مقالات

9.6: حل المعادلات ذات الجذور التربيعية - الرياضيات


أهداف التعلم

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • حل المعادلات الجذرية
  • استخدم الجذور التربيعية في التطبيقات

ملحوظة

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. بسّط: ⓐ ( sqrt {9} ) ⓑ (9 ^ 2 ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 9.1.1 والتمرين 1.3.22.
  2. حل: 5 (x + 1) −4 = 3 (2x − 7).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع التمرين 2.4.16.
  3. حل: (n ^ 2−6n + 8 = 0 ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع التمرين 7.6.13.

حل المعادلات الجذرية

سنحل في هذا القسم المعادلات التي لها متغير في الجذر التربيعي للجذر التربيعي. تسمى المعادلات من هذا النوع بالمعادلات الجذرية.

التعريف: معادلة جذرية

المعادلة التي يكون فيها المتغير في الجذر وجذر تربيعي تسمى أ معادلة جذرية.

كالعادة ، في حل هذه المعادلات ، ما نفعله في أحد طرفي المعادلة يجب أن نفعله بالطرف الآخر أيضًا. نظرًا لأن تربيع كمية وأخذ جذر تربيعي عمليتان "متعاكستان" ، فسنقوم بتربيع كلا الجانبين لإزالة علامة الجذر وإيجاد المتغير الداخلي.

لكن تذكر أننا عندما نكتب ( sqrt {a} ) فإننا نعني الجذر التربيعي الأساسي. لذلك ( sqrt {a} ge 0 ) دائمًا. عندما نحل المعادلات الجذرية بتربيع كلا الطرفين ، قد نحصل على حل جبري يجعل ( sqrt {a} ) سالبًا. لن يكون هذا الحل الجبري حلاً للأصل معادلة جذرية؛ إنه ل محلول غريب. لقد رأينا حلولًا غريبة عندما حللنا معادلات منطقية أيضًا.

مثال ( PageIndex {1} )

للمعادلة ( sqrt {x + 2} = x ):

  1. هل س = 2 حل؟
  2. هل x = −1 حل؟
إجابه

1. هل س = 2 حل؟

يترك x = 2.
تبسيط.
2 هو الحل.

2. هل x = a1 حل؟

يترك x = −1.
تبسيط.
−1 ليس حلاً.
−1 هو حل غريب للمعادلة.

مثال ( PageIndex {2} )

للمعادلة ( sqrt {x + 6} = x ):

  1. هل x = −2 حل؟
  2. هل س = 3 حل؟
إجابه
  1. لا
  2. نعم

مثال ( PageIndex {3} )

للمعادلة ( sqrt {−x + 2} = x ):

  1. هل x = −2 حل؟
  2. هل س = 1 حل؟
إجابه
  1. لا
  2. نعم

سنرى الآن كيفية حل معادلة جذرية. تعتمد استراتيجيتنا على العلاقة بين أخذ الجذر التربيعي والتربيع.

بالنسبة إلى (a ge 0 ) ، (( sqrt {a}) ^ 2 = a )

كيفية حل المعادلات الجذرية

مثال ( PageIndex {4} )

حل: ( sqrt {2x − 1} = 7 )

إجابه

مثال ( PageIndex {5} )

حل: ( sqrt {3x − 5} = 5 ).

إجابه

10

مثال ( PageIndex {6} )

حل: ( sqrt {4x + 8} = 6 ).

إجابه

7

التعريف: حل معادلة جذرية.

  1. افصل الجذر في أحد طرفي المعادلة.
  2. ربّع طرفي المعادلة.
  3. حل المعادلة الجديدة.
  4. تحقق من الجواب.

مثال ( PageIndex {7} )

حل: ( sqrt {5n − 4} −9 = 0 ).

إجابه
لعزل الجذر ، أضف 9 للطرفين.
تبسيط.
ربّع طرفي المعادلة.
حل المعادلة الجديدة.

تحقق من الجواب.

الحل ن = 17.

مثال ( PageIndex {8} )

حل: ( sqrt {3m + 2} −5 = 0 ).

إجابه

( فارك {23} {3} )

مثال ( PageIndex {9} )

حل: ( sqrt {10z + 1} −2 = 0 ).

إجابه

( فارك {3} {10} )

مثال ( PageIndex {10} )

حل: ( sqrt {3y + 5} + 2 = 5 ).

إجابه
لعزل الجذر ، اطرح 2 من كلا الطرفين.
تبسيط.
ربّع طرفي المعادلة.
حل المعادلة الجديدة.

تحقق من الجواب.

الحل هو (y = frac {4} {3} )

مثال ( PageIndex {11} )

حل: ( sqrt {3p + 3} + 3 = 5 ).

إجابه

( فارك {1} {3} )

مثال ( PageIndex {12} )

حل: ( sqrt {5q + 1} + 4 = 6 ).

إجابه

( فارك {3} {5} )

عندما نستخدم علامة جذرية ، فإننا نعني الجذر الأساسي أو الموجب. إذا كانت المعادلة تحتوي على جذر تربيعي يساوي عددًا سالبًا ، فلن يكون لهذه المعادلة أي حل.

مثال ( PageIndex {13} )

حل: ( sqrt {9k − 2} + 1 = 0 ).

إجابه
لعزل الجذر ، اطرح 1 من كلا الطرفين.
تبسيط.
بما أن الجذر التربيعي يساوي عددًا سالبًا ، فليس للمعادلة حل.

مثال ( PageIndex {14} )

حل: ( sqrt {2r − 3} + 5 = 0 )

إجابه

لا حل

مثال ( PageIndex {15} )

حل: ( sqrt {7s − 3} + 2 = 0 ).

إجابه

لا حل

إذا كان أحد طرفي المعادلة ذو الحدين ، فإننا نستخدم صيغة المربعات ذات الحدين عند تربيعها.

التعريف: الساحات ذات الحدين

[ start {array} {cc} {(a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2} & {(a − b) ^ 2 = a ^ 2−2ab + b ^ 2} عدد نهاية {مجموعة} ]

لا تنسى المدى المتوسط!

مثال ( PageIndex {17} )

حل: ( sqrt {x − 2} + 2 = x ).

إجابه

2, 3

مثال ( PageIndex {18} )

حل: ( sqrt {y − 5} + 5 = y ).

إجابه

5, 6

مثال ( PageIndex {19} )

حل: ( sqrt {r + 4} −r + 2 = 0 ).

إجابه
( الجذر التربيعي {r + 4} − ص + 2 = 0 )
عزل الراديكالي. ( الجذر التربيعي {r + 4} = ص 2 )
ربّع طرفي المعادلة. (( sqrt {r + 4}) ^ 2 = (r − 2) ^ 2 )
حل المعادلة الجديدة. (ص + 4 = ص ^ 2−4 ص + 4 )
إنها معادلة تربيعية ، لذا ضع صفرًا في أحد طرفيها. (0 = r ^ 2−5r )
حلل الجانب الأيمن إلى عوامل. (0 = ص (ص − 5) )
استخدم خاصية المنتج الصفري.0 = ص 0 = ص − 5
حل المعادلة.ص = 0 ص = 5

تحقق من الجواب.

ص = 5
r = 0 حل غريب.

مثال ( PageIndex {20} )

حل: ( sqrt {m + 9} −m + 3 = 0 ).

إجابه

7

مثال ( PageIndex {21} )

حل: ( sqrt {n + 1} −n + 1 = 0 )

إجابه

3

عندما يكون هناك مُعامل أمام الجذر ، يجب علينا تربيعه أيضًا.

مثال ( PageIndex {22} )

حل: (3 sqrt {3x − 5} −8 = 4 ).

