مقالات

8.6: المعادلات البارامترية - الرياضيات


أهداف التعلم

  • معلمة منحنى.
  • تخلص من المعلمة.
  • أوجد معادلة مستطيلة لمنحنى محدد بارامترًا.
  • ابحث عن المعادلات البارامترية للمنحنيات المحددة بواسطة المعادلات المستطيلة.

ضع في اعتبارك المسار الذي يسلكه القمر أثناء دورانه حول كوكب ، والذي يدور في نفس الوقت حول الشمس ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {1} ). في أي لحظة ، يقع القمر في مكان معين بالنسبة إلى الكوكب. لكن كيف نكتب ونحل معادلة موقع القمر عندما تكون المسافة من الكوكب ، وسرعة مدار القمر حول الكوكب ، وسرعة الدوران حول الشمس كلها مجهولة؟ يمكننا إيجاد متغير واحد فقط في كل مرة.

في هذا القسم ، سننظر في مجموعات المعادلات التي قدمها (x (t) ) و (y (t) ) حيث (t ) هو المتغير المستقل للوقت. يمكننا استخدام هذه المعادلات البارامترية في عدد من التطبيقات عندما نبحث ليس فقط عن موقع معين ولكن أيضًا عن اتجاه الحركة. عندما نتتبع القيم المتتالية لـ (t ) ، يصبح اتجاه المنحنى واضحًا. هذه إحدى المزايا الأساسية لاستخدام المعادلات البارامترية: فنحن قادرون على تتبع حركة كائن على طول المسار وفقًا للوقت. نبدأ هذا القسم بإلقاء نظرة على المكونات الأساسية للمعادلات البارامترية وما يعنيه تحديد معلمات منحنى. ثم سنتعلم كيفية حذف المعلمة ، وترجمة معادلات المنحنى المحدد حدوديًا إلى معادلات مستطيلة ، وإيجاد المعادلات البارامترية للمنحنيات المحددة بواسطة المعادلات المستطيلة.

معلمة منحنى

عندما يتحرك كائن على طول منحنى - أو مسار منحني - في اتجاه معين وفي فترة زمنية معينة ، يتم تحديد موضع الكائن في المستوى بواسطة (x )-تنسيق و (ص )-تنسيق. ومع ذلك ، فإن كلا من (x ) و (y ) يختلفان بمرور الوقت وكذلك وظائف الوقت. لهذا السبب ، نضيف متغيرًا آخر ، المعلمة ، التي يعتمد عليها كل من (x ) و (y ). في المثال في افتتاحية القسم ، المعلمة هي الوقت ، (t ). يتم تمثيل (x ) موضع القمر في الوقت (t ) على أنه الوظيفة (x (t) ) وموقع (y ) للقمر في الوقت (t ) ، ممثلة بالدالة (y (t) ). معًا ، (x (t) ) و (y (t) ) تسمى المعادلات البارامترية ، وتولد زوجًا مرتبًا ((x (t) ، y (t)) ). تصف المعادلات البارامترية الحركة والاتجاه بشكل أساسي.

عندما نقوم بتعيين معلمة منحنى ، فإننا نترجم معادلة واحدة في متغيرين ، مثل (س ) و (ص ) ، إلى زوج مكافئ من المعادلات في ثلاثة متغيرات ، (س ) ، (ص ) )، و ت). أحد الأسباب التي تجعلنا نحدد معلمات منحنى هو أن المعادلات البارامترية تنتج المزيد من المعلومات: على وجه التحديد ، اتجاه حركة الكائن بمرور الوقت.

عندما نرسم المعادلات البارامترية بالرسم البياني ، يمكننا ملاحظة السلوكيات الفردية لـ (س ) و (ص ). يوجد عدد من الأشكال التي لا يمكن تمثيلها بالصيغة (y = f (x) ) ، مما يعني أنها ليست وظائف. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الرسم البياني لدائرة ، معطى كـ (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ). يعطي حل (y ) (y = pm sqrt {r ^ 2 − x ^ 2} ) ، أو معادلتين: (y_1 = sqrt {r ^ 2 − x ^ 2} ) و (y_2 = - sqrt {r ^ 2 − x ^ 2} ). إذا رسمنا الرسم البياني (y_1 ) و (y_2 ) معًا ، فلن يجتاز الرسم البياني اختبار الخط العمودي ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {2} ). وبالتالي ، فإن معادلة الرسم البياني للدائرة ليست دالة.

