مقالات

وظائف المتغيرات المتعددة (تمارين) - الرياضيات


13.1: وظائف المتغيرات المتعددة

بالنسبة للتدريبات التالية ، قم بتقييم كل دالة بالقيم المشار إليها.

1) (W (x، y) = 4x ^ 2 + y ^ 2. ) أوجد (W (2، −1)، W (−3،6) ).

إجابه:
(W (2، −1) = 17، quad W (−3،6) = 72 )

2) (ث (س ، ص) = 4x ^ 2 + ص ^ 2 ). أوجد (W (2 + h، 3 + h). )

3) يتم حساب حجم الأسطوانة الدائرية اليمنى بدالة من متغيرين ، (V (x، y) = πx ^ 2y، ) حيث (x ) هو نصف قطر الاسطوانة الدائرية اليمنى و ( y ) يمثل ارتفاع الاسطوانة. قم بتقييم (V (2،5) ) واشرح معنى ذلك.

إجابه:
(V (2،5) = 20π ، text {Units} ^ 3 ) هذا هو الحجم عندما يكون نصف القطر (2 ) والارتفاع (5 ).

4) يتكون خزان الأكسجين من أسطوانة يمنى بارتفاع (ص ) ونصف قطر (س ) مع نصفي كرة نصف قطر (س ) مثبتين على الجزء العلوي والسفلي من الأسطوانة. عبر عن حجم الأسطوانة كدالة لمتغيرين ، (x ) و (y ) ، أوجد (V (10،2) ) ، واشرح معنى ذلك.

للتمارين من 5 إلى 10 ، أوجد مجال ومدى الدالة المعينة. حدد المجال في تدوين Set-builder والنطاق في تدوين الفاصل الزمني.

5) (V (x، y) = 4x ^ 2 + y ^ 2 )

إجابه:
المجال: ( {(x، y) | x in rm I ! R، y in rm I ! R } ) أي جميع النقاط في (xy ) - الطائرة
النطاق: ([0، infty) )

6) (f (x، y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2−4} )

إجابه:
المجال: ( {(x، y) | x ^ 2 + y ^ 2 ge 4 } )
النطاق: ([0، infty) )

7) (f (x، y) = 4 ln (y ^ 2 − x) )

إجابه:
المجال: ( {(x، y) | x النطاق: ((- infty، infty) )

8) (g (x، y) = sqrt {164x ^ 2 − y ^ 2} )

إجابه:
المجال: ( {(x، y) | frac {x ^ 2} {4} + frac {y ^ 2} {16} le 1 } )
النطاق: ([0، 4] )

9) (ض = أركوس (ص − س) )

إجابه:
المجال: ( {(x، y) | x - 1 le y le x + 1 } ) أي جميع النقاط بين الرسوم البيانية (y = x -1 ) و (y = × +1 ).
النطاق: ([0، pi] )

10) (f (x، y) = dfrac {y + 2} {x ^ 2} )

إجابه:
المجال: ( {(x، y) | x neq 0 } )
النطاق: ((- infty، infty) )

ابحث عن نطاق الوظائف.

11) (g (x، y) = sqrt {164x ^ 2 − y ^ 2} )

إجابه:
( {z | 0≤z≤4 } )

12) (V (x، y) = 4x ^ 2 + y ^ 2 )

13) (ض = ص ^ 2 − س ^ 2 )

إجابه:
المجموعة ( rm I ! R )

في التدريبات من 14 إلى 29 ، ابحث عن منحنيات المستوى لكل دالة عند القيم المشار إليها لـ (ج ) لتصور الوظيفة المحددة. ارسم مخططًا محيطيًا لتلك التمارين حيث يُطلب منك أكثر من 3 قيم (ج ).

14) (ض (س ، ص) = ص ^ 2 − س ^ 2 ، رباعي ج = 1 )

15) (ض (س ، ص) = ص ^ 2 − س ^ 2 ، رباعي ج = 4 )

إجابه:
(y ^ 2 − x ^ 2 = 4، ) قطع زائد

16) (ز (س ، ص) = س ^ 2 + ص ^ 2 ؛ رباعي ج = 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 9 )

17) (ز (س ، ص) = 4 − س − ص ؛ رباعي ج = 0،1 ، 2 ، 3 ، 4 )

إجابه:
منحنيات المستوى عبارة عن خطوط بها (y = -x + (4 - c) ).
لكل قيمة من (ج ) هذه هي:
(ج = 0: ، ص = -س + 4 ) ،
(ج = 1: ، ص = -س + 3 ) ،
(ج = 2: ، ص = -س + 2 ) ،
(ج = 3: ، ص = -س + 1 ) ،
(ج = 4: ، ص = -س ).
يتكون مخطط الكنتور من سلسلة من الخطوط المتوازية.

18) (و (س ، ص) = س ص ؛ ج = 1 ؛ رباعي ج = −1 )

19) (ح (س ، ص) = 2 س − ص ؛ رباعي ج = -2،0،2 )

إجابه:
(2x − y = 0،2x − y = −2،2x − y = 2؛ ) ثلاثة أسطر

20) (و (س ، ص) = س ^ 2 − ص ؛ رباعي ج = 1،2 )

21) (g (x، y) = dfrac {x} {x + y}؛ c = −1،0،1،2 )

إجابه:
منحنيات المستوى هي خطوط بالشكل (y = x left ( frac {1-c} {c} right) ). عند (c = 0 ) ، نحلها مباشرةً من المعادلة ( dfrac {x} {x + y} = 0 ) لنحصل على (x = 0 ).
لكل قيمة من (ج ) هذه هي:
(ج = -1: ، ص = -2 س ) ،
(c = 0: ، x = 0، text {with} y ne 0 )،
(c = 1: ، y = 0، text {with} x ne 0 )،
(c = 2: ، y = - frac {1} {2} x ).

22) (g (x، y) = x ^ 3 − y؛ quad c = −1،0،2 )

23) (g (x، y) = e ^ {xy}؛ quad c = frac {1} {2}، 3 )

إجابه:
منحنيات المستوى لها الشكل ، (y = frac { ln c} {x} ).
لكل قيمة من (ج ) هذه هي:
(c = frac {1} {2}: ، y = frac { ln frac {1} {2}} {x} ) التي يمكن إعادة كتابتها كـ ، (y = - frac { ln 2} {x} )
(c = 3: ، y = frac { ln 3} {x} ).

