مقالات

6.1: نماذج الزمن المستمر مع المعادلات التفاضلية - الرياضيات


نماذج الوقت المستمر مكتوبة في دالمعادلات التفاضلية. هم على الأرجح أكثر انتشارا في العلوم والهندسة، ودرس على نطاق أوسع، من نماذج الوقت منفصلة، ​​وذلك لأن العديد من الظواهر الطبيعية (مثل، حركة الأجسام، آه فلوريدا التيار الكهربائي) تجري على بسلاسة الزمن المتواصل. يتم إعطاء صيغة رياضية عامة لنموذج الوقت المستمر من الدرجة الأولى من خلال هذا:

[ frac {dx} {dt} = F (x، t) label {(6.1)} ]

تمامًا كما هو الحال في نماذج الوقت المنفصل ، فإن x هي حالة النظام (والتي قد تكون متغيرًا قياسيًا أو متغيرًا متجهًا). الطرف الأيسر هو المشتق الزمني لـ (x ) ، والذي يُعرف رسميًا على أنه

[ frac {dx} {dt} = lim _ { delta {t} rightarrow {0}} frac {x (t + delta {t}) -x (t)} { delta {t}} . التسمية {(6.2)} ]

يعطي تكامل نموذج الوقت المستمر على (t ) مسارًا لحالة النظام بمرور الوقت. بينما يمكن إجراء التكامل جبريًا في بعض الحالات ، فإن المحاكاة الحسابية (= التكامل العددي) ممكنة دائمًا بشكل عام وغالبًا ما تستخدم كوسيلة أولية لدراسة هذه النماذج. أحد الافتراضات الأساسية التي يتم إجراؤها في نماذج الوقت المستمر هو أن مسارات حالة النظام تكون سلسة في كل مكان في فضاء الطور ، أي أن الحد في التعريف أعلاه يتقارب دائمًا مع قيمة محددة جيدًا. لذلك ، لا تعرض نماذج الوقت المستمر تغييرات مفاجئة فورية ، والتي يمكن أن تحدث في نماذج الوقت المنفصل.


6.1: نماذج الزمن المستمر مع المعادلات التفاضلية - الرياضيات

أنت على وشك امسح عملك في هذا النشاط. هل انت متأكد من أنك تريد أن تفعل هذا؟

نسخة محدثة متوفرة

هناك نسخة محدثة من هذا النشاط. إذا قمت بالتحديث إلى أحدث إصدار من هذا النشاط ، فسيتم مسح تقدمك الحالي في هذا النشاط. بغض النظر ، سيبقى سجل الإنجاز الخاص بك. كيف تريد المتابعة؟

محرر التعبير الرياضي

ندرس الحركة التوافقية غير المخمد كتطبيق للمعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية.

مشاكل الربيع أنا

نحن نأخذ في الاعتبار حركة جسم ذي كتلة معلقة من زنبرك ذي كتلة ضئيلة. نقول أن نظام الربيع والكتلة موجود حالة توازن عندما يكون الجسم في حالة سكون ومجموع القوى المؤثرة عليه يساوي صفرًا. موضع الكائن في هذه الحالة هو وضع التوازن. نحدد أنه إزاحة الكائن من موضع توازنه المقاس موجبًا لأعلى.

يوضح نموذجنا الأنواع التالية من القوى المؤثرة على الكائن:

  • القوة بسبب الجاذبية.
  • قوة يبذلها الزنبرك مقاومة التغير في طوله. ال الطول الطبيعي من الربيع هو طوله مع عدم وجود كتلة متصلة. نفترض أن الزنبرك يخضع لقانون هوك: إذا تم تغيير طول الزنبرك بمقدار من طوله الطبيعي ، فإن الزنبرك يبذل قوة ، حيث يوجد رقم موجب يسمى ثابت الربيع. إذا تمدد الزنبرك بعد ذلك ، وبالتالي فإن قوة الزنبرك تصاعدية ، بينما إذا تم ضغط الزنبرك عندئذٍ ، وبالتالي فإن قوة الزنبرك تتجه نحو الأسفل.
  • أ قوة التخميد يقاوم الحركة بقوة تتناسب مع سرعة الجسم. قد يكون بسبب مقاومة الهواء أو الاحتكاك في الربيع. ومع ذلك ، فإن الطريقة الملائمة لتصور قوة التخميد هي افتراض أن الجسم متصل بقوة بمكبس ذي كتلة ضئيلة مغمورة في أسطوانة (تسمى لوحة القيادة) مملوءة بسائل لزج

أثناء تحرك المكبس ، يبذل السائل قوة تخميد. نقول أن الحركة غير مخمد أنا ل مخمد لو .

من قانون نيوتن الثاني للحركة ،

يجب أن نتعلق الآن. في حالة عدم وجود قوى خارجية ، يقوم الجسم بتمديد الزنبرك بمقدار ليتحمل موضع توازنه ، كما هو موضح في الشكل أدناه.

نظرًا لأن مجموع القوى المؤثرة على الكائن يساوي صفرًا ، فإن قانون هوك يشير إلى ذلك. إذا تم إزاحة الكائن بوحدات من موضع توازنه ، فإن التغيير الكلي في طول الزنبرك يكون ، لذا فإن قانون هوك يشير إلى أن استبدال هذا في (مكافئ: 6.1.1) عوائد حيث يمكن كتابة هذا كـ

نسمي هذا معادلة الحركة.

حركة متناغمة بسيطة

خلال بقية هذا القسم ، سننظر في أنظمة الربيع والكتلة بدون التخميد ، أي. سننظر في أنظمة التخميد في القسم التالي.

نعتبر أولاً الحالة التي تكون فيها الحركة مجانية أيضًا ، = 0. نبدأ بمثال.

