مقالات

التكامل المزدوج في الإحداثيات القطبية (تمارين)


الشروط والمفاهيم

1. عند تقييم ( displaystyle int int_R f (x، y) ، dA ) باستخدام الإحداثيات القطبية ، يتم استبدال (f (x، y) ) بـ _______ ويتم استبدال (dA ) بـ _______.

إجابه:
(f (x، y) ) يتم استبداله بـ (f (r cos theta، r sin theta) ) ويتم استبدال (dA ) بـ (ص ، د ، د ثيتا ).

2. لماذا قد يهتم المرء بتقييم تكامل مزدوج مع الإحداثيات القطبية؟

تحديد المناطق القطبية

في التدريبات من 3 إلى 6 ، عبر عن المنطقة (ص ) بالإحداثيات القطبية.

3) (R ) هي منطقة قرص نصف القطر 2 المتمركزة في الأصل الذي يقع في الربع الأول.

إجابه:
(R = big {(r، theta) ، | ، 0 leq r leq 2، space 0 leq theta leq frac { pi} {2} big } )

4) (R ) هي منطقة قرص نصف القطر 3 المتمركزة في الأصل.

5) (R ) هي المنطقة الواقعة بين دوائر نصف القطر 4 ونصف القطر 5 المتمركزة في الأصل الذي يقع في الربع الثاني.

إجابه:
(R = big {(r، theta) ، | ، 4 leq r leq 5، space frac { pi} {2} leq theta leq pi big } )

6) (R ) هي المنطقة التي يحدها المحور (y ) - و (x = sqrt {1 - y ^ 2} ).

7) (R ) هي المنطقة التي يحدها المحور (x ) - و (y = sqrt {2 - x ^ 2} ).

إجابه:
(R = big {(r، theta) ، | ، 0 leq r leq sqrt {2}، space 0 leq theta leq pi big } )

8) (R = big {(x، y) ، | ، x ^ 2 + y ^ 2 leq 4x big } )

9) (R = big {(x، y) ، | ، x ^ 2 + y ^ 2 leq 4y big } )

إجابه:
(R = big {(r، theta) ، | ، 0 leq r leq 4 space sin theta، space 0 leq theta leq pi big } )

في التدريبات 10-15 ، يتم إعطاء الرسم البياني للمنطقة المستطيلة القطبية (D ). التعبير عن (د ) بالإحداثيات القطبية.

10)

11)

إجابه:
(D = big {(r، theta) ، | ، 3 leq r leq 5، space frac { pi} {4} leq theta leq frac { pi} {2} كبير } )

12)

13)

إجابه:
(D = big {(r، theta) ، | ، 3 leq r leq 5، space frac {3 pi} {4} leq theta leq frac {5 بي} {4} كبير } )

14) في الرسم البياني التالي ، تقع المنطقة (D ) أدناه (y = x ) ويحدها (x = 1 ، space x = 5 ) ، و (y = 0 ) .

15) في الرسم البياني التالي ، المنطقة (D ) يحدها (y = x ) و (y = x ^ 2 ).

إجابه:
(D = big {(r، theta) ، | ، 0 leq r leq tan theta space sec theta، space 0 leq theta leq frac { pi } {4} كبير } )

إيجاد قيمة التكاملات المزدوجة القطبية

في التدريبات 16-25 ، احسب التكامل المزدوج ( displaystyle iint_R f (x، y) ، dA ) على المنطقة القطبية المستطيلة (R ).

16) (f (x، y) = x ^ 2 + y ^ 2 )، (R = big {(r، theta) ، | ، 3 leq r leq 5، space 0 leq theta leq 2 pi big } )

17) (f (x، y) = x + y )، (R = big {(r، theta) ، | ، 3 leq r leq 5، space 0 leq ثيتا leq 2 بي كبير } )

إجابه:
(0)

18) (f (x، y) = x ^ 2 + xy، space R = big {(r، theta) ، | ، 1 leq r leq 2، space pi leq ثيتا ليق 2 بي كبير } )

19) (f (x، y) = x ^ 4 + y ^ 4، space R = big {(r، theta) ، | ، 1 leq r leq 2، space frac {3 pi} {2} leq theta leq 2 pi big } )

إجابه:
( frac {63 pi} {16} )

20) (f (x، y) = sqrt [3] {x ^ 2 + y ^ 2} ) ، حيث (R = big {(r، theta) ، | ، 0 leq r leq 1 ، space frac { pi} {2} leq theta leq pi big } ).

21) (f (x، y) = x ^ 4 + 2x ^ 2y ^ 2 + y ^ 4 ) حيث (R = big {(r، theta) ، | ، 3 leq r leq 4 ، space frac { pi} {3} leq theta leq frac {2 pi} {3} big } ).

إجابه:
( frac {3367 pi} {18} )

22) (f (x، y) = sin ( arctan frac {y} {x}) ) ، حيث (R = big {(r، theta) ، | ، 1 leq r leq 2 ، space frac { pi} {6} leq theta leq frac { pi} {3} big } )

23) (f (x، y) = arctan left ( frac {y} {x} right) ) ، حيث (R = big {(r، theta) ، | ، 2 leq r leq 3 ، space frac { pi} {4} leq theta leq frac { pi} {3} big } )

إجابه:
( frac {35 pi ^ 2} {576} )

24) ( displaystyle iint_R e ^ {x ^ 2 + y ^ 2} left [1 + 2 space arctan left ( frac {y} {x} right) right] ، dA، space R = big {(r، theta) ، | ، 1 leq r leq 2، space frac { pi} {6} leq theta frac { pi} {3 }كبير})

25) ( displaystyle iint_R left (e ^ {x ^ 2 + y ^ 2} + x ^ 4 + 2x ^ 2y ^ 2 + y ^ 4 right) arctan left ( frac {y} { x} right) ، dA، space R = big {(r، theta) ، | ، 1 leq r leq 2، space frac { pi} {4} leq ثيتا leq فارك { بي} {3} كبير } )

إجابه:
( frac {7} {576} pi ^ 2 (21 - e + e ^ 4) )

تحويل التكاملات المزدوجة إلى الصيغة القطبية

في التدريبات من 26 إلى 29 ، تم تحويل التكاملات إلى إحداثيات قطبية. تحقق من صحة المتطابقات واختر أسهل طريقة لتقييم التكاملات ، في الإحداثيات المستطيلة أو القطبية.

26) ( displaystyle int_1 ^ 2 int_0 ^ x (x ^ 2 + y ^ 2) ، dy space dx = int_0 ^ { frac { pi} {4}} int _ { sec theta} ^ {2 space sec theta} r ^ 3 ، dr space d theta )

27) ( displaystyle int_2 ^ 3 int_0 ^ x frac {x} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} ، dy space dx = int_0 ^ { pi / 4} int_0 ^ { tan theta space sec theta} ، r space cos theta space dr space d theta )

إجابه:
( frac {5} {4} ln (3 + 2 sqrt {2}) )

28) ( displaystyle int_0 ^ 1 int_ {x ^ 2} ^ x frac {1} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} ، dy space dx = int_0 ^ { pi / 4} displaystyle int_0 ^ { tan theta space sec theta} space dr space d theta )

29) ( displaystyle int_0 ^ 1 int_ {x ^ 2} ^ x frac {y} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} ، dy space dx = int_0 ^ { pi / 4} displaystyle int_0 ^ { tan theta space sec theta} ، r space sin theta space dr space d theta )

إجابه:
( frac {1} {6} (2 - sqrt {2}) )

في التدريبات 30 - 37 ، ارسم منطقة التكامل ، (R ) ، وسم جميع حدود التكامل ، وقم بتحويل التكاملات إلى إحداثيات قطبية وتقييمها.