24) (و (س ، ص) = س ^ 2 ؛ رباعي ج = 4،9 )

25) (f (x، y) = xy − x؛ quad c = −2،0،2 )

إجابه:
منحنيات المستوى لها الشكل: (y = frac {c} {x} + 1 ).
هنا (y = frac {-2} {x} + 1، quad y = 1، quad y = frac {2} {x} + 1 ) أو (xy − x = −2، ، س ص − س = 0 ، ، س ص − س = 2 )

26) (ح (س ، ص) = ln (س ^ 2 + ص ^ 2) ؛ رباعي ج = −1،0،1 )

27) (g (x، y) = ln ( frac {y} {x ^ 2})؛ quad c = −2،0،2 )

إجابه:
منحنيات المستوى لها الشكل ، (y = e ^ c x ^ 2 ).
لكل قيمة من (ج ) هذه هي:
(c = -2: ، y = e ^ {- 2} x ^ 2 ) ،
(ج = 0: ، ص = س ^ 2 ) ،
(c = 2: ، y = e ^ {2} x ^ 2 ).

28) (z = f (x، y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}، quad c = 3 )

29) (f (x، y) = dfrac {y + 2} {x ^ 2}، quad c = ) أي ثابت

إجابه:
منحنيات المستوى هي قطع مكافئة من الشكل (y = cx ^ 2−2، text {with} x ne 0 ).

في التدريبات 30-32 ، ابحث عن الآثار الرأسية للوظائف عند القيم المشار إليها لـ (س ) و (ص ) ، وقم برسم الآثار.

30) (ض = 4 − س − ص ، كواد س = 2 )

31) (و (س ، ص) = 3 س + ص ^ 3 ، رباعي س = 1 )

إجابه:

(z = 3 + y ^ 3، ) منحنى في (زي ) - الطائرة بأحكام موازية لمحور (س )

32) (z = cos sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}، quad x = 1 )

في التدريبات 33 - 38 ، أوجد مجال ومدى كل دالة.

33) (z = sqrt {100−4x ^ 2−25y ^ 2} )

إجابه:
المجال: ( {(x، y) | frac {x ^ 2} {25} + frac {y ^ 2} {4} ≤1 } )
النطاق: ([0، 10] )

34) (ض = ln (س − ص ^ 2) )

35) (f (x، y، z) = dfrac {1} { sqrt {36−4x ^ 2−9y ^ 2 − z ^ 2}} )

إجابه:
المجال: ( {(x، y، z) | frac {x ^ 2} {9} + frac {y ^ 2} {4} + frac {z ^ 2} {36} <1 } )
النطاق: ([ frac {1} {6}، infty) )

36) (f (x، y، z) = sqrt {49 − x ^ 2 − y ^ 2 − z ^ 2} )

37) (f (x، y، z) = sqrt [3] {16 − x ^ 2 − y ^ 2 − z ^ 2} )

إجابه:
المجال: جميع النقاط في (xyz ) - مسافة
النطاق: ( big (- infty، sqrt [3] {16} big] )

38) (f (x، y) = cos sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

في التدريبات 39-40 ، ارسم مخططًا للدالة.

39) (z = f (x، y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

إجابه:

40) (ض = س ^ 2 + ص ^ 2 )

41) استخدم التكنولوجيا لرسم (z = x ^ 2y. )

إجابه:

في التدريبات 42-46 ، ارسم الدالة عن طريق إيجاد منحنيات مستواها. تحقق من الرسم البياني باستخدام تقنية ، مثل CalcPlot3D.

42) (f (x، y) = sqrt {4 − x ^ 2 − y ^ 2} )

43) (f (x، y) = 2− sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

إجابه:

44) (z = 1 + e ^ {- x ^ 2 − y ^ 2} )

45) (z = cos sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

إجابه:

46) (ض = ص ^ 2 − س ^ 2 )

47) صف خطوط الكنتور لعدة قيم من (c ) لـ (z = x ^ 2 + y ^ 2−2x − 2y. )

إجابه:
خطوط الكنتور عبارة عن دوائر متحدة المركز تتمحور حول النقطة ، ((1 ، 1) ).
يمكنك رؤية ذلك من خلال إكمال المربع بعد ضبط هذه الوظيفة على مساوٍ لـ (c ).
أي أننا نكتب (x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2−2y + 1 = c + 2 ) والتي يمكن إعادة كتابتها كـ ((x - 1) ^ 2 + (y - 1) ^ 2 = ج + 2 ).
هذا يعطينا الدوائر المتمركزة عند النقطة ، ((1، 1) ) ، كل منها بنصف قطر ( sqrt {c + 2} ).

في التمارين 48 - 52 ، ابحث عن سطح المستوى للقيمة المعطاة لـ (c ) لكل دالة من ثلاثة متغيرات وصفها.

48) (ث (س ، ص ، ض) = س − 2 ص + ض ، رباعي ج = 4 )

49) (ث (س ، ص ، ض) = س ^ 2 + ص ^ 2 + ض ^ 2 ، رباعي ج = 9 )

إجابه:
(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 9 ) كرة نصف قطرها (3 )

50) (ث (س ، ص ، ض) = س ^ 2 + ص ^ 2 − ض ^ 2 ، رباعي ج = −4 )

51) (ث (س ، ص ، ض) = س ^ 2 + ص ^ 2 − ض ^ 2 ، كواد ج = 4 )

إجابه:
(x ^ 2 + y ^ 2 − z ^ 2 = 4، ) شكل زائد من ورقة واحدة

52) (ث (س ، ص ، ض) = 9 س ^ 2−4 ص ^ 2 + 36 ع ^ 2 ، كواد ج = 0 )

في التمارين 53-55 ، ابحث عن معادلة لمنحنى المستوى (f ) الذي يحتوي على النقطة (P ).

53) (f (x، y) = 1−4x ^ 2 − y ^ 2، quad P (0،1) )

إجابه:
(4x ^ 2 + y ^ 2 = 1، )

54) (ز (س ، ص) = ص ^ 2 أركتان س ، كواد ف (1،2) )

55) (g (x، y) = e ^ {xy} (x ^ 2 + y ^ 2)، quad P (1،0) )

إجابه:
(1 = e ^ {xy} (x ^ 2 + y ^ 2) )

56) تُعطى قوة (E ) المجال الكهربائي عند النقطة ((x ، y ، z) ) الناتجة عن سلك مشحون طويل بلا حدود يقع على طول المحور (y ) - بواسطة (E ( x، y، z) = k / sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) ، حيث (k ) ثابت موجب. للتبسيط ، دع (ك = 1 ) وابحث عن معادلات الأسطح المستوية لـ (E = 10 ) و (E = 100. )

57) توجد صفيحة رقيقة مصنوعة من الحديد في المستوى (س ص ) - درجة الحرارة (T ) بالدرجات المئوية عند نقطة (P (س ، ص) ) تتناسب عكسياً مع مربعها. المسافة من الأصل. التعبير عن (T ) كدالة لـ (س ) و (ص ).

