp = 1 نهاية

          استبدل قيمة (x ) مرة أخرى في المعادلة الأولى:

          يبدأ x + 2y - 5 & amp = 0 1 + 2y - 5 & amp = 0 2y & amp = 4 y & amp = 2 end

          لذلك تتقاطع الرسوم البيانية عند ((12) ).

          الآن يمكننا رسم الرسوم البيانية:

          على نفس مجموعة المحاور ، ارسم الرسوم البيانية لـ (f (x) = 3 - 3x ) و (g (x) = frac <1> <3> x + 1 ) باستخدام طريقة تقاطع التدرج .

          بالنسبة إلى (f (x) = 3 - 3x ) (y ) - التقاطع هو 3. التدرج (- text <3> ).

          للحصول على النقطة الثانية نبدأ من ((03) ) وننقل 3 وحدات لأعلى ووحدة واحدة إلى اليسار. هذا يعطي النقطة الثانية ((- 16) ). أو يمكننا تحريك 3 وحدات لأسفل ووحدة واحدة للحصول على ((10) ).

          بالنسبة إلى (g (x) = frac <1> <3> x + 1 ) ، يكون التقاطع 1. التدرج اللوني ( frac <1> <3> ).

          للحصول على النقطة الثانية ، نبدأ من ((01) ) وننقل وحدة واحدة لأعلى و 3 وحدات إلى اليمين. هذا يعطي النقطة الثانية ((32) ). أو يمكننا تحريك وحدة واحدة لأسفل و 3 وحدات متبقية للحصول على ((- 30) ).


          شكوى DMCA

          إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

          قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

          يُرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع الإلكتروني أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

          الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

          يجب عليك تضمين ما يلي:

          توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر وموقعه الدقيق ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

          أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

          تشارلز كوهن فارسيتي توتورز ذ م م
          101 طريق هانلي ، جناح 300
          سانت لويس ، مو 63105


          [لاتكس] [/ لاتكس]

          رأينا سابقًا أن التمثيل البياني للدالة الخطية هو خط مستقيم. تمكنا أيضًا من رؤية نقاط الدالة بالإضافة إلى القيمة الأولية من الرسم البياني.

          هناك ثلاث طرق أساسية لرسم الوظائف الخطية. الأول عن طريق رسم النقاط ثم رسم خط عبر النقاط. والثاني باستخدام ص-اعتراض ومنحدر. والثالث هو تطبيق تحويلات على وظيفة الهوية [اللاتكس] f left (x right) = x [/ latex].

          رسم دالة عن طريق رسم النقاط

          للعثور على نقاط دالة ، يمكننا اختيار قيم الإدخال وتقييم الوظيفة عند قيم الإدخال هذه وحساب قيم المخرجات. قيم الإدخال وقيم الإخراج المقابلة تشكل أزواج إحداثيات. ثم نرسم أزواج الإحداثيات على شبكة. بشكل عام ، يجب علينا تقييم الدالة عند مدخلين على الأقل لإيجاد نقطتين على الأقل في الرسم البياني للدالة. على سبيل المثال ، بالنظر إلى الوظيفة [اللاتكس] f left (x right) = 2x [/ latex] ، قد نستخدم قيم الإدخال 1 و 2. ينتج عن تقييم الدالة لقيمة الإدخال 1 قيمة الإخراج 2 والتي تمثله النقطة (1 ، 2). يؤدي تقييم الدالة لقيمة الإدخال 2 إلى الحصول على قيمة إخراج قدرها 4 والتي تمثلها النقطة (2 ، 4). غالبًا ما يُنصح باختيار النقاط الثلاث لأنه إذا لم تقع النقاط الثلاث في نفس الخط ، فنحن نعلم أننا ارتكبنا خطأ.

          الكيفية: إعطاء دالة خطية ، رسم بيانيًا عن طريق رسم النقاط.