ومع ذلك ، إذا قمنا برسم كل معادلة بيانيًا بمفردها ، فإن كل واحدة ستجتاز اختبار الخط العمودي ، وبالتالي تمثل دالة. في بعض الحالات ، يشبه مفهوم تقسيم معادلة الدائرة إلى وظيفتين مفهوم إنشاء المعادلات البارامترية ، حيث نستخدم وظيفتين لإنتاج غير دالة. سوف يصبح هذا أكثر وضوحا ونحن نمضي قدما.

المعادلات البارامترية

لنفترض أن (t ) هو رقم على فاصل زمني ، (I ). مجموعة الأزواج المرتبة ، ((x (t) ، y (t)) ) ، حيث (x = f (t) ) و (y = g (t) ) ، تشكل منحنى مستوي قائم على على المعلمة (t ). المعادلات (x = f (t) ) و (y = g (t) ) هي المعادلات البارامترية.

مثال ( PageIndex {1} ): معلمة منحنى

عدل المنحنى (y = x ^ 2−1 ) السماح (x (t) = t ). ارسم كلا المعادلتين.

المحلول

إذا كان (x (t) = t ) ، إذن لإيجاد (y (t) ) نستبدل المتغير (x ) بالتعبير الوارد في (x (t) ). بعبارة أخرى ، (y (t) = t ^ 2−1 ). اصنع جدول قيم مشابه للجدول ( PageIndex {1} ) ، وارسم الرسم البياني.

جدول ( PageIndex {1} )
(ر ) (س (ر) ) (ص (ر) )
(−4)(−4) (ص (−4) = {(- 4)} ^ 2−1 = 15 )
(−3)(−3) (ص (−3) = {(- 3)} ^ 2−1 = 8 )
(−2)(−2) (ص (−2) = {(- 2)} ^ 2−1 = 3 )
(−1)(−1) (ص (−1) = {(- 1)} ^ 2−1 = 0 )
(0)(0) (ص (0) = {(0)} ^ 2−1 = -1 )
(1)(1) (ص (1) = {(1)} ^ 2−1 = 0 )
(2)(2) (ص (2) = {(2)} ^ 2−1 = 3 )
(3)(3) (ص (3) = {(3)} ^ 2−1 = 8 )
(4)(4) (ص (4) = {(4)} ^ 2−1 = 15 )

شاهد الرسوم البيانية في الشكل ( PageIndex {3} ). قد يكون من المفيد استخدام ميزة TRACE في الآلة الحاسبة للرسوم البيانية لمعرفة كيفية إنشاء النقاط مع زيادة (t ).

التحليلات

تشير الأسهم إلى الاتجاه الذي يتم فيه إنشاء المنحنى. لاحظ أن المنحنى مطابق لمنحنى (y = x ^ 2−1 ).

تمرين ( PageIndex {1} )

أنشئ جدولًا للقيم وارسم المعادلات البارامترية: (x (t) = t − 3 )، (y (t) = 2t + 4 )؛ (- 1≤t≤2 ).

إجابه
(ر ) (س (ر) ) (ص (ر) )
(-1)(-4)(2)
(0)(-3)(4)
(1)(-2)(6)
(2)(-1)(8)

مثال ( PageIndex {2} ): البحث عن زوج من المعادلات البارامترية

ابحث عن زوج من المعادلات البارامترية التي تمثل الرسم البياني (y = 1 − x ^ 2 ) ، باستخدام المعلمة (x (t) = t ). ارسم بعض النقاط وارسم الرسم البياني.

المحلول

إذا كان (x (t) = t ) واستبدلنا (t ) بـ (x ) في معادلة (y ) ، إذن (y (t) = 1 − t ^ 2 ). زوج المعادلات البارامترية لدينا هو

[ start {align *} x (t) & = t y (t) & = 1 − t ^ 2 end {align *} ]

لرسم المعادلات بشكل بياني ، نقوم أولاً بإنشاء جدول قيم مثل ذلك في Table ( PageIndex {2} ). يمكننا اختيار القيم حول (t = 0 ) ، من (t = −3 ) إلى (t = 3 ). ستكون القيم الموجودة في العمود (x (t) ) هي نفسها الموجودة في العمود (t ) لأن (x (t) = t ). احسب قيم العمود (y (t) ).

