مقالات

تحسين وظائف عدة متغيرات - الرياضيات


أحد أكثر التطبيقات المفيدة لمشتقات دالة لمتغير واحد هو تحديد الحد الأقصى و / أو القيم الدنيا. هذا التطبيق مهم أيضًا لوظائف متغيرين أو أكثر ، ولكن كما رأينا في الأقسام السابقة من هذا الفصل ، يؤدي إدخال المزيد من المتغيرات المستقلة إلى المزيد من النتائج المحتملة للحسابات. لا تزال الأفكار الرئيسية لإيجاد النقاط الحرجة واستخدام الاختبارات المشتقة سارية ، ولكن تظهر تجاعيد جديدة عند تقييم النتائج.

نقاط حرجة

بالنسبة إلى وظائف متغير واحد ، قمنا بتعريف النقاط الحرجة على أنها قيم الوظيفة عندما يكون المشتق مساويًا للصفر أو غير موجود. بالنسبة للدوال ذات المتغيرين أو أكثر ، فإن المفهوم هو نفسه بشكل أساسي ، باستثناء حقيقة أننا نعمل الآن مع المشتقات الجزئية.

التعريف: النقاط الحرجة

لنفترض أن (z = f (x، y) ) دالة لمتغيرين قابلين للتفاضل في مجموعة مفتوحة تحتوي على النقطة ((x_0، y_0) ). النقطة ((x_0، y_0) ) تسمى أ نقطة حرجة لدالة ذات متغيرين (f ) إذا كان أحد الشرطين التاليين ينطبق:

  1. (f_x (x_0، y_0) = f_y (x_0، y_0) = 0 )
  2. إما (f_x (x_0، y_0) ؛ text {or} ؛ f_y (x_0، y_0) ) غير موجود.

مثال ( PageIndex {1} ): البحث عن النقاط الحرجة

ابحث عن النقاط الحرجة لكل من الوظائف التالية:

  1. (f (x، y) = sqrt {4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36} )
  2. (ز (س ، ص) = س ^ 2 + 2 س ص − 4 ص ^ 2 + 4x − 6 ص + 4 )

حل:

أ. أولاً ، نحسب (f_x (x، y) ؛ text {and} ؛ f_y (x، y): )

[ begin {align *} f_x (x، y) & = dfrac {1} {2} (- 18x + 36) (4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36) ^ {- 1 / 2} & = dfrac {−9x + 18} { sqrt {4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36}} end {align *} ]

[ begin {align *} f_y (x، y) & = dfrac {1} {2} (8y + 24) (4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36) ^ {- 1/2 } & = dfrac {4y + 12} { sqrt {4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36}} end {align *}. ]

بعد ذلك ، نضع كل تعبير من هذه التعبيرات مساويًا للصفر:

[ begin {align *} dfrac {−9x + 18} { sqrt {4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36}} & = 0 dfrac {4y + 12} { sqrt {4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36}} & = 0. النهاية {محاذاة *} ]

بعد ذلك ، اضرب طرفي كل معادلة في مقامها (لمسح القواسم):

[ start {align *} −9x + 18 & = 0 4y + 12 & = 0. النهاية {محاذاة *} ]

لذلك ، (x = 2 ) و (y = −3 ، ) لذا ((2 ، −3) ) هي نقطة حرجة في (f ).

يجب أن نتحقق أيضًا من احتمال أن مقام كل مشتق جزئي يمكن أن يساوي صفرًا ، مما يتسبب في عدم وجود المشتق الجزئي. بما أن المقام هو نفسه في كل مشتقة جزئية ، فسنحتاج إلى القيام بذلك مرة واحدة فقط:

[4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36 = 0. لا يوجد رقم]

هذه المعادلة تمثل القطع الزائد. يجب أن نلاحظ أيضًا أن مجال (f ) يتكون من نقاط تحقق المتباينة

[4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36≥0. لا يوجد رقم]

لذلك ، فإن أي نقاط على القطع الزائد ليست فقط نقاط حرجة ، بل هي أيضًا على حدود المجال. لوضع القطع الزائد في الشكل القياسي ، نستخدم طريقة إكمال المربع:

[ start {align *} 4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x + 36 & = 0 4y ^ 2−9x ^ 2 + 24y + 36x & = - 36 4y ^ 2 + 24y − 9x ^ 2 + 36x & = - 36 4 (y ^ 2 + 6y) −9 (x ^ 2−4x) & = - 36 4 (y ^ 2 + 6y + 9) −9 (x ^ 2−4x + 4 ) & = - 36−36 + 36 4 (y + 3) ^ 2−9 (x − 2) ^ 2 & = - 36. end {align *} ]

قسمة كلا الجانبين على (- 36 ) يضع المعادلة في الشكل القياسي:

[ begin {align *} dfrac {4 (y + 3) ^ 2} {- 36} - dfrac {9 (x − 2) ^ 2} {- 36} & = 1 dfrac {( x − 2) ^ 2} {4} - dfrac {(y + 3) ^ 2} {9} & = 1. النهاية {محاذاة *} ]

لاحظ أن النقطة ((2، −3) ) هي مركز القطع الزائد.

وبالتالي ، فإن النقاط الحرجة للدالة (f ) هي ((2، -3) ) وجميع النقاط الموجودة على القطع الزائد ، ( dfrac {(x − 2) ^ 2} {4} - dfrac {(y + 3) ^ 2} {9} = 1 ).

ب. أولاً ، نحسب (g_x (x، y) ) و (g_y (x، y) ):

[ start {align *} g_x (x، y) & = 2x + 2y + 4 g_y (x، y) & = 2x − 8y − 6. النهاية {محاذاة *} ]

بعد ذلك ، قمنا بتعيين كل من هذه التعبيرات على الصفر ، مما يعطي نظامًا من المعادلات في (x ) و (y ):

[ ابدأ {محاذاة *} 2x + 2y + 4 & = 0 2x y 8y − 6 & = 0. النهاية {محاذاة *} ]

ينتج عن طرح المعادلة الثانية من الأولى (10y + 10 = 0 ) ، لذلك (y = −1 ). استبدال هذا في المعادلة الأولى يعطي (2x + 2 (−1) + 4 = 0 ) ، لذلك (x = −1 ).

لذلك ((- 1 ، −1) ) هي نقطة حرجة في (ز ). لا توجد نقاط في ( mathbb {R} ^ 2 ) تجعل أيًا من المشتقات الجزئية غير موجود.

يوضح الشكل ( PageIndex {1} ) سلوك السطح عند النقطة الحرجة.

تمرين ( PageIndex {1} ):

أوجد النقطة الحرجة للدالة (f (x، y) = x ^ 3 + 2xy − 2x − 4y. )

تلميح

احسب (f_x (x، y) ) و (f_y (x، y) ) ، ثم اضبطهما على الصفر.

إجابه

النقطة الحرجة الوحيدة في (f ) هي ((2، −5) ).

تحديد المتطرفة العالمية والمحلية

الغرض الرئيسي من تحديد النقاط الحرجة هو تحديد الحدود القصوى والدنيا النسبية ، كما هو الحال في حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير. عند العمل مع دالة لمتغير واحد ، فإن تعريف الحد الأقصى المحلي يتضمن إيجاد فاصل زمني حول النقطة الحرجة بحيث تكون قيمة الوظيفة إما أكبر من أو أقل من جميع قيم الوظائف الأخرى في تلك الفترة الزمنية. عند العمل بدالة من متغيرين أو أكثر ، فإننا نعمل مع قرص مفتوح حول النقطة.

التعريف: إكستريما العالمية والمحلية

لنفترض أن (z = f (x، y) ) دالة لمتغيرين محددين ومستمرين على مجموعة مفتوحة تحتوي على النقطة ((x_0، y_0). ) ثم (f ) لديه الحد الأقصى المحلي في ((x_0 ، y_0 )) إذا

[f (x_0، y_0) ≥f (x، y) ]

لجميع النقاط ((x، y) ) داخل بعض الأقراص المتمركزة في ((x_0، y_0) ). الرقم (f (x_0، y_0) ) يسمى قيمة قصوى محلية. إذا كانت المتباينة السابقة صحيحة لكل نقطة ((x، y) ) في مجال (f ) ، فإن (f ) لديها الحد الأقصى العالمي (وتسمى أيضًا ملف الحد الأقصى المطلق) في ((x_0، y_0). )

الدالة (f ) لها حد أدنى محلي عند ((x_0، y_0) ) إذا

[f (x_0، y_0) ≤f (x، y) ]

لجميع النقاط ((x، y) ) داخل بعض الأقراص المتمركزة في ((x_0، y_0) ). الرقم (f (x_0، y_0) ) يسمى قيمة دنيا محلية. إذا كانت المتباينة السابقة صحيحة لكل نقطة ((x، y) ) في مجال (f ) ، فإن (f ) لديها الحد الأدنى العالمي (وتسمى أيضًا ملف الحد الأدنى المطلق) في ((x_0، y_0) ).

إذا كانت (f (x_0، y_0) ) قيمة قصوى محلية أو قيمة دنيا محلية ، فيُطلق عليها الحد الأقصى المحلي (الشكل ( PageIndex {2} )).

في حساب التفاضل والتكامل 1 ، أظهرنا أن الدوال القصوى لمتغير واحد تحدث عند النقاط الحرجة. وينطبق الشيء نفسه على وظائف أكثر من متغير واحد ، كما هو مذكور في النظرية التالية.

نظرية فيرمات لوظائف متغيرين

لنفترض أن (z = f (x، y) ) دالة لمتغيرين محددين ومستمرين على مجموعة مفتوحة تحتوي على النقطة ((x_0، y_0) ). افترض أن (f_x ) و (f_y ) كل منهما موجود في ((x_0، y_0) ). إذا كان f يحتوي على حد أقصى محلي عند ((x_0، y_0) ) ، فإن ((x_0، y_0) ) هي نقطة حرجة في (f ).

ضع في اعتبارك الوظيفة (f (x) = x ^ 3. ) هذه الوظيفة لها نقطة حرجة عند (x = 0 ) ، منذ (f '(0) = 3 (0) ^ 2 = 0 ) . ومع ذلك ، لا يحتوي (f ) على قيمة قصوى عند (x = 0 ). لذلك ، فإن وجود قيمة حرجة عند (x = x_0 ) لا يضمن حدًا أقصى محلي عند (x = x_0 ). وينطبق الشيء نفسه على دالة من متغيرين أو أكثر. طريقة واحدة يمكن أن يحدث هذا هو في نقطة سرج. يظهر مثال على نقطة السرج في الشكل التالي.

الشكل ( PageIndex {3} label {saddlefigure} ): رسم بياني للدالة (z = x ^ 2 − y ^ 2 ). هذا الرسم البياني له نقطة سرج عند نقطة الأصل.

الأصل في هذا الرسم البياني هو نقطة سرج. هذا لأن المشتقات الجزئية الأولى لـ f ((x، y) = x ^ 2 − y ^ 2 ) تساوي صفرًا في هذه المرحلة ، لكنها ليست حدًا أقصى أو أدنى للدالة. علاوة على ذلك ، فإن التتبع العمودي المقابل لـ (y = 0 ) هو (z = x ^ 2 ) (قطع مكافئ يفتح لأعلى) ، لكن التتبع الرأسي المقابل لـ (x = 0 ) هو (z = −y ^ 2 ) (قطع مكافئ يفتح لأسفل). لذلك ، فهو يمثل حدًا أقصى عالميًا لتتبع واحد وحد أدنى عالمي لآخر.

التعريف: نقطة السرج

بالنظر إلى الوظيفة (z = f (x، y)، ) النقطة ( big (x_0، y_0، f (x_0، y_0) big) ) هي نقطة سرج إذا كان كلاهما (f_x (x_0، y_0) = 0 ) و (f_y (x_0، y_0) = 0 ) ، لكن (f ) ليس له حد أقصى محلي عند ((x_0، y_0). )

تصنيف النقاط الحرجة

من أجل تطوير طريقة عامة لتصنيف سلوك دالة لمتغيرين في نقاطها الحرجة ، نحتاج أن نبدأ بتصنيف سلوك وظائف متعددة الحدود من الدرجة الثانية لمتغيرين عند نقاطهما الحرجة.

لمعرفة سبب مساعدتنا في ذلك ، ضع في اعتبارك أن التقريب التربيعي لوظيفة من متغيرين (درجة تيلور متعددة الحدود من الدرجة الثانية) تشترك في نفس الجزأين الأول والثاني مثل الوظيفة التي تقربها عند نقطة التماس المختارة (أو نقطة المركز) . نظرًا لأن مشاركة نفس الأجزاء الثانية تعني أن السطحين سيشتركان في نفس التقعر (أو الانحناء) عند النقطة الحرجة ، فإن هذا يتسبب في مشاركة أسطح التقريب التربيعي في نفس سلوك الوظيفة (z = f (x، y) ) أنها تقريبية عند نقطة التماس. بمعنى آخر ، إذا كانت الوظيفة الأصلية لها حد أقصى نسبي في هذه المرحلة ، فسيكون التقريب التربيعي كذلك. إذا كانت الوظيفة الأصلية لها حد أدنى نسبي في هذه المرحلة ، فسيكون التقريب التربيعي كذلك ، وإذا كانت الوظيفة الأصلية لها نقطة سرج في هذه المرحلة ، فسيكون التقريب التربيعي كذلك.

يوجد الآن ثلاثة سلوكيات أساسية لكثيرات الحدود التربيعية في متغيرين في نقطة حيث لها نقطة حرجة. سيتناسب مع أحد الأشكال الثلاثة التالية ، وغالبًا ما يكون تحولًا لإحدى الوظائف التالية.

  1. مجموع حدين تربيعين ، مثل (z = x ^ 2 + y ^ 2 ) ، ينتج عنه شكل مكافئ ينفتح وله حد أدنى نسبي (مطلق) عند رأسه. شاهد المؤامرة على الجانب الأيسر من الشكل ( PageIndex {4} ).
  2. سالب مجموع حدين تربيعين ، مثل (z = - left (x ^ 2 + y ^ 2 right) ) ، ينتج عنه شكل مكافئ يفتح لأسفل وله قيمة قصوى (مطلقة) عند رأسه. شاهد المؤامرة على الجانب الأيمن من الشكل ( PageIndex {4} ).
  3. الفرق بين حدين تربيعين ، مثل (z = f (x، y) = x ^ 2 - y ^ 2 ) أو (z = f (x، y) = y ^ 2 - x ^ 2 ) ، إنتاج سرج بنقطة سرج عند النقطة الحرجة. راجع الشكل ( PageIndex {3} ).

الشكل ( PageIndex {4} ): (z = x ^ 2 + y ^ 2 ) لديه حد أدنى مطلق من (0 ) في ((0،0) ) ، بينما (z = - (x ^ 2 + y ^ 2) ) بحد أقصى مطلق يبلغ (0 ) عند ((0،0) ) ،

مثال ( PageIndex {1} ): تصنيف النقاط الحرجة للدالة

استخدم إكمال المربع لتحديد النقاط القصوى المحلية أو نقاط السرج للدوال متعددة الحدود التربيعية التالية:

  1. (و (س ، ص) = س ^ 2-6 س + ص ^ 2 + 10 ص + 20 )
  2. (f (x، y) = 12-3x ^ 2-6x - y ^ 2 + 12y )
  3. (و (س ، ص) = س ^ 2 + 8 س - 2 ص ^ 2 + 16 ص )
  4. (و (س ، ص) = س ^ 2 + 6 س ص + ص ^ 2 )

حل

أ. لتحديد النقاط الحرجة لهذه الوظيفة ، نبدأ بتعيين أجزاء (f ) تساوي (0 ). [ start {align *} text {Set} quad f_x (x، y) & = 2x -6 = 0 & implies x & = 3 text {and} quad f_y (x، y) & = 2y + 10 = 0 & تشير إلى y & = -5 end {align *} ] نحصل على نقطة حرجة واحدة بإحداثيات ((3، -5) ). بعد ذلك ، نحتاج إلى تحديد سلوك الوظيفة (f ) في هذه المرحلة.

بإكمال المربع ، نحصل على: [ start {align *} f (x، y) & = x ^ 2 - 6x + y ^ 2 + 10y + 20 & = x ^ 2 - 6x + 9 + y ^ 2 + 10y + 25 + 20 - 9 - 25 & = (x - 3) ^ 2 + (y + 5) ^ 2 - 14 end {align *} ] لاحظ أن هذه الوظيفة هي في الحقيقة مجرد نسخة مترجمة من (z = x ^ 2 + y ^ 2 ) ، لذا فهو مكافئ ينفتح برأسه (النقطة الدنيا) عند النقطة الحرجة ((3، -5) ). يمكننا القول بأن لها قيمة دنيا مطلقة (- 14 ) عند النقطة ((3، -5) ) ، بما أننا نضيف حدودًا مربعة إلى (- 14 ) وبالتالي لا يمكننا الحصول على قيمة أقل من (- 14 ) لأي قيم من (س ) و (ص ) ، بينما نحصل على الحد الأدنى لقيمة (- 14 ) عند نقطة الرأس ((3 ، -5) ).

ب. عند ضبط أجزاء (f ) التي تساوي (0 ) ، نحصل على: [ start {align *} text {Set} quad f_x (x، y) & = -6x -6 = 0 & تشير إلى x & = -1 text {and} quad f_y (x، y) & = -2y + 12 = 0 & تشير إلى y & = 6 end {align *} ] نحصل على أمر حرج واحد أشر بالإحداثيات ((-1 ، 6) ). بعد ذلك ، نحتاج إلى تحديد سلوك الوظيفة (f ) في هذه المرحلة.

لإكمال المربع هنا ، علينا أولًا تحليل عوامل الحدين التربيعي. عند القيام بذلك وإعادة ترتيب المصطلحات ، يعطينا البعض: [ start {align *} f (x، y) & = 12 - 3x ^ 2 - 6x - y ^ 2 + 12y & = - 3 left (x ^ 2 + 2x quad quad right) - 1 left (y ^ 2 - 12y quad quad right) + 12 & = -3 left (x ^ 2 + 2x + 1 right) - 1 يسار (y ^ 2 - 12y +36 right) + 12 + 3 + 36 & = 51 - 3 (x + 1) ^ 2 - (y - 6) ^ 2 end {align *} ] إشعار أن هذه الوظيفة هي شكل مكافئ بيضاوي ينفتح لأسفل برأسه (النقطة القصوى) عند النقطة الحرجة ((-1 ، 6) ). يمكننا القول أن لها قيمة قصوى مطلقة (51 ) عند النقطة ((-1 ، 6) ) ، نظرًا لأننا نطرح حدودًا تربيعية من (51 ) وبالتالي لا يمكننا الحصول على قيمة أكثر من (51 ) لأي قيم من (س ) و (ص ) ، بينما نحصل على الحد الأدنى لقيمة (51 ) عند نقطة الرأس ((-1 ، 6) ).

ج. عند ضبط أجزاء (f ) التي تساوي (0 ) ، نحصل على: [ start {align *} text {Set} quad f_x (x، y) & = 2x + 8 = 0 & تشير إلى x & = -4 text {and} quad f_y (x، y) & = -4y + 16 = 0 & تشير إلى y & = 4 end {align *} ] وهذا يعطينا نقطة حرجة بالإحداثيات ((-4 ، 4) ). لتحديد ما إذا كان (f ) يحتوي على حد أقصى محلي أو نقطة سرج في هذه المرحلة ، نكمل المربع.

يعطينا تحليل (- 2 ) من (y ) - الحد التربيعي: [ start {align *} f (x، y) & = x ^ 2 + 8x - 2y ^ 2 + 16y & = x ^ 2 + 8x +16-2 left (y ^ 2-8y + 16 right) - 16 + 32 & = (x + 4) ^ 2 - 2 (y - 4) ^ 2 +16 end {align *} ] بما أن أحد المصطلحات التربيعية موجب والآخر سلبي ، فإننا نرى أن هذه الدالة لها شكل (z = x ^ 2 - y ^ 2 ) وبالتالي تحتوي على نقطة سرج عندها نقطة حرجة. وهذا يعني أن (f ) له نقطة سرج عند ((-4 ، 4 ، 16) ).

د. عند تعيين أجزاء (f ) تساوي (0 ) ، نحصل على: [ start {align *} text {Set} quad f_x (x، y) & = 2x + 6y = 0 & text {and} quad f_y (x، y) & = 6x + 2y = 0 & يعني y & = -3x end {align *} ] استبدال (- 3x ) في المعادلة الأولى لـ (y ) يعطينا ، [ begin {align *} 2x + 6 (-3x) & = 0 -16x & = 0 x & = 0 end {align *} ] منذ (y = -3x ) ، لدينا (y = -3 (0) = 0 ) ، لذا فإن النقطة الحرجة لـ (f ) هي ((0،0) ). لتحديد سلوك (f ) في هذه المرحلة الحرجة ، نكمل المربع.

[ start {align *} f (x، y) & = x ^ 2 + 6xy + y ^ 2 & = (x ^ 2 + 6xy + 9y ^ 2) + y ^ 2 - 9y ^ 2 & = (x + 3y) ^ 2 - 8y ^ 2 end {align *} ] نظرًا لأن هذا ينتج فرقًا في المربعات ذات حد تربيعي موجب والآخر حد تربيع سلبي ، فإننا نرى أن (f ) يأخذ شكل مشابه لـ (z = x ^ 2 - y ^ 2 ) وسيكون له نقطة سرج عند ((0 ، 0 ، 0) ).

الآن دعونا ننظر في التقريب التربيعي للدالة (z = f (x، y) ) المتمركزة في نقطة حرجة ((x_0، y_0) ) من هذه الوظيفة.

