مقالات

9.7: حل النظم مع الانعكاسات - الرياضيات


أهداف التعلم

  • أوجد معكوس المصفوفة.
  • حل نظام معادلات خطية باستخدام معكوس المصفوفة

تخطط نانسي لاستثمار ($ 10،500 ) في سندات مختلفة لتوزيع مخاطرها. السند الأول له عائد سنوي قدره (10٪ ) ، والسند الثاني له عائد سنوي قدره (6٪ ). للحصول على عائد (8.5٪ ) من السندات ، كم يجب أن تستثمر نانسي في كل سند؟ ما هي أفضل طريقة لحل هذه المشكلة؟ هناك عدة طرق يمكننا من خلالها حل هذه المشكلة. كما رأينا في الأقسام السابقة ، فإن أنظمة المعادلات والمصفوفات مفيدة في حل مشاكل العالم الحقيقي التي تنطوي على التمويل. بعد دراسة هذا القسم ، ستكون لدينا الأدوات اللازمة لحل مشكلة الرابطة باستخدام معكوس المصفوفة.

إيجاد معكوس المصفوفة

نعلم أن المعكوس الضربي للعدد الحقيقي (a ) هو (a ^ {- 1} ) ، لذلك

[aa ^ {- 1} = a ^ {- 1} a = left ( dfrac {1} {a} right) a = 1 label {eq0} ]

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك حالة الضرب القياسي

[2 ^ {- 1} = dfrac {1} {2} nonumber ]

لذلك من المعادلة المرجع {eq0}

[ left ( dfrac {1} {2} right) 2 = 1. لا يوجد رقم]

ال المعكوس الضربي لمصفوفة مشابه في المفهوم ، باستثناء أن حاصل ضرب المصفوفة (A ) ومعكوسها (A ^ {- 1} ) يساوي مصفوفة الهوية. مصفوفة الوحدة هي مصفوفة مربعة تحتوي على الآحاد أسفل القطر الرئيسي والأصفار في كل مكان آخر. نحدد مصفوفات الهوية من خلال (I_n ) حيث (n ) يمثل بعد المصفوفة. المعادلات ref {eq1} و ref {eq2} هي مصفوفات الوحدة لمصفوفة (2 × 2 ) ومصفوفة (3 × 3 ) ، على التوالي:

[I_2 = begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {bmatrix} label {eq1} ]

[I_3 = begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix} label {eq2} ]

تعمل مصفوفة الهوية كـ (1 ) في جبر المصفوفة. فمثلا،

[AI = IA = A nonumber ]

تمتلك المصفوفة التي لها معكوس ضربي خصائصها

[AA ^ {- 1} = أنا ]

[A ^ {- 1} أ = أنا ]

تسمى المصفوفة التي لها معكوس ضربي مصفوفة غير قابلة للعكس. فقط المصفوفة المربعة قد يكون لها معكوس ضربي ، مثل الانعكاس ،

[AA ^ {- 1} = A ^ {- 1} A = I ]

هو مطلب. لا تحتوي كل المصفوفات المربعة على معكوس ، ولكن إذا كان (A ) قابلاً للعكس ، فإن (A ^ {- 1} ) فريد. سننظر في طريقتين لإيجاد معكوس المصفوفة (2 × 2 ) والطريقة الثالثة التي يمكن استخدامها في كل من المصفوفتين (2 × 2 ) و (3 × 3 ).

التعريفات: مصفوفة الهوية والعكس المتعدد

ال مصفوفة الهوية، (I_n ) ، عبارة عن مصفوفة مربعة تحتوي على الآحاد أسفل القطر الرئيسي والأصفار في كل مكان آخر.

[I_2 = start {bmatrix} 1 & 0 nonumber 0 & 1 end {bmatrix} ]

بالنسبة لمصفوفة الهوية (2 × 2 )

[I_3 = begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 nonumber 0 & 1 & 0 nonumber 0 & 0 & 1 end {bmatrix} ]

بالنسبة لمصفوفة الهوية (3 × 3 )

إذا كان (A ) عبارة (n × n ) مصفوفة و (B ) عبارة عن (n × n ) مصفوفة بحيث (AB = BA = I_n ) ، إذن (B = A −1 ) ، فإن المعكوس الضربي للمصفوفة (A ).

مثال ( PageIndex {1} ): إظهار أن مصفوفة الهوية تعمل كـ 1

بالنظر إلى المصفوفة (A ) ، أظهر ذلك (AI = IA = A ).

[A = start {bmatrix} 3 & 4 nonumber −2 & 5 end {bmatrix} ]

المحلول

استخدم ضرب المصفوفة لتوضيح أن حاصل ضرب (A ) ومصفوفة الوحدة يساوي حاصل ضرب مصفوفة الوحدة و (A ).