          1. اختر ما لا يقل عن اثنين من قيم الإدخال.
          2. قيم الدالة عند كل قيمة إدخال.
          3. استخدم قيم الإخراج الناتجة لتحديد أزواج الإحداثيات.
          4. ارسم أزواج الإحداثيات على الشبكة.
          5. ارسم خطًا عبر النقاط.

          مثال: الرسم البياني من خلال نقاط التآمر

          الرسم البياني [اللاتكس] f left (x right) = - frac <2> <3> x + 5 [/ latex] عن طريق رسم النقاط.

          ابدأ باختيار قيم الإدخال. تتضمن هذه الوظيفة كسرًا مقامه 3 ، لذا دعنا نختار مضاعفات 3 كقيم إدخال. سنختار 0 و 3 و 6.

          قم بتقييم الوظيفة عند كل قيمة إدخال واستخدم قيمة المخرجات لتحديد أزواج الإحداثيات.

          [اللاتكس] ابدأx = 0 & & f left (0 right) = - frac <2> <3> left (0 right) + 5 = 5 rightarrow left (0،5 right) x = 3 & & f left (3 right) = - frac <2> <3> left (3 right) + 5 = 3 rightarrow left (3،3 right) x = 6 & & f left ( 6 يمين) = - فارك <2> <3> يسار (6 يمين) + 5 = 1 يمين يسار (6،1 يمين) نهاية[/ اللاتكس]

          ارسم أزواج الإحداثيات وارسم خطًا عبر النقاط. الرسم البياني أدناه للدالة [اللاتكس] f left (x right) = - frac <2> <3> x + 5 [/ latex].

          تحليل الحل

          الرسم البياني للدالة هو خط كما هو متوقع لوظيفة خطية. بالإضافة إلى ذلك ، يحتوي الرسم البياني على ميل هبوطي يشير إلى ميل سلبي. هذا متوقع أيضًا من معدل التغيير الثابت السلبي في معادلة الوظيفة.

          جربها

          الرسم البياني [اللاتكس] f left (x right) = - frac <3> <4> x + 6 [/ latex] عن طريق رسم النقاط.

          رسم دالة خطية باستخدام تقاطع y والميل

          هناك طريقة أخرى لرسم وظائف خطية وهي استخدام خصائص محددة للوظيفة بدلاً من رسم النقاط. السمة الأولى هي ص-التقاطع وهي النقطة التي تكون فيها قيمة الإدخال صفرًا. لتجد ال ص-تقاطع، يمكننا تعيين [اللاتكس] x = 0 [/ اللاتكس] في المعادلة.

          السمة الأخرى للدالة الخطية هي ميلها ، موهو مقياس شدته. تذكر أن الميل هو معدل تغير الوظيفة. يساوي ميل الدالة الخطية نسبة التغيير في المخرجات إلى التغيير في المدخلات. هناك طريقة أخرى للتفكير في الميل وهي قسمة الفرق الرأسي ، أو الارتفاع ، بين أي نقطتين على الاختلاف الأفقي ، أو الجري. سيكون ميل الدالة الخطية هو نفسه بين أي نقطتين. لقد واجهنا كلا من ص-التقاطع والميل في الدوال الخطية.

          دعونا ننظر في الوظيفة التالية.

          المنحدر هو [لاتكس] فارك <1> <2> [/ لاتكس]. نظرًا لأن الميل موجب ، فنحن نعلم أن التمثيل البياني سينحرف لأعلى من اليسار إلى اليمين. ال ص-اعتراض هو النقطة على الرسم البياني عندما x = 0. الرسم البياني يتقاطع مع ذ- المحور عند (0، 1). الآن نعرف المنحدر و ذ-تقاطع. يمكننا أن نبدأ الرسم البياني عن طريق رسم النقطة (0 ، 1) نحن نعلم أن المنحدر يرتفع فوق الركض ، [اللاتكس] m = frac < text> < نص> [/ لاتكس]. من مثالنا ، لدينا [latex] m = frac <1> <2> [/ latex] ، مما يعني أن الارتفاع هو 1 والتشغيل هو 2. بدءًا من ذ- التقاطع (0 ، 1) ، يمكننا الصعود 1 ثم الركض 2 أو الركض 2 ثم الارتفاع 1. نكرر ذلك حتى نحصل على نقاط متعددة ، ثم نرسم خطًا عبر النقاط كما هو موضح أدناه.

