مقالات

9.E: أنظمة المعادلات وعدم المساواة (تمارين)


9.1: أنظمة المعادلات الخطية: متغيرين

شفهي

1) هل يمكن أن يكون لنظام المعادلات الخطية حلين بالضبط؟ اشرح لماذا ولماذا لا.

إجابه

لا ، يمكن أن يكون لديك صفر أو واحد أو عدد لا نهائي. افحص الرسوم البيانية.

2) إذا كنت تقوم بإجراء تحليل التعادل لنشاط تجاري وتعتمد معادلات التكلفة والإيرادات ، فشرح ما يعنيه هذا بالنسبة لهوامش ربح الشركة.

3) إذا كنت تحل تحليل التعادل وحصلت على نقطة تعادل سلبية ، فشرح ما الذي يعنيه هذا للشركة؟

إجابه

هذا يعني أنه لا توجد نقطة تعادل واقعية. بحلول الوقت الذي تنتج فيه الشركة وحدة واحدة ، فإنها تحقق أرباحًا بالفعل.

4) إذا كنت تحل تحليل التعادل ولا توجد نقطة تعادل ، فشرح ما يعنيه هذا للشركة. كيف يجب عليهم التأكد من وجود نقطة التعادل؟

5) بالنظر إلى نظام المعادلات ، اشرح طريقتين مختلفتين على الأقل لحل هذا النظام.

إجابه

يمكنك الحل بالتعويض (عزل (س ) أو (ص )) أو بيانياً أو عن طريق الجمع.

جبري

بالنسبة للتمرينات من 6 إلى 10 ، حدد ما إذا كان الزوج المرتب المحدد يمثل حلًا لنظام المعادلات.

6) ( begin {align *} 5x-y & = 4 x + 6y & = 2 end {align *} ؛ text {and} (4،0) )

7) ( begin {align *} -3x-5y & = 13 -x + 4y & = 10 end {align *} ؛ text {and} (-6،1) )

إجابه

نعم

8) ( start {align *} 3x + 7y & = 1 2x + 4y & = 0 end {align *} ؛ text {and} (2،3) )

9) ( start {align *} -2x + 5y & = 7 2x + 9y & = 7 end {align *} ؛ text {and} (-1،1) )

إجابه

نعم

10) ( start {align *} x + 8y & = 43 3x-2y & = -1 end {align *} ؛ text {and} (3،5) )

بالنسبة للتمارين 11-20 ، حل كل نظام بالتعويض.

11) ( start {align *} x + 5y & = 5 2x + 3y & = 4 end {align *} )

إجابه

((-1,2))

12) ( start {align *} 3x-2y & = 18 5x + 10y & = -10 end {align *} )

13) ( start {align *} 4x + 2y & = -10 3x + 9y & = 0 end {align *} )

إجابه

((-3,1))

14) ( start {align *} 2x + 4y & = -3.8 9x-5y & = 1.3 end {align *} )

15) ( start {align *} -2x + 3y & = 1.2 -3x-6y & = 1.8 end {align *} )

إجابه

( left (- dfrac {3} {5}، 0 right) )

16) ( start {align *} x-0.2y & = 1 -10x + 2y & = 5 end {align *} )

17) ( start {align *} 3x + 5y & = 9 30x + 50y & = -90 end {align *} )

إجابه

لا توجد حلول

18) ( start {align *} -3x + y & = 2 12x-4y & = -8 end {align *} )

19) ( begin {align *} dfrac {1} {2} x + dfrac {1} {3} y & = 16 dfrac {1} {6} x + dfrac {1} {4} ص & = 9 نهاية {محاذاة *} )

إجابه

( left ( dfrac {72} {5}، dfrac {132} {5} right) )

20) ( begin {align *} - dfrac {1} {4} x + dfrac {3} {2} y & = 11 - dfrac {1} {8} x + dfrac {1} { 3} ص & = 3 نهاية {محاذاة *} )

بالنسبة للتمارين 21-30 ، حل كل نظام عن طريق الجمع.

21) ( start {align *} -2x + 5y & = -42 7x + 2y & = 30 end {align *} )

إجابه

((6,-6))

22) ( start {align *} 6x-5y & = -34 2x + 6y & = 4 end {align *} )

23) ( begin {align *} 5x-y & = -2.6 -4x-6y & = 1.4 end {align *} )

إجابه

( left (- dfrac {1} {2} ، dfrac {1} {10} right) )

24) ( start {align *} 7x-2y & = 3 4x + 5y & = 3.25 end {align *} )

25) ( start {align *} -x + 2y & = -1 5x-10y & = 6 end {align *} )

إجابه

لا توجد حلول

26) ( start {align *} 7x + 6y & = 2 -28x-24y & = -8 end {align *} )

27) ( begin {align *} dfrac {5} {6} x + dfrac {1} {4} y & = 0 dfrac {1} {8} x- dfrac {1} {2 } y & = - dfrac {43} {120} end {align *} )

إجابه

( left (- dfrac {1} {5} ، dfrac {2} {3} right) )

28) ( begin {align *} dfrac {1} {3} x + dfrac {1} {9} y & = dfrac {2} {9} - dfrac {1} {2} x + dfrac {4} {5} y & = - dfrac {1} {3} end {align *} )

29) ( begin {align *} -0.2x + 0.4y & = 0.6 x-2y & = -3 end {align *} )

إجابه

( left (x، dfrac {x + 3} {2} right) )

30) ( start {align *} -0.1x + 0.2y & = 0.6 5x-10y & = 1 end {align *} )

بالنسبة للتمارين 31-40 ، حل كل نظام بأي طريقة.

31) ( start {align *} 5x + 9y & = 16 x + 2y & = 4 end {align *} )

إجابه

((-4,4))

32) ( start {align *} 6x-8y & = -0.6 3x + 2y & = 0.9 end {align *} )

33) ( start {align *} 5x-2y & = 2.25 7x-4y & = 3 end {align *} )

إجابه

( left ( dfrac {1} {2} ، dfrac {1} {8} right) )

34) ( begin {align *} x- dfrac {5} {12} y & = - dfrac {55} {12} -6x + dfrac {5} {2} y & = dfrac { 55} {2} end {align *} )

35) ( begin {align *} 7x-4y & = dfrac {7} {6} 2x + 4y & = dfrac {1} {3} end {align *} )

إجابه

( left ( dfrac {1} {6}، 0 right) )

36) ( start {align *} 3x + 6y & = 11 2x + 4y & = 9 end {align *} )

37) ( begin {align *} dfrac {7} {3} x- dfrac {1} {6} y & = 2 - dfrac {21} {6} x + dfrac {3} { 12} ص & = -3 نهاية {محاذاة *} )

إجابه

((س، 2 (7 س -6)) )

38) ( begin {align *} dfrac {1} {2} x + dfrac {1} {3} y & = dfrac {1} {3} dfrac {3} {2} x + dfrac {1} {4} y & = - dfrac {1} {8} end {align *} )

39) ( begin {align *} 2.2x + 1.3y & = -0.1 4.2x + 4.2y & = 2.1 end {align *} )

إجابه

( left (- dfrac {5} {6} ، dfrac {4} {3} right) )

40) ( start {align *} 0.1x + 0.2y & = 2 0.35x-0.3y & = 0 end {align *} )

رسومية

بالنسبة للتدريبات 41-45 ، قم برسم نظام المعادلات بيانيًا وحدد ما إذا كان النظام متسقًا أو غير متسق أو تابعًا وما إذا كان النظام يحتوي على حل واحد أو لا يوجد حل أو حلول غير محدودة.

41) ( begin {align *} 3x-y & = 0.6 x-2y & = 1.3 end {align *} )

إجابه

متسقة مع حل واحد

42) ( start {align *} -x + 2y & = 4 2x-4y & = 1 end {align *} )

43) ( start {align *} x + 2y & = 7 2x + 6y & = 12 end {align *} )

إجابه

متسقة مع حل واحد

44) ( start {align *} 3x-5y & = 7 x-2y & = 3 end {align *} )

45) ( start {align *} 3x-2y & = 5 -9x + 6y & = -15 end {align *} )

إجابه

تعتمد على عدد لا حصر له من الحلول

تكنولوجيا

بالنسبة للتمارين 46-50 ، استخدم دالة التقاطع على جهاز رسم بياني لحل كل نظام. قرب كل الإجابات لأقرب جزء من مائة.

46) ( start {align *} 0.1x + 0.2y & = 0.3 -0.3x + 0.5y & = 1 end {align *} )

47) ( start {align *} -0.01x + 0.12y & = 0.62 0.15x + 0.20y & = 0.52 end {align *} )

إجابه

((-3.08,4.91))

48) ( start {align *} 0.5x + 0.3y & = 4 0.25x-0.9y & = 0.46 end {align *} )

49) ( start {align *} 0.15x + 0.27y & = 0.39 -0.34x + 0.56y & = 1.8 end {align *} )

إجابه

((-1.52,2.29))

50) ( start {align *} -0.71x + 0.92y & = 0.13 0.83x + 0.05y & = 2.1 end {align *} )

ملحقات

بالنسبة للتدريبات 51-55 ، حل كل نظام من حيث (A ، B ، C ، D ، ) و (F ) حيث (A-F ) أرقام غير صفرية. لاحظ أن (A neq B ) و (AE neq BD ).

51) ( start {align *} x + y & = A x-y & = B end {align *} )

إجابه

( left ( dfrac {A + B} {2} ، dfrac {A-B} {2} right) )

52) ( start {align *} x + Ay & = 1 x + By & = 1 end {align *} )

53) ( begin {align *} Ax + y & = 0 Bx + y & = 1 end {align *} )

إجابه

( left ( dfrac {-1} {A-B} ، dfrac {A} {A-B} right) )

54) ( begin {align *} Ax + By & = C x + y & = 1 end {align *} )

55) ( start {align *} Ax + By & = C Dx + Ey & = F end {align *} )

إجابه

( left ( dfrac {CE-BF} {BD-AE} ، dfrac {AF-CD} {BD-AE} right) )

تطبيقات العالم الحقيقي

بالنسبة للتمرينات 56-60 ، أوجد الكمية المطلوبة.

56) تمتلك شركة الحيوانات المحنطة تكلفة إنتاج إجمالية (C = 12x + 30 ) ودالة إيرادات (R = 20x ). أوجد نقطة التعادل.

57) مطعم للوجبات السريعة له تكلفة إنتاج (C (x) = 11x + 120 ) ودالة إيرادات (R (x) = 5x ). متى تبدأ الشركة في جني الأرباح؟

إجابه

إنهم لا يدرون ربحًا أبدًا.

58) مصنع الهواتف المحمولة لديه تكلفة إنتاج أ (C (x) = 150x + 10،000 ) ودالة إيرادات (R (x) = 200x ). ما هي نقطة التعادل؟

59) رسوم الموسيقي (C (x) = 64x + 20،000 ) حيث (x ) هو إجمالي عدد الحاضرين في الحفلة الموسيقية. رسوم المكان ( 80 $ ) لكل تذكرة. بعد عدد الأشخاص الذين يشترون التذاكر ، هل يتعادل المكان ، وما هي قيمة إجمالي التذاكر المباعة في تلك المرحلة؟

إجابه

((1,250, 100,000))

60) مصنع الجيتار لديه تكلفة إنتاج (C (x) = 75x + 50،000 ). إذا احتاجت الشركة إلى نقطة التعادل بعد (150 ) بيع وحدة ، فبأي سعر يجب أن تبيع كل جيتار؟ قم بالتقريب إلى أقرب دولار ، واكتب دالة الإيرادات.

بالنسبة للتمارين 61-77 ، استخدم نظام المعادلات الخطية مع متغيرين ومعادلتين لحلها.

61) أوجد عددين مجموعهما (28 ) والفرق بينهما (13 ).

إجابه

الأرقام (7.5 ) و (20.5 ).

62) الرقم هو (9 ) أكثر من رقم آخر. مجموع العددين هو ضعف (10 ​​). أوجد العددين.

63) تكلفة بدء المطعم هي ( 120،000 دولار ) ، وتكاليف كل وجبة ( 10 دولارات ) للمطعم. إذا بيعت كل وجبة مقابل ( 15 دولارًا ) ، فكم عدد الوجبات التي يتساوى فيها المطعم؟

إجابه

(24,000)

64) تتقاضى الشركة المنقولة سعرًا ثابتًا قدره ( 150 دولارًا ) ، و ( 5 دولارات ) إضافية لكل صندوق. إذا كانت خدمة سيارات الأجرة تتقاضى ( 20 دولارًا ) لكل صندوق ، فكم عدد الصناديق التي ستحتاجها لتكون أرخص لاستخدام الشركة المنقولة ، وما هي التكلفة الإجمالية؟

65) تجمع ما مجموعه (1،595 ) من طلاب السنة الأولى والثانية من طلاب الكلية في تجمع حماسي. تجاوز عدد الطلاب الجدد عدد طلاب السنة الثانية بمقدار (15 ). كم عدد الطلاب الجدد وطلاب السنة الثانية الذين حضروا؟

إجابه

(790 ) طالبة في السنة الثانية (805 ) طالبة

66) (276 ) طالب وطالبة في فصل الكيمياء للطلبة الجدد. بحلول نهاية الفصل الدراسي ، (5 ) يضاعف عدد الطلاب الذين نجحوا في الفشل. أوجد عدد الطلاب الناجحين وعدد الطلاب الراسبين.

67) كان هناك (130 ) عضو هيئة تدريس في المؤتمر. إذا كان عدد الحاضرين (18 ) أكثر من الرجال ، فكم عدد الحاضرين من كل جنس؟

إجابه

(56 ) رجال (74 ) نساء

68) دخول سيارة جيب و BMW طريق سريع يسير من الشرق إلى الغرب في نفس المخرج متجهين في اتجاهين متعاكسين. دخلت السيارة الجيب إلى الطريق السريع قبل أن تدخل بي إم دبليو بدقائق ، وسافرت بسرعة أبطأ من بي إم دبليو (7 ميل في الساعة). بعد (2 ) ساعة من دخول سيارة BMW للطريق السريع ، كانت المسافة بين السيارتين (306.5 ) ميلاً. ابحث عن سرعة كل سيارة ، بافتراض أنها كانت مدفوعة بنظام تثبيت السرعة.

69) إذا قام عالم بخلط (10 ٪ ) محلول ملحي مع (60 ٪ ) محلول ملحي للحصول على (25 ) جالون من (40 ٪ ) محلول ملحي ، فكم جالونًا من ( 10 ٪ ) و (60 ٪ ) هل كانت الحلول مختلطة؟

إجابه

(10 ​​) جالون من (10 ​​٪ ) محلول ​​(15 ) جالون من (60 ٪ ) محلول

70) حصلت مستثمرة على ثلاثة أضعاف أرباحها مما حققته العام الماضي. إذا كانت قد حققت إجمالي ( 500.000.48 دولار ) لكلا العامين ، كم كانت أرباحها كل عام؟

71) المستثمر الذي يشتغل بالعقار يستثمر (1.1 ) مليون دولار في استثمارين أرضيين. في الاستثمار الأول ، Swan Peak ، كان عائدها (110 ٪ ) زيادة على الأموال التي استثمرتها. في الاستثمار الثاني ، مجتمع ريفرسايد ، كسبت (50 ٪ ) على ما استثمرته. إذا ربحت ( 1 ) مليون من الأرباح ، فكم استثمرت في كل صفقة من صفقات الأراضي؟

إجابه

قمة البجع: (750.000 دولار ) ريفرسايد: ( 350.000 دولار )

72) إذا استثمر المستثمر ما مجموعه ( 25000 دولار ) في سندات ، أحدهما يدفع (3 ٪ ) فائدة بسيطة والآخر يدفع (2 dfrac {7} {8} ٪ ) الفائدة ويكسب المستثمر ($ 737.50 ) فائدة سنوية ، ما المبلغ المستثمر في كل حساب؟

73) إذا استثمر المستثمر ( 23000 دولار ) في سندات ، أحدهما يدفع (4 ٪ ) بفائدة بسيطة والآخر يدفع (2 ٪ ) فائدة بسيطة ، ويكسب المستثمر ( 710.00 دولار ) الفائدة السنوية كم تم استثماره في كل حساب؟

إجابه

( $ 12،500 ) في الحساب الأول ( $ 10،500 ) في الحساب الثاني.

74) الأقراص المضغوطة تكلف ( 5.96 دولار ) أكثر من أقراص DVD في All Bets Are Off Electronics. ما هي تكلفة (6 ) الأقراص المضغوطة و (2 ) أقراص DVD في حالة (5 ) تكلفة الأقراص المضغوطة و (2 ) أقراص DVD ( 127.73 دولار أمريكي )؟

75) باع كاتب المتجر (60 ) زوجا من الأحذية الرياضية. تم بيع القمصان المرتفعة بـ ( 98.99 دولارًا ) وبيعت القمم المنخفضة بـ ( 129.99 دولارًا ). إذا بلغ إجمالي إيصالات نوعي المبيعات ( $ 6،404.40 ) ، فكم عدد الأحذية التي تم بيعها من كل نوع؟

إجابه

قمم عالية: (45 ) ، قمم منخفضة: (15 )

76) قام مدير الحفلة بحساب (350 ) إيصالات التذاكر في اليوم التالي للحفل. كان سعر تذكرة الطالب ( 12.50 دولارًا ) ، وكان سعر تذكرة الكبار ( 16.00 دولارًا ). يؤكد السجل أنه تم أخذ ( $ 5،075 ). كم عدد تذاكر الطلاب وتذاكر البالغين التي تم بيعها؟

77) الدخول إلى مدينة الملاهي لـ (4 ) أطفال و (2 ) بالغين ( 116.90 دولار ). بالنسبة إلى (6 ) أطفال و (3 ) بالغين ، يكون القبول ( 175.35 دولارًا ). بافتراض سعر مختلف للأطفال والكبار ، ما هو سعر تذكرة الطفل وسعر تذكرة الشخص البالغ؟

إجابه

العديد من الحلول بلا حدود. نحن بحاجة إلى مزيد من المعلومات.

