مقالات

11.2: المتتاليات الحسابية - الرياضيات


أهداف التعلم

  • أوجد الفرق المشترك في المتتالية الحسابية.
  • اكتب شروط متتالية حسابية.
  • استخدم صيغة متكررة للتسلسل الحسابي.
  • استخدم صيغة صريحة للتسلسل الحسابي.

غالبًا ما تقوم الشركات بعمليات شراء كبيرة ، مثل أجهزة الكمبيوتر والمركبات ، للاستخدام التجاري. تنخفض القيمة الدفترية لهذه التوريدات كل عام للأغراض الضريبية. هذا الانخفاض في القيمة يسمى الاستهلاك. إحدى طرق حساب الاستهلاك هي الاستهلاك المباشر ، حيث تنخفض قيمة الأصل بنفس المقدار كل عام.

على سبيل المثال ، فكر في امرأة تبدأ مشروع مقاولات صغير. اشترت شاحنة جديدة مقابل 25000 دولار. بعد خمس سنوات ، قدرت أنها ستكون قادرة على بيع الشاحنة مقابل 8000 دولار. وبالتالي ستكون الخسارة في قيمة الشاحنة 17000 دولار ، أي 3400 دولار في السنة لمدة خمس سنوات. تبلغ قيمة الشاحنة 21600 دولار بعد السنة الأولى ؛ 18200 دولار بعد عامين ؛ 14800 دولار بعد ثلاث سنوات ؛ 11400 دولار بعد أربع سنوات ؛ و 8000 دولار في نهاية خمس سنوات. في هذا القسم ، سننظر في أنواع معينة من التسلسلات التي ستسمح لنا بحساب الاستهلاك ، مثل قيمة الشاحنة.

إيجاد الفروق المشتركة

يقال أن قيم الشاحنة في المثال تشكل ملف تسلسل حسابي لأنها تتغير بمقدار ثابت كل عام. يزيد كل مصطلح أو ينقص بنفس القيمة الثابتة التي تسمى الفرق المشترك من التسلسل. بالنسبة لهذا التسلسل ، فإن الفرق المشترك هو -3،400.

التسلسل أدناه هو مثال آخر على التسلسل الحسابي. في هذه الحالة ، يكون الفرق الثابت هو 3. يمكنك اختيار أي حد في التسلسل ، وإضافة (3 ) للعثور على المصطلح التالي.

تسلسل حسابي

ان تسلسل حسابي هو تسلسل له خاصية أن الفرق بين أي حدين متتاليين ثابت. هذا الثابت يسمى الفرق المشترك. إذا كان (a_1 ) هو المصطلح الأول في المتتالية الحسابية و (d ) هو الفرق الشائع ، فسيكون التسلسل:

[ {a_n } = {a_1، a_1 + d، a_1 + 2d، a_1 + 3d، ... } ]

مثال ( PageIndex {1} ): البحث عن الاختلافات الشائعة

هل كل تسلسل حسابي؟ إذا كان الأمر كذلك ، فابحث عن الفرق المشترك.

  1. ({1,2,4,8,16,...})
  2. ({−3,1,5,9,13,...})

المحلول

اطرح كل مصطلح من المصطلح التالي لتحديد ما إذا كان هناك فرق مشترك.

  1. التسلسل ليس حسابيًا لأنه لا يوجد فرق مشترك.

(2-1 = { color {red} 1} qquad 4-2 = { color {red} 2} qquad 8-4 = { color {red} 4} qquad 16-8 = { اللون {أحمر} 8} )

  1. التسلسل حسابي لأنه يوجد فرق مشترك. الفرق المشترك هو (4 ).

(1 - (- 3) = { color {red} 4} qquad 5-1 = { color {red} 4} qquad 9-5 = { color {red} 4} qquad 13-9 = { اللون {أحمر} 4} )

التحليلات

يظهر الرسم البياني لكل من هذه التسلسلات في الشكل ( PageIndex {1} ). يمكننا أن نرى من الرسوم البيانية أنه على الرغم من أن كلا التسلسلين يظهران نموًا ، (أ) ليس خطيًا بينما (ب) خطي. المتتاليات الحسابية لها معدل تغير ثابت ، لذا فإن رسومها البيانية ستكون دائمًا نقاطًا على خط ما.

سؤال وجواب

إذا قيل لنا أن المتتالية حسابية ، فهل علينا طرح كل حد من الحد التالي لإيجاد الفرق المشترك؟

لا. إذا علمنا أن المتتابعة حسابية ، فيمكننا اختيار أي حد واحد في المتتابعة ، وطرحه من الحد التالي لإيجاد الفرق المشترك.

تمرين ( PageIndex {1A} )

هل التسلسل المعطى حسابي؟ إذا كان الأمر كذلك ، فابحث عن الفرق المشترك.

({18, 16, 14, 12, 10,…})

إجابه

التسلسل حسابي. الفرق المشترك هو (- 2 ).

تمرين ( PageIndex {1B} )

هل التسلسل المعطى حسابي؟ إذا كان الأمر كذلك ، فابحث عن الفرق المشترك.

({1, 3, 6, 10, 15,…})

إجابه

التسلسل ليس حسابيًا لأن (3−1 ≠ 6−3 ).

كتابة شروط المتتاليات الحسابية

الآن بعد أن تمكنا من التعرف على متتالية حسابية ، سنجد الحدود إذا أعطينا الحد الأول والفرق المشترك. يمكن إيجاد المصطلحات بالبدء بالمصطلح الأول وإضافة الفرق المشترك بشكل متكرر. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن أيضًا العثور على أي مصطلح عن طريق إدخال قيم (n ) و (د ) في الصيغة أدناه.

[a_n = a_1 + (n − 1) د ]

الكيفية: بالنظر إلى الحد الأول والاختلاف المشترك في المتتالية الحسابية ، أوجد أول عدة حدود.

