مقالات

تمارين للقسم 12.4 - الرياضيات


تحديد طول القوس

في الأسئلة من 1 إلى 6 ، أوجد طول قوس المنحنى في الفترة المحددة.

1) ( vecs r (t) = t ^ 2 ، hat { mathbf {i}} + (2t ^ 2 + 1) ، hat { mathbf {j}}، quad 1≤t ≤3 )

إجابه:
(8 sqrt {5} ) وحدة

2) ( vecs r (t) = t ^ 2 ، hat { mathbf {i}} + 14t ، hat { mathbf {j}}، quad 0≤t≤7 ). يظهر هذا الجزء من الرسم البياني هنا:

3) ( vecs r (t) = ⟨t ^ 2 + 1،4t ^ 3 + 3⟩، quad −1≤t≤0 )

إجابه:
( frac {1} {54} (37 ^ {3/2} −1) ) وحدة

4) ( vecs r (t) = ⟨2 sin t، 5t، 2 cos t⟩، quad 0≤t≤π ). يظهر هذا الجزء من الرسم البياني هنا:

5) ( vecs r (t) = ⟨e ^ {- t cos t}، e ^ {- t sin t}⟩ ) خلال الفاصل الزمني ([0، frac {π} {2} ] ). هذا هو جزء الرسم البياني في الفترة الزمنية المشار إليها:

6)

7) أوجد طول دورة واحدة من اللولب المعطى بواسطة ( vecs r (t) = frac {1} {2} cos t ، hat { mathbf {i}} + frac {1} {2} sin t ، hat { mathbf {j}} + sqrt { frac {3} {4}} t ، hat { mathbf {k}} ).

إجابه:
الطول (= 2π ) وحدة

8) أوجد طول القوس للدالة ذات القيمة المتجهية ( vecs r (t) = - t ، hat { mathbf {i}} + 4t ، hat { mathbf {j}} + 3t ، hat { mathbf {k}} ) فوق ([0،1] ).

9) ينتقل الجسيم في دائرة بمعادلة الحركة ( vecs r (t) = 3 cos t ، hat { mathbf {i}} + 3 sin t ، hat { mathbf { j}} +0 ، hat { mathbf {k}} ). أوجد المسافة التي قطعها الجسيم حول الدائرة.

إجابه:
(6π ) وحدات

10) قم بإعداد جزء لا يتجزأ لإيجاد محيط القطع الناقص بالمعادلة ( vecs r (t) = cos t ، hat { mathbf {i}} + 2 sin t ، hat { mathbf {j}} + 0 ، hat { mathbf {k}} ).

11) أوجد طول المنحنى ( vecs r (t) = ⟨ sqrt {2} t، e ^ t، e ^ {- t}⟩ ) خلال الفاصل (0≤t≤1 ) . يظهر الرسم البياني هنا:

إجابه:
( left (e− frac {1} {e} right) ) وحدات

12) أوجد طول المنحنى ( vecs r (t) = ⟨2 sin t، 5t، 2 cos t⟩ ) من أجل (t∈ [10،10] ).

متجهات الوحدة المظللة ونواقل الوحدة العادية

13) وظيفة موضع الجسيم هي ( vecs r (t) = a cos (ωt) ، hat { mathbf {i}} + b sin (ωt) ، hat { mathbf { j}} ). ابحث عن متجه الوحدة المماس والمتجه العادي للوحدة عند (t = 0 ).

المحلول:
( vecs r '(t) = -aω sin (ωt) ، hat { mathbf {i}} + bω cos (ωt) ، hat { mathbf {j}} )
( | vecs r '(t) | = sqrt {a ^ 2 ω ^ 2 sin ^ 2 (ωt) + b ^ 2ω ^ 2 cos ^ 2 (ωt)} )
( vecs T (t) = dfrac { vecs r '(t)} { | vecs r' (t) |} = dfrac {-aω sin (ωt) ، hat { mathbf {i}} + bω cos (ωt) ، hat { mathbf {j}}} { sqrt {a ^ 2 ω ^ 2 sin ^ 2 (ωt) + b ^ 2ω ^ 2 cos ^ 2 (ωt)}} )
( vecs T (0) = dfrac {bω ، hat { mathbf {j}}} { sqrt {(bω) ^ 2}} = dfrac {bω ، hat { mathbf {j }}} {| bω |} )
إذا (bω> 0، ؛ vecs T (0) = hat { mathbf {j}}، ) وإذا (bω <0، ؛ T (0) = - hat { mathbf { ي}} )
إجابه:
إذا (bω> 0، ؛ vecs T (0) = hat { mathbf {j}}، ) و if (bω <0، ؛ vecs T (0) = - hat { mathbf {j}} )
إذا (a> 0، ؛ vecs N (0) = - hat { mathbf {i}}، ) و if (a <0، ؛ vecs N (0) = hat { رياضيات {i}} )

14) معطى ( vecs r (t) = a cos (ωt) ، hat { mathbf {i}} + b sin (ωt) ، hat { mathbf {j}} ) ، أوجد المتجه الثنائي ( vecs B (0) ).

15) معطى ( vecs r (t) = ⟨2e ^ t، e ^ t cos t، e ^ t sin t⟩ ) ، حدد متجه ظل الوحدة ( vecs T (t) ).

إجابه:
( start {align *} vecs T (t) & = ⟨ frac {2} { sqrt {6}}، ، frac { cos t− sin t} { sqrt {6}} ، ، فارك { cos t + sin t} { sqrt {6}}⟩ [4pt]
& = ⟨ frac { sqrt {6}} {3}، ، frac { sqrt {6}} {6} ( cos t− sin t)، ، frac { sqrt {6} } {6} ( cos t + sin t)⟩ end {align *} )

16) معطى ( vecs r (t) = ⟨2e ^ t، e ^ t cos t، e ^ t sin t⟩ ) ، ابحث عن متجه ظل الوحدة ( vecs T (t) ) المقدر في (t = 0 ) ، ( vecs T (0) ).

17) معطى ( vecs r (t) = ⟨2e ^ t، e ^ t cos t، e ^ t sin t⟩ ) ، حدد المتجه الطبيعي للوحدة ( vecs N (t) ).

إجابه:
( vecs N (t) = ⟨0، ، - frac { sqrt {2}} {2} ( sin t + cos t)، ، frac { sqrt {2}} {2 } ( cos t- sin t)⟩ )

18) معطى ( vecs r (t) = ⟨2e ^ t، e ^ t cos t، e ^ t sin t⟩ ) ، ابحث عن المتجه الطبيعي للوحدة ( vecs N (t) ) التي تم تقييمها في (t = 0 ) ، ( vecs N (0) ).

إجابه:
( vecs N (0) = ⟨0، ؛ - frac { sqrt {2}} {2}، ؛ frac { sqrt {2}} {2}⟩ )

19) معطى ( vecs r (t) = t ، hat { mathbf {i}} + t ^ 2 ، hat { mathbf {j}} + t ، hat { mathbf {k }} ) ، أوجد متجه ظل الوحدة ( vecs T (t) ). يظهر الرسم البياني هنا:

إجابه:
( vecs T (t) = frac {1} { sqrt {4t ^ 2 + 2}} <1،2t، 1> )

20) ابحث عن متجه ظل الوحدة ( vecs T (t) ) ومتجه الوحدة العادي ( vecs N (t) ) في (t = 0 ) لمنحنى المستوى ( vecs r (t ) = ⟨t ^ 3−4t ، 5t ^ 2−2⟩ ). يظهر الرسم البياني هنا:

21) ابحث عن متجه ظل الوحدة ( vecs T (t) ) لـ ( vecs r (t) = 3t ، hat { mathbf {i}} + 5t ^ 2 ، hat { mathbf {j}} + 2t ، hat { mathbf {k}} ).

إجابه:
( vecs T (t) = frac {1} { sqrt {100t ^ 2 + 13}} (3 ، hat { mathbf {i}} + 10t ، hat { mathbf {j} } +2 ، hat { mathbf {k}}) )

22) ابحث عن المتجه الطبيعي الأساسي للمنحنى ( vecs r (t) = ⟨6 cos t، 6 sin t⟩ ) عند النقطة التي يحددها (t = frac {π} {3} ).

23) ابحث عن ( vecs T (t) ) للمنحنى ( vecs r (t) = (t ^ 3−4t) ، hat { mathbf {i}} + (5t ^ 2−2 ) ، hat { mathbf {j}} ).

إجابه:
( vecs T (t) = frac {1} { sqrt {9t ^ 4 + 76t ^ 2 + 16}} ([3t ^ 2−4] ، hat { mathbf {i}} + 10t ، قبعة { mathbf {j}}) )

24) ابحث عن ( vecs N (t) ) للمنحنى ( vecs r (t) = (t ^ 3−4t) ، hat { mathbf {i}} + (5t ^ 2−2 ) ، hat { mathbf {j}} ).

25) ابحث عن متجه ظل الوحدة ( vecs T (t) ) لـ ( vecs r (t) = ⟨2 sin t، ، 5t، ، 2 cos t⟩ ).

إجابه:
( vecs T (t) = ⟨ frac {2 sqrt {29}} {29} cos t، ، frac {5 sqrt {29}} {29}، ، - frac {2 sqrt {29}} {29} sin t⟩ )

26) ابحث عن المتجه الطبيعي للوحدة ( vecs N (t) ) لـ ( vecs r (t) = ⟨2 sin t، ، 5t، ، 2 cos t⟩ ).

