مقالات

1.7: دوال عكسية - رياضيات


أهداف التعلم

  • تحقق من الدوال العكسية.
  • حدد مجال ومدى الدالة العكسية ، وقم بتقييد مجال الدالة لجعلها واحدة لواحد.
  • أوجد أو احسب معكوس دالة.
  • استخدم الرسم البياني لدالة رأس برأس لرسم بياني لدالتها العكسية على نفس المحاور.

المضخة الحرارية العكسية هي نظام للتحكم في المناخ وهو عبارة عن مكيف هواء وسخان في جهاز واحد. تعمل في اتجاه واحد ، فهي تضخ الحرارة خارج المنزل لتوفير التبريد. تعمل في الاتجاه المعاكس ، وتضخ الحرارة إلى المبنى من الخارج ، حتى في الطقس البارد ، لتوفير التدفئة. كمسخن ، تكون المضخة الحرارية أكثر كفاءة بعدة مرات من التسخين بالمقاومة الكهربائية التقليدية.

إذا كان بإمكان بعض الآلات الفيزيائية أن تعمل في اتجاهين ، فقد نسأل ما إذا كانت بعض "الآلات" الوظيفية التي كنا ندرسها يمكن أيضًا أن تعمل للخلف. يقدم الشكل ( PageIndex {1} ) تمثيلاً مرئيًا لهذا السؤال. في هذا القسم ، سننظر في الطبيعة العكسية للوظائف.


الشكل ( PageIndex {1} ): هل يمكن أن تعمل وظيفة "الآلة" في الاتجاه المعاكس؟

التحقق من أن دالتين لهما دالات عكسية

لنفترض أن مصمم أزياء يسافر إلى ميلانو لحضور عرض أزياء يريد أن يعرف درجة الحرارة. إنه ليس على دراية بـ درجة مئوية مقياس. للحصول على فكرة عن كيفية ارتباط قياسات درجة الحرارة ، طلب من مساعده ، بيتي ، تحويل 75 درجة فهرنهايت إلى درجات مئوية. تجد الصيغة

[C = dfrac {5} {9} (إناثا 32) ]

ويستبدل 75 بحساب (F )

[ dfrac {5} {9} (75−32) almost24 ^ { circ} ]

مع العلم أن درجة الحرارة المريحة التي تبلغ 75 درجة فهرنهايت تبلغ حوالي 24 درجة مئوية ، أرسل مساعده توقعات الطقس لهذا الأسبوع من الشكل ( PageIndex {2} ) لميلانو ، ويطلب منها تحويل جميع درجات الحرارة إلى درجات فهرنهايت.

في البداية ، تفكر بيتي في استخدام الصيغة التي وجدتها بالفعل لإكمال التحويلات. بعد كل شيء ، إنها تعرف الجبر ، ويمكنها بسهولة حل معادلة (F ) بعد استبدال قيمة (C ). على سبيل المثال ، لتحويل 26 درجة مئوية ، يمكنها الكتابة

[ begin {align} 26 & = dfrac {5} {9} (F-32) 26⋅ dfrac {9} {5} & = F − 32 F & = 26⋅ dfrac {9} {5} +32 almost79 end {align} ]

بعد التفكير في هذا الخيار للحظة ، أدركت أن حل المعادلة لكل درجة حرارة سيكون مملاً للغاية. لقد أدركت أنه نظرًا لأن التقييم أسهل من الحل ، فسيكون أكثر ملاءمة أن يكون لديك معادلة مختلفة ، واحدة تأخذ درجة الحرارة المئوية وتخرج درجة حرارة فهرنهايت.

الصيغة التي تبحث عنها Betty تتوافق مع فكرة وظيفة عكسية، وهي وظيفة يصبح فيها إدخال الوظيفة الأصلية ناتجًا للدالة العكسية ويصبح ناتج الوظيفة الأصلية مدخلًا للدالة العكسية.

عند إعطاء دالة (f (x) ) ، فإننا نمثل معكوسها كـ (f ^ {- 1} (x) ) ، ونقرأها كـ " (f ) معكوس (x )." 1 المرفوع هو جزء من الترميز. انها ليست اس. لا يعني ذلك أن القوة −1. بعبارة أخرى ، لا يعني (f ^ {- 1} (x) ) ( frac {1} {f (x)} ) لأن ( frac {1} {f (x)} ) هو مقلوب (f ) وليس معكوسًا.

يأتي الترميز "الشبيه بالأُس" من التشابه بين تكوين الدالة والضرب: تمامًا مثل (a ^ {- 1} a = 1 ) (1 هو عنصر محايد للضرب) لأي رقم غير صفري (a ) ، لذلك (f ^ {- 1} { circ} f ) يساوي دالة الهوية ، أي ،

[(f ^ {- 1} { circ} f) (x) = f ^ {- 1} (f (x)) = f ^ {- 1} (y) = x ]

ينطبق هذا على الجميع (س ) في مجال (و ). بشكل غير رسمي ، هذا يعني أن الوظائف العكسية "تتراجع" عن بعضها البعض. ومع ذلك ، تمامًا مثل الصفر لا يحتوي على متبادل، بعض الوظائف لا تحتوي على انعكاسات.

عند إعطاء دالة (f (x) ) ، يمكننا التحقق مما إذا كانت دالة أخرى (g (x) ) هي معكوس (f (x) ) عن طريق التحقق مما إذا كان إما (g (f (x) )) = x ) أو (f (g (x)) = x ) صحيح. يمكننا اختبار المعادلة الأكثر ملاءمة للعمل معها لأنها متكافئة منطقيًا (أي ، إذا كانت إحداهما صحيحة ، فحينئذٍ تكون الأخرى كذلك).

على سبيل المثال ، (y = 4x ) و (y = frac {1} {4} x ) هي دالات معكوسة.

[(f ^ {- 1} { circ} f) (x) = f ^ {- 1} (4x) = dfrac {1} {4} (4x) = x ]

و

[(f { circ} f ^ {- 1}) (x) = f Big ( dfrac {1} {4} x Big) = 4 Big ( dfrac {1} {4} x كبير) = س ]

بعض أزواج الإحداثيات من الرسم البياني للوظيفة (y = 4x ) هي ((- 2 ، −8) ) ، ((0 ، 0) ) ، و ((2 ، 8) ) . بعض أزواج الإحداثيات من الرسم البياني للدالة (y = frac {1} {4} x ) هي ((- 8 ، −2) ) ، ((0 ، 0) ) ، و ((8 ، 2) ). إذا قمنا بتبادل المدخلات والمخرجات لكل زوج إحداثي لوظيفة ما ، فستظهر أزواج الإحداثيات المتبادلة على الرسم البياني للدالة العكسية.

التعريف: دالة عكسية

لأي وظيفة واحد لواحد (f (x) = y ) ، الدالة (f ^ {- 1} (x) ) هي وظيفة عكسية من (f ) إذا (f ^ {- 1} (y) = x ). يمكن أيضًا كتابة هذا كـ (f ^ {- 1} (f (x)) = x ) لجميع (x ) في مجال (f ). يتبع ذلك أيضًا (f (f ^ {- 1} (x)) = x ) لكل (x ) في مجال (f ^ {- 1} ) إذا (f ^ {- 1} ) هو معكوس (f ).

تتم قراءة التدوين (f ^ {- 1} ) " (f ) معكوس." مثل أي وظيفة أخرى ، يمكننا استخدام أي اسم متغير كمدخل لـ (f ^ {- 1} ) ، لذلك غالبًا ما نكتب (f ^ {- 1} (x) ) ، والتي نقرأها كـ " (f ) معكوس (x ) ". لا تنسى

[f ^ {- 1} (x) neq dfrac {1} {f (x)} ]

وليست كل الوظائف لها انعكاسات.

مثال ( PageIndex {1} ): تحديد دالة عكسية لزوج إدخال ومخرج معين

إذا كانت دالة واحد لواحد معينة (f (2) = 4 ) و (f (5) = 12 ) ، ما هي قيم الإدخال والإخراج المقابلة للدالة العكسية؟

المحلول

تعكس الدالة العكسية كميات المدخلات والمخرجات ، لذلك إذا

[f (2) = 4، text {then} f ^ {- 1} (4) = 2؛ f (5) = 12، text {then} f ^ {- 1} (12) = 5 ].

