مقالات

12.6: الأسطح الرباعية - الرياضيات


أهداف التعلم

  • حدد الأسطوانة كنوع من الأسطح ثلاثية الأبعاد.
  • التعرف على السمات الرئيسية للأشكال الإهليلجية والبارابولويد والقطع الزائدة.
  • استخدم الآثار لرسم تقاطعات الأسطح الرباعية مع مستويات الإحداثيات.

لقد كنا نستكشف المتجهات وعمليات المتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، وقمنا بتطوير معادلات لوصف الخطوط والمستويات والمجالات. في هذا القسم ، نستخدم معرفتنا بالمستويات والمجالات ، وهي أمثلة لأشكال ثلاثية الأبعاد تسمى الأسطح، لاستكشاف مجموعة متنوعة من الأسطح الأخرى التي يمكن رسمها في نظام إحداثيات ثلاثي الأبعاد.

تحديد الاسطوانات

السطح الأول الذي سنفحصه هو الأسطوانة. على الرغم من أن معظم الناس يفكرون فورًا في أنبوب مجوف أو قش صودا عندما يسمعون كلمة أسطوانة ، فإننا نستخدم هنا المعنى الرياضي الواسع للمصطلح. كما رأينا ، لا يجب أن تكون الأسطح الأسطوانية دائرية. قناة التسخين المستطيلة عبارة عن أسطوانة ، مثلها مثل سجادة اليوغا الملفوفة ، المقطع العرضي لها شكل حلزوني.

في المستوى الإحداثي ثنائي الأبعاد ، تصف المعادلة (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 ) دائرة متمركزة في الأصل مع نصف قطر (3 ). في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، تمثل هذه المعادلة نفسها السطح. تخيل نسخًا لدائرة مكدسة فوق بعضها البعض متمركزة على محور (z ) - (الشكل ( فهرس الصفحة {1} )) ، وتشكل أنبوبًا مجوفًا. يمكننا بعد ذلك إنشاء أسطوانة من مجموعة الخطوط الموازية للمحور (z ) - الذي يمر عبر الدائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 ) في (xy ) - المستوى ، كما هو موضح في الشكل. بهذه الطريقة ، يمكن تمديد أي منحنى في إحدى مستويات الإحداثيات ليصبح سطحًا.

التعريف: الاسطوانات والأحكام

تُعرف مجموعة الخطوط الموازية لخط معين يمر عبر منحنى معين بالسطح الأسطواني ، أو اسطوانة. تسمى الخطوط المتوازية الأحكام.

من هذا التعريف ، يمكننا أن نرى أنه لا يزال لدينا أسطوانة في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، حتى لو لم يكن المنحنى دائرة. يمكن أن يشكل أي منحنى أسطوانة ، وقد تكون الأحكام التي تتكون منها الأسطوانة موازية لأي خط معين (الشكل ( PageIndex {2} )).

مثال ( PageIndex {1} ): رسم أسطح أسطوانية بالرسوم البيانية

ارسم الرسوم البيانية للأسطح الأسطوانية التالية.

  1. (س ^ 2 + ض ^ 2 = 25 )
  2. (ض = 2 س ^ 2 − ص )
  3. (ص = الخطيئة س )

المحلول

أ. يمكن للمتغير (y ) أن يأخذ أي قيمة بدون حدود. لذلك ، فإن الخطوط التي تحكم هذا السطح موازية لمحور (ص ). يشكل تقاطع هذا السطح مع المستوى (xz ) - دائرة متمركزة في الأصل مع نصف قطر (5 ) (انظر الشكل ( PageIndex {3} )).

ب. في هذه الحالة ، تحتوي المعادلة على جميع المتغيرات الثلاثة - (x ، y ، ) و (z ) - لذلك لا يمكن أن يتغير أي من المتغيرات بشكل عشوائي. أسهل طريقة لتصور هذا السطح هي استخدام الأداة المساعدة للرسوم البيانية بالكمبيوتر (الشكل ( PageIndex {4} )).

ج. في هذه المعادلة ، يمكن للمتغير (z ) أن يأخذ أي قيمة بلا حدود. لذلك ، فإن الخطوط المكونة لهذا السطح موازية لمحور (ض ). تقاطع هذا السطح مع س صمنحنى الخطوط العريضة للطائرة (y = sin x ) (الشكل ( PageIndex {5} )).

تمرين ( PageIndex {1} ):

ارسم أو استخدم أداة الرسم البياني لعرض الرسم البياني للسطح الأسطواني المحدد بالمعادلة (z = y ^ 2 ).

تلميح

يمكن للمتغير (x ) أن يأخذ أي قيمة بلا حدود.

إجابه

عند رسم الأسطح ، رأينا أنه من المفيد رسم تقاطع السطح مع مستوى موازٍ لإحدى مستويات الإحداثيات. تسمى هذه المنحنيات آثار. يمكننا رؤيتها في مخطط الأسطوانة في الشكل ( PageIndex {6} ).

التعريف: آثار

ال آثار من السطح هي المقاطع العرضية التي تم إنشاؤها عندما يتقاطع السطح مع مستوى موازٍ لإحدى مستويات الإحداثيات.

الآثار مفيدة في رسم الأسطح الأسطوانية. بالنسبة للأسطوانة ذات الأبعاد الثلاثة ، فإن مجموعة واحدة فقط من الآثار تكون مفيدة. لاحظ ، في الشكل ( PageIndex {6} ) ، أن تتبع الرسم البياني (z = sin x ) في xz- الطائرة مفيدة في بناء الرسم البياني. تتبع في س صعلى الرغم من ذلك ، فإن الطائرة هي مجرد سلسلة من الخطوط المتوازية ، والتتبع في yzالطائرة هي مجرد سطر واحد.

تتكون الأسطح الأسطوانية من مجموعة من الخطوط المتوازية. ومع ذلك ، لم يتم إنشاء جميع الأسطح ذات الأبعاد الثلاثة بهذه البساطة. نستكشف الآن أسطحًا أكثر تعقيدًا ، وتعد الآثار أداة مهمة في هذا التحقيق.

الأسطح الرباعية

لقد تعلمنا عن الأسطح ذات الأبعاد الثلاثة الموصوفة بواسطة معادلات من الدرجة الأولى ؛ هذه طائرات. يمكن وصف بعض الأنواع الشائعة الأخرى من الأسطح بواسطة معادلات من الدرجة الثانية. يمكننا عرض هذه الأسطح على أنها امتدادات ثلاثية الأبعاد للمقاطع المخروطية التي ناقشناها سابقًا: القطع الناقص ، والقطع المكافئ ، والقطع الزائد. نسمي هذه الرسوم البيانية الأسطح الرباعية

التعريف: الأسطح الرباعية والمقاطع المخروطية

الأسطح الرباعية هي الرسوم البيانية للمعادلات التي يمكن التعبير عنها في النموذج

[Ax ^ 2 + By ^ 2 + Cz ^ 2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Jz + K = 0. ]

عندما يتقاطع سطح رباعي مع مستوى إحداثيات ، يكون التتبع مقطعًا مخروطيًا.

ان بيضاوي هو سطح موصوف بمعادلة على شكل ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {z ^ 2} {c ^ 2} = 1. ) اضبط (س = 0 ) لترى تتبع الشكل البيضاوي في ملف yz-طائرة. لرؤية الآثار في الطائرات (xy ) - و (xz ) - ، قم بتعيين (z = 0 ) و (y = 0 ) ، على التوالي. لاحظ أنه إذا (أ = ب ) ، فإن التتبع في المستوى (س ص ) هو دائرة. وبالمثل ، إذا كان (a = c ) ، فإن التتبع في (xz ) - الطائرة عبارة عن دائرة ، وإذا كان (b = c ) ، فإن التتبع في (yz ) - الطائرة هو دائرة. إذن ، الكرة هي شكل بيضاوي مع (أ = ب = ج. )

مثال ( PageIndex {2} ): رسم شكل إهليلجي

ارسم الشكل الإهليلجي

[ dfrac {x ^ 2} {2 ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {3 ^ 2} + dfrac {z ^ 2} {5 ^ 2} = 1. ]

المحلول

ابدأ برسم الآثار. للعثور على التتبع في ملف س ص-طائرة ، اضبط (z = 0: dfrac {x ^ 2} {2 ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {3 ^ 2} = 1 ) (الشكل ( PageIndex {7} ) ). للعثور على الآثار الأخرى ، قم أولاً بتعيين (y = 0 ) ثم قم بتعيين (x = 0. )

الآن بعد أن عرفنا آثار هذا الشكل الصلب ، يمكننا رسم السطح بثلاثة أبعاد (الشكل ( PageIndex {8} )).

إن أثر الشكل الإهليلجي هو شكل بيضاوي في كل مستوى من مستويات الإحداثيات. ومع ذلك ، لا يجب أن يكون هذا هو الحال بالنسبة لجميع الأسطح الرباعية. العديد من الأسطح الرباعية لها آثار هي أنواع مختلفة من المقاطع المخروطية ، وعادة ما يشار إليها باسم السطح. على سبيل المثال ، إذا كان من الممكن وصف السطح بمعادلة النموذج

[ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = dfrac {z} {c} ]

ثم نسمي ذلك السطح ب مكافئ بيضاوي الشكل. تتبع في س ص- الطائرة عبارة عن قطع ناقص ، ولكن الآثار الموجودة في xz-طائرة و yz- الطائرة هي قطع مكافئ (الشكل ( PageIndex {9} )). يمكن أن يكون للمركبات المكافئة البيضاوية الأخرى اتجاهات أخرى ببساطة عن طريق تبادل المتغيرات لتعطينا متغيرًا مختلفًا في المصطلح الخطي للمعادلة ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {z ^ 2} {c ^ 2} = dfrac {y} {b} ) أو ( dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {z ^ 2} {c ^ 2} = dfrac {x} {a} ).

مثال ( PageIndex {3} ): تحديد آثار الأسطح الرباعية

صِف آثار المكافئ البيضاوي (x ^ 2 + dfrac {y ^ 2} {2 ^ 2} = dfrac {z} {5} ).

المحلول

للعثور على التتبع في المستوى (xy ) - ، اضبط (z = 0: x ^ 2 + dfrac {y ^ 2} {2 ^ 2} = 0. ) التتبع في المستوى (z = 0 ) هي ببساطة نقطة واحدة ، الأصل. نظرًا لأن نقطة واحدة لا تخبرنا ماهية الشكل ، فيمكننا تحريك محور (z ) إلى مستوى عشوائي للعثور على شكل آثار أخرى للشكل.

التتبع في المستوى (z = 5 ) هو الرسم البياني للمعادلة (x ^ 2 + dfrac {y ^ 2} {2 ^ 2} = 1 ) ، وهو قطع ناقص. في المستوى (xz ) - تصبح المعادلة (z = 5x ^ 2 ). التتبع عبارة عن قطع مكافئ في هذا المستوى وفي أي مستوى بالمعادلة (y = b ).

في المستويات الموازية للمستوى (yz ) - ، تكون الآثار أيضًا قطع مكافئ ، كما نرى في الشكل ( PageIndex {10} ).

تمرين ( PageIndex {2} ):

الشكل الزائد للورقة الواحدة هو أي سطح يمكن وصفه بمعادلة بالصيغة ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} - dfrac {z ^ 2} {c ^ 2} = 1 ). صِف آثار الشكل الزائد للورقة الواحدة المعطاة بالمعادلة ( dfrac {x ^ 2} {3 ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {2 ^ 2} - dfrac {z ^ 2} {5 ^ 2} = 1. )

تلميح

للعثور على الآثار في مستويات الإحداثيات ، اضبط كل متغير على صفر على حدة.

إجابه

الآثار الموازية لـ (xy ) - الطائرة هي علامات بيضاوية والآثار الموازية للمستويات (xz ) - و (yz ) - هي قطع زائد. على وجه التحديد ، التتبع في المستوى (xy ) - هو القطع الناقص ( dfrac {x ^ 2} {3 ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {2 ^ 2} = 1، ) التتبع في (xz ) - المستوى هو القطع الزائد ( dfrac {x ^ 2} {3 ^ 2} - dfrac {z ^ 2} {5 ^ 2} = 1، ) والتتبع في (yz ) - الطائرة عبارة عن قطع زائد ( dfrac {y ^ 2} {2 ^ 2} - dfrac {z ^ 2} {5 ^ 2} = 1 ) (انظر الشكل التالي).

Hyperboloids من ورقة واحدة لها بعض الخصائص الرائعة. على سبيل المثال ، يمكن إنشاؤها باستخدام خطوط مستقيمة ، كما هو الحال في التمثال في الشكل ( PageIndex {1a} ). في الواقع ، غالبًا ما يتم إنشاء أبراج التبريد لمحطات الطاقة النووية على شكل أسطواني. يستطيع البناة استخدام عوارض فولاذية مستقيمة في البناء ، مما يجعل الأبراج قوية جدًا أثناء استخدام مواد قليلة نسبيًا (الشكل ( PageIndex {1b} )).

مثال ( PageIndex {4} ): افتتاحية الفصل: إيجاد بؤرة عاكس القطع المكافئ

تتركز الطاقة التي تصطدم بسطح عاكس مكافئ عند النقطة المحورية للعاكس (الشكل ( فهرس الصفحة {12} )). إذا تم وصف سطح عاكس مكافئ بالمعادلة ( dfrac {x ^ 2} {100} + dfrac {y ^ 2} {100} = dfrac {z} {4}، ) فأين المركز نقطة العاكس؟

المحلول

منذ ض هو متغير القدرة الأول ، يتوافق محور العاكس مع محور (ض ). معاملات (x ^ 2 ) و (y ^ 2 ) متساوية ، لذا فإن المقطع العرضي للبارابولويد المتعامد مع (z ) - هو دائرة. يمكننا النظر في أثر في xzالطائرة أو yz-طائرة؛ النتيجة هي نفسها. الإعداد (y = 0 ) ، يكون التتبع عبارة عن قطع مكافئ مفتوح على طول (z ) - المحور ، مع المعادلة القياسية (x ^ 2 = 4pz ) ، حيث (p ) هو الطول البؤري لـ القطع المكافئ. في هذه الحالة ، تصبح هذه المعادلة (x ^ 2 = 100⋅ dfrac {z} {4} = 4pz ) أو (25 = 4p ). إذن ، p هي (6.25 ) m ، مما يخبرنا أن تركيز المكافئ هو (6.25 ) م أعلى المحور من الرأس. نظرًا لأن رأس هذا السطح هو الأصل ، فإن النقطة المحورية هي ((0،0،6.25). )

يمكن اشتقاق سبعة عشر سطحًا رباعيًا قياسيًا من المعادلة العامة

[Ax ^ 2 + By ^ 2 + Cz ^ 2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Jz + K = 0. ]

الأرقام التالية تلخص أهمها.

مثال ( PageIndex {5} ): تحديد معادلات الأسطح الرباعية

حدد السطوح التي تمثلها المعادلات الآتية.

  1. (16x ^ 2 + 9y ^ 2 + 16z ^ 2 = 144 )
  2. (9x ^ 2−18x + 4y ^ 2 + 16y − 36z + 25 = 0 )

المحلول

أ. المصطلحات (x ، y ، ) و (z ) كلها مربعة ، وكلها موجبة ، لذلك من المحتمل أن يكون هذا شكل بيضاوي. ومع ذلك ، دعونا نضع المعادلة في الشكل القياسي للقطع الناقص للتأكد فقط. لدينا

[16x ^ 2 + 9y ^ 2 + 16z ^ 2 = 144. لا يوجد رقم]

قسمة 144 يعطي

[ dfrac {x ^ 2} {9} + dfrac {y ^ 2} {16} + dfrac {z ^ 2} {9} = 1. لا يوجد رقم]

إذن ، هذا ، في الواقع ، شكل بيضاوي ، متمركز في الأصل.

ب. نلاحظ أولاً أن الحد (z ) يتم رفعه إلى القوة الأولى فقط ، لذلك إما أن يكون مكافئًا بيضاويًا أو مكافئًا قطعيًا. نلاحظ أيضًا أن هناك (x ) مصطلحات و (y ) غير مربعة ، لذلك لا يتم توسيط هذا السطح التربيعي في الأصل. نحتاج إلى إكمال المربع لوضع هذه المعادلة في إحدى الصور القياسية. لدينا

[ start {align *} 9x ^ 2−18x + 4y ^ 2 + 16y − 36z + 25 = 0 [4pt] 9x ^ 2−18x + 4y ^ 2 + 16y + 25 = 36z [4pt] 9 (x ^ 2−2x) +4 (y ^ 2 + 4y) +25 = 36z [4pt] 9 (x ^ 2−2x + 1−1) +4 (y ^ 2 + 4y + 4−4 ) +25 = 36z [4pt] 9 (x − 1) ^ 2−9 + 4 (y + 2) ^ 2−16 + 25 = 36z [4pt] 9 (x − 1) ^ 2 + 4 (y + 2) ^ 2 = 36z [4pt] dfrac {(x − 1) ^ 2} {4} + dfrac {(y − 2) ^ 2} {9} = z. النهاية {محاذاة *} ]

هذا شكل مكافئ بيضاوي متمركز في ((1،2،0). )

تمرين ( PageIndex {3} )

حدد السطح الذي تمثله المعادلة (9x ^ 2 + y ^ 2 − z ^ 2 + 2z − 10 = 0. )

تلميح

انظر إلى علامات وقوى المصطلحات (x، y ) و (z )

إجابه

شكل زائدي من ورقة واحدة ، متمركز عند ((0،0،1) ).