30) ( displaystyle int_0 ^ 3 int_0 ^ { sqrt {9-y ^ 2}} ، dx space dy )

31) ( displaystyle int_0 ^ 2 int _ {- sqrt {4-y ^ 2}} ^ { sqrt {4-y ^ 2}} ، dx space dy )

إجابه:
( displaystyle int_0 ^ { pi} int_0 ^ 2 r ^ 5 ، dr space d theta quad = quad frac {32 pi} {3} )

32) ( displaystyle int_0 ^ 1 int_0 ^ { sqrt {1-x ^ 2}} (x + y) space dy space dx )

33) ( displaystyle int_0 ^ 4 int _ {- sqrt {16-x ^ 2}} ^ { sqrt {16-x ^ 2}} sin (x ^ 2 + y ^ 2) space dy مساحة dx )

إجابه:
( displaystyle int _ {- pi / 2} ^ { pi / 2} int_0 ^ 4 ، r space sin (r ^ 2) space dr space d theta quad = quad بي مساحة خطيئة ^ 2 8 )

34) ( displaystyle int_0 ^ 5 int _ {- sqrt {25-x ^ 2}} ^ { sqrt {25-x ^ 2}} sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ، dy ، dx )

35) ( displaystyle int _ {- 4} ^ 4 int _ {- sqrt {16-y ^ 2}} ^ {0} (2y-x) ، dx ، dy )

إجابه:
( displaystyle int _ { frac { pi} {2}} ^ { frac {3 pi} {2}} int_0 ^ {4} big (2r sin theta - r cos theta كبير) ، r ، د الفضاء د ثيتا رباعي = كواد فارك {128} {3} )

36) ( displaystyle int_0 ^ 2 int_ {y} ^ { sqrt {8-y ^ 2}} (x + y) ، dx ، dy )

37) ( displaystyle int _ {- 2} ^ {- 1} int_ {0} ^ { sqrt {4-x ^ 2}} (x + 5) ، dy ، dx + int _ {- 1 } ^ 1 int _ { sqrt {1-x ^ 2}} ^ { sqrt {4-x ^ 2}} (x + 5) ، dy ، dx + int_1 ^ 2 int_0 ^ { sqrt { 4-x ^ 2}} (x + 5) ، dy ، dx )

إجابه:
( displaystyle int_ {0} ^ { pi} int_1 ^ {2} big (r cos theta + 5 big) ، r ، dr space d theta quad = quad فارك {15 pi} {2} )

38) احسب التكامل ( displaystyle iint_D r ، dA ) حيث (D ) هي المنطقة التي يحدها المحور القطبي والنصف العلوي للقلب (r = 1 + cos theta ) .

39) أوجد مساحة المنطقة (D ) التي يحدها المحور القطبي والنصف العلوي للقلب (r = 1 + cos theta ).

إجابه:
( فارك {3 بي} {4} )

40) احسب التكامل ( displaystyle iint_D r ، dA، ) حيث (D ) هي المنطقة التي يحدها جزء من الوردة ذات الأربع أوراق (r = sin 2 theta ) الواقعة في الربع الأول (انظر الشكل التالي).

41) أوجد المساحة الإجمالية للمنطقة المحاطة بالوردة ذات الأربع أوراق (r = sin 2 theta ) (انظر الشكل في التمرين السابق).

إجابه:
( frac { pi} {2} )

42) أوجد مساحة المنطقة (D ) وهي المنطقة التي يحدها (y = sqrt {4 - x ^ 2} )، (x = sqrt {3} )، (x = 2 ) و (ص = 0 ).

43) أوجد مساحة المنطقة (D ) ، وهي المنطقة الموجودة داخل القرص (x ^ 2 + y ^ 2 leq 4 ) وعلى يمين السطر (x = 1 ).

إجابه:
( frac {1} {3} (4 pi - 3 sqrt {3}) )

44) حدد متوسط ​​قيمة الوظيفة (f (x، y) = x ^ 2 + y ^ 2 ) فوق المنطقة (D ) التي يحدها المنحنى القطبي (r = cos 2 theta ) ) ، حيث (- frac { pi} {4} leq theta leq frac { pi} {4} ) (انظر الرسم البياني التالي).

45) حدد متوسط ​​قيمة الوظيفة (f (x، y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) فوق المنطقة (D ) التي يحدها المنحنى القطبي (r = 3 الخطيئة 2 theta ) ، حيث (0 leq theta leq frac { pi} {2} ) (انظر الرسم البياني التالي).

إجابه:
( فارك {16} {3 pi} )

46) ابحث عن حجم المادة الصلبة الموجودة في الثماني الأول والمحددة بالمكافئ (z = 1 - 4x ^ 2 - 4y ^ 2 ) والمستويات (x = 0، space y = 0 ) ، و (ض = 0 ).

47) أوجد حجم المادة الصلبة المحددة بواسطة مكافئ (z = 2 - 9x ^ 2 - 9y ^ 2 ) والمستوى (z = 1 ).

إجابه:
( frac { pi} {18} )

48)

  1. ابحث عن حجم الصلب (S_1 ) الذي يحده الأسطوانة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) والمستويات (z = 0 ) و (z = 1 ).
  2. ابحث عن حجم الصلب (S_2 ) خارج المخروط المزدوج (z ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) داخل الأسطوانة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) ، وفوق الطائرة (ض = 0 ).
  3. ابحث عن حجم المادة الصلبة داخل المخروط (z ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) وأسفل المستوى (z = 1 ) بطرح أحجام المواد الصلبة (S_1 ) و ( S_2 ).

49)

  1. ابحث عن حجم المادة الصلبة (S_1 ) داخل كرة الوحدة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 ) وفوق المستوى (z = 0 ).
  2. أوجد حجم الصلب (S_2 ) داخل المخروط المزدوج ((z - 1) ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) وفوق المستوى (z = 0 ).
  3. أوجد حجم المادة الصلبة خارج المخروط المزدوج ((z - 1) ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) وداخل الكرة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 ) .
إجابه:
أ. ( frac {2 pi} {3} ) ؛ ب. ( frac { pi} {2} ) ؛ ج. ( frac { pi} {6} )

في التدريبات 50-51 ، يتم تقديم تكاملات مزدوجة خاصة مناسبة بشكل خاص للتقييم في الإحداثيات القطبية.