  1. اجمع الفرق المشترك مع الحد الأول لإيجاد الحد الثاني.
  2. اجمع الفرق المشترك مع الحد الثاني لإيجاد الحد الثالث.
  3. استمر حتى يتم تحديد جميع المصطلحات المطلوبة.
  4. اكتب المصطلحات مفصولة بفواصل بين قوسين.

مثال ( PageIndex {2} ): كتابة مصطلحات متتابعة حسابية

اكتب الحدود الخمسة الأولى من المتتالية الحسابية مع (a_1 = 17 ) و (د = −3 ).

المحلول

إضافة (- 3 ) هي نفسها طرح (3 ). بدءًا من الحد الأول ، اطرح (3 ) من كل حد لإيجاد الحد التالي.

أول خمس مصطلحات هي ( {17،14،11،8،5 } )

التحليلات

كما هو متوقع ، يتكون الرسم البياني للتسلسل من نقاط على خط كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {2} ).

تمرين ( PageIndex {2} )

اكتب أول خمسة حدود من المتتالية الحسابية مع (a_1 = 1 ) و (د = 5 ).

إجابه

({1, 6, 11, 16, 21})

الكيفية: بالنظر إلى أي حد أول وأي حد آخر في تسلسل حسابي ، أوجد مصطلحًا معينًا.

  1. استبدل القيم المعطاة لـ (a_1 ) ، (a_n ) ، (n ) في الصيغة (a_n = a_1 + (n − 1) d ) لحلها من أجل (d ).
  2. ابحث عن مصطلح معين عن طريق استبدال القيم المناسبة لـ (a_1 ) و (n ) و (د ) في الصيغة (a_n = a_1 + (n − 1) d ).

مثال ( PageIndex {3} ): كتابة مصطلحات متتابعة حسابية

بالنظر إلى (a_1 = 8 ) و (a_4 = 14 ) ، أوجد (a_5 ).

المحلول

يمكن كتابة التسلسل من حيث المصطلح الأولي (8 ) والفرق المشترك (د ).

( {8،8 + د، 8 + 2 يوم، 8 + ثلاثي الأبعاد } )

نعلم أن الحد الرابع يساوي (14 ) ؛ نعلم أن المصطلح الرابع له الشكل (a_1 + 3d = 8 + 3d ).

يمكننا إيجاد الفرق المشترك (د ).

[ start {align *} a_n & = a_1 + (n-1) d a_4 & = a_1 + 3d a_4 & = 8 + 3d qquad text {اكتب المصطلح الرابع من التسلسل من حيث} a_1 text {و} د. 14 & = 8 + 3d qquad text {البديل} 14 text {for} a_4. d & = 2 qquad text {حل من أجل الاختلاف المشترك.} end {align *} ]

أوجد الحد الخامس بإضافة الفرق المشترك إلى الحد الرابع.

(أ_5 = أ_4 + 2 = 16 )

التحليلات

لاحظ أن الفرق المشترك يضاف إلى الحد الأول مرة واحدة لإيجاد الحد الثاني ، ومرتين لإيجاد الحد الثالث ، وثلاث مرات لإيجاد الحد الرابع ، وهكذا. يمكن إيجاد الحد العاشر بإضافة الفرق المشترك إلى الحد الأول تسع مرات أو باستخدام المعادلة (a_n = a_1 + (n − 1) d ).

تمرين ( PageIndex {3} )

بالنظر إلى (a_3 = 7 ) و (a_5 = 17 ) ، أوجد (a_2 ).

إجابه

(أ_2 = 2 )

استخدام الصيغ العودية للمتواليات الحسابية

يتم تعريف بعض المتتاليات الحسابية من حيث المصطلح السابق باستخدام أ صيغة متكررة. توفر الصيغة قاعدة جبرية لتحديد شروط التسلسل. تسمح لنا الصيغة العودية بإيجاد أي حد في المتتالية الحسابية باستخدام دالة من المصطلح السابق. كل مصطلح هو مجموع المصطلح السابق والفرق المشترك. على سبيل المثال ، إذا كان الاختلاف المشترك هو (5 ) ، فإن كل مصطلح هو المصطلح السابق زائد (5 ). كما هو الحال مع أي صيغة عودية ، يجب إعطاء المصطلح الأول.

(أ_n = أ_n − 1 + د )

لـ (n≥2 )

صيغة متكررة لتسلسل حسابي

الصيغة العودية للتسلسل الحسابي بفارق مشترك (د ) هي:

[a_n = a_n − 1 + d ]

لـ (n≥2 )

الكيفية: بالنظر إلى متتالية حسابية ، اكتب صيغتها العودية.

  1. اطرح أي حد من المصطلح التالي لإيجاد الفرق المشترك.
  2. حدد المصطلح الأولي واستبدل الاختلاف المشترك في الصيغة العودية للمتتاليات الحسابية.

مثال ( PageIndex {4} ): كتابة صيغة عودية لتسلسل حسابي

اكتب صيغة متكررة ل تسلسل حسابي.

({−18, −7, 4, 15, 26, …})

المحلول

يُعطى المصطلح الأول كـ (- 18 ). يمكن إيجاد الفرق المشترك بطرح الحد الأول من الحد الثاني.

(د = −7 - (- 18) = 11 )

عوّض بالمصطلح الأولي والفرق المشترك في الصيغة العودية للمتتاليات الحسابية.

(أ_1 = -18 )

(a_n = a_ {n − 1} +11 )

لـ (n≥2 )

التحليلات

نرى أن الاختلاف المشترك هو ميل الخط المتشكل عندما نرسم شروط التسلسل ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {3} ). يوضح نمط نمو التسلسل الفرق المستمر البالغ 11 وحدة.