بدلاً من ذلك ، إذا أردنا تسمية الوظيفة العكسية (g ) ، ثم (g (4) = 2 ) و (g (12) = 5 ).

التحليلات

لاحظ أنه إذا أظهرنا أزواج الإحداثيات في شكل جدول ، فسيتم عكس المدخلات والمخرجات بوضوح. راجع الجدول ( PageIndex {1} ).

جدول ( PageIndex {1} )
((س ، و (خ)) ) ((س ، ز (خ)) )
((2,4))((4,2))
((5,12))((12,5))

تمرين ( PageIndex {1} )

بالنظر إلى أن (h ^ {- 1} (6) = 2 ) ، ما هي قيم المدخلات والمخرجات المقابلة للدالة الأصلية (h )؟

إجابه

(ح (2) = 6 )

الكيفية: بالنظر إلى وظيفتين (f (x) ) و (g (x) ) ، اختبر ما إذا كانت الوظائف معكوسة لبعضها البعض.

  1. حدد ما إذا كان (f (g (x)) = x ) أو (g (f (x)) = x ).
  2. إذا كانت كلتا العبارتين صحيحة ، فإن (g = f ^ {- 1} ) و (f = g ^ {- 1} ). إذا كانت أي من العبارتين خاطئة ، فسيكون كلاهما خطأ ، و (g { neq} f ^ {- 1} ) و (f { neq} g ^ {- 1} ).

مثال ( PageIndex {2} ): اختبار العلاقات العكسية جبريًا

إذا (f (x) = frac {1} {x + 2} ) و (g (x) = frac {1} {x} −2 ) ، يكون (g = f ^ {- 1} )؟

المحلول

[ start {align} g (f (x)) & = dfrac {1} {( frac {1} {x + 2}) - 2} & = x + 2−2 & = س نهاية {محاذاة} ]

وبالتالي

[g = f ^ {- 1} text {and} f = g ^ {- 1} ]

هذا يكفي للإجابة بنعم على السؤال ، لكن يمكننا أيضًا التحقق من الصيغة الأخرى.

[ start {align} f (g (x)) & = dfrac {1} { frac {1} {x} -2 + 2} & = dfrac {1} { frac {1} {x}} & = x end {محاذاة} ]

التحليلات

لاحظ أن العمليات العكسية تكون بترتيب عكسي للعمليات من الوظيفة الأصلية.

تمرين ( PageIndex {2} )

إذا (f (x) = x ^ 3−4 ) و (g (x) = sqrt [3] {x + 4} ) ، هل (g = f ^ {- 1} )؟

إجابه

نعم

مثال ( PageIndex {3} ): تحديد العلاقات العكسية لدوال القدرة

إذا (f (x) = x ^ 3 ) (دالة المكعب) و (g (x) = frac {1} {3} x ) ، يكون (g = f ^ {- 1} )؟

المحلول

[f (g (x)) = dfrac {x ^ 3} {27} { neq} x ]

لا ، الوظائف ليست مقلوبة.
التحليلات

المعكوس الصحيح للمكعب هو بالطبع الجذر التكعيبي ( sqrt [3] {x} = x ^ { frac {1} {3}} ) ، أي أن الثلث هو الأس ، وليس مضاعفا.

تمرين ( PageIndex {3} )

إذا (f (x) = (x − 1) ^ 3 ) و (g (x) = sqrt [3] {x} +1 ) ، يكون (g = f ^ {- 1} )؟

إجابه

نعم

إيجاد المجال ونطاق الدوال المعكوسة

مخرجات الوظيفة (f ) هي مدخلات (f ^ {- 1} ) ، لذا فإن نطاق (f ) هو أيضًا مجال (f ^ {- 1} ). وبالمثل ، نظرًا لأن المدخلات إلى (f ) هي مخرجات (f ^ {- 1} ) ، فإن مجال (f ) هو نطاق (f ^ {- 1} ). يمكننا تصور الموقف كما في الشكل ( PageIndex {3} ).


الشكل ( PageIndex {3} ): مجال ومدى الدالة وعكسها.

عندما لا تحتوي الوظيفة على وظيفة عكسية ، فمن الممكن إنشاء وظيفة جديدة حيث يكون لتلك الوظيفة الجديدة في مجال محدود وظيفة عكسية. على سبيل المثال ، معكوس (f (x) = sqrt {x} ) هو (f ^ {- 1} (x) = x ^ 2 ) ، لأن المربع "يلغي" الجذر التربيعي ؛ لكن المربع ليس سوى معكوس الجذر التربيعي على المجال ( left [0، infty right) ) ، لأن هذا هو نطاق (f (x) = sqrt {x} ).

يمكننا النظر إلى هذه المشكلة من الجانب الآخر ، بدءًا من الوظيفة التربيعية للمربع (مجموعة الأدوات التربيعية) (f (x) = x ^ 2 ). إذا أردنا إنشاء معكوس لهذه الوظيفة ، فإننا نواجه مشكلة ، لأنه لكل مخرجات معطاة للدالة التربيعية ، هناك مدخلين متطابقين (باستثناء عندما يكون الإدخال 0). على سبيل المثال ، الناتج 9 من الدالة التربيعية يتوافق مع المدخلات 3 و -3. لكن الناتج من دالة هو مدخل إلى معكوسها ؛ إذا كان هذا الإدخال العكسي يتوافق مع أكثر من مخرجات معكوسة (مدخلات الوظيفة الأصلية) ، فإن "معكوس" ليس دالة على الإطلاق! لوضعها بشكل مختلف ، فإن الوظيفة التربيعية ليست وظيفة واحد لواحد ؛ فشل في اختبار الخط الأفقي ، لذلك ليس له دالة عكسية. لكي يكون للدالة معكوس ، يجب أن تكون دالة رأس برأس.

في كثير من الحالات ، إذا لم تكن الوظيفة واحدة لواحد ، فلا يزال بإمكاننا تقييد الوظيفة بجزء من مجالها تكون فيه وظيفة واحد لواحد. على سبيل المثال ، يمكننا إنشاء نسخة مقيدة من الدالة المربعة (f (x) = x ^ 2 ) بنطاقها يقتصر على ( left [0، infty right) ) ، وهو واحد- دالة to-one (اجتياز اختبار الخط الأفقي) ولها معكوس (دالة الجذر التربيعي).

إذا كان (f (x) = (x − 1) ^ 2 ) في ([1، ∞) ) ، فإن الدالة العكسية هي (f ^ {- 1} (x) = sqrt {x} +1 ).

  • مجال (f ) = نطاق (f ^ {- 1} = left [1، infty right) ).
  • مجال (f ^ {- 1} ) = نطاق (f = left [0، infty right) ).

هل من الممكن أن يكون للدالة أكثر من معكوس واحد؟

لا. إذا كان من المفترض أن وظيفتين مختلفتين ، على سبيل المثال ، (g ) و h ، يلبي كلاهما تعريف كونهما معكوسين لوظيفة أخرى (f ) ، فيمكنك إثبات ذلك (g = h ). لقد رأينا للتو أن بعض الوظائف لها انعكاسات فقط إذا قيدنا مجال الوظيفة الأصلية. في هذه الحالات ، قد يكون هناك أكثر من طريقة لتقييد المجال ، مما يؤدي إلى انعكاسات مختلفة. ومع ذلك ، في أي مجال واحد ، لا يزال للدالة الأصلية معكوس فريد واحد فقط.

ملاحظة: المجال ونطاق الدوال المعكوسة

نطاق الدالة (f (x) ) هو مجال الدالة العكسية (f ^ {- 1} (x) ).

مجال (f (x) ) هو نطاق (f ^ {- 1} (x) ).

الكيفية: إعطاء دالة ، أوجد مجال ونطاق معكوسها.

  1. إذا كانت الدالة واحد لواحد ، فاكتب نطاق الدالة الأصلية كمجال معكوس ، واكتب مجال الدالة الأصلية كنطاق معكوس.
  2. إذا كان مجال الوظيفة الأصلية يجب أن يكون مقيدًا لجعله واحدًا لواحد ، فإن هذا المجال المقيد يصبح نطاق الدالة العكسية.