50) يمكن وصف سطح المخروط الدائري الأيمن بارتفاع (h ) ونصف قطر القاعدة (a ) بالمعادلة (f (x، y) = hh sqrt { frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {a ^ 2}} ) ، حيث يقع رأس المخروط عند ((0،0، h) ) والقاعدة الدائرية تقع في ( xy ) - الطائرة ، المتمركزة في الأصل.
تأكد من أن حجم المخروط الدائري الأيمن مع الارتفاع (h ) ونصف قطر القاعدة (a ) هو (V = frac {1} {3} pi a ^ 2h ) بالتقييم ( displaystyle int int_R f (x، y) ، dA ) في الإحداثيات القطبية.

51) ضع في اعتبارك ( displaystyle int int_R e ^ {- (x ^ 2 + y ^ 2)} ، dA. )
(أ) لماذا يصعب تقييم هذا التكامل في إحداثيات مستطيلة ، بغض النظر عن المنطقة (R )؟
(ب) دع (R ) هي المنطقة التي تحدها دائرة نصف القطر (أ ) المتمركزة في الأصل. احسب التكامل المزدوج باستخدام الإحداثيات القطبية.
(ج) خذ حد إجابتك من (ب) ، مثل (a to infty ). ماذا يعني هذا بشأن الحجم الموجود أسفل سطح (e ^ {- (x ^ 2 + y ^ 2)} ) على المستوى بأكمله (xy ) -؟

بالنسبة للتمرينين التاليين ، ضع في اعتبارك الحلقة الكروية ، وهي عبارة عن كرة بفتحة أسطوانية مقطوعة بحيث يمر محور الأسطوانة عبر مركز الكرة (انظر الشكل التالي).

52) إذا كان نصف قطر الكرة 4 وكان نصف قطر الأسطوانة 2 ، فأوجد حجم الحلقة الكروية.

53) ثقب أسطواني قطره 6 سم يتم ثقبه في كرة نصف قطرها 5 سم بحيث يمر محور الأسطوانة عبر مركز الكرة. أوجد حجم الحلقة الكروية الناتجة.

إجابه:
( frac {256 pi} {3} space text {cm} ^ 3 )

54) أوجد حجم المادة الصلبة التي تقع تحت المخروط المزدوج (z ^ 2 = 4x ^ 2 + 4y ^ 2 ) ، داخل الأسطوانة (x ^ 2 + y ^ 2 = x ) ، وفوق الطائرة (ض = 0 ).

55) أوجد حجم المادة الصلبة التي تقع تحت المكافئ (z = x ^ 2 + y ^ 2 ) ، داخل الأسطوانة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) وفوق المستوى (z = 0 ).

إجابه:
( فارك {3 بي} {32} )

56) أوجد حجم المادة الصلبة التي تقع تحت المستوى (x + y + z = 10 ) وفوق القرص (x ^ 2 + y ^ 2 = 4x ).

57) أوجد حجم المادة الصلبة التي تقع تحت المستوى (2x + y + 2z = 8 ) وفوق قرص الوحدة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ).

إجابه:
(4 بي )

58) الوظيفة الشعاعية (f ) هي وظيفة تعتمد قيمتها عند كل نقطة فقط على المسافة بين تلك النقطة وأصل نظام الإحداثيات ؛ أي (f (x، y) = g (r) ) ، حيث (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ). أظهر أنه إذا كانت (f ) دالة شعاعية مستمرة ، إذن

[ iint_D f (x، y) dA = ( theta_2 - theta_1) [G (R_2) - G (R_1)]، space حيث space G '(r) = rg (r) ] و ((x، y) in D = {(r، theta) | R_1 leq r leq R_2، space 0 leq theta leq 2 pi} ) ، مع (0 leq R_1 < R_2 ) و (0 leq theta_1 < theta_2 leq 2 pi ).

59) استخدم المعلومات من التمرين السابق لحساب التكامل ( displaystyle iint_D (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 3 dA، ) حيث (D ) هو قرص الوحدة.

إجابه:
( frac { pi} {4} )

60) لنكن (f (x، y) = frac {F '(r)} {r} ) دالة شعاعية مستمرة محددة في المنطقة الحلقيّة (D = {(r، theta) | R_1 leq r leq R_2 ، space 0 leq theta 2 pi} ) ، حيث (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) ، (0

بيّن أن ( displaystyle iint_D f (x، y) ، dA = 2 pi [F (R_2) - F (R_1)].)

61) طبق التمرين السابق لحساب ( displaystyle iint_D frac {e ^ { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} ، dx space dy ) حيث (D ) هي المنطقة الحلقية بين دوائر نصف القطر 1 و 2 الواقعة في الربع الثالث.

إجابه:
( frac {1} {2} pi e (e - 1) )

62) لنكن (f ) دالة مستمرة يمكن التعبير عنها في الإحداثيات القطبية كدالة لـ ( theta ) فقط ؛ أي (f (x، y) = h ( theta) ) ، حيث ((x، y) in D = {(r، theta) | R_1 leq r leq R_2، space theta_1 leq theta leq theta_2} ) مع (0 leq R_1

بيّن أن ( displaystyle iint_D f (x، y) ، dA = frac {1} {2} (R_2 ^ 2 - R_1 ^ 2) [H ( theta_2) - H ( theta_1)] ) ، حيث (H ) هو مشتق عكسي لـ (ح ).

63) طبق التمرين السابق لحساب التكامل ( displaystyle iint_D frac {y ^ 2} {x ^ 2} ، dA، ) حيث (D = big {(r، theta) ، | ، 1 leq r leq 2 ، space frac { pi} {6} leq theta leq frac { pi} {3} big }. )

إجابه:
( sqrt {3} - frac { pi} {4} )

64) لنكن (f ) دالة مستمرة يمكن التعبير عنها في الإحداثيات القطبية كدالة لـ ( theta ) فقط ؛ هذا هو (f (x، y) = g (r) h ( theta) ) ، حيث ((x، y) in big {(r، theta) ، | ، R_1 leq r leq R_2 ، space theta_1 leq theta leq theta_2 big } ) مع (0 leq R_1

65) تقييم ( displaystyle iint_D arctan left ( frac {y} {x} right) sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ، dA،) حيث (D = big {(r، theta) ، | ، 2 leq r leq 3، space frac { pi} {4} leq theta leq frac { pi} {3} big } ).

إجابه:
( frac {133 pi ^ 3} {864} )

66) الغطاء الكروي هو منطقة الكرة التي تقع فوق أو أسفل مستوى معين.

أ. وضح أن حجم الغطاء الكروي في الشكل أدناه هو ( frac {1} {6} pi h (3a ^ 2 + h ^ 2) ).

ب. الجزء الكروي هو الجزء الصلب المحدد بتقاطع كرة مع مستويين متوازيين. إذا كانت المسافة بين المستويين (h ) أظهر أن حجم المقطع الكروي في الشكل أدناه هو ( frac {1} {6} pi h (3a ^ 2 + 3b ^ 2 + h ^ 2 ) ).

