مقالات

3.9: مشتقات Ln ، General Exponential


حتى الآن ، تعلمنا كيفية اشتقاق مجموعة متنوعة من الوظائف ، بما في ذلك الدوال المثلثية والدوال المعكوسة والضمنية. يمكن أن تساعد الدوال اللوغاريتمية في إعادة قياس الكميات الكبيرة وهي مفيدة بشكل خاص لإعادة كتابة التعبيرات المعقدة.

مشتق من الدالة اللوغاريتمية

الآن بعد أن أصبح لدينا مشتق الدالة الأسية الطبيعية ، يمكننا استخدام الاشتقاق الضمني لإيجاد مشتقة معكوسها ، وهي الدالة اللوغاريتمية الطبيعية.

نظرية: مشتق دالة اللوغاريتمية الطبيعية

إذا (x> 0 ) و (y = ln x ) ، إذن

( frac {dy} {dx} = frac {1} {x} ).

إذا (x ≠ 0 ) و (y = ln | x | ) ، إذن

( frac {dy} {dx} = frac {1} {x} ).

لنفترض أن وسيطة السجل الطبيعي ليست (x ) فقط ، ولكنها بدلاً من ذلك (g (x) ) ، دالة قابلة للتفاضل. الآن ، باستخدام قاعدة السلسلة ، نحصل على مشتق أكثر عمومية: لجميع قيم (x ) التي (g (x)> 0 ) ، مشتق (h (x) = ln (g (g ( x)) ) بواسطة

(h ′ (x) = frac {1} {g (x)} g ′ (x). )

دليل

إذا (x> 0 ) و (y = ln x ) ، إذن (e ^ y = x. ) ينتج عن التفريق بين طرفي هذه المعادلة

(e ^ y frac {dy} {dx} = 1. )

حل لعوائد ( frac {dy} {dx} )

( frac {dy} {dx} = frac {1} {e ^ y} ).

أخيرًا ، نستبدل (x = e ^ y ) للحصول عليها

( frac {dy} {dx} = frac {1} {x} ).

يمكننا أيضًا اشتقاق هذه النتيجة من خلال تطبيق نظرية الدالة العكسية ، على النحو التالي. منذ (y = g (x) = lnx )

هو معكوس (f (x) = e ^ x ) ، من خلال تطبيق نظرية الدالة العكسية التي لدينا

( frac {dy} {dx} = frac {1} {f ′ (g (x))} = frac {1} {e ^ { ln x}} = frac {1} {x} ).

باستخدام هذه النتيجة وتطبيق قاعدة السلسلة على (h (x) = ln (g (x)) ) ينتج

(h ′ (x) = frac {1} {g (x)} g ′ (x) ).

يظهر الرسم البياني لـ (y = lnx ) ومشتقاته ( frac {dy} {dx} = frac {1} {x} ) في الشكل.

الشكل ( PageIndex {3} ): تتزايد الدالة (y = ln x ) في ((0 ، + ∞) ). مشتقها (y '= frac {1} {x} ) أكبر من صفر في ((0، + ∞) )

مثال ( PageIndex {1} ): أخذ مشتق من اللوغاريتم الطبيعي

أوجد مشتق (f (x) = ln (x ^ 3 + 3x − 4) ).

حل

استخدم المعادلة مباشرة.

(f ′ (x) = frac {1} {x ^ 3 + 3x − 4} ⋅ (3x ^ 2 + 3) ) استخدم (g (x) = x ^ 3 + 3x − 4 ) بوصة (h ′ (x) = frac {1} {g (x)} g ′ (x) ).

(= frac {3x ^ 2 + 3} {x ^ 3 + 3x − 4} ) أعد الكتابة.

مثال ( PageIndex {2} ): استخدام خصائص اللوغاريتمات في مشتق

أوجد مشتق (f (x) = ln ( frac {x ^ 2 sin x} {2x + 1}) ).

حل

للوهلة الأولى ، يبدو أخذ هذا المشتق معقدًا إلى حد ما. ومع ذلك ، باستخدام خصائص اللوغاريتمات قبل إيجاد المشتقة ، يمكننا أن نجعل المسألة أبسط بكثير.

(f (x) = ln ( frac {x ^ 2 sin x} {2x + 1}) = 2 ln x + ln ( sin x) - ln (2x + 1) ) تطبيق الخصائص من اللوغاريتمات.

(f ′ (x) = frac {2} {x} + cot x− frac {2} {2x + 1} ) طبق قاعدة الجمع و (h ′ (x) = frac {1} {ز (س)} ز ′ (س) ).

