مقالات

3.17: تحسين وظائف عدة متغيرات (تمارين)


13.8: تحسين وظائف عدة متغيرات

البحث عن النقاط الحرجة

في التدريبات من 1 إلى 5 ، أوجد جميع النقاط الحرجة.

1) (و (س ، ص) = 1 + س ^ 2 + ص ^ 2 )

إجابه:
( (0,0))

2) (و (س ، ص) = 1 - (س -2) ^ 2 + (ص + 3) ^ 2 )

3) (و (س ، ص) = (3 س − 2) ^ 2 + (ص − 4) ^ 2 )

إجابه:
( left ( frac {2} {3}، 4 right) )

4) (f (x، y) = x ^ 4 + y ^ 4−16xy )

إجابه:
((0،0) ، رباعي (-2 ، -2) ، رباعي (2،2) )

5) (f (x، y) = 15x ^ 3−3xy + 15y ^ 3 )

إجابه:
((0،0)، quad left ( frac {1} {15}، frac {1} {15} right) )

البحث عن Extrema واختبار الجزئيات الثاني

في التمارين من 6 إلى 9 ، ابحث عن النقاط الحرجة للوظيفة واختبر النقاط القصوى أو نقاط السرج باستخدام الأساليب الجبرية (إكمال المربع) أو عن طريق فحص شكل المعادلة. حيثما أمكن ، تحقق من نتائجك باستخدام اختبار الجزء الثاني.

6) (f (x، y) = - sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

إجابه:
كريت. نقاط: ((0 ، 0) )
Extrema: (f ) له حد أقصى نسبي (0 ) في ((0 ، 0) ).
لتبرير ذلك ، ضع في اعتبارك حقيقة أن دالة الجذر التربيعي لا يمكن أن تعطي قيمة سالبة ، لذلك لا يمكن لهذه الدالة أن تُرجع قيمة موجبة. نظرًا لأن قيمتها (0 ) عند النقطة الحرجة ((0 ، 0) ) ، فإننا نعلم أنها يجب أن تكون الوظيفة الحد الأقصى المطلق القيمة.

7) (و (س ، ص) = - س ^ 2−5 ص ^ 2 + 8 س − 10 ص − 13 )

إجابه:
كريت. نقاط: ((4، -1) )
Extrema: (f ) له حد أقصى نسبي (8 ) في ((4 ، −1) ).
لتبرير ذلك ، نكمل المربع في هذه الدالة ، مع الحرص على إخراج معامل الحدود قبل إكمال المربع.
[ start {align *} f (x، y) & = −x ^ 2−5y ^ 2 + 8x − 10y − 13 & = - (x ^ 2-8x quad quad) −5 (y ^ 2 + 2y quad quad) −13 & = - (x ^ 2-8x + 16) −5 (y ^ 2 + 2y + 1) −13 + 16 + 5 & = - (x- 4) ^ 2 -5 (ص + 1) ^ 2 + 8 نهاية {محاذاة *} ]
لاحظ أن هذه الدالة متعددة الحدود التربيعية تأخذ الشكل (z = - (x ^ 2 + y ^ 2) ) ، لذلك يمكننا أن نرى أنه سيكون لها نسبيا (وفي الواقع ، مطلق) أقصى عند قمته (النقطة الحرجة ((4 ، -1) )). يمكننا أيضًا أن نقول أنه نظرًا لأننا نطرح الحدود التربيعية من 8 ، فلا يمكننا الحصول على قيمة دالة أكبر من 8 ، وبما أننا نحصل على القيمة 8 عند النقطة الحرجة ((4 ، -1) ) ، فإننا تعرف أنها ستكون القيمة القصوى المطلقة لهذه الوظيفة.

8) (f (x، y) = x ^ 2 + y ^ 2 + 2x − 6y + 6 )

9) (f (x، y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} +1 )

إجابه:
كريت. نقاط: ((0، 0) )
Extrema: (f ) لديه حد أدنى نسبي من (1 ) في ((0،0) ).
لتبرير ذلك ، ضع في اعتبارك حقيقة أن دالة الجذر التربيعي لا يمكن أن تعطي قيمة سالبة ، لذلك لا يمكن لهذه الدالة أن ترجع قيمة أقل من (1 ). نظرًا لأن قيمتها (1 ) عند النقطة الحرجة ((0 ، 0) ) ، فإننا نعلم أن (1 ) يجب أن تكون الوظيفة الحد الأدنى المطلق القيمة.

في التدريبات من 10 إلى 34 ، حدد أي نقاط حرجة واستخدم اختبار Patials الثاني لتحديد سلوك الوظيفة في كل نقطة حرجة ، سواء كان هناك حد أقصى أو أدنى أو نقطة سرج أو لا شيء من هذه. إذا فشل الاختبار الجزئي الثاني ، فحدد سلوك الوظيفة عند النقطة باستخدام طريقة أخرى وقم بتبرير إجابتك بوضوح.

10) (f (x، y) = - x ^ 3 + 4xy − 2y ^ 2 + 1 )

11) (و (س ، ص) = س ^ 2 ص ^ 2 )

إجابه:
كريت. نقاط: جميع النقاط على السطور (س = 0 ) و (ص = 0 ) هي نقاط حرجة لهذه الوظيفة.
Exrema: فشل اختبار الجزئيات الثاني.
نظرًا لأن (x ^ 2y ^ 2> 0 ) لكل (x ) و (y ) يختلفان عن الصفر ، و (x ^ 2y ^ 2 = 0 ) عندما يكون إما (x ) أو (y ) يساوي صفرًا (أو كليهما) ، ثم الحد الأدنى المطلق لـ (0 ) يحدث في جميع النقاط على (x ) - أو (y ) - المحاور ، أي لجميع النقاط على خطوط (س = 0 ) و (ص = 0 ).

12) (f (x، y) = x ^ 2−6x + y ^ 2 + 4y − 8 )

13) (و (س ، ص) = 2 س ص + 3 س + 4 ص )

إجابه:
كريت. النقاط: ( left (−2، - frac {3} {2} right) )
Exrema: (f ) بها نقطة سرج عند ( left (−2، - frac {3} {2}، - 6 right) ).

14) (و (س ، ص) = 8 س ص (س + ص) +7 )

15) (f (x، y) = x ^ 2 + 4xy + y ^ 2 )

إجابه:
كريت. نقاط: ((0،0) )
Exrema: (f ) بها نقطة سرج عند ((0،0،0) ).

16) (f (x، y) = x ^ 3 + y ^ 3−300x − 75y − 3 )

17) (f (x، y) = 9 ^ x ^ 4y ^ 4 )

إجابه:
كريت. نقاط: جميع النقاط على السطور (س = 0 ) و (ص = 0 ) هي نقاط حرجة لهذه الوظيفة.
Extrema: فشل اختبار الجزئيات الثاني.
نظرًا لأن المصطلح (-x ^ 4y ^ 4 <0 ) للجميع (x ) و (y ) يختلف عن الصفر ، و (-x ^ 4y ^ 4 = 0 ) عندما يكون إما (x ) أو (y ) يساوي صفرًا (أو كليهما) ، فلا يمكن لهذه الوظيفة أن تحقق قيمة أكبر من (9 ) في أي مكان ، ولكنها (9 ) عند النقاط الحرجة. وبالتالي (f ) لها حد أقصى مطلق (9 ) في جميع النقاط على (س ) - أو (ص ) - محاور ، أي لجميع النقاط على السطور (س = 0 ) و (ص = 0 ).

18) (و (س ، ص) = س ^ 2 + 10xy + ص ^ 2 )

إجابه:
كريت. نقاط: ((0،0) )
Extrema: (f ) لديه نقطة سرج عند ((0،0،0) ).

19) (و (س ، ص) = س ^ 4 + ص ^ 2 + 2 س ص + 3 )

إجابه:
كريت. نقاط: ((0،0) ، quad left (- frac { sqrt {2}} {2} ، frac { sqrt {2}} {2} right) ، quad left ( frac { sqrt {2}} {2} ، - frac { sqrt {2}} {2} right) )
Extrema: (f ) لها نقطة سرج عند ((0 ، 0 ، 3) ) ،
(f ) لديه حد أدنى محلي من (2.75 ) عند النقطة ( left (- frac { sqrt {2}} {2} ، frac { sqrt {2}} {2} حق) ).
(f ) لديه حد أدنى محلي من (2.75 ) عند النقطة ( left ( frac { sqrt {2}} {2} ، - frac { sqrt {2}} {2} حق) ).

20) (و (س ، ص) = 7 س ^ 2 ص + 9 س ص ^ 2 )

21) (f (x، y) = 3x ^ 2−2xy + y ^ 2−8y )

إجابه:
كريت. نقاط: ((2،6) )
Extrema: يحتوي (f ) على حد أدنى نسبي من (-24 ) يقع في ((2،6) ).

22) (و (س ، ص) = 3 س ^ 2 + 2 س ص + ص ^ 2 )

23) (و (س ، ص) = ص ^ 2 + س ص + 3 ص + 2 س + 3 )

إجابه:
كريت. نقاط: ((1، −2) )
Extrema: (f ) لديه نقطة سرج عند ((1، −2،1) ).

24) (f (x، y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2−3x )

25) (f (x، y) = x ^ 2 + 2y ^ 2 − x ^ 2y )

إجابه:
كريت. نقاط: ((0،0)، quad (-2،1)، quad (2،1) )
Extrema: (f ) لديه حد أدنى نسبي من (0 ) عند ((0،0) ) ونقاط السرج عند ((2،1،2) ) و ((2،1) ، 2) ).

26) (و (س ، ص) = س ^ 2 + ص − ه ^ ص )

27) (f (x، y) = e ^ {- (x ^ 2 + y ^ 2 + 2x)} )

إجابه:
كريت. نقاط: ((-1،0) )
Extrema: (f ) له حد أقصى نسبي (e ) يقع في ((-1،0) ).
انظر هذه المشكلة موضحة في CalcPlot3D.

28) (و (س ، ص) = س ^ 2 + س ص + ص ^ 2 − س − ص + 1 )

29) (و (س ، ص) = س ^ 2 ص (9 - س + ص) )

إجابه:
كريت. نقاط: ( left ( frac {9} {2} ، - frac {9} {4} right) ، quad (9،0) ) ، وجميع النقاط على السطر (x = 0 )
Extrema: (f ) بها نقطة سرج عند ((9،0،0) ) والحد الأدنى النسبي (- 102.515625 ) عند ( left ( frac {9} {2}، - frac {9} {4} right) ).
في النقاط الحرجة على الخط (x = 0 ) ، لا يحتوي (f ) على نقاط قصوى أو نقاط سرج نسبية ، لكنها تمثل نوعًا من القاع على السطح.

30) (f (x، y) = - x ^ 2−5y ^ 2 + 10x − 30y − 62 )

31) (f (x، y) = 120x + 120y − xy − x ^ 2 − y ^ 2 )

إجابه:
كريت. نقاط: ((40،40) )
Extrema: (f ) له حد أقصى نسبي (4800 ) يقع في ((40،40) ).

32) (و (س ، ص) = 2 س ^ 2 + 2 س ص + ص ^ 2 + 2 س − 3 )

33) (f (x، y) = x ^ 2 + x − 3xy + y ^ 3−5 )

إجابه:
كريت. النقاط: ( left ( frac {1} {4}، frac {1} {2} right) ) و ((1، 1) )
Extrema: (f ) بها نقطة سرج عند ( left ( frac {1} {4} ، frac {1} {2} ، - frac {79} {16} right) ) و حد أدنى نسبي من (-5 ) عند ((1،1) ).

34) (f (x، y) = 2xye ^ {- x ^ 2 − y ^ 2} )

في التدريبات 35 - 37 ، حدد القيم القصوى ونقاط السرج. استخدم CAS لرسم الدالة.

35) [T] (f (x، y) = ye ^ x − e ^ y )

إجابه:

توجد نقطة السرج عند ((0،0، -1). )

36) [T] (f (x، y) = x sin (y) )

37) [T] (f (x، y) = sin (x) sin (y)، quad x∈ (0،2π)، quad y∈ (0،2π) )

إجابه:

توجد نقطة سرج عند ((π ، π) ، ) الحد الأقصى المحلي عند ( left ( frac {π} {2} ، frac {π} {2} right) ) و ( يسار ( frac {3π} {2} ، frac {3π} {2} right) ) ، والحد الأدنى المحلي عند ( left ( frac {π} {2} ، frac {3π} {2 } right) ) و ( left ( frac {3π} {2} ، frac {π} {2} right) ).

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.

  • خلق Paul Seeburger (كلية مجتمع Monroe) مشكلتين 19 و 29 ، وأضاف أرقامًا ديناميكية للمشكلتين 27 و 35.

حساب التفاضل والتكامل الثالث

فيما يلي مجموعة من مشاكل التدريب لملاحظات حساب التفاضل والتكامل III. اضغط على "المحلول"رابط لكل مشكلة للذهاب إلى الصفحة التي تحتوي على الحل.

لاحظ أن بعض الأقسام ستواجه مشاكل أكثر من غيرها وبعضها سيواجه أكثر أو أقل من مجموعة متنوعة من المشاكل. يجب أن تحتوي معظم الأقسام على مجموعة من مستويات الصعوبة في المشكلات على الرغم من أن هذا سيختلف من قسم إلى آخر.

فيما يلي قائمة بالأقسام التي تمت كتابة مشكلات التدريب لها بالإضافة إلى وصف موجز للمادة التي تمت تغطيتها في الملاحظات الخاصة بهذا القسم المحدد.

الفضاء ثلاثي الأبعاد - في هذا الفصل سنبدأ في النظر إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد. هذا الفصل هو بشكل عام العمل التحضيري لحساب التفاضل والتكامل III ولذا سنغطي نظام الإحداثيات القياسي ثلاثي الأبعاد بالإضافة إلى نظامين من أنظمة إحداثيات بديلة. سنناقش أيضًا كيفية إيجاد معادلات الخطوط والمستويات في الفضاء ثلاثي الأبعاد. سنلقي نظرة على بعض الأسطح القياسية ثلاثية الأبعاد ومعادلاتها. بالإضافة إلى ذلك ، سنقدم وظائف المتجهات وبعض تطبيقاتها (المتجهات المماسية والعادية وطول القوس والانحناء والسرعة والتسارع).


حساب الأعمال مع Excel

في القسم 3.2 ، لاحظنا أن النقاط المرتفعة والمنخفضة في الرسم البياني للدالة غالبًا ما تتزامن مع نقطة حيث كان مشتق الوظيفة 0. في بيئة الأعمال ، غالبًا ما نهتم بإيجاد القيم القصوى والدنيا للدالة ، لأن أحدهما سيكون أفضل قيمة أو أفضل قيمة. نريد عادةً تعظيم الوظائف مثل الربح والمنفعة والإيرادات وحصة السوق. نريد عادةً تقليل الوظائف مثل التكلفة والمسؤولية. سنستخدم نفس العملية الأساسية لتحسين ما إذا كان الحد الأقصى الذي نعثر عليه هو الحد الأقصى والأدنى.

