مقالات

9.3: أنظمة المعادلات غير الخطية والمتباينات - متغيرين


أهداف التعلم

  • حل نظام المعادلات غير الخطية باستخدام التعويض.
  • حل نظام المعادلات غير الخطية باستخدام الحذف.
  • ارسم متباينة غير خطية.
  • ارسم نظامًا من عدم المساواة غير الخطية.

مذنب هالي (Figure ( PageIndex {1} )) يدور حول الشمس مرة واحدة كل (75 ) سنة. يمكن اعتبار مساره بمثابة شكل بيضاوي ممدود للغاية. تتبع المذنبات الأخرى مسارات مماثلة في الفضاء. يمكن دراسة هذه المسارات المدارية باستخدام أنظمة المعادلات. ومع ذلك ، تختلف هذه الأنظمة عن تلك التي تناولناها في القسم السابق لأن المعادلات ليست خطية.

في هذا القسم ، سننظر في تقاطع القطع المكافئ والخط ، والدائرة والخط ، والدائرة والقطع الناقص. تشبه طرق حل أنظمة المعادلات غير الخطية تلك الخاصة بالمعادلات الخطية.

حل نظام المعادلات غير الخطية باستخدام التعويض

نظام المعادلات غير الخطية هو نظام من معادلتين أو أكثر في متغيرين أو أكثر تحتوي على معادلة واحدة على الأقل غير خطية. تذكر أن المعادلة الخطية يمكن أن تأخذ الشكل (Ax + By + C = 0 ). أي معادلة لا يمكن كتابتها بهذا الشكل في صيغة غير خطية. طريقة الاستبدال التي استخدمناها للأنظمة الخطية هي نفس الطريقة التي سنستخدمها للأنظمة غير الخطية. نحل معادلة واحدة لمتغير واحد ثم نعوض بالنتيجة في المعادلة الثانية لإيجاد متغير آخر ، وهكذا. ومع ذلك ، هناك تباين في النتائج المحتملة.

تقاطع القطع المكافئ والخط

هناك ثلاثة أنواع ممكنة من الحلول لنظام المعادلات غير الخطية التي تتضمن القطع المكافئ والخط.

أنواع الحلول الممكنة لنقاط تقاطع بارابولا وخط

يوضح الشكل ( PageIndex {2} ) مجموعات الحلول الممكنة لنظام من المعادلات التي تتضمن قطعًا مكافئًا وخطًا.

  • لا يوجد حل - الخط لن يتقاطع مع القطع المكافئ.
  • حل واحد - الخط مماس للقطع المكافئ ويتقاطع مع القطع المكافئ عند نقطة واحدة بالضبط.
  • حلين - يتقاطع الخط في داخل القطع المكافئ ويتقاطع مع القطع المكافئ عند نقطتين.

الكيفية: بإيجاد نظام معادلات يحتوي على خط ومقطع مكافئ ، أوجد الحل

  1. حل المعادلة الخطية لأحد المتغيرات.
  2. استبدل التعبير الذي تم الحصول عليه في الخطوة الأولى في معادلة القطع المكافئ.
  3. حل المتغير المتبقي.
  4. تحقق من الحلول الخاصة بك في كلا المعادلتين.

مثال ( PageIndex {1} ): حل نظام من المعادلات غير الخطية التي تمثل القطع المكافئ والخط

حل نظام المعادلات.

[ start {align *} x − y & = −1 nonumber y & = x ^ 2 + 1 nonumber end {align *} ]

حل

حل المعادلة الأولى لـ (x ) ثم استبدل التعبير الناتج في المعادلة الثانية.

[ start {align *} x − y & = - 1 non number x & = y − 1 ؛ ؛ & text {حل من أجل} x. nonumber nonumber y & = x ^ 2 + 1 nonumber y & = {(y − 1)} ^ 2 + 1 ؛ ؛ & text {تعبير بديل} x. عدد نهاية {محاذاة *} ]

انشر المعادلة واجعلها تساوي صفرًا.

[ start {align *} y & = {(y − 1)} ^ 2 + 1 nonumber & = (y ^ 2−2y + 1) +1 nonumber & = y ^ 2−2y +2 nonumber 0 & = y ^ 2−3y + 2 nonumber & = (y − 2) (y − 1) nonumber end {align *} ]

حل من أجل (ص ) يعطي (ص = 2 ) و (ص = 1 ). بعد ذلك ، استبدل كل قيمة لـ (y ) في المعادلة الأولى لحل (x ). استبدل القيمة دائمًا في المعادلة الخطية للتحقق من الحلول الدخيلة.