          ملاحظة عامة: تفسير رسومي للدالة الخطية

          في المعادلة [اللاتكس] f left (x right) = mx + b [/ latex]

          • ب هل ذ- تقاطع الرسم البياني ويشير إلى النقطة (0 ، ب) حيث يتقاطع الرسم البياني مع ذ-محور.
          • م هو ميل الخط ويشير إلى الإزاحة الرأسية (الارتفاع) والإزاحة الأفقية (الجري) بين كل زوج متتالي من النقاط. تذكر صيغة المنحدر:

          هل كل الدوال الخطية لها ذ- اعتراضات؟

          نعم فعلا. تعبر جميع الدوال الخطية المحور y ومن ثم يكون لها تقاطعات y. (ملحوظة: الخط العمودي الموازي للمحور y ليس له تقاطع y. ضع في اعتبارك أن الخط العمودي هو الخط الوحيد الذي لا يمثل وظيفة.)

          الكيفية: بالنظر إلى معادلة دالة خطية ، قم برسم الدالة باستخدام امتداد ذ- التقاطع والانحدار.

          1. قم بتقييم الدالة عند قيمة إدخال تساوي صفرًا لإيجاد ص-تقاطع.
          2. حدد المنحدر.
          3. ارسم النقطة التي يمثلها ص-تقاطع.
          4. استخدم [اللاتكس] frac < text> < نص> [/ لاتكس] لتحديد نقطتين أخريين على الأقل على الخط.
          5. ارسم خطًا يمر عبر النقاط.

          مثال: الرسم البياني باستخدام ملف ص-اعتراض ومنحدر

          الرسم البياني [اللاتكس] f left (x right) = - frac <2> <3> x + 5 [/ latex] باستخدام ص-اعتراض ومنحدر.

          قيم الوظيفة في x = 0 للعثور على ص-تقاطع. قيمة الإخراج عندما x = 0 تساوي 5 ، لذا فإن الرسم البياني سوف يتقاطع مع ذ- المحور عند (0، 5).

          وفقًا لمعادلة الوظيفة ، يكون ميل الخط [لاتكس] - فارك <2> <3> [/ لاتكس]. يخبرنا هذا أنه لكل انخفاض رأسي في & # 8220rise & # 8221 من وحدات [latex] –2 [/ latex] ، يزيد & # 8220run & # 8221 بمقدار 3 وحدات في الاتجاه الأفقي. يمكننا الآن رسم الدالة بيانيًا عن طريق رسم المعادلة الأولى ذ-تقاطع. من القيمة الأولية (0 ، 5) ننتقل إلى أسفل 2 وحدات وإلى اليمين 3 وحدات. يمكننا تمديد الخط إلى اليسار واليمين عن طريق التكرار ، ثم رسم خط يمر بالنقاط.

          تحليل الحل

          يميل الرسم البياني لأسفل من اليسار إلى اليمين مما يعني أن لديه ميلًا سلبيًا كما هو متوقع.

          جربها

          ابحث عن نقطة على الرسم البياني قمنا برسمها في المثال السابق: الرسم البياني باستخدام ذ- التقاطع والمنحدر الذي له قيمة سالبة x-القيمة.

          تتضمن الإجابات المحتملة [لاتكس] يسار (-3،7 يمين) [/ لاتكس] أو [لاتكس] يسار (-6،9 يمين) [/ لاتكس] أو [لاتكس] يسار (-9،11 right) [/ لاتكس].