إجابه:
(T (x، y) = frac {k} {x ^ 2 + y ^ 2} )

58) الرجوع إلى المشكلة السابقة. باستخدام دالة درجة الحرارة الموجودة هناك ، حدد ثابت التناسب إذا كانت درجة الحرارة عند النقطة (P (1،2) ) هي (50 درجة مئوية. ) استخدم هذا الثابت لتحديد درجة الحرارة عند النقطة (Q (3، 4). )

59) الرجوع إلى المشكلة السابقة. ابحث عن منحنيات المستوى (T = 40 ° C ) و (T = 100 ° C ، ) وقم بوصف ما تمثله منحنيات المستوى.

إجابه:
(x ^ 2 + y ^ 2 = frac {k} {40}، quad x ^ 2 + y ^ 2 = frac {k} {100} ). تمثل منحنيات المستوى دوائر نصف قطر ( sqrt {10k} / 20 ) و ( sqrt {k} / 10 )

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.

  • قام Paul Seeburger (كلية مجتمع Monroe) بتحرير LaTeX وأضاف المخططات الكنتورية لإجابات المشكلات 17 و 21 و 29.

الجلسة 24: وظائف متغيرين: الرسوم البيانية

تظهر الصور التالية محتويات السبورة من مقتطفات الفيديو هذه. انقر فوق كل صورة للتكبير.



وظائف المتغيرات المتعددة (تمارين) - الرياضيات

نريد في هذا القسم استعراض بعض الأفكار الأساسية حول وظائف أكثر من متغير واحد.

أولاً ، تذكر أن الرسوم البيانية لوظائف متغيرين ، (z = f left ( right) ) أسطح في فضاء ثلاثي الأبعاد. على سبيل المثال ، هذا هو الرسم البياني لـ (ض = 2 + 2 - 4).

هذا شكل مكافئ إهليلجي ومثال على سطح رباعي. لقد رأينا العديد من هؤلاء في القسم السابق. سنرى الأسطح الرباعية بانتظام إلى حد ما لاحقًا في حساب التفاضل والتكامل III.

الرسم البياني الآخر الشائع الذي سنراه كثيرًا في هذه الدورة هو الرسم البياني للمستوى. لدينا اتفاقية لرسم المستويات تجعلها أسهل قليلاً في الرسم البياني ونأمل في تصورها.

تذكر أن معادلة المستوى معطاة بواسطة

أو إذا حللنا هذا من أجل (z ) يمكننا كتابته من حيث تدوين الوظيفة. هذا يعطي،

لرسم مستوى ، سنجد عمومًا نقاط التقاطع بالمحاور الثلاثة ثم نرسم المثلث الذي يربط هذه النقاط الثلاث. سيكون هذا المثلث جزءًا من المستوى وسيمنحنا فكرة جيدة إلى حد ما عن الشكل الذي يجب أن يبدو عليه المستوى نفسه. على سبيل المثال ، دعنا نرسم المستوى المعطى بواسطة ،

لأغراض رسم هذا الرسم البياني ، قد يكون من الأسهل كتابة هذا على النحو التالي ،

[z = 12 - 3x - 4y hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> ، ، ، ، ، 3x + 4y + z = 12 ]

الآن ، يتم تحديد كل نقطة من نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات الرئيسية الثلاثة بحقيقة أن اثنين من الإحداثيات يساوي صفرًا. على سبيل المثال ، يتم تحديد التقاطع مع المحور (z ) - بواسطة (x = y = 0 ). إذن ، نقاط التقاطع الثلاث هي ،

هذا هو الرسم البياني للطائرة.

الآن ، لتوسيع ذلك ، رسوم بيانية لوظائف النموذج (w = f left ( right) ) سطوح بأربعة أبعاد. بالطبع ، لا يمكننا رسمها بالرسم البياني ، ولكن لا يضر أن نشير إلى ذلك.

نريد بعد ذلك التحدث عن مجالات وظائف أكثر من متغير واحد. تذكر أن مجالات وظائف متغير واحد ، (y = f left (x right) ) ، تتكون من جميع قيم (x ) التي يمكننا توصيلها بالدالة واستعادة رقم حقيقي. الآن ، إذا فكرنا في الأمر ، فهذا يعني أن مجال دالة لمتغير واحد هو فاصل (أو فترات) من القيم من خط الأعداد ، أو مسافة واحدة بعدية.

مجال وظائف متغيرين ، (z = f left ( right) ) ، هي مناطق من فضاء ثنائي الأبعاد وتتكون من جميع أزواج الإحداثيات ، ( يسار ( right) ) ، يمكننا توصيل الدالة والحصول على رقم حقيقي.

  1. (و اليسار ( يمين) = sqrt )
  2. (و اليسار ( يمين) = sqrt x + sqrt y )
  3. (و اليسار ( يمين) = ln يسار (<9 - - 9> حق) )

في هذه الحالة ، نعلم أنه لا يمكننا أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب ، وهذا يعني أننا يجب أن نطلب ،

هنا رسم تخطيطي للرسم البياني لهذه المنطقة.

تختلف هذه الوظيفة عن الوظيفة في الجزء السابق. هنا يجب أن نطلب ذلك ،

وهم يحتاجون حقًا لأن يكونوا متباينات منفصلة. يوجد واحد لكل جذر تربيعي في الدالة. هنا رسم تخطيطي لهذه المنطقة.

نعلم في هذا الجزء الأخير أنه لا يمكننا أخذ لوغاريتم عدد سالب أو صفر. لذلك ، نحن بحاجة إلى ذلك ،

وعند إعادة الترتيب ، نرى أننا بحاجة إلى البقاء داخل القطع الناقص لهذه الوظيفة. هنا رسم تخطيطي لهذه المنطقة.

لاحظ أن مجالات وظائف ثلاثة متغيرات ، (w = f left ( right) ) ، ستكون مناطق في فضاء ثلاثي الأبعاد.