[ start {align *} x − y & = - 1 x− (2) & = −1 x & = 1 x− (1) & = - 1 x & = 0 نهاية {محاذاة *} ]

الحلول هي ((1،2) ) و ((0،1) ) ، والتي يمكن التحقق منها عن طريق استبدال قيم ((س ، ص) ) في كلا المعادلتين الأصليتين (الشكل ( PageIndex {3} )).

سؤال وجواب: هل يمكننا استبدال قيم (ص ) في المعادلة الثانية لحل (س ) في المثال الأخير؟

نعم ، ولكن نظرًا لأن (س ) تربيع في المعادلة الثانية ، فقد يعطينا هذا حلولا غريبة لـ (س ).

من أجل (ص = 1 )

[ start {align *} y & = x ^ 2 + 1 nonumber y & = x ^ 2 + 1 nonumber x ^ 2 & = 0 nonumber x & = pm sqrt { 0} = 0 عدد نهاية {محاذاة *} ]

هذا يعطينا نفس القيمة كما في الحل.

من أجل (ص = 2 )

[ start {align *} y & = x ^ 2 + 1 nonumber 2 & = x ^ 2 + 1 nonumber x ^ 2 & = 1 nonumber x & = pm sqrt { 1} = pm 1 nonumber end {align *} ]

لاحظ أن (- 1 ) حل غريب.

تمرين ( PageIndex {1} )

حل جملة المعادلات بالتعويض.

[ start {align *} 3x − y & = −2 nonumber 2x ^ 2 − y & = 0 nonumber end {align *} ]

إجابه

( left (- dfrac {1} {2} و dfrac {1} {2} right) ) و ((2،8) )

تقاطع دائرة وخط

تمامًا كما هو الحال مع القطع المكافئ والخط ، توجد ثلاث نتائج محتملة عند حل نظام معادلات يمثل دائرة وخطًا.

أنواع الحلول الممكنة لنقاط تقاطع دائرة وخط

يوضح الشكل ( PageIndex {4} ) مجموعات الحلول الممكنة لنظام معادلات يتضمن دائرة وخطًا.

  • لا يوجد حل - الخط لا يتقاطع مع الدائرة.
  • حل واحد - الخط مماس للدائرة ويتقاطع مع الدائرة عند نقطة واحدة بالضبط.
  • حلين - يقطع الخط الدائرة ويتقاطع معها عند نقطتين.

الكيفية: بإيجاد نظام معادلات يحتوي على خط ودائرة ، أوجد الحل

  1. حل المعادلة الخطية لأحد المتغيرات.
  2. عوّض بالتعبير الذي تم الحصول عليه في الخطوة الأولى في معادلة الدائرة.
  3. حل المتغير المتبقي.
  4. تحقق من الحلول الخاصة بك في كلا المعادلتين.

مثال ( PageIndex {2} ): إيجاد تقاطع دائرة وخط بالتعويض

أوجد تقاطع الدائرة المعطاة والخط المعطى بالتعويض.

[ start {align *} x ^ 2 + y ^ 2 & = 5 nonumber y & = 3x − 5 nonumber end {align *} ]

حل

تم بالفعل حل إحدى المعادلات من أجل (ص ). سنعوض بـ (y = 3x − 5 ) في معادلة الدائرة.

[ start {align *} x ^ 2 + {(3x − 5)} ^ 2 & = 5 nonumber x ^ 2 + 9x ^ 2−30x + 25 & = 5 nonumber 10x ^ 2− 30x + 20 & = 0 نهاية {محاذاة *} ]

الآن ، نحلل ونحل قيمة (س ).

[ start {align *} 10 (x ^ 2−3x + 2) & = 0 nonumber 10 (x − 2) (x − 1) & = 0 nonumber x & = 2 nonumber س & = 1 عدد نهاية {محاذاة *} ]

استبدل قيمتي (x ) - في المعادلة الخطية الأصلية لحل (y ).

[ start {align *} y & = 3 (2) −5 nonumber & = 1 nonumber y & = 3 (1) −5 nonumber & = −2 nonumber end { محاذاة *} ]

يتقاطع الخط مع الدائرة عند ((2،1) ) و ((1 ، −2) ) ، والتي يمكن التحقق منها عن طريق استبدال قيم ((س ، ص) ) في كلا المعادلتين الأصليتين (الشكل ( PageIndex {5} )).