[Q (x، y) = f (x_0، y_0) + f_x (x_0، y_0) (x - x_0) + f_y (x_0، y_0) (y - y_0) + frac {f_ {xx} (x_0، y_0)} {2} (x-x_0) ^ 2 + f_ {xy} (x_0، y_0) (x-x_0) (y-y_0) + frac {f_ {yy} (x_0، y_0)} {2} (y-y_0) ^ 2 ]

لكن بما أن النقطة ((x_0، y_0) ) ، في هذه الحالة ، هي نقطة حرجة في (f ) ، فإننا نعلم أن (f_x (x_0 ، y_0) = 0 ) و (f_y ( x_0 ، y_0) = 0 ).

يتيح لنا ذلك تبسيط (Q (x، y) ) على النحو التالي:

[Q (x، y) = f (x_0، y_0) + frac {f_ {xx} (x_0، y_0)} {2} (x-x_0) ^ 2 + f_ {xy} (x_0، y_0) ( x-x_0) (y-y_0) + frac {f_ {yy} (x_0، y_0)} {2} (y-y_0) ^ 2 ]

نحتاج الآن إلى إكمال المربع في كثير الحدود التربيعي في متغيرين لمعرفة كيف يمكننا تصنيف سلوك هذه الدالة عند هذه النقطة الحرجة. تذكر أن الوظيفة الأصلية ستشترك في نفس السلوك (الحد الأقصى ، والدقيقة ، ونقطة السرج) مثل متعدد الحدود تايلور من الدرجة الثانية في هذه النقطة الحرجة.

لتسهيل هذه العملية ، دعنا نجري بعض الاستبدالات. دعنا نختار السماح (u = x - x_0 ) و (v = y - y_0 ) ،

ودع [ تبدأ {محاذاة *} a & = frac {f_ {xx} (x_0، y_0)} {2}، b & = f_ {xy} (x_0، y_0)، c & = frac {f_ {yy} (x_0، y_0)} {2} ، text {and} d & = f (x_0، y_0) end {align *} ]

ثم نحتاج إلى إكمال المربع في كثير الحدود: [Q (x، y) = au ^ 2 + buv + cv ^ 2 + d ]

استكمال الساحة:

نقوم أولاً باستخراج معامل (u ^ 2 ): [= a left [u ^ 2 + frac {b} {a} uv + frac {c} {a} v ^ 2 right] + د ]

بعد ذلك ، نكمل المربع باستخدام أول مصطلحين: [= a left [ left (u ^ 2 + frac {b} {a} uv + left ( frac {b} {2a} v right ) ^ 2 right) + frac {c} {a} v ^ 2 - left ( frac {b} {2a} v right) ^ 2 right] + d ]

ينتج عن إعادة كتابة المثلث التربيعي الكامل كمربع ذي الحدين والجمع بين المصطلحات (v ^ 2 ):

[ start {align *} & = a left [ left (u + frac {b} {2a} v right) ^ 2 + left ( frac {c} {a} - frac {b ^ 2} {4a ^ 2} right) v ^ 2 right] + d
& = a left [ left (u + frac {b} {2a} v right) ^ 2 + left ( frac {4ac} {4a ^ 2} - frac {b ^ 2} {4a ^ 2 } حق) v ^ 2 right] + d
& = a left [ left (u + frac {b} {2a} v right) ^ 2 + left ( frac {4ac-b ^ 2} {4a ^ 2} right) v ^ 2 right ] + d end {محاذاة *} ]

لاحظ أن شكل الرسم البياني لهذه الوظيفة يعتمد على علامة معامل (v ^ 2 ). ويتم تحديد علامة هذا المعامل فقط من خلال البسط ، حيث يكون المقام دائمًا موجبًا (كونه مربعًا كاملًا).يُطلق على هذا التعبير ، (4ac-b ^ 2 ) ، المميز ، لأنه يساعدنا على التمييز (معرفة الفرق بين) السلوك الذي تمتلكه الوظيفة في هذه المرحلة الحرجة.

إذا كان (D = 4ac-b ^ 2 gt 0 ) ، فإن كلا الحدين التربيعيين داخل الأقواس موجبان ، و

  • إذا (a = frac {f_ {xx} (x_0، y_0)} {2} gt 0 ) ، تفتح الوظيفة (f ) لأعلى بحد أدنى محلي عند النقطة الحرجة ((x_0، y_0 ) ). لاحظ أنه سيكون مشابهًا للنموذج ، (z = x ^ 2 + y ^ 2 ).
  • إذا (a = frac {f_ {xx} (x_0، y_0)} {2} lt 0 ) ، تفتح الوظيفة (f ) لأسفل بحد أقصى محلي عند النقطة الحرجة ((x_0، y_0 ) ). لاحظ أنه سيكون مشابهًا للنموذج ، (z = - left (x ^ 2 + y ^ 2 right) ).

إذا كان (D = 4ac-b ^ 2 lt 0 ) ، إذن إما

  • المصطلحان المربّعان الموجودان داخل الأقواس لهما علامات معاكسة (بمعنى (f ) مقعر لأعلى على طول خط موازٍ لمحور (س ) ومقعر لأسفل على طول خط موازٍ لمحور (ص ) ، أو العكس) أو
  • الحد (b ^ 2 ) ، الذي يمثل مربع الجزء المختلط (f_ {xy} (x_0، y_0) ) ، أكبر من المنتج الموجب للجزئين الثانيين (f_ {xx} ( x_0، y_0) ) و (f_ {yy} (x_0، y_0) ). هذا يعني أنه حتى لو كان السطح مقعرًا في كلا الاتجاهين (x ) - و (y ) - أو مقعرًا لأسفل في كلا الاتجاهين (x ) - و (y ) - مختلط كبير يمكن للجزئية أن تعوض عن ذلك وتتسبب في أن يكون للسطح نقطة سرج عند النقطة ((x_0، y_0) ).

في كلتا الحالتين ، سيكون كثير الحدود التربيعي على شكل (z = x ^ 2 - y ^ 2 ) أو (z = y ^ 2 - x ^ 2 ) (أي سيكون الفرق بين اثنين حدود مربعة) ، لذلك نحصل على نقطة سرج عند النقطة الحرجة ((x_0، y_0) ).

لكن إذا (D = 4ac-b ^ 2 = 0 ) ، فإن كثير الحدود التربيعي يتقلص إلى (Q (x، y) = a left (u + frac {b} {2a} v right) ^ 2 + d ) ، الرسم البياني الخاص به عبارة عن أسطوانة مكافئة ، لذا فإن سلوك الوظيفة غير واضح عند النقطة الحرجة ((x_0، y_0) ).

الآن بعد تذكر قيم الثوابت (a ) و (b ) و (c ) من الأعلى ، نرى ما يلي: [ start {align *} D (x_0، y_0) & = 4 frac {f_ {xx} (x_0، y_0)} {2} frac {f_ {yy} (x_0، y_0)} {2} - big (f_ {xy} (x_0، y_0) big) ^ 2 & = f_ {xx} (x_0، y_0) f_ {yy} (x_0، y_0) - big (f_ {xy} (x_0، y_0) big) ^ 2 end {align *} ]

هذه الصيغة تسمى اختبار الجزئيات الثاني، ويمكن استخدامه لتصنيف سلوك أي دالة في نقاطها الحرجة ، طالما أن جزئياتها الثانية موجودة هناك وطالما أن قيمة هذا التمييز ليست صفرًا.

اختبار الجزئيات الثاني

يوفر اختبار المشتق الثاني لوظيفة متغير واحد طريقة لتحديد ما إذا كان الحد الأقصى يحدث عند نقطة حرجة للدالة. عند توسيع هذه النتيجة إلى دالة من متغيرين ، تنشأ مشكلة تتعلق بحقيقة أن هناك ، في الواقع ، أربعة مشتقات جزئية مختلفة من الدرجة الثانية ، على الرغم من أن المساواة في الأجزاء المختلطة تقلل هذا إلى ثلاثة. يستخدم اختبار الجزئيات الثاني لوظيفة من متغيرين ، مذكور في النظرية التالية ، أ مميز (D ) الذي يحل محل (f '(x_0) ) في اختبار المشتق الثاني لوظيفة ذات متغير واحد.

اختبار الجزئيات الثاني

لنفترض (z = f (x، y) ) أن تكون دالة لمتغيرين حيث تكون المشتقات الجزئية من الرتبتين الأولى والثانية متصلة على بعض الأقراص التي تحتوي على النقطة ((x_0، y_0) ). افترض (f_x (x_0، y_0) = 0 ) و (f_y (x_0، y_0) = 0. ) حدد الكمية

[D = f_ {xx} (x_0، y_0) f_ {yy} (x_0، y_0) - big (f_ {xy} (x_0، y_0) big) ^ 2. ]

ثم:

  1. إذا (D> 0 ) و (f_ {xx} (x_0، y_0)> 0 ) ، فإن (f ) مقعر عند هذه النقطة الحرجة ، لذلك (f ) لديه حد أدنى محلي عند ((x_0، y_0) ).
  2. إذا (D> 0 ) و (f_ {xx} (x_0، y_0) <0 ) ، فإن (f ) مقعر لأسفل عند هذه النقطة الحرجة ، لذلك (f ) له حد أقصى محلي عند ((x_0، y_0) ).
  3. إذا كان (D <0 ) ، إذن (f ) به نقطة سرج عند ((x_0، y_0) ).
  4. إذا كان (D = 0 ) ، فإن الاختبار غير حاسم.

راجع الشكل ( PageIndex {4} ).

لتطبيق اختبار الجزئيات الثاني ، من الضروري أن نجد أولاً النقاط الحرجة للدالة. هناك العديد من الخطوات المتضمنة في الإجراء بأكمله ، والتي تم تحديدها في استراتيجية حل المشكلات.

إستراتيجية حل المشكلات: استخدام اختبار الجزئيات الثاني لوظائف متغيرين

لنفترض أن (z = f (x، y) ) دالة من متغيرين حيث تكون المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى والثانية متصلة على بعض الأقراص التي تحتوي على النقطة ((x_0، y_0). ) للتطبيق اختبار الجزئيات الثاني للعثور على القيم القصوى المحلية ، استخدم الخطوات التالية:

  1. حدد النقاط الحرجة ((x_0، y_0) ) للدالة (f ) حيث (f_x (x_0، y_0) = f_y (x_0، y_0) = 0. ) إذا وجدت أي نقاط حرجة حيث واحد على الأقل من المشتقات الجزئية غير موجود ، ستحتاج إلى إيجاد وتبرير القيم القصوى بطريقة أخرى ، حيث لا يمكنك استخدام اختبار الجزئيات الثاني.
  2. احسب المميز (D = f_ {xx} (x_0، y_0) f_ {yy} (x_0، y_0) - big (f_ {xy} (x_0، y_0) big) ^ 2 ) لكل نقطة حرجة من (F).
  3. قم بتطبيق الحالات الأربع للاختبار لتحديد ما إذا كانت كل نقطة حرجة هي الحد الأقصى المحلي ، أو الحد الأدنى المحلي ، أو نقطة السرج ، أو ما إذا كان الاختبار غير حاسم. إذا كان الاختبار غير حاسم ، فستحتاج إلى تحليل السلوك وتصنيفه في النقطة الحرجة بطريقة أخرى.

مثال ( PageIndex {2} ): استخدام اختبار الجزئيات الثاني

ابحث عن النقاط الحرجة لكل من الوظائف التالية ، واستخدم اختبار الجزئيات الثاني للعثور على أي نقاط قصوى محلية أو نقاط سرج.

  1. (و (س ، ص) = 4x ^ 2 + 9y ^ 2 + 8x − 36y + 24 )
  2. (g (x، y) = dfrac {1} {3} x ^ 3 + y ^ 2 + 2xy − 6x − 3y + 4 )

حل:

أ. الخطوة 1 من استراتيجية حل المشكلات تتطلب منا إيجاد النقاط الحرجة لـ (و ). للقيام بذلك ، نحسب أولاً (f_x (x، y) ) و (f_y (x، y) ) ثم نضع كل منهما مساوياً للصفر:

[ start {align *} f_x (x، y) & = 8x + 8 f_y (x، y) & = 18y − 36. النهاية {محاذاة *} ]

ويؤدي جعلها تساوي صفرًا إلى الحصول على نظام المعادلات

[ start {align *} 8x + 8 & = 0 18y − 36 & = 0. النهاية {محاذاة *} ]

حل هذا النظام هو (x = −1 ) و (y = 2 ). لذلك ((- 1،2) ) هي النقطة الحرجة الوحيدة في (و ).

الخطوة 2 من استراتيجية حل المشكلات تتضمن حساب (د ) للقيام بذلك ، نحسب أولاً المشتقات الجزئية الثانية لـ (f: )

[ start {align *} f_ {xx} (x، y) & = 8 f_ {xy} (x، y) & = 0 f_ {yy} (x، y) & = 18. النهاية {محاذاة *} ]

لذلك ، (D (-1،2) = f_ {xx} (- 1،2) f_ {yy} (- 1،2) - big (f_ {xy} (- 1،2) big) ^ 2 = (8) (18) - (0) ^ 2 = 144> 0. )

الخطوه 3 يخبرنا أن نطبق الحالات الأربع للاختبار لتصنيف سلوك الوظيفة في هذه المرحلة الحرجة.

بما أن (D> 0 ) و (f_ {xx} (- 1،2) = 8> 0 ، ؛ f ) مقعر ، لذلك (f ) به حد أدنى محلي من (f ( -1،2) = -16 ) في ((- 1،2) ) ، كما هو موضح في الشكل التالي. (لاحظ أن هذا يتوافق مع الحالة 1 من اختبار الجزئيات الثاني.)

الشكل ( PageIndex {5} ): الوظيفة (f (x، y) ) لها حد أدنى محلي عند ((- 1،2، −16). ) لاحظ المقياس على المحور (y ) - في هذا المخطط بالآلاف.

ب. ل الخطوة 1، نحسب أولاً (g_x (x ، y) ) و (g_y (x، y) ) ، ثم نضع كل منهما مساوياً للصفر:

[ start {align *} g_x (x، y) & = x ^ 2 + 2y − 6 g_y (x، y) & = 2y + 2x − 3. النهاية {محاذاة *} ]

ويؤدي جعلها تساوي صفرًا إلى الحصول على نظام المعادلات

[ start {align *} x ^ 2 + 2y − 6 & = 0 2y + 2x − 3 & = 0. النهاية {محاذاة *} ]

لحل هذا النظام ، قم أولاً بحل المعادلة الثانية لـ (y ). هذا يعطي (y = dfrac {3−2x} {2} ). استبدال هذا في المعادلة الأولى يعطي

[ start {align *} x ^ 2 + 3−2x − 6 & = 0 x ^ 2−2x − 3 & = 0 (x − 3) (x + 1) & = 0. النهاية {محاذاة *} ]

لذلك ، (x = −1 ) أو (x = 3 ). ينتج عن استبدال هذه القيم في المعادلة (y = dfrac {3−2x} {2} ) النقاط الحرجة ( left (−1، frac {5} {2} right) ) و ( يسار (3، - فارك {3} {2} يمين) ).

الخطوة 2 يتضمن حساب المشتقات الجزئية الثانية لـ (g ):

[ start {align *} g_ {xx} (x، y) & = 2x g_ {xy} (x، y) & = 2 g_ {yy} (x، y) & = 2. النهاية {محاذاة *} ]

بعد ذلك ، نعوض بكل نقطة حرجة في الصيغة المميزة:

[ start {align *} D left (−1، tfrac {5} {2} right) & = (2 (−1)) (2) - (2) ^ 2 = −4−4 = −8 D left (3، - tfrac {3} {2} right) & = (2 (3)) (2) - (2) ^ 2 = 12−4 = 8. النهاية {محاذاة *} ]

في الخطوه 3، نستخدم اختبار الجزئيات الثاني لتصنيف سلوك الوظيفة في كل نقطة من نقاطها الحرجة.

عند النقطة ( left (−1، frac {5} {2} right) ) ، نرى أن (D left (−1، tfrac {5} {2} right) = - 8 <0 ) (الحالة 3 من الاختبار) ، مما يعني أن (f ) بها نقطة سرج عند النقطة ( يسار (−1 ، فارك {5} {2} يمين) ). إحداثيات نقطة السرج هذه هي ( left (−1، frac {5} {2}، frac {41} {12} right) ).

يؤدي تطبيق النظرية على النقطة ( left (3، - frac {3} {2} right) ) إلى الحالة (1 ). أي بما أن (D left (3، - tfrac {3} {2} right) = 8> 0 ) و (g_ {xx} left (3، - tfrac {3} {2 } right) = 2 (3) = 6> 0 ) ، نعلم أن (g ) مقعر في هذه النقطة الحرجة ، لذلك (g ) به حد أدنى محلي من (- frac {29 } {4} ) عند النقطة ( left (3، - frac {3} {2} right) ) ، كما هو موضح في الشكل التالي.

ملاحظة: قد يكون من المفيد أحيانًا العثور على صيغة عامة لـ (D ). على سبيل المثال ، هنا يمكننا استخدام الصيغة التالية:

[ begin {align *} D (x_0، y_0) & = g_ {xx} (x_0، y_0) g_ {yy} (x_0، y_0) - big (g_ {xy} (x_0، y_0) big) ^ 2 & = (2x_0) (2) −2 ^ 2 & = 4x_0−4. end {align *} ]

ثم سيكون لدينا:

[ start {align *} D left (−1، tfrac {5} {2} right) & = 4 (-1) -4 = −4−4 = −8 D left (3 ، - tfrac {3} {2} right) & = 4 (3) -4 = 12−4 = 8. النهاية {محاذاة *} ]

لاحظ أن القيم النهائية للمميز عند كل نقطة حرجة هي نفسها.

تمرين ( PageIndex {2} )

استخدم الجزئية الثانية لإيجاد القيمة القصوى المحلية للدالة

[f (x، y) = x ^ 3 + 2xy − 6x − 4y ^ 2. لا يوجد رقم]

تلميح

اتبع استراتيجية حل المشكلات لتطبيق اختبار الجزئيات الثاني.

إجابه

( left ( frac {4} {3}، frac {1} {3} right) ) نقطة سرج ، ( left (- frac {3} {2}، - frac {3} {8} right) ) هو الحد الأقصى المحلي.

  • النقطة الحرجة للدالة (f (x، y) ) هي أي نقطة ((x_0، y_0) ) حيث إما (f_x (x_0، y_0) = f_y (x_0، y_0) = 0 ) ، أو واحد على الأقل من (f_x (x_0، y_0) ) و (f_y (x_0، y_0) ) غير موجود.
  • نقطة السرج هي نقطة ((x_0، y_0) ) حيث (f_x (x_0، y_0) = f_y (x_0، y_0) = 0 ) ولكن ((x_0، y_0) ) ليست حدًا أقصى ولا حد أدنى في تلك المرحلة.
  • لإيجاد الدوال القصوى لمتغيرين ، أوجد أولاً النقاط الحرجة ، ثم احسب المميز وطبق اختبار الجزئيات الثاني.

المعادلات الرئيسية

  • مميز

(D = f_ {xx} (x_0، y_0) f_ {yy} (x_0، y_0) - (f_ {xy} (x_0، y_0)) ^ 2 )

قائمة المصطلحات

نقطة حرجة لدالة من متغيرين

النقطة ((x_0، y_0) ) تسمى النقطة الحرجة (f (x، y) ) إذا كان أحد الشرطين التاليين صحيحًا:

1. (f_x (x_0، y_0) = f_y (x_0، y_0) = 0 )

2. لا يوجد واحد على الأقل من (f_x (x_0، y_0) ) و (f_y (x_0، y_0) )

مميز
يُعطى مميز الدالة (f (x، y) ) بالصيغة (D = f_ {xx} (x_0، y_0) f_ {yy} (x_0، y_0) - (f_ {xy} (x_0 ، y_0)) ^ 2 )
نقطة سرج
بالنظر إلى الوظيفة (z = f (x، y)، ) النقطة ((x_0، y_0، f (x_0، y_0)) ) هي نقطة سرج إذا كان كلاهما (f_x (x_0، y_0) = 0 ) و (f_y (x_0، y_0) = 0 ) ، لكن (f ) لا يحتوي على حد أقصى محلي عند ((x_0، y_0) )

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.

  • قام Paul Seeburger (كلية مجتمع مونرو) بتحرير هذا القسم وتعديله على نطاق واسع.
    كتب بول أيضًا القسم الفرعي بأكمله بعنوان تصنيف النقاط الحرجة.

كيفية تحسين دالة ذات متغيرات متعددة

أحتاج إلى تطوير رمز لتحسين مجموعة أو متغيرات بناءً على الشروط التالية.

  1. ليس لدي مصدر الوظيفة.
  2. تحصل الوظيفة على نقطة (x ، y) وتولد نقطة معينة (x '، y') باستخدام مجموعة من المعلمات (حوالي 10 معلمات) (Mapping_Function) ..
  3. لدي مصفوفة من النقاط برغبة معينة منها (المدخلات [N] ، المعينة [N]).
  4. لدي وظيفة يمكنها حساب المسافة بين نقطتين (على سبيل المثال ، نقطة الإدخال ونقطة معينة). هذه الوظيفة هي في الواقع مسافة إقليدية (GetAbsError).
  5. أحتاج إلى كتابة رمز لتحسين المعلمات لتعمل حتى تصبح المسافة بين نقاط الإدخال والأخرى المعينة إلى الحد الأدنى (Optimize_Parameters).

رمز عينة كما يلي:

أحتاج إلى كتابة وظيفة Optimize_Parameters للقيام بالتحسين.

ما هي المكتبة التي يمكنني استخدامها لكتابة هذه الوظيفة؟

أين يمكنني العثور على مزيد من المعلومات حول هذا؟

يمكنني كتابتها في c ++ أو c # ، لكنني أفضل القيام بذلك في c ++ لأنها أسرع.


آر سي سترونجين ويا. د. سيرجيف ، التحسين العالمي مع القيود غير المحدبة. الخوارزميات المتسلسلة والمتوازية (كلوير ، دوردريخت ، 2000).

