مقالات

5.10: نظرية ستوكس - الرياضيات


أهداف التعلم

  • اشرح معنى نظرية ستوكس.
  • استخدم نظرية ستوكس لتقييم تكامل الخط.
  • استخدم نظرية ستوكس لحساب تكامل السطح.
  • استخدم نظرية ستوكس لحساب التجعيد.

في هذا القسم ، ندرس نظرية ستوكس ، وهي تعميم عالي الأبعاد لنظرية جرين. هذه النظرية ، مثل النظرية الأساسية لتكاملات الخط ونظرية جرين ، هي تعميم للنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل على أبعاد أعلى. ترتبط نظرية ستوكس بسطح متجه متكامل على السطح (S ) في الفضاء بخط متكامل حول حدود (S ). لذلك ، تمامًا مثل النظريات التي سبقتها ، يمكن استخدام نظرية ستوكس لتقليل التكامل على كائن هندسي (S ) إلى تكامل فوق حدود (S ). بالإضافة إلى السماح لنا بالترجمة بين تكاملات الخط والتكاملات السطحية ، تربط نظرية ستوكس مفهومي الضفيرة والدوران. علاوة على ذلك ، فإن للنظرية تطبيقات في ميكانيكا الموائع والكهرومغناطيسية. نستخدم نظرية ستوكس لاشتقاق قانون فاراداي ، وهي نتيجة مهمة تتعلق بالمجالات الكهربائية.

نظرية ستوكس

تنص نظرية ستوكس على أنه يمكننا حساب تدفق (curl ، vecs {F} ) عبر السطح (S ) من خلال معرفة المعلومات فقط عن قيم ( vecs {F} ) على طول حدود (س). على العكس من ذلك ، يمكننا حساب تكامل خط الحقل المتجه ( vecs {F} ) على طول حدود السطح (S ) بالترجمة إلى تكامل مزدوج من التفاف ( vecs {F} ) فوق (س).

لنفترض (S ) أن يكون سطحًا أملسًا موجهًا مع وحدة متجه عادية ( vecs {N} ). علاوة على ذلك ، افترض أن حدود (S ) هي منحنى مغلق بسيط (C ). يستحث اتجاه (S ) الاتجاه الإيجابي لـ (C ) إذا ، وأنت تمشي في الاتجاه الإيجابي حول (C ) مع توجيه رأسك باتجاه ( vecs {N} ) ، يكون السطح دائمًا على يسارك. مع هذا التعريف في مكانه ، يمكننا القول نظرية ستوكس.

Theorem ( PageIndex {1} ): نظرية ستوكس

لنفترض (S ) أن يكون سطحًا أملسًا متعدد الجوانب مع حد منحنى بسيط مغلق (C ) مع اتجاه إيجابي (الشكل ( PageIndex {1} )). إذا كان ( vecs {F} ) حقل متجه به وظائف مكون لها مشتقات جزئية مستمرة في منطقة مفتوحة تحتوي على (S ) ، إذن

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_S curl ، vecs {F} cdot d vecs S. label {Stokes1} ]

لنفترض أن السطح (S ) هو منطقة مسطحة في (س ص ) - مستوى مع اتجاه تصاعدي. ثم متجه الوحدة العادي هو ( vecs {k} ) وتكامل السطح

[ iint_S curl ، vecs {F} cdot d vecs {S} ]

هو في الواقع التكامل المزدوج

[ iint_S curl ، vecs {F} cdot vecs {k} ، dA. ]

في هذه الحالة الخاصة ، تعطي نظرية ستوكس

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_S curl ، vecs {F} cdot vecs {k} ، dA. ]

ومع ذلك ، هذا هو الشكل المتدفق لنظرية جرين ، والذي يوضح لنا أن نظرية جرين هي حالة خاصة من نظرية ستوكس. يمكن لنظرية جرين التعامل مع الأسطح في المستوى فقط ، لكن نظرية ستوكس يمكنها التعامل مع الأسطح في المستوى أو في الفضاء.

الدليل الكامل لنظرية ستوكس خارج نطاق هذا النص. ننظر إلى تفسير بديهي لحقيقة النظرية ، ثم نرى دليلًا على النظرية في الحالة الخاصة التي تشير إلى أن السطح (S ) هو جزء من رسم بياني لوظيفة ، و (S ) ، حدود (S ) و ( vecs {F} ) كلها ترويض إلى حد ما.

دليل - إثبات

أولاً ، ننظر إلى إثبات غير رسمي للنظرية. هذا الدليل ليس صارمًا ، لكن المقصود منه إعطاء شعور عام عن سبب صحة النظرية. دع (S ) يكون سطحًا واجعل (D ) قطعة صغيرة من السطح بحيث لا يشارك (D ) أي نقاط مع حدود (S ). نختار (D ) أن تكون صغيرة بما يكفي بحيث يمكن تقريبها بمربع موجه (E ). دع (D ) يرث اتجاهه من (S ) ، ويعطي (E ) نفس الاتجاه. هذا المربع له أربعة جوانب. دلل عليها (E_l ، ، E_r ، ، E_u ) ، و (E_d ) للجوانب اليسرى ، اليمنى ، الأعلى ، والأسفل ، على التوالي. في المربع ، يمكننا استخدام صيغة التدفق لنظرية جرين:

[ int_ {E_l + E_d + E_r + E_u} vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_E curl ، vecs {F} cdot vecs {N} ، d vecs { S} = iint_E curl ، vecs {F} cdot d vecs {S}. ]

لتقريب التدفق فوق السطح بالكامل ، نضيف قيم التدفق على المربعات الصغيرة التي تقترب من قطع صغيرة من السطح (الشكل ( PageIndex {2} )).

وفقًا لنظرية جرين ، فإن التدفق عبر كل مربع تقريبي هو خط متكامل فوق حدوده. لنفترض (F ) أن يكون مربعًا تقريبًا مع اتجاه موروث من (S ) وبجانبه الأيمن (E_l ) (بحيث يكون (F ) على يسار (E )). دع (F_r ) يشير إلى الجانب الأيمن من (F ) ؛ ثم (E_l = - F_r ). بعبارة أخرى ، الجانب الأيمن من (F ) هو نفس منحنى الجانب الأيسر من (E ) ، فقط موجه في الاتجاه المعاكس. وبالتالي،

[ int_ {E_l} vecs F cdot d vecs r = - int_ {F_r} vecs F cdot d vecs r. لا يوجد رقم]

نظرًا لأننا نجمع كل التدفقات على جميع المربعات التي تقترب من السطح (S ) ، تكاملات الخط

[ int_ {E_l} vecs {F} cdot d vecs {r} ]

و

[ int_ {F_r} vecs {F} cdot d vecs {r} ]

يلغي كل منهما الآخر. الأمر نفسه ينطبق على تكاملات الخط على الجوانب الثلاثة الأخرى لـ (E ). تلغي تكاملات الأسطر الثلاثة هذه مع تكامل خط الجانب السفلي من المربع أعلاه (E ) ، والخط المتكامل على الجانب الأيسر من المربع على يمين (E ) ، والخط متكامل فوق الجانب العلوي من المربع أسفل (E ) (الشكل ( PageIndex {3} )). بعد كل هذا الإلغاء يحدث في جميع المربعات التقريبية ، فإن تكاملات الخط الوحيدة الباقية هي تكاملات الخط على الجوانب التي تقترب من حدود (S ). لذلك ، يمكن تقريب مجموع كل التدفقات (التي ، وفقًا لنظرية جرين ، هي مجموع كل تكاملات الخط حول حدود المربعات التقريبية) بخط متكامل فوق حدود (S ). في النهاية ، نظرًا لأن مناطق المربعات التقريبية تذهب إلى الصفر ، فإن هذا التقريب يقترب بشكل تعسفي من التدفق.

دعنا الآن نلقي نظرة على إثبات صارم للنظرية في الحالة الخاصة أن (S ) هو الرسم البياني للوظيفة (z = f (x ، y) ) ، حيث (x ) و (y ) تختلف عبر منطقة محدودة متصلة ببساطة (D ) من منطقة محدودة (الشكل ( PageIndex {4} )). علاوة على ذلك ، افترض أن (f ) له مشتقات جزئية مستمرة من الدرجة الثانية. دع (C ) يشير إلى حدود (S ) ودع (C ') يشير إلى حدود (D ). إذن ، (D ) هو "ظل" (S ) في المستوى و (C ") هو" ظل " (C ). افترض أن (S ) موجه لأعلى. اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة لـ (C ) موجب ، وكذلك اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة لـ (C '). لنفترض أن ( vecs F (x، y، z) = langle P، Q، R rangle ) حقل متجه مع وظائف مكون لها مشتقات جزئية مستمرة.

نأخذ المعلمات القياسية لـ (S ،: ، x = x ، ، y = y ، ، z = g (x ، y) ). متجهات الظل هي ( vecs t_x = langle 1،0، g_x rangle ) و ( vecs t_y = langle 0،1، g_y rangle ) ، وبالتالي ( vecs t_x times vecs t_y = langle -g_x ، ، -g_y ، ، 1 rangle ).