إجابه:
( vecs N (t) = ⟨− sin t، 0، - cos t⟩ )

معلمات طول القوس

27) ابحث عن دالة طول القوس ( vecs s (t) ) لمقطع الخط المعطى بواسطة ( vecs r (t) = ⟨3−3t، ، 4t⟩ ). ثم اكتب معلمات طول القوس (r ) مع (s ) كمعامل.

إجابه:
دالة طول القوس: (s (t) = 5t ) ؛ معلمات طول القوس ( vecs r (t) ): ( vecs r (s) = (3− frac {3s} {5}) ، hat { mathbf {i}} + frac {4s} {5} ، hat { mathbf {j}} )

28) معلمة اللولب ( vecs r (t) = cos t ، hat { mathbf {i}} + sin t ، hat { mathbf {j}} + t ، hat { mathbf {k}} ) باستخدام معلمة طول القوس (s ) ، من (t = 0 ).

29) عدل المنحنى باستخدام معلمة طول القوس (s ) ، عند النقطة التي عندها (t = 0 ) لـ ( vecs r (t) = e ^ t sin t ، hat { mathbf {i}} + e ^ t cos t ، قبعة { mathbf {j}} )

إجابه:
( vecs r (s) = (1+ frac {s} { sqrt {2}}) sin ( ln (1+ frac {s} { sqrt {2}})) ، قبعة { mathbf {i}} + (1+ frac {s} { sqrt {2}}) cos [ ln (1+ frac {s} { sqrt {2}})] ، قبعة { mathbf {j}} )

الانحناء والدائرة المتذبذبة

30) ابحث عن انحناء المنحنى ( vecs r (t) = 5 cos t ، hat { mathbf {i}} + 4 sin t ، hat { mathbf {j}} ) في (ر = π / 3 ). (ملحوظة: الرسم البياني عبارة عن قطع ناقص.)

31) ابحث عن (x ) - الإحداثي الذي يكون عنده انحناء المنحنى (y = 1 / x ) قيمة قصوى.

إجابه:
تحدث القيمة القصوى للانحناء عند (x = 1 ).

32) ابحث عن انحناء المنحنى ( vecs r (t) = 5 cos t ، hat { mathbf {i}} + 5 sin t ، hat { mathbf {j}} ) . هل يعتمد الانحناء على المعامل (t )؟

33) أوجد الانحناء (κ ) للمنحنى (y = x− frac {1} {4} x ^ 2 ) عند النقطة (x = 2 ).

إجابه:
( فارك {1} {2} )

34) أوجد الانحناء (κ ) للمنحنى (y = frac {1} {3} x ^ 3 ) عند النقطة (x = 1 ).

35) أوجد الانحناء (κ ) للمنحنى ( vecs r (t) = t ، hat { mathbf {i}} + 6t ^ 2 ، hat { mathbf {j}} + 4t ، hat { mathbf {k}} ). يظهر الرسم البياني هنا:

إجابه:
(κ≈ dfrac {49.477} {(17 + 144t ^ 2) ^ {3/2}} )

36) أوجد انحناء ( vecs r (t) = ⟨2 sin t، 5t، 2 cos t⟩ ).

37) ابحث عن انحناء ( vecs r (t) = sqrt {2} t ، hat { mathbf {i}} + e ^ t ، hat { mathbf {j}} + e ^ {−t} ، hat { mathbf {k}} ) عند النقطة (P (0،1،1) ).

إجابه:
( frac {1} {2 sqrt {2}} )

38) في أي نقطة يكون للمنحنى (y = e ^ x ) أقصى انحناء؟

39) ماذا يحدث للانحناء كـ (x → ∞ ) للمنحنى (y = e ^ x )؟

إجابه:
الانحناء يقترب من الصفر.

40) أوجد نقطة الحد الأقصى للانحناء على المنحنى (y = ln x ).

41) أوجد معادلات المستوى العادي والمستوى المتذبذب للمنحنى ( vecs r (t) = ⟨2 sin (3t)، t، 2 cos (3t)⟩ ) عند النقطة ((0 ، π ، −2) ).

إجابه:
(ص = 6 س + π ) و (س + 6 ص = 6π )

42) أوجد معادلات الدوائر المتذبذبة للقطع الناقص (4y ^ 2 + 9x ^ 2 = 36 ) عند النقاط ((2،0) ) و ((0،3) ).

43) ابحث عن معادلة المستوى المتذبذب عند النقطة (t = π / 4 ) على المنحنى ( vecs r (t) = cos (2t) ، hat { mathbf {i}} + sin (2t) ، hat { mathbf {j}} + t ، hat { mathbf {k}} ).

إجابه:
(س + 2z = فارك {π} {2} )

44) أوجد نصف قطر انحناء (6y = x ^ 3 ) عند النقطة ((2، frac {4} {3}). )

45) ابحث عن الانحناء عند كل نقطة ((x، y) ) على القطع الزائد ( vecs r (t) = ⟨a cosh (t)، b sinh (t)⟩ ).

إجابه:
( dfrac {a ^ 4b ^ 4} {(b ^ 4x ^ 2 + a ^ 4y ^ 2) ^ {3/2}} )

46) احسب انحناء اللولب الدائري ( vecs r (t) = r sin (t) ، hat { mathbf {i}} + r cos (t) ، hat { mathbf { j}} + t ، hat { mathbf {k}} ).

47) أوجد نصف قطر انحناء (y = ln (x + 1) ) عند النقطة ((2، ln 3) ).

إجابه:
( frac {10 sqrt {10}} {3} )

48) أوجد نصف قطر انحناء القطع الزائد (xy = 1 ) عند النقطة ((1،1) ).

يتحرك جسيم على طول منحنى المستوى (C ) الموضح بواسطة ( vecs r (t) = t ، hat { mathbf {i}} + t ^ 2 ، hat { mathbf {j}} ). استخدم هذه المعلمات للإجابة على الأسئلة من 49 إلى 51.

49) أوجد طول المنحنى خلال الفترة ([0،2] ).

إجابه:
( frac {1} {4} big [4 sqrt {17} + ln left (4+ sqrt {17} right) big] text {Units} almost 4.64678 text {units } )

50) أوجد انحناء منحنى المستوى عند (t = 0،1،2 ).

51) صف الانحناء كـ ر يزيد من (t = 0 ) إلى (t = 2 ).

إجابه:
الانحناء يتناقص خلال هذه الفترة.

يتكون سطح الكوب الكبير من خلال تدوير الرسم البياني للوظيفة (y = 0.25x ^ {1.6} ) من (x = 0 ) إلى (x = 5 ) حول (y ) - المحور (يقاس بالسنتيمتر).

52) [T] استخدم التكنولوجيا لرسم بياني للسطح.

53) أوجد الانحناء (κ ) لمنحنى التوليد كدالة في (س ).

إجابه:
(κ = dfrac {30} {x ^ {2/5} left (25 + 4x ^ {6/5} right) ^ {3/2}} )

لاحظ أن إجابتك قد تكون في البداية:
( dfrac {6} {25x ^ {2/5} left (1+ frac {4} {25} x ^ {6/5} right) ^ {3/2}} )

يمكننا تبسيطها على النحو التالي:
( begin {align *} dfrac {6} {25x ^ {2/5} left (1+ frac {4} {25} x ^ {6/5} right) ^ {3/2} } & = dfrac {6} {25x ^ {2/5} big [ frac {1} {25} left (25 + 4x ^ {6/5} right) big] ^ {3/2 }} [4pt]
& = dfrac {6} {25x ^ {2/5} left ( frac {1} {25} right) ^ {3/2} big [25 + 4x ^ {6/5} big] ^ {3/2}} [4pt]
& = dfrac {6} { frac {25} {125} x ^ {2/5} big [25 + 4x ^ {6/5} big] ^ {3/2}} [4pt]
& = dfrac {30} {x ^ {2/5} left (25 + 4x ^ {6/5} right) ^ {3/2}} end {align *} )

54) [T] استخدم التكنولوجيا لرسم بياني لوظيفة الانحناء.


RD Sharma Class 12 Solutions PDF تنزيل مجاني عبر الإنترنت

يحتوي كتاب RD Sharma Class 12 على عدد كبير من الأمثلة التي تم حلها جيدًا. تم إضافة أمثلة توضيحية جديدة ومشاكل إلى التمارين في كل فصل. في كل فصل ، تمت مناقشة جميع المفاهيم والتعريفات بالتفصيل بطريقة واضحة وتم شرحها أيضًا بأمثلة توضيحية مناسبة.

يمكنك أيضًا تنزيل Class 12 Maths NCERT Solutions لمساعدتك على مراجعة المنهج الدراسي الكامل وتسجيل المزيد من العلامات في امتحاناتك.