9.2: أنظمة المعادلات الخطية: ثلاثة متغيرات

شفهي

1) هل يمكن لنظام خطي من ثلاث معادلات أن يكون له حلين بالضبط؟ اشرح لماذا ولماذا لا

إجابه

لا ، يمكن أن يكون هناك حل واحد أو صفر أو عدد لا نهائي من الحلول.

2) إذا كان الثلاثي المرتب يحل نظام المعادلات ، فهل هذا الحل فريد من نوعه؟ إذا كان الأمر كذلك ، اشرح السبب. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فاذكر مثالًا إذا لم يكن فريدًا.

3) إذا لم تحل ثلاثية مرتبة معينة نظام المعادلات ، ألا يوجد حل؟ إذا كان الأمر كذلك ، اشرح السبب. إذا لم يكن كذلك ، أعط مثالا.

إجابه

ليس بالضرورة. يمكن أن يكون هناك حل واحد أو صفر أو عدد لا نهائي من الحلول. على سبيل المثال ، ((0،0،0) ) ليس حلاً للنظام أدناه ، لكن هذا لا يعني أنه ليس له حل.

( start {align *} 2x + 3y-6z & = 1 -4x-6y + 12z & = -2 x + 2y + 5z & = 10 end {align *} )

4) باستخدام طريقة الجمع هل هناك طريقة واحدة فقط لحل النظام؟

5) هل يمكنك توضيح ما إذا كان هناك طريقة واحدة فقط لحل نظام المعادلات الخطي؟ إذا كانت الإجابة بنعم ، فقدم مثالاً على نظام المعادلات هذا. إذا لم يكن كذلك ، اشرح لماذا لا.

إجابه

يمكن حل كل نظام من المعادلات بيانياً ، بالتعويض ، وبالجمع. ومع ذلك ، تصبح الأنظمة المكونة من ثلاث معادلات معقدة للغاية بحيث يتم حلها بيانياً ، لذا يفضل عادةً استخدام طرق أخرى.

جبري

بالنسبة للتدريبات من 6 إلى 10 ، حدد ما إذا كان العدد الثلاثي المرتب هو حل نظام المعادلات.

6) ( start {align *} 2x-6y + 6z & = -12 x + 4y + 5z & = -1 -x + 2y + 3z & = -1 end {align *} ؛ ؛ text {and} ؛ (0،1، -1) )

7) ( begin {align *} 6x-y + 3z & = 6 3x + 5y + 2z & = 0 x + y & = 0 end {align *} ؛ ؛ text {and } ؛ (3 ، -3 ، -5) )

إجابه

رقم

8) ( begin {align *} 6x-7y + z & = 2 -x-y + 3z & = 4 2x + yz & = 1 end {align *} ؛ ؛ ؛ text { و} ؛ (4،2 ، -6) )

9) ( begin {align *} xy & = 0 xz & = 5 x-y + z & = -1 end {align *} ؛ ؛ text {and} ؛ (4 ، 4 ، -1) )

إجابه

نعم

10) ( start {align *} -x-y + 2z & = 3 5x + 8y-3z & = 4 -x + 3y-5z & = -5 end {align *} ؛ ؛ text {and} ؛ (4،1، -7) )

بالنسبة للتمارين 11-16 ، حل كل نظام بالتعويض.

11) ( start {align *} 3x-4y + 2z & = -15 2x + 4y + z & = 16 2x + 3y + 5z & = 20 end {align *} )

إجابه

((-1,4,2))

12) ( start {align *} 5x-2y + 3z & = 20 2x-4y-3z & = -9 x + 6y-8z & = 21 end {align *} )

13) ( start {align *} 5x + 2y + 4z & = 9 -3x + 2y + z & = 10 4x-3y + 5z & = -3 end {align *} )

إجابه

( left (- dfrac {85} {107}، dfrac {312} {107}، dfrac {191} {107} right) )

14) ( start {align *} 4x-3y + 5z & = 31 -x + 2y + 4z & = 20 x + 5y-2z & = -29 end {align *} )

15) ( start {align *} 5x-2y + 3z & = 4 -4x + 6y-7z & = -1 3x + 2y-z & = 4 end {align *} )

إجابه

( left (1، dfrac {1} {2}، 0 right) )

16) ( start {align *} 4x + 6y + 9z & = 4 -5x + 2y-6z & = 3 7x-4y + 3z & = -3 end {align *} )

للتدريبات 17-45 ، حل كل نظام من خلال القضاء على Gaussian.

17) ( start {align *} 2x-y + 3z & = 17 -5x + 4y-2z & = -46 2y + 5z & = -7 end {align *} )

إجابه

((4,-6,1))

18) ( start {align *} 5x-6y + 3z & = 50 -x + 4y & = 10 2x-z & = 10 end {align *} )

19) ( start {align *} 2x + 3y-6z & = 1 -4x-6y + 12z & = -2 x + 2y + 5z & = 10 end {align *} )

إجابه

( left (x، dfrac {1} {27} (65-16x)، dfrac {x + 28} {27} right) )

20) ( start {align *} 4x + 6y-2z & = 8 6x + 9y-3z & = 12 -2x-3y + z & = -4 end {align *} )

21) ( start {align *} 2x + 3y-4z & = 5 -3x + 2y + z & = 11 -x + 5y + 3z & = 4 end {align *} )

إجابه

( left (- dfrac {45} {13}، dfrac {17} {13}، - 2 right) )

22) ( start {align *} 10x + 2y-14z & = 8 -x-2y-4z & = -1 -12x-6y + 6z & = -12 end {align *} )

23) ( start {align *} x + y + z & = 14 2y + 3z & = -14 -16y-24z & = -112 end {align *} )

إجابه

لا توجد حلول

24) ( start {align *} 5x-3y + 4z & = -1 -4x + 2y-3z & = 0 -x + 5y + 7z & = -11 end {align *} )

25) ( start {align *} x + y + z & = 0 2x-y + 3z & = 0 x-z & = 0 end {align *} )

إجابه

((0,0,0))

26) ( start {align *} 3x + 2y-5z & = 6 5x-4y + 3z & = -12 4x + 5y-2z & = 15 end {align *} )

27) ( start {align *} x + y + z & = 0 2x-y + 3z & = 0 x-z & = 1 end {align *} )

إجابه

( left ( dfrac {4} {7} ، - dfrac {1} {7} ، - dfrac {3} {7} right) )

28) ( begin {align *} 3x- dfrac {1} {2} yz & = - dfrac {1} {2} 4x + z & = 3 -x + dfrac {3} { 2} y & = dfrac {5} {2} end {align *} )

29) ( begin {align *} 6x-5y + 6z & = 38 dfrac {1} {5} x- dfrac {1} {2} y + dfrac {3} {5} z & = 1 -4x- dfrac {3} {2} yz & = -74 end {align *} )

إجابه

((7,20,16))

30) ( begin {align *} dfrac {1} {2} x- dfrac {1} {5} y + dfrac {2} {5} z & = - dfrac {13} {10} dfrac {1} {4} x- dfrac {2} {5} y- dfrac {1} {5} z & = - dfrac {7} {20} - dfrac {1} { 2} x- dfrac {3} {4} y- dfrac {1} {2} z & = - dfrac {5} {4} end {align *} )

31) ( begin {align *} - dfrac {1} {3} x- dfrac {1} {2} y- dfrac {1} {4} z & = dfrac {3} {4} - dfrac {1} {2} x- dfrac {1} {4} y- dfrac {1} {2} z & = 2 - dfrac {1} {4} x- dfrac {3} {4} y- dfrac {1} {2} z & = - dfrac {1} {2} end {align *} )

إجابه

((-6,2,1))

32) ( begin {align *} dfrac {1} {2} x- dfrac {1} {4} y + dfrac {3} {4} z & = 0 dfrac {1} {4 } x- dfrac {1} {10} y + dfrac {2} {5} z & = -2 dfrac {1} {8} x + dfrac {1} {5} y- dfrac {1 } {8} z & = 2 end {align *} )

33) ( begin {align *} dfrac {4} {5} x- dfrac {7} {8} y + dfrac {1} {2} z & = 1 - dfrac {4} { 5} x- dfrac {3} {4} y + dfrac {1} {3} z & = -8 - dfrac {2} {5} x- dfrac {7} {8} y + dfrac {1} {2} z & = -5 end {align *} )

إجابه

((5,12,15))

34) ( begin {align *} - dfrac {1} {3} x- dfrac {1} {8} y + dfrac {1} {6} z & = - dfrac {4} {3} - dfrac {2} {3} x- dfrac {7} {8} y + dfrac {1} {3} z & = - dfrac {23} {3} - dfrac {1} {3} x- dfrac {5} {8} y + dfrac {5} {6} z & = 0 end {align *} )

35) ( begin {align *} - dfrac {1} {4} x- dfrac {5} {4} y + dfrac {5} {2} z & = -5 - dfrac {1 } {2} x- dfrac {5} {3} y + dfrac {5} {4} z & = dfrac {55} {12} - dfrac {1} {3} x- dfrac { 1} {3} y + dfrac {1} {3} z & = dfrac {5} {3} end {align *} )

إجابه

((-5,-5,-5))

36) ( begin {align *} dfrac {1} {40} x + dfrac {1} {60} y + dfrac {1} {80} z & = dfrac {1} {100} - dfrac {1} {2} x- dfrac {1} {3} y- dfrac {1} {4} z & = - dfrac {1} {5} dfrac {3} {8} x + dfrac {3} {12} y + dfrac {3} {16} z & = dfrac {3} {20} end {align *} )

37) ( start {align *} 0.1x-0.2y + 0.3z & = 2 0.5x-0.1y + 0.4z & = 8 0.7x-0.2y + 0.3z & = 8 end { محاذاة *} )

إجابه

((10,10,10))

38) ( start {align *} 0.2x + 0.1y-0.3z & = 0.2 0.8x + 0.4y-1.2z & = 0.1 1.6x + 0.8y-2.4z & = 0.2 end { محاذاة *} )

39) ( start {align *} 1.1x + 0.7y-3.1z & = -1.79 2.1x + 0.5y-1.6z & = -0.13 0.5x + 0.4y-0.5z & = -0.07 نهاية {محاذاة *} )

إجابه

( left ( dfrac {1} {2} ، dfrac {1} {5} ، dfrac {4} {5} right) )

40) ( start {align *} 0.5x-0.5y + 0.5z & = 10 0.2x-0.2y + 0.2z & = 4 0.1x-0.1y + 0.1z & = 2 end { محاذاة *} )

41) ( start {align *} 0.1x + 0.2y + 0.3z & = 0.37 0.1x-0.2y-0.3z & = -0.27 0.5x-0.1y-0.3z & = -0.03 نهاية {محاذاة *} )

إجابه

( left ( dfrac {1} {2} ، dfrac {2} {5} ، dfrac {4} {5} right) )

42) ( start {align *} 0.5x-0.5y-0.3z & = 0.13 0.4x-0.1y-0.3z & = 0.11 0.2x-0.8y-0.9z & = -0.32 end {محاذاة *} )

43) ( start {align *} 0.5x + 0.2y-0.3z & = 1 0.4x-0.6y + 0.7z & = 0.8 0.3x-0.1y-0.9z & = 0.6 end { محاذاة *} )

إجابه

((2,0,0))

44) ( start {align *} 0.3x + 0.3y + 0.5z & = 0.6 0.4x + 0.4y + 0.4z & = 1.8 0.4x + 0.2y + 0.1z & = 1.6 end { محاذاة *} )

45) ( start {align *} 0.8x + 0.8y + 0.8z & = 2.4 0.3x-0.5y + 0.2z & = 0 0.1x + 0.2y + 0.3z & = 0.6 end { محاذاة *} )

إجابه

((1,1,1))

ملحقات

بالنسبة للتمارين 46-50 ، حل نظام (x ، y ، ) و (z ).

46) ( start {align *} x + y + z & = 3 dfrac {x-1} {2} + dfrac {y-3} {2} + dfrac {z + 1} { 2} & = 0 dfrac {x-2} {3} + dfrac {y + 4} {3} + dfrac {z-3} {3} & = dfrac {2} {3} نهاية {محاذاة *} )

47) ( begin {align *} 5x-3y- dfrac {z + 1} {2} & = dfrac {1} {2} 6x + dfrac {y-9} {2} + 2z & = -3 dfrac {x + 8} {2} -4y + z & = 4 end {align *} )

إجابه

( left ( dfrac {128} {557}، dfrac {23} {557}، dfrac {428} {557} right) )

48) ( begin {align *} dfrac {x + 4} {7} - dfrac {y-1} {6} + dfrac {z + 2} {3} & = 1 dfrac { x-2} {4} + dfrac {y + 1} {8} - dfrac {z + 8} {2} & = 0 dfrac {x + 6} {3} - dfrac {y + 2} {3} + dfrac {z + 4} {2} & = 3 end {align *} )

49) ( begin {align *} dfrac {x-3} {6} + dfrac {y + 2} {2} - dfrac {z-3} {3} & = 2 dfrac { x + 2} {4} + dfrac {y-5} {2} + dfrac {z + 4} {2} & = 1 dfrac {x + 6} {2} - dfrac {y- 3} {3} + z + 1 & = 9 end {align *} )

إجابه

((6,-1,0))

50) ( begin {align *} dfrac {x-1} {3} + dfrac {y + 3} {4} + dfrac {z + 2} {6} & = 1 4x + 3y -2z & = 11 0.02x + 0.015y-0.01z & = 0.065 end {align *} )

تطبيقات العالم الحقيقي

51) يصل مجموع ثلاثة أعداد زوجية إلى (108 ). الأصغر هو نصف الأكبر والرقم الأوسط ( dfrac {3} {4} ) أكبر. ما هي الأرقام الثلاثة؟

إجابه

(24, 36, 48)

52) يصل مجموع ثلاثة أرقام إلى (147 ). أصغر عدد هو نصف العدد الأوسط ، وهو نصف العدد الأكبر. ما هي الأرقام الثلاثة؟

53) في لم شمل الأسرة ، كان هناك أقارب بالدم فقط ، يتكونون من الأطفال والآباء والأجداد ، في الحضور. كان هناك (400 ) شخص في المجموع. كان عدد الآباء ضعف عدد الأجداد ، و 50 من الأبناء أكثر من الآباء. كم عدد الأطفال والآباء والأجداد الذين حضروا؟

إجابه

(70 ) أجداد (140 ) أبوين (190 ) أولاد

54) مأوى للحيوانات ويوجد به إجمالي (350 ) حيوان مكون من قطط وكلاب وأرانب. إذا كان عدد الأرانب (5 ) أقل من نصف عدد القطط ، وكان عدد القطط (20 ) أكثر من الكلاب ، فكم عدد كل حيوان في الملجأ؟

55) عرضت رفيقتك في السكن ، سارة ، شراء مواد البقالة لك ولزميلك في السكن. إجمالي الفاتورة كان ( 82 دولار ). لقد نسيت حفظ الإيصالات الفردية ، لكنها تذكرت أن مشترياتك من البقالة كانت ( 0.05 دولارًا ) أرخص من نصف مشترياتها ، وأن مشتريات زميلتك في السكن كانت ( $ 2.10 ) أكثر من البقالة. كم كان كل نصيب لك من البقالة؟

إجابه

كانت مشاركتك ( 19.95 دولارًا ) ، وكانت حصة سارة ( 40 دولارًا ) ، وكانت حصة شريكك الآخر في الغرفة ( 22.05 دولارًا ).

56) زميلك في السكن ، جون ، عرض شراء لوازم منزلية لك ولزميلك الآخر في السكن. أنت تعيش بالقرب من حدود ثلاث ولايات ، لكل منها ضريبة مبيعات مختلفة. بلغ إجمالي المبلغ الذي تم إنفاقه ( 100.75 دولارًا ). تم شراء المستلزمات الخاصة بك بضريبة (5 ٪ ) وضريبة John مع ضريبة (8 ٪ ) وضريبة شريكك الثالث في السكن (9 ٪ ) ضريبة المبيعات. إجمالي المبلغ الذي تم إنفاقه بدون ضرائب هو ( $ 93.50 ). إذا كانت المستلزمات الخاصة بك قبل الضريبة ( $ 1 ) أكثر من نصف ما كان يوفره شريكك الثالث في السكن قبل الضريبة ، فما المبلغ الذي أنفقه كل منكما؟ أعط إجابتك سواء مع الضرائب أو بدونها.