[ iint_S curl ، vecs {F} cdot d vecs {S} = iint_D [- (R_y - Q_z) z_x - (P_z - R_x) z_y + (Q_x - P_y)] ، dA، لا يوجد رقم]

حيث يتم تقييم جميع المشتقات الجزئية عند ((x، y، g (x، y)) ) ، مما يجعل التكامل يعتمد على (x ) و (y ) فقط. افترض أن ( langle x (t) ، ، y (t) rangle ، ​​، a leq t leq b ) معلمة لـ (C '). بعد ذلك ، تكون معلمة (C ) هي ( langle x (t) ، ، y (t) ، ، g (x (t) ، ، y (t)) rangle ، ​​، a leq t leq b ). مسلح بهذه المعلمات ، قاعدة السلسلة ، ونظرية Green ، مع الأخذ في الاعتبار أن (P ) و (Q ) و (R ) كلها وظائف (x ) و (y ) ، يمكننا إيجاد قيمة تكامل الخط

[ start {align *} int_C vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_a ^ b (Px '(t) + Qy' (t) + Rz '(t)) ، dt [4pt] & = int_a ^ b left [Px '(t) + Qy' (t) + R left ( dfrac { جزئي z} { جزئي x} dfrac {dx} {dt } + dfrac { جزئي z} { جزئي y} dfrac {dy} {dt} right) right] dt [4pt] & = int_a ^ b left [ left (P + R dfrac { جزئي z} { جزئي x} يمين) x '(t) + يسار (Q + R dfrac { جزئي z} { جزئي y} يمين) y' (t) right] dt [4pt] & = int_ {C '} left (P + R dfrac { جزئي z} { جزئي x} يمين) ، dx + يسار (Q + R dfrac { جزئي z } { جزئي y} يمين) ، dy [4pt] & = iint_D left [ dfrac { جزئي} { جزئي x} يسار (Q + R dfrac { جزئي z} { جزء y} يمين) - dfrac { جزئي} { جزئي y} يسار (P + R dfrac { جزئي z} { جزئي x} يمين) يمين] ، dA [4pt] & = iint_D left ( dfrac { جزئي Q} { جزئي x} + dfrac { جزئي Q} { جزئي z} dfrac { جزئي z} { جزئي x} + dfrac { جزئي R} { جزئي x} dfrac { جزئي z} { جزئي y} + dfrac { جزئي R} { جزئي z} dfrac { جزئي z} { جزئي x} dfrac { جزئي z} { جزئي y} + R dfrac { جزئي ^ 2 z} { جزئي x جزئي y} يمين) - يسار ( dfrac { جزئي P} { جزئي y} + dfrac { part P} { جزئي z} dfrac { جزئي z} { جزئي y} + dfrac { جزئي R} { جزئي z} dfrac { جزئي z} { جزئي y} dfrac { جزئي z} { جزئي x} + R dfrac { جزئي ^ 2 z} { جزئي y جزئي x} يمين) end {align *} ]

من خلال نظرية كليروت ،

[ dfrac { جزئي ^ 2 z} { جزئي x جزئي y} = dfrac { جزئي ^ 2 z} { جزئي y جزئي x} non Number ]

إذن ، تختفي أربعة حدود من هذا التكامل المزدوج ، ويتبقى لنا

[ iint_D [- (R_y - Q_z) Z_x - (P_z - R_x) z_y + (Q_x - P_y)] ، dA، nonumber ]

الذي يساوي

[ iint_S curl ، vecs {F} cdot d vecs {S}. لا يوجد رقم]

(علبة)

لقد أظهرنا أن نظرية ستوكس صحيحة في حالة الوظيفة ذات المجال الذي هو ببساطة منطقة متصلة بمنطقة محدودة. يمكننا تأكيد هذه النظرية بسرعة لحالة أخرى مهمة: عندما يكون حقل المتجه ( vecs {F} ) حقلاً متحفظًا. إذا كانت ( vecs {F} ) محافظة ، فإن قيمة ( vecs {F} ) تساوي صفرًا ، لذلك

[ iint_S curl ، vecs {F} cdot d vecs {S} = 0. ]

بما أن حدود (S ) عبارة عن منحنى مغلق ، فهو لا يتجزأ

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r}. ]

هي أيضا صفر.

مثال ( PageIndex {1} ): التحقق من نظرية ستوكس لحالة معينة

تحقق من صحة نظرية ستوكس لحقل المتجه ( vecs {F} (x، y) = langle -z، x، 0 rangle ) والسطح (S ) ، حيث (S ) هو نصف الكرة ، موجه للخارج ، مع تحديد المعلمات ( vecs r ( phi ، theta) = langle sin phi ، cos theta ، ، sin phi ، sin theta ، ، cos phi rangle، ، 0 leq theta leq pi، ، 0 leq phi leq pi ) كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {5} ).

المحلول

دع (C ) يكون حدود (S ). لاحظ أن (C ) دائرة نصف قطرها 1 ، تتمركز في الأصل ، وتجلس في المستوى (y = 0 ). تحتوي هذه الدائرة على معلمات ( langle cos t، ، 0، ، sin t rangle، ، 0 leq t leq 2 pi ). معادلة التكاملات السطحية العددية

[ start {align *} int_C vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_0 ^ {2 pi} langle - sin t، ، cos t، ، 0 rangle cdot langle - sin t، ، 0، ، cos t rangle ، dt [4pt] & = int_0 ^ {2 pi} sin ^ 2 t ، dt [ 4pt] & = pi. النهاية {محاذاة *} ]

من خلال معادلة تكاملات خط المتجه ،

[ start {align *} iint_S ، curl ، vecs {F} cdot d vecs S & = iint_D curl ، vecs {F} ( vecs r ( phi، theta)) cdot ( vecs t _ { phi} times vecs t _ { theta}) ، dA [4pt] & = iint_D langle 0، -1، 1 rangle cdot langle cos theta ، sin ^ 2 phi، ، sin theta ، sin ^ 2 phi، ، sin phi ، cos phi rangle ، dA [4pt] & = int_0 ^ { pi} int_0 ^ { pi} ( sin phi ، cos phi - sin theta ، sin ^ 2 phi) ، d phi d theta [4pt] & = dfrac { pi} {2} int_0 ^ { pi} sin theta ، d theta [4pt] & = pi. end {align *} ]

لذلك ، تحققنا من نظرية ستوكس في هذا المثال.

تمرين ( PageIndex {1} )

تحقق من صحة نظرية ستوكس لحقل المتجه ( vecs {F} (x، y، z) = langle y، x، -z rangle ) والسطح (S ) ، حيث (S ) ) هو الجزء الموجه لأعلى من الرسم البياني لـ (f (x، y) = x ^ 2 y ) فوق مثلث في (xy ) - الطائرة ذات الرؤوس ((0،0) ، ، ( 2،0) ) و ((0،2) ).

تلميح

احسب التكامل المزدوج والخط المتكامل بشكل منفصل.

إجابه

يعطي كلا التكاليين (- dfrac {136} {45} ):

تفسير الضفيرة

بالإضافة إلى الترجمة بين تكاملات الخط وتكاملات التدفق ، يمكن استخدام نظرية ستوكس لتبرير التفسير المادي للضفيرة التي تعلمناها. هنا نتحرى العلاقة بين الضفيرة والدوران ، ونستخدم نظرية ستوكس لتوضيح قانون فاراداي - وهو قانون مهم في الكهرباء والمغناطيسية يربط التفاف المجال الكهربائي بمعدل تغير المجال المغناطيسي.

تذكر أنه إذا كان (C ) منحنى مغلق و ( vecs {F} ) عبارة عن حقل متجه محدد في (C ) ، فإن تداول ( vecs {F} ) حول ( C ) خط متكامل

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r}. ]

إذا كان ( vecs {F} ) يمثل مجال سرعة مائع في الفضاء ، فإن الدوران يقيس ميل السائل للتحرك في اتجاه (C ).

لنفترض أن ( vecs {F} ) حقل متجه مستمر واجعل (D _ { tau} ) قرصًا صغيرًا من نصف القطر (r ) مع المركز (P_0 ) (الشكل ( فهرس الصفحة {7} )). إذا كان (D _ { tau} ) صغيرًا بدرجة كافية ، إذن ((curl ، vecs {F}) (P) almost (curl ، vecs F) (P_0) ) لجميع النقاط ( P ) في (D _ { tau} ) لأن التجعيد مستمر. لنكن (C _ { tau} ) دائرة حدود (D _ { tau} ): بواسطة نظرية ستوكس ،

[ int_ {C _ { tau}} vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_ {D _ { tau}} curl ، vecs {F} cdot vecs {N} ، d vecs S almost iint_ {D _ { tau}} (curl ، vecs {F}) (P_0) cdot vecs {N} (P_0) ، d vecs S. ]

الكمية ((curl ، vecs F) (P_0) cdot vecs N (P_0) ) ثابتة ، وبالتالي

[ iint_ {D _ { tau}} (curl ، vecs F) (P_0) cdot vecs N (P_0) ، d vecs S = pi r ^ 2 [(curl ، vecs F ) (P_0) cdot vecs N (P_0)]. لا يوجد رقم]

هكذا

[ int_ {C _ { tau}} vecs F cdot d vecs r almost pi r ^ 2 [(curl ، vecs F) (P_0) cdot vecs N (P_0)] ، لا يوجد رقم]

ويقترب التقريب بشكل تعسفي مع تقلص نصف القطر إلى الصفر. لذلك فإن نظرية ستوكس تعني ذلك