النقاط الرئيسية لحلول RD Sharma Class 12

  • إجابات كاملة ومخصصة لكل سؤال في RD Sharma Mathematics
  • شرح مفصل لكل سؤال

الفصل الحكيم RD Sharma Solutions Class 12 Maths

حلول RD Sharma للفصل 12 الرياضيات الفصل 1 & # 8211 العلاقات

حلول RD Sharma للفصل 12 الرياضيات الفصل 2 & # 8211 وظائف

حلول RD Sharma للفصل 12 الرياضيات الفصل 3 & # 8211 العمليات الثنائية

حلول RD Sharma للفصل 12 الرياضيات الفصل 4 & # 8211 الدوال المثلثية المعكوسة

حلول RD Sharma للفصل 12 الرياضيات الفصل 5 & # 8211 جبر المصفوفات

حلول RD Sharma للفصل 12 الرياضيات الفصل 6 & # 8211 محددات

حلول RD Sharma للفصل 12 الرياضيات الفصل 7 & # 8211 مصفوفة وعكسها

حلول RD Sharma للفصل 12 الرياضيات الفصل 8 & # 8211 حل المعادلات الخطية المتزامنة

حلول RD Sharma للفصل 12 الرياضيات الفصل 9 & # 8211 الاستمرارية

حلول RD Sharma للفصل 12 الرياضيات الفصل 10 & # 8211 التفاضل

حلول RD Sharma للفصل 12 الرياضيات الفصل 11 & # 8211 التمايز

حلول RD Sharma للفصل 12 الرياضيات الفصل 12 & # 8211 مشتقات الرتبة الأعلى

حلول RD Sharma للفصل 12 الرياضيات الفصل 13 & # 8211 مشتق كمقياس معدل

حلول RD Sharma للفصل 12 الرياضيات الفصل 14 & # 8211 التفاضلات والأخطاء والتقريب

حلول RD Sharma للفصل 12 الرياضيات الفصل 15 & # 8211 متوسط ​​القيمة النظريات

حلول RD Sharma للفصل 12 الرياضيات الفصل 16 & # 8211 الظل والقواعد

حلول RD Sharma للفصل 12 الرياضيات الفصل 17 & # 8211 زيادة الوظائف وتقليلها

RD Sharma Solutions للفصل 12 الرياضيات الفصل 18 & # 8211 الحد الأقصى والحد الأدنى

حلول RD Sharma للفصل 12 الرياضيات الفصل 19 & # 8211 التكاملات غير المحددة

حلول RD Sharma للفصل 12 الرياضيات الفصل 20 & # 8211 تكاملات محددة

حلول RD Sharma للفصل 12 الرياضيات الفصل 21 & # 8211 مناطق المناطق المحددة

حلول RD Sharma للفصل 12 الرياضيات الفصل 22 & # 8211 المعادلات التفاضلية

حلول RD Sharma للفصل 12 الرياضيات الفصل 23 & # 8211 الجبر من المتجهات

حلول RD Sharma للفصل 12 الرياضيات الفصل 24 & # 8211 المنتج العددي أو النقطي

حلول RD Sharma للفصل 12 الرياضيات الفصل 25 & # 8211 متجه أو منتج متقاطع

حلول RD Sharma للفصل 12 الرياضيات الفصل 26 & # 8211 المنتج الثلاثي العددي

حلول RD Sharma للفصل 12 الرياضيات الفصل 27 & # 8211 جيب التمام الاتجاه ونسب الاتجاه

RD Sharma Solutions للفصل 12 الرياضيات الفصل 28 & # 8211 الخط المستقيم في الفضاء

RD Sharma Solutions للفصل 12 الرياضيات الفصل 29 & # 8211 الطائرة

حلول RD Sharma للفصل 12 الرياضيات الفصل 30 & # 8211 البرمجة الخطية

RD Sharma Solutions للفصل 12 الرياضيات الفصل 31 & # 8211 الاحتمالية

حلول RD Sharma للفصل 12 الرياضيات الفصل 32 & # 8211 متوسط ​​وتباين متغير عشوائي

حلول RD Sharma للفصل 12 الرياضيات الفصل 33 & # 8211 التوزيع ذي الحدين

يمكنك أيضًا تنزيل ملف PDF المجاني الخاص بـ حلول RD Sharma Class 12 أو احفظ صور الحل وأخذ النسخة المطبوعة لتظل في متناول يدك أثناء التحضير للاختبار.

RD Sharma Class 12 Solutions تنزيل ملف PDF الفصل 1 إلى 33

الرياضيات للفصل الثاني عشر المجلد & # 8211 I والحجم & # 8211 II

يعتمد هذا الكتاب النصي على أحدث المنهج الدراسي الذي حدده CBSE. تم تقسيم النص إلى مجلدين. الحجم & # 8211 أنا يتكون من 1 & # 8211 19 و Volume & # 8211 II يتكون من 20-33. أمثلة توضيحية و تمارين المعطاة في نهاية كل قسم / قسم فرعي في كل فصل تم ترتيبها بالترتيب المتزايد لمستوى الصعوبة وتم تصنيف النحل إلى مستويين ، وهما: المستوى & # 8211 1 و المستوى & # 8211 2. في نهاية كل فصل تمرين يتكون من أسئلة الاختيار من متعدد (MCQs) ، ملخص لمراجعة سريعة للمفاهيم والصيغ.

الميزات الفريدة لكتاب الرياضيات RD Sharma Class 12

  • نظرية مفصلة مع الرسوم التوضيحية
  • النهج الحسابي
  • عدد كبير من الأمثلة التوضيحية المتدرجة والتمارين
  • ملخص موجز يتكون من المفاهيم والصيغ.

نبذة عن الكاتب

الدكتور R.D. شارما يعمل حاليًا كرئيس قسم (العلوم والإنسانيات) في قسم التدريب والتعليم الفني ، حكومة دلهي. شهادة دكتوراه. في الرياضيات ، حصل على ميداليتين ذهبيتين ، حيث احتل المرتبة الأولى في ترتيب الجدارة في كل من بكالوريوس العلوم (مع مرتبة الشرف) والماجستير. الامتحانات من جامعة راجستان ، جايبور.

لقد خضع لتدريب صارم من IIT ، Kharagpur في الأساليب الرياضية الموجهة بالكمبيوتر ولديه خبرة طويلة في تدريس طلاب الدراسات العليا والهندسة.

المزيد من الموارد لـ NCERT Solutions Class 12:

الأسئلة الشائعة حول حلول RD Sharma Class 12

1. هل يمكنني تنزيل RD Sharm Solutions بسهولة للفئة 12؟

نعم ، تكفي نقرة واحدة فقط لتنزيل ملف PDF الخاص بحلول RD Sharma Class 12 من موقعنا على الويب @ learnCBSE.in

2. ما هو أفضل مصدر للحصول على درجات أفضل في اختبارات المجلس؟

هناك الكثير من موارد الاختبار المتاحة في السوق وأمبير عبر الإنترنت ، ولكن التحضير باستخدام RD Sharma Book Solutions سيساعدك على أكمل وجه ويحصل على درجات أفضل في الفصل 12 والامتحانات التنافسية.

3. أين يمكنني الاستفادة من حلول RD Sharma الفصل الحكيمة للفئة 12؟

يُنصح الطامحون بالتحقق من موقعنا على الويب LearnCBSE.in للحصول على جميع فصول RD Sharma Class 12 Solutions مجانًا.

4. هل حل حلول RD Sharma Class 12 كافٍ للإعداد لامتحان المجلس؟

نعم ، حل أفضل الكتب مثل RD Sharma Solutions للصف 12 هو الحزمة الكاملة لإعدادك للاختبار. لذا ، قم بتنزيلها من هذه الصفحة مجانًا وتدرب أكثر على لوحة الفصل 12 والامتحانات التنافسية.


سمات

إضفاء الطابع الشخصي على التعلم باستخدام MyMathLab

MyMathLab عبارة عن واجب منزلي وبرنامج تعليمي وبرنامج تقييم عبر الإنترنت مصمم للعمل مع هذا النص لإشراك الطلاب وتحسين النتائج. ضمن بيئتها المنظمة ، يمارس الطلاب ما يتعلمونه ، ويختبرون فهمهم ، ويتفاعلون مع موارد الوسائط لمساعدتهم على استيعاب مواد الدورة التدريبية وفهم المفاهيم الصعبة. الجديد! توفر دورة MyMathLab في هذا الإصدار أدوات إضافية للمساعدة في الفهم والاستعداد.