العنصر: 6.1.1 ب الإزاحة الأولية لأعلى بمقدار 18 بوصة موجبة ويجب التعبير عنها بالقدم. وبالتالي تكون السرعة النزولية الأولية سالبة ، وبالتالي فإن التفاضل (مكافئ: 6.1.5) ينتج

إن وضع (eq: 6.1.5) و (eq: 6.1.6) وفرض الشروط الأولية يوضح ذلك و. لذلك أين بالقدم.

سننظر الآن في المعادلة حيث وهي أرقام موجبة عشوائية. القسمة على الغلات وتحديدها الحل العام لهذه المعادلة هو

يمكننا إعادة كتابة هذا في شكل أكثر فائدة عن طريق تعريف واستبدال من (مكافئ: 6.1.9) إلى (مكافئ: 6.1.7) وتطبيق عوائد الهوية

من (مكافئ: 6.1.8) و (مكافئ: 6.1.9) نرى أن و يمكن تفسيره على أنه إحداثيات قطبية للنقطة ذات إحداثيات مستطيلة.

معطى ويمكننا الحساب من (مكافئ: 6.1.8). من (eq: 6.1.8) و (eq: 6.1.9) ، نرى أن هناك عددًا لا نهائيًا من الزوايا ، تختلف بمضاعفات عدد صحيح ، والتي ترضي هذه المعادلات. سنختار دائما لذلك.

الحركة الموصوفة بواسطة (eq: 6.1.7) أو (eq: 6.1.10) هي حركة متناغمة بسيطة. نرى من أي من هاتين المعادلتين أن الحركة دورية ، مع فترة. هذا هو الوقت المطلوب للكائن لإكمال دورة كاملة من التذبذب (على سبيل المثال ، للانتقال من أعلى موضع له إلى أدنى موضع له والعودة إلى أعلى موضع له ). نظرًا لأن الموضعين الأعلى والأدنى للكائن هما و ، نقول إن هذا هو السعة من التذبذب. الزاوية في (مكافئ: 6.1.10) هي زاوية المرحلة. يُقاس بالراديان. المعادلة (مكافئ: 6.1.10) هي السعة - شكل الطور من النزوح. إذا كان بالثواني ، فسيكون بالراديان في الثانية (راديان / ثانية) فهو تكرر من الحركة. ويسمى أيضا تردد طبيعي لنظام الزنبرك الكتلي بدون التخميد.

التذبذب القسري غير المثبط

يتعرض الجهاز في العديد من المشكلات الميكانيكية لقوى خارجية دورية. على سبيل المثال ، يتسبب الجنود الذين يسيرون بإيقاع على جسر في حدوث اضطرابات دورية في الجسر ، وتتسبب محركات الطائرات التي تعمل بالمروحة في حدوث اضطرابات دورية في أجنحتها. في غياب قوى التخميد الكافية ، يمكن أن تتسبب هذه الاضطرابات - حتى لو كانت صغيرة في الحجم - في حدوث انهيار هيكلي إذا كانت عند ترددات حرجة معينة. لتوضيح ذلك ، سننظر في حركة جسم في نظام نابض - كتلة بدون تخميد ، خاضعًا لقوة خارجية حيث يكون ثابتًا. في هذه الحالة ، معادلة الحركة (eq: 6.1.2) هي التي نعيد كتابتها كـ

مع . سنرى من المثالين التاليين أن حلول (eq: 6.1.13) مع تتصرف بشكل مختلف تمامًا عن الحلول باستخدام.

من الواضح أن تكتب هذا في شكل مختلف. نبدأ مع المتطابقات المثلثية

من (eq: 6.1.20) يمكننا اعتباره تباينًا جيبيًا بتردد وسعة متغيرة. في الشكل أدناه ، يكون المنحنى المتقطع فوق المحور ، والمنحنى المتقطع أسفل المحور ، ويظهر الإزاحة كتذبذب يحده. تذبذب لـ في الفترة بين الأصفار المتتالية يسمى a تغلب.

يمكنك أن ترى من (eq: 6.1.20) و (eq: 6.1.21) علاوة على ذلك ، إذا كان كبيرًا بدرجة كافية مقارنةً بـ ، فإنه يفترض قيمًا قريبة من (ربما تساوي) هذا الحد الأعلى أثناء كل نبضة. ومع ذلك ، يظل التذبذب محدودًا للجميع. (يفترض هذا أن الزنبرك يمكنه تحمل انحرافات بهذا الحجم والاستمرار في الامتثال لقانون هوك.) يوضح المثال التالي أن هذا ليس كذلك إذا.

تسمى ظاهرة النزوح غير المحدود لنظام الربيع الكتلي استجابةً لوظيفة التأثير الدوري بترددها الطبيعي صدى. يمكن أن تظهر الهياكل الميكانيكية الأكثر تعقيدًا أيضًا ظواهر تشبه الرنين. على سبيل المثال ، يمكن أن تتسبب التذبذبات الإيقاعية لجسر معلق بفعل قوى الرياح أو جناح الطائرة عن طريق الاهتزازات الدورية للمحركات الترددية في حدوث ضرر أو حتى فشل إذا كانت ترددات الاضطرابات قريبة من الترددات الحرجة التي تحددها معلمات النظام الميكانيكي المعني .

مصدر النص

ترينش ، ويليام ف. ، "المعادلات التفاضلية الأولية" (2013). مؤلف ومحرّر للكتب والأقراص المدمجة. 8. (CC-BY-NC-SA)


محتويات

سلسلة ماركوف المستمرة (Xر)ر ≥ 0 يتم تعريفه بواسطة: [1]

  • مساحة دولة محدودة أو قابلة للعد س
  • مصفوفة معدل الانتقالس بأبعاد تساوي أبعاد س و
  • حالة أولية ك مثل أن X 0 = k = k> ، أو توزيع احتمالي لهذه الحالة الأولى.