سؤال وجواب

هل يتعين علينا طرح الحد الأول من الحد الثاني لإيجاد الفرق المشترك؟

لا ، يمكننا طرح أي حد في المتتالية من المصطلح التالي. ومع ذلك ، فمن الأكثر شيوعًا طرح المصطلح الأول من المصطلح الثاني لأنه غالبًا ما يكون أسهل طريقة لإيجاد الفرق المشترك.

تمرين ( PageIndex {4} )

اكتب معادلة تعاودية للتسلسل الحسابي.

({25, 37, 49, 61, …})

إجابه

( start {align *} a_1 & = 25 a_n & = a_ {n − 1} +12، text {for} n≥2 end {align *} )

استخدام الصيغ الصريحة للمتواليات الحسابية

يمكننا التفكير في المتتالية الحسابية كدالة في مجال الأعداد الطبيعية ؛ إنها دالة خطية لأنها تحتوي على معدل تغير ثابت. الفرق المشترك هو معدل التغيير الثابت ، أو ميل الدالة. يمكننا بناء الدالة الخطية إذا عرفنا الميل والقطع الرأسي.

(أ_n = أ_1 + د (ن − 1) )

لإيجاد تقاطع الدالة (y ) ، يمكننا طرح الفرق المشترك من الحد الأول في المتتابعة. ضع في اعتبارك التسلسل التالي.

تذكر أن صيغة الميل والمقطع للخط هي (y = mx + b ). عند التعامل مع التسلسلات ، نستخدم (a_n ) بدلاً من (y ) و (n ) بدلاً من (x ). إذا عرفنا ميل الدالة وتقاطعها الرأسي ، فيمكننا استبدالها بـ (m ) و (b ) في صيغة ميل وتقاطع الخط. استبدال (- 50 ) بالمنحدر و (250 ) بالتقاطع الرأسي ، نحصل على المعادلة التالية:

(أ_n = -50 ن + 250 )

لا نحتاج إلى إيجاد التقاطع الرأسي لكتابة صيغة صريحة لمتتابعة حسابية. صيغة صريحة أخرى لهذا التسلسل هي (a_n = 200-50 (n − 1) ) ، والتي تبسط إلى (a_n = −50n + 250 ).

صيغة صريحة لتسلسل حسابي

يتم إعطاء صيغة صريحة للمصطلح (n ^ {th} ) من المتتالية الحسابية بواسطة

[a_n = a_1 + d (n − 1) ]

الكيفية: باستخدام المصطلحات العديدة الأولى للتسلسل الحسابي ، اكتب صيغة صريحة.

  1. أوجد الفرق المشترك ، (a_2 − a_1 ).
  2. عوّض بالفرق المشترك والحد الأول في (a_n = a_1 + d (n − 1) ).

صيغة مصطلح صريحة لمتتابعة حسابية

اكتب صيغة صريحة للتسلسل الحسابي.

({2, 12, 22, 32, 42, …})

المحلول

يمكن إيجاد الفرق المشترك بطرح الحد الأول من الحد الثاني.

[ start {align *} d & = a_2 − a_1 & = 12−2 & = 10 end {align *} ]

الفرق المشترك هو (10 ​​). عوّض بالفرق المشترك وبالحد الأول من المتتالية في الصيغة وبسّط.

[ start {align *} a_n & = 2 + 10 (n − 1) a_n & = 10n − 8 end {align *} ]

التحليلات

يوضح الرسم البياني لهذا التسلسل ، الممثل في الشكل ( PageIndex {5} ) ، ميلًا بمقدار (10 ​​) وتقاطعًا رأسيًا لـ (- 8 ).

تمرين ( PageIndex {5} )

اكتب صيغة صريحة للتسلسل الحسابي التالي.

({50,47,44,41,…})

إجابه

(أ_n = 53−3 ن )

إيجاد عدد الحدود في متتابعة حسابية محدودة

يمكن استخدام الصيغ الصريحة لتحديد عدد المصطلحات في متوالية حسابية محدودة. نحتاج إلى إيجاد الفرق المشترك ، ثم تحديد عدد المرات التي يجب إضافة الفرق المشترك فيها إلى الحد الأول للحصول على الحد الأخير من المتتابعة.

الكيفية: باستخدام المصطلحات الثلاثة الأولى والحد الأخير من متتالية حسابية محدودة ، أوجد العدد الإجمالي للمصطلحات.

  1. أوجد الفرق المشترك (د ).
  2. عوّض بالفرق المشترك والحد الأول في (a_n = a_1 + d (n – 1) ).
  3. استبدل المصطلح الأخير بـ (a_n ) وحل من أجل (n ).

مثال ( PageIndex {6} ): إيجاد عدد المصطلحات في تسلسل حسابي محدد

أوجد عدد الحدود في المتتالية الحسابية المحددة.

({8, 1, –6, ..., –41})

المحلول

يمكن إيجاد الفرق المشترك بطرح الحد الأول من الحد الثاني.

(1−8=−7)

الفرق المشترك هو (- 7 ). عوّض بالفرق المشترك وبالحد الأول من المتتالية في صيغة الحد النوني وبسّط.

[ start {align *} a_n & = a_1 + d (n − 1) a_n & = 8 + −7 (n − 1) a_n & = 15−7n end {align *} ]

استبدل (- 41 ) بـ (a_n ) وحل من أجل (n )

[ start {align *} -41 & = 15-7n 8 & = n end {align *} ]

هناك ثمانية حدود في المتسلسلة.

تمرين ( PageIndex {6} )

أوجد عدد الحدود في المتتالية الحسابية المحددة.

({6, 11, 16, ..., 56})

إجابه

يوجد (11 ) شروط في التسلسل.

