مقالات

4.7: تكامل مزدوج مع الإحداثيات القطبية


لقد استخدمنا التكاملات المتكررة لتقييم التكاملات المزدوجة ، والتي تعطي الحجم الموقّع تحت السطح ، (z = f (x ، y) ) ، فوق منطقة (R ) من (xy ) - المستوى. المُتكامل هو ببساطة (f (x، y) ) ، ويتم تحديد حدود التكاملات بواسطة المنطقة (R ).

يسهل وصف بعض المناطق (R ) باستخدام إحداثيات مستطيلة - أي مع المعادلات بالصيغة (y = f (x) ) ، (x = a ) ، إلخ. ومع ذلك ، فإن بعض المناطق أسهل في التعامل معها إذا قمنا بتمثيل حدودها باستخدام المعادلات القطبية بالصيغة (r = f ( theta) ) ، ( theta = alpha ) ، إلخ.

الشكل الأساسي للتكامل المزدوج هو ( displaystyle iint_R f (x، y) dA ). نفسر هذا التكامل على النحو التالي: على المنطقة (R ) ، لخص الكثير من منتجات الارتفاعات (معطاة من خلال (f (x_i ، y_i) )) والمساحات (المعطاة بواسطة ( Delta A_i )) . وهذا يعني أن (dA ) يمثل "مساحة صغيرة". في الإحداثيات المستطيلة ، يمكننا وصف مستطيل صغير بأنه يحتوي على منطقة (dx dy ) أو (dy ، dx ) - مساحة المستطيل هي ببساطة الطول ( مرات ) العرض - تغيير طفيف في (س ) مرات تغيير طفيف في (ص ). وهكذا نستبدل (دأ ) في التكامل المزدوج بـ (dx ، dy ) أو (dy ، dx ).

الشكل ( PageIndex {1} label {double_pol_intro} )

فكر الآن في تمثيل منطقة بإحداثيات قطبية. ضع في اعتبارك الشكل ( PageIndex {1} ) (أ). لنفترض أن (R ) هي المنطقة في الربع الأول الذي يحده المنحنى. يمكننا تقريب هذه المنطقة باستخدام الشكل الطبيعي للإحداثيات القطبية: أجزاء من قطاعات الدوائر. في الشكل ، إحدى هذه المناطق مظللة ، كما هو موضح مرة أخرى في الجزء (ب) من الشكل.

نظرًا لأن مساحة قطاع دائرة نصف قطرها (r ) ، يقابلها زاوية ( theta ) ، هي (A = frac12r ^ 2 theta ) ، يمكننا إيجاد مساحة المظللة منطقة. يحتوي القطاع بأكمله على مساحة ( frac12r_2 ^ 2 Delta theta ) ، بينما يحتوي القطاع الأصغر غير المظلل على مساحة ( frac12r_1 ^ 2 Delta theta ). مساحة المنطقة المظللة هي الفرق بين هذه المناطق:
$$ Delta A_i = frac12r_2 ^ 2 Delta theta- frac12r_1 ^ 2 Delta theta = frac12 big (r_2 ^ 2-r_1 ^ 2 big) big ( Delta theta big) = frac {r_2 + r_1} {2} big (r_2-r_1 big) Delta theta. $$

لاحظ أن ((r_2 + r_1) / 2 ) هو فقط متوسط ​​نصف القطر.

لتقريب المنطقة (R ) ، نستخدم العديد من هذه المناطق الفرعية ؛ يؤدي القيام بذلك إلى تقليص الفرق (r_2-r_1 ) بين نصف القطر إلى 0 وتقليص التغيير في الزاوية ( Delta theta ) أيضًا إلى 0. نحن نمثل هذه التغييرات اللامتناهية في نصف القطر والزاوية كـ (dr ) و (د ثيتا ) ، على التوالي. أخيرًا ، نظرًا لأن (د ) صغير (r_2 تقريبًا r_1 ) ، وهكذا ((r_2 + r_1) / 2 تقريبًا r_1 ). وهكذا ، عندما (د ) و (د ثيتا ) صغيرة ،
$$ Delta A_i almost r_i ، dr ، d theta. $$

أخذ حد ، حيث يذهب عدد المناطق الفرعية إلى ما لا نهاية ويذهب كل من (r_2-r_1 ) و ( Delta theta ) إلى 0 ، نحصل على [dA = r ، dr ، d ثيتا. ]