[(curl ، vecs F) (P_0) cdot vecs N (P_0) = lim_ {r rightarrow 0 ^ +} dfrac {1} { pi r ^ 2} int_ {C _ { tau}} vecs F cdot d vecs r. لا يوجد رقم]

تربط هذه المعادلة تجعيد حقل متجه بالدوران. نظرًا لأن مساحة القرص ( pi r ^ 2 ) ، فإن هذه المعادلة تنص على أنه يمكننا عرض الضفيرة (في الحد) كتدوير لكل وحدة مساحة. تذكر أنه إذا كان ( vecs F ) هو حقل سرعة السائل ، فإن الدوران [ oint_ {C _ { tau}} vecs F cdot d vecs r = oint_ {C _ { tau}} vecs F cdot vecs T ، ds ] هو مقياس لميل السائل للتحرك حول (C _ { tau} ): السبب في ذلك هو أن ( vecs F cdot vecs T ) هو أحد مكونات ( vecs F ) في اتجاه ( vecs T ) ، وكلما اقترب اتجاه ( vecs F ) من ( vecs T ) ، أكبر قيمة ( vecs F cdot vecs T ) (تذكر أنه إذا كان ( vecs a ) و ( vecs b ) متجهات و ( vecs b ) تم إصلاحه ، يكون المنتج النقطي ( vecs a cdot vecs b ) هو الحد الأقصى عندما يشير ( vecs a ) إلى نفس اتجاه ( vecs b )). لذلك ، إذا كان ( vecs F ) هو حقل سرعة السائل ، فإن (curl ، vecs F cdot vecs N ) هو مقياس لكيفية دوران السائل حول المحور ( vecs N ). يكون تأثير الضفيرة أكبر بالنسبة للمحور الذي يشير في اتجاه ( vecs N ) ، لأنه في هذه الحالة يكون (curl ، vecs F cdot vecs N ) أكبر ما يمكن.

لرؤية هذا التأثير بطريقة أكثر واقعية ، تخيل وضع عجلة مجداف صغيرة عند النقطة (P_0 ) (الشكل ( PageIndex {8} )). تحقق عجلة المجذاف سرعتها القصوى عندما يشير محور العجلة في اتجاه التفاف ( vecs F ). هذا يبرر تفسير الضفيرة التي تعلمناها: curl هو مقياس للدوران في حقل المتجه حول المحور الذي يشير في اتجاه المتجه العادي ( vecs N ) ، وتبرر نظرية ستوكس هذا التفسير.

الآن بعد أن تعلمنا عن نظرية ستوكس ، يمكننا مناقشة التطبيقات في مجال الكهرومغناطيسية. على وجه الخصوص ، ندرس كيف يمكننا استخدام نظرية ستوكس للترجمة بين شكلين مكافئين لقانون فاراداي. قبل ذكر شكلي قانون فاراداي ، نحتاج إلى بعض المصطلحات الأساسية.

لنفترض أن (C ) منحنى مغلق يمثل سلكًا رفيعًا. في سياق المجالات الكهربائية ، قد يتحرك السلك بمرور الوقت ، لذلك نكتب (C (t) ) لتمثيل السلك. في وقت معين (t ) ، قد يختلف المنحنى (C (t) ) عن المنحنى الأصلي (C ) بسبب حركة السلك ، لكننا نفترض أن (C (t) ) هو منحنى مغلق لجميع الأوقات (t ). لنفترض أن (D (t) ) يكون سطحًا به (C (t) ) كحدود له ، ويتجه (C (t) ) بحيث يكون (D (t) ) له اتجاه إيجابي. افترض أن (C (t) ) في مجال مغناطيسي ( vecs B (t) ) يمكن أن يتغير أيضًا بمرور الوقت. بعبارة أخرى ، يحتوي ( vecs {B} ) على الشكل

[ vecs B (x، y، z) = langle P (x، y، z)، ، Q (x، y، z)، ، R (x، y، z) rangle، ]

حيث يمكن أن تختلف (P ) و (Q ) و (R ) بشكل مستمر بمرور الوقت. يمكننا إنتاج تيار على طول السلك عن طريق تغيير الحقل ( vecs B (t) ) (هذا نتيجة لقانون أمبير). الجريان ( displaystyle phi (t) = iint_ {D (t)} vecs B (t) cdot d vecs S ) ينشئ حقلًا كهربائيًا ( vecs E (t) ) يعمل. ينص الشكل المتكامل لقانون فاراداي على ذلك

[العمل = int_ {C (t)} vecs E (t) cdot d vecs r = - dfrac { جزئي phi} { جزئي t}. ]

بعبارة أخرى ، العمل الذي يقوم به ( vecs {E} ) هو الخط المتكامل حول الحدود ، والذي يساوي أيضًا معدل تغير التدفق فيما يتعلق بالوقت. ينص الشكل التفاضلي لقانون فاراداي على ذلك

[curl ، vecs {E} = - dfrac { جزئي vecs B} { جزئي t}. ]

باستخدام نظرية ستوكس ، يمكننا أن نبين أن الشكل التفاضلي لقانون فاراداي هو نتيجة لصيغة التكامل. من خلال نظرية ستوكس ، يمكننا تحويل الخط المتكامل في شكل متكامل إلى تكامل سطحي

[- dfrac { جزئي phi} { جزئي t} = int_ {C (t)} vecs E (t) cdot d vecs r = iint_ {D (t)} curl ، vecs E (t) cdot d vecs S. ]

منذ [ phi (t) = iint_ {D (t)} B (t) cdot d vecs S ، ] فطالما أن تكامل السطح لا يختلف مع الوقت لدينا أيضًا

[- dfrac { جزئي phi} { جزئي t} = iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { جزئي vecs B} { جزئي t} cdot d vecs S. ]

وبالتالي،

[ iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { جزئي vecs B} { جزئي t} cdot d vecs S = iint_ {D (t)} curl ، vecs E cdot d فيكس S. ]

لاشتقاق الصيغة التفاضلية لقانون فاراداي ، نود أن نستنتج أن (curl ، vecs E = - dfrac { جزئي vecs B} { part t} ): بشكل عام ، المعادلة

[ iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { جزئي vecs B} { جزئي t} cdot d vecs S = iint_ {D (t)} curl ، vecs E cdot d فيكس S ]

لا يكفي لاستنتاج أن (curl ، vecs E = - dfrac { جزئي vecs B} { جزئي t} ): الرموز المتكاملة لا "تلغي" ببساطة ، تاركة المساواة في التكامل. لمعرفة سبب عدم إلغاء رمز التكامل بشكل عام فقط ، ضع في اعتبارك التكاملات ذات المتغير الفردي ( displaystyle int_0 ^ 1 x ، dx ) and ( displaystyle int_0 ^ 1 f (x) ، dx ) ، حيث

[f (x) = begin {cases} 1، & text {if} 0 leq x leq 1/2 0، & text {if} 1/2 leq x leq 1. إنهاء {الحالات} ]

كلاهما يساوي ( dfrac {1} {2} ) ، لذلك ( displaystyle int_0 ^ 1 x ، dx = int_0 ^ 1 f (x) ، dx ).

ومع ذلك ، (x neq f (x) ). بالمثل ، مع معادلتنا [ iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { جزئي vecs B} { جزئي t} cdot d vecs S = iint_ {D (t)} curl ، vecs E cdot d vecs S ، ] لا يمكننا ببساطة أن نستنتج أن (curl ، vecs E = - dfrac { جزئي vecs B} { جزئي t} ) فقط لأن تكاملاتهم متساوية. ومع ذلك ، في سياقنا ، المعادلة

[ iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { جزئي vecs B} { جزئي t} cdot d vecs S = iint_ {D (t)} curl ، vecs E cdot d فيكس S ]

هذا صحيح ل أي المنطقة ، مهما كانت صغيرة (هذا على عكس التكاملات ذات المتغير الفردي التي تمت مناقشتها للتو). إذا كان ( vecs F ) و ( vecs G ) عبارة عن حقول متجهية ثلاثية الأبعاد مثل

[ iint_S vecs F cdot d vecs S = iint_S vecs G cdot d vecs S ]

لأي سطح (S ) ، فمن الممكن إظهار ذلك ( vecs F = vecs G ) عن طريق تقليص مساحة (S ) إلى الصفر بأخذ حد (أصغر مساحة (S) ، كلما اقتربت قيمة ( displaystyle iint_S vecs F cdot d vecs S ) من قيمة ( vecs F ) عند نقطة داخل (S )). لذلك ، يمكننا ترك المساحة (D (t) ) تتقلص إلى الصفر بأخذ حد والحصول على الشكل التفاضلي لقانون فاراداي:

[curl ، vecs E = - dfrac { جزئي vecs B} { جزئي t}. ]

في سياق المجالات الكهربائية ، يمكن تفسير تجعيد المجال الكهربائي على أنه السالب لمعدل تغير المجال المغناطيسي المقابل فيما يتعلق بالوقت.

مثال ( PageIndex {4} ): استخدام قانون فاراداي

احسب تجعيد المجال الكهربائي ( vecs {E} ) إذا كان المجال المغناطيسي المقابل هو حقل ثابت ( vecs B (t) = langle 1 ، -4 ، 2 rangle ).