جدول ( PageIndex {2} )
(ر) (س (ر) = ر ) (ص (ر) = 1 − ر ^ 2 )
(−3)(−3) (ص (−3) = 1 - {(- 3)} ^ 2 = −8 )
(−2)(−2) (ص (−2) = 1 - {(- 2)} ^ 2 = −3 )
(−1)(−1) (ص (−1) = 1 - {(- 1)} ^ 2 = 0 )
(0)(0) (ص (0) = 1−0 = 1 )
(1)(1) (ص (1) = 1 - {(1)} ^ 2 = 0 )
(2)(2) (ص (2) = 1 - {(2)} ^ 2 = −3 )
(3)(3) (ص (3) = 1 - {(3)} ^ 2 = -8 )

الرسم البياني (y = 1 − t ^ 2 ) هو قطع مكافئ متجه لأسفل ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {5} ). لقد قمنا بتعيين المنحنى على الفاصل ([- 3 ، 3] ) ، يظهر كخط متصل مع أسهم تشير إلى اتجاه المنحنى وفقًا لـ (t ). يشير الاتجاه إلى المسار المتتبع على طول المنحنى من حيث زيادة قيم (t ). نظرًا لأن هذا القطع المكافئ متماثل بالنسبة للخط (س = 0 ) ، تنعكس قيم (س ) عبر ذ-محور.

تمرين ( PageIndex {2} )

عدل المنحنى المعطى بواسطة (x = y ^ 3−2y ).

إجابه

(x (t) = t ^ 3−2t )

(ص (ر) = t )

مثال ( PageIndex {3} ): البحث عن المعادلات البارامترية التي تمثل النموذج الذي يوفر المعايير

ينتقل كائن بمعدل ثابت على طول مسار مستقيم ((- 5 ، 3) ) إلى ((3 ، −1) ) في نفس المستوى في أربع ثوانٍ. الإحداثيات تقاس بالأمتار. أوجد المعادلات البارامترية لموضع الجسم.

المحلول

المعادلات البارامترية عبارة عن تعبيرات خطية بسيطة ، لكننا نحتاج إلى عرض هذه المشكلة بطريقة خطوة بخطوة. الx-قيمة الكائن تبدأ من (- 5 ) أمتار وتصل إلى (3 ) أمتار. هذا يعني أن المسافة (x ) قد تغيرت بمقدار (8 ) أمتار في (4 ) ثانية ، وهو معدل ( dfrac {8 space m} {4 space s} ) ، أو (2 مسافة م / ث ). يمكننا كتابة x- قم بالتنسيق كدالة خطية فيما يتعلق بالوقت كـ (x (t) = 2t − 5 ). في قالب الوظيفة الخطية (y = mx + b ) ، (2t = mx ) و (- 5 = b ).

وبالمثل ، تبدأ قيمة الكائن (ص ) عند (3 ) وتنتقل إلى (- 1 ) ، وهو تغيير في المسافة (ص ) (- 4 ) أمتار في (4 ) ثوانٍ ، وهو معدل ( dfrac {−4 space m} {4 space s} ) ، أو (- 1 space m / s ). يمكننا أيضًا كتابة ذ- التنسيق كوظيفة خطية (y (t) = - t + 3 ). معًا ، هذه هي المعادلات البارامترية لموضع الكائن ، حيث يتم التعبير عن (x ) و (y ) بالأمتار و (t ) يمثل الوقت:

[ start {align *} x (t) & = 2t − 5 y (t) & = −t + 3 end {align *} ]

باستخدام هذه المعادلات ، يمكننا بناء جدول قيم لـ (t ) و (x ) و (y ) (انظر الجدول ( PageIndex {3} )). في هذا المثال ، قمنا بقصر قيم (t ) على أرقام غير سالبة. بشكل عام ، يمكن استخدام أي قيمة لـ (t ).