إجابه
(3 الجذر التربيعي {3 س − 5} −8 = 4 )
عزل الراديكالي. (3 الجذر التربيعي {3 س − 5} = 12 )
ربّع طرفي المعادلة. ((3 sqrt {3x − 5}) ^ 2 = (12) ^ 2 )
بسّط ثم حل المعادلة الجديدة.9 (3x − 5) = 144
نشر.27x − 45 = 144
حل المعادلة.27x = 189
س = 7

تحقق من الجواب.

الحل هو x = 7.

مثال ( PageIndex {23} )

حل: ( sqrt {24a + 2} −16 = 16 ).

إجابه

( فارك {127} {2} )

مثال ( PageIndex {24} )

حل: ( sqrt {36b + 3} −25 = 50 ).

إجابه

( frac {311} {3} )

مثال ( PageIndex {25} )

حل: ( sqrt {4z − 3} = sqrt {3z + 2} ).

إجابه
( sqrt {4z − 3} = sqrt {3z + 2} )
يتم عزل المصطلحات المتطرفة ( sqrt {4z − 3} = sqrt {3z + 2} )
ربّع طرفي المعادلة. (( sqrt {4z − 3}) ^ 2 = ( sqrt {3z + 2}) ^ 2 )
بسّط ثم حل المعادلة الجديدة4z − 3 = 3z + 2
ض − 3 = 2
ض = 5
س = 7

تحقق من الجواب.

نترك الأمر لك لتظهر أن 5 شيكات!

الحل هو z = 5.

مثال ( PageIndex {26} )

حل: ( sqrt {2x − 5} = sqrt {5x + 3} ).

إجابه

لا حل

مثال ( PageIndex {27} )

حل: ( sqrt {7y + 1} = sqrt {2y − 5} ).

إجابه

لا حل

في بعض الأحيان ، بعد تربيع طرفي المعادلة ، لا يزال لدينا متغير داخل الجذر. عندما يحدث ذلك ، نكرر الخطوتين 1 و 2 من إجراءاتنا. نعزل كلا طرفي المعادلة الجذري والمربع مرة أخرى.

مثال ( PageIndex {28} )

حل: ( sqrt {m} + 1 = sqrt {m + 9} ).

إجابه
( sqrt {m} + 1 = sqrt {m + 9} )

الراديكالية على الجانب الأيمن معزولة.

مربّع كلا الجانبين

(( sqrt {m} +1) ^ 2 = ( sqrt {m + 9}) ^ 2 )
تبسيط - كن حذرًا جدًا أثناء عملية الضرب! (م + 2 مربع {م} + 1 = م + 9 )

لا يزال هناك جذري في المعادلة.

لذلك يجب أن نكرر الخطوات السابقة. عزل الراديكالي.

(2 sqrt {m} = 8 )
مربّع كلا الجانبين. ((2 sqrt {m}) ^ 2 = (8) ^ 2 )
بسّط ثم حل المعادلة الجديدة.4 م = 64
م = 16

تحقق من الجواب.

نترك الأمر لك لتظهر أن م = 16 شيكًا!

الحل م = 16.

مثال ( PageIndex {29} )

حل: ( sqrt {x} + 3 = sqrt {x + 5} ).

إجابه

لا حل

مثال ( PageIndex {30} )

حل: ( sqrt {m} + 5 = sqrt {m + 16} ).

إجابه

لا حل

مثال ( PageIndex {31} )

حل: ( sqrt {q − 2} + 3 = sqrt {4q + 1} ).

إجابه
( sqrt {q − 2} + 3 = sqrt {4q + 1} )

الراديكالية على الجانب الأيمن معزولة.

مربّع كلا الجانبين

(( sqrt {q − 2} +3) ^ 2 = ( sqrt {4q + 1}) ^ 2 )
تبسيط. (q − 2 + 6 الجذر التربيعي {q − 2} + 9 = 4q + 1 )

لا يزال هناك جذري في المعادلة.

لذلك يجب أن نكرر الخطوات السابقة. عزل الراديكالي.

(6 الجذر التربيعي {q − 2} = 3 س − 6 )
مربّع كلا الجانبين. ((6 sqrt {q − 2}) ^ 2 = (3q − 6) ^ 2 )
بسّط ثم حل المعادلة الجديدة. (36 (ف − 2) = 9 س ^ 2−36 ف + 36 )
نشر. (36q − 72 = 9q ^ 2−36q + 36 )
إنها معادلة تربيعية ، لذا ضع صفرًا في أحد طرفيها. (0 = 9 س ^ 2−72 س + 108 )
حلل الجانب الأيمن إلى عوامل.

(0 = 9 (ف ^ 2−8 س + 12) )

(0 = 9 (ف 6) (ف 2) )

استخدم خاصية المنتج الصفري [ start {array} {ll} {q − 6 = 0} & {q − 2 = 0} {q = 6} & {q = 2} nonumber end {array} ]

يتم ترك الشيكات لك. (يجب أن يعمل كلا الحلين.)

الحلول هي q = 6 و q = 2.

مثال ( PageIndex {32} )

حل: ( sqrt {y − 3} + 2 = sqrt {4y + 2} ).

إجابه

لا يوجد حل

مثال ( PageIndex {33} )

حل: ( sqrt {n − 4} + 5 = sqrt {3n + 3} ).

إجابه

لا حل

استخدم الجذور التربيعية في التطبيقات

أثناء تقدمك في دورات الكلية ، ستواجه معادلات تتضمن جذورًا تربيعية في العديد من التخصصات. لقد استخدمنا بالفعل الصيغ لحل التطبيقات الهندسية.

سنستخدم إستراتيجيتنا لحل المشكلات للتطبيقات الهندسية ، مع تعديلات طفيفة ، لتزويدنا بخطة لحل التطبيقات باستخدام الصيغ من أي تخصص.

التعريف: حل التطبيقات باستخدام الصيغ.

  1. يقرأ المشكلة وتأكد من فهم كل الكلمات والأفكار. عندما يكون ذلك مناسبًا ، ارسم شكلًا وقم بتسميته بالمعلومات المقدمة.
  2. تحديد ما نبحث عنه.
  3. اسم ما نبحث عنه باختيار متغير لتمثيله.
  4. يترجم في معادلة عن طريق كتابة الصيغة أو النموذج المناسب للموقف. استبدل المعلومات المقدمة.
  5. حل المعادلة باستخدام تقنيات الجبر الجيدة.
  6. الشيك الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
  7. إجابه السؤال بجملة كاملة.

استخدمنا الصيغة A = L · W لإيجاد مساحة مستطيل بطول إل والعرض دبليو. المربع هو مستطيل يتساوى فيه الطول والعرض. إذا سمحنا س يكون طول جانب المربع ، فمساحة المربع هي (s ^ 2 ).

تعطينا الصيغة (A = s ^ 2 ) مساحة المربع إذا عرفنا طول الضلع. ماذا لو أردنا إيجاد طول ضلع في منطقة معينة؟ ثم علينا حل معادلة س.

[ start {array} {ll} {} & {A = s ^ 2} { text {خذ الجذر التربيعي لكلا الجانبين.}} & { sqrt {A} = sqrt {s ^ 2 }} { text {تبسيط.}} & {s = sqrt {A}} nonumber end {array} ]

يمكننا استخدام الصيغة (s = sqrt {A} ) لإيجاد طول ضلع في المربع لمنطقة معينة.

التعريف: مساحة مربعة

سنعرض مثالاً على ذلك في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {34} )

يريد مايك وليشيل إنشاء فناء مربع. لديهم ما يكفي من الخرسانة لرصف مساحة 200 قدم مربع. استخدم الصيغة (s = sqrt {A} ) لإيجاد طول كل جانب من جوانب الفناء. قرب إجابتك لأقرب جزء من عشر قدم.