إلى عن على أناي، العناصر فاي جاي غير سلبية وتصف معدل انتقال العملية من الحالة أنا للدولة ي. العناصر فثانيا يمكن اختياره ليكون صفرًا ، ولكن من أجل الراحة الرياضية ، هناك اصطلاح شائع هو اختيارهم بحيث يكون كل صف من Q < displaystyle Q> مجموعًا إلى الصفر ، أي:

لاحظ كيف يختلف هذا عن تعريف مصفوفة الانتقال لسلاسل Markov المنفصلة ، حيث تكون مجموع الصفوف كلها مساوية لواحد.

هناك ثلاثة تعريفات أخرى للعملية ، تعادل التعريف أعلاه. [2]

تحرير تعريف احتمال الانتقال

هناك طريقة شائعة أخرى لتعريف سلاسل ماركوف المستمرة ، وهي بدلاً من مصفوفة معدل الانتقال Q < displaystyle Q> ، استخدم ما يلي: [1]

مع كون الشرط الأولي P (0) هو مصفوفة الهوية.

تعريف متناهي الصغر تحرير

سلسلة القفز / تعديل وقت الانتظار

حدد سلسلة ماركوف ذات الوقت المنفصل صن لوصف نقفزة العملية والمتغيرات س1, س2, س3و. لوصف أوقات الحجز في كل دولة حيث سأنا يتبع التوزيع الأسي بمعامل المعدل -فصأناصأنا.

تواصل الطبقات تحرير

يتم تعريف فئات التواصل ، والعبور ، والتكرار ، والتكرار الإيجابي والعاطل بشكل مماثل لسلاسل ماركوف المنفصلة في الوقت.

تحرير السلوك العابر

اكتب P (ر) للمصفوفة مع الإدخالات صاي جاي = ف (Xر = ي | X0 = أنا). ثم المصفوفة P (ر) يفي بالمعادلة الآجلة ، وهي معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى

حيث يشير رئيس الوزراء إلى التمايز فيما يتعلق ر. يتم الحصول على حل هذه المعادلة بواسطة مصفوفة أسية

في حالة بسيطة مثل CTMC على مساحة الحالة <1،2>. الجنرال س المصفوفة لمثل هذه العملية هي مصفوفة 2 × 2 التالية مع α,β & GT 0

يمكن حل العلاقة أعلاه للمصفوفة الأمامية بشكل صريح في هذه الحالة

ومع ذلك ، فإن الحلول المباشرة معقدة لحساب المصفوفات الأكبر. حقيقة ان س هو المولد لشبه مجموعة من المصفوفات

تحرير التوزيع الثابت

التوزيع الثابت لـ CTMC المتكرر غير القابل للاختزال هو التوزيع الاحتمالي الذي تتقارب فيه العملية لقيم كبيرة من ر. لاحظ أنه بالنسبة لعملية الدولتين التي تم النظر فيها مسبقًا مع P (ر) معطى بواسطة

كما ر → ∞ التوزيع يميل إلى

لاحظ أن كل صف له نفس التوزيع لأن هذا لا يعتمد على حالة البداية. ناقل الصف π يمكن إيجادها بحل [3]

مع القيد الإضافي الذي

مثال 1 تحرير

تصف الصورة إلى اليمين سلسلة ماركوف المستمرة مع فضاء الحالة ومصفوفة معدل الانتقال

يمكن العثور على التوزيع الثابت لهذه السلسلة عن طريق حل π Q = 0 < displaystyle pi Q = 0> ، وفقًا للقيود التي يجب أن مجموعها العناصر 1 للحصول على

مثال 2 تحرير

تصف الصورة إلى اليمين سلسلة ماركوف المنفصلة التي تصمم نموذج Pac-Man مع مساحة الدولة <1،2،3،4،5،6،7،8،9>. يتحكم اللاعب في Pac-Man من خلال متاهة ، يأكل نقاط pac. وفي الوقت نفسه ، يتم اصطياده من قبل الأشباح. للراحة ، يجب أن تكون المتاهة عبارة عن شبكة صغيرة 3 × 3 وتتحرك الوحوش بشكل عشوائي في اتجاهات أفقية ورأسية. يمكن استخدام ممر سري بين الدولتين 2 و 8 في كلا الاتجاهين. تتم إزالة الإدخالات ذات الاحتمال صفر في مصفوفة معدل الانتقال التالية:

سلسلة ماركوف هذه غير قابلة للاختزال ، لأن الأشباح يمكن أن تطير من كل ولاية إلى كل دولة في فترة زمنية محدودة. بسبب الممر السري ، فإن سلسلة ماركوف هي أيضًا غير دورية ، لأن الوحوش يمكن أن تنتقل من أي حالة إلى أي حالة سواء في عدد متساوٍ أو غير متساوٍ من انتقالات الحالة. لذلك ، يوجد توزيع فريد ثابت ويمكن العثور عليه عن طريق حل π Q = 0 < displaystyle pi Q = 0> ، مع مراعاة القيد الذي يجب أن مجموع العناصر فيه 1. حل هذه المعادلة الخطية الخاضعة للقيد هو π = (7.7 ، 15.4 ، 7.7 ، 11.5 ، 15.4 ، 11.5 ، 7.7 ، 15.4 ، 7.7)٪. < displaystyle pi = (7.7،15.4،7.7،11.5،15.4،11.5،7.7،15.4،7.7) ٪.> تتم زيارة الدولة المركزية والحدود 2 و 8 من الممر السري المجاور والزاوية الدول التي تمت زيارتها على الأقل.

تعديل انعكاس الوقت

ل CTMC Xر، يتم تعريف عملية عكس الوقت على أنها X ^ t = X T - t >_= X_>. بواسطة ليمما كيلي ، هذه العملية لها نفس التوزيع الثابت مثل العملية المتقدمة.

