مقالات

3.7: قاعدة السلسلة - الرياضيات


لقد رأينا تقنيات التفريق بين الوظائف الأساسية ((x ^ n ، sin x ، cos x ، وما إلى ذلك) ) بالإضافة إلى المجاميع والاختلافات والمنتجات والحاصل والمضاعفات الثابتة لهذه الوظائف. في هذا القسم ، ندرس قاعدة إيجاد مشتق تكوين وظيفتين أو أكثر.

اشتقاق قاعدة السلسلة

عندما يكون لدينا وظيفة تتكون من وظيفتين أو أكثر ، يمكننا استخدام جميع التقنيات التي تعلمناها بالفعل لتمييزها. ومع ذلك ، فإن استخدام كل هذه الأساليب لتقسيم دالة إلى أجزاء أبسط يمكننا اشتقاقها يمكن أن يصبح أمرًا مرهقًا. بدلاً من ذلك ، نستخدم امتداد حكم السلسلة، والتي تنص على أن مشتق الدالة المركبة هو مشتق الدالة الخارجية التي يتم تقييمها عند الدالة الداخلية مضروبًا في مشتق الدالة الداخلية.

لوضع هذه القاعدة في السياق ، دعنا نلقي نظرة على مثال: (h (x) = sin (x ^ 3) ). يمكننا التفكير في مشتق هذه الوظيفة بالنسبة إلى (x ) كمعدل تغير ( sin (x ^ 3) ) بالنسبة للتغيير في (x ). وبالتالي ، نريد أن نعرف كيف تتغير ( sin (x ^ 3) ) عندما يتغير (x ). يمكننا التفكير في هذا الحدث على أنه تفاعل متسلسل: مع تغير (x ) يتغير (x ^ 3 ) ، مما يؤدي إلى تغيير في ( sin (x ^ 3) ). يعطينا هذا التفاعل المتسلسل تلميحات حول ما ينطوي عليه حساب مشتق ( sin (x ^ 3) ). بادئ ذي بدء ، يشير التغيير في (x ) بفرض تغيير في (x ^ 3 ) إلى أن مشتق (x ^ 3 ) متضمن بطريقة ما. بالإضافة إلى ذلك ، يشير التغيير في (x ^ 3 ) إلى إحداث تغيير في ( sin (x ^ 3) ) إلى أن مشتق ( sin (u) ) فيما يتعلق بـ (u ) ، حيث (u = x ^ 3 ) ، هو أيضًا جزء من المشتق النهائي.

يمكننا إلقاء نظرة أكثر رسمية على مشتق (h (x) = sin (x ^ 3) ) من خلال إعداد الحد الذي من شأنه أن يعطينا المشتق بقيمة محددة (a ) في المجال من (ح (س) = خطيئة (س ^ 3) ).

[h ′ (a) = lim_ {x → a} dfrac { sin (x ^ 3) - sin (a ^ 3)} {x − a} ]

لا يبدو هذا التعبير مفيدًا بشكل خاص ؛ ومع ذلك ، يمكننا تعديله عن طريق الضرب والقسمة على التعبير (x ^ 3 − a ^ 3 ) ) للحصول على

[h ′ (a) = lim_ {x → a} dfrac { sin (x ^ 3) - sin (a ^ 3)} {x ^ 3 − a ^ 3} ⋅ dfrac {x ^ 3 −a ^ 3} {x − a}. ]

من تعريف المشتق ، يمكننا أن نرى أن العامل الثاني هو مشتق (x ^ 3 ) في (x = a. ) أي ،

[ lim_ {x → a} dfrac {x ^ 3 − a ^ 3} {x − a} = dfrac {d} {dx} (x ^ 3) = 3a ^ 2. ]

ومع ذلك ، قد يكون من الصعب بعض الشيء إدراك أن المصطلح الأول مشتق أيضًا. يمكننا أن نرى ذلك من خلال السماح (u = x ^ 3 ) وملاحظة ذلك كـ (x → a، u → a ^ 3 ):

[ begin {align} lim_ {x → a} dfrac { sin (x ^ 3) - sin (a ^ 3)} {x ^ 3 − a ^ 3} & = lim_ {u → a ^ 3} dfrac { sin u− sin (a ^ 3)} {u − a ^ 3} & = dfrac {d} {du} ( sin u) _ {u = a ^ 3} & = cos (a3) ​​ نهاية {محاذاة}. ]

وهكذا ، (h ′ (a) = cos (a ^ 3) ⋅3a ^ 2 ).