جدول ( PageIndex {3} )
(ر ) (س (ر) = 2 طن − 5 ) (ص (ر) = - ر + 3 )
(0) (س = 2 (0) −5 = −5 ) (ص = - (0) + 3 = 3 )
(1) (س = 2 (1) −5 = −3 ) (ص = - (1) + 3 = 2 )
(2) (س = 2 (2) −5 = -1 ) (ص = - (2) + 3 = 1 )
(3) (س = 2 (3) −5 = 1 ) (ص = - (3) + 3 = 0 )
(4) (س = 2 (4) −5 = 3 ) (ص = - (4) + 3 = -1 )

من هذا الجدول ، يمكننا إنشاء ثلاثة رسوم بيانية ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {6} ).

التحليلات

مرة أخرى ، نرى أنه في الشكل ( PageIndex {6} ) (c) ، عندما تمثل المعلمة الوقت ، يمكننا الإشارة إلى حركة الكائن على طول المسار باستخدام الأسهم.

القضاء على المعلمة

في كثير من الحالات ، قد يكون لدينا زوج من المعادلات البارامترية ولكن نجد أنه من الأسهل رسم منحنى إذا كانت المعادلة تتضمن متغيرين فقط ، مثل (س ) و (ص ). يعد حذف المعلمة طريقة قد تجعل رسم بعض المنحنيات أسهل. ومع ذلك ، إذا كنا مهتمين بتعيين المعادلة وفقًا للوقت ، فسيكون من الضروري الإشارة إلى اتجاه المنحنى أيضًا. هناك طرق مختلفة لاستبعاد المعلمة (t ) من مجموعة المعادلات البارامترية ؛ لا تعمل كل طريقة مع كل نوع من المعادلات. سنراجع هنا طرق أنواع المعادلات الأكثر شيوعًا.

حذف المعلمة من المعادلات متعددة الحدود والأسية واللوغاريتمية

بالنسبة للمعادلات متعددة الحدود أو الأسية أو اللوغاريتمية معبراً عنها كمعادلتين حدوديتين ، نختار المعادلة التي يسهل معالجتها وحلها من أجل (t ). نستبدل التعبير الناتج عن (t ) في المعادلة الثانية. هذا يعطي معادلة واحدة في (س ) و (ص ).

مثال ( PageIndex {4} ): حذف المعلمة في كثيرات الحدود

بالنظر إلى (x (t) = t ^ 2 + 1 ) و (y (t) = 2 + t ) ، احذف المعلمة واكتب المعادلات البارامترية كمعادلة ديكارتية.

المحلول

سنبدأ بمعادلة (y ) لأن حل المعادلة الخطية أسهل من أجل (t ).

[ start {align *} y & = 2 + t y − 2 & = t end {align *} ]

بعد ذلك ، استبدل (y − 2 ) بـ (t ) في (x (t) ).

[ start {align *} x & = t ^ 2 + 1 x & = {(y − 2)} ^ 2 + 1 ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ text {استبدل التعبير} t text {في} x. x & = y ^ 2−4y + 4 + 1 x & = y ^ 2−4y + 5 x & = y ^ 2−4y + 5 end {align *} ]

الصيغة الديكارتية هي (x = y ^ 2−4y + 5 ).

التحليلات

هذه معادلة للقطع المكافئ حيث ، من حيث المستطيل ، (x ) يعتمد على (y ). من قمة المنحنى عند ((1،2) ) ، يكتسح الرسم البياني جهة اليمين. راجع الشكل ( PageIndex {7} ). في هذا القسم ، نأخذ في الاعتبار مجموعات المعادلات التي قدمتها الدالات (x (t) ) و (y (t) ) ، حيث (t ) هو المتغير المستقل للوقت. لاحظ أن كلا من (x ) و (y ) هما من وظائف الوقت ؛ لذلك بشكل عام (y ) ليس دالة لـ (x ).

تمرين ( PageIndex {3} )

بالنظر إلى المعادلات أدناه ، احذف المعلمة واكتبها كمعادلة مستطيلة لـ (y ) كدالة لـ (x ).

[ start {align *} x (t) & = 2t ^ 2 + 6 y (t) & = 5 − t end {align *} ]

إجابه

(y = 5− sqrt { frac {1} {2} x − 3} )

مثال ( PageIndex {5} ): حذف المعلمة في المعادلات الأسية

احذف المعلمة واكتب كمعادلة ديكارتية: (x (t) = e ^ {- t} ) و (y (t) = 3e ^ t ) ، (t> 0 ).