يُقال أن السلسلة قابلة للعكس إذا كانت العملية المعكوسة هي نفس العملية المستقبلية. ينص معيار Kolmogorov على أن الشرط الضروري والكافي لكي تكون العملية قابلة للعكس هو أن منتج معدلات الانتقال حول حلقة مغلقة يجب أن يكون هو نفسه في كلا الاتجاهين.

سلسلة ماركوف المضمنة تحرير

طريقة واحدة لإيجاد التوزيع الاحتمالي الثابت ، π ، لسلسلة ماركوف ergodic ذات الوقت المستمر ، س، من خلال إيجاده أولاً سلسلة ماركوف المدمجة (EMC). بالمعنى الدقيق للكلمة ، فإن EMC عبارة عن سلسلة Markov ذات وقت منفصل منتظم ، يشار إليها أحيانًا باسم a عملية القفز. كل عنصر من عناصر مصفوفة احتمالية الانتقال من خطوة واحدة من EMC ، س، يتم الإشارة إليه بواسطة ساي جاي، ويمثل الاحتمال الشرطي للانتقال من الحالة أنا في حالة ي. يمكن العثور على هذه الاحتمالات الشرطية بواسطة

من هذا، س يمكن كتابتها كـ

أين أنا هي مصفوفة الهوية والتشخيص (س) هي المصفوفة المائلة التي تشكلت باختيار القطر الرئيسي من المصفوفة س وضبط جميع العناصر الأخرى على الصفر.

للعثور على متجه التوزيع الاحتمالي الثابت ، يجب أن نجد بعد ذلك φ بحيث

(س قد تكون دورية ، حتى لو س ليس. بمجرد العثور على π ، يجب تطبيعه إلى متجه وحدة.)

عملية أخرى للوقت المنفصل يمكن اشتقاقها من سلسلة ماركوف المستمرة في الوقت هي هيكل عظمي δ - سلسلة ماركوف (وقت منفصل) التي تشكلت عن طريق الملاحظة X(ر) على فترات من δ وحدة زمنية. المتغيرات العشوائية X(0), X(δ) ، X(2δ) ،. إعطاء تسلسل الدول التي زارها الهيكل العظمي δ.


التحميل الان!

لقد سهلنا عليك العثور على كتب إلكترونية بتنسيق PDF دون أي حفر. ومن خلال الوصول إلى كتبنا الإلكترونية عبر الإنترنت أو عن طريق تخزينها على جهاز الكمبيوتر الخاص بك ، لديك إجابات مناسبة مع نظرية استقرار الأنظمة الديناميكية والتطبيقات ملاحظات محاضرة في الرياضيات Pdf. للبدء في العثور على نظرية استقرار الأنظمة الديناميكية والتطبيقات ملاحظات محاضرة في Mathematics Pdf ، أنت محق في العثور على موقعنا الإلكتروني الذي يحتوي على مجموعة شاملة من الأدلة المدرجة.
مكتبتنا هي الأكبر من بين هذه المكتبات التي تحتوي على مئات الآلاف من المنتجات المختلفة الممثلة.

أخيرًا ، حصلت على هذا الكتاب الإلكتروني ، شكرًا لجميع هذه النظرية والتطبيقات المتعلقة باستقرار الأنظمة الديناميكية ملاحظات المحاضرة في Mathematics Pdf التي يمكنني الحصول عليها الآن!

لم أكن أعتقد أن هذا سيعمل ، أظهر لي أفضل أصدقائي هذا الموقع ، وهو يعمل! أحصل على الكتاب الإلكتروني المطلوب

وتف هذا الكتاب الاليكترونى الرائع مجانا ؟!

أصدقائي غاضبون جدًا لدرجة أنهم لا يعرفون كيف أمتلك كل الكتب الإلكترونية عالية الجودة التي لا يعرفون عنها!

من السهل جدًا الحصول على كتب إلكترونية عالية الجودة)

الكثير من المواقع المزيفة. هذا هو أول واحد نجح! شكرا جزيلا

wtffff أنا لا أفهم هذا!

ما عليك سوى اختيار النقر ثم زر التنزيل ، وإكمال العرض لبدء تنزيل الكتاب الإلكتروني. إذا كان هناك استبيان يستغرق 5 دقائق فقط ، فجرب أي استطلاع يناسبك.


حساب التفاضل والتكامل النشط

أسئلة تحفيزية

كيف يمكننا استخدام المعادلات التفاضلية لنمذجة واقعية لنمو السكان؟

كيف يمكننا تقييم دقة نماذجنا؟

يعد نمو سكان الأرض أحد القضايا الملحة في عصرنا. هل سيستمر عدد السكان في النمو؟ أم أنها ربما تستقر في مرحلة ما ، وإذا كان الأمر كذلك ، فمتى؟ في هذا القسم ، سننظر في طريقتين يمكننا من خلالهما استخدام المعادلات التفاضلية لمساعدتنا في معالجة أسئلة مثل هذه.

قبل أن نبدأ ، دعنا نفكر مرة أخرى في معادلتين تفاضليتين مهمتين رأيناهما في عمل سابق من هذا الفصل.

معاينة النشاط 7.6.1

تذكر أن أحد نماذج النمو السكاني ينص على أن السكان ينموون بمعدل يتناسب مع حجمهم.

نبدأ بالمعادلة التفاضلية

ارسم حقل منحدر أدناه بالإضافة إلى بعض الحلول النموذجية على المحاور المتوفرة.

أوجد جميع حلول التوازن للمعادلة ( frac

= frac12 P ) وصنفها على أنها مستقرة أو غير مستقرة.