إجابه
الخطوة 1. اقرأ المشكلة. ارسم شكلا و
قم بتسميتها بالمعلومات المقدمة.
أ = 200 قدم مربع
الخطوة 2. تحديد ما تبحث عنه.طول جانب من الفناء المربع.
الخطوة 3. الاسم ما الذي تبحث عنه
اختيار متغير لتمثيله.
يترك س = طول الضلع.
الخطوة 4. الترجمة في معادلة عن طريق كتابة
الصيغة أو النموذج المناسب للموقف.
استبدل المعلومات المقدمة.
الخطوة 5. حل المعادلة باستخدام الجبر الجيد
التقنيات. التقريب لأقرب منزلة عشرية.
الخطوة 6. تحقق الجواب في المشكلة و
تأكد من أنه منطقي.
هذا قريب بما فيه الكفاية لأننا قمنا بتقريب
الجذر التربيعي.
هل الفناء الذي يبلغ جانبه 14.1 قدمًا معقولاً؟
نعم.
الخطوة 7. الإجابة السؤال مع كامل
جملة او حكم على.
يجب أن يبلغ طول كل جانب من جوانب الفناء 14.1 قدمًا.

مثال ( PageIndex {35} )

كاتي تريد أن تزرع حديقة مربعة في فناء منزلها الأمامي. لديها ما يكفي من العشب لتغطية مساحة 370 قدم مربع. استخدم الصيغة (s = sqrt {A} ) لإيجاد طول كل جانب من حديقتها. قرب إجابتك لأقرب جزء من عشر قدم.

إجابه

19.2 قدم

مثال ( PageIndex {36} )

يريد سيرجيو صنع فسيفساء مربعة كترصيع لطاولة يقوم ببنائها. لديه ما يكفي من البلاط لتغطية مساحة 2704 سم مربع. استخدم الصيغة (s = sqrt {A} ) لإيجاد طول كل جانب من جوانب الفسيفساء الخاصة به. قرب إجابتك لأقرب جزء من عشر قدم.

إجابه

52.0 سم

تطبيق آخر للجذور التربيعية له علاقة بالجاذبية.

التعريف: الأجسام الساقطة

على الأرض ، إذا تم إسقاط جسم من ارتفاع hh قدم ، يتم العثور على الوقت الذي يستغرقه الوصول إلى الأرض بالثواني باستخدام الصيغة ،

(t = frac { sqrt {h}} {4} )

على سبيل المثال ، إذا سقط جسم من ارتفاع 64 قدمًا ، فيمكننا إيجاد الوقت المستغرق للوصول إلى الأرض بالتعويض عن ع = 64 في الصيغة.

خذ الجذر التربيعي لـ 64.
بسّط الكسر.

يستغرق سقوط جسم من ارتفاع 64 قدمًا إلى الأرض ثانيتين.

تمرين ( PageIndex {38} )

أسقطت طائرة هليكوبتر حزمة إنقاذ من ارتفاع 1،296 قدمًا. استخدم الصيغة (t = frac { sqrt {h}} {4} ) لمعرفة عدد الثواني التي استغرقتها الحزمة للوصول إلى الأرض.

إجابه

9 ثوان

مثال ( PageIndex {39} )

أسقطت آلة غسل النوافذ ممسحة من منصة على ارتفاع 196 قدمًا فوق الرصيف استخدم الصيغة (t = frac { sqrt {h}} {4} ) لمعرفة عدد الثواني التي استغرقتها الممسحة للوصول إلى الرصيف.

إجابه

3.5 ثانية

يقوم ضباط الشرطة الذين يحققون في حوادث السيارات بقياس طول علامات الانزلاق على الرصيف. ثم استخدموا الجذور التربيعية لتحديد السرعة ، بالأميال في الساعة ، كانت السيارة تسير قبل استخدام الفرامل.

التعريف: علامات الانزلاق وسرعة السيارة

إذا كان طول علامات الانزلاق د الأقدام ، ثم السرعة ، سيمكن العثور على السيارة قبل استخدام المكابح باستخدام الصيغة ،

(s = sqrt {24d} )

مثال ( PageIndex {41} )

قام محقق الحادث بقياس علامات انزلاق السيارة. كان طول علامات الانزلاق 76 قدمًا. استخدم الصيغة (s = sqrt {24d} ) لإيجاد سرعة السيارة قبل استخدام الفرامل. جولة إجابتك إلى أقرب عشر.

إجابه

42.7 قدم

مثال ( PageIndex {42} )

كانت علامات الانزلاق لمركبة متورطة في حادث بطول 122 قدمًا. استخدم الصيغة (s = sqrt {24d} ) لإيجاد سرعة السيارة قبل استخدام الفرامل. جولة إجابتك إلى أقرب عشر.

إجابه

54.1 قدم

المفاهيم الرئيسية

  • لحل معادلة جذرية:
    1. افصل الجذر في أحد طرفي المعادلة.
    2. ربّع طرفي المعادلة.
    3. حل المعادلة الجديدة.
    4. تحقق من الجواب. قد لا تعمل بعض الحلول التي تم الحصول عليها في المعادلة الأصلية.
  • حل التطبيقات بالصيغ
    1. يقرأ المشكلة وتأكد من فهم كل الكلمات والأفكار. استبدل المعلومات المقدمة.
    2. حل المعادلة باستخدام تقنيات الجبر الجيدة.
    3. الشيك الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
    4. إجابه السؤال بجملة كاملة.
  • مساحة المربع
  • الأجسام المتساقطة
    • على الأرض ، إذا تم إسقاط جسم من ارتفاع hh قدم ، فسيتم العثور على الوقت الذي يستغرقه الوصول إلى الأرض بالثواني باستخدام الصيغة (t = frac { sqrt {h}} {4} ) .
  • علامات الانزلاق وسرعة السيارة
    • إذا كان طول علامات الانزلاق د الأقدام ، ثم السرعة ، س، للسيارة قبل استخدام الفرامل باستخدام الصيغة (s = sqrt {24d} ).

قائمة المصطلحات

معادلة جذرية
تسمى المعادلة التي يكون فيها المتغير في الجذر والجذر التربيعي معادلة جذرية

9.6: حل المعادلات ذات الجذور التربيعية - الرياضيات

في البداية ، كان لدي انطباع بأن برنامجك كان يستهدف المرحلتين الابتدائية والثانوية ، لذلك لم أستخدمه على الإطلاق. أخيرًا ، ذات ليلة جربتها في نزوة ، وبعد تجاوز منحنى التعلم الأولي ، تفاجأت بمدى تقدمه حقًا! أعني ، سأستخدم طوال الطريق من خلال درجة البكالوريوس في الأنثروبولوجيا!
إم في ، تكساس

أنا أحب تصميم البرنامج ، وسهولة الاستخدام التي قمت بتحميلها على كمبيوتر أطفالي لاستخدامها في الواجبات المنزلية.
ديل موريسي ، فلوريدا

وضع هذا البرنامج الأساس لأنجح حل خطوة بخطوة لتدريس الجبر الذي رأيته أو كان من دواعي سروري تطبيقه داخل الفصل الدراسي. كما ذكرت خلال محادثتنا الهاتفية السابقة ، عند رسم النتائج الفعلية من اختبار الفهم الرياضي القياسي لطلابنا ، باستخدام بيانات من الفترات السابقة على تطبيق البرنامج وبعده مباشرة ، يكون الاختلاف المقارن واضحًا حقًا.
دي ، كنتاكي

Algebrator هو أفضل برنامج استخدمته! لم أعتقد أبدًا أنني سأتعلم الصيغ والقواعد المختلفة المستخدمة في الرياضيات ، لكن برنامجك جعل الأمر سهلاً حقًا. شكرا جزيلا على إنشائك لك. الآن لا أخشى الذهاب إلى فصل الجبر. شكرا!
ليوناردو جروه ، أوهايو

كان ابني دائمًا يقنعني بالحفاظ على مدرس لأداء واجبات الجبر المنزلية. ثم أخبرني أحد أصدقائي عن هذا البرنامج "Algebrator". في البداية ، كنت مترددًا بعض الشيء لأنني كنت أتخوف من افتقاره إلى التفاعل البشري الذي عادة ما يكون لدى المعلم. ومع ذلك ، طلبت من ابني أن يجربها. وقد فوجئت تمامًا عندما وجدت أنه طور إعجابه بهذا البرنامج. لا أستطيع معرفة السبب لأنني لست من خلفية الرياضيات وقد نسيت الجبر في مدرستي. لكن يمكنني أن أرى أن ابني مرتاح للموضوع الآن.
ويلي تاكر ، نيوجيرسي.