تمرين ( PageIndex {1} )

اشتق: (f (x) = ln (3x + 2) ^ 5 ).

تلميح

استخدم خاصية اللوغاريتمات للتبسيط قبل أخذ المشتق.

إجابه

(f ′ (x) = frac {15} {3x + 2} )

الآن بما أننا نستطيع اشتقاق الدالة اللوغاريتمية الطبيعية ، يمكننا استخدام هذه النتيجة لإيجاد مشتقات (y = log_bx ) و (y = b ^ x ) لـ (b> 0 ، b 1 ).

مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية العامة

دع (b> 0، b ≠ 1، ) واجعل (g (x) ) دالة قابلة للتفاضل.

أنا. إذا ، (y = log_bx ) ، إذن

( frac {dy} {dx} = frac {1} {x ln b} ).

بشكل عام ، إذا كان (h (x) = log_b (g (x)) ) ، ثم لجميع قيم x التي (g (x)> 0 ) ،

(h ′ (x) = frac {g ′ (x)} {g (x) ln b} ).

ثانيا. إذا (y = b ^ x، ) ثم

( frac {dy} {dx} = b ^ x ln b ).

بشكل عام ، إذا (h (x) = b ^ {g (x)} ، ) إذن

(h ′ (x) = b ^ {g (x)} g '' (x) ln b )

دليل

إذا كان (y = log_bx، ) ثم (b ^ y = x. ) يتبع ذلك ( ln (b ^ y) = ln x ). هكذا (y ln b = ln x ). لحل (y ) ، لدينا (y = frac { ln x} { ln b} ). التفريق مع الأخذ في الاعتبار أن ( ln b ) ثابت ، ونحن نرى ذلك

( frac {dy} {dx} = frac {1} {x ln b} ).

المشتق في المعادلة يتبع الآن قاعدة السلسلة.

إذا (y = b ^ x ). ثم ( ln y = x ln b. ) باستخدام التفاضل الضمني ، مع الأخذ في الاعتبار مرة أخرى أن ( ln b ) ثابت ، ويتبع ذلك ( frac {1} {y} frac {dy } {dx} = ln b ). حل من أجل ( frac {dy} {dx} ) واستبدال (y = b ^ x ) ، نرى ذلك

( frac {dy} {dx} = y ln b = b ^ x ln b ).

المشتق الأكثر عمومية (المعادلة) يتبع قاعدة السلسلة.

مثال ( PageIndex {3} ): تطبيق الصيغ المشتقة

أوجد مشتق (h (x) = frac {3 ^ x} {3 ^ x + 2} ).

حل

استخدم قاعدة خارج القسمة والملاحظة.

(h ′ (x) = frac {3 ^ x ln 3 (3 ^ x + 2) −3 ^ x ln 3 (3 ^ x)} {(3 ^ x + 2) ^ 2} ) طبق قاعدة خارج القسمة.

(= frac {2⋅3 ^ x ln 3} {(3x + 2) ^ 2} ) بسّط.

مثال ( PageIndex {4} ): إيجاد منحدر خط الظل

أوجد ميل الخط المماس للرسم البياني لـ (y = log_2 (3x + 1) ) عند (x = 1 ).

حل

لإيجاد الميل ، يجب علينا إيجاد قيمة ( frac {dy} {dx} ) عند (x = 1 ). باستخدام المعادلة ، نرى ذلك

( frac {dy} {dx} = frac {3} { ln 2 (3x + 1)} ).

من خلال تقييم المشتق عند (x = 1 ) ، نرى أن خط المماس ميل

( frac {dy} {dx} ∣_ {x = 1} = frac {3} {4 ln 2} = frac {3} { ln16} ).

تمرين ( PageIndex {2} )

أوجد ميل الخط المماس لـ (y = 3 ^ x ) عند (x = 2. )

تلميح

أوجد المشتق عند (x = 2. )

إجابه

(9 ln (3) )

التفاضل اللوغاريتمي

في هذه المرحلة ، يمكننا أخذ مشتقات وظائف من النموذج (y = (g (x)) ^ n ) لقيم معينة من (n ) ، بالإضافة إلى وظائف النموذج (y = b ^ {g (x)} ) ، حيث (b> 0 ) و (b ≠ 1 ). لسوء الحظ ، ما زلنا لا نعرف مشتقات الدوال مثل (y = x ^ x ) أو (y = x ^ π ). تتطلب هذه الوظائف تقنية تسمى التمايز اللوغاريتمي، مما يسمح لنا بالتفريق بين أي دالة بالصيغة (h (x) = g (x) ^ {f (x)} ). يمكن استخدامها أيضًا لتحويل مسألة تفاضل معقدة للغاية إلى مشكلة أبسط ، مثل إيجاد مشتق (y = frac {x sqrt {2x + 1}} {e ^ x sin ^ 3x} ) . نحدد هذه التقنية في استراتيجية حل المشكلات التالية.