المفاهيم الرئيسية

  • تسمى مجموعة الخطوط الموازية لخط معين يمر عبر منحنى معين أ اسطوانة أو سطح أسطواني. تسمى الخطوط المتوازية أحكام.
  • يُطلق على تقاطع السطح ثلاثي الأبعاد والمستوى اسم التتبع. للعثور على التتبع في (س ص )-, (ص )-أو (xz )-الطائرات ، مجموعة (ض = 0 ، س = 0 ، ) أو (ص = 0 ، ) على التوالي.
  • الأسطح الرباعية هي أسطح ثلاثية الأبعاد مع آثار تتكون من مقاطع مخروطية. يمكن التعبير عن كل سطح رباعي بمعادلة الشكل

[Ax ^ 2 + By ^ 2 + Cz ^ 2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Jz + K = 0. لا يوجد رقم]

  • لرسم الرسم البياني لسطح رباعي ، ابدأ برسم الآثار لفهم إطار السطح.
  • تم تلخيص الأسطح الرباعية المهمة في الأشكال ( PageIndex {13} ) و ( PageIndex {14} ).

قائمة المصطلحات

اسطوانة
مجموعة من الخطوط الموازية لخط معين يمر عبر منحنى معين
بيضاوي
سطح ثلاثي الأبعاد موصوف بمعادلة على شكل ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {z ^ 2} {c ^ 2} = 1 ) ؛ كل آثار هذا السطح هي علامات حذف
مخروط بيضاوي
سطح ثلاثي الأبعاد موصوف بمعادلة على شكل ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} - dfrac {z ^ 2} {c ^ 2} = 0 ) ؛ آثار هذا السطح تشمل الحذف والخطوط المتقاطعة
مكافئ بيضاوي الشكل
سطح ثلاثي الأبعاد موصوف بمعادلة على شكل (z = dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} ) ؛ آثار هذا السطح تشمل الحذف والقطوع المكافئة
مفرط مفرط من ورقة واحدة
سطح ثلاثي الأبعاد موصوف بمعادلة على شكل ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} - dfrac {z ^ 2} {c ^ 2} = 1 ؛ ) تشمل آثار هذا السطح علامات الحذف والقطوع الزائدة
أسطواني من ورقتين
سطح ثلاثي الأبعاد موصوف بمعادلة على شكل ( dfrac {z ^ 2} {c ^ 2} - dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) ؛ وتشمل آثار هذا السطح علامات الحذف والقطوع الزائدة
الأسطح الرباعية
الأسطح ذات الأبعاد الثلاثة التي لها خاصية أن آثار السطح عبارة عن مقاطع مخروطية (علامات ناقصة ، وقطوع زائدة ، وقطوع مكافئة)
أحكام
خطوط متوازية تشكل سطحًا أسطوانيًا
أثر
تقاطع سطح ثلاثي الأبعاد مع مستوى إحداثيات

الرياضيات UN1201: حساب التفاضل والتكامل III (القسمان 006 و 007) خريف 2020

الوقت والمكان: القسم 006: الثلاثاء والخميس 2: 40-3: 55 مساءً عبر الإنترنت. القسم 007: الثلاثاء والخميس 4: 10-5: 25 مساءً عبر الإنترنت.

معلم: إنبار كلانج ([email protected]) ، الضمائر: هي / هي / لها

ساعات العمل: الثلاثاء والخميس 5: 40-7: 10 مساءً عبر الإنترنت

مساعدو التدريس: يُعلن لاحقًا

ساعات مكتب TA: عقدت في غرفة مساعدة الرياضيات الافتراضية.

كتاب مدرسي: حساب التفاضل والتكامل: التجاوزات المبكرة ، الطبعة الثامنة ، بقلم جيمس ستيوارت

المتطلبات المسبقة: الشرط المسبق لهذه الدورة هو حساب التفاضل والتكامل 1 أو ما يعادله. لمزيد من المعلومات حول حساب التفاضل والتكامل في كولومبيا ، اقرأ عن تسلسل حساب التفاضل والتكامل.

ملخص: مرحبا بكم في حساب التفاضل والتكامل III! سنتناول الموضوعات التالية:

  • المتجهات وهندسة الفضاء (القسم 10.5 والفصل 12)
  • دالات المتجهات (الفصل 13)
  • دوال المتغيرات المتعددة والمشتقات الجزئية (الفصل 14)

ملاحظات الدورة: هنا. سيتم تحديث هذا عندما أكتب ملاحظات لمزيد من أقسام الكتب المدرسية.

الواجب المنزلي

إسناد قيمة تاريخ الاستحقاق
1 HW 1 15 سبتمبر الساعة 11 مساءً
2 HW 2 22 سبتمبر الساعة 11 مساءً
3 HW 3 29 سبتمبر الساعة 11 مساءً
4 HW 4 13 أكتوبر الساعة 11 مساءً
5 HW 5 20 أكتوبر الساعة 11 مساءً
6 HW 6 27 أكتوبر الساعة 11 مساءً
7 HW 7 4 نوفمبر الساعة 11 مساءً
8 HW 8 17 نوفمبر الساعة 11 مساءً
9 HW 9 24 نوفمبر الساعة 11 مساءً
10 HW 10 1 ديسمبر الساعة 11 مساءً
11 HW 11 8 ديسمبر الساعة 11 مساءً
12 HW 12 15 ديسمبر الساعة 11 مساءً

مواد لمنتصف المدة 1

10.1 صفحة 640-642 ، 10.3 صفحة 658-661 ، 10.5 ، 12.1-12.6 (بدون عزم أو عمل أو زوايا اتجاه / جيب تمام) ، 15.7 صفحة 1040-1041 ، 15.8 صفحة 1045-1046.

مواد لمنتصف المدة 2

الأقسام: 13.1 صفحة 848-851 ، 13.2 ، 13.3 (بدون دائرة متذبذبة) ، 13.4 صفحة 870-875 ، 14.1 ، 14.2 (لا يوجد تعريف أو وسيطات إبسيلون-دلتا) ، 14.3 صفحة 911-920 ، 14.4.

مواد للامتحان النهائي

جميع المواد السابقة ، و: الأقسام 14.5 و 14.6 و 14.7 صفحة 959-966 و 14.8 وصفحات الملحق H A57-A62.


حساب التفاضل والتكامل APEX

حتى هذه النقطة في هذا النص ، اعتبرنا الرياضيات في عالم ثنائي الأبعاد. لقد قمنا برسم الرسوم البيانية على مستوى (س ) - (ص ) باستخدام إحداثيات مستطيلة وقطبية ووجدنا مساحة المناطق في المستوى. لقد نظرنا في خصائص صلب كائنات ، مثل الحجم ومساحة السطح ، ولكن فقط عن طريق تحديد منحنى في المستوى أولاً ثم تدويره خارج المستوى.

على الرغم من وجود رياضيات رائعة لاستكشافها في "2D" ، فإننا نعيش في عالم "ثلاثي الأبعاد" وفي النهاية سنرغب في تطبيق الرياضيات التي تتضمن هذا البعد الثالث. في هذا القسم نقدم الإحداثيات الديكارتية في الفضاء ونستكشف الأسطح الأساسية. سيضع هذا الأساس لكثير مما نقوم به في الجزء المتبقي من النص.

يمكن تمثيل كل نقطة (P ) في الفضاء بثلاثية مرتبة ، (P = (أ ، ب ، ج) نص <،> ) حيث (أ نص <،> ) (ب ) و (ج ) يمثلان الموضع النسبي (ف ) على طول (س ) - ، (ص ) - و (ض ) - على التوالي. كل محور عمودي على المحورين الآخرين.

قد يكون تصور النقاط في الفضاء على الورق مشكلة ، لأننا نحاول تمثيل مفهوم ثلاثي الأبعاد على وسط ثنائي الأبعاد. لا يمكننا رسم ثلاثة خطوط تمثل المحاور الثلاثة التي يكون كل خط فيها متعامدًا على المحورين الآخرين. على الرغم من هذه المشكلة ، توجد اتفاقيات قياسية لرسم الأشكال في الفضاء والتي سنناقشها أكثر من كافية.

أحد الاصطلاحات هو أن المحاور يجب أن تتوافق مع حكم اليد اليمنى. تنص هذه القاعدة على أنه عندما يتم تمديد إصبع السبابة لليد اليمنى في اتجاه المحور الموجب (س ) ، والإصبع الأوسط (منحني "للداخل" بحيث يكون عموديًا على راحة اليد) يشير على طول الموجب (y ) - المحور ، ثم يشير الإبهام الممتد في اتجاه المحور (z ) - الموجب. (قد يستغرق الأمر بعض التفكير للتحقق من ذلك ، ولكن هذا النظام يختلف بطبيعته عن النظام الذي تم إنشاؤه باستخدام "قاعدة اليد اليسرى".)

طالما تم وضع محاور الإحداثيات بحيث تتبع هذه القاعدة ، فلا يهم كيف يتم رسم المحاور على الورق. هناك طريقتان شائعتان نناقشهما بإيجاز.

في الشكل 11.1.1 ، نرى النقطة (P = (2،1،3) ) مرسومة على مجموعة من المحاور. الاصطلاح الأساسي هنا هو أن المستوى (س ) - (ص ) مرسوم بطريقته القياسية ، مع المحور (ض ) - لأسفل إلى اليسار. المنظور هو أن الورقة تمثل مستوى (س ) - (ص ) وأن المحور الموجب (ض ) قادم من الصفحة. هذه الطريقة مفضلة من قبل العديد من المهندسين. نظرًا لأنه قد يكون من الصعب معرفة مكان وجود نقطة واحدة بالنسبة لجميع المحاور ، فقد تمت إضافة خطوط متقطعة للسماح للمرء برؤية مدى تواجد النقطة على طول كل محور.

يمكن للمرء أيضًا اعتبار المستوى (x ) - (y ) على أنه مستوى أفقي في غرفة ، على سبيل المثال ، حيث يشير المحور (z ) الموجب لأعلى. عندما يتراجع المرء وينظر إلى هذه الغرفة ، يمكن للمرء رسم المحاور كما هو موضح في الشكل 11.1.2. يتم رسم نفس النقطة (P ) ، مرة أخرى بخطوط متقطعة. يفضل معظم علماء الرياضيات وجهة النظر هذه ، وهي الاتفاقية التي اعتمدها هذا النص.

تمامًا كما تقسم المحاور (س ) - و (ص ) - المستوى إلى أربعة الأرباع، و (س ) - ، (ص ) - ، و (ض ) - تنسيق المستويات تقسم المساحة إلى ثمانية ثماني. الثماني الذي تكون فيه (x text <،> ) (y text <،> ) و (z ) موجبة تسمى أول ثماني. لم نقم بتسمية الثمانيات السبع الأخرى في هذا النص.

القسم الفرعي 11.1.1 قياس المسافات

من الأهمية بمكان معرفة كيفية قياس المسافات بين النقاط في الفضاء. تعتمد معادلة القيام بذلك على قياس المسافة في المستوى ، وهي معروفة (في كلا السياقين) كمقياس إقليدي للمسافة.

التعريف 11.1.3. المسافة في الفضاء.

لنفترض أن (P = (x_1، y_1، z_1) ) و (Q = (x_2، y_2، z_2) ) نقطتان في الفضاء. المسافة (د ) بين (ف ) و (س ) هي

نشير إلى مقطع الخط الذي يربط النقاط (P ) و (Q ) في الفضاء كـ ( overline text <،> ) والإشارة إلى طول هذا المقطع كـ ( norm < overline> text <.> ) تسمح لنا صيغة المسافة أعلاه بحساب طول هذا الجزء.

مثال 11.1.4. طول قطعة مستقيمة.

دع (P = (1،4، -1) ) ودعنا (Q = (2،1،1) text <.> ) ارسم مقطع الخط ( overline) وابحث عن طوله.

تم رسم النقاط (P ) و (Q ) في الشكل 11.1.5 ، ولا يلزم إيلاء اعتبار خاص لرسم مقطع خط يربط بين هاتين النقطتين ببساطة وربطهما بخط مستقيم. واحد لا تستطيع في الواقع ، قم بقياس هذا السطر على الصفحة واستنتاج أي شيء له معنى يجب قياس طوله الحقيقي تحليليًا. تطبيق التعريف 11.1.3 ، لدينا

القسم الفرعي 11.1.2 المجالات

تمامًا كما الدائرة هي مجموعة جميع النقاط في طائرة على مسافة متساوية من نقطة معينة (مركزها) ، الكرة هي مجموعة جميع النقاط في الفراغ التي تكون على مسافة متساوية من نقطة معينة. يسمح لنا التعريف 11.1.3 بكتابة معادلة للكرة.

نبدأ بنقطة (C = (أ ، ب ، ج) ) وهي أن تكون مركز كرة بنصف قطر (r نص <.> ) إذا كانت النقطة (P = (س ، ص) ، z) ) تقع على الكرة ، ثم (P ) هي (r ) وحدات من (C text <> ) أي ،

بتربيع كلا الجانبين ، نحصل على المعادلة القياسية للكرة في الفضاء مع المركز عند (C = (أ ، ب ، ج) ) بنصف قطر (r نص <،> ) كما هو موضح في الفكرة الرئيسية التالية.

الفكرة الرئيسية 11.1.6. المعادلة القياسية للكرة في الفضاء.

المعادلة القياسية للكرة ذات نصف القطر (r text <،> ) المتمركزة في (C = (أ ، ب ، ج) نص <،> ) هي

مثال 11.1.7. معادلة الكرة.

ابحث عن مركز ونصف قطر الكرة المحددة بواسطة (x ^ 2 + 2x + y ^ 2-4y + z ^ 2-6z = 2 text <.> )

لتحديد المركز ونصف القطر ، يجب أن نضع المعادلة في الصورة القياسية. هذا يتطلب منا إكمال المربع (ثلاث مرات).

تتمركز الكرة عند ((- 1،2،3) ) ولها نصف قطر 4.

معادلة الكرة هي مثال على وظيفة ضمنية تحدد سطحًا في الفضاء. في حالة الكرة ، يتم استخدام جميع المتغيرات (x text <،> ) (y ) و (z ). نحن الآن نأخذ في الاعتبار المواقف التي يتم فيها تحديد الأسطح حيث يكون واحد أو اثنين من هذه المتغيرات غائبة.

القسم الفرعي 11.1.3 مقدمة عن الطائرات في الفضاء

تحدد محاور الإحداثيات بشكل طبيعي ثلاث مستويات (كما هو موضح في الشكل 11.1.8) ، فإن تنسيق الطائرات: الطائرة (س ) - (ص ) ، الطائرة (ص ) - (ض ) والطائرة (س ) - (ض ). يتم تمييز المستوى (x ) - (y ) على أنه مجموعة من جميع النقاط في الفضاء حيث تكون القيمة (z ) - 0. هذا ، في الواقع ، يعطينا معادلة تصف هذا المستوى: (z = 0 text <.> ) وبالمثل ، فإن الطائرة (x ) - (z ) هي جميع النقاط التي تكون فيها (y ) - القيمة 0 ، وتتميز بـ (y = 0 text <.> )

تصف المعادلة (x = 2 ) جميع النقاط في الفراغ حيث تكون القيمة (x ) - 2. هذا مستوى موازيًا لمستوى الإحداثي (y ) - (z ) الموضح في الشكل 11.1.9.

مثال 11.1.10. المناطق التي تحددها الطائرات.

ارسم المنطقة المحددة بواسطة المتباينات (- 1 leq y leq 2 text <.> )

المنطقة هي جميع النقاط الواقعة بين المستويات (ص = -1 ) و (ص = 2 نص <.> ) تم رسم هذه المستويات في الشكل 11.1.11 ، والتي تتوازى مع (س ) - (ض ) الطائرة. وبالتالي فإن المنطقة تمتد بلا حدود في اتجاهي (س ) و (ض ) ، وتحدها مستويات في اتجاه (ص ).

القسم الفرعي 11.1.4 الاسطوانات

من الواضح أن المعادلة (x = 1 ) تفتقر إلى المتغيرات (y ) و (z ) ، مما يعني أنها تحدد النقاط التي يمكن أن تأخذ فيها الإحداثيات (y ) و (z ) أي قيمة. الآن ضع في اعتبارك المعادلة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) في الفضاء. في الطائرة، هذه المعادلة تصف دائرة نصف قطرها 1 ، تتمحور حول نقطة الأصل. في الفضاء ، الإحداثي (z ) غير محدد ، مما يعني أنه يمكن أن يأخذ أي قيمة. في الشكل 11.1.12 (أ) ، نعرض جزءًا من الرسم البياني للمعادلة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) من خلال رسم 3 دوائر: الجزء السفلي يحتوي على قيمة ثابتة (z ) - من (- 1.5 text <،> ) تحتوي الدائرة الوسطى على (z ) - القيمة 0 والدائرة العلوية لها (z ) - القيمة 1. بالتخطيط الكل ممكن (ض ) - القيم ، نحصل على السطح الموضح في الشكل 11.1.12. (ب). هذا السطح يشبه "الأنبوب" أو "الأسطوانة". يسمي علماء الرياضيات هذا السطح أ اسطوانة لسبب مختلف تمامًا.