  • الجديد! أ برنامج فيديو جديد يرشد الطلاب من خلال المفاهيم من كل قسم من النص في شكل عرض تقديمي جديد وحديث.
  • الجديد! فيديوهات المفاهيم التفاعلية تتطلب مشاركة الطلاب وتفاعلهم أثناء سيرهم في مفهوم ما. يتبع الإجابات غير الصحيحة شرحًا بالفيديو للحل ، يعالج سوء الفهم الذي ربما أدى إلى هذا الخطأ بعينه.
    • المقابلة تمارين قابلة للتخصيص السماح للمعلمين بالتحقق من فهم الطالب.
    • أسئلة محو الأمية الكمية متاحة للتعيين.
    • في ال إصدار المعلم المشروح، تشير التعليقات التوضيحية الخاصة لـ Learning Catalytics إلى أسئلة LC التي يجب استخدامها لهذا الجزء من الدرس ، مع علامة مقابلة للبحث عن هذا السؤال.
    • الجديد! ان دورة المراجعة المتكاملة MyMathLab يوفر الخيار دورة كاملة في الفنون الحرة مع مراجعة مضمنة لموضوعات تنموية مختارة على مستوى الفصل.
      • يتم تعيين الواجبات المتعلقة بالمواضيع المطلوبة مسبقًا في هذه الدورة التدريبية - يبدأ الطلاب باختبار "التحقق من المهارات" حول الموضوعات المطلوبة مسبقًا المطلوبة لهذا الفصل.
      • يمكن للطلاب الذين يثبتون إتقانهم الانتقال إلى مسح الرياضيات المحتوى ، بينما يمكن للطلاب الذين يحتاجون إلى مراجعة إضافية المعالجة باستخدام موارد مثل مقاطع الفيديو التطويرية وأوراق عمل المراجعة المتكاملة.
      • يمكن استخدام حل الدورة التدريبية هذا في نموذج الدورة التدريبية المتطلب المشترك ، أو ببساطة لمساعدة الطلاب غير المستعدين على إتقان المهارات والمفاهيم المطلوبة مسبقًا.
      • الجديد! مهارات وحدات النجاح تم دمجها في دورة MyMathLab لمساعدة الطلاب على النجاح في دورات الكلية والاستعداد لمهنهم المستقبلية.
      • الجديد! البطاقات التعليمية متوفرة بتنسيق حديث وجاهز للجوال ، حتى يتمكن الطلاب من الدراسة وتعزيز المفردات أثناء التنقل.
      • الجديد! مشاريع المجموعة تم نقلها من النص إلى الدورة التدريبية MyMathLab وتوفر فرصًا للطلاب للتعاون.
      • رؤية الصلة المادة تحفز الطلاب على التعلم.
        • يؤكد المؤلفون لماذا هذا مهم عند تقديم مفاهيم الرياضيات لمساعدة الطلاب على الربط بين حياتهم والرياضيات التي يتعلمونها. تظهر ملاحظات "لماذا هذا مهم" في جميع تطبيقات افتتاحية الفصول والأقسام ، بالإضافة إلى ميزات "الرياضيات اليوم".
        • الرياضيات الترفيهية توضح المربعات كيف يمكن أن تكون الرياضيات مسلية. بالإضافة إلى ذلك ، تتوفر تمارين الرياضيات الترفيهية في مجموعات التمرينات بحيث يمكن تخصيصها كواجب منزلي.
        • الرياضيات اليوم تناقش المربعات الاستخدامات الحالية الواقعية للمفهوم الرياضي في الفصل. كل مربع ينتهي بـ لماذا هذا مهم.
        • فتاحات الفصل والأقسام دمج التطبيقات كوسيلة لتحفيز الطلاب. على سبيل المثال ، توضح افتتاحية الفصل 3 (المنطق) كيف أصبح المنطق مهمًا في الأجهزة الإلكترونية مثل الهواتف المحمولة والكاميرات الرقمية.
          • الجديد! تحتوي العديد من افتتاحيات الفصول والأقسام على معلومات وتطبيقات جديدة ومثيرة للاهتمام وتحفيزية توضح الطبيعة الواقعية للمادة.
          • حل المشاكل يبدأ في الفصل الأول ، حيث يتعرف الطلاب على تقنيات حل المشكلات والتفكير النقدي. تساعد تمارين حل المشكلات في تطوير هذه المهارات في جميع أنحاء النص.
          • مهارات التفكير الناقد تم تطويرها في جميع أنحاء الكتاب ، بما في ذلك أقسام الاستدلال الاستقرائي والتقدير وتحليل الأبعاد. تظهر مشكلات التحدي أيضًا في مجموعات التمارين لاختبار قدرة الطالب على التفكير النقدي.
          • نصائح في الوقت المناسب هي مربعات يسهل تحديدها تساعد الطلاب في فهم المفاهيم أو ربط المواد بأقسام أخرى من الكتاب.
          • ملخصات الفصول ، منظمة في شكل مخطط ، وتوفير دراسة بديهية وتجربة مراجعة. لكل مفهوم أو تعريف أو فكرة مقدمة ، يتم توجيه الطلاب إلى المكان المحدد في النص حيث تتم مناقشة العنصر.
          • إجراءات محاصر ومُنفصل عن النص لسهولة التعرف عليه والرجوع إليه في المستقبل.
          • مجموعات التمرين ابدأ بتمارين الإحماء لملء الفراغ. تشمل التمارين أيضًا ممارسة المهارات وحل المشكلات وتحدي المشكلات / الأنشطة الجماعية والرياضيات الترفيهية وأنشطة البحث.
            • الجديد! تحسينات تعتمد على البيانات: قام المؤلفون بتحليل بيانات الاستخدام والأداء من الدورة التدريبية MyMathLab للإصدار السابق لتحسين جودة وكمية التمارين الأكثر أهمية للمدرسين والطلاب.

            جديد في هذا الإصدار

            إضفاء الطابع الشخصي على التعلم باستخدام MyMathLab

            MyMathLab عبارة عن واجب منزلي وبرنامج تعليمي وبرنامج تقييم عبر الإنترنت مصمم للعمل مع هذا النص لإشراك الطلاب وتحسين النتائج. ضمن بيئتها المنظمة ، يمارس الطلاب ما يتعلمونه ، ويختبرون فهمهم ، ويتفاعلون مع موارد الوسائط لمساعدتهم على استيعاب مواد الدورة التدريبية وفهم المفاهيم الصعبة. الجديد! توفر دورة MyMathLab في هذا الإصدار أدوات إضافية للمساعدة في الفهم والاستعداد.


            1.1 تعريفات الإحصاء والاحتمالات والمصطلحات الأساسية

            يتعامل علم الإحصاء مع جمع البيانات وتحليلها وتفسيرها وعرضها. نرى البيانات ونستخدمها في حياتنا اليومية.

            تمرين تعاوني

            في فصلك ، جرب هذا التمرين. اطلب من أعضاء الفصل كتابة متوسط ​​وقت نومهم (بالساعات ، إلى أقرب نصف ساعة) كل ليلة. سيقوم مدرسك بتسجيل البيانات. ثم قم بإنشاء رسم بياني بسيط (يسمى أ نوع من الرسم البيانى الأحصائى) من البيانات. يتكون الرسم النقطي من خط الأعداد والنقاط (أو النقاط) الموضوعة فوق خط الأعداد. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك البيانات التالية:

            5 5.5 6 6 6 6.5 6.5 6.5 6.5 7 7 8 8 9

            سيكون مخطط النقطة لهذه البيانات كما يلي:

            هل تبدو حبكة النقاط الخاصة بك مماثلة للمثال أو تختلف عنه؟ لماذا ا؟ إذا فعلت نفس المثال في فصل اللغة الإنجليزية مع نفس العدد من الطلاب ، فهل تعتقد أن النتائج ستكون هي نفسها؟ لما و لما لا؟

            أين تظهر بياناتك مجمعة؟ كيف يمكنك تفسير التجميع؟

            تطلب منك الأسئلة أعلاه تحليل بياناتك وتفسيرها. بهذا المثال ، تكون قد بدأت دراستك للإحصاءات.

            ستتعلم في هذه الدورة كيفية تنظيم البيانات وتلخيصها. يسمى تنظيم البيانات وتلخيصها الإحصاء الوصفي. طريقتان لتلخيص البيانات هما عن طريق الرسم البياني وباستخدام الأرقام (على سبيل المثال ، إيجاد المتوسط). بعد دراسة توزيعات الاحتمالات والاحتمالات ، ستستخدم طرقًا رسمية لاستخلاص النتائج من البيانات "الجيدة". تسمى الأساليب الرسمية الإحصائيات الاستنتاجية. يستخدم الاستدلال الإحصائي الاحتمال لتحديد مدى ثقتنا في صحة استنتاجاتنا.

            يعتمد التفسير الفعال للبيانات (الاستدلال) على الإجراءات الجيدة لإنتاج البيانات والفحص المتعمق للبيانات. ستواجه ما يبدو أنه عدد كبير جدًا من الصيغ الرياضية لتفسير البيانات. الهدف من الإحصائيات ليس إجراء العديد من العمليات الحسابية باستخدام الصيغ ، ولكن لفهم بياناتك. يمكن إجراء الحسابات باستخدام آلة حاسبة أو جهاز كمبيوتر. يجب أن يأتي التفاهم منك. إذا تمكنت من فهم أساسيات الإحصاء تمامًا ، فيمكنك أن تكون أكثر ثقة في القرارات التي تتخذها في الحياة.

            احتمالا

            الاحتمالية هي أداة رياضية تستخدم لدراسة العشوائية. إنه يتعامل مع فرصة (احتمالية) وقوع حدث ما. على سبيل المثال ، إذا رميت ملف معرض أربع مرات ، قد لا تكون النتائج رأسين وذيلين. ومع ذلك ، إذا رميت العملة نفسها 4000 مرة ، فستكون النتائج قريبة من أنصاف رؤوس وأنصاف ذيول. الاحتمال النظري المتوقع للرؤوس في أي رمية واحدة هو 1 2 1 2 أو 0.5. على الرغم من أن نتائج بعض التكرارات غير مؤكدة ، إلا أن هناك نمطًا منتظمًا للنتائج عندما يكون هناك العديد من التكرارات. بعد القراءة عن الإحصائي الإنجليزي كارل بيرسون الذي ألقى عملة معدنية 24000 مرة بنتيجة 12012 رأسًا ، ألقى أحد المؤلفين عملة معدنية 2000 مرة. كانت النتائج 996 رأسا. الكسر 996 2000996 2000 يساوي 0.498 وهو قريب جدًا من 0.5 ، وهو الاحتمال المتوقع.