بمعنى آخر ، إذا (h (x) = sin (x ^ 3) ) ، إذن (h ′ (x) = cos (x ^ 3) ⋅3x ^ 2 ). وبالتالي ، إذا فكرنا في (h (x) = sin (x ^ 3) ) كتكوين ((f∘g) (x) = f (g (x)) ) حيث (f ( x) = sin x ) و (g (x) = x ^ 3 ) ، ثم مشتق (h (x) = sin (x ^ 3) ) هو حاصل ضرب مشتق (g (x) = x ^ 3 ) ومشتق الدالة (f (x) = sin x ) التي تم تقييمها عند الدالة (g (x) = x ^ 3 ). في هذه المرحلة ، نتوقع أنه بالنسبة لـ (h (x) = sin (g (x)) ) ، من المحتمل جدًا أن (h ′ (x) = cos (g (x)) g ′ ( خ) ). كما حددنا أعلاه ، هذا هو الحال بالنسبة (h (x) = sin (x ^ 3) ).

الآن وقد استنتجنا حالة خاصة لقاعدة السلسلة ، فإننا نذكر الحالة العامة ثم نطبقها بشكل عام على الدوال المركبة الأخرى. يتم توفير دليل غير رسمي في نهاية القسم.

القاعدة: قاعدة السلسلة

لنفترض أن (f ) و (g ) وظائف. بالنسبة لجميع (x ) في مجال (g ) الذي يكون (g ) قابلاً للتفاضل عند (x ) و (f ) قابل للتفاضل عند (g (x) ) ، مشتق من الوظيفة المركبة

[h (x) = (f∘g) (x) = f (g (x)) ]

اعطي من قبل

[h ′ (x) = f ′ (g (x)) g ′ (x). ]

بدلاً من ذلك ، إذا كانت (y ) دالة لـ (u ) ، و (u ) هي دالة (س ) ، إذن

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy} {du} ⋅ dfrac {du} {dx} ).

إستراتيجية حل المشكلات: تطبيق قاعدة السلسلة

  1. للاشتقاق (h (x) = f (g (x)) ) ، ابدأ بتحديد (f (x) ) و (g (x) ).
  2. ابحث عن (f '(x) ) وقم بتقييمه عند (g (x) ) للحصول على (f ′ (g (x)) ).
  3. أوجد (g ′ (x). )
  4. اكتب (h ′ (x) = f ′ (g (x)) ⋅g ′ (x). )

ملحوظة: عند تطبيق قاعدة السلسلة على تكوين وظيفتين أو أكثر ، ضع في اعتبارك أننا نعمل في طريقنا من الوظيفة الخارجية. ومن المفيد أيضًا أن نتذكر أنه يمكن اعتبار مشتق تكوين وظيفتين على أنه جزئين؛ مشتق تكوين ثلاث وظائف من ثلاثة أجزاء ؛ وهكذا. تذكر أيضًا أننا لا نوجد مشتقًا مطلقًا.

سلسلة وقواعد القوة مجتمعة

يمكننا الآن تطبيق قاعدة السلسلة على الدوال المركبة ، لكن لاحظ أننا نحتاج غالبًا إلى استخدامها مع قواعد أخرى. على سبيل المثال ، لإيجاد مشتقات الدوال بالصيغة (h (x) = (g (x)) ^ n ) ، نحتاج إلى استخدام قاعدة السلسلة جنبًا إلى جنب مع قاعدة القوة. للقيام بذلك ، يمكننا التفكير في (h (x) = (g (x)) ^ n ) كـ (f (g (x)) ) حيث (f (x) = x ^ n ) . ثم (f ′ (x) = nx ^ {n − 1} ). وهكذا ، (f ′ (g (x)) = n (g (x)) ^ {n − 1} ). هذا يقودنا إلى مشتقة دالة أس باستخدام قاعدة السلسلة ،

(h ′ (x) = n (g (x)) ^ {n − 1} g ′ (x) )

القاعدة: قاعدة السلطة لتكوين الوظائف

لجميع قيم (x ) التي تم تعريف المشتق لها ، إذا

(h (x) = (g (x)) ^ n ).