[ start {align *} AI & = begin {bmatrix} 3 & 4 nonumber −2 & 5 end {bmatrix} begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber 0 & 1 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = start {bmatrix} 3⋅1 + 4⋅0 & 3⋅0 + 4⋅1 nonumber −2⋅1 + 5⋅0 & −2⋅0 + 5⋅1 end {bmatrix} nonumber [ 4pt] & = start {bmatrix} 3 & 4 nonumber −2 & 5 end {bmatrix} end {align *} ]

[ start {align *} AI & = begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber 0 & 1 end {bmatrix} begin {bmatrix} 3 & 4 nonumber −2 & 5 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = start {bmatrix} 1⋅3 + 0⋅ (−2) & 1⋅4 + 0⋅5 nonumber 0⋅3 + 1⋅ (−2) & 0⋅4 + 1⋅5 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 3 & 4 nonumber −2 & 5 end {bmatrix} end {align *} ]

الكيفية: بالنظر إلى مصفوفتين ، وضح أن إحداهما هي المعكوس الضربي للأخرى

  • بالنظر إلى المصفوفة (A ) الترتيب (n × n ) والمصفوفة (B ) الترتيب (n × n ) اضرب (AB ).
  • إذا كان (AB = I ) ، فابحث عن المنتج (BA ). إذا (BA = I ) ، إذن (B = A ^ {- 1} ) و (A = B ^ {- 1} ).

مثال ( PageIndex {2} ): إظهار أن المصفوفة (A ) هي معكوس مضاعف للمصفوفة (ب )

أظهر أن المصفوفات المعطاة هي مقلوب مضاعفة لبعضها البعض.

[A = begin {bmatrix} 1 & 5 nonumber −2 & −9 end {bmatrix} ]

و

[B = begin {bmatrix} −9 & −5 nonumber 2 & 1 end {bmatrix} ]

المحلول

اضرب (AB ) و (BA ). إذا تساوى كلا المنتجين مع الهوية ، فإن المصفوفتين تكونان معكوسة لبعضهما البعض.

[ start {align *} AB & = begin {bmatrix} 1 & 5 nonumber −2 & −9 end {bmatrix} · begin {bmatrix} −9 & −5 nonumber 2 & 1 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 1 (−9) +5 (2) & 1 (−5) +5 (1) nonumber −2 (−9) −9 (2) & −2 (−5) −9 (1) end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber 0 & 1 end {bmatrix} end {align *} ]

و

[ start {align *} BA & = begin {bmatrix} −9 & −5 nonumber 2 & 1 end {bmatrix} · begin {bmatrix} 1 & 5 nonumber −2 & −9 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = start {bmatrix} −9 (1) −5 (−2) & - 9 (5) −5 (−9) nonumber 2 (1) +1 (−2 ) & 2 (−5) +1 (−9) end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber 0 & 1 end {bmatrix} end {align *} ]

(A ) و (B ) هما مقلوبان لبعضهما البعض.

تمرين ( PageIndex {1} )

أظهر أن المصفوفتين التاليتين عبارة عن مقلوب لبعضهما البعض.

[A = start {bmatrix} 1 & 4 nonumber [4pt] −1 & −3 end {bmatrix} ]

و

[B = begin {bmatrix} −3 & −4 nonumber [4pt] 1 & 1 end {bmatrix} ]

إجابه

( start {align *} AB & = begin {bmatrix} 1 & 4 nonumber [4pt] −1 & −3 end {bmatrix} begin {bmatrix} −3 & −4 nonumber [4pt] 1 & 1 النهاية {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 1 (−3) +4 (1) & 1 (−4) +4 (1) nonumber [4pt] −1 (−3 ) + - 3 (1) & - 1 (−4) + - 3 (1) end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 end {bmatrix} end {align *} )

( start {align *} BA & = begin {bmatrix} −3 & −4 nonumber [4pt] 1 & 1 end {bmatrix} begin {bmatrix} 1 & 4 nonumber [4pt] −1 & −3 نهاية {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} −3 (1) + - 4 (−1) & - 3 (4) + - 4 (−3) nonumber [4pt] 1 (1) +1 (−1) & 1 (4) +1 (−3) end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 end {bmatrix} end {align *} )

إيجاد المعكوس الضربي باستخدام ضرب المصفوفة

يمكننا الآن تحديد ما إذا كانت مصفوفتان مقلوبتان ، ولكن كيف يمكننا إيجاد معكوس مصفوفة معطاة؟ نظرًا لأننا نعلم أن حاصل ضرب المصفوفة وعكسها هو مصفوفة الوحدة ، يمكننا إيجاد معكوس المصفوفة بإعداد معادلة باستخدام ضرب المصفوفة.

مثال ( PageIndex {3} ): إيجاد المعكوس الضربي باستخدام عملية ضرب المصفوفة

استخدم ضرب المصفوفة لإيجاد معكوس المصفوفة الآتية.

[A = begin {bmatrix} 1 & −2 nonumber [4pt] 2 & −3 end {bmatrix} ]

المحلول

في هذه الطريقة ، نضرب (A ) في مصفوفة تحتوي على ثوابت غير معروفة ونجعلها مساوية للهوية.

( start {bmatrix} 1 & −2 nonumber [4pt] 2 & −3 end {bmatrix} begin {bmatrix} a & b nonumber [4pt] c & d end {bmatrix} = begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 end {bmatrix} )

أوجد حاصل ضرب المصفوفتين على الجانب الأيسر من علامة التساوي.