لذلك لتقييم ( displaystyle iint_Rf (x، y) dA ) ، استبدل (dA ) بـ (r ، dr ، d theta ). قم بتحويل الوظيفة (z = f (x، y) ) إلى دالة ذات إحداثيات قطبية مع الاستبدالات (x = r cos theta ) ، (y = r sin theta ). أخيرًا ، ابحث عن الحدود (g_1 ( theta) leq r leq g_2 ( theta) ) و ( alpha leq theta leq beta ) التي تصف (R ). هذا هو المبدأ الأساسي لهذا القسم ، لذلك نعيد ذكره هنا كفكرة أساسية.

الفكرة الرئيسية: تقييم التكامل المزدوج مع الإحداثيات القطبية

لنفترض أن (R ) منطقة مستوية تحدها المعادلات القطبية ( alpha leq theta leq beta ) و (g_1 ( theta) leq r leq g_2 ( theta) ). ثم
$$ iint_Rf (x، y) dA = int_ alpha ^ beta int_ {g_1 ( theta)} ^ {g_2 ( theta)} f big (r cos theta، r sin ثيتا كبيرة) ، ص ، د ، د ثيتا. $$

ستساعدنا الأمثلة على فهم هذه الفكرة الرئيسية.

مثال ( PageIndex {1} ): تقييم تكامل مزدوج مع الإحداثيات القطبية

أوجد الحجم الموقّع أسفل المستوى (z = 4-x-2y ) فوق الدائرة بالمعادلة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ).

المحلول

يتم تحديد حدود التكامل فقط من خلال المنطقة (R ) التي نتكامل معها. في هذه الحالة ، تكون دائرة بالمعادلة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ). علينا إيجاد الحدود القطبية لهذه المنطقة. قد يكون من المفيد مراجعة القسم ref {sec: polar}؛ حدود هذه الدائرة هي (0 leq r leq 1 ) و (0 leq theta leq 2 pi ).

نستبدل (f (x، y) ) بـ (f (r cos theta، r sin theta) ). هذا يعني أننا نجري البدائل التالية:

$$ 4-x-2y quad Rightarrow quad 4-r cos theta-2r sin theta. $$

أخيرًا ، نستبدل (dA ) في التكامل المزدوج بـ (r ، dr ، d theta ). هذا يعطي التكامل النهائي المتكرر ، والذي نقوم بتقييمه:

[ ابدأ {محاذاة *}
iint_Rf (x، y) dA & = int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ 1 big (4-r cos theta-2r sin theta big) r ، dr ، d ثيتا
& = int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ 1 big (4r-r ^ 2 ( cos theta-2 sin theta) big) dr ، d theta
& = int_0 ^ {2 pi} left. left (2r ^ 2- frac13r ^ 3 ( cos theta-2 sin theta) right) right | _0 ^ 1d theta
& = int_0 ^ {2 pi} left (2- frac13 big ( cos theta-2 sin theta big) right) d theta
& = left. left (2 theta - frac13 big ( sin theta + 2 cos theta big) right) right | _0 ^ {2 pi}
& = 4 pi حوالي 12.566.000
النهاية {محاذاة *} ]

الشكل ( PageIndex {2} )

يظهر السطح والمنطقة (R ) في الشكل ( PageIndex {2} ).

مثال ( PageIndex {2} ): تقييم تكامل مزدوج مع الإحداثيات القطبية

ابحث عن الحجم أسفل المكافئ (z = 4- (x-2) ^ 2-y ^ 2 ) فوق المنطقة التي تحدها الدوائر ((x-1) ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) و ((س -2) ^ 2 + ص ^ 2 = 4 ).

المحلول

للوهلة الأولى ، يبدو هذا وكأنه حجم يصعب حسابه لأن المنطقة (R ) (كما هو موضح في الشكل المرجع {الشكل: doublepol2} (أ)) بها ثقب ، مما يؤدي إلى قطع جزء غريب من السطح ، كما هو موضح في الجزء (ب) من الشكل. ومع ذلك ، من خلال وصف (R ) من حيث المعادلات القطبية ، ليس من الصعب جدًا حساب الحجم.

