مقالات

4.7: نظرية القيمة المتوسطة


ال يعني نظرية القيمة هي واحدة من أهم النظريات في التفاضل والتكامل. أولاً ، لنبدأ بحالة خاصة من نظرية القيمة المتوسطة ، تسمى نظرية رول.

نظرية رول

بشكل غير رسمي ، نظرية رول ينص على أنه إذا كانت مخرجات دالة قابلة للتفاضل (f ) متساوية عند نقاط نهاية الفاصل الزمني ، فيجب أن تكون هناك نقطة داخلية (c ) حيث (f '(c) = 0 ). يوضح الشكل هذه النظرية.

الشكل ( PageIndex {1} ): إذا كانت دالة قابلة للتفاضل f تحقق f (a) = f (b) ، فيجب أن يكون مشتقها صفراً عند نقطة (نقاط) معينة بين a و b.

نظرية رول

لنفترض أن (f ) دالة مستمرة على الفاصل الزمني المغلق ([a، b] ) وقابلة للتفاضل عبر الفاصل الزمني المفتوح ((a، b) ) بحيث (f (a) = f (b ) ). يوجد بعد ذلك واحد على الأقل (c∈ (a، b) ) بحيث (f '(c) = 0. )

دليل - إثبات

لنفترض (k = f (a) = f (b). ) نحن نعتبر ثلاث حالات:

  1. (و (س) = ك ) للجميع (س∈ (أ ، ب). )
  2. يوجد (x∈ (a، b) ) مثل (f (x)> k. )
  3. يوجد (x∈ (a، b) ) مثل (f (x)

الحالة 1: إذا (f (x) = 0 ) للجميع (x∈ (أ ، ب) ) ، إذن (f '(x) = 0 ) للجميع (x∈ (أ ، ب) ). )

الحالة 2: نظرًا لأن (f ) هي دالة متصلة على الفاصل الزمني المغلق والمحدود ([a ، b] ) ، وفقًا لنظرية القيمة القصوى ، فإن لها حدًا أقصى مطلق. أيضًا ، نظرًا لوجود نقطة (x∈ (a، b) ) مثل (f (x)> k ) ، فإن الحد الأقصى المطلق أكبر من (k ). لذلك ، لا يحدث الحد الأقصى المطلق في أي من نقطتي النهاية. نتيجة لذلك ، يجب أن يحدث الحد الأقصى المطلق عند نقطة داخلية (c∈ (a، b) ). لأن (f ) له حد أقصى عند نقطة داخلية (c ) ، و (f ) قابل للتفاضل في (c ) ، بواسطة نظرية فيرمات ، (f '(c) = 0. )

الحالة 3: الحالة عند وجود نقطة (x∈ (a، b) ) بحيث يكون (f (x)

نقطة مهمة حول نظرية رول هي أن تفاضل الوظيفة (f ) أمر بالغ الأهمية. إذا كانت f غير قابلة للاشتقاق ، حتى عند نقطة واحدة ، فقد لا تصمد النتيجة. على سبيل المثال ، الدالة f (x) = | x | −1 مستمرة على ([- 1،1] ) و (f (−1) = 0 = f (1) ) ، لكن (f '(c) ≠ 0 ) لأي (c∈ (−1،1) ) كما هو موضح في الشكل التالي.

الشكل ( PageIndex {2} ): نظرًا لأن (f (x) = | x | −1 ) غير قابل للاشتقاق عند (x = 0 ) ، فإن شروط نظرية رول غير مستوفاة. في الواقع ، الاستنتاج لا يصمد هنا. لا يوجد (c∈ (−1،1) ) بحيث (f '(c) = 0. )

لنفكر الآن في الدوال التي تفي بشروط نظرية رول ونحسب صراحة النقاط c حيث (f '(c) = 0. )

مثال ( PageIndex {1} ): استخدام نظرية رول

لكل من الوظائف التالية ، تحقق من أن الوظيفة تفي بالمعايير المنصوص عليها في نظرية Rolle وابحث عن جميع القيم (c ) في الفاصل الزمني المحدد حيث (f '(c) = 0. )

  1. (f (x) = x ^ 2 + 2x ) فوق ([- 2،0] )
  2. (f (x) = x ^ 3−4x ) فوق ([- 2،2] )

