مقالات

4.2: حل المعادلات ذات الجذور - الرياضيات


نتائج التعلم

  • حل المعادلات التي تتضمن الجذور التربيعية.

تحدث الجذور التربيعية بشكل متكرر في دورة الإحصاء ، خاصة عند التعامل مع الانحرافات المعيارية وأحجام العينات. سنتعلم في هذا القسم كيفية إيجاد متغير عندما يقع هذا المتغير تحت علامة الجذر التربيعي. الشيء الأساسي الذي يجب تذكره هو أن مربع الجذر التربيعي هو ما يكمن في الداخل. بمعنى آخر ، تربيع جذر تربيعي يلغي الجذر التربيعي.

مثال ( PageIndex {1} )

حل المعادلة التالية ل x).

[2+ sqrt {x-3} : = : 6 nonumber ]

المحلول

ما يجعل هذا التحدي هو الجذر التربيعي. تتمثل استراتيجية الحل في عزل الجذر التربيعي على الجانب الأيسر من المعادلة ثم تربيع الطرفين. اطرح أولاً 2 من كلا الجانبين:

[ sqrt {x-3} = 4 nonumber ]

الآن بعد أن تم عزل الجذر التربيعي ، يمكننا تربيع طرفي المعادلة:

[ left ( sqrt {x-3} right) ^ 2 = 4 ^ 2 nonumber ]

بما أن المربع والجذر التربيعي يلغيان ، نحصل على:

[x-3 = 16 بلا رقم ]

أخيرًا أضف 3 إلى كلا الجانبين للوصول إلى:

[س = 19 بلا رقم ]

من الجيد دائمًا التحقق من عملك. نقوم بذلك عن طريق إعادة الإجابة ومعرفة ما إذا كانت تعمل. نقوم بالتوصيل (x = 19 ) للحصول على

[ begin {align *} 2+ sqrt {19-3} & = 2 + sqrt {16} [4pt] & = 2 + 4 [4pt] & = 6 end {align *} ]

نعم ، الحل صحيح.

مثال ( PageIndex {2} )

يتبع الانحراف المعياري ، ( sigma_ hat p ) ، لتوزيع العينات لنسبة ما ، الصيغة:

[ sigma_ hat p = sqrt { frac {p left (1-p right)} {n}} nonumber ]

حيث (p ) هي نسبة السكان و (n ) حجم العينة. إذا كانت نسبة السكان 0.24 وتحتاج إلى أن يكون الانحراف المعياري لتوزيع العينات 0.03 ، فما حجم العينة التي تحتاجها؟

المحلول

لقد علمنا أن (p = 0.24 ) و ( sigma _ { hat p} = 0.03 )

قم بتوصيله للحصول على:

[0.03 = sqrt { frac {0.24 left (1-0.24 right)} {n}} non number ]

نريد حل (n ) ، لذلك نريد (n ) في الجانب الأيسر من المعادلة. فقط قم بالتبديل للحصول على:

[ sqrt { frac {0.24 left (1-0.24 right)} {n}} : = : 0.03 nonumber ]

بعد ذلك ، نطرح:

[1-0.24 : = : 0.76 عدد غير رقمي ]

وهم يتكاثرون:

[0.24 يسار (0.76 يمين) = 0.1824 غير رقم ]

هذا يعطينا

[ sqrt { frac {0.1824} {n}} : = : 0.03 nonumber ]

للتخلص من الجذر التربيعي ، قم بتربيع كلا الجانبين:

[ left ( sqrt { frac {0.1824} {n}} right) ^ 2 : = : 0.03 ^ 2 nonumber ]

يُلغي المربع الجذر التربيعي ، ويعطي تربيع الطرف الأيمن ما يلي:

[ frac {0.1824} {n} : = : 0.0009 nonumber ]

يمكننا أن نكتب:

[ frac {0.1824} {n} : = frac {: 0.0009} {1} nonumber ]

عبر الضرب للحصول على:

[0.0009 : n : = : 0.1824 بلا رقم ]

أخيرًا ، قسّم كلا الجانبين على 0.0009:

[n : = frac {: 0.1824} {0.0009} = 202.66667 nonumber ]

قم بالتقريب ويمكننا أن نستنتج أننا بحاجة إلى حجم عينة من 203 للحصول على خطأ معياري وهو 0.03. يمكننا التحقق لمعرفة ما إذا كان هذا معقولاً عن طريق إعادة (n = 203 ) إلى المعادلة. نستخدم الآلة الحاسبة للحصول على:

[ sqrt { frac {0.24 left (1-0.24 right)} {203}} : = : 0.029975 nonumber ]

نظرًا لأن هذا قريب جدًا من 0.03 ، فإن الإجابة معقولة.

ممارسه الرياضه

يتبع الانحراف المعياري ، ( sigma_ bar x ) ، لتوزيع العينات لمتوسط ​​الصيغة:

[ sigma_ bar x = frac { sigma} { sqrt {n}} nonumber ]

حيث ( سيجما ) هو الانحراف المعياري للمحتوى و (n ) هو حجم العينة. إذا كان الانحراف المعياري للسكان هو 3.8 وتحتاج إلى أن يكون الانحراف المعياري لتوزيع العينات 0.5 ، فما حجم العينة التي تحتاجها؟

  • مثال 1: حل معادلة جذرية أساسية - جذور تربيعية
  • https://youtu.be/u1aGMkJIlMI

طبيعة الجذور

استخدم الصيغة التربيعية لتحديد جذور المعادلات التربيعية الواردة أدناه ولاحظ بشكل خاص:

  • التعبير تحت علامة الجذر التربيعي و
  • نوع الرقم للإجابة النهائية (منطقي / غير منطقي / حقيقي / وهمي)

المميز (EMBFQ)

يتم تعريف المميز على أنه ( Delta =^ <2> -4ac ).

هذا هو التعبير الموجود أسفل الجذر التربيعي في الصيغة التربيعية. يحدد المميز طبيعة جذور المعادلة التربيعية. تشير الكلمة & # 8216nature & # 8217 إلى أنواع الأرقام التي يمكن أن تكون الجذور & # 8212 أي حقيقية أو عقلانية أو غير منطقية أو خيالية. (& # 916 ) هو الرمز اليوناني للحرف D.

لوظيفة تربيعية (و يسار (س يمين) = أ^ <2> + bx + c ) ، يتم إعطاء حلول المعادلة (f left (x right) = 0 ) بواسطة الصيغة

إذا (& # 916 & lt 0 ) ، فإن الجذور خيالية (غير حقيقية) وتتجاوز نطاق هذا الكتاب.

إذا كان (& # 916 geq 0 ) ، فإن التعبير الموجود أسفل الجذر التربيعي غير سالب ، وبالتالي فإن الجذور حقيقية. للجذور الحقيقية ، لدينا الاحتمالات الإضافية التالية.

إذا (& # 916 = 0 ) ، فإن الجذور متساوية ويمكننا القول أنه يوجد جذر واحد فقط.

إذا (& # 916 & gt 0 ) ، فإن الجذور غير متساوية وهناك احتمالان آخران.

(& # 916 ) هو مربع العدد النسبي: الجذور منطقية.

(& # 916 ) ليس مربع رقم منطقي: الجذور غير منطقية ويمكن التعبير عنها في شكل عشري أو جذر أصم.