تمرين ( PageIndex {2} )

حل نظام المعادلات غير الخطية.

[ start {align *} x ^ 2 + y ^ 2 & = 10 x − 3y & = −10 end {align *} ]

إجابه

((−1,3))

حل نظام المعادلات غير الخطية باستخدام الحذف

لقد رأينا أن الاستبدال هو الطريقة المفضلة غالبًا عندما يشتمل نظام المعادلات على معادلة خطية ومعادلة غير خطية. ومع ذلك ، عندما يكون لكل من المعادلتين في النظام متغيرات مماثلة من الدرجة الثانية ، فإن حلها باستخدام الحذف عن طريق الجمع يكون أسهل من الاستبدال. بشكل عام ، يعد الحذف طريقة أبسط بكثير عندما يتضمن النظام معادلتين فقط في متغيرين (نظام اثنين في اثنين) ، بدلاً من نظام ثلاثة في ثلاثة ، حيث توجد خطوات أقل. كمثال ، سوف نتحرى الأنواع الممكنة من الحلول عند حل نظام المعادلات التي تمثل دائرة وقطعة ناقص.

أنواع الحلول الممكنة لنقاط تقاطع دائرة وانحدار

يوضح الشكل ( PageIndex {6} ) مجموعات الحلول الممكنة لنظام معادلات يتضمن دائرة وقطعة ناقص.

  • لا يوجد حل - لا تتقاطع الدائرة والقطع الناقص. شكل واحد داخل الآخر أو الدائرة والقطع الناقص على بعد مسافة من الآخر.
  • حل واحد - الدائرة والقطع الناقص مماس لبعضهما البعض ، ويتقاطعان عند نقطة واحدة بالضبط.
  • حلين - الدائرة والقطع الناقص يتقاطعان عند نقطتين.
  • ثلاثة حلول - تتقاطع الدائرة والقطع الناقص عند ثلاث نقاط.
  • أربعة حلول - تتقاطع الدائرة والقطع الناقص عند أربع نقاط.

مثال ( PageIndex {3} ): حل نظام من المعادلات غير الخطية التي تمثل الدائرة والقطع الناقص

حل نظام المعادلات غير الخطية.

[ start {align *} x ^ 2 + y ^ 2 & = 26 & (1) nonumber 3x ^ 2 + 25y ^ 2 & = 100 & (2) nonumber end {align *} ]

حل

لنبدأ بضرب المعادلة (1) في (- 3 ) وإضافتها إلى المعادلة (2).

[ start {align *} (−3) (x ^ 2 + y ^ 2) = (−3) (26) & nonumber −3x ^ 2−3y ^ 2 = −78 & nonumber تسطير {3x ^ 2 + 25y ^ 2 = 100} & nonumber 22y ^ 2 = 22 & nonumber end {align *} ]

بعد أن نجمع المعادلتين معًا ، نحل من أجل (y ).

[ begin {align *} y ^ 2 & = 1 nonumber y & = pm sqrt {1} = pm 1 nonumber end {align *} ]

عوّض (y = pm 1 ) في إحدى المعادلات وحل من أجل (x ).

[ start {align *} x ^ 2 + {(1)} ^ 2 & = 26 nonumber x ^ 2 + 1 & = 26 nonumber x ^ 2 & = 25 nonumber x & = pm sqrt {25} = pm 5 nonumber x ^ 2 + {(- 1)} ^ 2 & = 26 nonumber x ^ 2 + 1 & = 26 nonumber x ^ 2 & = pm sqrt {25} = pm 5 nonumber end {align *} ]

هناك أربعة حلول: ((5،1) ) ، ((- 5،1) ) ، ((5 ، −1) ) ، ((- 5 ، −1) ). راجع الشكل ( PageIndex {7} ).

تمرين ( PageIndex {3} )

أوجد مجموعة حلول النظام المعطى من المعادلات غير الخطية.