ثم

(h ′ (x) = n (g (x)) ^ {n − 1} g ′ (x) ).

مثال ( PageIndex {1} ): استخدام قواعد الطاقة والسلسلة

أوجد مشتق (h (x) = dfrac {1} {(3x ^ 2 + 1) ^ 2} ).

المحلول

أولاً ، أعد كتابة (h (x) = dfrac {1} {(3x ^ 2 + 1) ^ 2} = (3x ^ 2 + 1) ^ {- 2} ).

بتطبيق قاعدة الأس مع (g (x) = 3x ^ 2 + 1 ) ، لدينا

(h ′ (x) = - 2 (3x ^ 2 + 1) ^ {- 3} (6x) ).

تعطينا إعادة الكتابة إلى النموذج الأصلي

(h ′ (x) = dfrac {−12x} {(3x ^ 2 + 1) ^ 3} )

تمرين ( PageIndex {1} )

أوجد مشتق (h (x) = (2x ^ 3 + 2x − 1) ^ 4 ).

تلميح

استخدم المعادلة مع (g (x) = 2x ^ 3 + 2x − 1 )

إجابه

(ح ′ (س) = 4 (2 س ^ 3 + 2 س − 1) ^ 3 (6 س + 2) = 8 (3 س + 1) (2 س ^ 3 + 2 س − 1) ^ 3 )

مثال ( PageIndex {2} ): استخدام قواعد السلسلة والقوة مع الدالة المثلثية

أوجد مشتق (h (x) = sin ^ 3x ).

المحلول

تذكر أولاً أن (sin ^ 3x = ( sin x) ^ 3 ) ، لذا يمكننا إعادة كتابة (h (x) = sin ^ 3x ) كـ (h (x) = ( sin x) ^ 3 ).

بتطبيق قاعدة الأس مع (g (x) = sin x ) نحصل عليها

(h ′ (x) = 3 ( sin x) ^ 2 cos x = 3sin ^ 2x cos x ).

مثال ( PageIndex {3} ): إدخال معادلة خط الظل

أوجد معادلة خط المماس للرسم البياني لـ (h (x) = dfrac {1} {(3x − 5) ^ 2} ) عند (x = 2 ).

المحلول

لأننا نجد معادلة خط مستقيم ، نحتاج إلى نقطة. إحداثي x للنقطة هو 2. لإيجاد إحداثي y ، استبدل 2 في (h (x) ). بما أن (h (2) = dfrac {1} {(3 (2) −5) ^ 2} = 1 ) ، فإن النقطة هي ((2،1) ).

بالنسبة إلى المنحدر ، نحتاج إلى (h ′ (2) ). لإيجاد (h ′ (x) ) ، نعيد كتابة (h (x) = (3x − 5) ^ {- 2} ) ونطبق قاعدة القوة للحصول على

(h ′ (x) = - 2 (3x − 5) ^ {- 3} (3) = - 6 (3x − 5) ^ {- 3} ).

بالتعويض ، لدينا (h ′ (2) = - 6 (3 (2) −5) ^ {- 3} = - 6. )

لذلك ، يحتوي الخط على معادلة (y − 1 = −6 (x − 2) ). إعادة الكتابة ، معادلة الخط هي (y = −6x + 13 ).

تمرين ( PageIndex {2} )

أوجد معادلة خط المماس للرسم البياني لـ (f (x) = (x ^ 2−2) ^ 3 ) عند (x = −2 ).

تلميح

استخدم المثال السابق كدليل.

إجابه

(ص = −48 س − 88 )

مشتق من الدالة الأسية الطبيعية

لنفترض أن (E (x) = e ^ x ) هي الدالة الأسية الطبيعية. ثم

(E ′ (x) = e ^ x. )

بشكل عام،

( frac {d} {dx} (e ^ {g (x)}) = e ^ {g (x)} g ′ (x) ).

مثال ( PageIndex {1} ): مشتق من دالة أسية

أوجد مشتق (f (x) = e ^ {tan (2x)} ).

المحلول:

باستخدام الصيغة المشتقة وقاعدة السلسلة ،

(f ′ (x) = e ^ {tan (2x)} frac {d} {dx} (tan (2x)) = e ^ {tan (2x)} sec ^ 2 (2x) ⋅2 ).

مثال ( PageIndex {2} ): دمج قواعد التمايز

أوجد مشتق (y = frac {e ^ {x ^ 2}} {x} ).