إذا كانت (P (0) ) موجبة ، فقم بوصف السلوك طويل المدى للحل لـ ( frac

= frac12 P نص <.> )

لننظر الآن في المعادلة التفاضلية المعدلة التي قدمها

كما في السابق ، قم برسم حقل منحدر بالإضافة إلى بعض الحلول النموذجية على المحاور التالية المتوفرة.

ابحث عن أي حلول توازن وصنفها على أنها مستقرة أو غير مستقرة.

إذا كانت (P (0) ) موجبة ، فقم بوصف السلوك طويل المدى للحل.

القسم الفرعي 7.6.1 سكان الأرض

سنبدأ الآن في دراسة سكان الأرض. للبدء ، يوجد في الجدول 7.6.1 بعض البيانات الخاصة بسكان الأرض في السنوات الأخيرة والتي سنستخدمها في تحقيقاتنا.

عام 1998 1999 2000 2001 2002 2005 2006 2007 2008 2009 2010
فرقعة
(بلايين)
(5.932) (6.008) (6.084) (6.159) (6.234) (6.456) (6.531) (6.606) (6.681) (6.756) (6.831)
الجدول 7.6.1 بعض البيانات السكانية الحديثة لكوكب الأرض.

النشاط 7.6.2

سيعتمد نموذجنا الأول على الافتراض التالي:

معدل التغيير للسكان يتناسب مع عدد السكان.

في ظاهر الأمر ، يبدو هذا معقولًا جدًا. عندما يكون هناك عدد قليل نسبيًا من الناس ، سيكون هناك عدد أقل من المواليد والوفيات ، وبالتالي سيكون معدل التغيير صغيرًا. عندما يكون هناك عدد أكبر من الناس ، سيكون هناك المزيد من المواليد والوفيات ، لذلك نتوقع معدل تغيير أكبر.

إذا كان (P (t) ) هو عدد السكان (t ) سنوات بعد عام 2000 ، فيمكننا التعبير عن هذا الافتراض على أنه

حيث (ك ) ثابت التناسب.

استخدم البيانات الواردة في الجدول لتقدير المشتق (P '(0) ) باستخدام فرق مركزي. افترض أن (t = 0 ) يتوافق مع عام 2000.

ما هو عدد السكان (P (0) text <؟> )

استخدم نتائجك من (أ) و (ب) لتقدير ثابت التناسب (ك ) في المعادلة التفاضلية.

الآن بعد أن عرفنا قيمة (k text <،> ) لدينا مشكلة القيمة الأولية

أوجد الحل لمشكلة القيمة الأولية هذه.

ماذا يتوقع الحل الخاص بك للسكان في عام 2010؟ هل هذا قريب من عدد السكان الفعلي الوارد في الجدول؟

متى يتوقع الحل الخاص بك أن يصل عدد السكان إلى 12 مليارًا؟

ماذا يتوقع الحل بالنسبة لعدد السكان في عام 2500؟

هل تعتقد أن هذا نموذج معقول لسكان الأرض؟ لما و لما لا؟ اشرح طريقة تفكيرك باستخدام جمل كاملة.

يوضح عملنا في النشاط 7.6.2 أن النموذج الأسي دقيق إلى حد ما لسنوات قريبة نسبيًا من 2000. ومع ذلك ، إذا ذهبنا بعيدًا جدًا في المستقبل ، فإن النموذج يتنبأ بمعدلات تغيير كبيرة بشكل متزايد ، مما يؤدي إلى نمو السكان بشكل عشوائي كبير. هذا لا معنى له لأنه من غير الواقعي توقع أن الأرض ستكون قادرة على دعم مثل هذا العدد الكبير من السكان.

للثابت (ك ) في المعادلة التفاضلية تفسير مهم. دعونا نعيد كتابة المعادلة التفاضلية ( frac

= kP ) عن طريق حل (k text <،> ) حتى يكون لدينا

في ضوء ذلك ، (ك ) هي نسبة معدل التغيير إلى السكان بمعنى آخر ، إنها المساهمة في معدل التغيير من شخص واحد. نسمي هذا معدل نمو نصيب الفرد.

في النموذج الأسي الذي قدمناه في النشاط 7.6.2 ، يكون معدل نمو نصيب الفرد ثابتًا. على وجه الخصوص ، نفترض أنه عندما يكون عدد السكان كبيرًا ، يكون معدل نمو نصيب الفرد هو نفسه عندما يكون عدد السكان صغيرًا. من الطبيعي أن نعتقد أن معدل نمو نصيب الفرد يجب أن ينخفض ​​عندما يصبح عدد السكان كبيرًا ، حيث لن تكون هناك موارد كافية لدعم الكثير من الناس. بعبارة أخرى ، نتوقع أن نموذجًا أكثر واقعية سيصمد إذا افترضنا أن معدل نمو نصيب الفرد يعتمد على عدد السكان (P text <.> )

في النشاط السابق ، قمنا بحساب معدل نمو نصيب الفرد في عام واحد عن طريق حساب (k text <،> ) حاصل ( frac

) و (P ) (وهو ما فعلناه من أجل (t = 0 )). إذا عدنا إلى البيانات الواردة في الجدول 7.6.1 وقمنا بحساب معدل نمو نصيب الفرد على مدى مجموعة من السنوات ، فإننا نولد البيانات الموضحة في الشكل 7.6.2 ، والتي توضح كيف أن معدل نمو نصيب الفرد هو دالة للسكان ، (ف نص <.> )

الشكل 7.6.2 مخطط معدل نمو نصيب الفرد مقابل عدد السكان (P text <.> )

من البيانات ، نرى أن معدل النمو للفرد يبدو أنه ينخفض ​​مع زيادة عدد السكان. في الواقع ، يبدو أن النقاط قريبة جدًا من الخط ، والذي يظهر في مقياسين مختلفين في الشكل 7.6.3.