[ begin {align *} 4x ^ 2 + y ^ 2 & = 13 nonumber x ^ 2 + y ^ 2 & = 10 nonumber end {align *} ]

إجابه

({(1,3),(1,−3),(−1,3),(−1,−3)})

رسم بياني لعدم المساواة غير الخطية

تضمنت جميع المعادلات في الأنظمة التي واجهناها حتى الآن مساواة ، لكننا قد نواجه أيضًا أنظمة تتضمن عدم المساواة. لقد تعلمنا بالفعل رسم المتباينات الخطية بالرسم البياني للمعادلة المقابلة ، ثم تظليل المنطقة التي يمثلها رمز عدم المساواة. الآن ، سوف نتبع خطوات مماثلة لرسم مخطط غير خطي عدم المساواة حتى نتمكن من تعلم حل أنظمة عدم المساواة غير الخطية. أ عدم المساواة غير الخطية هي متباينة تحتوي على تعبير غير خطي. رسم متباينة غير خطية يشبه إلى حد كبير رسم متباينة خطية.

تذكر أنه عندما تكون عدم المساواة أكبر من (y> a ) أو أقل من (y

الكيفية: بالنظر إلى عدم المساواة التي يحدها القطع المكافئ ، ارسم رسمًا بيانيًا

  1. ارسم القطع المكافئ كما لو كان معادلة. هذه هي حدود المنطقة التي تمثل مجموعة الحلول.
  2. إذا تم تضمين الحدود في المنطقة (العامل هو (≤ ) أو (≥ )) ، يتم رسم القطع المكافئ كخط متصل.
  3. إذا لم يتم تضمين الحدود في المنطقة (العامل هو (<) أو (> )) ، يتم رسم القطع المكافئ كخط متقطع.
  4. اختبر نقطة في إحدى المناطق لتحديد ما إذا كانت تفي ببيان عدم المساواة. إذا كانت العبارة صحيحة ، فإن مجموعة الحلول هي المنطقة بما في ذلك النقطة. إذا كانت العبارة خاطئة ، فإن مجموعة الحلول هي المنطقة على الجانب الآخر من خط الحدود.
  5. ظلل المنطقة التي تمثل مجموعة الحلول.

مثال ( PageIndex {4} ): رسم بياني لعدم المساواة في القطع المكافئ

بيّن المتباينة (y> x ^ 2 + 1 ).

حل

أولاً ، ارسم المعادلة المقابلة (y = x ^ 2 + 1 ). نظرًا لأن (y> x ^ 2 + 1 ) يحتوي على رمز أكبر من ، فإننا نرسم الرسم البياني بخط متقطع. ثم نختار النقاط لاختبار كل من داخل وخارج القطع المكافئ. دعونا نختبر النقاط

((0،2) ) و ((2،0) ). من الواضح أن هناك نقطة داخل القطع المكافئ والنقطة الأخرى في الخارج بوضوح.

[ begin {align *} y &> x ^ 2 + 1 nonumber 2 &> (0) ^ 2 + 1 nonumber 2 &> 1 & text {True} nonumber nonumber nonumber 0 &> (2) ^ 2 + 1 nonumber 0 &> 5 & text {False} nonumber end {align *} ]

يظهر الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {9} ). يمكننا أن نرى أن مجموعة الحلول تتكون من جميع النقاط داخل القطع المكافئ ، ولكن ليس على التمثيل البياني نفسه.

رسم نظام من المتباينات غير الخطية

الآن بعد أن تعلمنا رسم المتباينات غير الخطية بالرسم البياني ، يمكننا تعلم كيفية رسم أنظمة المتباينات غير الخطية بيانيًا. أ نظام عدم المساواة غير الخطية هو نظام مكون من متباينين ​​أو أكثر في متغيرين أو أكثر يحتوي على متباينة واحدة على الأقل ليست خطية. رسم نظام من عدم المساواة غير الخطية يشبه رسم نظام من عدم المساواة الخطية. الفرق هو أن التمثيل البياني لدينا قد ينتج عنه مناطق مظللة تمثل حلاً أكثر مما نجده في نظام المتباينات الخطية. الحل لنظام غير خطي من عدم المساواة هو منطقة الرسم البياني حيث تتداخل المناطق المظللة في الرسم البياني لكل متباينة ، أو حيث تتقاطع المناطق ، تسمى المنطقة الممكنة.

الكيفية: بالنظر إلى نظام عدم المساواة غير الخطية ، ارسم رسمًا بيانيًا

  1. أوجد نقاط التقاطع بحل نظام المعادلات غير الخطية المقابل.
  2. ارسم المعادلات غير الخطية بيانيًا.
  3. أوجد المناطق المظللة لكل متباينة.
  4. حدد المنطقة المجدية باعتبارها تقاطع المناطق المظللة لكل متراجحة أو مجموعة النقاط المشتركة لكل متراجحة.