في. فويفودين و فل. فويفودين ، الحسابات المتوازية (BKhV-Peterburg ، سانت بطرسبرغ ، 2002) [بالروسية].

يو. G. Evtushenko ، "طريقة عددية لتحسين عالمي للوظائف (البحث على شبكة غير موحدة) ،" Zh. فيشيسل. حصيرة. حصيرة. فيز. 11, 1390–1403 (1971).

يو. G. Evtushenko و V. A. Rat’kin ، "طريقة Bisection للتحسين العالمي لوظائف العديد من المتغيرات ،" Izv. روس. العقاد. نوك ، تيك. Kibern. ، No. 1 ، 119-127 (1987).

أ. يا. Belyankov ، "تحسين كفاءة طرق التغطية غير الموحدة في التحسين العالمي ،" في ملخصات مؤتمر البرمجة الرياضية والبرمجيات (Ural’skoe Otdelenie Akad. Nauk SSSR، Sverdlovsk، 1989)، pp.21–22 [بالروسية].

يو. ج. Evtushenko ، V. U. Malkova ، و A. A. Stanevichyus ، "Parallelization of the Global Extremum Searcher Process" ، Avtom.Telemekh.، No. 5، 46–58 (2007) [Autom. جهاز التحكم 68, 787–798 (2007)].

يو. نيستيروف وبولياك ، "التنظيم المكعب لطريقة نيوتن وأدائها العالمي ،" الرياضيات. برنامج. 108(1), 177–205 (2006).

A. S. Strekalovsky ، عناصر التحسين Nonconvex (نووكا ، نوفوسيبيرسك ، 2003) [بالروسية].

أ. يا. Belyankov ، "التقسيم المتوازي الأولي في طرق التغطية غير الموحدة في التحسين العالمي ،" II عموم روسيا Conf. مع مدرسة أبحاث الشباب حول النمذجة الرياضية للاقتصادات النامية (جامعة فياتسكي جوس ، كيروف ، 2007) ، ص 59-62 [بالروسية].

M. A. Posypkin و I. Kh. سيجال ، "التحقيق في الخوارزميات للحسابات المتوازية في مشاكل التحسين المنفصلة من نوع الحقيبة ،" ز. فيشيسل. حصيرة. حصيرة. فيز. 45(10) ، 1801-1809 (2005) [Comput. رياضيات. رياضيات. فيز. 45, 1735–1742 (2005)].

مركز الكمبيوتر العملاق المشترك التابع للأكاديمية الروسية للعلوم ، HTTr: //www.jsss.ru

يو. G. Evtushenko و M. A. Potapov ، "طرق لحل مشاكل متعددة المعايير ،" Dokl. العقاد. Nauk SSSR 291, 25–29 (1986).

يو. G. Evtushenko ، "طريقة عددية لإيجاد أفضل التقديرات المضمونة ،" ز. فيشيسل. حصيرة. حصيرة. فيز. 12(1), 89–104 (1972).


G.M Ademenko ، "طريقة تصغير لوظائف المتغيرات n" ، Izv. العقاد. Nauk BSSR ، سر. فيز مات. نوك ، رقم 2 ، 131-132 (1972).

G. M. Ademenko ، R. Gabasov ، و A. A.Edenovich ، "تصغير وظائف عدد محدود من المتغيرات بواسطة طرق الدرجة الثانية ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،11، رقم 5 ، 1139-1149 (1971).

G. M. Adel'son-Vel'skii، V. L. Arlazarov، and F.M Filler، “ابحث عن القيم القصوى لدالة من عدة متغيرات” في: Proc. المدرسة الشتوية الأولى في البرمجة الرياضية ، 1968 [بالروسية] ، العدد 2 ، موسكو (1969) ، الصفحات 205-215.

س. ع. العبر ويا. I. Al'ber ، "تطبيق طريقة النسب التفاضلية لحل الأنظمة غير الخطية ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،7، رقم 1 ، 14–32 (1967).

يا. I. Al'ber ، "مخطط الاختلاف الضمني لتقليل الوظائف وحل الأنظمة غير الخطية ،" Izv. فيسش. أوشيب. Zaved.، Radiofiz.،10، رقم 7 ، 1035-1941 (1967).

أنتونوف وف. Katkovnik ، "تصفية وتجانس وظائف العديد من المتغيرات من أجل إيجاد الحد الأقصى العالمي ،" Avtomat. أنا فيتشيسل. Tekh.، No. 4، 32–38 (1970).

أرايس وإم. ن. جولوفشينير ، "تحسين وظائف الوادي ،" في: جوانب البرمجة وأتمتة التصميم [بالروسية] ، تومسك. جامعة ، تومسك (1971) ، ص 98-108.

م.باكان ، "استخدام طرق معينة لتحديد المواقع القصوى لدالة من عدة متغيرات في مشاكل التحسين" ، في: أنظمة التحكم المعقدة (All-Republic Inter-Institutional Collection ، No. 3) [بالروسية] (1967) ، ص. 106-122.

P. I. Bartolomei ، "استخدام نهج مونت كارلو لحساب النظام الأمثل لنظام الطاقة على جهاز كمبيوتر رقمي ،" ترودي أورالسك. بوليتيك. Inst.، No. 154، 72–82 (1966).

D. I. Batishev ، "وظائف الاختبار للمقارنة بين طرق تحديد المواقع القصوى لوظائف متعددة المتغيرات" ، Avtomat. أنا فيتشيسل. Tekh.، No. 1، 16–19 (1968).

A. V. Buledza ، "تحسين التقديرات لطريقة الهبوط الحاد ،" Dopovidi Akad. نوك اوكر. RSR، No. 2، 150–153 (1962).

L.M Vasserman و B. B. Levi و Yu. نازاركين ، "أشد انحدارًا مع تباين في الأبعاد" ، ناوخ. ترودي كورسك. بوليتيك. Inst.، No. I، Part 2، 14–21 (1971).

M. K. Gavurin and Yu. B. Farforovskaya ، "طريقة تكرارية لتحديد الحد الأدنى لمجموع المربعات ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،6، رقم 6 ، 1094-1097 (1966).

أ. ل. جايدوكوف ، "البحث العشوائي في التخطيط الأمثل" ، في: المشكلات التطبيقية في علم التحكم الآلي الهندسي [بالروسية] ، Sov. راديو ، موسكو (1966) ، ص 420-434.

ب.أ.غالانوف ، "طريقة النسب التفاضلية المتصلة" ، في: الطرق الرياضية في الهندسة السيبرانية [بالروسية] ، رقم 1 ، كييف (1970) ، ص 8-12.

B. A. Galanov ، "طرق التدرج لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية" ، Dopcvidi Akad. نوك اوكر. RSR ، العدد 12 ، 1519-1522 (1966).

B. A. Galanov و Yu. كريفونوس ، "طريقة تفاضلية النسب في المشاكل المتطرفة ،" في: Proc. سيمين. الطرق الرياضية في هندسة الكمبيوتر ذات الأغراض الخاصة [بالروسية] ، رقم 1 ، كييف (1969) ، ص 38-47.

A. I. Galushkin ، "تحليل طريقة تكرارية لتحديد مكان الأطراف ،" Avtomat. أنا فيتشيسل. Tekh. ، العدد 2 ، 38-40 (1970).

إم جيلفاند وس في فومين ، حساب التفاضل والتكامل [بالروسية] ، فيزماتجيز ، موسكو (1961) ، 228 صفحة.

I.M. Gel'fand و M.L.Tsetlin ، "بعض تقنيات التحكم للأنظمة المعقدة ،" Usp. ماتيم. نوك ،17العدد 1 ، 3-25 (1962).

I.M. Gel'fand و M.L.Tsetlin ، "مبدأ بحث غير محلي لأنظمة التحسين التلقائي ،" Dokl. العقاد. Nauk SSSR ،137، العدد 2 ، 295 - 298 (1961).

S. M. Gerashchenko ، "تخصيص جوانب اليد اليمنى في نظام المعادلات التفاضلية لطريقة التدرج اللوني ،" الفوارق. أورافنين.3، العدد 12 ، 2144-2150 (1967).

S. M. Gerashchenko ، "تطبيق نظرية التحكم الآلي على طريقة النسب التفاضلي" ، في: Proc. مؤتمر عموم الجمهورية الثاني. علماء الرياضيات البيلاروسيين [بالروسية] ، بيلورسك. جامعة مينسك (1969) ، ص 179 - 191.

S. M. Gerashchenko ، "مقارنة بين تعديلات معينة من النسب التفاضلية من حيث معدل التقارب ،" الفوارق. أورافنين.6، رقم 10 ، 1810-1817 (1970).

G. I. Gershengom ، "طريقة الوديان والاتجاهات العشوائية ،" أبلغ. سبورن. ترودوف فيتشيسل. تسينترا ايركوتسك. الجامعة ، رقم 1 ، 59-71 (1966).

L. S. Gurin ، "خبرة في استخدام طرق مونت كارلو لإيجاد القيم المتطرفة للوظائف ،" في: جوانب الرياضيات الحاسوبية وهندسة الكمبيوتر [بالروسية] ، مشجيز ، موسكو (1963) ، ص 118-123.

L. S. Gurin ، "التحسين في النماذج العشوائية" ، Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،4، رقم 6 ، 1134-1137 (1964).

L. S. Gurin و V. P. Lobach ، "مزيج من طريقة مونت كارلو مع طريقة الانحدار الشديدة لحل بعض المشكلات المتطرفة ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،2، رقم 3 ، 499-502 (1962).

يو. M. Danilin ، "طرق التصغير القائمة على تقريب الوظيفة الوظيفية بواسطة وظائف محدبة ،" في: Proc. سيمين. نظرية القرار الأمثل [بالروسية] ، رقم 1 ، كييف (1969) ، ص 45-71.

يو. M. Danilin ، "تقدير كفاءة خوارزمية لتحديد موقع حد أدنى مطلق ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،11، رقم 4 ، 1026-1031 (1971).

يو. M. Danilin و S. A. Piyavskii ، "خوارزمية الحد الأدنى المطلق ،" في: Proc. سيمين. نظرية القرار الأمثل [بالروسية] ، رقم 2 ، كييف (1967) ، ص 25 - 37.

يو. M. Danilin و B. N. Pshenichnyi ، "تقنيات التصغير مع التقارب السريع ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،10، رقم 6 ، 1341–1354 (1970).

ف. ديميانوف وأ. م. روبينوف ، طرق التقريب لحل المشكلات المتطرفة [بالروسية] ، جامعة لينينغراد. (1968) ، 180 صفحة.

V. I. Denisov ، "مزيج من طريقتين لتحديد أقصى مكان في نظام متعدد العوامل ،" Avtomat. أنا فيتشيسل. Tekh.، No. 6، 32–36 (1968).

A. D. Dobysh ، "خوارزمية لتقليل وظيفة محسوبة بخطأ عشوائي ،" Sborn. ترودوف موسكوف. إنز.-سترويت. Inst.، No. 83، 124–139 ​​(1970).

يو. G. Evtushenko ، "الطريقة العددية لتحديد موقع الحد الأقصى العالمي للدالة (بحث مباشر على شبكة غير منتظمة) ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،11، رقم 6 ، 1390-1403 (1971).

N. P. Zhidkov و B. M. Shchedrin ، "طريقة لإيجاد الحد الأدنى لوظيفة من عدة متغيرات ،" في: الطرق الحسابية والبرمجة [بالروسية] ، رقم 10 ، موسكوف. جامعة موسكو (1968) ، ص 203 - 210.

Zoutendijk ، طرق الاتجاهات المجدية ، Elsevier ، نيويورك - أمستردام (1960).

AK Zuev و LA Rastrigin و KK Ripa ، "تصحيح خوارزميات البحث العشوائي لحل مشاكل التجوال المتطرف في التتبع" ، في: مشاكل التحسين الإحصائي [بالروسية] ، زيناتني ، ريجا (1971) ، ص 93-96 .

في. إيفانوف ، "مشاكل في تحسين الحسابات ،" في: برامج الكمبيوتر الرقمية [بالروسية] ، كييف (1972) ، ص 149 - 172.

في. إيفانوف ، "خوارزميات الانحدار السريع ،" Dokl. العقاد. Nauk SSSR ،143، رقم 4 ، 775 - 778 (1962).

في. إيفانوف وك. دزومايف ، "تحليل دقة خوارزمية باول (I) ،" في: Proc. سيمين. الطرق الرياضية وهندسة الكمبيوتر للأغراض الخاصة [بالروسية] ، رقم 1 ، كييف (1968-1969) ، الصفحات 3-12.

في. إيفانوف وك. دجومايف ، "تحليل دقة خوارزمية باول (II)" ، في: الطرق الرياضية في الهندسة الإلكترونية [بالروسية] ، رقم 1 ، كييف (1970) ، ص 21-25.

في. إيفانوف قاحل جي إيه كياشكو ، "الخوارزميات المثلى للتقليل في فئة الوظائف أحادية الوسائط" ، دوبوفيدي أكاد. نوك اوكر. RSR، No. 4، 313–316 (1972).

في.ن.إلين ، "تعديلات على طريقة الانحدار الشديد ،" ترودي موسكوف. إنست. الراديوتخ. إلكترون. Avtomat. ، العدد 46 ، 5-10 (1970).

A. N. Ioseliani ، "طريقة تحديد الموقع القصوى لوظائف متعددة المتغيرات" ، ترودي جروز. بوليتيك. المعهد رقم 5 (110) ، 203-207 (1966).

A. N. Ioseliani ، "تقارب خوارزمية تحديد المواقع القصوى لوظائف متعددة المتغيرات ،" ترودي جروز. بوليتيك. Inst.، No. 2 (114)، 59–64 (1967).

A. N. Ioseliani ، "تعديل في البحث عن حد أقصى بطريقة مستويات الظل ،" Trudy Inst. إلكترون. أفتومات. تليمخان. العقاد. نوك جروز. SSR ،8، رقم 1 ، 74-80 (1970).

A. N. Ioseliani و M.E. Salukvadze ، "مقارنة بين بعض طرق تحديد موقع المتطرف الحتمية ،" Trudy Inst. Élektron Avtomat. تليمخان. العقاد. نوك جروز. SSR ،8، رقم 1 ، 61-73 (1970).

L. V. Kantorovich and G. P. Akilov، Functional Analysis in Normed Spaces [بالروسية]، Fizmatgiz، Moscow (1959)، 634 صفحة.

V. يا. Katkovnik ، "حساسية مخططات التدرج" ، Avtomat. ط Telemekhan. ، العدد 12 ، 87-94 (1970).

V. يا. كاتكوفنيك ، "خوارزمية النسب المتدرجة المعممة ،" ترودي لينينغراد. بوليتيك. Inst.، No. 318، 143–146 (1971).

A. B. Kovrigin ، "تقدير معدل التقارب لطريقة التدرج K-step" ، جامعة فيستنيك لينينغراد ، رقم 13 ، 34-36 (1970).

يو. M. Krivonos و B. A. Galanov ، "طريقة النسب التفاضلية ،" ديلينتس. أورافنين.5، رقم 8 ، 1426-1430 (1969).

أ. كوزوفكين وف. إم تيخوميروف ، "حجم الحسابات لإيجاد الحد الأدنى لوظيفة محدبة ،" إيكونوم. أنا ماتيم. ميتودي3، رقم 1 ، 95-103 (1967).

في آي كوبتسوف وإي جي شورشكوفا ، "تقارب طريقة نيوتن المعدلة ،" شورن. رابوت فيتشيسل. تسينترا موسكوف. جامعة ،14, 157–165 (1970).

VA Lavrov و VA Khokhlov ، "برنامج لإيجاد الحد الأقصى المحلي لوظيفة عدة متغيرات على أجهزة الكمبيوتر من سلسلة Mir ،" في: Machines for Engineering Calculations [باللغة الروسية] ، رقم 5 ، كييف (1972) ، ص 8 - 17.

S. Lbov ، "بحث تكيفي عن الحد الأقصى لدالة المتغيرات المقاسة على مقياس من الطوائف ،" في: Computing Systems [بالروسية] ، رقم 44 ، Nauka ، نوفوسيبيرسك (1971) ، ص 13 - 22.

في. ليونوف ، "الطريقة الحسابية لتركيب عمليات التحسين" في: Second All-Union Congr. الميكانيكا النظرية والتطبيقية [بالروسية] ، نوكا ، موسكو (1964).

في. ليونوف ، "طريقة تغطية لإيجاد الحد الأقصى العالمي لدالة متعددة المتغيرات ،" في: Cybernetics Research [بالروسية] ، Sov. راديو ، موسكو (1970) ، ص 41-52.

في. ليونوف ، "طريقة لإيجاد الحد الأقصى العالمي لوظيفة متعددة القدرات" ، سبورن. ترودوف إنست. ماتيم ، سيبيرسك. أوتد. العقاد. Nauk SSSR ، العدد 8 ، 43-50 (1971).

É. É. Loiter و L. A. Brichkin و É. A. Nedel'chik ، "تقنية لتسريع تقارب الإجراء التكراري في حل بعض مشاكل التحسين" ، ناوخ. ترودي كازاخسك. بوليتيك. إنست. (ألما آتا) (1971) ، ص 87-91.

يو. I. Lyubich ، "تقارب عملية الانحدار الحاد ،" Dokl. العقاد. Nauk SSSR ،179، العدد 5 ، 1054-1056 (1968).

M. D. Maergoiz ، "اختيار المعلمة في مشكلة التصغير ،" Dokl. العقاد. Nauk SSSR ،188، العدد 4 ، 752-755 (1969).

M. D. Maergoiz ، "تطبيق طريقة Aitkin-Steffensen المعممة لمشكلة تصغير الوظيفة" ، في: التحليل العددي [بالروسية] ، رقم 1 ، كييف (1970) ، ص 56-78.

M. D. Maergoiz ، "تطبيق طريقة Aitkin-Steffensen المعممة على مشكلة تصغير الوظيفة ،" Sibirsk. ماتيم. زه. ،13، رقم 1 ، 133-141 (1972).

G. D. Maistrovskii ، "تقارب طريقة التدرج المترافق ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،11، رقم 5 ، 1291-1294 (1971).

N.N Moiseev، Optimization Methods [بالروسية]، Vychisl. Tsentr. ، موسكو (1969) ، 96 صفحة ، الفصل. الأول: "مشكلة تحديد الموقع الأقصى لوظائف المتغيرات المتعددة ،"

ب.موتسكوس ، مشاكل متعددة الأطراف في التصميم [بالروسية] ، نوكا ، موسكو (1967).

A.M Myalkovskii و M. Kh. Tishavaeva ، "خوارزمية لإيجاد الحد الأقصى العالمي للوظائف القصوى المتعددة ،" في: جوانب علم التحكم الآلي والرياضيات الحاسوبية [بالروسية] ، رقم 11 ، فان ، طشقند (1967) ، ص 56-63.

يو. نازاركين ، "مسح وتصنيف طرق التحقيق للأنظمة المثلى" ، ناوخ. ترودي كورسك. بوليتيك. Inst.، No. 1، Part 2، 5–13 (1971).

في في ناليموف ون.أ.شيرنوفا ، الأساليب الإحصائية في التصميم التجريبي المتطرف [بالروسية] ، نوكا ، موسكو (1965) ، 340 صفحة.

I. I. Narozhnyi ، "مزيج من طريقة التدرج ومعادلة أويلر لتحسين مسارات طيران الطائرات ،" فيستنيك لينينغراد. الجامعة ، العدد 13 ، 118-125 (1971).

يو. I. Neimark و R.G. سترونجين ، "ابحث عن الحد الأقصى لوظيفة من خلال مبدأ المعلومات القصوى" ، Avtomat. ط Telemekhan. ، رقم 1 ، 113-118 (1966).

نيكولاييف ، "أقصى انحدار يعتمد على طريقة التدرج m العشوائي" ، Avtomat. أنا فيتشيسل. Tekh.، No. 3، 40-46 (1970).

نيكولاييف ، "طريقة للاختيار العشوائي لاتجاه النسب ،" في: جوانب علم التحكم الآلي والرياضيات الحاسوبية [بالروسية] ، رقم 28 ، فان ، طشقند (1969) ، ص 160-167.

L. Ya. Oblomskaya ، "معدل تقارب طريقة التدرج المترافق للوظائف التربيعية ،" في: Proc. المدرسة الشتوية الثانية حول البرمجة الرياضية والمواضيع ذات الصلة ، 1969 [بالروسية] ، رقم 3 ، موسكو (1969) ، ص 550-568.

E. V. Oganesyan ، G. S. Gekchyan ، and S. A. Piliposyan ، "عدم تكافؤ طرق تحديد المواقع القصوى ،" في: أتمتة عمليات الهندسة الكيميائية [بالروسية] ، Erevan (1966) ، الصفحات 68-74.

أ. بيرفوزفانسكي ، بحث [بالروسية] ، ناوكا ، موسكو (1970) ، 164 صفحة.

ا. ش. Pinsker و B. M. Tseitlin ، "مشكلة تحسين غير خطية ،" Avtomat. أنا Tele-mekhan. ،13، رقم 12 ، 1611–1619 (1962).

ا. ش. Pinsker and B. M. Tseitlin ، "حل مشكلة التحسين بأسلوب البحث المستقل ،" في: التحكم الآلي وهندسة الكمبيوتر [بالروسية] ، رقم 6 ، ماشينوسترويني ، موسكو (1964) ، ص 213-231.

S. A. Piyavskii ، "خوارزمية لإيجاد الحد الأدنى المطلق لوظيفة ،" في: Proc. سيمين. نظرية القرار الأمثل [بالروسية] ، رقم 2 ، كييف (1967) ، ص 13-24.

S. A. Piyavskii ، "خوارزمية لإيجاد الحد الأقصى المطلق للدالة ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،12، رقم 4 ، 888-896 (1972).