في هذه الحالة ، علينا التعامل مع الجذر التربيعي والقسمة على صفر. سيتطلب ذلك ،

إذن ، مجال هذه الوظيفة هو مجموعة النقاط التي تقع تمامًا خارج كرة نصف قطرها 4 المتمركزة في نقطة الأصل.

الموضوع التالي الذي يجب أن ننظر إليه هو موضوع منحنيات المستوى أو منحنيات كفاف. منحنيات مستوى الوظيفة (z = f left ( right) ) منحنيات ثنائية الأبعاد نحصل عليها من خلال ضبط (z = k ) حيث (k ) هو أي رقم. إذن معادلات منحنيات المستوى هي (f left ( حق) = ك ). لاحظ أنه في بعض الأحيان تكون المعادلة بالصيغة (f left ( right) = 0 ) وفي هذه الحالات تكون معادلات منحنيات المستوى (f left ( حق) = 0 ).

ربما تكون قد رأيت منحنيات المستوى (أو المنحنيات الكنتورية ، أيًا كان ما تريد تسميته) من قبل. إذا سبق لك أن رأيت خريطة الارتفاع لقطعة أرض ، فهذا ليس أكثر من منحنيات كفاف للوظيفة التي تعطي ارتفاع الأرض في تلك المنطقة. بالطبع ، ربما لا نمتلك الوظيفة التي تعطي الارتفاع ، لكن يمكننا على الأقل رسم منحنيات الكنتور.

لنفعل مثالاً سريعًا على ذلك.

أولاً ، من أجل الممارسة ، دعنا نحدد ما قدمه هذا السطح بواسطة (f left ( right) ) هو. للقيام بذلك ، دعونا نعيد كتابته على النحو التالي ،

تذكر من قسم الأسطح الرباعية أن هذا هو الجزء العلوي من "المخروط" (أو سطح على شكل ساعة زجاجية).

لاحظ أن هذا لم يكن مطلوبًا لهذه المشكلة. لقد تم إجراؤه لممارسة تحديد السطح وقد يكون هذا مفيدًا على الطريق.

الآن ننتقل إلى المشكلة الحقيقية. تم العثور على منحنيات المستوى (أو المنحنيات الكنتورية) لهذا السطح بواسطة المعادلة باستبدال (z = k ). في حالة مثالنا هذا ،

حيث (ك ) هو أي رقم. إذن ، في هذه الحالة ، تكون منحنيات المستوى عبارة عن دوائر نصف قطرها (ك ) مع وجود المركز عند نقطة الأصل.

يمكننا رسمها بإحدى طريقتين. يمكننا إما رسمها على السطح نفسه أو يمكننا رسمها في نظام محور ثنائي الأبعاد. هنا كل رسم بياني لبعض قيم (ك ).

لاحظ أنه يمكننا التفكير في الملامح من حيث تقاطع السطح المعطى بواسطة (z = f left ( يمين) ) والطائرة (ض = ك ). سيمثل الكفاف تقاطع السطح والمستوى.

لوظائف النموذج (f left ( right) ) سوف ننظر في بعض الأحيان الأسطح المستوية. يتم إعطاء معادلات الأسطح المستوية بواسطة (f left ( right) = k ) حيث (k ) هو أي رقم.

الموضوع الأخير في هذا القسم هو آثار. في بعض النواحي ، هذه تشبه الخطوط العريضة. كما هو مذكور أعلاه ، يمكننا التفكير في الخطوط على أنها تقاطع السطح المعطى بواسطة (z = f left ( يمين) ) والطائرة (ض = ك ). آثار الأسطح عبارة عن منحنيات تمثل تقاطع السطح والمستوى المعطى بواسطة (x = a ) أو (y = b ).

دعونا نلقي نظرة سريعة على مثال للتتبعات.

سنبدأ بـ (x = 1 ). يمكننا الحصول على معادلة للتتبع عن طريق إدخال (x = 1 ) في المعادلة. القيام بهذا يعطي ،

وسيتم تمثيل ذلك في المستوى المعطى بواسطة (x = 1 ).

يوجد أدناه رسمان بيانيان. الرسم البياني الموجود على اليسار هو رسم بياني يوضح تقاطع السطح والمستوى المعطى بواسطة (x = 1 ). على اليمين يوجد رسم بياني للسطح والتتبع الذي نسعى إليه في هذا الجزء.

بالنسبة إلى (y = 2 ) سنفعل نفس الشيء الذي فعلناه مع الجزء الأول. ها هي معادلة التتبع ،


وظائف المتغيرات المتعددة (تمارين) - الرياضيات

حل نظام معادلتين خطيتين وتحقق من الحل:

حل نظام معادلتين خطيتين بمتغيرات في البسط والمقام ، تحقق من الحل وحدد شروط القابلية للحل:

حل نظام ثلاث معادلات خطية وتحقق من الحل:

حل نظام من أربع معادلات خطية وتحقق من الحل:

حل نظام المعادلة الخطية والتربيعية:

حل نظام المتباينات الخطية بمتغير واحد:

حل نظام المتباينات الخطية بمتغيرين:


وظائف المتغيرات المتعددة (تمارين) - الرياضيات

يرجى وضع إشارة مرجعية على هذه الصفحة ، http://aleph0.clarku.edu/

djoyce / ma131 / ، لذا يمكنك الوصول إليه بسهولة.

    وصف عام. يستخدم حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات الجبر الخطي لتوسيع المفاهيم المهمة لحساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير إلى إعدادات الأبعاد الأعلى. تشمل الموضوعات الدوال ذات القيمة العددية والمتجهة ، والرسوم البيانية ، ومجموعات المستويات ، والحدود ، والمشتقات الجزئية للاستمرارية ، والتدرجات ، ومستويات الظل ، والتفاضل ، والمشتقات الإجمالية ، ومسارات المشتقات الاتجاهية ، والسرعة ، والتسارع ، وطول القوس ، والانحناء ، والحقول المتجهية ، والتباعد ، والحليقة المتطرفة ، هيسيان ، لاجرانج مضاعفات التكاملات المتعددة ، تغيير المتغيرات ، تكاملات خط جاكوبي ، تكاملات السطح لنظرية Green & rsquos ، نظرية Stokes & rsquo ، ونظرية Gauss & rsquo.
    انظر أيضًا Clark & ​​rsquos الفهرس الأكاديمي.