مثال ( PageIndex {4} ): البحث عن مقلوب وظائف مجموعة الأدوات

حدد أيًا من وظائف مجموعة الأدوات ليست وظيفة واحد لواحد بجانب الوظيفة التربيعية ، وابحث عن مجال مقيد تكون فيه كل وظيفة واحدة لواحد ، إن وجدت. تتم مراجعة وظائف مجموعة الأدوات في Table ( PageIndex {2} ). نقوم بتقييد المجال بطريقة تفترض الوظيفة جميع قيم y مرة واحدة بالضبط.

جدول ( PageIndex {2} )
مستمرهويةتربيعيمكعبمتبادل
(و (س) = ج ) (و (س) = س ) (و (س) = س ^ 2 ) (و (س) = س ^ 3 ) (f (x) = frac {1} {x} )
مربع المقلوبجذر مكعبالجذر التربيعيقيمه مطلقه
(f (x) = frac {1} {x ^ 2} ) (f (x) = sqrt [3] {x} ) (f (x) = sqrt {x} ) (و (س) = | س | )

المحلول

لا تكون الوظيفة الثابتة واحدة لواحد ، ولا يوجد مجال (باستثناء نقطة واحدة) يمكن أن تكون فيه واحد لواحد ، لذلك ليس للدالة الثابتة معكوس ذي معنى.

يمكن أن تقتصر وظيفة القيمة المطلقة على المجال ( left [0، infty right) ) ، حيث تساوي وظيفة الهوية.

يمكن تقييد دالة التربيع المتبادل بالمجال ((0، infty) ).

التحليلات

يمكننا أن نرى أن هذه الوظائف (إذا كانت غير مقيدة) ليست فردية من خلال النظر إلى الرسوم البيانية الخاصة بها ، الموضحة في الشكل ( PageIndex {4} ). كلاهما سيفشل في اختبار الخط الأفقي. ومع ذلك ، إذا كانت الوظيفة مقيدة بمجال معين بحيث تجتاز اختبار الخط الأفقي ، فيمكن أن يكون لها معكوس في هذا المجال المقيد.


الشكل ( PageIndex {4} ): (أ) القيمة المطلقة (ب) التربيع المتبادل

( PageIndex {4} ): مجال الوظيفة (f ) هو ((1 ، infty) ) ونطاق الوظيفة (f ) هو ((- infty ، −2) ). أوجد مجال ومدى الدالة العكسية.

المحلول

مجال الوظيفة (f ^ {- 1} ) هو ((- infty، −2) ) ونطاق الوظيفة (f ^ {- 1} ) هو ((1، infty ) ).

إيجاد وتقييم الدوال المعكوسة

بمجرد أن نحصل على دالة واحد لواحد ، يمكننا تقييم معكوسها عند مدخلات دالة عكسية محددة أو إنشاء تمثيل كامل للدالة العكسية في كثير من الحالات.

عكس وظائف الجدول

لنفترض أننا نريد إيجاد معكوس دالة ممثلة في شكل جدول. تذكر أن مجال الدالة هو نطاق المعكوس وأن نطاق الدالة هو مجال المعكوس. لذلك نحن بحاجة إلى تبادل المجال والمدى.

يصبح كل صف (أو عمود) من المدخلات صفًا (أو عمودًا) لمخرجات الدالة العكسية. وبالمثل ، يصبح كل صف (أو عمود) من المخرجات هو صف (أو عمود) من مدخلات الدالة العكسية.

مثال ( PageIndex {5} ): تفسير معكوس دالة جدولة

دالة (f (t) ) موجودة في Table ( PageIndex {3} ) ، توضح المسافة بالأميال التي قطعتها السيارة في (t ) دقيقة. ابحث وفسر (f ^ {- 1} (70) )

جدول ( PageIndex {3} )

(t ) (بالدقائق)

30507090

(و (ر) ) (ميل)

20406070

تأخذ الدالة العكسية ناتجًا من (f ) وترجع إدخالًا لـ (f ). لذلك في التعبير (f ^ {- 1} (70) ) ، 70 هي قيمة إخراج الوظيفة الأصلية ، والتي تمثل 70 ميلاً. سيعيد المعكوس الإدخال المقابل للوظيفة الأصلية (f ) ، 90 دقيقة ، لذلك (f ^ {- 1} (70) = 90 ). تفسير ذلك هو أنه ، للقيادة لمسافة 70 ميلاً ، استغرق الأمر 90 دقيقة.

بدلاً من ذلك ، تذكر أن تعريف المعكوس هو أنه إذا (f (a) = b ) ، ثم (f ^ {- 1} (b) = a ). وفقًا لهذا التعريف ، إذا تم إعطاؤنا (f ^ {- 1} (70) = a ) ، فإننا نبحث عن قيمة (a ) بحيث (f (a) = 70 ). في هذه الحالة ، نبحث عن (t ) بحيث (f (t) = 70 ) ، وهو عندما (t = 90 ).

تمرين ( PageIndex {5} )

باستخدام Table ( PageIndex {4} ) ، ابحث عن (a) (f (60) ) و (b) (f ^ {- 1} (60) ) وتفسيره.

جدول ( PageIndex {4} )

(t ) (بالدقائق)

3050607090

(و (ر) ) (ميل)

2040506070
إجابه

(و (60) = 50 ). في 60 دقيقة ، يتم قطع 50 ميلاً.
(f ^ {- 1} (60) = 70 ). للسفر 60 ميلا ، سوف يستغرق 70 دقيقة.

حساب عكس الدالة ، مع إعطاء رسم بياني للدالة الأصلية

رأينا في وظائف وترميز الوظيفة يمكن قراءة مجال الوظيفة من خلال ملاحظة المدى الأفقي للرسم البياني الخاص بها. نوجد مجال الدالة العكسية بملاحظة عمودي مدى الرسم البياني للدالة الأصلية ، لأن هذا يتوافق مع المدى الأفقي للدالة العكسية. وبالمثل ، نجد مدى الدالة العكسية بملاحظة عرضي مدى الرسم البياني للدالة الأصلية ، لأن هذا هو المدى الرأسي للدالة العكسية. إذا أردنا تقييم دالة عكسية ، فسنجد إدخالها داخل مجالها ، وهو كل أو جزء من المحور الرأسي للرسم البياني للوظيفة الأصلية.

بالنظر إلى الرسم البياني للدالة ، احسب معكوسها عند نقاط معينة.

  1. ابحث عن الإدخال المطلوب على المحور y للرسم البياني المحدد.
  2. اقرأ ناتج الدالة العكسية من المحور x للرسم البياني المحدد.

مثال ( PageIndex {6} ): تقييم دالة ومعكوسها من رسم بياني في نقاط محددة

دالة (g (x) ) معطاة في الشكل ( PageIndex {5} ). ابحث عن (g (3) ) و (g ^ {- 1} (3) ).
.

المحلول

لتقييم (g (3) ) ، نجد 3 على المحور x ونجد قيمة الإخراج المقابلة على المحور y. النقطة ((3،1) ) تخبرنا أن (ز (3) = 1 ).

لتقييم (g ^ {- 1} (3) ) ، تذكر أنه بالتعريف يعني (g ^ {- 1} (3) ) قيمة (x ) التي (g (x) = 3). من خلال البحث عن قيمة الإخراج 3 على المحور الرأسي ، نجد النقطة ((5،3) ) على الرسم البياني ، مما يعني (g (5) = 3 ) ، لذلك بالتعريف ، (g ^ {-1} (3) = 5. ) راجع الشكل ( PageIndex {6} ).

تمرين ( PageIndex {6} )

باستخدام الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {6} ) ، (أ) ابحث عن (g ^ {- 1} (1) ) ، و (ب) التقدير (g ^ {- 1} (4) ).

الإجابة أ

3

الجواب ب

5.6

إيجاد معكوسات الدوال التي تمثلها الصيغ

سنحتاج أحيانًا إلى معرفة دالة عكسية لجميع عناصر مجالها ، وليس فقط القليل منها. إذا تم تقديم الوظيفة الأصلية كصيغة - على سبيل المثال ، (y ) كدالة لـ (x ) - فيمكننا غالبًا العثور على الدالة العكسية عن طريق الحل للحصول على (x ) كدالة لـ ( ذ ).

الكيفية: إعطاء دالة ممثلة في صيغة ، أوجد المعكوس.