67) في الإحصاء ، يتم تحديد الكثافة المشتركة لحدثين مستقلين موزعين بشكل طبيعي بمتوسط ​​ ( mu = 0 ) والتوزيع القياسي ( sigma ) بواسطة (p (x، y) = frac {1} {2 pi sigma ^ 2} e ^ {- frac {x ^ 2 + y ^ 2} {2 sigma ^ 2}} ). ضع في اعتبارك ((X ، Y) ) ، الإحداثيات الديكارتية للكرة في وضع الراحة بعد تحريرها من موضع على ض-المحور نحو الطائرة (xy ). افترض أن إحداثيات الكرة يتم توزيعها بشكل طبيعي بشكل مستقل بمتوسط ​​ ( mu = 0 ) وانحراف معياري لـ ( سيجما ) (بالقدم). يُعطى احتمال أن الكرة لن تتوقف أكثر من (a ) قدم من نقطة البداية بواسطة [P [X ^ 2 + Y ^ 2 leq a ^ 2] = iint_D p (x، y) dy space dx ، ] حيث (D ) هو قرص نصف القطر (a ) المتمركز في الأصل. أظهر أن [P [X ^ 2 + Y ^ 2 leq a ^ 2] = 1 - e ^ {- a ^ 2/2 sigma ^ 2}. ]

68) التكامل غير الصحيح المزدوج [ int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ 2 + y ^ 2/2} ، dy ، dx ] يمكن تعريفه على أنه القيمة الحدية للتكاملات المزدوجة ( displaystyle iint_D e ^ {- x ^ 2 + y ^ 2/2} ، dA ) على الأقراص (D_a ) من نصف قطر (أ) تتمحور في الأصل ، حيث يزيد (أ ) بلا حدود ؛ هذا هو،

[ int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ 2 + y ^ 2/2} dy space dx = lim_ {a rightarrow infty} iint_ {D_a} e ^ {- x ^ 2 + y ^ 2/2} ، dA. ]

استخدم الإحداثيات القطبية لتوضيح أن ( displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ 2 + y ^ 2/2} ، dy ، dx = 2 pi. )

69) بيّن أن ( displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ 2/2} ، dx = sqrt {2 pi} ) باستخدام العلاقة

[ int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ 2 + y ^ 2/2} ، dy ، dx = left ( int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ 2/2} dx right) left ( int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- y ^ 2/2 } يوم يمين). ]

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.

  • المشاكل 1 و 2 و 34 - 37 و 50 - 51 مأخوذة من Apex Calculus ، الفصل 13.3
  • حرره بول سيبرغر (كلية مجتمع مونرو)

تمرين 2 تكامل مزدوج في التنسيق القطبي. V1-y² dædy V2 / 2 V2 / 2 intergal & quot dydx + ضع في اعتبارك (i) استخدم الإحداثيات القطبية لدمج التكاملات في تكامل مزدوج واحد. (2) احسب التكامل. (افترض -T & lt0 & lt1)

استخدم الإحداثيات القطبية لدمج التكاملات في تكامل مزدوج واحد.

help_outline

نسخ الصورةقريب

تمرين 2 تكامل مزدوج في التنسيق القطبي. V1-y² dædy V2 / 2 V2 / 2 intergal & quot dydx + ضع في اعتبارك (i) استخدم الإحداثيات القطبية لدمج التكاملات في تكامل مزدوج واحد. (2) احسب التكامل. (افترض -T & lt0 & lt1)


5.3 التكاملات المزدوجة في الإحداثيات القطبية

يكون تقييم التكاملات المزدوجة أسهل كثيرًا في بعض الأحيان إذا غيرنا إحداثيات مستطيلة إلى إحداثيات قطبية. ومع ذلك ، قبل أن نصف كيفية إجراء هذا التغيير ، نحتاج إلى إنشاء مفهوم التكامل المزدوج في منطقة مستطيلة قطبية.

مناطق التكامل المستطيلة القطبية

باستخدام نفس الفكرة لجميع المستطيلات الفرعية وجمع أحجام المربعات المستطيلة ، نحصل على مجموع ريمان مزدوج

كما رأينا من قبل ، نحصل على تقريب أفضل للحجم القطبي للمادة الصلبة فوق المنطقة R R عندما نترك m m و n n يصبحان أكبر. ومن ثم ، نحدد الحجم القطبي على أنه حد مجموع ريمان المزدوج ،

يصبح هذا تعبيرًا عن التكامل المزدوج.

تعريف

مرة أخرى ، تمامًا كما هو الحال في التكاملات المزدوجة على المناطق المستطيلة ، يمكن التعبير عن التكامل المزدوج فوق منطقة مستطيلة قطبية على أنه تكامل متكرر في الإحداثيات القطبية. بالتالي،

لاحظ أن جميع الخصائص المدرجة في التكامل المزدوج على المناطق المستطيلة للتكامل المزدوج في الإحداثيات المستطيلة تنطبق أيضًا على التكامل المزدوج في الإحداثيات القطبية ، لذلك يمكننا استخدامها دون تردد.

مثال 5.24

رسم منطقة مستطيلة قطبية

المحلول

الآن بعد أن قمنا برسم منطقة مستطيلة قطبية ، دعونا نوضح كيفية حساب تكامل مزدوج على هذه المنطقة باستخدام الإحداثيات القطبية.

مثال 5.25

إيجاد قيمة تكامل مزدوج على منطقة مستطيلة قطبية

المحلول

أولاً ، نرسم شكلًا مشابهًا للشكل 5.30 ولكن بنصف قطر خارجي 2. 2. من الشكل يمكننا أن نرى أن لدينا

مثال 5.26

إيجاد قيمة تكامل مزدوج بالتحويل من إحداثيات مستطيلة

المحلول

باستخدام التحويل x = r cos θ ، y = r sin θ ، x = r cos θ ، y = r sin ، و d A = r d r d θ ، d A = r d r d θ ، لدينا

مثال 5.27

إيجاد قيمة تكامل مزدوج بالتحويل من إحداثيات مستطيلة

المحلول

ومن ثم ، باستخدام التحويل x = r cos θ ، y = r sin θ ، x = r cos θ ، y = r sin θ ، و d A = r d r d θ ، d A = r d r d θ ، لدينا

المناطق القطبية العامة للتكامل

لتقييم التكامل المزدوج لوظيفة مستمرة من خلال التكاملات المتكررة على المناطق القطبية العامة ، فإننا نعتبر نوعين من المناطق ، مشابهين للنوع الأول والنوع الثاني كما تمت مناقشته للإحداثيات المستطيلة في التكاملات المزدوجة عبر المناطق العامة. من الشائع كتابة المعادلات القطبية على النحو التالي: r = f (θ) r = f (θ) من θ = f (r) ، θ = f (r) ، لذلك نصف المنطقة القطبية العامة على أنها R = <(r ، θ) | α ≤ θ ≤ β، h 1 (θ) ≤ r ≤ h 2 (θ)> R = <(r، θ) | α ≤ θ ≤ β ، h 1 (θ) ≤ r ≤ h 2 (θ)> (انظر الشكل التالي).

تكاملات مزدوجة على المناطق القطبية العامة

مثال 5.28

تقييم تكامل مزدوج على منطقة قطبية عامة

المحلول

المناطق والأحجام القطبية

نوضح هذه الفكرة ببعض الأمثلة.