تذكر ، قلنا أنه يمكن اعتبار المشتق ميلًا للخط الظاهري ، يتم الحصول عليه من خلال تكبير الرسم البياني للدالة. من الواضح أنه لا يمكن أن يكون لدينا حد أقصى عند نقطة داخلية للمجال إذا كانت المشتقة غير صفرية ، لأننا يمكن أن نذهب إلى الأعلى أو الأسفل بالتحرك قليلاً إلى اليمين أو اليسار. وبالتالي لا يمكننا أن نحصل على قيمة قصوى إلا عند نقطة حرجة ، أو مكان يكون فيه المشتق صفراً أو غير محدد ، أو عند نقطة نهاية حيث لا يمكننا الانتقال إلى اليسار واليمين. هذا يعطينا قائمة صغيرة من النقاط المرشحة للقيمة المثلى.

ستكون عمليتنا للتحسين هي العثور على جميع النقاط المرشحة ، ثم معرفة أيها يعطي أعلى وأدنى القيم. عندما يكون للمنحنى نقطة قيمة قصوى أو أدنى في بعض الفواصل الزمنية حول النقطة ، فإننا نسميها قيمة قصوى أو أدنى "نسبي". إذا كانت أعلى أو أدنى نقطة لمجال الوظيفة بالكامل ، يطلق عليها الحد الأقصى أو الحد الأدنى "العام".

مثال 3.4.1. وظيفة الربح للحاجيات.

لقد قررنا أن دالة الربح لبيع الأدوات هي

مع الوظيفة الصالحة على الفاصل (0 le quantity le 500 text <.> ) أوجد الحد الأدنى والحد الأقصى للربح في الفترة الزمنية المحددة.

: تم اختيار المثال الأول لأنه يمكن إجراؤه بدون استخدام أي حساب ، لذلك قمنا بحلها بطرق أسهل أولاً. دالة الربح هي دالة تربيعية من حيث الكمية ، لذا فهي عبارة عن قطع مكافئ يشير إلى الأسفل. يقع موقع الرأس عند (الكمية = 200 نص <،> ) التي نحصل عليها من معاملات المصطلحات التربيعية والخطية. وبالتالي نحن بحاجة إلى التحقق من هذه النقطة ونقطتي النهاية. عند إدخال القيم نحصل على ((0، -5000) text <،> ) ((200، 35000) ) و ((500، -55000) text <.> ) الحد الأقصى يحدث عندما نبيع 200 أداة وأرباحنا 35000 دولار ، والحد الأدنى يحدث عندما نبيع 500 أداة وخسارتنا 55000 دولار. الحد الأدنى النسبي يحدث عندما نبيع 0 أدوات وخسارتنا 5000 دولار.

: نريد إعداد المشكلة لنتمكن من رسم دالة الربح ومشتقاتها على الرسم البياني نفسه. سنقوم بتقريب الآلة الحاسبة للمشتق. كما فعلنا في القسم الأخير ، قمنا بإعداد ورقة عمل تحتوي على أعمدة من أجل (q text <،> ) (q + .001 text <،> ) (q-0.001 text <،> ) (p (q) text <،> ) (p (q + .001) text <،> ) (p (q-0.001) text <،> ) و (p '( q) text <.> ) يتيح ذلك ملء معظم ورقة العمل بتعبئة سريعة.

ثم ننظر إلى القيم ، ونقارن الجدول بالرسم البياني. نجد نفس النقاط الثلاث المرشحة ونفس القيم القصوى والدنيا.

على سبيل المثال الثاني ، نريد أن ننظر إلى دالة حيث لا يمكننا إيجاد الحد الأقصى بالوسائل الجبرية.

مثال 3.4.2. زيت الكمكوات.

لقد قررنا أن دالة الربح لبيع زيت الكمكوات هي

نحن نتفهم أن الوظيفة صالحة في الفترة (0 le quantity le 400 text <،> ) حيث يتم قياس الكمية بآلاف الباينت والربح يقاس بآلاف الدولارات. أوجد الحد الأدنى والحد الأقصى للربح في الفترة المحددة.

: تم إعداد جدول البيانات كما كان في المثال الأول ، ولكن مع تغيير الوظيفة.

بالنظر إلى الرسم البياني والرسم البياني ، نتوقع إيجاد القيم الصغرى المحلية عند نقاط النهاية ، والحد الأقصى عندما تكون q قريبة من 50. نستخدم أداة البحث عن الهدف لإيجاد حيث يكون المشتق صفرًا. كما نرى أدناه ، لا يجد Goal Seek نقطة يكون فيها المشتق صفرًا. وبدلاً من ذلك ، فإنه يجد نقطة يكون فيها المشتق "قريبًا بدرجة كافية" من الصفر. بشكل افتراضي ، يفهم Excel أن عبارة "قريبة بدرجة كافية" تقع ضمن 0.001.

إذا كان التعريف الافتراضي لـ "قريب بما فيه الكفاية" جيدًا بما يكفي لأغراضنا ، فسيحدث أقصى ربح قدره 166،727 دولارًا أمريكيًا عندما نبيع 51،998 باينتًا من النفط. (في الواقع ، سيحقق بيع 2 باينت إضافي من النفط مبلغًا إضافيًا قدره 0.01 سنت). يحدث الحد الأدنى للربح عندما لا نبيع أي منتج ، وفي هذه الحالة يكون لدينا خسارة قدرها 30000 دولار.

أحد الأشياء التي يجب ملاحظتها حول المثال الأخير هو متانة الطريقة. من وجهة نظر جبرية ، كانت الوظيفة قبيحة إلى حد ما. كل ما نحتاج إلى معرفته لاستخدام هذه الطريقة هو أن الوظيفة كانت سلسة بدرجة كافية ، وأنه عندما قمنا بالتكبير إلى مقياس x متغيرًا بمقدار 0.001 ، بدا الرسم البياني وكأنه خط مستقيم.

بحثنا في جميع أنحاء القسم عن الأماكن التي يكون فيها المشتق صفراً عند البحث عن القيم القصوى. لم نعر أي اهتمام لكيفية تحديد ما إذا كانت النقطة التي وجدناها هي الحد الأقصى المحلي أو الحد الأدنى المحلي. هناك عدة طرق يمكننا استخدامها. نظرًا لأننا نحسب المشتقة ، يمكننا ملاحظة أن القيمة العظمى المحلية هي المكان الذي تنتقل فيه الدالة من الزيادة إلى التناقص ، وبالتالي تنتقل المشتقة من الموجب إلى السالب. (وبالمثل ، يكون الحد الأدنى المحلي في مكان ينتقل فيه المشتق من الموجب إلى السالب.) هناك أيضًا اختبار ينظر إلى مشتق المشتق. ستكون هذه الاختبارات أكثر فائدة في الفصل التالي عندما نجد صيغة للمشتق بوسائل رمزية. ومع ذلك ، باستخدام التقنية الرقمية التي نستخدمها ، فإن أسهل اختبار هو أن الحد الأقصى المحلي أكبر من أو يساوي النقاط قليلاً لكل من اليسار واليمين. نحن ببساطة نعوض بالنقاط قليلاً في كل جانب للاختبار. نظرًا لأن التغيير في q بمقدار 0.001 يجعل الرسم البياني يبدو وكأنه خط مستقيم مسطح ، فإننا نغير q بمقدار 0.01.

كما هو متوقع ، ينخفض ​​الربح كلما ابتعدنا عن الحد الأقصى المتوقع.

مثال 3.4.3. ربح جيزمو.

يمكن أن ينتج المصنع ما بين 150 و 300 جيزموس. وظيفة الربح للمصنع هي:

ابحث عن مستوى الإنتاج الذي يزيد الربح.

: قمنا بإعداد المشكلة كما في السابق ، باستخدام أداة البحث عن الهدف على المشتق لإيجاد النقاط الحرجة ، والتحقق من نهايات الفترة الزمنية.

لدينا ثلاثة مرشحين للنقطة القصوى ونقطتي النهاية والنقطة الحرجة عند 162.5. ومع ذلك ، من خلال النظر إلى النقاط الموجودة على جانب النقطة الحرجة ، نرى أنها قيمة صغرى محلية. نرى أيضًا أنه من بين النقاط الثلاثة المرشحة لدينا ، فإن النقطة التي تعطي أقصى ربح هي نقطة النهاية الصحيحة ، عندما تكون الكمية 300.

في الأمثلة الثلاثة الأولى ، حاولنا إيجاد الحد الأدنى أو الأقصى للدوال المعطاة لنا كدالة لمتغير واحد. نحتاج أحيانًا إلى القيام ببعض العمل للحصول على الوظيفة بهذا التنسيق.

مثال 3.4.4. تقليل تكاليف المواد.

أنا أصنع مادة لزجة ، وهو سائل يحتاج إلى وضعه في العلب. سنستخدم العلب ذات الشكل الأسطواني القياسي. أوجد ارتفاع ونصف قطر عبوة سعة 1 لتر تستخدم أقل قدر ممكن من سطح المعدن.

: باستخدام الهندسة الأساسية ، نتذكر الصيغ الخاصة بحجم ومساحة سطح الأسطوانة.

نظرًا لأنني أقيس الحجم باللترات ، فأنا أريد قياس نصف القطر والارتفاع بالديسيمتر حتى تعمل الوحدات بشكل صحيح. من أجل التحسين ، نحتاج إلى تقليل المشكلة إلى دالة واحدة لمتغير واحد. يخبرنا أن الحجم يساوي 1 ، لذا يمكننا إيجاد الارتفاع كدالة لنصف القطر ، ثم نعوض به في معادلة المساحة. ثم المنطقة هي دالة لمتغير واحد ، نصف القطر ، ويمكننا إيجاد النقاط الحرجة والتحقق من الحد الأدنى.

نظرًا لأن لدينا مساحة كدالة لنصف القطر المتغير الفردي ، فيمكننا أخذ مشتقة لإيجاد النقطة الحرجة ، ثم إيجاد الشكل الأمثل.

لإيجاد مشتقة المنطقة تساوي صفرًا ، نجد أن نصف قطر العلبة يجب أن يكون 0.5419 ديسيلتر. نعوض بهذه القيمة في صيغة الارتفاع بدلالة نصف القطر ونرى أن الارتفاع يجب أن يكون 1.083854 ديسيلتر. لفهم شكل العلبة ، يمكننا أن نرى أن الارتفاع هو ضعف نصف القطر ، أو نفس الشيء مثل قطر العلبة. يتم تشكيل العلبة على النحو الأمثل عندما تكون على شكل علبة طلاء كبيرة.

هناك ثلاثة تفاصيل فنية تستحق الذكر من المثال الأخير. أولاً ، في Excel ، أفضل طريقة لوضع ( pi ) في صيغة هي باستخدام PI الثابت (). ثانيًا ، يتم تحديد وظيفة المنطقة في فترة زمنية مفتوحة حيث يكون نصف القطر موجبًا. لا توجد مساحة قصوى لعلبة ذات حجم ثابت. (مهما كانت قدرتنا غير فعالة ، يمكننا دائمًا أن نجعلها أسوأ ، من خلال التحرك بعيدًا عن المستوى الأمثل.) ثالثًا ، يجب على المرء أيضًا ملاحظة أنه بالنسبة لهذه المشكلة ، أردنا عدة أرقام كجزء من إجابتنا. تضع ورقة العمل الخاصة بالمسألة أفضل ارتفاع ونصف قطر في الأعلى ، حيث يمكن للقارئ العثور عليه بسهولة.

في هذا المثال الأخير ، كان علينا تقليل معادلتين في مجهولين إلى معادلة واحدة في واحدة غير معروفة حتى نتمكن من التحسين. قد نحتاج أيضًا إلى إنتاج معادلة من البيانات.

مثال 3.4.5. تعظيم الأرباح ونقاط التعادل.

بالنسبة لإنتاج وبيع الأدوات ، لدينا البيانات التالية حول الأرباح على أساس المبيعات.

ابحث عن نقاط التعادل والكمية التي تزيد من الربح.

: من خلال النظر إلى مخطط سريع للبيانات ، سأفترض أن دالة الربح هي قطع مكافئ مواجه للأسفل ، لذلك أجد أفضل تربيعي متعدد الحدود مناسب للبيانات. باستخدام خطوط الاتجاه ، فإن دالة الربح الخاصة بي هي

أقوم الآن بإعداد الجدول للقيم الخاصة مع البحث عن الهدف. أستخدم نقطتي البداية 20 و 450 لنقاط التعادل و 250 للحد الأقصى. للعثور على نقاط التعادل ، I Goal Seek على وظيفة الربح. للعثور على الحد الأقصى للنقطة ، I Goal Seek على مشتق دالة الربح.

بالتقريب إلى أقرب رقم صحيح في كل حالة ، فإن نقاط التعادل الخاصة بي مخصصة لبيع 15 و 460 أداة. يتحقق أقصى ربح لي وهو 50،032 دولارًا أمريكيًا عندما أبيع 238 أداة.

مثال 3.4.6. تقليل المصاريف.

نحن ندير شركة ونريد تقليل نفقات المعدات. بالنسبة لقطعة معينة من المعدات ، يمكن تقسيم التكاليف إلى النفقات الأولية لشراء المعدات ، والنفقات السنوية الثابتة للحفاظ على المعدات في المخزون ، وتكاليف الإصلاح التي نتوقع ارتفاعها مع تقدم المعدات في السن. تبلغ تكلفة مكبس الأدوات 10.000 دولار أمريكي للشراء ، وتبلغ مصاريف التشغيل 500 دولار أمريكي سنويًا ، وتبلغ تكاليف الإصلاح الإجمالية (300 طن ^ 2 ) على مدار (t ) السنوات الأولى. ما هي المدة الزمنية المثلى لاستخدام الضغط على الأداة قبل استبدالها؟

: معادلة التكلفة السنوية الخاصة بي هي التكلفة الإجمالية مقسومة على t. هذه التكلفة السنوية هي:

أقوم بإنشاء جدول بيانات يحسب التكلفة ومشتقاتها على مدار السنوات العشر الأولى.

بالنظر إلى البيانات ، يتم الحصول على الحد الأدنى من التكلفة السنوية عن طريق الحفاظ على الصحافة بين 5.5 و 6.0 سنوات. باستخدام البحث عن الهدف على المشتق ، أجد أن التكلفة السنوية الدنيا البالغة 3964.10 دولارًا يتم الحصول عليها عن طريق الاحتفاظ بالصحافة لمدة 5.77 سنة.

تمارين تمارين: التحسين

للمشكلات من 1 إلى 10 للدالة والمجال المعينين:

ارسم الدالة ومشتقاتها على نفس الرسم البياني.