57) ثلاثة من زملاء العمل يعملون لدى نفس صاحب العمل. وظائفهم هي مدير المستودعات ومدير المكتب وسائق الشاحنة. مجموع الراتب السنوي لمدير المستودع ومدير المكتب هو ( 82000 $ ). يكسب مدير المكتب ( 4000 دولار ) أكثر من سائق الشاحنة سنويًا. إجمالي الراتب السنوي لمدير المستودع وسائق الشاحنة ( 78 ألف دولار ). ما هو الراتب السنوي لكل زميل في العمل؟

إجابه

هناك عدد لا حصر له من الحلول ؛ نحتاج إلى مزيد من المعلومات

58) في الكرنفال ، تم أخذ ( 2914.25 $ ) من الإيصالات في نهاية اليوم. كانت تكلفة تذكرة الطفل ( 20.50 دولارًا أمريكيًا ) ، وكانت تكلفة تذكرة الشخص البالغ ( 29.75 دولارًا أمريكيًا ) ، وتذكرة كبار السن ( 15.25 دولارًا ). كان عدد كبار السن من بين الحضور ضعف عدد البالغين ، و (20 ) عدد الأطفال أكثر من كبار السن. كم عدد تذاكر الأطفال والبالغين وكبار السن التي تم بيعها؟

59) فرقة محلية تبيع لحفلتها الموسيقية. يبيعون جميع (1،175 ) التذاكر بمحفظة إجمالية تبلغ ( 28112.50 دولارًا ). تم تسعير التذاكر بـ ( 20 دولارًا ) لتذاكر الطلاب ، ( 22.50 دولارًا ) للأطفال ، و ( 29 دولارًا ) لتذاكر البالغين. إذا باعت الفرقة ضعف عدد تذاكر الأطفال ، فكم عدد كل نوع تم بيعه؟

إجابه

(500 ) طالب ، (225 ) طفل ، (450 ) بالغ

60) في الحقيبة ، الطفل لديه (325 ) قطعة نقدية قيمتها ( 19.50 دولار ). كانت هناك ثلاثة أنواع من العملات المعدنية: البنسات والنيكل والدايمات. إذا كانت الحقيبة تحتوي على نفس عدد النيكل مثل الدايمات ، فكم عدد كل نوع من العملات المعدنية في الحقيبة؟

61) في العام الماضي ، في وكالة Haven’s Pond Car ، بالنسبة لطراز معين من BMW و Jeep و Toyota ، يمكن للمرء شراء جميع السيارات الثلاث بإجمالي ( 140،000 دولار ). هذا العام ، وبسبب التضخم ، ستكلف نفس السيارات ( 151،830 دولارًا ). ارتفعت تكلفة سيارة BMW بنسبة (8 ٪ ) ، وسيارة الجيب (5 ٪ ) ، وسيارة تويوتا بنسبة (12 ٪ ). إذا كان سعر سيارة جيب العام الماضي ( 7000 دولار ) أقل من سعر بي إم دبليو العام الماضي ، فما هو سعر كل من السيارات الثلاث العام الماضي؟

إجابه

بي ام دبليو كانت ($ 49،636 ) ، الجيب كانت ($ 42،636 ) ، وتويوتا كانت ($ 47،727 ).

62) استفاد خريج جامعي حديث من تعليمه في إدارة الأعمال واستثمر في ثلاثة استثمارات فور تخرجه. استثمر ( 80500 دولار ) في ثلاثة حسابات ، أحدهما دفع (4 ٪ ) فائدة بسيطة ، والآخر دفع (3 dfrac {1} {8} ٪ ) فائدة بسيطة ، والآخر دفع (2 dfrac {1} {2} ٪ ) فائدة بسيطة. حصل على ( 2670 $ ) فائدة في نهاية عام واحد. إذا كان مبلغ الأموال المستثمرة في الحساب الثاني أربعة أضعاف المبلغ المستثمر في الحساب الثالث ، فما المبلغ الذي تم استثماره في كل حساب؟

63) انت ترث مليون دولار. تستثمر كل ذلك في ثلاثة حسابات لمدة عام واحد. الحساب الأول يدفع (3 ٪ ) مركب سنويًا ، الحساب الثاني يدفع (4 ٪ ) مركبًا سنويًا ، والحساب الثالث يدفع (2 ٪ ) مركبًا سنويًا. بعد عام واحد ، تكسب ( 34000 دولار ) فائدة. إذا استثمرت أربعة أضعاف الأموال في الحساب الذي يدفع (3 ٪ ) مقارنة بـ (2 ٪ ) ، فما المبلغ الذي استثمرته في كل حساب؟

إجابه

( 400000 دولار ) في الحساب الذي يدفع (3 ٪ ) فائدة ، ( 500000 دولار ) في الحساب الذي يدفع (4 ٪ ) فائدة ، و ( 100000 دولار ) في الحساب التي تدفع (2 ٪ ) فائدة.

64) ترث مائة ألف دولار. الحساب الأول يدفع (4 ٪ ) مركب سنويًا ، الحساب الثاني يدفع (3 ٪ ) مركب سنويًا ، والحساب الثالث يدفع (2 ٪ ) يتضاعف سنويًا. بعد عام واحد ، تكسب ( 3650 دولارًا ) فائدة. إذا استثمرت خمسة أضعاف أموالك في الحساب الذي يدفع (4 ٪ ) مقارنة بـ (3 ٪ ) ، فما المبلغ الذي استثمرته في كل حساب؟

65) الدول الثلاث الأولى في استهلاك النفط في سنة معينة هي كالتالي: الولايات المتحدة ، اليابان ، والصين. بملايين البراميل يوميا ، استهلكت الدول الثلاث الكبرى (39.8 ٪ ) من النفط المستهلك في العالم. استهلكت الولايات المتحدة (0.7 ٪ ) أكثر من أربعة أضعاف استهلاك الصين. استهلكت الولايات المتحدة (5 ٪ ) أكثر من ثلاثة أضعاف استهلاك اليابان. ما هي النسبة المئوية لاستهلاك النفط العالمي الذي استهلكته الولايات المتحدة واليابان والصين؟

إجابه

استهلكت الولايات المتحدة (26.3 ٪ ) واليابان (7.1 ٪ ) والصين (6.4 ٪ ) من نفط العالم.

66) الدول الثلاث الأولى في إنتاج النفط في نفس العام هي المملكة العربية السعودية والولايات المتحدة وروسيا. في ملايين البراميل يوميًا ، أنتجت البلدان الثلاثة الأولى (31.4 ٪ ) من النفط المنتج في العالم. المملكة العربية السعودية والولايات المتحدة مجتمعين لـ (22.1 ٪ ) من إنتاج العالم ، وأنتجت المملكة العربية السعودية (2 ٪ ) نفطًا أكثر من روسيا. ما هي نسبة إنتاج النفط العالمي الذي أنتجته المملكة العربية السعودية والولايات المتحدة وروسيا؟

67) كانت أكبر ثلاثة مصادر لواردات النفط للولايات المتحدة في نفس العام المملكة العربية السعودية والمكسيك وكندا. استحوذت الدول الثلاث الكبرى على (47 ٪ ) من واردات النفط. استوردت الولايات المتحدة (1.8 ٪ ) من المملكة العربية السعودية أكثر مما استوردته من المكسيك ، و (1.7٪ ) من المملكة العربية السعودية أكثر مما استوردته من كندا. ما هي نسبة واردات الولايات المتحدة من النفط كانت من هذه البلدان الثلاثة؟

إجابه

استوردت السعودية (16.8 ٪ ) وكندا مستوردة (15.1 ٪ ) والمكسيك (15.0 ٪ )

68) أكبر ثلاثة منتجين للنفط في الولايات المتحدة في عام معين هم خليج المكسيك وتكساس وألاسكا. كانت المناطق الثلاث مسؤولة عن (64 ٪ ) من إنتاج الولايات المتحدة من النفط. خليج المكسيك وتكساس مجتمعين لـ (47 ٪ ) من إنتاج النفط. أنتجت تكساس (3٪) أكثر من ألاسكا. ما هي نسبة إنتاج النفط في الولايات المتحدة جاء من هذه المناطق؟

69) ذات مرة ، في الولايات المتحدة ، كانت (398 ) نوعًا من الحيوانات على قائمة الأنواع المهددة بالانقراض. كانت المجموعات الأولى هي الثدييات والطيور والأسماك والتي تشكل (55 ٪ ) من الأنواع المهددة بالانقراض. شكلت الطيور (0.7 ٪ ) أكثر من الأسماك ، وكانت الأسماك تمثل (1.5 ٪ ) أكثر من الثدييات. ما هي نسبة الأنواع المهددة بالانقراض التي أتت من الثدييات والطيور والأسماك؟

إجابه

كانت الطيور (19.3 ٪ ) والأسماك (18.6 ٪ ) والثدييات (17.1 ٪ ) من الأنواع المهددة بالانقراض

70) يمكن تقسيم استهلاك اللحوم في الولايات المتحدة إلى ثلاث فئات: اللحوم الحمراء والدواجن والأسماك. إذا كانت الأسماك تشكل (4 ٪ ) أقل من ربع استهلاك الدواجن ، وكان استهلاك اللحوم الحمراء (18.2 ٪ ) أعلى من استهلاك الدواجن ، فما هي نسب استهلاك اللحوم؟

9.3: أنظمة المعادلات غير الخطية والمتباينات: متغيرين

شفهي

1) اشرح ما إذا كان نظام من معادلتين غير خطيتين يمكن أن يكون له حلين بالضبط. ماذا عن الثلاثة بالضبط؟ إن لم يكن ، اشرح لماذا لا إذا كان الأمر كذلك ، فقدم مثالاً على مثل هذا النظام ، في شكل رسم بياني ، واشرح سبب تقديم اختيارك لإجابتين أو ثلاث إجابات.

إجابه

يمكن أن يمثل النظام غير الخطي دائرتين تتداخلان وتتقاطعان في موقعين ، ومن ثم يوجد حلان. يمكن أن يكون النظام غير الخطي ممثلاً للقطع المكافئ والدائرة ، حيث يلتقي رأس القطع المكافئ بالدائرة وتتقاطع الفروع أيضًا مع الدائرة ، ومن ثم هناك ثلاثة حلول.

2) عند رسم متباينة بيانية ، اشرح لماذا نحتاج فقط إلى اختبار نقطة واحدة لتحديد ما إذا كانت المنطقة بأكملها هي الحل؟

3) عندما ترسم نظامًا من المتباينات ، هل ستكون هناك دائمًا منطقة مجدية؟ إذا كان الأمر كذلك ، اشرح السبب. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فاذكر مثالاً على رسم بياني للمتباينات التي لا تحتوي على منطقة مجدية. لماذا ليس لها منطقة مجدية؟

إجابه

لا ، ليس هناك حاجة لوجود منطقة ذات جدوى. فكر في نظام يحده خطان متوازيان. تمثل إحدى المتباينات المنطقة فوق الخط العلوي ؛ يمثل الآخر المنطقة الواقعة أسفل الخط السفلي. في هذه الحالة ، لا توجد نقاط في المستوى في كلا المنطقتين ؛ ومن ثم لا توجد منطقة مجدية.

4) إذا قمت برسم بياني لدالة الإيرادات والتكلفة ، فشرح كيفية تحديد المناطق التي يوجد بها ربح.

5) إذا قمت بإجراء تحليل التعادل وكان هناك أكثر من حل واحد ، فشرح كيف يمكنك تحديد قيم x التي تعتبر ربحًا وأيها ليست كذلك.

إجابه

اختر أي رقم بين كل حل وقم بالتوصيل بـ (C (x) ) و (R (x) ). إذا كان (C (x)

جبري

بالنسبة للتمارين من 6 إلى 10 ، حل نظام المعادلات غير الخطية باستخدام التعويض.

6) ( start {align *} x + y & = 4 x ^ 2 + y ^ 2 & = 9 end {align *} )

7) ( start {align *} y & = x-3 x ^ 2 + y ^ 2 & = 9 end {align *} )

إجابه

((0,-3)), ((3,0))

8) ( begin {align *} y & = x x ^ 2 + y ^ 2 & = 9 end {align *} )

9) ( begin {align *} y & = -x x ^ 2 + y ^ 2 & = 9 end {align *} )

إجابه

( left (- dfrac {3 sqrt {2}} {2} ، dfrac {3 sqrt {2}} {2} right) ) ، ( left ( dfrac {3 sqrt {2}} {2} ، - dfrac {3 sqrt {2}} {2} right) )

10) ( begin {align *} x & = 2 x ^ 2 - y ^ 2 & = 9 end {align *} )

بالنسبة للتمارين 11-15 ، حل نظام المعادلات غير الخطية باستخدام الحذف.

11) ( start {align *} 4x ^ 2 - 9y ^ 2 & = 36 4x ^ 2 + 9y ^ 2 & = 36 end {align *} )

إجابه

((-3,0)), ((3,0))

12) ( start {align *} x ^ 2 + y ^ 2 & = 25 x ^ 2 - y ^ 2 & = 1 end {align *} )

13) ( start {align *} 2x ^ 2 + 4y ^ 2 & = 4 2x ^ 2 - 4y ^ 2 & = 25x-10 end {align *} )

إجابه

( left ( dfrac {1} {4} ، - dfrac { sqrt {62}} {8} right) ) ، ( left ( dfrac {1} {4} ، dfrac { sqrt {62}} {8} right) )

14) ( start {align *} y ^ 2 - x ^ 2 & = 9 3x ^ 2 + 2y ^ 2 & = 8 end {align *} )

15) ( begin {align *} x ^ 2 + y ^ 2 + dfrac {1} {16} & = 2500 y & = 2x ^ 2 end {align *} )

إجابه

( left (- dfrac { sqrt {398}} {4} ، dfrac {199} {4} right) ) ، ( left ( dfrac { sqrt {398}} {4} ، dfrac {199} {4} right) )

بالنسبة للتمارين من 16 إلى 23 ، استخدم أي طريقة لحل نظام المعادلات غير الخطية.

16) ( begin {align *} -2x ^ 2 + y & = -5 6x-y & = 9 end {align *} )

17) ( begin {align *} -x ^ 2 + y & = 2 -x + y & = 2 end {align *} )

إجابه

((0,2)), ((1,3))

18) ( start {align *} x ^ 2 + y ^ 2 & = 1 y & = 20x ^ 2-1 end {align *} )

19) ( start {align *} x ^ 2 + y ^ 2 & = 1 y & = -x ^ 2 end {align *} )

إجابه

( left (- sqrt { dfrac {1} {2} ( sqrt {5} -1)} ، dfrac {1} {2} left (1- sqrt {5} right) يمين) ) ، ( يسار ( sqrt { dfrac {1} {2} ( sqrt {5} -1)} ، dfrac {1} {2} left (1- sqrt {5} صحيح صحيح ))

20) ( begin {align *} 2x ^ 3-x ^ 2 & = y y & = dfrac {1} {2} -x end {align *} )

21) ( start {align *} 9x ^ 2 + 25y ^ 2 & = 225 (x-6) ^ 2 + y ^ 2 & = 1 end {align *} )

إجابه

((5,0))

22) ( begin {align *} x ^ 4-x ^ 2 & = y x ^ 2 + y & = 0 end {align *} )

23) ( begin {align *} 2x ^ 3-x ^ 2 & = y x ^ 2 + y & = 0 end {align *} )

إجابه

((0,0))

بالنسبة للتمارين 24-38 ، استخدم أي طريقة لحل النظام غير الخطي.

24) ( start {align *} x ^ 2 + y ^ 2 & = 9 y & = 3-x ^ 2 end {align *} )

25) ( begin {align *} x ^ 2-y ^ 2 & = 9 x & = 3 end {align *} )

إجابه

((3,0))

26) ( begin {align *} x ^ 2-y ^ 2 & = 9 y & = 3 end {align *} )

27) ( begin {align *} x ^ 2-y ^ 2 & = 9 x-y & = 0 end {align *} )

إجابه

لا توجد حلول

28) ( begin {align *} -x ^ 2 + y & = 2 -4x + y & = -1 end {align *} )

29) ( begin {align *} -x ^ 2 + y & = 2 2y & = -x end {align *} )

إجابه

لا توجد حلول

30) ( start {align *} x ^ 2 + y ^ 2 & = 25 x ^ 2-y ^ 2 & = 36 end {align *} )

31) ( begin {align *} x ^ 2 + y ^ 2 & = 1 y ^ 2 & = x ^ 2 end {align *} )

إجابه

( left (- dfrac { sqrt {2}} {2} ، - dfrac { sqrt {2}} {2} right) ) ، ( left (- dfrac { sqrt { 2}} {2} ، dfrac { sqrt {2}} {2} right) ) ، ( left ( dfrac { sqrt {2}} {2} ، - dfrac { sqrt { 2}} {2} right) ) ، ( left ( dfrac { sqrt {2}} {2} ، dfrac { sqrt {2}} {2} right) )

32) ( begin {align *} 16x ^ 2-9y ^ 2 + 144 & = 0 y ^ 2 + x ^ 2 & = 16 end {align *} )

33) ( begin {align *} 3x ^ 2-y ^ 2 & = 12 (x-1) ^ 2 + y ^ 2 & = 1 end {align *} )

إجابه

((2,0))

34) ( begin {align *} 3x ^ 2-y ^ 2 & = 12 (x-1) ^ 2 + y ^ 2 & = 4 end {align *} )

35) ( begin {align *} 3x ^ 2-y ^ 2 & = 12 x ^ 2 + y ^ 2 & = 16 end {align *} )

إجابه

((- sqrt {7}، - 3) )، ((- sqrt {7}، 3) )، (( sqrt {7}، - 3) )، (( الجذر التربيعي {7}، 3) )

36) ( begin {align *} x ^ 2-y ^ 2-6x-4y-11 & = 0 -x ^ 2 + y ^ 2 & = 5 end {align *} )

37) ( start {align *} x ^ 2 + y ^ 2-6y & = 7 x ^ 2 + y & = 1 end {align *} )

إجابه

( left (- sqrt { dfrac {1} {2} ( sqrt {73} -5)} ، dfrac {1} {2} left (7- sqrt {73} right) يمين) ) ، ( left ( sqrt { dfrac {1} {2} ( sqrt {73} -5)} ، dfrac {1} {2} left (7- sqrt {73} صحيح صحيح ))

38) ( begin {align *} x ^ 2 + y ^ 2 & = 6 xy & = 1 end {align *} )

رسومية

للتمارين 39-40 ، ارسم المتباينة بيانيًا.

39) (س ^ 2 + ص <9 )

إجابه

40) (س ^ 2 + ص ^ 2 <4 )

للتمارين 41-45 ، ارسم نظام المتباينات بيانيًا. قم بتسمية جميع نقاط التقاطع.