المحلول

استخدم مشتق الدالة الأسية الطبيعية وقاعدة خارج القسمة وقاعدة السلسلة.

(y ′ = frac {(e ^ {x ^ 2} ⋅2) x⋅x − 1⋅e ^ {x ^ 2}} {x ^ 2} ) طبق قاعدة خارج القسمة.

(= frac {e ^ {x ^ 2} (2x ^ 2−1)} {x ^ 2} ) بسّط.

تمرين ( PageIndex {1} )

أوجد مشتق (h (x) = xe ^ {2x} ).

تلميح

لا تنس استخدام قاعدة المنتج.

إجابه

(h ′ (x) = e ^ {2x} + 2xe ^ {2x} )

مثال ( PageIndex {3} ): تطبيق الدالة الأسية الطبيعية

مستعمرة البعوض يبلغ عدد سكانها الأولي 1000. بعد (t ) يومًا ، يتم تحديد عدد السكان بمقدار (A (t) = 1000e ^ {0.3t} ). بيّن أن نسبة معدل تغير السكان (A ′ (t) ) إلى عدد السكان (A (t) ) ثابتة.

المحلول

ابحث أولاً عن (A ′ (t) ). باستخدام قاعدة السلسلة ، لدينا (A ′ (t) = 300e ^ {0.3t}. ) وبالتالي ، فإن نسبة معدل تغير السكان إلى عدد السكان يتم الحصول عليها بواسطة

(A ′ (t) = frac {300e ^ {0.3t}} {1000e ^ {0.3t}} = 0.3. )

نسبة معدل تغير السكان إلى عدد السكان هي 0.3.

تمرين ( PageIndex {2} )

إذا كان (A (t) = 1000e ^ {0.3t} ) يصف عدد البعوض بعد (t ) يومًا ، كما في المثال السابق ، فما هو معدل التغيير (A (t) ) بعد 4 أيام؟

تلميح

أوجد (A ′ (4) ).

إجابه

(996)

دمج قاعدة السلسلة مع القواعد الأخرى

الآن بعد أن أصبح بإمكاننا الجمع بين قاعدة السلسلة وقاعدة القوة ، نفحص كيفية دمج قاعدة السلسلة مع القواعد الأخرى التي تعلمناها. على وجه الخصوص ، يمكننا استخدامه مع الصيغ الخاصة بمشتقات الدوال المثلثية أو مع قاعدة الضرب.

مثال ( PageIndex {4} ): استخدام قاعدة السلسلة في دالة جيب التمام العامة

أوجد مشتق (h (x) = cos (g (x)). )

المحلول

فكر في (h (x) = cos (g (x)) ) كـ (f (g (x)) ) حيث (f (x) = cos x ). بما أن (f ′ (x) = - sin x ). لدينا (f ′ (g (x)) = - sin (g (x)) ). ثم نقوم بالحسابات التالية.

(h ′ (x) = f ′ (g (x)) g ′ (x) ) طبق قاعدة السلسلة.

(= - sin (g (x)) g ′ (x) ) البديل ′ (g (x)) = - sin (g (x)).

وبالتالي ، فإن مشتق (h (x) = cos (g (x)) ) يُعطى بواسطة (h ′ (x) = - sin (g (x)) g ′ (x). )

في المثال التالي نطبق القاعدة التي اشتقناها للتو.

مثال ( PageIndex {5} ): استخدام قاعدة السلسلة في دالة جيب التمام

أوجد مشتق (h (x) = cos (5x ^ 2). )

المحلول

(دع g (x) = 5x ^ 2 ). ثم (g ′ (x) = 10x ). باستخدام النتيجة من المثال السابق ،

(ح ′ (س) = - الخطيئة (5 × 2) ⋅10 س = -10 س الخطيئة (5 × 2) )

مثال ( PageIndex {6} ): استخدام قاعدة السلسلة في دالة مثلثية أخرى

أوجد مشتق (h (x) = sec (4x ^ 5 + 2x). )

المحلول

طبق قاعدة السلسلة على (h (x) = sec (g (x)) ) للحصول عليها

(ح ′ (س) = ث (ز (س) تان (ز (س)) ج ′ (س). )

في هذه المشكلة ، (g (x) = 4x ^ 5 + 2x، ) لذلك لدينا (g ′ (x) = 20x ^ 4 + 2. ) لذلك نحصل عليها

(h ′ (x) = sec (4x ^ 5 + 2x) tan (4x ^ 5 + 2x) (20x ^ 4 + 2) = (20x ^ 4 + 2) sec (4x ^ 5 + 2x) tan (4x ^ 5 + 2x). )

تمرين ( PageIndex {3} )

أوجد مشتق (h (x) = sin (7x + 2). )

تلميح

طبق قاعدة السلسلة على (h (x) = sing (x) ) أولاً ثم استخدم (g (x) = 7x + 2 ).