          رسم دالة خطية باستخدام التحويلات

          خيار آخر للرسم البياني هو استخدام التحولات على وظيفة الهوية [اللاتكس] f left (x right) = x [/ latex]. يمكن تحويل الوظيفة عن طريق التحول لأعلى أو لأسفل أو لليسار أو لليمين. يمكن أيضًا تحويل الوظيفة باستخدام انعكاس أو تمدد أو ضغط.

          تمدد أو ضغط عمودي

          في المعادلة [اللاتكس] f left (x right) = mx [/ latex] ، فإن م يتصرف مثل امتداد عمودي أو ضغط من وظيفة الهوية. متي م سلبي ، هناك أيضًا انعكاس رأسي للرسم البياني. لاحظ أن ضرب المعادلة [اللاتكس] f left (x right) = x [/ latex] في م يمتد الرسم البياني لـ F بمعامل م وحدات إذا م & gt 1 ويضغط الرسم البياني لـ F بمعامل م الوحدات إذا 0 & لتر م & lt 1. هذا يعني أنه كلما زادت القيمة المطلقة لـ م، كلما كان المنحدر أكثر حدة.

          تمديدات وانضغاطات رأسية وانعكاسات على الوظيفة [اللاتكس] f left (x right) = x [/ latex].

          التحول العمودي

          في [اللاتكس] f left (x right) = mx + b [/ latex] ، فإن ملف ب بمثابة التحول العموديتحريك الرسم البياني لأعلى ولأسفل دون التأثير على ميل الخط. لاحظ أن إضافة قيمة ب إلى معادلة [اللاتكس] f left (x right) = x [/ latex] يغير الرسم البياني لـ F ما مجموعه ب وحدات تصل إذا ب إيجابي و |ب| وحدات أسفل إذا ب سلبي.

          يوضح هذا الرسم البياني التحولات الرأسية للوظيفة [اللاتكس] f left (x right) = x [/ latex].

          يعد استخدام الامتدادات أو الضغط الرأسي جنبًا إلى جنب مع التحولات الرأسية طريقة أخرى للنظر في تحديد أنواع مختلفة من الوظائف الخطية. على الرغم من أن هذه قد لا تكون أسهل طريقة لرسم هذا النوع من الوظائف ، إلا أنه لا يزال من المهم ممارسة كل طريقة.

          الكيفية: بالنظر إلى معادلة الدالة الخطية ، استخدم التحويلات لرسم الدالة الخطية بالرسم البياني بالشكل [اللاتكس] f left (x right) = mx + b [/ latex].

          1. الرسم البياني [اللاتكس] f left (x right) = x [/ latex].
          2. قم بتمديد الرسم البياني أو ضغطه عموديًا بعامل م.
          3. انقل الرسم البياني لأعلى أو لأسفل ب الوحدات.

          مثال: الرسم البياني باستخدام التحويلات

          الرسم البياني [اللاتكس] f left (x right) = frac <1> <2> x - 3 [/ latex] باستخدام التحويلات.

          تُظهر معادلة الوظيفة أن [اللاتكس] m = frac <1> <2> [/ latex] بحيث يتم ضغط وظيفة الهوية عموديًا بواسطة [اللاتكس] frac <1> <2> [/ اللاتكس]. تُظهر معادلة الدالة أيضًا أن [اللاتكس] b = -3 [/ latex] ، وبالتالي فإن وظيفة الهوية يتم إزاحتها رأسياً لأسفل بمقدار 3 وحدات.

          أولاً ، قم برسم دالة الهوية ، وأظهر الضغط العمودي.

          الوظيفة [اللاتكس] y = x [/ latex] مضغوطة بواسطة عامل [اللاتكس] frac <1> <2> [/ اللاتكس].

          ثم أظهر التحول العمودي.

          الوظيفة [اللاتكس] y = frac <1> <2> x [/ latex] تحولت لأسفل بمقدار 3 وحدات.

          جربها

          الرسم البياني [اللاتكس] f left (x right) = 4 + 2x [/ latex] ، باستخدام التحويلات.