استراتيجية حل المشكلات: استخدام التفاضل اللوغاريتمي

  1. للاشتقاق (y = h (x) ) باستخدام التفاضل اللوغاريتمي ، خذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا طرفي المعادلة للحصول على ( ln y = ln (h (x)). )
  2. استخدم خصائص اللوغاريتمات لتوسيع ( ln (h (x)) ) قدر الإمكان.
  3. اشتق طرفي المعادلة. على اليسار لدينا ( frac {1} {y} frac {dy} {dx} ).
  4. اضرب طرفي المعادلة في (y ) لإيجاد قيمة ( frac {dy} {dx} ).
  5. استبدل (y ) بـ (h (x) ).

مثال ( PageIndex {5} ): استخدام التفاضل اللوغاريتمي

أوجد مشتق (y = (2x ^ 4 + 1) ^ { tan x} ).

حل

استخدم الاشتقاق اللوغاريتمي لإيجاد هذا المشتق.

( ln y = ln (2x ^ 4 + 1) ^ { tan x} ) الخطوة الأولى. خذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الجانبين.

( ln y = tan x ln (2x ^ 4 + 1) ) الخطوة 2. قم بالتوسيع باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

( frac {1} {y} frac {dy} {dx} = sec ^ 2x ln (2x ^ 4 + 1) + frac {8x ^ 3} {2x ^ 4 + 1} ⋅ tan x ) الخطوة الثالثة. ميّز بين الطرفين. استخدم قاعدة المنتج على اليمين.

( frac {dy} {dx} = y⋅ ( sec ^ 2x ln (2x4 + 1) + frac {8x ^ 3} {2x ^ 4 + 1} ⋅ tan x) ) الخطوة الرابعة. اضرب في كلا الجانبين.

( frac {dy} {dx} = (2x ^ 4 + 1) ^ { tan x} ( sec ^ 2x ln (2x ^ 4 + 1) + frac {8x ^ 3} {2x ^ 4 +1} ⋅ tan x) ) الخطوة 5. استبدل (y = (2x ^ 4 + 1) ^ { tan x} ).

مثال ( PageIndex {6} ): توسيع قاعدة الطاقة

أوجد مشتق (y = frac {x sqrt {2x + 1}} {e ^ x sin ^ 3x} ).

حل

تستفيد هذه المشكلة حقًا من خصائص اللوغاريتمات وقواعد التفاضل الواردة في هذا الفصل.

( ln y = ln frac {x sqrt {2x + 1}} {e ^ x sin ^ 3x} )الخطوة 1. خذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الجانبين.
( ln y = ln x + frac {1} {2} ln (2x + 1) −x ln e − 3 ln sin x )الخطوة 2. توسيع باستخدام خصائص اللوغاريتمات.
( frac {1} {y} frac {dy} {dx} = frac {1} {x} + frac {1} {2x + 1} −1−3 frac { cos x} { الخطيئة x} )الخطوة 3. فرق بين الجانبين.
( frac {dy} {dx} = y ( frac {1} {x} + frac {1} {2x + 1} −1−3 cot x) )الخطوة 4. اضرب ب (ص ) على كلا الجانبين.
( frac {dy} {dx} = frac {x sqrt {2x + 1}} {e ^ x sin ^ 3x} ( frac {1} {x} + frac {1} {2x + 1} −1−3 سرير أطفال x) )الخطوة 5. استبدل (y = frac {x sqrt {2x + 1}} {e ^ x sin ^ 3x}. )

تمرين ( PageIndex {3} )

استخدم الاشتقاق اللوغاريتمي لإيجاد مشتق (y = x ^ x ).

تلميح

اتبع استراتيجية حل المشكلة.

إجابه

الحل: ( frac {dy} {dx} = x ^ x (1+ ln x) )

تمرين ( PageIndex {4} )

أوجد مشتق (y = ( tan x) ^ π ).

تلميح

استخدم النتيجة من المثال.