بالنظر إلى هذا الخط بعناية ، يمكننا إيجاد معادلته كما هي

إذا ضربنا كلا الجانبين في (P text <،> ) فإننا نصل إلى المعادلة التفاضلية

رسم بياني لاعتماد (dP / dt ) على السكان (P text <،> ) نرى أن هذه المعادلة التفاضلية توضح علاقة تربيعية بين ( frac

) و (P text <،> ) كما هو موضح في الشكل 7.6.4.

الشكل 7.6.4 قطعة من ( frac

) مقابل (P ) للمعادلة التفاضلية ( frac
= P (0.025 - 0.002P) نص <.> )

المعادلة ( frac

= P (0.025 - 0.002P) ) مثال على معادلة لوجستية، وهو النموذج الثاني للنمو السكاني الذي سننظر فيه. لدينا سبب للاعتقاد بأنه سيكون أكثر واقعية لأن معدل نمو نصيب الفرد هو دالة متناقصة للسكان.

في الواقع ، يوضح الرسم البياني في الشكل 7.6.4 أن هناك حلين للتوازن ، (P = 0 نص <،> ) غير مستقر ، و (P = 12.5 نص <،> ) وهو ثابت حالة توازن. يوضح الرسم البياني أن أي حل مع (P (0) gt 0 ) سيستقر في النهاية حول 12.5. بعبارة أخرى ، يتوقع نموذجنا أن يستقر عدد سكان العالم في نهاية المطاف عند حوالي 12.5 مليار.

إن التنبؤ بالسلوك طويل المدى للسكان هو نتيجة قيّمة يمكن استخلاصها من معادلتنا التفاضلية. ومع ذلك ، نود أن نجيب على بعض الأسئلة الكمية. على سبيل المثال ، كم من الوقت سيستغرق الوصول إلى 10 مليار نسمة؟ لتحديد ذلك ، علينا إيجاد حل صريح للمعادلة.

القسم الفرعي 7.6.2 حل المعادلة التفاضلية اللوجستية

نظرًا لأننا نرغب في تطبيق النموذج اللوجستي في مواقف أكثر عمومية ، فإننا نذكر المعادلة اللوجستية في شكلها الأكثر عمومية ،

حلول التوازن هنا هي عندما (P = 0 ) و (1- frac PN = 0 text <،> ) مما يدل على أن (P = N text <.> ) التوازن عند ( P = N ) يسمى القدرة على التحمل من السكان لأنه يمثل السكان المستقرون الذين يمكن أن تحافظ عليهم البيئة.

نحل الآن المعادلة اللوجستية (7.6.1). المعادلة قابلة للفصل ، لذلك نفصل بين المتغيرات

والاندماج للعثور على ذلك

لإيجاد المشتق العكسي على اليسار ، نستخدم التحليل الجزئي للكسر

الآن نحن جاهزون للتكامل مع

على اليسار ، لاحظ أن (N ) ثابت ، حتى نتمكن من إزالة عامل ( frac <1>) و antidifferentiate للعثور على ذلك

بضرب طرفي هذه المعادلة الأخيرة في (N ) وباستخدام قاعدة مهمة في اللوغاريتمات ، نجد بعد ذلك أن

من تعريف اللوغاريتم ، استبدال (e ^ C ) بـ (C text <،> ) والسماح لـ (C ) بامتصاص علامات القيمة المطلقة ، نعلم الآن ذلك

في هذه المرحلة ، كل ما تبقى هو تحديد (C ) وحلها جبريًا لـ (P text <.> )

إذا كان عدد السكان الأولي هو (P (0) = P_0 text <،> ) فإنه يتبع ذلك (C = frac text <،> ) هكذا

سنحل هذه المعادلة الأحدث لـ (P ) بضرب كلا الجانبين في ((N-P) (N-P_0) ) للحصول على

تبديل الجانبين الأيمن والأيسر ، والتوسع ، والتخصيم ، يتبع ذلك

القسمة لحل (P text <،> ) نرى ذلك

أخيرًا ، اخترنا ضرب البسط والمقام في ( frac <1>e ^ <-kNt> ) للحصول عليها

بينما كان هذا كثيرًا من الجبر ، لاحظ النتيجة: لقد وجدنا حلاً واضحًا لمشكلة القيمة الأولية

بالنسبة للمعادلة اللوجيستية التي تصف سكان الأرض التي عملنا معها سابقًا في هذا القسم ، لدينا

الشكل 7.6.5 حل المعادلة اللوجيستية التي تمثل سكان الأرض.

لاحظ أن الرسم البياني يوضح استقرار عدد السكان عند 12.5 مليار ، كما توقعنا ، وأن عدد السكان سيكون حوالي 10 مليارات في عام 2050. هذه النتائج ، التي وجدناها باستخدام نموذج رياضي بسيط نسبيًا ، تتفق جيدًا مع التوقعات باستخدام نموذج أكثر تعقيدًا طورته الأمم المتحدة.

المعادلة اللوجيستية مفيدة في مواقف أخرى أيضًا ، لأنها جيدة لنمذجة أي موقف يكون فيه النمو المحدود ممكنًا. على سبيل المثال ، يمكن أن يكون نموذجًا لانتشار فيروس الإنفلونزا من خلال مجموعة سكانية موجودة على متن سفينة سياحية ، أو معدل انتشار الشائعات داخل مدينة صغيرة ، أو سلوك مجموعة من الحيوانات في الجزيرة. مرة أخرى ، من المهم أن ندرك أنه من خلال عملنا في هذا القسم ، قمنا بحل المعادلة اللوجستية تمامًا ، بغض النظر عن قيم الثوابت (N text <،> ) (k text <،> ) و (P_0 text <.> ) في أي وقت نواجه معادلة لوجستية ، يمكننا تطبيق الصيغة التي وجدناها في المعادلة (7.6.2).