التعريف 11.1.13. اسطوانة.

لنفترض (C ) أن يكون منحنى في مستو وأن (L ) يكون خطًا غير موازٍ لـ (C text <.> ) A هي مجموعة جميع الأسطر الموازية لـ (L ) التي المرور من خلال (C text <.> ) المنحنى (C ) هو الأسطوانة ، والخطوط هي.

في هذا النص ، نأخذ في الاعتبار المنحنيات (C ) التي تقع في مستويات موازية لأحد مستويات الإحداثيات ، والخطوط (L ) المتعامدة مع هذه المستويات ، وتشكل الاسطوانات الصحيحة. وبالتالي يمكن تعريف الدليل باستخدام المعادلات التي تتضمن متغيرين ، وستكون الأحكام موازية لمحور المتغير الثالث.

في المثال السابق للتعريف ، المنحنى (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) في المستوى (x ) - (y ) هو الدليل والأحكام هي خطوط موازية لـ (z )-محور. (يمكن اعتبار أي دائرة موضحة في الشكل 11.1.12 دليلاً ، فنحن ببساطة نختار الدائرة حيث (z = 0 text <.> )) يمكن أيضًا عرض نماذج الأحكام في الشكل 11.1.12. (ب). المزيد من الأمثلة ستساعدنا في فهم هذا التعريف.

مثال 11.1.14. اسطوانات الرسم البياني.

ارسم الأسطوانات التالية.

يمكننا عرض المعادلة (z = y ^ 2 ) على أنها قطع مكافئ في مستوى (y ) - (z ) ، كما هو موضح في الشكل 11.1.15. (أ). نظرًا لأن (x ) لا يظهر في المعادلة ، فإن الأحكام عبارة عن خطوط من خلال هذا القطع المكافئ الموازية للمحور (x ) ، كما هو موضح في الشكل 11.1.15. (ب). تعطي هذه الأحكام فكرة عامة عن شكل السطح ، مرسوم في الشكل 11.1.15. (ج).

يمكننا عرض المعادلة (x = sin (z) ) كمنحنى جيب موجود في مستوى (x ) - (z ) ، كما هو موضح في الشكل 11.1.16. (أ). القواعد موازية لمحور (ص ) حيث أن المتغير (ص ) لا يظهر في المعادلة (س = الخطيئة (ض) نص <> ) يظهر بعضها في الشكل 11.1. 16. (ب). يظهر السطح في الشكل 11.1.16. (ج).

القسم الفرعي 11.1.5 سطوح الثورة

كان أحد تطبيقات التكامل التي تعلمناها سابقًا هو العثور على حجم المواد الصلبة للثورة - المواد الصلبة التي تكونت من خلال تدوير منحنى حول محور أفقي أو عمودي. نحن الآن نفكر في كيفية إيجاد معادلة سطح مثل هذه المادة الصلبة.

ضع في اعتبارك السطح المتكون من الدوران (y = sqrt) حول محور (س ). المقاطع العرضية لهذا السطح الموازية للمستوى (y ) - (z ) هي دوائر ، كما هو موضح في الشكل 11.1.17. (أ). تحتوي كل دائرة على معادلة بالصيغة (y ^ 2 + z ^ 2 = r ^ 2 ) لبعض نصف القطر (r text <.> ) نصف القطر هو دالة (x text <> ) في الواقع ، هو (r (x) = sqrt text <.> ) وبالتالي فإن معادلة السطح الموضحة في الشكل 11.1.17. (ب) هي (y ^ 2 + z ^ 2 = ( sqrt) ^ 2 نص <.> )

نقوم بتعميم المبادئ المذكورة أعلاه لإعطاء معادلات الأسطح التي تكونت من خلال منحنيات دوارة حول محاور الإحداثيات.

الفكرة الرئيسية 11.1.18. سطوح الثورة ، الجزء الأول.

لنفترض أن (r ) دالة نصف قطر.

تشكل معادلة السطح بالدوران (y = r (x) ) أو (z = r (x) ) حول (x ) - المحور (y ^ 2 + z ^ 2 = r (خ) ^ 2 نص <.> )

معادلة السطح المكونة بالدوران (x = r (y) ) أو (z = r (y) ) حول (y ) - المحور (x ^ 2 + z ^ 2 = r (ص) ^ 2 نص <.> )

تشكل معادلة السطح بالدوران (x = r (z) ) أو (y = r (z) ) حول (z ) - المحور (x ^ 2 + y ^ 2 = r (ض) ^ 2 نص <.> )

مثال 11.1.19. إيجاد معادلة لسطح الثورة.

دع (y = sin (z) ) على ([0، pi] text <.> ) أوجد معادلة سطح الثورة المتكونة بالدوران (y = sin (z) ) حول المحور (ض ).

باستخدام Key Idea 11.1.18 ، نجد أن السطح يحتوي على معادلة (x ^ 2 + y ^ 2 = sin ^ 2 (z) text <.> ) تم رسم المنحنى في الشكل 11.1.20. (أ) ويرسم السطح في الشكل 11.1.20. (ب).

لاحظ كيف أن السطح (ومن ثم المعادلة الناتجة) هو نفسه إذا بدأنا بالمنحنى (x = sin (z) text <،> ) المرسوم أيضًا في الشكل 11.1.20. (أ).

هذه الطريقة الخاصة لإنشاء أسطح الثورة محدودة. على سبيل المثال ، في المثال 7.3.11 من القسم 7.3 وجدنا حجم المادة الصلبة المتكونة من الدوران (y = sin (x) ) حول (y ) - المحور. طريقتنا الحالية في تشكيل الأسطح يمكنها فقط أن تدور (y = sin (x) ) حول (x ) - المحور. محاولة إعادة كتابة (y = sin (x) ) كدالة لـ (y ) ليست تافهة ، حيث أن مجرد كتابة (x = sin ^ <-1> (y) ) يعطي فقط جزءًا من المنطقة التي نرغب فيها.

ما نرغب فيه هو طريقة لكتابة سطح الثورة المتكون من تدوير (y = f (x) ) حول (y ) - المحور. نبدأ بالتعرف أولاً على أن هذا السطح هو نفسه الذي يدور (z = f (x) ) حول (z ) - المحور. سيعطينا هذا طريقة أكثر طبيعية لمشاهدة السطح.

قيمة (س ) هي قياس المسافة من (ض ) - المحور. على مسافة (r text <،> ) نرسم a (z ) - ارتفاع (f (r) text <.> ) عند التدوير (f (x) ) حول (ض ) - المحور ، نريد أن يكون لكل النقاط مسافة (r ) من (ض ) - المحور في (س ) - (ص ) أن يكون لها (ض ) -ارتفاع (f (r) text <.> ) كل هذه النقاط تفي بالمعادلة (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 text <> ) وبالتالي (r = sqrt text <.> ) استبدال (r ) بـ ( sqrt) في (f (r) ) يعطي (z = f ( sqrt) text <.> ) هذه هي معادلة السطح.

الفكرة الرئيسية 11.1.21. سطوح الثورة ، الجزء الثاني.

لنفترض أن (z = f (x) text <،> ) (x geq 0 text <،> ) يكون منحنى في مستوى (x ) - (z ). السطح الذي تم تشكيله من خلال تدوير هذا المنحنى حول (z ) - يحتوي المحور على معادلة (z = f big ( sqrt كبير) نص <.> )

مثال 11.1.22. إيجاد معادلة سطح الثورة.

أوجد معادلة السطح التي تم العثور عليها بالدوران (z = sin (x) ) حول (z ) - المحور.

باستخدام Key Idea 11.1.21 ، يحتوي السطح على معادلة (z = sin big ( sqrt كبير) نص <.> ) تم رسم المنحنى والسطح في الشكل 11.1.23.


حساب التفاضل والتكامل APEX

حتى هذه النقطة في هذا النص ، اعتبرنا الرياضيات في عالم ثنائي الأبعاد. لقد قمنا برسم الرسوم البيانية على (xy ) - المستوى باستخدام إحداثيات مستطيلة وقطبية ووجدنا مساحة المناطق في المستوى. لقد نظرنا في خصائص صلب كائنات ، مثل الحجم ومساحة السطح ، ولكن فقط عن طريق تحديد منحنى في المستوى أولاً ثم تدويره خارج المستوى.

على الرغم من وجود رياضيات رائعة لاستكشافها في "2D" ، فإننا نعيش في عالم "ثلاثي الأبعاد" وفي النهاية سنرغب في تطبيق الرياضيات التي تتضمن هذا البعد الثالث. في هذا القسم نقدم الإحداثيات الديكارتية في الفضاء ونستكشف الأسطح الأساسية. سيضع هذا الأساس لكثير مما نقوم به في الجزء المتبقي من النص.

يمكن تمثيل كل نقطة (P ) في الفضاء بثلاثية مرتبة ، (P = (أ ، ب ، ج) نص <،> ) حيث (أ نص <،> ) (ب ) و (ج ) يمثلان الموضع النسبي (ف ) على طول (س ) - ، (ص ) - و (ض ) - على التوالي. كل محور عمودي على المحورين الآخرين.

قد يكون تصور النقاط في الفضاء على الورق مشكلة ، لأننا نحاول تمثيل مفهوم ثلاثي الأبعاد على وسيط ثنائي الأبعاد. لا يمكننا رسم ثلاثة خطوط تمثل المحاور الثلاثة حيث يكون كل خط متعامدًا على المحورين الآخرين. على الرغم من هذه المشكلة ، توجد اتفاقيات قياسية لرسم الأشكال في الفضاء والتي سنناقشها أكثر من كافية.

أحد الاصطلاحات هو أن المحاور يجب أن تتوافق مع حكم اليد اليمنى. تنص هذه القاعدة على أنه عندما يتم تمديد إصبع السبابة لليد اليمنى في اتجاه المحور الموجب (س ) ، والإصبع الأوسط (منحني "للداخل" بحيث يكون عموديًا على راحة اليد) يشير على طول الموجب (y ) - المحور ، ثم يشير الإبهام الممتد في اتجاه المحور (z ) - الموجب. (قد يستغرق الأمر بعض التفكير للتحقق من ذلك ، ولكن هذا النظام يختلف بطبيعته عن النظام الذي تم إنشاؤه باستخدام "قاعدة اليد اليسرى".)

طالما تم وضع محاور الإحداثيات بحيث تتبع هذه القاعدة ، فلا يهم كيف يتم رسم المحاور على الورق. هناك طريقتان شائعتان نناقشهما بإيجاز.

في الشكل 12.1.1 ، نرى النقطة (P = (2،1،3) ) مرسومة على مجموعة من المحاور. الاصطلاح الأساسي هنا هو أن المستوى (س ص ) - مرسوم بطريقته القياسية ، مع المحور (ض ) - لأسفل إلى اليسار. المنظور هو أن الورقة تمثل المستوى (س ص ) - والمحور الموجب (ض ) قادم من الصفحة. هذه الطريقة مفضلة من قبل العديد من المهندسين. نظرًا لأنه قد يكون من الصعب معرفة مكان وجود نقطة واحدة بالنسبة لجميع المحاور ، فقد تمت إضافة خطوط متقطعة للسماح للمرء برؤية مدى تواجد النقطة على طول كل محور.

يمكن للمرء أيضًا اعتبار المستوى (xy ) - على أنه مستوى أفقي في غرفة ، على سبيل المثال ، حيث يشير المحور الموجب (z ) - لأعلى. عندما يتراجع المرء وينظر إلى هذه الغرفة ، يمكن للمرء رسم المحاور كما هو موضح في الشكل 12.1.2. يتم رسم نفس النقطة (P ) ، مرة أخرى بخطوط متقطعة. يفضل معظم علماء الرياضيات وجهة النظر هذه ، وهي الاتفاقية التي اعتمدها هذا النص.

تمامًا مثل المحاور (x ) - و (y ) - تقسم الطائرة إلى أربعة الأرباع، و (س ) - ، (ص ) - ، و (ض ) - تنسيق المستويات تقسم المساحة إلى ثمانية ثماني. الثماني الذي تكون فيه (x text <،> ) (y text <،> ) و (z ) موجبة تسمى أول ثماني. لم نذكر الثماني السبع الأخرى في هذا النص.

القسم الفرعي 12.1.1 قياس المسافات

من الأهمية بمكان معرفة كيفية قياس المسافات بين النقاط في الفضاء. تعتمد صيغة القيام بذلك على قياس المسافة في المستوى ، وتُعرف (في كلا السياقين) بالمقياس الإقليدي للمسافة.

التعريف 12.1.3. المسافة في الفضاء.

لنفترض أن (P = (x_1، y_1، z_1) ) و (Q = (x_2، y_2، z_2) ) نقطتان في الفضاء. المسافة (د ) بين (ف ) و (س ) هي

نشير إلى مقطع الخط الذي يربط النقاط (P ) و (Q ) في الفضاء كـ ( overline text <،> ) والإشارة إلى طول هذا المقطع كـ ( norm < overline> text <.> ) تسمح لنا صيغة المسافة أعلاه بحساب طول هذا الجزء.

مثال 12.1.4. طول قطعة مستقيمة.

دع (P = (1،4، -1) ) ودع (Q = (2،1،1) text <.> ) ارسم مقطع الخط ( overline) وابحث عن طوله.

تم رسم النقاط (P ) و (Q ) في الشكل 12.1.5 ، ولا يلزم إيلاء اعتبار خاص لرسم مقطع خط يربط بين هاتين النقطتين ببساطة وربطهما بخط مستقيم. واحد لا تستطيع في الواقع ، قم بقياس هذا السطر على الصفحة واستنتاج أي شيء له معنى يجب قياس طوله الحقيقي تحليليًا. تطبيق التعريف 12.1.3 ، لدينا

القسم الفرعي 12.1.2 المجالات

تمامًا كما الدائرة هي مجموعة جميع النقاط في طائرة على مسافة متساوية من نقطة معينة (مركزها) ، الكرة هي مجموعة جميع النقاط في الفراغ التي تكون على مسافة متساوية من نقطة معينة.يسمح لنا التعريف 12.1.3 بكتابة معادلة للكرة.

نبدأ بنقطة (C = (أ ، ب ، ج) ) وهي أن تكون مركز كرة بنصف قطر (r نص <.> ) إذا كانت النقطة (P = (س ، ص) ، z) ) تقع على الكرة ، ثم (P ) هي (r ) وحدات من (C text <> ) أي ،

بتربيع كلا الجانبين ، نحصل على المعادلة القياسية للكرة في الفضاء مع المركز عند (C = (أ ، ب ، ج) ) بنصف قطر (r نص <،> ) كما هو موضح في الفكرة الرئيسية التالية.

الفكرة الرئيسية 12.1.6. المعادلة القياسية للكرة في الفضاء.

المعادلة القياسية للكرة ذات نصف القطر (r text <،> ) المتمركزة في (C = (أ ، ب ، ج) نص <،> ) هي

مثال 12.1.7. معادلة الكرة.

ابحث عن مركز ونصف قطر الكرة المحددة بواسطة (x ^ 2 + 2x + y ^ 2-4y + z ^ 2-6z = 2 text <.> )

لتحديد المركز ونصف القطر ، يجب أن نضع المعادلة في الصورة القياسية. هذا يتطلب منا إكمال المربع (ثلاث مرات).

تتمركز الكرة عند ((- 1،2،3) ) ولها نصف قطر 4.

معادلة الكرة هي مثال على وظيفة ضمنية تحدد سطحًا في الفضاء. في حالة الكرة ، يتم استخدام جميع المتغيرات (x text <،> ) (y ) و (z ). نحن الآن نأخذ في الاعتبار المواقف التي يتم فيها تحديد الأسطح حيث يكون واحد أو اثنين من هذه المتغيرات غائبة.

القسم الفرعي 12.1.3 مقدمة عن الطائرات في الفضاء

تحدد محاور الإحداثيات بشكل طبيعي ثلاث مستويات (كما هو موضح في الشكل 12.1.8) ، فإن تنسيق الطائرات: الطائرة (xy ) - الطائرة (yz ) - الطائرة (xz ) - الطائرة. يتم تمييز المستوى (xy ) - على أنه مجموعة من جميع النقاط في الفضاء حيث تكون (z ) - القيمة 0. هذا ، في الواقع ، يعطينا معادلة تصف هذا المستوى: (z = 0 ) text <.> ) وبالمثل ، فإن الطائرة (xz ) - هي جميع النقاط التي تكون فيها (y ) - القيمة 0 ، وتتميز بـ (y = 0 text <.> )

تصف المعادلة (x = 2 ) جميع النقاط في الفضاء حيث تكون (x ) - القيمة 2. هذا مستوى موازي لمستوى الإحداثي الموضح في الشكل 12.1.9.

مثال 12.1.10. المناطق التي تحددها الطائرات.