مثال 5.29

إيجاد مجلد باستخدام تكامل مزدوج

أوجد حجم المادة الصلبة الواقعة تحت المكافئ z = 1 - x 2 - y 2 z = 1 - x 2 - y 2 وفوق دائرة الوحدة على المستوى x y x y (انظر الشكل التالي).

المحلول

من خلال طريقة التكامل المزدوج ، يمكننا أن نرى أن الحجم هو التكامل المتكرر للصيغة ∬ R (1 - x 2 - y 2) d A ∬ R (1 - x 2 - y 2) d A حيث R = < (ص ، θ) | 0 ≤ ص ≤ 1 ، 0 ≤ θ ≤ 2>. R = <(ص ، θ) | 0 ≤ ص ≤ 1 ، 0 ≤ θ ≤ 2>.

تم عرض هذا التكامل من قبل في المثال 5.26 ، وبالتالي فإن الحجم هو 2 π 2 وحدة مكعبة.

مثال 5.30

إيجاد مجلد باستخدام التكامل المزدوج

أوجد حجم المادة الصلبة الواقعة تحت المكافئ z = 4 - x 2 - y 2 z = 4 - x 2 - y 2 وفوق القرص (x - 1) 2 + y 2 = 1 (x - 1) 2 + y 2 = 1 على المستوى xyxy. انظر الشكل المكافئ في الشكل 5.35 الذي يتقاطع مع الأسطوانة (x - 1) 2 + y 2 = 1 (x - 1) 2 + y 2 = 1 فوق المستوى x y x y.

المحلول

ومن ثم فإن حجم المادة الصلبة المحددة أعلاه بواسطة مكافئ z = 4 - x 2 - y 2 z = 4 - x 2 - y 2 وأدناه بواسطة r = 2 cos θ r = 2 cos θ هو

لاحظ في المثال التالي أن التكامل ليس سهلاً دائمًا مع الإحداثيات القطبية. يعتمد تعقيد التكامل على الوظيفة وأيضًا على المنطقة التي نحتاج إليها لإجراء التكامل. إذا كان للمنطقة تعبير طبيعي أكثر في الإحداثيات القطبية أو إذا كانت f f تحتوي على مشتق عكسي أبسط في الإحداثيات القطبية ، فإن التغيير في الإحداثيات القطبية يكون مناسبًا بخلاف ذلك ، استخدم إحداثيات مستطيلة.

مثال 5.31

إيجاد مجلد باستخدام تكامل مزدوج

المحلول

قم أولاً بفحص المنطقة التي نحتاج فيها إلى إنشاء التكامل المزدوج والمكافئ المصاحب.

كما ترى ، هذا التكامل معقد للغاية. لذا ، يمكننا بدلاً من ذلك حساب التكامل المزدوج في إحداثيات مستطيلة على النحو التالي

للإجابة على سؤال حول كيفية العثور على الصيغ الخاصة بأحجام المواد الصلبة القياسية المختلفة مثل كرة أو مخروط أو أسطوانة ، نريد توضيح مثال وإيجاد حجم مخروط عشوائي.

مثال 5.32

إيجاد مجلد باستخدام تكامل مزدوج

استخدم الإحداثيات القطبية لإيجاد الحجم داخل المخروط z = 2 - x 2 + y 2 z = 2 - x 2 + y 2 وأعلى مستوى x y. س ص ص الطائرة.

المحلول

نجد معادلة الدائرة بتحديد z = 0: z = 0:

∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ r = 0 r = 2 (2 - r) rdrd θ = 2 π 4 3 = 8 π 3 ∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ r = 0 r = 2 (2 - r ) rdrd θ = 2 π 4 3 = 8 π 3 وحدات مكعبة.

التحليلات

لاحظ أنه إذا أردنا إيجاد حجم مخروط عشوائي نصف قطره a وحدة وارتفاع h h وحدة ، فإن معادلة المخروط ستكون z = h - h a x 2 + y 2. z = h - h a x 2 + y 2.

لا يزال بإمكاننا استخدام الشكل 5.37 وإعداد التكامل على النحو التالي ∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ r = 0 r = a (h - h a r) r d r d θ. ∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ r = 0 r = a (h - h a r) r d r d θ.

بقياس التكامل ، نحصل على 1 3 π a 2 h. 1 3 π أ 2 ساعة.

استخدم الإحداثيات القطبية لإيجاد تكامل متكرر لإيجاد حجم المادة الصلبة المحاطة بالمكافئ z = x 2 + y 2 z = x 2 + y 2 and z = 16 - x 2 - y 2. ض = 16 - س 2 - ص 2.

كما هو الحال مع الإحداثيات المستطيلة ، يمكننا أيضًا استخدام الإحداثيات القطبية لإيجاد مناطق مناطق معينة باستخدام تكامل مزدوج. كما في السابق ، نحتاج إلى فهم المنطقة التي نريد حساب منطقتها. يمكن أن يكون رسم الرسم البياني وتحديد المنطقة مفيدًا في إدراك حدود التكامل. بشكل عام ، ستبدو صيغة المنطقة في التكامل المزدوج

مثال 5.33

إيجاد منطقة باستخدام تكامل مزدوج في الإحداثيات القطبية

احسب المساحة التي يحدها المنحنى r = cos 4 θ. ص = كوس 4 θ.

المحلول

مثال 5.34

إيجاد منطقة بين منحنيين قطبيين

أوجد المساحة التي تحيط بها الدائرة r = 3 cos θ r = 3 cos θ والقلب r = 1 + cos θ. ص = 1 + كوس θ.

المحلول

أولاً وقبل كل شيء ، ارسم الرسوم البيانية للمنطقة (الشكل 5.39).

يمكننا من خلال تماثل التمثيل البياني أن نحتاج إلى إيجاد نقاط التقاطع. يعطي تساوي المعادلتين بعضهما البعض

بقياس كل قطعة على حدة ، نجد أن المساحة هي

أوجد المساحة المغلقة داخل الشكل القلبي r = 3 - 3 sin θ r = 3 - 3 sin θ وخارج الشكل القلبي r = 1 + sin θ. ص = 1 + خطيئة θ.

مثال 5.35

تقييم تكامل مزدوج غير لائق في الإحداثيات القطبية

احسب التكامل ∬ R 2 e −10 (x 2 + y 2) d x d y. ∬ R 2 e −10 (x 2 + y 2) d x d y.

المحلول

هذا تكامل غير صحيح لأننا نتكامل على منطقة غير محدودة R 2. ص 2. في الإحداثيات القطبية ، يمكن رؤية المستوى بأكمله R 2 R 2 على أنه 0 θ ≤ 2 π ، 0 ≤ θ ≤ 2 π ، 0 ≤ r ≤ ∞. 0 ≤ ص ≤ ∞.

باستخدام التغييرات في المتغيرات من الإحداثيات المستطيلة إلى الإحداثيات القطبية ، لدينا

احسب التكامل ∬ R 2 e −4 (x 2 + y 2) d x d y. ∬ R 2 e −4 (x 2 + y 2) d x d y.

تمارين القسم 5.3

في التدريبات التالية ، عبر عن المنطقة D D في الإحداثيات القطبية.