  • لتزويد الطلاب بفهم جيد لمفاهيم وطرق حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات ، الموضحة بالتفصيل في المنهج الدراسي.
  • لمساعدة الطلاب على تطوير القدرة على حل المشكلات باستخدام حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات.
  • لربط حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات بالمجالات الأخرى سواء داخل الرياضيات أو بدونها.
  • لتطوير التفكير المجرد والنقدي من خلال دراسة البراهين كما هو مطبق في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات.

لن يتم تناول جميع الموضوعات المذكورة أدناه بنفس العمق. بعضها أساسي وسيتم تغطيته بالتفصيل ، بينما يشير البعض الآخر إلى اتجاهات أخرى للدراسة وسيتم التعامل معها على أنها استطلاعات إن المفاهيم الفيزيائية الوحيدة التي سندرسها بعمق هي السرعة ، والتسارع ، والسرعة الزاوية ، والتسارع الزاوي ، ولكن سيتم ذكر القليل من المفاهيم الأخرى مثل القوة.

من المحتمل أن تكون هناك مواضيع أكثر مما يمكننا مناقشته في فصل دراسي واحد ، لذلك يجب حذف بعضها بسبب الوقت. من المحتمل أن يكون المرشحون بين قوسين.

التدريبات المدرجة مؤقتة. قد يتم تغييرها مع تقدم الدورة التدريبية.

    جزء كبير من الفصل الأول هو مراجعة للمادة التي & rsquove التي رأيتها بالفعل في Math 122 أو Math 130 ، ولكن بعضها سيكون جديدًا.

  • ر 2 , ر 3 ، ناقلات تدوين ، العددية
  • إضافة المتجه ، المتجه الصفري ، الضرب العددي ، وخصائصها
  • التفسير الهندسي للمتجهات ، قانون متوازي الأضلاع للجمع
  • تمارين: 1 & ndash11 odd، 15، 23، 25
  • نواقل الأساس القياسية أنا, ي, ك
  • المعادلات البارامترية للخطوط
  • معادلات الشكل المتماثل لخط في ر 3
  • المعادلات البارامترية للمنحنيات x : ر & rarr ر 2
  • السرعة والسرعة والتسارع
  • تمارين: 1 & ndash7 و 13 و 15 و 17 و 35 و 44
  • حاصل الضرب النقطي للمتجهات وأطوال المتجهات وقانون جيب التمام والزوايا
  • إسقاطات النواقل
  • تطبيع النواقل
  • التمارين: 1 & ndash13 odd، 17، 21، 29، 30
  • المنتجات المتقاطعة لأزواج النواقل في ر 3
  • مناطق متوازي الأضلاع والمثلثات
  • المصفوفات والمحددات
  • منتج عددي ثلاثي ، حجم خط متوازي
  • الدوران ، السرعة الزاوية
  • تمارين: 1، 3، 5، 11 & ndash19 فردي، 25
  • معادلات الطائرات ، المعادلات البارامترية للطائرات
  • المسافة بين نقطة وخط
  • المسافة بين الطائرات المتوازية
  • المسافة بين خطوط الانحراف
  • تمارين: 1 ، 3 ، 5 ، 13 ، 23 ، 25 ، 27 ، 31
  • عدم المساواة Cauchy ، عدم المساواة المثلث
  • أساس قياسي
  • تتوافق الوظائف الخطية مع المصفوفات ، ويتوافق تكوين الوظائف مع ضرب المصفوفة
  • الطائرات الفائقة
  • المحددات والقصر والعوامل المساعدة
  • تمارين: 3، 5، 7، 16 & ndash19، 21 & ndash23، 25، 27، 28a، 30a
  • الإحداثيات المستطيلة
  • الإحداثيات القطبية للطائرات
  • إحداثيات أسطوانية وكروية للفضاء
  • التمارين: 1 & ndash8، 11، 12، 15 & ndash17
    أنت & rsquoll ترى كيف تعمم مفاهيم الحد والاستمرارية والمشتقات من الحالة ذات المتغير الواحد التي رأيتها في حساب السنة الأولى إلى العديد من المتغيرات.