9.6: حل المعادلات ذات الجذور التربيعية - الرياضيات

ربما يكون عنوان هذا القسم مضللًا بعض الشيء. يبدو أن العنوان يعني أننا سننظر في المعادلات التي تتضمن أي متطرفين. ومع ذلك ، سنقتصر على المعادلات التي تتضمن جذورًا تربيعية. يمكن استخدام التقنيات التي سنطبقها هنا لحل المعادلات مع الجذور الأخرى ، ولكن العمل عادة ما يكون أكثر فوضوية مما هو عليه عند التعامل مع الجذور التربيعية. لذلك ، سنعمل فقط مع الجذور التربيعية في هذا القسم.

قبل المتابعة ، يجب أن نذكر أيضًا أنه في بعض كتب الجبر المدرسية ستجد هذا القسم مع المعادلات القابلة للاختزال إلى مادة ذات شكل تربيعي. والسبب هو أننا سننتهي في الواقع بحل معادلة تربيعية في معظم الحالات. ومع ذلك ، فإن المنهج مختلف بشكل كبير ولذا سنقوم بفصل الموضوعين إلى أقسام مختلفة في هذه الدورة التدريبية.

من الأفضل عادة أن ترى كيف تعمل هذه بمثال.

المشكلة الأساسية في هذه المعادلة هي الجذر التربيعي. إذا لم يكن ذلك موجودًا ، فيمكننا حل المشكلة. تم إعداد العملية بأكملها التي سنمر بها هنا لإزالة الجذر التربيعي. ومع ذلك ، كما سنرى ، فإن الخطوات التي سنتخذها يمكن أن تسبب لنا مشاكل بالفعل. لذا ، دعونا نرى كيف يعمل كل هذا.

دعونا نلاحظ أنه إذا قمنا بتربيع كلا الجانبين فقط ، فيمكننا إزالة الجذر التربيعي. دعونا نفعل ذلك ونرى ما سيحدث.

عند تربيع الطرفين ، نرى أننا نحصل على معادلة تربيعية قابلة للتحليل تعطينا حلين (س = 3 ) و (س = - 2 ).

الآن ، بدون سبب واضح ، دعنا نفعل شيئًا لم نفعله بالفعل منذ القسم الخاص بحل المعادلات الخطية. دعونا نتحقق من إجاباتنا. تذكر أيضًا أننا بحاجة إلى التحقق من الإجابات في المعادلة الأصلية! هذا جدا مهم.

لذا فإن (س = 3 ) هو الحل. الآن دعونا نتحقق من (x = - 2 ).

لدينا مشكلة. تذكر أن الجذور التربيعية موجبة دائمًا وبالتالي فإن (x = - 2 ) لا يعمل في المعادلة الأصلية. أحد الاحتمالات هنا هو أننا ارتكبنا خطأ في مكان ما. ومع ذلك ، يمكننا العودة والنظر ، وسنرى بسرعة أننا لم نرتكب أي خطأ.

إذا، ما هو الاتفاق؟ تذكر أن خطوتنا الأولى في عملية الحل كانت تربيع الجانبين. لاحظ أنه إذا عوضنا (x = - 2 ) في المعادلة التربيعية ، فقد حللناها في الواقع. عندما قمنا بتربيع كلا طرفي المعادلة ، قمنا بالفعل بتغيير المعادلة ، وفي هذه العملية ، قدمنا ​​حلاً لا يمثل حلاً للمعادلة الأصلية.

مع هذه المشاكل ، من المهم للغاية أن تتحقق من حلولك لأن هذا سيحدث غالبًا. عندما لا نأخذ سوى القيم التي تمثل حلولًا فعلية للمعادلة الأصلية.

إذن ، كان للمعادلة الأصلية حل واحد (س = 3 ).

الآن ، كما أوضحنا هذا المثال ، علينا توخي الحذر الشديد في حل هذه المعادلات. عندما نحل المعادلة التربيعية ، سنحصل على حلين ، ومن الممكن أن يكون كلاهما ، أو أحدهما ، أو لا أحد من هذه القيم هو حل المعادلة الأصلية. الطريقة الوحيدة لمعرفة ذلك هي التحقق من حلولك!

فلنعمل على بعض الأمثلة الأخرى التي تكون أكثر صعوبة بقليل.

في هذه الحالة ، دعونا نلاحظ أنه إذا قمنا فقط بتربيع كلا الجانبين ، فسوف نواجه مشاكل.

قبل مناقشة المشكلة التي وصلنا إليها هنا ، دعنا نتأكد من أنه يمكنك إجراء التربيع الذي قمنا به أعلاه لأنه سيظهر في بعض الأحيان. كل ما فعلناه هنا هو استخدام الصيغة

مع (أ = ص ) و (ب = مربع ). ستحتاج إلى أن تكون قادرًا على القيام بذلك لأنه على الرغم من أن هذا قد لا يعمل هنا ، فسنحتاج إلى هذا النوع من العمل في المجموعة التالية من المشكلات.

الآن ، ما هي المشكلة في هذا؟ حسنًا ، تذكر أن النقطة وراء تربيع الطرفين في المسألة الأولى هي حذف الجذر التربيعي. لم نقم بذلك. لا يزال هناك جذر تربيعي في المشكلة وقد جعلنا بقية المشكلة أكثر تعقيدًا أيضًا.

لذا ، ما علينا فعله هنا هو التأكد من أن لدينا جذرًا تربيعيًا في حد ذاته في أحد طرفي المعادلة قبل التربيع. بمجرد الانتهاء من ذلك ، يمكننا تربيع كلا الجانبين وسيختفي الجذر التربيعي حقًا.

هذه هي الطريقة الصحيحة لحل هذه المشكلة.

كما هو الحال مع المثال الأول ، سنحتاج إلى التأكد من كلا الحلين والتحقق منهما. مرة أخرى ، تأكد من مراجعة المعادلة الأصلية. بمجرد أن نحدد كلا الجانبين ، نكون قد غيرنا المشكلة ، وبالتالي فإن التحقق هناك لن يفيدنا بأي شيء. في الواقع ، قد يؤدي التحقق من ذلك إلى وقوعنا في مشكلة.

لذلك ، هذا هو الحل. الآن (ص = 5 ).

[يبدأ5 + sqrt <5 - 4> & mathop = limits ^؟ 4 5 + sqrt 1 & mathop = limits ^؟ 4 6 & ne 4 hspace <0.25in> < mbox> < mbox> النهاية]

لذلك ، كما هو الحال مع المثال الأول الذي عملنا فيه ، يوجد في الواقع حل واحد للمعادلة الأصلية ، (y = 4 ).

حسنًا ، سنحتاج مرة أخرى إلى الحصول على الجذر التربيعي في أحد الضلعين بمفرده قبل تربيع كلا الطرفين.

إذن ، لدينا جذر مزدوج هذه المرة. دعنا نتحقق من ذلك لمعرفة ما إذا كان حقاً حلاً للمعادلة الأصلية.