[ start {bmatrix} 1 & −2 nonumber [4pt] 2 & −3 end {bmatrix} begin {bmatrix} a & b nonumber [4pt] c & d end {bmatrix} = begin {bmatrix} 1a − 2c & 1b − 2d nonumber [4pt] 2a − 3c & 2b − 3d end {bmatrix} ]

بعد ذلك ، قم بإعداد نظام معادلات بحيث يكون الإدخال في الصف 1 والعمود 1 من المصفوفة الجديدة مساويًا للإدخال الأول للهوية ، (1 ). عيّن الإدخال في الصف 2 ، العمود 1 من المصفوفة الجديدة مساويًا لإدخال الهوية المقابل ، وهو (0 ).

(1a − 2c = 1 مسافة R_1 )

(2 أ − 3 ج = 0 مسافة R_2 )

باستخدام عمليات الصفوف ، اضرب وأضف كما يلي: ((- 2) R_1 + R_2 rightarrow R_2 ). أضف المعادلات وحل من أجل (c ).

[ start {align *} 1a − 2c & = 1 nonumber [4pt] 0 + 1c & = - 2 nonumber [4pt] c = −2 nonumber end {align *} nonumber ]

البديل الخلفي لحل (أ ).

[ start {align *} a − 2 (−2) & = 1 nonumber [4pt] a + 4 & = 1 nonumber [4pt] a & = - 3 nonumber end {align *} لا يوجد رقم]

اكتب نظام معادلات آخر يحدد الإدخال في الصف 1 والعمود 2 من المصفوفة الجديدة الذي يساوي الإدخال المقابل للهوية ، (0 ). قم بتعيين الإدخال في الصف 2 ، العمود 2 مساويًا لإدخال الهوية المقابل.

(1b − 2d = 0 مسافة R_1 )

(2 ب − 3d = 1 مسافة R_2 )

باستخدام عمليات الصفوف ، اضرب وأضف كما يلي: ((- 2) R_1 + R_2 = R_2 ). أضف المعادلتين وحل من أجل (د ).

[ start {align *} 1b − 2d & = 0 nonumber [4pt] 0 + 1d & = 1 nonumber [4pt] d & = 1 nonumber end {align *} nonumber ]

مرة أخرى ، استبدل الخلف وحل من أجل (ب ).

[ start {align *} b − 2 (1) & = 0 nonumber [4pt] b & −2 = 0 nonumber [4pt] b & = 2 nonumber end {align *} nonumber ]

[A ^ {- 1} = begin {bmatrix} −3 & 2 nonumber [4pt] −2 & 1 end {bmatrix} ]

إيجاد المعكوس الضربي عن طريق التعزيز باستخدام المتطابقة

طريقة أخرى للعثور على المعكوس الضربي من خلال زيادة الهوية. عندما يتم تحويل المصفوفة (A ) إلى (I ) ، تتحول المصفوفة (I ) إلى (A ^ {- 1} ).

على سبيل المثال ، معطى

(A = begin {bmatrix} 2 & 1 nonumber [4pt] 5 & 3 end {bmatrix} )

زيادة (أ ) مع الهوية

( left [ start {array} {cc | cc} 2 & 1 & 1 & 0 5 & 3 & 0 & 1 end {array} right] )

قم بإجراء عمليات على الصف بهدف تحويل A إلى الهوية.

  1. تبديل الصف 1 والصف 2.

    ( left [ start {array} {cc | cc} 5 & 3 & 0 & 1 nonumber [4pt] 2 & 1 & 1 & 0 end {array} right] )

  2. اضرب الصف 2 في 2 وأضف الصف 1.

    ( left [ begin {array} {cc | cc} 1 & 1 & -2 & 1 nonumber [4pt] 2 & 1 & 1 & 0 end {array} right] )

  3. اضرب الصف 1 في −2 وأضف الصف 2.

    ( left [ begin {array} {cc | cc} 1 & 1 & -2 & 1 nonumber [4pt] 0 & -1 & 5 & -2 end {array} right] )

  4. أضف الصف 2 إلى الصف 1.
  5. اضرب الصف 2 ب − 1. −1.

المصفوفة التي وجدناها هي (A ^ {- 1} ).

(A ^ {- 1} = begin {bmatrix} 3 & −1 nonumber [4pt] −5 & 2 end {bmatrix} )

إيجاد المعكوس الضربي لمصفوفات (2 × 2 ) باستخدام صيغة

عندما نحتاج إلى إيجاد المعكوس الضربي في مصفوفة (2 × 2 ) ، يمكننا استخدام صيغة خاصة بدلاً من استخدام ضرب المصفوفة أو زيادة الهوية.

إذا كان (A ) عبارة عن (2 × 2 ) مصفوفة ، مثل

(A = begin {bmatrix} a & b nonumber [4pt] c & d end {bmatrix} )

يتم إعطاء المعكوس الضربي لـ (A ) بواسطة الصيغة

(A ^ {- 1} = dfrac {1} {ad − bc} begin {bmatrix} d & −b nonumber [4pt] −c & a end {bmatrix} )

حيث (إعلان − قبل الميلاد ≠ 0 ). إذا كان (ad − bc = 0 ) ، فإن (A ) ليس له معكوس.