حل مشاكل التطبيق باستخدام المتتاليات الحسابية

في العديد من مشكلات التطبيقات ، غالبًا ما يكون من المنطقي استخدام مصطلح أولي من (a_0 ) بدلاً من (a_1 ). في هذه المسائل ، نقوم بتغيير الصيغة الصريحة قليلاً لمراعاة الاختلاف في الشروط الأولية. نستخدم الصيغة التالية:

[a_n = a_0 + dn ]

مثال ( PageIndex {7} ): حل مشكلات التطبيق باستخدام المتواليات الحسابية

طفل يبلغ من العمر خمس سنوات يتلقى مخصصات (1 دولار ) كل أسبوع. وعده والداه بزيادة سنوية قدرها (2 دولار ) في الأسبوع.

  1. اكتب معادلة البدل الأسبوعي للطفل في سنة معينة.
  2. كم ستكون علاوة الطفل عندما يبلغ (16 ) سنة؟

المحلول

  1. يمكن نمذجة الموقف من خلال تسلسل حسابي بمصطلح أولي لـ (1 ) وفرق شائع (2 ).

    لنفترض (أ ) مقدار البدل و (ن ) عدد السنوات بعد العمر (5 ). باستخدام الصيغة الصريحة المعدلة للتسلسل الحسابي نحصل على:

    (A_n = 1 + 2n )

  2. يمكننا إيجاد عدد السنوات منذ العمر (5 ) بالطرح.

    (16−5=11)

    نبحث عن علاوة الطفل بعد (11 ) سنة. استبدل (11 ) بالصيغة لإيجاد علاوة الطفل في العمر (16 ).

    (أ_ {11} = 1 + 2 (11) = 23 )

    بدل الطفل في سن (16 ) سيكون (23 دولارًا ) في الأسبوع.

تمرين ( PageIndex {7} )

تقرر امرأة الجري لمدة (10 ​​) دقائق كل يوم هذا الأسبوع وتخطط لزيادة وقت الجري اليومي بمقدار (4 ) دقائق كل أسبوع. اكتب صيغة لوقت الجري بعد (n ) أسابيع. ما هي مدة الجري اليومي لها (8 ) أسابيع من اليوم؟

إجابه

الصيغة هي (T_n = 10 + 4n ) ، وسوف تستغرق (42 ) دقيقة.

وسائل الإعلام

قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية باستخدام المتواليات الحسابية.

  • المتتاليات الحسابية

المعادلات الرئيسية

الصيغة العودية للحد النوني من المتتالية الحسابية (a_n = a_ {n − 1} + d ) (n≥2 )
صيغة صريحة للحد النوني من المتتالية الحسابية (أ_n = أ_1 + د (ن − 1) )

المفاهيم الرئيسية

  • المتتالية الحسابية هي سلسلة يكون فيها الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا.
  • يسمى الثابت بين حدين متتاليين بالفرق المشترك.
  • الفرق المشترك هو الرقم المضاف إلى أي حد واحد من المتتالية الحسابية التي تولد المصطلح التالي. راجع المثال ( PageIndex {1} ).
  • يمكن إيجاد شروط المتتالية الحسابية بالبدء بالمصطلح الأولي وإضافة الفرق المشترك بشكل متكرر. راجع المثال ( PageIndex {2} ) والمثال ( PageIndex {3} ).
  • يتم إعطاء صيغة تكرارية لتسلسل حسابي بفارق مشترك dd بواسطة (a_n = a_ {n − 1} + d )، (n≥2 ). راجع المثال ( PageIndex {4} ).
  • كما هو الحال مع أي صيغة عودية ، يجب إعطاء المصطلح الأولي للتسلسل.
  • يتم إعطاء صيغة صريحة للتسلسل الحسابي مع الاختلاف المشترك (د ) بواسطة (a_n = a_1 + d (n − 1) ). راجع المثال ( PageIndex {5} ).
  • يمكن استخدام صيغة صريحة لإيجاد عدد المصطلحات في تسلسل. راجع المثال ( PageIndex {6} ).
  • في مشاكل التطبيق ، نقوم أحيانًا بتغيير الصيغة الصريحة قليلاً إلى (a_n = a_0 + dn ). راجع المثال ( PageIndex {7} ).

11.2: المتتاليات الحسابية - الرياضيات

التسلسل عبارة عن مجموعة معدودة من العناصر التي يُسمح فيها بالتكرار وترتيب الأمور التي تشكلها مثل هذا النمط الذي يمكننا من خلاله تحديد سلسلة كاملة. يمكننا تعميم هذه السلسلة بأكملها والتي تسمى التسلسل.

مثال 1. تسلسل عدد زوجي له فرق 4.

مثال 2. ترتيب أرقام مثل 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، ... ليس له نمط مرئي ، لكن التسلسل يتم إنشاؤه بواسطة علاقة التكرار المعطاة بواسطة.

مثال 3: ترتيب الأرقام يقول 2،8،14،20 & # 8230 له نمط مرئي ويتم إنشاء تسلسله بواسطة العلاقة.

أ1= 2 ، أ2= 6 ، أ3= 14. الفرق المشترك بين العنصر ثابت ويساوي د = أ21 أو خذ أي رقمين متجاورين.

لذلك يصبح التسلسل أن= أ1+ (ن -1) * د.

سلسلة: يمكن تعميم السلسلة بشكل كبير على أنها مجموع كل المصطلحات في التسلسل. دع التسلسل معطى كملف1، أ2، أ3, . . . . . . ،أن. ثم يسمى التعبير سلسلة مرتبطة بتسلسل معين ، وتعتمد تبعية السلسلة المحدودة أو اللانهائية على طبيعة التسلسل سواء كانت محدودة أو غير محدودة ، ويتم الإشارة إلى السلسلة بواسطة تدوين ∑ (سيغما). وهكذا ، فإن السلسلة a1 + a2 + a3 + an = n ك = 1 أك.


FORMULA (للمصطلح رقم n)

  1. أوجد صيغته للحد من رقم n (صيغة لحساب أي حد).
  2. احسب الحد العاشر.