            بدأت نظرية الاحتمالات بدراسة ألعاب الحظ مثل البوكر. تأخذ التنبؤات شكل الاحتمالات. للتنبؤ باحتمالية حدوث زلزال أو مطر أو ما إذا كنت ستحصل على A في هذه الدورة التدريبية ، نستخدم الاحتمالات. يستخدم الأطباء الاحتمالية لتحديد فرصة التطعيم المسبب للمرض الذي من المفترض أن يمنعه التطعيم. يستخدم وسيط البورصة الاحتمالية لتحديد معدل العائد على استثمارات العميل. قد تستخدم الاحتمال لتقرر شراء تذكرة يانصيب أم لا. في دراستك للإحصاءات ، ستستخدم قوة الرياضيات من خلال حسابات الاحتمالات لتحليل بياناتك وتفسيرها.

            الشروط الاساسية

            في الإحصاء ، نريد عمومًا دراسة السكان. يمكنك التفكير في السكان كمجموعة من الأشخاص أو الأشياء أو الأشياء قيد الدراسة. لدراسة السكان ، نختار عينة. تتمثل فكرة أخذ العينات في اختيار جزء (أو مجموعة فرعية) من أكبر عدد من السكان ودراسة هذا الجزء (العينة) للحصول على معلومات حول السكان. البيانات هي نتيجة لأخذ العينات من السكان.

            نظرًا لأن فحص مجموعة سكانية بأكملها يستغرق الكثير من الوقت والمال ، فإن أخذ العينات هو أسلوب عملي للغاية. إذا كنت ترغب في حساب المعدل التراكمي الإجمالي في مدرستك ، فمن المنطقي اختيار عينة من الطلاب الذين يحضرون المدرسة. ستكون البيانات التي تم جمعها من العينة هي متوسط ​​درجات الطلاب. في الانتخابات الرئاسية ، يتم أخذ عينات من استطلاعات الرأي من 1000 إلى 2000 شخص. من المفترض أن يمثل استطلاع الرأي آراء الشعب في كل البلاد. يأخذ مصنعو المشروبات الغازية المعلبة عينات لتحديد ما إذا كان يمكن أن تحتوي 16 أونصة على 16 أونصة من المشروبات الغازية.

            من بيانات العينة ، يمكننا حساب إحصائية. الإحصاء هو رقم يمثل خاصية للعينة. على سبيل المثال ، إذا اعتبرنا أحد صفوف الرياضيات عينة من جميع فصول الرياضيات ، فإن متوسط ​​عدد النقاط التي حصل عليها الطلاب في فصل الرياضيات هذا في نهاية المصطلح هو مثال على الإحصاء. الإحصاء هو تقدير لمعلمة السكان. المعلمة هي خاصية عددية لجميع السكان يمكن تقديرها بواسطة الإحصاء. نظرًا لأننا اعتبرنا جميع فصول الرياضيات هي السكان ، فإن متوسط ​​عدد النقاط المكتسبة لكل طالب في جميع فصول الرياضيات هو مثال على المعلمة.

            أحد الاهتمامات الرئيسية في مجال الإحصاء هو مدى دقة تقدير الإحصاء للمعامل. تعتمد الدقة حقًا على مدى جودة تمثيل العينة للسكان. يجب أن تحتوي العينة على خصائص السكان لكي تكون عينة تمثيلية. نحن مهتمون بكل من إحصاء العينة ومعلمة السكان في الإحصاء الاستدلالي. في فصل لاحق ، سنستخدم إحصاء العينة لاختبار صلاحية معلمة السكان المحددة.

            متغير ، يُشار إليه عادةً بأحرف كبيرة مثل X و ص، هي خاصية أو قياس يمكن تحديده لكل فرد من السكان. قد تكون المتغيرات عددي أو قاطع. تأخذ المتغيرات العددية قيمًا بوحدات متساوية مثل الوزن بالجنيه والوقت بالساعات. المتغيرات الفئوية تضع الشخص أو الشيء في فئة. إذا سمحنا X يساوي عدد النقاط التي حصل عليها طالب رياضيات واحد في نهاية الفصل الدراسي ، ثم X هو متغير رقمي. إذا سمحنا ص يكون الانتماء الحزبي لشخص ما ، ثم بعض الأمثلة على ص تشمل الجمهوري والديمقراطي والمستقل. ص هو متغير قاطع. يمكننا القيام ببعض العمليات الحسابية بقيم X (احسب متوسط ​​عدد النقاط المكتسبة ، على سبيل المثال) ، لكن ليس من المنطقي أن تقوم بحسابات بقيم ص (حساب متوسط ​​الانتماء الحزبي لا معنى له).

            البيانات هي القيم الفعلية للمتغير. قد تكون أرقامًا أو قد تكون كلمات. المسند هي قيمة واحدة.

            كلمتان من الكلمات التي تظهر في كثير من الأحيان في الإحصاء هي يعني والتناسب. إذا كنت ستجري ثلاثة اختبارات في فصول الرياضيات وحصلت على درجات 86 و 75 و 92 ، فستحسب متوسط ​​درجاتك عن طريق إضافة درجات الامتحان الثلاثة والقسمة على ثلاثة (متوسط ​​درجاتك سيكون 84.3 إلى منزلة عشرية واحدة) . إذا كان في صف الرياضيات الخاص بك 40 طالبًا و 22 رجلاً و 18 امرأة ، فإن نسبة الطلاب الذكور هي 22 40 22 40 ونسبة الطالبات هي 18 40 18 40. تمت مناقشة المتوسط ​​والنسبة بمزيد من التفصيل في فصول لاحقة.

            غالبًا ما يتم استخدام الكلمتين "يعني" و "المتوسط" بالتبادل. يعد استبدال كلمة واحدة بأخرى ممارسة شائعة. المصطلح التقني هو "الوسط الحسابي" و "المتوسط" تقنيًا موقع المركز. ومع ذلك ، في الممارسة العملية بين غير الإحصائيين ، "المتوسط" مقبول بشكل عام لـ "المتوسط ​​الحسابي".

            المثال 1.1

            حدد ما تشير إليه المصطلحات الأساسية في الدراسة التالية. نريد معرفة متوسط ​​(متوسط) مبلغ المال الذي ينفقه طلاب الكلية في السنة الأولى في ABC College على اللوازم المدرسية التي لا تتضمن الكتب. قمنا باستطلاع عشوائي 100 طالب في السنة الأولى في الكلية. ثلاثة من هؤلاء الطلاب أنفقوا 150 دولارًا و 200 دولارًا و 225 دولارًا على التوالي.

            الحل 1

            ال تعداد السكان هو جميع طلاب السنة الأولى الذين يحضرون كلية ABC في هذا الفصل الدراسي.

            ال عينة يمكن أن يكون جميع الطلاب المسجلين في قسم واحد من دورة الإحصاء الأولية في ABC College (على الرغم من أن هذه العينة قد لا تمثل جميع السكان).

            ال معامل هو متوسط ​​(متوسط) مبلغ الإنفاق (باستثناء الكتب) من قبل طلاب السنة الأولى بالجامعة في ABC College في هذا الفصل الدراسي.

            ال إحصائية هو متوسط ​​(متوسط) مبلغ الإنفاق (باستثناء الكتب) من قبل طلاب السنة الأولى بالجامعة في العينة.

            ال عامل يمكن أن يكون المبلغ الذي أنفقه طالب السنة الأولى (باستثناء الكتب). يترك X = المبلغ الذي أنفقه (باستثناء الكتب) طالب في السنة الأولى يدرس في كلية ABC.

            ال بيانات هي المبالغ الدولارية التي ينفقها طلاب السنة الأولى. من أمثلة البيانات 150 دولارًا و 200 دولارًا و 225 دولارًا.

            حدد ما تشير إليه المصطلحات الأساسية في الدراسة التالية. نريد معرفة متوسط ​​(متوسط) المبلغ الذي تنفقه العائلات التي لديها أطفال على الزي المدرسي كل عام في Knoll Academy. قمنا بإجراء مسح عشوائي لـ 100 أسرة لديها أطفال في المدرسة. أنفقت ثلاث عائلات 65 دولارًا و 75 دولارًا و 95 دولارًا على التوالي.

            مثال 1.2

            حدد ما تشير إليه المصطلحات الأساسية في الدراسة التالية.

            تم إجراء دراسة في كلية محلية لتحليل متوسط ​​المعدل التراكمي للطلاب الذين تخرجوا العام الماضي. املأ حرف العبارة الذي يصف كل عنصر من العناصر أدناه على أفضل نحو.

            1. السكان ______ 2. الإحصاء _____ 3. المعلمة _____ 4. العينة _____ 5. المتغير _____ 6. البيانات _____

            1. جميع الطلاب الذين التحقوا بالكلية العام الماضي
            2. المعدل التراكمي لطالب واحد تخرج من الكلية العام الماضي
            3. 3.65, 2.80, 1.50, 3.90
            4. مجموعة من الطلاب الذين تخرجوا من الكلية العام الماضي ، تم اختيارهم بشكل عشوائي
            5. متوسط ​​المعدل التراكمي للطلاب الذين تخرجوا من الكلية العام الماضي
            6. جميع الطلاب الذين تخرجوا من الكلية العام الماضي
            7. متوسط ​​المعدل التراكمي لطلبة الدراسة الذين تخرجوا من الكلية العام الماضي

            الحل 1

            1. f 2. g 3. e 4. d 5. b 6. c

            مثال 1.3

            Determine what the key terms refer to in the following study.

            As part of a study designed to test the safety of automobiles, the National Transportation Safety Board collected and reviewed data about the effects of an automobile crash on test dummies. Here is the criterion they used:

            Cars with dummies in the front seats were crashed into a wall at a speed of 35 miles per hour. We want to know the proportion of dummies in the driver’s seat that would have had head injuries, if they had been actual drivers. We start with a simple random sample of 75 cars.