مثال ( PageIndex {4} ): استخدام الصيغة لإيجاد المعكوس الضرب للمصفوفة (A )

استخدم الصيغة لإيجاد المعكوس الضربي لـ

[A = begin {bmatrix} 1 & −2 nonumber [4pt] 2 & −3 end {bmatrix} ]

المحلول

يمكننا التحقق من أن الصيغة تعمل باستخدام إحدى الطرق الأخرى لحساب المعكوس. دعونا نزيد (أ ) بالهوية.

( left [ begin {array} {cc | cc} 1 & -2 & 1 & 0 nonumber [4pt] 2 & -3 & 0 & 1 end {array} right] )

قم بإجراء عمليات على الصف بهدف تحويل (أ ) إلى الهوية.

  1. اضرب الصف 1 ب (- 2 ) وأضف الصف 2.

    ( left [ begin {array} {cc | cc} 1 & -2 & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 & -2 & 1 end {array} right] )

  2. اضرب الصف 1 في (2 ) وأضف الصف 1.

    ( left [ begin {array} {cc | cc} 1 & 0 & -3 & 2 nonumber [4pt] 0 & 1 & -2 & 1 end {array} right] )

لذلك ، تحققنا من حلنا الأصلي.

(A ^ {- 1} = start {bmatrix} −3 & 2 nonumber [4pt] −2 & 1 end {bmatrix} )

تمرين ( PageIndex {2} )

استخدم الصيغة لإيجاد معكوس المصفوفة (A ). تحقق من إجابتك عن طريق زيادة مصفوفة الهوية.

(A = begin {bmatrix} 1 & −1 nonumber [4pt] 2 & 3 end {bmatrix} )

إجابه

(A ^ {- 1} = begin {bmatrix} dfrac {3} {5} & dfrac {1} {5} nonumber [4pt] - dfrac {2} {5} & dfrac {1} {5} end {bmatrix} )

مثال ( PageIndex {5} ): إيجاد معكوس المصفوفة ، إذا كانت موجودة

أوجد معكوس المصفوفة المعطاة ، إن وجد.

(A = begin {bmatrix} 3 & 6 nonumber [4pt] 1 & 2 end {bmatrix} )

المحلول

سوف نستخدم طريقة الزيادة مع الهوية.

( left [ start {array} {cc | cc} 3 & 6 & 1 & 0 nonumber [4pt] 1 & 3 & 0 & 1 end {array} right] )

  1. تبديل الصف 1 والصف 2.

    ( left [ start {array} {cc | cc} 1 & 3 & 0 & 1 nonumber [4pt] 3 & 6 & 1 & 0 end {array} right] )

  2. اضرب الصف 1 في −3 وأضفه إلى الصف 2.

    ( left [ begin {array} {cc | cc} 1 & 2 & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 0 & -3 & 1 end {array} right] )

  3. لا يوجد شيء آخر يمكننا القيام به. تشير الأصفار في الصف 2 إلى أن هذه المصفوفة ليس لها معكوس.
إيجاد المعكوس الضربي لمصفوفات (3 × 3 )

لسوء الحظ ، ليس لدينا صيغة مشابهة لتلك الخاصة بمصفوفة (2 × 2 ) لإيجاد معكوس المصفوفة (3 × 3 ). بدلاً من ذلك ، سنزيد المصفوفة الأصلية بمصفوفة الهوية ونستخدم عمليات الصف للحصول على المعكوس.

إعطاء مصفوفة (3 × 3 )

[A = begin {bmatrix} 2 & 3 & 1 nonumber [4pt] 3 & 3 & 1 nonumber [4pt] 2 & 4 & 1 end {bmatrix} ]

زيادة (أ ) بمصفوفة الهوية

[ start {array} {c | c} A&I end {array} = left [ begin {array} {ccc | ccc} 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 nonumber [4pt] 3 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 nonumber [4pt] 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 نهاية {مجموعة} يمين] ]

للبدء ، نكتب المصفوفة المعززة مع الهوية على اليمين و (A ) على اليسار. أداء الابتدائية عمليات الصف بحيث أن مصفوفة الهوية يظهر على اليسار ، وسوف نحصل على مصفوفة معكوسة على اليمين. سنجد معكوس هذه المصفوفة في المثال التالي.

الكيفية: بالنظر إلى مصفوفة (3 × 3 ) ، أوجد المعكوس

  1. اكتب المصفوفة الأصلية مدعمة بمصفوفة الوحدة على اليمين.
  2. استخدم عمليات الصف الأولية بحيث تظهر الهوية على اليسار.
  3. ما تم الحصول عليه على اليمين هو معكوس المصفوفة الأصلية.
  4. استخدم ضرب المصفوفة لتوضيح أن (AA ^ {- 1} = I ) و (A ^ {- 1} A = I ).

مثال ( PageIndex {6} ): إيجاد معكوس المصفوفة (3 × 3 )

بمعلومية (3 × 3 ) المصفوفة (A ) ، أوجد المعكوس.

(A = begin {bmatrix} 2 & 3 & 1 nonumber [4pt] 3 & 3 & 1 nonumber [4pt] 2 & 4 & 1 end {bmatrix} )

المحلول

Augment (A ) بمصفوفة الهوية ، ثم ابدأ عمليات الصفوف حتى تحل مصفوفة الهوية محل (A ). ستكون المصفوفة الموجودة على اليمين معكوس (A ).