المحلول

هذا هو تسلسل حسابي الذي الفرق المشترك هو (د = 4 ) في الواقع للانتقال من أي مصطلح إلى آخر نضيف دائمًا (4 ).

على سبيل المثال ، إذا أردنا حساب الحد العاشر ، فسنستبدل كل (n ) نراه بـ (10 ​​) ، كما هو موضح هنا: [ ابدأ u_ <10> & = 3 + ابدأ 10-1 نهاية.4 & = 3 + 9 مرات 4 & = 3 + 36 u_ <10> & = 39 end]

المتتاليات الحسابية أو الخطية

يمكن أيضًا كتابة صيغة المصطلح n من التسلسل الحسابي: [u_n = dn + c ] حيث (c ) ثابت. (في الواقع (c = u_1 - d )).

بدءًا من (u_n = u_1 + startn-1 النهاية.d ) وبتوسيع الأقواس يمكننا أن نرى ذلك بسرعة (c = u_1-d ). في الواقع: [ ابدأ u_n & = u_1 + startn-1 النهاية.d & = u_1 + dn - d u_n & = dn + underbrace_ نهاية]

مثال

التسلسل الحسابي الذي كانت صيغته: [u_n = 3 + begin ن - 1 نهاية.4 ] يمكن أيضًا كتابة: [u_n = 4n - 1 ]

الدورة التعليمية

في هذا البرنامج التعليمي نرى كيف تسلسل حسابي يمكن كتابتها على هيئة أ تسلسل خطي.

صيغة الاختلاف المشترك

بالنظر إلى متتالية حسابية ، يمكننا دائمًا إيجاد الفرق المشترك باستخدام: [d = u_-u_n ] والتي يمكننا كتابتها أيضًا: [d = u_n-u_]

توضيح

تخبرنا هذه الصيغة أنه في المتتالية الحسابية ، يمكننا إيجاد الفرق المشترك (د ) بطرح أي حد من التالي.

  • باستخدام المصطلحين الأول والثاني: [ start د & = u_2-u_1 & = 7-3 d & = 4 end]
  • باستخدام المصطلحين الثاني والثالث: [ start د & = u_3-u_2 & = 11-7 d & = 4 end]
  • باستخدام المصطلحين الثالث والرابع: [ start د & = u_4-u_3 & = 15-11 d & = 4 end]

التعريف: أن = أ & # 215 صن -1
مثال: 1 ، 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، 32 ، 64 ، 128 ،.

في الرياضيات ، التسلسل هو قائمة مرتبة من الأشياء. وفقًا لذلك ، فإن التسلسل الرقمي هو قائمة مرتبة من الأرقام التي تتبع نمطًا معينًا. غالبًا ما يُشار إلى كل عنصر من العناصر الفردية في التسلسل بالمصطلحات ، ويطلق على عدد المصطلحات في التسلسل طوله ، والذي يمكن أن يكون غير محدود. في التسلسل الرقمي ، يعد ترتيب التسلسل أمرًا مهمًا ، واعتمادًا على التسلسل ، من الممكن أن تظهر المصطلحات نفسها عدة مرات. هناك العديد من الأنواع المختلفة للتسلسلات الرقمية ، ثلاثة منها الأكثر شيوعًا تتضمن المتواليات الحسابية والمتواليات الهندسية ومتواليات فيبوناتشي.

المتتاليات لها تطبيقات عديدة في مختلف التخصصات الرياضية بسبب خصائص تقاربها. تكون السلسلة متقاربة إذا تقارب التسلسل إلى حد ما ، بينما يكون التسلسل غير المتقارب متشعب. تُستخدم المتتابعات لدراسة الوظائف والمسافات والتركيبات الرياضية الأخرى. إنها مفيدة بشكل خاص كأساس للسلسلة (تصف بشكل أساسي عملية إضافة كميات لا نهائية إلى كمية البداية) ، والتي تُستخدم عمومًا في المعادلات التفاضلية ومجال الرياضيات المشار إليه بالتحليل. توجد طرق متعددة للإشارة إلى التسلسلات ، تتضمن إحداها سرد التسلسل في الحالات التي يكون فيها نمط التسلسل واضحًا بسهولة. في الحالات التي تحتوي على أنماط أكثر تعقيدًا ، عادةً ما تكون الفهرسة هي الترميز المفضل. تتضمن الفهرسة كتابة صيغة عامة تسمح بتحديد ملف ن ال مصطلح التسلسل كدالة لـ ن.

تسلسل حسابي

المتتالية الحسابية هي تسلسل رقمي يبقى فيه الفرق بين كل حد متتالي ثابتًا. يمكن أن يكون هذا الاختلاف موجبًا أو سالبًا ، وسيؤدي الاعتماد على العلامة من حيث التسلسل الحسابي الذي يميل نحو اللانهاية الموجبة أو السالبة. يمكن كتابة الشكل العام للتسلسل الحسابي على النحو التالي:

يتضح في التسلسل أعلاه أن الاختلاف المشترك F، هو 2. استخدام المعادلة أعلاه لحساب المصطلح الخامس:

السابق: أ5 = أ1 + f & # 215 (ن -1)
أ5 = 1 + 2 × (5-1)
أ5 = 1 + 8 = 9

إذا نظرنا إلى الوراء في التسلسل المدرج ، يمكن ملاحظة أن الحد الخامس ، أ5، باستخدام المعادلة ، يطابق التسلسل المدرج كما هو متوقع. من المرغوب أيضًا ، وبسيط ، حساب مجموع متسلسلة حسابية باستخدام الصيغة التالية مع الصيغة السابقة للعثور على أن:

باستخدام نفس التسلسل الرقمي في المثال السابق ، أوجد مجموع المتتالية الحسابية من خلال الحد الخامس:

السابق: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
(5 × (1 + 9))/2 = 50/2 = 25

التسلسل الهندسي

التسلسل الهندسي هو تسلسل رقمي يكون فيه كل رقم متتالي بعد الرقم الأول هو مضاعفة الرقم السابق برقم ثابت غير صفري (نسبة شائعة). يمكن كتابة الشكل العام للتسلسل الهندسي على النحو التالي:

أن = أ & # 215 ص ن -1 أين أن بالعودة الى ن ال المصطلح في التسلسل
بمعنى آخر. أ ، أر ، أر 2 ، أر 3 ،. أ هو عامل المقياس و ص هي النسبة المشتركة
السابق: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, .