إجابه

(ح ′ (س) = 7 كوس (7 س + 2) )

في هذه المرحلة ، نقدم قائمة بالصيغ المشتقة التي يمكن الحصول عليها من خلال تطبيق قاعدة السلسلة جنبًا إلى جنب مع صيغ مشتقات الدوال المثلثية. مشتقاتهم مماثلة لتلك المستخدمة في المثال والمثال. للراحة ، يتم تقديم الصيغ أيضًا في تدوين Leibniz ، والذي يجد بعض الطلاب أنه من الأسهل تذكره. (نناقش قاعدة السلسلة باستخدام تدوين Leibniz في نهاية هذا القسم.) ليس من الضروري تمامًا حفظها كصيغ منفصلة لأنها كلها تطبيقات لقاعدة السلسلة على الصيغ التي تم تعلمها مسبقًا.

استخدام قاعدة السلسلة مع الدوال المثلثية

لجميع قيم (x ) التي تم تعريف المشتق من أجلها ،

( dfrac {d} {dx} ( sin (g (x)) = cos (g (x)) g '(x) ) ( dfrac {d} {dx} sin u = cos u dfrac {du} {dx} )
( dfrac {d} {dx} ( cos (g (x)) = - sin (g (x)) g '(x) ) ( dfrac {d} {dx} cos u = - sin u dfrac {du} {dx} )
( dfrac {d} {dx} (tan (g (x)) = sec ^ 2 (g (x)) g '(x) ) ( dfrac {d} {dx} tanu = sec ^ 2u dfrac {du} {dx} )
( dfrac {d} {dx} (cot (g (x)) = - csc ^ 2 (g (x)) g '(x) ) ( dfrac {d} {dx} cotu = −csc ^ 2u dfrac {du} {dx} )
( dfrac {d} {dx} (sec (g (x)) = sec (g (x) tan (g (x)) g '(x) ) ( dfrac {d} {dx} secu = secutanu dfrac {du} {dx} )
( dfrac {d} {dx} (csc (g (x)) = - csc (g (x)) cot (g (x)) g '(x) ) ( dfrac {d} {dx} cscu = −cscucotu dfrac {du} {dx}. )

مثال ( PageIndex {7} ): دمج قاعدة السلسلة مع قاعدة المنتج

أوجد مشتق (h (x) = (2x + 1) ^ 5 (3x − 2) ^ 7 ).

المحلول

قم أولاً بتطبيق قاعدة المنتج ، ثم طبق قاعدة السلسلة على كل مصطلح في المنتج.

(h ′ (x) = dfrac {d} {dx} ((2x + 1) ^ 5) ⋅ (3x − 2) ^ 7 + dfrac {d} {dx} ((3x − 2) ^ 7 ) ⋅ (2x + 1) ^ 5 )

(= 5 (2x + 1) ^ 4⋅2⋅ (3x − 2) ^ 7 + 7 (3x − 2) ^ 6⋅3⋅ (2x + 1) ^ 5 )

(= 10 (2x + 1) ^ 4 (3x − 2) ^ 7 + 21 (3x − 2) ^ 6 (2x + 1) ^ 5 )

(= (2x + 1) ^ 4 (3x − 2) ^ 6 (10 (3x − 7) +21 (2x + 1)) )

(= (2x + 1) ^ 4 (3x − 2) ^ 6 (72x − 49) )

تمرين ( PageIndex {4} )

أوجد مشتق (h (x) = dfrac {x} {(2x + 3) ^ 3} ).

تلميح

ابدأ بتطبيق قاعدة خارج القسمة. تذكر أن تستخدم قاعدة السلسلة لاشتقاق المقام.