  1. تأكد من أن (f ) دالة واحد لواحد.
  2. حل ل x)
  3. تبادل (س ) و (ص ).

مثال ( PageIndex {7} ): عكس دالة فهرنهايت إلى مئوية

أوجد صيغة الدالة العكسية التي تعطي درجة حرارة فهرنهايت كدالة لدرجة الحرارة المئوية.

[C = dfrac {5} {9} (إناثا 32) ]

المحلول

[ begin {align} C & = frac {5} {9} (F-32) C { cdot} frac {9} {5} & = F − 32 F & = frac {9 } {5} C + 32 end {align} ]

بالحل بشكل عام ، اكتشفنا الدالة العكسية. لو

[C = h (F) = dfrac {5} {9} (F − 32) ] ،

من ثم

[F = h ^ {- 1} (C) = dfrac {9} {5} C + 32. ]

في هذه الحالة ، قدمنا ​​دالة (h ) لتمثيل التحويل لأن متغيرات الإدخال والإخراج وصفية ، وقد تتسبب كتابة (C ^ {- 1} ) في إرباك.

تمرين ( PageIndex {7} )

حل من أجل (x ) بدلالة (y ) معطى (y = frac {1} {3} (x − 5) )

إجابه

(س = 3 ص + 5 )

مثال ( PageIndex {8} ): إيجاد دالة عكسية

أوجد معكوس الدالة (f (x) = frac {2} {x − 3} +4 ).

المحلول

[ start {align} y & = dfrac {2} {x − 3 + 4} & text {إعداد معادلة.} y − 4 & = dfrac {2} {x − 3} & text {اطرح 4 من كلا الجانبين.} x − 3 & = dfrac {2} {y − 4} & text {اضرب كلا الجانبين في x − 3 واقسم على y − 4.} x & = dfrac { 2} {y − 4} +3 & text {إضافة 3 إلى كلا الجانبين.} end {align} ]

إذن (f ^ {- 1} (y) = frac {2} {y − 4} +3 ) أو (f ^ {- 1} (x) = frac {2} {x − 4} +3 ).

التحليلات

يستبعد مجال ونطاق (f ) القيمتين 3 و 4 على التوالي. (f ) و (f ^ {- 1} ) متساويان عند نقطتين لكنهما ليسا نفس الوظيفة ، كما نرى من خلال إنشاء Table ( PageIndex {5} ).

جدول ( PageIndex {5} )

(س )

125 (و ^ {- 1} (ص) )

(و (س) )

325 (ص )

مثال ( PageIndex {9} ): حل لإيجاد معكوس مع الجذور

أوجد معكوس الدالة (f (x) = 2 + sqrt {x − 4} ).

المحلول

[ begin {align} y & = 2 + sqrt {x-4} (y-2) ^ 2 & = x-4 x & = (y-2) ^ 2 + 4 end {align} ]

إذًا (f ^ {- 1} (x) = (x − 2) ^ 2 + 4 ).

مجال (f ) هو ( left [4، infty right) ). لاحظ أن نطاق (f ) هو ( left [2، infty right) ) ، وهذا يعني أن مجال الدالة العكسية (f ^ {- 1} ) هو أيضًا ( يسار [2 ، infty يمين) )

التحليلات

يبدو أن الصيغة التي وجدناها لـ (f ^ {- 1} (x) ) ستكون صالحة لجميع (x ) الحقيقيين. ومع ذلك ، يجب أن يكون (f ^ {- 1} ) نفسه معكوسًا (أي ، (f )) لذلك علينا تقييد مجال (f ^ {- 1} ) على ( left [ 2 ، infty right) ) لجعل (f ^ {- 1} ) دالة واحد لواحد. هذا المجال (f ^ {- 1} ) هو بالضبط نطاق (f ).

تمرين ( PageIndex {8} )

ما معكوس الدالة (f (x) = 2- sqrt {x} )؟ حدد مجالات كل من الوظيفة والدالة العكسية.

إجابه

(f ^ {- 1} (x) = (2 − x) ^ 2 ) ؛ مجال (f ): ( left [0، infty right) ) ؛ مجال (f ^ {- 1} ): ( left (- infty، 2 right] )

إيجاد الدوال المعكوسة والرسوم البيانية الخاصة بهم

الآن بعد أن تمكنا من إيجاد معكوس دالة ، سنستكشف الرسوم البيانية للدوال وعكساتها. دعونا نعود إلى الدالة التربيعية (f (x) = x ^ 2 ) المقيدة بالمجال ( left [0، infty right) ) ، حيث تكون هذه الوظيفة واحد لواحد ، و رسم بيانيًا كما في الشكل ( PageIndex {7} ).


الشكل ( PageIndex {7} ): دالة تربيعية ذات مجال مقيد بـ ([0، infty) ).

تقييد المجال to ( left [0، infty right) ) تجعل الوظيفة واحد لواحد (من الواضح أنها ستجتاز اختبار الخط الأفقي) ، لذلك لها معكوس في هذا المجال المقيد.

نحن نعلم بالفعل أن معكوس الدالة التربيعية لمجموعة الأدوات هي دالة الجذر التربيعي ، أي (f ^ {- 1} (x) = sqrt {x} ). ماذا يحدث إذا رسمنا كلاً من (f ) و (f ^ {- 1} ) على نفس مجموعة المحاور ، باستخدام المحور x للإدخال لكل من (f ) و (f ^ { -1} )؟

نلاحظ علاقة مميزة: الرسم البياني لـ (f ^ {- 1} (x) ) هو الرسم البياني (f (x) ) المنعكس حول الخط القطري (y = x ) ، وهو ما سنفعله استدعاء سطر الهوية ، الموضح في الشكل ( PageIndex {8} ).

.
الشكل ( PageIndex {8} ): وظائف التربيع والجذر التربيعي في المجال غير السالب

ستتم ملاحظة هذه العلاقة لجميع الوظائف الفردية ، لأنها نتيجة للدالة ومدخلاتها ومخرجاتها العكسية. هذا يعادل تبادل أدوار المحاور الرأسية والأفقية.

مثال ( PageIndex {10} ): إيجاد معكوس دالة باستخدام الانعكاس حول خط الهوية

بالنظر إلى الرسم البياني لـ (f (x) ) في الشكل ( PageIndex {9} ) ، ارسم رسمًا بيانيًا لـ (f ^ {- 1} (x) ).

هذه دالة واحد لواحد ، لذا سنتمكن من رسم معكوس. لاحظ أن الرسم البياني الموضح يحتوي على مجال ظاهر ((0، infty) ) ونطاق ((- infty، infty) ) ، لذلك سيكون للعكس مجال ((- infty ، infty) ) ونطاق ((0، infty) ).

إذا عكسنا هذا الرسم البياني على الخط (y = x ) ، فإن النقطة ((1،0) ) تعكس ((0،1) ) والنقطة ((4،2) ) يعكس ((2،4) ). رسم المعكوس على نفس المحاور مثل الرسم البياني الأصلي يعطي الشكل ( PageIndex {10} ).

تمرين ( PageIndex {1} )

ارسم رسومًا بيانية للوظائف (f ) و (f ^ {- 1} ) من مثال ( PageIndex {8} ).

إجابه

هل هناك أي دالة تساوي معكوسها؟

نعم فعلا. إذا كان (f = f ^ {- 1} ) ، إذن (f (f (x)) = x ) ، ويمكننا التفكير في العديد من الوظائف التي لها هذه الخاصية. وظيفة الهوية

تفعل ، وكذلك وظيفة المعاملة بالمثل ، لأن

[ dfrac {1} { frac {1} {x}} = x ]

أي دالة (f (x) = c − x ) ، حيث (c ) ثابت ، تساوي أيضًا معكوسها الخاص.

المفاهيم الرئيسية

  • إذا كان (g (x) ) هو معكوس (f (x) ) ، إذن (g (f (x)) = f (g (x)) = x ).
  • كل دالة من وظائف مجموعة الأدوات لها معكوس.
  • لكي يكون للدالة معكوس ، يجب أن تكون واحد لواحد (اجتياز اختبار الخط الأفقي).
  • قد تكون الوظيفة التي ليست واحدة لواحد في مجالها بالكامل وظيفة واحد لواحد في جزء من مجالها.
  • بالنسبة لدالة جدولية ، قم بتبادل صفوف الإدخال والإخراج للحصول على معكوس.
  • يمكن تحديد معكوس الدالة في نقاط محددة على الرسم البياني الخاص بها.
  • لإيجاد معكوس الصيغة ، حل المعادلة (y = f (x) ) من أجل (x ) كدالة في (y ). ثم استبدل الملصقات (x ) و (y ).
  • الرسم البياني للدالة العكسية هو انعكاس الرسم البياني للوظيفة الأصلية عبر السطر (y = x ).