في التدريبات التالية ، تم إعطاء الرسم البياني للمنطقة المستطيلة القطبية D D. عبر عن D D في الإحداثيات القطبية.

في الرسم البياني التالي ، المنطقة D D يحدها y = x y = x و y = x 2. ص = س 2.

في التدريبات التالية ، أوجد التكامل المزدوج ∬ R f (x، y) d A ∬ R f (x، y) d A على المنطقة القطبية المستطيلة D. د .

∬ د (ه س 2 + ص 2 + س 4 + 2 س 2 ص 2 + ص 4) أركتان (ص س) د أ ، د = <(ص ، θ) | 1 ≤ r ≤ 2، π 4 ≤ θ ≤ π 3> ∬ D (e x 2 + y 2 + x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4) arctan (y x) d A، D =

في التدريبات التالية ، تم تحويل التكاملات إلى إحداثيات قطبية. تحقق من صحة المتطابقات واختر أسهل طريقة لتقييم التكاملات ، في الإحداثيات المستطيلة أو القطبية.

∫ 1 2 ∫ 0 x (x 2 + y 2) dydx = ∫ 0 π 4 ∫ sec θ 2 sec θ r 3 drd θ ∫ 1 2 ∫ 0 x (x 2 + y 2) dydx = 0 π 4 ∫ sec θ 2 ثانية θ r 3 drd θ

∫ 2 3 ∫ 0 xxx 2 + y 2 dydx = ∫ 0 π / 4 ∫ 2 ثانية θ 3 ثوان θ r cos θ drd θ ∫ 2 3 ∫ 0 xxx 2 + y 2 dydx = ∫ 0/4 ∫ 2 ثانية θ 3 ثوانٍ θ r cos θ drd θ

∫ 0 1 ∫ x 2 x 1 x 2 + y 2 dydx = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 tan θ sec θ drd θ ∫ 0 1 ∫ x 2 x 1 x 2 + y 2 dydx = ∫ 0/4 ∫ 0 tan sec θ drd θ

∫ 0 1 ∫ x 2 xyx 2 + y 2 dydx = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 tan θ sec θ r sin θ drd θ 0 1 ∫ x 2 xyx 2 + y 2 dydx = ∫ 0/4 ∫ 0 tan θ sec θ r sin θ drd θ

في التدريبات التالية ، قم بتحويل التكاملات إلى إحداثيات قطبية وقم بتقييمها.

∫ 0 3 ∫ 0 9 - y 2 (x 2 + y 2) d x d y ∫ 0 3 ∫ 0 9 - y 2 (x 2 + y 2) d x d y

∫ 0 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 (x 2 + y 2) 2 d x d y ∫ 0 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 (x 2 + y 2) 2 d x d y

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 (x + y) d y d x ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 (x + y) d y d x

∫ 0 4 ∫ - 16 - x 2 16 - x 2 sin (x 2 + y 2) d y d x ∫ 0 4 ∫ - 16 - x 2 16 - x 2 sin (x 2 + y 2) d y d x

أوجد المساحة الإجمالية للمنطقة التي تحيط بها الوردة ذات الأربع أوراق r = sin 2 θ r = sin 2 (انظر الشكل في التمرين السابق).

أوجد حجم المادة الصلبة الموضوعة في الثمانية الأولى والمحددة بالمكافئ z = 1-4 x 2-4 y 2 z = 1-4 x 2-4 y 2 والمستويات x = 0، y = 0، x = 0 و y = 0 و z = 0. ض = 0.

أوجد حجم الجسم المحدود بالمكافئ z = 2-9 x 2-9 y 2 z = 2-9 x 2-9 y 2 والمستوى z = 1. ض = 1.

بالنسبة للتمرينين التاليين ، ضع في اعتبارك الحلقة الكروية ، وهي عبارة عن كرة بفتحة أسطوانية مقطوعة بحيث يمر محور الأسطوانة عبر مركز الكرة (انظر الشكل التالي).

أوجد حجم المادة الصلبة الواقعة تحت المخروط المزدوج z 2 = 4 x 2 + 4 y 2، z 2 = 4 x 2 + 4 y 2 داخل الأسطوانة x 2 + y 2 = x، x 2 + y 2 = س ، وفوق المستوى ع = 0. ض = 0.

أوجد حجم المادة الصلبة الواقعة تحت المكافئ z = x 2 + y 2، z = x 2 + y 2 داخل الأسطوانة x 2 + y 2 = x، x 2 + y 2 = x وفوق المستوى ض = 0. ض = 0.

أوجد حجم المادة الصلبة الواقعة تحت المستوى x + y + z = 10 x + y + z = 10 وفوق القرص x 2 + y 2 = 4 x. س 2 + ص 2 = 4 س.

أوجد حجم المادة الصلبة الواقعة تحت المستوى 2 x + y + 2 z = 8 2 x + y + 2 z = 8 وأعلى قرص الوحدة x 2 + y 2 = 1. س 2 + ص 2 = 1.

استخدم المعلومات من التمرين السابق لحساب التكامل ∬ D (x 2 + y 2) 3 d A، ∬ D (x 2 + y 2) 3 d A حيث D D هو قرص الوحدة.

طبق التمرين السابق لحساب التكامل ∬ د ص 2 × 2 د أ ، ∬ د ص 2 × 2 د أ ، حيث د = <(ص ، θ) | 1 ≤ ص 2 ، 6 θ ≤ π 3>. د = <(ص ، θ) | 1 ≤ ص 2 ، 6 θ ≤ π 3>.

الغطاء الكروي هو منطقة الكرة التي تقع فوق أو أسفل مستوى معين.

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
    • المؤلفون: جيلبرت سترانج ، إدوين "جيد" هيرمان
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: Calculus Volume 3
    • تاريخ النشر: 30 مارس 2016
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/1-introduction
    • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/5-3-double-integrals-in-polar-coordinates

    © ديسمبر 21 ، 2020 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    1 إجابة 1

    لا يوجد فرق كبير بين إجراء تكامل المنطقة في الإحداثيات القطبية كتكامل مزدوج والطريقة التي قد تكون واجهتها سابقًا في حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير. لا يزال من المهم أن يكون لديك فكرة عن شكل المناطق (هنا ، لديك ليمون و "فول سوداني").

    الجزء الشعاعي الخاص بك صحيح ، لكنك تحتاج حقًا إلى النظر إلى الزوايا حيث تتقاطع المنحنيات: ستحتاج إلى حل $ 2 + sin theta = 2 + cos (2 theta) $ للحصول على نطاق تكامل الزاوية. هناك منطقتان يجب تغطيتهما ، لكن يمكنك الاستفادة من التناظر هنا والدمج فوق أحدهما.

    المنحنى الأحمر هو limacon $ 2 + sin theta $ ، المنحنى الأزرق ، $ 2 + cos (2 theta) $.

    بالمناسبة ، في التكامل الذي كتبته ، ليس هذا موجودًا رقم Integrand ، بل بالأحرى أن Integrand هي "1". أنت تقوم بإجراء تكامل سطحي حيث يتم "وزن" كل البقع متناهية الصغر بالتساوي عند 1 ، وبالتالي فإن النتيجة هي ببساطة مساحة المنطقة. تكاملات السطح مع بعض "دالة الترجيح" $ f (r، theta) $ أو $ g (x، y) $ تظهر في تطبيقات مختلفة.