الشكل ( PageIndex {3} )

من السهل توضيح أن الدائرة ((x-1) ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) لها معادلة قطبية (r = 2 cos theta ) ، وأن الدائرة ((x-2 ) ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) لها معادلة قطبية (r = 4 cos theta ). يتم تتبع كل دائرة من هذه الدوائر في الفاصل الزمني (0 leq theta leq pi ). الحدود على (r ) هي (2 cos theta leq r leq 4 cos theta. )

استبدال (x ) بـ (r cos theta ) في التكامل ، مع استبدال (y ) بـ (r sin theta ) ، يجهزنا لتقييم التكامل المزدوج ( displaystyle iint_Rf (س ، ص) dA ):

[ ابدأ {محاذاة *}
iint_Rf (x، y) dA & = int_0 ^ { pi} int_ {2 cos theta} ^ {4 cos theta} Big (4- big (r cos theta-2 كبير) ^ 2- كبير (r الخطيئة ثيتا كبير) ^ 2 كبير) r ، دكتور ، د ثيتا
٪ & = int_0 ^ { pi} int_ {2 cos theta} ^ {4 cos theta} big (r ^ 3 cos ^ 2 theta + r ^ 3 sin ^ 2 theta - 4 ص ^ 2 كوس ثيتا + 4 ص كبير) د ، د ثيتا
& = int_0 ^ { pi} int_ {2 cos theta} ^ {4 cos theta} big (-r ^ 3 + 4r ^ 2 cos theta big) dr ، d theta
& = int_0 ^ pi left. left (- frac14r ^ 4 + frac43r ^ 3 cos theta right) right | _ {2 cos theta} ^ {4 cos theta} د ثيتا
& = int_0 ^ pi left ( left [- frac14 (256 cos ^ 4 theta) + frac43 (64 cos ^ 4 theta) right] - right.
& اليسار. اليسار [- frac14 (16 cos ^ 4 theta) + frac43 (8 cos ^ 4 theta) right] right) d theta
& = int_0 ^ pi frac {44} 3 cos ^ 4 theta ، d theta. النهاية {محاذاة *} ]

لدمج ( cos ^ 4 theta ) ، أعد كتابته كـ ( cos ^ 2 theta cos ^ 2 theta ) واستخدم صيغة تقليل الطاقة مرتين:

[ start {align *} cos ^ 4 theta & = cos ^ 2 theta cos ^ 2 theta
& = frac12 big (1+ cos (2 theta) big) frac12 big (1+ cos (2 theta) big)
& = frac14 كبير (1 + 2 cos (2 ثيتا) + cos ^ 2 (2 ثيتا) كبير)
& = frac14 Big (1 + 2 cos (2 theta) + frac12 big (1+ cos (4 theta) big) Big)
& = frac38 + frac12 cos (2 theta) + frac18 cos (4 theta). end {align *} ]

ننتقل من حيث توقفنا أعلاه ، لدينا

[ begin {align *} & = int_0 ^ pi frac {44} 3 cos ^ 4 theta ، d theta
& = int_0 ^ pi frac {44} 3 left ( frac38 + frac12 cos (2 theta) + frac18 cos (4 theta) right) d theta
& = left. frac {44} 3 left ( frac {3} 8 theta + frac14 sin (2 theta) + frac {1} {32} sin (4 theta) right) الحق | _0 ^ pi
& = frac {11} 2 pi حوالي 17.279.
النهاية {محاذاة *} ]

في حين أن هذا المثال لم يكن تافهاً ، إلا أن التكامل المزدوج كان كثير أصعب في التقييم لو استخدمنا إحداثيات مستطيلة.

مثال ( PageIndex {3} ): تقييم تكامل مزدوج مع الإحداثيات القطبية

ابحث عن الحجم الموجود أسفل السطح (f (x، y) = dfrac1 {x ^ 2 + y ^ 2 + 1} ) فوق قطاع الدائرة مع نصف قطر (a ) في نقطة الأصل في الأول الربع ، كما هو مبين في الشكل المرجع {fig: doublepol5}.