V. استطلاع ، "طرق لتحديد النقاط الثابتة لوظائف متعددة المتغيرات" ، Eesti NSV Tead. العقاد. تويميتيد. فوز مات. ،16، رقم 1 ، 35-44 (1967).

V. استطلاع ، "تقارب طرق معينة لتحديد مواقع نقاط ثابتة لوظائف متعددة المتغيرات" ، Eesti NSV Tead. العقاد. تويميتيد. فوز مات. ،16، العدد 2 ، 157–167 (1967).

V. استطلاع ، "طرق تحديد موقع النقاط الثابتة ،" Eesti NSV Tead. العقاد. تويميتيد. فوز مات. ،16، رقم 3 ، 382-384 (1967).

B. T. Polyak ، "تقنيات لتسريع تقارب الأساليب التكرارية ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،4، رقم 5 ، 791-803 (1964).

B. T. Polyak ، "طرق التصغير لوظائف متعددة المتغيرات" Ékonom. أنا ماتيم. ميتودي3، رقم 6 ، 881-901 (1967).

B. T. Polyak ، "طريقة التدرج المترافق ،" في: Proc. المدرسة الشتوية الثانية حول البرمجة الرياضية والمواضيع ذات الصلة ، 1969 [بالروسية] ، رقم 1 ، موسكو (1969) ، ص 152 - 201.

B. T. Polyak ، "طريقة التدرج المترافق في المشاكل المتطرفة ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،9، رقم 4 ، 807-821 (1969).

B. T. Polyak ، "تقارب أساليب الاتجاهات الممكنة في مشاكل المتطرفة ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،11، رقم 4 ، 855 - 869 (1971).

B. T. Polyak و B. I. Shostakovskii ، "مشكلة في الحد الأقصى لوظيفة من عدة متغيرات ،" في: Sborn. رابوت فيتشيسل. تسينترا موسكوف. جامعة ،5, 107–114 (1966).

A. F. Potapova ، "تسريع التقارب لأشد طريقة هبوط" ز. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،11، رقم 3 ، 749-752 (1971).

B. N. Pshenichnyi ، "خوارزمية النسب ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،8، رقم 3 ، 647-652 (1968).

B. N. Pshenichnyi و D.N. Marchenko ، "نهج لتحديد موقع الحد الأدنى العالمي ،" في: Proc. سيمين. نظرية القرار الأمثل [بالروسية] ، رقم 2 ، كييف (1967) ، ص 3-12.

T. L. Razinkova ، "خوارزمية لتحديد الموقع بمساعدة الكمبيوتر للوظيفة القصوى ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،5، رقم 4 ، 734-742 (1965).

L. A. Rastrigin ، البحث العشوائي في مشاكل التحسين للأنظمة متعددة المعلمات [بالروسية] ، زيناتني ، ريجا (1965).

L. A. Rastrigin ، "أصل ماركوفيان وغير ماركوفي للتحكم المتطرف في بيئة صاخبة (II) ،" Izv. العقاد. نوك لاتف. SSR ، Ser. فيز. تك. نوك ، رقم 6 ، 80-87 (1965).

راستريجين ، طرق البحث الإحصائي [بالروسية] ، نوكا ، موسكو (1968).

راستريجين ، البحث العشوائي مع التوقيت الخطي [بالروسية] ، زيناتني ، ريجا (1971) ، 192 صفحة.

راستريجين ، "مبادئ البحث العشوائي" في: نظرية وتطبيق الأنظمة التكيفية [بالروسية] ، ألما آتا (1971) ، ص 55-74.

في بي ريفاكين ، جي إس لبوف ، يو. S. Lbov ، و G.M. Shishkin ، "خوارزمية بحث عشوائي تكيفية لحل المشكلات القصوى" ، Izv. ايركوتسك. Sel'skokhoz. إنست ،3، رقم 28 ، 97-113 (1970).

O. K. Romanov ، "طريقة إرشادية للتحسين المتتالي لحل مشكلة التحسين العامة ،" Uch. انطلق. موسكوف. أوب. بيداغوج. إنست ،202، العدد 6 ، 247-260 (1968).

M. E. Salukadze ، "البحث الأمثل عن الحد الأقصى لوظيفة من عدة متغيرات" ، في: التحكم الآلي [بالروسية] ، تبليسي (1967).

B. A. Samokish ، "تحليل معدل التقارب لأشد طريقة منحدر ،" Usp. ماتيم. نوك ،12، رقم 1 ، 238-240 (1957).

سيرينكو ، "أسلوب لحل مشاكل القيمة القصوى" ، أفتوماتيكا (كييف) ، العدد 5 ، 15-24 (1964).

B. P. Serebryakov و V. F. Gurskii ، "خوارزميات الاستيفاء لتحديد الحد الأقصى لوظيفة متماثلة" ، ترودي موسكوف. أفياتس. Inst.، No. 229، 90-99 (1971).

في A. Skokov ، "خوارزمية لتقليل وظائف العديد من المتغيرات ،" في: Abstr. علوم. أسيوط. علماء جامعة موسكو الحكومية [بالروسية] ، MGU ، موسكو (1968) ، الصفحات 18-19.

في S. Spiridonov ، "تطبيق طريقة الاسترخاء التدرج لحل أنظمة المعادلات غير الخطية ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،8، رقم 4 ، 872-873 (1968).

Starosel'skii و G. A. Shelud'ko و B. Ya. Kantor ، "تحقيق واحد لطريقة الوديان مع التكيف مع تباعد الوادي من خلال قانون أسي ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،8، رقم 5 ، 1161-1167 (1968).

R. I. Stakhovskii ، "مقارنة بين طرق بحث معينة لمحسن تلقائي ،" في: نظرية وتطبيق الأنظمة الأوتوماتيكية المنفصلة [بالروسية] ، Izd. AN SSSR ، موسكو (1960).

R.G Strongin ، "ابحث عن الحد الأقصى لوظيفة من عدة متغيرات من خلال مبدأ المعلومات القصوى مع نموذج تم تكييفه تلقائيًا" ، في: Proc. جميع الندوات بين المؤسسات الاتحاد. الرياضيات التطبيقية وعلم التحكم الآلي [بالروسية] ، Gor'kii (1967) ، ص 113 - 130.

R.G Strongin ، "تصغير الوظائف على أساس فرضية الفرق الأقصى" في: Abstr. الندوة الرابعة لعموم الاتحاد. مشاكل التحسين الإحصائي [بالروسية] ، زيناتني ، ريجا (1967).

R.G Strongin ، "تصغير الوظائف على أساس فرضية الحد الأقصى للاختلاف" ، في: مشاكل التحسين الإحصائي [باللغة الروسية] ، ريغا (1968) ، ص 41-50.

R.G Strongin ، "خوارزمية تصغير عالمية ،" Izv. فيسش. أوشيب. Zaved.، Radiofiz.،13، رقم 4 ، 539-545 (1970).

R.G Strongin ، "تصغير وظائف متعددة الأطراف لمتغيرات متعددة ،" Izv. العقاد. Nauk SSSR ، Tekh. Kibernet. ، العدد 6 ، 39-46 (1971).

R.G. سترونجين ، "خوارزميات لإيجاد حد أدنى مطلق ،" في: مشاكل التحسين الإحصائي [بالروسية] ، زيناتني ، ريجا (1971) ، ص 51-68.

A. G. Sukharev ، "الأمثل استراتيجيات البحث القصوى" ، Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،11، رقم 4 ، 910-924 (1971).

L. T. Tarushkina ، "طريقة لتحديد الحد الأقصى لوظيفة مكونة من أشكال ثنائية الخطوط ،" ترودي سيبيرسك. فيز تيك. إنست. بري تومسك. الجامعة ، العدد 51 ، 100-103 (1970).

V. E. Truten '، "تقدير الخطأ الكلي لخوارزمية لإيجاد الحد الأدنى العالمي ،" Vychisl. أنا بريكل. ماتيم ، مزحف. نوش. سبرن ، رقم 8 ، 182-186 (1969).

دي جي وايلد ، طرق البحث المثلى ، برنتيس هول ، إنجليوود كليفس ، إن جيه (1964).

D. K. Faddeev and V.N Faddeeva، Computational Methods of Linear Algebra [in Russian]، Fizmatgiz، Moscow (1960)، 656 page.

فيياكو وجي بي ماكورميك ، البرمجة غير الخطية: تقنيات التصغير المتسلسلة غير المقيدة ، وايلي ، نيويورك (1968).

K. Fujii ، Y. Nishimura ، و H. Taguchi ، "تحسين طريقة الانحدار الشديد لتحسين أنظمة التحكم ،" J. Japan. مساعد. آلي. مهندسو التحكم ،11، رقم 1 ، 38-43 (1967).

O. K. Khanmamedov ، "حول مشكلة البحث العالمية ،" Avtomat. أنا فيتشيسل. Tekh.، No. 3، 66–67 (1972).

Hsin-kuei Ho ، "حول طريقة نيوتن وطريقة التدرج" ، Intyun Shusyué Yui Tszi-suan 'Shusyué ،3، رقم 3 ، 167-173 (1966).

I. V. Tsaritsyna ، "أسلوب لتسريع تقارب طرق البحث الدنيا لوظائف متعددة المتغيرات" ، جامعة فيستنيك لينينغراد ، العدد 7 ، 47-51 (1971).

B. M. Tseitlin و L.B Lasovskaya ، "خوارزمية وبرنامج للطريقة التربيعية لإيجاد المعلمات المثلى ،" في: التحليل الآلي والتحكم في الدقة في الهندسة الميكانيكية [بالروسية] ، Nauka ، موسكو (1967) ، ص 53-68.

تسورورو ، "حالة ومستقبل أساليب مونت كارلو ،" نيبون جينشيريوكو غاكايشي ،6، رقم 9 ، 523-527 (1964).

F. L. Chernous'ko ، "البحث الأمثل عن الحد الأقصى لوظيفة أحادية النموذج" ، Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،10، رقم 4 ، 922-933 (1970).

F. L. Chernous'ko ، "البحث الأمثل عن الحد الأدنى لوظيفة محدبة ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،10، رقم 6 ، 1355–1366 (1970).

في إي شامانسكي ، "بعض المخططات الحسابية للعمليات التكرارية ،" أوكراينسك. ماتيم. زه. ،14، رقم 1 ، 100-109 (1962).

في إي شامانسكي ، "تعديل لطريقة نيوتن ،" أوكراينسك. ماتيم. زه. ،19، رقم 1 ، 133-138 (1967).

V. E. Shamanskii ، "تطبيق طريقة نيوتن في حالة خاصة ،" Zh. فيشيسل. ماتيم. أنا ماتيم. فيز ،7، رقم 4 ، 774-783 (1967).

N. Z. Shor ، هيكل الخوارزميات للحل العددي للتخطيط الأمثل ومشاكل التصميم [بالروسية] ، Inst. كيبرنت ، عقاد. نوك اوكر. SSSR ، كييف (1964).

N. Z. Shor ، "معدل تقارب النسب المتدرج المعمم ،" Kibernetika ، رقم 3 ، 98-99 (1968).

N. Z. Shor ، "النسب المتدرج المعمم ،" في: Proc. المدرسة الشتوية للبرمجة الرياضية ، دروغوبيتش [بالروسية] ، رقم 3 ، موسكو (1969).

N. Z. Shor ، "تطبيق عملية تمدد الفضاء على مشاكل التصغير للوظائف المحدبة ،" Kibernetika ، رقم 1 ، 6-12 (1970).

N. Z. Shor ، "معدل تقارب طريقة التدرج المعمم مع تمدد الفضاء ،" Kibernetika ، رقم 2 ، 80-85 (1970).

N. Z. Shor و V. I. Biletskii ، "طريقة تمدد الفضاء لتسريع التقارب في مشاكل من نوع الوادي ،" في: Proc. سيمين. نظرية القرار الأمثل [بالروسية] ، رقم 2 ، كييف (1969) ، ص 3 - 18.

N. Z. Shor و N.G. Zhurbenko ، "طريقة تقليل باستخدام عملية تمدد الفضاء في اتجاه الاختلاف بين تدرجين متتاليين ،" Kibernetika ، رقم 3 ، 51-59 (1971).

S. I. Shudrova ، "-Parametric modification of the steep-Descent method،" Uch. انطلق. موردوفسك. الجامعة ، العدد 18 ، 197-204 (1961).

D. B. Yudin و É. خازن ، "جوانب رياضية معينة لطرق البحث الإحصائي" ، في: الأتمتة وهندسة الحاسبات [بالروسية] ، العدد 13 ، زيناتني ، ريغا ، (1966) ، ص 29-41.

أداتشي ، "في خوارزميات القياس المتغيرة" ، تطبيق نظرية التحسين ، ج.7، رقم 6 ، 391-410 (1971).

F. Andreuzzi و G.P. Mattolini ، "Ricerca del minimo vincolato di una funzione dotata di derivate prima seconda،" Calcolo،8، الأعداد 1-2 ، 89-105 (1971).

H. A. Antosiewicz و W. C. Reinboldt ، "التحليل العددي والتحليل الوظيفي" ، في: Survey of Numerical Analysis (J. Todd ، ed.) ، McGraw-Hill ، New York (1962) ، Chap. 14.

أرميجو ، "تصغير الوظائف ذات المشتقات الجزئية الأولى المستمرة ليبشيتز ،" باسيفيك ج.ماث. ،16، رقم 1 ، 1-3 (1966).

إي إس أرمسترونج ، تقنية نيوتن رافسون المدمجة وتصحيح معامل التدرج لحل مشاكل التحكم الأمثل ، ناسا للتكنولوجيا. مندوب R-293 (1968).

S. Atluri ، "تقنية تقليل التدرج المقترن في تحسين العملية" ، في: Proc. السابع آن. أليرتون كونف. نظرية الدائرة والنظام ، مونتايسلو ، إلينوي ، 1969 ، نيويورك (1969) ، ص 586-594.

A. Auslender ، "Méthodes numériques pour la décomposition et la minimization de fonctions non différentiables،" Numer. رياضيات ،18، رقم 3 ، 213-223 (1971).

A. Auslender ، "Une méthode de générale pour la décomposition et la minimization de fonctions non differentiables،" Compt. رند.271، رقم 21 ، A1078-A1081 (1970).

R.M Baer ، "ملاحظة حول خوارزمية تحديد المواقع القصوى ،" Comput. J. ،5، رقم 3 ، 193 (1962).

Y. Bard ، "مقارنة طرق التدرج لحل مشاكل تقدير المعلمات غير الخطية ،" SIAM J. Numer. شرجي.،7، رقم 1 ، 157-186 (1970).

ر.باس ، "خوارزمية من المرتبة الثانية للتقليل غير المقيد ،" الرياضيات. كمبيوت. ،26، العدد 117 ، 129-143 (1972).

M. Bassetti و R.M Buonanni ، طريقة نيوتن رافسون المحسنة ، معمل. ناز. ممثل فراسكاتي رقم 4 (1967) ، 9 صفحات.

إس بيكمان ، "حل المعادلات الخطية بطريقة التدرج المترافق ،" في: الطرق الرياضية للحواسيب الرقمية ، وايلي ، نيويورك - لندن (1960) ، ص 62-72.

R. D. Bell ، "تطبيق الاختلافات الثالثة لوظيفة التصغير ،" Internat. J. التحكم ،12، رقم 1 ، 17-24 (1970).

A. Bensasson ، "Résolution automatique des systèmes d'équations algébriques par la méthode du gradient،" Internat. J. إلكترون.23، رقم 3 ، 43-52 (1968).

L. D. Berkovitz ، "الأساليب المتغيرة في مشاكل التحكم والبرمجة ،" J. Math. شرجي. تطبيق ،3، رقم 1 ، 145–169 (1961).

جي بيرمان ، "التصغير بالتقريب المتتالي" ، SIAM J. Numer. شرجي.،3، رقم 1 ، 123-133 (1966).

G. أفضل طريقة لتقليل الوزن الهيكلي مناسبة لأجهزة الكمبيوتر الرقمية عالية السرعة ، مجلة AIAA ،1، رقم 2 ، 478-479 (1963).

M. C. Biggs ، "خوارزميات التصغير التي تستخدم الخصائص غير التربيعية للوظيفة الموضوعية ،" J. Inst. رياضيات. تطبيق ،8، رقم 3 ، 315-327 (1971).

J.R Blum ، "طرق التقريب التي تتقارب مع احتمال واحد ،" آن. رياضيات. دولة. ،125، العدد 2 ، 382-386 (1954).

أ. Bonnemay ، "Un algorithme rapide de Minisation statique: Comparaison avec d'autres algorithmes،" Compt. رند.272، رقم 23 ، A1514-A1517 (1971).

A. D. Booth، Numerical Methods، Butterworths، London (1955)، 195 صفحة.

جي إي بي بوكس ​​وكيه بي ويلسون ، "الإنجاز التجريبي للظروف المثلى" ، جي روي. دولة. المجتمع ،ب 13, 1–38 38–45 (1951).

M. J. Box ، "مقارنة بين العديد من طرق التحسين الحالية ، واستخدام التحولات في المشكلات المقيدة ،" Comput. J. ،9، رقم 1 ، 67-77 (1966).

بريس ، "Über Dämpfung bei Minimalisierungsverfahren،" Comput.،1، العدد 3 ، 264-272 (1966).

J. P. Brannen ، "طريقة تكرارية لتحسين التوقعات ،" J. Soc. تطبيق Ind. رياضيات ،13، العدد 2 ، 545-554 (1965).

H. Bremermann ، "طريقة للتحسين العالمي غير المقيد ،" الرياضيات. Biosci. ،9, 1–15 (1970).

S. H. Brooks ، "مناقشة الأساليب العشوائية للبحث عن الحد الأقصى ،" أوبرا. الدقة ،6، العدد 2 ، 244-251 (1958).

R. R. Brown ، "إجراء حاسوبي معمم لتصميم الأنظمة المثلى ، الجزء الأول ،" Commun. إلكترون ، رقم 43 ، 285 - 289 (1959).

R. R. Brown ، "إجراء كمبيوتر معمم لتصميم الأنظمة المثلى ، الجزء الثاني ،" Commun. إلكترون ، رقم 43 ، 289-293 (1959).

C. G. Broyden ، "طرق شبه نيوتن وتطبيقها على وظيفة التصغير ،" الرياضيات. كمبيوت. ،21، رقم 99 ، 368-381 (1967).

C. G. Broyden ، "تقارب من رتبة واحدة أساليب شبه نيوتن ،" الرياضيات. كمبيوت. ،24، رقم 110 ، 365-382 (1970).

C.G.Broyden ، "تقارب فئة من خوارزميات تصغير الرتب المزدوجة. 1. اعتبارات عامة ، "J. Inst.، Math. تطبيق ،6، رقم 1 ، 76-90 (1970).

C.G.Broyden ، "تقارب فئة من خوارزميات تصغير الرتب المزدوجة. 2. الخوارزمية الجديدة ، "J. Inst. رياضيات. تطبيق ،6، رقم 3 ، 222-231 (1970).

C. G. Broyden ، "تقارب خوارزمية لحل النظم غير الخطية المتفرقة ،" الرياضيات. كمبيوت. ،25، العدد 114 ، 285 - 294 (1971).

آر سي باك ، "صعود ستوكاستيك" ، نمر. رياضيات ،4، رقم 3 ، 177-186 (1962).

R. J. Buehler ، B.V Shah ، و O. Kempthorne ، The Method of Parallel Tangents (PARTAN) for Finding an Optimum ، ONR Tech. النائب رقم 2 ، العقد رقم 5030 (05) ، جامعة ولاية آيوا. دولة. مختبر. (أبريل 1961 مراجعة أغسطس 1962.).

جي دبليو كانتريل ، "العلاقة بين طريقة التدرج في الذاكرة وطريقة فليتشر-ريفز ،" تطبيق نظرية التحسين ، ج.4، رقم 1 ، 67-71 (1969).

سي دبليو كارول ، نهج أبحاث العمليات للتحسين الاقتصادي لعملية اللب بطريقة كرافت (دكتوراه أطروحة) ، إنست. كيمياء الورق ، أبليتون ويس. (1959).

سي دبليو كارول ، "تقنية سطح الاستجابة التي تم إنشاؤها لتحسين الأنظمة المقيدة غير الخطية ،" أوبرا. الدقة ،9، رقم 2 ، 169-185 (1961).

R. Chattopadhyay ، "دراسة وظائف الاختبار لخوارزميات التحسين ،" J. Optimization Theory Appl.،8، العدد 3 ، 231-236 (1971).

تشارنس و دبليو دبليو كوبر ، "رسالة إلى المحرر:" مثل هذه الحلول لم يتم حلها إلا قليلاً "، أوبرا. الدقة ،3، رقم 3 ، 345–346 (1955).

شازان و دبليو إل ميرانكر ، "خوارزمية غير متدرجة ومتوازية للتصغير غير المقيد ،" SIAM J. Control ،8، العدد 2 ، 207-217 (1970).

E. W. Cheney و A. A. Goldstein ، "طريقة نيوتن للبرمجة المحدبة وتقريب Tcheby-cheff ،" Numer. رياضيات ،1، العدد 5 ، 253-268 (1959).

في. ك. تشيتشينادزي ، إن آي. جابلادزي ، وآر ج. فاكانادزي ، "نهج جديد لحل مشكلات التحسين" ، في: IEEE Systems ، Man. ومجموعة علم التحكم الآلي آن. ندوات. Rec.، Anaheim، California، 1971، New York (1971)، pp.162–164.

أ. كوهين ، "معدل تقارب العديد من خوارزميات التدرج المترافق ،" SIAM J. Numer. شرجي.،9، العدد 2 ، 248-259 (1972).