حدد المناطق التي تتزايد فيها الوظيفة والمناطق التي تتناقص فيها الوظيفة.

تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المحلي للمجال المحدد.

تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى العالمي للمجال المحدد

(f (x) = - 2x ^ 2 + 17x + 23 ) على الفاصل (0 le x le 50 text <.> )

يتبع إعداد هذه المشكلات في Excel نفس العملية.

نقوم بإنشاء أعمدة لـ (x ، x + .001 ، x-.001 ، f (x) ، f (x + .001) ، f (x-.001) text <،> ) و (f '(x) ) )

بمجرد إدخال (f (x) text <،> ) يؤدي إجراء تعبئة سريعة بشكل صحيح إلى العثور بسهولة على (f (x + .001) ) و (f (x-.001) text <،> ) ومن ثم يسهل حساب (f '(x) ).

بمجرد رسم الرسم البياني (f ) و (f ' text <،> ) من الجيد عادة رسم المشتق باستخدام المحور الثانوي: انقر نقرًا مزدوجًا على الوظيفة المشتقة واختر الزر المناسب في مربع الحوار .

تم اقتطاع الجدول عند (x = 25 text <،> ) ولكن تم استخدام الباقي لإنشاء الرسم البياني.

يمكننا عمل Goalseek للعثور على النقطة الحرجة: set (f '(x) = 0 text <.> )

في هذا المثال (f '(x) = 0 ) عندما (x = 4.25 )

تتزايد الدالة (f ) لـ (0 lt x lt 4.25 text <.> )

الدالة (f ) تتناقص لـ (x GT 4.25 )

الوظيفة لها حد أقصى محلي عند (x = 4.25 ) والقيمة القصوى هي (59.13 )

الحدود الدنيا المحلية الوحيدة هي نقاط النهاية ، ((0 ، 23) ) و ((50 ، -4127) نص <.> )

للعثور على الحد الأقصى والحد الأدنى العالمي ، نتحقق من نقاط النهاية والنقاط الحرجة

القيمة الدنيا العامة هي (- 4127 ) عند (x = 50. )

القيمة القصوى العالمية هي (59.13 ) عند (س = 4.25 )

(g (x) = - 3x ^ 2 + 18x + 25 ) على الفاصل (10 ​​ le x le 50 text <.> )

(h (x) = x ^ 3-9x + 12 ) على الفاصل (0 le x le 10. )

المكان الذي يكون فيه (f '(x) = 0 ) عند (x = 1.73 )

الدالة (f ) تتناقص لـ (0 lt x lt 1.73 text <.> )

الوظيفة (f ) تتزايد لـ (1.73 lt x lt 10 )

تحتوي الوظيفة على حد أدنى محلي عند ((1.73، 1.61) text <.> )

الوظيفة لها حدود قصوى محلية في ((0 ، 12) ) و ((10 ، 922 نص <.> )

للعثور على الحد الأقصى والحد الأدنى العالمي ، نتحقق من نقاط النهاية والنقاط الحرجة

القيمة الدنيا العامة هي (1.73 ) عند (س = 1.61. )

القيمة القصوى العالمية هي (922 ) عند (س = 10 )

(k (x) = x ^ 3-6x ^ 2 + 12x + 5 ) على الفاصل (0 le x le 10 text <.> )

(م (س) = 5 س + 9 ) على الفاصل (- 10 لو س لو 30 نص <.> )

المشتق ليس صفرًا أبدًا

تتزايد الدالة (m (x) ) دائمًا من أجل (- 10 lt x lt 30 )

تحتوي الوظيفة على حد أدنى محلي عند ((- 10 ، -41) ) وحد أقصى محلي عند ((30 ، 159) text <.> )

القيمة الدنيا العامة هي (- 41 ) عند نقطة النهاية اليسرى (x = -10. )

القيمة القصوى العالمية هي (159 ) عند نقطة النهاية اليمنى (س = 30 )

(n (x) = 42 ) على الفاصل (0 le x le 10 text <.> )

(f (x) = (x-3) exp (-0.02 x) ) على الفاصل (0 le x le 100 text <.> )

المكان الذي يكون فيه (f '(x) = 0 ) عند (x = 52.95 )

تتزايد الدالة (f ) لـ (0 lt x lt 52.95 text <.> )

الدالة (f ) تتناقص لـ (52.95 lt x lt 100 )

تحتوي الوظيفة على حد أقصى محلي عند (x = 52.95 ) والقيمة القصوى هي (17.32 )

للدالة حد أدنى محلي عند ((0 ، -3) ) و ((100 ، 13.13) نص <.> )

للعثور على الحد الأقصى والحد الأدنى العالمي ، نتحقق من نقاط النهاية والنقاط الحرجة

القيمة الدنيا العامة هي (- 3 ) عند (س = 0. )

القيمة القصوى العالمية هي (17.32 ) عند (س = 52.95 )

(g (x) = (x ^ 3-9 x) exp (-0.1 x) ) على الفاصل (0 le x le 100 text <.> )

(h (x) = 100 / x + 5 x ) على الفاصل (1 le x le 50 text <.> )

المكان الذي يكون فيه (f '(x) = 0 ) عند (x = 4.47 )

تتناقص الدالة (h ) لـ (1 lt x lt 4.47 text <.> )

تتزايد الدالة (h ) لـ (4.47 lt x lt 50 )

تحتوي الوظيفة على دقيقة محلية عند (x = 4.47 ) والحد الأدنى للقيمة هو (44.72 )

الوظيفة لها حدود قصوى محلية في ((1 ، 105) ) و ((50 ، 252) نص <.> )

للعثور على الحد الأقصى والحد الأدنى العالمي ، نتحقق من نقاط النهاية والنقاط الحرجة

القيمة الدنيا العامة هي (44.73 ) في (س = 4.47. )

القيمة القصوى العالمية هي (252 ) عند (س = 50 )

(k (x) = 75 / x + 3 x ^ 2 ) على الفاصل (1 le x le 50 text <.> )

يتم تحديد سعر الطلب للأدوات من خلال (price (q) = 300-0.5q text <.> ) التكاليف الثابتة هي 7500 دولار والتكاليف المتغيرة هي 10 دولارات لكل عنصر واجهة مستخدم.

أعط دالة ربح للأدوات. حدد المجال الذي تكون فيه الوظيفة منطقية.

تحديد النقاط المرشحة لتحقيق أقصى ربح.

أعط الكمية التي تزيد الربح إلى أقصى حد مع أقصى ربح.

العمل التمهيدي: ابحث عن معادلات السعر (معطى) والتكلفة (الموضحة).

أحد الافتراضات المنطقية هو أن السعر يجب أن يكون موجبًا.

نجد الربح ومشتقة دالة الربح لتحديد مكان المشتق 0. يوجد أدناه الرسم البياني (الربح ، الربح ') وقمنا بـ GoalSeek لإيجاد النقطة الحرجة (x = 290). يجب أن نفكر أيضًا في نقاط النهاية ، لكن من الواضح أن الرأس أعلى من الصفر.

تم تعظيم الربح عند 290 والحد الأقصى للربح هو 34،550 دولارًا

معادلة التكلفة للأجزاء هي (التكلفة (q) = 1000 + 3q ) ودالة الطلب هي (السعر (q) = 500-3q text <.> ) أوجد الحد الأقصى للربح.

معادلة التكلفة للأدوات هي (التكلفة (q) = 1000 + 2q + .0001q ^ 2 ) ودالة الطلب هي (السعر (q) = 100 / (1 + .01q) text <.> ) بحث أقصى ربح.

إن افتراض أن السعر يجب أن يكون رقمًا موجبًا لا يساعدنا في هذه المشكلة. يمكننا التحقق ، ولكن كل ما نحصل عليه هو أن (q gt -100 text <،> ) ولكن (q ) يجب أن يكون موجبًا.

إذا كانت قيود المجال غير واضحة أو كان الجبر يمثل تحديًا ، فيمكننا اللجوء إلى التجربة والخطأ. تشير المعاملات الصغيرة (.0001 على سبيل المثال) إلى أن لدينا قيمًا كبيرة إلى حد ما لـ (q text <.> )

باستخدام (0 lt q lt 1000 text <،> ) ، نرى أن هناك حدًا أقصى بالقرب من (q = 600 text <.> ) يُظهر Goal Seek أن النقطة الحرجة تقع عند (q = 588 ) الأدوات. الحد الأقصى للربح هو 6336 دولارًا.

معادلة التكلفة للأجزاء هي (التكلفة (q) = 10000 + 10q ) ودالة الطلب هي (السعر (q) = 100 / sqrt <1 + .01q> text <.> ) أوجد الحد الأقصى ربح.

افترض أن دالة التكلفة لعمليتك هي (التكلفة (q) = 10000 + 10q + 20000 / (1 + .1q) text <.> ) أوجد الكمية التي تقلل السعر.

الوظيفة مثيرة للاهتمام حيث أن الحد الأدنى للتكلفة لا يمكن رؤيته بسهولة على الرسم البياني.

تم رسم وظيفة الرسم البياني لـ (0 le q le 150 ) في خطوات من 10. تبدو دالة التكلفة تقريبًا كما لو كانت مستوية وتصل إلى خط مقارب. يظهر فحص الجدول أن هذا ليس صحيحًا. ينتقل المشتق من سالب إلى موجب نحو 130. يوضح GoalSeek أن المشتق يساوي صفرًا عند 131.42 تقريبًا. التكلفة المسجلة هي $ 12،728.40 ، وهي أقل تكلفة لهذه الوظيفة.

افترض أن دالة التكلفة هي (التكلفة (q) = 10000 (0.8) ^ <. 1q> +. 1q ^ 2 text <.> ) ابحث عن الكمية التي تقلل السعر.

مع تأجير العقارات ، يعمل نموذج مبسط للتكاليف على توزيع تكلفة الشراء على مدار الوقت الذي يحتفظ فيه بالعقار ويفترض أن تكاليف الإصلاح سترتفع كلما طالت مدة الاحتفاظ بالعقار. هذا يعطي صيغة للمصروفات السنوية مثل

حيث r هو رقم موجب يعتمد على نوع الخاصية. افترض بالنسبة لمنظفات السجاد أن تكلفة الاستبدال هي 600 دولار ، وأن تكاليف الإصلاح في السنة الأولى هي 50 دولارًا ، وأن ص = 1. أوجد طول الفترة الزمنية التي يجب أن يحتفظ بها العقار لتقليل النفقات السنوية.

في هذه الحالة ، تكون وظيفة المصروفات السنوية هي

لاحظ أنه لا يتم تعريف الوظيفة عندما (t = 0 text <.> ) لذلك سنقوم برسم الدالة ومشتقها من أجل (1 le t le 10 text <.> ) يجب أن تكون الخاصية عقدت لمدة 3.5 سنوات.

مع تأجير الممتلكات ، هناك عوامل نموذجية أفضل في استهلاك الممتلكات ومقدار ما يمكن استرداده عن طريق بيع الممتلكات المستخدمة. إذا استخدمنا إهلاك خط مستقيم لمدة 5 سنوات تصبح الصيغة

كرر الافتراضات من المشكلة أعلاه. افترض بالنسبة لمنظفات السجاد أن تكلفة الاستبدال هي 600 دولار ، وأن تكاليف الإصلاح في السنة الأولى هي 50 دولارًا ، و (r = 1 نص <.> ) ابحث عن طول الفترة الزمنية التي يجب الاحتفاظ بها في العقار لتقليل المصاريف السنوية .

تم العثور على معدل المبيعات السنوي للعبة جديدة ليكون (المبيعات (t) = 10000 طن ^ 2 exp (-t ^ 2/16) text <.> ) ابحث عن الشهر الذي يزيد المبيعات إلى أقصى حد.

إذا كنا بصدد التصغير وفقًا للشهر ، فسنقوم برسم دالة لـ (1 le t le 12 )

GoalSeek لا يحسن تقديرنا ، ونرى أن الحد الأقصى للمبيعات يجب أن يحدث عندما (t = 4 text <.> ) يكون المشتق (قريبًا من) 0 هناك وهذا يعني أن مبيعاتنا يتم تعظيمها في أبريل (بافتراض 1 يمثل يناير).


3.17: تحسين وظائف عدة متغيرات (تمارين)

بالنسبة للمسائل من 1 إلى 3 ، أوجد مجال دالة المتجه المحددة.

  1. (displaystyle vec r left (t right) = left langle <<- 1 >> ، frac <1> <> ، frac <1> <>> يمين rangle )
  2. ( vec r left (t right) = left langle < sqrt t ، sqrt ، sqrt > يمين rangle )
  3. ( vec r left (t right) = left langle < ln left ( يمين) ln يسار ( يمين)> يمين rangle )

للمسائل ٤ - ٨ ارسم التمثيل البياني لدالة المتجه المعطاة.

  1. ( vec r left (t right) = left langle <- 4، t + 1> right rangle )
  2. ( vec r left (t right) = left langle <- 2 cos left (t right) ، 5sin left (t right)> right rangle )
  3. ( vec r left (t right) = left langle < sqrt ، 1 - t> right rangle )
  4. ( vec r left (t right) = left langle <2t + 1 ،- 1> يمين rangle )
  5. ( vec r left (t right) = left langle <+ 4,6 - > يمين rangle )

بالنسبة للمسائل من 9 إلى 12 ، حدد التمثيل البياني للدالة المتجهة دون رسم التمثيل البياني.

  1. ( vec r left (t right) = left langle <6،2 + 8t ، - 1 + 10t> right rangle )
  2. ( vec r left (t right) = left langle <12t ، 6-8t ، 4 + 7t> right rangle )
  3. ( vec r left (t right) = left langle <2.6 cos left (t right) ، 6 sin left (t right)> right rangle )
  4. ( vec r left (t right) = left langle <- 2t، 6 cos left (t right)، 6 sin left (t right)> right rangle )

بالنسبة للمسائل من 13 إلى 16 ، اكتب معادلة القطعة المستقيمة الواقعة بين النقطتين.


تحرير الحدود والاستمرارية

تعطي دراسة الحدود والاستمرارية في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات العديد من النتائج غير البديهية التي لم يتم توضيحها بواسطة الدوال ذات المتغير الفردي. [1]: 19-22 على سبيل المثال ، هناك وظائف عددية لمتغيرين بنقاط في مجالهما والتي تعطي حدودًا مختلفة عند الاقتراب من مسارات مختلفة. على سبيل المثال ، الوظيفة

الاستمرارية في كل حجة ليست كافية ل استمرارية متعددة المتغيرات يمكن رؤيتها أيضًا من المثال التالي. [1]: 17-19 على وجه الخصوص ، للدالة ذات القيمة الحقيقية مع معلمتين حقيقيتين ، f (x، y) ، استمرارية f في x للثابت y واستمرارية f في y للثابت x لا تعني استمرارية f .