في المثال أعلاه ، النسبة الشائعة ص هو 2 ، وعامل القياس أ هو 1. باستخدام المعادلة أعلاه ، احسب المصطلح الثامن:

السابق: أ8 = أ & # 215 ص 8-1
أ8 = 1 × 2 7 = 128

تؤكد مقارنة القيمة التي تم العثور عليها باستخدام المعادلة مع التسلسل الهندسي أعلاه على تطابقهما. معادلة حساب مجموع المتتالية الهندسية:

باستخدام نفس التسلسل الهندسي أعلاه ، أوجد مجموع المتتالية الهندسية من خلال الحد 3 rd.

متتالية فيبوناتشي

تسلسل فيبوناتشي هو تسلسل يكون فيه كل رقم يلي الرقمين الأولين هو مجموع الرقمين السابقين. يتم تعريف أول رقمين في تسلسل فيبوناتشي إما 1 و 1 ، أو 0 و 1 اعتمادًا على نقطة البداية المختارة. تحدث أرقام فيبوناتشي في كثير من الأحيان ، وكذلك بشكل غير متوقع في الرياضيات وهي موضوع العديد من الدراسات. لديهم تطبيقات ضمن خوارزميات الكمبيوتر (مثل خوارزمية إقليدس لحساب العامل المشترك الأكبر) ، والاقتصاد ، والإعدادات البيولوجية بما في ذلك التفرع في الأشجار ، وازدهار الخرشوف ، بالإضافة إلى العديد من الأشياء الأخرى. رياضيا ، يتم كتابة تسلسل فيبوناتشي على النحو التالي:


2 إجابات 2

اكتب التسلسل arithemtic بالشكل: $ a_n = a_0 + (n-1) d_1، b_n = b_0 + (n-1) d_2، c_n = c_0 + (n-1) d_3 $. الآن إذا كان لديهم مصطلح مشترك ، فيمكننا كتابة:

x دولار = a_0 + kd_1 = b_0 + sd_2 = c_0 + td_3 دولار

كما هو معروف الفرق المشترك يمكننا كتابة هذا على النحو التالي:

x $ equiv a_0 pmod $ x equiv b_0 pmod $ x equiv c_0 pmod $

هذا هو نظام علاقات التقارب الخطي ويمكن حله بسهولة من خلال نظرية الباقي الصيني.

وبمجرد العثور على عنصر مشترك واحد ، للعثور على العنصر المشترك التالي ، ما عليك سوى إضافة $ LCM [d_1، d_2، d_3] $ إلى العنصر السابق. في الواقع إذا حصلت على $ x equiv A pmod$ عند حل نظام التطابق ، يجب أن يكون العدد الإجمالي للعناصر كما يلي:


المتتاليات والمتسلسلات الحسابية

المتتالية الحسابية هي سلسلة من الأرقام بحيث يكون الفرق بين أي عضوين متتاليين من المتسلسلة ثابتًا.

2،4،6،8،10…. هو تسلسل حسابي مع وجود فرق مشترك 2.

إذا كان الحد الأول من المتتالية الحسابية هو أ1 والفرق المشترك هو د، ثم نيُعطى المصطلح العاشر للتسلسل من خلال:

المتسلسلة الحسابية هي مجموع المتتالية الحسابية. نوجد المجموع بجمع الأول أ1 والمدة الأخيرة ، أن، قسّم على 2 للحصول على متوسط ​​القيمتين ثم اضرب في عدد القيم ، n:

أوجد مجموع المتسلسلة الحسابية التالية 1،2،3… ..99،100

لدينا إجمالي 100 قيمة ، وبالتالي ن = 100. القيمة الأولى هي 1 والأخيرة هي 100. نعوض بهذه القيم في صيغتنا ونحصل على:


المتسلسلة الحسابية

متسلسلة حسابية مجموع حدود المتتالية الحسابية. هو مجموع شروط المتتالية الحسابية. على سبيل المثال ، مجموع المصطلحات الخمسة الأولى من التسلسل المحدد بواسطة n = 2 n - 1 يتبع:

S 5 = Σ n = 1 5 (2 n - 1) = [2 (1) - 1] + [2 (2) - 1] + [2 (3) - 1] + [2 (4) - 1] + [2 (5) - 1] = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

إضافة 5 أعداد صحيحة فردية موجبة ، كما فعلنا أعلاه ، يمكن التحكم فيها. ومع ذلك ، ضع في اعتبارك إضافة أول 100 عدد صحيح فردي موجب. هذا سيكون مملا جدا لذلك ، نطور بعد ذلك صيغة يمكن استخدامها لحساب مجموع الأول ن المصطلحات التي يُشار إليها بـ S n لأي متتالية حسابية. بشكل عام،

S n = a 1 + (a 1 + d) + (a 1 + 2 d) +… + a n

كتابة هذه السلسلة في الاتجاه المعاكس لدينا ،

S n = a n + (a n - d) + (a n - 2 d) +… + a 1

وجمع هاتين المعادلتين معًا ، وهما الحدان المتضمنان د أضف إلى الصفر ونحصل ن عوامل a 1 + a n:

2 S n = (a 1 + a n) + (a 1 + a n) +… + (a n + a 1) 2 S n = n (a 1 + a n)

قسمة كلا الطرفين على 2 يقودنا إلى صيغة نمجموع جزئي من متتالية حسابية مجموع الأول ن شروط متتالية حسابية معطاة بالصيغة: S n = n (a 1 + a n) 2. :

استخدم هذه الصيغة لحساب مجموع أول 100 حد من التسلسل المحدد بواسطة n = 2 n - 1. هنا 1 = 1 و 100 = 199.