[يبدأ1 & mathop = limits ^؟ 2 + sqrt <2 left (2 right) - 3> 1 & mathop = limits ^؟ 2 + sqrt 1 1 & ne 3 end]

إذن ، (t = 2 ) ليس حلاً للمعادلة الأصلية. نظرًا لأن هذا كان الحل الوحيد الممكن ، فهذا يعني أنه يوجد لا توجد حلول للمعادلة الأصلية. هذا لا يحدث في كثير من الأحيان ، لكنه يحدث لذلك لا تتفاجأ عندما يحدث.

هذا سيعمل بنفس الطريقة السابقة.

دعنا نتحقق من هذه الحلول الممكنة التي تبدأ بـ (z = - 1 ).

لذلك ، كان هذا حلاً. الآن دعونا نتحقق من (z = 2 ).

[يبدأ sqrt <5 left (2 right) + 6> - 2 & mathop = limits ^؟ 2 sqrt <16> - 2 & mathop = limits ^؟ 2 4 - 2 & = 2 hspace <0.25in> < mbox> النهاية]

لذلك ، في هذه الحالة ، رأينا الآن مثالًا حيث يكون كلا الحلين المحتملين في الواقع حلين للمعادلة الأصلية أيضًا.

لذلك ، كما رأينا في مجموعة الأمثلة السابقة ، بمجرد أن نحصل على قائمة الحلول الممكنة في أي مكان ، من لا شيء إلى كل منهم يمكن أن يكون حلولًا للمعادلة الأصلية. تذكر دائما أن تتحقق من إجاباتك!

حسنًا ، فلنعمل على مجموعة أخرى من الأمثلة التي لها تعقيد إضافي. حتى هذه النقطة ، فإن جميع المعادلات التي نظرنا إليها تحتوي على جذر تربيعي واحد بداخلها. ومع ذلك ، يمكن أن يكون هناك أكثر من جذر تربيعي واحد في هذه المعادلات. تم تصميم المجموعة التالية من الأمثلة لتوضح لنا كيفية التعامل مع هذه الأنواع من المشاكل.

يوجد في كل من هذين الجذور التربيعية للمسألة. سنعمل هذه في الأساس بنفس الطريقة ولكن. الخطوة الأولى هي الحصول على أحد الجذور التربيعية بمفرده في أحد طرفي المعادلة ثم تربيع الطرفين. في هذه المرحلة ، تختلف العملية ، لذا سنرى كيفية المضي قدمًا من هذه النقطة بمجرد أن نصل إليها في المثال الأول.

لذا ، فإن أول شيء يجب فعله هو الحصول على أحد الجذور التربيعية في حد ذاته. لا يهم أي واحد نحصل عليه من تلقاء نفسه. سننتهي بنفس الحل (الحلول) في النهاية.

الآن ، لا يزال لدينا جذر تربيعي في المشكلة ، لكننا تمكنا من حذف واحد منهم. ليس هذا فقط ، ولكن ما تبقى لدينا هنا مطابق للأمثلة التي عملناها في الجزء الأول من هذا القسم. لذلك ، سنواصل الآن حل هذه المشكلة كما فعلنا في مجموعات الأمثلة السابقة.

[يبدأ < يسار ( يمين) ^ 2> & = < يسار (<4 sqrt > يمين) ^ 2> - 2x + 1 & = 16 يسار ( حق) - 2x + 1 & = 16x - 64 - 18x + 65 & = 0 يسار ( يمين شمال( right) & = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> x = 13، ، ، ، x = 5 end]

الآن ، دعنا نتحقق من كلا الحلين المحتملين في المعادلة الأصلية. سنبدأ بـ (x = 13 )

[يبدأ sqrt <2 left (<13> right) - 1> - sqrt <13-4> & mathop = limits ^؟ 2 sqrt <25> - sqrt 9 & mathop = limits ^؟ 2 5 - 3 & = 2 hspace <0.25in> hspace <0.25in> < mbox> النهاية]

لذا ، فالواحد هو الحل. الآن دعونا نتحقق من (x = 5 ).

[يبدأ sqrt <2 left (5 right) - 1> - sqrt <5 - 4> & mathop = limits ^؟ 2 sqrt 9 - sqrt 1 & mathop = limits ^؟ 2 3-1 & = 2 hspace <0.25in> < mbox> النهاية]

إذن ، كلاهما حلين للمعادلة الأصلية.

في هذه الحالة ، لدينا بالفعل جذر تربيعي في أحد الضلعين في حد ذاته ، لذا يمكننا أن ننتقل مباشرة إلى تربيع كلا الطرفين.

بعد ذلك ، أعد الجذر التربيعي المتبقي إلى جانب واحد بمفرده وقم بتربيع كلا الجانبين مرة أخرى.

تحقق الآن من كلا الحلين المحتملين بدءًا من (t = 2 ).

[يبدأ sqrt <2 + 7> + 2 & mathop = limits ^؟ sqrt <3 - 2> sqrt 9 + 2 & mathop = limits ^؟ sqrt 1 3 + 2 & ne 1 hspace <0.25in> < mbox> النهاية]

لذلك ، لم يكن ذلك حلاً. الآن دعونا نتحقق من (t = - 6 ).

[يبدأ sqrt <- 6 + 7> + 2 & mathop = limits ^؟ sqrt <3 - left (<- 6> right)> sqrt 1 + 2 & mathop = limits ^؟ sqrt 9 1 + 2 & = 3 hspace <0.25in> < mbox> النهاية]

يبدو أننا في هذه الحالة لدينا حل واحد ، (t = - 6 ).

لذلك ، عندما يكون هناك أكثر من جذر تربيعي واحد في المشكلة ، فإننا نواجه مرة أخرى مهمة التحقق من الحلول الممكنة. من الممكن أن تكون الحلول الممكنة في أي مكان من لا شيء إلى كل الحلول الممكنة في الواقع ، والطريقة الوحيدة للتأكد من ذلك هي التحقق منها في المعادلة الأصلية.


حل مفتاح الإجابة على ورقة عمل معادلات الجذر التربيعي

حل مفتاح الإجابة عن الجذر التربيعي. حل مفتاح إجابة الجذر التربيعي يعرض أفضل 8 أوراق عمل تم العثور عليها لهذا المفهوم.

إكمال الدبوس الملهم لورقة العمل المربعة في الكاتا في عام 2020 استكمال ورقة عمل الرياضيات المربعة وحل المعادلات التربيعية

بعض أوراق العمل الخاصة بهذا المفهوم عبارة عن معادلات الجذر التربيعي لحل الجذور التربيعية خاصية الجذر التربيعي حل المعادلات الجذرية حل المعادلات التربيعية قانون الجذر التربيعي العمل الرياضيات 154 ب اسم خاصية الجذر التربيعي تعمل في اسم ملاحظات الرياضيات 6.

حل معادلات الجذر التربيعي مفتاح إجابة ورقة العمل. بعض أوراق العمل المعروضة هي حل الجذور التربيعية معادلات الجذر التربيعي ، الجذور التربيعية ، العمل على حل المعادلات الجذرية ، الجذور التربيعية ، العمل على حل المعادلات التربيعية بأخذ فترة تاريخ الجذور التربيعية ، حل المعادلات التربيعية ، فصل قانون الجذر التربيعي. هناك طريقة أخرى للوصول إلى الإجابة وهي تربيع طرفي المعادلة. عرض أهم 8 أوراق عمل تم العثور عليها لمشكلة الكلمات ذات الجذور التربيعية باستخدام مفتاح الإجابة.

حل مفتاح إجابة الجذر التربيعي يعرض أفضل 8 أوراق عمل تم العثور عليها لهذا المفهوم. سوف يتدرب الطلاب على تحديد الجذر التربيعي الكامل والجذور التكعيبية للأعداد التي يتم حلها من أجل الجذور التربيعية والجذور التكعيبية في معادلة وحلها لإيجاد x عندما يكون المربع h الكامل. بعد القيام بذلك ، فإن الخطوة الواضحة التالية هي أخذ الجذور التربيعية لكلا الطرفين لإيجاد قيمة.