1.7 التكاملات الناتجة عن الدوال المثلثية المعكوسة

في هذا القسم نركز على التكاملات التي ينتج عنها دوال مثلثية عكسية. لقد عملنا مع هذه الوظائف من قبل. تذكر من الدوال والرسوم البيانية أن الدوال المثلثية ليست واحدة لواحد ما لم تكن المجالات مقيدة. عند العمل مع معكوسات الدوال المثلثية ، نحتاج دائمًا إلى توخي الحذر لأخذ هذه القيود في الاعتبار. في المشتقات أيضًا ، قمنا بتطوير صيغ لمشتقات الدوال المثلثية العكسية. تؤدي الصيغ التي تم تطويرها هناك إلى ظهور صيغ تكامل مباشرة تتضمن دوال مثلثية عكسية.

التكاملات التي ينتج عنها دوال الجيب المعكوسة

دعونا نبدأ هذا القسم الأخير من الفصل بالصيغ الثلاث. جنبًا إلى جنب مع هذه الصيغ ، نستخدم التعويض لإيجاد قيمة التكاملات. نثبت صيغة الدالة العكسية لتكامل الجيب.

القاعدة: صيغ التكامل الناتجة عن الدوال المثلثية المعكوسة

تنتج معادلات التكامل التالية دوال مثلثية عكسية. افترض a & gt 0 a & gt 0:


1.7: دوال عكسية - رياضيات

في المثال الأخير من القسم السابق ، نظرنا إلى الوظيفتين (f left (x right) = 3x - 2 ) و (g left (x right) = frac <3> + frac <2> <3> ) ورأيت ذلك

[متبقى( يمين) يسار (س يمين) = يسار ( يمين) يسار (س يمين) = س ]

وكما لوحظ في هذا القسم ، فإن هذا يعني أن هذه وظائف خاصة جدًا. دعونا نرى ما الذي يجعلها مميزة للغاية. ضع في اعتبارك التقييمات التالية.

في الحالة الأولى ، عوضنا (x = - 1 ) في (f left (x right) ) وحصلنا على القيمة -5. ثم استدرنا وسددنا (x = - 5 ) في (g left (x right) ) وحصلنا على القيمة -1 ، وهو الرقم الذي بدأنا به.

في الحالة الثانية فعلنا شيئًا مشابهًا. هنا قمنا بتوصيل (x = 2 ) في (g left (x right) ) وحصلنا على قيمة ( frac <4> <3> ) ، استدرنا وقمنا بتوصيل هذا بـ ( f left (x right) ) وحصلت على القيمة 2 ، وهو مرة أخرى الرقم الذي بدأنا به.

لاحظ أننا نقوم بالفعل ببعض تكوين الوظائف هنا. الحالة الأولى هي حقًا ،

[متبقى( يمين) يسار (<- 1> يمين) = ز يسار [ right)> right] = g left [<- 5> right] = - 1 ]

والحالة الثانية هي حقًا ،

لاحظ أيضًا أن كلاهما يتفق مع صيغة التراكيب التي وجدناها في القسم السابق. نعود من تقييم الوظيفة إلى الرقم الذي أدخلناه في الأصل في التكوين.

إذن ، ما الذي يحدث هنا؟ بطريقة ما يمكننا التفكير في هاتين الوظيفتين على أنهما تبطل ما فعله الآخر برقم. في الحالة الأولى ، قمنا بتوصيل (x = - 1 ) في (f left (x right) ) ثم قمنا بتوصيل النتيجة من تقييم الوظيفة مرة أخرى إلى (g left (x right) ) وبطريقة ما ، ألغى (g left (x right) ) ما فعله (f left (x right) ) لـ (x = - 1 ) وأعاد لنا الأصل (x ) التي بدأنا بها.

تسمى أزواج الوظائف التي تظهر هذا السلوك وظائف معكوسة. قبل تحديد الدوال العكسية رسميًا والترميز الذي سنستخدمه لها ، نحتاج إلى الحصول على تعريف بعيدًا عن الطريق.

وظيفة تسمى واحد لواحد في حالة عدم وجود قيمتين لـ (x ) تنتج نفس (y ). يعد هذا تعريفًا بسيطًا إلى حد ما لمفهوم واحد لواحد ولكنه يأخذ مثالاً للدالة التي لا تكون فردية لإظهار ما تعنيه فقط. قبل القيام بذلك ، يجب أن نلاحظ أن هذا التعريف للواحد لواحد ليس في الحقيقة التعريف الصحيح رياضيًا لواحد لواحد. إنه مطابق للتعريف الصحيح رياضيًا ، فهو لا يستخدم كل الرموز من التعريف الرسمي.

الآن ، دعنا نرى مثالاً لوظيفة ليست فردية. الدالة (f left (x right) = ) ليس واحدًا لواحد لأن كلاهما (f left (<- 2> right) = 4 ) و (f left (2 right) = 4 ). بمعنى آخر ، هناك قيمتان مختلفتان لـ (x ) تنتجان نفس قيمة (y ). لاحظ أنه يمكننا الدوران (f left (x right) = ) في وظيفة واحد لواحد إذا قصرنا أنفسنا على (0 le x & lt infty ). يمكن القيام بذلك في بعض الأحيان مع الوظائف.

غالبًا ما يكون إثبات أن الوظيفة فردية عملية شاقة وصعبة. بالنسبة للجزء الأكبر ، سنفترض أن الوظائف التي سنتعامل معها في هذا القسم هي وظائف فردية. لقد احتجنا إلى التحدث عن وظائف واحد لواحد ولكن نظرًا لأن الدوال الفردية فقط يمكن أن تكون دوال عكسية.

الآن ، دعونا نحدد رسميًا ما هي الوظائف العكسية.

وظائف معكوسة

إعطاء وظيفتين واحد لواحد (f left (x right) ) و (g left (x right) ) إذا

ثم نقول أن (f left (x right) ) و (g left (x right) ) هي مقلوب من بعضها البعض. بشكل أكثر تحديدًا سنقول أن (g left (x right) ) هو ملف معكوس من (f left (x right) ) وقم بالإشارة إليها بواسطة

[ز يسار (س يمين) = > يسار (س يمين) ]

وبالمثل ، يمكننا أن نقول أيضًا أن (f left (x right) ) هو معكوس من (g left (x right) ) وقم بالإشارة إليها بواسطة

[f يسار (x يمين) = > يسار (س يمين) ]

تعتمد الملاحظة التي نستخدمها حقًا على المشكلة. في معظم الحالات يكون أي منهما مقبولاً.

بالنسبة إلى الدالتين اللتين بدأناهما في هذا القسم ، يمكننا كتابة أي من مجموعتي الترميز التاليتين.

الآن ، كن حذرا مع تدوين المقلوب. "-1" ليس أسًا على الرغم من حقيقة أنه بالتأكيد يبدو مثل واحد! عند التعامل مع الدوال العكسية علينا أن نتذكر ذلك

هذا أحد الأخطاء الأكثر شيوعًا التي يرتكبها الطلاب عند دراسة الدوال العكسية لأول مرة.

عملية العثور على معكوس دالة هي عملية بسيطة إلى حد ما على الرغم من وجود بضع خطوات يمكن أن تكون في بعض الأحيان فوضوية إلى حد ما. ها هي العملية

إيجاد معكوس التابع

بالنظر إلى الوظيفة (f left (x right) ) نريد إيجاد الدالة العكسية ، (> يسار (س يمين) ).