مستمرة. على وجه التحديد،

خصائص الوظيفة المستمرة:

تحرير التمايز الجزئي

المشتق الجزئي يعمم فكرة المشتق إلى أبعاد أعلى. المشتق الجزئي لوظيفة متعددة المتغيرات هو مشتق فيما يتعلق بمتغير واحد مع بقاء جميع المتغيرات الأخرى ثابتة. [1]: 26 وما يليها

يمكن دمج المشتقات الجزئية بطرق مثيرة للاهتمام لإنشاء تعبيرات أكثر تعقيدًا للمشتق. في حساب التفاضل والتكامل ، يتم استخدام عامل التشغيل del (∇ < displaystyle nabla>) لتحديد مفاهيم التدرج والتباعد واللف من حيث المشتقات الجزئية. مصفوفة من المشتقات الجزئية يعقوبي مصفوفة ، لتمثيل مشتق دالة بين مسافتين ذات بعد تعسفي. وبالتالي يمكن فهم المشتق على أنه تحويل خطي يختلف بشكل مباشر من نقطة إلى أخرى في مجال الوظيفة.

المعادلات التفاضلية التي تحتوي على مشتقات جزئية تسمى المعادلات التفاضلية الجزئية أو PDEs. عادة ما يكون حل هذه المعادلات أكثر صعوبة من المعادلات التفاضلية العادية ، التي تحتوي على مشتقات فيما يتعلق بمتغير واحد فقط. [1]: 654 وما يليها

تكامل متعدد تحرير

يوسع التكامل المتعدد مفهوم التكامل لوظائف أي عدد من المتغيرات. يمكن استخدام التكاملات المزدوجة والثلاثية لحساب مساحات وأحجام المناطق في المستوى وفي الفضاء. تضمن نظرية Fubini أن التكامل المتعدد يمكن تقييمه على أنه a تكامل متكرر أو تكررت التكامل طالما أن التكامل مستمر في جميع أنحاء مجال التكامل. [1]: 367 وما يليها

يتم استخدام تكامل السطح والخط المتكامل للتكامل على الفتحات المنحنية مثل الأسطح والمنحنيات.

النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل في أبعاد متعددة

في حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير ، تؤسس النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل رابطًا بين المشتق والتكامل. يتجسد الارتباط بين المشتق والتكامل في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات في نظريات التكامل في حساب التفاضل والتكامل المتجه: [1]: 543ff

في دراسة أكثر تقدمًا لحساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات ، لوحظ أن هذه النظريات الأربع هي تجسيدات محددة لنظرية أكثر عمومية ، نظرية ستوكس المعممة ، والتي تنطبق على تكامل الأشكال التفاضلية على المتشعبات. [2]

تُستخدم تقنيات حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات لدراسة العديد من الأشياء ذات الأهمية في العالم المادي. خاصه،

نوع الوظائف التقنيات القابلة للتطبيق
منحنيات f: R → R n < displaystyle f: mathbb إلى mathbb ^>
لـ n & gt 1
أطوال المنحنيات وتكاملات الخط والانحناء.
الأسطح f: R 2 → R n < displaystyle f: mathbb ^ <2> to mathbb ^>
لـ n & gt 2
مناطق الأسطح ، تكاملات السطح ، التدفق عبر الأسطح ، والانحناء.
الحقول العددية f: R n → R < displaystyle f: mathbb ^ إلى mathbb > القيم العظمى والصغرى ، ومضاعفات لاجرانج ، ومشتقات الاتجاه ، ومجموعات المستويات.
حقول المتجهات f: R m → R n < displaystyle f: mathbb ^ إلى mathbb ^> أي من عمليات حساب المتجه بما في ذلك التدرج والتباعد والحليقة.

يمكن تطبيق حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات لتحليل الأنظمة الحتمية التي لها درجات متعددة من الحرية. غالبًا ما تُستخدم الوظائف ذات المتغيرات المستقلة المقابلة لكل درجة من درجات الحرية لنمذجة هذه الأنظمة ، ويوفر حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات أدوات لتوصيف ديناميكيات النظام.

يستخدم حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات في التحكم الأمثل للأنظمة الديناميكية المستمرة للوقت. يتم استخدامه في تحليل الانحدار لاشتقاق الصيغ لتقدير العلاقات بين مجموعات مختلفة من البيانات التجريبية.

يستخدم حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات في العديد من مجالات العلوم الطبيعية والاجتماعية والهندسة لنمذجة ودراسة الأنظمة عالية الأبعاد التي تظهر سلوكًا حتميًا. في علم الاقتصاد ، على سبيل المثال ، يتم تصميم اختيار المستهلك على مجموعة متنوعة من السلع واختيار المنتج على المدخلات المختلفة لاستخدامها والمخرجات لإنتاجها باستخدام حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات. غالبًا ما يستخدم المحللون الكميون في التمويل حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات للتنبؤ بالاتجاهات المستقبلية في سوق الأسهم.

يمكن دراسة الأنظمة غير القطعية أو العشوائية باستخدام نوع مختلف من الرياضيات ، مثل حساب التفاضل والتكامل العشوائي.


حساب التفاضل والتكامل النشط - متعدد المتغيرات

كيف يمكننا إيجاد النقاط التي عندها (f (x، y) ) لها قيمة عظمى أو أدنى محلية؟

كيف يمكننا تحديد ما إذا كانت النقاط الحرجة لـ (f (x ، y) ) هي قيمة عظمى محلية أو حد أدنى؟

كيف يمكننا إيجاد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق (f (x، y) ) في مجال مغلق ومحدد؟

نتعلم في حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير أن المشتق أداة مفيدة لإيجاد الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى للوظائف ، وأن هذه الأفكار يمكن استخدامها غالبًا في الإعدادات المطبقة. على وجه الخصوص ، إذا كانت دالة (f text <،> ) مثل تلك الموضحة في الشكل 10.7.1 قابلة للتفاضل في كل مكان ، فنحن نعلم أن خط الظل يكون أفقيًا في أي نقطة حيث (f ) له قيمة محلية الحد الأقصى أو الحد الأدنى. هذا ، بالطبع ، يعني أن المشتق (f ') يساوي صفرًا في أي نقطة من هذا القبيل. ومن ثم ، فإن إحدى الطرق التي نسعى من خلالها إلى الحصول على قيم متطرفة لدالة معينة هي إيجاد مشتق الدالة أولاً.

في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات ، غالبًا ما نكون مهتمين بالمثل في إيجاد أكبر و / أو أقل قيمة (قيم) يمكن أن تحققها الوظيفة. علاوة على ذلك ، هناك العديد من الإعدادات المطبقة التي تعتمد فيها كمية الفائدة على عدة متغيرات مختلفة. في نشاط المعاينة التالي ، بدأنا في رؤية كيف يمكن لبعض الأفكار الرئيسية في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات أن تساعدنا في الإجابة على مثل هذه الأسئلة من خلال التفكير في هندسة السطح الناتجة عن دالة من متغيرين.

معاينة النشاط 10.7.1.

لنفترض أن (z = f (x، y) ) دالة قابلة للتفاضل ، وافترض أنه عند النقطة ((x_0، y_0) text <،> ) (f ) يحقق الحد الأقصى المحلي. أي أن قيمة (f (x_0، y_0) ) أكبر من قيمة (f (x، y) ) لجميع ((x، y) ) القريب ((x_0، y_0 ) text <.> ) قد تجد أنه من المفيد رسم صورة تقريبية لدالة محتملة (f ) لها هذه الخاصية.

إذا أخذنا في الاعتبار التتبع المقدم من خلال الضغط على ثابت (y = y_0 ) ، فيجب أن يكون للدالة ذات المتغير الفردي المحددة بواسطة (f (x، y_0) ) حد أقصى محلي عند (x_0 text <.> ) ماذا يقول هذا عن قيمة المشتق الجزئي (f_x (x_0، y_0) text <؟> )

بالطريقة نفسها ، فإن التتبع المعطى بالضغط على ثابت (x = x_0 ) له حد أقصى محلي عند (y = y_0 text <.> ) ماذا يقول هذا عن قيمة المشتق الجزئي (f_y ( x_0، y_0) text <؟> )

ما الذي يمكننا استنتاجه الآن بشأن التدرج ( nabla f (x_0، y_0) ) عند الحد الأقصى المحلي؟ كيف يتوافق هذا مع العبارة " (f ) يزيد بشكل أسرع في الاتجاه ( nabla f (x_0، y_0) text <؟> )"

كيف سيظهر المستوى المماس للسطح (z = f (x، y) ) عند النقطة ((x_0، y_0، f (x_0، y_0)) text <؟> )

بحساب المشتقات الجزئية أولًا ، أوجد أي نقاط قد يكون عندها (f (x، y) = 2x - x ^ 2 - (y + 2) ^ 2 ) قيمة عظمى محلية.

القسم الفرعي 10.7.1 النقاط القصوى والحرجة

أحد التطبيقات المهمة لحساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير هو استخدام المشتقات لتحديد الحدود القصوى المحلية للوظائف (أي ، الحدود القصوى المحلية والصغرى المحلية). باستخدام الأدوات التي طورناها حتى الآن ، يمكننا بشكل طبيعي توسيع مفهوم الحدود القصوى المحلية والصغرى إلى وظائف متعددة المتغيرات.

التعريف 10.7.2.

لنفترض أن (f ) دالة لمتغيرين (x ) و (y text <.> )

الوظيفة (f ) لها ملف الحد الأقصى المحلي عند نقطة ((x_0، y_0) ) بشرط أن (f (x، y) leq f (x_0، y_0) ) لجميع النقاط ((x، y) ) بالقرب من ((x_0، y_0) text <.> ) في هذه الحالة نقول أن (f (x_0، y_0) ) هو القيمة القصوى المحلية.

الوظيفة (f ) لها ملف الحد الأدنى المحلي عند نقطة ((x_0، y_0) ) بشرط أن (f (x، y) geq f (x_0، y_0) ) لجميع النقاط ((x، y) ) بالقرب من ((x_0، y_0) text <.> ) في هذه الحالة نقول أن (f (x_0، y_0) ) هو أدنى قيمة محلية.

ان نقطة قصوى مطلقة هي نقطة ((x_0، y_0) ) (f (x، y) leq f (x_0، y_0) ) لجميع النقاط ((x، y) ) في مجال ( f text <.> ) قيمة (f ) عند أقصى نقطة مطلقة هي أقصى قيمة من (f text <.> )

ان الحد الأدنى المطلق للنقطة هي نقطة مثل (f (x، y) geq f (x_0، y_0) ) لجميع النقاط ((x، y) ) في مجال (f text <.> ) قيمة (f ) عند أدنى نقطة مطلقة هي أقصى قيمة من (f text <.> )

نحن نستخدم المصطلح النقطة القصوى للإشارة إلى أي نقطة ((x_0، y_0) ) يكون عندها (f ) حدًا أقصى أو أدنى محلي. بالإضافة إلى ذلك ، تسمى قيمة الوظيفة (f (x_0، y_0) ) عند الحد الأقصى قيمة قصوى. يوضح الشكل 10.7.3 الرسوم البيانية لوظيفتين لهما حد أقصى وحد أدنى مطلق ، على التوالي ، في الأصل ((x_0، y_0) = (0،0) text <.> )

في حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير ، رأينا أن الحد الأقصى للدالة المستمرة (f ) تحدث دائمًا عند نقاط حرجة، قيم (x ) حيث فشل (f ) في أن تكون قابلة للتفاضل أو حيث (f '(x) = 0 text <.> ) يُقال بشكل مختلف ، توفر النقاط الحرجة المواقع التي قد يكون فيها الحد الأقصى للدالة يظهر. يشير عملنا في نشاط المعاينة 10.7.1 إلى أن شيئًا مشابهًا يحدث لوظائف ذات متغيرين.

افترض أن الدالة المستمرة (f ) لها حد أقصى عند ((x_0، y_0) text <.> ) في هذه الحالة ، يكون للتتبع (f (x، y_0) ) حد أقصى عند ( x_0 text <،> ) مما يعني أن (x_0 ) قيمة حرجة لـ (f (x، y_0) text <.> ) لذلك ، إما (f_x (x_0، y_0) ) غير موجود أو (f_x (x_0، y_0) = 0 text <.> ) وبالمثل ، إما (f_y (x_0، y_0) ) غير موجود أو (f_y (x_0، y_0) = 0 text < .> ) هذا يعني أن الحد الأقصى للدالة ذات المتغيرين يحدث عند النقاط التي تفي بالتعريف التالي.

التعريف 10.7.4.

A ((x_0، y_0) ) للدالة (f = f (x، y) ) هي نقطة في مجال (f ) حيث (f_x (x_0، y_0) = 0 ) و (f_y (x_0، y_0) = 0 text <،> ) أو أن أحد (f_x (x_0، y_0) ) أو (f_y (x_0، y_0) ) فشل في الوجود.

لذلك يمكننا إيجاد النقاط الحرجة للدالة (f ) عن طريق حساب المشتقات الجزئية وتحديد أي قيم لـ ((x، y) ) التي لا يوجد فيها أحد الجزئيات أو كلا المشتقتين الجزئيتين في نفس الوقت صفر. بالنسبة للأخير ، لاحظ أنه يتعين علينا حل نظام المعادلات

النشاط 10.7.2.

ابحث عن النقاط الحرجة لكل من الوظائف التالية. ثم ، باستخدام التكنولوجيا المناسبة ، ارسم الرسوم البيانية للأسطح بالقرب من كل قيمة حرجة وقارن الرسم البياني بعملك.

(displaystyle f (x، y) = 2 + x ^ 2 - y ^ 2 )

( displaystyle f (x، y) = 2x-x ^ 2- frac <1> <4> y ^ 2 )

القسم الفرعي 10.7.2 تصنيف النقاط الحرجة: الاختبار الاشتقاقي الثاني

في حين أن الحد الأقصى للدالة المستمرة (f ) يحدث دائمًا في النقاط الحرجة ، من المهم ملاحظة أنه لا تؤدي كل نقطة حرجة إلى حد أقصى. تذكر ، على سبيل المثال ، (f (x) = x ^ 3 ) من حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير. نحن نعلم أن (x_0 = 0 ) نقطة حرجة لأن (f '(x_0) = 0 text <،> ) ولكن (x_0 = 0 ) ليس حدًا أقصى محليًا ولا حدًا أدنى محليًا لـ (و نص <.> )

قد تنشأ حالة مماثلة في بيئة متعددة المتغيرات. ضع في اعتبارك الوظيفة (f ) المحددة بواسطة (f (x، y) = x ^ 2 - y ^ 2 ) التي يظهر الرسم البياني والمؤامرة الكنتورية الخاصة بها في الشكل 10.7.5. لأن ( nabla f = langle 2x، -2y rangle text <،> ) نرى أن الأصل ((x_0، y_0) = (0،0) ) هو نقطة حرجة. ومع ذلك ، فإن هذه النقطة الحرجة ليست حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى ، حيث يكون الأصل هو الحد الأدنى المحلي على التتبع المحدد بواسطة (y = 0 text <،> ) بينما الأصل هو الحد الأقصى المحلي على التتبع المحدد بواسطة (x = 0 text <.> ) نسمي هذه النقطة الحرجة أ نقطة سرج بسبب شكل الرسم البياني بالقرب من النقطة الحرجة.