إجابه

(h ′ (x) = dfrac {3−4x} {(2x + 3) ^ 4} )

المركبات المكونة من ثلاث وظائف أو أكثر

يمكننا الآن دمج قاعدة السلسلة مع القواعد الأخرى لاشتقاق الدوال ، لكن عندما نفرق تكوين ثلاث دالات أو أكثر ، نحتاج إلى تطبيق قاعدة السلسلة أكثر من مرة. إذا نظرنا إلى هذا الموقف بعبارات عامة ، يمكننا إنشاء صيغة ، لكننا لسنا بحاجة إلى تذكرها ، حيث يمكننا ببساطة تطبيق قاعدة السلسلة عدة مرات.

بشكل عام ، دعونا أولا

[k (x) = h (f (g (x))). ]

ثم نطبق قاعدة السلسلة بمجرد حصولنا عليها

[k ′ (x) = dfrac {d} {dx} (h (f (g (x))) = h '(f (g (x))) ⋅ dfrac {d} {dx} f ( (ز (خ))). ]

عند تطبيق قاعدة السلسلة مرة أخرى ، نحصل عليها

[k ′ (x) = h ′ (f (g (x)) f ′ (g (x)) g ′ (x)). ]

مثال ( PageIndex {8} ): القاعدة: قاعدة السلسلة لتكوين ثلاث وظائف

المحلول

لجميع قيم (x ) التي يمكن تفاضل الوظيفة ، إذا

(ك (س) = ح (و (ز (س))) ، )

من ثم

(ك ′ (س) = ح ′ (و (ز (س))) و ′ (ز (س)) ز ′ (س). )

بعبارة أخرى ، نحن نطبق قاعدة السلسلة مرتين.

لاحظ أن مشتق تكوين ثلاث وظائف يتكون من ثلاثة أجزاء. (وبالمثل ، فإن مشتق تكوين أربع وظائف يتكون من أربعة أجزاء ، وهكذا). تذكر ، يمكننا دائمًا العمل من الخارج إلى الداخل ، باستخدام مشتق واحد في كل مرة.

مثال ( PageIndex {9} ): تمييز مركب من ثلاث وظائف

أوجد مشتق (k (x) = cos ^ 4 (7x ^ 2 + 1). )

المحلول

أولاً ، أعد كتابة (k (x) ) بصيغة

(ك (س) = ( كوس (7 س ^ 2 + 1)) ^ 4 ).

ثم قم بتطبيق قاعدة السلسلة عدة مرات.

(ك ′ (x) = 4 ( cos (7x2 + 1)) 3 (ddx ( cos (7x2 + 1)) )

(= 4 ( cos (7x ^ 2 + 1)) ^ 3 (- sin (7x ^ 2 + 1)) ( dfrac {d} {dx} (7x ^ 2 + 1)) )

(= 4 ( cos (7x ^ 2 + 1)) ^ 3 (- sin (7x ^ 2 + 1)) (14x) )

(= - 56x sin (7x ^ 2 + 1) cos ^ 3 (7x ^ 2 + 1) )

تمرين ( PageIndex {5} )

أوجد مشتق (h (x) = sin ^ 6 (x ^ 3). )

تلميح

أعد كتابة (h (x) = sin ^ 6 (x ^ 3) = ( sin (x ^ 3)) ^ 6 ) واستخدم المثال كدليل.

إجابه

(h ′ (x) = 18x ^ 2sin ^ 5 (x ^ 3) cos (x ^ 3) )

مثال ( PageIndex {10} ): استخدام قاعدة السلسلة في مسألة السرعة

يتحرك الجسيم على طول محور إحداثيات. يتم تحديد موقعها في الوقت t بواسطة (s (t) = sin (2t) + cos (3t) ). ما سرعة الجسيم في الوقت (t = dfrac {π} {6} )؟

المحلول

لإيجاد (v (t) ) ، سرعة الجسيم في الوقت (t ) ، يجب أن نفرق (s (t) ). هكذا،

[v (t) = s ′ (t) = 2 cos (2t) −3 sin (3t). ]

إثبات قاعدة السلسلة

في هذه المرحلة ، نقدم دليلًا غير رسمي على قاعدة السلسلة. من أجل البساطة ، نتجاهل بعض المشكلات: على سبيل المثال ، نفترض أن (g (x) ≠ g (a) ) لـ (x ≠ a ) في بعض الفترات المفتوحة التي تحتوي على (a ) نبدأ بتطبيق تعريف حد المشتق على الوظيفة (h (x) ) للحصول على (h ′ (a) ):

(h ′ (a) = lim_ {x → a} dfrac {f (g (x)) - f (g (a))} {x − a} ).