الجذور حقيقية وغير متكافئة:


المعادلات الجبرية الشائعة: الخطية ، والتربيعية ، ومتعددة الحدود ، والمزيد - نسخة فيديو ودرس أمبير | ...

في الجبر ، هناك بعض أنواع المعادلات التي ستصادفها أكثر من غيرها. ستجد ذلك إذا ...

المعادلات هي أصل علم البيانات. أنا أحول البيانات إلى معلومات قابلة للتنفيذ من خلال تطوير التعبيرات الرياضية. في الرياضيات ، تسمى حلول المعادلة بالجذور. يمكن أن تكون الجذور إما رمزية (3/5 ، (2/3) ، ...) أو رقمية (2.5،8.9،1.0،10 ، ...). بالنسبة للأرقام ، نستخدم حزمة fsolve من Scientific Python (SciPy) وللرموز التي نستخدمها التعاطف عبوة (ابن نومبي).


4.2: حل المعادلات ذات الجذور - الرياضيات

ربما يكون عنوان هذا القسم مضللًا بعض الشيء. يبدو أن العنوان يعني أننا سننظر في المعادلات التي تتضمن أي متطرفين. ومع ذلك ، سنقتصر على المعادلات التي تتضمن جذورًا تربيعية. يمكن استخدام التقنيات التي سنطبقها هنا لحل المعادلات مع الجذور الأخرى ، ولكن العمل عادة ما يكون أكثر فوضوية مما هو عليه عند التعامل مع الجذور التربيعية. لذلك ، سنعمل فقط مع الجذور التربيعية في هذا القسم.

قبل المتابعة ، يجب أن نذكر أيضًا أنه في بعض كتب الجبر المدرسية ستجد هذا القسم مع المعادلات القابلة للاختزال إلى مادة ذات شكل تربيعي. والسبب هو أننا سننتهي في الواقع بحل معادلة تربيعية في معظم الحالات. ومع ذلك ، فإن المنهج مختلف بشكل كبير ولذا سنقوم بفصل الموضوعين إلى أقسام مختلفة في هذه الدورة التدريبية.

من الأفضل عادة أن ترى كيف تعمل هذه بمثال.

المشكلة الأساسية في هذه المعادلة هي الجذر التربيعي. إذا لم يكن ذلك موجودًا ، فيمكننا حل المشكلة. تم إعداد العملية بأكملها التي سنمر بها هنا لإزالة الجذر التربيعي. ومع ذلك ، كما سنرى ، فإن الخطوات التي سنتخذها يمكن أن تسبب لنا مشاكل بالفعل. لذا ، دعونا نرى كيف يعمل كل هذا.

دعونا نلاحظ أنه إذا قمنا بتربيع كلا الجانبين فقط ، فيمكننا إزالة الجذر التربيعي. دعونا نفعل ذلك ونرى ما سيحدث.

عند تربيع الطرفين ، نرى أننا نحصل على معادلة تربيعية قابلة للتحليل تعطينا حلين (س = 3 ) و (س = - 2 ).

الآن ، بدون سبب واضح ، دعنا نفعل شيئًا لم نفعله بالفعل منذ القسم الخاص بحل المعادلات الخطية. دعونا نتحقق من إجاباتنا. تذكر أيضًا أننا بحاجة إلى التحقق من الإجابات في المعادلة الأصلية! هذا جدا مهم.

لذا فإن (س = 3 ) هو الحل. الآن دعونا نتحقق من (x = - 2 ).

لدينا مشكلة. تذكر أن الجذور التربيعية موجبة دائمًا وبالتالي فإن (x = - 2 ) لا يعمل في المعادلة الأصلية. أحد الاحتمالات هنا هو أننا ارتكبنا خطأ في مكان ما. ومع ذلك ، يمكننا العودة والنظر ، وسنرى بسرعة أننا لم نرتكب أي خطأ.

إذا، ما هو الاتفاق؟ تذكر أن خطوتنا الأولى في عملية الحل كانت تربيع الجانبين. لاحظ أنه إذا عوضنا (x = - 2 ) في المعادلة التربيعية ، فقد حللناها في الواقع. عندما قمنا بتربيع كلا طرفي المعادلة ، قمنا بالفعل بتغيير المعادلة ، وفي هذه العملية ، قدمنا ​​حلاً لا يمثل حلاً للمعادلة الأصلية.

مع هذه المشاكل ، من المهم للغاية أن تتحقق من حلولك لأن هذا سيحدث غالبًا. عندما لا نأخذ سوى القيم التي تمثل حلولًا فعلية للمعادلة الأصلية.

إذن ، كان للمعادلة الأصلية حل واحد (س = 3 ).

الآن ، كما أوضحنا هذا المثال ، علينا توخي الحذر الشديد في حل هذه المعادلات. عندما نحل المعادلة التربيعية ، سنحصل على حلين ، ومن الممكن أن يكون كلاهما ، أو أحدهما ، أو لا شيء من هذه القيم هو حل المعادلة الأصلية. الطريقة الوحيدة لمعرفة ذلك هي التحقق من حلولك!

فلنعمل على بعض الأمثلة الأخرى التي تكون أكثر صعوبة بقليل.

في هذه الحالة ، دعونا نلاحظ أنه إذا قمنا فقط بتربيع كلا الجانبين ، فسوف نواجه مشاكل.

قبل مناقشة المشكلة التي وصلنا إليها هنا ، دعنا نتأكد من أنه يمكنك إجراء التربيع الذي قمنا به أعلاه لأنه سيظهر في بعض الأحيان. كل ما فعلناه هنا هو استخدام الصيغة

مع (أ = ص ) و (ب = مربع ). ستحتاج إلى أن تكون قادرًا على القيام بذلك لأنه على الرغم من أن هذا قد لا يعمل هنا ، فسنحتاج إلى هذا النوع من العمل في المجموعة التالية من المشكلات.

الآن ، ما هي المشكلة في هذا؟ حسنًا ، تذكر أن النقطة وراء تربيع الطرفين في المسألة الأولى هي حذف الجذر التربيعي. لم نقم بذلك. لا يزال هناك جذر تربيعي في المشكلة وقد جعلنا بقية المشكلة أكثر تعقيدًا أيضًا.

لذا ، ما علينا فعله هنا هو التأكد من أن لدينا جذرًا تربيعيًا في حد ذاته في أحد طرفي المعادلة قبل التربيع. بمجرد الانتهاء من ذلك ، يمكننا تربيع كلا الجانبين وسيختفي الجذر التربيعي حقًا.

هذه هي الطريقة الصحيحة لحل هذه المشكلة.

كما هو الحال مع المثال الأول ، سنحتاج إلى التأكد من كلا الحلين والتحقق منهما. مرة أخرى ، تأكد من مراجعة المعادلة الأصلية. بمجرد أن نحدد كلا الجانبين ، نكون قد غيرنا المشكلة ، وبالتالي فإن التحقق هناك لن يفيدنا بأي شيء. في الواقع ، قد يؤدي التحقق من ذلك إلى وقوعنا في مشكلة.

لذلك ، هذا هو الحل. الآن (ص = 5 ).

[يبدأ5 + sqrt <5 - 4> & mathop = limits ^؟ 4 5 + sqrt 1 & mathop = limits ^؟ 4 6 & ne 4 hspace <0.25in> < mbox> < mbox> النهاية]

لذلك ، كما هو الحال مع المثال الأول الذي عملنا فيه ، يوجد في الواقع حل واحد للمعادلة الأصلية ، (y = 4 ).