المحلول

عزل (ه ^ t ).

[ begin {align *} x & = e ^ {- t} e ^ t & = dfrac {1} {x} end {align *} ]

استبدل التعبير في (y (t) ).

[ begin {align *} y & = 3e ^ t y & = 3 left ( dfrac {1} {x} right) y & = dfrac {3} {x} end { محاذاة *} ]

الصيغة الديكارتية هي (y = dfrac {3} {x} ).

التحليلات

يظهر الرسم البياني للمعادلة البارامترية في الشكل ( PageIndex {8a} ). المجال مقيد بـ (t> 0 ). تظهر المعادلة الديكارتية ، (y = dfrac {3} {x} ) في الشكل ( PageIndex {8b} ) ولها قيد واحد فقط على المجال ، (x ≠ 0 ).

0 ، ورسم بياني لتلك المعادلة البارامترية في الإحداثيات القطبية مع المجال يقتصر فقط على x لا يساوي 0. نسخة الإحداثيات الديكارتية لها انعكاس إضافي للدالة عبر الأصل في Q 3 (كان الأصل في Q 1 فقط). "src =" / @ api / deki / files / 12489 / imageedit_21_3487926125.png ">

مثال ( PageIndex {6} ): حذف المعلمة في المعادلات اللوغاريتمية

احذف المعلمة واكتب كمعادلة ديكارتية: (x (t) = sqrt {t} +2 ) و (y (t) = log (t) ).

المحلول

حل المعادلة الأولى من أجل (t ).

[ begin {align *} x & = sqrt {t} +2 x − 2 & = sqrt {t} {(x − 2)} ^ 2 & = t ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ نص {تربيع كلا الجانبين.} نهاية {محاذاة *} ]

بعد ذلك ، استبدل تعبير (t ) في المعادلة (y ).

[ start {align *} y & = log (t) y & = log {(x − 2)} ^ 2 end {align *} ]

الصيغة الديكارتية هي (y = log {(x − 2)} ^ 2 ).

التحليلات

للتأكد من أن المعادلات البارامترية مكافئة للمعادلة الديكارتية ، تحقق من المجالات. تقيد المعادلات البارامترية المجال على (x = sqrt {t} +2 ) إلى (t> 0 ) ؛ نقيد المجال على (x ) إلى (x> 2 ). مجال المعادلة البارامترية (y = log (t) ) مقصور على (t> 0 ) ؛ نقصر المجال على (y = log {(x − 2)} ^ 2 ) إلى (x> 2 ).

تمرين ( PageIndex {4} )

احذف المعلمة واكتب كملف معادلة مستطيلة.

[ start {align *} x (t) & = t ^ 2 y (t) & = ln t text {،} t> 0 end {align *} ]

إجابه

(y = ln sqrt {x} )

حذف المعلمة من المعادلات المثلثية

يعد حذف المعلمة من المعادلات المثلثية استبدالًا مباشرًا. يمكننا استخدام بعض المتطابقات المثلثية المألوفة ونظرية فيثاغورس.

أولاً ، نستخدم الهويات:

[ start {align *} x (t) & = a cos t y (t) & = b sin t end {align *} ]

حل من أجل ( cos t ) و ( الخطيئة t ) ، لدينا

[ start {align *} dfrac {x} {a} & = cos t dfrac {y} {b} & = sin t end {align *} ]

ثم استخدم نظرية فيثاغورس:

({ cos} ^ 2 t + { sin} ^ 2 t = 1 )

يعطي الاستبدال

({ cos} ^ 2 t + { sin} ^ 2 t = { left ( dfrac {x} {a} right)} ^ 2 + { left ( dfrac {y} {b} right )} ^ 2 = 1 )

مثال ( PageIndex {7} ): حذف المعلمة من زوج من المعادلات البارامترية المثلثية

احذف المعلمة من زوج معين من المعادلات المثلثية حيث (0≤t≤2 pi ) ورسم الرسم البياني.