E. E. Cragg و A. V. Levy ، "دراسة حول طريقة التدرج اللوني للذاكرة الفائقة لتقليل الوظائف" ، J. Optimization Theory Appl.،4، رقم 3 ، 191-205 (1969).

J.B Crockett and H. Chernoff، “Gradient Methods of Maximization،” Pacific J. Math.،5، رقم 1 ، 30-50 (1955).

J.W. دانيال ، "تقارب طريقة التدرج المترافق مع تعديلات ملائمة حسابيًا ،" Numer. رياضيات ،10، رقم 2 ، 125-131 (1967).

J.W. دانيال ، "طريقة التدرج المترافق لمعادلات المعامل الخطية وغير الخطية ،" SIAM J. Numer. شرجي.،4، العدد 1 ، 10-26 (1967).

J.W. دانيال ، "تصحيح يتعلق بمعدل التقارب لطريقة التدرج المترافق." سيام ج. نومر. شرجي.،7، العدد 2 ، 277-280 (1970).

دبليو سي دافيدون ، طريقة القياس المتغير للتقليل ، أرجون نات. مختبر. الدقة. وتطوير. مندوب ANL-5990 (مراجعة) ، هيئة الطاقة الذرية الأمريكية (1959).

دبليو سي دافيدون ، "خوارزمية التباين لـ minimizaton ،" Comput. J. ،10، رقم 4 ، 406-410 (1968).

S. Dietze و H. Schwetlick ، ​​"Über die Schrittweitenwahl bei Abstiegsverfahren zur Minimisierung konvexer Funktionen ،" J. Angew. رياضيات. ميكانيكي ،51، رقم 6 ، 451-454 (1971).

B. Dijkhuis ، "خوارزمية تكيفية لتقليل دالة أحادية من متغير واحد ،" Z. Angew. رياضيات. ميكانيكي ،51، Sonderheft ، 45-46 (1971).

V. Drzymala ، "O zbiezności algorytmu poszukiwania ekstremum metodą najszybszego spadku،" Biul. ووجسك. العقاد. تقنية. J. Dbrowskiego،18، رقم 3 ، 39-49 (1969).

R. Elkin ، نظريات التقارب لـ Gauss-Seidel وخوارزميات التصغير الأخرى (أطروحة) ، جامعة. ماريلاند (1968) ، 129 صفحة أطروحة. أبستر ،ب 29، رقم 8 ، 2970 (1969).

فابيان ، "طرق التقريب العشوائية ،" التشيكية. رياضيات. J. ،10، رقم 1 ، 123-159 (1960).

P. Faure و P. Huard ، "Resolution de programmes mathématiques à fonction non linéaire par la méthode du gradient reduit،" القس فرانس. ريش. أوبرا.9، العدد 36 ، 167-205 (1965).

A. V. Fiacco and G. P. McCormick، "Extensions of SUMT for nonlinear programme: Equality limits and extrapolation،" Management Sci.،12، رقم 11 ، 816-828 (1966).

A.V. Fiacco and G.P. McCormick ، ​​"أسلوب التصغير المتسلسل غير المقيد للبرمجة غير الخطية طريقة أولية ثنائية ،" علوم الإدارة ،10، العدد 2 ، 360–366 (1964).

A. V. Fiacco و G.P. McCormick ، ​​"الخوارزمية الحاسوبية لتقنية التصغير التسلسلي غير المقيد للبرمجة غير الخطية ،" Management Sci. ،10، رقم 4 ، 601-617 (1964).

أ. فيياكو وجي بي ماكورميك ، "تقنية التصغير غير المقيدة غير المقيدة للبرمجة المحدبة" ، SIAM J.App. رياضيات ،15، رقم 3 ، 505-515 (1967).

أ. و. فيرث ، "مشاكل التحسين: الحل بواسطة كمبيوتر تناظري" ، Comput. J. ،4، رقم 1 ، 68-72 (1961).

R. Fletcher ، "وظيفة تصغير دون تقييم المشتقات - مراجعة" ، Comput. J. ،8، رقم 1 ، 33-41 (1965).

ر. فليتشر ، "نهج جديد للخوارزميات المترية المتغيرة ،" الكمبيوتر. J. ،13، رقم 3 ، 317-322 (1970).

R. Fletcher و M.J.D Powell ، "طريقة النسب المتقاربة بسرعة للتقليل ،" Comput. J. ،6، رقم 2 ، 163–168 (1963).

R. Fletcher و C.M Reeves ، "تصغير الوظيفة بالتدرجات المترافقة" ، Comput. J. ،7، رقم 2 ، 149-154 (1964).

Forsythe ، "في الاتجاهات المقاربة لطريقة التدرج الأمثل للأبعاد S ،" Numer. رياضيات ، 11 ، رقم 1 ، 57-76 (1968).

Forsythe و T. S. Motzkin ، "الخصائص المقاربة لطريقة التدرج الأمثل ،" الثور. عامر. رياضيات. المجتمع ،57, 183 (1951).

أنا.مقلي ، "مخطط تقليل التدرج المترافق بخطوة N للوظائف غير التربيعية" ، مجلة AIAA ،9، العدد 11 ، 2286 - 2287 (1971).

S.N Ghani ، "طريقة" معقدة "محسنة لتقليل الوظائف ،" تصميم بمساعدة الكمبيوتر ،4، العدد 2 ، 71-78 (1972).

بي إي جيل و دبليو موراي ، طرق شبه نيوتن للتحسين غير المقيد ، نات. فيز. مختبر. النائب N. Maths 97 (1971) ، 29 صفحة.

P. E. Gill ، W. Murray ، و R.A Pitfield ، تنفيذ خوارزميتين شبه نيوتن المنقحتين للتحسين غير المقيد ، Nat. فيز. مختبر. ، شعبة. رقم. شرجي. Comput. ، N NAC 11 (1972) ، 131 صفحة.

د. Goldfarb ، "شروط كافية لتقارب الخوارزميات المتغيرة المترية ،" في: التحسين (R. Fletcher ، ed.) ، Academic Press ، New York (1969).

أ. غولدشتاين ، "طريقة كوشي للتقليل ،" عدد. رياضيات ،4، العدد 2 ، 146-150 (1962).

A. A. Goldstein و B. R. Kripke ، "البرمجة الرياضية بتقليل الوظائف القابلة للتفاضل ،" Numer. رياضيات ،6، رقم 1 ، 47-48 (1964).

A. A. Goldstein و J.F Price ، "خوارزمية فعالة للتقليل ،" Numer. رياضيات ،10, 184–189 (1967).

A. A. Goldstein و J. F. برايس ، "على النسب من الحدود الدنيا المحلية ،" الرياضيات. كمبيوت. ،25، رقم 115 ، 569-574 (1971).

D. S. Gordon و D.W.G Shen ، "خوارزمية Davidon المعجلة لحل معادلات الشبكة النشطة التي تمثلها وظائف التكلفة غير التربيعية ،" في: Proc. رابع هاواي إنترنات. أسيوط. علوم النظم ، هونولولو ، 1971 ، شمال هوليوود ، كاليفورنيا ، (1971) ، ص 608-610.

J. Greenstadt ، "حول الكفاءات النسبية لطرق التدرج ،" الرياضيات. كمبيوت. ،21، رقم 99 ، 360–367 (1967).

J. Greenstadt ، "طريقة شبه نيوتن بدون مشتقات ،" Math. كمبيوت. ،26، رقم 117 ، 145–166 (1972).

B. Gruber ، "التحديد العددي للحد الأدنى النسبي لوظيفة من عدة متغيرات عن طريق الاستيفاء التربيعي ،" Apl. حصيرة.،12، رقم 2 ، 87-100 (1967).

J. Guigou ، "Expériences numériques Comparatives بخصوص la méthode du gradient conjugué ،" Bull. Direct، et Études Rech. ج ، رقم 2 ، 79-92 (1968).

K. P. Hadeler ، "Bemerkungen zum Gradientenverfahren ،" Numer. رياضيات ،18، العدد 5 ، 413-422 (1972).

R.M. Hayes ، "الأساليب التكرارية لحل المشكلات الخطية في فضاء هيلبرت ،" نات. بور. الوقوف. رياضيات. Ser.، No. 39، 71–103 (1954).

جيه هيلر ، "نهج مونت كارلو للحل التقريبي لمشاكل التسلسل ،" نات. أسيوط. مساعد. الحوسبة Mach. ، 1962 ، Digest Tech. أوراق ، نيويورك (1962) ، ص. 41.

M. R. Hestenes ، "طريقة التدرج المترافق لحل الأنظمة الخطية ،" في: Proc. ندوة. الرياضيات التطبيقية ، نيويورك - تورنتو - لندن (1956) ، ص 83-102.

M. R. Hestenes ، "عكس المصفوفات عن طريق التقنين الحيوي والنتائج ذات الصلة" ، J. Soc. تطبيق Ind. رياضيات ،6، رقم 1 ، 51-90 (1958).

M.R Hestenes و E. Stiefel ، "طرق التدرج المترافق لحل الأنظمة الخطية ،" J. Res. رياضيات. حصيرة. بور. يقف.،49، رقم 6 ، 409-436 (1952).

ج. هيلدريث ، "تقديرات النقاط لإحداثيات الوظائف المقعرة" ، ج. عامر. دولة. مساعد.49، رقم 267 ، 598-619 (1954).

R. Hooke و T. A. Jeeves ، "حل" البحث المباشر "للمشكلات العددية والإحصائية ،" J. Assoc. الحوسبة ماخ.8، العدد 2 ، 212-229 (1961).

J. Hrouda ، "Reklový algorithmus pro určení minima funkce několika proměnných،" Apl. حصيرة.،11، رقم 4 ، 271-277 (1966).

H. Y. Huang ، "نهج موحد للخوارزميات المتقاربة من الدرجة الثانية لتقليل الوظائف" ، J. Optimization Theory Appl.،5، الأرقام 1-6 ، 405-523 (1970).

A. V. Levy ، "التجارب العددية على الخوارزميات المتقاربة من الدرجة الثانية لتقليل الوظائف" ، J. Optimization Theory Appl. ،6، العدد 3 ، 269-282 (1970).

س. إينوماتا وم. كومادا ، "على طريقة الجولف" ، بول. الكتروتك. مختبر. (اليابان)،25، رقم 7 ، 495-512 (1961).

جاكوبسون و دبليو أوكسمان ، "خوارزمية تقلل الوظائف المتجانسة لمتغيرات N في تكرار N + 2 وتقليل الوظائف العامة بسرعة" ، J. Math. شرجي. تطبيق ،38، العدد 3 ، 535-552 (1972).

دي إتش جاكوبسون و دبليو أوكسمان ، "خوارزميات جديدة لتقليل الوظائف ،" في: Proc. ندوة IEEE التاسعة. العمليات التكيفية والقرار والتحكم ، أوستن ، تكساس ، 1970 ، نيويورك (1970) ، ص xxi. 1/1-xxi. 1/4.

J. Janko ، "حل أنظمة المعادلات غير الخطية بطريقة نيوتن وطريقة التدرجات ،" Apl. حصيرة.،10، رقم 3 ، 230-234 (1965).

جارات ، "طريقة تكرارية لتحديد نقاط التحول ،" كمبيوت. J. ،10، رقم 1 ، 82-84 (1967).

B. Kacprzyński ، "Sekwencyjna methoda poszukowania ekstremum ،" القوس. Automat ، i Telemech. ،11، رقم 2 ، 147–164 (1966).

إتش جي كيلي ، جي إي مايرز ، وإي إل جونسون جونيور ، "إجراء محسن لتقليل الاتجاه المترافق ،" مجلة AIAA ،8، رقم 11 ، 2091-2093 (1970).

إتش جي كيلي وجيه إل شباير ، "الإسقاط المتدرج السريع" ، في: ملاحظات محاضرة في الرياضيات ، "رقم 132 ، سبرينغر ، برلين (1970) ، ص 151-158.

J. Kiefer ، "بحث minimax تسلسلي بحد أقصى ،" Proc. عامر. رياضيات. المجتمع ،4، رقم 3 ، 502-506 (1953).

J. Kiefer و J. Wolfowitz ، "Stochastic تقدير الحد الأقصى لوظيفة الانحدار ،" آن. رياضيات. دولة. ،23, 463–466 (1952).

كينغ ، "عائلة من الدرجة الخامسة لأساليب نيوتن المعدلة ،" BIT (السويد) ،11، العدد 4 ، 409-412 (1971).

دبليو كولار ، Zur Methode des steilsten Abstieges ، Ber. Kernforschungsanlage Jülich ، رقم 445 (1966).

H. P. Künzi، H.G Tzschach، and C.A Zehnder، Numerical Methods of Mathematical with ALGOL and FORTRAN Programs، Academic Press، New York (1971)، viii + 219 صفحة.

Lapidus ، E. Shapiro ، S. Shapiro ، and R. Stillman ، "Optimization of process performance ، AIChE Journal ،7, 288–294 (1961).

F. Lehmann ، "Allgemeiner Bericht über Monte-Carlo-Methoden ،" Bl. تثنية. جيس. Versicherungsmath. ،8، رقم 3 ، 431-456 (1967).

لايتمان (محرر) ، تقنيات التحسين مع تطبيقات لأنظمة الفضاء ، Academic Press ، نيويورك - لندن (1962) ، 453 صفحة.

ليون ، "مقارنة بين ثمانية إجراءات تحسين معروفة ،" في: التطورات الحديثة في تقنيات التحسين (1966).

D.G Leunberger ، التحسين عن طريق أساليب الفضاء المتجه ، وايلي ، نيويورك (1969) ، xvii +326 صفحة.

مانس ، Minimierung konvexer Funktionen (أطروحة) (1971).

د. مانز ، "Über die Konvergenz von Einzelschrittvervahren zur Minimierung konvexer Funktionen ،" Manuscr. رياضيات ،6، رقم 1 ، 33-51 (1972).

دي دبليو ماركوارت ، "خوارزمية لتقدير المربعات الصغرى للمعلمات غير الخطية ،" J. Soc. تطبيق Ind. رياضيات ،11، رقم 2 ، 431-441 (1963).

أ. ماثيوز وديفيز ، "مقارنة بين طرق نيوتن المعدلة للتحسين غير المقيد" ، Comput. J. ،14، العدد 3 ، 293-294 (1971).

ماكورميك وجي دي بيرسون ، "طريقة القياس المتغيرة والتحسين غير المقيد" ، في: التحسين (ر.فليتشر ، محرر) ، مطبعة أكاديمية ، نيويورك - لندن (1969) ، ص 307-325.

D.G McDowell ، خوارزميات تقليل الوظائف (أطروحة الدكتوراه) ، جامعة ولاية ميشيغان. (1970) ، 85 صفحة أطروحة. أبستر. إنترنات. ،ب 31، رقم 11 ، 6755 (1971).

A. Miele و J.W. Cantrell ، "دراسة حول طريقة تدرج الذاكرة لتقليل الوظائف ،" J. Optimiz. النظرية التطبيقية.3، رقم 6 ، 459-470 (1969).

A. Miele و J.W. Cantrell ، طرق التدرج في البرمجة الرياضية ، الجزء 2: طريقة التدرج في الذاكرة ، جامعة رايس. رائد فضاء. مندوب رقم 56 (1969).

أ. ميلي وجيه دبليو كانتريل ، "طريقة التدرج في الذاكرة لتقليل الوظائف" ، في: ملاحظات محاضرة في الرياضيات ، رقم 132 ، سبرينغر ، برلين (1970) ، ص 252-263.

J. J. More ، "التقارب العالمي لأساليب نيوتن-غاوس-سايدل ،" SIAM J. Numer. شرجي.،8، رقم 2 ، 325-336 (1971).

D. موريسون ، "التحسين حسب المربعات الصغرى" ، SIAM J. Numer. شرجي.،5، رقم 1 ، 83-88 (1968).

K. F. Muller و V. W. Eveleigh ، "خوارزمية تعليمية للحساب المتري باستخدام المشتقات الأولى والخطوات التعسفية لتحقيق تصغير الوظيفة ،" في: Proc. رابع هاواي إنترنات. أسيوط. علوم النظم ، هونولولو ، 1971 ، شمال هوليوود ، كاليفورنيا (1971) ، ص 73-75.

دبليو موراي ، الطرق المشتقة الثانية ، نات. فيز. مختبر. ممثل ، تم تقديمه في ندوة IMA / NPL. الطرق العددية للتحسين غير المقيد.

B. A. Murtagh و R.W.H Sargent ، "الخبرة الحاسوبية مع أساليب التقليل المتقاربة من الدرجة الثانية ،" Computing J. ،13، العدد 2 ، 185-194 (1970).

جي إي مايرز ، "خصائص طرق التدرج المترافق ودافيدون ،" J. E. Optimization Theory Appl.،2، العدد 4 ، 209-219 (1968).

JA Nelder and R. Mead ، "طريقة بسيطة لتقليل الوظائف ،" Comput. J. ،7، العدد 4 ، 308-313 (1965).

دي جي نيومان ، "موقع الحد الأقصى على الأسطح أحادية الطراز ،" J. Assoc. حاسوب. ماك.12، رقم 3 ، 395-398 (1965).

A. M. Ostrowski ، "مساهمات في نظرية طريقة الانحدار الشديد ،" القوس. رشيد ميكانيكي. شرجي.،26، العدد 4 ، 257-280 (1967).

K. J. Overholt ، "تسريع أيتكين الممتد ،" نورد. تيدسكر. معلومات5، رقم 2 ، 122-132 (1965).

J.R Palmer ، "إجراء محسّن لتعامد متجهات البحث في أساليب تحسين البحث المباشر لـ Rosen-brock's و Swann ،" Comput. J. ،12، رقم 1 ، 69-71 (1969).

جي دي بيرسون ، حول طرق القياس المتغيرة للتقليل ، الدقة ، الشرج. كورب تك. رقم الورقة RAC-Tp 302 (1968).

T. Pietrzykowski ، "تطبيق طريقة الصعود الأكثر انحدارًا في البرمجة المقعرة" ، في: معالجة المعلومات 1962 ، شمال هولندا ، أمستردام (1963) ، الصفحات 185-189.

T. Pietrzykowski ، "الطريقة المحتملة للحد الأقصى الشرطي في المساحات المترية المدمجة محليًا ،" Numer. رياضيات ،14، رقم 4 ، 325-329 (1970).

M. Pincus ، "طريقة مونت كارلو لحل تقريبي لأنواع معينة من مشاكل التحسين المقيدة ،" أوبرا. الدقة ،18، رقم 6 ، 1225-1228 (1970).

إي بولاك وج. ريبير ، "ملاحظة حول التقارب في الاتجاهات المقترنة ،" القس فرانك. يخبر. وآخرون ريش. أوبرا.3، رقم 16 ، 35-43 (1969).

T. A. Porsching ، "حول معدلات تقارب أساليب جاكوبي وجاوس سايدل للوظائف M ،" SIAM ، J. Numer. شرجي.،8، رقم 3 ، 575-582 (1971).

M. J. D. Powell ، "طريقة تكرارية لإيجاد القيم الثابتة لوظيفة من عدة متغيرات ،" Comput. J. ،5، رقم 2 ، 147-151 (1962).

M. J. D. Powell ، "طريقة فعالة لإيجاد الحد الأدنى لوظيفة من عدة متغيرات دون حساب المشتقات ،" Comput. J. ،7، العدد 2 ، 155–162 (1964).

M.J.D Powell ، "مسح للأساليب العددية للتحسين غير المقيد ،" SIAM Rev. ،12، رقم 1 ، 79-97 (1970).

P. S. Pütter ، "Ein allgemeines Maximalisierungsverfahren ،" Z. Angew. رياضيات. ميكانيكي ،39، العدد 12 ، 466-472 (1959).

J. O. Ramsay ، "عائلة من طرق التدرج من أجل التحسين ،" Comput. J. ،13، رقم 4 ، 413-417 (1970).

ج. ريد ، "حول طريقة التدرجات المترافقة لحل أنظمة متفرقة كبيرة من المعادلات الخطية ،" في: مجموعات متفرقة كبيرة من المعادلات الخطية ، لندن - نيويورك (1971) ، ص 231-252.

ريبير ، "Sur la méthode de Davidon-Fletcher-Powell pour la minimization des fonctions،" Management Sci.،16، رقم 9 ، 572-592 (1970).

إف إس جي ريتشاردز ، "حول إيجاد الحد الأقصى المحلي لوظائف متغير حقيقي" ، Biometrika ،54، الأعداد 1–2 ، 310–311 (1967).

P. D. Roberts و R.H Davis ، "التدرجات المترافقة ،" التحكم.13، رقم 129 ، 206-210 (1969).

R. A. Rohrer ، "تحديد حجم الخطوة الصريح في تقنيات تقليل استغلال التدرج" ، IEEE Trans. نظرية الدائرةسي تي - 17، رقم 1 ، 154-155 (1970).

I. B. Rosen ، "مراجعة لأساليب شبه نيوتن في حل المعادلات غير الخطية والتحسين غير المقيد ،" في: Proc. الحادية والعشرون نات. أسيوط. مساعد. الحوسبة ماخ ، واشنطن دي سي (1966).

H.H. Rosenbrock ، "طريقة تلقائية لإيجاد أكبر قيمة للدالة أو أقلها" ، Comput. J. ،3، رقم 3 ، 175-183 (1960).

J. ساكس ، "التوزيع المقارب لإجراءات التقريب العشوائية ،" آن. رياضيات. دولة. ،29، العدد 2 ، 373-405 (1958).

G. N. Saridis ، "التعلم المطبق على خوارزميات التقريب المتتالية ،" IEEE Trans. علوم النظم وعلم التحكم الآلي ،SSC-6رقم 2 (1970).

S. Schechter ، "طرق التكرار للمشاكل غير الخطية ،" Trans. عامر. رياضيات. المجتمع ،104، رقم 1 ، 179-189 (1962).

J.W. Schmidt and H. F. Trinkaus، “Extremwertermittelung mit Funktionsverten bei Functionen von mehreren Veränderlichen،” Computing،1، رقم 3 ، 224-232 (1966).