حسنًا ، سنحتاج مرة أخرى إلى الحصول على الجذر التربيعي في أحد الطرفين بمفرده قبل تربيع كلا الطرفين.

إذن ، لدينا جذر مزدوج هذه المرة. دعنا نتحقق من ذلك لمعرفة ما إذا كان حقاً حلاً للمعادلة الأصلية.

[يبدأ1 & mathop = limits ^؟ 2 + sqrt <2 left (2 right) - 3> 1 & mathop = limits ^؟ 2 + sqrt 1 1 & ne 3 end]

إذن ، (t = 2 ) ليس حلاً للمعادلة الأصلية. نظرًا لأن هذا هو الحل الوحيد الممكن ، فهذا يعني أنه يوجد لا توجد حلول للمعادلة الأصلية. هذا لا يحدث في كثير من الأحيان ، لكنه يحدث لذلك لا تتفاجأ عندما يحدث.

هذا سيعمل بنفس الطريقة السابقة.

دعنا نتحقق من هذه الحلول الممكنة التي تبدأ بـ (z = - 1 ).

لذلك ، كان هذا حلاً. الآن دعونا نتحقق من (z = 2 ).

[يبدأ sqrt <5 left (2 right) + 6> - 2 & mathop = limits ^؟ 2 sqrt <16> - 2 & mathop = limits ^؟ 2 4 - 2 & = 2 hspace <0.25in> < mbox> النهاية]

لذلك ، في هذه الحالة ، رأينا الآن مثالًا حيث يكون كلا الحلين المحتملين في الواقع حلين للمعادلة الأصلية أيضًا.

لذلك ، كما رأينا في مجموعة الأمثلة السابقة ، بمجرد أن نحصل على قائمة الحلول الممكنة في أي مكان ، من لا شيء إلى كل منهم يمكن أن يكون حلولًا للمعادلة الأصلية. تذكر دائما أن تتحقق من إجاباتك!

حسنًا ، فلنعمل على مجموعة أخرى من الأمثلة التي لها تعقيد إضافي. حتى هذه النقطة ، فإن جميع المعادلات التي نظرنا إليها تحتوي على جذر تربيعي واحد بداخلها. ومع ذلك ، يمكن أن يكون هناك أكثر من جذر تربيعي واحد في هذه المعادلات. تم تصميم المجموعة التالية من الأمثلة لتوضح لنا كيفية التعامل مع هذه الأنواع من المشاكل.

يوجد في كل من هذين الجذور التربيعية للمسألة. سنعمل هذه في الأساس بنفس الطريقة ولكن. الخطوة الأولى هي الحصول على أحد الجذور التربيعية بمفرده في أحد طرفي المعادلة ثم تربيع الطرفين. في هذه المرحلة ، تختلف العملية ، لذا سنرى كيفية المضي قدمًا من هذه النقطة بمجرد أن نصل إليها في المثال الأول.

لذا ، فإن أول شيء يجب فعله هو الحصول على أحد الجذور التربيعية في حد ذاته. لا يهم أي واحد نحصل عليه من تلقاء نفسه. سننتهي بنفس الحل (الحلول) في النهاية.

الآن ، لا يزال لدينا جذر تربيعي في المشكلة ، لكننا تمكنا من حذف واحد منهم. ليس هذا فقط ، ولكن ما تبقى لدينا هنا مطابق للأمثلة التي عملناها في الجزء الأول من هذا القسم. لذلك ، سنواصل الآن حل هذه المشكلة كما فعلنا في مجموعات الأمثلة السابقة.

[يبدأ < يسار ( يمين) ^ 2> & = < يسار (<4 sqrt > يمين) ^ 2> - 2x + 1 & = 16 يسار ( حق) - 2x + 1 & = 16x - 64 - 18x + 65 & = 0 يسار ( يمين شمال( right) & = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> x = 13، ، ، ، x = 5 end]

الآن ، دعنا نتحقق من كلا الحلين المحتملين في المعادلة الأصلية. سنبدأ بـ (x = 13 )

[يبدأ sqrt <2 left (<13> right) - 1> - sqrt <13-4> & mathop = limits ^؟ 2 sqrt <25> - sqrt 9 & mathop = limits ^؟ 2 5 - 3 & = 2 hspace <0.25in> hspace <0.25in> < mbox> النهاية]

لذا ، فالواحد هو الحل. الآن دعونا نتحقق من (x = 5 ).

[يبدأ sqrt <2 left (5 right) - 1> - sqrt <5 - 4> & mathop = limits ^؟ 2 sqrt 9 - sqrt 1 & mathop = limits ^؟ 2 3-1 & = 2 hspace <0.25in> < mbox> النهاية]

إذن ، كلاهما حلين للمعادلة الأصلية.

في هذه الحالة ، لدينا بالفعل جذر تربيعي في أحد الضلعين في حد ذاته ، لذا يمكننا أن ننتقل مباشرة إلى تربيع كلا الطرفين.

بعد ذلك ، أعد الجذر التربيعي المتبقي إلى جانب واحد بمفرده وقم بتربيع كلا الجانبين مرة أخرى.

تحقق الآن من كلا الحلين المحتملين بدءًا من (t = 2 ).

[يبدأ sqrt <2 + 7> + 2 & mathop = limits ^؟ sqrt <3 - 2> sqrt 9 + 2 & mathop = limits ^؟ sqrt 1 3 + 2 & ne 1 hspace <0.25in> < mbox> النهاية]

لذلك ، لم يكن ذلك حلاً. الآن دعونا نتحقق من (t = - 6 ).

[يبدأ sqrt <- 6 + 7> + 2 & mathop = limits ^؟ sqrt <3 - left (<- 6> right)> sqrt 1 + 2 & mathop = limits ^؟ sqrt 9 1 + 2 & = 3 hspace <0.25in> < mbox> النهاية]

يبدو أننا في هذه الحالة لدينا حل واحد ، (t = - 6 ).

لذلك ، عندما يكون هناك أكثر من جذر تربيعي واحد في المشكلة ، فإننا نواجه مرة أخرى مهمة التحقق من الحلول الممكنة. من الممكن أن تكون الحلول الممكنة في أي مكان من لا شيء إلى كل الحلول الممكنة في الواقع ، والطريقة الوحيدة للتأكد من ذلك هي التحقق منها في المعادلة الأصلية.


4.2: حل المعادلات ذات الجذور - الرياضيات

الآن بعد أن رأينا تعريفات الدوال الأسية واللوغاريتمية ، نحتاج إلى البدء في التفكير في كيفية حل المعادلات التي تنطوي عليها. في هذا القسم سننظر في حل المعادلات الأسية وسننظر في حل المعادلات اللوغاريتمية في القسم التالي.

هناك طريقتان لحل المعادلات الأسية. إحدى الطرق بسيطة إلى حد ما ولكنها تتطلب شكلاً خاصًا جدًا من المعادلة الأسية. الآخر سيعمل على معادلات أسية أكثر تعقيدًا ولكن يمكن أن يكون فوضويًا بعض الشيء في بعض الأحيان.

لنبدأ بالنظر إلى الطريقة الأبسط. ستستخدم هذه الطريقة الحقيقة التالية حول الدوال الأسية.