كما هو الحال في حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير ، نود أن يكون لدينا نوع من الاختبار لمساعدتنا في تحديد ما إذا كانت النقطة الحرجة هي قيمة عظمى محلية ، أو قيمة قصوى محلية ، أم لا.

النشاط 10.7.3.

أذكر أن اختبار المشتق الثاني بالنسبة للوظائف ذات المتغير الفردي ، إذا كان (x_0 ) نقطة حرجة لوظيفة (f ) بحيث يكون (f '(x_0) = 0 ) و if (f' (x_0) ) موجود إذن

إذا كان (f '(x_0) lt 0 text <،> ) (x_0 ) هو الحد الأقصى المحلي ،

إذا كان (f '(x_0) & gt 0 text <،> ) (x_0 ) هو الحد الأدنى المحلي ، و

إذا كان (f '(x_0) = 0 text <،> ) لا ينتج عن هذا الاختبار أية معلومات.

هدفنا في هذا النشاط هو فهم اختبار مماثل لتصنيف القيم القصوى لوظائف متغيرين. ضع في اعتبارك الوظائف الثلاث التالية:

يمكنك التحقق من أن كل دالة لها نقطة حرجة في الأصل ((0،0) text <.> ) يجب عليك التحقق من ذلك.

تظهر الرسوم البيانية لهذه الوظائف الثلاث في الشكل 10.7.6 ، مع (z = 4-x ^ 2-y ^ 2 ) في اليسار ، (z = x ^ 2 + y ^ 2 ) في المنتصف ، و (z = x ^ 2-y ^ 2 ) على اليمين. استخدم الرسوم البيانية لتحديد ما إذا كانت الدالة لها حد أقصى محلي ، أو حد أدنى محلي ، أو نقطة سرج ، أو لا يوجد أي مما سبق في الأصل.

لا توجد مشتقة ثانية واحدة لدالة لمتغيرين ، لذلك نعتبر كمية تجمع بين المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية. دع (D = f_F_ - F_^ 2 text <.> ) حساب (D ) في الأصل لكل دالة من الدوال (f_1 text <،> ) (f_2 text <،> ) و (f_3 text < .> ) ما الفرق الذي تلاحظه بين قيم (D ) عندما يكون للدالة قيمة قصوى أو أدنى قيمة في الأصل مقابل عندما يكون للدالة نقطة سرج في الأصل؟

الآن ضع في اعتبارك الحالات التي يكون فيها (D gt 0 text <.> ) في هذه الحالات يكون للدالة حد أقصى أو أدنى محلي عند نقطة ما. ما هو ضروري في هذه الحالات هو إيجاد شرط يميز بين الحد الأقصى والحد الأدنى. في الحالات التي يكون فيها (D gt 0 ) في الأصل ، قم بتقييم (f_(0،0) text <.> ) ما هي القيمة (f_(0،0) ) متى يكون (f ) له قيمة قصوى محلية في الأصل؟ متى (f ) له قيمة دنيا محلية في الأصل؟ اشرح السبب. (تلميح: يجب أن يبدو هذا مشابهًا جدًا للاختبار الاشتقاقي الثاني لوظائف متغير واحد.) ماذا سيحدث إذا أخذنا في الاعتبار قيم (f_(0،0) ) بدلاً من ذلك؟

يوفر النشاط 10.7.3 الأفكار الأساسية للاختبار الاشتقاقي الثاني لوظائف متغيرين.

الاختبار المشتق الثاني.

افترض أن ((x_0، y_0) ) نقطة حرجة للدالة (f ) التي (f_x (x_0، y_0) = 0 ) و (f_y (x_0، y_0) = 0 text < .> ) فليكن (D ) هو الكمية المحددة بواسطة

إذا (D & gt0 ) و (f_(x_0، y_0) lt 0 text <،> ) ثم (f ) له حد أقصى محلي في ((x_0، y_0) text <.> )

إذا (D & gt0 ) و (f_(x_0، y_0) & gt 0 text <،> ) ثم (f ) به حد أدنى محلي في ((x_0، y_0) text <.> )

إذا كان (D lt 0 text <،> ) فإن (f ) به نقطة سرج عند ((x_0، y_0) text <.> )

إذا كان (D = 0 text <،> ) فإن هذا الاختبار لا ينتج عنه أي معلومات حول ما يحدث في ((x_0، y_0) text <.> )

الكمية (D ) تسمى مميز من الوظيفة (f ) في ((x_0، y_0) text <.> )

لفهم أصل اختبار المشتق الثاني بشكل صحيح ، يمكننا تقديم "مشتق اتجاهي من الدرجة الثانية". إذا كان هذا المشتق الاتجاهي من الدرجة الثانية سالبًا في كل اتجاه ، على سبيل المثال ، فيمكننا ضمان أن النقطة الحرجة هي قيمة قصوى محلية. يتطلب التبرير الكامل للاختبار الاشتقاقي الثاني أفكارًا أساسية من الجبر الخطي خارج نطاق هذه الدورة ، لذلك بدلاً من تقديم شرح مفصل ، سنقبل هذا الاختبار كما هو مذكور. في النشاط 10.7.4 ، نطبق الاختبار على أمثلة أكثر تعقيدًا.

النشاط 10.7.4.

أوجد النقاط الحرجة للوظائف التالية واستخدم الاختبار المشتق الثاني لتصنيف النقاط الحرجة.

( displaystyle f (x، y) = 3x ^ 3 + y ^ 2-9x + 4y )

(displaystyle f (x، y) = xy + frac <2> + فارك <4>)

كما تعلمنا في حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير ، يمكن أن يكون العثور على القيم القصوى للوظائف مفيدًا بشكل خاص في الإعدادات المطبقة. على سبيل المثال ، يمكننا غالبًا استخدام حساب التفاضل والتكامل لتحديد الطريقة الأقل تكلفة لبناء شيء ما أو للعثور على المسار الأكثر كفاءة بين موقعين. ينطبق نفس الاحتمال في الإعدادات ذات المتغيرين أو أكثر.

النشاط 10.7.5.

في حين أن كمية المنتج التي يطلبها المستهلكون غالبًا ما تكون دالة على سعر المنتج ، فإن الطلب على المنتج قد يعتمد أيضًا على سعر المنتجات الأخرى. على سبيل المثال ، قد يتأثر الطلب على الجينز الأزرق في Old Navy ليس فقط بسعر الجينز نفسه ، ولكن أيضًا بسعر الكاكي.

لنفترض أن لدينا سلعتين سعرهما الخاص هو (p_1 ) و (p_2 text <.> ) الطلب على هذه السلع ، (q_1 ) و (q_2 text <،> ) يعتمدان على الأسعار

يرغب البائع في تحديد الأسعار (p_1 ) و (p_2 ) من أجل زيادة الإيرادات إلى أقصى حد. سنفترض أن البائع يلبي الطلب الكامل لكل منتج. وبالتالي ، إذا سمحنا (R ) أن تكون الإيرادات التي تم الحصول عليها عن طريق بيع (q_1 ) عناصر من السلعة الأولى بسعر (p_1 ) لكل عنصر و (q_2 ) عناصر من السلعة الثانية بسعر ( p_2 ) لكل عنصر لدينا

يمكننا بعد ذلك كتابة الإيرادات كدالة للمتغيرين (p_1 ) و (p_2 ) باستخدام المعادلتين (10.7.1) و (10.7.2) ، مما يعطينا

يظهر الرسم البياني لـ (R ) كدالة لـ (p_1 ) و (p_2 ) في الشكل 10.7.7.

ابحث عن جميع النقاط الحرجة لوظيفة الإيرادات ، (R text <.> ) (تلميح: يجب أن تحصل على نظام من معادلتين في مجهولين يمكن حلهما بالحذف أو الاستبدال.)

قم بتطبيق الاختبار الاشتقاقي الثاني لتحديد نوع أي نقطة (نقاط) حرجة.

أين يجب على البائع تحديد الأسعار (p_1 ) و (p_2 ) لتحقيق أقصى قدر من الإيرادات؟

القسم الفرعي 10.7.3 التحسين على مجال مقيد

يساعدنا اختبار المشتق الثاني على تصنيف النقاط الحرجة لوظيفة ما ، لكنه لا يخبرنا ما إذا كانت الوظيفة لها بالفعل حد أقصى أو أدنى مطلق في كل نقطة من هذه النقاط. بالنسبة للوظائف ذات المتغير الفردي ، أخبرتنا نظرية القيمة القصوى أن الدالة المستمرة على فاصل مغلق ([a، b] ) لها دائمًا حد أقصى وحد أدنى مطلق في تلك الفترة ، وأن هذه القيم القصوى المطلقة يجب أن تحدث في أيٍّ منهما نقطة نهاية أو نقطة حرجة. وبالتالي ، للعثور على الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق ، نحدد النقاط الحرجة في الفاصل الزمني ثم نقوم بتقييم الوظيفة عند هذه النقاط الحرجة وعند نقاط نهاية الفترة. نهج مماثل يعمل لوظائف متغيرين.

بالنسبة لوظائف متغيرين ، تلعب المناطق المغلقة والمحدودة الدور الذي تؤديه الفواصل الزمنية المغلقة لوظائف متغير واحد. المنطقة المغلقة هي منطقة تحتوي على حدودها (قرص الوحدة (x ^ 2 + y ^ 2 leq 1 ) مغلق ، بينما الجزء الداخلي (x ^ 2 + y ^ 2 lt 1 ) ليس مغلقًا ، على سبيل المثال) ، بينما المنطقة المحددة هي تلك التي لا تمتد إلى ما لا نهاية في أي اتجاه. تمامًا كما هو الحال بالنسبة لوظائف المتغير الفردي ، يجب أن يكون للوظائف المستمرة للعديد من المتغيرات التي تم تحديدها في المناطق المغلقة حدودًا قصوى وحد أدنى مطلقة في تلك المناطق.

نظرية القيمة القصوى.

لنفترض (f = f (x، y) ) أن تكون دالة مستمرة في منطقة مغلقة ومحدودة (R text <.> ) ثم (f ) لها حد أقصى مطلق وحد أدنى مطلق في ( ص نص <.> )

يجب أن تحدث النهايات المطلقة إما في نقطة حرجة داخل (R ) أو عند نقطة حدية (R text <.> ) لذلك يجب علينا اختبار كلا الاحتمالين ، كما أوضحنا في المثال التالي.

مثال 10.7.8.

افترض أن درجة الحرارة (T ) عند كل نقطة على اللوحة الدائرية (x ^ 2 + y ^ 2 leq 1 ) مُعطاة بواسطة

المجال (R = <(x، y): x ^ 2 + y ^ 2 leq 1 > ) هو منطقة مغلقة ومحدودة ، كما هو موضح على يسار الشكل 10.7.9 ، وبالتالي فإن القيمة القصوى تؤكد لنا النظرية أن (T ) له حد أقصى وحد أدنى مطلق على اللوحة. يظهر الرسم البياني لـ (T ) على مجالها (R ) في الشكل 10.7.9. سنجد أكثر النقاط سخونة وبرودة على اللوحة.

إذا حدث الحد الأقصى أو الأدنى المطلق داخل القرص ، فسيكون عند نقطة حرجة لذلك نبدأ بالبحث عن النقاط الحرجة داخل القرص. للقيام بذلك ، لاحظ أن النقاط الحرجة تُعطى بالشروط (T_x = 4x = 0 ) و (T_y = 2y - 1 = 0 text <.> ) وهذا يعني أن هناك نقطة حرجة واحدة للوظيفة عند النقطة ((x_0، y_0) = (0،1 / 2) text <،> ) الموجودة داخل القرص.

نجد الآن أكثر النقاط سخونة وبرودة على حدود القرص ، وهي دائرة نصف القطر 1. كما رأينا ، يمكن تحديد النقاط الموجودة على دائرة الوحدة كـ

حيث (0 leq t leq 2 pi text <.> ) يتم بعد ذلك وصف درجة الحرارة عند نقطة على الدائرة بواسطة

للعثور على النقاط الأكثر سخونة وبرودة على الحدود ، نبحث عن النقاط الحرجة لهذه الوظيفة ذات المتغير الفردي على الفاصل (0 leq t leq 2 pi text <.> ) لدينا

يوضح هذا أن لدينا نقاطًا حرجة عندما ( cos (t) = 0 ) أو ( sin (t) = -1/2 text <.> ) يحدث هذا عندما (t = pi / 2 text <،> ) (3 pi / 2 text <،> ) (7 pi / 6 text <،> ) و (11 pi / 6 text <.> ) نظرًا لأن لدينا (x (t) = cos (t) ) و (y (t) = sin (t) text <،> ) ، فإن النقاط المقابلة هي

هذه هي النقاط الحرجة لـ (T ) على الحدود ، وبالتالي فإن هذه المجموعة من النقاط تتضمن أكثر النقاط سخونة وبرودة على الحدود.

لدينا الآن قائمة بالمرشحين لأكثر النقاط سخونة وبرودة: النقطة الحرجة في الجزء الداخلي من القرص والنقاط الحرجة على الحدود. نحصل على النقاط الأكثر سخونة وبرودة عن طريق حساب درجة الحرارة في كل نقطة من هذه النقاط ، ونوجد ذلك

لذا فإن القيمة القصوى لـ (T ) على القرص (x ^ 2 + y ^ 2 leq 1 ) هي ( frac <9> <4> text <،> ) والتي تحدث عند الاثنين النقاط ( left ( pm frac < sqrt <3>> <2>، - frac <1> <2> right) ) على الحدود ، والحد الأدنى لقيمة (T ) على القرص (- frac <1> <4> ) والذي يحدث عند النقطة الحرجة ( left (0، frac <1> <2> right) ) داخل (R ) نص <.> )

من هذا المثال ، نرى أننا نستخدم الإجراء التالي لتحديد الحد الأقصى المطلق والحد الأدنى المطلق للدالة في مجال مغلق ومحدود.

الخطوة 1:.

أوجد جميع النقاط الحرجة للدالة في داخل المجال.

الخطوة 2:.

أوجد جميع النقاط الحرجة للدالة على حدود المجال. العمل على حدود المجال يقلل من هذا الجزء من المشكلة إلى واحد أو أكثر من مشاكل التحسين المتغير الفردي. لاحظ أنه قد تكون هناك نقاط نهاية على أجزاء من الحدود يجب أخذها في الاعتبار.