الشكل ( PageIndex {4} )

المحلول

المنطقة (R ) التي ندمج عليها هي دائرة نصف قطرها (أ ) ، مقيدًا بالربع الأول. وبالتالي ، في القطبية ، الحدود على (R ) هي (0 leq r leq a ) ، (0 leq theta leq pi / 2 ). تمت إعادة كتابة أداة التكامل بالقطبية كـ

$$ frac {1} {x ^ 2 + y ^ 2 + 1} Rightarrow frac {1} {r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta + 1} = frac1 {r ^ 2 + 1}. $$

نجد الحجم على النحو التالي:

[ ابدأ {محاذاة *}
iint_Rf (x، y) dA & = int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ a frac {r} {r ^ 2 + 1} dr ، d theta
& = int_0 ^ { pi / 2} frac12 big ( ln | r ^ 2 + 1 | big) Big | _0 ^ a ، d theta
& = int_0 ^ { pi / 2} frac12 ln (a ^ 2 + 1) d theta
& = left. left ( frac12 ln (a ^ 2 + 1) theta right) right | _0 ^ { pi / 2}
& = frac { pi} {4} ln (a ^ 2 + 1).
النهاية {محاذاة *} ]

يوضح الشكل المرجع {fig: doublepol5} أن (f ) يتقلص إلى ما يقرب من الصفر بسرعة كبيرة. بغض النظر ، كما ينمو (أ ) ، يزداد الحجم أيضًا بلا حدود.

ملحوظة: أظهر العمل السابق أن هناك حدودا منطقة تحت ( frac {1} {x ^ 2 + 1} ) على المحور (x ) بالكامل. ومع ذلك ، المثال المرجع {ex_doublepol5} يوضح أن هناك عددًا لا نهائيًا الصوت تحت ( frac {1} {x ^ 2 + y ^ 2 + 1} ) على مستوى (xy ) بالكامل.

مثال ( PageIndex {4} ): إيجاد حجم الكرة

أوجد حجم كرة نصف قطرها (أ ).

المحلول
كرة نصف القطر (a ) ، المتمركزة في الأصل ، لها معادلة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = a ^ 2 ) ؛ لحل (z ) ، لدينا (z = sqrt {a ^ 2-x ^ 2-y ^ 2} ). هذا يعطي النصف العلوي من الكرة. نريد إيجاد الحجم تحت هذا النصف العلوي ، ثم ضاعفه لإيجاد الحجم الكلي.

المنطقة التي نحتاج إلى التكامل عليها هي دائرة نصف القطر (أ ) ، المتمركزة عند نقطة الأصل. الحدود القطبية لهذه المعادلة هي (0 leq r leq a ) ، (0 leq theta leq2 pi ).

معًا ، حجم الكرة ذات نصف القطر (أ ) هو:

[2 iint_R sqrt {a ^ 2-x ^ 2-y ^ 2} dA = 2 int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ a sqrt {a ^ 2- (r cos theta) ^ 2- (r sin theta) ^ 2} ، r ، dr ، d theta
= 2 int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ ar sqrt {a ^ 2-r ^ 2} ، dr ، d theta. ]

يمكننا إيجاد التكامل الداخلي بالتعويض. مع (u = a ^ 2-r ^ 2 ) ، (du = -2r ، dr ). حدود التكامل الجديدة هي (u (0) = a ^ 2 ) to (u (a) = 0 ). وهكذا لدينا:

[ begin {align *} & = int_0 ^ {2 pi} int_ {a ^ 2} ^ 0 big (-u ^ {1/2} big) du ، d theta
& = int_0 ^ {2 pi} left. left (- frac23u ^ {3/2} right) right | _ {a ^ 2} ^ 0 ، d theta
& = int_0 ^ {2 pi} left ( frac23a ^ 3 right) d theta
& = left. left ( frac23a ^ 3 theta right) right | _0 ^ {2 pi}
& = frac43 pi a ^ 3.
النهاية {محاذاة *} ]

بشكل عام ، تُعطى صيغة حجم الكرة بنصف قطر (r ) كـ (4/3 pi r ^ 3 ) ؛ لقد بررنا هذه الصيغة بحساباتنا.

مثال ( PageIndex {5} ): إيجاد حجم مادة صلبة

يريد النحات أن يصنع قالبًا صلبًا من البرونز من المصمت الموضح في الشكل المرجع {الشكل: doublepol4} ، حيث يكون لقاعدة المادة الصلبة حدود ، بالإحداثيات القطبية ، (r = cos (3 theta) ) ، ويتم تحديد القمة من خلال المستوى (ض = 1-س + 0.1 ص ). العثور على حجم الصلبة.