  1. أولاً ، استبدل (f left (x right) ) بـ (y ). يتم ذلك لتسهيل باقي العملية.
  2. استبدل كل (x ) بـ (y ) واستبدل كل (y ) بـ (x ).
  3. حل المعادلة من الخطوة 2 من أجل (y ). هذه هي الخطوة التي يتم فيها ارتكاب الأخطاء في أغلب الأحيان ، لذا كن حذرًا في هذه الخطوة.
  4. استبدل (y ) بـ (> يسار (س يمين) ). بعبارة أخرى ، تمكنا من إيجاد المعكوس في هذه المرحلة!
  5. تحقق من عملك عن طريق التحقق من ( left ( >> right) left (x right) = x ) و ( left (<> circ f> right) left (x right) = x ) كلاهما صحيح. قد يكون هذا العمل فوضويًا في بعض الأحيان مما يجعل من السهل ارتكاب الأخطاء ، لذا كن حذرًا مرة أخرى.

هذه هي العملية. معظم الخطوات ليست بهذا السوء ولكن كما هو مذكور في العملية ، هناك خطوتان نحتاج حقًا إلى توخي الحذر فيهما.

في خطوة التحقق ، نحتاج فعليًا من الناحية الفنية إلى التحقق من أن كلاهما ( left ( >> right) left (x right) = x ) و ( left (<> circ f> right) left (x right) = x ) صحيحة. بالنسبة لجميع الوظائف التي سنبحثها في هذا القسم ، إذا كان أحدها صحيحًا ، فسيكون الآخر صحيحًا أيضًا. ومع ذلك ، هناك وظائف (ومع ذلك فهي خارجة عن نطاق هذه الدورة التدريبية) والتي من الممكن أن تكون واحدة منها فقط صحيحة. تم طرح هذا لأنه في جميع المشاكل هنا سنقوم فقط بفحص واحدة منها. نحتاج فقط أن نتذكر دائمًا أنه من الناحية الفنية يجب علينا التحقق من كليهما.

الآن ، نحن نعلم بالفعل ما هو معكوس هذه الوظيفة كما فعلنا بالفعل بعض العمل معها. ومع ذلك ، سيكون من الجيد أن نبدأ بهذا لأننا نعرف ما يجب أن نحصل عليه. سيعمل هذا كتحقق لطيف من العملية.

لذلك دعونا نبدأ. سنستبدل أولاً (f left (x right) ) بـ (y ).

بعد ذلك ، استبدل all (x ) 's بـ (y ) وجميع ذ مع (س ).

أخيرًا استبدل (y ) بـ (> يسار (س يمين) ).

الآن ، نحن بحاجة للتحقق من النتائج. لقد اهتممنا بالفعل بهذا في القسم السابق ، ومع ذلك ، يجب أن نتبع العملية حقًا لذلك سنفعل ذلك هنا. لا يهم أي من الاثنين الذي نتحقق منه ، نحتاج فقط إلى التحقق من أحدهما. هذه المرة سوف نتحقق من أن ( left ( >> right) left (x right) = x ) صحيح.

الآن حقيقة أننا نستخدم الآن (g left (x right) ) بدلاً من (f left (x right) ) لا تغير طريقة عمل العملية. فيما يلي الخطوات القليلة الأولى.

الآن ، لإيجاد (y ) سنحتاج أولاً إلى تربيع كلا الجانبين ثم المضي قدمًا كالمعتاد.

أخيرًا ، دعنا نتحقق وهذه المرة سنستخدم الآخر فقط حتى نتمكن من القول إننا قد وضعنا كليهما في مكان ما في أحد الأمثلة.

لذلك ، قمنا بالعمل بشكل صحيح ولدينا بالفعل معكوس.

قبل أن ننتقل ، يجب أن نعترف أيضًا بقيود (x ge 0 ) التي قدمناها في بيان المشكلة ولكن لم نفعل شيئًا على ما يبدو. لاحظ أن هذا القيد مطلوب للتأكد من أن معكوس (> left (x right) ) الموضح أعلاه هو في الواقع واحد لواحد.

بدون هذا التقييد ، لن يكون المعكوس واحدًا لواحد كما يتضح بسهولة من خلال بعض التقييمات السريعة.

Therefore, the restriction is required in order to make sure the inverse is one-to-one.

The next example can be a little messy so be careful with the work here.

The first couple of steps are pretty much the same as the previous examples so here they are,

Now, be careful with the solution step. With this kind of problem it is very easy to make a mistake here.

[يبدأxleft( <2y - 5> ight) & = y + 4 2xy - 5x & = y + 4 2xy - y & = 4 + 5x left( <2x - 1> ight)y & = 4 + 5x y & = frac<<4 + 5x>><<2x - 1>>end]

So, if we’ve done all of our work correctly the inverse should be,

Finally, we’ll need to do the verification. This is also a fairly messy process and it doesn’t really matter which one we work with.

Okay, this is a mess. Let’s simplify things up a little bit by multiplying the numerator and denominator by (2x - 1).

Wow. That was a lot of work, but it all worked out in the end. We did all of our work correctly and we do in fact have the inverse.

There is one final topic that we need to address quickly before we leave this section. There is an interesting relationship between the graph of a function and its inverse.

Here is the graph of the function and inverse from the first two examples. We’ll not deal with the final example since that is a function that we haven’t really talked about graphing yet.

In both cases we can see that the graph of the inverse is a reflection of the actual function about the line (y = x). This will always be the case with the graphs of a function and its inverse.


An inverse function is a function which does the “reverse” of a given function. More formally, if (f) is a function with domain (X), then (^<-1>) is its inverse function if and only if (^<-1>left(fleft(x ight) ight)=x) for every (x in X).

A function must be a one-to-one relation if its inverse is to be a function. If a function (f) has an inverse function (f^<-1>), then (f) is said to be invertible.

Given the function (f(x)), we determine the inverse (f^<-1>(x)) by:

  • interchanging (x) and (y) in the equation
  • making (y) the subject of the equation
  • expressing the new equation in function notation.

Note: if the inverse is not a function then it cannot be written in function notation. For example, the inverse of (f(x) = 3x^2) cannot be written as (f^<-1>(x) = pm sqrt<3>x>) as it is not a function. We write the inverse as (y = pm sqrt<3>x>) and conclude that (f) is not invertible.

If we represent the function (f) and the inverse function (^<-1>) graphically, the two graphs are reflected about the line (y=x). Any point on the line (y = x) has (x)- and (y)-coordinates with the same numerical value, for example ((-3-3)) and (left( frac<4><5> frac<4> <5> ight)). Therefore interchanging the (x)- and (y)-values makes no difference.

This diagram shows an exponential function (black graph) and its inverse (blue graph) reflected about the line (y = x) (grey line).

Important: for (^<-1>), the superscript (- ext<1>) is not an exponent. It is the notation for indicating the inverse of a function. Do not confuse this with exponents, such as (left( frac<1> <2> ight)^<-1>) or (3 + x^<-1>).

Be careful not to confuse the inverse of a function and the reciprocal of a function:


Inverse Functions Contents: This page corresponds to § 1.7 (p. 150) of the text. Suggested Problems from Text p.158 #1-4, 5, 8, 9, 12, 13, 15, 18, 21, 22, 27, 31, 34, 37, 46, 48, 51, 71, 74, 83 Definition of Inverse Function

Before defining the inverse of a function we need to have the right mental image of function.

Consider the function f(x) = 2x + 1. We know how to evaluate f at 3, f(3) = 2*3 + 1 = 7. In this section it helps to think of f as transforming a 3 into a 7, and f transforms a 5 into an 11, etc.

Now that we think of f as "acting on" numbers and transforming them, we can define the inverse of f as the function that "undoes" what f did. In other words, the inverse of f needs to take 7 back to 3, and take -3 back to -2, etc.

Let g(x) = (x - 1)/2. Then g(7) = 3, g(-3) = -2, and g(11) = 5, so g seems to be undoing what f did, at least for these three values. To prove that g is the inverse of f we must show that this is true for any value of x in the domain of f. In other words, g must take f(x) back to x for all values of x in the domain of f. So, g(f(x)) = x must hold for all x in the domain of f. The way to check this condition is to see that the formula for g(f(x)) simplifies to x.

g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1 -1)/2 = 2x/2 = x.

This simplification shows that if we choose any number and let f act it, then applying g to the result recovers our original number. We also need to see that this process works in reverse, or that f also undoes what g does.

f(g(x)) = f((x - 1)/2) = 2(x - 1)/2 + 1 = x - 1 + 1 = x.

Letting f -1 denote the inverse of f, we have just shown that g = f -1 .