إجابه

(y ′ = π ( tan x) ^ {π − 1} sec ^ 2x )

المفاهيم الرئيسية

  • على أساس افتراض أن الدالة الأسية (y = b ^ x، b> 0 ) مستمرة في كل مكان وقابلة للاشتقاق عند 0 ، هذه الوظيفة قابلة للاشتقاق في كل مكان وهناك صيغة لمشتقها.
  • يمكننا استخدام صيغة للعثور على مشتق (y = ln x ) ، وتسمح لنا العلاقة (log_bx = frac { ln x} { ln b} ) بتوسيع صيغ التمايز لتشمل اللوغاريتمات ذات القواعد التعسفية.
  • يتيح لنا الاشتقاق اللوغاريتمي التفريق بين الدوال ذات الشكل (y = g (x) ^ {f (x)} ) أو الدوال المعقدة جدًا عن طريق أخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الجانبين واستغلال خصائص اللوغاريتمات قبل التفريق.

المعادلات الرئيسية

  • مشتق من الدالة الأسية الطبيعية

( frac {d} {dx} (e ^ {g (x)}) = e ^ {g (x)} g ′ (x) )

  • مشتق من الدالة اللوغاريتمية الطبيعية

( frac {d} {dx} ( ln g (x)) = frac {1} {g (x)} g ′ (x) )

  • مشتق من الدالة الأسية العامة

( frac {d} {dx} (b ^ {g (x)}) = b ^ {g (x)} g ′ (x) ln b )

  • مشتق من الدالة اللوغاريتمية العامة

( frac {d} {dx} (log_bg (x)) = frac {g ′ (x)} {g (x) ln b} )

قائمة المصطلحات

التمايز اللوغاريتمي
هي تقنية تسمح لنا بتمييز دالة عن طريق أخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا طرفي المعادلة أولاً ، وتطبيق خصائص اللوغاريتمات لتبسيط المعادلة ، والاشتقاق ضمنيًا

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


3.9 مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية - عرض PowerPoint PPT

3.9 مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية باستخدام الصيغة أوجد dy / dx إذا كان أحد مشتقات الفأس مراجعة الجبر للوغاريتمات في أي نقطة على. & ndash عرض PowerPoint PPT

يعد موقع PowerShow.com موقعًا رائدًا لمشاركة العروض التقديمية / عرض الشرائح. سواء كان تطبيقك يتعلق بالعمل ، أو الكيفية ، أو التعليم ، أو الطب ، أو المدرسة ، أو الكنيسة ، أو المبيعات ، أو التسويق ، أو التدريب عبر الإنترنت أو لمجرد التسلية ، فإن موقع PowerShow.com هو مورد رائع. والأفضل من ذلك كله ، أن معظم ميزاته الرائعة مجانية وسهلة الاستخدام.

يمكنك استخدام PowerShow.com للعثور على أمثلة لعروض PowerPoint التقديمية عبر الإنترنت وتنزيلها حول أي موضوع يمكنك تخيله حتى تتمكن من تعلم كيفية تحسين الشرائح والعروض التقديمية مجانًا. أو استخدمه للعثور على عروض تقديمية عالية الجودة لـ PowerPoint وتنزيلها مع شرائح مصورة أو متحركة ستعلمك كيفية القيام بشيء جديد ، مجانًا أيضًا. أو استخدمه لتحميل شرائح PowerPoint الخاصة بك حتى تتمكن من مشاركتها مع المعلمين أو الفصل أو الطلاب أو الرؤساء أو الموظفين أو العملاء أو المستثمرين المحتملين أو العالم. أو استخدمها لإنشاء عروض شرائح صور رائعة حقًا - مع انتقالات ثنائية وثلاثية الأبعاد ورسوم متحركة وخيارات الموسيقى التي يمكنك مشاركتها مع أصدقائك على Facebook أو دوائر Google+. هذا كله مجاني أيضًا!

مقابل رسوم رمزية ، يمكنك الحصول على أفضل خصوصية على الإنترنت في المجال أو الترويج للعروض التقديمية وعروض الشرائح مع أعلى التصنيفات. لكن بصرف النظر عن ذلك فهو مجاني. سنقوم بتحويل العروض التقديمية وعروض الشرائح إلى تنسيق الفلاش العالمي بكل مجدها الأصلي للوسائط المتعددة ، بما في ذلك الرسوم المتحركة ، وتأثيرات الانتقال ثنائية وثلاثية الأبعاد ، والموسيقى المضمنة أو أي صوت آخر ، أو حتى الفيديو المضمّن في الشرائح. كل هذا مجانا. يمكن مشاهدة معظم العروض التقديمية وعروض الشرائح على PowerShow.com مجانًا ، بل إن الكثير منها مجاني للتنزيل. (يمكنك اختيار ما إذا كنت ستسمح للأشخاص بتنزيل عروض PowerPoint التقديمية الأصلية وعروض شرائح الصور مقابل رسوم أو مجانًا أم لا على الإطلاق.) تحقق من PowerShow.com اليوم - مجانًا. حقا هناك شيء للجميع!