    & القسم 2.1 وظائف لعدة متغيرات
    • المهام F : X & rarr ص، نطاق X، المجال المشترك ص، نطاق ر(F)
    • في الوظائف (الجذابة وواحدة لواحد (عن طريق الحقن)
    • المراسلات الفردية (الدوال الحيوية) وعكساتها
    • وظائف ذات قيمة عددي F : ر ن & rarr ر، وتسمى أيضًا الحقول العددية
    • دوال ذات قيمة متجهة F : ر ن & rarr ر م ، ووظائفها المكونة Fأنا : ر & rarr ر م
    • الرسوم البيانية للوظائف ر 2 & rarr ر كسطوح في ر 3 ، ومنحنيات مستواها
    • الأسطح في ر 3 ، السطوح الزائدة في ر ن
    • [أسطح رباعية]
    • التمارين: 1 & ndash7، 10، 15 & ndash21 odd، 31، 39
    • مفهوم بديهي وتعريف رسمي لحدود الوظائف متعددة المتغيرات
    • المفاهيم الطوبولوجية: المجموعات الفرعية المفتوحة والمغلقة ، حدود المجموعات الفرعية ، أحياء النقاط
    • خصائص الحدود
    • كثيرات الحدود متعددة المتغيرات
    • وظائف مستمرة
    • تمارين: 7 & ndash13، 29، 30، 38 & ndash43، 47، 48
    • المشتقات الجزئية للوظائف ذات القيمة العددية (الحقول العددية)
    • التفاضل والطائرات المماس للرسومات البيانية السطحية للوظائف ر 2 و rarr ر
    • التفاضل والطبقات المفرطة المماس للرسومات البيانية فوق السطحية للوظائف ر ن & رار ر
    • التفاضل للوظائف ذات القيمة المتجهية
    • متجهات التدرج للوظائف ذات القيمة العددية
    • مصفوفة مشتقة لوظائف ذات قيمة متجهة
    • التمارين: 1 & ndash7، 12 & ndash14، 19 & ndash21، 29، 30، 34 & ndash36
    • الخطية: الجمع والفرق والقواعد المتعددة الثابتة للدوال ذات القيمة المتجهية ر ن & رار ر م
    • قواعد المنتج وحاصل القسمة للوظائف ذات القيمة العددية ر ن & رار ر
    • المشتقات الجزئية من رتبة أعلى
    • تمارين: 1 ، 2 ، 9 و - 11 ، 20 ، 28 ، 29 أ
    • حكم السلسلة للتكوين F ا ز أين ز : ر & rarr ر ن و F : ر ن & رار ر
    • حكم السلسلة للتكوين F ا ز أين ز : ر ن & رار ر م و F : ر م & رار ر ص
    • التحويلات القطبية المستطيلة
    • تمارين: 1 ، 2 ، 5 ، 8 ، 11 ، 15 ، 19 ، 22 ، 23
    • حقل متجه التدرج لحقل عددي
    • المشتقات الاتجاهية والتعريف والتقييم من حيث التدرج
    • صعود شديد الانحدار
    • طائرات الظل والطائرات الفائقة
    • تمارين: 2 ، 3 ، 12 ، 13 ، 15 ، 16
      والقسم 3.1 المنحنيات ذات المعاملات قوانين كبلر ورسكووس لحركة الكواكب
      • المهام x : ر & rarr ر ن كمسارات أو منحنيات ذات معلمات
      • السرعة والسرعة والتسارع
      • قوانين كبلر ورسكووس لحركة الكواكب
      • تمارين: 1 & ndash4، 7، 8، 15، 16
      • طول المسار باعتباره جزءًا لا يتجزأ
      • متجه الوحدة المماس ، انحناء مسار أو منحنى
      • تمارين: 1 ، 2 ، 4 ، 10 ، 16 ، 22 أ
      • المهام F : ر ن & رار ر كحقول عددية
      • المهام F : ر ن & رار ر ن كحقول متجه
      • حقل التدرج (حقل متجه) المرتبط بوظيفة محتملة (حقل قياسي)
      • مجموعات متساوية
      • خطوط التدفق لحقول المتجهات
      • تمارين: 1، 4، 9، 10، 19 & - 21، 24، 26
      • معاملات ديل والتدرجات
      • عامل التشغيل والتباعد في حقل متجه
      • تجعيد حقل متجه في ر 3
      • حقول التدرج غير منطقية ، أي curl (grad F) = 0
      • Div (curl F) = 0
      • التمارين: 1 & ndash4، 7 & ndash10، 13، 28a
        & القسم 4.1 التفاضلات ونظرية Taylor & rsquos
        • نظرية Taylor & rsquos لوظائف المتغير الفردي كامتداد لنظرية القيمة المتوسطة
        • كثيرات حدود تايلور ، مصطلح الباقي
        • صيغة الدرجة الأولى لنظرية Taylor & rsquos متعددة المتغيرات
        • مجموع الفروق
        • صيغة الدرجة الثانية و Hessian
        • ترتيب تيلور متعدد الحدود
        • تمارين: 1 ، 2 ، 8 ، 9 ، 11 ، 19 ، 20 ، 24
        • الحدود الدنيا والحد الأقصى المحلية للحقول العددية
        • النقاط الحرجة ومعيار هسه
        • أشكال تربيعية ، أشكال محددة موجبة
        • اختبار المشتق الثاني لأقصى درجات الدوال ذات القيمة العددية
        • المجموعات المدمجة ، نظرية القيمة القصوى (EVT)
        • تمارين: 3 & ndash6، 13 & ndash16
        • قيود المعادلة
        • تخضع مضاعفات لاغرانج للقيود القصوى
        • تمارين: 3 ، 4 ، 5 ، 9
        • [تقريب المربعات الصغرى]
        • [تطبيقات في الاقتصاد]
          & القسم 5.1 المناطق والأحجام
          • مجلدات فوق المستطيلات كتكاملات مزدوجة
          • تمارين: 1، 2، 3، 6، 9
          • التكاملات المزدوجة على المستطيلات المعرفة كمجموع ريمان ، التكامل
          • شروط التكامل
          • نظرية Fubini & rsquos ، خطية التكاملات ، خواص أساسية أخرى
          • تكاملات مزدوجة على المناطق العامة
          • تمارين: 5 & ndash7، 10، 16
          • تمارين: 3 & ndash6، 15، 17
          • تكاملات ثلاثية فوق الصناديق
          • خصائص التكاملات الثلاثية
          • التكاملات الثلاثية على المناطق العامة
          • تمارين: 1 ، 2 ، 5 ، 6 ، 11 ، 13 ، 17
          • تحولات الطائرة ر 2 و rarr ر 2
          • التحولات الخطية وعوامل توسعها
          • تغيير المتغيرات في التكاملات المحددة لمتغير واحد
          • تغيير المتغيرات للتكاملات المزدوجة ، اليعقوبي
          • التكاملات المزدوجة في الإحداثيات القطبية
          • تغيير المتغيرات للتكاملات الثلاثية
          • تمارين: 1 ، 3 ، 9 ، 13 ، 17
          • [متوسط ​​القيمة (متوسط ​​القيمة) لدالة ذات قيمة رقمية]
          • [مركز الجاذبية]
            & القسم 6.1 تكاملات الخط المتجهية والعدادية
            • التكاملات الخطية العددية
            • تكاملات خط المتجه
            • إعادة المعاملات
            • تمارين: 1 & ndash3، 9، 16، 17، 34
            • نظرية Green & rsquos
            • نظرية الاختلاف في الطائرة
            • تمارين: 1 & ndash3، 7، 9، 15، 17
            • الحقول المتجهة مع تكاملات الخط المستقلة عن المسار
            • الحقول المتدرجة وتكاملات الخط ، الحقول المتجهة المحافظة
            • تمارين: 3 & ndash6
              والقسم 7.1 الأسطح ذات المعاملات
              • منحنيات التنسيق ، المتجهات العادية ، المستويات المماس
              • الأسطح الملساء والمتعددة الجوانب
              • مساحات الأسطح
              • تمارين: 1، 3، 24، 26
              • التكاملات السطحية العددية
              • تكاملات سطح المتجه
              • إعادة معاملات الأسطح
              • تمارين: 1، 3، 7، 11
              • نظرية ستوكس و rsquo
              • نظرية جاوس و rsquo
              • الاختلاف والحليقة
              • تمارين: 1، 3، 7، 9

              1. الاثنين ، 13 يناير 2014. أهلاً بك في الفصل! الخطوط العريضة للدورة.
                أشياء تحتاج لمعرفتها حول الجبر الخطي
                معاينة. وظائف الدراسة نحن & rsquoll ر ن & rarr ر م حيث لا كلاهما ن و م هي 1. ثلاثة أنواع مهمة من هؤلاء.
                • متي م = 1, F : ر ن & rarr ر، هي دالة ذات قيمة رقمية أو حقل عددي.
                • متي ن = 1, x : ر & rarr ر ن يحدد منحنى في ن- الفضاء ، أي مسار نقطة متحركة.
                • متي م = ن, F : ر ن & رار ر ن يصف حقل متجه على ر ن .