            Solution 1

            ال population is all cars containing dummies in the front seat.

            ال sample is the 75 cars, selected by a simple random sample.

            ال parameter is the proportion of driver dummies (if they had been real people) who would have suffered head injuries in the population.

            ال statistic is proportion of driver dummies (if they had been real people) who would have suffered head injuries in the sample.

            ال variable X = whether a dummy (if it had been a real person) who would have suffered head injuries.

            ال بيانات are either: yes, had head injury, or no, did not.

            Example 1.4

            Determine what the key terms refer to in the following study.

            An insurance company would like to determine the proportion of all medical doctors who have been involved in one or more malpractice lawsuits. The company selects 500 doctors at random from a professional directory and determines the number in the sample who have been involved in a malpractice lawsuit.

            Solution 1

            ال population is all medical doctors listed in the professional directory.

            ال parameter is the proportion of medical doctors who have been involved in one or more malpractice suits in the population.

            ال sample is the 500 doctors selected at random from the professional directory.

            ال statistic is the proportion of medical doctors who have been involved in one or more malpractice suits in the sample.

            ال variable X = whether an individual doctor has been involved in a malpractice suit.

            ال بيانات are either: yes, was involved in one or more malpractice lawsuits, or no, was not.

            Collaborative Exercise

            Do the following exercise collaboratively with up to four people per group. Find a population, a sample, the parameter, the statistic, a variable, and data for the following study: You want to determine the average (mean) number of glasses of milk college students drink per day. Suppose yesterday, in your English class, you asked five students how many glasses of milk they drank the day before. The answers were 1, 0, 1, 3, and 4 glasses of milk.


            Exercises for Section 12.4 - Mathematics

            Term Exam Paper Kit Additional Exam Paper(S3) is available.

            Revision on A1 Questions is available.

            Term Exam Paper Kit Additional Exam Paper (S1 and S2) are available.

            Bridging Guideline is available.

            Supplementary Exercises for Book 3B are available.

            Supplementary Exercises for Book 3A are available.

            Question Bank Update for Book 2B are available.

            PPT for Textbook Examples for Book 1B and 2B are available.

            Question Bank Update for Book 2A are available.

            PPT for Textbook Examples for Book 2A are available.

            Amendment for Book 3A and 3B are available.
            Supplementary Exercises(Teacher&rsquos Edition) for Book 1A are available.
            PPT for Textbook Examples for Book 1A are available.

            Supplementary Exercises for Book 2B are available.

            Supplementary Exercisesfor Book 2A ch 4 - 7 are available.

            Additional Basic Topical Worksheet (S2) is uploaded.

            Question Bank Update for Book 1B Chapter 11 - 14 are available.

            Question Bank Update for Book 1B Chapter 8 - 10 are available.

            Supplementary Exercises for Book 2A ch 1 - 3 are available.

            Question Bank Update for Book 1A is available.

            The following materials are available:

            • Textbook Information (3B)
            • E-tutor (3B)
            • Textbook Supplement (3B)
            • Term Exam Paper Kits (3B)
            • Resources for TSA (3B)
            • EDB Resources (3B)
            • Useful Websites (3B)
            • Basic Topical Worksheet (S3)

            The following materials for Book 3A are available:

            • Textbook Information
            • E-tutor
            • Textbook Supplement
            • Term Exam Paper Kits
            • Resources for TSA
            • EDB Resources
            • Useful Websites

            All Supplementary Exercises for Book 1A and 1B are available.

            Extra Project for Book 2B is uploaded.

            All Teaching Schedule for Book 3A and 3B are available.

            All Full Solution for Book 3A and 3B are available.

            Study Guide of 1A Chapter 4 and 6 are uploaded.

            All Supplementary Exercises for Book 1B are available.

            Supplementary Exercises of 1B Chapter 12 is uploaded.

            All resources for Book 2B are available.

            Supplementary Exercises of 1B chapter 8, 9 10 & 11 are uploaded.

            Supplementary Exercises of 1A chapter 3, 1B chapter 8 and 1B chapter 11 are uploaded.


            Exercises for Section 12.4 - Mathematics

            Fourier Analysis: Mathematics GU4032 (Spring 2020)


            Peter Woit ([email protected])

            Monday and Wednesday 11:40-12:55
            Mathematics 520

            This course will cover the theory and applications of Fourier series and the Fourier transform.
            Topics to be covered will include the following:

            Fourier series: basic theory
            Fourier series: convergence questions
            Fourier series: applications
            The Fourier transform: basic theory
            The Fourier transform: distributions
            The Fourier transform: applications
            Applications to partial differential equations of physics
            Representation theory of Abelian groups
            Applications to number theory

            Assignments

            There will be assignments roughly each week, due in class on Wednesday, mostly taken from the textbook.

            Assignment 1 (due Wednesday, Jan. 29):
            Chapter 1, Exercises 4 (parts b-i), 5
            Chapter 2, Exercises 2, 4, 6

            Assignment 2 (due Monday, Feb. 10)
            Chapter 2, Exercises 10,13,15,17, Problem 2a
            Chapter 3, Exercise 20

            Assignment 3 (due Monday, Feb. 17)
            Chapter 2, Exercises 18,19,20
            Chapter 3, Exercises 8,9,12

            Assignment 4 (due Monday, Feb. 24)
            Chapter 3, Problems 4,5
            Chapter 4, Exercises 11,12,13

            Assignment 5 (due Monday, March 2)
            Chapter 5, Exercises 2,6,12, Problems 1,7

            Assignment 6 (due Monday, March 30)
            Chapter 5, Exercises 15,17,18,19,23, Problem 3a

            Assignment 7 (due Monday, April 6)
            Strichartz, Chapter 1 Problem 11
            Strichartz, Chapter 2 Problem 13
            Osgood, Problems 4.3, 4.4,4.7,4.8

            Assignment 8 (due Monday, April 13)
            Osgood, Problems 4.5,4.12,4.13,4.18
            Strichartz, Chapter 4, problems 1,6

            Assignment 9 (due Monday, April 20)
            Chapter 6, Exercises 1,4,5,6

            Assignment 10 (due Monday, April 27):
            Chapter 6, Exercises 7,8,10,11
            Chapter 6, Problem 7

            Assignment 11 (due Monday, May 4):
            Chapter 7, Exercises 1,3,4,5,6,7,13

            For each class, see here for what will be covered, and for which sections of the textbook you should be reading.

            Wednesday, January 22:
            Overview of the course. Definition of Fourier series, examples.
            Reading: Chapter 1 (for motivation, the topics of this chapter will be treated in detail later in the course). Section 1 of Chapter 2

            Monday, January 27:
            Uniqueness of Fourier series. Convolution.
            Reading: Chapter 2, sections 2 and 3

            Wednesday, January 29:
            Pointwise convergence of Fourier series, Dirichlet kernel. Gibbs phenomenon.
            Reading: Sections 3.2.1, 2.4

            Monday, February 3:
            Cesaro summability, Fejer kernel. Abel summability, Poisson kernel,
            Reading: Sections 2.5

            Wednesday, February 5:
            Mean convergence of Fourier series, Parseval's equality.
            Reading: Chapter 3, section 1

            Monday, February 10:
            Harmonic functions, Dirichlet problem
            Reading: Sections 1.2.2, 2.5.4

            Wednesday, February 12:
            Heat equation and Schr dinger equation on a circle
            Reading: Section 4.4

            Monday, February 17
            Introduction to the Fourier transform
            Reading: Introduction to Chapter 5, Sections 5.1.1-5.1.3

            Wednesday, February 19
            Properties of the Fourier transform, Fourier inversion
            Reading: Sections 5.1.4-5.1.5

            Monday, February 24
            Plancherel theorem, Heat equation, Schr dinger equation
            Reading: Section 5.1.6, 5.2.1

            Wednesday, February 26
            Harmonic functions in the upper half plane, Heisenberg uncertainty, Review
            Reading: Sections 5.2.2, 5.4

            Monday, March 2
            Midterm exam

            Wednesday, March 4
            Poisson summation formula
            Reading: Section 5.3

            Monday, March 9
            Class canceled by university.

            For material covered in the classes from this point on, lecture notes are at
            Fourier Analysis Notes, Spring 2020

            Wednesday, March 11
            Theta and zeta functions
            Reading: Section 5.3

            Monday, March 23 and Wednesday, March 25
            Classes canceled by university.

            Monday, March 30
            Distributions: definitions and examples
            Reading: Strichartz, Chapter 1 and Osgood, Chapter 4.4

            Wednesday, April 1
            Distributions: differentiation
            Reading: Strichartz, Chapter 2 and Osgood, Chapter 4.6

            Monday, April 6
            Distributions: Fourier transforms
            Reading: Strichartz, Chapter 4 and Osgood, Chapter 4.5

            Wednesday, April 8
            Distributions: Convolution and solutions of differential equations
            Reading: Strichartz, Chapter 5 and Osgood, Chapter 4.7

            Monday, April 13
            Fourier transforms in higher dimensions
            Reading: Sections 6.1,6.2,6.4

            Wednesday, April 15
            More Fourier transforms in higher dimensions, applications to PDEs.
            Reading: Sections 6.1,6.2,6.4

            Monday, April 20
            Heat equation in higher dimension, wave equation in d=1
            Reading: Section 6.3

            Wednesday, April 22
            Wave equation in higher dimensions
            Reading: Section 6.3

            Monday, April 27
            Fourier analysis on Z(N)
            Reading: Section 7.1

            Wednesday, April 29
            Fourier analysis for commutative groups
            Reading: Section 7.2

            Monday, May 4
            Some number theory, Dirichlet's theorem
            Reading: Chapter 8

            Monday, May 11
            Take home exam due

            Exams

            There will be a midterm exam, and a take home final exam.