النشاط 7.6.3

ضع في اعتبارك المعادلة اللوجستية

مع الرسم البياني لـ ( frac

) مقابل (P ) كما هو موضح بالشكل 7.6.6.

ما هي قيمة (P ) أكبر معدل للتغير؟

تأمل في نموذج سكان الأرض الذي أنشأناه. ما هي قيمة (P ) أكبر معدل للتغير؟ كيف يقارن ذلك بالسكان في السنوات الأخيرة؟

حسب النموذج الذي قمنا بتطويره ، كم سيكون عدد السكان في عام 2100؟

حسب النموذج الذي قمنا بتطويره ، متى سيصل عدد السكان إلى 9 مليارات؟

الآن ضع في اعتبارك الحل العام لمشكلة القيمة الأولية اللوجستية العامة التي وجدناها ، معطاة

تحقق جبريًا من أن (P (0) = P_0 ) وأن ( lim_ الفوسفور (ر) = N نص <.> )

ملخص القسم الفرعي 7.6.3

إذا افترضنا أن معدل نمو السكان يتناسب مع عدد السكان ، فإننا نقود إلى نموذج ينمو فيه السكان دون قيود وبمعدل ينمو دون قيود.

من خلال افتراض أن معدل نمو نصيب الفرد ينخفض ​​مع نمو السكان ، يتم توجيهنا إلى النموذج اللوجستي للنمو السكاني ، والذي يتوقع أن يستقر السكان في النهاية عند القدرة الاستيعابية.

تمارين القسم

1 تحليل معادلة لوجستية
2 تحليل نموذج لوجستي
3 إيجاد وظيفة لوجستية لنموذج الإصابة
4 تحليل نموذج النمو السكاني

يمكن استخدام المعادلة اللوجستية لنمذجة كيفية انتشار شائعة بين مجموعة من الناس. افترض أن (p (t) ) هو جزء من الأشخاص الذين سمعوا الإشاعة في اليوم (t text <.> ) المعادلة

يصف كيف يتغير (ع ). افترض في البداية أن عُشر الأشخاص قد سمعوا الشائعة التي تقول ، (p (0) = 0.1 text <.> )

ماذا يحدث ل (ع (ر) ) بعد وقت طويل جدا؟

حدد صيغة للدالة (p (t) text <.> )

في أي وقت يتم تغيير (ع ) بسرعة أكبر؟

كم من الوقت يستغرق حتى يسمع 80٪ من الناس الشائعات؟

افترض أن (b (t) ) يقيس عدد البكتيريا التي تعيش في مستعمرة في طبق بتري ، حيث يقاس (ب ) بالآلاف و (t ) يقاس بالأيام. في يوم من الأيام ، تقيس أن هناك 6000 بكتيريا وأن معدل نمو الفرد هو 3. بعد أيام قليلة ، تقيس أن هناك 9000 بكتيريا ومعدل نمو الفرد هو 2.

افترض أن معدل نمو نصيب الفرد ( frac) هي دالة خطية لـ (b text <.> ) استخدم القياسات للعثور على هذه الوظيفة وكتابة معادلة لوجستية لوصف ( frac

نص <.> )

ما هي القدرة الاستيعابية للبكتيريا؟

في أي مجتمع يتزايد عدد البكتيريا بسرعة أكبر؟

إذا كان هناك 1000 بكتيريا في البداية ، فكم من الوقت سيستغرق الوصول إلى 80٪ من القدرة الاستيعابية؟

افترض أن تعداد نوع من الأسماك يتم التحكم فيه بواسطة المعادلة اللوجيستية

حيث (P ) يقاس بالآلاف من الأسماك و (t ) يقاس بالسنوات.

ما هي القدرة الاستيعابية لهذا السكان؟

افترض أنه قد مضى وقت طويل وأن أعداد الأسماك مستقرة عند القدرة الاستيعابية. في هذا الوقت ، يبدأ البشر في حصاد 20٪ من الأسماك كل عام. قم بتعديل المعادلة التفاضلية عن طريق إضافة مصطلح لدمج حصاد الأسماك.

ما هي القدرة الاستيعابية الجديدة؟

كم سيكون عدد الأسماك بعد عام واحد من بدء الحصاد؟

كم من الوقت سيستغرق السكان ليكونوا في نطاق 10٪ من القدرة الاستيعابية؟


مناهج متعددة النطاقات

التحفيز الأنزيمي

تتم مصادفة نهج الاضطراب المفرد المتطابق حاليًا في الأنظمة الكيميائية ، على سبيل المثال ، في اشتقاق ميكايليسحركية مينتين لإنزيم واحد و حركية هيل التعاونية لانزيم خيفي (موراي 2002). دلالة بواسطة ه الانزيم س الركيزة بواسطة ES المجمع النشط ، وبواسطة ص المنتج ، والتحول الحفاز أحادي الإنزيم س إلى ص الموصوفة بالمخطط التالي:

حيث ، كما هو معروف ، يتم إطلاق الإنزيم في النهاية. إدخال كميات بلا أبعاد

يمكن كتابة المعادلات الحركية الكيميائية المقابلة كـ

مع ملاحظة أن ε ≪ 1 (الإنزيم موجود بكميات متناهية الصغر مقارنةً بالركيزة) ، ينطبق التقريب شبه الثابت على المتغير c: يعني أن الأنواع الوسيطة ES تصل بسرعة إلى حالة توازن محلية c ˜ = c ˜ * (s ˜). هذا ينتج تطور الركيزة