              ملاحظات تكميلية لحساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات ، الأجزاء من الأول إلى الخامس

              تشمل الملاحظات التكميلية المواد المطلوبة مسبقًا ، والبراهين التفصيلية ، والمعالجات الأعمق للموضوعات المختارة.

              • الفصل 1: مقدمة في البنية الرياضية (PDF - 3.4 ميجا بايت)
              • الفصل 2: ​​مقدمة في حساب المتجهات (PDF - 2.1 ميجابايت)
              • الفصل 3: مقدمة إلى Vector Calculus (PDF - 2.6MB)
              • الفصل 4: مقدمة إلى وظائف العديد من المتغيرات الحقيقية (PDF - 5.4 ميجا بايت)
              • الفصل 5: المشتقات في مسافات ذات أبعاد n (PDF - 3.0 ميجا بايت)
              • الفصل 6: جبر المصفوفة في دراسة وظائف عدة متغيرات (PDF - 7.6MB)
              • الفصل 7: تطبيقات الجبر الخطي على الوظائف غير الخطية (PDF - 2.1 ميجا بايت)

              كتاب مدرسي: تشير الدورة التدريبية إلى الكتاب المدرسي الذي نفد طباعته المذكورة أدناه ، ولكن أي كتاب مدرسي جديد سيكفي للتوسع في الموضوعات التي يتم تناولها في محاضرات الفيديو.

              توماس ، جورج ب. التفاضل والتكامل والهندسة التحليلية. أديسون ويسلي ، 1968. ISBN: 9780201075250.


              وظائف المتغيرات المتعددة (تمارين) - الرياضيات

              يمكن تمثيل دالة متغير واحد برسم بياني بسيط. يتوافق المحور الأفقي مع المتغير المستقل ويتوافق المحور الرأسي مع المتغير التابع. تتوافق قيمة الوظيفة مع الارتفاع فوق المحور الأفقي. الرسم البياني أدناه للدالة f (x) = x ^ 4 + x ^ 3-18x ^ 2-16x + 32.

              وظائف عدة متغيرات

              دالة من عدة متغيرات لها عدة متغيرات مستقلة. مثال على ذلك هو درجة الحرارة على سطح الأرض. افترض أننا نرغب في وصف درجة الحرارة في لحظة معينة من الزمن. تعتمد درجة الحرارة على الموضع. يتطلب الأمر إحداثيين لتمثيل الموقع على سطح الأرض وخط الطول وخط العرض. دع المتغيرين x و y يمثلان هذه الكميات على التوالي. ثم يمكننا تحديد T (x ، y) لتكون دالة درجة الحرارة. بالنظر إلى x و y ، يمكننا تحديد درجة الحرارة. هذه دالة من متغيرين.

              يتم تمثيل دالة من متغيرين بيانياً بواسطة سطح في مساحة ثلاثية الأبعاد. بالنسبة لدالة درجة الحرارة أعلاه ، يتم تمثيل الموضع على سطح الأرض بنقطة في المستوى xy. يتم تمثيل درجة الحرارة في هذا الموضع بارتفاع السطح فوق المستوى xy. يوضح الشكل أدناه السطح المقابل للدالة f (x، y) = x ^ 4 + x ^ 3-18x ^ 2-16x + 32-y ^ 2.

              • دوال درجة الحرارة T (x ، y ، t) ، حيث x و y يمثلان
                الموقف و t يمثل الوقت
              • دوال الكثافة p (x ، y ، z) لمواد صلبة ثلاثية الأبعاد ، أين
                تمثل x و y و z إحداثيات الموقع و p (x و y و z) هي
                الكثافة بالكيلو جرام / م ^ 3
              • دوال التركيز C (x ، y ، z ، t) ، حيث تمثل x و y و z
                الموضع ، t هو الوقت ، و C (x ، y ، z ، t) هو تركيز a
                مادة في محلول.

              فيما يلي رسوم بيانية لبعض الأمثلة على وظائف متغيرين. يوجد على اليسار رسم بياني للدالة z = x ^ 2 + y ^ 2 وعلى اليمين رسم بياني للدالة z = sin (sqrt (x ^ 2 + y ^ 2)).

              من الصعب تمثيل دالة لأكثر من متغيرين بيانياً بالكامل ، لأنه بالنسبة لدالة متغيرات n ، فإن مساحة الأبعاد n + 1 مطلوبة.


              وظائف المتغيرات المتعددة (تمارين) - الرياضيات

              حساب التفاضل والتكامل هو دراسة الوظائف.

              تتشابه وظائف ثلاثة متغيرات في العديد من الجوانب مع وظائف متغيرين. ومع ذلك ، فإن أحد الاختلافات الأساسية هو أن الرسوم البيانية للوظائف لأكثر من متغيرين لا يمكن تصورها مباشرة ، نظرًا لأن أبعادها أكبر من ثلاثة. ومع ذلك ، لا يزال بإمكاننا استخدام منحنيات الشرائح وأسطح الشرائح والملامح ومجموعات المستويات لفحص هذه الوظائف ذات الأبعاد الأعلى.

              أبسط الوظائف هي الدوال الثابتة والوظائف الخطية.


              عندما نصف المستوى الفائق على أنه الرسم البياني للدالة الخطية f (x ، y ، z) = px + qy + rz + k ، فإننا نعطي دورًا خاصًا للأصل. غالبًا ما يكون من الأنسب النظر في الطائرات من خلال نقطة معينة (x0، ذ0، ض0، دبليو0) في الفضاء ، ويمكننا وصف مثل هذا المستوى باستخدام x-slope p و y-slope q و z-slope r بالشرط w-w0 = ص (س - س0) + ف (ص ص0) + r (z-z0). باختيار قيم مختلفة للمنحدرات p و q و r ، نحصل على جميع المستويات غير الرأسية من خلال (x0، ذ0، ض0، دبليو0).

              أبسط وظيفة على الإطلاق هي صفر وظيفة، من تحديد و (س ، ص ، ض) = 0 للجميع س ، ص ، ض. يمكن تعريف هذه الوظيفة لأي مجال ، وسيظل النطاق دائمًا هو النقطة الفردية .