41) ( begin {align *} x ^ 2 + y & <1 y &> 2x end {align *} )

إجابه

42) ( begin {align *} x ^ 2 + y & <- 5 y &> 5x + 10 end {align *} )

43) ( start {align *} x ^ 2 + y ^ 2 & <25 3x ^ 2 - y ^ 2 &> 12 end {align *} )

إجابه

44) ( begin {align *} x ^ 2 - y ^ 2 &> - 4 x ^ 2 + y ^ 2 & <12 end {align *} )

45) ( begin {align *} x ^ 2 + 3y ^ 2 &> 16 3x ^ 2 - y ^ 2 & <1 end {align *} )

إجابه

ملحقات

للتمارين 46-47 ، ارسم المتباينة بيانيًا.

46) ( begin {align *} y & geq e ^ x y & leq ln (x) +5 end {align *} )

47) ( start {align *} y & leq - log (x) y & leq e ^ x end {align *} )

إجابه

بالنسبة للتمارين 48-52 ، أوجد حلول المعادلات غير الخطية ذات المتغيرين.

48) ( begin {align *} dfrac {4} {x ^ 2} + dfrac {1} {y ^ 2} & = 24 dfrac {5} {x ^ 2} - dfrac { 2} {y ^ 2} + 4 & = 0 end {align *} )

49) ( begin {align *} dfrac {6} {x ^ 2} - dfrac {1} {y ^ 2} & = 8 dfrac {1} {x ^ 2} - dfrac { 6} {y ^ 2} & = dfrac {1} {8} end {align *} )

إجابه

( left (-2 sqrt { dfrac {70} {383}} ، - 2 sqrt { dfrac {35} {29}} right) ) ، ( left (-2 sqrt { dfrac {70} {383}} ، 2 sqrt { dfrac {35} {29}} right) ) ، ( left (2 sqrt { dfrac {70} {383}} ، - 2 sqrt { dfrac {35} {29}} right) ) ، ( left (2 sqrt { dfrac {70} {383}} ، 2 sqrt { dfrac {35} {29}} حق ))

50) ( start {align *} x ^ 2 - xy + y ^ 2 - 2 & = 0 x + 3y & = 4 end {align *} )

51) ( begin {align *} x ^ 2 - xy - 2y ^ 2-6 & = 0 x ^ 2 + y ^ 2 & = 1 end {align *} )

إجابه

لا يوجد حل موجود

52) ( start {align *} x ^ 2 + 4xy - 2y ^ 2-6 & = 0 x & = y + 2 end {align *} )

تكنولوجيا

بالنسبة للتمارين 53-54 ، حل نظام المتباينات. استخدم آلة حاسبة لرسم بياني للنظام لتأكيد الإجابة.

53) ( begin {align *} xy & <1 y &> sqrt {x} end {align *} )

إجابه

(x = 0 ) و (y> 0 ) و (0

54) ( begin {align *} x ^ 2 + y & <3 y &> 2x end {align *} )

تطبيقات العالم الحقيقي

بالنسبة للتدريبات 55- ، أنشئ نظامًا من المعادلات غير الخطية لوصف السلوك المحدد ، ثم قم بحل الحلول المطلوبة.

55) جمع رقمين يصل إلى (300 ). رقم واحد هو ضعف مربع الرقم الآخر. ما هي الأرقام؟

إجابه

(12,288)

56) تضاف مربعات عددين إلى (360 ). الرقم الثاني هو نصف قيمة تربيع الرقم الأول. ما هي الأرقام؟

57) اكتشفت شركة كمبيوتر محمول وظائف التكلفة والإيرادات لكل يوم: (C (x) = 3x ^ 2-10x + 200 ) و (R (x) = - 2x ^ 2 + 100x + 50 ) . إذا كانوا يريدون تحقيق ربح ، فما هو نطاق أجهزة الكمبيوتر المحمولة التي ينبغي عليهم إنتاجها يوميًا؟ قم بالتقريب إلى أقرب رقم سيحقق ربحًا.

إجابه

(2 ) - (20 ) أجهزة كمبيوتر

58) لدى شركة الهاتف الخليوي وظائف التكلفة والإيرادات التالية: (C (x) = 8x ^ 2-600x + 21،500 ) و (R (x) = - 3x ^ 2 + 480x ). ما هو نطاق الهواتف المحمولة التي ينبغي عليهم إنتاجها كل يوم حتى يكون هناك ربح؟ قم بالتقريب إلى أقرب رقم يحقق ربحًا.

9.4: الكسور الجزئية

شفهي

1) هل يمكن أن يتحلل أي حاصل من كثيرات الحدود إلى كسرين جزئيين على الأقل؟ إذا كان الأمر كذلك ، اشرح لماذا ، وإذا لم يكن الأمر كذلك ، فقم بإعطاء مثال على هذا الكسر.

إجابه

لا ، لا يمكن أن يتحلل حاصل قسمة كثيرات الحدود إلا إذا أمكن تحليل المقام إلى عوامل. على سبيل المثال ، لا يمكن تحليل ( dfrac {1} {x ^ 2 + 1} ) لأنه لا يمكن تحليل المقام.

2) هل يمكن أن تشرح لماذا يعتبر التحلل الجزئي فريدًا؟ (تلميح: فكر في الأمر كنظام معادلات.)

3) هل يمكنك شرح كيفية التحقق من تحلل الكسر الجزئي بيانياً؟

إجابه

ارسم كلا الجانبين وتأكد من تساويهما.

4) أنت غير متأكد مما إذا قمت بتحليل الكسر الجزئي بشكل صحيح. اشرح كيف يمكنك إعادة التحقق من إجابتك.

5) بمجرد أن يكون لديك نظام معادلات تم إنشاؤه بواسطة التحلل الجزئي للكسر ، هل يمكنك شرح طريقة أخرى لحلها؟ على سبيل المثال ، إذا كان لديك ( dfrac {7x + 13} {3x ^ 2 + 8x + 15} = dfrac {A} {x + 1} + dfrac {B} {3x + 5} ) سنبسط في النهاية إلى (7x + 13 = A (3x + 5) + B (x + 1) ). اشرح كيف يمكنك بذكاء اختيار (x ) - قيمة ستزيل إما (A ) أو (B ) وتحل لـ (A ) و (B ).

إجابه

إذا اخترنا (س = -1 ),ثم يختفي المصطلح (B ) ، مما يتيح لنا معرفة ذلك على الفور (A = 3 ). يمكننا بدلاً من ذلك التعويض (x = - dfrac {5} {3} ),يعطينا أ (ب ) - قيمة


أوراق عمل عدم المساواة

هل تبحث عن أوراق عمل مجانية للرياضيات تساعد طلابك على تطوير مهارات الرياضيات في الحياة الواقعية وإتقانها؟ ستعرف أوراق عمل الجبر أدناه طلابك على حل عدم المساواة ورسم عدم المساواة في الرسوم البيانية. نظرًا لأنهم يتخذون نهجًا تدريجيًا لحل عدم المساواة ، فسوف يمارسون أيضًا مهارات الجبر الأساسية الأخرى مثل استخدام العمليات العكسية لحل المعادلات.

ابدأ فصلك الدراسي بورقة العمل 1 ، والتي تتميز بعدم المساواة الأساسية التي يمكن حلها في خطوة واحدة وتركز ببساطة على الأرقام الموجبة. بينما يمارس طلابك كل ورقة عمل متتالية ، يتم تقديم عدم المساواة متعددة الخطوات جنبًا إلى جنب مع بعض الأرقام السالبة. بحلول الوقت الذي يكمل فيه طلابك هذه السلسلة من أوراق عمل الجبر المجانية ، سيعرفون متى يمكنهم عكس رموز عدم المساواة وحلول الرسم البياني والتحقق من حلولهم جميعًا بأنفسهم!


مشاكل الكلمات البسيطة

اكتب معادلة تصف مواقف العالم الحقيقي التالية رياضيًا:

موهاتو وليديوي يعانيان من نزلات البرد. موهاتو يعطس مرتين في كل مرة يعطس فيها لينديوي. إذا عطست لينديوي (س ) مرة ، اكتب معادلة تصف عدد مرات العطس.

الفرق بين رقمين هو ( text <10> ) ومجموع مربعاتهما هو ( text <50> ). أوجد العددين.

يبوكو ليبوكو غرفة تخزين مستطيلة الشكل. إذا كان قطر الغرفة هو ( sqrt < text <1 & # 160312 >> ) & # 160 ( text) والمحيط هو ( نص <80> ) ( نص) تحديد أبعاد الغرفة.

إنها تمطر نصف كمية الأمطار في يوليو مثلها في ديسمبر. إذا هطل المطر (ص ) & # 160 ملم في يوليو ، اكتب تعبيرًا يتعلق بهطول الأمطار في يوليو وديسمبر.

يمكن لـ Zane رسم غرفة في ( text <4> ) ساعات. يمكن لتلالي رسم غرفة في ( نص <2> ) ساعات. كم من الوقت سيستغرق كلاهما لطلاء غرفة معًا؟

( text <25> ) منذ سنوات ، كان آرثر ( text <5> ) سنوات أكثر من ثلث عمر بونجاني. اليوم ، يبلغ عمر بونجاني ( text <26> ) سنوات أقل من ضعف عمر آرثر. كم عمر بونجاني؟

حاصل ضرب عددين صحيحين هو ( نص <95> ). أوجد الأعداد الصحيحة إذا كان مجموعها ( نص <24> ).


النجاح في الرياضيات والعلوم يفتح الفرص

قم بالتسجيل للحصول على السبق في المنح وفرص العمل. استخدم Siyavula Practice للحصول على أفضل الدرجات الممكنة.

يبدأ 1 & amp = 4 - 3y 3y & amp = 4-1 3y & amp = 3 y & amp = frac <3> <3> & amp = 1 end

( dfrac <2> - 2 - dfrac <1> <2> = dfrac <1> <2> يسار (1 + dfrac <2>حق))

قيود الملاحظة: (a ne 3 a ne -4 ).

قيود الملاحظات: (n ne 2 n ne 7 ).

((د + 4) (د - 3) - د = (ثلاثي الأبعاد - 2) ^ <2> - 8 د (د - 1) )

حل المعادلات (y = 3x + 2 ) و (y = 2x + 1 ) في نفس الوقت.

من الرسم البياني يمكننا أن نرى أن الخطوط تتقاطع عند (س = - 1 ) و (ص = -1 )

حل المعادلات (y = -x + 1 ) و (y = -x - 1 ) في نفس الوقت.

الخطوط متوازية لذلك لا يوجد حل لـ (س ) و (ص ).

حل المعادلات (y = x + 4 ) و (y = -2x + 1 ) في نفس الوقت.

من الرسم البياني يمكننا أن نرى أن الخطوط تتقاطع عند (س = - 1 ) و (ص = 3 )

حل المعادلات الآنية التالية:

أضف المعادلتين لإزالة حد (ص ) وحل من أجل (س ):

استبدل قيمة (x ) في المعادلة الثانية:

يبدأ 2x - 3y & amp = -4 2 (1) - 3y & amp = -4 3y & amp = 6 y & amp = 2 end

استبدل قيمة (y ) في المعادلة الأولى:

يبدأ 10 & amp = 2x + x - 2 10 & amp = 3x - 2 12 & amp = 3x x & amp = 4 النهاية

استبدل القيمة (x ) بالعودة إلى المعادلة الثانية:

يبدأ y & amp = x - 2 & amp = 4-2 & amp = 2 النهاية

اجعل (ص ) موضوع المعادلة الأولى:

يبدأ 17 & amp = 3x - y y & amp = 3x - 17 النهاية

استبدل قيمة (y ) في المعادلة الأولى:

يبدأ 7x - 41 & amp = 3y 7x - 41 & amp = 3 (3x - 17) 7x - 41 & amp = 9x - 51 2x & amp = 10 x & amp = 5 النهاية

استبدل القيمة (x ) بالعودة إلى المعادلة الثانية:

يبدأ y & amp = 3x - 17 y & amp = 3 (5) - 17 & amp = -2 النهاية

اجعل (س ) موضوع المعادلة الأولى:

استبدل قيمة (x ) في المعادلة الثانية:

يبدأ 7x + 2y & amp = 32 7 left ( frac <32 + 4y> <2> right) + 2y & amp = 32 7 (32 + 4y) +2 (2) y & amp = 32 (2) 224 + 28y + 4y & amp = 64 32 y & amp = -160 so y & amp = -5 end

استبدل قيمة (y ) بالعودة إلى المعادلة الأولى:

(7 س + 6 ص = -18 ) و (4x + 12 ص = 24 )

اضرب المعادلة الأولى في 2 بحيث يكون معامل (y ) هو نفسه المعادلة الثانية:

يبدأ 7x + 6y & amp = -18 7 (2) x + 6 (2) y & amp = -18 (2) 14x + 12y & amp = -36 end

اطرح المعادلة الثانية من المعادلة الأولى:

عوّض بقيمة (x ) في المعادلة الأولى وحل من أجل (y ):

(3 س - 4 ص = -15 ) و (12 س + 5 ص = 66 )

اضرب المعادلة الأولى في 4 بحيث يكون معامل (x ) هو نفسه المعادلة الثانية:

يبدأ 3x - 4y & amp = -15 3 (4) x-4 (4) y & amp = -15 (4) 12x-16y & amp = -60 end

اطرح المعادلة الثانية من المعادلة الأولى:

عوّض بقيمة (y ) في المعادلة الأولى وحل من أجل (x ):

اكتب المعادلة الأولى بدلالة (س ):

يبدأ x - 3y & amp = -22 x & amp = 3y - 22 end

عوّض بقيمة (x ) في المعادلة الثانية:

يبدأ 5x + 2y & amp = -25 5 (3y - 22) + 2y & amp = -25 15y - 110 + 2y & amp = -25 17y & amp = 85 y & amp = 5 end

عوّض بقيمة (y ) في المعادلة الأولى وحل من أجل (x ):

يبدأ x - 3y & amp = -22 x - 3 (5) & amp = -22 x & amp = -22 + 15 & amp = -7 end

(3 س + 2 ص = 46 ) و (15 × + 5 ص = 220 )

اجعل (ص ) موضوع المعادلة الثانية:

يبدأ 15x + 5y & amp = 220 3x + y & amp = 44 y & amp = 44-3x النهاية

استبدل قيمة (y ) في المعادلة الأولى:

يبدأ 3x + 2y & amp = 46 3x + 2 (44-3x) & amp = 46 3x + 88-6x & amp = 46 42 & amp = 3x x & amp = 14 النهاية

عوّض بقيمة (x ) في المعادلة الثانية:

يبدأ 3x + y & amp = 44 3 (14) + y & amp = 44 y & amp = 44-42 & amp = 2 end

(6 س + 3 ص = -63 ) و (24 س + 4 ص = -212 )

اضرب المعادلة الأولى في 4 بحيث يكون معامل (x ) هو نفسه المعادلة الثانية:

يبدأ 6x + 3y & amp = -63 6 (4) x - 3 (4) y & amp = -63 (4) 24x + 12y & amp = -252 end

اطرح المعادلة الثانية من المعادلة الأولى:

عوّض بقيمة (y ) في المعادلة الأولى وحل من أجل (x ):

(5 س - 6 ص = 11 ) و (25 س - 3 ص = 28 )

اضرب المعادلة الأولى في 5 بحيث يكون معامل (x ) هو نفسه المعادلة الثانية:

يبدأ 5x - 6y & amp = 11 5 (5) x - 6 (5) y & amp = 11 (5) 25x - 30y & amp = 55 end

اطرح المعادلة الثانية من المعادلة الأولى:

عوّض بقيمة (y ) في المعادلة الأولى وحل من أجل (x ):

يبدأ 5x - 6y & amp = 11 5x - 6 (-1) & amp = 11 x & amp = frac <11-6> <5> & amp = 1 end

اجعل (س ) موضوع المعادلة الثانية:

يبدأ 2x + 2y & amp = 6 x & amp = 3 - y end

عوّض بقيمة (x ) في المعادلة الأولى:

يبدأ -9x + 3y & amp = 4 -9 (3 - y) + 3y & amp = 4 -27 + 9y + 3y & amp = 4 12y & amp = 31 y & amp = frac <31> <12 > النهاية

عوّض بقيمة (y ) في المعادلة الثانية وحل من أجل (x ):

لذلك (x = frac <5> <12> ) و (y = frac <31> <12> ).

(3 س - 7 ص = -10 ) و (10x + 2 ص = -6 )

اجعل (ص ) موضوع المعادلة الثانية:

يبدأ 10x + 2 y & amp = -6 5x + y & amp = -3 y & amp = -3-5x النهاية

استبدل قيمة (y ) في المعادلة الأولى:

يبدأ 3x - 7y & amp = -10 3x - 7 (-3 - 5x) & amp = -10 3x + 21 + 35x & amp = -10 38x & amp = -10 -21 38x & amp = -31 x & amp = frac <-31> <38> end

عوّض بقيمة (x ) في المعادلة الثانية وحل من أجل (y ):

نلاحظ أن المعادلة الثانية لها عامل مشترك 2:

يبدأ 4y & amp = 2x - 44 2y & amp = x - 22 end

الآن يمكننا طرح المعادلة الثانية من الأولى:

لا يوجد حل لنظام المعادلات هذا. يمكننا أن نرى هذا إذا رسمنا المعادلتين بيانيًا:

نرى من الرسم البياني أن الخطوط لها نفس الانحدار ولا تتقاطع.

لذلك لا يوجد حل.

(2 أ (أ- 1) - 4 + أ - ب = 0 ) و (2 أ ^ 2 - أ = ب + 4 )

انظر إلى المعادلة الأولى

يبدأ 2a (a- 1) - 4 + a - b & amp = 0 2a ^ 2 - 2a - 4 + a - b & amp = 0 2a ^ 2 - a & amp = b + 4 end

لاحظ أن هذه هي نفس المعادلة الثانية

(a ) و (b ) يمكن أن يكونا أي رقم حقيقي باستثناء ( text <0> ).