( left [ begin {array} {ccc | ccc} 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 nonumber [4pt] 3 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 nonumber [4pt] 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 end {array} right] xrightarrow {Interchange space R_2 space and space R_1} left [ start {array} {ccc | ccc} 3 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 nonumber [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 nonumber [4pt] 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 end {array} right] )

(- R_2 + R_1 = R_1 rightarrow left [ start {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 nonumber [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 0 nonumber [4pt] 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 end {array} right] )

(- R_2 + R_3 = R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 nonumber [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 end {array} حق])

(R_2 leftrightarrow R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 1 nonumber [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 end {array} right] )

(- 2R_1 + R_3 = R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 nonumber [4pt] 0 & 3 & 1 & 3 & -2 & 0 end {array } حق])

(- 3R_2 + R_3 = R_3 rightarrow left [ start {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 1 nonumber [4pt] 0 & 0 & 1 & 6 & -2 & -3 end {مجموعة} يمين] )

هكذا،

(A ^ {- 1} = B = start {bmatrix} −1 & 1 & 0 nonumber [4pt] −1 & 0 & 1 nonumber [4pt] 6 & −2 & −3 end {bmatrix} )

التحليلات

لإثبات أن (B = A ^ {- 1} ) ، دعنا نضرب المصفوفتين معًا لنرى ما إذا كان المنتج يساوي الهوية ، إذا (AA ^ {- 1} = I ) و (A ^ { −1} أ = أنا ).

[ begin {align *} AA ^ {- 1} & = begin {bmatrix} 2 & 3 & 1 nonumber [4pt] 3 & 3 & 1 nonumber [4pt] 2 & 4 & 1 end {bmatrix} begin {bmatrix} −1 & 1 & 0 nonumber [4pt] −1 & 0 & 1 nonumber [4pt] 6 & −2 & −3 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 2 (−1) +3 (−1 ) +1 (6) & 2 (1) +3 (0) +1 (−2) & 2 (0) +3 (1) +1 (−3) nonumber [4pt] 3 (−1) +3 (−1) +1 (6) & 3 (1) +3 (0) +1 (−2) & 3 (0) +3 (1) +1 (−3) nonumber [4pt] 2 ( −1) +4 (−1) +1 (6) & 2 (1) +4 (0) +1 (−2) & 2 (0) +4 (1) +1 (−3) النهاية {bmatrix } nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 0 & 1 end {bmatrix} nonumber [4pt] A ^ {- 1} A & = begin {bmatrix} −1 & 1 & 0 nonumber [4pt] −1 & 0 & 1 nonumber [4pt] 6 & −2 & −3 end {bmatrix} begin {bmatrix} & 2 & 31 nonumber [4pt] 3 & 3 & 1 nonumber [4pt] 2 & 4 & 1 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} −1 (2) +1 (3) +0 (2) & −1 (3) +1 (3) +0 (4) & −1 (1) +1 (1) +0 (1) nonumber [4pt] −1 (2) +0 (3) +1 (2) & −1 (3) +0 (3) + 1 (4) & −1 (1) +0 (1) +1 (1) nonumber [4pt] 6 (2) + - 2 (3) + - 3 (2) & 6 (3) + - 2 (3) + - 3 (4) & 6 (1) + - 2 (1) + - 3 (1) end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 nonumbe r [4pt] 0 & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 0 & 1 end {bmatrix} end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {3} )

أوجد معكوس المصفوفة (3 × 3 ).

(A = start {bmatrix} 2 & −17 & 11 nonumber [4pt] −1 & 11 & −7 nonumber [4pt] 0 & 3 & −2 end {bmatrix} )

إجابه

(A ^ {- 1} = start {bmatrix} 1 & 1 & 2 nonumber [4pt] 2 & 4 & −3 nonumber [4pt] 3 & 6 & −5 end {bmatrix} )

حل نظام المعادلات الخطية باستخدام معكوس المصفوفة

يتطلب حل نظام المعادلات الخطية باستخدام معكوس المصفوفة تعريف مصفوفتين جديدتين: (X ) هي المصفوفة التي تمثل متغيرات النظام ، و (B ) هي المصفوفة التي تمثل الثوابت. استخدام ضرب المصفوفة، قد نحدد نظام المعادلات بنفس عدد المعادلات مثل المتغيرات

(AX = B )

لحل نظام المعادلات الخطية باستخدام مصفوفة عكسية ، دع (A ) يكون مصفوفة المعامل ، دع (X ) يكون المصفوفة المتغيرة ، واجعل (B ) هو المصفوفة الثابتة. وبالتالي ، نريد حل نظام (AX = B ). على سبيل المثال ، انظر إلى نظام المعادلات التالي.