              أبسط فئة من الوظائف التالية هي وظائف ثابتة المعرفة من قبل و (س ، ص ، ض) = ك للجميع س ، ص ، ض. يمكن تحديد دالة ثابتة لأي مجال ، وسيظل النطاق دائمًا هو النقطة المفردة .

              الدوال الخطية هي ثاني أبسط فئة من الوظائف ، يتم تحديدها بواسطة L (x، y، z) = px + qy + rz + k للثوابت ص ، ف ، ص، و ك. الارقام ص ، ف و ص تسمى x-ميل، ال ذ-ميل، و ال ض-ميل للدالة الخطية و ك يسمى به ث-تقاطع. المجال الطبيعي للدالة الخطية إل هو كل ثلاثة أضعاف (س ، ص ، ض) من الأعداد الحقيقية. لو ص & # 8800 0 أو ف & # 8800 0 أو ص & # 8800 0، ثم النطاق إل هي كل الأرقام الحقيقية.

              حساب التفاضل والتكامل ثلاثي المتغيرات يأخذ في الاعتبار وظائف ثلاثة متغيرات حقيقية.

              ال نطاق للدالة المكونة من ثلاثة متغيرات هي مجموعة فرعية من الإحداثيات ثلاثية الفراغات <(س ، ص ، ض) | س ، ص ، ض & # 8712 >.

              ال نطاق لدالة ذات قيمة حقيقية F هو جمع كل الأرقام الحقيقية و (س ، ص ، ض) أين (س ، ص ، ض) يقع في مجال F.

              أبسط مثال على الدالة هو وظيفة ثابتة التي تحدد الرقم الحقيقي ك للجميع (س ، ص ، ض) في المجال. نطاق هذه الوظيفة هو المجموعة تحتوي على نقطة واحدة. أبسط مثال تالي هو خطي الوظيفة التي تحددها الصيغة و (س ، ص ، ض) = بكسل + qy + rz + k أين ص ، ف، و ص هي منحدرات جزئية للدالة الخطية و ك يدل على ث-تقاطع.. نطاق هذه الوظيفة هو جميع الأعداد الحقيقية إذا ص, ف، و ص ليست كلها صفرا ، بل القيمة فقط لو ع = 0, ف = 0، و ص = 0.

              كما ذكرنا من قبل ، فإن الرسم البياني لوظيفة من 3 متغيرات هو طائرة مفرطة ثلاثية الأبعاد تقع في 4 فضاء. لذلك لا يمكن تصور الرسم البياني مباشرة المجال نفسه هو بالفعل ثلاثي الأبعاد.


              لكل نقطة (x0، ذ0، ض0) في مجال الدالة f ، تقاطع التمثيل البياني لـ f مع المستوى العمودي x = x0، ص = ص0 سيكون (x0، ذ0) -منحنى شريحة (x0، ذ0، z ، f (x0، ذ0، ض)). مجال x0منحنى شريحة -slice هو مجموعة z التي (x0، ذ0، z) في مجال f.

              وبالمثل نحدد (y0، ض0) -منحنى شريحة ليكون (x، y0، ض0، و (س ، ذ0، ض0)) لكل x مثل (x، y0، ض0) في مجال f ، ونقوم بتعريف (x0، ض0) -منحنى شريحة ليكون (x0، ذ ، ض0، و (x0، ذ ، ض0)) لكل ص مثل (س ، ص0، ض0) في مجال f.


              لكل نقطة (x0، ذ0، ض0) في مجال الوظيفة f ، تقاطع الرسم البياني لـ f مع المستوي الفائق العمودي z = z0، سيكون z0-سطح شريحة (x، y، z0، f (x ، y ، z0)). مجال z0-سطح الشريحة هو مجموعة (x، y) التي (x، y، z0) في مجال f.

              وبالمثل نحدد y0-سطح القطع ليكون (x، y0، z، f (x، y0، z)) لكل (x، z) مثل (x، y0، z) في مجال f ، ونحن نحدد x0-سطح شريحة ليكون (x0، y ، z ، f (x0، y، z)) لجميع (y، z) مثل (x0، y ، z) في مجال f.



              جمع كل النقاط (س ، ص ، ض) في مجال الوظيفة F لأي منهم و (س ، ص ، ض) = ك يسمى مجموعة مستوى f عند المستوى k.

              مجموعة النقاط (س ، ص ، ض ، و (س ، ص ، ع)) في الرسم البياني لـ f في فضاء رباعي الأبعاد من أجله و (س ، ص ، ض) = ك is called the contour of f at height k.

              A curve (x(t),y(t),z(t)) in the domain of F مثل ذلك f(x(t),y(t),z(t)) = k is called a level curve of f at level k. A surface (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) مثل ذلك f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) = k is called a level surface of f at level k.


              We can also construct a color graph of the function F by assigning to each point (x,y,z) in the domain a color that corresponds to the value f(x,y,z).


              One of the most important properties of functions of two real variables is continuity . The basic intuition for continuity is that the range of a function f(x,y,z) will lie in an arbitrarily small interval centered at f(x0,y0,z0) if (x,y,z) is restricted to lie in a sufficiently small ball centered at (x0,y0,z0). Geometrically, this means that the graph of f(x,y,z) will lie between a pair of parallel hyperplanes z = f(x0,y0,z0) + ε and z = f(x0,y0,z0) – ε if (x,y,z) is required to lie in the ball of radius δ centered at f(x0,y0,z0) i.e. √((x – x0) 2 + (y – y0) 2 + (z – z0) 2 ) < δ.

              According to the epsilon-delta definition, a function F of three real variables is said to be مستمر في (x0,y0,z0) if for any ε > 0 there exists a δ مثل ذلك | f(x,y,z) - f(x0,y0,z0) | < ε whenever | (x,y,z) - (x0,y0,z0) | < δ.

              A function f of three real variables is said to be continuous if it is continuous at all points (x0,y0,z0) في مجالها.


              Functions of Multiple Variables (Exercises) - Mathematics

              Find the limit of a function :

              Find the limit of a function :

              Find the limit of a function :

              Find the limit of a function :

              Find the limit of a function :

              Find the limit of a function :

              By using the L'Hospital's rule find the limit of a function :


              شاهد الفيديو: حساب الإحتمالات عند سحب بالإرجاع أو بدون إرجاع (شهر اكتوبر 2021).