المحلول

نظرًا لأن المجال المغناطيسي لا يتغير فيما يتعلق بالوقت ، (- dfrac { جزئي vecs B} { جزئي t} = vecs 0 ). وفقًا لقانون فاراداي ، فإن تجعيد المجال الكهربائي يساوي صفرًا أيضًا.

التحليلات

إحدى نتائج قانون فاراداي هي أن تجعيد المجال الكهربائي المقابل لمجال مغناطيسي ثابت هو صفر دائمًا.

تمرين ( PageIndex {4} )

احسب تجعيد المجال الكهربائي ( vecs {E} ) إذا كان المجال المغناطيسي المقابل ( vecs B (t) = langle tx ، ، ty ، ، -2tz rangle ، ​​، 0 leq ر < infty. )

تلميح
  • استخدم الصيغة التفاضلية لقانون فاراداي.
  • لاحظ أن التفاف المجال الكهربائي لا يتغير بمرور الوقت ، على الرغم من أن المجال المغناطيسي يتغير بمرور الوقت.
إجابه

(curl ، vecs {E} = langle x، ، y، ، -2z rangle )

المفاهيم الرئيسية

  • ترتبط نظرية ستوكس بتدفق متكامل على سطح ما بخط متكامل حول حدود السطح. نظرية ستوكس هي نسخة ذات أبعاد أعلى من نظرية جرين ، وبالتالي فهي نسخة أخرى من النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل في الأبعاد الأعلى.
  • يمكن استخدام نظرية ستوكس لتحويل سطح صعب لا يتجزأ إلى تكامل خط أسهل ، أو تكامل خط صعب إلى تكامل سطح أسهل.
  • من خلال نظرية ستوكس ، يمكن تقييم تكاملات الخط باستخدام أبسط سطح مع الحدود (C ).
  • يربط قانون فاراداي تجعيد المجال الكهربائي بمعدل تغير المجال المغناطيسي المقابل. يمكن استخدام نظرية ستوكس لاشتقاق قانون فاراداي.

المعادلات الرئيسية

  • نظرية ستوكس

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_S curl ، vecs {F} cdot d vecs {S} nonumber ]

قائمة المصطلحات

نظرية ستوكس
يربط التدفق المتكامل على سطح (S ) بخط متكامل حول حدود (C ) السطح (S )
سطح مستقل
تكاملات التدفق لحقول متجه الضفيرة تكون مستقلة عن السطح إذا كان تقييمها لا يعتمد على السطح ولكن فقط على حدود السطح

التفسير الهندسي لنظرية ستوكس & # 39

بادئ ذي بدء ، هل يمكن لأحد أن يشرح سوء فهمي للمثال التالي لنظرية ستوكس:

مثال (Lee، SM، p.414): لنفترض أن $ M $ متشعب سلس وافترض أن $ gamma: [a، b] to M $ عبارة عن دمج سلس ، لذا فإن $ S = gamma ([a، b]) $ عبارة عن عديدات طية واحدة مضمنة مع الحد في $ M $. إذا أعطينا $ S $ الاتجاه بحيث يكون $ gamma $ يحافظ على الاتجاه ، فعندئذٍ لأي وظيفة سلسة $ f in C ^ infty (M) $ ، تقول نظرية Stokes أن $ int_ gamma df = int _ <[a، b]> gamma ^ *= int_df = int _ < جزئي S> f = f ( gamma (b)) - f ( gamma (a)). $

س 1: ما الفرق بين $ S $ و $ gamma $ في العمل؟ أليس $ gamma $ يعني $ gamma ([a، b]) $ في التكامل الأول؟

س 2: ما هو التفسير الهندسي لنظرية ستوكس؟

من خلال السؤال الثاني ، لا أعني تفسير نوع التفاضل والتكامل والفيزياء. لا أقصد الشرح من خلال علم التعايش مع De Rham (الأشكال الدقيقة والمغلقة) أيضًا. أريد فقط أن أعرف كيف يمكن حساب التكامل على المشعب بالكامل فقط من خلال التكامل عبر حدوده.

ربما يكون الجواب س 2 يكمن في السؤال التالي:

س 3: ماذا يعني $ int_ gamma df $؟ هل هو نوع من القياس بطول $ gamma $؟ إذا كان الأمر كذلك ، فلماذا لا تعتمد قيمته على أي منحنى له نفس نقاط النهاية بقيمة $ gamma $؟

آسف إذا كانت أسئلتي تتعلق بإثبات النظرية بطريقة ما.


منهج مبدئي

5 الامتحان 1 يوم الخميس، 22 فبراير أثناء وقت الدراسة العادي.

الفصل IV.10 المشاكل 1 (كل وظيفة ثانية) ، 4 ، 5 ، 7 ، 9 ب ، 10 ، 14
الفصل IV.12 المشاكل 2 ، 5 ج ، 7
بسبب 2/26

الفصل IV.12 المشاكل 11

مشاكل الفصل الخامس 2, 3
الفصل الخامس -6 مشاكل 1acegioq، 2، 4، 7ac
مستحق 3/5

الفصل الخامس 10 مشاكل 2bdf ، 3aceg ، 5cgiq ، 7bd
الفصل الخامس 13 مشاكل 3, 10, 14
بسبب 3/12

الفصل السادس -3 المشاكل 1acef ، 3،5acegik ، 6acg ، 9
بسبب 3/19

الفصل السادس 7 المشاكل 1ad، 2a، 6، 7ace، 8، 11، 13، 15، 17، 18، 22، 24
مشاكل اضافية
بسبب 4/2

10 الاختبار 2 يوم الخميس، 5 أبريل أثناء وقت الدراسة العادي

الفصل السابع -4 المشاكل 1, 3, 4
مشاكل اضافية
بسبب 4/9

الفصل IV.15 المشاكل 12, 13

الفصل السابع 8 المشاكل 2, 4
بسبب 4/16

الفصل 12 VII المشاكل 1 ، 2 ، 3 ، 5acegil (حل مشكلة 5a مع وبدون استخدام نظرية Green ، قم بعمل جميع الأجزاء الأخرى من المشكلة 5 باستخدام نظرية Green)

النهائي يوم الخميس ، 5/10 ، 12:25 - 2:25 مساءً في Ag 125 (إذا كنت في محاضرة 11 صباحًا) و Biochem 1125 (للمحاضرة الساعة 1 ظهرًا)


محتويات

  • 1 وظائف لأكثر من متغير واحد
    • 1.1 مقدمة
    • 1.2 الحدود والاستمرارية
    • 1.3 المشتقات الجزئية
    • 1.4 التفاضل والتفاضل والتقريب الخطي المحلي
    • 1.5 قاعدة السلسلة
    • 1.6 المشتقات الاتجاهية والتدرجات
    • 1.7 الحد الأقصى النسبي لوظائف متغيرين
    • 1.8 الحد الأقصى المطلق لوظائف أكثر من متغير واحد
    • 1.9 الأسطح البارامترية
    • 2.1 التكاملات المزدوجة على المناطق المستطيلة
    • 2.2 التكاملات المزدوجة على المناطق العامة
    • 2.3 التكاملات المزدوجة في الإحداثيات القطبية
    • 2.4 تطبيقات التكاملات المزدوجة
    • 2.5 تكاملات ثلاثية
    • 2.6 التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الأسطوانية
    • 2.7 التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الكروية
    • 2.8 تطبيقات التكاملات الثلاثية
    • 3.1 الحقول العددية والمتجهة
    • 3.2 التباعد والضفيرة
    • 3.3 حقول النواقل المحافظة
    • 3.4 تكاملات الخط للحقول العددية
    • 3.5 تكاملات الخطوط لحقول المتجهات
    • 3.6 النظرية الأساسية لتكاملات الخط
    • 3.7 نظرية جرين
    • 3.8 التكاملات السطحية للحقول العددية
    • 3.9 التكاملات السطحية لحقول المتجهات
    • 3.10 نظرية ستوكس ونظرية تباعد غاوس
    2 الفصل 1. وظائف أكثر من متغير واحد

    القيد المادي لهذه المتغيرات هو أنها يجب أن تكون إيجابية. ومن ثم ، فإن المجال هو <(l، w، h) ∈R 3: l & ampgt 0، w & ampgt 0، h & ampgt 0>.

    مثال 1.1.3: لنفترض (x، y) = x 2 + √ 3 xy. Findf (2، −4)، f (1،0)، f (t، t 2) andf (2y 2، 4 y).

    الحل: عن طريق الاستبدال ، نحصل عليه

    2(−4) = 4−2 = 2
    1(0) = 1

    لاحظ أن المجال offis مستوى xy بأكمله.

    مثال 1.1.4 تحديد ورسم المجال خارج (x، y) = √ 1 x 2 −y

    الحل: لكي يكون التعبير عددًا حقيقيًا ، يجب أن يكون الجذر في الفئة موجبًا. وهذا هو ، x 2 & ampgt y. ومن ثم ، فإن المجال

    القطع المكافئ = x 2 يقسم الطائرة إلى قسمين ، جميع النقاط الموجودة فوقه أو فوقه ، وجميع النقاط الموجودة أسفله. النقطة (0 ، −1) ، وهي نقطة أسفل القطع المكافئ ، ترضي وتضخيم x 2. وبالتالي ، يشتمل المجال على جميع النقاط الموجودة أسفل القطع المكافئ. منحنى القطع المكافئ يشير إلى أن النقاط الموجودة عليه ليست جزءًا من المجال.