[ start {align *} x (t) & = 4 cos t y (t) & = 3 sin t end {align *} ]

المحلول

حل من أجل ( cos t ) و ( الخطيئة t ) ، لدينا

[ start {align *} x & = 4 cos t dfrac {x} {4} & = cos t y & = 3 sin t dfrac {y} {3} & = sin t end {محاذاة *} ]

بعد ذلك ، استخدم متطابقة فيثاغورس وقم بإجراء الاستبدالات.

[ begin {align *} { cos} ^ 2 t + { sin} ^ 2 t & = 1 { left ( dfrac {x} {4} right)} ^ 2 + { left ( dfrac {y} {3} right)} ^ 2 & = 1 dfrac {x ^ 2} {16} + dfrac {y ^ 2} {9} & = 1 end {align *} ]

يظهر الرسم البياني للمعادلة في الشكل ( PageIndex {9} ).

التحليلات

بتطبيق المعادلات العامة للمقاطع المخروطية (المقدمة في الهندسة التحليلية ، يمكننا تحديد ( dfrac {x ^ 2} {16} + dfrac {y ^ 2} {9} = 1 ) باعتباره قطع ناقص متمركز في ( (0،0) ). لاحظ أنه عندما (t = 0 ) تكون الإحداثيات ((4،0) ) ، وعندما (t = dfrac { pi} {2} ) الإحداثيات هي ((0،3) ). هذا يوضح اتجاه المنحنى مع زيادة قيم (t ).

تمرين ( PageIndex {5} )

احذف المعلمة من زوج المعادلات البارامترية واكتبها كمعادلة ديكارتية: (x (t) = 2 cos t ) و (y (t) = 3 sin t ).

إجابه

( dfrac {x ^ 2} {4} + dfrac {y ^ 2} {9} = 1 )

إيجاد المعادلات الديكارتية من منحنيات معرفة باراميتريًا

عندما نحصل على مجموعة من المعادلات البارامترية ونحتاج إلى إيجاد معادلة ديكارتية مكافئة ، فإننا في الأساس "نحذف المعلمة". ومع ذلك ، هناك طرق مختلفة يمكننا استخدامها لإعادة كتابة مجموعة من المعادلات البارامترية كمعادلة ديكارتية. أبسط طريقة هي تعيين معادلة واحدة مساوية للمعامل ، مثل (x (t) = t ). في هذه الحالة ، يمكن أن يكون (y (t) ) أي تعبير. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك زوج المعادلات التالي.

[ start {align *} x (t) & = t y (t) & = t ^ 2−3 end {align *} ]

إن إعادة كتابة هذه المجموعة من المعادلات البارامترية هي مسألة استبدال (x ) بـ (t ). وبالتالي ، فإن المعادلة الديكارتية هي (y = x ^ 2−3 ).

مثال ( PageIndex {8} ): إيجاد معادلة ديكارتية باستخدام طرق بديلة

استخدم طريقتين مختلفتين لإيجاد المعادلة الديكارتية المكافئة لمجموعة المعادلات البارامترية.

[ start {align *} x (t) & = 3t − 2 y (t) & = t + 1 end {align *} ]

المحلول

طريقة 1. أولاً ، دعنا نحل معادلة (x ) لـ (t ). ثم يمكننا استبدال النتيجة في معادلة (ص ).

[ start {align *} x & = 3t − 2 x + 2 & = 3t dfrac {x + 2} {3} & = t end {align *} ]

الآن استبدل تعبير (t ) في المعادلة (y ).

[ begin {align *} y & = t + 1 y & = left ( dfrac {x + 2} {3} right) +1 y & = dfrac {x} {3} + dfrac {2} {3} +1 y & = dfrac {1} {3} x + dfrac {5} {3} end {align *} ]

الطريقة الثانية. حل معادلة (y ) من أجل (t ) واستبدل هذا التعبير في معادلة (س ).

[ start {align *} y & = t + 1 y − 1 & = t end {align *} ]

قم بإجراء الاستبدال ثم حل من أجل (y ).

[ start {align *} x & = 3 (y − 1) −2 x & = 3y − 3−2 x & = 3y − 5 x + 5 & = 3y dfrac { x + 5} {3} & = y y & = dfrac {1} {3} x + dfrac {5} {3} end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {6} )

اكتب المعادلات البارامترية المعطاة كمعادلة ديكارتية: (x (t) = t ^ 3 ) و (y (t) = t ^ 6 ).