المحلول

نظرًا لأن (f ) كثير حدود ، فهو مستمر وقابل للتفاضل في كل مكان. بالإضافة إلى ذلك ، (f (−2) = 0 = f (0). ) لذلك ، (f ) يلبي معايير نظرية رول. نستنتج أن هناك قيمة واحدة على الأقل (c∈ (−2،0) ) بحيث (f '(c) = 0 ). بما أن (f '(x) = 2x + 2 = 2 (x + 1) ، ) نرى أن (f' (c) = 2 (c + 1) = 0 ) يعني (c = −1 ) كما هو موضح في الرسم البياني التالي.

الشكل ( PageIndex {3} ): هذه الوظيفة مستمرة وقابلة للاشتقاق على [−2،0] ، f '(c) = 0 عندما c = −1.

ب. كما في الجزء أ. (f ) هو كثير حدود ولذلك فهو مستمر وقابل للتفاضل في كل مكان. أيضًا ، (f (−2) = 0 = f (2). ) ومع ذلك ، فإن (f ) يلبي معايير نظرية رول. بالتفريق نجد أن (f '(x) = 3x ^ 2−4. ) لذلك ، (f' (c) = 0 ) عندما (x = ± frac {2} { sqrt {3 }} ). تقع كلتا النقطتين في الفاصل الزمني ([- 2،2] ) ، وبالتالي ، تحقق كلتا النقطتين نتيجة نظرية رول كما هو موضح في الرسم البياني التالي.

الشكل ( PageIndex {4} ): بالنسبة إلى كثير الحدود هذا فوق ([- 2،2]، f '(c) = 0 ) عند (x = ± 2 / sqrt {3} ).

تمرين ( PageIndex {1} )

تحقق من أن الدالة (f (x) = 2x ^ 2−8x + 6 ) المحددة عبر الفاصل ([1،3] ) تفي بشروط نظرية رول. ابحث عن جميع النقاط (c ) التي تضمنها نظرية رول.

تلميح

أوجد كل القيم (c ) ، حيث (f '(c) = 0 ).

إجابه

(ج = 2 )

نظرية القيمة المتوسطة ومعناها

نظرية رول هي حالة خاصة من نظرية القيمة المتوسطة. في نظرية Rolle ، نعتبر الدوال القابلة للتفاضل (f ) التي تساوي صفرًا عند نقاط النهاية. تعمم نظرية القيمة المتوسطة على نظرية رول من خلال النظر في الوظائف التي ليست بالضرورة صفرًا عند نقاط النهاية. وبالتالي ، يمكننا عرض نظرية القيمة المتوسطة كنسخة مائلة من نظرية رول (الشكل). تنص نظرية القيمة المتوسطة على أنه إذا كان (f ) مستمرًا على الفاصل الزمني المغلق ([a، b] ) وقابل للتفاضل على الفاصل المفتوح ((a، b) ) ، إذن توجد نقطة ( ج∈ (أ ، ب) ) بحيث يكون الخط المماس للرسم البياني (f ) في (ج ) موازٍ للخط القاطع الذي يربط ((أ ، و (أ)) ) و ((ب ، و (ب)). )

الشكل ( PageIndex {5} ): تنص نظرية القيمة المتوسطة على أنه بالنسبة للدالة التي تلبي شروطها ، في مرحلة ما يكون لخط المماس نفس ميل الخط القاطع بين النهايات. بالنسبة لهذه الوظيفة ، هناك قيمتان (c_1 ) و (c_2 ) بحيث يكون لخط المماس (f ) عند (c_1 ) و (c_2 ) نفس ميل الخط القاطع .