عرض أهم 8 أوراق عمل في فئة مفتاح الإجابة عن مفتاح حل الجذر التربيعي. E f210 b1z1n 5k ount gae 0s do ffttnwjajrseq dldlec 2 m m ha pl xl c qrhing2hjtws3 rte 2slewrxv 4ezdl. تذكر أي شيء تفعله في جانب واحد من المعادلة يجب أن تفعله بالطرف الآخر.

بعض أوراق العمل الخاصة بهذا المفهوم هي حل الجذور التربيعية معادلات الجذور التربيعية ، الجذور التربيعية ، العمل على حل المعادلات الجذرية ، الجذور التربيعية ، العمل على حل المعادلات التربيعية بأخذ فترة تاريخ الجذور التربيعية ، حل المعادلات التربيعية ، قانون الجذر التربيعي ، الفصل الرابع ، أساسيات الموارد. ستجد في هذه الصفحة إمدادًا غير محدود من أوراق العمل القابلة للطباعة للجذور التربيعية بما في ذلك أوراق العمل للجذور التربيعية فقط للصف السابع أو أوراق العمل ذات الجذور التربيعية والصفوف من العمليات الأخرى 8 10. بعض أوراق العمل الخاصة بهذا المفهوم هي عمل الجذور التربيعية 1 لتبسيط الجذور التربيعية فترة تاريخ الجذور التربيعية حل المعادلات التربيعية قانون الجذر التربيعي والجذور التربيعية الأخرى. 501 الرياضيات مسائل كلامية الجذر التربيعي ومربعات العمل والجذور التربيعية.

حل مفتاح الإجابة عن الجذر التربيعي. تتضمن الخيارات نطاق Radicand الذي يحد من الجذور التربيعية إلى المربعات الكاملة فقط بحجم الخط بتنسيق pdf أو html والمزيد. P f im sa fdze e wwuitch4 zi4n ifti3nci otze a zaglygde1bhrda v v2u g ورقة عمل بواسطة kuta software llc kuta software الجبر اللانهائي 2 اسم معادلات الجذر التربيعي فترة التاريخ.

الإستراتيجية الرئيسية في حل المعادلات التربيعية باستخدام طريقة الجذر التربيعي تتمثل الطريقة العامة في جمع كل حدود x 2 x2 على جانب واحد من المعادلة مع إبقاء الثوابت في الجانب الآخر. X 7 تربيع كلا الجانبين 2 2 × 7 يلغي كل من الجذر التربيعي والجذر التربيعي على اليسار. صور 25 حل معادلات الجذر التربيعي الجبر 2 مفتاح الإجابة.

استخدم بطاقات المهام هذه بدلاً من أوراق العمل لجعل الطلاب يعملون باستخدام الجذور التربيعية والجذور التكعيبية للمكعبات الكاملة.

سيتم إعطاء الطلاب معادلات الجذر التربيعية في شكل Vertex باستخدام أقلام الرصاص الملونة ، حيث سيقومون برسم كل دالة جذور مربعة أساسية تعليم الرياضيات تعليم الرياضيات

الجذر التربيعي معادلات الجذر المكعب حل الجذور الرسومية حل المعادلات المعادلات الجذرية

أوراق عمل قابلة للطباعة مجانًا من الجذر التربيعي ، أوراق عمل ممتعة للرياضيات ، أوراق عمل الجبر ، جذور مربعة

حل عن طريق تحليل ورقة العمل إلى عوامل التوسع الجميل وعوامل المعادلات التربيعية في 2020 حل المعادلات التربيعية معادلة تربيعية

28 تمارين الجذر التربيعي مع إجابات حل المعادلات أوراق عمل الرياضيات في 2020 أوراق عمل الجبر حل المعادلات الخطية حل المعادلات

حل المعادلات متعددة الحدود إجابات ورقة العمل الأفضل لحل المعادلات متعددة الحدود عن طريق تحليل ورقة العمل T في 2020 أوراق عمل الجبر تحليل المعادلات التربيعية

برنامج كوتا لحل المعادلات متعددة الخطوات أوراق عمل الرياضيات المجانية القابلة للطباعة معادلات متعددة الخطوات أوراق عمل حل المعادلات متعددة الخطوات

حل المعادلات التربيعية بواسطة الجذور التربيعية لغز الخط النشاط حل المعادلات التربيعية المعادلة التربيعية

صورة من Http Www Homeschoolmath Net Worksheets Grade9 Images الجذور التربيعية ورقة عمل المربعات غير المثالية Gif تبسيط أوراق عمل الجذور التربيعية

حل الجذور عن طريق تربيع المعادلات الجذرية مرتين في الرياضيات

أوراق عمل الجبر 1 التعبيرات الجذرية أوراق عمل التعبيرات الجذرية تبسيط التعبيرات الجبرية تبسيط الجذور

تبسيط ورقة عمل الجذور التربيعية تعليم الجذور التربيعية حل المعادلات التربيعية حل المعادلات التربيعية

حل أوراق عمل المعادلات للطباعة

أوراق عمل بناء المربعات مكعبات والجذور أوراق عمل تعليم الجبر أوراق عمل ما قبل الجبر أوراق عمل الرياضيات خطط الدروس

تدريب الدائرة على حل المعادلات التربيعية باستخدام الجبر التربيعي حل الجبر التربيعي

حل المعادلات التربيعية عن طريق تحليل إجابات ورقة العمل Homeschooldressage Com أفضل حل Qua حل المعادلات التربيعية معادلة تربيعية

أكاديمية خان لحل المعادلات التربيعية حل المعادلات التربيعية

أوراق عمل الجبر 2 وظائف جذرية أوراق عمل الجبر الجبر 2 أوراق عمل الجبر أوراق عمل

أوراق عمل المعادلة التربيعية مجموع وحاصل جذر المعادلة التربيعية


MathHelp.com

عندما أقوم بحل معادلة ، أعلم أنه يمكنني فعل ما يحلو لي لتلك المعادلة طالما أنني أفعل الشيء نفسه لكلا طرفي المعادلة. على الجانب الأيسر من هذه المعادلة الخاصة ، لدي x 2 ، وأريد عاديًا قديمًا x . لتحويل x 2 في x ، يمكنني أخذ الجذر التربيعي لكل جانب من جوانب المعادلة ، على النحو التالي:

ثم الحل x = & plusmn2 ، تمامًا كما حدث عندما حللت عن طريق تحليل فرق المربعات.

لماذا احتجت إلى علامة & quot & plusmn & quot (أي & quotplus-ناقص & quot) على 2 عندما أخذت الجذر التربيعي للرقم 4؟ لأنني أحاول أن أجد الكل قيم المتغير التي تجعل العبارة الأصلية صحيحة ، ويمكن أن تكون إما موجب 2 أو سالب 2 تربيع للحصول على 4 في المعادلة الأصلية.

تشبه هذه الازدواجية كيف كان لديّ عاملين ، واحد & quotplus & quot و & quotminus & quot ، عندما استخدمت صيغة فرق المربعات لحل هذه المعادلة نفسها في الصفحة السابقة.

& quot إيجاد حل لمعادلة & quot هو أ جدا عملية مختلفة عن & quot تقييم الجذر التربيعي لرقم & quot. عند إيجاد & اقتطاع & quot الجذر التربيعي لرقم ما ، فإننا نتعامل حصريًا مع قيمة موجبة. لماذا ا؟ لأن هذه هي الطريقة التي يتم بها تحديد الجذر التربيعي للرقم. يمكن أن تكون قيمة الجذر التربيعي لرقم موجبة فقط ، لأن هذه هي الطريقة التي يتم بها تحديد & quote الجذر التربيعي لرقم & quot.