الخطوه 3:.

قم بتقييم الوظيفة عند كل نقطة من النقاط الموجودة في الخطوتين 1 و 2.

الخطوة 4:.

القيمة القصوى للدالة هي أكبر قيمة تم الحصول عليها في الخطوة 3 ، والحد الأدنى لقيمة الوظيفة هو أصغر قيمة تم الحصول عليها في الخطوة 3.

النشاط 10.7.6.

لنفترض (f (x، y) = x ^ 2-3y ^ 2-4x + 6y ) بمجال مثلث (R ) الذي تقع رؤوسه عند ((0،0) text <،> ) ((4،0) text <،> ) و ((0،4) text <.> ) يظهر المجال (R ) والرسم البياني (f ) على المجال في الشكل 10.7.10.

ابحث عن جميع النقاط الحرجة لـ (f ) في (R text <.> )

عدل الضلع الأفقي للمجال المثلثي ، وابحث عن النقاط الحرجة لـ (f ) على تلك الساق. (تلميح: قد تحتاج إلى التفكير في نقاط النهاية.)

عدل الضلع الرأسي للمجال المثلثي ، وابحث عن النقاط الحرجة لـ (f ) على تلك الساق. (تلميح: قد تحتاج إلى التفكير في نقاط النهاية.)

عدل الوتر للمجال المثلثي ، وابحث عن النقاط الحرجة لـ (f ) على الوتر. (تلميح: قد تحتاج إلى التفكير في نقاط النهاية.)

ابحث عن القيم القصوى والدنيا المطلقة المطلقة (f ) في (R text <.> )

ملخص القسم الفرعي 10.7.4

للعثور على الحد الأقصى للدالة (f = f (x، y) text <،> ) ، نجد أولاً النقاط الحرجة ، وهي النقاط التي يفشل فيها أحد أجزاء (f ) في الوجود ، أو حيث (f_x = 0 ) و (f_y = 0 text <.> )

يساعد الاختبار الاشتقاقي الثاني في تحديد ما إذا كانت النقطة الحرجة هي الحد الأقصى المحلي ، أو الحد الأدنى المحلي ، أو نقطة السرج.

إذا تم تعريف (f ) في مجال مغلق ومحدود ، فإننا نجد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق من خلال إيجاد النقاط الحرجة في داخل المجال ، وإيجاد النقاط الحرجة على الحدود ، واختبار قيمة (f ) في كلتا مجموعتي النقاط الحرجة.

تمارين 10.7.5 تمارين

استجب لكل من المطالبات التالية لحل مشكلة التحسين المحددة.

دع (f (x، y) = sin (x) + cos (y) text <.> ) حدد القيم القصوى والدنيا المطلقة (f text <.> ) في أي نقاط تفعل تحدث هذه القيم المتطرفة؟

لدالة معينة قابلة للتفاضل (F ) لمتغيرين (س ) و (ص نص <،> ) مشتقاتها الجزئية هي

ابحث عن كل نقطة من النقاط الحرجة في (F text <،> ) وصنف كل منها على أنها الحد الأقصى المحلي ، أو الحد الأدنى المحلي ، أو نقطة السرج.

حدد جميع النقاط الحرجة لـ (T (x، y) = 48 + 3xy - x ^ 2y - xy ^ 2 ) وصنف كل منها على أنها قيمة عظمى محلية أو حد أدنى محلي أو نقطة سرج.

أوجد وصنف جميع النقاط الحرجة لـ (g (x، y) = frac <2> + 3y ^ 3 + 9y ^ 2 - 3xy + 9y - 9x )

ابحث عن جميع النقاط الحرجة وصنفها من (z = f (x، y) = ye ^ <- x ^ 2-2y ^ 2> text <.> )

حدد الحد الأقصى المطلق والحد الأدنى المطلق لـ (f (x، y) = 2 + 2x + 2y - x ^ 2 - y ^ 2 ) على اللوحة المثلثية في الربع الأول الذي يحده الخطوط (x = 0 ) text <،> ) (y = 0 text <،> ) و (y = 9-x text <.> )

حدد الحد الأقصى المطلق والحد الأدنى المطلق لـ (f (x، y) = 2 + 2x + 2y - x ^ 2 - y ^ 2 ) فوق قرص النقاط المغلق ((x، y) ) بحيث ((x-1) ^ 2 + (y-1) ^ 2 le 1 text <.> )

أوجد النقطة على المستوى (z = 6 - 3x - 2y ) الأقرب إلى نقطة الأصل.

إذا كانت الوظيفة المستمرة (f ) لمتغير واحد تحتوي على رقمين حرجين (c_1 ) و (c_2 ) حيث (f ) لها قيم قصوى نسبية ، إذن يجب أن يكون (f ) حرجة أخرى number (c_3 text <،> ) لأنه `` من المستحيل وجود جبلين دون وجود نوع من الوادي بينهما. يمكن أن تكون النقطة الحرجة الأخرى نقطة سرج (ممر بين الجبال) أو نقطة دنيا محلية (وادي حقيقي). "(من حساب التفاضل والتكامل في مساحات المتجهات بواسطة Lawrence J. Corwin و Robert H. Szczarb.) ضع في اعتبارك الوظيفة (f ) المحددة بواسطة (f (x، y) = 4x ^ 2e ^ y -2x ^ 4 -e ^ <4y> text <. > ) (من Ira Rosenholz في قسم المشاكل في مجلة الرياضيات، المجلد. 60 لا. 1 ، فبراير 1987.) أظهر أن (f ) يحتوي على نقطتين حرجتين بالضبط ، وأن (f ) له قيم قصوى نسبية في كل نقطة من هذه النقاط الحرجة. اشرح كيف توضح هذه الوظيفة (f ) أنه من الممكن حقًا وجود جبلين دون وجود نوع من الوادي بينهما. استخدم التكنولوجيا المناسبة لرسم السطح المحدد بواسطة (f ) لترى كيف يحدث ذلك بيانياً.

إذا كانت الدالة المستمرة (f ) لمتغير واحد تحتوي بالضبط على رقم حرج واحد بحد أقصى نسبي في تلك النقطة الحرجة ، فإن قيمة (f ) في تلك النقطة الحرجة هي قيمة قصوى مطلقة. في هذا التمرين ، نرى أن الأمر نفسه لا ينطبق دائمًا على وظائف متغيرين. اسمح (f (x، y) = 3xe ^ y-x ^ 3-e ^ <3y> ) (من "" النقطة الحرجة الوحيدة في المدينة "" باختبار إيرا روزنهولز ولويل سمايلي في مجلة الرياضيات، المجلد 58 رقم 3 مايو 1985.). أظهر أن (f ) يحتوي على نقطة حرجة واحدة بالضبط ، وله قيمة قصوى نسبية في تلك النقطة الحرجة ، لكن هذا (f ) ليس له قيمة قصوى مطلقة. استخدم التكنولوجيا المناسبة لرسم السطح المحدد بواسطة (f ) لترى كيف يحدث ذلك بيانياً.

يريد الصانع شراء صناديق مستطيلة لشحن منتجاتها. يجب أن تحتوي الصناديق على 20 قدمًا مكعبة من المساحة. لكي تكون متينة بدرجة كافية لضمان سلامة المنتج ، ستكلف المواد الخاصة بجوانب الصناديق 0.10 لكل قدم مربع ، بينما تكلف المواد الخاصة بالجزء العلوي والسفلي 0.25 لكل قدم مربع. في هذا النشاط ، سنساعد الشركة المصنعة في تحديد مربع التكلفة الدنيا.

ما هي الكميات الثابتة في هذه المسألة؟ ما هي المتغيرات في هذه المشكلة؟ قدم ملصقات متغيرة مناسبة. ما هي القيود ، إن وجدت ، الموجودة على المتغيرات؟

باستخدام المتغيرات الخاصة بك من (أ) ، حدد صيغة للتكلفة الإجمالية (C ) للمربع.

قد تكون الصيغة في الجزء (ب) من حيث ثلاثة متغيرات. إذا كان الأمر كذلك ، فابحث عن علاقة بين المتغيرات ، ثم استخدم هذه العلاقة لكتابة (C ) كدالة لمتغيرين مستقلين فقط.

ابحث عن الأبعاد التي تقلل من تكلفة الصندوق. تأكد من التحقق من أن لديك حدًا أدنى للتكلفة.

يتم بناء مربع مستطيل بطول (س نص <،> ) عرض (ص نص <،> ) وارتفاع (ض ). يتم وضع الصندوق بحيث يتم وضع أحد الزوايا في الأصل والمربع يقع في الجزء الثماني الأول حيث (x text <،> ) (y text <،> ) و (z ) كلها إيجابي. هناك قيد إضافي على كيفية إنشاء الصندوق: يجب أن يتلاءم أسفل المستوى مع المعادلة (x + 2y + 3z = 6 text <.> ) في الواقع ، سنفترض أن ركن المربع "عكس يجب أن يكون الأصل موجودًا بالفعل على هذا المستوى. المشكلة الأساسية هي العثور على الحجم الأقصى للمربع.

ارسم الطائرة (x + 2y + 3z = 6 text <،> ) بالإضافة إلى صورة لمربع محتمل. قم بتسمية كل شيء بشكل مناسب.

اشرح كيف يمكنك استخدام حقيقة أن أحد أركان الصندوق يقع على المستوى لكتابة حجم الصندوق كدالة لـ (س ) و (ص ) فقط. افعل ذلك ، واعرض بوضوح الصيغة التي تجدها لـ (V (x، y) text <.> )

ابحث عن جميع النقاط الحرجة في (V text <.> ) (لاحظ أنه عند إيجاد النقاط الحرجة ، من الضروري أن تحلل العوامل أولاً لتسهيل الجبر.)

دون مراعاة الطبيعة المطبقة حاليًا للوظيفة (V text <،> ) صنف كل نقطة حرجة وجدتها أعلاه على أنها نقطة حد أقصى محلية أو حد أدنى محلي أو نقطة سرج لـ (V text <.> )

حدد الحجم الأقصى للمربع ، مبررًا إجابتك تمامًا بمناقشة مناسبة للنقاط الحرجة للوظيفة.

لنفترض الآن أننا بدلًا من ذلك قررنا أنه بينما لا يزال يتعين على رأس المربع المقابل للأصل الاستلقاء على المستوى ، فإننا سنسمح فقط بجوانب المربع ، (س ) و (ص نص <، > ) للحصول على قيم في نطاق محدد (معطى أدناه). أي أننا نريد الآن إيجاد القيمة القصوى لـ (V ) في المنطقة المغلقة والمحدودة

ابحث عن الحجم الأقصى للمربع تحت هذا الشرط ، مبررًا إجابتك بالكامل.

تفرض شركات الطيران قيودًا على الأمتعة التي يمكن حملها على متن الطائرات.

لا يمكن أن تزن الحقيبة المحمولة أكثر من 40 رطلاً.

لا يمكن أن يتجاوز الطول والعرض والارتفاع للكيس 45 بوصة.

يجب أن توضع الحقيبة في حاوية علوية.

لنفترض أن (x text <،> ) (y text <،> ) و (z ) هو الطول والعرض والارتفاع (بالبوصة) للحقيبة المحمولة. في هذه المسألة نجد أبعاد الحقيبة ذات الحجم الأكبر (V = xyz text <،> ) التي تفي بالقيد الثاني. افترض أننا نستخدم كل 45 بوصة للحصول على أقصى حجم. (لاحظ أن هذه الحقيبة ذات الحجم الأقصى قد لا تلبي الشرط الثالث.)

اكتب الحجم (V = V (x، y) ) كدالة للمتغيرين فقط (x ) و (y text <.> )

اشرح لماذا المجال الذي يتم تعريف (V ) عليه هو المنطقة المثلثية (R ) برؤوس (0،0) و (45،0) و (0،45).

ابحث عن النقاط الحرجة ، إن وجدت ، لـ (V ) داخل المنطقة (R text <.> )

ابحث عن الحد الأقصى لقيمة (V ) على حدود المنطقة (R text <،> ) ثم حدد أبعاد الحقيبة ذات الحجم الأقصى على المنطقة بأكملها (R text <.> ) (لاحظ أن معظم حقائب اليد المباعة اليوم تقاس (22 ) بـ (14 ) بـ (9 ) بوصة بحجم (2772 ) بوصة مكعبة ، بحيث تتناسب الأكياس مع صناديق العامة.)

بالنسبة الى أغنية الحشرات بواسطة GW. بيرس (مطبعة كلية هارفارد ، 1948) يرتبط صوت صرصور صراصير الأرض المخططة ، بعدد النقيق في الثانية ، بدرجة الحرارة. لذا فإن عدد النغمات في الثانية يمكن أن يكون مؤشرًا لدرجة الحرارة. يتم عرض البيانات التي تم جمعها من قبل Pierce في الجدول 10.7.11. ، حيث (x ) هو (متوسط) عدد النغمات في الثانية و (y ) هي درجة الحرارة بالدرجات فهرنهايت.

يُظهر مخطط مبعثر البيانات أنه في حين أن العلاقة بين (س ) و (ص ) ليست خطية تمامًا ، يبدو أن لها نمطًا خطيًا. قد تكون العلاقة خطية حقًا ولكن الخطأ التجريبي يتسبب في أن تكون البيانات غير دقيقة إلى حد ما. أو ربما لا تكون البيانات خطية ، ولكنها خطية تقريبًا.

الجدول 10.7.11. الصراصير النقيق.
(س ) (ص )
(20.0) (88.6)
(16.0) (71.6)
(19.8) (93.3)
(18.4) (84.3)
(17.1) (80.6)
(15.5) (75.2)
(14.7) (69.7)
(17.1) (82.0)
(15.4) (69.4)
(16.2) (83.3)
(15.0) (79.6)
(17.2) (82.6)
(16.0) (80.6)
(17.0) (83.5)
(14.4) (76.3)

إذا أردنا استخدام البيانات لإجراء تنبؤات ، فنحن بحاجة إلى ملاءمة منحنى من نوع ما للبيانات. نظرًا لأن بيانات لعبة الكريكيت تظهر بشكل خطي تقريبًا ، فسنلائم دالة خطية (f ) من النموذج (f (x) = mx + b ) للبيانات. سنفعل ذلك بطريقة تقلل من مجاميع مربعات المسافات بين قيم (y ) للبيانات والقيم المقابلة (y ) للخط المحدد بواسطة (f text < .> ) هذا النوع من الملاءمة يسمى أ المربعات الصغرى تقريب. إذا كانت البيانات ممثلة بالنقاط ((x_1، y_1) text <،> ) ((x_2، y_2) text <،> ) ( ldots text <،> ) (( x_n، y_n) text <،> ) ثم مربع المسافة بين (y_i ) و (f (x_i) ) هو ((f (x_i) -y_i) ^ 2 = (mx_i + b -y_i) ^ 2 text <.> ) لذا فإن هدفنا هو تقليل مجموع هذه المربعات ، وتقليل الوظيفة (S ) المحددة بواسطة

احسب (S_m ) و (S_b text <.> )

حل النظام (S_m (م ، ب) = 0 ) و (S_b (م ، ب) = 0 ) لإظهار أن النقطة الحرجة ترضي

(تلميح: لا تخاف من هذه التعبيرات ، فالنظام (S_m (m، b) = 0 ) و (S_b (m، b) = 0 ) هو نظام من معادلتين خطيتين في المجهول (م ) و (ب نص <.> ) قد يكون من الأسهل ترك (r = sum_^ n x_i ^ 2 text <،> ) (s = sum_^ n x_i text <،> ) (t = sum_^ n y_i text <،> ) و (u = sum_^ n x_iy_i ) واكتب معادلاتك باستخدام هذه الثوابت.)