    مثال 1.1.5: حدد ورسم المجال خارج (x، y) = sin− 1 (x − 1).

    الحل: يتم تعريف دالة الجيب العكسية فقط للقيم الموجودة في الفترة [- 1 ، 1]. وهكذا ، - 16 x− 16 1 ، أو أن 0 6 x 6 2. ومن ثم ، فإن المجال هو

    1.1 مقدمة 3

    بيانياً ، يتكون المجال من نقاط بين الخطين x = 0 و x = 2 ، بما في ذلك هذه الخطوط.

    الشكل 1.2: المجال خارج (x، y) = sin− 1 (x − 1)

    مثال 1.1.6 حدد المجال ofg (x، y، z) = ln (1 − x 2 −y 2 −z 2).

    الحل: يتم تعريف اللوغاريتم الطبيعي للقيم الموجبة فقط. وهكذا ، 1 − x 2 −y 2 −z 2 & ampgt0 أو thatx 2 + y 2 + z 2 & amplt1. ومن ثم ، فإن المجال

    بيانيا ، المجال هو مجموعة النقاط داخل وحدة المجال المتمركزة في الأصل ، باستثناء الكرة نفسها.

    الرسوم البيانية لدوال متغيرين

    Supposefis دالة لمتغيرين xandy. Thegraphoff هي مجموعة جميع النقاط (x ، y ، z) في الفضاء ثلاثي الأبعاد مثل (x ، y) ∈domfandz = f (x ، y).

    مثال 1.1.7: ارسم الرسم البياني للوظائف التالية.

    1. و (س ، ص) = 2− 2 س − ص. الحل: الرسم البياني off هو التمثيل البياني للمعادلة z = 2− 2 x − y ، وهو مستوى متجه عادي 〈2 ، 1 ، 1〉.

    الشكل 1.3: رسم بياني (x، y) = 2− 2 x − y

    1.1 مقدمة 5

    مثال 1.1.8: ارسم خريطة محيطية (x، y) = y 2 −x 2 forz = −10، −5، 0، 5 and 10.

    الحل: المقاطع العرضية للسطح مع المستويات: z10 و ،5 و 0 و 5 و 10 وخريطة محيطية موضحة أدناه.

    ل = 10: y 2 −x 2 = 10 k = 5: y 2 −x 2 = 5 k = 0: x 2 −y 2 = 0 k = −5: x 2 y 2 = 5 k = −10: س 2 ص 2 = 10

    الشكل 1.6: منحنيات المستوى متوقفة (x، y) = y 2 −x 2

    مثال 1.1.9 السطح f (x، y) = sin 2 x + 14 y 2 له الرسم البياني التالي.

    الشكل 1.7: رسم بياني (x، y) = sin 2 x + 14 y 2

    فيما يلي المقاطع العرضية للسطح مع عدة مستويات أفقية.

    الشكل 1.8: قطع المقاطع العرضية (x، y) = sin 2 x + 14 y 2

    6 الفصل 1. وظائف أكثر من متغير واحد

    ثم يتم رسم مخطط كفاف للسطح

    الشكل 1.9: مخطط الكنتور متوقف (x، y) = sin 2 x + 14 y 2

    بالنسبة لوظائف ثلاثة متغيرات ، ليس من السهل تصور الرسوم البيانية الخاصة بهم لأن الرسوم البيانية ستقع على مساحة رباعية الأبعاد. لكن الأسطح المستوية يتم الحصول عليها من خلال النظر في عدة قيم لـ k∈Rsuch thatf (x ، y ، z) = k ، ونأمل أن تعطينا هذه بعض البصيرة الهندسية للوظيفة.

    مثال 1.1.10: لنفترض (x، y، z) = x + y + z. سطوح المستوى هي معادلات النموذج

    وهي طائرات ذات متجه عادي 〈1 ، 1 ، 1〉. يتضح أدناه مستوى أسطح (س ، ص ، ض).

    الشكل 1.10: مستوى الأسطح خارج (x ، y ، z) = x + y + z

    ملاحظة: تعطينا مجموعة من منحنيات المستوى فكرة عن مدى سرعة تغير قيمة الوظيفة.

    مثال 1.1.11: خريطة محيطية لـ f (x، y) = 4x 2 + y 2 موضحة أدناه ، حيث منحنيات المستوى f (x، y) = kare مأخوذة بزيادات متساوية من k. لاحظ أن الطلب يصبح أكبر ، وكذلك الأثر الإهليلجي ، وتصبح منحنيات المستوى أقرب معًا. يتغير Sof (x ، y) بسرعة أكبر عند النقاط (x ، y) على الخريطة الكنتورية حيث تكون منحنيات المستوى أقرب معًا.

    8 الفصل 1. وظائف أكثر من متغير واحد

    x 2 + y 2 −z 11. f (x، y، z) = xzcos− 1 (y 2 −1) 12. f (x، y، z) = cos− 1 (x − 1) sin− 1 ( ص 2 1)

    V. رسم رسم بياني للوظائف التالية.

    السادس. ارسم خريطة محيطية للأسطح التالية.

    1.2 الحدود والاستمرارية

    تذكر أننا قد تعرّفنا على حدود واستمرارية وظائف متغير واحد. نقوم بتوسيع هذه المفاهيم إلى وظائف متغيرين أو أكثر.

    دعونا نتحقق من القيم خارج (س ، ص) = 3 س

    2 y x 2 + y 2 عندما تقترب (x، y) من (0،0). الجدول أدناه

    يعرض القيم قبالة (س ، ص) المقابلة ل x- و- القيم في العمود الأول والصف الأول ، على التوالي.

    الجدول 1.1: القيم خارج (x، y) = 3 x 2 yx 2 + y 2 حيث تقترب (x، y) من (0،0) x y - 0. 05 - 0. 01 - 0. 001 0.001 0. 01 0. 05 - 0. 050 - 0. 07500 - 0. 02885 - 0. 00300 0 0. 00300 0. 02885 0. 07500 - 0. 0. 00577 - 0. 01500 - 0. 00297 0 0 .00297 0. 01500 0. 00577 - 0. 001 - 0. 00006 - 0. 00030 - 0. 00150 0 0. 00150 0. 00030 0. 00006 0.000 0 0 0 غير محدد 0 0 0 0. 001 - 0. 00006 - 0. 00030 - 0. 00150 0 0. 00150 0. 00030 0. 00006 0. 0. 0. 0. 00577 - 0. 01500 - 0. 00297 0. 00297 0. 01500 0. 00577 0. 050 - 0. 07500 - 0. 02885 - 0. 00300 0 0. 00300 0. 02885 0. 07500

    عندما تقترب (x، y) من (0،0) ، يبدو أن f (x، y) تقترب من 0. كما سيتضح لاحقًا ، هذه الملاحظة صحيحة. يجب أن نقول أنه ، مثل (x ، y) → (0،0) ، الحد الأقصى (x ، y) هو 0. نكتب هذا على النحو التالي

    1.2 الحدود والاستمرارية 9

    التعريف: لنفترض أنها دالة لمتغيرين مجالهما عبارة عن مجموعة فرعية مفتوحة من R 2 تحتوي على نقاط قريبة بشكل تعسفي من (أ ، ب). Thelimit of f(x,y) as (x,y) approaches (a,b) isL, written as lim (x,y)→(a,b) f(x,y) =L,

    if for every small numberε &gt0, there is a corresponding small numberδ &gt0 such that

    Remark. In the definition, by “Dcontains points arbitrarily close to (a,b)”, we mean for any δ &gt0, there is at least one point (x,y)∈Dsuch that 0&lt

    Example 1.2.1.Prove that lim (x,y)→(1,−1) (3x+ 2y) = 1.

    Solution: Letf(x,y) = 3x+ 2y, andL= 1. For any small numberε &gt0 we choose, we want to find a small numberδ &gt0, such that

    whenever the distance between (x,y) and (1,−1) is less thanδ. Note that| 3 x+ 2y− 1 |=|3(x−1) + 2(y+ 1)| 63 |x− 1 |+ 2|y+ 1|, and we want this to be less thanε. Also, notice that

    Thus, | 3 x+ 2y− 1 |≤ 3 |x− 1 |+ 2|y+ 1|&lt 3 δ+ 2δ= 5δ.

    Hence, by takingδ=ε 5 ,we have

    Therefore, lim (x,y)→(1,−1) (3x+ 2y) = 1.

    Remark.If the limit off(x,y) as (x,y) approaches (a,b) exists, then that limit is unique.

    Recall that on the real number line, one can approach a number from two directions, from the right and from the left. On thexy-plane, there are infinitely many ways one can approach a point (a,b). Hence, we extend the notion of one-sided limits for functions of one variable. Instead, we

    1.2. LIMITS AND CONTINUITY 11

    Example 1.2.3.Show that lim (x,y)→(0,0)

    x 2 −y 2 x 2 +y 2 does not exist.

    Solution: Let us consider the limit off(x,y) = x

    2 −y 2 x 2 +y 2 along thex-axis (y = 0), which passes

    through the origin. The limit is

    Also, let us consider the limit off(x,y) along they-axis (x= 0). The limit is

    Since the limits along different curves are not equal, then

    x 2 −y 2 x 2 +y 2 does not exist.