مثال ( PageIndex {5} ): رسم نظام من المتباينات بيانيًا

بيّن نظام المتباينات المعطى.

[ begin {align *} x ^ 2 − y & ≤ 0 nonumber 2x ^ 2 + y & ≤ 12 nonumber end {align *} ]

حل

من الواضح أن هاتين المعادلتين عبارة عن قطع مكافئ. يمكننا إيجاد نقاط التقاطع من خلال عملية الحذف: أضف كلا المعادلتين وسيتم حذف المتغير (y ). ثم نحل من أجل (س ).

[ start {align *} x ^ 2 − y = 0 & nonumber underline {2x ^ 2 + y = 12} & nonumber 3x ^ 2 = 12 & nonumber x ^ 2 = 4 & nonumber x = pm 2 & nonumber end {align *} ]

عوّض بقيم (x ) - في إحدى المعادلات وحل من أجل (y ).

[ start {align *} x ^ 2 − y & = 0 nonumber {(2)} ^ 2 − y & = 0 nonumber 4 − y & = 0 nonumber y & = 4 nonumber nonumber {(−2)} ^ 2 − y & = 0 nonumber 4 − y & = 0 nonumber y & = 4 nonumber end {align *} ]

نقطتا التقاطع هما ((2،4) ) و ((- 2،4) ). لاحظ أنه يمكن إعادة كتابة المعادلات على النحو التالي.

[ start {align *} x ^ 2-y & ≤ 0 nonumber x ^ 2 & ≤ y nonumber y & ≥ x ^ 2 nonumber nonumber nonumber 2x ^ 2 + y & ≤ 12 non number y & ≤ −2x ^ 2 + 12 non number end {align *} ]

ارسم كل متباينة بيانية. راجع الشكل ( PageIndex {10} ). المنطقة المجدية هي المنطقة الواقعة بين المعادلتين التي يحدها (2x ^ 2 + y≤12 ) في الأعلى و (x ^ 2 − y≤0 ) في الأسفل.

تمرين ( PageIndex {5} )

بيّن نظام المتباينات المعطى.

[ start {align *} y & ≥ x ^ 2−1 nonumber x − y & ≥ −1 nonumber end {align *} ]

إجابه

ظلل المنطقة التي يحدها المنحنيان ، فوق التربيعي وأسفل الخط.

المفاهيم الرئيسية

  • هناك ثلاثة أنواع ممكنة من الحلول لنظام المعادلات التي تمثل خطًا ومقطعًا مكافئًا: (1) لا يوجد حل ، الخط لا يتقاطع مع القطع المكافئ ؛ (2) حل واحد ، الخط مماس للقطع المكافئ ؛ و (3) حلين ، يتقاطع الخط مع القطع المكافئ في نقطتين. راجع المثال ( PageIndex {1} ).
  • هناك ثلاثة أنواع ممكنة من الحلول لنظام المعادلات التي تمثل دائرة وخط: (1) لا يوجد حل ، الخط لا يتقاطع مع الدائرة ؛ (2) حل واحد ، الخط مماس للقطع المكافئ ؛ (3) حلين ، يتقاطع الخط مع الدائرة في نقطتين. راجع المثال ( PageIndex {2} ).
  • هناك خمسة أنواع ممكنة من الحلول لنظام المعادلات غير الخطية التي تمثل القطع الناقص والدائرة:
    (1) لا يوجد حل ، لا تتقاطع الدائرة والقطع الناقص ؛ (2) حل واحد ، الدائرة والقطع الناقص مماس لبعضهما البعض ؛ (3) حلين ، الدائرة والقطع الناقص يتقاطعان في نقطتين. (4) ثلاثة حلول ، الدائرة والقطع الناقص يتقاطعان في ثلاثة أماكن ؛ (5) أربعة حلول ، الدائرة والقطع الناقص يتقاطعان في أربع نقاط. راجع المثال ( PageIndex {3} ).
  • يتم رسم المتباينة بنفس طريقة المعادلة ، باستثناء> أو <، نرسم خطًا متقطعًا ونظلل المنطقة التي تحتوي على مجموعة الحلول. راجع المثال ( PageIndex {4} ).
  • يتم حل اللامساواة بنفس طريقة حل مشكلة المساواة ، لكن حلول أنظمة عدم المساواة يجب أن تفي بكلا التفاوتات. راجع المثال ( PageIndex {5} ).


شاهد الفيديو: أنظمة المعادلات غير الخطية 1 (شهر اكتوبر 2021).