إعادة الكتابة ، نحصل عليها

(h ′ (a) = lim_ {x → a} dfrac {f (g (x)) - f (g (a))} {g (x) −g (a)} ⋅ dfrac {g (x) −g (a)} {x − a} ).

على الرغم من أنه من الواضح أن

( lim_ {x → a} dfrac {g (x) −g (a)} {x − a} = g ′ (a) ) ،

ليس من الواضح أن

( lim_ {x → a} dfrac {f (g (x)) - f (g (a))} {g (x) −g (a)} = f ′ (g (a)) ) .

لمعرفة أن هذا صحيح ، تذكر أولاً أنه بما أن g قابلة للتفاضل عند (a ، g ) فهي أيضًا مستمرة عند (a. ) وهكذا ،

( lim_ {x → a} g (x) = g (a) ).

بعد ذلك ، قم بإجراء الاستبدال (y = g (x) ) و (b = g (a) ) واستخدم تغيير المتغيرات في الحد للحصول على

( lim_ {x → a} dfrac {f (g (x)) - f (g (a))} {g (x) −g (a)} = lim_ {y → b} dfrac { و (y) −f (ب)} {y − b} = f ′ (b) = f ′ (g (a)). )

أخيرا،

(h ′ (a) = lim_ {x → a} dfrac {f (g (x)) - f (g (a))} {g (x) −g (a)} ⋅ dfrac {g (x) −g (a)} {x − a} = f ′ (g (a)) g ′ (a) ).

مثال ( PageIndex {11} ): استخدام قاعدة السلسلة مع القيم الوظيفية

دع (ح (س) = و (ز (س)). ) إذا (ز (1) = 4 ، ز ′ (1) = 3 ) ، و (و ′ (4) = 7 ) ، ابحث عن (h ′ (1). )

المحلول

استخدم قاعدة السلسلة ، ثم استبدلها.

(h ′ (1) = f ′ (g (1)) g ′ (1) ) طبق قاعدة السلسلة.

(= f ′ (4) ⋅3 ) البديل (g (1) = 4 ) و (g ′ (1) = 3.

(= 7⋅3 ) البديل (f '(4) = 7. )

(= 21 ) بسّط

تمرين ( PageIndex {6} )

معطى (h (x) = f (g (x)) ). إذا (g (2) = - 3، g ′ (2) = 4، ) و (f ′ (- 3) = 7 ) ، ابحث عن (h ′ (2) ).

تلميح

اتبع المثال.

إجابه

28

قاعدة السلسلة باستخدام تدوين Leibniz

كما هو الحال مع المشتقات الأخرى التي رأيناها ، يمكننا التعبير عن قاعدة السلسلة باستخدام تدوين Leibniz. هذا الترميز لقاعدة السلسلة يستخدم بكثرة في تطبيقات الفيزياء.

إلى عن على (ح (س) = و (ز (س)) ، ) دعونا (ش = ز (س) ) و (ص = ح (س) = ز (ش). ) وهكذا ،

(h ′ (x) = dfrac {dy} {dx} ]

[f ′ (g (x)) = f ′ (u) = dfrac {dy} {du} ]

و

[g ′ (x) = dfrac {du} {dx}. ]

بالتالي،

( dfrac {dy} {dx} = h ′ (x) = f ′ (g (x)) g ′ (x) = dfrac {dy} {du} ⋅ dfrac {du} {dx} ) .

القاعدة: قاعدة السلسلة باستخدام تدوين Leibniz

إذا كانت (y ) دالة لـ (u ) ، و (u ) هي دالة (x ) ، إذن

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy} {du} ⋅ dfrac {du} {dx} ).

مثال ( PageIndex {12} ): أخذ مشتق باستخدام تدوين ليبنيز 1

أوجد مشتق [y = left ( dfrac {x} {3x + 2} right) ^ 5. ]

المحلول

أولاً ، دعنا (u = dfrac {x} {3x + 2} ). وهكذا ، (y = u ^ 5 ). بعد ذلك ، ابحث عن ( dfrac {du} {dx} ) و ( dfrac {dy} {du} ). باستخدام قاعدة خارج القسمة ،

( dfrac {du} {dx} = dfrac {2} {(3x + 2) ^ 2} )

و

( dfrac {dy} {du} = 5u ^ 4 ).