          في مثال: الرسم البياني باستخدام التحويلات ، هل كان بإمكاننا رسم الرسم البياني بعكس ترتيب التحويلات؟

          لا ، ترتيب التحولات يتبع ترتيب العمليات. عندما يتم تقييم الوظيفة عند إدخال معين ، يتم حساب المخرجات المقابلة باتباع ترتيب العمليات. هذا هو السبب في أننا قمنا بالضغط أولاً. على سبيل المثال ، باتباع ترتيب العمليات ، دع الإدخال يكون 2.


          دالات معرفة عدة مرات

          دالة متعددة التعريف دالة يتغير تعريفها تبعًا للقيم الموجودة في المجال. ، أو وظيفة الانقسام مصطلح يستخدم عند الإشارة إلى دالة متعددة التعريف. ، هي وظيفة يتغير تعريفها اعتمادًا على القيمة في المجال. على سبيل المثال ، يمكننا كتابة دالة القيمة المطلقة f (x) = | x | كدالة متعددة التعريف:

          في هذه الحالة ، يعتمد التعريف المستخدم على علامة x-القيمة. إذا كان x- القيمة موجبة ، x ≥ 0 ، ثم يتم تعريف الوظيفة بواسطة f (x) = x. وإذا كان x- القيمة سالبة ، x & lt 0 ، ثم يتم تعريف الوظيفة بواسطة f (x) = - x.

          فيما يلي رسم بياني للقطعتين على نفس مستوى إحداثيات المستطيل:

          مثال 1

          في هذه الحالة ، نرسم دالة التربيع على سالب x- القيم ودالة الجذر التربيعي على القيمة الموجبة x-القيم.

          لاحظ النقطة المفتوحة المستخدمة في أصل دالة التربيع والنقطة المغلقة المستخدمة لدالة الجذر التربيعي. تم تحديد ذلك من خلال عدم المساواة التي تحدد مجال كل جزء من الدالة. تتكون الوظيفة بأكملها من كل قطعة مرسومة على نفس المستوى الإحداثي.

          عند التقييم ، تحدد القيمة في المجال التعريف المناسب للاستخدام.

          مثال 2

          إذا كانت الدالة h ، فأوجد h (- 5) و h (0) و h (3).

          استخدم h (t) = 7 t + 3 حيث ر سالبة ، كما يتضح من t & lt 0.

          ح (ر) = 7 ن + 5 س (- 5) = 7 (- 5) + 3 = - 35 + 3 = - 32

          أين ر أكبر من أو يساوي الصفر ، استخدم h (t) = - 16 t 2 + 32 t.

          ح (0) = - 16 (0) + 32 (0) ح (3) = 16 (3) 2 + 32 (3) = 0 + 0 = - 144 + 96 = 0 = - 48

          الجواب: ع (- 5) = - 32 ، ح (0) = 0 ، ح (3) = - 48

          جرب هذا! الرسم البياني: f (x) = <2 3 x + 1 if x & lt 0 x 2 if x ≥ 0.

          قد يختلف تعريف الوظيفة على فترات متعددة في المجال.

          مثال 3

          في هذه الحالة ، ارسم دالة التكعيب بيانيًا على الفترة (- ∞ ، 0). ارسم دالة الهوية خلال الفترة [0 ، 4]. أخيرًا ، ارسم الدالة الثابتة f (x) = 6 على الفترة (4، ∞). ولأن f (x) = 6 حيث x & gt 4 ، نستخدم نقطة مفتوحة عند النقطة (4 ، 6). حيث x = 4 ، نستخدم f (x) = x وبالتالي (4 ، 4) هي نقطة على الرسم البياني كما هو موضح بنقطة مغلقة.