ارسم المنطقة المحددة بواسطة المتباينات (- 1 leq y leq 2 text <.> )

المنطقة هي جميع النقاط بين المستويات (ص = -1 ) و (ص = 2 نص <.> ) تم رسم هذه المستويات في الشكل 12.1.11 ، والتي تتوازى مع (xz ) - طائرة. وبالتالي فإن المنطقة تمتد بلا حدود في اتجاهي (س ) و (ض ) ، وتحدها مستويات في اتجاه (ص ).

القسم الفرعي 12.1.4 الاسطوانات

من الواضح أن المعادلة (x = 1 ) تفتقر إلى المتغيرات (y ) و (z ) ، مما يعني أنها تحدد النقاط التي يمكن أن تأخذ فيها الإحداثيات (y ) و (z ) أي قيمة. الآن ضع في اعتبارك المعادلة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) في الفضاء. في الطائرة، هذه المعادلة تصف دائرة نصف قطرها 1 ، تتمحور حول نقطة الأصل. في الفضاء ، الإحداثي (z ) غير محدد ، مما يعني أنه يمكن أن يأخذ أي قيمة. في الشكل 12.1.12 (أ) ، نعرض جزءًا من الرسم البياني للمعادلة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) من خلال رسم 3 دوائر: الجزء السفلي به قيمة ثابتة (z ) - من (- 1.5 text <،> ) تحتوي الدائرة الوسطى على (z ) - القيمة 0 والدائرة العلوية لها (z ) - القيمة 1. بالتخطيط الكل ممكن (ض ) - القيم ، نحصل على السطح الموضح في الشكل 12.1.12. (ب). هذا السطح يشبه "الأنبوب" أو "الأسطوانة". يسمي علماء الرياضيات هذا السطح أ اسطوانة لسبب مختلف تمامًا.

التعريف 12.1.13. اسطوانة.

لنفترض (C ) أن يكون منحنى في مستو وأن (L ) يكون خطًا غير موازٍ لـ (C text <.> ) A هي مجموعة جميع الأسطر الموازية لـ (L ) التي المرور من خلال (C text <.> ) المنحنى (C ) هو الأسطوانة ، والخطوط هي.

في هذا النص ، نأخذ في الاعتبار المنحنيات (C ) التي تقع في مستويات موازية لأحد مستويات الإحداثيات ، والخطوط (L ) المتعامدة مع هذه المستويات ، وتشكل الاسطوانات الصحيحة. وبالتالي يمكن تعريف الدليل باستخدام المعادلات التي تتضمن متغيرين ، وستكون الأحكام موازية لمحور المتغير الثالث.

في المثال السابق للتعريف ، المنحنى (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) في (xy ) - المستوى هو الدليل والأحكام عبارة عن خطوط موازية لمحور (z ). (يمكن اعتبار أي دائرة موضحة في الشكل 12.1.12 دليلاً ، فنحن ببساطة نختار الدائرة حيث (z = 0 text <.> )) يمكن أيضًا عرض نماذج الأحكام في الشكل 12.1.12. (ب). المزيد من الأمثلة ستساعدنا في فهم هذا التعريف.

مثال 12.1.14. اسطوانات الرسم البياني.

ارسم الأسطوانات التالية.

يمكننا عرض المعادلة (z = y ^ 2 ) على أنها قطع مكافئ في المستوى (yz ) - كما هو موضح في الشكل 12.1.15. (أ). نظرًا لأن (x ) لا يظهر في المعادلة ، فإن الأحكام عبارة عن خطوط من خلال هذا القطع المكافئ الموازية للمحور (x ) ، كما هو موضح في الشكل 12.1.15. (ب). تعطي هذه الأحكام فكرة عامة عن شكل السطح ، مرسوم في الشكل 12.1.15 (ج).

يمكننا عرض المعادلة (x = sin (z) ) كمنحنى جيب موجود في المستوى (xz ) - كما هو موضح في الشكل 12.1.16. (أ). القواعد موازية لمحور (ص ) حيث أن المتغير (ص ) لا يظهر في المعادلة (س = الخطيئة (ض) نص <> ) بعضها موضح في الشكل 12.1. 16. (ب). يظهر السطح في الشكل 12.1.16. (ج).

القسم الفرعي 12.1.5 سطوح الثورة

كان أحد تطبيقات التكامل التي تعلمناها سابقًا هو العثور على حجم المواد الصلبة للثورة - المواد الصلبة التي تكونت من خلال تدوير منحنى حول محور أفقي أو عمودي. نحن الآن نفكر في كيفية إيجاد معادلة سطح مثل هذه المادة الصلبة.

ضع في اعتبارك السطح المتكون من الدوران (y = sqrt) حول محور (س ). المقاطع العرضية لهذا السطح الموازية للمستوى (yz ) - هي دوائر ، كما هو موضح في الشكل 12.1.17. (أ). تحتوي كل دائرة على معادلة بالصيغة (y ^ 2 + z ^ 2 = r ^ 2 ) لبعض نصف القطر (r text <.> ) نصف القطر هو دالة (x text <> ) في الواقع ، هو (r (x) = sqrt text <.> ) وبالتالي فإن معادلة السطح الموضحة في الشكل 12.1.17. (ب) هي (y ^ 2 + z ^ 2 = ( sqrt) ^ 2 نص <.> )

نقوم بتعميم المبادئ المذكورة أعلاه لإعطاء معادلات الأسطح التي تكونت من خلال منحنيات دوارة حول محاور الإحداثيات.

الفكرة الرئيسية 12.1.18. سطوح الثورة ، الجزء الأول.

لنفترض أن (r ) دالة نصف قطر.

تشكل معادلة السطح بالدوران (y = r (x) ) أو (z = r (x) ) حول (x ) - المحور (y ^ 2 + z ^ 2 = r (خ) ^ 2 نص <.> )

معادلة السطح المكونة بالدوران (x = r (y) ) أو (z = r (y) ) حول (y ) - المحور (x ^ 2 + z ^ 2 = r (ص) ^ 2 نص <.> )

تشكل معادلة السطح بالدوران (x = r (z) ) أو (y = r (z) ) حول (z ) - المحور (x ^ 2 + y ^ 2 = r (ض) ^ 2 نص <.> )

مثال 12.1.19. إيجاد معادلة لسطح الثورة.

دع (y = sin (z) ) على ([0، pi] text <.> ) أوجد معادلة سطح الثورة المتكونة بالدوران (y = sin (z) ) حول المحور (ض ).

باستخدام Key Idea 12.1.18 ، نجد أن السطح يحتوي على معادلة (x ^ 2 + y ^ 2 = sin ^ 2 (z) text <.> ) تم رسم المنحنى في الشكل 12.1.20. (أ) ويرسم السطح في الشكل 12.1.20. (ب).

لاحظ كيف أن السطح (ومن ثم المعادلة الناتجة) هو نفسه إذا بدأنا بالمنحنى (x = sin (z) text <،> ) المرسوم أيضًا في الشكل 12.1.20. (أ).

هذه الطريقة الخاصة لإنشاء أسطح الثورة محدودة. على سبيل المثال ، في المثال 7.3.11 من القسم 7.3 وجدنا حجم المادة الصلبة المتكونة من الدوران (y = sin (x) ) حول (y ) - المحور. طريقتنا الحالية في تشكيل الأسطح يمكنها فقط أن تدور (y = sin (x) ) حول (x ) - المحور. محاولة إعادة كتابة (y = sin (x) ) كدالة لـ (y ) ليست تافهة ، حيث أن مجرد كتابة (x = sin ^ <-1> (y) ) يعطي فقط جزءًا من المنطقة التي نرغب فيها.

ما نرغب فيه هو طريقة لكتابة سطح الثورة المتكون من تدوير (y = f (x) ) حول (y ) - المحور. نبدأ بالتعرف أولاً على أن هذا السطح هو نفسه الذي يدور (z = f (x) ) حول (z ) - المحور. سيعطينا هذا طريقة أكثر طبيعية لمشاهدة السطح.

قيمة (س ) هي قياس المسافة من (ض ) - المحور. على مسافة (r text <،> ) نرسم a (z ) - ارتفاع (f (r) text <.> ) عند التدوير (f (x) ) حول (ض ) - المحور ، نريد جميع النقاط على مسافة (r ) من (ض ) - المحور في (س ص ) - أن يكون للمستوى (ض ) - ارتفاع ( f (r) text <.> ) كل هذه النقاط تفي بالمعادلة (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 text <> ) وبالتالي (r = sqrt text <.> ) استبدال (r ) بـ ( sqrt) في (f (r) ) يعطي (z = f ( sqrt) text <.> ) هذه هي معادلة السطح.

الفكرة الرئيسية 12.1.21. سطوح الثورة ، الجزء الثاني.

دع (z = f (x) text <،> ) (x geq 0 text <،> ) يكون منحنى في (xz ) - الطائرة. السطح الذي تم تشكيله من خلال تدوير هذا المنحنى حول (z ) - يحتوي المحور على معادلة (z = f big ( sqrt كبير) نص <.> )

مثال 12.1.22. إيجاد معادلة سطح الثورة.

أوجد معادلة السطح التي تم العثور عليها بالدوران (z = sin (x) ) حول (z ) - المحور.

باستخدام Key Idea 12.1.21 ، يحتوي السطح على معادلة (z = sin big ( sqrt كبير) نص <.> ) تم رسم المنحنى والسطح في الشكل 12.1.23.


حساب التفاضل والتكامل الثالث

ساعات العمل:الغرفة 203 D من Olds Upton:
من الاثنين إلى الجمعة 2-3 ، على الرغم من أنني موجود طوال فترة الظهيرة.
مرات أخرى عن طريق التعيين أو الحظ.

أوراق عمل القيقب: قروض إلى مايك ماي (جامعة سانت لويس) وجون فينك (كلية كيه) لإنشاء بعض هذه الأوراق. قم بتنزيل الملف وافتحه على جهاز كمبيوتر يحتوي على Maple. على حد علمي ، جميع أجهزة الكمبيوتر المدرسية بها البرنامج ، لكنني منفتح على المفاجآت.

لفتح هذه: 1. انقر فوق الارتباط (سيفتح مستند Google الذي سيبدو مثل رطانة). 2. قم بتنزيل الملف على جهاز كمبيوتر يحتوي على Maple. 4. افتح! (يجب تحميل Maple تلقائيًا).

التخطيط باستخدام القيقب مقدمة للرسم البياني في القيقب والقسم 9.6

الأسطح الرباعية في 6 أبريل و 8 أبريل (القسم 9.6)

اقتراح مفيد: أثناء عملك على حل مشكلة (خاصة الإحماء) ، فكر في المهارات التي تساعد في تطويرها وكيف تساعدك أو ترى أنك لم تستطع فعلها أو تراها من قبل. من الأفضل أن تتعلم إذا كان بإمكانك حل جميع مشاكل التدريب لمهمة معينة.

تعيينات: إذا بدا أن هذا الإصدار قديم ، فحاول إعادة التحميل وأرسل إليّ بريدًا إلكترونيًا إذا كان لا يزال قديمًا. أيضًا ، سيتم إجراء بعض الترميز الرياضي في TeX حيثما كان ذلك مناسبًا أو من خلال MathJax. على سبيل المثال ، إذا رأيت " int_a ^ b" ، فسيكون هذا هو التكامل من a إلى b.

القسم 13.3: 19 ، 21 ، 23 ، 25 * ، 31 ، 33 * ، 35 *
القسم 13.4: 7 * ، 9 ، 11 ، 13 * ، 21 *

قبل الوصول إلى نظرية جرين ، رأينا الجزء الثاني من النظرية الأساسية لتكاملات المسار:

نظرية
لو F هو حقل متجه مستمر ومستقل عن المسار على مجموعة متصلة مفتوحة ، ثم توجد وظيفة F مثل أن $ nabla f = < bf F>. $
إحدى النتائج الكبيرة الأخرى التي رأيناها هي أنه إذا F= & لانج ص, س & رن مع المجال الذي هو ببساطة متصل، من ثم F هو مسار مستقل إذا صذ = سx.

هذه النتيجة الأخيرة هي في الواقع نتيجة لنظرية جرين.

نظرية جرين:
لو د هي مجموعة متصلة ببساطة و ج هي حدودها موجهة عكس اتجاه عقارب الساعة ، ثم $ int_C langle P ، Q rangle cdot d < bf r> = iint_D (Q_x-P_y) dA $ طالما أن المشتقات الجزئية مستمرة.

الكتابة دص مثل & langdx، dy & rang ، يمكننا إعادة كتابة هذا كـ $ int_C P dx + Q dy = iint_D (Q_x-P_y) dA $
عندما تكون كل نظرية مفيدة:
قد يتساءل المرء عن موعد تطبيق النظرية الأساسية لتكامل المسار بدلاً من نظرية جرين (أو العكس). أهم شيء يجب النظر إليه هو ما إذا كان الأمر كذلك أم لا F محافظ. إذا كان الأمر كذلك ، فابدأ وقم بتطبيق الصندوق. Thm لتكامل المسار. خلاف ذلك ، استخدم نظرية جرين.

القسم 13.2: 17 * ، 19 ، 21 * ، 39 * ، 41 ، 43
القسم 13.3: 1 * ، 3 ، 5 * ، 7 ، 9 ، 11 *

للحصول على جزء لا يتجزأ من حقل متجه ، نبدأ بتحديد معلمات سلس ، ص(ر) ، لمنحنى ، ج، ثم $ int_C < bf F> cdot d < bf r> = int_a ^ b < bf F> (x (t) ، y (t)) cdot < bf r> '(t) dt $ يمكننا اعتبار هذا التكامل على أنه يمثل العمل الذي يقوم به حقل المتجه على كائن أثناء تحركه على طول المنحنى ج من طرف إلى آخر.

النظرية الأساسية لتكامل المسار إذا كان المنحنى ج يبدأ في ص(أ) وينتهي عند ص(ب) ثم $ int_C < nabla> f cdot d < bf r> = f (< bf r> (b)) - f (< bf r> (a)) $
لاحظ أن هذا يعمل فقط مع حقول التدرج وليس بشكل عام.

القسم 13.1: 1 * ، 5 * ، 9 ،
11-14 مطابقة ، 25 ، 33 *
القسم 13.2: 1 ، 5 * ، 9 * ، 13 ، 33 * ، 35

يمكن اعتبار حقل المتجه كدالة $ < bf F>: mathbb^ n rightarrow mathbb^ n $ لرسم هذه الحقول المتجهة ، نأخذ نقطة (أ, ب) ورسم المتجه F(أ, ب).

لدينا العديد من الأنواع الشائعة لحقول المتجهات:

1. حقول القوة: الجاذبية والكهرباء وما إلى ذلك.

2. حقول السرعة: F(x, ذ) = & lang-ذ, x& رن الذي رأيناه في الفصل.

3. حقول التدرج: & نبلةF(x, ذ) = & لانج Fx , Fذ &رن

يتذكر: المضي قدما ، الشروط حقول التدرج و حقول المتجهات المحافظة تستخدم بالتبادل.

تكاملات المسار (المعروف أيضًا باسم تكاملات الخط ، المعروف أيضًا باسم تكاملات المنحنى ، المعروف أيضًا باسم تكاملات الخطوط المنحنية)
يشار إلى هذه بشكل شائع باسم Line Integrals ، لكنني دائمًا مولع بمصطلح Path Integrals (على الرغم من أن كلمة "curvilinear" تبدو رائعة أيضًا).

تعريف:
إعطاء معلمة $ < bf r> (t) = langle x (t)، y (t) rangle، a leq t leq b، $ للمنحنى ج ، نسمي هذا أ حدودي سلس لو ص'ليس متجهًا صفريًا أبدًا وهو دائمًا مستمر. هذا يمنع المعلمات من الدوران وتغطية أجزاء معينة من المنحنى عدة مرات.

لدينا بعد ذلك العديد من الطرق المختلفة التي يمكننا من خلالها حساب تكامل المسار: $ int_C f (x، y) ds = int_a ^ bf (x (t)، y (t)) | < bf r> '(t) | dt $ $ int_C f (x، y) dx = int_a ^ bf (x (t)، y (t)) x '(t) dt $ $ int_C f (x، y) dy = int_a ^ bf (x (t)، y (t)) y '(t) dt $ إذا كان لدينا منحنى في ر 3 ، حسابات مماثلة عقد.

الكتلة ومركز الكتلة
أحد تطبيقات تكاملات المنحنى هذه فيما يتعلق بـ arclength هو أصدقاؤنا القدامى ، والكتلة ومركز الكتلة. يتم حسابها كثيرًا بنفس الطريقة التي حسبناها في وقت سابق من ربع السنة (انظر المثال 3 في الصفحة 915 للصيغ الصريحة).

اتجاه
نظرا لمنحنى ج لدينا اتجاه (اتجاه) تم وضعه بسبب البارامترات. يمكننا عكس هذا الاتجاه لننتهي بمنحنى جديد نسميه -ج.

التكامل فيما يتعلق بطول arclength لا يهتم بهذا الاتجاه: $ int_C f (x، y) ds = int_ <-C> f (x، y) ds $ لكن فيما يتعلق بـ x و ذ، الأشياء تتغير: $ int_C f (x، y) dx = int_ <-C> f (x، y) dx $ $ int_C f (x، y) dy = int_ <-C> f (x، y) dy $ يوم الجمعة ، سنتحدث أكثر عن هذين التكاملين الأخيرين حيث يساعداننا في تكامل الحقول المتجهة على منحنى ويمكننا إيجاد الشغل المنجز بواسطة مجال القوة.