انظر إلى المعادلة الثانية:

يبدأ x (x + 3) -y & amp = 3x +4 (x-1) x ^ 2 + 3x - y & amp = 3x + 4x - 4 x ^ 2 - 4x + 4 & amp = y y & amp = (x-2) ^ 2 end

لاحظ أن هذه هي نفس المعادلة الأولى.

يمكن أن يكون (x ) و (y ) أي رقم حقيقي باستثناء ( text <0> ).

لاحظ أن (y neq 0 ) و (y neq -1 )

اجعل (س ) موضوع المعادلة 1:

يبدأ فارك & amp = 7 x + 1 & amp = 7y x & amp = 7y -1 qquad text <المعادلة 3> النهاية

اجعل (س ) موضوع المعادلة 2:

استبدل المعادلة 3 في المعادلة 4:

يبدأ 6y + 6 & amp = 7y -1 6 + 1 & amp = 7y - 6y y & amp = 7 end

استبدل قيمة (y ) في المعادلة 3:

لذلك (س = 48 نص <و> ص = 7 )

لاحظ أن ((x + 3) ^ 2 ) و ((y - 4) ^ 2 ) كلاهما أكبر من أو يساوي الصفر ، لذلك لكي تكون المعادلة صحيحة ، يجب أن يكون كلاهما مساويًا للصفر.

يبدأ (x + 3) ^ 2 = 0 x = -3 (y-4) ^ 2 = 0 y = 4 وبالتالي x = -3 & amp text <و> y = 4 نهاية

ابحث عن حلول لمشاكل الكلمات التالية:

( frac <7> <8> ) لرقم معين هو ( text <5> ) أكثر من ( frac <1> <3> ) من الرقم. ابحث عن الرقم.

يبدأ frac <7> <8> x & amp = frac <1> <3> x + 5 21x & amp = 8x + 120 13x & amp = 120 x & amp = frac <120> <13> نهاية

تبلغ التكلفة الإجمالية لثلاثة مساطر وقلامتين ( text، text <21،00> ). تبلغ التكلفة الإجمالية للمسطرة والقلم الواحد ( text، نص <8،00> ). كم تكلفة المسطرة وكم يكلف القلم؟

اجعل سعر المسطرة (r ) وسعر القلم (ع ).

يبدأ 3r + 2p & amp = 21 r + p & amp = 8 النهاية

من المعادلة الثانية: (ص = 8 - ع )

استبدل قيمة (r ) في المعادلة الأولى:

يبدأ 3 (8 - ع) + 2p & amp = 21 24-3p + 2p & amp = 21 p & amp = 3 النهاية

استبدل قيمة (ع ) في المعادلة الثانية:

يبدأ r + 3 & amp = 8 r & amp = 5 النهاية

لذلك فإن كل مسطرة تكلف ( text، text <5> ) وكل قلم يكلف ( text ، نص <3> ).

مجموعة من الأصدقاء تشتري الغداء. فيما يلي بعض الحقائق عن غداءهم:

  • تكلفة هوت دوغ ( نص ، نص <6> ) أكثر من ميلك شيك
  • المجموعة تشتري 3 نقانق و 2 ميلك شيك
  • التكلفة الإجمالية للغداء هي ( text ، نص <143> )

دع سعر الهوت دوج يكون (ح ) وسعر اللبن المخفوق يكون (م ). من المعلومات المقدمة نحصل عليها:

يبدأ h & amp = m + 6 3h + 2m & amp = 143 end

استبدل المعادلة الأولى بالمعادلة الثانية:

يبدأ 3 س + 2 م & أمبير = 143 3 (م + 6) + 2 م & أمبير = 143 3 م + 6 (3) + 2 م & أمبير = 143 5 م & amp = 143-18 لذلك م & أمبير = فارك < 125> <5> & amp = 25 end

استبدل قيمة (م ) في المعادلة الأولى:

يبدأ h & amp = m + 6 & amp = 25 + 6 & amp = 31 end

سعر الهوت دوج هو ( نص، text <31> ) بينما يكلف اللبن المخفوق ( text ، نص <25> ).

Lefu و Monique صديقان. تأخذ مونيك ورقة اختبار دراسات الأعمال الخاصة بـ Lefu ولن تخبره عن علامته. إنها تعلم أن Lefu يكره مشاكل الكلمات لذا قررت مضايقته. تقول مونيك: & # 8220 لدي ( نص <12> ) علامات أكثر مما تفعله ومجموع كلتا العلامتين يساوي ( نص <166> ). ما هي علاماتنا؟ & # 8221

دع علامة Lefu تكون (l ) ودع علامة مونيك تكون (م ). ثم ابدأ m & amp = l + text <12> l + m & amp = text <166> end

استبدل المعادلة الأولى بالمعادلة الثانية وحل:

استبدال هذه القيمة مرة أخرى في المعادلة الأولى يعطي:

حصل الطلاب على العلامات التالية: لدى Lefu علامات ( نص <77> ) ولدى مونيك علامات ( نص <89> ).

رجل يركض إلى محطة الحافلات ويعود خلال ( text <15> ) دقيقة. سرعته في طريقه إلى محطة الحافلات هي ( نص <5> ) ( نص$> ) وسرعته في طريق العودة ( text <4> ) ( text$> ). أوجد المسافة إلى محطة الحافلات.

دع (D ) تكون المسافة إلى محطة الحافلات.

تُعطى المسافة بالسرعة ضرب الوقت. يركض الرجل إلى محطة الحافلات نفس المسافة التي يقطعها من محطة الباص. وبالتالي:

يبدأ D & amp = s times t D & amp = 5t_ <1> = 4t_ <2> end

يستغرق ما مجموعه 15 دقيقة للجري هناك والعودة بحيث يكون الوقت الإجمالي (t_ <1> + t_ <2> = 15 ). ومع ذلك ، تُعطى السرعات بالكيلومترات في الساعة ولذا يجب علينا تحويل الوقت إلى ساعات. لذلك (t_ <1> + t_ <2> = text <0،25>. )

بعد ذلك نلاحظ أن (t_ <1> = dfrac<5> ) و (t_ <2> = dfrac<4>).

يبدأ فارك <5> + frac <4> & amp = text <0،25> 4D + 5D & amp = text <0،25> (20) 9D & amp = 5 D & amp = frac <5> <9> end

محطة الحافلة هي ( text <0،56> ) ( text) بعيد.

تتجه شاحنتان باتجاه بعضهما البعض من المصانع التي هي ( text <175> ) ( text) منفصل. شاحنة واحدة تسافر في ( text <82> ) ( text$> ) والشاحنة الأخرى في ( text <93> ) ( text$> ). إذا بدأت الشاحنتان رحلتهما في نفس الوقت ، فكم من الوقت ستستغرقان لتجاوز بعضهما البعض؟

لاحظ أن مجموع مسافات الشاحنتين يجب أن يكون مساويًا للمسافة الكلية عندما تلتقي الشاحنتان: (D_ <1> + D_ <2> = d _ < text> longrightarrow D_ <1> + D_ <2> = text <175> text ).

هذا السؤال يتعلق بالمسافات والسرعات والأوقات. المعادلة التي تربط هذه القيم هي [ نص = فارك < نص> < نص

تريد معرفة مقدار الوقت اللازم للقاء الشاحنات - دع الوقت المستغرق يكون (t ). ثم يمكنك كتابة تعبير للمسافة التي تقطعها كل شاحنة: start نص رباعي D_ <1> & amp = s_ <1> t & amp = text <82> t text رباعي D_ <2> & amp = s_ <2> t & amp = text <93> t end

الآن لديك ثلاث معادلات مختلفة: يجب عليك حلها في وقت واحد ، فالتعويض هو أسهل خيار. يبدأ D_ <1> + D_ <2> & amp = text <175> ( text <82> t) + ( text <93> t) & amp = text <175> text <175> t & amp = text <175> so t & amp = frac < text <175>> < text <175>> & amp = text <1> end ستلتقي الشاحنات بعد ( نص <1> ) ساعة.

يتزلج Zanele و Piet نحو بعضهما البعض على طريق مستقيم. انطلقوا ( text <20> ) ( text) منفصل. يتزلج زانيل في ( نص <15> ) ( نص$> ) و Piet في ( text <10> ) ( text$> ). إلى أي مدى سيتزلج بيت عندما يصلان إلى بعضهما البعض؟

لنفترض أن (س ) هي المسافة التي يتزلج عليها زانيلي و (20 - س ) مسافة تزلج بييت.

بعد ذلك نلاحظ المعلومات التالية:

سيكون زانيل قد تزلج على ( نص <12> ) ( نص) وسيتزلج Piet على ( text <8> ) ( text) عندما يصلون إلى الآخرين.

عندما يرتفع سعر الشوكولاتة بمقدار ( نص، text <10> ) ، يمكننا شراء خمسة شوكولاتة أقل لـ ( text ، نص <300> ). كم كان سعر كل شوكولا قبل رفع السعر؟

فليكن (x ) هو السعر الأصلي للشوكولاتة. السعر الجديد لـ (x ) chocolates هو ( text ، نص <300> ).

يبدأ يسار (س + 10 يمين) يسار ( فارك <300> - 5 يمين) & amp = 300 300-5x + frac < text <3 & # 160000 >> - 50 & amp = 300 -5x + frac < text <3 & # 160000 >> - 50 & amp = 0 -5x ^ <2> + text <3 & # 160000> - 50x & amp = 0 x ^ <2> + 10x - 600 & amp = 0 (x - 20) (x + 30) & amp = 0 x = 20 & amp text x = -30 end

نظرًا لأن السعر يجب أن يكون موجبًا ، فإن تكلفة الشوكولاتة المستخدمة ( text ، نص <20> ).

اشترى مدرس ( نص، text <11300> ) بقيمة الكتب المدرسية. كانت الكتب المدرسية للعلوم والرياضيات مع بيع كل منها في ( text، text <100> ) لكل كتاب و ( text ، نص <125> ) لكل كتاب على التوالي. إذا اشترت المعلمة إجمالي 97 كتابًا ، فكم عدد كتب العلوم التي اشترتها؟

اشترت ( نص <33> ) كتب علمية.

اشترت والدة ثوم ( text، text <91،50> ) بقيمة بيض عيد الفصح. جاء بيض عيد الفصح بثلاثة ألوان مختلفة الأزرق والأخضر والأصفر. الكلفة الزرقاء تكلف ( text ، نص <2> ) لكل منهما ، خضراء ( نص، text <1،50> ) كل منها والأصفر ( text ، نص <1> ) لكل منهما. اشترت ثلاثة أضعاف البيض الأصفر مثل البيض الأخضر و ( text <72> ) البيض إجمالاً. كم عدد البيض الأزرق الذي اشترته؟

(3) (3) & amp text (1) x + y + 3y & amp = 72 x & amp = 72-4y

كسرين متكافئين لهما بسط واحد. مقام كسر واحد هو مجموع اثنين وعدد ، بينما الكسر الآخر هو ضعف العدد الأقل من 3. ما هو العدد؟

ضع في اعتبارك المعادلات الحرفية التالية:

يبدأ أ - bx & amp = c -bx & amp = c - a - frac <1>(-bx) & amp = (c - a) left (- frac <1> right) so x & amp = frac، b neq 0 end

اجعل (م ) موضوع الصيغة: (E = mc ^ <2> ).

اجعل (f ) موضوع الصيغة: ( dfrac <1> + dfrac <1> = dfrac <1>).

حل من أجل (x ) في: (ax - 4a + ab = 4b - bx - b ^ 2 + 4c - cx - bc )

حل من أجل (b ) في (I = frac <1> <2> M (a ^ 2 + b ^ 2) ) إذا (a = 4 ) ، (M = 8 ) ، (أنا = 320 )

اكتب المتباينة التي يمثلها ما يلي:

حل من أجل (س ) وأظهر إجابتك في تدوين الفترة

يبدأ -4 x +1 & amp & gt -2 (x -15) -4 x +1 & amp & gt -2 x +30 -4 x +2 x & amp & gt 30 -1 -2 x & amp & gt 29 so x & amp & lt frac <-29> <2> end

حل الآن. (تذكر أن تقلب رمز عدم المساواة إذا ضربت أو قسمت على سالب.)

يبدأ 6x + 12 & amp leq -4x-4 6x + 4x & amp leq -4 -12 10x & amp leq -16 so x & amp leq frac <-8> <5> end

يبدأ frac <1> <4> x + frac <2> <3> (x + 1) & amp geq frac <2> <5> x +2 15x + 40 (x + 1) & amp geq 24x +120 15x + 40 x + 40 & amp geq 24x +120 15x + 40 x -24x & amp geq 120-40 31x & amp geq 80 so x & amp geq frac <80 > <31> النهاية

الفاصل الزمني هو: [ left [ frac <80> <31> infty right) ]

(3x -3 & gt 14 رباعي نص <أو> رباعي 3x -3 & lt -2 )

[ left (- infty frac <1> <3> right) cup left ( frac <17> <3> infty right) ]

حل وتمثيل إجابتك على خط الأعداد

يبدأ 2x -3 & amp & lt frac <3x -2> <2> 4x - 6 & amp & lt 3x- 2 x & amp & lt 4 end يبدأ 3 (1 - ب) - 4 + b & amp & gt 7+ b 3 - 3b - 4 + b & amp & gt 7 + b -2b & amp & gt 8 b & amp & lt -4 end يبدأ 1-5x & amp & gt 4 (x + 1) - 3 1-5x & amp & gt 4x + 4-3 -9x & amp & gt 0 x & amp & lt 0 end

أوجد قيمة المتغير المجهول

يبدأ frac <1> <2> x - frac <2> & amp = 0 x ^ 2-4 & amp = 0 (x-2) (x + 2) & amp = 0 وبالتالي x = 2 & amp text <أو> x = -2 end

يبدأ فارك <(ب + 1) ^ 2 - 16> & amp = 1 b ^ 2 + 2b + 1-16 & amp = b + 5 b ^ 2 + b - 20 & amp = 0 (b - 4) (b + 5) & amp = 0 لذلك ب & أمبير = 4 نهاية

يبدأ فارك& amp = 2 a ^ 2 + 8a + 7 & amp = 2a + 14 a ^ 2 + 6a - 7 & amp = 0 (a - 1) (a + 7) & amp = 0 so a & amp = 1 نهاية


تمرين Glencoe Algebra 1 Solutions الفصل 7 حل أنظمة المعادلات الخطية وعدم المساواة 7.5

تمرين Glencoe Algebra 1 Solutions الفصل 7 حل أنظمة المعادلات الخطية وعدم المساواة 7.5

الإجابة 1CU.

الإجابة 2CU.


الإجابة 3CU.


الإجابة 4CU.

الإجابة 5CU.

الإجابة 6CU.

الإجابة 7CU.

الإجابة 8CU.

الإجابة 9CU.

الإجابة 10CU.

الإجابة 11CU.





الإجابة 12PA.

الإجابة 13PA.


الإجابة 15PA.

الإجابة 16PA.

الإجابة 17PA.

الإجابة 18PA.

الإجابة 19PA.

الإجابة 20PA.

الإجابة 21PA.

الإجابة 22PA.

الإجابة 23PA.

الإجابة 24PA.

الإجابة 25PA.

الإجابة 26PA.

الإجابة 27PA.


الإجابة 28PA.


الإجابة 29PA.

الإجابة 30PA.

الإجابة 31PA.

الإجابة 32PA.


الإجابة 33PA.


الإجابة 34PA.



الإجابة 36PA.

الإجابة 37 PA.

الإجابة 38PA.

الإجابة 39PA.





الإجابة 40PA.



الإجابة 41MYS.


الإجابة 42MYS.


الإجابة 43MYS.


الإجابة 44MYS.


الإجابة 45MYS.


الإجابة 46MYS.


الإجابة 47MYS.


الإجابة 48MYS.


الإجابة 49MYS.


شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يُرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب عليك أولاً الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة وموقع المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورز ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


استكشف أوراق عمل الجبر بالتفصيل

تركز أوراق عمل الجبر هنا على ترجمة العبارات اللفظية إلى تعبير جبري يتضمن تمارين بتعبيرات فردية ومتعددة المتغيرات ، وترجمة المعادلات الخطية التي تتضمن خطوة أو خطوتين ، وتحديد عدم المساواة وأكثر من ذلك بكثير.

قم بالوصول إلى أوراق العمل القابلة للطباعة هنا للتدرب على تقييم التعبيرات الجبرية ذات المتغيرات الفردية والمتعددة ، والعثور على أبعاد الأشكال الهندسية ، وترتيب التعبيرات الجبرية بترتيب تصاعدي أو تنازلي على سبيل المثال لا الحصر.

قم بإثراء معرفتك في تبسيط التعبيرات الجبرية باستخدام هذه المجموعة من أوراق العمل ، التي تحتوي على مهارات لتبسيط التعبيرات الخطية ومتعددة الحدود والعقلانية التي تتضمن الأسس الموجبة والسالبة ، وإيجاد مساحة ومحيط المستطيل والمزيد.

تدرب على هذه المجموعة من أوراق عمل الهويات الجبرية التي تتميز بمخططات الهويات النابضة بالحياة ، وصقل مهاراتك في توسيع التعبير الجبري وتحليله وتقييمه باستخدام الهويات ، وتبسيط التعابير وغير ذلك الكثير.

اختر من بين مجموعة لا تنضب من أوراق العمل التي تتكون من معادلات من خطوة واحدة وخطوتين ومتعددة الخطوات. اكتب معادلة خط في أشكال متنوعة ، معادلات بيانية خطية ، معادلات تربيعية ومعادلات قيمة مطلقة ، حل نظام المعادلات ، على سبيل المثال لا الحصر.

راجع مفهوم حل المعادلات باستخدام أوراق عمل المسائل الكلامية هذه. حل مسائل الكلمات الواقعية التي تتضمن أعدادًا صحيحة وكسور عشرية وكسور تتضمن خطوة واحدة أو خطوتين أو متعددة الخطوات.