يتم تعيين الشرط الأولي فقط على الركيزة: s 0 = s 0 ، أي s ˜ (0) = 1. ينتج التعبير المعروف عن السرعة V ≡ d s / d t | t = 0 كدالة لتركيز الركيزة الأولي: V s 0 = e 0 k cat s 0 / s 0 + K m (بقيمة قصوى V max = e 0 k cat). من الواضح أن القيمة شبه الثابتة للتركيز المعقد (بدون أبعاد) c ˜ * (s ˜ = 1) = 1 / (1 + K ˜ m) عند t = 0 تختلف عن الحالة الأولية الفعلية c (0) = 0: إلى جانب ذلك ، فمن المتوقع تماما أن العابرين يقودون المجمع ES إلى قيمتها الثابتة لا يمكن وصفها باستخدام تقريب شبه ثابت. في أوقات قصيرة ، المتغير الزمني ذي الصلة هو الوقت الذي تم إعادة قياسه بسرعة θ = t ˜ / ε ، مما يؤدي إلى المعادلة التي تصف النظام الأولي عند استكماله بالشرط الأولي الفعلي c ˜ (0) = 0، s ˜ (0) = 1 . يتم ترحيل التحليل بشكل مباشر ، تمامًا كما هو الحال في الحالة المجردة العامة ، مع شرط مطابق lim θ → ˜ c ˜ (θ) = c ˜ (t = 0) = 1 / (1 + K ˜ m).


1 إجابة 1

هذا السؤال يترك القليل من التفسير لذلك سأتناوله. عندما قرأت الجزء (ب) ، أتخيل أن صاحب الحساب يقوم بإيداع ودائع مستمرة (بنفس طريقة الفائدة المركبة باستمرار) على مدار كل شهر تصل قيمتها إلى ألف دولار شهريًا. في مثل هذه الحالة ، فإن ODE الخاص بك

سوف نموذج الوضع بشكل صحيح. ومع ذلك ، إذا قام صاحب الحساب بإيداع وديعة واحدة كل شهر مقابل ألف دولار ، فنحن نضعها على النحو الذي يقترحه لوتز ليمان على النحو التالي

هنا ، $ lfloor b rfloor $ هو أرضية الوقت في الأشهر التي نفكر فيها في ODE و $ delta $ هو بالطبع دالة دلتا. تجدر الإشارة إلى أن المبلغ يجب أن يبدأ عند $ k = 0 $ إذا قام صاحب الحساب بإيداع مبلغ $ t = 0 $ ويجب أن يبدأ من $ k = 1 $ إذا انتظر صاحب الحساب شهرًا قبل إجراء الإيداع.

لذلك فقط لتوضيح سؤالك

ألا يعني هذا أنه لا يوجد فرق بين وضع 1000 دولار شهريًا أو أنه يضع 12000 دولار أمريكي ككل في السنة؟

يفترض ODE الذي كتبته أنه يقوم باستمرار بإيداع إيداعات تصل إلى ألف شهريًا (أو ما يعادل اثني عشر ألفًا سنويًا). إذا كانت ودائع مميزة ، فسيحدث فرقًا بالطبع عند حدوث الإيداعات حيث سيتم تصميمها بواسطة دالة دلتا لكل إيداع.

أما بالنسبة لسؤال المتابعة ، فهذا يعني ببساطة (في ODE) أن الحل المعين للمشكلة غير المتجانسة هو وظيفة ثابتة. In other words, you will get a solution that looks like $ y(t) = f(t) + B $ for some constant $B$ . I'll leave its physical interpretation up to you once you solve your ODE.


Continuous-Time Markov Chains

Example 6.8

Consider the Yule process , which is a pure birth process in which each individual in the population independently gives birth at rate λ, and so λ ن = نλ, ن ≥ 1. Letting أنا = 1, we obtain from Proposition 6.1

Thus, starting with a single individual, the population size at time ر has a geometric distribution with mean e λt . If the population starts with أنا individuals, then we can regard each of these individuals as starting her own independent Yule process, and so the population at time ر will be the sum of أنا independent and identically distributed geometric random variables with parameter e −λt . But this means that the conditional distribution of X(ر), given that X(0) = أنا, is the same as the distribution of the number of times that a coin that lands heads on each flip with probability e −λt must be flipped to amass a total of أنا heads. Hence, the population size at time t has a negative binomial distribution with parameters أنا و e −λt , so

(We could, of course, have used Proposition 6.1 to immediately obtain an equation for صاي جاي(ر), rather than just using it for ص1j(ر), but the algebra that would have then been needed to show the equivalence of the resulting expression to the preceding result is somewhat involved.)


SIAM Review

Dynamic models of many processes in the biological and physical sciences which depend on local mass balance conditions give rise to systems of ordinary differential equations, many nonlinear, that are called compartmental systems. In this paper, the authors define compartmental systems, specify their relations to other nonnegative systems, and discuss examples of applications.

The authors review the qualitative results on linear and nonlinear compartmental systems, including their relation to cooperative systems. They review the results for linear compartmental systems and then integrate and expand the results on nonlinear compartmental systems, providing a framework for unifying them under a few general theorems. In the course of that they complete the solution of a problem posed by Bellman and show that closed nonlinear, autonomous, ن-compartment systems can show the full gamut of possible behaviors of systems of ODES.

Finally, to provide additional structure to this study, the authors show how to partition compartmental systems of arbitrary connectivities into four basic types and then give the qualitative analysis for autonomous, nonlinear compartmental systems of the four basic types.


Affiliations

Centre for Research into Ecological and Environmental Modelling, University of St Andrews, St Andrews, KY169LZ, UK

Théo Michelot, Richard Glennie, Catriona Harris & Len Thomas

You can also search for this author in PubMed Google Scholar

You can also search for this author in PubMed Google Scholar

You can also search for this author in PubMed Google Scholar

You can also search for this author in PubMed Google Scholar

Corresponding author


شاهد الفيديو: Differential Equations 6: Homogeneous Differential Equations حل المعادلات التفاضلية المتجانسة (شهر اكتوبر 2021).