Let f and g be two functions. لو

f(g(x)) = x and g(f(x)) = x,

then g is the inverse of f and f is the inverse of g.

(a) Open the Java Calculator and enter the formulas for f and g. Note that you take a cube root by raising to the (1/3), and you do need to enter the exponent as (1/3), and not a decimal approximation. So the text for the g box will be

(x - 2)^(1/3)

Use the calculator to evaluate f(g(4)) and g(f(-3)). g is the inverse of f, but due to round off error, the calculator may not return the exact value that you start with. Try f(g(-2)). The answers will vary for different computers. However, on our test machine f(g(4)) returned 4 g(f(-3)) returned 3 but, f(g(-2)) returned -1.9999999999999991, which is pretty close to -2.

The calculator can give us a good indication that g is the inverse of f, but we cannot check all possible values of x.

(b) Prove that g is the inverse of f by simplifying the formulas for f(g(x) and g(f(x)).

Graphs of Inverse Functions

We have seen examples of reflections in the plane. The reflection of a point (a,b) about the x-axis is (a,-b), and the reflection of (a,b) about the y-axis is (-a,b). Now we want to reflect about the line y = x.


The reflection of the point (a,b) about the line y = x is the point (b,a) .

Let f(x) = x 3 + 2. Then f(2) = 10 and the point (2,10) is on the graph of f. The inverse of f must take 10 back to 2, i.e. f -1 (10)=2, so the point (10,2) is on the graph of f -1 . The point (10,2) is the reflection in the line y = x of the point (2,10). The same argument can be made for all points on the graphs of f and f -1 .

The graph of f -1 is the reflection about the line y = x of the graph of f.

Existence of an Inverse

Some functions do not have inverse functions. For example, consider f(x) = x 2 . There are two numbers that f takes to 4, f(2) = 4 and f(-2) = 4. If f had an inverse, then the fact that f(2) = 4 would imply that the inverse of f takes 4 back to 2. On the other hand, since f(-2) = 4, the inverse of f would have to take 4 to -2. Therefore, there is no function that is the inverse of f.

Look at the same problem in terms of graphs. If f had an inverse, then its graph would be the reflection of the graph of f about the line y = x. The graph of f and its reflection about y = x are drawn below.

Note that the reflected graph does not pass the vertical line test, so it is not the graph of a function.

This generalizes as follows: A function f has an inverse if and only if when its graph is reflected about the line y = x, the result is the graph of a function (passes the vertical line test). But this can be simplified. We can tell before we reflect the graph whether or not any vertical line will intersect more than once by looking at how horizontal lines intersect the original graph!

Horizontal Line Test

Let f be a function.

If any horizontal line intersects the graph of f more than once, then f does not have an inverse.

If no horizontal line intersects the graph of f more than once, then f does have an inverse.

The property of having an inverse is very important in mathematics, and it has a name.

Definition : A function f is one-to-one if and only if f has an inverse.

The following definition is equivalent, and it is the one most commonly given for one-to-one.

Alternate Definition : A function f is one-to-one if, for every a and b in its domain, f(a) = f(b) implies a = b.

Graph the following functions and determine whether or not they have inverses.

(a) f(x) = (x - 3) x 2 . إجابه

(b) f(x) = x 3 + 3x 2 +3x. إجابه

(c) f(x) = x ^(1/3) ( the cube root of x). إجابه

Finding Inverses

Example 1. First consider a simple example f(x) = 3x + 2 .

The graph of f is a line with slope 3, so it passes the horizontal line test and does have an inverse.

There are two steps required to evaluate f at a number x. First we multiply x by 3, then we add 2.

Thinking of the inverse function as undoing what f did, we must undo these steps in reverse order.

The steps required to evaluate f -1 are to first undo the adding of 2 by subtracting 2. Then we undo multiplication by 3 by dividing by 3.

Therefore, f -1 (x) = (x - 2)/3.

Steps for finding the inverse of a function f.

  1. Replace f(x) by y in the equation describing the function.
  2. Interchange x and y. In other words, replace every x by a y and vice versa.
  3. Solve for y.
  4. Replace y by f -1 (x).

Step 1 y = 6 - x/2.
Step 2 x = 6 - y/2.
Step 3 x = 6 - y/2.

y = 12 - 2x.

الخطوة 4 f -1 (x) = 12 - 2x.

Step 2 often confuses students. We could omit step 2, and solve for x instead of y, but then we would end up with a formula in y instead of x. The formula would be the same, but the variable would be different. To avoid this we simply interchange the roles of x and y before we solve.

This is the function we worked with in Exercise 1. From its graph (shown above) we see that it does have an inverse. (In fact, its inverse was given in Exercise 1.)

Step 1 y = x 3 + 2.
Step 2 x = y 3 + 2.
Step 3 x - 2 = y 3 .

(x - 2)^(1/3) = y. الخطوة 4 f -1 (x) = (x - 2)^(1/3).

Graph f(x) = 1 - 2x 3 to see that it does have an inverse. Find f -1 (x). إجابه


MAT 112 Ancient and Contemporary Mathematics

Sometimes it is possible to “undo” the effect of a function. In these cases, we can define a function that reverses the effects of another function. A function that we can “undo” is called invertible.

In the video in Figure 7.5.1 we introduce inverse functions and give examples. For details and examples, see our treatment of inverse

We give the formal definition of an invertible function and of the inverse of an invertible function.

Definition 7.5.2 .

Let (A) and (B) be non-empty sets. We say that a function (f:A o B) is if for every (bin B) there is exactly one (ain A) such that (f(a)=b ext<.>) The of an invertible function (f:A o B ext<,>) denoted by (f^<-1> ext<,>) is the function (f^<-1>:B o A) that assigns to each element (b in B) the unique element (a in A) such that (f(a) = b ext<.>)

In other words, a function (f:A o B) is invertible if every (bin B) has exactly one preimage (ain A ext<.>) So if (f(a) = b ext<,>) then (f^<-1>(b) = a ext<.>)

Confirm your understanding of the definition by completing it in the exercise.

Checkpoint 7.5.3 . Definition of invertible function.

We investigate whether the two functions (mathrm ) and ( ext) are invertible.

Example 7.5.5 . Are (mathrm ) and ( ext) invertible ?

We use the functions (mathrm colon N o I) and (mathrm colon I o G) from Example 7.1.5 and Example 7.1.7 given by the tables in Figure 7.1.4 and Figure 7.1.6 respectively.

The function (mathrm colon N o I) where (I) is the set of student identification numbers and (N) is the set of student names is invertible as long as every student has a different name. The function (mathrm^<-1>: I o N) is the function that tells us the student's name for a given identification number. With the table in Figure 7.1.4 we get

Recall the function grade from Example 7.1.7. The function (mathrm colon I o G) where (I) is the set of identification numbers and (G) is the set of grades is not invertible since many students may earn the same grade in a class. Both the students with the identification number 1007 and 1008 earn an A in MAT 112. We have (mathrm ( ext < 1007 >) = ext) and ( ext ( ext < 1008 >) = ext ext<,>) and we would not be able to uniquely define (mathrm^<-1>(A) ext<.>)

In Figure 7.5.6 we give an example of an invertible function from (_5) to (_5) and its inverse. The function (e) in Figure 7.5.9 illustrates that for an invertible function the domain and codomain do not have to be the same.


DMCA Complaint

If you believe that content available by means of the Website (as defined in our Terms of Service) infringes one or more of your copyrights, please notify us by providing a written notice (“Infringement Notice”) containing the information described below to the designated agent listed below. If Varsity Tutors takes action in response to an Infringement Notice, it will make a good faith attempt to contact the party that made such content available by means of the most recent email address, if any, provided by such party to Varsity Tutors.

Your Infringement Notice may be forwarded to the party that made the content available or to third parties such as ChillingEffects.org.

Please be advised that you will be liable for damages (including costs and attorneys’ fees) if you materially misrepresent that a product or activity is infringing your copyrights. Thus, if you are not sure content located on or linked-to by the Website infringes your copyright, you should consider first contacting an attorney.