    2 إجابات 2

    يجب أن يكون لديك تكاملان منفصلان ، نظرًا لوجود تغيير في حدود التكامل ، كما تم قياسه من الأصل. يمكنك أيضًا تطبيق التناظر حول المحور $ x- $ والكتابة

    $ A = 2 left [ int_0 ^ < arccos (1/3)> int_0 ^ <2> r dr d theta + int _ < arccos (1/3)> ^ < pi / 2> int_0 ^ <6 cos theta> r dr d theta right]. $

    يمتد "الذراع الشعاعية" إلى الدائرة $ r = 2 $ حتى الزاوية $ theta = arccos ( frac <1> <3>) ، $ ولكن بعد ذلك "التبديل" إلى الدائرة الأخرى حتى $ theta = frac < pi> <2> . $ Here is a graph of the situation:

    The point is that for the region "between" these two circles, your "radius" out from the origin is not bounded anywhere by one circle as the "outer circle" and the other as the "inner circle" you only change over from one circle to the second one.

    تعديل: I looked at your problem statement again, and then my graph again, and realized that the statement is ambiguous. I interpreted this as "the area inside على حد سواء $ r = 6 cos heta ext r = 2 $ " [which I've filled with blue] . The integral you wrote يستطع be applied to "the area inside $ r = 6 cos heta , $ but outside $ r = 2 $ " [which I've now filled in orange]. In that case, your approach is correct, يستثني that $ r = 6 cos heta $ is the "outer curve" and $ r = 2 $ , the "inner curve", so you should have written

    Was this in fact the area you meant to cover? (Sorry if I misunderstood the intended problem.) You have the boundaries swapped in the integral, which certainly explains the نفي result.


    Math 215 Examples

    أ polar rectangle is a region in the (xy)-plane defined by the inequalities (a le r le b) and (alphale hetaleeta) in polar coordinates. For example, the unit disk can be concisely described as the polar rectangle (0le rle 1), (0le hetale 2pi).

    The area of a polar rectangle is (frac<1><2>(eta-alpha)(b^2-a^2)), as this is the difference in area between the sectors of a radius (b) and a radius (a) circle for (alphale hetaleeta).

    In particular, if we have a polar rectangle of radial "width" (Delta r) and angular "width" (Delta heta) centered around ((r, heta)), then (eta-alpha=Delta heta) and (frac<1><2>(b^2-a^2)=frac<1><2>(b+a)(b-a) = rDelta r), so the area of this polar rectangle is (r Delta rDelta heta).

    Integrating in Polar Coordinates

    Recall that, to estimate (iintlimits_R f(x,y),dA) over an ordinary rectangle (R), we formed the Riemann sum [iintlimits_R f(x,y),dA approx sum_^msum_^n f(x_i,y_j)Delta A = sum_^msum_^n f(x_i,y_i)Delta xDelta y] where each ((x_i,y_j)) is a sample point in the (ij)th subrectangle. Taking the limit as the number of subrectangles goes to infinity is, in fact, our definition of (iintlimits_R f(x,y),dA).

    What if instead we want to integrate (f(x,y)) over a polar rectangle (R)? We can write (f(x,y)) in polar coordinates as (f(rcos heta, rsin heta)) by using the relations (x=rcos heta), (y=rsin heta). Now if we subdivide (R) into polar subrectangles, we have [iintlimits_R f(x,y),dA approx sum_^msum_^n f(r_icos heta_j, r_isin heta_j)Delta A] where each ((r_i, heta_j)) is a sample point in the (ij)th polar subrectangle.

    For example, a Riemann sum over a polar rectangle with (4) radial subdivisions and (3) angular subdivisions might look graphically like

    If we pick the sample points in the Riemann sum to be the centers of the polar subrectangles, then as just discussed, we can write (Delta A = r_iDelta rDelta heta), and our Riemann sum becomes [iintlimits_R f(x,y),dA approx sum_^msum_^n f(r_icos heta_j, r_isin heta_j) r_iDelta rDelta heta] (notice the (r_i) arising from (Delta A) on the right hand side!).

    Taking the limit as (m) and (n) go to infinity turns the right hand side into an iterated integral:

    Illustrated Example

    Worked Solution

    The region (R) is the polar rectangle (0le rle 1), (pi/2le hetalepi). Using (x=rcos heta) and (y=rsin heta), we write the integrand in polar coordinates as [egin x^2-3x+y^2 &= (rcos heta)^2-3rcos heta+(rsin heta)^2 &= r^2(cos^2 heta+sin^2 heta)-3rcos heta &= r^2 - 3rcos heta. نهاية]

    Remembering to include the extra factor of (r) when converting to polar coordinates, the desired integral is [egin iintlimits_R (x^2-3x+y^2), dA &= int_^piint_0^1 (r^2-3rcos heta),r,dr,d heta &= int_^piint_0^1 (r^3-3r^2cos heta),dr,d heta &= int_^pileft(left(frac<1><4>r^4-r^3cos heta ight)Bigg|_0^1 ight), d heta &= int_^pileft(frac<1><4>-cos heta ight),d heta &= left(frac<1><4> heta-sin heta ight)Bigg|_^pi &= left(frac<4>+0 ight)-left(frac<8>-1 ight) &= frac<8>+1. نهاية]

    Visualizing the Example

    The following animation shows the polar Riemann sums approximating this double integral as the number of subdivisions increases.

    Notice that the polar rectangles closer to the origin are much narrower looking than the ones further out, so if we had two boxes in a polar Riemann sum with the same height, the one closer to the origin would contribute less to the result than the one further out. This is not true in the ordinary, non-polar Riemann sums we've looked at in these sums, all the subrectangles have the same area (Delta A = Delta x Delta y), so two boxes with the same height have the same volume and hence always contribute the same amount to the Riemann sum. However, in polar Riemann sums, the area of a polar subrectangle is (Delta A = rDelta rDelta heta), which depends also on (r), the distance from the origin. Thus polar subrectangles closer to the origin (with small (r)) contribute less to the result than polar subrectangles further from the origin (with bigger (r)). We see this graphically in the narrow rectangles near the origin, and symbolically in the extra factor of (r) that shows up when writing the double integral as an iterated integral in polar coordinates.

    Further Questions

    1. Work this example again using the other order of integrals, integrating first with respect to ( heta) then (r).
    2. How would our answer change if our region of integration were instead the sector of the unit disk in the first quadrant? What about the third quadrant? Fourth quadrant? Try to answer these questions without redoing the whole calculation instead, think about which parts of the calculation would change, and how.
    3. Based on your answers to Question 2, what would we get if we integrated (x^2-3x+y^2) over the entire unit disk?
    4. In the box on Double Integrals in Polar Coordinates, we defined the angular range as (alphale hetaleeta), with (0le eta-alphale 2pi). What could go wrong with our polar rectangles if we allow (eta-alpha > 2pi)?
    5. In the box on Double Integrals in Polar Coordinates, we defined the radial range as (0le ale rle b). What could go wrong with our polar rectangles if we allow (a < 0)?