لاحظ أن هذه الحقيقة تتطلب أن يكون الأساس في كلا الأسس هو نفسه. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فإن هذه الحقيقة لن تفيدنا.

دعونا نلقي نظرة على مثالين.

في هذا الجزء الأول ، لدينا نفس الأساس على كلا الأسّين ، لذا لا يوجد الكثير لفعله بخلاف تعيين الأسين متساويين مع بعضهما البعض وإيجاد قيمة (x ).

[يبدأ3x & = 7x - 2 2 & = 4x frac <1> <2> & = x end]

لذا ، إذا أردنا التعويض (x = frac <1> <2> ) في المعادلة ، فسنحصل على نفس الرقم على كلا جانبي علامة التساوي.

مرة أخرى ، ليس هناك الكثير مما يمكن فعله هنا بخلاف تعيين الأس على قدم المساواة لأن الأساس هو نفسه في كلا الأسس.

[يبدأ & = 6 - تي + t - 6 & = 0 يسار ( يمين شمال( right) & = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> t = - 3، ، ، t = 2 end]

في هذه الحالة نحصل على حلين للمعادلة. هذا مقبول تمامًا ، لذا لا تقلق بشأنه عندما يحدث.

الآن ، في هذه الحالة ليس لدينا نفس الأساس لذلك لا يمكننا فقط تعيين الأس على قدم المساواة. ومع ذلك ، مع القليل من التلاعب في الجانب الأيمن ، يمكننا الحصول على الأساس نفسه في كلا الأسين. للقيام بذلك ، كل ما نحتاج إلى ملاحظته هو أن (9 = <3 ^ 2> ). هذا ما نحصل عليه عندما نستخدم هذه الحقيقة.

الآن ، ما زلنا لا نستطيع فقط تعيين الأس على قدم المساواة لأن الجانب الأيمن به الآن أسان. إذا تذكرنا خصائص الأس الخاصة بنا ، فيمكننا إصلاح ذلك.

لدينا الآن نفس الأساس وأساس واحد على كل أساس حتى نتمكن من استخدام الخاصية وتساوي الأسس. القيام بهذا يعطي ،

[يبدأض & = 2 اليسار ( right) z & = 2z + 10 z & = -10 end] إذن ، بعد كل هذا العمل نحصل على حل (ض = -10 ).

في هذا الجزء لدينا بعض المشاكل مع كلا الجانبين. أولًا ، يكون الجانب الأيمن كسرًا ، بينما الجانب الأيسر ليس كذلك. ليست هذه هي المشكلة التي قد يبدو أنها كذلك ، لذلك دعونا نتجاهل ذلك للحظة. المشكلة الحقيقية هنا هي أنه لا يمكننا كتابة 8 كقوة 4 ولا يمكننا كتابة 4 كقوة 8 كما فعلنا في الجزء السابق.

أول شيء يجب القيام به في هذه المسألة هو الحصول على نفس القاعدة على كلا الجانبين ومن ثم علينا أن نلاحظ أنه يمكننا كتابة كل من 4 و 8 كقوة 2. لذلك دعونا نفعل ذلك.

حان الوقت الآن للتعامل مع الكسر الموجود على الجانب الأيمن. للقيام بذلك ، نحتاج ببساطة إلى تذكر خاصية الأس التالية.

إذن ، لدينا الآن الأساس نفسه ولكل أساس أس واحد عليه حتى نتمكن من جعل الأسس متساويين.

[يبدأ2 يسار (<5 - 9x> يمين) & = - 3 يسار ( right) 10-18x & = - 3x + 6 4 & = 15x x & = frac <4> <<15>> end]

وهناك إجابة لهذا الجزء.

الآن ، اعتمدت جميع المعادلات في مجموعة الأمثلة السابقة على حقيقة أننا تمكنا من الحصول على نفس الأساس على كلا الأمرين الأسي ، ولكن هذا ليس ممكنًا دائمًا. تأمل المعادلة التالية.

هذه معادلة بسيطة إلى حد ما ، لكن الطريقة التي استخدمناها في الأمثلة السابقة لن تنجح لأننا لا نعرف كيف نكتب 9 كقوة من 7. في الواقع ، إذا فكرت في الأمر فهذا هو بالضبط ما هذه المعادلة يطلب منا أن نجد.

لذا ، فإن الطريقة التي استخدمناها في المجموعة الأولى من الأمثلة لن تعمل. المشكلة هنا هي أن (x ) موجود في الأس. بسبب ذلك ، فإن كل معرفتنا عن حل المعادلات لن تفيدنا بأي شيء. نحتاج إلى طريقة لإخراج (x ) من الأس ولحسن الحظ لدينا طريقة للقيام بذلك. أذكر خاصية اللوغاريتم التالية من القسم الأخير.

لاحظ أنه لتجنب الالتباس مع (x ) ، قمنا باستبدال (x ) في هذه الخاصية بـ (a ). الجزء المهم من هذه الخاصية هو أنه يمكننا أخذ الأس ونقله إلى مقدمة المصطلح.

يمكننا استخدام هذه الخاصية على النحو التالي.

إن (x ) الموجود الآن خارج الأس! بالطبع ، نحن الآن عالقون مع لوغاريتم في المشكلة وليس هذا فقط ولكننا لم نحدد أساس اللوغاريتم.

الحقيقة هي أنه يمكننا استخدام أي لوغاريتم للقيام بذلك ، لذا يجب علينا اختيار واحد يمكننا التعامل معه. هذا يعني عادةً أننا سنعمل باستخدام اللوغاريتم المشترك أو اللوغاريتم الطبيعي.

لذا ، فلنعمل على مجموعة من الأمثلة لنرى كيف نستخدم هذه الفكرة بالفعل لحل هذه المعادلات.

حسنًا ، نقول أعلاه أنه إذا كان لدينا لوغاريتم في الجانب الأيسر ، فيمكننا إخراج (x ) من الأس. هذا سهل بما يكفي. سنضع اللوغاريتم أمام الجانب الأيسر. ومع ذلك ، إذا وضعنا لوغاريتمًا هناك ، فعلينا أيضًا أن نضع لوغاريتمًا أمام الطرف الأيمن. يشار إلى هذا عادة باسم أخذ لوغاريتم كلا الجانبين.

يمكننا استخدام أي لوغاريتم نود أن نجربه ، فلنجرّب اللوغاريتم الطبيعي.

الآن ، علينا إيجاد قيمة (x ). هذا أسهل مما يبدو. إذا كان لدينا (7x = 9 ) فيمكننا جميعًا إيجاد قيمة (x ) ببساطة عن طريق قسمة كلا الجانبين على 7. وهو يعمل بنفس الطريقة تمامًا هنا. كل من ln7 و ln9 مجرد أرقام. من المسلم به أن الأمر يتطلب آلة حاسبة لتحديد ماهية هذه الأرقام ، لكنها أرقام ولذا يمكننا فعل الشيء نفسه هنا.

الآن ، هذا هو الجواب الدقيق من الناحية الفنية. ومع ذلك ، في هذه الحالة ، من الأفضل عادةً الحصول على إجابة عشرية ، لذا دعنا نذهب خطوة أخرى إلى الأمام.

لاحظ أن الإجابات على هذه الإجابات هي إجابات عشرية في أغلب الأحيان.

أيضًا ، كن حذرًا هنا حتى لا ترتكب الخطأ التالي.