(a_1x + b_1y = c_1 )

(a_2x + b_2y = c_2 )

من هذا النظام ، مصفوفة المعامل هي

(A = begin {bmatrix} a_1 & b_1 nonumber [4pt] a_2 & b_2 end {bmatrix} )

المصفوفة المتغيرة هي

(X = begin {bmatrix} x nonumber [4pt] y end {bmatrix} )

والمصفوفة الثابتة هي

(B = begin {bmatrix} c_1 nonumber [4pt] c_2 end {bmatrix} )

ثم يبدو (AX = B ) مثل

( start {bmatrix} a_1 & b_1 nonumber [4pt] a_2 & b_2 end {bmatrix} begin {bmatrix} x nonumber [4pt] y end {bmatrix} = begin {bmatrix} c_1 nonumber [4pt] c_2 end {bmatrix} )

تذكر المناقشة السابقة في هذا القسم بخصوص ضرب رقم حقيقي في معكوسه ، ((2 ^ {- 1}) 2 = left ( dfrac {1} {2} right) 2 = 1 ). لحل معادلة خطية واحدة (ax = b ) لـ (x ) ، سنقوم ببساطة بضرب طرفي المعادلة في المعكوس الضربي (المقلوب) لـ (a ). هكذا،

[ start {align *} ax & = b left ( dfrac {1} {a} right) ax & = left ( dfrac {1} {a} right) b left (a ^ {- 1} right) ax & = left (a ^ {- 1} right) b left [ left (a ^ {- 1} right) a right] x & = left (a ^ {- 1} right) b 1x & = left (a ^ {- 1} right) b x & = left (a ^ {- 1} right) b end {align *} ]

الاختلاف الوحيد بين حل المعادلة الخطية ونظام المعادلات المكتوبة في شكل مصفوفة هو أن إيجاد معكوس المصفوفة أكثر تعقيدًا ، وضرب المصفوفة هو عملية أطول. ومع ذلك ، فإن الهدف هو نفسه - لعزل المتغير.

سنبحث في هذه الفكرة بالتفصيل ، لكن من المفيد أن نبدأ بنظام (2 × 2 ) ثم ننتقل إلى نظام (3 × 3 ).

حل نظام المعادلات باستخدام معكوس المصفوفة

بالنظر إلى نظام المعادلات ، اكتب مصفوفة المعامل (A ) والمصفوفة المتغيرة (X ) والمصفوفة الثابتة (B ). ثم

(AX = B )

اضرب كلا الطرفين في معكوس (A ) للحصول على الحل.

[ start {align *} left (A ^ {- 1} right) AX & = left (A ^ {- 1} right) B left [ left (A ^ {- 1} يمين) A right] X & = left (A ^ {- 1} right) B IX & = left (A ^ {- 1} right) B X & = left (A ^ {- 1 } يمين) ب نهاية {محاذاة *} ]

سؤال وجواب: إذا لم يكن لمصفوفة المعامل معكوس ، فهل هذا يعني أن النظام ليس لديه حل؟

لا ، إذا كانت مصفوفة المعامل غير قابلة للانعكاس ، فقد يكون النظام غير متناسق وليس له حل ، أو يكون معتمدًا ولديه عدد لا نهائي من الحلول.

مثال ( PageIndex {7} ): حل (2 × 2 ) نظام باستخدام معكوس المصفوفة

حل جملة المعادلات المعطاة باستخدام معكوس مصفوفة.

[ start {align *} 3x + 8y & = 5 4x + 11y & = 7 end {align *} ]

المحلول

اكتب النظام في صورة مصفوفة معامل ومصفوفة متغيرة ومصفوفة ثابتة.

(A = begin {bmatrix} 3 & 8 nonumber [4pt] 4 & 11 end {bmatrix} )، (X = begin {bmatrix} x nonumber [4pt] y end {bmatrix} ) ، (B = begin {bmatrix} 5 nonumber [4pt] 7 end {bmatrix} )

ثم

( start {bmatrix} 3 & 8 nonumber [4pt] 4 & 11 end {bmatrix} begin {bmatrix} x nonumber [4pt] y end {bmatrix} = begin {bmatrix} 5 nonumber [4pt] 7 نهاية {bmatrix} )

أولاً ، نحتاج إلى حساب (A ^ {- 1} ). باستخدام الصيغة لحساب معكوس المصفوفة (2 ) بواسطة (2 ) المصفوفة ، لدينا:

[ begin {align *} A ^ {- 1} & = dfrac {1} {ad − bc} begin {bmatrix} d & −b nonumber [4pt] −c & a end {bmatrix} & = dfrac {1} {3 (11) −8 (4)} begin {bmatrix} 11 & −8 nonumber [4pt] −4 & 3 end {bmatrix} & = dfrac {1} { 1} start {bmatrix} 11 & −8 nonumber [4pt] −4 & 3 end {bmatrix} end {align *} ]

وبالتالي،

(A ^ {- 1} = begin {bmatrix} 11 & −8 nonumber [4pt] −4 & 3 end {bmatrix} )

الآن نحن جاهزون للحل. اضرب طرفي المعادلة في (A ^ {- 1} ).