    Using the Mathematica Demo

    All graphics on this page were generated by the Mathematica notebook 15_4DoubleIntegralsInPolarCoordinates.nb.

    This notebook generates images and animations like those on this page of polar Riemann sums for any integrand (f(r, heta)) and any polar rectangle.

    As an exercise, use the notebook to provide clear graphical answers to Questions 2 and 3 above.

    Then, can you come up with an integrand (f(r, heta)) and bounds so that the notebook produces Riemann sums approximating the area of the unit circle, or the volume of the unit sphere? What about a cone of radius 1 and height 1?


    Double Integrals in Polar Coordinates (Exercises)

    Converting to Polar Coordinates:

    In Exercises 29–32, use polar coordinates to set up and evaluate the double integral

    Converting to Polar Coordinates In Exercises 29–32, use polar coordinates to set up and evaluate the double integral

    Converting to Polar Coordinates:

    In Exercises 29–32, use polar coordinates to set up and evaluate the double integral


    Double Integrals in Polar Coordinates

    A series of free Calculus Video Lessons.
    How to use polar coordinates to set up a double integral to find the volume underneath a plane and above a circular region.
    How to transform and evaluate double integrals from Cartesian co-ordinates to polar co-ordinates?



    Double Integral Using Polar Coordinates - Part 1 of 3
    This video shows how to use polar coordinates to set up a double integral to find the volume underneath a plane and above a circular region.

    جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

    نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


    مثال 1

    Evaluate the double integral $iint_R x + 2y : dA$ where $R$ is the region of area between the semicircles above the $x$ -axis of $x^2 + y^2 = 1$ and $x^2 + y^2 = 4$ .

    We note that $f(x, y) = x + 2y$ and so $f(r cos heta, r sin heta) = r cos heta + 2r sin heta$ . Using the formula above, we can convert our double integral into the following iterated integrals:


    Multivariable Calculus

    Objectives

    After completing this section you should.

    Be able to change coordinates of a double integral between Cartesian and polar coordinates

    We now want to explore how to perform (u)-substitution in high dimensions. Let's start with a review from first semester calculus.

    Review 11.3.1

    Consider the integral (dsint_<-1>^4 e^ <-3x>dx ext<.>)

    Let (u=-3x ext<.>) Solve for (x) and then compute (dx ext<.>)

    Explain why (dsint_<-1>^4 e^ <-3x>dx=int_<3>^<-12>e^u left(-frac<1><3> ight)du ext<.>)

    Explain why (dsint_<-1>^4 e^ <-3x>dx=int_<-12>^<3>e^u left|-frac<1><3> ight| du ext<.>)

    If the (u)-values are between (-3) and (2 ext<,>) what would the (x)-values be between? How does the length of the (u) interval ([-3,2]) relate to the length of the corresponding (x) interval?

    In the exercise above, we used a change of coordinates (u=-3x ext<,>) or (x=-1/3 u ext<.>) By taking derivatives, we found that (dx=-frac<1><3>du ext<.>) The negative means that the orientation of the interval was reversed. The fraction (frac13) tells us that lengths (dx) using (x) coordinates will be (1/3)rd as long as lengths (du) using (u) coordinates. When we write (dx = fracdu ext<,>) the number (frac) is called the Jacobian of (x) with respect to (u ext<.>) The Jacobian tells us how lengths are altered when we change coordinate systems. We now generalize this to polar coordinates. Before we're done with this section, we'll generalize the Jacobian to any change of coordinates.

    Exercise 11.3.2

    Consider the polar change of coordinates (x=rcos heta) and (y=rsin heta ext<,>) which we could just write as

    If you need a reminder of how to compute determinants, refer to Section 2.3.1

    Compute the derivative (Dvec T(r, heta) ext<.>) You should have a 2 by 2 matrix.

    We need a single number from this matrix that tells us something about area. Determinants are connected to area.

    Compute the determinant of (Dvec T(r, heta)) and simplify.

    The determinant you found above is called the Jacobian of the polar coordinate transformation. Let's summarize these results in a theorem.

    Theorem 11.3.1

    If we use the polar coordinate transformation (x=rcos heta, y=rsin heta ext<,>) then we can switch from ((x,y)) coordinates to ((r, heta)) coordinates if we use

    Ask me in class to give you an informal picture approach that explains why (dxdy=rdrd heta ext<.>)

    The number (|r|) is called the Jacobian of (x) and (y) with respect to (r) and ( heta ext<.>) If we require all bounds for (r) to be nonnegative, we can ignore the absolute value. If (R_) is a region in the (xy) plane that corresponds to the region (R_) in the (r heta) plane (where (rgeq 0)), then we can write

    يبدأ iint_<>> f(x,y) dxdy = iint_<>> f(rcos heta,rsin heta) r drd heta. نهاية

    Subsection 11.3.1 Practice Changing Coordinates

    We need some practice using this idea. We'll start by describing regions using inequalities on (r) and ( heta ext<.>)

    Exercise 11.3.3

    For each region (R) below, draw the region in the (xy)-plane. Then give a set of inequalities of the form (aleq rleq b, alpha(r)leq heta leq eta(r)) or (alphalt hetalt eta, a( heta)leq rleq b( heta) ext<.>) For example, if the region is the inside of the circle (x^2+y^2=9 ext<,>) then we could write (0leq hetaleq 2pi ext<,>) (0leq rleq 3 ext<.>)

    The region (R) is the quarter circle in the first quadrant inside the circle (x^2+y^2=25 ext<.>)

    The region (R) is below (y=sqrt<9-x^2> ext<,>) above (y=x ext<,>) and to the right of (x=0 ext<.>)

    The region (R) is the triangular region below (y=sqrt 3 x ext<,>) above the (x)-axis, and to the left of (x=1 ext<.>)

    Exercise 11.3.4

    Consider the opening exercise for this unit. We want to find the volume under (f(x,y)=9-x^2-y^2) where (xgeq0) and (zgeq 0 ext<.>) We obtained the integral formula

    Write bounds for the region (R) by giving bounds for (r) and ( heta ext<.>)

    Rewrite the double integral as an iterated integral using the bounds for (r) and ( heta ext<.>) Don't forget the Jacobian (as (dxdy=rdrd heta)).

    Compute the integral in the previous part by hand. [Suggestion: you'll want to simplify (9-x^2-y^2) to (9-r^2) before integrating.]

    Exercise 11.3.5

    Find the centroid of a semicircular disc of radius (a) ((ygeq 0)). Actually compute any integrals.

    Exercise 11.3.6

    try switching coordinate systems to polar coordinates. This will require you to first draw the region of integration, and then then obtain bounds for the region in polar coordinates.

    We're now ready to define the Jacobian of any transformation.

    Subsection 11.3.2 Computational Practice

    These are provided to help you achieve better skills in basic computational answers.


    شاهد الفيديو: التكامل ثنائي-تكامل باستخدام الاحداثيات القطبية- وباستخدام تغير المتغيرات (شهر اكتوبر 2021).