B.V Shah و R.J Buehler و O. Kempthorne ، "بعض الخوارزميات لتقليل دالة من عدة متغيرات ،" J. Soc. تطبيق Ind. رياضيات ،12، رقم 1 ، 74-92 (1964).

D. F. Shanno ، "تكييف طرق شبه نيوتن لتقليل الوظيفة ،" الرياضيات. كمبيوت. ،24، رقم 111 ، 647-656 (1970).

D. F. Shanno ، "اختيار المعلمة لطرق نيوتن المعدلة لتقليل الوظائف ،" SIAM J. Numer. شرجي.،7، العدد 3 ، 366–372 (1970).

D. F. Shanno و P. C. Kettler ، "التكييف الأمثل لأساليب شبه نيوتن ،" الرياضيات. كمبيوت. ،24، رقم 111 ، 657-664 (1970).

C. S. Smith ، الحساب التلقائي لتقديرات الاحتمالية القصوى ، "NCB Scientific Dept. Rep. SC 846 / MR / 40 (1962).

H.W.Sorenson ، "مقارنة بين بعض إجراءات الاتجاه المترافق لتقليل الوظائف ،" J. Franklin Inst.،288، رقم 6 ، 421-441 (1969).

H. A. Spang ، "مراجعة لتقنيات التصغير للوظائف غير الخطية ،" SIAM Rev. ،4، العدد 4 ، 343–365 (1962).

دبليو سبندلي ، جي آر هيكست ، وإف آر هيمسورث ، "التطبيق المتسلسل للتصاميم البسيطة في التحسين والعملية التطورية ،" Technometrics ،4, 441 (1962).

جي دبليو ستيوارت الثالث ، "تعديل لطريقة تصغير دافيدون لقبول الفرق التقريبي للمشتقات ،" جيه أسوك. الحوسبة ماخ.14، رقم 1 ، 72-83 (1967).

E. Stiefel ، “Über einige Methoden der Relaxationsrechnung ،” Z. Angew. رياضيات. فيز. ،3، رقم 1 ، 1–33 (1952).

T. A. Straeter ، مقارنة بين الأساليب المعتمدة على التدرج لتقليل وظيفة غير مقيدة للعديد من المتغيرات ، ورقة AIAA رقم 951 (1969) ، 5 صفحات.

L.K Schubert ، "تعديل طريقة شبه نيوتن للمعادلات غير الخطية ذات أسلوب يعقوبي متفرق ،" الرياضيات. كمبيوت. ،24، العدد 109 ، 27-30 (1970).

دبليو إتش سوان ، تقرير عن تطوير أسلوب بحث مباشر جديد للتحسين ، Central Inst. مختبر. الدقة. الملاحظة 64/3 (1964).

R. P. Tewarson ، "حول استخدام الانعكاسات المعممة في تقليل الوظائف ،" الحوسبة ،6، الأعداد 3-4 ، 241-248 (1970).

T. Tsuda و T. Kiyono ، "تطبيق طريقة مونت كارلو على أنظمة المعادلات الجبرية غير الخطية ،" Numer. رياضيات ،6، رقم 2 ، 59-67 (1964).

A. M. Vercoustre ، “Étude Comparative des méthodes de minimization de Fletcher et Powell et de Davidon،” Bull. مباشر. وآخرون Rech. رقم 1 ، 57-75 (1970).

J. Warga ، "تصغير وظائف محدبة معينة ،" J. Soc. تطبيق Ind. رياضيات ،11، رقم 3 ، 588-593 (1963).

T.M Whitney و R.K Meany ، "خوارزميتان تتعلقان بطريقة الهبوط الحاد ،" SIAM J. Numer. شرجي.،4، رقم 1 ، 109-118 (1967).

جيه.ويستكوت ، "الأساليب الحسابية العددية للتحسين في التحكم ،" أوتوماتيكيا ،5، رقم 6 ، 831-843 (1969).

P. Wolfe ، "شروط التقارب لطرق الصعود" ، SIAM Rev. ،11، العدد 2 ، 226-235 (1969).

W. I. Zangwill ، "تصغير دالة دون حساب المشتقات" ، Comput. J. ،10، العدد 3 ، 293-296 (1967).

W. I. Zangwill، Nonlinear Programming by Sequential Unconstrained Maximization، Working Paper 131، Cent. الدقة. علوم الإدارة ، جامعة. كاليفورنيا ، بيركلي (1965).

R. Zieliński ، "حول تقييم مونت كارلو للقيمة القصوى للدالة ،" Algorytmy ،2، رقم 4 ، 7-13 (1965).

R. Zieliński ، "حول تقدير مونت كارلو للحد الأقصى للدالة" ، Algorytmy ،7، رقم 13 ، 5-7 (1970).

R. Zieliński، Stochastyczne algorytmy w zagadnieniach optymizacji، Komentowany przeglad bibliograficzny، "Algorytmy،3، رقم 6 ، 127-138 (1966).


2 إجابات 2

تضمنت إجابتي الأخرى عدم وجود كل الأسئلة الفعلية تقريبًا ، لذا فلنبدأ من جديد.

لنقم بتعيين $ h (x، y) = f (x، y) + g (x، y) $. أول شيء يجب الاعتراف به هو أنه من الممكن ألا يكون هناك قيمة قصوى محلية بقيمة $ h $ - على سبيل المثال البسيط ، دع $ f (x، y) = -x $ و $ g (x، y) = 2x $ ، ثم $ h (x، y) = x $ ليس له نقاط حرجة (على الرغم من أنه يمكنك أن تذكر أنه على حدود المنطقة التي حددتها ، فإن لها مكانة عليا).

إذا كانت الوظيفة تحتوي على حد أقصى أو أدنى نقطة ، فسيحدث ذلك عندما يكون ملف المشتقات الجزئية كلاهما صفر (أو على الحدود ، ولكن نظرًا لأنك حددت منطقة مفتوحة ، فهذا ليس احتمالًا صالحًا في هذه الحالة).لذا فأنت تشتق بالنسبة إلى $ x $ ، وتجد متى يكون هذا المشتق صفراً (ربما كدالة لكل من $ x $ و $ y $) ، وتفعل الشيء نفسه بالنسبة لـ $ y $ ، وتحسب النقطة أو يمكن أن تكون هذه النقاط ، وبعد ذلك يمكنك القيام ببعض الأشياء المختلفة لمعرفة ما إذا كانت هذه النقاط هي الحد الأقصى أو الحد الأدنى أو أي شيء آخر.

يعمل نوع طريقتك ، على الرغم من أنها ستعثر فقط على نقطة تقريبية (حيث يمكنك فقط التحقق من عدد كبير من قيم $ x $) ومدى نجاحك سيعتمد على مدى حسن تصرف الوظيفة خارج شبكة $ x $ وقيم $ y $ التي تتحقق منها.

طريقة التقريب البديلة هي نزول متدرج، التي تختار فيها نقطة البداية ، احسب تدرج الدالة عند تلك النقطة ، و "امشي" قليلاً في اتجاه ذلك التدرج اللوني حتى تجد نفسك تدور حول نفس النقطة ، والتي تعتبر على الأقل نقطة حرجة محلية إذا ليس الحد الأقصى الفعلي / الحد الأدنى.


صغير

رياضيات 0399. دعم حساب التفاضل والتكامل. 2 ساعة معتمدة.

طلاب التدريب العملي لدعم التعلم المسجلين في MATH 1113 (Precalculus).

رياضيات 0999. دعم كلية الجبر. 2 ساعة معتمدة.

توفر دورة دعم التعلم هذه دعمًا أساسيًا في الرياضيات للطلاب المسجلين في رياضيات 1111. وستكون الموضوعات موازية للموضوعات التي يتم دراستها في الرياضيات 1111 والمهارات الكمية الأساسية اللازمة للنجاح.

رياضيات 1111. كلية الجبر. 4 ساعات معتمدة.

هذه الدورة مكثفة رمزياً ، وهي مقاربة وظيفية للجبر تتضمن استخدام التكنولوجيا المناسبة. سيتم التركيز على دراسة الدوال والرسوم البيانية ، والمتباينات ، والدوال الخطية والتربيعية والمحددة بالقطعة والعقلانية ومتعددة الحدود والأسية واللوغاريتمية. سيتم تضمين التطبيقات المناسبة.

رياضيات 1113. تمهيد الحساب. 4 ساعات معتمدة.

الهندسة التحليلية ، مفهوم الوظيفة ، كثيرات الحدود ، الأسي ، اللوغاريتمات ، الدوال المثلثية ، الاستقراء الرياضي ، ونظرية المعادلات. يمكن استخدامها فقط للحصول على درجة معتمدة بموافقة الإدارة.

رياضيات 11X3. حساب التفاضل والتكامل. 3 ساعات معتمدة.

رياضيات 1501. حساب التفاضل والتكامل (1) 4 ساعات معتمدة.

حساب التفاضل والتكامل الأساسي بما في ذلك النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل. لا يُسمح بالائتمان لكل من الرياضيات 1501 و 1712.

رياضيات 1503. حساب التفاضل والتكامل 1 لعلوم الحياة. 4 ساعات معتمدة.

حساب التفاضل والتكامل الأساسي: المتتاليات ، معادلات الفرق ، الحدود ، الاستمرارية ، التفاضل ، التكامل ، التطبيقات. تتوازى الموضوعات مع موضوعات الرياضيات 1501 مع تطبيقات من علوم الحياة.

رياضيات 1504. حساب التفاضل والتكامل 1 لعلوم الحياة. 4 ساعات معتمدة.

تقريب تايلور ، مقدمة في المعادلات التفاضلية ، الجبر الخطي ، ومقدمة لحساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات. أمثلة محفزة مستمدة من علوم الحياة.

رياضيات 1512. حساب التفاضل والتكامل مع مرتبة الشرف II. 4 ساعات معتمدة.

الموضوعات التي غطت موازية لتلك الخاصة بـ 1502 مع معالجة أكثر كثافة وصرامة إلى حد ما. لا يُسمح بالائتمان لكل من حساب التفاضل والتكامل مع مرتبة الشرف ودورة التفاضل والتكامل العادية المقابلة. لا يُسمح بالائتمان لكل من الرياضيات 1512 ورياضيات 1522. لا يُسمح باستخدام الرصيد لكل من رياضتي الرياضيات 1512 ورياضيات 1522.

رياضيات 1550. مقدمة في حساب التفاضل. 3 ساعات معتمدة.

مقدمة في حساب التفاضل بما في ذلك التطبيقات والنظرية الأساسية لحدود الوظائف والمتواليات. لم يتم منح الائتمان لكل من MATH 1550 و MATH 1501 أو MATH 1551 أو MATH 1503.

رياضيات 1551. حساب التفاضل. 2 ساعة معتمدة.

حساب التفاضل بما في ذلك التطبيقات والنظرية الأساسية لحدود الوظائف والمتواليات. لم يتم منح الائتمان لكل من رياضيات 1551 ورياضيات 1501 ورياضيات 1503 ورياضيات 1550.

رياضيات 1552. حساب التكامل. 4 ساعات معتمدة.

حساب التفاضل والتكامل: التكاملات المحددة وغير المحددة ، تقنيات التكامل ، التكاملات غير الصحيحة ، السلاسل اللانهائية ، التطبيقات. لم يتم منح الائتمان لكل من رياضيات 1552 ورياضيات 1502 ورياضيات 1504 ورياضيات 1512 ورياضيات 1555.

رياضيات 1553. مقدمة في الجبر الخطي. 2 ساعة معتمدة.

مقدمة إلى alegbra الخطي بما في ذلك القيم الذاتية والمتجهات الذاتية ، والتطبيقات على الأنظمة الخطية ، والمربعات الصغرى. لم يتم منح الائتمان لكل من MATH 1553 و MATH 1522 أو MATH 1502 أو MATH 1504 أو MATH 1512 أو MATH 1554 أو MATH 1564.

رياضيات 1554. الجبر الخطي. 4 ساعات معتمدة.

القيم الذاتية للجبر الخطي ، المتجهات الذاتية ، تطبيقات الأنظمة الخطية ، المربعات الصغرى ، التشخيص ، الأشكال التربيعية.

رياضيات 1555. حساب التفاضل والتكامل لعلوم الحياة. 4 ساعات معتمدة.

نظرة عامة على حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات والمعادلات التفاضلية للعلوم البيولوجية. لم يتم منح الائتمان لكل من MATH 1555 و MATH 1552 أو MATH 1502 أو MATH 1504 أو MATH 1512 أو MATH 2550.

رياضيات 1564. الجبر الخطي مع مسافات متجهية مجردة. 4 ساعات معتمدة.

هذه دورة أولى مكثفة في الجبر الخطي بما في ذلك نظريات التحولات الخطية ومساحات ناقلات مجردة. لم يتم منح الائتمان لكل من MATH 1564 و MATH 1553 أو MATH 1554 أو MATH 1522 أو MATH 1502 أو MATH 1504 أو MATH 1512.

رياضيات 15 × 1. حساب التفاضل والتكامل (1) 3 ساعات معتمدة.

رياضيات 15 × 2. تحويل حساب التفاضل والتكامل II. 3،4 ساعة معتمدة.

يتضمن هذا المقرر معالجة حساب التفاضل والتكامل الفردي في رياضيات 1502. هذه الدورة لا تعادل رياضيات 1502. لا يُسمح باستخدام الدرجات في كل من رياضتي 14 × 2 ورياضيات 1502. لا يُسمح باستخدام الدرجات في كل من الرياضيات × 2 و 1512.

رياضيات 1601. مقدمة في الرياضيات العليا. 3 ساعات معتمدة.

تم تصميم هذه الدورة لتعليم حل المشكلات وإثبات الكتابة. موضوع الرياضيات مستمد من نظرية الأعداد الأولية والهندسة.

رياضيات 1711. الرياضيات المحدودة. 4 ساعات معتمدة.

المعادلات الخطية ، المصفوفات ، البرمجة الخطية ، المجموعات والعد ، الاحتمالات والإحصاءات.

رياضيات 1712. مسح التفاضل والتكامل. 4 ساعات معتمدة.

تقنيات التفاضل والتكامل وتطبيق التكامل على الاحتمالات والإحصاء وحساب التفاضل والتكامل متعدد الأبعاد. لا يُسمح بالائتمان لكل من الرياضيات 1712 و 1501.

رياضيات 17X1. تحويل الرياضيات المحددة. 3 ساعات معتمدة.

رياضيات 17 × 2. نقل المسح-احسب. 3 ساعات معتمدة.

رياضيات 1803. موضوعات خاصة. 3 ساعات معتمدة.

دورات في الموضوعات الخاصة ذات الاهتمام الحالي في الرياضيات.

رياضيات 1 × 51. تحويل الحساب التفاضلي. 2،3 ساعة معتمدة.

رياضيات 1 × 52. تحويل حساب التفاضل والتكامل. 3،4 ساعة معتمدة.

رياضيات 1 × 53. نقل مقدمة الجبر الخطي. 2،3 ساعة معتمدة.

رياضيات 1X54. تحويل الجبر الخطي. 2،3 ساعة معتمدة.

رياضيات 1 × 55. تحويل حساب التفاضل والتكامل لعلوم الحياة. 2،3 ساعة معتمدة.

رياضيات 1XXX. مادة الرياضيات اختيارية. 1-21 ساعة معتمدة.

رياضيات 2106. أسس الإثبات الرياضي. 3 ساعات معتمدة.

مقدمة عن البراهين في الرياضيات المتقدمة ، تهدف إلى الانتقال إلى دورات الدرجة العليا بما في ذلك الجبر المجرد 1 والتحليل 1.

رياضيات 2406. مسافات متجهية مجردة. 3 ساعات معتمدة.

تطوير قائم على الإثبات للجبر الخطي ومساحات المتجهات ، مع موضوعات إضافية مثل الجبر متعدد الخطوط ونظرية المجموعة.

رياضيات 24X1. تحويل حساب التفاضل والتكامل III. 3 ساعات معتمدة.

رياضيات 24X3. تحويل المعادلات. 3 ساعات معتمدة.

رياضيات 2550. مقدمة في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات. 2 ساعة معتمدة.

المتجهات ثلاثية الأبعاد ، المنحنيات في الفضاء ، وظائف المتغيرات المتعددة ، المشتقات الجزئية ، التحسين ، تكامل وظائف عدة متغيرات. متجه حساب التفاضل والتكامل غير مغطى. لن يتم منح رصيد لكل من MATH 2550 و MATH 2605 أو MATH 2401 أو MATH 2551 أو MATH 1555.

رياضيات 2551. حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات. 4 ساعات معتمدة.

حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات: التقريب الخطي ونظريات تايلور ومضاعفات لاغرانج والتحسين المقيد والتكامل المتعدد وتحليل المتجهات بما في ذلك نظريات Green و Gauss و Stokes. لن يتم منح رصيد لكل من رياضيات 2551 ورياضيات 2401 أو رياضيات 2411 أو 2561.

رياضيات 2552. المعادلات التفاضلية. 4 ساعات معتمدة.

طرق الحصول على الحلول العددية والتحليلية للمعادلات التفاضلية الأولية. يتم أيضًا مناقشة التطبيقات مع التركيز على النمذجة. لم يتم منح رصيد لكل من رياضيات 2552 ورياضيات 2403 أو رياضيات 2413 أو 2562.

رياضيات 2561. تكرم حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات. 4 ساعات معتمدة.

الموضوعات التي غطت موازية لتلك الخاصة بـ MATH 2551 مع معالجة أكثر كثافة وصرامة إلى حد ما. لم يتم منح رصيد لكل من رياضيات 2561 ورياضيات 2401 أو رياضيات 2411 أو 2551.

رياضيات 2562. يكرم المعادلات التفاضلية. 4 ساعات معتمدة.

الموضوعات التي غطت موازية لتلك الخاصة بـ MATH 2552 مع معالجة أكثر كثافة وصرامة إلى حد ما.

رياضيات 2603. مقدمة في الرياضيات المتقطعة. 4 ساعات معتمدة.

المنطق والإثبات الرياضي ، الاستقراء الرياضي ، طرق العد ، علاقات التكرار ، الخوارزميات والتعقيد ، نظرية الرسم البياني وخوارزميات الرسم البياني. لم يتم منح الائتمان لكل من رياضيات 2603 ورياضيات 2602.

رياضيات 2605. حساب التفاضل والتكامل الثالث لعلوم الكمبيوتر. 4 ساعات معتمدة.

موضوعات في الجبر الخطي وحساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات وتطبيقاتها في التحسين والطرق العددية ، بما في ذلك ملاءمة المنحنى ، والاستيفاء ، والتفاضل والتكامل العددي.

رياضيات 2698. مساعد بحث جامعي. 1-12 ساعة معتمدة.

بحث مستقل يتم إجراؤه بتوجيه من عضو هيئة التدريس.

رياضيات 2699. بحث جامعي. 1-12 ساعة معتمدة.

بحث مستقل يتم إجراؤه بتوجيه من عضو هيئة التدريس.

رياضيات 26 × 2. نقل الرياضيات الخطي وأقراص أمبير. 3 ساعات معتمدة.

رياضيات 26 × 3. تحويل الرياضيات المنفصلة. 3 ساعات معتمدة.

رياضيات 2801. موضوعات خاصة. 1 ساعة معتمدة.

دورات في الموضوعات الخاصة ذات الاهتمام الحالي بالرياضيات.

رياضيات 2802. موضوعات خاصة. 2 ساعة معتمدة.

دورات في الموضوعات الخاصة ذات الاهتمام الحالي بالرياضيات.

رياضيات 2803. موضوعات خاصة. 3 ساعات معتمدة.

دورات في الموضوعات الخاصة ذات الاهتمام الحالي بالرياضيات.

رياضيات 2804. موضوعات خاصة. 4 ساعات معتمدة.

دورات في الموضوعات الخاصة ذات الاهتمام الحالي بالرياضيات.

رياضيات 2805. مواضيع خاصة. 5 ساعات معتمدة.

دورات في الموضوعات الخاصة ذات الاهتمام الحالي بالرياضيات.

رياضيات 2 × 51. تحويل متعدد المتغيرات احسب. 3،4 ساعة معتمدة.

رياضيات 2 × 52. تحويل المعادلة التفاضلية. 3،4 ساعة معتمدة.

رياضيات 2XXX. مادة الرياضيات اختيارية. 1-21 ساعة معتمدة.

رياضيات 3012. التوليفات التطبيقية. 3 ساعات معتمدة.

التقنيات الاندماجية الأولية المستخدمة في حل المشكلات المنفصل: طرق العد ، وحل التكرارات الخطية ، ونماذج الرسم البياني والشبكة ، والخوارزميات ذات الصلة ، والتصميمات التوافقية.

رياضيات 3022. مع مرتبة الشرف في التوليفات التطبيقية. 3 ساعات معتمدة.

الموضوعات موازية لتلك الخاصة بـ MATH 3012 مع معالجة أكثر صرامة ومكثفة. لا يُسمح بالاعتماد على كل من الرياضيات 3012 و 3022.

رياضيات 3215. مقدمة في الاحتمالات والإحصاء. 3 ساعات معتمدة.

هذا المساق عبارة عن مقدمة موجهة لحل المشكلات للمفاهيم الأساسية للاحتمالات والإحصاء ، وتوفر أساسًا للتطبيقات والمزيد من الدراسة.

رياضيات 3225. الاحتمالية والإحصاء مع مرتبة الشرف. 3 ساعات معتمدة.

الموضوعات التي غطت موازية لتلك الموجودة في الرياضيات 3215 ، مع معالجة أكثر صرامة ومكثفة. لا يُسمح بالاعتماد على كل من رياضتي 3215 و 3225.