100 S = 100 (أ 1 + أ 100) 2 = 100 (1 + 199) 2 = 10000

مثال 5

أوجد مجموع أول 50 حدًا من التسلسل المحدد: 4 ، 9 ، 14 ، 19 ، 24 ، ...

حدد ما إذا كان هناك فرق مشترك بين المصطلحات المحددة أم لا.

لاحظ أن الفرق بين أي حدين متتاليين هو 5. إن المتتالية هي بالفعل تقدم حسابي ويمكننا الكتابة

أ ن = أ 1 + (ن - 1) د = 4 + (ن - 1) ⋅ 5 = 4 + 5 ن - 5 = 5 ن - 1

لذلك ، فإن المصطلح العام هو أ ن = 5 ن - 1. لحساب المجموع الجزئي الخمسين لهذه المتتابعة ، نحتاج إلى الحد الأول والحد الخمسين:

أ 1 = 4 أ 50 = 5 (50) - 1 = 249

بعد ذلك ، استخدم الصيغة لتحديد المجموع الجزئي الخمسين للمتتالية الحسابية المحددة.

S n = n (a 1 + a n) 2 S 50 = 50. (a 1 + a 50) 2 = 50 (4 + 249) 2 = 25 (253) = 6،325

مثال 6

احسب: Σ n = 1 35 (10 - 4 n).

في هذه الحالة ، مطلوب منا إيجاد مجموع أول 35 حدًا من متتالية حسابية ذات حد عام أ ن = 10 - 4 ن. استخدم هذا لتحديد الحد الأول والخامس والثلاثين.

أ 1 = 10-4 (1) = 6 أ 35 = 10-4 (35) = - 130

بعد ذلك ، استخدم الصيغة لتحديد المجموع الجزئي الخامس والثلاثين.

S n = n (a 1 + a n) 2 S 35 = 35 ⋅ (a 1 + a 35) 2 = 35 [6 + (- 130)] 2 = 35 (- 124) 2 = - 2170

مثال 7

الصف الأول للجلوس في مدرج خارجي يحتوي على 26 مقعدًا ، والصف الثاني يحتوي على 28 مقعدًا ، والصف الثالث يحتوي على 30 مقعدًا ، وهكذا. إذا كان هناك 18 صفًا ، فما هي سعة الجلوس الإجمالية للمسرح؟

ابدأ بإيجاد صيغة توضح عدد المقاعد في أي صف. هنا يشكل عدد المقاعد في كل صف تسلسلاً:

لاحظ أن الفرق بين أي حدين متتاليين هو 2. التسلسل هو تقدم حسابي حيث 1 = 26 و d = 2.

أ ن = أ 1 + (ن - 1) د = 26 + (ن - 1) ⋅ 2 = 26 + 2 ن - 2 = 2 ن + 24

لذلك ، فإن عدد المقاعد في كل صف مُعطى بـ n = 2 n + 24. لحساب سعة الجلوس الإجمالية للصفوف الـ18 ، نحتاج إلى حساب المجموع الجزئي الثامن عشر. للقيام بذلك ، نحتاج إلى المصطلحين الأول والثامن عشر:

أ 1 = 26 أ 18 = 2 (18) + 24 = 60

استخدم هذا لحساب المجموع الجزئي الثامن عشر على النحو التالي:

S n = n (a 1 + a n) 2 S 18 = 18 ⋅ (a 1 + a 18) 2 = 18 (26 + 60) 2 = 9 (86) = 774

الجواب: هناك 774 مقعدا في المجموع.

جرب هذا! أوجد مجموع أول 60 حدًا من التسلسل المحدد: 5 ، 0 ، −5 ، −10 ، −15 ، ...

الماخذ الرئيسية

  • المتتالية الحسابية هي عبارة عن تسلسل يكون فيه الفرق د بين المصطلحات المتتالية ثابت.
  • يمكن كتابة المصطلح العام للمتتالية الحسابية بدلالة حدها الأول 1 ، وهو الفرق المشترك د، والفهرس ن على النحو التالي: أ ن = أ 1 + (ن - 1) د.
  • المتسلسلة الحسابية هي مجموع شروط المتتالية الحسابية.
  • ال نيمكن حساب المجموع الجزئي لمتسلسلة حسابية باستخدام المصطلحين الأول والأخير على النحو التالي: S n = n (a 1 + a n) 2.

تمارين الموضوع

الجزء أ: المتتاليات الحسابية

اكتب أول 5 حدود من المتتابعة الحسابية بمعلومية حدها الأول والاختلاف المشترك. ابحث عن صيغة للمصطلح العام.


المتتاليات الحسابية

المتتالية الحسابية هي سلسلة (قائمة أرقام) لها فرق مشترك (ثابت موجب أو سالب) بين المصطلحات المتتالية.

فيما يلي بعض الأمثلة على المتتاليات الحسابية:
1.) 7 ، 14 ، 21 ، 28 لأن الاختلاف المشترك هو 7.
2.) 48 ، 45 ، 42 ، 39 لأن لديها فرق مشترك - 3.

فيما يلي ليست أمثلة على المتواليات الحسابية:

1.) 2،4،8،16 ليس لأن الفرق بين الحد الأول والثاني هو 2 ، ولكن الفرق بين المصطلحين الثاني والثالث هو 4 ، والفرق بين المصطلحين الثالث والرابع هو 8. لا يوجد فرق مشترك لذلك ليس تسلسل حسابي.