[1.12915007 = frac << ln 9 >> << ln 7 >> ne ln left ( <7>> right) = 0.2513144283 ]

من الواضح أن الاثنين رقمان مختلفان.

أخيرًا ، دعنا نستخدم اللوغاريتم المشترك للتأكد من حصولنا على نفس الإجابة.

لذا ، تأكد من نفس الإجابة. يمكننا استخدام أي من اللوغاريتمين ، على الرغم من وجود أوقات يكون من الأفضل فيها استخدام أحدهما على الآخر.

في هذه الحالة لا يمكننا وضع لوغاريتم أمام كلا الجانبين. هناك سببان لهذا. أولاً على الجانب الأيمن لدينا صفر ونعلم من القسم السابق أنه لا يمكننا أخذ لوغاريتم الصفر. بعد ذلك ، لتحريك الأس لأسفل ، يجب أن يكون على الحد بالكامل داخل اللوغاريتم ، ولن يكون هذا هو الحال مع هذه المعادلة في شكلها الحالي.

إذن ، الخطوة الأولى هي الانتقال من الحدود إلى الجانب الآخر من علامة التساوي ، ثم نأخذ لوغاريتم كلا الطرفين باستخدام اللوغاريتم الطبيعي.

حسنًا ، هذا يبدو فوضويًا ، لكن مرة أخرى ، إنه ليس بهذا السوء حقًا. دعونا نلقي نظرة على المعادلة التالية أولاً.

[يبدأ2 يسار (<4y + 1> right) & = 3y 8y + 2 & = 3y 5y & = - 2 y & = - frac <2> <5> end]

يمكننا جميعًا حل هذه المعادلة ، وهذا يعني أنه يمكننا حل المعادلة التي لدينا. مرة أخرى ، فإن ln2 و ln3 مجرد أرقام وبالتالي فإن العملية هي نفسها تمامًا. ستكون الإجابة أكثر فوضوية من هذه المعادلة ، لكن العملية متطابقة. هذا هو العمل لهذا واحد.

[يبدأ يسار (<4y + 1> right) ln 2 & = y ln 3 4y ln 2 + ln 2 & = y ln 3 4y ln 2 - y ln 3 & = - ln 2 y left (<4 ln 2 - ln 3> right) & = - ln 2 y & = - frac << ln 2 >> << 4 ln 2 - ln 3 >> النهاية]

لذلك ، نحصل على جميع الشروط مع (y ) في جانب واحد وجميع المصطلحات الأخرى على الجانب الآخر. بمجرد الانتهاء من ذلك ، نقوم بعد ذلك بعامل a (y ) ونقسمه على المعامل. مرة أخرى ، نفضل الإجابة العشرية ، لذلك دعونا نفهم ذلك.

الآن ، هذا أسهل قليلاً من السابق. مرة أخرى ، سنأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الجانبين.

لاحظ أننا لم نأخذ الأس من هذا. هذا لأننا نريد استخدام الخاصية التالية مع هذه الخاصية.

لقد رأينا هذا في القسم السابق (بشكل أكثر عمومية) وباستخدام هذا هنا سنجعل حياتنا أسهل بكثير. باستخدام هذه الخاصية يعطي ،

[يبدأt + 6 & = ln 2 t & = ln left (2 right) - 6 = 0.69314718 - 6 = - 5.30685202 end]

لاحظ الأقواس حول 2 في اللوغاريتم هذه المرة. إنهم موجودون للتأكد من أننا لا نرتكب الخطأ التالي.

[- 5.30685202 = ln left (2 right) - 6 ne ln left (<2 - 6> right) = ln left (<- 4> right) ، ، < ام بوكس>]

كن حذرا جدا مع هذا الخطأ. من السهل القيام بذلك عندما لا تنتبه لما تفعله أو تكون في عجلة من أمرك.

المعادلة في هذا الجزء شبيهة بالجزء السابق باستثناء هذه المرة لدينا أساس 10 ، ولذا فإننا نتذكر حقيقة أنه ،

من المنطقي استخدام اللوغاريتمات الشائعة هذه المرة.

هذا هو العمل لهذه المعادلة.

[يبدأ السجل <10 ^ <5 - x >> & = السجل 8 5 - x & = السجل 8 5 - السجل 8 & = x hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> س = 5 - 0.903089987 = 4.096910013 النهاية]

كان من الممكن أن يتم ذلك باستخدام اللوغاريتمات الطبيعية ولكن العمل كان سيكون أكثر فوضوية.

بهذه المعادلة النهائية لدينا مشكلتان. أولاً ، سنحتاج إلى نقل الرقم إلى الجانب الآخر. لأخذ لوغاريتم كلا الطرفين ، نحتاج إلى وضع الأسي على أحد الطرفين بمفرده. القيام بهذا يعطي ،

بعد ذلك ، علينا الحصول على معامل 1 على الأسي. يمكننا فقط استخدام الحقائق لتبسيط هذا إذا لم يكن هناك معامل على الأسي. لذا ، اقسم كلا الجانبين على 5 لتحصل على ،

في هذه المرحلة ، سنأخذ لوغاريتم كلا الطرفين باستخدام اللوغاريتم الطبيعي حيث يوجد ه في المعادلة.

لاحظ أنه كان بإمكاننا استخدام هذه الطريقة الثانية في المجموعة الأولى من الأمثلة أيضًا إذا أردنا ذلك على الرغم من أن العمل كان سيكون أكثر تعقيدًا وعرضة للأخطاء إذا قمنا بذلك.


4.4 يحل أنظمة المعادلات ذات المتغيرات الثلاثة

صنف المعادلات على أنها معادلة شرطية أو هوية أو تناقض ثم حدد الحل. <- 2 س + ص = −11 س + 3 ص = 9. <- 2 س + ص = −11 س + 3 ص = 9.
إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 2.6.

صنف المعادلات على أنها معادلة شرطية أو هوية أو تناقض ثم حدد الحل. <7 س + 8 ص = 4 3 س - 5 ص = 27. <7 س + 8 ص = 4 3 س - 5 ص = 27.
إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 2.8.

حدد ما إذا كان الثلاثي المطلوب هو حل لنظام من ثلاث معادلات خطية ذات ثلاثة متغيرات

في هذا القسم ، سنوسع نطاق عملنا لحل نظام المعادلات الخطية. لقد عملنا حتى الآن مع أنظمة المعادلات مع معادلتين ومتغيرين. الآن سنعمل على أنظمة من ثلاث معادلات ذات ثلاثة متغيرات. لكن دعنا أولاً نراجع ما نعرفه بالفعل عن حل المعادلات والأنظمة التي تتضمن ما يصل إلى متغيرين.

تحتوي معظم المعادلات الخطية في متغير واحد على حل واحد ، لكننا رأينا أن بعض المعادلات ، التي تسمى التناقضات ، ليس لها حلول ، وبالنسبة للمعادلات الأخرى ، التي تسمى المتطابقات ، فإن جميع الأرقام هي حلول

نعلم أنه عندما نحل نظامًا من معادلتين خطيتين ممثلتين برسم بياني لخطين في نفس المستوى ، توجد ثلاث حالات محتملة ، كما هو موضح.