استخدم الاختبار الاشتقاقي الثاني لشرح سبب إعطاء النقطة الحرجة حدًا أدنى محليًا. هل يمكنك بعد ذلك شرح سبب إعطاء النقطة الحرجة حدًا أدنى مطلقًا؟

استخدم الصيغة من الجزء (ب) لإيجاد قيم (م ) و (ب ) التي تعطي السطر الأنسب لمعنى المربعات الصغرى لبيانات لعبة الكريكيت. ارسم خطك على مخطط التبعثر لإقناع نفسك بأن لديك خطًا مناسبًا.


دروس تفاعلية

  • أول مشتق للدالة. يتم استكشاف التفسير الرسومي لمشتق دالة بشكل تفاعلي باستخدام التطبيق الصغير.
  • مشتقات الدوال التربيعية. يتم استكشاف مشتق الوظائف التربيعية بيانياً وتفاعلياً.
  • مشتقات دوال كثيرة الحدود. يتم استكشاف مشتق وظائف كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة بشكل تفاعلي ورسمي.
  • مشتقات وظائف الجيب (sin x). يتم استكشاف مشتق وظائف الجيب بشكل تفاعلي.
  • مشتق من tan (x). يتم استكشاف مشتق tan (x) بشكل تفاعلي لفهم سلوك خط الظل بالقرب من خط مقارب عمودي.
  • تقعر الرسوم البيانية. يتم تقديم تعريف الرسوم البيانية جنبًا إلى جنب مع نقاط الانعطاف.
  • تقعر الرسوم البيانية للوظائف التربيعية. تقعر الرسم البياني للدالة التربيعية للشكل و (س) = أ س 2 + ب س + ج يتم استكشافه بشكل تفاعلي.
  • تقعر دوال كثيرة الحدود. تقعر الرسم البياني لدالة كثيرة الحدود في النموذج و (س) = س 3 + أ س 2 + ب س + ج يتم استكشافه باستخدام تطبيق صغير.
  • الظل العمودي. مشتق من و (س) = س 1/3 يتم استكشافه بشكل تفاعلي لفهم مفهوم الظل العمودي.
  • يعني نظرية القيمة. استكشف نظرية القيمة المتوسطة باستخدام التطبيق الصغير.
  • المعادلات التفاضلية - طريقة رونج كوتا. اكتشف طريقة Runge Kutta ، وهي طريقة عددية قوية لتقريب الحلول للمعادلات التفاضلية.
  • تعريف مشتق الوظيفة. يتم استكشاف تعريف مشتق دالة في حساب التفاضل والتكامل بشكل تفاعلي باستخدام التطبيق الصغير.
  • تعريف التكاملات المحددة - مجموع ريمان. برنامج صغير لاستكشاف تعريف التكامل المحدد.
  • صيغة متكاملة لتعريف اللوغاريتم الطبيعي ln (x). برنامج صغير لاستكشاف تعريف اللوغاريتم الطبيعي ln (x).
  • سلسلة فورييه من الوظائف الدورية. برنامج تعليمي حول كيفية العثور على معاملات فورييه لوظيفة ما وبرنامج تعليمي بين الأجزاء باستخدام برنامج صغير لاستكشاف نفس الوظيفة وسلسلة فورييه الخاصة بها بيانياً.

انقر أو اضغط على مشكلة لرؤية الحل.

مثال 1

مثال 2

مثال 3

مثال 4

مثال 5

مثال 6

مثال 7

المثال 8

المثال 9

المثال 10

المثال 11

المثال 12

المثال 13

المثال 14

المثال 15

المثال 16

المثال 17

المثال 18

مثال 1.

يتم إعطاء إجمالي الإيرادات بواسطة

يتم تحديد الربح من خلال الصيغة

أوجد مشتق (P left (x right): )

هناك قيمة حاسمة واحدة:

نستخدم اختبار المشتق الثاني لتصنيف النقطة الحرجة.

بما أن (P ^ < prime prime> left (x right) ) سلبي ، فإن (x = 2000 ) هي نقطة الحد الأقصى.

ومن ثم ، يتم تعظيم الربح عند بيع أجهزة الألعاب (2000 ).

في هذه الحالة ، سعر الوحدة يساوي

مثال 2.

يتم إعطاء دالة الربح بواسطة

خذ مشتق (P left (x right): )

بما أن المشتق الثاني لـ (P left (x right) ) سالب ، فإن (x = 2500 ) هو نقطة قيمة عظمى.

ومن ثم فإن الشركة تحقق أكبر ربح عندما (س = 2500. )

مثال 3.

يتم تحديد الإيرادات بواسطة الصيغة

[R left (x right) = xp left (x right). ]

نرى أن (R left (x right) ) عبارة عن قطع مكافئ منحني لأسفل. لها حد أقصى في النقطة التالية:

نظرًا لأن المشتق الثاني للدالة (R left (x right) ) سلبي ، فإن النقطة (x = 10 ) هي نقطة الحد الأقصى.

وبالتالي ، يتم تحقيق الحد الأقصى للإيرادات بمعدل الإنتاج (x = 10. )

مثال 4.

الدخل من بيع الوحدات المصنعة خلال شهر هو

[R left (n right) = np left (n right) = n left (<10000 & # 8211 n> right). ]

يتم إعطاء المصروفات الشهرية بواسطة

[C يسار (n يمين) = n يسار (<1000 + 2n> يمين). ]

ثم يتم تحديد الربح من خلال الصيغة

تحقق من القيم القصوى لدالة الربح. بافتراض أن (n ) رقم حقيقي والتفاضل فيما يتعلق (n ، ) نحصل على:

احسب أيضًا المشتق الثاني:

بما أن المشتق الثاني سالب في كل مكان ، فإن الحل (n = 1500 ) هو أقصى نقطة. وبذلك فإن إنتاج (1500 ) جهاز شهريًا يوفر أعلى ربح للشركة.

مثال 5.

تتم كتابة دالة الربح كـ

[P left (x right) = R left (x right) & # 8211 C left (x right) ، ]

حيث يتم إعطاء الإيرادات (R left (x right) ) بواسطة (R left (x right) = xp ) ( (p ) هو السعر لكل فطيرة واحدة). ثم

مشتق (P left (x right) ) هو

حدد النقطة التي يكون عندها المشتق صفرًا:

لاحظ أن المشتق الثاني سالب:

لذلك ، (x = 200 ) هي نقطة الحد الأقصى ، لذلك يتم تحقيق أكبر ربح عند (x = 200. )


3.17: تحسين وظائف عدة متغيرات (تمارين)

оличество зарегистрированных учащихся: 26 тыс.

تعتبر هذه الدورة جزءًا مهمًا من المرحلة الجامعية في التعليم لخبراء الاقتصاد المستقبليين. إنه مفيد أيضًا لطلاب الدراسات العليا الذين يرغبون في اكتساب المعرفة والمهارات في جزء مهم من الرياضيات. يمنح الطلاب مهارات لتنفيذ المعرفة الرياضية والخبرة لمشاكل الاقتصاد. متطلباته الأساسية هي معرفة حساب التفاضل والتكامل الفردي المتغير وأسس الجبر الخطي بما في ذلك العمليات على المصفوفات والنظرية العامة لأنظمة المعادلات المتزامنة. قد تكون بعض المعرفة بالمساحات المتجهة مفيدة للطالب. تغطي الدورة العديد من حسابات التفاضل والتكامل المتغيرة ، سواء التحسين المقيد وغير المقيد. تهدف الدورة إلى تعليم الطلاب إتقان مسائل الإحصاء المقارنة ، ومشكلات التحسين باستخدام الأدوات الرياضية المكتسبة. سيتم توفير الواجبات المنزلية على أساس أسبوعي.الهدف من الدورة هو اكتساب معرفة الطلاب في مجال الرياضيات وجعلهم مستعدين لتحليل المواقف الاقتصادية المحاكاة وكذلك الواقعية. يتعلم الطلاب كيفية استخدام الرياضيات وتطبيقها من خلال العمل بأمثلة وتمارين محددة. علاوة على ذلك ، تهدف هذه الدورة إلى إظهار ما يشكل دليلاً قاطعًا. يمكن تدريب وتحسين القدرة على تقديم البراهين وفي هذا الصدد تكون الدورة مفيدة. سيظهر أن الرياضيات لا تقتصر فقط على "وصفات كتب الطبخ". على العكس من ذلك ، فإن المعرفة العميقة بمفاهيم الرياضيات تساعد على فهم مواقف الحياة الحقيقية. هل لديك مشاكل فنية؟ اكتب إلينا: [email protected]

Рецензии

نظريات الوظيفة الضمنية وتطبيقاتها.

الأسبوع 3 من الدورة مكرس لنظريات الوظيفة الضمنية. في هذا الأسبوع تم شرح ثلاث نظريات مختلفة للدالة الضمنية. سيتعرف الطلاب هذا الأسبوع على كيفية تطبيق مفهوم IFT لحل المشكلات المختلفة.

Реподаватели

كيريل بوكين

أستاذ مشارك ، مرشح للعلوم (فيزياء - رياضيات).

Екст видео

دعونا نفكر في تمرين حيث يتعين علينا تطبيق نظرية الوظيفة الضمنية رقم 2 ، والتي تتضمن العديد من المتغيرات. لنفكر في معادلة & # x27. السؤال هو ، للعثور على جميع قيم X ، Y ، Z التي تفي بنظام شروط الدرجة الأولى حيث z لـ x ، y هي دالة ضمنية تحددها هذه المعادلة الخاصة. نحتاج أيضًا ، جنبًا إلى جنب مع هذين الشرطين من الدرجة الأولى ، إلى صياغة شرط توجد تحته هذه الوظيفة الضمنية. إذن هذه هي معادلتنا. دع & # x27s نكتبها مرة أخرى. هذه المرة نقل هذين المصطلحين إلى الجانب الأيسر. نضع الصفر. لتطبيق نظرية IFT ، نحتاج إلى التحقق من شرط أن dF على dZ ليس صفراً ، حيث يتم حساب هذا المشتق ويجب ألا يكون & # x27t صفرًا. لذلك عندما نجد قيم x و y و z ، سوف نتحقق من هذا الشرط من أجل الحصول على إمكانية تطبيق IFT بشكل صحيح. لذا دع & # x27s تشكل النظام الذي يتضمن كلا الشرطين من الدرجة الأولى أيضًا يجب أن تفي النقطة ذات الإحداثيات x و y و z بهذه المعادلة. فزنا & # x27t ننسى أن هذا الشرط يجب أن يتحقق أيضًا. لنضع نظام المعادلات & # x27s. حسنًا ، أولاً ، نضع المعادلة رقم واحد. & # x27ll سأستخدم تدوينًا مختزلاً فقط اكتب F لـ x ، y ، z يساوي صفرًا. وأحتاج أيضًا إلى تضمين كلا المشتقتين الجزئيتين dz على dx و dz على dy. لكن أولاً ، دعونا نحسبها. وفقًا لـ IFT ، طبقنا هنا ، يجب حساب هذا المشتق باستخدام الصيغة. هنا في البسط ، نشتق بالنسبة إلى x ، ثم نحصل على سالب أربعة يساوي صفرًا. بعد ذلك ، اشتق بالنسبة إلى y. نظرًا لأنه يمكننا حذف المقامات ، فإن المقام ليس عددًا صفريًا ، فسنحصل على معادلتين بسيطتين تمامًا. Y زائد z يساوي أربعة ، و x يساوي ثلاثة. سيتم استخدام كلاهما لتبسيط المعادلة رقم واحد. إذن ما يتعين علينا القيام به ، علينا التعويض في المعادلة رقم واحد ، هذه القيمة الملموسة لـ x وهي ثلاثة ، وأيضًا أجد y بدلالة z والتعويض في المعادلة ، لذا دعنا نفعل ذلك & # x27s. حتى هنا ، أواصل. لدينا زائد. إذن نأخذ ثلاثة بدلًا من x. ما & # x27s المتبقية لتجميع المصطلحات المتشابهة وإعادة كتابتها مرة أخرى. فماذا & # x27s المتبقية؟ معادلة تربيعية بدلالة z زائد 3z ناقص 10. من السهل إيجاد الجذور باستخدام نظرية viet & # x27s. إذن ، ستكون القيمة الأولى سالب خمسة والقيمة الثانية ستكون اثنين فقط. الآن ، بعد إيجاد قيم z هذه ، علينا التعويض في المعادلة رقم اثنين لإيجاد y. إذن ، في كلتا الحالتين ، x هو ثلاثة بالطبع. إذن ، y_1 يساوي تسعة و y_2 يساوي اثنين. نحن بحاجة للتحقق من صحة هذا الشرط. يمكن القيام به بسهولة وعقلية جيدة. لدينا سالب 10 زائد ثلاثة وأربعة زائد ثلاثة. لذلك في كلتا الحالتين ، يتم الوفاء به. إذن ستكون الإجابة ضعفين. لذا اسمحوا لي أن أكتب هنا بطريقة ما ثلاثية رقم واحد (3 ، 9 ، -5) ، و (3 ، 2 ، 2). نهاية التمرين.


حساب الأعمال مع Excel

نظرنا في القسم الأخير إلى استخدام المشتقات الجزئية لإيجاد الحد الأقصى أو الصغر لدالة في عدة متغيرات. هذا امتداد لمشاكل التحسين التي قمنا بها مع وظائف متغير واحد. من المفيد إلقاء نظرة أخرى على أفضل المنحنيات أو خطوط الاتجاه المناسبة ، وهي العملية التي يقوم بها Excel طوال الدورة التدريبية ونرى أنها مثال معين على التحسين. سيتيح لنا ذلك أفضل منحنيات مناسبة تستخدم نماذج غير تلك المستخدمة بواسطة أمر خط الاتجاه.