إجابه

(ص = س ^ 2 )

إيجاد المعادلات البارامترية للمنحنيات المعرفة بواسطة المعادلات المستطيلة

على الرغم من أننا أظهرنا للتو أن هناك طريقة واحدة فقط لتفسير مجموعة المعادلات البارامترية على أنها معادلة مستطيلة ، إلا أن هناك طرقًا متعددة لتفسير المعادلة المستطيلة على أنها مجموعة من المعادلات البارامترية. أي استراتيجية قد نستخدمها للعثور على المعادلات البارامترية تكون صالحة إذا كانت تنتج معادلة. بمعنى آخر ، إذا اخترنا تعبيرًا لتمثيل (x ) ، ثم استبدلناه في معادلة (y ) ، وأنتجنا نفس الرسم البياني على نفس المجال مثل المعادلة المستطيلة ، فإن مجموعة البارامترية المعادلات صحيحة. إذا أصبح المجال مقيدًا في مجموعة المعادلات البارامترية ، ولم تسمح الوظيفة بنفس القيم لـ (x ) مثل مجال المعادلة المستطيلة ، فستكون الرسوم البيانية مختلفة.

مثال ( PageIndex {9} ): البحث عن مجموعة من المعادلات البارامترية للمنحنيات المحددة بواسطة المعادلات المستطيلة

ابحث عن مجموعة من المعادلات البارامترية المكافئة لـ (y = {(x + 3)} ^ 2 + 1 ).

المحلول

سيكون الخيار الواضح هو السماح (x (t) = t ). ثم (y (t) = {(t + 3)} ^ 2 + 1 ). لكن دعونا نجرب شيئًا أكثر إثارة للاهتمام. ماذا لو تركنا (x = t + 3 )؟ إذن لدينا

[ begin {align *} y & = {(x + 3)} ^ 2 + 1 y & = {((t + 3) +3)} ^ 2 + 1 y & = {(t +6)} ^ 2 + 1 نهاية {محاذاة *} ]

مجموعة المعادلات البارامترية هي

[ start {align *} x (t) & = t + 3 y (t) & = {(t + 6)} ^ 2 + 1 end {align *} ]

راجع الشكل ( PageIndex {10} ).

وسائل الإعلام

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية باستخدام المعادلات البارامترية.

  • مقدمة في المعادلات البارامترية
  • تحويل المعادلات البارامترية إلى الشكل المستطيل

المفاهيم الرئيسية

  • تتضمن معاملات المنحنى ترجمة معادلة مستطيلة في متغيرين ، (س ) و (ص ) ، إلى معادلتين في ثلاثة متغيرات ، (س ) ، (ص ) ، (تي ). في كثير من الأحيان ، يتم الحصول على مزيد من المعلومات من مجموعة من المعادلات البارامترية. راجع المثال ( PageIndex {1} ) ، والمثال ( PageIndex {2} ) ، والمثال ( PageIndex {3} ).
  • في بعض الأحيان يكون رسم المعادلات أسهل عند كتابتها في شكل مستطيل. بحذف (t ) ، تكون المعادلة في (س ) و (ص ) هي النتيجة.
  • للتخلص من (t ) ، حل إحدى معادلات (t ) ، واستبدل التعبير في المعادلة الثانية. راجع المثال ( PageIndex {4} ) ، والمثال ( PageIndex {5} ) ، والمثال ( PageIndex {6} ) ، والمثال ( PageIndex {7} ).
  • إن العثور على المعادلة المستطيلة لمنحنى محدد بشكل حدودي هو في الأساس نفس حذف المعلمة. حل من أجل (t ) في إحدى المعادلات ، واستبدل التعبير في المعادلة الثانية. راجع المثال ( PageIndex {8} ).
  • هناك عدد لا حصر له من الطرق لاختيار مجموعة من المعادلات البارامترية لمنحنى محدد على أنه معادلة مستطيلة.
  • ابحث عن تعبير لـ (x ) بحيث يظل مجال مجموعة المعادلات البارامترية كما هو في المعادلة المستطيلة الأصلية. راجع المثال ( PageIndex {9} ).


شاهد الفيديو: word كتابة المعادلات الرياضية في برنامج الوورد (شهر اكتوبر 2021).