Please follow these steps to file a notice:

You must include the following:

A physical or electronic signature of the copyright owner or a person authorized to act on their behalf An identification of the copyright claimed to have been infringed A description of the nature and exact location of the content that you claim to infringe your copyright, in sufficient detail to permit Varsity Tutors to find and positively identify that content for example we require a link to the specific question (not just the name of the question) that contains the content and a description of which specific portion of the question – an image, a link, the text, etc – your complaint refers to Your name, address, telephone number and email address and A statement by you: (a) that you believe in good faith that the use of the content that you claim to infringe your copyright is not authorized by law, or by the copyright owner or such owner’s agent (b) that all of the information contained in your Infringement Notice is accurate, and (c) under penalty of perjury, that you are either the copyright owner or a person authorized to act on their behalf.

Send your complaint to our designated agent at:

Charles Cohn Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105


Math: How to Find the Inverse of a Function

The inverse function of a function f is mostly denoted as f -1 . A function f has an input variable x and gives then an output f(x). The inverse of a function f does exactly the opposite. Instead it uses as input f(x) and then as output it gives the x that when you would fill it in in f will give you f(x). To be more clear:

If f(x) = y then f -1 (y) = x. So the output of the inverse is indeed the value that you should fill in in f to get y. So f(f -1 (x)) = x.

Not every function has an inverse. A function that does have an inverse is called invertible. Only if f is bijective an inverse of f will exist. But what does this mean?

The easy explanation of a function that is bijective is a function that is both injective and surjective. However, for most of you this will not make it any clearer.

A function is injective if there are no two inputs that map to the same output. Or said differently: every output is reached by at most one input.

An example of a function that is not injective is f(x) = x 2 if we take as domain all real numbers. If we fill in -2 and 2 both give the same output, namely 4. So x 2 is not injective and therefore also not bijective and hence it won&apost have an inverse.

A function is surjective if every possible number in the range is reached, so in our case if every real number can be reached. So f(x)= x 2 is also not surjective if you take as range all real numbers, since for example -2 cannot be reached since a square is always positive.

So while you might think that the inverse of f(x) = x 2 would be f -1 (y) = sqrt(y) this is only true when we treat f as a function from the nonnegative numbers to the nonnegative numbers, since only then it is a bijection.

This does show that the inverse of a function is unique, meaning that every function has only one inverse.


More Questions with Solutions

Use the table below to find the following if possible:
1) g -1 (0) , b) g -1 (-10) , c) g -1 (- 5) , d) g -1 (-7) , e) g -1 (3)

المحلول
a) According to the the definition of the inverse function:
a = g -1 (0) إذا وفقط إذا g(a) = 0
Which means that أ is the value of x such g(x) = 0.
Using the table above for x = 11, g(x) = 0. Hence a = 11 and therefore g -1 (0) = 11
b) a = g - 1 (- 5) إذا وفقط إذا g(a) = - 5
The value of x for which g(x) = - 5 is equal to 0 and therefore g -1 ( - 5) = 0
c) a = g -1 (-10) إذا وفقط إذا g(a) = - 10
There is no value of x for which g(x) = -10 and therefore g -1 (-10) is undefined.
d) a = g -1 (- 7) if and only if g(a) = - 7
There no value of x for which g(x) = - 7 and therefore g -1 (- 7) is undefined.
e) a = g -1 (3) إذا وفقط إذا g(a) = 3
The value of x for which g(x) = 3 is equal to - 2 and therefore g -1 (3) = - 2


Questions on Inverse Functions with Solutions and Answers

Analytical and graphing methods are used to solve maths problems and questions related to inverse functions. Detailed solutions are also presented. Several questions involve the use of the property that the graphs of a function and the graph of its inverse are reflection of each other on the line y = x.


1) Sketch the graph of the inverse of f in the same system of axes.
2) Find the inverse of and check your answer using some points.
المحلول
1) Locate few points on the graph of f. Here is a list of points whose coordinates (a , b) can easily be determined from the graph:
(1 , 1) , (0 , -1) , (-1 , -3)
On the graph of the inverse function, the above points will have coordinates (b , a) as follows:
(1 , 1) , (-1 , 0) , (-3 , -1)
Plot the above points and sketch the graph of the inverse of f so that the two graphs are reflection of each other on the line y = x as shown below.


1) Sketch the inverse of f in the same graph.
2) Find the inverse of and check your answer using some points.
المحلول
1) Locate few points on the graph of f. A possible list of points whose coordinates (a , b) is as follows:
(1.5 , 0) , (2 , 1) , (6 , 3)
On the graph of the inverse function, the above points will have coordinates (b , a) as follows:
(0 , 1.5) , (1 , 2) , (3 , 6)
Plot the above points and sketch the graph of the inverse of f so that the two graphs are reflection of each other on the line y = x as shown below.


2) Write the given function f(x) = √(2 x - 3) as an equation in two unknowns.
y = √(2 x - 3)
Solve the above for x. First square both sides
2 x - 3 = y 2
2 x = y 2 + 3
x = (y 2 + 3) / 2
Interchange x and y and write the equation of the inverse function f -1 and write the domain of the inverse.
y = (x 2 + 3) / 2
f -1 (x) = (x 2 + 3) / 2 , x ≥ 0 (domain which is the range of f from its graph above)
We now verify that the points (0 , 1.5) , (1 , 2) and (3 , 6) used to sketch the graph of the inverse function are on the graph of f -1 .
f -1 (0) = (0 2 + 3) / 2 = 1.5
f -1 (1) = (1 2 + 3) / 2 = 2
f -1 (3) = (3 2 + 3) / 2 = 6


المحلول
1) Use the graph to find points on the graph of f. A possible list of points whose coordinates (a , b) is as follows:
(0 , 3) , (2 , -1) , (5 , - 3)
On the graph of the inverse function, the above points will have coordinates (b , a) as follows:
(3 , 0) , (- 1 , 2) , (- 3 , 5)
Plot the above points and sketch the graph of the inverse of f so that the two graphs are reflection of each other on the line y = x as shown below.


2) We now determine f -1 (x). For -3 ≤ x ≤ - 1 , f -1 (x) has a linear expression with slope m1 through the points (- 1 , 2) , (- 3 , 5) given by
m1 = (5 - 2) / (-3 - (-1)) = - 3 / 2
For -3 ≤ x ≤ - 1, f -1 (x) is given by:
f -1 (x) = - (3 / 2)(x - (-1)) + 2 = - (3 / 2)(x + 1) + 2
For - 1 < x ≤ 3 , f -1 (x) has a linear expression with slope through the points (- 1 , 2) , (3 , 0) given by
m2 = (0 - 2) / (3 - (-1)) = - 1 / 2
For - 1 < x ≤ 3, f -1 (x) is given by:
f -1 (x) = - (1 / 2)(x - (-1)) + 2 = - (1 / 2)(x + 1) + 2


1) What is the domain and range of f?
2) Sketch the graph of f -1 .
3) Find f -1 (x) (include domain).
المحلول
1) f(x) is defined as a real number if the radicand 2 / x - 1 is greater than or equal to 0. Hence we need to solve the inequality:
2 / x - 1 ≥ 0
(2 - x) / x ≥ 0
The expression on the left of the inequality changes sign at the zeros of the numerator and denominator which are x = 2 and x = 0. See table below.


Domain: (0 , 2]
Range: (-∞ , 0]
2) Points on the graph of f
(2 , 0) , (1 , -1)
The above points on the graph of the inverse function, will have coordinates (b , a) as follows:
(0 , 2) , (- 1 , 1)
Plot the above points and sketch the graph of the inverse of f so that the two graphs are reflection of each other on the line y = x as shown below.


3) Write f(x) as an equation in y and x.
( y = -sqrt-1> )
Solve the above equation for x. Square both sides of the above equation
( y^2 = dfrac<2>-1 )
( dfrac<2> = y^2 + 1 )
( x = dfrac<2> )
Interchange x and y and write the inverse function
( y = dfrac<2> )
( f^<-1>(x) = dfrac<2> )
Domain and range of f -1 are the range and domain of f . بالتالي
Domain of f -1 : (-∞ , 0]
Range of f -1 : (0 , 2]


المحلول
For each graph, select points whose coordinates are easy to determine. Use these points and also the reflection of the graph of function f and its inverse on the line y = x to skectch to sketch the inverse functions as shown below


شاهد الفيديو: #رياضيات 5 - العلاقات و الدوال العكسية - مثال 1 (شهر اكتوبر 2021).