العروض التقديمية مجانًا. أو استخدمه للعثور على عروض تقديمية عالية الجودة لـ PowerPoint وتنزيلها مع شرائح مصورة أو متحركة ستعلمك كيفية القيام بشيء جديد ، مجانًا أيضًا. أو استخدمه لتحميل شرائح PowerPoint الخاصة بك حتى تتمكن من مشاركتها مع المعلمين أو الفصل أو الطلاب أو الرؤساء أو الموظفين أو العملاء أو المستثمرين المحتملين أو العالم. أو استخدمها لإنشاء عروض شرائح صور رائعة حقًا - مع انتقالات ثنائية وثلاثية الأبعاد ورسوم متحركة وخيارات الموسيقى التي يمكنك مشاركتها مع أصدقائك على Facebook أو دوائر Google+. هذا كله مجاني أيضًا!


الوظائف الأسية

T HE SYSTEM OF NATURAL LOGARITHMS لديه الرقم المسمى e لأنه أساسه هو النظام الذي نستخدمه في جميع الأعمال النظرية. (في الدرس التالي ، سنرى أن e تساوي تقريبًا 2. 718.) يتناقض نظام اللوغاريتمات الطبيعية مع نظام اللوغاريتمات الشائعة ، والتي تتكون من 10 أساسًا وتستخدم في معظم الأعمال العملية.

نشير إلى الدالة اللوغاريتمية مع الأساس e كـ "ln x".

بمعنى آخر ، وظيفة اللوغاريتم هذه -

- لها وظيفة أسية معكوسة ،

فيما يلي العلاقات العكسية:

ولوغاريتم القاعدة نفسها دائمًا 1:

الدالة y = ln x متصلة ومحددة لجميع القيم الموجبة لـ x. ستطيع قوانين اللوغاريتمات المعتادة:

مثل جميع قواعد الجبر ، سوف يخضعون لقاعدة التناظر.
على سبيل المثال،

سنقوم الآن بتطبيق تعريف المشتق لإثبات:

في سياق الإثبات ، سيكون من التبسيط الكبير إذا حددنا قاعدة نظام السجلات الطبيعية ، الرقم الذي نسميه e ، على أنه الحد التالي:

سيكون لحد في الإثبات نفس النموذج.

لاحقًا ، سوف نسمي المتغير x بدلاً من v. وفي الدرس التالي ، عند تغيير المتغير من v إلى ، يتبع التعريف المألوف.

هنا حاصل الفرق:

نأخذ النهاية عندما تقترب h من 0.

نحدد الآن هذا الحد ليكون أساس اللوغاريتمات الطبيعية ، الرقم الذي سنسميه e. (هذا الحد هو الحد أعلاه ، مع v = عندما 0 ، 0.)

وهو ما أردنا إثباته.

- أي ، e ، موجود عندما تقترب x من 0 ، هذا هو الرسم البياني لـ

y لها قيمة محددة عندما تقترب x من الصفر. وفي الدرس التالي سنرى أنها تساوي 2.718 تقريبًا.

"مشتق e x بالنسبة إلى x

بما أن y = e x معكوس y = ln x ، فيمكننا الحصول على مشتقها على النحو التالي:

لذلك عند أخذ مشتقة كلا الطرفين بالنسبة إلى x ، وتطبيق قاعدة السلسلة على ln y:

e x هو مشتقها.

ماذا يعني ذلك؟ إنه يعني معنى النمو الأسي. لأننا نقول أن الكمية تنمو "أسيًا" عندما تنمو بمعدل يتناسب مع حجمها. كلما زاد حجمها في أي وقت ، زادت سرعة نموها في ذلك الوقت. مثال نموذجي هو السكان. كلما زاد عدد الأفراد ، زاد عدد المواليد ، وبالتالي زاد معدل التغير في السكان - عدد المواليد في كل عام.

جميع الدوال الأسية لها الصيغة a x ، حيث a هي الأساس. لذلك ، فإن القول بأن معدل النمو يتناسب مع حجمه ، يعني أن مشتق x يتناسب مع a x.

أين ك هو ثابت التناسب. (الدرس 39 من الجبر.) عندما نحسب هذا المشتق أدناه ، سنرى أن هذا الثابت يصبح ln a.

في نظام اللوغاريتمات الطبيعية ، حيث تمثل e الأساس ، لدينا أبسط ثابت ممكن ، وهو 1.

مشتق e ذو الأس وظيفي

عندما تكون y = e u (x) ، فوفقًا لقاعدة السلسلة:

"مشتق e ذو الأس وظيفي

يساوي e مع هذا الأس
ضرب مشتق هذا الأس ".