القسم 12.7: 5 ، 15 ، 17 * ، 19 ، 21 * ، 35 ، 29 * ، 51 * ، 53
القسم 12.8: 13 ، 25 ، 31 * ، 37 ، 41

يتم حساب التكاملات الثلاثية بنفس طريقة حساب التكاملات المزدوجة عن طريق حساب مجموعة من التكاملات المتكررة.

هناك مجموعة متنوعة من التطبيقات. تحدثنا بالفعل عن الكتلة ومركز الكتلة في الفصل. يمكننا أيضًا حساب حجم ثابت $ V (S) = iiint_S dV ، متوسط ​​قيمة $ للدالة $ f_= frac < iiint_S f (x، y، z) dxdydz>و $ وحتى العمل (انظر رقم 41 في القسم 12.8).

إحداثيات أسطوانية
بالتكامل في الإحداثيات الأسطوانية ، نستخدم التحويل $ (x، y، z) = T_C (r، theta، z) = (r cos theta، r sin theta، z) $ ويمكننا إظهار ذلك: $ iiint f (x، y، z) dxdydz = iiint f (T_C (r، theta، z)) r drd theta dz. $
الإحداثيات الكروية
وبالمثل ، إذا تيس يمثل تغيير المتغيرات للإحداثيات الكروية ، ثم رأينا في الفصل أن $ iiint f (x، y، z) dxdydz $ $ = iiint f (T_C (r، theta، z)) rho ^ 2 sin ( phi) d rho d phi d theta. $

القسم 12.9: 7 * ، 9 ، 11 * ، 13 ، 17 * ، 19 * ، 25 ، 27 *

بتعميم العملية التي اتخذناها للتحول إلى الإحداثيات القطبية ، نستخدم صيغة مساحة السطح معتقدين ذلك إذا x = x(ش, الخامس) و ذ = ذ(ش, الخامس) ، ثم نقوم بتحديد معالم منطقة في س ص- مستوى $ f (u، v) = langle x (u، v)، y (u، v)، 0 rangle. لربط هذا بمساحة السطح ، نرى $ dA = | f_u times f_v | dudv. $ في الفصل ، قمنا بتبسيط هذه الصيغة لتوضيح أن $ dA = | det (JT) | dudv $ حيث T (ش ، ت) = (x(ش, الخامس), ذ(ش, الخامس)) ويمكننا التفكير فيه جي تي مثل المصفوفة $ JT = left [ begin[cc] xx_u & y_u x_v & y_v end right]. $ هذه المصفوفة أعلاه تسمى مصفوفة يعقوبية إلى عن على تي. في العديد من المصادر ، تم تبديل موضع هذه المصفوفة: $ left [ begin[cc] xx_u & x_v y_u & y_v end right] يُشار إلى $ بالمصفوفة اليعقوبية. نظرًا لأننا نهتم فقط بالمحدد (ومحددات هاتين المصفوفتين هي نفسها) يمكننا استبدالها حسب الضرورة.

في الكتاب ، محدد المصفوفة اليعقوبية يشار إليه على أنه ببساطة يعقوبي تي.

هذا يقودنا إلى المعادلة التالية لتغيير المتغيرات: $ iint_ f (x، y) dA = iint_R f (x (u، v)، y (u، v)) dudv. $ هنا ، أكتب ر لأن الفكرة هي الحصول على نطاق "لطيف" في الأشعة فوق البنفسجية-طائرة تبدأ بشيء ليس لطيفًا س ص-طائرة.

الأمثلة التي فعلناها في الفصل ، والمثال 2 في الكتاب ، هي حالات نبدل فيها المتغيرات للتكامل عبر منطقة أفضل. في المثال 3 من الكتاب ، نرى مثالًا حيث نطبق تغييرًا في المتغيرات لجعل الوظيفة التي ندمجها تبدو أجمل كثيرًا.

نبدأ يوم الأربعاء بالحديث عن التكاملات الثلاثية ويمكننا تعميم هذا التغيير في المتغيرات لننتقل بسهولة من إحداثيات مستطيلة إلى إحداثيات أسطوانية وكروية!

13 مايو:

ألق نظرة على أسئلة امتحان الممارسة. كن مستعدًا لطرح أي أسئلة حول الأشياء التي لا تفهمها.

القسم 12.5: 3 ، 7 * ، 11 ، 13 * ، 15
القسم 12.6: 1 * ، 5 ، 9 * ، 23 * ، 25 * ، 27

كتلة
نظرا لدالة كثافة للمجال د، يمكننا إيجاد الكتلة: $ M = iint_D rho (x، y) dA. $

مركز الكتلة
لإيجاد مركز الكتلة ، نحسب اللحظات حول x-المحور و ذ-المحور: $ M_x = iint_D y rho (x، y) dA، $ $ M_y = iint_D x rho (x، y) dA $ ثم يتم إعطاء مركز الكتلة بواسطة الإحداثيات $ overline x = فاركM ، overline y = frac$
مساحة السطح
نظرا لبارامترات السطح ، ص(س, ر) ، يمكن العثور على مساحة هذا السطح بواسطة $ A = iint_D | < bf r> _s times < bf r> _t | dsdt. $ الآن سيكون الوقت المناسب لمراجعة القسم 10.5 (الأسطح البارامترية) أثناء العمل على هذه المشاكل.

القسم 12.3: 17 * ، 21 ، 27 ، 37 * ، 49 * ، 51
القسم 12.4: 7 * ، 11 ، 15 ، 19 * ، 23 ، 27 * ، 29 ، 31

غالبًا ما يكون دمج دالة باستخدام الإحداثيات القطبية بدلاً من الإحداثيات المستطيلة أسهل قليلاً. في الفصل اليوم ، رأينا ذلك $ mathrmأ = mathrmس ماذرمy = r mathrmr mathrm theta $ ثم نكتب التكامل من حيث الإحداثيات القطبية باستخدام البدائل $ x = r cos ( theta) y = r sin ( theta) r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 دولار لصالحنا. ثم $ iint_D f (x، y) dA = iint_D f (r cos ( theta)، r sin ( theta)) r drd theta $

القسم 12.1: 1 ، 5 * ، 11 * ، 13
القسم 12.2: 3 ، 9 * ، 15 ، 21 ، 27 * ، 35 *
القسم 12.3: 1 ، 3 * ، 5 ، 7 ، 9 * ،

بالنظر إلى المستطيل ، $ R = [a، b] times [c، d] = <(x، y) | a leq x leq b، c leq y leq d >، $ نظرية فوبيني يخبرنا أنه إذا F قابل للتكامل ، ثم $ iint_R f (x، y) dA = int_a ^ b int_c ^ df (x، y) dy dx $ = int_c ^ d int_a ^ bf (x، y) dx dy. $ إذا كانت وظيفتنا موجبة دائمًا ، فإن هذه القيمة تمثل الحجم الإجمالي أسفل الدالة وفوق س ص - طائرة.

متوسط ​​القيمة
تم حساب متوسط ​​قيمة دالة في Calc 2 $ f_= فارك <1> int_a ^ b f (x) dx. $ فوق مستطيل ، سيكون هذا $ f_= فارك <1> < mathrm(R)> iint_R f (x، y) dA $
التكاملات على المجالات الأخرى
في نهاية الفصل تحدثنا عما يمكن أن يحدث إذا لم تكن منطقتنا مستطيلة. إذا كان $ D = <(x، y) | a leq x leq b، g_1 (x) leq y leq g_2 (x) > $ ، فإننا ، بالنظر إلى مثال ، وجدنا أننا يمكن حساب التكامل $ iint_D f (x، y) dA = int_a ^ b int_^ f (x، y) dy dx $ بالمثل ، إذا كان مجالنا $ D = <(x، y) | h_1 (y) leq x leq h_2 (y)، c leq y leq d > $ ثم $ iint_D f (x، y) dA = int_c ^ d int_^ f (x، y) dx dy. $ أنا أشجعك على محاولة حل جميع مشاكل الممارسة المحددة في القسم 12.3. سنتحدث أكثر عن هذا القسم يوم الجمعة ، ولكن من المهم أن يكون لديك فهم قوي لكيفية حساب هذه التكاملات المتكاملة قبل أن نتحدث عن تبديل حدود التكامل.

القسم 11.8: 1 * ، 3 ، 9 * ، 13 * ، 17 * ، 21 * ، 41 * ، 45

تحدثنا اليوم عن طريقة مضاعفات لاغرانج ، سواء عند التعامل مع قيد واحد (على سبيل المثال ، ز(x, ذ) = ج) وبقيدين (على سبيل المثال ، ز(x, ذ, ض) = ج1 و ح(x, ذ, ض) = ج2).

قيد واحد
الفكرة المفاهيمية الكبيرة وراء طريقة مضاعفات لاغرانج هي أنه ، مع وجود قيود واحدة أو اثنتين ، تكون منحنيات مستوى الوظيفة مماسًا للرسوم البيانية لقيودنا (انظر الأمثلة من الفئة أو الشكل 1 في الصفحة 813).

يخبرنا هذا أن متجهات التدرج ستكون موازية لبعضها البعض. بمعنى آخر ، $ nabla f = lambda nabla g $ لبعض الثوابت الحقيقية & لامدا. ينتج عن هذا معادلتين بثلاثة مجاهيل (أو ثلاث معادلات بأربعة مجاهيل إذا كان F هي دالة من ثلاثة متغيرات). الجمع بين هذه المعادلات والقيد ، ز(x, ذ) = ج، يعطينا معلومات كافية للعثور على مواقع القيم القصوى المحتملة.

مذكرة قانونية: إحدى المشكلات التي قد تنشأ هي أن متجهات التدرج لدينا قد تكون متوازية دون تلبية المعادلة أعلاه. شاهد مشكلة الإحماء رقم 21 وحاول معرفة ذلك (سنتحدث عنها يوم الأربعاء).

اثنين من القيود
مع قيدين ، ز(x, ذ, ض) = ج1 و ح(x, ذ, ض) = ج2، نحن ننظر إلى تقاطع سطحين (أي منحنى).

يحتوي المستوى المتعامد لهذا المنحنى من التقاطع على المتجهات والنبلةFو نبلةزو & نبلةح. إذا كانت هذه المتجهات غير صفرية ، فيمكننا أن نقول $ nabla f = lambda nabla g + mu nabla h. $ انظر الشكل 5 في الصفحة 817 للحصول على صورة هندسية.

تعطينا هذه المعادلة أعلاه ثلاث معادلات لحلها ، بالنظر إلى العناصر المكونة لها ، بإجمالي خمسة متغيرات. لإيجاد الحل لجميع الخمسة ، قد نحتاج إلى استخدام قيودنا ، ز(x, ذ, ض) = ج1 و ح(x, ذ, ض) = ج2، لحل نظام المعادلات بالكامل.

ملاحظتان
1. قد يكون من الأسهل تحديد منحنى التقاطع بدلاً من استخدام مضاعفات لاجرانج. لذلك إذا كنت تعتقد أنه يمكنك العثور على معلمات بسهولة لتقليل المشكلة إلى مشكلة ذات بعد واحد ، فلا تتردد في القيام بذلك.

2. استبعد المتغيرات عندما يكون ذلك ممكنًا. إذا كان القيد الخاص بك يتيح لك حل أحد المتغيرات ، فيمكنك استبداله في الدالة F وقمت الآن بتحويل مشكلة ذات ثلاثة متغيرات إلى مشكلة واحدة ذات متغيرين ، أو أفضل من ذلك ، مشكلة ذات متغيرين إلى مشكلة Calc 1!

يوم الأربعاء ، وجدنا أن الحد الأقصى المحلي يحدث في النقاط الحرجة. لمعرفة ما إذا كانت هذه النقاط هي قيمة قصوى أو حد أدنى محلي ، نقوم بتحليل المشتق الثاني ، أي مصفوفة هسي.

إيجابية محددة
المصفوفة أ يكون موجبًا محددًا إذا كانت جميع محددات المصفوفات الفرعية إيجابية.

سلبي محدد
المصفوفة أ هو سلبي محدد إذا كانت محددات المراتب الفرعية تتناوب من سلبي إلى إيجابي إلى سلبي.

غير محدد
سنسمي المصفوفة أ لأجل غير مسمى إذا كان محدد أ ليست صفرية ولكنها ليست موجبة ولا سلبية مؤكدة.

منحط
سنسمي المصفوفة أ تتدهور إذا كان محدد أ هو صفر.

اختبار المشتق الثاني
افترض (أ, ب, ج) نقطة حرجة للوظيفة F.
1: إذا كان HF (أ, ب, ج) إيجابية محددة ، إذن F (أ, ب, ج) هو الحد الأدنى المحلي.
2: إذا كان HF (أ, ب, ج) هو سلبي محدد ، إذن F (أ, ب, ج) هو الحد الأقصى المحلي.
3: إذا كان HF (أ, ب, ج) غير محدد ، إذن F (أ, ب, ج) هي نقطة سرج.
4: إذا كان HF (أ, ب, ج) متدهورة ، فهذا الاختبار غير حاسم ويجب علينا اتباع نهج مختلف.

نظرية القيمة القصوى
إذا كانت الدالة مستمرة في a مجموعة مغلقة ومقيدة (تحتوي المجموعة على حدودها ولا تبتعد كثيرًا عن الأصل) ، ثم تبلغ الوظيفة الحد الأقصى المطلق والحد الأدنى المطلق.

عملية لإيجاد القيم القصوى لـ F:
1. البحث عن النقاط الحرجة F داخل مجموعتنا.
2. أوجد النقاط الحرجة على الحدود (انظر الملاحظة أدناه).
3. قم بتقييم الوظيفة عند النقاط الحرجة الموجودة في الخطوتين 1 و 2. الأكبر هو الحد الأقصى المطلق والأصغر هو الحد الأدنى المطلق.

ملاحظات حول الخطوة 2:
يمكن أن يكون هذا متورطًا اعتمادًا على الحدود.

إذا كانت حدودنا ذات بعد واحد (على سبيل المثال ، دائرة أو خط) ، فسنقوم بترسيم حدودنا ص(ر) وابحث عن الحد الأقصى / الأدنى لـ F (ص(ر)). تصبح هذه مشكلة يمكننا حلها باستخدام طرق حساب التفاضل والتكامل 1 (انظر القسم 4.2 للمراجعة).

إذا كانت حدودنا عبارة عن سطح (على سبيل المثال ، حدود الكرة أو المكعب) ، فسنقوم بتحديد السطح ص(س, ر) وابحث عن الحد الأقصى / الأدنى لـ F (ص(س, ر)). يتطلب هذا البدء في الخطوة 1 مرة أخرى وإيجاد حدود تلك الحدود.

ناقشنا في الفصل كيف يتم تكبير المشتق الاتجاهي عند أخذ متجه الاتجاه على أنه $ < bf u> = frac < nabla f> <| nabla f |> $ والحد الأقصى سيكون | & nablaF|.

الاقوي
خلال اليومين المقبلين ، سنتحدث عن كيفية العثور على الحدود القصوى والصغرى المحلية بالإضافة إلى الحدود القصوى والدنيا المطلقة.

في حساب التفاضل والتكامل 1 ، كان نهجنا هو إيجاد النقاط الحرجة واستخدام اختبار المشتق الثاني للتحقق مما إذا كانت النقطة الحرجة هي الحد الأقصى أم الحد الأدنى.

في هذه الدورة ، سنفعل شيئًا مشابهًا جدًا. أولاً ، نلقي نظرة على النقاط الحرجة.

تعريف: أ نقطة حرجة من وظيفة F هي أي نقطة يكون فيها $ nabla f = < bf 0>. $

إذا كنا نحاول إيجاد جميع القيم القصوى المحلية ، فسنستخدم اختبار المشتق الثاني لمعرفة ما إذا كانت هذه النقاط الحرجة هي قيم قصوى محلية أو قيم صغرى محلية. سنتحدث عن هذا أكثر يوم الجمعة ، لكن في الوقت الحالي نحتاج إلى معرفة ما هو المشتق الثاني.

تعريف: للحصول على وظيفة F(x, ذ)، ال مصفوفة هسه لـ f هو $ Hf = left [ beginF_&F_F_&F_ نهاية right] $ للدالة ز(x, ذ, ض) ، ستكون مصفوفة هسه $ Hg = left [ beginز& ز_& ز_ ز_& ز_& ز_ ز_& ز_& ز_ نهاية حق] $
مع زيادة عدد المتغيرات ، ستصبح مصفوفة هسي أكبر وأكبر.

أخبار جيدة: عادة ما يكون لدينا ذلك Fس ص = Fyx، لذلك تذكر ما إذا كان Fس ص يذهب في الصف الأول أو الثاني ليس بهذه الأهمية حقًا لأن المصفوفة ستكون هي نفسها تمامًا! في الواقع ، يمكننا عكس هذه المصفوفة تمامًا إذا أردنا ذلك ، وبعض المصادر فعلاً عكس المصفوفة.