2.) 1 ، 4 ، 9 ، 16 ليس لأن الفرق بين الأول والثاني هو 3 ، والفرق بين الثاني والثالث هو 5 ، والفرق بين الثالث والرابع هو 7. لا يوجد فرق شائع لذلك فهو ليس تسلسلًا حسابيًا.

3.) 2 ، 5 ، 7 ، 12 ليس لأن الفرق بين الأول والثاني هو 3 ، والفرق بين الثاني والثالث هو 2 ، والفرق بين الثالث والرابع هو 5. لا يوجد فرق شائع لذلك فهو ليس تسلسلًا حسابيًا.

إجابه:

# a_n = a_1 + (n-1) * d #
#color (white) ("XXX") # حيث # a_1 # هو المصطلح الأول و
#color (white) ("XXXXXXX") d # هو الفرق بين المصطلح والمصطلح السابق.

توضيح:

# a_1 #
#a_color (بني) (2) = a_1 + d = اللون (أخضر) (a_1 + 1d) #
#a_color (بني) (3) = a_2 + d = a_1 + d + d = اللون (أخضر) (a_1 + 2d) #
#a_color (بني) (4) = a_3 + d = a_1 + 2d + dcolor (أخضر) (= a_1 + 3d) #
#a_color (بني) (5) = a_4 + d = a_1 + 3d + d = اللون (أخضر) (a_1 + 4d) #

إجابه:

لمعرفة الفرق المشترك في نقطة الوصول ، يمكنك تنفيذ الخطوة البسيطة التالية.

توضيح:

اطرح المصطلح الأول من AP من المصطلح الثاني لـ AP.

د = # أ_2 # - # a_1 #

حيث د = الفرق المشترك
# a_2 # = أي مصطلح بخلاف المصطلح الأول
# a_1 # = مصطلح سابق


المتتاليات الحسابية

التسلسل الحسابي هو تسلسل يتم فيه حساب المصطلحات المتتالية عن طريق إضافة قيمة ثابتة (موجبة أو سالبة) إلى المصطلح السابق. نسمي هذه القيمة الثابتة الفرق المشترك ( (د )) ، على سبيل المثال ، [ نص <3> نص <0> - نص <3> - نص <6> - نص <9> ldots ] هذا تسلسل حسابي لأننا نضيف (- text <3> ) إلى كل مصطلح للحصول على المصطلح التالي:

الفصل الدراسي الأول (T_ <1> ) ( نص <3> )
الفصل الثاني (T_ <2> ) (3 + (-3) =) (0)
ولاية ثالثة (T_ <3> ) (0 + (-3) =) (- نص <3> )
الفترة الرابعة (T_ <4> ) (-3 + (-3) =) (- نص <6> )
الفترة الخامسة (T_ <5> ) (-6 + (-3) =) (- نص <9> )
( vdots ) ( vdots ) ( vdots ) ( vdots )

فيديو:

[السمات والتراخيص]

هذه المقالة مُرخصة بموجب ترخيص CC BY-NC-SA 4.0.

لاحظ أن مقطع (مقاطع) الفيديو في هذا الدرس يتم توفيره بموجب ترخيص YouTube قياسي.


الاقتباس الدائم

استفد من برنامج Wolfram Notebook Emebedder لتجربة المستخدم الموصى بها.

  • حدود المتتاليات
    ساندرو فريجيو
  • دورية أرقام أويلر في الحساب النمطي
    أولكسندر بافليك
  • مساطر غولومب ومتواليات فيبوناتشي
    إد بيج جونيور
  • متواليات ثنائية الأبعاد قابلة للفصل وغير قابلة للفصل
    جيلينا كوفاشيفيتش
  • ثلاث متتاليات بحد e
    إيزيدور هافنر
  • الاختلافات المتتالية في المتواليات
    جورج بيك
  • أمثلة على حدود المتتاليات الحقيقية
    كريستين هيريرا وألكسندر وايت
  • نهاية مجموع متتابعين
    إيزيدور هافنر
  • مجاميع & # xE0ro لبعض متواليات الوحدات
    جورج بيك
  • توفر متواليات De Bruijn شروطًا أولية مضغوطة
    جون كيل
  • مقارنة الكسور والأعداد العشرية والنسب المئوية
    سارة ليشتبلو
  • القرص ينزلق أو يتدحرج في بئر نصف دائري
    سارة ليشتبلو
  • حركة غير خطية لبندول بسيط
    سارة ليشتبلو
  • موازين الحرارة المئوية والفهرنهايت
    سارة ليشتبلو
  • الأس الصحيح
    سارة ليشتبلو
  • مقارنة مقاييس درجة الحرارة
    سارة ليشتبلو
  • حاسبة القيمة الحالية
    سارة ليشتبلو
  • مرونة الطلب السعرية
    سارة ليشتبلو
  • الدافع يتصرف على البندول
    سارة ليشتبلو
  • هبوط كتلة متصلة ببكرة صلبة
    سارة ليشتبلو
  • حركة قرص دوار يقودها قضيب وزنبرك
    سارة ليشتبلو
  • حركة الدمبل تعمل على أساس القوى الثابتة
    سارة ليشتبلو
  • هبوط العصا
    سارة ليشتبلو
  • ضرب عدد مكوَّن من رقمين في عدد مكوَّن من رقم واحد
    Sarah Lichtblau
  • A Rod Sliding in a Semicircular Well
    Sarah Lichtblau
  • Motion of a Disk Hanging from a Spring on an Inclined Plane
    Sarah Lichtblau
  • Motion of Two Masses Connected by Springs
    Sarah Lichtblau
  • Motion of a System Consisting of a Rolling Cart, Pendulum, and Spring
    Sarah Lichtblau
  • Rolling Cylinder with a Hole
    Sarah Lichtblau
  • Nonsense Sentence Generator
    Sarah Lichtblau


شاهد الفيديو: المتتاليات الحسابية بطريقة جد سهلة ومبسطة (شهر اكتوبر 2021).