معادلة خطية في ثلاثة متغيرات

معادلة خطية ذات ثلاثة متغيرات ، حيث أ ، ب ، ج ، و د هي أرقام حقيقية و أ ، ب، و ج ليست كلها 0 ، من الشكل

كل حل للمعادلة عبارة عن ثلاثية مرتبة (x ، y ، z) (x ، y ، z) تجعل المعادلة صحيحة.

تشكل جميع النقاط التي تمثل حلولًا لمعادلة واحدة مستوى في فضاء ثلاثي الأبعاد. ومن خلال إيجاد القاسم المشترك بين الطائرات ، سنجد الحل للنظام.

عندما نحل نظامًا من ثلاث معادلات خطية ممثلة برسم بياني لثلاثة مستويات في الفضاء ، توجد ثلاث حالات محتملة.

لحل نظام من ثلاث معادلات خطية ، نريد إيجاد قيم المتغيرات التي تمثل حلولًا لجميع المعادلات الثلاث. بعبارة أخرى ، نبحث عن الثلاثية المرتبة (x ، y ، z) (x ، y ، z) التي تجعل المعادلات الثلاث صحيحة. هذه تسمى حلول نظام من ثلاث معادلات خطية مع ثلاثة متغيرات.

حلول نظام معادلات خطية بثلاثة متغيرات

حلول نظام المعادلات هي قيم المتغيرات التي تجعل كل المعادلات صحيحة. يتم تمثيل الحل بثلاثية مرتبة (x ، y ، z). (س ، ص ، ض).

لتحديد ما إذا كان الثلاثي المرتب هو حل لنظام من ثلاث معادلات ، فإننا نستبدل قيم المتغيرات في كل معادلة. إذا كانت الثلاثية المرتبة تجعل المعادلات الثلاث صحيحة ، فهذا حل للنظام.

مثال 4.31

حدد ما إذا كانت الثلاثية المرتبة حلًا للنظام:

هناك ، في الواقع ، صيغة عامة لحل المعادلات الرباعية (متعددة الحدود من الدرجة الرابعة). نظرًا لأن الصيغة التكعيبية أكثر تعقيدًا بشكل ملحوظ من الصيغة التربيعية ، فإن الصيغة الرباعية أكثر تعقيدًا بشكل ملحوظ من الصيغة التكعيبية. تحتوي مقالة ويكيبيديا حول الدوال الرباعية على عملية طويلة يمكن من خلالها الحصول على الحلول ، ولكنها لا تعطي صيغة واضحة.

احذر من أنه في الصيغ التكعيبية والرباعية ، اعتمادًا على كيفية التعبير عن الصيغة ، من المحتمل أن تعتمد صحة الإجابات على اختيار معين لتعريف الجذور الرئيسية للأرقام المركبة غير الحقيقية وهناك طريقتان مختلفتان لتعريف هذا الجذر الأساسي.

لا يمكن أن تكون هناك صيغ جبرية صريحة للحلول العامة للعديد من الحدود من الدرجة الأعلى ، لكن إثبات ذلك يتطلب رياضيات تتجاوز حساب التفاضل والتكامل (تم إثبات ذلك عادةً باستخدام نظرية جالوا الآن ، على الرغم من أنه تم إثباتها في الأصل بطرق أخرى). تُعرف هذه الحقيقة باسم نظرية أبيل روفيني.

وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن ولفرام يبيع ملصقًا يناقش قابلية حل المعادلات متعددة الحدود ، مع التركيز بشكل خاص على تقنيات حل المعادلة الخماسية (متعددة الحدود من الدرجة الخامسة). يقدم هذا الملصق صيغًا صريحة لحلول المعادلات التربيعية والتكعيبية والربيعية.

تعديل: أعتقد أن الصيغة الواردة أدناه تعطي الحلول الصحيحة لـ x إلى $ ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + d + e = 0 $ لجميع المعقدات a و b و c و d و e ، تحت على افتراض أن $ w = sqrt$ هو الرقم المركب مثل $ w ^ 2 = z $ و $ arg (w) in (- frac < pi> <2> ، frac < pi> <2>] $ و $ w = مربع [3]$ هو الرقم المركب مثل $ w ^ 3 = z $ و $ arg (w) in (- frac < pi> <3> ، frac < pi> <3>] $ (عادةً ما تكون كيف تحدد أنظمة الجبر الحاسوبية والآلات الحاسبة الجذور الرئيسية). يتم تحديد بعض المعلمات الوسيطة $ p_k $ للحفاظ على المعادلة بسيطة وللمساعدة في الحفاظ على اتساق اختيارات الجذور.

(جاء هذا من وجود Mathematica يحل بشكل صريح الرباعي ، ثم رؤية البتات المشتركة التي يمكن سحبها من الصيغة الفوضوية المروعة إلى معلمات لجعلها قابلة للقراءة / قابلة للاستخدام.)

تم تحريره ردًا على تعليقات Quonux.

نعم فعلا. كإجابة ، سأستخدم نسخة أقصر من هذا المنشور البرتغالي الخاص بي ، حيث أستنتج جميع الصيغ. افترض أن لديك جنرال لواء المعادلة الرباعية (لقد غيرت تدوين المعاملات إلى الحروف اليونانية ، من أجل راحتي):

$ alpha x ^ <4> + beta x ^ <3> + gamma x ^ <2> + delta x + varepsilon = 0. tag <1> $

إذا قمت بإجراء الاستبدال $ x = y- frac < beta> <4 alpha> $ ، فستحصل على مخفض معادلة الشكل

بعد إضافة وطرح $ 2sy ^ <2> + s ^ <2> $ إلى LHS $ (2) $ وإعادة ترتيب الشروط ، نحصل على المعادلة

ثم نقوم بتحليل كثير الحدود التربيعي $ left (2s-A right) y ^ <2> -By + s ^ <2> -C = left (2s-A right) (y-y _ +) (y- y _-) $ واجعل $ y _ + = y _- $ ، مما سيفرض قيدًا على $ s $ (المعادلة $ (4) $). سوف نحصل على:

حيث $ s $ يرضي معادلة مكعب مذيب

الحلول الأربعة لـ $ (2) $ هي حلول $ (3) $:

وهكذا ، فإن المعادلة الأصلية $(1)$ لديها الحلول x دولار= ص_- frac < beta> <4 alpha>. qquad k = 1،2،3،4 tag <9> $

مثال: $ x ^ <4> + 2x ^ <3> + 3x ^ <2> -2x-1 = 0 $

إجراء الاستبدال $ s = t + frac <1> <4> $ ، نحصل عليه

حل واحد للمكعب هو

حيث $ a = 8 ، b = -6 ، c = - frac <9> <2> ، d = - frac <101> <8> $ هي معاملات مكعب المذيب و $ p = - frac < 3> <4>، q = - frac <7> <4> $ هي معاملات المكعب المختزل. عدديًا ، لدينا $ s_ <1> حوالي 1.6608 دولار.

مع $ A = frac <3> <2> ، B = -4 ، C = frac <9> <16> $. عدديًا لدينا $ x_ <1> تقريبًا -1.1748 + 1.6393i $، $ x_ <2> تقريبًا -1.1748-1.6393i $، $ x_ <3> تقريبًا 0.70062 $، $ x_ <4> تقريبًا -0.35095 $.