قم بتضمين أوراق عمل معادلات إعادة الترتيب هذه التي تتميز بمهارات لجعل "x" الموضوع ، وإعادة ترتيب وتقييم الصيغ المستخدمة بشكل متكرر وحل مشكلات الكلمات الحقيقية المتوفرة في الوحدات العرفية والمترية والمزيد.

استخدم مجموعة أوراق عمل الجبر هنا للعثور على المعادلة الخطية لخط باستخدام صيغة نقطة - ميل ، صيغة ميل وتقاطع ، صيغة نقطتين ، صيغة تقاطع ثنائي. أوجد أيضًا تقاطع x وتقاطع y ، وحل المسائل الكلامية التي تتضمن خطوطًا متوازية ومتعامدة على سبيل المثال لا الحصر.

احصل على أوراق عمل لا حصر لها تتضمن إكمال جداول الوظائف ، ورسم رسم بياني باستخدام المنحدر وتقاطع y ، ومعادلات الرسوم البيانية التي تتضمن خطوطًا أفقية ورأسية والمزيد. يتم تضمين أوراق العمل هنا لرسم أزواج مرتبة أيضًا.

قم بتنفيذ هذه المجموعة من أوراق عمل المعادلات التربيعية لحل المعادلات من خلال إيجاد مجموع وحاصل الجذور ، واستخدام خاصية المنتج الصفري ، وطريقة التحليل ، والصيغة التربيعية. بالإضافة إلى ذلك ، تعلم كيفية الحل بإكمال المربع أيضًا.

تتعامل هذه الوحدة بشكل خاص مع التمارين للعثور على المجال والمدى من قائمة الأزواج والرسوم البيانية المرتبة. تعلم كيفية إكمال جداول الوظائف ونقاط الرسم البياني ووظائف الرسم البياني وتقييم تكوين الوظائف.

تتكون هذه المجموعة بدقة من الرسم البياني للوظائف الخطية عن طريق رسم النقاط على الشبكات ، وحساب جداول الوظائف ، ونقاط التآمر ، والرسوم البيانية للوظائف الخطية. تم تضمين المنحدرات هنا أيضًا في صورة كسور.

تتضمن هذه المجموعة من أوراق عمل الجبر مهامًا لفهم واضح لتحول وظيفة خطية ورسم بياني. ترجمة دالة أو رسم بياني إلى إزاحة أفقية / رأسية ، والعثور على الانعكاس ، والعثور على التمدد والضغط وغير ذلك.

قم بتنفيذ هذه المجموعة من أوراق العمل المصممة خصيصًا مع تمارين وافرة لتقييم أو كتابة وظائف تربيعية لتفسير الوظيفة التربيعية في أشكال متنوعة ، واستكمال جداول الوظائف ، وتحديد الرأس والاعتراضات بناءً على الصيغ وغير ذلك الكثير.

تحديد الأصفار ، والكتابة والرسم البياني للوظائف التربيعية ، وإكمال جدول الوظائف هي بعض التمارين المدرجة في هذا التجميع للطابعات التدريبية.

استخدم هذه الوحدة من أوراق عمل التحويل التربيعية البسيطة والجذابة لتحويل الرسوم البيانية ، والعثور على وظيفة التحويل g (x) من أصلها f (x) وتحديد أنواع التحولات المختلفة على سبيل المثال لا الحصر.

قم بالوصول إلى أوراق عمل الجبر هذه للتعرف على كثيرات الحدود ، وتحديد درجة كثيرات الحدود ، وجمع وطرح وضرب وقسمة وعوامل التعبيرات أحادية الحد وذات الحدين ومتعددة الحدود. أوجد المضاعف المشترك الأصغر و العامل المشترك الأكبر لكثيرات الحدود أيضًا.

تنقل عبر هذه المجموعة المتنوعة من أوراق عمل القيمة المطلقة القابلة للطباعة مع الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة. قم بإجراء عمليات حسابية مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة على القيمة المطلقة للأرقام الحقيقية.

استفد من هذا القسم من أوراق عمل عدم المساواة لرسم وكتابة عدم المساواة ، وحل المتباينات المكونة من خطوة واحدة أو خطوتين أو متعددة الخطوات ، وحل المتباينات المركبة ورسمها البياني ، وحلول الرسم البياني وغير ذلك الكثير.

استكمل تعليماتك الأساسية بهذه المجموعة من أوراق العمل المتسلسلة والمتسلسلة التي تركز على السلاسل والمتسلسلات الحسابية ، والتسلسل الهندسي ، والمتسلسلة الخاصة ، والمتسلسلة العودية ، والمجموع الجزئي على سبيل المثال لا الحصر.

حقق التعلم الأمثل باستخدام هذه المجموعة من أوراق عمل المصفوفة. حدد ترتيب المصفوفات وعكس جمعها وطرحها وضربها ، أوجد حلولها ومحدداتها أيضًا في مجموعة أوراق العمل القابلة للطباعة هنا.

اكتساب معرفة متعمقة في العثور على المحددات التي تحدد عدد الحلول وحل المعادلات باستخدام قاعدة كرامر مع هذه المجموعة من أوراق العمل التي تحتوي على تمارين لا حصر لها.

استكشف هذه المجموعة من أوراق العمل ذات الأرقام المعقدة المصممة والموصى بها لطلاب المدارس الثانوية. صقل مهاراتك في إيجاد القيمة المطلقة والحجة ، وتبسيط ، وتقييم قوى i ، وإيجاد المرافق ، وتحديد الجزء الحقيقي والخيالي والمزيد!

تصفح من خلال عدد لا يحصى من أوراق العمل المثلثية التي تتناول النسب المثلثية الأولية والمتبادلة والأرباع والزوايا والزوايا المرجعية والزوايا المتماثلة وأوراق عمل نظرية فيثاغورس وغير ذلك الكثير.


مقدمة في نظم المعادلات والمتباينات

بحلول عام 1943 ، كان من الواضح للنظام النازي أن الهزيمة كانت وشيكة ما لم يتمكن من بناء سلاح بقوة تدميرية غير محدودة ، سلاح لم يسبق له مثيل في تاريخ العالم. في سبتمبر ، أمر أدولف هتلر العلماء الألمان بالبدء في بناء قنبلة ذرية. بدأت الشائعات والهمسات تنتشر عبر المحيط. تحدث لاجئون ودبلوماسيون عن التجارب الجارية في النرويج. ومع ذلك ، لم يتم بيع فرانكلين دي روزفلت ، بل إنه شكك في تحذير رئيس الوزراء البريطاني ونستون تشرشل. أراد روزفلت دليلاً لا يمكن إنكاره. لحسن الحظ ، سرعان ما تلقى الدليل الذي أراده عندما قامت مجموعة من علماء الرياضيات بفك شفرة "إنجما" ، مما يثبت بما لا يدع مجالاً للشك أن هتلر كان يصنع قنبلة ذرية. في اليوم التالي ، أعطى روزفلت الأمر بأن تبدأ الولايات المتحدة العمل على نفس الشيء.

ربما يكون Enigma أشهر جهاز تشفير معروف على الإطلاق. إنه يمثل مثالًا على الدور المحوري الذي لعبه التشفير في المجتمع. الآن ، نقلت التكنولوجيا تحليل الشفرات إلى العالم الرقمي.

تم تصميم العديد من الأصفار باستخدام المصفوفات العكسية كطريقة لنقل الرسائل ، حيث أن إيجاد معكوس المصفوفة هو بشكل عام جزء من عملية فك التشفير. بالإضافة إلى معرفة المصفوفة وعكسها ، يجب أن يعرف المتلقي أيضًا المفتاح الذي ، عند استخدامه مع معكوس المصفوفة ، سيسمح بقراءة الرسالة.

في هذا الفصل ، سوف نتحرى عن المصفوفات وعكساتها ، والطرق المختلفة لاستخدام المصفوفات لحل أنظمة المعادلات. أولاً ، سوف ندرس أنظمة المعادلات من تلقاء نفسها: الخطية وغير الخطية ، ثم الكسور الجزئية. لن نكسر أي رموز سرية هنا ، لكننا سنضع الأساس للدورات المستقبلية.

/>
هذا العمل مُرخص بموجب رخصة المشاع الإبداعي نَسب المُصنَّف 4.0 دولي.


محتويات

في معادلات ديوفانتين التالية ، ث , x , ذ ، و ض هي المجهول والحروف الأخرى تعطى ثوابت:

تحرير معادلة واحدة

تأخذ أبسط معادلة ديوفانتين الخطية الشكل فأس + بواسطة = ج ، أين أ , ب و ج يتم إعطاء أعداد صحيحة. الحلول موصوفة بالنظرية التالية:

هذه المعادلة ديوفنتين لها حل (أين x و ذ هي أعداد صحيحة) إذا وفقط إذا ج هو مضاعف القاسم المشترك الأكبر لـ أ و ب . علاوة على ذلك ، إذا (x, ذ) هو حل ، ثم الحلول الأخرى لها الشكل (x + كيلو فولت, ذكو) , أين ك هو عدد صحيح تعسفي ، و ش و الخامس هي قسمة أ و ب (على التوالي) بالمقسوم المشترك الأكبر أ و ب .

دليل - إثبات: لو د هل هذا القاسم المشترك الأكبر ، تؤكد هوية بزوت وجود الأعداد الصحيحة ه و F مثل ذلك أ + فرنك بلجيكي = د . لو ج من مضاعفات د ، من ثم ج = د لبعض الأعداد الصحيحة ح ، و (إيه, fh) حل. من ناحية أخرى ، لكل زوج من الأعداد الصحيحة x و ذ ، القاسم المشترك الأكبر د من أ و ب يقسم فأس + بواسطة . وبالتالي ، إذا كان للمعادلة حل ، إذن ج يجب أن يكون من مضاعفات د . لو أ = عود و ب = vd ، ثم لكل حل (x, ذ) ، لدينا

أ(x + كيلو فولت) + ب(ذكو) = فأس + بواسطة + ك(avبو) = فأس + بواسطة + ك(udvvdu) = فأس + بواسطة ,

تبين أن (x + كيلو فولت, ذكو) حل آخر. أخيرًا ، إعطاء حلين من هذا القبيل فأس1 + بواسطة1 = فأس2 + بواسطة2 = ج ، واحد يستنتج ذلك ش(x2x1) + الخامس(ذ2ذ1) = 0. كما ش و الخامس هي جريمة حقوقية ، يُظهر ليما إقليدس ذلك الخامس يقسم x2x1 ، وبالتالي أن هناك عددًا صحيحًا ك مثل ذلك x2x1 = كيلو فولت و ذ2ذ1 = −كو . وبالتالي، x2 = x1 + كيلو فولت و ذ2 = ذ1كو الذي يكمل البرهان.

نظرية الباقي الصينية تحرير

تصف نظرية الباقي الصينية فئة مهمة من أنظمة المعادلات Diophantine الخطية: let ن1, …, نك يكون ك الأعداد الصحيحة الزوجية للجريمة أكبر من واحد ، أ1, …, أك يكون ك الأعداد الصحيحة التعسفية و ن كن المنتج ن1نك . تؤكد نظرية الباقي الصينية أن نظام Diophantine الخطي التالي يحتوي على حل واحد بالضبط (x, x1, …, xك) مثل 0 ≤ x & lt ن ، وأن الحلول الأخرى يتم الحصول عليها عن طريق الإضافة إلى x من مضاعفات ن :

نظام معادلات ديوفانتين الخطية تحرير

بشكل أكثر عمومية ، يمكن حل كل نظام من معادلات ديوفانتين الخطية عن طريق حساب شكل سميث العادي لمصفوفته ، بطريقة تشبه استخدام صيغة الصف المختزل لحل نظام المعادلات الخطية عبر حقل. باستخدام تدوين المصفوفة ، يمكن كتابة كل نظام من معادلات ديوفانتين الخطية

أين أ هو م × ن مصفوفة الأعداد الصحيحة X هو ن × 1 عمود مصفوفة مجهولة و ج هو م × 1 عمود مصفوفة الأعداد الصحيحة.

حساب نموذج سميث العادي لـ أ يوفر مصفوفتين أحاديتين (أي مصفوفات قابلة للعكس على الأعداد الصحيحة ولها ± 1 كمحدد) يو و الخامس من أبعاد كل منها م × م و ن × ن ، مثل أن المصفوفة

ب = [بأنا,ي] = الطائرات بدون طيار

فى حد ذاته بأنا,أنا ليس صفرا ل أنا ليس أكبر من بعض الأعداد الصحيحة ك ، وجميع الإدخالات الأخرى صفر. وبالتالي يمكن إعادة كتابة النظام المراد حله كـ

ب (الخامس −1 X) = جامعة كاليفورنيا .

الاتصال ذأنا إدخالات الخامس −1 X و دأنا هؤلاء من د = جامعة كاليفورنيا ، هذا يؤدي إلى النظام

بأنا,أنا ذأنا = دأنا ل 1 أناك , 0 ذأنا = دأنا إلى عن على ك & lt أنان .

يكافئ هذا النظام النظام المعطى بالمعنى التالي: مصفوفة عمود من الأعداد الصحيحة x هو حل للنظام المحدد إذا وفقط إذا x = في لبعض مصفوفة الأعمدة من الأعداد الصحيحة ذ مثل ذلك بواسطة = د .

ويترتب على ذلك أن النظام لديه حل إذا وفقط إذا بأنا,أنا يقسم دأنا إلى عن على أناك و دأنا = 0 من أجل أنا & GT ك . إذا تم استيفاء هذا الشرط ، فإن حلول النظام المعطى تكون

أين حك+1, …, حن هي أعداد صحيحة عشوائية.

يمكن أيضًا استخدام الشكل العادي Hermite لحل أنظمة معادلات Diophantine الخطية. ومع ذلك ، لا يوفر النموذج العادي Hermite الحلول مباشرة للحصول على الحلول من الصيغة العادية Hermite ، يتعين على المرء أن يحل على التوالي عدة معادلات خطية. ومع ذلك ، كتب ريتشارد زيبل أن صيغة سميث العادية "هي إلى حد ما أكثر مما هو مطلوب في الواقع لحل معادلات ديوفانتين الخطية. وبدلاً من اختزال المعادلة إلى شكل قطري ، نحتاج فقط إلى جعلها مثلثة ، وهو ما يسمى بالشكل الطبيعي هيرمايت. يعد حساب الشكل العادي Hermite أسهل بكثير من حساب نموذج Smith العادي ". [5]

تصل البرمجة الخطية الصحيحة إلى إيجاد بعض الحلول الصحيحة (الأمثل بمعنى ما) للأنظمة الخطية التي تتضمن أيضًا المتباينات. وبالتالي فإن أنظمة معادلات Diophantine الخطية أساسية في هذا السياق ، وعادة ما تحتوي الكتب المدرسية على البرمجة الصحيحة على معالجة أنظمة معادلات Diophantine الخطية. [6]

معادلة Diophantine المتجانسة هي معادلة Diophantine التي يتم تعريفها بواسطة كثير حدود متجانس. المعادلة النموذجية هي معادلة نظرية فيرما الأخيرة

نظرًا لأن متعدد الحدود المتجانس في n غير محدد يحدد سطحًا زائدًا في الفضاء الإسقاطي للبعد ن - 1 ، حل معادلة ديوفانتين متجانسة هو نفسه إيجاد النقاط المنطقية لسطح إسقاطي.

حل معادلة ديوفانتين المتجانسة بشكل عام مشكلة صعبة للغاية ، حتى في أبسط حالة غير تافهة من ثلاثة غير محدد (في حالة اثنين غير محدد ، تكون المشكلة مكافئة للاختبار إذا كان الرقم المنطقي هو القوة d لرقم منطقي آخر) . شاهد على صعوبة المشكلة هو نظرية فيرما الأخيرة (ل د & gt 2 ، لا يوجد حل صحيح للمعادلة أعلاه) ، والتي احتاجت إلى أكثر من ثلاثة قرون من جهود علماء الرياضيات لحلها.

بالنسبة للدرجات الأعلى من ثلاثة ، فإن معظم النتائج المعروفة هي نظريات تؤكد عدم وجود حلول (على سبيل المثال نظرية فيرما الأخيرة) أو أن عدد الحلول محدود (على سبيل المثال نظرية فالتينغ).

بالنسبة للدرجة الثالثة ، توجد طرق عامة للحل ، والتي تعمل تقريبًا على جميع المعادلات التي يتم مواجهتها في الممارسة العملية ، ولكن لا توجد خوارزمية معروفة تعمل مع كل معادلة تكعيبية. [7]

الدرجة الثانية تحرير

من السهل حل معادلات ديوفانتين المتجانسة من الدرجة الثانية. طريقة الحل القياسية تستمر في خطوتين. على المرء أولاً أن يجد حلاً واحداً ، أو أن يثبت أنه لا يوجد حل. عندما يتم العثور على حل ، ثم يتم استنتاج جميع الحلول.

لإثبات عدم وجود حل ، يمكن للمرء أن يقلل من معامل المعادلة ص. على سبيل المثال ، معادلة ديوفانتاين

ليس له أي حل آخر غير الحل التافه (0 ، 0 ، 0). في الواقع ، عن طريق القسمة x, ذ و z بالمقسوم عليهما المشترك الأكبر ، يمكن للمرء أن يفترض أنهما جريمة مشتركة. المربعات مقياس 4 متطابقة مع 0 و 1. وبالتالي فإن الجانب الأيسر من المعادلة مطابق لـ 0 أو 1 أو 2 ، والجانب الأيمن مطابق لـ 0 أو 3. وبالتالي يمكن الحصول على المساواة فقط لو x, ذ و z كلها متساوية ، وبالتالي فهي ليست جريمة جماعية. وبالتالي فإن الحل الوحيد هو الحل التافه (0 ، 0 ، 0). يوضح هذا أنه لا توجد نقطة منطقية على دائرة نصف قطرها 3 ، < displaystyle < sqrt <3>> ،> متمركزة في الأصل.