يعني نظرية القيمة

دع (f ) مستمرًا خلال الفترة المغلقة ([أ ، ب] ) وقابل للتفاضل عبر الفاصل الزمني المفتوح ((أ ، ب) ). بعد ذلك ، توجد نقطة واحدة على الأقل (ج∈ (أ ، ب) ) مثل ذلك

[f '(c) = frac {f (b) −f (a)} {b − a} ]

دليل - إثبات

يأتي الدليل من نظرية رول من خلال تقديم وظيفة مناسبة تفي بمعايير نظرية رول. ضع في اعتبارك الخط الذي يربط ((a، f (a)) ) و ((b، f (b)). ) بما أن ميل هذا الخط هو

[ frac {f (b) −f (a)} {b − a} ]

ويمر الخط بالنقطة ((أ ، و (أ)) ، ) يمكن كتابة معادلة هذا السطر على النحو التالي

[y = frac {f (b) −f (a)} {b − a} (x − a) + f (a). ]

دع (g (x) ) يشير إلى الفرق الرأسي بين النقطة ((x، f (x)) ) والنقطة ((x، y) ) على هذا الخط. وبالتالي،

[g (x) = f (x) - [ frac {f (b) −f (a)} {b − a} (x − a) + f (a)]. ]

الشكل ( PageIndex {6} ): القيمة g (x) هي الفرق الرأسي بين النقطة (x، f (x)) والنقطة (x، y) على الخط القاطع الذي يربط (a، f (a)) و (b، f (b) ).

نظرًا لأن الرسم البياني (f ) يتقاطع مع الخط القاطع عند (x = a ) و (x = b ) ، فإننا نرى أن (g (a) = 0 = g (b) ). نظرًا لأن (f ) دالة قابلة للتفاضل على ((أ ، ب) ) ، فإن (ز ) هي أيضًا دالة قابلة للتفاضل على ((أ ، ب) ). علاوة على ذلك ، بما أن (f ) مستمر على ([أ ، ب] ، ز ) فهو أيضًا مستمر على ([أ ، ب] ). لذلك ، يلبي (ز ) معايير نظرية رول. وبالتالي ، توجد نقطة (c∈ (a، b) ) بحيث (g '(c) = 0. ) منذ

[g '(x) = f' (x) - frac {f (b) −f (a)} {b − a}، ]

نحن نرى ذلك

[g '(c) = f' (c) - frac {f (b) −f (a)} {b − a}. ]

بما أن (g '(c) = 0، ) نستنتج ذلك

[f '(c) = frac {f (b) −f (a)} {b − a}. ]

في المثال التالي ، نوضح كيف يمكن تطبيق نظرية القيمة المتوسطة على الوظيفة (f (x) = sqrt {x} ) عبر الفاصل ([0،9] ). الطريقة هي نفسها للوظائف الأخرى ، على الرغم من أنها في بعض الأحيان تكون لها نتائج أكثر إثارة للاهتمام.

مثال ( PageIndex {2} ): التحقق من تطبيق نظرية القيمة المتوسطة

بالنسبة إلى (f (x) = sqrt {x} ) خلال الفاصل ([0،9] ) ، أظهر أن (f ) يفي بفرضية نظرية القيمة المتوسطة ، وبالتالي يوجد على الأقل قيمة واحدة (c∈ (0،9) ) بحيث تكون (f ′ (c) ) مساوية لمنحدر الخط الذي يربط ((0، f (0)) ) و ((9 ، و (9)) ). ابحث عن هذه القيم التي تضمنها نظرية القيمة المتوسطة.

المحلول

نعلم أن (f (x) = sqrt {x} ) مستمر على ([0،9] ) وقابل للتفاضل على ((0،9). ) لذلك ، يرضي (f ) فرضيات نظرية القيمة المتوسطة ، ويجب أن توجد قيمة واحدة على الأقل (c∈ (0،9) ) بحيث تكون (f ′ (c) ) مساوية لمنحدر الخط الذي يربط (( 0، f (0)) ) و ((9، f (9)) ) (الشكل). لتحديد قيمة (قيم) (c ) المضمونة ، قم أولاً بحساب مشتق (f ). المشتق (f ′ (x) = frac {1} {(2 sqrt {x})} ). يتم إعطاء ميل الخط الذي يربط ((0، f (0)) ) و ((9، f (9)) ) بواسطة

[ frac {f (9) −f (0)} {9−0} = frac { sqrt {9} - sqrt {0}} {9−0} = frac {3} {9} = فارك {1} {3}. ]

نريد إيجاد (c ) مثل (f ′ (c) = frac {1} {3} ). أي أننا نريد أن نجد (ج ) مثل ذلك

[ frac {1} {2 sqrt {c}} = frac {1} {3}. ]

حل هذه المعادلة لـ (c ) نحصل على (c = frac {9} {4} ). عند هذه النقطة ، يساوي ميل خط المماس ميل الخط الذي يربط بين نقطتي النهاية.