طريقة اخرى هو توسيع LHS للربع الرباعي إلى اثنين من متعددات الحدود التربيعية ، وإيجاد أصفار كل متعدد الحدود. ومع ذلك ، هذه الطريقة يفشل في بعض الأحيان. مثال: $ x ^ <4> -x-1 = 0 $. إذا أخذنا في الاعتبار $ x ^ <4> -x-1 $ كـ $ x ^ <4> -x-1 = left (x ^ <2> + bx + c right) left (x ^ <2> + Bx + C right) $ قم بتوسيع ومعاملات متساوية ، سنحصل على معادلتين ، إحداهما $ -1 / cc ^ <2> left (1 + c ^ <2> right) ^ <2> + c = 0 دولار. تمت دراسة هذا في نظرية جالوا.

الخماسي العام غير قابل للحل من حيث الجذور ، وكذلك معادلات الدرجات الأعلى.

There most certainly is, but its ugly, complicated, and not worth memorizing. People know about it and have quoted or cited it for you, but really they would never use it. If you want something actually useful for pen-and-paper solutions, you might want to understand the actual theory behind the solution. I will provide one method below.

The Quartic Formula is just the end result of this methodology, written in terms of the original coefficients. Because of that, the method is far easier to remember than the formula, which is why I find it annoying when people cite just the formula and tell you, "dont bother, use a computer instead." A pen-paper solution is not complicated, it's just time consuming.

Understanding how its done - even if you never use it - expands your brain and your understanding, allows you to implement it in programming, and allows you to recreate it whenever you may need it instead of hyper reliance on computers to always be there for you, which, in my opinion, makes for a poor mathematician.

There are three methods for solving Quartics that I both know and know of:

If anyone knows of more, please let me know.

Ferrari's Method is historically the first method discovered. Euler's Method looks a lot like Cardano's Method for the Cubic and was probably modeled after the same approach. But I am partial to Descartes' Quadratic Factorization technique. Its a relatively simple process to follow and is what I will be using below. If you want to see how the others work, let me know.

All of the above methods start out the same: depression (removing the $n-1$ degree term, in this case the cubic term) and normalization (making the lead coefficient 1, i.e. making the polynomial monic).

They all end up roughly the same place too: solving a cubic equation. So you need to be prepared for that. I recommend you brush up on that I wont explain solving the cubic here but will only refer to it.

Depress and Normalize

Given the arbitrary quartic: $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e =0$ Where $a,b,c,d,einmathbb$ .

We must convert this quartic into a depressed monic quartic. First we depress it by substituting $x = z-frac<4a>$ . We arrive at the quartic: $az^4 + Bz^2 + Cz + D =0$ For some $B,C,Dinmathbb$. This quartic, now in $z$ , is merely a horizontal shift from the original quartic in $x$ . All points have shifted, therefore the roots have shifted, but by the same constant. Also, $B,C,D$ are computed from the previous $a,b,c,d,e$ and have no dependence on $x,z$ . Whats important is that there is no $z^3$ term. Next we divide through by the lead coefficient $a$ to make this quartic monic (normalize). $z^4 + pz^2 + qz + r = 0\(1)$

For some $p,q,rinmathbb$. This has no effect on the root positions all the lead coefficient did was scale up the non-zero values. There is absolutely no loss in generality with respect to the zeros. All of these constants, $p,q,r$ , can be computed from the original coefficients, $a,b,c,d,e$ . There is still no cubic term and now there is no lead coefficient either.

What might be interesting to note is what has happened to the polynomial. We started out with 5 arbitrary constants and have reduced it to 3, by normalizing the lead and removing the cubic term. We originally had arbitrary values of $a,b,c,d,einmathbb$ , and now we have arbitrary values $p,q,rinmathbb$. Although the latter three are computed from the original five, they have arbitrary values, and there is no loss in generality. This is a significant simplification of the problem. The non-existence of the cubic term will prove vital.

Everything so far has simply been the setup: writing the polynomial in reduced monic form. Recall all of the quartic methods accomplish at least this much. Next we implement Descartes Factorization method.

Descartes Factorization Method

We must assume that all of the coefficients are real, $p,q,rinmathbb$. This is a required condition to make the methodology work. The reason is because now all solutions with non-zero imaginary components come in complex conjugate pairs. Big deal? It allows us to group two solutions together, even if they are purely real, into quadratic factors with real coefficients. We know that all real-valued monic quartics can be factored into: $(z^2 + mz+n)(z^2+sz+t)=0\(2)$ Where $m,n,s,tinmathbb$. Clearly the task at hand is to find the values of these constants. If we can convert (1) into (2) by determining quadratic factors that satisfies the equation, we can find the roots with the quadratic formula applied to those quadratic factors.

What we do is distribute these quadratic factors out into normal polynomial form and you get: $z^4 + (m+s)z^3 + (t+n+ms)z^2 + (mt+ns)z + nt = 0$ Which we compare term-by-term to the depressed monic in (1). You get this system of equations: $ m+s=0 n+t+ms=p mt+ns=q nt=r$ Its plain to see then that $s = -m$ and that $t=frac$ from the first and fourth equations. Our quadratic factors can be rewritten: $(z^2 + mz+n)(z^2-mz+frac)=0\(3)$ We only have two unknowns in this factorization: $m$ and $n$ . The remaining two of the four simultaneous equations (the second and the third equation) can be rewritten: $ frac+n-m^2 = p m(frac -n)=q$ By moving the $m$ to the right-hand side: $ frac+n = p+m^2 frac -n=frac$

From here we form two new equations by adding and subtracting the previous two. By adding we get: $ 2frac = p+m^2 + frac$ By subtracting we get: $ 2n = p+m^2 -frac$ Notice on the left hand side that both of these equations can be solved for $n$ and $frac$ readily in terms of $m$ , both of which appear in the quadratic factors of (3). These can be utilized later once we know the $m$ to complete the quadratic factor.

We can find the $m$ by taking these latest two equations and multiplying them, therefore eliminating the unknown $n$ . Notice that $n$ is in the numerator in one and in the denominator in the other. Thus: $ 4r = (p+m^2)^2 - (frac)^2 = m^4 + 2pm^2 + p^2 - frac$

Thus we are essentially down to $m$ as our last unknown. Everything else is known in terms of $m$ , and $m$ is the only unknown in the above equation. One unknown, one remaining equation. Multiply the equation through by $m^2$ and rearrange: $ m^6 + 2pm^4 + (p^2-4r)m^2 - q^2 = 0$ This is still rather ugly. It's a sextic, not a quartic, which is worse. But notice that the powers of $m$ are all even. We can substitute $w=m^2$ and arrive at: $ w^3 + 2pw^2 + (p^2 - 4r)w - q^2 =0$

And thus we are essentially done. We are left with a مكعب polynomial in $w$ , which is solvable with its own techniques. Techniques which I only assume you already know about if you are trying to solve quartics. Just like with quartics, as you know already, there do exist cubic formulae, but I do recommend learning the methods behind them.

If you need help with cubics, I recommend Cardano's method (the original solution) or Vieta's Trigonometric Solution (my preferred). There is also Completing the Cube, a nice proof of concept but Id never use it. Feel free to ask a separate question for a cubic and I will be happy to answer.

The point is that the problem has been reduced from that of finding the roots of a quartic to that of finding the roots of a cubic. A simpler problem! That's usually how it goes. All quartic root finding methods require finding the roots of a cubic first, obvious or not. Just as finding the roots of a cubic involve solving a quadratic. Hope this works for you.