رياضيات 3235. نظرية الاحتمالات. 3 ساعات معتمدة.

هذا المقرر الدراسي عبارة عن مقدمة رياضية لنظرية الاحتمالات ، ويغطي المتغيرات العشوائية ، واللحظات ، والتوزيعات متعددة المتغيرات ، وقانون الأعداد الكبيرة ، ونظرية الحد المركزي ، والانحرافات الكبيرة. لم يتم منح الائتمان لكل من MATH 3235 و MATH 3215 أو 3225 أو 3670.

رياضيات 3236. النظرية الإحصائية. 3 ساعات معتمدة.

مقدمة في الإحصاء النظري للطلاب ذوي الخلفية في الاحتمالات. سيتم تطوير شكليات رياضية للاستدلال على البيانات التجريبية. لا يوجد رصيد في كل من MATH 3236 و MATH 3215 أو 3225 أو 3670.

رياضيات 3406. مادة ثانية في الجبر الخطي. 3 ساعات معتمدة.

ستغطي هذه الدورة موضوعات مهمة في الجبر الخطي لا تتم مناقشتها عادةً في مقرر الفصل الدراسي الأول ، وتضم مزيجًا من النظرية والتطبيقات.

رياضيات 3670. الاحتمالية والإحصاء مع التطبيقات. 3 ساعات معتمدة.

مقدمة في الاحتمالية ، التوزيعات الاحتمالية ، تقدير النقاط ، فترات الثقة ، اختبار الفرضيات ، الانحدار الخطي وتحليل التباين. لا يمكن للطلاب الحصول على ائتمانات لكل من MATH 3670 و MATH 3770 أو ISYE 3770 أو CEE 3770.

رياضيات 3801. موضوعات خاصة. 1 ساعة معتمدة.

دورات في الموضوعات الخاصة ذات الاهتمام الحالي بالرياضيات.

رياضيات 3802. موضوعات خاصة. 2 ساعة معتمدة.

دورات في الموضوعات الخاصة ذات الاهتمام الحالي بالرياضيات.

رياضيات 3803. موضوعات خاصة. 3 ساعات معتمدة.

دورات في الموضوعات الخاصة ذات الاهتمام الحالي بالرياضيات.

رياضيات 3804. موضوعات خاصة. 4 ساعات معتمدة.

دورات في الموضوعات الخاصة ذات الاهتمام الحالي بالرياضيات.

رياضيات 3805. موضوعات خاصة. 5 ساعات معتمدة.

دورات في الموضوعات الخاصة ذات الاهتمام الحالي بالرياضيات.

رياضيات 3XXX. مادة الرياضيات اختيارية. 1-21 ساعة معتمدة.

رياضيات 4012. التراكيب الجبرية في نظرية الترميز. 3 ساعات معتمدة.

مقدمة إلى أكواد تصحيح الخطأ الخطي مع التركيز على الأدوات الجبرية المطلوبة ، بما في ذلك مسافات ناقلات المصفوفات والمجموعات والحلقات متعددة الحدود والحقول المحدودة.

رياضيات 4022. مقدمة في نظرية الرسم البياني. 3 ساعات معتمدة.

أساسيات نظرية الرسم البياني: الأشجار ، الاتصال ، طارة أويلر ، دورات هاملتون ، المطابقات ، الألوان ، ونظرية رامزي.

رياضيات 4032. التحليل التوافقي. 3 ساعات معتمدة.

تقنيات حل المشكلات التوافقية بما في ذلك استخدام وظائف التوليد ، وعلاقات التكرار ، ونظرية بوليا ، والتصاميم التوافقية ، ونظرية رامزي ، والقواعد الأساسية ، والتحليل المقارب.

رياضيات 4080. مشروع التخرج الأول: 2 ساعة معتمدة.

الجزء الأول من سلسلة مكونة من دورتين من البحث المستقل الذي يديره أعضاء هيئة التدريس ويبلغ ذروته في كتابة أطروحة التخرج وعرضها.

رياضيات 4090. مشروع التخرج الثاني. 2 ساعة معتمدة.

الدورة الثانية من سلسلة مكونة من دورتين من البحث المستقل الذي يديره أعضاء هيئة التدريس والتي بلغت ذروتها في كتابة أطروحة التخرج وعرضها.

رياضيات 4107. مقدمة في الجبر المجرد 3 ساعات معتمدة.

تتطور هذه الدورة في موضوع & quot التطابق الحسابي والتراكيب الجبرية المجردة & quot. تركيز قوي على النظرية والبراهين.

رياضيات 4108. مقدمة في الجبر المجرد 2. 3 ساعات معتمدة.

استمرار الجبر المجرد 1 ، مع التركيز على نظرية جالوا ، والوحدات ، والمجالات متعددة الحدود ، ونظرية الجبر الترابطي الخطي.

رياضيات 4150. مقدمة في نظرية الأعداد. 3 ساعات معتمدة.

الأعداد الأولية والعوامل الفريدة ، التطابقات ، نظرية الباقي الصينية ، معادلات ديوفانتين ، تقريب ديوفانتين ، المعاملة بالمثل من الدرجة الثانية. تطبيقات مثل الضرب السريع والعوامل والتشفير.

رياضيات 4221. الاحتمالية مع التطبيقات: 3 ساعات معتمدة.

المشي العشوائي البسيط ونظرية سلاسل ماركوف الزمنية المنفصلة.

رياضيات 4222. الاحتمالية مع التطبيقات II. 3 ساعات معتمدة.

نظرية التجديد وعمليات بواسون وعمليات ماركوف المستمرة للوقت ، بما في ذلك مقدمة للحركة البراونية والمارتينجاليس.

رياضيات 4255. طرق مونت كارلو. 3 ساعات معتمدة.

توزيعات الاحتمالية وقوانين الحد والتطبيقات من خلال الكمبيوتر.

رياضيات 4261. الإحصاء الرياضي 3 ساعات معتمدة.

توزيعات العينات والتوزيعات العادية و t و chi-square و f. طرق دالة توليد اللحظة وتقدير بايزي ومقدمة لاختبار الفرضيات.

رياضيات 4262. الإحصاء الرياضي II. 3 ساعات معتمدة.

اختبار الفرضيات ، اختبارات نسبة الاحتمالية ، الاختبارات اللامعلمية ، التوزيعات العادية ثنائية المتغير ومتعددة المتغيرات.

رياضيات 4280. مقدمة في نظرية المعلومات. 3 ساعات معتمدة.

قياس وتقدير المعلومات. يتم تطبيق هذه الأفكار على التحليل الاحتمالي لنقل المعلومات عبر قناة يحدث فيها تشويه عشوائي للرسالة.

رياضيات 4305. موضوعات في الجبر الخطي. 3 ساعات معتمدة.

الفراغات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة ، فراغات المنتج الداخلية ، المربعات الصغرى ، التحويلات الخطية ، النظرية الطيفية للتحولات العادية. تطبيقات للمجموعات المحدبة ، المصفوفات الموجبة ، معادلات الفرق.

رياضيات 4317. التحليل أولا 3 ساعات معتمدة.

الأعداد الحقيقية ، طوبولوجيا الفضاء الإقليدي ، متواليات كوشي ، الاكتمال ، الاستمرارية والاندماج ، الاستمرارية المنتظمة ، سلسلة الوظائف ، سلسلة فورييه.

رياضيات 4318. تحليل II. 3 ساعات معتمدة.

اشتقاق دوال متغير حقيقي واحد ، تكامل ريمان-ستيلجيس ، المشتق في Rn ، والتكامل في Rn.

رياضيات 4320. تحليل معقد. 3 ساعات معتمدة.

موضوعات من نظرية الوظائف المعقدة ، بما في ذلك تكامل الكنتور ورسم الخرائط المطابقة.

رياضيات 4347. المعادلات التفاضلية الجزئية. 3 ساعات معتمدة.

طريقة الخصائص للمعادلات التفاضلية الجزئية من الرتبتين الأولى والثانية ، وقوانين الحفظ والصدمات ، وتصنيف أنظمة وتطبيقات الدرجة الثانية.

رياضيات 4348. المعادلات التفاضلية الجزئية II. 3 ساعات معتمدة.

وظائف Green والحلول الأساسية. المعادلات المحتملة والانتشار والموجة.

رياضيات 4431. الطوبولوجيا التمهيدية. 3 ساعات معتمدة.

طوبولوجيا مجموعة النقاط ، والمساحات الطوبولوجية ، والمسافات المترية ، والاستمرارية والاندماج ، والتماثل ، ومساحات التغطية.

رياضيات 4432. مقدمة في الطوبولوجيا الجبرية. 3 ساعات معتمدة.

مقدمة في الطرق الجبرية في الطوبولوجيا. يشمل homotopy ، المجموعة الأساسية ، مساحات التغطية ، المجمعات البسيطة. تطبيقات على نظرية النقطة الثابتة ونظرية المجموعة.

رياضيات 4441. الهندسة التفاضلية. 3 ساعات معتمدة.

نظرية المنحنيات والسطوح والمتشعبات بشكل عام. الانحناء ، النقل الموازي ، التمايز المشترك ، نظرية جاوس-بونيت.

رياضيات 4541. الديناميات والتشعبات: 3 ساعات معتمدة.

مقدمة واسعة للسلوك المحلي والعالمي للأنظمة الديناميكية غير الخطية الناشئة عن الخرائط والمعادلات التفاضلية العادية.

رياضيات 4542. الديناميات والانشقاقات II. 3 ساعات معتمدة.

استمرار الديناميكيات والتشعبات I.

رياضيات 4580. البرمجة الخطية. 3 ساعات معتمدة.

دراسة مشاكل البرمجة الخطية ، بما في ذلك طريقة simplex والازدواجية وتحليل الحساسية مع تطبيقات ألعاب المصفوفة وبرمجة interger والشبكات.

رياضيات 4581. طرق الرياضيات الكلاسيكية في الهندسة. 3 ساعات معتمدة.

تحويل لابلاس وتطبيقاته ، سلسلة فورييه ، مشاكل القيمة الحدية للمعادلات التفاضلية الجزئية.

رياضيات 4640. تحليل عددي 3 ساعات معتمدة.

مقدمة في الخوارزميات العددية لبعض المشاكل الأساسية في الرياضيات الحسابية. مناقشة كل من قضايا التنفيذ وتحليل الأخطاء.

رياضيات 4641. التحليل العددي II. 3 ساعات معتمدة.

مقدمة في الحل العددي لمشاكل القيمة الأولية والحدودية في المعادلات التفاضلية.

رياضيات 4695. تدريب جامعي. 1-21 ساعة معتمدة.

تدريب البكالوريوس للحصول على الائتمان الأكاديمي.

رياضيات 4698. مساعدة بحث جامعية. 1-12 ساعة معتمدة.

بحث مستقل يتم إجراؤه بتوجيه من عضو هيئة التدريس.

رياضيات 4699. بحث جامعي. 1-12 ساعة معتمدة.

بحث مستقل يتم إجراؤه بتوجيه من عضو هيئة التدريس.

رياضيات 4755. علم الأحياء الرياضي. 3 ساعات معتمدة.

يتم عرض مشاكل من علوم الحياة والطرق الرياضية لحلها. تم التأكيد على المبادئ البيولوجية والرياضية الأساسية والعلاقات المتبادلة. تم إدراجها في القائمة مع BIOL 4755.

رياضيات 4777. الحساب العلمي المتجه والمتوازي. 3 ساعات معتمدة.

الخوارزميات الحسابية العلمية على الحواسيب المتجهة والمتوازية. التعقيد الخوارزمي والتسريع ، الاتصالات البينية ، التزامن ، الخوارزميات الحديثة للأنظمة الخطية ، تقنيات البرمجة ، تحسين الكود. تم إدراجها في قائمة CS 4777.

رياضيات 4782. معلومات الكم والحساب الكمي. 3 ساعات معتمدة.

مقدمة في الحوسبة الكمومية ونظرية المعلومات الكمومية ، شكليات ميكانيكا الكم ، البوابات الكمومية ، الخوارزميات ، القياسات ، الترميز والمعلومات. الإدراك والتجارب المادية. مدرج في PHYS 4782.

رياضيات 4801. موضوعات خاصة. 1 ساعة معتمدة.

دورات في الموضوعات الخاصة ذات الاهتمام الحالي بالرياضيات.

رياضيات 4802. موضوعات خاصة. 2 ساعة معتمدة.

دورات في الموضوعات الخاصة ذات الاهتمام الحالي بالرياضيات.

رياضيات 4803. موضوعات خاصة. 3 ساعات معتمدة.

دورات في الموضوعات الخاصة ذات الاهتمام الحالي بالرياضيات.

رياضيات 4804. موضوعات خاصة. 4 ساعات معتمدة.

دورات في الموضوعات الخاصة ذات الاهتمام الحالي بالرياضيات.

رياضيات 4805. موضوعات خاصة. 5 ساعات معتمدة.

دورات في الموضوعات الخاصة ذات الاهتمام الحالي بالرياضيات.

رياضيات 4873. موضوعات خاصة. 3 ساعات معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 4999. قراءة أو بحث. 1-21 ساعة معتمدة.

القراءة أو البحث في الموضوعات ذات الاهتمام الحالي.

رياضيات 4XXX. مادة الرياضيات اختيارية. 1-21 ساعة معتمدة.

رياضيات 6001. مقدمة في الدراسات العليا في الرياضيات. 2 ساعة معتمدة.

تغطي هذه الدورة معلومات عملية تساعد الطلاب على بدء حياتهم المهنية كعالم رياضيات محترف. كما أنه يلبي متطلبات Georgia Tech RCR للتدريب & quotin-person & quot.

رياضيات 6014. نظرية المخططات والتراكيب التوافقية. 3 ساعات معتمدة.

الأساسيات ، الاتصال ، المطابقة ، التلوين ، المشاكل المتطرفة ، نظرية رامزي ، الرسوم البيانية المستوية ، الرسوم البيانية المثالية. تطبيقات لبحوث العمليات وتصميم خوارزميات فعالة.

رياضيات 6021. طوبولوجيا المساحات الإقليدية. 3 ساعات معتمدة.

الفراغات المترية والمسافات الخطية المعيارية والتحدب والفصل متعدد السطوح والمجمعات البسيطة أسطح Brouwer نظرية النقطة الثابتة.

رياضيات 6112. الجبر الخطي المتقدم. 3 ساعات معتمدة.

دورة متقدمة في الجبر الخطي والتطبيقات.

رياضيات 6121. الجبر التجريدي الحديث 3 ساعات معتمدة.

الجبر الخطي والتجريدي على مستوى الخريجين بما في ذلك المجموعات والحقول المحدودة ومجموعات المصفوفة الكلاسيكية والأشكال ثنائية الخطوط والجبر متعدد الخطوط والمصفوفات. أول دورتين.

رياضيات 6122. الجبر التجريدي الحديث 2. 3 ساعات معتمدة.

الجبر الخطي والتجريدي على مستوى الخريجين بما في ذلك الحلقات والحقول والوحدات وبعض نظرية الأعداد الجبرية ونظرية جالوا. الثانية من دورتين.

رياضيات 6221. نظرية الاحتمالات الكلاسيكية المتقدمة. 3 ساعات معتمدة.

مقدمة كلاسيكية لنظرية الاحتمالات بما في ذلك التوقع ، ومفاهيم التقارب ، وقوانين الأعداد الكبيرة ، والاستقلال ، والانحرافات الكبيرة ، والتوقع الشرطي ، وسلاسل مارتينجاليس ، وماركوف.

رياضيات 6235. العمليات العشوائية في التمويل II. 3 ساعات معتمدة.

النمذجة الرياضية المتقدمة للأسواق المالية ، وتسعير الأوراق المالية المشتقة ، وتحسين المحفظة. يتم تقديم مفاهيم من الاحتمالات والرياضيات المتقدمة حسب الحاجة.

رياضيات 6241. الاحتمال 1: 3 ساعات معتمدة.

يطور أساس الاحتمال المطلوب في النظريات الإحصائية الحديثة والعمليات العشوائية. تشمل موضوعات هذا المقرر الدراسي أسس القياس والتكامل للاحتمال ، ووظائف التوزيع ، ومفاهيم التقارب ، وقوانين الأعداد الكبيرة ، ونظرية الحد المركزي. أول دورتين.

رياضيات 6242. الاحتمال الثاني. 3 ساعات معتمدة.

يطور أساس الاحتمال المطلوب في النظريات الإحصائية الحديثة والعمليات العشوائية. تتضمن موضوعات هذه الدورة نتائج لمجموعات المتغيرات العشوائية المستقلة ، وعمليات ماركوف ، والمارتينجاليس ، وعمليات بواسون ، والحركة البراونية ، والاحتمال الشرطي والتوقع الشرطي ، وموضوعات من نظرية ergodic. الثاني من فئتين.

رياضيات 6262. استدلال إحصائي متقدم 3 ساعات معتمدة.

النظريات الأساسية للتقدير الإحصائي ، بما في ذلك التقدير الأمثل في العينات المحدودة والتقدير الأمثل تقاربيًا. معالجة رياضية دقيقة لأساليب التقدير الأولية المستخدمة من قبل الإحصائيين.

رياضيات 6263. اختبار الفرضيات الإحصائية. 3 ساعات معتمدة.

النظريات الأساسية لاختبار الفرضيات الإحصائية ، بما في ذلك المعالجة الشاملة للاختبار في عائلات الطبقة الأسية. معالجة رياضية دقيقة للتقنيات الأولية لاختبار الفرضيات التي يستخدمها الإحصائيون.

رياضيات 6266. النماذج الإحصائية الخطية. 3 ساعات معتمدة.

نظرية التوحيد الأساسية التي تقوم عليها تقنيات الانحدار ، وتحليل التباين والتغاير ، من وجهة نظر هندسية. يتم استغلال القدرات الحسابية الحديثة بشكل كامل. يطبق الطلاب النظرية على البيانات الحقيقية من خلال البرامج المعلبة والمشفرة.

رياضيات 6267. التحليل الإحصائي متعدد المتغيرات. 3 ساعات معتمدة.

نظرية التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات ، تحليل الارتباط والاعتماد ، الانحدار والتنبؤ ، طرق تقليل الأبعاد ، توزيع العينات ومشاكل الاستدلال ذات الصلة ، تطبيقات مختارة في نظرية التصنيف ، التحكم في العمليات متعددة المتغيرات ، والتعرف على الأنماط.

رياضيات 6307. معادلات تفاضلية عادية 3 ساعات معتمدة.

يطور هذا التسلسل النظرية النوعية لأنظمة المعادلات التفاضلية العادية. تشمل الموضوعات الاستقرار ، وظائف Lyapunov ، نظرية فلوكيت ، الجاذبات ، المشعبات الثابتة ، نظرية التشعب ، الأشكال العادية. أول دورتين.

رياضيات 6308. المعادلات التفاضلية العادية II. 3 ساعات معتمدة.

يطور هذا التسلسل النظرية النوعية لأنظمة المعادلات التفاضلية. تشمل الموضوعات الاستقرار ، وظائف Lyapunov ، نظرية Floquet ، الجاذبات ، المشعبات الثابتة ، نظرية التشعب ، والأشكال العادية. الثانية من دورتين.

رياضيات 6321. وظائف متغير معقد: 3 ساعات معتمدة.

التكامل المعقد ، بما في ذلك تصنيف نظرية غورسات للتفردات ، ومبدأ الحجة ، والاستمرارية التحليلية لنظرية ريمان لرسم الخرائط القصوى ، ومجموعة أسطح ريمان للدالة التحليلية ، بما في ذلك نظرية بيكارد.

رياضيات 6337. تحليل حقيقي 3 ساعات معتمدة.

نظرية القياس والتكامل. تشمل الموضوعات المقاييس والوظائف القابلة للقياس والتكامل والتمايز بين المقاييس.

رياضيات 6338. تحليل حقيقي II. 3 ساعات معتمدة.

تشمل الموضوعات مساحات Lp ومساحات Banach و Hilbert والتحليل الوظيفي الأساسي.

رياضيات 6341. المعادلات التفاضلية الجزئية. 3 ساعات معتمدة.

مقدمة في النظرية الرياضية للمعادلات التفاضلية الجزئية التي تغطي النماذج الخطية الأساسية للعلم وتقنيات الحل الدقيق.

رياضيات 6342. المعادلات التفاضلية الجزئية II. 3 ساعات معتمدة.

يغطي هذا المقرر الدراسي النظرية الرياضية العامة للمشكلات الخطية الثابتة والتطور بالإضافة إلى موضوعات مختارة من اهتمامات المعلم.

رياضيات 6421. الهندسة الجبرية 3 ساعات معتمدة.

دراسة المجموعات الصفرية من كثيرات الحدود: الأصناف الجبرية والتعيينات المنتظمة والعقلانية وطوبولوجيا زاريسكي.

رياضيات 6422. الهندسة الجبرية II. 3 ساعات معتمدة.

استمرار للهندسة الجبرية I.

رياضيات 6441. الطوبولوجيا الجبرية أولاً - 3 ساعات معتمدة.

التنادد البسيط. مجمعات السلاسل والناقلات غير الحلقية. التقريب البسيط. تسلسل التنادد الدقيق. خرائط المجالات. تسلسل ماير فيتوريس.

رياضيات 6442. الطوبولوجيا الجبرية II. 3 ساعات معتمدة.

استمرار الرياضيات 6441. التماثل الفردي. التنادد المحلي والمتشعب. مجمعات CW. علم التعايش. الازدواجية في الفتحات.

رياضيات 6451. الطوبولوجيا العامة. 3 ساعات معتمدة.

مقدمة في المساحات الطوبولوجية والمترية. الاستمرارية والاكتناز والتقارب والانتهاء. فضاءات المنتج والحاصل. homotopy الابتدائية.