حل معادلة ، من ناحية أخرى و [مدش] أي إيجاد جميع القيم الممكنة للمتغير ذلك يستطع العمل في معادلة و [مدش] يختلف عن مجرد تقييم تعبير تعرف بالفعل لأن لها قيمة واحدة فقط.

حافظ على هذين مستقيمين! جذر تربيعي عدد لها قيمة واحدة فقط ، لكنها ذات جذر تربيعي معادلة اثنين ، بسبب المتغير.

في الرياضيات ، نحتاج إلى أن نكون قادرين على الحصول على نفس الإجابة ، بغض النظر عن الطريقة الصحيحة التي استخدمناها للوصول إلى هذه الإجابة. لذا ، بمقارنة الإجابة التي حصلت عليها أعلاه بالإجابة التي حصلت عليها ، تؤكد الصفحة السابقة أنه يجب علينا استخدام & quot & plusmn & quot عند أخذ الجذور التربيعية لحلها.

(You may be doubting my work above in the step where I took the square root of either side, because I put a " ± " sign on only one side of the equation. Shouldn't I add this character to both sides of the equation? Kind of, yes. But if I'd put it on both sides of the equation, would anything really have changed? No. Try all the cases, if you're not sure.)

A benefit of this square-rooting process is that it allows us to solve some quadratics that we could not have solved before when using only factoring. على سبيل المثال:

يحل x 2 &ndash 50 = 0 .

This quadratic has a squared part and a numerical part. I'll start by adding the numerical term to the other side of the equaion (so the squared part is by itself), and then I'll square-root both sides. I'll need to remember to simplify the square root:


Solve $sqrt x + sqrt y=8$ and $sqrt=15$

يبدأ sqrt x + sqrt y=8 &implies (sqrt x + sqrt y)^2=8^2 &implies x+2sqrt+y=64 &implies x+30+y=64 &implies x+y=34 end

يبدأ x+y=34 &implies x-2sqrt+y = 34-30 &implies x-2sqrt+y=4 &implies (sqrt x - sqrt y)^2 = 4 &implies sqrt x - sqrt y = pm 2 end

$left<egin sqrt x + sqrt y=8 sqrt x - sqrt y=2 end ight> implies left<egin 2sqrt x = 10 2sqrt y=6 end ight> implies (x,y)=(25, 9)$

$left<egin sqrt x + sqrt y=8 sqrt x - sqrt y=-2 end ight> implies left<egin 2sqrt x = 6 2sqrt y=10 end ight> implies (x,y)=(9, 25)$


How To : Solve equations involving square roots

Equations involving square roots are difficult to solve because of the complexity involved in performing operations on the square root terms. But you can follow a series of steps to solve these problems easily. To solve these kind of problems first isolate the square root term on one side of the equation and the non square root terms on the other side of the equation. Now in the next step square both sides of the equation. This gets rid of the square root on the left hand side and the equation can now be simplified. In case you still have a square roots in the equation follow step one and two again. Finally solve the equation as you would solve any normal equation. This video shows how to solve equations involving square roots.

Want to master Microsoft Excel and take your work-from-home job prospects to the next level? Jump-start your career with our Premium A-to-Z Microsoft Excel Training Bundle from the new Gadget Hacks Shop and get lifetime access to more than 40 hours of Basic to Advanced instruction on functions, formula, tools, and more.


1. Multiply Both Top and Bottom by a Root

Sometimes we can just multiply both top and bottom by a root:

Example: has an Irrational Denominator. Let's fix it.

Multiply top and bottom by the square root of 2, because: &radic2 × &radic2 = 2:

Now the denominator has a rational number (=2). Done!

Note: It is ok to have an irrational number in the top (numerator) of a fraction.


The general approach is to collect all terms on one side of the equation while keeping the constants to the opposite side. After doing so, the next obvious step is to take the square roots of both sides to solve for the value of x . Always attach the pm symbol when you get the square root of the constant.

Examples of How to Solve Quadratic Equations by Square Root Method

مثال 1: Solve the quadratic equation below using the Square Root Method.

I will isolate the only term on the left side by adding both sides by + 1 . Then solve the values of x by taking the square roots of both sides of the equation. As I mentioned before, we need to attach the plus or minus symbol to the square root of the constant.

So I have x = 5 and x = - ,5 as final answers since both of these values satisfy the original quadratic equation. I will leave it to you to verify.

مثال 2: Solve the quadratic equation below using the Square Root Method.

This problem is very similar to the previous example. The only difference is that after I have separated the term and the constant in the opposite sides of the equation, I need to divide the equation by the coefficient of the squared term before taking the square roots of both sides.

ال final answers are x = 4 and x = - ,4 .

مثال 3: Solve the quadratic equation below using the Square Root Method.

I can see that I have two terms, one on each side of the equation. My approach is to collect all the squared terms of x to the left side, and combine all the constants to the right side. Then solve for x as usual, just like in Examples 1 and 2.

The solutions to this quadratic formula are x = 3 and x = - ,3 .

مثال 4: Solve the quadratic equation below using the Square Root Method.

The two parentheses should not bother you at all. The fact remains that all variables come in the squared form, which is what we want. This problem is perfectly solvable using the square root method.

So my first step is to eliminate both of the parentheses by applying the distributive property of multiplication. Once they are gone, I can easily combine like terms. Keep the terms to the left, and constants to the right. Finally, apply square root operation in both sides and we’re done!

مثال 5: Solve the quadratic equation below using the Square Root Method.

Since the x -term is being raised to the second power twice, that means, I need to perform two square root operations in order to solve for x .

The first step is to have something like this: ( ) 2 = constant . This allows me to get rid of the exponent of the parenthesis on the first application of square root operation.

After doing so, what remains is the “stuff” inside the parenthesis which has an term. Well, this is great since I already know how to handle it just like the previous examples.

There’s an x -squared term left after the first application of square root.

Now we have to break up = pm ,6 + 10 into two cases because of the “plus” or “minus” in 6 .

The solutions to this quadratic equations are x = 4 , x = - ,4 , x = 2 , and x = - ,2 . Yes, we have four values of x that can satisfy the original quadratic equation.

مثال 6: Solve the quadratic equation below using the Square Root Method.

مثال 7: Solve the quadratic equation below using the Square Root Method.


9.6: Solve Equations with Square Roots - Mathematics

Equations with square roots. The test sometimes gives us an equation to solve involving the square root. In such an equation, the variable will appear under the radical. So for example, this would be an equation with square roots. Square root of x plus 3 equals x minus 3. We'll solve this one later in the video.

In the, so this is the type of equation we'll be talking about in this lesson. Certainly, we undo a square root by squaring, and we are always allowed to square both sides. Sometimes, for the simplest radical equations, all we have to do is square both sides. So, for example, if we have something like, square root of x plus 2 equals 3.

Well, just square both sides, we get x plus 2 on the left, we get 9 on the right, subtract and we get x equals 7. Fantastic. But, that equation was a bit too simple to appear on the test. The test is not actually gonna hand us something simple on a silver platter like that, it's gonna be a little trickier.

Before we go on, let's think about this. Is it always true, for any value of k, that if we take the square root of k squared, that we'll get back to k? That is to say, that the square root undoes the squaring and always takes us right back to where we started from. Is that always true?

And of course, the answer is no. The equation is true for positive numbers and for 0. But not for negative values of k. For example, if k equals negative 4, then of course, when we square it we'll get positive 16. Negative 4 squared is positive 16.

And when we take a square root of 16, we get 4. In other words, we don't go back to the original starting number. So that's important. This suggests we may run into some kinds of problems when negative values arise. So this is on our radar. What happens when we get negative values, in particular, when the thing under the radical is negative?