أخيرًا ، قمنا بتجميعها معًا.

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy} {du} ⋅ dfrac {du} {dx} ) طبق قاعدة السلسلة.

(= 5u ^ 4⋅ dfrac {2} {(3x + 2) ^ 2} ) البديل = 5u4anddudx = 2 (3x + 2) 2.

(= 5 ( dfrac {x} {3x + 2}) ^ 4⋅ dfrac {2} {(3x + 2) ^ 2} ) البديل = x3x + 2.

(= dfrac {10x ^ 4} {(3x + 2) ^ 6} ) بسّط.

من المهم أن تتذكر أنه عند استخدام صيغة Leibniz لقاعدة السلسلة ، يجب التعبير عن الإجابة النهائية بالكامل من حيث المتغير الأصلي الوارد في المشكلة.

مثال ( PageIndex {13} ): أخذ مشتق باستخدام تدوين Leibniz II

أوجد مشتق [y = tan (4x ^ 2−3x + 1). ]

المحلول

أولاً ، دع (u = 4x ^ 2−3x + 1. ) ثم (y = tanu ). بعد ذلك ، ابحث عن ( dfrac {du} {dx} ) و ( dfrac {dy} {du} ):

( dfrac {du} {dx} = 8x − 3 ) و ( dfrac {dy} {du} = sec ^ 2u. )

أخيرًا ، قمنا بتجميعها معًا.

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy} {du} ⋅ dfrac {du} {dx} ) طبق قاعدة السلسلة.

(= sec ^ 2u⋅ (8x − 3) ) استخدم ( dfrac {du} {dx} = 8x − 3 ) و ( dfrac {dy} {du} = sec ^ 2u ).

(= ثانية ^ 2 (4x ^ 2−3x + 1) ⋅ (8x − 3) ) البديل (u = 4x ^ 2−3x + 1 ).

تمرين ( PageIndex {7} )

استخدم تدوين Leibniz لإيجاد مشتق (y = cos (x ^ 3) ). تأكد من التعبير عن الإجابة النهائية بالكامل من حيث المتغير (x ).

تلميح

دعونا (u = x ^ 3 ).

إجابه

[ dfrac {dy} {dx} = - 3x ^ 2 sin (x ^ 3). ]

المفاهيم الرئيسية

  • تسمح لنا قاعدة السلسلة بالتفريق بين تركيبات وظيفتين أو أكثر. تنص على أن (h (x) = f (g (x)) ، )

(ح ′ (س) = و ′ (ز (س)) ج ′ (س). )

في تدوين Leibniz ، تأخذ هذه القاعدة الشكل

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy} {du} ⋅ dfrac {du} {dx} ).

  • يمكننا استخدام قاعدة السلسلة مع القواعد الأخرى التي تعلمناها ، ويمكننا اشتقاق الصيغ لبعضها.
  • تتحد قاعدة السلسلة مع قاعدة القوة لتكوين قاعدة جديدة:

إذا كان (h (x) = (g (x)) ^ n ) ، إذن (h ′ (x) = n (g (x)) ^ {n − 1} g ′ (x) ).

  • عند تطبيقها على تكوين ثلاث وظائف ، يمكن التعبير عن قاعدة السلسلة على النحو التالي: If (h (x) = f (g (k (x)))، ) ثم (h ′ (x) = f ′ (ز (ك (س)) ز ′ (ك (س)) ك ′ (س). )

المعادلات الرئيسية

  • قاعدة السلسلة

(ح ′ (س) = و ′ (ز (س)) ج ′ (س) )

  • قاعدة القوة للوظائف

(h ′ (x) = n (g (x)) ^ {n − 1} g ′ (x) )

قائمة المصطلحات

حكم السلسلة
تحدد قاعدة السلسلة مشتق دالة مركبة كمشتق للدالة الخارجية التي يتم تقييمها عند الدالة الداخلية مضروبًا في مشتق الدالة الداخلية

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


شاهد الفيديو: بند5-2 قاعدة السلسلة الحصة الثانية الصف الثانى عشر علمى (شهر اكتوبر 2021).