القسم 11.4: 31 ، 37 *
القسم 11.5: 5 ، 9 * ، 21 ، 37 ، 39 * ، 47 * ، 53
القسم 11.6: 5 ، 7 * ، 11 ، 15 *

اقرأ الأقسام 11.4 و 11.5 و 11.6

أحد تطبيقات الفروق هو تقدير الخطأ. في الصف ، نسمح SA( x, ذ, ض) تمثل مساحة سطح صندوق مستطيل بأطوال جانبية x, ذ، و ض. ثم $ mathrm SA = nabla SA (x، y، z) cdot langle mathrmس ، mathrmذ ، mathrmيمثل z rangle $ الخطأ في الحساب SA بالنظر إلى الأخطاء في الحساب x, ذ، و ضx، دذ، ودض، على التوالى).

يمكننا بعد ذلك إيجاد الخطأ النسبي أو نسبة الخطأ بقسمة الخطأ د SAمن المساحة الإجمالية.

حكم السلسلة
قاعدة السلسلة عند تطبيقها على التكوين F (ص(ر)) هو $ frac

= nabla f cdot < bf r> '(t). $ If ص يعتمد على المزيد من المتغيرات ، على سبيل المثال ص هي وظيفة س و ر، ثم يعتمد على التكوين س و ر ونحسب المشتقات الجزئية: $ frac < جزئي f> < جزئي s> = nabla f cdot frac < جزئي < bf r >> < جزئي s> $ وبالمثل $ frac < f> < part t> = nabla f cdot frac < جزئي < bf r >> < جزئي t> $

المشتقات الاتجاهية
يمثل المشتق الاتجاهي معدل تغير دالة في اتجاه معين. لذا فإن مشتق F في الإيجابي xسيكون الاتجاه وجزءًاF/&جزءx. في الفصل ، أظهرنا أنه إذا كان متجه الاتجاه لدينا ش، فإن المشتق الاتجاهي سيكون $ D _ < bf u> f (a، b) = nabla f (a، b) cdot < bf u>. $ مذكرة قانونية: نحن يجب افترض ش متجه وحدة وإلا فإن مشتقنا يعتمد على طول ش. (جرب حساب المشتقات الجزئية في الحالة أحادية البعد (احسب 1) لمعرفة سبب هذه المشكلة.)

القسم 11.4: 1 ، 5 * ، 11 ، 19 * ، 23 * ، 25 ، 27 ، 39 * ، 41
القسم 11.6: 39 ، 43 * ، 47 * ، 59

اقرأ القسم 11.4

في الأسبوع الماضي ، طرحنا مفهوم المشتقات الجزئية وعندما نجمع هذه المشتقات الجزئية في متجه واحد ، نحصل على التدرج اللوني: $ nabla f (x، y، z) = langle f_x (x، y، z)، f_y (x، y، z)، f_z (x، y، z) rangle. $
في الفصل ، اشتقنا معادلة المستوى المماس للسطح. لوظيفة ، ض = F(x,ذ) ، المستوى المماس في
(أ, ب, F(أ,ب)) بواسطة $ z = f (a، b) + nabla f (a، b) cdot langle x-a، y-b rangle. $
ولسطح محدد ضمنيًا ، F(x,ذ,ض) = 0 ، المستوى المماس عند النقطة (أ, ب, ج) يمكن كتابته $ nabla f (a، b، c) cdot langle x-a، y-b، z-c rangle = 0. $
تعطينا هذه المعادلة الأخيرة نظرة ثاقبة على هندسة متجه التدرج. أولاً ، توضح هذه المعادلة الأخيرة أن متجه التدرج متعامد مع سطحنا! (بعد كل شيء ، إنه متعامد مع المستوى المماس.) ثانيًا ، سنرى الأسبوع القادم أن متجه التدرج يعطينا أيضًا الاتجاه الذي تزيد فيه وظيفتنا بشكل أسرع.

الأسطح البارامترية
للحصول على بارامترات السطح بواسطة ص(س, ر) والمشتقات الجزئية صس و صس هي متجهات مماسة للسطح ويمكننا حساب متجه عادي باستخدام حاصل الضرب الاتجاهي. المستوى المماس الناتج عند النقطة ص(س0, ر0) = (أ, ب, ج) يمكن كتابة $ (< bf r> _s times < bf r> _t) cdot langle x-a، y-b، z-c rangle. $
التفاضل
أثناء إكمال قراءتك ، ستصادف تفاضل دالة $ mathrmf = f_x mathrmx + f_y mathrmy + f_z mathrmz. $ تمامًا كما هو الحال مع مستويات الظل ، نرى منتجًا نقطيًا يظهر مع التفاضل. دع دx = & لانج دx، دذ، دضرن ، ثم $ mathrmو = nabla f cdot mathrm< bf>$

ألق نظرة على أسئلة امتحان الممارسة. كن مستعدًا لطرح أي أسئلة حول الأشياء التي لا تفهمها.

رسميا ، لا يوجد شيء يتم جمعه يوم الاثنين أو الأربعاء. لقد قمت بتحديث تواريخ الاستحقاق للمهام أدناه لتعكس ذلك.

القسم 11.3: 10 * ، 15 ، 21 ، 27 ، 33 ، 39 * ، 45 * ، 51 * ، 63 ، 65 * ، 69 ، 91 *

اقرأ القسم 11.3

لوظيفة ذات قيمة حقيقية ض = F (x,ذ) ، يمكننا حساب أ اشتقاق جزئي فيما يتعلق بأحد متغيراتنا من خلال التعامل مع جميع المتغيرات الأخرى كثوابت والتفاضل كما لو كنا في Calc 1. ينتهي بنا الأمر بالعديد من الرموز: $ frac < جزئي z> < جزئي x> = frac < جزئي f> < جزئي x> = f_x. $
إذا كان لدينا سطح محدد ضمنيًا ، F (x,ذ,ض) = 0 ، يمكننا استخدام التفاضل الضمني لإيجاد $ frac < جزئي z> < جزئي x> ، frac < جزئي z> < جزئي y> ، frac < جزئي y> < الجزئي x> $ وهكذا.

لوظيفة F (x,ذ) المشتقات الجزئية تعتمد على كليهما x و ذ، لذلك ننتهي بأربع مشتقات من الدرجة الثانية: $ f_، F_، F_، F_لحسن الحظ بالنسبة لنا ، الأجزاء المختلطة هي نفسها في كثير من الحالات. تقول نظرية Clairaut أنه إذا كانت الأجزاء الجزئية من الدرجة الثانية متصلة ، فعندئذٍ $ f_= f_.$

المعادلات التفاضلية الجزئية
من أهم التطبيقات في الرياضيات دراسة المعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs). لدينا معادلات الموجة: $ u_= ج ^ 2 ش$ لبُعد واحد ، $ u_= ج ^ 2 (u_+ u_) دولار لبعدين ، وهكذا. تساعدنا حلول هذه المعادلات على نمذجة الموجات الصوتية ، وموجات الضوء ، وموجات الماء ، وأي شيء آخر يتحرك بطريقة تشبه الموجة.

لدينا أيضًا معادلة الحرارة التي توضح كيفية اختلاف الحرارة (بالطبع) في جميع أنحاء المنطقة بمرور الوقت. تلعب معادلة الحرارة هذه أيضًا دورًا كبيرًا في ميكانيكا الكم لأنها تصف انتشار الجسيمات (كيف تنتشر الجسيمات بمرور الوقت).

مثال أخير هو معادلات نافييه-ستوكس التي تصف ديناميكيات السوائل. لم يتم العثور على حلول عامة لهذه المشكلة حتى الآن (على الرغم من وجود العديد من الحلول الدقيقة) وهناك أيضًا جائزة قدرها مليون دولار مرفقة لأي شخص يجد حلاً!

القسم 11.3: 50 ، 58 ، 68 ، 72 ، 90

القسم 11.1: 9 * ، 19 ، 23 * ، 41 ، 43 *

القسم 11.2: 1 * ، 5 ، 9 * ، 15 ، 19 ، 27 * ، 31 ، 35 * ، 37

سرعان ما تصبح حدود وظائف أكثر من متغير واحد أكثر تعقيدًا من الحدود كما تمت مناقشته في حساب التفاضل والتكامل 1. لكن الخبر السار هو أن جميع مجموعات الدوال الأولية التي كانت مستمرة في الحساب 1 لا تزال مستمرة الآن.

عند تقييم حدود المتغيرات المتعددة ، لا تزال لدينا عدة أدوات تحت تصرفنا. الأول هو نظرية الضغط والثاني هو كتابة النهاية في نظام إحداثيات مختلف. على سبيل المثال لإيجاد $ lim _ <(x، y) rightarrow (0،0)> f (x، y) $ يمكننا التبديل إلى الإحداثيات القطبية والعثور بشكل مكافئ على $ lim_f (r cos ( theta)، r sin ( theta)). $ هذا الحد الأخير هو الآن حد لمتغير واحد وإذا كانت النتيجة لا تعتمد على ثيتا، إذن يوجد الحد!

إذا كان هذا الحد الأخير يعتمد على ثيتا في النهاية ، من غير المحتمل أن يكون الحد موجودًا. لتوضيح ذلك بشكل ملموس ، يمكننا إيجاد منحنيين من خلال الأصل وإظهار اختلاف النهاية بين هذين المنحنيين.

القسم 10.2: 33 * ، 35 ، 37

بالعودة إلى القسم 6.4 في ستيوارت (ص 455-458) ، نرى صيغة طول القوس نظرًا لأن المعلمة هي $ int_a ^ b sqrt < left ( frac

يمين) ^ 2 + يسار ( frac
right) ^ 2> dt. $ من حيث تدوين الدالة ذات القيمة المتجهة ، يقودنا هذا إلى $ int_a ^ b | < bf f> '(t) | dt، $ الذي يقودنا إلى تعميم لطيف في ص 3 (وأبعاد أعلى!).

بدأنا أيضًا في إلقاء نظرة على معاملات السطح. هذه مفيدة جدًا لرسم الأسطح التي لا يمكن التعبير عنها كدالة لـ x و ذ.

على سبيل المثال ، المخاريط ، الكرات ، الأشكال الزائدة ، وحتى الأسطوانات ، لا تبدو صحيحة تمامًا إذا كنت سترسمها بشكل ضمني في Maple ضمنيًا. ومع ذلك ، فإن استخدام المعلمات يخفف من هذه المشكلات (يقصد التورية ، انظر الشكلين 8 و 9 في الصفحة 730).

سوف نلقي نظرة فاحصة على هذه يوم الأربعاء.

القسم 10.1: (19-24) * (مطابقة: اشرح إجاباتك!) ، 25 ، 39 *

القسم 10.2: 3 * ، 19 ، 23 * ، 31 * ، 41 ، 43 ، 49 * ، 51 ، 53 *

أكثر الأمثلة شيوعًا لدينا عن المنحنيات بتنسيق ص 3 ستكون الخطوط واللوالب (الحلزونات؟) وتقاطعات الأسطح. بالنسبة للحلزون ، فإن صيغتنا الأساسية هي $ < bf f> (t) = langle cos (t)، sin (t)، t rangle. $ يمكننا بعد ذلك استخدام التحولات والتحويلات لتغيير محور التحويل ونصف القطر والسرعة وما إلى ذلك.

بالنسبة لتقاطعات الأسطح ، سنقوم عادةً بإجراء استبدال للحصول على معادلة مبسطة ذات متغيرين فقط. ثم استخدم هذه المعادلة المبسطة للحصول على معلمة لاثنين من المتغيرات الخاصة بك. أخيرًا ، استخدم التعويض الذي تم إجراؤه للحصول على معلمة للمتغير الأخير.

بالنسبة إلى متجهات الظل ، ننظر إلى المشتق: $ < bf f> '(t) = lim_ فارك$ $ = langle f_1 '(t)، f_2' (t)، f_3 '(t) rangle. $ يمكننا بعد ذلك استخدام هذا للعثور على أشياء مثل خطوط الظل والسرعة والتسارع.

القسم 9.7: 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 * ، 15 ، 19 * ، 21 ، 25 ، 29 * ، 31 *

تحدثنا في الفصل اليوم عن المقاطع المخروطية. الصيغة الجبرية العامة هي $ Ax ^ 2 + By ^ 2 + Cx + Dy = E. $ إذا كان أحدهما أ أو ب كانت صفرًا ، ينتهي بنا المطاف مع القطع المكافئ (أو ربما خط إذا كان كلاهما صفرًا). حسب العلاقات بين دلالات أ أو ب، نحصل على علامات الحذف أو القطوع الزائدة.

في ص 3 ، سوف نسمح لـ ض 2 و ض المصطلحات ويمنحنا مجموعة متنوعة من الأسطح (انظر الصفحة 679 للحصول على طاولة جميلة من هذه الأسطح).

نظم الإحداثيات: تحدثنا أيضًا عن بعض أنظمة الإحداثيات التي يمكن استخدامها ص 2 و ص 3. في بعدين لدينا الإحداثيات المستطيلة (نظامنا المعتاد) و الإحداثيات القطبية. في الإحداثيات القطبية ، نستخدم (ص,ثيتا) أين ص هي المسافة بين النقطة والأصل و ثيتا هي الزاوية المقاسة عكس اتجاه عقارب الساعة من الموجب x-محور.

في ص 3 ، كنا نستخدم (x,ذ,ض) والتي ستكون إحداثياتنا المستطيلة. لكن الآن لدينا اثنان آخران:

إحداثيات أسطوانية: (ص,ثيتا,ض) أين ص هي المسافة في س ص- الطائرة بين النقطة والأصل و ثيتا هي الزاوية المقاسة عكس اتجاه عقارب الساعة من الموجب x-محور. هذا امتداد مباشر من الإحداثيات القطبية بإضافة a ض- محور البعد الثالث.

الإحداثيات الكروية: (& رو,ثيتا,& فاي). هنا، ثيتا لا يزال يمثل نفس الزاوية في س ص-طائرة. & رو هي المسافة من الأصل و & فاي هي الزاوية من الموجب ض-محور.

القسم 9.5: 1 * ، 25 * ، 29 ، 37 ، 39 * ، 49 ، 55 * ، 57 ، 59 ، 64 *

بالنسبة إلى الطائرات ، فإن أفضل طريقة للتعبير عنها جبريًا هي النظر إلى ملف ناقلات الطبيعي, ن، ونقطة ، (x0 ، ذ0 ، ض0 )، في الطائرة. ثم بالنسبة لنقطة عشوائية (x ، y ، z) في المستوى ، المتجه & lang x - x0 ، ص - ذ0 ، ض - ض0 & رن متعامد مع
ن = & lang A، B، C & رن. لذا يمكننا استخدام حاصل الضرب النقطي لكتابة $ A (x-x_0) + B (y-y_0) + C (z-z_0) = 0 $ لتزويدنا بمعادلة جيدة للمستوى.

عند التفكير في الطائرات ، عادة ما يكون من المفيد جدًا وضع المشكلات من منظور النواقل العادية. على سبيل المثال ، لتحديد متى يكون زوج من المستويات متوازيًا (المتجهات العادية متوازية) أو للعثور على خط تقاطعهما (سيكون الاتجاه ناتجًا عرضيًا للمتجهات العادية) أو ربما نرغب في العثور على النقطة في المستوى الأقرب إلى الأصل (حيث يشير المتجه الطبيعي بعيدًا أو باتجاه الأصل).

الطائرات هي مثال على أ سطح - المظهر الخارجي في ص 3. يمكننا بناء العديد من الأسطح من خلال وظائف الرسوم البيانية ض = F (x , ذ). لمساعدتنا على البدء في رسم دالة ، سنلقي نظرة عليها آثار من وظيفة (تسمى أيضًا منحنيات كفاف و منحنيات المستوى).

لإيجاد آثار ، نضع أحد المتغيرات مساويًا لثابت ورسمًا بيانيًا في بعدين. رأينا هذا مع
ض = x 2 + ذ 2 حيث كل الآثار العمودية (x = ك و ذ = ك) هي قطع مكافئة والمقاطع العرضية الأفقية عبارة عن دوائر. هذه الأنواع من الوظائف: $ z = frac+ فارك$ أمثلة على مكافئ إهليلجي. نستخدم هذا المصطلح لأن المقاطع العرضية الأفقية عبارة عن أشكال بيضاوية والمقاطع العرضية العمودية هي قطع مكافئة.

في المشكلة 18 (بسبب يوم الجمعة) ، ستنظر في أ القطع المكافئ القطعي حيث تكون المقاطع العرضية الأفقية عبارة عن قطوع زائدة وتكون المقاطع العرضية العمودية قطوع مكافئة.

يوم الأربعاء ، سوف نلقي نظرة على الأمثلة الأكثر شيوعًا للأسطح بما في ذلك إهليلجي, المخاريط، و الزائدين.

القسم 9.4: 1 * ، 7 ، 13 ، 15 ، 21 * ، 23 * ، 27 ، 29 * ، 33 ، 37 # ، 39 * ، 41

اقرأ الأقسام 9.4 وبداية 9.5 (معادلات الأسطر)

إحدى المشكلات الشائعة التي سنواجهها هي ، بالنظر إلى زوج من المتجهات في ص 3 ، يجب أن نجد متجهًا متعامدًا بشكل متبادل مع هذين الاثنين.