            Your final grade for the course will be a pass fail grade roughly determined 25% by assignments, 50% by the midterm, 25% by the take home final.

            كتاب مدرسي

            Elias Stein and Rami Shakarchi
            Fourier Analysis: An Introduction
            Princeton University Press, 2003

            For errata in this book, see here and here.

            For material covered in the classes after class moved to online only, lecture notes are at
            Fourier Analysis Notes, Spring 2020

            For distributions, you should look at

            Osgood, Lectures on the Fourier Transform and its Applications

            which is available through the Columbia library system, should be here

            I should always be available after class (after a lunch break) in my office (Math 421), so 2-3pm. Feel free to come by Math 421 at any time and I will likely have some time to talk, or make an appointment by emailing me.

            The TA for the course is Maithreya Sitaraman ([email protected])


            Other Books and Online Resources

            Besides the course textbook, some other textbooks at a similar level that you might find useful are

            Howell, Principles of Fourier Analysis
            Osgood, Lectures on the Fourier Transform and its Applications
            Kammler, A First Course in Fourier Analysis
            Strichartz, A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms
            Walker, The Theory of Fourier Series and Integrals
            Tolstov, Fourier Series
            Folland, Fourier Analysis and its Applications
            K rner, Fourier Analysis
            Brown and Churchill, Fourier Series and Boundary Value Problems
            Dym and McKean, Fourier Series and Integrals
            Vretblad, Fourier Analysis and its Applications
            Dyke, An Introduction to Laplace Transforms and Fourier Series
            Duistermaat and Kolk, Distributions


            Exercises 3.8

            Ex 3.8.1 Construct the correspondence between

            a) $U_<21>$ and $U_<3> imes U_<7>$b) $U_<30>$ and $U_<5> imes U_<6>$

            Ex 3.8.2 Given the following values of $a$, $b$ and the element $([y],[z])$ of $U_a imes U_b$, use the Euclidean Algorithm to find the corresponding element of $U_n$.

            a) $a=7$, $b= 11$, $([4], [9])$b) $a= 12$, $b= 17$, $([11],[2])$

            Ex 3.8.3 Compute the following:

            c) $phi ( 2^3cdot 5^2cdot 7^5cdot 11^3)$

            Ex 3.8.4 Suppose in the correspondence between $U_<175>$ and $U_<25> imes U_7$ that $[x]$ corresponds to $([13], [2])$. What does $[x]^2$ correspond to? What does $[x]^<-1>$ correspond to?

            Ex 3.8.5 The divisors of $6$ are $1$, $2$, $3$, $6$. Observe that $ phi (1)+phi (2)+phi (3)+phi (6)= 1 + 1 + 2 + 2 = 6. $ Perform a similar computation with $6$ replaced by $10$.

            Ex 3.8.6 Find all $a$ such that $phi (a)=6$.

            Ex 3.8.7 If $a|b$, prove $phi (a)|phi (b)$.

            Ex 3.8.8 What primes can be expressed in the form $phi (n)$ for some $n$?

            Ex 3.8.9 Prove that $displaystylephi(n)=nprod_ig(1-<1over p>ig)$ the product is over all primes $p$ that divide $n$.

            Ex 3.8.10 Prove Theorem 3.8.11.

            Ex 3.8.11 Find all $n$ such that $phi(n)$ is odd, and prove that you have found all such $n$.

            Ex 3.8.12 In the proof of theorem 3.8.7, we claimed that if $n=ab$ then $(x,n)=1$ if and only if $(x,a)=1$ and $(x,b)=1$. Prove this.


            List of Surface Area Worksheets

            Finding the surface area of 3D figures using nets worksheets assist students in visualizing the surface of solid shapes whose nets are sketched on grids. Add on to their practice in determining the SA of the nets of 3D shapes like cylinders, cones, and pyramids, and in drawing the nets of solid figures too.

            Start off with counting unit squares on an isometric paper, follow up by drawing the correct number of squares, and then find the SA of rectangular prisms by counting the squares scaled to varied units. These interesting exercises make the surface area by counting squares pdfs a compulsive print for your grade 5 and grade 6 students.

            Page through these surface area of a cube exercises to practice computing the total area occupied by the cubes with edge length offered as integers, decimals and fractions. Included here are pdfs to find the missing edge length using the SA and more.

            Surface area of rectangular prisms handouts are a sure-fire hit in every grade 6, grade 7, and grade 8 geometry curriculum. Find the SA using the height, width, and length, and extend your practice to finding the missing dimensions as well.

            Lay a strong foundation in decomposing shapes with these printable surface area of L-shaped rectangular prism worksheets. Solve for surface area of independent 3D shapes, add them, and subtract the area of the face that connects the rectangular blocks.

            Expedite practice calculating the surface area of triangular prisms with these worksheet pdfs, rendering the attributes of the triangular bases and rectangular side faces of the figure, in integers and decimals.

            The surface area of a cylinder pdfs feature solid shapes, each made up of a curved surface with two circular bases. Recall the formula for SA of a cylinder, plug in the integer, decimal, or fractional radius measures in the formula 2πrh + 2πr 2 and compute.

            A mix of rectangular prisms, triangular prisms, and cylinders is what these printable worksheets have in store for your middle and high school learners. Consider memorizing the SA formulas, apply the one relevant to the solid shape, substitute the dimensions and solve.

            Give your 6th grade, 7th grade, and 8th grade students an edge over their peers with these surface area of cones exercises. Supplying the values of the dimensions in the formula and calculating the surface area of cones is all that is expected of learners.

            Build fluency and competence with this collection of surface area of spheres and hemispheres worksheets. Get students to find the TSA of the hemispheres and CSA of the spheres by substituting the dimensions in relevant formulas.

            Handle these printable surface area of pyramid practice sheets with great dexterity. Learn the know-how of finding the surface area of pyramids applying relevant formulas and substituting the dimensions accordingly.

            How well do your 8th grade and high school students remember the SA formulas of solid shapes like cubes, cones, cylinders, spheres, hemispheres, prisms and pyramids? Check for yourself with these surface area of solid shapes revision pdfs.

            Tee up to decompose each combined shape, find the sum of the SA of individual 3D shapes, subtract the area of the common parts, and determine the SA like a pro with this set of printable surface area of composite shapes worksheets.


            Two Common Errors

            If you ask Python about a variable that has not been defined, you get an error. As you can see, we get an error message saying NameError: name 'trouble' is not defined . Sometimes you can get errors like this from simple typos: if you define a variable address=32 , then try to print(adress) , the same type of error occurs. Another error has to do with accidentally swapping the sides of an = statement. The first line is fine but the second line causes an error: Python thinks the second line 4 = x is trying to change the value of 4 , but you are only allowed to change the values of variables, and 4 is not a variable. While A = B and B = A are the same in mathematics, they are different in programming.


            A First Look at Rigorous Probability Theory

            This graduate-level probability textbook was originally published by World Scientific Publishing Co. in 2000 (subsequent printings 2003, 2005, 2006), with a second edition published in 2006 (subsequent printings 2007, 2009, 2010, 2011, 2013). It may be ordered for U.S. $33 (cheap!) directly from the publisher, or from e.g. amazon.ca or amazon.com or amazon.co.uk or indigo.ca or Kindle. (Apparently it is something of a bestseller.)

            Below are some reviews and the preface and second-edition preface and table of contents. See also the errata in PDF / postscript (or the first edition errata in PDF / postscript).

            SOME REVIEWS

            FROM Publisher's Blurb:

            FROM Math Reviews:

            This book is an introduction to probability theory using measure theory. It provides mathematically complete proofs of all the essential introductory results of probability and measure theory.

            The book is divided into fifteen sections and two appendices. The first six sections contain the essential core of measure-theoretic probability theory: sigma-algebras construction of probability measures random variables expected values inequalities and laws of large numbers and distributions of random variables. The following two sections introduce dynamic aspects of probability models: stochastic processes are introduced using gambling games as the motivating example and discrete Markov chains are discussed in some detail. The following section complements the results with measure-theoretic flavor by discussing and proving results such as the dominated convergence theorem and Fubini's theorem. Sections 10 to 14 contain a collection of further topics including weak convergence, characteristic functions (together with a proof of the central limit theorem), decomposition of probability laws, conditional probability and expectation and martingales. The final section then provides an appetizer for further topics in the subject of stochastic processes and applications. It contains material on Markov chains on general state spaces, diffusions and stochastic integrals, and the Black-Scholes formula. The appendices provide mathematical background and a guide to further reading.

            The book is certainly well placed to establish itself as a core reading in measure-theoretic probability. However, a more complete and advanced book, such as [P. Billingsley, Probability and measure, Third edition, Wiley, New York, 1995 MR 95k:60001], might be needed as a complementary source for graduate students in mathematics and statistics. Furthermore, although the text contains a variety of excellent exercises, students from economics, computer science, engineering, etc., might find the addition of more applied examples and exercises beneficial.

            I found this little book delightful reading and a worthwhile addition to the existing literature.