[ begin {align *} left (A ^ {- 1} right) AX & = left (A ^ {- 1} right) B [4pt] begin {bmatrix} 11 & −8 nonumber [4pt] −4 & 3 end {bmatrix} start {bmatrix} 3 & 8 nonumber [4pt] 4 & 11 end {bmatrix} begin {bmatrix} x nonumber [4pt] y end {bmatrix} & = start {bmatrix} 11 & −8 nonumber [4pt] −4 & 3 end {bmatrix} begin {bmatrix} 5 nonumber [4pt] 7 end {bmatrix} [4pt] begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 end {bmatrix} begin {bmatrix} x nonumber [4pt] y end {bmatrix} & = begin {bmatrix} 11 (5) + (- 8) 7 nonumber [4pt] −4 (5) +3 (7) end {bmatrix} [4pt] begin {bmatrix} x nonumber [4pt] y end {bmatrix} & = start {bmatrix} −1 nonumber [4pt] 1 end {bmatrix} end {align *} ]

الحل هو ((- 1،1) ).

سؤال وجواب: هل يمكننا حل مشكلة (X ) من خلال إيجاد المنتج (BA ^ {- 1} )؟

لا ، تذكر أن ضرب المصفوفة ليس تبادليًا ، لذلك (A ^ {- 1} B ≠ BA ^ {- 1} ). فكر في خطواتنا لحل معادلة المصفوفة.

[ start {align *} left (A ^ {- 1} right) AX & = left (A ^ {- 1} right) B left [ left (A ^ {- 1} يمين) A right] X & = left (A ^ {- 1} right) B IX & = left (A ^ {- 1} right) B X & = left (A ^ {- 1 } يمين) ب نهاية {محاذاة *} ]

لاحظ في الخطوة الأولى أننا ضربنا طرفي المعادلة في (A ^ {- 1} ) ، لكن (A ^ {- 1} ) كان على يسار (A ) في الجانب الأيسر وعلى يسار (ب ) على الجانب الأيمن. لأن ضرب المصفوفة ليس تبادليًا ، فالترتيب مهم.

مثال ( PageIndex {8} ): حل نظام 3 × 3 باستخدام معكوس المصفوفة

حل النظام التالي باستخدام معكوس المصفوفة.

المحلول

اكتب المعادلة (AX = B ).

( start {bmatrix} 5 & 15 & 56 nonumber [4pt] −4 & −11 & −41 nonumber [4pt] −1 & −3 & −11 end {bmatrix} begin {bmatrix} x nonumber [ 4pt] y nonumber [4pt] z end {bmatrix} = begin {bmatrix} 35 nonumber [4pt] −26 nonumber [4pt] −7 end {bmatrix} )

أولاً ، سنجد معكوس (A ) عن طريق زيادة الهوية.

( left [ begin {array} {ccc | ccc} 5 & 15 & 56 & 1 & 0 & 0 nonumber [4pt] −4 & −11 & −41 & 0 & 1 & 0 nonumber [4pt] −1 & −3 & −11 & 0 & 0 & 1 end {array} right] )

اضرب الصف 1 ب ( dfrac {1} {5} ).

( left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 3 & dfrac {56} {5} & dfrac {1} {5} & 0 & 0 nonumber [4pt] −4 & −11 & −41 & 0 & 1 & 0 nonumber [4pt] −1 & −3 & −11 & 0 & 0 & 1 end {array} right] )

اضرب الصف 1 في (4 ) وأضف الصف 2.

( left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 3 & dfrac {56} {5} & dfrac {1} {5} & 0 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 & dfrac {19} {5} & dfrac {4} {5} & 1 & 0 nonumber [4pt] −1 & −3 & −11 & 0 & 0 & 1 end {array} right] )

أضف الصف 1 إلى الصف 3.

( left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 3 & dfrac {56} {5} & dfrac {1} {5} & 0 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 & dfrac {19} {5} & dfrac {4} {5} & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 0 & dfrac {1} {5} & dfrac {1} {5} & 0 & 1 end {array} right] )

اضرب الصف 2 في (- 3 ) وأضف الصف 1.

( left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & - dfrac {1} {5} & - dfrac {11} {5} & - 3 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 & dfrac {19 } {5} & dfrac {4} {5} & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 0 & dfrac {1} {5} & dfrac {1} {5} & 0 & 1 end {array} right] )

اضرب الصف 3 ب (5 ).

( left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & - dfrac {1} {5} & - dfrac {11} {5} & - 3 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 & dfrac {19 } {5} & dfrac {4} {5} & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 5 end {array} right] )

اضرب الصف 3 في ( dfrac {1} {5} ) وأضفه إلى الصف 1.

( left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -2 & -3 & 1 nonumber [4pt] 0 & 1 & dfrac {19} {5} & dfrac {4} {5} & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 5 end {array} right] )

اضرب الصف 3 في (- dfrac {19} {5} ) وأضفه إلى الصف 2.