الشكل ( فهرس الصفحة {5} )

المحلول
منذ البداية ، يجب أن ندرك تلك المعرفة كيفيه التنصيب ربما تكون هذه المشكلة أكثر أهمية من المعرفة كيفية حساب التكاملات. التكامل المتكرر الذي سيأتي ليس "صعبًا" في التقييم ، على الرغم من طوله ، ويتطلب الكثير من الجبر. بمجرد تحديد التكامل المتكرر المناسب ، يمكن للمرء استخدام التكنولوجيا المتاحة بسهولة للمساعدة في حساب الإجابة النهائية.

المنطقة (R ) التي نقوم بدمجها مرتبطة بـ (0 leq r leq cos (3 theta) ) ، لـ (0 leq theta leq pi ) (لاحظ ذلك تم تتبع منحنى الوردة هذا على الفاصل الزمني ([0، pi] ) ، وليس ([0،2 pi] )). هذا يعطينا حدود التكامل. المُدمج هو (z = 1-x + 0.1y ) ؛ التحويل إلى القطب ، لدينا أن الحجم (V ) هو:

$$ V = iint_R f (x، y) dA = int_0 ^ pi int_0 ^ { cos (3 theta)} big (1-r cos theta + 0.1r sin theta كبير) ص ، د ، د ثيتا. $$

توزيع (r ) التكامل الداخلي سهل التقييم ، مما يؤدي إلى

$$ int_0 ^ pi left ( frac12 cos ^ 2 (3 theta) - frac13 cos ^ 3 (3 theta) cos theta + frac {0.1} 3 cos ^ 3 (3 ثيتا) الخطيئة ثيتا الحق) د ثيتا. $$

هذا التكامل يستغرق وقتًا لحسابه يدويًا ؛ إنه طويل إلى حد ما ومرهق. يجب تقليل قوى جيب التمام ، ويجب تحويل المنتجات مثل ( cos (3 theta) cos theta ) إلى مبالغ باستخدام صيغ Product To Sum في الغلاف الخلفي لهذا النص.

نعيد كتابة ( frac12 cos ^ 2 (3 theta) ) كـ ( frac14 (1+ cos (6 theta)) ). يمكننا أيضًا إعادة كتابة ( frac13 cos ^ 3 (3 theta) cos theta ) على النحو التالي:

$$ frac13 cos ^ 3 (3 ثيتا) cos theta = frac13 cos ^ 2 (3 theta) cos (3 theta) cos theta = frac13 frac {1+ cos (6 ثيتا)} 2 كبير ( كوس (4 ثيتا) + كوس (2 ثيتا) كبير). $$

لا يزال هذا التعبير الأخير بحاجة إلى التبسيط ، ولكن في النهاية يمكن اختزال جميع المصطلحات إلى الشكل (a cos (m theta) ) أو (a sin (m theta) ) لقيم مختلفة لـ (a ) و (م ).

نتخلى عن الجبر وننصح القارئ بتوظيف التكنولوجيا ، مثل WolframAlpha ، لحساب الإجابة الرقمية. هذه التكنولوجيا تعطي:

$$ int_0 ^ pi int_0 ^ { cos (3 theta)} big (1-r cos theta + 0.1r sin theta big) r dr d theta = frac { pi } {4} حوالي 0.785u ^ 3. $$

نظرًا لعدم تحديد الوحدات ، نترك النتيجة تقريبًا (0.8 ) وحدات مكعبة (متر ، قدم ، إلخ) إذا أراد الفنان قياس القطعة بشكل موحد ، بحيث يكون طول كل بتلة وردة غير 1 ، يجب أن تضع في اعتبارك أن القياس بمعامل (ك ) يقيس الحجم بمعامل (ك ^ 3 ).

لقد استخدمنا التكاملات المتكررة لإيجاد مناطق من مناطق مستوية وأحجام تحت الأسطح. تمامًا كما يمكن استخدام التكامل الفردي لحساب أكثر بكثير من "المنطقة الواقعة تحت المنحنى" ، يمكن استخدام التكاملات المتكررة لحساب أكثر بكثير مما رأيناه حتى الآن. يُظهر القسمان التاليان اثنان ، من بين العديد ، تطبيقات متكررة التكاملات.


شاهد الفيديو: التكامل الثنائي بالاحداثيات القطبية (شهر اكتوبر 2021).