    Example 1.2.4.Show that lim (x,y)→(0,0)

    xy 2 x 2 +y 4 does not exist.

    Solution: LetC 1 be the liney=x. ثم

    LetC 2 be the parabolax=y 2. Then

    Since the limits along different curves are distinct, lim (x,y)→(0,0)

    xy 2 x 2 +y 4 does not exist.

    Example 1.2.5.Determine lim (x,y)→(0,0)

    Solution: LetC 1 be a non-vertical line through the origin. That is,C 1 : y=mx, for somem∈R. ثم

    3 x 2 (mx) x 2 +m 2 x 2 = limx→ 0

    Along the curvesC 2 :y=x 2 ,C 3 :x=y 2 ,C 4 :y=x 3 ,C 5 :x=y 3 , it can easily be verified that the limits of the function as (x,y)→(0,0) are also zero.

    The above computations seem to indicate that the limit is zero. However, this is not enough to say that the limit is zero. We need to prove that it is so by definition.


    5.10: Stokes' Theorem - Mathematics

    Instructor: Nikola Petrov, 802 PHSC, (405)325-4316, npetrov AT math.ou.edu

    Office Hours: Tue 3:00-4:00 p.m., Wed 2:00-3:00 p.m., or by appointment.

    Prerequisite: MATH 2433 (Calculus and Analytic Geometry III).

    Course catalog description: Vector calculus functions of several variables partial derivatives gradients, extreme values and differentials of multivariate functions multiple integrals line and surface integrals (F, Sp, Su)

    Text: J. Stewart, حساب التفاضل والتكامل, 6th edition, Brooks/Cole, 2007. The course will cover major parts of chapters 15-17.

    Check out the OU Math Blog! It is REALLY interesting!

    The OU Math Club will meet on Wednesday, September 16, in PHSC 1105, at 5 p.m. - yours truly will give a talk titled Physics and Math for lazy people: From the non-existence of Godzilla to the energy of a nuclear explosion there will be pizza, az always! -->

    1. Click on the following link: http://eval.ou.edu (or you can cut and paste this address into your web browser).
    2. Type your OUNet ID (4+4) and your password into the login form and click Log In. This is the same login information that you would use to check your OU email or log into Desire to Learn.
    3. After your login information has been authenticated, you will see a list of all your A&S courses for Spring 2008. Click the Available link next to each course to evaluate it.
    4. When you are finished evaluating the course, click Submit Evaluation at the bottom of the evaluation form to save it.
    5. You will then be returned to the course list page. From here you can evaluate another course or log out.
    • Homework 1 (problems given on Aug 25, 27, Sep 1, 3), due Sep 8 (Tue).
    • Homework 2 (problems given on Sep 8, 10, 15, 17), due Sep 22 (Tue).
    • Homework 3 (problems given on Sep 22, 24, 29, Oct 1), due Oct 8 (Thu).
    • Homework 4 (problems given on Oct 6, 8, 13), due Oct 15 (Thu).
    • Homework 5 (problems given on Oct 15, 20, 27, 29), due Nov 3 (Tue).
    • Homework 6 (problems given on Nov 3, 5, 10, 12), due Nov 17 (Tue).
    • Homework 7 (problems given on Nov 17, 19, 24), due in class on Dec 1 (Tue).

      Lecture 1 (Tue, Aug 25):Functions of several variables: functions of two variables, independent variables, dependent variable, domain, range, graph, level curves, examples functions of three or more variables (Sec. 15.1).
      Homework: تمارين 15.1/13 (hint), 16, 18, 27, 26, 42, 66.

    Attendance: You are required to attend class on those days when an examination is being given attendance during other class periods is also expected. You are fully responsible for the material covered in each class, whether or not you attend. Periodically I will collect it to be graded (these days will be announced in advance). Make-ups for missed exams will be given only if there is a compelling reason for the absence, which I know about مسبقا and can document independently of your testimony (for example, via a note or a phone call from a doctor or a parent).

    الواجب المنزلي: It is absolutely essential to solve a large number of problems on a regular basis!
    Homework will be assigned and due every class period. You should be prepared to present any of the homework problems due on a given day. Periodically I will collect it to be graded (these days will be announced in advance).
    You are allowed (and encouraged) to work in small groups. However, each of you will need to prepare individual solutions written in your own words - this is the فقط way to achieve real understanding! Please write the problems in the same order in which they are given in the assignment.
    All homework should be written on a 8.5"×11" paper with your name clearly written, and should be stapled. No late homework will be accepted!

    Exams: There will be three in-class midterms and a (comprehensive) final.
    Tentative dates for the midterms are September 24 (Thursday), October 27 (Tuesday), December 3 (Thursday).
    The final is scheduled for December 14 (Monday), 1:30-3:30 p.m.
    All tests must be taken at the scheduled times, except in extraordinary circumstances.
    Please do not arrange travel plans that prevent you from taking any of the exams at the scheduled time.

    Grading: Your grade will be determined by your performance on the following coursework:

    Coursework وزن
    الواجب المنزلي 10%
    Exam 1 20%
    Exam 2 20%
    Exam 3 20%
    إمتحان نهائي 30%

    Academic calendar for Fall 2009.

    Course schedule for Fall 2009.

    Policy on W/I Grades : Through October 2 (Friday), you can withdraw from the course with an automatic "W". In addition, from October 5 (Monday) to December 11 (Friday), you may withdraw and receive a "W" or "F" according to your standing in the class. Dropping after November 30 (Monday) requires a petition to the Dean. (Such petitions are not often granted. Furthermore, even if the petition is granted, I will give you a grade of "Withdrawn Failing" if you are indeed failing at the time of your petition.) Please check the dates!

    The grade of "I" (Incomplete) is ليس intended to serve as a benign substitute for the grade of "F". I only give the "I" grade if a student has completed the majority of the work in the course (for example everything except the final exam), the coursework cannot be completed because of compelling and verifiable problems beyond the student's control, and the student expresses a clear intention of making up the missed work as soon as possible.

    Academic Misconduct: All cases of suspected academic misconduct will be referred to the Dean of the College of Arts and Sciences for prosecution under the University's Academic Misconduct Code. The penalties can be quite severe. Don't do it!
    For details on the University's policies concerning academic integrity see the A Student's Guide to Academic Integrity. For information on your rights to appeal charges of academic misconduct consult the Rights and Responsibilities Under the Academic Misconduct Code. Students are also bound by the provisions of the OU Student Code.

    Students With Disabilities: The University of Oklahoma is committed to providing reasonable accommodation for all students with disabilities. Students with disabilities who require accommodations in this course are requested to speak with the instructor as early in the semester as possible. Students with disabilities must be registered with the Office of Disability Services prior to receiving accommodations in this course. The Office of Disability Services is located in Goddard Health Center, Suite 166: phone 405-325-3852 or TDD only 405-325-4173.


    5.10: Stokes' Theorem - Mathematics

    المنهج [PDF updated 1/22/07 4:00 PM]
    Lectures: Tue/Thu 11:00 AM--12:15 PM, 301 Snow Hall
    معلم: Jeremy Martin

    مكتب: 541 Snow Hall
    Office hours during finals week: Thursday 5/17, 1:00--4:30 PM, or by appointment
    KU course line number: 63722
    Textbook: Vector Calculus, 3rd edn., by Susan Jane Colley

    Announcements

    • Final grades have been posted on Enroll & Pay. (5/20/07) is now available. (5/14/07)
    • لي office hours on Tuesday 5/8 and Thursday 5/10 will be from 2:30--3:30 PM, instead of the usual 1:30--2:30. (5/4/07)
    • I have scheduled two review sessions during final exam week see below for dates, times and details. (5/4/07)
    • The due date on HW #12 has been postponed from Tuesday 5/8 to Thursday 5/10. (5/1/07)
    • The due date on HW #11 has been postponed from Tuesday 5/1 to Thursday 5/3. (5/1/07) is now available. (4/5/07)
    • I will hold an office hour on Wednesday 2/28, 11 AM - noon. My regular office hour on Thursday 3/1 is cancelled. (2/26/07) is now available. (2/26/07)
    • I have posted some hints on HW #4. (2/19/07)
    • My office hours on Thursday 2/8 will be 2:30--3:30 PM (instead of the usual 1:30--2:30). (2/6/07)
    • My office hours during the week of 1/29 - 2/2 will be normal. (1/29/07)
    • My office hours on Tuesday 1/23 and Thursday 1/25 are cancelled. Instead, I will hold office hours from 10:00--11:00 AM on Wednesday 1/24 and Friday 1/26, and by appointment. (1/22/07)
    • The syllabus is now available. (1/18/07)
    • Both sections of Math 223 are full or almost full. If you want to take the course but you are unable to enroll, contact me immediately. (1/17/07)

    جدول

    The following is an approximate schedule for the topics to be covered in each lecture. Future days are subject to change.

    Homework Assignments

    Homework is due at 5:00 PM every Tuesday (except days after midterm tests), starting January 30. This makes a total of 12 homework assignments your two lowest scores (including assignments not turned in) will be dropped. Only turn in the required problems. Not every problem will necessarily be graded, but part of your homework score will be for doing all the assigned problems. The homework is worth 20% of your grade. You can turn in homework in class, leave it in my mailbox in the Math Department office, 405 Snow, or bring it to my office, 541 Snow (if I am not around, you can leave it in the wall box or slip it under my door). Your homework should be as neat and legible as if it were typed, and all sheets should be stapled together.