وبالتالي،

(A ^ {- 1} = start {bmatrix} −2 & −3 & 1 nonumber [4pt] −3 & 1 & −19 nonumber [4pt] 1 & 0 & 5 end {bmatrix} )

اضرب طرفي المعادلة في (A ^ {- 1} ). نريد (A ^ {- 1} AX = A ^ {- 1} B ):

( start {bmatrix} −2 & −3 & 1 nonumber [4pt] −3 & 1 & −19 nonumber [4pt] 1 & 0 & 5 end {bmatrix} begin {bmatrix} 5 & 15 & 56 nonumber [4pt] −4 & −11 & −41 nonumber [4pt] −1 & −3 & −11 end {bmatrix} begin {bmatrix} x nonumber [4pt] y nonumber [4pt] z end {bmatrix} = start {bmatrix} −2 & −3 & 1 nonumber [4pt] −3 & 1 & −19 nonumber [4pt] 1 & 0 & 5 end {bmatrix} begin {bmatrix} 35 nonumber [4pt] −26 nonumber [4pt] −7 نهاية {bmatrix} )

هكذا،

(A ^ {- 1} B = start {bmatrix} −70 + 78−7 nonumber [4pt] −105−26 + 133 nonumber [4pt] 35 + 0−35 end {bmatrix } = start {bmatrix} 1 nonumber [4pt] 2 nonumber [4pt] 0 end {bmatrix} )

الحل هو ((1،2،0) ).

تمرين ( PageIndex {4} )

حل النظام باستخدام معكوس مصفوفة المعامل.

إجابه

(X = start {bmatrix} 4 nonumber [4pt] 38 nonumber [4pt] 58 end {bmatrix} )

الكيفية: بالنظر إلى نظام المعادلات ، قم بحلها باستخدام مقلوب المصفوفة باستخدام الآلة الحاسبة

  1. احفظ مصفوفة المعامل والمصفوفة الثابتة كمتغيرات مصفوفة ([A] ) و ([B] ).
  2. أدخل عملية الضرب في الآلة الحاسبة ، واستدعاء كل متغير مصفوفة حسب الحاجة.
  3. إذا كانت مصفوفة المعامل قابلة للعكس ، فستقدم الآلة الحاسبة مصفوفة الحل ؛ إذا كانت مصفوفة المعامل غير قابلة للانعكاس ، ستعرض الآلة الحاسبة رسالة خطأ.

مثال ( PageIndex {9} ): استخدام الآلة الحاسبة لحل نظام من المعادلات باستخدام مقلوب المصفوفة

حل جملة المعادلات بمقلوب المصفوفة باستخدام الآلة الحاسبة

المحلول

في صفحة المصفوفة بالحاسبة ، أدخل مصفوفة المعامل كمتغير المصفوفة ([A] ) ، وأدخل المصفوفة الثابتة كمتغير المصفوفة ([B] ).

([A] = start {bmatrix} 2 & 3 & 1 nonumber [4pt] 3 & 3 & 1 nonumber [4pt] 2 & 4 & 1 end {bmatrix} )، ([B] = begin {bmatrix} 32 nonumber [4pt] −27 nonumber [4pt] −2 end {bmatrix} )

في الشاشة الرئيسية للآلة الحاسبة ، اكتب عملية الضرب لحل قيمة (X ) واستدعاء كل متغير مصفوفة حسب الحاجة.

([A] ^ {- 1} × [B] )

قيم التعبير.

( start {bmatrix} −59 nonumber [4pt] −34 nonumber [4pt] 252 end {bmatrix} )

المعادلات الرئيسية

مصفوفة الهوية لمصفوفة (2 × 2 ) (I_2 = start {bmatrix} 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 end {bmatrix} )
مصفوفة الهوية لمصفوفة (3 × 3 )

(I_3 = begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 0 & 1 end {bmatrix} )

المعكوس الضربي لمصفوفة (2 × 2 ) (A ^ {- 1} = dfrac {1} {ad − bc} begin {bmatrix} d & −b nonumber [4pt] −c & a end {bmatrix} ) ، حيث (ad − bc ≠ 0 )

المفاهيم الرئيسية

  • مصفوفة الهوية لها الخاصية (AI = IA = A ). راجع المثال ( PageIndex {1} ).
  • الخاصية العكسية للمصفوفة (AA ^ {- 1} = A ^ {- 1} A = I ). راجع المثال ( PageIndex {2} ).
  • استخدم ضرب المصفوفة والمتطابقة لإيجاد معكوس المصفوفة (2 × 2 ). راجع المثال ( PageIndex {3} ).
  • يمكن إيجاد المعكوس الضربي باستخدام صيغة. راجع المثال ( PageIndex {4} ).
  • هناك طريقة أخرى لإيجاد المعكوس وهي زيادة الهوية. راجع المثال ( PageIndex {5} ).
  • يمكننا زيادة (3 × 3 ) مصفوفة بالمطابقة الموجودة على اليمين واستخدام عمليات الصف لتحويل المصفوفة الأصلية إلى المتطابقة ، وتصبح المصفوفة الموجودة على اليمين معكوسًا. راجع المثال ( PageIndex {6} ).
  • اكتب نظام المعادلات كـ (AX = B ) ، واضرب كلا الطرفين في معكوس (A ): (A ^ {- 1} AX = A ^ {- 1} B ). راجع المثال ( PageIndex {7} ) والمثال ( PageIndex {8} ).
  • يمكننا أيضًا استخدام الآلة الحاسبة لحل نظام المعادلات باستخدام مقلوب المصفوفة. راجع المثال ( PageIndex {9} ).


شاهد الفيديو: الصف الثامن الرياضيات حل أنظمة معادلات بالحذف 3 (شهر اكتوبر 2021).