بشكل عام ، يسمح مبدأ Hasse بتحديد ما إذا كانت معادلة Diophantine المتجانسة من الدرجة الثانية لها حل صحيح ، وحساب حل إذا كان موجودًا.

إذا كان حل عدد صحيح غير تافه معروفًا ، فيمكن للمرء أن ينتج جميع الحلول الأخرى بالطريقة التالية.

تحرير التفسير الهندسي

حيث k هو أي عدد صحيح ، و d هو القاسم المشترك الأكبر لـ p 1. .>

تحرير المعلمات

بتعبير أدق ، يمكن للمرء المضي قدمًا على النحو التالي.

من خلال تبديل المؤشرات ، يمكن للمرء أن يفترض ، دون فقدان العمومية ، أن n ≠ 0. neq 0.> ثم يمكن للمرء أن ينتقل إلى الحالة الأفينية من خلال النظر في السطح الأفيني المحدد بواسطة

التي لها نقطة منطقية

إذا كانت هذه النقطة المنطقية نقطة مفردة ، أي إذا كانت جميع المشتقات الجزئية تساوي صفرًا عند R ، فإن جميع الخطوط التي تمر عبر R موجودة في السطح الزائد ، ويكون أحدها مخروطًا. تغيير المتغيرات

لا يغير النقاط المنطقية ، ويحول q إلى كثير حدود متجانس في ن - 1 متغيرات. في هذه الحالة ، يمكن حل المشكلة من خلال تطبيق الطريقة على معادلة ذات متغيرات أقل.

إذا كان كثير الحدود q منتجًا لكثيرات حدود خطية (ربما مع معاملات غير منطقية) ، فإنه يحدد طائرتين مفرطتين. تقاطع هذه المخططات الفائقة هو مسطح عقلاني ، ويحتوي على نقاط مفردة منطقية. وبالتالي فإن هذه الحالة هي حالة خاصة من الحالة السابقة.

في الحالة العامة ، دعنا نفكر في المعادلة البارامترية لخط يمر عبر R:

بعد ذلك ، يمكن للمرء أن يعود إلى الحالة المتجانسة. اسمحوا ل أنا = 1, …, ن ,


محتويات

منذ العصور القديمة ، كان البشر على دراية بوعي بالتوتر داخل المواد. حتى القرن السابع عشر ، كان فهم الإجهاد بديهيًا وتجريبيًا إلى حد كبير ، ومع ذلك ، فقد أدى إلى بعض التقنيات المعقدة بشكل مدهش ، مثل القوس المركب ونفخ الزجاج. [1]

على مدى عدة آلاف من السنين ، تعلم المهندسون المعماريون والبناؤون على وجه الخصوص كيفية تجميع عوارض خشبية وكتل حجرية مشكلة بعناية لتحمل الإجهاد ونقله وتوزيعه بأكثر الطرق فعالية ، باستخدام أجهزة بارعة مثل العواصم والأقواس والقباب والدعامات الدعامات الطائرة للكاتدرائيات القوطية.

لقد طور المهندسون المعماريون القدامى والعصور الوسطى بعض الأساليب الهندسية والصيغ البسيطة لحساب الأحجام المناسبة للأعمدة والعوارض ، لكن الفهم العلمي للتوتر أصبح ممكنًا فقط بعد اختراع الأدوات اللازمة في القرنين السابع عشر والثامن عشر: طريقة جاليليو جاليلي التجريبية الصارمة ، الإحداثيات والهندسة التحليلية لرينيه ديكارت ، وقوانين نيوتن للحركة والتوازن وحساب التفاضل والتكامل من اللامتناهيات في الصغر. [2] باستخدام هذه الأدوات ، تمكن أوجستين-لويس كوشي من تقديم أول نموذج رياضي صارم وعامة للإجهاد في وسط متجانس. [ بحاجة لمصدر ] لاحظ كوشي أن القوة عبر سطح وهمي كانت دالة خطية لمتجهها الطبيعي ، وعلاوة على ذلك ، يجب أن تكون دالة متماثلة (مع صفر زخم كلي). [ بحاجة لمصدر ]

بدأ فهم الإجهاد في السوائل مع نيوتن ، الذي قدم صيغة تفاضلية لقوى الاحتكاك (إجهاد القص) في التدفق الصفحي المتوازي.

تحرير التعريف

يتم تعريف الإجهاد على أنه القوة عبر حد "صغير" لكل وحدة مساحة من تلك الحدود ، لجميع اتجاهات الحدود. [3] يُشتق الإجهاد من كمية فيزيائية أساسية (قوة) وكمية هندسية بحتة (منطقة) ، وهو أيضًا كمية أساسية ، مثل السرعة أو عزم الدوران أو الطاقة ، والتي يمكن قياسها وتحليلها دون اعتبار صريح لطبيعة مادية أو لأسبابها المادية.

باتباع الفرضيات الأساسية لميكانيكا الاستمرارية ، فإن الإجهاد هو مفهوم مجهري. على وجه التحديد ، يجب أن تكون الجسيمات التي تم النظر فيها في تعريفها وتحليلها صغيرة بما يكفي ليتم التعامل معها على أنها متجانسة في التركيب والحالة ، ولكنها لا تزال كبيرة بما يكفي لتجاهل التأثيرات الكمية والحركات التفصيلية للجزيئات. وبالتالي ، فإن القوة بين جسيمين هي في الواقع متوسط ​​عدد كبير جدًا من القوى الذرية بين جزيئاتها والكميات الفيزيائية مثل الكتلة والسرعة والقوى التي تعمل من خلال كتلة الأجسام ثلاثية الأبعاد ، مثل الجاذبية ، يُفترض أنها موزعة بسلاسة عليهم.[4]: ص 90-106 اعتمادًا على السياق ، يمكن للمرء أيضًا أن يفترض أن الجسيمات كبيرة بما يكفي للسماح بالتوسط للخروج من السمات المجهرية الأخرى ، مثل حبيبات قضيب معدني أو ألياف قطعة من الخشب.

من الناحية الكمية ، يتم التعبير عن الضغط بواسطة ناقل الجر كوشي تي تعرف بأنها قوة الجر F بين الأجزاء المتجاورة من المادة عبر سطح فاصل وهمي سمقسومة على مساحة س. [5]: ص 41-50 في سائل عند السكون تكون القوة متعامدة على السطح ، وهي الضغط المألوف. في حالة صلبة ، أو في تدفق سائل لزج ، القوة F قد لا تكون متعامدة مع س ومن ثم يجب اعتبار الإجهاد عبر سطح ما كمية متجهة ، وليس عددًا. علاوة على ذلك ، يعتمد الاتجاه والحجم بشكل عام على اتجاه س. وبالتالي يجب وصف حالة الإجهاد للمادة بواسطة موتر ، يسمى موتر الإجهاد (Cauchy) وهو دالة خطية تربط المتجه الطبيعي ن من سطح س للتوتر تي عير س. فيما يتعلق بأي نظام إحداثيات مختار ، يمكن تمثيل موتر الضغط كوشي كمصفوفة متماثلة من 3 × 3 أرقام حقيقية. حتى داخل الجسم المتجانس ، قد يختلف موتر الإجهاد من مكان إلى آخر ، وقد يتغير بمرور الوقت ، وبالتالي فإن الضغط داخل مادة ما هو ، بشكل عام ، مجال توتر متغير بمرور الوقت.

الضغط العادي والقص تحرير

بشكل عام ، الإجهاد تي هذا الجسيم ص ينطبق على جسيم آخر س عبر سطح س يمكن أن يكون لها أي اتجاه نسبي ل س. المتجه تي يمكن اعتباره مجموع مكونين: الضغط العادي (ضغط أو شد) عمودي على السطح ، و قلق هذا موازٍ للسطح.

إذا كان ناقل الوحدة العادي ن من السطح (مشيرا من س من اتجاه ص) يفترض أنه ثابت ، يمكن التعبير عن المكون العادي برقم واحد ، حاصل الضرب النقطي تي · ن . سيكون هذا الرقم موجبًا إذا ص هو "الانسحاب" س (إجهاد الشد) ، والسلبية إذا ص هو "يدفع" ضد س (الضغط الانضغاطي) يكون عنصر القص هو المتجه تي − (تي · ن)ن .

تحرير الوحدات

أبعاد الضغط هي أبعاد الضغط ، وبالتالي تُقاس إحداثياته ​​عادةً بنفس وحدات الضغط: أي باسكال (Pa ، أي نيوتن لكل متر مربع) في النظام الدولي ، أو رطل لكل بوصة مربعة (psi) في النظام الإمبراطوري. نظرًا لأن الضغوط الميكانيكية تتجاوز بسهولة مليون باسكال ، فإن MPa ، والتي تعني ميجا باسكال ، هي وحدة ضغط شائعة.

الأسباب والتأثيرات تحرير

قد يكون الإجهاد في الجسم المادي ناتجًا عن أسباب جسدية متعددة ، بما في ذلك التأثيرات الخارجية والعمليات الفيزيائية الداخلية. تعمل بعض هذه العوامل (مثل الجاذبية والتغيرات في درجة الحرارة والطور والمجالات الكهرومغناطيسية) على الجزء الأكبر من المادة ، وتتغير باستمرار حسب الموقع والوقت. العوامل الأخرى (مثل الأحمال الخارجية والاحتكاك والضغط المحيط وقوى التلامس) قد تخلق ضغوطًا وقوى مركزة على أسطح أو خطوط أو نقاط معينة وربما أيضًا على فترات زمنية قصيرة جدًا (كما هو الحال في النبضات الناتجة عن الاصطدامات). في المادة النشطة ، يولد الدفع الذاتي للجسيمات المجهرية ملامح إجهاد عيانية. [7] بشكل عام ، يتم التعبير عن توزيع الإجهاد في الجسم كدالة متعددة الأجزاء متصلة بالمكان والزمان.

على العكس من ذلك ، يرتبط الإجهاد عادةً بتأثيرات مختلفة على المادة ، بما في ذلك التغييرات في الخصائص الفيزيائية مثل الانكسار ، والاستقطاب ، والنفاذية. عادة ما يؤدي فرض الضغط من قبل عامل خارجي إلى بعض الضغط (التشوه) في المادة ، حتى لو كانت صغيرة جدًا بحيث لا يمكن اكتشافها. في مادة صلبة ، تولد مثل هذه السلالة بدورها إجهادًا داخليًا مرنًا ، مشابهًا لقوة رد فعل زنبرك ممتد ، تميل إلى إعادة المادة إلى حالتها الأصلية غير المشوهة. المواد السائلة (السوائل والغازات والبلازما) بالتعريف يمكنها فقط مقاومة التشوهات التي قد تغير حجمها. ومع ذلك ، إذا كان التشوه يتغير بمرور الوقت ، فحتى في السوائل سيكون هناك عادةً بعض الضغط اللزج ، مما يعارض هذا التغيير. يمكن أن تكون هذه الضغوط إما قص أو طبيعية في طبيعتها. تم إعطاء الأصل الجزيئي لضغوط القص في السوائل في مقالة اللزوجة. يمكن العثور على نفس الشيء بالنسبة للضغوط اللزجة العادية في Sharma (2019). [8]

يمكن أن تكون العلاقة بين الإجهاد وتأثيراته وأسبابه ، بما في ذلك التشوه ومعدل تغيير التشوه ، معقدة للغاية (على الرغم من أن التقريب الخطي قد يكون مناسبًا في الممارسة العملية إذا كانت الكميات صغيرة بما يكفي). الإجهاد الذي يتجاوز حدود قوة معينة للمادة سيؤدي إلى تشوه دائم (مثل تدفق البلاستيك ، والكسر ، والتجويف) أو حتى تغيير هيكلها البلوري وتكوينها الكيميائي.

في بعض الحالات ، يمكن وصف الضغط داخل الجسم بشكل كافٍ برقم واحد ، أو بواسطة متجه واحد (رقم واتجاه). ثلاثة من هذا القبيل ضغوط بسيطة المواقف ، التي غالبًا ما تصادف في التصميم الهندسي ، هي إجهاد طبيعي أحادي المحور، ال إجهاد القص البسيط، و ال إجهاد طبيعي الخواص. [9]

تحرير الضغط الطبيعي أحادي المحور

الموقف الشائع مع نمط الضغط البسيط هو عندما يتعرض قضيب مستقيم ، به مادة موحدة ومقطع عرضي ، للتوتر بواسطة قوى معاكسة من حيث الحجم F < displaystyle F> على طول محوره. إذا كان النظام في حالة توازن ولا يتغير بمرور الوقت ، ويمكن إهمال وزن الشريط ، فيجب أن يسحب الجزء العلوي من الجزء السفلي بنفس القوة من خلال كل قسم مستعرض من الشريط ، F مع الاستمرارية من خلال منطقة المقطع العرضي الكامل، أ. لذلك ، يمكن التعبير عن الإجهاد σ في جميع أنحاء الشريط ، عبر أي سطح أفقي ، ببساطة بالرقم الفردي σ ، المحسوب ببساطة بحجم تلك القوى ، F، ومنطقة المقطع العرضي ، أ.

يمكن أن يسمى هذا النوع من الإجهاد (البسيط) الإجهاد العادي أو الإجهاد أحادي المحور على وجه التحديد ، (أحادي المحور ، بسيط ، إلخ) إجهاد الشد. [9] إذا كان الحمل ضغطًا على الشريط ، بدلاً من تمديده ، فسيكون التحليل هو نفسه باستثناء أن القوة F والإجهاد σ < displaystyle sigma> علامة التغيير ، ويسمى الإجهاد الإجهاد الانضغاطي.

يفترض هذا التحليل أن الضغط موزع بالتساوي على المقطع العرضي بأكمله. في الممارسة العملية ، اعتمادًا على كيفية توصيل الشريط في النهايات وكيفية تصنيعه ، قد لا يكون هذا الافتراض صالحًا. في هذه الحالة ، القيمة σ = F/أ سيكون فقط متوسط ​​الضغط ، ودعا ضغوط هندسية أو الإجهاد الاسمي. ومع ذلك ، إذا كان طول الشريط إل قطرها عدة مرات د، وليس به عيوب جسيمة أو إجهاد داخلي ، يمكن افتراض أن الضغط موزع بشكل موحد على أي مقطع عرضي يزيد عن عدة مرات د من كلا الطرفين. (تُعرف هذه الملاحظة بمبدأ Saint-Venant).

يحدث الإجهاد الطبيعي في العديد من المواقف الأخرى إلى جانب التوتر والضغط المحوري. إذا تم ثني شريط مرن ذي مقطع عرضي موحد ومتماثل في إحدى مستويات التماثل الخاصة به ، فإن الناتج إجهاد الإنحناء سيظل طبيعيًا (عموديًا على المقطع العرضي) ، ولكنه سيختلف عبر المقطع العرضي: سيكون الجزء الخارجي تحت ضغط الشد ، بينما سيتم ضغط الجزء الداخلي. نوع آخر من الإجهاد الطبيعي هو طارة الإجهاد التي تحدث على جدران أنبوب أسطواني أو وعاء مملوء بسائل مضغوط.

تحرير إجهاد القص البسيط

يحدث نوع بسيط آخر من الإجهاد عندما يتم ربط طبقة سميكة بشكل منتظم من مادة مرنة مثل الغراء أو المطاط بإحكام بجسمين صلبين يتم سحبهما في اتجاهين متعاكسين بواسطة قوى موازية للطبقة أو جزء من قضيب معدني ناعم يتم قطعه بواسطة فكي أداة تشبه المقص. يترك F يكون حجم تلك القوى ، و م تكون المستوى المتوسط ​​لتلك الطبقة. تمامًا كما هو الحال في حالة الإجهاد العادية ، فإن جزء الطبقة الموجود على جانب واحد من م يجب أن يسحب الجزء الآخر بنفس القوة F. بافتراض أن اتجاه القوى معروف ، فإن الضغط عبر م يمكن التعبير عنها ببساطة بالرقم الفردي τ < displaystyle tau> ، محسوبًا ببساطة بحجم تلك القوى ، F ومنطقة المقطع العرضي ، أ.

كما في حالة الشريط المحمّل محوريًا ، في الممارسة العملية ، قد لا يتم توزيع إجهاد القص بشكل موحد على الطبقة ، لذلك ، كما كان من قبل ، فإن النسبة F/أ سيكون فقط إجهاد متوسط ​​("اسمي" ، "هندسي"). ومع ذلك ، فإن هذا المتوسط ​​غالبًا ما يكون كافياً للأغراض العملية. [10]: ص 292 يتم ملاحظة إجهاد القص أيضًا عندما يتعرض قضيب أسطواني مثل العمود لعزم دوران متعاكس في نهاياته. في هذه الحالة ، يكون إجهاد القص على كل مقطع عرضي موازيًا للمقطع العرضي ، ولكنه موجه بشكل عرضي بالنسبة إلى المحور ، ويزيد مع المسافة من المحور. يحدث إجهاد القص الكبير في اللوح الأوسط ("الشبكة") للحزم على شكل I تحت أحمال الانحناء ، بسبب الشبكة التي تقيد الصفائح الطرفية ("الفلنجات").

إجهاد الخواص

يحدث نوع بسيط آخر من الإجهاد عندما يكون الجسم المادي تحت ضغط أو توتر متساوٍ في جميع الاتجاهات. هذا هو الحال ، على سبيل المثال ، في جزء من السائل أو الغاز في حالة سكون ، سواء كان محاطًا في حاوية ما أو كجزء من كتلة أكبر من السوائل أو داخل مكعب من مادة مرنة يتم ضغطها أو سحبها على جميع الوجوه الستة بواسطة قوى عمودية متساوية - بشرط ، في كلتا الحالتين ، أن تكون المادة متجانسة ، بدون إجهاد داخلي ، وأن تأثير الجاذبية والقوى الخارجية الأخرى يمكن إهمالها.