الشكل ( PageIndex {7} ): ميل خط المماس عند c = 9/4 هو نفس ميل المقطع المستقيم الذي يربط (0،0) و (9،3).

أحد التطبيقات التي تساعد في توضيح نظرية القيمة المتوسطة يتضمن السرعة. على سبيل المثال ، لنفترض أننا قدنا سيارة لمدة ساعة واحدة على طريق مستقيم بمتوسط ​​سرعة 45 ميل في الساعة. دع (s (t) ) و (v (t) ) تدل على موضع السيارة وسرعتها ، على التوالي ، من أجل (0≤t≤1 ) h. بافتراض أن وظيفة الموضع (s (t) ) قابلة للتفاضل ، يمكننا تطبيق نظرية القيمة المتوسطة لاستنتاج أنه في وقت ما (c∈ (0،1) ) ، كانت سرعة السيارة بالضبط

[v (c) = s ′ (c) = frac {s (1) −s (0)} {1−0} = 45mph. ]

مثال ( PageIndex {3} ): نظرية القيمة المتوسطة والسرعة

إذا تم إسقاط صخرة من ارتفاع 100 قدم ، فإن موضعها (t ) بعد ثوانٍ من سقوطها حتى تصل إلى الأرض يتم تحديدها من خلال الوظيفة (s (t) = - 16t ^ 2 + 100. )

  1. حدد المدة التي تستغرقها الصخرة قبل أن تصطدم بالأرض.
  2. أوجد السرعة المتوسطة (v_ {avg} ) للصخرة عندما تنطلق الصخرة وتصطدم الصخرة بالأرض.
  3. أوجد الوقت (t ) الذي تضمنه نظرية القيمة المتوسطة عندما تكون السرعة اللحظية للصخرة (v_ {avg}. )

المحلول

أ. عندما تضرب الصخرة الأرض ، يكون موضعها (s (t) = 0. ) حل المعادلة (- 16t ^ 2 + 100 = 0 ) لـ (t ) ، نجد أن (t = ± frac {5} {2} ثانية ). نظرًا لأننا نفكر فقط في (t≥0 ) ، ستصطدم الكرة بالأرض ( frac {5} {2} ) ثانية بعد إسقاطها.

ب. يتم إعطاء متوسط ​​السرعة بواسطة

(v_ {avg} = frac {s (5/2) −s (0)} {5 / 2−0} = frac {1−100} {5/2} = - 40 قدمًا / ثانية )

ج. يتم الحصول على السرعة اللحظية من خلال مشتق دالة الموضع. لذلك ، نحن بحاجة إلى إيجاد وقت (t ) بحيث (v (t) = s ′ (t) = vavg = −40ft / sec. ) نظرًا لأن s (t) مستمر خلال الفاصل ([ 0،5 / 2] ) وقابلة للتفاضل على الفاصل ((0،5 / 2) ، ) بواسطة نظرية القيمة المتوسطة ، هناك ضمان لتكون نقطة (c∈ (0،5 / 2) ) مثل ذلك

(s ′ (c) = frac {s (5/2) −s (0)} {5 / 2−0} = - 40. )

بأخذ مشتق دالة الموضع (s (t) ) ، نجد أن (s ′ (t) = - 32t. ) لذلك ، تقل المعادلة إلى (s ′ (c) = - 32c = - 40. ) حل هذه المعادلة لـ (c ) لدينا (c = frac {5} {4} ). لذلك ، بعد ثانية من سقوط الصخرة ( frac {5} {4} ) ، فإن السرعة اللحظية تساوي متوسط ​​سرعة الصخرة أثناء سقوطها الحر: (- 40 ) قدم / ثانية.

الشكل ( PageIndex {8} ): في الوقت (t = 5/4 ) ثانية ، تكون سرعة الصخرة مساوية لمتوسط ​​سرعتها من وقت سقوطها حتى اصطدامها بالأرض.