Anyway, solve the cubic in $w$ . Then with that recall the quadratic substitution $w=m^2$ and solve for $m$ . Then recall that we previously had equations for $ 2n$ and $2frac$. And now you know all of the unknown terms in the quadratic factorization $(z^2 + mz + n)(z^2 - mz + frac)=0$ .

Still not done. Each of these quadratic factors must now be solved using the quadratic formula, and you have solutions in $z$ . This solves the depressed monic quartic we started Descartes Quadratic Factorization method with.

Dont forget about the original quartic we had at the very beginning, prior to the depression and normalization. We had introduced a horizontal shift of $x = z-frac<4a>$ . Doing this last bit will solve the original quartic in terms of $x$ , which is the solution you want.

You are going to arrive at a set of solutions when done. Be sure to check your answers. You may have redundant or superfluous solutions. Some redundant solutions may be written in very different algebraic ways, but will represent the same numeric value.

If you express the final answer of $x$ in terms of the original $a,b,c,d,e$ you will just have the same "quartic formulae" that other people are citing you. The expression will of course be slightly different depending on which of the quartic methods you employ.

If youre concerned about the assumption that coefficients $p,q,r$ are real, dont be. All it means is that $a,b,c,d,e$ are real, which is usually a good assumption. In fact, we can generalize. The values $p,q,r$ can be made complex, implying only that the original quartic has complex $a,b,c,d,e$ . It also means you'll have to solve a cubic with complex coefficients. This is doable and the math still works fine.


A quadratic equation in the variable x is an equation that can be written in the form:

where a, b and c represent real number coefficients.

This form is sometimes called the standard form. The term quadratic is used for any equation where the highest power of the variable x is 2. The coefficient a cannot be zero, since otherwise it would be a linear equation.

Formula for solving quadratic equations (known as the quadratic formula):

To solve quadratic equations, substitute the coefficients a, b and c into the quadratic formula.

The expression b 2 - 4ac shown under the square root sign is called the discriminant, because it can "discriminate" between the all possible types of answer:

type 1: If b 2 - 4ac &ge 0 &rArr equation has two real roots

type 2: If b 2 - 4ac = 0 &rArr equation has two real roots but they are both the same.

type 3: If b 2 - 4ac &le 0 &rArr equation has two complex roots

Solve the following quadratic equation using the quadratic formula.

In this case a = 2 b = 7 c= -15

The value of the discriminant is b 2 - 4ac = 72 - 4(2)(-15) = 169 (Type 1)


4.2: Solve Equations with Roots - Mathematics

It’s time to start solving constant coefficient, homogeneous, linear, second order differential equations. So, let’s recap how we do this from the last section. We start with the differential equation.

Write down the characteristic equation.

Solve the characteristic equation for the two roots, (r_<1>) and (r_<2>). This gives the two solutions

Now, if the two roots are real and distinct (بمعنى آخر. ( e )) it will turn out that these two solutions are “nice enough” to form the general solution

As with the last section, we’ll ask that you believe us when we say that these are “nice enough”. You will be able to prove this easily enough once we reach a later section.

With real, distinct roots there really isn’t a whole lot to do other than work a couple of examples so let’s do that.

The characteristic equation is

Its roots are (r_ <1>= - 8) and (r_ <2>= -3) and so the general solution and its derivative is.

Now, plug in the initial conditions to get the following system of equations.

[يبدأ0 & = yleft( 0 ight) = + - 7 & = y'left( 0 ight) = - 8 - 3نهاية]

Solving this system gives ( = frac<7><5>) and ( = - frac<7><5>). The actual solution to the differential equation is then

The characteristic equation is

Its roots are (r_ <1>= - 5) and (r_ <2>= 2) and so the general solution and its derivative is.

Now, plug in the initial conditions to get the following system of equations.

[يبدأ4 & = yleft( 0 ight) = + - 2 & = y'left( 0 ight) = - 5 + 2نهاية]

Solving this system gives ( = frac<<10>><7>) and ( = frac<<18>><7>). The actual solution to the differential equation is then

The characteristic equation is

Its roots are (r_ <1>= frac<4><3>) and (r_ <2>= -2) and so the general solution and its derivative is.

Now, plug in the initial conditions to get the following system of equations.

[يبدأ - 6 = yleft( 0 ight) & = + - 18 = y'left( 0 ight) & = frac<4><3> - 2نهاية]

Solving this system gives (c_ <1>= -9) and (c_ <2>= 3). The actual solution to the differential equation is then.

The characteristic equation is

The roots of this equation are (r_ <1>= 0 ) and (r_ <2>= frac<5><4>). Here is the general solution as well as its derivative.

Up to this point all of the initial conditions have been at (t = 0) and this one isn’t. Don’t get too locked into initial conditions always being at (t = 0) and you just automatically use that instead of the actual value for a given problem.

So, plugging in the initial conditions gives the following system of equations to solve.

The solution to the differential equation is then.

In a differential equations class most instructors (including me….) tend to use initial conditions at (t = 0) because it makes the work a little easier for the students as they are trying to learn the subject. However, there is no reason to always expect that this will be the case, so do not start to always expect initial conditions at (t = 0)!

Let’s do one final example to make another point that you need to be made aware of.

The characteristic equation is.

The roots of this equation are.

Now, do NOT get excited about these roots they are just two real numbers.

Admittedly they are not as nice looking as we may be used to, but they are just real numbers. Therefore, the general solution is

If we had initial conditions we could proceed as we did in the previous two examples although the work would be somewhat messy and so we aren’t going to do that for this example.

The point of the last example is make sure that you don’t get to used to “nice”, simple roots. In practice roots of the characteristic equation will generally not be nice, simple integers or fractions so don’t get too used to them!


DMCA Complaint

If you believe that content available by means of the Website (as defined in our Terms of Service) infringes one or more of your copyrights, please notify us by providing a written notice (“Infringement Notice”) containing the information described below to the designated agent listed below. If Varsity Tutors takes action in response to an Infringement Notice, it will make a good faith attempt to contact the party that made such content available by means of the most recent email address, if any, provided by such party to Varsity Tutors.

Your Infringement Notice may be forwarded to the party that made the content available or to third parties such as ChillingEffects.org.

Please be advised that you will be liable for damages (including costs and attorneys’ fees) if you materially misrepresent that a product or activity is infringing your copyrights. Thus, if you are not sure content located on or linked-to by the Website infringes your copyright, you should consider first contacting an attorney.

Please follow these steps to file a notice:

You must include the following:

A physical or electronic signature of the copyright owner or a person authorized to act on their behalf An identification of the copyright claimed to have been infringed A description of the nature and exact location of the content that you claim to infringe your copyright, in sufficient detail to permit Varsity Tutors to find and positively identify that content for example we require a link to the specific question (not just the name of the question) that contains the content and a description of which specific portion of the question – an image, a link, the text, etc – your complaint refers to Your name, address, telephone number and email address and A statement by you: (a) that you believe in good faith that the use of the content that you claim to infringe your copyright is not authorized by law, or by the copyright owner or such owner’s agent (b) that all of the information contained in your Infringement Notice is accurate, and (c) under penalty of perjury, that you are either the copyright owner or a person authorized to act on their behalf.

Send your complaint to our designated agent at:

Charles Cohn Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105


شاهد الفيديو: كيفية العثور على جذور معادلة من الدرجة الثانية - مساعدة الرياضيات مجانا (شهر اكتوبر 2021).