في هذه المواقف ، يتضح أن الضغط عبر أي سطح داخلي وهمي متساوٍ في الحجم ويتم توجيهه دائمًا بشكل عمودي على السطح بغض النظر عن اتجاه السطح. يمكن استدعاء هذا النوع من التوتر طبيعي الخواص أو فقط متماثل إذا كان ضغطًا ، يطلق عليه الضغط الهيدروليكي أو فقط الضغط. لا تستطيع الغازات بحكم تعريفها تحمل ضغوط الشد ، لكن بعض السوائل قد تصمد بشكل مدهش في كميات كبيرة من إجهاد الشد الخواص في بعض الظروف. انظر أنبوب Z.

الأسطوانة تؤكد تحرير

الأجزاء ذات التناظر الدوراني ، مثل العجلات والمحاور والأنابيب والأعمدة ، شائعة جدًا في الهندسة. غالبًا ما يكون لأنماط الضغط التي تحدث في مثل هذه الأجزاء تناظر دوراني أو حتى تناظر أسطواني. يمكن أن يستفيد تحليل ضغوط الأسطوانة من التناظر لتقليل أبعاد المجال و / أو موتر الإجهاد.

تحرير موتر الإجهاد كوشي

لا يمكن وصف الضغوط المجمعة بواسطة ناقل واحد. حتى لو تم التأكيد على المادة بنفس الطريقة في جميع أنحاء حجم الجسم ، فإن الضغط عبر أي سطح وهمي سيعتمد على اتجاه ذلك السطح ، بطريقة غير تافهة.

لأي متجهات u ، v وأي أرقام حقيقية α ، β . الوظيفة σ < displaystyle < boldsymbol < sigma >>> ، التي تسمى الآن موتر الإجهاد (Cauchy) ، تصف تمامًا حالة الإجهاد للجسم المجهد بشكل موحد. (اليوم ، يُطلق على أي اتصال خطي بين كميتين فيزيائية متجهية موتر ، مما يعكس استخدام كوشي الأصلي لوصف "التوترات" (الضغوط) في مادة ما.) في حساب الموتر ، σ < displaystyle < boldsymbol < sigma >> > يصنف على أنه موتر من الدرجة الثانية من النوع (0،2).

مثل أي خريطة خطية بين المتجهات ، يمكن تمثيل موتر الإجهاد في أي نظام إحداثيات ديكارتي مختار بواسطة مصفوفة 3 × 3 من الأرقام الحقيقية. اعتمادًا على ما إذا كانت الإحداثيات مرقمة x 1 ، x 2 ، x 3 < displaystyle x_ <1> ، x_ <2> ، x_ <3>> أو مسماة x ، y ، z < displaystyle x ، y ، z> ، يمكن كتابة المصفوفة كـ

تغيير الإحداثيات تحرير

يخضع موتر الإجهاد Cauchy لقانون تحويل الموتر تحت تغيير في نظام الإحداثيات. تمثيل رسومي لقانون التحول هذا هو دائرة موهر لتوزيع الإجهاد.

الإجهاد كحقل موتر تحرير

بشكل عام ، لا يتم توزيع الإجهاد بشكل موحد على الجسم المادي ، وقد يختلف مع الوقت. لذلك ، يجب تحديد موتر الإجهاد لكل نقطة وكل لحظة ، من خلال النظر في جسيم متناهي الصغر من الوسط المحيط بتلك النقطة ، وأخذ متوسط ​​الضغوط في ذلك الجسيم على أنها الضغوط عند النقطة.

الإجهاد في لوحات رقيقة تحرير

غالبًا ما تصنع الأشياء التي يصنعها الإنسان من ألواح مخزون من مواد مختلفة من خلال عمليات لا تغير طابعها ثنائي الأبعاد بشكل أساسي ، مثل القطع والحفر والانحناء اللطيف واللحام على طول الحواف. يمكن تبسيط وصف الإجهاد في مثل هذه الأجسام عن طريق نمذجة تلك الأجزاء على أنها أسطح ثنائية الأبعاد بدلاً من أجسام ثلاثية الأبعاد.

في هذا الرأي ، يعيد المرء تعريف "الجسيم" على أنه رقعة متناهية الصغر من سطح اللوحة ، بحيث تصبح الحدود بين الجسيمات المتجاورة عنصرًا متناهي الصغر يمتد كلاهما ضمنيًا في البعد الثالث ، من الطبيعي إلى (مباشرة من خلال) اللوحة. ثم يتم إعادة تعريف "الإجهاد" على أنه مقياس للقوى الداخلية بين "جسيمين" متجاورين عبر عنصر الخط المشترك ، مقسومًا على طول ذلك الخط. يمكن تجاهل بعض مكونات موتر الإجهاد ، ولكن نظرًا لأن الجسيمات ليست متناهية الصغر في البعد الثالث ، لم يعد بإمكان المرء تجاهل عزم الدوران الذي يطبقه الجسيم على جيرانه. تم تصميم هذا العزم على شكل a إجهاد الإنحناء التي تميل إلى تغيير انحناء اللوح. ومع ذلك ، قد لا تصمد هذه التبسيط في اللحامات ، عند الانحناءات والتجاعيد الحادة (حيث يكون نصف قطر الانحناء مشابهًا لسمك اللوحة).

الإجهاد في الحزم الرقيقة تحرير

يمكن تبسيط تحليل الإجهاد إلى حد كبير أيضًا بالنسبة للقضبان الرقيقة أو الحزم أو الأسلاك ذات التكوين الموحد (أو المتغير بسلاسة) والمقطع العرضي الذي يتعرض للانحناء والالتواء المعتدلين. بالنسبة لتلك الأجسام ، يمكن للمرء أن يفكر فقط في المقاطع العرضية المتعامدة على محور القضيب ، ويعيد تعريف "الجسيم" على أنه قطعة من الأسلاك بطول متناهٍ في الصغر بين مقطعين عرضيين من هذا القبيل. ثم يتم تقليل الضغط العادي إلى مستوى قياسي (توتر أو ضغط للقضيب) ، ولكن يجب على المرء أن يأخذ في الاعتبار أيضًا إجهاد الإنحناء (الذي يحاول تغيير انحناء الشريط ، في اتجاه ما عموديًا على المحور) و a الإجهاد الالتوائي (التي تحاول تحريفها أو فكها حول محورها).

أوصاف أخرى للتوتر

يستخدم موتر الإجهاد كوشي لتحليل الإجهاد للأجسام المادية التي تعاني من تشوهات صغيرة حيث يمكن إهمال الاختلافات في توزيع الإجهاد في معظم الحالات. بالنسبة للتشوهات الكبيرة ، والتي تسمى أيضًا التشوهات المحدودة ، يلزم إجراء مقاييس أخرى للإجهاد ، مثل موتر الإجهاد الأول والثاني من Piola-Kirchhoff ، وموتّر الإجهاد Biot ، وموتّر الإجهاد Kirchhoff.

تحتوي المواد الصلبة والسوائل والغازات على مجالات ضغط. السوائل الساكنة تدعم الضغط الطبيعي ولكنها تتدفق تحت إجهاد القص. يمكن أن تدعم السوائل اللزجة المتحركة إجهاد القص (الضغط الديناميكي). يمكن أن تدعم المواد الصلبة كلاً من إجهاد القص والضغط الطبيعي ، مع فشل المواد المطيلة تحت القص وتفشل المواد الهشة تحت الضغط الطبيعي. جميع المواد لها اختلافات تعتمد على درجة الحرارة في الخصائص المتعلقة بالإجهاد ، والمواد غير النيوتونية لها اختلافات تعتمد على المعدل.

تحليل الإجهاد هو فرع من فروع الفيزياء التطبيقية التي تغطي تحديد التوزيع الداخلي للقوى الداخلية في الأجسام الصلبة. إنها أداة أساسية في الهندسة لدراسة وتصميم الهياكل مثل الأنفاق والسدود والأجزاء الميكانيكية والإطارات الإنشائية ، تحت الأحمال المحددة أو المتوقعة. من المهم أيضًا في العديد من التخصصات الأخرى ، على سبيل المثال ، في الجيولوجيا ، دراسة الظواهر مثل الصفائح التكتونية ، والفلكنة والانهيارات الجليدية وفي علم الأحياء ، لفهم تشريح الكائنات الحية.

الأهداف والافتراضات تحرير

يهتم تحليل الإجهاد عمومًا بالأشياء والهياكل التي يمكن افتراض أنها في حالة توازن ثابت مجهري. وفقًا لقوانين نيوتن للحركة ، يجب موازنة أي قوى خارجية يتم تطبيقها على مثل هذا النظام بواسطة قوى رد فعل داخلية ، [11]: ص 97 والتي هي دائمًا قوى تلامس سطحية بين الجسيمات المجاورة - أي كضغط. [5] نظرًا لأن كل جسيم يحتاج إلى أن يكون في حالة توازن ، فإن إجهاد التفاعل هذا سينتشر عمومًا من جسيم إلى آخر ، مما يؤدي إلى توزيع الإجهاد في جميع أنحاء الجسم.

المشكلة النموذجية في تحليل الإجهاد هي تحديد هذه الضغوط الداخلية ، بالنظر إلى القوى الخارجية التي تعمل على النظام. قد تكون الأخيرة هي قوى الجسم (مثل الجاذبية أو التجاذب المغناطيسي) ، والتي تعمل في جميع أنحاء حجم المادة [12]: ص 42 - 81 أو أحمال مركزة (مثل الاحتكاك بين المحور والمحمل ، أو وزن عجلة قطار على سكة حديدية) ، والتي يُتصور أنها تعمل فوق منطقة ثنائية الأبعاد ، أو على طول خط ، أو في نقطة واحدة.

في تحليل الإجهاد ، يتجاهل المرء عادة الأسباب المادية للقوى أو الطبيعة الدقيقة للمواد. بدلاً من ذلك ، يفترض المرء أن الضغوط مرتبطة بالتشوه (وفي المشكلات غير الثابتة ، بمعدل التشوه) للمادة بواسطة المعادلات التأسيسية المعروفة. [13]

طرق تحرير

يمكن إجراء تحليل الإجهاد بشكل تجريبي ، عن طريق تطبيق الأحمال على الأداة الفعلية أو على نموذج المقياس ، وقياس الضغوط الناتجة ، بأي من الطرق العديدة المتاحة. غالبًا ما يستخدم هذا النهج لإصدار شهادات السلامة والمراقبة. ومع ذلك ، يتم إجراء معظم تحليل الإجهاد بالطرق الرياضية ، خاصة أثناء التصميم. يمكن صياغة مشكلة تحليل الإجهاد الأساسية من خلال معادلات أويلر للحركة للأجسام المستمرة (وهي نتائج لقوانين نيوتن للحفاظ على الزخم الخطي والزخم الزاوي) ومبدأ إجهاد أويلر-كوشي ، جنبًا إلى جنب مع المعادلات التأسيسية المناسبة. وهكذا يحصل المرء على نظام من المعادلات التفاضلية الجزئية التي تتضمن مجال موتر الإجهاد ومجال موتر الإجهاد ، كوظائف غير معروفة يتعين تحديدها. تظهر قوى الجسم الخارجية كمصطلح مستقل ("الجانب الأيمن") في المعادلات التفاضلية ، بينما تظهر القوى المركزة كشروط حدودية. وبالتالي ، فإن مشكلة تحليل الإجهاد الأساسية هي مشكلة ذات قيمة حدية.

يعتمد تحليل الإجهاد للهياكل المرنة على نظرية المرونة ونظرية الإجهاد اللانهائي. عندما تتسبب الأحمال المطبقة في حدوث تشوه دائم ، يجب على المرء استخدام معادلات تأسيسية أكثر تعقيدًا ، والتي يمكن أن تفسر العمليات الفيزيائية المعنية (تدفق البلاستيك ، والكسر ، وتغير الطور ، وما إلى ذلك).

ومع ذلك ، عادةً ما يتم تصميم الهياكل الهندسية بحيث تكون الضغوط القصوى المتوقعة ضمن نطاق المرونة الخطية (تعميم قانون هوك للوسائط المستمرة) أي أن التشوهات التي تسببها الضغوط الداخلية مرتبطة خطيًا بها. في هذه الحالة ، تكون المعادلات التفاضلية التي تحدد موتر الإجهاد خطية ، وتصبح المشكلة أسهل بكثير. لسبب واحد ، سيكون الضغط عند أي نقطة دالة خطية للأحمال أيضًا. بالنسبة للضغوط الصغيرة بما يكفي ، يمكن افتراض أن الأنظمة غير الخطية خطية.

يتم تبسيط تحليل الإجهاد عندما تسمح الأبعاد المادية وتوزيع الأحمال بالتعامل مع الهيكل على أنه أحادي أو ثنائي الأبعاد. في تحليل الجمالونات ، على سبيل المثال ، قد يُفترض أن يكون مجال الضغط موحدًا وأحادي المحور فوق كل عضو. ثم تختزل المعادلات التفاضلية إلى مجموعة محدودة من المعادلات (عادة خطية) مع عدد محدود من المجاهيل. في سياقات أخرى ، قد يكون المرء قادرًا على تقليل المشكلة ثلاثية الأبعاد إلى مشكلة ثنائية الأبعاد ، و / أو استبدال موتر الإجهاد والتوتر العام بنماذج أبسط مثل التوتر / الانضغاط أحادي المحور ، القص البسيط ، إلخ.

ومع ذلك ، بالنسبة للحالات ثنائية أو ثلاثية الأبعاد ، يجب على المرء أن يحل مشكلة معادلة تفاضلية جزئية. يمكن الحصول على الحلول التحليلية أو ذات الشكل المغلق للمعادلات التفاضلية عندما تكون الهندسة والعلاقات التأسيسية والشروط الحدودية بسيطة بدرجة كافية. وبخلاف ذلك ، يجب على المرء عمومًا اللجوء إلى التقديرات العددية مثل طريقة العناصر المحدودة وطريقة الفروق المحدودة وطريقة العنصر الحدودي.

تشمل مقاييس الإجهاد المفيدة الأخرى موتر الإجهاد Piola-Kirchhoff الأول والثاني ، وموتّر الإجهاد Biot ، وموتّر الإجهاد Kirchhoff.

تحرير موتر الإجهاد Piola – Kirchhoff

في حالة التشوهات المحدودة ، فإن موتر الإجهاد Piola-Kirchhoff التعبير عن الضغط المتعلق بالتكوين المرجعي. هذا على عكس موتر الإجهاد Cauchy الذي يعبر عن الإجهاد المتعلق بالتكوين الحالي. بالنسبة للتشوهات المتناهية الصغر والدوران ، فإن موترات كوشي وبيولا-كيرشوف متطابقة.

في حين أن موتر إجهاد كوشي σ < displaystyle < boldsymbol < sigma >>> يتعلق بالإجهادات في التكوين الحالي ، فإن التدرج اللوني التشوه وموترات الإجهاد موصوفان بربط الحركة بالتكوين المرجعي وبالتالي لا تصف جميع الموترات حالة المواد إما في المرجع أو التكوين الحالي. إن وصف الإجهاد والتوتر والتشوه سواء في المرجع أو التكوين الحالي سيجعل من السهل تحديد النماذج التأسيسية (على سبيل المثال ، موتر الإجهاد Cauchy متغير إلى دوران خالص ، في حين أن موتر إجهاد التشوه ثابت وبالتالي خلق مشاكل في تعريف النموذج التأسيسي الذي يربط موترًا متغيرًا ، من حيث الموتر الثابت أثناء الدوران الخالص حيث أن النماذج التأسيسية بحكم التعريف يجب أن تكون ثابتة للدوران النقي). موتر الإجهاد Piola – Kirchhoff الأول ، P >> أحد الحلول الممكنة لهذه المشكلة. تحدد عائلة من الموترات ، والتي تصف تكوين الجسم في الحالة الحالية أو المرجعية.

من حيث المكونات فيما يتعلق بالأساس المتعامد ، يتم إعطاء إجهاد Piola-Kirchhoff الأول بواسطة

الفوسفور i L = J σ i k F L k - 1 = J σ i k ∂ X L ∂ x k = ي

نظرًا لأنه يرتبط بأنظمة إحداثيات مختلفة ، فإن إجهاد Piola-Kirchhoff الأول هو موتر من نقطتين. بشكل عام ، إنه غير متماثل. إجهاد Piola-Kirchhoff الأول هو التعميم ثلاثي الأبعاد لمفهوم 1D للإجهاد الهندسي.

إذا كانت المادة تدور دون تغيير في حالة الإجهاد (الدوران الصلب) ، فإن مكونات موتر الإجهاد الأول Piola-Kirchhoff ستختلف مع اتجاه المادة.

إجهاد Piola-Kirchhoff الأول هو طاقة مترافقة مع تدرج التشوه.

2 تحرير موتر الإجهاد Piola – Kirchhoff

في تدوين الفهرس فيما يتعلق بالأساس المتعامد ،

S I L = J F I k - 1 F L m - 1 σ k m = J ∂ X I ∂ x k ∂ X L ∂ x m σ k m < displaystyle S_= ي

هذا الموتر ، موتر ذو نقطة واحدة ، متماثل.

إذا كانت المادة تدور دون تغيير في حالة الإجهاد (الدوران الصلب) ، فإن مكونات موتر الإجهاد الثاني Piola-Kirchhoff تظل ثابتة ، بغض النظر عن اتجاه المادة.

موتر إجهاد Piola-Kirchhoff الثاني هو موتر إجهاد مترافق مع موتر الإجهاد المحدود Green-Lagrange.


شاهد الفيديو: GaussJordan elimination result only using system of linear equation in casio fx 991ES Calculator (شهر اكتوبر 2021).