تمرين ( PageIndex {2} )

لنفترض أن كرة قد سقطت من ارتفاع 200 قدم. موقعها في الوقت (t ) هو (s (t) = - 16t ^ 2 + 200. ) أوجد الوقت (t ) عندما تكون السرعة اللحظية للكرة يساوي متوسط ​​سرعتها.

تلميح

أولاً ، حدد المدة التي تستغرقها الكرة لتصل إلى الأرض. ثم أوجد السرعة المتوسطة للكرة من وقت سقوطها حتى اصطدامها بالأرض.

إجابه

( frac {5} {2 sqrt {2}} ) ثانية

النتائج الطبيعية لنظرية القيمة المتوسطة

دعونا الآن نلقي نظرة على ثلاث نتائج طبيعية لنظرية القيمة المتوسطة. هذه النتائج لها نتائج مهمة سنستخدمها في الأقسام القادمة.

عند هذه النقطة ، نعلم أن مشتقة أي دالة ثابتة هي صفر. تسمح لنا نظرية القيمة المتوسطة باستنتاج أن العكس صحيح أيضًا. على وجه الخصوص ، إذا (f ′ (x) = 0 ) للجميع (x ) في بعض الفواصل (I ) ، فإن (f (x) ) ثابت خلال تلك الفترة. قد تبدو هذه النتيجة واضحة بشكل حدسي ، ولكن لها آثار مهمة غير واضحة ، ونحن نناقشها قريبًا.

النتيجة الطبيعية 1: وظائف ذات مشتق من الصفر

لنفترض أن (f ) قابلاً للتفاضل خلال فترة (I ). إذا كان (f ′ (x) = 0 ) للجميع (x∈I ) ، إذن (f (x) = ) ثابت للجميع (x∈I. )

دليل - إثبات

نظرًا لأن (f ) قابل للتفاضل على (I ) ، يجب أن يكون (f ) مستمرًا على (I ). افترض أن (f (x) ) ليس ثابتًا لكل (x ) في (I ). ثم يوجد (a، b∈I ) ، حيث (a ≠ b ) و (f (a) ≠ f (b). ) اختر التدوين بحيث (a

( frac {f (b) −f (a)} {b − a} ≠ 0. )

نظرًا لأن (f ) دالة قابلة للتفاضل ، من خلال نظرية القيمة المتوسطة ، يوجد (c∈ (a ، b) ) مثل

(f ′ (c) = frac {f (b) −f (a)} {b − a} ).

لذلك ، يوجد (c∈I ) مثل (f ′ (c) ≠ 0 ) ، وهو ما يتعارض مع الافتراض بأن (f ′ (x) = 0 ) للجميع (x∈I ) .

من الملاحظة ، يترتب على ذلك أنه إذا كانت هناك وظيفتان لهما نفس المشتق ، فإنهما يختلفان عن طريق ثابت على الأكثر.

النتيجة الطبيعية 2: نظرية الفروق الثابتة

إذا كان (f ) و (g ) قابلين للتفاضل على فاصل زمني (I ) و (f ′ (x) = g ′ (x) ) للجميع (x∈I ) ، إذن (f (x) = g (x) + C ) لبعض الثوابت (C ).

دليل - إثبات

دع (ح (س) = و (س) ج (س). ) ثم ، (ح ′ (س) = و ′ (س) − ز ′ (س) = 0 ) للجميع (س) ∈I. ) بالنتيجة الطبيعية 1 ، يوجد ثابت (C ) بحيث (h (x) = C ) للجميع (x∈I ). لذلك ، (f (x) = g (x) + C ) للجميع (x∈I. )

النتيجة الطبيعية الثالثة لنظرية القيمة المتوسطة تناقش متى تتزايد الدالة ومتى تتناقص. تذكر أن دالة (f ) تتزايد أكثر من (I ) إذا (f (x_1) f (x_2) ) كلما (x_1

هذه الحقيقة مهمة لأنها تعني أنه بالنسبة لوظيفة معينة (f ) ، إذا كانت هناك وظيفة (F ) مثل (F ′ (x) = f (x) ) ؛ إذن ، الوظائف الأخرى الوحيدة التي لها مشتق يساوي (f ) هي (F (x) + C ) لبعض الثوابت (C ). نناقش هذه النتيجة بمزيد من التفصيل لاحقًا في الفصل.