    Turn in only the problems marked "Required". The problems marked "Practice" are mostly drill-type problems and/or similar to one of the required problems, and are not to be turned in.

    Each week, I'll choose four or five problems from the "Required" list to be graded for correctness and clarity. About three-quarters of your homework grade will be based on those problems the remaining one-quarter will be based on completeness -- that is, making at least a reasonable attempt to solve each of the required problems.

    Homework turned in late will not be accepted.
    Additional problems may be added up to one week before the due date.

    Tests

    There will be a 30-minute اختبار in class on Tuesday, February 6, worth 10% of your grade. The quiz will cover material from Chapter 1 of the textbook. This is intended partly as a diagnostic, to give you some idea of how you're doing before the first drop date.

    There will be two in-class tests على Thursday, March 1 و Thursday, April 12. Each test is worth 20% of your final grade. Some or all of the Tuesday before each test will be devoted to a review session.

    • Date/time: Thursday, March 1, in class
    • The mean score was 111/200 and the median was 112/200. Approximate letter grades are as follows:
      • A: 144--200
      • B: 112--143
      • C: 80--111
      • D: 60--79
      • F: <60
      • Date/time: Thursday, April 12, in class
      • The mean score was 147/200 and the median was 159/200. Approximate letter grades are as follows:
        • A: 180--200
        • B: 160--179
        • C: 140--159
        • D: 110--139
        • F: <110

        إمتحان نهائي

        The final exam is scheduled for Friday, May 18, 10:30 AM--1:00 PM, Snow 301. The exam will cover the entire semester's worth of material, with emphasis on the material not covered on the two midterm tests (starting approximately with Section 5.4). The exam is worth 30% of your final grade.

        Here is a review handout, including lists of practice problems.

        • Tuesday, May 15, 1:00--2:30 PM, Snow 306. ("If you were writing a Math 223 final exam, what would you put on it?")
        • Wednesday, May 16, 12:30--2:00 PM, Snow 306. (This will be a Q&A session: you bring the Q's, I'll supply the A's.)

        The average score on the final exam was 209/300 (70%) and the median was 213/300 (71%). Contact the instructor for more information.

        Links


        Last updated Sun 5/27/07 7:00 AM


        Analysis in Vector Spaces

        The first time I encountered analysis was in graduate school taking a course in real analysis. Such a course would teach students, as one friend put it, “how to write a proof.” That was quite true. From this book I found that what I was really taught might better be called scalar analysis because we worked only with scalar functions. It didn’t occur to me that the same analysis techniques of scalars would apply to vector functions. There is much more to analysis than scalars, as this book can attest.

        For those of us who seek to expand our experiences, and to learn analysis on vector spaces, this book is a good start. The format is “classic analysis textbook”: definitions lemmas and proofs and theorems (sometimes built from lemmas) and proofs. If that appeals to you, you won’t be disappointed.

        The authors begin with a review of sets, numbers, and functions. The discussion is basic but it familiarizes the reader to the authors’ notation and is well worth the time. We then explore real numbers, convergent sequences, and linear transformations. It is with linear transformations that we begin to get to vector spaces and functions in vector spaces. I won’t go through the many sections because MAA provides the table of contents, please see the link above.

        The book covers all its topics thoroughly and with examples that beautifully illustrate the ideas. For example, the authors define and explain rigid motion, trajectories, and the Frenet formulas (unit tangent vector, unit principal normal vector, and binormal vector) so that we can explore curvature and torsion. As with much of the book, the discussion is theoretical within the text, but the problems provide the reader with concrete insights. The problems take the material to a higher level.

        If you haven’t studied these topics in vector spaces before, this book will serve you well.

        David S. Mazel received his Ph. D. from Georgia Tech in electrical engineering and is a practicing engineer in Washington, DC. His research interests are in the dynamics of billiards, signal processing, and cellular automata.


        Exercises 6.5

        Ex 6.5.1 Let $ds f(x) = x^2$. Find a value $cin (-1,2)$ so that $f'(c)$ equals the slope between the endpoints of $f(x)$ on $[-1,2]$. (answer)

        Ex 6.5.2 Verify that $f(x) = x/(x+2)$ satisfies the hypotheses of the Mean Value Theorem on the interval $[1,4]$ and then find all of the values, $c$, that satisfy the conclusion of the theorem. (answer)

        Ex 6.5.3 Verify that $f(x) = 3x/(x+7)$ satisfies the hypotheses of the Mean Value Theorem on the interval $[-2 , 6]$ and then find all of the values, $c$, that satisfy the conclusion of the theorem.

        Ex 6.5.4 Let $f(x) = an x $. Show that $f(pi ) = f(2pi)=0$ but there is no number $cin (pi,2pi)$ such that $f'(c) =0$. Why does this not contradict Rolle's theorem?

        Ex 6.5.5 Let $ds f(x) = (x-3)^<-2>$. Show that there is no value $cin (1,4)$ such that $f'(c) = (f(4)-f(1))/(4-1)$. Why is this not a contradiction of the Mean Value Theorem?

        Ex 6.5.6 Describe all functions with derivative $ds x^2+47x-5$. (answer)

        Ex 6.5.7 Describe all functions with derivative $sin(2x)$. (answer)

        Ex 6.5.8 Show that the equation $ds 6x^4 -7x+1 =0$ does not have more than two distinct real roots.

        Ex 6.5.9 Let $f$ be differentiable on $R$. Suppose that $f'(x) eq 0$ for every $x$. Prove that $f$ has at most one real root.

        Ex 6.5.10 Prove that for all real $x$ and $y$ $|cos x -cos y | leq |x-y|$. State and prove an analogous result involving sine.


        المنهج

        Multivariable calculus is a fundamental pillar for many other things:

        It extends single variable calculus to higher dimensions. You will see that the structures are much richer than in single variable and that the fundamental theorem of calculus generalizes to higher dimensions.
        It provides vocabulary for understanding fundamental processes and phenomena. Examples are planetary motion, economics, waves, heat, finance, epidemiology, quantum mechanics or optimization.
        It teaches important background needed in social sciences, life sciences and economics. But it is rigorous enough that it is also suited for students in core sciences like physics, mathematics or computer science.
        It builds tools for describing geometrical objects like curves, surfaces, solids and intuition which is needed in other fields like linear algebra or data analysis. Geometry is currently extremely hot: tomography methods in medicine, computer games, google earth, social network analysis all use geometry.
        It relates to culture and history. The quest for answering questions like "where do we come from", "what will future bring us", "how can we optimize quantities" all use calculus. They were the motor to develop it. Euler, the inventor graph theory for example knew geometry and calculus well. The history of calculus contains fascinating stories, starting from Archimedes, 2300 years ago up to the modern times, where new branches of multivariable calculus are developed to understand the structure of nature.
        It develops problem solving methods. Examples are optimization problems with and without constraints (which is the bread and butter for exconomics), geometric problems, computations with scalar and vector fields, area and volume computations.
        It makes you acquainted with a powerful computer algebra system which allows you to see the mathematics from a different perspective. Such systems are more and more needed for visualization, experimentation and to build laboratories for your own research. No programming experience is required however. We will provide templates and get you started with a workshop.
        It prepares you for further study in other fields. Not only in mathematics and its applications, but also in seemingly unrelated fields like game theory, probability theory, discrete mathematics, sociology, or number theory, where similar structures and problems appear, even in a discrete setting. Without geometric intuition and paradigms learned in calculus, it is rather hard to work in those fields.
        It improves thinking skills, problem solving skills, visualization skills as well as computing skills. You will see the power of logical thinking and deduction and why mathematics is timeless.


        CALCULUS AND OPTIMIZATION

        1. Generalities on functions in R^n, Tangential and Normal vectors
        2. Eigenvalues and Eigenvectors
        3. Derivatives and Directional Derivatives
        4. Differentiation and the Chain Rule
        5. The Taylor expansion
        6. Implicit Function Theorem
        7. Fubini’s Theorem
        8. Exact differentials, Multiple Integration and the role of the Jacobian
        9. Green’s Theorem and Line Integrals
        10. Stokes’ Theorem

        ● Local/Global Minima/Maxima
        ● Karush-Kuhn-Tucker conditions
        ● Convexity (necessary/sufficient conditions)
        ● Mean Value Theorems
        ● Optimization methods for unconstrained/constrained problems
        ○ Gradient methods and Projected Gradient method
        ○ Linesearch procedures
        ○ Conjugate Gradient methods and Quasi Newton methods
        ○ Active set methods
        ○ Penalty/Barrier methods
        ○ Lagrangian and Augmented Lagrangian methods
        ○ Quadratic Programming
        ○ Applications with Rayleigh quotient

        Afternotes by the teacher. In addition, for some subjects in the program the students can consider the following textbooks.

        M.S.BAZARAA, H.D.SHERALI, C.M.SHETTY (1993) "Nonlinear Programming - Theory and Algorithms (2nd edition", John Wiley & Sons.

        D.P.BERTSEKAS (1982) "Constrained Optimization and Lagrange Multiplier Methods", Academic Press.

        D.P.BERTSEKAS (1995) "Nonlinear Programming", Athena Scientific, Belmont, Massachusetts, USA.