مثال 1. احسب مشتق e 2 x + 3.

المشكلة 1. احسب مشتق e x 2.

لرؤية الإجابة ، مرر مؤشر الماوس فوق المنطقة الملونة.
لتغطية الإجابة مرة أخرى ، انقر فوق "تحديث" ("إعادة تحميل").
هل المشكلة بنفسك أولا!

المشكلة 2. احسب مشتق ما يلي.

ج) × 2 ه ×. x 2 e x + 2 x e x

عندما تكون y = ln u (x) ، فوفقًا لقاعدة السلسلة:

مثال 4. أوجد مشتق ln x 2.

حل . يجوز لنا تطبيق قوانين اللوغاريتمات:

د
dx
ln x 2 = د
dx
2 ln x ، القانون الثالث ،
= 2 د
dx
ln x
= 2
x
.
مثال 5. أوجد مشتق ln x
3 × وناقص 4
.

حل . وفقًا للقانون الثاني:

د
dx
ln x
3 × وناقص 4
= د
dx
[ln x & ناقص ln (3 x & ناقص 4)]
=
=
=

المشكلة 3. قم بتمييز ما يلي.

أ) ln x 3. د
dx
ln x 3 = د
dx
3 ln x = 3
x
ب) (ln x) 3. 3 (ln x) 2 & middot 1
x
= 3 (ln x) 2
x
ج) ln (3 × 2 & ناقص 4 ×). 1
3 × 2 وناقص 4 ×
& middot (6 × & ناقص 4) = 6 × وناقص 4
3 × 2 وناقص 4 ×
د) لا (3 س & ناقص 4) 2. 1
(3 × وناقص 4) 2
& middot 2 (3 x & amp ؛ 4) & middot 3 = 6 (3 × وناقص 4)
(3 × وناقص 4) 2
= 6
3 × وناقص 4
ه) ln cos x. 1
كوس x
(& minussin x) = &ناقص الخطيئة x
كوس x
= & مينوستان س
المشكلة 4. احسب مشتق ln 2
x
.
د
dx
ln 2
x
= د
dx
(ln 2 & ln x) = 0 & ناقص 1
x
= & ناقص 1
x

المسألة 5. مشتق log a x.

وفقًا لقاعدة التغيير من الأساس e إلى قاعدة مختلفة أ:

احسب نهاية هذا المشتق

أ) عندما تكون x أكبر من 1 وتصبح أكبر.

هذا المشتق يقترب من 0 ، أي يصبح أصغر.

ب) عندما تكون x أقل من 1 وتصبح أصغر.

يصبح هذا المشتق أكبر.

يمكننا الآن إثبات أن مشتقة f (x) = x n ، حيث n هي أي أس نسبي ، كما يلي:

ذ = x ن.
ثم
في ذ = n ln x (القانون الثالث).
لذلك ، عند أخذ المشتق بالنسبة إلى x:
= ن
x
لهذا السبب
ذ = ن
x
& middot ذ
= ن
x
& middot x n
= n x n & ناقص 1.

هذا ما أردنا إثباته.

(إذا كانت n تساوي 0 ، فإن x 0 = 1 ، يكون مشتقها ثابتًا هو 0. إذا كانت n غير منطقية ، فسيكون التقريب المنطقي ضروريًا.)

المشكلة 6. احسب مشتق

"مشتق دالة أسية ذات أساس أ

يساوي اللوغاريتم الطبيعي لتلك القاعدة

مرات الدالة الأسية. "

ذ = فأس .
ثم عند أخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الجانبين:
في ذ = x ln أ. (القانون الثالث)
لذلك،
=
لكن بقاعدة السلسلة:
=
لذلك،
= في أ.
= في أ
ذ = ل & middot ذ
هذا هو،
= ln a & middot a x.

هذا ما أردنا إثباته.

مثال 6. د
dx
2 × = ln 2 & middot 2 x.

المسألة 7. احسب مشتقة y = 10 5 x.

يرجى التبرع لإبقاء TheMathPage على الإنترنت.
حتى دولار واحد سيساعد.