قبل أن نتمكن من العثور على المنحنى الأنسب لمجموعة من البيانات ، نحتاج إلى فهم كيفية تحديد "أفضل ملاءمة". نبدأ بأبسط مثال غير بديهي. نحن نعتبر مجموعة بيانات من 3 نقاط ، (<(1،0) ، (3،5) ، (6،5)> ) والخط الذي سنستخدمه للتنبؤ بقيمة y بالنظر إلى قيمة x ، (توقع (س) = س / 2 +1 نص <.> ) نريد تحديد مدى مطابقة السطر لتلك البيانات. لكل نقطة ، ((x_0، y_0) text <،> ) في المجموعة ، نبدأ بإيجاد النقطة المقابلة ، ((x_0 ، توقع (x_0)) text <،> ) على السطر. هذا يعطينا مجموعة من النقاط المتوقعة ، (<(1،1.5) ، (3،2.5) ، (6،4)> text <.> )

لكل نقطة نقوم الآن بحساب الفرق بين قيم y الفعلية وقيم y المتوقعة. أخطائنا هي أطوال الأجزاء البنية في الصورة ، في هذه الحالة (<3 / 2،3 / 2،1> نص <.> ) أخيرًا نضيف مربعات الأخطاء ، (9/4) + 9/4 + 1 = 11/2 نص <.> )

يتم تعريف أفضل خط ملائم على أنه الخط الذي يقلل من مجموع مربعات الخطأ. إذا كنا نحاول ملاءمة البيانات مع نموذج مختلف ، فنحن نريد اختيار المعادلة من هذا النموذج التي تقلل مجموع مربعات الخطأ.

الآن بعد أن أصبح لدينا تعريف ، نريد أن ننظر في ملاءمة سطر لمجموعة بيانات بسيطة بثلاث طرق. سنبدأ بمجموعة البيانات من ثلاث نقاط:

مثال 6.4.1. العثور على منحنى أفضل ملاءمة مع خط الاتجاه.

استخدم أمر خط الاتجاه للعثور على أفضل سطر ملائم للبيانات:

الحل: نبدأ بعمل جدول بإضافة مخطط مبعثر وإضافة خط اتجاه إلى الرسم البياني. نتذكر تحديد الخيار لجعل الصيغة مرئية. يخبرنا أمر خط الاتجاه أن المنحدر يجب أن يكون 2 وأن التقاطع يجب أن يكون 1.

مثال 6.4.2. البحث عن منحنى أفضل ملاءمة باستخدام التعريف والحلول.

استخدم solver وتعريف أفضل ملاءمة للعثور على أفضل خط ملائم للبيانات:

الحل: لاستخدام حلال ، نحتاج إلى إضافة معادلة التنبؤ. نبدأ بميل وتقاطع تم اختياره عشوائيًا لخط التنبؤ الخاص بنا. يحتوي جدولنا على عمود PredictedY ، والذي يعطي القيمة التي ستكون على خط المنحدر والتقاطع. نضيف الخطأ ، وهو الفرق بين y المتنبأ به و y الفعلي ، ومربع الخطأ. ثم نأخذ مجموع مربعات الأخطاء.

يتشابه استخدامنا لـ Solver مع عندما كنا نبحث عن حد أدنى لدالة لمتغير واحد. نحتاج إلى تعيين الخلية بالقيمة التي نريد تقليلها. نختار الزر لتقليل. نقوم الآن بتعيين خليتين تمثلان متغيرات يمكننا تغييرها.

ينتج Solver نفس الإجابة. أفضل خط مناسب هو

مثال 6.4.3. العثور على منحنى أفضل ملاءمة مع التعريف وحساب التفاضل والتكامل.

استخدم حساب التفاضل والتكامل والمشتقات الجزئية وتعريف أفضل ملاءمة للعثور على أفضل خط ملائم للبيانات:

الحل: قبل أن نتمكن من استخدام المشتقات الجزئية لإيجاد أفضل خط ملائم ، نحتاج إلى دالة سنأخذ مشتقاتها. نبدأ بالرسم البياني الذي أنشأناه عندما كنا نستخدم الحلول. هذا يعطي صيغة للخطأ التربيعي عند كل نقطة من حيث ميل الخط وتقاطعه.

هدف x ذ توقع- ص (خطأ) (خطأ ^ 2 )
(P1 ) (2) (1) (م * 2 + ب ) (م * 2 + ب -1 ) ((م * 2 + ب -1) ^ 2 )
P2 4 15 م * 4 + ب م * 4 + ب 15 (م * 4 + ب 15)
ص 3 8 15 م * 8 + ب م * 8 + ب 15 ((م * 8 + ب -15) ^ 2 )

يمكننا توسيع الحد التربيعي للخطأ وإضافة هذه القيم. بعد حساب مباشر ومضجر ، نرى أننا نحاول التقليل

نأخذ المشتق الجزئي لهذه الوظيفة فيما يتعلق بالمنحدر (م ) والتقاطع (ب نص <.> )

عند ضبط الجزأين على الصفر والحل ، نرى أن الجزأين كلاهما صفر عندما (م = 2 ) و (ب = 1 نص <.> ) مرة أخرى ، ينتج عن هذه الطريقة نفس السطر الأنسب.

يمكننا استخدام نفس الأساليب مع مشكلة أكبر.

مثال 6.4.4. استخدم أسلوب Solver على مجموعة بيانات أكبر.

يقدم الجدول أدناه بيانات التعداد لمجموعة من 10 ولايات. ابحث عن أفضل خط مناسب للتنبؤ بعدد السكان لعام 2010 استنادًا إلى عدد سكان عام 2000.

بوب 2000 بوب 2010
وايومنغ 493,782 563,62
ديلاوير 783,600 897,934
مين 1,274,923 1,328,361
نيفادا 1,998,257 2,700,551
ايوا 2,926,324 3,046,355
كنتاكي 4,041,769 4,339,367
أريزونا 5,130,632 6,392,017
واشنطن 5,894,121 6,724,540
نيو جيرسي 8,414,350 8,791,894
كاليفورنيا 33,871,648 37,253,956

الحل: قمنا بإعداد جدول بيانات بنفس الطريقة التي قمنا بإعداده بها في المثال الأخير. بالنسبة للانحدار الأولي ، سنبدأ بـ 1.1 لنمو بنسبة 10٪. لنقطة البداية ، سنخمن تقاطعًا بقيمة 0. كما فعلنا في المثال الأخير ، فإن عدد السكان المتوقع في عام 2010 هو الميل مضروبًا في عدد السكان في عام 2000 بالإضافة إلى التقاطع. نضيف أعمدة إضافية للتعداد السكاني المتوقع ، والخطأ بين التنبؤ وعدد السكان الفعلي ، ومربع الخطأ. في الجزء السفلي من العمود الأخير نضيف الأخطاء التربيعية. هذا يعطي القيمة التي نريد تقليلها.

عندما نستخدم solver ، فإن أفضل خط مناسب هو

تتمثل ميزة استخدام تعريف مجموع المربعات في أنه يمكننا العثور على أفضل منحنى ملائم باستخدام نموذج لا يدعمه Excel. على سبيل المثال ، إذا كان لدينا أموال مستثمرة بفائدة ، ولكن تم الاحتفاظ بجزء من رأس المال نقدًا دون كسب فائدة ، فنحن نبحث عن منحنى النموذج:

لا يسمح لنا أمر خط الاتجاه باختيار مثل هذا النموذج للعثور على أفضل منحنى ملائم. إنه سهل الاستخدام باستخدام أفضل بنية ملائمة.

مثال 6.4.5. إيجاد منحنى أفضل ملاءمة لمعادلة نموذج غير قياسي.

يتم تزويدنا بالبيانات التالية حول قيمة المحفظة بمرور الوقت:

عام مقدار
0 $10,000
2 $10,920
5 $12,490
8 $14,300
9 $14,960
12 $17,169
14 $18,820
17 $21,630
19 $23,740
20 $24,880

نعتقد أن المستثمر يضع بعض المال في حساب آمن لا يعطي فائدة (علبة قهوة) وبقية الأموال في حساب يحمل فائدة (حساب استثماري). ابحث عن المبلغ المودع في كل حساب وسعر الفائدة لحساب الاستثمار.

الحل: قمنا بإعداد هذا كثيرًا كما فعلنا مع النموذج الخطي ، باستثناء المعادلة النموذجية الآن

ثم نستخدم Solver لتقليل الخلية E26 ، عن طريق تغيير الخلايا B20: B22. يشير حلنا إلى أن CashAmount = $ 997.76 ، DepositAmount = $ 9،005.51 ، والسعر = 1.05.

عندما نستخدم هذه التقنية مع النماذج الرياضية الأخرى ، يكون التغيير الوحيد في الصيغة المستخدمة لقيمة y المتوقعة.

مثال 6.4.6. إيجاد منحنى لوجستي أفضل ملاءمة.

نحن ندير أعمال حصاد الأخشاب. يتم نمذجة عدد الأشجار المتاحة في قطعة الأرض على أنها نمو مقيد. هذا يعني أننا نتوقع أن تكون على غرار معادلة لوجستية.

لدينا المعلومات التالية. اعثر على أفضل منحنى مناسب.

الحل: قمنا بإعداد هذا كثيرًا كما فعلنا مع النموذج الخطي ، ولكن باستخدام النموذج اللوجستي.

ثم نستخدم Solver لتقليل الخلية E12 عن طريق تغيير الخلايا B1: B3. يشير حلنا إلى أن السعة = 14996 ، C = 99.93 ، والمعدل = 0.200.

لقد درسنا ثلاث طرق لإيجاد أفضل منحنى ملائم. من الفصل الأول ، راجعنا طريقة رسم النقاط وإضافة خط اتجاه. باستخدام مجموع تعريف الخطأ التربيعي الأصغر لأفضل ملاءمة ، نظرنا في إنشاء دالة خطأ واستخدام Solver لتقليل الخطأ. درسنا أيضًا استخدام المشتقات الجزئية لإيجاد النقاط الحرجة لدالة الخطأ. من المفيد إلقاء نظرة على بعض نقاط القوة والضعف في كل طريقة.

تتميز طريقة رسم النقاط واستخدام أمر خط الاتجاه بكونها أبسط طريقة عندما تعمل. أكبر عيب في هذه الطريقة هو أنها تعمل فقط مع مجموعة صغيرة من النماذج الرياضية. (يمكننا استخدام هذه الطريقة إذا كانت المعادلة التي نريدها خطية ، (y = mx + b text <،> ) اللوغاريتمي ، (y = a log (x) + b text <،> ) متعدد الحدود لـ درجة لا تزيد عن 6 ، القوة ، (y = ax ^ b text <،> ) أو الأسي ، (y = ae ^ bx text <.> )) كما رأينا في هذا القسم ، فهو كذلك ليس من الصعب العثور على مواقف حيث يجب استخدام نموذج آخر. هذه الطريقة لها أيضًا عيوب تتمثل في مجرد إعطاء إجابة دون إظهار الخطوات الوسيطة التي قد توفر معلومات مفيدة أخرى.

تتميز طريقة استخدام المشتقات الجزئية بأنها واضحة رياضيًا. إنه يوضح لنا ما يحدث عندما نجد أفضل منحنى مناسب. ومع ذلك ، في جميع الحالات باستثناء أبسطها ، فإن هذه الطريقة لها عيب يتمثل في تضمين سيل رهيب من الحسابات. هذه الطريقة جيدة لإعلامنا بكيفية عمل الطريقة ، ولكنها ليست طريقة نريد استخدامها عمليًا لمعظم المشكلات الواقعية.

الطريقة الوسطى ، باستخدام Solver هي مزيج من الطريقتين الأخريين. نبدأ بتحديد النموذج الرياضي الذي يجب أن يتناسب مع وضعنا. كما رأينا ، فإن الطريقة مباشرة للتكيف مع أي نوع من المعادلات. من السهل إنشاء وظيفة الخطأ الخاصة بنا بشكل صريح. تتمتع هذه الطريقة أيضًا بميزة إظهار الخطأ المنسوب إلى كل نقطة. يمكننا أن نرى ما إذا كان منحنى آخر بنفس جودة الحل الذي توصلنا إليه تقريبًا.

عيوب أسلوب Solver هي العيوب القياسية لاستخدام Solver للعثور على حد أدنى. تذكر أن Solver يعثر ببساطة على حد أدنى محلي من نقطة البداية. نظرًا لأن solver يستخدم طرقًا عددية ، فإنه يبحث عن الأماكن التي تكون فيها المشتقات الجزئية ضمن حدود التسامح لدينا وهي صفر. لا يمكننا أن نتوقع أن يقدم Solver إجابة أكثر دقة من حدود التفاوتات. مع جميع الطرق ، يجب أن ندرك أننا بحاجة إلى نقاط كافية للحصول على ملاءمة معقولة للمنحنى. بديهيًا ، لا ينبغي أن يؤدي التغيير البسيط في أي نقطة إلى تغيير كبير في المنحنى.

كقاعدة عامة ، سنستخدم أمر خط الاتجاه عندما يعمل مع نوع المعادلة التي قررنا استخدامها كنموذج لدينا.

تمارين التمارين: التحسين وأفضل مشاكل المنحنيات المناسبة

للتمارين 1-4 ، لمجموعات البيانات المعينة:

ارسم النقاط وأضف خط اتجاه خطي. أظهر معادلة الخط.

قم بإنشاء جدول بيانات لمقارنة البيانات بوظيفة خطية.

أضف خطأ إلى جدول البيانات الخاص بك. ابحث عن أفضل خط ملائم باستخدام Solver.

أوجد بوضوح أن مجموع الأخطاء التربيعية يعمل كدالة تربيعية للميل m ، والتقاطع ب.

أوجد قيمتي m و b اللتين تقللان من دالة الخطأ بأخذ مشتقات جزئية وجعلها تساوي 0.

مع خطوط الاتجاه نحصل على أفضل خط مناسب:

الخط الذي يعطينا أفضل منحنى ملائم هو (y = 2.5 x + 1 text <.> )

باستخدام طريقة الخطأ التربيعي الأقل ، لدينا القيم التالية.

يمكننا إعداد المعلومات كصفوف أو كأعمدة. باستخدام الصفوف تشكل المشكلة الأولية التي لدينا

بعد ذلك نستخدم Solver لتقليل مجموع الأخطاء

بدأنا بـ (م = 2 ) و (ب = 5 ) (اختيارات عشوائية إلى حد ما)

قمنا بإلغاء تحديد القيد بأن المتغيرات يجب أن تكون غير سالبة ( (م ) و / أو (ب ) يمكن أن تكون سالبة نظريًا)

تعطينا طريقة التربيع الصغرى الدالة (y = 2.5x + 1 )

(تعليق: يوضح هذا أن طريقة المربعات الصغرى تعطي نفس الإجابة مثل طريقة خط الاتجاه. طريقة المربعات الصغرى هي تقنية أكثر عمومية ومع ذلك يمكن استخدامها في الحالات التي تكون فيها خطوط الاتجاه غير كافية.)


شاهد الفيديو: الدوال متعددة المتغيرات. الرياضيات. التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات (شهر اكتوبر 2021).