تعريف: دع $ < bf u> = langle u_1، u_2، u_3 rangle، v = langle v_1، v_2، v_3 rangle. $ ثم المنتوج الوسيط من ش و الخامس هو $ start < bf u> times < bf v> & = left | start < bf i> & < bf j> & < bf k> u_1 & u_2 & u_3 v_1 & v_2 & v_3 end right | & = langle u_2v_3-u_3v_2 ، u_3v_1-u_1v_3 ، u_1v_2-u_2v_1 rangle. نهاية $

يمكن للمرء أن يتحقق باستخدام المنتج النقطي من أن هذا يحقق تأثير العثور على متجه متعامد.

تظهر المنتجات المتقاطعة في العديد من التطبيقات: الدوران في رسومات الكمبيوتر ، وعزم الدوران ، والزخم الزاوي. في هذه الدورة ، سنستخدم حاصل الضرب الاتجاهي لإيجاد معادلات المستويات ومستويات الظل ومساحة السطح.

من الناحية الهندسية ، فإن أهم خاصية للمنتج التقاطع هي أن $ | < bf u> times < bf v> | = | < bf u> | | < bf v> | sin ( theta) ، $ وهي مساحة متوازي الأضلاع ممتدة بواسطة المتجهات ش و الخامس.

هناك ثلاث طرق يمكننا من خلالها تمثيل خط بأبعاد أعلى. أولاً ، سنحتاج إلى معرفة نقطة على الخط ،
( x0, ذ0, ض0) ومتجه الاتجاه (المنحدر): $ < bf v> = langle a، b، c rangle. شكل متجه لمعادلة الخط، إذا كان $ < bf r_0> = langle x_0، y_0، z_0 rangle، $ إذن يمكننا كتابة السطر كدالة لـ ر (مما يجعل هذا النموذج جدا مفيد): $ < bf r> (t) = < bf r_0> + t < bf v>. $ لدينا أيضًا شكل حدودي: $ x = x_0 + at، y = y_0 + bt، z = z_0 + ct، $ وهو الشكل المتجه المكتوب بواسطة المكون. الشكل الأخير هو شكل متماثل. إذا استطعنا حلها ر في الصيغة البارامترية (a و b و c ليست صفرية) ، ثم $ fracأ = فاركب = فاركج

القسم 9.2: 1 * ، 5 ، 11 ، 13 ، 15 * ، 17 ، 23 ، 33 * ، 39

القسم 9.3: 1 * ، 5 ، 7 * ، 15 * ، 21 * ، 27 ، 43 ، 51

نحن نستخدم ثلاثة أبعاد لتمثيل الأشياء أو الأفكار حيث يلعب كل من الاتجاه والحجم ، على سبيل المثال ، تمثل السرعة والقوة بواسطة المتجهات.

عندما يكون لدينا قوى متعددة تؤثر على جسم ما ، يمكننا إيجاد القوة الكلية بجمع المتجهات.
هندسيًا ، هذا له تمثيل لطيف للغاية. يمكننا ضبط المتجه ش لتبدأ من الأصل والمتجه الخامس لتبدأ في نهاية ش . ثم ش + الخامس سيكون المتجه الذي يبدأ عند الأصل وينتهي عند طرف طرف الخامس. جبريًا ، نقوم بهذه الإضافة بجمع كل مكون.

الشيء الجميل الآخر الذي تلتقطه المتجهات هو ما يحدث إذا تضاعفت القوة في الحجم (أو قلبت الاتجاه). هندسيًا ، ستكون هذه القوة الجديدة سهمًا في نفس اتجاه الأول ولكن بطول ضعف (أو في الاتجاه المعاكس تمامًا). جبريًا ، نضرب كل مكون في اثنين (أو سالب واحد).

تحتوي إضافة المتجه والضرب القياسي على الكثير من نفس الخصائص التي تتمتع بها عملية جمع ومضاعفة الأعداد الحقيقية (على سبيل المثال ، الخاصية التبادلية ، والملكية الترابطية ، والخصائص التوزيعية) حاول إثبات ذلك هندسيًا وجبريًا!).

يبدو أن المفاهيم الكامنة وراء إضافة المتجهات لها تمثيل هندسي وجبري جميل. ماذا لو حاولنا ضرب المتجهات؟ يمكننا أن نجعلها لطيفة جبريًا ونقول أن الإضافة تتم من حيث المكونات مثل بالإضافة إلى ذلك ، ولكن كيف سيبدو ذلك هندسيًا؟ هل هناك طريقة جيدة للنظر إلى هذا النوع من الضرب هندسيًا؟ جرب حفنة من الأمثلة لنفسك في ص 2 وانظر ماذا سيحدث.

هناك طريقتان لطيفتان للنظر إلى منتجات المتجهات هندسيًا. كلا الطريقتين تتضمن النظر إلى التعامد من النواقل. الأول هو المنتج نقطة وهو ما يعطينا طريقة جيدة لإيجاد الزاوية بين متجهين. الطريقة الثانية ، التي سنتحدث عنها يوم الجمعة ، هي المنتوج الوسيط.

بالتركيز على المنتج النقطي ، لدينا طريقتان لتمثيله. إذا ش = & لانجش1، ش2، ش3& رن و الخامس = & لانجالخامس1، الخامس2، الخامس3& رن ، ثم $ < bf u> cdot < bf v> = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 $ و $ < bf u> cdot < bf v> = | < bf u> | | < bf v> | cos ( theta) $ أين ثيتا هي الزاوية بين المتجهين. بهذه الطريقة الأولى ، التي تنطوي على مكونات ش و الخامس، يعطينا طريقة سهلة لطيفة للعثور على المنتج النقطي. يمكننا بعد ذلك استخدام المعادلة الثانية لإيجاد الزاوية بين المتجهين.

هناك ثلاث حقائق حول المنتج النقطي والتي من الجيد حقًا معرفتها (حاول إثباتهم!):

حقيقة 1: يكون المتجهان غير الصفريين متعامدين إذا وفقط إذا كان حاصل الضرب النقطي صفرًا. (سرًا ، هذا نوع من مثل حقيقتين في جملة واحدة: إذا كانتا متعامدين ، فإن حاصل الضرب النقطي لهما يساوي صفرًا. وإذا كان حاصل الضرب النقطي صفرًا ، فهذا يعني أنهما متعامدان)

حقيقة 2: شش = |ش| 2

حقيقة 3: يُطلق عليه أيضًا عدم مساواة كوشي-بونياكوفسكي-شوارتز: $ | < bf u> cdot < bf v> | leq | < bf u> | | < bf v> |. $

ملاحظة جانبية حول هذه الحقائق: كل هذه الحقائق الثلاثة تعمم على ص ن . تعطينا الحقيقة 2 طريقة لطيفة للتبديل بين تدوين الطول ونقاط المنتج كلما كان ذلك مناسبًا. بالنسبة للحقيقة 3 ، يمكننا فقط تسمية هذا عدم المساواة كوشي لأنه أظهر لأول مرة أن $ | < bf u> cdot < bf v> | ^ 2 leq | < bf u> | ^ 2 | > | ^ 2، $ أو من حيث تدوين المجموع: $ left | مجموع_^ 3 u_kv_k يمين | leq يسار ( sum_^ 3 u_k ^ 2 right) left ( sum_^ 3 v_k ^ 2 right). حصل Bunyakovsky و Schwarz $ على اسمهما مرتبطين بهذا لأنهما عمما هذا على الوظائف (تحويل المبالغ إلى التكاملات ، شك ل F(x), الخامسك ل ز(x)): $ left | int_a ^ b f (x) g (x) dx right | leq left ( int_a ^ b [f (x)] ^ 2 dx right) left ( int_a ^ b [g (x)] ^ 2 dx right). اكتشف $ Bunyakovsky هذا التفاوت قبل وقت شوارتز ، لكن نتائجه كانت غير معروفة على نطاق واسع في الغرب ، ولذلك غالبًا ما يتم حذف اسمه من عدم المساواة. في عالم الرياضيات الأوسع ، غالبًا ما تُكتب الحقيقة 3 على أنها عدم مساواة كوشي-شوارتز.

تعريف أ حتى النصر هو متجه بحجم واحد. هذه الأشياء مفيدة من وقت لآخر لأنها يمكن أن تعطينا اتجاهًا دون الحاجة إلى القلق بشأن الحجم. سنرى بعض الأمثلة لأهميتها في المستقبل عند النظر إلى المشتقات.

القسم 9.1: 3 ، 9 * ، 11 * ، 13 * ، 15 ، 17 ، 27 * ، 29 ، 33 ، 35 * ، 37 ، 39 * ، 41

في المستوى الإحداثي ، المعادلة x = 5 ينتج خط مثل ذ متغير يمكن أن يتغير بحرية. في ثلاثة أبعاد ، فإن ذ و ض المتغيرات حرة في إنشاء مستوى.

الدائرة x 2 + ذ 2 = 25 ستصبح أسطوانة للسبب نفسه.

إذا أردنا إنشاء كرة ، فإننا نفكر أولاً في التمثيل الهندسي. إذا كان المركز ج = (1، 2، 3) ونصف القطر هو ص = 5 ثم نقطة ص = (س ، ص ، ض) ، على الكرة مسافة 5 من ج. ترجمة هذا إلى تمثيل جبري ، نحصل على المعادلة

$ 5 = | PC | = sqrt <(x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 + (z-3) ^ 2> ، $ أو بعبارة أخرى ، $ 25 = (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 + (z-3) ^ 2. $ الهدف من هذا القسم هو البدء في الانتقال من العالم الهندسي ، حيث لدينا صورة ، إلى الجبر ، حيث لدينا معادلة أو تعبير .


منهج MAT 2500

12.1 أنظمة الإحداثيات ثلاثية الأبعاد
12.2 النواقل
12.3 المنتج النقطي
12.4 منتجات متقاطعة
10.1 المنحنيات المعرفة بواسطة المعادلات البارامترية - المراجعة
12.5 معادلات الخطوط والمستويات
12.6 الأسطح التربيعية (اختياري)

الفصل 13: وظائف المتجه

13.1 وظائف المتجهات ومنحنيات الفضاء
13.2 مشتقات وتكامل دوال المتجهات
13.3 طول القوس والانحناء
13.4 الحركة في الفضاء: السرعة والتسارع

الفصل الرابع عشر: المشتقات الجزئية

14.1 وظائف من عدة متغيرات
14.2 الحدود والاستمرارية
14.3 المشتقات الجزئية
14.4 المستويات المماسية والتقديرات الخطية
14.5 قاعدة السلسلة
14.6 المشتقات الاتجاهية والتدرج
14.7 القيم القصوى والدنيا
14.8 مضاعفات لاجرانج (اختياري)

الفصل 15: التكاملات المتعددة

15.1 التكاملات المزدوجة على المستطيلات
15.2 التكاملات المزدوجة على المناطق العامة
10.3 الإحداثيات القطبية - مراجعة
15.3 التكاملات المزدوجة في الإحداثيات القطبية
15.4 تطبيقات التكاملات المزدوجة
15.5 مساحة السطح (اختياري)
15.6 تكاملات ثلاثية
15.7 التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الأسطوانية
15.8 التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الكروية (اختياري)

الفصل 16: متجه حساب التفاضل والتكامل

16.1 الحقول المتجهة
16.2 تكاملات الخط
16.3 النظرية الأساسية لتكاملات الخط
16.4 نظرية جرين
16.5 الضفيرة والتباعد
16.6 الأسطح البارامترية ومناطقها (اختياري)
16.7 تكاملات السطح (اختياري)
16.8 نظرية ستوكس (اختياري)
16.9 نظرية الاختلاف (اختياري)

يتم تغطية هذه المادة على مدى 14 أسبوعًا (56 ساعة دراسية) فصل دراسي.

يتمتع أعضاء هيئة التدريس بخيار استخدام WebAssign ، وهو ملحق يستند إلى الويب لكتابنا الدراسي. توفر هذه البوابة مشاكل في الواجبات المنزلية متدرجة وممارسة ، ومسابقات عبر الإنترنت ، وتعليمات بالفيديو ، وكتاب إلكتروني. يتطلب تسجيل WebAssign رمز وصول ، والذي تم تضمينه مع النص الذي تم شراؤه من مكتبة Villanova.

ملاحظة: إذا اخترت استئجار / شراء كتاب يأتي بدون رمز WebAssign ، فستتم مطالبتك بشراء رمز التسجيل بشكل منفصل إذا كان مدرسك يستخدم WebAssign.

عند بداية كل فصل دراسي ، سيتلقى الطلاب رمزًا ثانيًا يسمى رمز التسجيل في الفصل من مدرسهم. يقوم هذا الرمز بتسجيلهم في الدورة التدريبية المحددة التي تم إعدادها بواسطة معلمهم لهذا الفصل الدراسي.

نظام الجبر الحاسوبي (CAS)

سيستخدم المدرسون Maple أو نظام الجبر الحاسوبي المشابه في الدورة.


المنهج

هذا فصل دراسي عن بعد ، يجب أن يتحمل جميع الطلاب المسجلين في هذا الفصل مسؤولية كبيرة في إدارة جدولهم الزمني. هذه الدورة تتحرك بسرعة كبيرة. إذا تخلفت عن الركب ، حتى بقسم واحد ، فقد لا تتمكن من اللحاق بالركب ، لأن كل قسم بشكل عام يعتمد بشدة على الأقسام السابقة. يجب أن يكون الطالب المسجل في هذا الفصل قادرًا على قراءة الكتاب المدرسي وفهمه. إذا كنت تكافح في الماضي في تدريس الرياضيات بنفسك ، فهذا ليس الفصل الدراسي المناسب لك ويوصى بشدة بالانتقال إلى الفصل وجهًا لوجه. يتوقع المدرس من الطالب قراءة كل قسم من الكتاب المدرسي ومشاهدة مقاطع الفيديو وقراءة ملاحظات الفصل قبل محاولة حل مشاكل الواجب المنزلي. عندما تطلب المساعدة ، تحتاج إلى إظهار كل عملك ، عن طريق كتابته على البريد الإلكتروني (أفضل) أو عن طريق إرفاق نسخة ممسوحة ضوئيًا من عملك. عند طلب المساعدة بخصوص مشكلة في WebWork ، يوصى باستخدام زر البريد الإلكتروني للمدرس في أسفل الشاشة ، وإلا فقد لا تحصل على أي إجابة.


فهرست

أنظمة الإحداثيات

في الرياضيات ، تصف الهندسة التحليلية (وتسمى أيضًا الهندسة الديكارتية) كل نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد عن طريق ثلاثة إحداثيات. تم إعطاء ثلاثة محاور إحداثيات ، كل منها عموديًا على المحورين الآخرين عند نقطة الأصل ، وهي النقطة التي يتقاطعان عندها. عادة ما يتم تصنيفهم x, ذ ، و ض . بالنسبة إلى هذه المحاور ، يُعطى موضع أي نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد بثلاثية مرتبة من الأرقام الحقيقية ، كل رقم يعطي مسافة تلك النقطة من الأصل المقاسة على طول المحور المحدد ، وهو ما يساوي مسافة ذلك نقطة من المستوى يحددها المحاوران الآخران. [4]

تتضمن الطرق الشائعة الأخرى لوصف موقع نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد الإحداثيات الأسطوانية والإحداثيات الكروية ، على الرغم من وجود عدد لا حصر له من الطرق الممكنة. للمزيد ، انظر الفضاء الإقليدي.

فيما يلي صور للأنظمة المذكورة أعلاه.

الخطوط والمستويات

نقطتان مميزتان تحددان دائمًا خطًا (مستقيمًا). ثلاث نقاط مميزة إما على علاقة خطية واحدة أو تحدد مستوى فريدًا. من ناحية أخرى ، يمكن أن تكون أربع نقاط مميزة إما خطية متداخلة أو متحد المستوى أو تحدد المساحة بأكملها.

يمكن أن يتقاطع خطان متميزان ، أو أن يكونا متوازيين أو منحرفين. يوجد خطان متوازيان ، أو خطان متقاطعان ، في مستوى فريد ، لذا فإن خطوط الانحراف هي خطوط لا تلتقي ولا تقع في مستوى مشترك.

يمكن أن تلتقي طائرتان منفصلتان في خط مشترك أو متوازيتان (أي لا تلتقيان). يمكن لثلاث طائرات متميزة ، لا يوجد زوج منها متوازٍ ، إما أن تلتقي في خط مشترك ، أو تلتقي في نقطة مشتركة فريدة ، أو ليس لها أي نقطة مشتركة. في الحالة الأخيرة ، تكون خطوط التقاطع الثلاثة لكل زوج من المستويات متوازية بشكل متبادل.

يمكن أن يقع الخط في مستوى معين ، أو يتقاطع مع ذلك المستوى في نقطة فريدة ، أو أن يكون موازيًا للمستوى. في الحالة الأخيرة ، ستكون هناك خطوط في المستوى موازية للخط المحدد.