مشتق من ln: خطوات

شاهد هذا الفيديو القصير (3 دقائق) لترى كيف يتم الحصول على مشتق ln باستخدام التفاضل الضمني ، أو اقرأ أدناه:

لإيجاد مشتق ln (x) ، استخدم حقيقة أن y = ln x يمكن إعادة كتابتها بالشكل ص ص = س .
الخطوة 1: خذ مشتق جانبي e y = x:

الخطوة 2: أعد الكتابة (باستخدام الجبر) لتحصل على:

الخطوة 3: استبدل ln (x) بـ y:


قائمة المصطلحات

عكسي دالة مثل ذلك للجميع في مجال هو مشتق عكسي لـ تكامل غير محدد للمشتق العكسي الأكثر عمومية هو تكامل غير محدد من نستخدم الترميز للدلالة على تكامل غير محدد من مشكلة القيمة الأولية مشكلة تتطلب إيجاد دالة الذي يرضي المعادلة التفاضلية مع الحالة الأولية

تمارين 9.3

المثال 9.3.1 إثبات الأجزاء (ب) و (ج) من النظرية 9.3.6.

المثال 9.3.2 حل $ ln (1+ sqrt ) = 6 دولارات لكل دولار × دولار.

المثال 9.3.3 حل $ ds e ^ = 8 دولارات مقابل دولار × دولار.

مثال 9.3.4 حل $ ln ( ln (x)) = 1 $ مقابل $ x $.

مثال 9.3.5 ارسم الرسم البياني لـ $ ds f (x) = e ^ <4x-5> + 6 $.

مثال 9.3.6 ارسم الرسم البياني لـ $ f (x) = 3e ^ -4 $.

المثال 9.3.7 أوجد معادلة خط المماس للدالة $ f (x) = e ^ x $ عند $ x = a $.

مثال 9.3.8 احسب مشتق $ f (x) = 3x ^ 2 e ^ <5x-6> $.

المثال 9.3.9 احسب مشتق $ ds f (x) = e ^ x - left (1+ x + + + cdots + حق) $.

المثال 9.3.10 أثبت أن $ e ^ x> 1 $ مقابل $ x geq 0 $. ثم أثبت أن $ e ^ x> 1+ x $ مقابل $ x geq 0 $.

المثال 9.3.11 باستخدام التمرينين السابقين ، أثبت (باستخدام الاستقراء الرياضي) أن $ ds e ^ x> 1+ x + + + cdots + = sum_^ ن $ مقابل x $ geq 0 $.

المثال 9.3.12 استخدم التمرين السابق لإثبات أن $ e> 2.7 $.

مثال 9.3.13 التفريق بين $ ds <>+ e ^ <-kx> over 2> $ بالنسبة إلى $ x $.

المثال 9.3.15 ادمج $ 5x ^ 4 e ^$ بالنسبة إلى $ x $.

المثال 9.3.16 احسب $ ds int_0 ^ < pi / 3> cos (2x) e ^ < sin 2x> ، dx $.

المثال 9.3.17 حساب $ ds int أكثر من x ^ 3> ، dx $.

المثال 9.3.18 دع $ ds F (x) = int_0 ^ ه ^، دينارا. احسب $ F '(0) $.


هل تريد ذلك؟

Роизводная - то важный инструмент математического анализа، который отображает бесконечно малое ненино.

ля ункции، существует способов обозначения производной относительно переменной. аиболее распространенными являются обозначения и. ля обозначения кратной производной используют или. ратные производные также называют производными старших порядков. торую производную также асто обозначают.

роизводнаяв точке по определению равна. тот предел не всегда определен، но когда он существует، о функции говорят، то она дифференцирует. оворя геометрически، дает тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке.

апример، если، тогда мы можем найти производную:. роизводная является инструментом для решения прикладных задач. Например، она используется для определения локальных или глобальных экстремумов، точек перегиба، для решения задач оптимизации и описания траекторий движения объектов.


3.9: الملحق - بعض الجبر الأسي العامل

  • بمساهمة مايكل فاولر
  • أستاذ أشعة (فيزياء) بجامعة فيرجينيا

افترض أن المبدل لعاملين (A ) ، (B )

حيث (c ) ينتقل مع (A ) و (B ) ، عادة ما يكون & rsquos مجرد رقم ، على سبيل المثال 1 أو (i hbar ).

وهذا يعني أن مبدل (A ) مع (e ^ < lambda B> ) يتناسب مع (e ^ < lambda B> ) نفسه. هذا يذكرنا بعلاقة تبديل المذبذب التوافقي البسيطة ([H، a ^ < dagger>] = hbar omega a ^ < dagger> ) التي أدت مباشرة إلى سلم القيم الذاتية لـ (H ) مفصول بقلم ( hbar omega ). هل سيكون هناك & ldquoladder & rdquo مماثلة من eigenstates من (A ) بشكل عام؟

بافتراض أن (A ) (وهو عامل عام) لديه حالة eigenstate (| a rangle ) مع قيمة eigenvalue (a ) ،

تطبيق ([A، e ^ < lambda B>] = lambda ce ^ < lambda B> ) على eigenstate (| a rangle ):

لذلك ، ما لم تكن صفرًا بشكل مماثل ، فإن (e ^ < lambda B> | a rangle ) يكون أيضا حالة eigenstate لـ (A ) ، مع القيمة الذاتية (a + lambda c ). نستنتج أنه بدلاً من a سلم من eigenstates ، يمكننا على ما يبدو إنشاء كل الأستمرارية من eigenstates ، حيث يمكن تعيين ( lambda ) بشكل تعسفي!