          أكبر دالة عدد صحيح الوظيفة التي تقوم بتعيين أي رقم حقيقي x إلى أكبر عدد صحيح أصغر من أو يساوي x تدل على f (x) = [[x]]. ، المشار إليه بـ f (x) = [[x]] ، يعين أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي أي رقم حقيقي في مجاله. على سبيل المثال،

          f (2.7) = [[2.7]] = 2 f (π) = [[π]] = 3 f (0.23) = [[0.23]] = 0 f (- 3.5) = [[- 3.5] = - 4

          تربط هذه الدالة أي رقم حقيقي بأكبر عدد صحيح أصغر منه أو مساويًا له ويجب عدم الخلط بينه وبين التقريب.

          مثال 4

          إذا x هو أي رقم حقيقي ، إذن y = [[x]] هو أكبر عدد صحيح أصغر من أو يساوي x.

          ⋮ - 1 ≤ x & lt 0 ⇒ y = [[x]] = - 1 0 ≤ x & lt 1 ⇒ y = [[x]] = 0 1 ≤ x & lt 2 ⇒ y = [[x]] = 1 ⋮

          باستخدام هذا ، نحصل على الرسم البياني التالي.

          يتكون مجال أكبر عدد صحيح من جميع الأعداد الحقيقية ℝ ويتكون النطاق من مجموعة الأعداد الصحيحة ℤ. غالبًا ما تسمى هذه الوظيفة وظيفة الكلمة مصطلح يستخدم عند الإشارة إلى أكبر دالة عدد صحيح. وله العديد من التطبيقات في علوم الكمبيوتر.


          الدوال والمعادلات الخطية

          إذا قمنا في المعادلة التالية ، y = x + 7 بتعيين قيمة لـ x ، فستعطينا المعادلة قيمة لـ y.

          إذا كان لدينا قيمة مختلفة لـ x ، فإن المعادلة ستعطينا قيمة أخرى لـ y. بدلاً من ذلك ، كان بإمكاننا تعيين قيمة لـ y وحل المعادلة لإيجاد القيمة المطابقة لـ x.

          في معادلتنا y = x + 7 ، لدينا متغيرين ، x و y. المتغير الذي نخصص له القيمة التي نسميها المتغير المستقل ، والمتغير الآخر هو المتغير التابع ، حيث تعتمد قيمته على المتغير المستقل. في المثال أعلاه ، x هو المتغير المستقل و y هو المتغير التابع.

          الدالة هي معادلة لها إجابة واحدة فقط لكل x لكل x. تقوم الوظيفة بتعيين إخراج واحد بالضبط لكل إدخال من النوع المحدد.

          من الشائع تسمية دالة إما f (x) أو g (x) بدلاً من y. تعني f (2) أنه يجب علينا إيجاد قيمة الدالة عندما يكون x يساوي 2.

          تكون الوظيفة خطية إذا كان يمكن تعريفها بواسطة

          و (خ) هي قيمة الوظيفة.
          م هو منحدر الخط.
          ب هي قيمة الدالة عندما يكون x يساوي صفرًا أو إحداثي y للنقطة التي يتقاطع فيها الخط مع المحور y في مستوى الإحداثي.
          x هي قيمة الإحداثي x.

          هذا النموذج يسمى نموذج تقاطع الميل. إذا كان الميل سالب ، فإن قيمة الدوال تتناقص بزيادة x والعكس صحيح إذا كان لدينا ميل موجب.

          معادلة مثل ص = س + 7 خطي وهناك عدد لا حصر له من أزواج x و y المرتبة التي تحقق المعادلة.

          الميل m هنا 1 و b (تقاطع y) يساوي 7.
          يُعطى ميل الخط المار بالنقطتين (x1، y1) و (x2، y2) بواسطة

          إذا أعطيت معادلتان خطيتان نفس الميل ، فهذا يعني أنهما متوازيتان وإذا كان ناتج منحدرين m1 * m2 = -1 يقال إن المعادلتين الخطيتين متعامدتان.


          شاهد الفيديو: حل المعادلات الخطية بيانيا 4 (شهر اكتوبر 2021).