الشكل ( PageIndex {9} ): إذا كان للدالة مشتق موجب خلال فاصل زمني معين ، فإن الوظيفة تزداد خلال تلك الفترة الزمنية (I ) ؛ إذا كان المشتق سالبًا خلال فاصل زمني (I ) ، فإن الدالة تقل خلال تلك الفترة (I ).

النتيجة الطبيعية 3: زيادة الوظائف وتقليلها

دع (f ) مستمرًا خلال الفترة المغلقة ([أ ، ب] ) وقابل للتفاضل عبر الفاصل الزمني المفتوح ((أ ، ب) ).

  1. إذا كان (f ′ (x)> 0 ) لكل (x∈ (a، b) ) ، إذن (f ) هي دالة متزايدة على ([a، b]. )
  2. إذا كان (f ′ (x) <0 ) لجميع (x∈ (أ ، ب) ) ، فإن (f ) هي دالة متناقصة على ([أ ، ب]. )

دليل - إثبات

سوف نثبت أنا ؛ إثبات الثاني. يشابه. لنفترض أن (f ) ليس دالة متزايدة في (I ). ثم يوجد (أ ) و (ب ) في (أنا ) مثل (أ <ب ) ، ولكن (و (أ) ≥ و (ب) ). نظرًا لأن (f ) دالة قابلة للتفاضل على (I ) ، من خلال نظرية القيمة المتوسطة ، يوجد (c∈ (a ، b) ) مثل

[f ′ (c) = frac {f (b) −f (a)} {b − a}. ]

منذ (f (a) ≥f (b) ) ، نعلم أن (f (b) −f (a) ≤0 ). أيضًا ، يخبرنا (a 0. ) نستنتج ذلك

[f ′ (c) = frac {f (b) −f (a)} {b − a} ≤0. ]

ومع ذلك ، (f ′ (x)> 0 ) لجميع (x∈I ). هذا تناقض ، وبالتالي يجب أن تكون (f ) دالة متزايدة على (I ).

المفاهيم الرئيسية

  • إذا كان (f ) مستمرًا على ([أ ، ب] ) وقابل للتفاضل على ((أ ، ب) ) و (و (أ) = 0 = و (ب) ) ، إذًا يوجد نقطة (c∈ (a، b) ) بحيث (f ′ (c) = 0. ) هذه هي نظرية رول.
  • إذا كان (f ) مستمرًا على ([أ ، ب] ) وقابل للتفاضل على ((أ ، ب) ) ، فهناك نقطة (ج∈ (أ ، ب) ) مثل ذلك

(f '(c) = frac {f (b) −f (a)} {b − a}. )

هذه هي نظرية القيمة المتوسطة.

  • إذا كان (f '(x) = 0 ) خلال فترة زمنية (I ) ، فإن (f ) ثابت على (I ).
  • إذا كانت وظيفتان قابلتان للتفاضل (f ) و (g ) تفيان (f ′ (x) = g ′ (x) ) على (I ) ، إذن (f (x) = g (x) + C ) لبعض الثوابت (C ).
  • إذا كان (f ′ (x)> 0 ) خلال فترة زمنية (I ) ، فإن (f ) يتزايد أكثر من (I ). إذا (f ′ (x) <0 ) فوق (I ) ، فإن (f ) يتناقص أكثر من (I ).

قائمة المصطلحات

يعني نظرية القيمة

إذا كان (f ) مستمرًا على ([أ ، ب] ) وقابل للتفاضل على ((أ ، ب) ) ، إذن يوجد (ج∈ (أ ، ب) ) مثل ذلك

(f ′ (c) = frac {f (b) −f (a)} {b − a} )

نظرية رول
إذا كان (f ) مستمرًا على ([أ ، ب] ) وقابل للتفاضل على ((أ ، ب) ) ، وإذا كان (و (أ) = و (ب) ) ، فإنه يوجد (c∈ (a، b) ) بحيث (f ′ (c) = 0 )

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


شاهد الفيديو: الدرس 23. السادس العلمي. الرياضيات. الفصل الثالث. مبرهنة القيمة المتوسطة (شهر اكتوبر 2021).