            Reviewed by Rüdiger Kiesel

            FROM Math Reviews (re Second Edition):

            The reader will get basic ideas on most fundamental topics in probability theory in a detailed (as far as the proofs are concerned), mathematically rigorous and very readable way. [. ] The author presents a very good selection on a mere 219 pages. [. ]

            Chapter 15 presents a nice heuristic introduction to Markov chains with general state space, continuous time Markov processes, Brownian motion, diffusions, and stochastic integrals.

            Reviewed by Dalibor Volny

            FROM amazon.com customer reviews:

            This is a marvelous primer on measure-theoretic probability. I came across it a couple of years after taking a course based on Chung's famous text ("A Course in Prob. Theory") and found it to be an excellent book for review and remediation--that is, it helped me get a better overview of the material I had already learned and it helped me learn topics such as, say, uniform integrability, that didn't sink in too well the first time around.

            According to the preface, the author prepared most of the book as supplemental class notes for the benefit of his students in a course whose main text was, if I recall correctly, Billingsley's excellent "Probability and Measure". The students were so enthusiastic about the usefulness of Professor Rosenthal's supplemental info that they insisted he publish it, despite his objection that the book wasn't original enough to warrant entry into an already crowded field. Well, the students made the right call: Rosenthal's clear and concise text will, I think, help almost any student learn measure-theoretic probability more efficiently. I'd also recommend it to folks who need a concise review of measure-theoretic probability.


            (5 stars) Best Probability book ever!
            July 10, 2006
            Reviewer: Thomas R. Fielden (Portland, OR USA)

            As a graduate student in mathematics I appreciate the rigorous and no nonsense treatment of the subject. I'm am using this text to study for my Ph.D. qualifying exam in statistics. It's explaining statistics in a language I understand.


            (5 stars) A gem.
            July 17, 2007
            Reviewer: M. Henri De Feraudy (France)

            This is my bedside book at the present time. It's compact, written with immense respect for the reader and even covers some financial applications.

            It's recalling the measure theory I learned as an undergraduate with the right style.

            So much better than some of the "Probabilty from dummies" I have put away.

            When I finish the book I hope to move on to some of the heavier books with a clear idea of where I am going.


            (5 stars) A delightful read and a great introduction.
            June 12, 2009
            Reviewer: A customer

            I took this book from the library during a course in measure-theoretic probability, and how lucky I was to come across it!

            A very well structured book, the choice of material (for an introduction) is excellent. As the title suggests, the book is rather rigorous (most results are with proofs, which helps understand the theory better), and at the same time the author does a good job at motivating the introduction of the mathematical concepts required to understand (rigorous) probability.

            The best part is that, for any mathematician, this book will also be a lot of fun to read!

            I would like to sincerely congratulate the author for making something this really good.

            FROM Willmott Forums:

            FROM amazon.com Graduate Probability Books Listmania:

            PREFACE TO THE FIRST EDITION

            This text is intended to answer that need. It provides an introduction to rigorous (i.e., mathematically precise) probability theory using measure theory. At the same time, I have tried to make it brief and to the point, and as accessible as possible. In particular, probabilistic language and perspective are used throughout, with necessary measure theory introduced only as needed.

            I have tried to strike an appropriate balance between rigorously covering the subject, and avoiding unnecessary detail. The text provides mathematically complete proofs of all of the essential introductory results of probability theory and measure theory. However, more advanced and specialised areas are ignored entirely or only briefly hinted at. For example, the text includes a complete proof of the classical Central Limit Theorem, including the necessary Continuity Theorem for characteristic functions. However, the Lindeberg Central Limit Theorem and Martingale Central Limit Theorem are only briefly sketched and are not proved. Similarly, all necessary facts from measure theory are proved before they are used. However, more abstract and advanced measure theory results are not included. Furthermore, the measure theory is almost always discussed purely in terms of probability, as opposed to being treated as a separate subject which must be mastered before probability theory can be studied.

            I hesitated to bring these notes to publication. There are many other books available which treat probability theory with measure theory, and some of them are excellent. For a partial list see Subsection B.3 on page 169. (Indeed, the book by Billingsley was the textbook from which I taught before I started writing these notes. While much has changed since then, the knowledgeable reader will still notice Billingsley's influence in the treatment of many topics herein. The Billingsley book remains one of the best sources for a complete, advanced, and technically precise treatment of probability theory with measure theory.) In terms of content, therefore, the current text adds very little indeed to what has already been written. It was only the reaction of certain students, who found the subject easier to learn from my notes than from longer, more advanced, and more all-inclusive books, that convinced me to go ahead and publish. The reader is urged to consult other books for further study and additional detail.

            There are also many books available (see Subsection B.2) which treat probability theory at the undergraduate, less rigorous level, without the use of general measure theory. Such texts provide intuitive notions of probabilities, random variables, etc., but without mathematical precision. In this text it will generally be assumed, for purposes of intuition, that the student has at least a passing familiarity with probability theory at this level. Indeed, Section 1 of the text attempts to link such intuition with the mathematical precision to come. However, mathematically speaking we will not require many results from undergraduate-level probability theory.

            Structure. The first six sections of this book could be considered to form a "core" of essential material. After learning them, the student will have a precise mathematical understanding of probabilities and sigma-algebras random variables, distributions, and expected values and inequalities and laws of large numbers. Sections 7 and 8 then diverge into the theory of gambling games and Markov chain theory. Section 9 provides a bridge to the more advanced topics of Sections 10 through 14, including weak convergence, characteristic functions, the Central Limit Theorem, Lebesgue Decomposition, conditioning, and martingales.

            The final section, Section 15, provides a wide-ranging and somewhat less rigorous introduction to the subject of general stochastic processes. It leads up to diffusions, Ito's Lemma, and finally a brief look at the famous Black-Sholes equation from mathematical finance. It is hoped that this final section will inspire readers to learn more about various aspects of stochastic processes.

            Appendix A contains basic facts from elementary mathematics. This appendix can be used for review and to gauge the book's level. In addition, the text makes frequent reference to Appendix A, especially in the earlier sections, to ease the transition to the required mathematical level for the subject. It is hoped that readers can use familiar topics from Appendix A as a springboard to less familiar topics in the text.

            Finally, Appendix B lists a variety of references, for background and for further reading.

            Exercises. The text contains a number of exercises. Those very closely related to textual material are inserted at the appropriate place. Additional exercises are found at the end of each section, in a separate subsection. I have tried to make the exercises thought provoking without being too difficult. Hints are provided where appropriate. Rather than always asking for computations or proofs, the exercises sometimes ask for explanations and/or examples, to hopefully clarify the subject matter in the student's mind.

            Prerequisites. As a prerequisite to reading this text, the student should have a solid background in basic undergraduate-level real analysis (ليس including measure theory). In particular, the mathematical background summarised in Appendix A should be very familiar. If it is not, then books such as those in Subsection B.1 should be studied first. It is also helpful, but not essential, to have seen some undergraduate-level probability theory at the level of the books in Subsection B.2.

            Further reading. For further reading beyond this text, the reader should examine the similar but more advanced books of Subsection B.3. To learn additional topics, the reader should consult the books on pure measure theory of Subsection B.4, and/or the advanced books on stochastic processes of Subsection B.5, and/or the books on mathematical finance of Subsection B.6. I would be content to learn only that this text has inspired students to look at more advanced treatments of the subject.

            شكر وتقدير. I would like to thank several colleagues for encouraging me in this direction, in particular Mike Evans, Andrey Feuerverger, Keith Knight, Omiros Papaspiliopoulos, Jeremy Quastel, Nancy Reid, and Gareth Roberts. Most importantly, I would like to thank the many students who have studied these topics with me their questions, insights, and difficulties have been my main source of inspiration.

            Second Printing (2003). For the second printing, a number of minor errors have been corrected. Thanks to Tom Baird, Meng Du, Avery Fullerton, Longhai Li, Hadas Moshonov, Nataliya Portman, and Idan Regev for helping to find them.

            Third Printing (2005). A few more minor errors were corrected, with thanks to Samuel Hikspoors, Bin Li, Mahdi Lotfinezhad, Ben Reason, Jay Sheldon, and Zemei Yang.

            PREFACE TO THE SECOND EDITION

            • Many small additional topics have been added, and existing topics expanded. As a result, the second edition is over forty pages longer than the first.
            • Many new exercises have been added, and some of the existing exercises have been improved or "cleaned up". There are now about 275 exercises in total (as compared with 150 in the first edition), ranging in difficulty from quite easy to fairly challenging, many with hints provided.
            • Further details and explanations have been added in steps of proofs which previously caused confusion.
            • Several of the longer proofs are now broken up into a number of lemmas, to more easily keep track of the different steps involved, and to allow for the possibility of skipping the most technical bits while retaining the proof's overall structure.
            • A few proofs, which are required for mathematical completeness but which require advanced mathematics background and/or add little understanding, are now marked as "optional".
            • Various interesting, but technical and inessential, results are presented as remarks or footnotes, to add information and context without interrupting the text's flow.
            • The Extension Theorem now allows the original set function to be defined on a semialgebra rather than an algebra, thus simplifying its application and increasing understanding.
            • Many minor edits and rewrites were made throughout the book to improve the clarity, accuracy, and readability.

            Second Printing (2007). A few very minor corrections were made, with thanks to Joe Blitzstein and Emil Zeuthen.


            شاهد الفيديو: محاضره 31 فصل رابع تمارين 4-6 المساحات رياضيات السادس العلمي غيداء طارق الشمري (شهر اكتوبر 2021).