        R.WALTER (1976) "Principles of Mathematical Analysis", McGraw-Hill.

        C.H.Edwards, “Advanced Calculus of Several Variables”, Dover Publications, 2003

        B.T.M. Apostol “Calculus: Multivariable Calculus and Linear Algebra, with Applications to Differential Equations and Probability, vol. II, Second Edition”, John Wiley and Sons, Inc., 1973

        J.Nocedal, S.J.Wright, “Numerical Optimization, Second Edition”, Springer, 2006.

        S.Boyd, L.Vandenberghe “Convex Optimization”, Cambridge University Press, 2009.

        • Course with sustainable contents
        • University credits of sustainability: 3
        • Lecture notes, material for reference or for self-assessment available online or as e-book
        • E-learning, moodle platforms
        • Use of open-source software
        This website uses cookies

        We use technical cookies to analyse our traffic on the Ca' Foscari University websites. We also use third-party cookies to personalize different content and to provide some features of the University's institutional social media. We also share information on how you use our website with our partners responsible for web analytics, advertising and social media, who may combine it with other information that you have provided to them or that they have collected from your use of their services.

        Cookies Policy

        Cookie Policy - pursuant to art. 13 of Regulation (EU) 2016/679

        Below, we provide you with transparent information on the use of cookies on this website (hereinafter “Site”) in compliance with Directive 2009/136/EC and related provision of the Italian Data Protection Authority no. 229/2014.

        Data Controller and Data Protection Officer (DPO)

        The Data Controller is: Ca' Foscari University of Venice - Dorsoduro 3246, 30123 Venice (Italy) - www.unive.it.

        Definition of “cookies”

        Cookies are short text strings (letters and/or numbers) sent from the Site and stored by your browser on the specific device you use (computer, tablet, smartphone) and contain information to be reused during the same visit to the site or a future visit, even days later. Cookies are stored on the basis of user preferences.

        Furthermore, with the introduction of HTML5, various forms of local storage and similar technologies are available, such as web beacons, tracking pixels and transparent GIFs, which can be used to collect information on user behaviour and choices and on the use of the services.

        In this document, to simplify, we will use the term “cookie” to refer to cookies and all similar technologies.

        Types of cookies

        Based on the characteristics and use of cookies, we can divide them into two macro-categories:

        • Technical or session cookies. These are cookies essential for the correct functioning of the site and are used to manage the login and access to the reserved functions of the site. The duration of cookies is strictly limited to the work session (once the browser is closed, they are deleted), with the exception of cookies with a longer duration used exclusively to recognise, for a limited period, the visitor's computer/device - through an alpha-numeric code generated at the first login session. Disabling these cookies compromises the use of services accessed by logging in. The public area of the site can still be used as normal.
          This category also includes what are known as “cookie analytics”, only if used in aggregate form to collect and analyse traffic and monitor the performance and use of the site anonymously. These cookies, even without identifying the user, detect, for example, whether the same user returns to the site at different times. They also monitor the system and improve its performance and usability. These cookies can be disabled without any loss of functionality.
          These cookies can be used even without the consent of the person concerned.
        • Profilingand marketing cookies. These are permanent cookies used to identify (anonymously and non) user preferences and to improve their browsing experience by creating specific profiles and they are used to send advertising messages in line with the choices made by the user whilst browsing online.

        The sites of the Ca' Foscari University of Venice use this type of third-party cookie only anonymously.

        Pursuant to article 122, paragraph 1 of Legislative Decree 196/03 (“Privacy Code”), (in the formulation in force following the entry into force of Legislative Decree 69/2012), profiling and marketing cookies can be used only on condition that the user has expressed his consent after being informed using the simplified methods referred to in article 13 of the Privacy Code and of Regulation (EU) 2016/679.

        Third party cookies

        By visiting a website, you can receive cookies both from the visited site (“proprietary cookies”), and from sites managed by other organizations (“third parties”). Information collected by “third parties” is managed according to the relative privacy policies to which we recommend you refer. To ensure greater transparency and convenience, the web addresses of the various privacy policies and the procedures adopted for managing third-party cookies are shown in the table in the banner displayed when accessing the site.

        Social networks

        The site uses special cookies called Third Party “pixels” or “beacons”, for example from Facebook, Twitter, Instagram or Youtube or other providers of social web services. These cookies allow Third Parties to acquire data on visits by users who are browsing the Ca' Foscari sites and to interact with these users directly on their preferred social networks. The University will not share any user browser information or data acquired through its website with social networks and web services.

        Cookie duration

        Some cookies (session cookies) remain active only until the browser is closed or the logout command is executed. Other cookies “survive” closing the browser and are also available on subsequent visits by the user. These cookies are called persistent cookies and their duration is set by the server when they are created. In some cases, an expiry date is set in other cases the duration is unlimited. With the exception of cookies whose information is stored exclusively for technical purposes, Ca' Foscari University of Venice uses persistent cookies for technical and preference purposes.

        However, by browsing the pages of our websites, you can interact with sites managed by third parties, who can create or modify permanent and profiling cookies.

        Cookie management

        • Preventively, via the banner displayed on first visiting the University website
        • Subsequently, by changing their preferences via the specific area of the Cookie Policy site
        • In general, via the browser settings.

        Different browser settings can be applied for different websites and web applications. Furthermore, the best browsers allow you to apply different settings for “proprietary” and “third party” cookies. The options menu of the browser lets you manage the different types of cookies and eliminate existing cookies.

        تحذير: the total or partial disabling of technical cookies can compromise the use of the functions in the areas of the site reserved for registered users. On the contrary, public content can be used even if the cookies are completely disabled. Disabling “third party” cookies does not affect browsing in any way.
        We also remind you that completely disabling cookies in the browser may mean the user is unable to use all the interactive features.

        • Internet Explorer: http://windows.microsoft.com/it-it/internet-explorer/delete-manage-cookies#ie=ie-11
        • Google Chrome: https://support.google.com/chrome/answer/95647?co=GENIE.Platform%3DDesktop&hl=en-GB
        • Apple Safari: https://support.apple.com/en-gb/guide/safari/sfri11471/mac
        • Mozilla Firefox: https://support.mozilla.org/en-US/kb/cookies-information-websites-store-on-your-computer#w_cookie-settings
        • Opera: http://help.opera.com/Windows/10.00/it/cookies.html

        Check your behavioural or profiling cookies

        It is possible to view the profiling / behavioral cookies present on your browser for tracking activities by visiting the address http://www.youronlinechoices.com.

        Disclosure and dissemination of data

        The data collected using cookies can only be processed by specifically authorised personnel. Furthermore, such data may be disclosed to third parties only if specifically appointed as Data Processors, for the execution of certain services connected to existing relationships (e.g. consultants, service companies, web agencies).

        The data collected using own cookies shall not be disseminated and will not be transferred to third parties. The data collected using third-party cookies may be transferred outside the European Economic Area (EEA), for the purpose of technical or statistical management of the data collected this will only be performed in full compliance with Regulation (EU) 2016/679 (“GDPR”), to third countries for which the European Commission has recognised specific guarantees of adequacy or adequate guarantees of protection of personal data have been provided by means of agreements or contractual clauses (including the Binding Corporate Rules - BCRs- and standard contractual clauses).

        Further information about social networking platforms

        Ca’ Foscari University of Venice, as Data Controller pursuant to art. 13 of Regulation (EU) 2016/679 in the privacy policy published here, must inform users who may access institutional and/or official pages of Ca’ Foscari on the social networking platforms used by the University (e.g. Facebook, Instagram) or on other channels. The University and each social network provider (“SN Provider”) are joint Data Controllers of statistical data processed by the SN Provider, in accordance with the provisions set forth in Case C-210/16: Judgment of the Court (Grand Chamber) of 5 June 2018 of the European Union.

        The tools made available by social networking platforms for the visualisation of statistics (e.g. Facebook Insights) provide anonymised and aggregated data. The Data Controller nominated in the above-mentioned policy, despite being a joint Data Controller with the SN Provider, cannot access user details, as outlined in the information published by the SN Provider regarding the use of statistical data (e.g. Facebook’s Page Insights Controller Addendum).

        Rights of the data subject

        You can exercise your rights towards the Data Controller at any time, pursuant to articles 15-22 of the Regulation (EU) 2016/679, and in particular the rights of access, rectification, completion and, in the cases allowed, the right to data portability, in addition to the right to erasure, restriction of processing or to object to the processing of data for legitimate reasons and to oppose the automated decision-making process, including profiling, by contacting the Data Controller at the above address or by sending an email to the appointed DPO at [email protected]

        In order to guarantee the protection of the personal data of the data subject, we may need to request further specific information to confirm the identity of the data subject and thus guarantee their right of access to the information (or to exercise any of the other rights) only to persons entitled to receive such communications. This is another security measure used to protect your personal data.

        The request for access to your personal data (or to exercise one of the aforementioned rights) is free of charge. However, if the request is clearly unfounded or excessive, we may charge a reasonable expenses fee, taking into account the administrative costs incurred to provide the information, or refuse to fulfil the request in such circumstances.

        Updating the Policy

        Ca' Foscari University of Venice shall keep this information constantly updated and shall ensure that the updated policy is published on the websites concerned.


        شاهد الفيديو: برهان نظرية ستوكس 1. الرياضيات. التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات (شهر اكتوبر 2021).