للعثور على مزيد من هويات المشغل ، اضرب مسبقًا ([A، e ^ < lambda B>] = lambda ce ^ < lambda B> ) بواسطة (e ^ <- lambda B> ) للعثور على:

هذه الهوية فقط صحيح بالنسبة إلى عوامل التشغيل (A ) ، (B ) التي يكون عاكسها (c ) رقمًا. (حسنًا ، (ج ) يستطع أن يكون عاملًا ، بشرط أن يظل يتنقل مع كل من (A ) و (B )).

مهمتنا التالية هي إنشاء الهوية التالية المفيدة جدًا ، والتي تكون صحيحة أيضًا فقط إذا كان ([A ، B] ) يتنقل مع (A ) و (B ):

من السهل التحقق من أن حل هذه المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى يساوي واحدًا في (x = 0 ) هو

لذا فإن أخذ (س = 1 ) يعطي الهوية المطلوبة ،

ويترتب على ذلك أيضًا أن (e ^ Be ^ A = e ^ Ae ^ Be ^ <- [A، B]> ) يتم توفيره & mdashas دائمًا & mdashthat ([A، B] ) يتنقل مع (A ) و (B ).


3.9: مشتقات Ln ، General Exponential

حتى الآن ، تعلمنا كيفية اشتقاق مجموعة متنوعة من الوظائف ، بما في ذلك الدوال المثلثية والدوال المعكوسة والضمنية. في هذا القسم ، نستكشف مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية. كما ناقشنا في مقدمة إلى الوظائف والرسوم البيانية ، تلعب الوظائف الأسية دورًا مهمًا في نمذجة النمو السكاني وانحلال المواد المشعة. يمكن أن تساعد الدوال اللوغاريتمية في إعادة قياس الكميات الكبيرة وهي مفيدة بشكل خاص لإعادة كتابة التعبيرات المعقدة.

مشتق من الدالة الأسية

مثلما وجدنا مشتقات دوال أخرى ، يمكننا إيجاد مشتقات الدوال الأسية والدوال اللوغاريتمية باستخدام الصيغ. بينما نقوم بتطوير هذه الصيغ ، نحتاج إلى وضع افتراضات أساسية معينة. البراهين التي تحمل هذه الافتراضات خارج نطاق هذه الدورة.

كما نرى في الجدول التالي 4 & # 960 & # 8776 77.88. 4 & # 960 & # 8776 77.88.

تقريب القيمة 4 & # 960 4 & # 960
x x 4 × 4 × x x 4 × 4 ×
4 3 4 3 64 4 3.141593 4 3.141593 77.8802710486
4 3.1 4 3.1 73.5166947198 4 3.1416 4 3.1416 77.8810268071
4 3.14 4 3.14 77.7084726013 4 3.142 4 3.142 77.9242251944
4 3.141 4 3.141 77.8162741237 4 3.15 4 3.15 78.7932424541
4 3.1415 4 3.1415 77.8702309526 4 3.2 4 3.2 84.4485062895
4 3.14159 4 3.14159 77.8799471543 4 4 4 4 256

تشير الأدلة من الجدول إلى أن 2.7182 & lt & lt 2.7183. 2.7182 & lt e & lt 2.7183.

يظهر الرسم البياني لـ E (x) = e x E (x) = e x مع الخط y = x + 1 y = x + 1 في [الرابط]. هذا الخط مماس للرسم البياني لـ E (x) = e x E (x) = e x عند x = 0. س = 0.

خط المماس لـ E (x) = e x E (x) = e x عند x = 0 x = 0 ميله 1.

الآن وقد وضعنا افتراضاتنا الأساسية ، نبدأ بحثنا باستكشاف مشتق B (x) = b x ، b & gt 0. B (x) = b x، b & gt 0. تذكر أننا افترضنا أن B & # 8242 (0) B & # 8242 (0) موجود. من خلال تطبيق تعريف الحد على المشتق نستنتج ذلك


شاهد الفيديو: Afgeleide: Samengestelde functies - Wiskunjeleren (شهر اكتوبر 2021).