We have to pay attention to this. It turns out that in radical equations we have to be aware of extraneous roots. When we do all of our algebra correctly, including squaring both sides of the equation, the algebra can lead to answers that don't actually work in the original equation. These are extraneous roots.

So I want to emphasize, this is not about making a mistake, in other words, even if we do all the algebra correctly, just by virtue of the fact that we square, we produce extra roots, extraneous roots that are not ones that actually solve the original equation. It's important to understand, extraneous roots will arise in a radical equation even if you do all the algebra correctly.

Now we can look at the, the equation we had at the beginning. So, here's the equation from the beginning. So of course, what we'll do, is we'll square both sides. Of course that, that binomial squared on the right side we, we, we foil that out to x squared minus 6x plus 9. You may remember the pattern for the square of a difference.

Then we'll gather everything on one side, so we get a quadratic equal to 0. We'll factor that, it's very easy to factor, and we get two roots, 1 and 6. Now normally with algebra, you'd think okay, we must be done, we found the value of X. But with radical equations, we have to be careful. Do we know that both of these roots work?

Maybe they both do, or maybe one of them is an extraneous root. So we have to check our answers. We have to check each answer we found to make sure they worked, because right, now just looking at them 1 and 6, we don't know. Are those both true roots, are they both extraneous roots? Do they work in the original equation?

The only way we find is by plugging them in. So, here's the original equation. Here are the roots that we found from the algebra. So first of all we're going to check the first one, x equals 1. Plug it into the left side, we get square root of 1 plus 3 square root 4 which is 2. Plug it in to the right side, we get 1 minus 3 which is negative 2.

So the two sides of the equation are not equal. One side equals 2, one side equals negative 2. So this root doesn't work. Now, we'll check the other one. Plug it in to the left side, we get square root of 6 plus 3, of course that's 9. Square root of 9 is 3.

On the other side we get, 6 minus 3, which is also 3. The two sides work, so that one does legitimately work. And it does solved the problem. So, this equation has one solution that works, x equals 6. That is the only solution that works. X equals is an extraneous root, because even though we followed the algebra correctly, and even though the algebra gave us that root, that root does not actually work in the original equation.

We need to square both sides to undo the radical, but this very act can produce extraneous roots. If we get a quadratic after squaring, which is common on the test, the algebra will lead to two roots. Sometimes both roots work. Sometimes one root works, and one is extraneous.

Sometimes both are extraneous, and the equation has no solution. So, here's a practice problem. Pause the video, and then we'll talk about this. Okay. So, here we have a radical on both sides.

Radical equals radical. So of course, we're just gonna square both sides. We get 2x minus 2 equals x minus 4. Well, very easy equation to solve. And we get x equals negative 2. All right, very good.

But now, what happens here if we plug this back into the original equation? When we plug this in, this results in the square root of a negative on both sides. So, we get the square root of negative 6, and square root of negative 6 is something outside the real number system, it does not live anywhere on the number line. So we can't do math with that. That is just, for our purposes, that is just an error and this equation has no solution.

Finally, keep in mind that we should square both sides only when the radical is by itself on one side of the equation. If the radical appears on, with other terms on one side, we will have to isolate the radical on one side, before it would make sense to square both sides. So, here's a practice problem video, and then we'll talk about this.

Okay, so we do not have the radical by itself. So the very first thing we have to do, is subtract that 2 from both sides. So we get the radical, 4 minus 3x equals x minus 2. Now we can square both sides. And of course, we get the square of the difference.

The square of that binomial. And that expands out to x squared minus 4x plus 4. Now, we're gonna subtract 4 from both sides, and add 3X to both sides and this will lead us to x squared minus x. Very easy to factor that, that factors to x times x minus 1. And the algebra leads us to the solutions x equals 0 and x equals 1.

Now we need to check these answers. Okay. So those are the roots that the algebra found for us. First of all, check x equals 0. Plug this into the left side, and what we get is 2 plus root 4, which is 2 plus 2, which is 4.

Plug it into the right side, it's 0. And of course, 4 does not equal 0. So this one does not work. So this would be an extraneous root. Now check x equals 1. Plug this into the left side, we get 2 plus 4 minus 3 times 1, so 4 minus 3.

And of course, that would be 1. And so, that's gonna be 2 plus 1 which is 3. And of course, this does not equal 1. Does not equal the x, which is 1 on the other side of the equation. So this one doesn't work either. And so, neither one of the roots that the algebra gave us works.

So this equation simply has no solution. Both the solutions that the algebra gave, were extraneous roots. In summary, to undo a radical equation, we need to square both sides. We have to mo, move something else to the other side sometimes, to isolate the radical before squaring. In other words, we need the radical by itself.

So there are other terms on that side with the radical. We need to get rid of them, move them to the other side before we can square. And the very act of squaring produces extraneous roots, therefore, we must check each answer the algebra gives us back in the original equation.

أسئلة مكررة

Q: In the equation √(x +3) = x – 3, why isn’t x = 1 a valid solution? After all, isn't the square root of 4 also negative 2?

أ: This is a very common issue for students preparing for the GRE. Let's talk about it :)

Generally, a square root question will have two solutions, one positive and one negative. For instance, the square root of 4 is 2 and -2.

On the GRE, if the "√" symbol appears as part of the question, we can only use the positive answer of the square root.

But if the "√" symbol is NOT part of the question, then both the negative and positive roots of a square root can be used.

The radical sign (more commonly known as the square root sign) actually means the POSITIVE square root of a given number. This positive square root is often referred to as the principal square root. Anytime we see the radical sign on the GRE, we want the principal (positive) square root.

Also check out this blog on square roots. We go into detail regarding when you do and do not consider the negative values in questions like these.

Q: For the first practice problem, how come having a square root of a negative number on each side of the equation results in no solution?

أ: In the lesson video Square Roots, Mike talks about trying to take the square root of a negative number. He specifically says the following:

Can we take the square root of a negative? No. Nothing on the number line can be squared to yield a negative number. Now, as it turns out, there are higher forms of mathematics where they talk about square roots of a negative number, and that's called imaginary numbers.

You do not need to worry about this for the test. That is absolutely beyond anything that is on the test.

And according to ETS’s Mathematical Conventions document, “all numbers used in the test questions are real numbers. In particular, integers and both rational and irrational numbers are to be considered, but imaginary numbers are not.”

Thus, for the first practice problem, we end up with no solution because when we plug in the value of -2 for x, we end up with imaginary numbers on both sides of the equation. And, on the GRE, we can’t do math with that. Thus, for our purposes, that is just an error, and this equation has no solution.

Q: For the second practice problem, how did we get x= 0 and x=1 from 0 = x^2 - x?

أ: Our first step is to simplify the expression above to:

In order to solve for the different values of x from here, we can consider the two expressions of x بشكل منفصل. بعبارات أخرى:

To see why we can do this, it's key to keep in mind that any number multiplied by 0 is equal to 0. Yes, that's a pretty basic fact, but applied in equations like this, it is important to keep in mind!

As we can see, x=0 satisfies the original equation, which says that the product of the two expression equals 0. Likewise, when x-1 = 0, we can write,

Therefore, x-1 = 0 also satisfies the original equation. Solving for x, we get x=1.

Based on this method, our two solutions are: x=0 and x=1.

Q: Should we always check for extraneous roots whenever we solve an algebraic equation?

A: Good question! There are only two times you'll have to worry about extraneous roots on the GRE:

  1. When you have a variable under a radical
  2. When you have a variable within an absolute value

In quadratic equations without radicals, you don't need to worry about extraneous roots :)


شاهد الفيديو: المتتابعة الهندسية. رياضيات. التحصيلي علمي. 1441-1442 (شهر اكتوبر 2021).