المستوى الفائق هو فضاء فرعي له بُعد واحد أقل من بُعد المساحة الكاملة. الطائرات الفائقة للفضاء ثلاثي الأبعاد هي المساحات الفرعية ثنائية الأبعاد ، أي المستويات. من حيث الإحداثيات الديكارتية ، تفي نقاط المستوى الفائق بمعادلة خطية واحدة ، لذلك يتم وصف المستويات في هذه الفراغات الثلاث بمعادلات خطية. يمكن وصف الخط بزوج من المعادلات الخطية المستقلة - كل منها يمثل مستوى له هذا الخط كتقاطع مشترك.

تنص نظرية فارينيون على أن نقاط المنتصف لأي رباعي في ℝ 3 تشكل متوازي أضلاع ، وبالتالي فهي متحد المستوى.

الكرات

كرة في 3 فضاء (وتسمى أيضًا أ 2-المجال لأنه كائن ثنائي الأبعاد) يتكون من مجموعة من جميع النقاط في 3 فضاء على مسافة ثابتة ص من نقطة مركزية P. المادة الصلبة المحاطة بالكرة تسمى أ كرة (أو بشكل أدق أ 3 كرات). حجم الكرة مُعطى بواسطة

ينشأ نوع آخر من الكرة من 4 كرات يكون سطحها ثلاثي الأبعاد هو 3-المجال: النقاط على مسافة متساوية من أصل الفضاء الإقليدي ℝ 4. إذا كانت نقطة لها إحداثيات ، ص(x, ذ, ض, ث) ، ومن بعد x 2 + ذ 2 + ض 2 + ث 2 = 1 يميز تلك النقاط على الوحدة ثلاثية الكرات المتمركزة في الأصل.

بوليتوبس

في ثلاثة أبعاد ، هناك تسعة بوليتوبات منتظمة: خمسة أجسام صلبة أفلاطونية محدبة وأربعة غير متحدبة كبلر-بوينسو متعددات السطوح.

polytopes منتظم في ثلاثة أبعاد
صف دراسي المواد الصلبة الأفلاطونية متعدد الوجوه كبلر-بوينسوت
تناظر تيد اح أناح
مجموعة كوكستر أ3, [3,3] ب3, [4,3] ح3, [5,3]
ترتيب 24 48 120
عادي
متعدد الوجوه






<5/2,5>

<5,5/2>

<5/2,3>

<3,5/2>

سطوح ثورة

يُطلق على السطح الناتج عن تدوير منحنى مستوٍ حول خط ثابت في مستواه كمحور سطح ثورة. منحنى الطائرة يسمى مولداتريكس من السطح. قسم السطح ، الذي تم إنشاؤه عن طريق تقاطع السطح مع مستوى متعامد (متعامد) على المحور ، عبارة عن دائرة.

تحدث أمثلة بسيطة عندما يكون المولد عبارة عن خط. إذا تقاطع خط المولد مع خط المحور ، فإن سطح الدوران يكون مخروطًا دائريًا قائمًا مع رأس (قمة) نقطة التقاطع. ومع ذلك ، إذا كان المولد والمحور متوازيان ، فإن سطح الدوران يكون أسطوانة دائرية.

الأسطح الرباعية

قياسا على المقاطع المخروطية ، فإن مجموعة النقاط التي تتوافق إحداثياتها الديكارتية مع المعادلة العامة من الدرجة الثانية ، وهي:

A x 2 + B y 2 + C z 2 + F xy + G yz + H xz + J x + K y + L z + M = 0، + By ^ <2> + Cz ^ <2> + Fxy + Gyz + Hxz + Jx + Ky + Lz + M = 0 ،>

أين أ, ب, ج, F, جي, ح, ي, ك, إل و م هي أرقام حقيقية وليست كلها أ, ب, ج, F, جي و ح هي صفر ، يسمى أ سطح رباعي. [5]

هناك ستة أنواع من الأسطح الرباعية غير المتحللة:

الأسطح الرباعية المتدهورة هي المجموعة الفارغة ، ونقطة واحدة ، وخط واحد ، ومستوى واحد ، وزوج من المستويات أو أسطوانة تربيعية (سطح يتكون من قسم مخروطي غير متدهور في مستوى π وجميع خطوط 3 من خلال ذلك المخروط الطبيعي ل to). [5] تعتبر المخاريط الإهليلجية أحيانًا أسطح تربيعية متدهورة أيضًا.

كل من القطع الزائد للورقة الواحدة والقطع المكافئ القطعي عبارة عن أسطح مسطرة ، مما يعني أنه يمكن تكوينها من عائلة من الخطوط المستقيمة. في الواقع ، لكل منها عائلتان من خطوط التوليد ، وأفراد كل عائلة مفككون ويتقاطع كل فرد من عائلة واحدة ، مع استثناء واحد فقط ، كل فرد من أفراد الأسرة الأخرى. [6] تسمى كل عائلة ريجولوس.

توجد طريقة أخرى لمشاهدة الفضاء ثلاثي الأبعاد في الجبر الخطي ، حيث تكون فكرة الاستقلال أمرًا بالغ الأهمية. الفضاء له ثلاثة أبعاد لأن طول الصندوق مستقل عن عرضه أو عرضه. في اللغة التقنية للجبر الخطي ، الفضاء ثلاثي الأبعاد لأن كل نقطة في الفضاء يمكن وصفها بمجموعة خطية من ثلاثة نواقل مستقلة.

حاصل الضرب النقطي والزاوية والطول

يمكن تصوير المتجه كسهم. مقدار المتجه هو طوله ، واتجاهه هو الاتجاه الذي يشير إليه السهم. يمكن تمثيل المتجه في ℝ 3 بثلاثية مرتبة من الأعداد الحقيقية. هذه الأرقام تسمى عناصر من المتجه.

حاصل الضرب القياسي لمتجهين أ = [أ1, أ2, أ3] و ب = [ب1, ب2, ب3] يعرف بأنه: [7]

مقدار المتجه أ يُشار إليه بواسطة ||أ|| . حاصل الضرب القياسي للمتجه أ = [أ1, أ2, أ3] مع نفسه

صيغة الطول الإقليدي للمتجه.

بدون الإشارة إلى مكونات المتجهات ، حاصل الضرب النقطي لمتجهين إقليديين غير صفريين أ و ب مُعطى بواسطة [8]

أين θ هي الزاوية بين أ و ب .

المنتوج الوسيط

المنتج المتقاطع أو ناقلات المنتج هي عملية ثنائية على متجهين في مساحة ثلاثية الأبعاد ويُشار إليها بالرمز ×. حاصل الضرب التبادلي أ × ب من النواقل أ و ب هو متجه عمودي على كليهما وبالتالي فهو طبيعي على المستوى الذي يحتوي عليهما. لها العديد من التطبيقات في الرياضيات والفيزياء والهندسة.

يشكل الفراغ والمنتج جبرًا فوق حقل ، وهو ليس تبادليًا ولا ترابطيًا ، ولكنه عبارة عن جبر لي مع حاصل الضرب المتقاطع هو قوس الكذب.

يمكن للمرء في ن أبعاد تأخذ نتاج ن - 1 متجه لإنتاج متجه عمودي عليها جميعًا. ولكن إذا كان المنتج مقصورًا على المنتجات الثنائية غير التافهة مع نتائج المتجهات ، فهو موجود فقط في ثلاثة وسبعة أبعاد. [9]

التدرج والتباعد والحليقة

في نظام الإحداثيات المستطيل ، يتم إعطاء التدرج بواسطة

تباعد مجال متجه قابل للتفاضل باستمرار F = يو أنا + الخامس ي + دبليو ك تساوي الدالة ذات القيمة العددية:

موسعة في الإحداثيات الديكارتية (انظر Del في الإحداثيات الأسطوانية والكروية لتمثيلات الإحداثيات الكروية والأسطوانية) ، الضفيرة ∇ × F هو ل F تتألف من [Fx, Fذ, Fض]:

أين أنا, ي، و ك هي ناقلات الوحدة ل x-, ذ-، و ض- المحاور على التوالي. يتوسع هذا على النحو التالي: [10]

تكاملات الخط وتكاملات السطح وتكاملات الحجم

لبعض المجالات العددية F : يوص نص، الخط لا يتجزأ على طول منحنى سلس متعدد التعريف جيو يعرف ب

أين ص: [أ ، ب] → ج هو حد تعسفي حيوي للمنحنى ج مثل ذلك ص(أ) و ص(ب) تعطي نقاط النهاية لـ ج و & lt ب < displaystyle a & ltb>.

لحقل متجه F : يوص نص ن ، الخط لا يتجزأ على طول منحنى سلس متعدد التعريف جيو، في اتجاه ص، يعرف ب

أين · هو حاصل الضرب النقطي و ص: [أ ، ب] → ج هي معلمات حيوية للمنحنى ج مثل ذلك ص(أ) و ص(ب) تعطي نقاط النهاية لـ ج.

تكامل السطح هو تعميم للتكاملات المتعددة للتكامل على الأسطح. يمكن اعتباره التناظرية المزدوجة لا يتجزأ من الخط. للعثور على صيغة صريحة للتكامل السطحي ، نحتاج إلى تحديد معلمات سطح الاهتمام ، س، من خلال النظر في نظام الإحداثيات المنحنية على س، مثل خط الطول وخط العرض على الكرة. دع مثل هذه المعلمات تكون x(س, ر)، أين (س, ر) يختلف في بعض المناطق تي في الطائرة. ثم يتم إعطاء تكامل السطح بواسطة

حيث يكون التعبير بين الأعمدة على الجانب الأيمن هو حجم الضرب العرضي للمشتقات الجزئية لـ x(س, ر) ، ويُعرف باسم عنصر السطح. إعطاء مجال متجه الخامس على س، هذه وظيفة يتم تخصيصها لكل منها x في س ناقل الخامس(x) ، يمكن تعريف التكامل السطحي من حيث المكونات وفقًا لتعريف السطح المتكامل للحقل القياسي ، والنتيجة هي متجه.

يمكن أن يعني أيضًا تكاملًا ثلاثيًا داخل المنطقة د في ص 3 للدالة f (x ، y ، z) ، وعادة ما تكتب على النحو التالي:

النظرية الأساسية لتكاملات الخط

تقول النظرية الأساسية لتكاملات الخط ، أن الخط المتكامل من خلال حقل التدرج يمكن تقييمه من خلال تقييم الحقل القياسي الأصلي عند نقاط نهاية المنحنى.

نظرية ستوكس

ترتبط نظرية ستوكس بالتكامل السطحي لتجعيد الحقل المتجه F فوق سطح Σ في الفضاء الإقليدي ثلاثي المساحات إلى الخط المتكامل للحقل المتجه فوق حدوده ∂Σ:

نظرية الاختلاف

افترض أن V مجموعة فرعية من R n ^> (في حالة ن = 3, الخامس يمثل حجمًا في مساحة ثلاثية الأبعاد) وهو مضغوط وله حد سلس متعدد التعريف S (يشار إليه أيضًا بـ ∂الخامس = س ). إذا F هو حقل متجه قابل للتفاضل بشكل مستمر محدد في جوار V ، ثم تنص نظرية التباعد: [11]

الجانب الأيسر حجم متكامل على الحجم V ، والجانب الأيمن هو السطح المتكامل فوق حدود الحجم V. المشعب المغلق ∂الخامس بشكل عام ، تكون حدود V موجهة من خلال الأعراف التي تشير إلى الخارج ، و ن هو الحقل الطبيعي لوحدة التأشير الخارجية للحدود ∂الخامس . ( دس يمكن استخدامها كاختصار ل ندي اس .)

يحتوي الفضاء ثلاثي الأبعاد على عدد من الخصائص الطوبولوجية التي تميزه عن فراغات أرقام الأبعاد الأخرى. على سبيل المثال ، يلزم وجود ثلاثة أبعاد على الأقل لربط عقدة في قطعة من الخيط. [12]

في الهندسة التفاضلية ، تكون المساحات العامة ثلاثية الأبعاد عبارة عن 3 متشعبات ، والتي تشبه محليًا R 3 >^<3>> .

يمكن اختبار العديد من أفكار الأبعاد باستخدام هندسة محدودة. أبسط مثال هو PG (3،2) ، والذي يحتوي على طائرات فانو كمساحات فرعية ثنائية الأبعاد. إنه مثال على هندسة Galois ، وهي دراسة للهندسة الإسقاطية باستخدام الحقول المحدودة. وبالتالي ، لأي حقل جالوا GF (ف) ، هناك مساحة إسقاطية PG (3 ،ف) من ثلاثة أبعاد. على سبيل المثال ، أي ثلاثة خطوط منحرفة في PG (3 ،ف) في ريجولوس واحد بالضبط. [13]


انسايت الرياضيات

من المحتمل أن يكون هذا هو الأبسط من بين جميع الأسطح الرباعية ، وغالبًا ما يكون أول سطح يظهر في الفصل. لها مظهر مميز و ldquonose-cone & rdquo.

يسمى هذا السطح مكافئ بيضاوي لأن المقاطع العرضية الرأسية كلها قطع مكافئ ، بينما المقاطع العرضية الأفقية عبارة عن أشكال بيضاوية. في بعض الأحيان ، نشعر بالقذارة ونشير إليه ببساطة على أنه مكافئ لا يمثل مشكلة ، إلا أنه يؤدي إلى الارتباك مع القطع المكافئ القطعي.

المقاطع العرضية أدناه مخصصة لأبسط شكل مكافئ بيضاوي ممكن: $ z = x ^ 2 + y ^ 2. $

مقاطع عرضية بيضاوية الشكل. تم رسم الشكل المكافئ البيضاوي $ z = x ^ 2 + y ^ 2 $ على مجال مربع $ -2 le x le 2، -2 le y le 2 $ في اللوحة الأولى وعلى المجال الدائري المحدد بواسطة $ z le 8 $ في اللوحة الثانية. يمكنك سحب النقاط الزرقاء على أشرطة التمرير لتغيير موقع الأنواع المختلفة من المقاطع العرضية.

إحدى السمات المهمة للمقاطع العرضية الرأسية هي أن القطع المكافئة تفتح جميعها في نفس الاتجاه. هذا ليس صحيحًا بالنسبة للبارابولويد الزائدي!

لاحظ أنه في هذه الحالة ، تكون المقاطع العرضية الأفقية عبارة عن دوائر في الواقع ، ولكن هذا ليس هو الحال دائمًا. في الواقع ، عندما لا يتساوى $ A $ و $ B $ ، سيكون المكافئ أعرض في اتجاه واحد من الآخر.

يمكنك استخدام التطبيق الصغير أدناه لمعرفة كيفية تأثير هذه المعاملات على شكل السطح. على اليسار ، يظهر الشكل المكافئ $ z = A x ^ 2 + B y ^ 2 $ على المجال المربع start -2 le x le 2 -2 le y le 2. النهاية على اليمين ، المجال عبارة عن قرص ، ويظهر جزء المكافئ الذي le z le 8 $. عندما تقوم بتغيير A و B ، سيتغير المجال وفقًا لذلك.

معاملات مكافئ إهليلجي. يتم رسم الشكل المكافئ $ z = A x ^ 2 + B y ^ 2 $ فوق المجال المربع $ -2 le x le 2، -2 le y le 2 $ في اللوحة الأولى. في اللوحة الثانية ، تم رسم نفس المكافئ فوق المجال البيضاوي الذي le z le 8 $ ، وهو مجال يعتمد شكله على المعاملين $ A $ و $ B $. يمكنك سحب النقاط لتغيير $ A $ و $ B $ ، والتي لا يمكن أن تكون موجبة.

إليك بعض الأشياء التي يجب التفكير فيها:

  • ماذا يحدث إذا كان $ A $ أو $ B $ يساوي 0؟ ماذا لو كلاهما؟ هل يجب أن يُطلق على أي من هذه الأجسام & ldquoelliptic & rdquo paraboloids؟
  • ماذا سيحدث إذا تضمنت أشرطة التمرير قيمًا سالبة لـ $ A $ و $ B $؟ (انقر هنا للتجربة ومعرفة ما إذا كنت على حق.)

تم استخدام القطع المكافئ الإهليلجي لتحفيز فكرة منحنيات المستوى. هل يمكنك أن ترى أن منحنيات المستوى تعادل المقاطع العرضية الأفقية أعلاه؟


يمكن اختبار العديد من أفكار الأبعاد باستخدام هندسة محدودة. Space_sentence_106 ثلاثي الأبعاد

أبسط مثال هو PG (3،2) ، والذي يحتوي على طائرات فانو كمساحات فرعية ثنائية الأبعاد. Space_sentence_107 ثلاثي الأبعاد

إنه مثال على هندسة Galois ، وهي دراسة للهندسة الإسقاطية باستخدام الحقول المحدودة. Space_sentence_108 ثلاثي الأبعاد

وبالتالي ، بالنسبة لأي حقل Galois GF (q) ، هناك مساحة إسقاطية PG (3 ، q) من ثلاثة أبعاد. Space_sentence_109 ثلاثي الأبعاد

على سبيل المثال ، يتم تضمين أي ثلاثة خطوط منحرفة في PG (3 ، q) في قاعدة واحدة بالضبط. ثلاثي الأبعاد space_sentence_110


شاهد الفيديو: Quadric surfaces. Anas Abu Zahra (شهر اكتوبر 2021).