رياضيات 6452. الطوبولوجيا التفاضلية. 3 ساعات معتمدة.

الفتحات. هياكل قابلة للتفاضل. حزم الظل. حفلات الزفاف والغطس. خرائط على الفتحات. عرضية. نظرية مورس سارد. حزم المتجهات.

رياضيات 6453. الطوبولوجيا الهندسية. 3 ساعات معتمدة.

الفئات المميزة ، نظرية مورس ، المشعبات الثلاثية ، المشعبات الأربعة ، المشعبات العفوية والتلامسية ، نظرية العقدة.

رياضيات 6455. الهندسة التفاضلية 3 ساعات معتمدة.

الموضوعات الأساسية في التفاضل ، بما في ذلك: مجموعات الكذب ، والانحناء ، والعلاقات مع الطوبولوجيا.

رياضيات 6456. الهندسة التفاضلية II. 3 ساعات معتمدة.

يعرف الطلاب على الموضوعات ذات الاهتمام الحالي في الهندسة.

رياضيات 6514. الرياضيات الصناعية أولا 3 ساعات معتمدة.

تقنيات الرياضيات التطبيقية لحل مشاكل العالم الحقيقي. تشمل الموضوعات النمذجة الرياضية والتحليل المقارب والمعادلات التفاضلية والحساب العلمي. يعد الطالب لمادة 6515 رياضيات.

رياضيات 6580. مقدمة في فضاءات هلبرت. 3 ساعات معتمدة.

هندسة وتقارب وبنية المشغلين الخطيين في فضاءات أبعاد لا نهائية. تطبيقات في العلوم والهندسة ، بما في ذلك المعادلات التكاملية والمعادلات التفاضلية الجزئية العادية.

رياضيات 6583. معادلات وتحولات متكاملة. 3 ساعات معتمدة.

معادلات فولتيرا وفريدهولم التكامل الخطي فيما يتعلق بأساليب حل المعادلات التفاضلية يحول فورييه ولابلاس وميلين التطبيقات إلى مسائل قيمة حدية ومعادلات تكاملية.

رياضيات 6584. وظائف خاصة للرياضيات العليا. 3 ساعات معتمدة.

دالة جاما الأسية دالة متعددة الحدود المتعامدة Bessel و Legendre والدوال الهندسية الفائقة لتطبيق المعادلات التفاضلية العادية الفردية وفصل المتغيرات للمعادلات التفاضلية الجزئية.

رياضيات 6635. الطرق العددية في التمويل. 3 ساعات معتمدة.

الأساليب العددية والمحاكاة الأساسية المستخدمة في تسعير الأوراق المالية المشتقة والمشاكل ذات الصلة في التمويل. مطلوب بعض الخبرة في البرمجة.

رياضيات 6640. مقدمة في الطرق العددية للمعادلات التفاضلية الجزئية. 3 ساعات معتمدة.

مقدمة في تنفيذ وتحليل الخوارزميات العددية للحل العددي للمعادلات التفاضلية الجزئية الكلاسيكية للعلوم والهندسة. يجب أن يكون لديه معرفة بلغة برمجة الكمبيوتر ، والإلمام بالمعادلات التفاضلية الجزئية وعناصر الحوسبة العلمية.

رياضيات 6641. طرق عددية متقدمة للمعادلات التفاضلية الجزئية. 3 ساعات معتمدة.

تحليل وتنفيذ الطرق العددية للمعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية بما في ذلك المشاكل الإهليلجية والقطع الزائد و / أو القطع المكافئ. يجب أن يكون لديه معرفة بالمعادلات التفاضلية الجزئية الخطية الكلاسيكية والتعرض للطرق العددية للمعادلات التفاضلية الجزئية على مستوى الرياضيات 6640 أو الجبر الخطي العددي على مستوى الرياضيات 6643.

رياضيات 6643. الجبر الخطي العددي. 3 ساعات معتمدة.

مقدمة في الحل العددي للمشكلات الكلاسيكية للجبر الخطي بما في ذلك الأنظمة الخطية ، المربعات الصغرى ، تحلل القيمة المفردة ، مشاكل القيمة الذاتية. تم إدراجها في قائمة CSE 6643.

رياضيات 6644. طرق تكرارية لأنظمة المعادلات. 3 ساعات معتمدة.

الطرق التكرارية لأنظمة المعادلات الخطية وغير الخطية بما في ذلك أساليب Jacobi و G-S و SOR و CG و multigrid و Newton شبه نيوتن والتحديث والقائمة على التدرج. تم إدراجها في قائمة CSE 6644.

رياضيات 6645. نظرية التقريب العددي. 3 ساعات معتمدة.

الجوانب النظرية والحسابية لتقريب كثير الحدود ، والعقلاني ، والمثلثي ، والخدد ، والمويجات.

رياضيات 6646. طرق عددية للمعادلات التفاضلية العادية. 3 ساعات معتمدة.

تحليل وتنفيذ الطرق العددية لمشاكل القيمة الأولية وقيمة الحدود ذات النقطتين للمعادلات التفاضلية العادية.

رياضيات 6647. الطرق العددية للأنظمة الديناميكية. 3 ساعات معتمدة.

تقريب الهيكل الديناميكي للمعادلة التفاضلية والحفاظ على الهيكل الديناميكي تحت التقدير. يجب أن يكون على دراية بالأنظمة الديناميكية والطرق العددية لمشاكل القيمة الأولية والحدودية في المعادلات التفاضلية العادية.

MATH 6701. الرياضيات في العلوم التطبيقية أ. 3 ساعات معتمدة.

مراجعة الجبر الخطي والمعادلات التفاضلية العادية ، مقدمة موجزة لوظائف المتغير المعقد.

رياضيات 6702. الرياضيات في العلوم التطبيقية II. 3 ساعات معتمدة.

مراجعة حساب المتجه وتطبيقاته على المعادلات التفاضلية الجزئية.

رياضيات 6705. النمذجة وديناميكيات. 3 ساعات معتمدة.

الأساليب الرياضية لحل المشكلات في علوم الحياة. دورة تعتمد على النماذج على الحقائق الأساسية من نظرية المعادلات التفاضلية العادية والطرق العددية لحلها. مقدمة في نظرية التحكم ونظرية الانتشار والتعظيم والتصغير وتركيب المنحنيات. قد لا تستخدم تخصصات الرياضيات هذه الدورة للحصول على أي درجة في كلية الرياضيات.

MATH 6710. الطرق العددية في العلوم والهندسة الحسابية 1 - 3 ساعات معتمدة.

مقدمة في الخوارزميات العددية المستخدمة على نطاق واسع في العلوم والهندسة الحاسوبية. الجبر الخطي العددي والبرمجة الخطية والتطبيقات. تم إدراجها في قائمة CSE 6710.

رياضيات 6711. الطرق العددية في العلوم والهندسة الحاسوبية II. 3 ساعات معتمدة.

تقنيات عددية فعالة لحل المعادلات التفاضلية الجزئية وأنظمة المعادلات واسعة النطاق الناشئة عن تقدير المعادلات التفاضلية الجزئية أو المشكلات المتغيرة في التطبيقات في العلوم والهندسة. تم إدراجها في قائمة CSE 6711.

رياضيات 6759. العمليات العشوائية في التمويل أولاً 3 ساعات معتمدة.

النمذجة الرياضية للأسواق المالية ، وتسعير الأوراق المالية المشتقة ، وتحسين المحفظة. يتم تقديم مفاهيم من الاحتمالات والرياضيات حسب الحاجة. تم إدراجها في القائمة المتقاطعة مع ISYE 6759.

رياضيات 6761. العمليات العشوائية 3 ساعات معتمدة.

سلاسل ماركوف الزمنية المنفصلة وعمليات بواسون وعمليات التجديد. سلوك عابر ومحدود. متوسط ​​التكلفة وقياسات المنفعة للأنظمة. خوارزميات لقياس الأداء. نمذجة قوائم الجرد والتدفقات في التصنيع وشبكات الكمبيوتر. تم إدراجها في القائمة مع ISYE 6761.

رياضيات 6762. العمليات العشوائية II. 3 ساعات معتمدة.

سلاسل زمنية مستمرة ماركوف. التوحيد والسلوك العابر والمحدود. الحركة البراونية و Martingales. أخذ العينات الاختياري والتقارب. نمذجة قوائم الجرد والتمويل والتدفقات في التصنيع وشبكات الكمبيوتر. مدرج في القائمة مع ISYE 6762.

رياضيات 6767. تصميم وتنفيذ أنظمة الدعم. 3 ساعات معتمدة.

التمويل الحسابي مقدمة لتصميم نظام واسع النطاق لدعم التمويل الحسابي للخيارات أو الأسهم أو الأدوات المالية الأخرى. بعض الخبرة في البرمجة والتعرض السابق للأسهم والسندات والخيارات المطلوبة. تم إدراجها في القائمة مع ISYE 6767.

رياضيات 6769. سندات الدخل الثابت. 3 ساعات معتمدة.

الوصف والخصائص المؤسسية والنمذجة الرياضية للأوراق المالية ذات الدخل الثابت. استخدام كل من النماذج الحتمية والاستوكاستك. مدرج مع ISYE 6769.

رياضيات 6783. الأساليب الإحصائية لتحليل البيانات المالية. 3 ساعات معتمدة.

أساسيات الاستدلال الإحصائي للنماذج المستخدمة في التحليل الحديث للبيانات المالية. مدرج مع ISYE 6783.

رياضيات 6785. ممارسة التمويل الكمي والحسابي. 3 ساعات معتمدة.

دراسات الحالة والمحاضرين الزائرين من المؤسسات المالية ومشاريع مجموعات الطلاب ذات الطبيعة المتقدمة وتقارير الطلاب ، وكلها تتمحور حول التمويل الكمي والحاسبي. تم إدراجها في القائمة المتقاطعة مع ISYE و MGT 6785.

رياضيات 6793. موضوعات متقدمة في التمويل الكمي والحسابي. 3 ساعات معتمدة.

المواد التأسيسية المتقدمة وتقنيات التحليل في التمويل الكمي والحسابي. تم إدراجها في القائمة مع ISYE 6793.

رياضيات 6XXX. مادة الرياضيات اختيارية. 1-21 ساعة معتمدة.

7000 رياضيات. رسالة ماجستير. 1-21 ساعة معتمدة.

رياضيات 7012. التوافقية العددي. 3 ساعات معتمدة.

الأساليب الأساسية للعد والتحليل المقارب ، بما في ذلك استخدام التضمين / الاستبعاد ، ووظائف التوليد ، وعلاقات التكرار. تطبيقات على السلاسل عبر أبجدية ورسوم بيانية محدودة.

رياضيات 7014. نظرية الرسوم البيانية المتقدمة. 3 ساعات معتمدة.

موضوعات متقدمة في نظرية الرسم البياني. يختلف اختيار الحجج كل عام.

رياضيات 7016. التوافقية. 3 ساعات معتمدة.

الهياكل الاندماجية الأساسية بما في ذلك الرسوم البيانية الفائقة والمجموعات المستعرضة والتلوين وعائلات سبيرنر والعائلات المتقاطعة والتعبئة والتغليف والأغطية والرسوم البيانية المثالية ونظرية رامزي. الطرق والتطبيقات الجبرية والطوبولوجية.

رياضيات 7018. الطرق الاحتمالية في التوافقية. 3 ساعات معتمدة.

تطبيقات التقنيات الاحتمالية في الرياضيات المنفصلة ، بما في ذلك الأفكار الكلاسيكية باستخدام التوقع والتباين وكذلك الأدوات الحديثة ، مثل مارتينجال وعدم المساواة في الارتباط.

رياضيات 7244. العمليات العشوائية والحساب العشوائي. 3 ساعات معتمدة.

مقدمة إلى حساب التفاضل والتكامل العشوائي إيتو والمعادلات التفاضلية العشوائية من خلال تطوير عمليات مارتينجاليس وماركوف المستمرة. أول دورتين.

رياضيات 7245. العمليات العشوائية والحساب العشوائي II. 3 ساعات معتمدة.

مقدمة إلى حساب التفاضل والتكامل العشوائي إيتو والمعادلات التفاضلية العشوائية من خلال تطوير عمليات مارتينجاليس وماركوف المستمرة. استمرار الرياضيات 7244.

رياضيات 7251. احتمالية عالية الأبعاد. 3 ساعات معتمدة.

الهدف من دورة الدراسات العليا على مستوى الدكتوراه هو توفير مقدمة دقيقة لأساليب الاحتمالات عالية الأبعاد.

رياضيات 7252. إحصاءات عالية الأبعاد. 3 ساعات معتمدة.

الهدف من دورة الدراسات العليا على مستوى الدكتوراه هو توفير مقدمة دقيقة لأساليب الإحصاء عالي الأبعاد.

MATH 7334. نظرية المشغل. 3 ساعات معتمدة.

نظرية العوامل الخطية في فضاء هلبرت. النظرية الطيفية للمشغلين المحدودين وغير المحدودين. التطبيقات.

رياضيات 7337. التحليل التوافقي. 3 ساعات معتمدة.

تحليل فورييه في الفضاء الإقليدي. الموضوعات الأساسية بما في ذلك نظرية L1 و L2 الموضوعات المتقدمة مثل نظرية التوزيع وعدم اليقين ونظرية Littlewood-Paley.

رياضيات 7338. التحليل الوظيفي. 3 ساعات معتمدة.

تشمل الموضوعات نظرية هان باناخ ، نظرية فئة باير وعواقبها ، الازدواجية في فضاءات باناخ ، المساحات المحدبة محليًا ، وموضوعات إضافية.

رياضيات 7510. خوارزميات الرسم البياني. 3 ساعات معتمدة.

خوارزميات لمشاكل الرسم البياني مثل الحد الأقصى للتدفق ، والتغطية ، والمطابقة ، والتلوين ، والسطوح ، والحد الأدنى من القطع ، وأقصر المسارات ، والاتصال. تم إدراجها في القائمة المتقاطعة مع ISYE 7510 و CS 7510.

رياضيات 7581. حساب الاختلافات. 3 ساعات معتمدة.

التقليل من الوظائف ، معادلات أويلر لاجرانج ، شروط كافية للحد الأدنى من الجيوديسية ، القياس المتساوي ، ووقت العبور ، المبادئ المتغيرة لتطبيقات الميكانيكا للتحكم في النظرية.

رياضيات 7586. تحليل الموتر. 3 ساعات معتمدة.

مراجعة الجبر الخطي ، الجبر متعدد الخطوط ، جبر الموترات ، الموترات المشتركة والمتناقضة ، الموترات في فضاءات ريمان ، التفسير الهندسي لموترات الانحراف.

رياضيات 7999. التحضير لامتحان الدكتوراه الشامل. 1-21 ساعة معتمدة.

رياضيات 8305. مهارات اللغة الإنجليزية السمعية-الشفوية لمساعدي تدريس الرياضيات ESL الدوليين. 2 ساعة معتمدة.

تعزيز مهارات الاستماع / التحدث باللغة الإنجليزية لطلاب الدراسات العليا الدوليين في SOM وما بعد الدكتوراة وأعضاء هيئة التدريس الجدد الذين يتحدثون الإنجليزية كلغة ثانية (ESL) والذين سيقومون بتدريس الطلاب الجامعيين.

رياضيات 8306. الاتصال الأكاديمي لمساعدي التدريس الدوليين للرياضيات في اللغة الإنجليزية كلغة ثانية. 2 ساعة معتمدة.

استمرار تعزيز مهارات الاستماع / التحدث باللغة الإنجليزية لمساعدي التدريس الدوليين الحاليين والمستقبليين من SOM والمدربين الرائدين الدوليين الذين يتحدثون الإنجليزية كلغة ثانية (ESL).

رياضيات 8307. الاتصال الأكاديمي لمساعدي تدريس الرياضيات الدوليين المتقدمين في اللغة الإنجليزية كلغة ثانية. 1 ساعة معتمدة.

استمرار تعزيز مهارات الاستماع / التحدث باللغة الإنجليزية لمساعدي التدريس الدوليين الحاليين والمستقبليين من SOM والمدربين الرائدين الدوليين الذين يتحدثون الإنجليزية كلغة ثانية (ESL).

رياضيات 8801. موضوعات خاصة. 1 ساعة معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8802. موضوعات خاصة. 2 ساعة معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8803. موضوعات خاصة. 3 ساعات معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8804. موضوعات خاصة. 4 ساعات معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8805. موضوعات خاصة. 5 ساعات معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8811. موضوعات خاصة. 1 ساعة معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8812. موضوعات خاصة. 2 ساعة معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8813. موضوعات خاصة. 3 ساعات معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8814. مواضيع خاصة. 4 ساعات معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8815. موضوعات خاصة. 5 ساعات معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8821. مواضيع خاصة. 1 ساعة معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8822. موضوعات خاصة. 2 ساعة معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8823. موضوعات خاصة. 3 ساعات معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8824. مواضيع خاصة. 4 ساعات معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8825. موضوعات خاصة. 5 ساعات معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8831. موضوعات خاصة. 1 ساعة معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8832. موضوعات خاصة. 2 ساعة معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8833. موضوعات خاصة. 3 ساعات معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8834. موضوعات خاصة. 4 ساعات معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8835. موضوعات خاصة. 5 ساعات معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8841. موضوعات خاصة. 1 ساعة معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8842. موضوعات خاصة. 2 ساعة معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8843. موضوعات خاصة. 3 ساعات معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8844. موضوعات خاصة. 4 ساعات معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8845. مواضيع خاصة. 5 ساعات معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8851. موضوعات خاصة. 1 ساعة معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8852. موضوعات خاصة. 2 ساعة معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8853. موضوعات خاصة. 3 ساعات معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8854. موضوعات خاصة. 4 ساعات معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8855. موضوعات خاصة. 5 ساعات معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8863. موضوعات متقدمة في نظرية المخططات. 3 ساعات معتمدة.

اختيار المواضيع يختلف مع كل عرض.

رياضيات 8873. موضوعات خاصة. 3 ساعات معتمدة.

تمكن هذه الدورة مدرسة الرياضيات من تلبية طلبات الحصول على دورات في موضوعات مختارة.

رياضيات 8900. مشاكل خاصة. 1-21 ساعة معتمدة.

رياضيات 8901. مشاكل خاصة. 1-21 ساعة معتمدة.

رياضيات 8902. مسائل خاصة. 1-21 ساعة معتمدة.

رياضيات 8903. مشاكل خاصة. 1-21 ساعة معتمدة.

رياضيات 8997. مساعدة التدريس. 1-9 ساعات معتمدة.

للطلاب الحاصلين على مساعدات خريجين في التدريس.

رياضيات 8998. باحث مساعد. 1-9 ساعات معتمدة.

للطلاب الحاصلين على مساعدات بحثية للخريجين.

9000 ريض. رسالة دكتوراه. 1-21 ساعة معتمدة.

معهد جورجيا للتكنولوجيا
نورث أفينيو ، أتلانتا ، GA 30332
404.894.2000


تركيب المنحنى عبر التحسين

حيث الأوقات t i والإجابات هي y i ، i = 1 ، ... ، n. مجموع تربيع الأخطاء هو دالة الهدف.

تكوين نموذج البيانات

عادة ، لديك بيانات من القياسات. في هذا المثال ، قم بإنشاء بيانات اصطناعية بناءً على نموذج مع A = 4 0 و λ = 0. 5 ، مع أخطاء شبه عشوائية موزعة بشكل طبيعي.

اكتب وظيفة موضوعية

اكتب دالة تقبل المعلمات A و lambda والبيانات tdata و ydata ، وتُرجع مجموع الأخطاء التربيعية للنموذج y (t). ضع جميع المتغيرات لتحسين (A و lambda) في متغير متجه واحد (x). لمزيد من المعلومات ، راجع تقليل وظائف العديد من المتغيرات.

احفظ هذه الوظيفة الموضوعية كملف يسمى sseval.m على مسار MATLAB & # 174.

ينطبق حلال fminsearch على وظائف متغير واحد ، x. ومع ذلك ، فإن وظيفة sseval لها ثلاثة متغيرات. المتغيرات الإضافية tdata و ydata ليست متغيرات للتحسين ، ولكنها بيانات للتحسين. حدد وظيفة الهدف لـ fminsearch كدالة لـ x وحده:

للحصول على معلومات حول تضمين معلمات إضافية مثل tdata و ydata ، راجع معلمات الوظائف.

ابحث عن أفضل معلمات ملائمة

ابدأ من مجموعة موجبة عشوائية من المعلمات x0 ، واطلب من fminsearch العثور على المعلمات التي تقلل من وظيفة الهدف.

تكون النتيجة bestx بشكل معقول بالقرب من المعلمات التي أنتجت البيانات ، A = 40 و lambda = 0.5.

تحقق من ملاءمة الجودة

للتحقق من جودة الملاءمة ، ارسم البيانات ومنحنى الاستجابة الملائمة الناتج. قم بإنشاء منحنى الاستجابة من المعلمات التي تم إرجاعها لنموذجك.


3 إجابات 3

هذا ليس له علاقة بالتحدب ولا بالطريقة المستخدمة لتحديد الحدود الدنيا ، إنها مجرد مسألة منطقية ونظام. تنشأ الصعوبات الحقيقية مع مشاكل minimax.

لاحظ أن وظيفتك $ g $ تعتمد فقط على المتغير $ y $. سأجادل على النحو التالي ، مع إهمال أسئلة الوجود:

بالنظر إلى $ f: quad X times Y to < mathbb R>، qquad (x، y) mapsto f (x، y) ، $ put $ g (y): = min_ و (س ، ص) رباعية (ص في Y) ، qquad S (ص): = . $ تحل المجموعة $ S (y) $ محل $ < rm argmin> _x f (x، y) $ ، ونأمل أن تتكون من نقطة واحدة فقط $ x ^ * (y) in X $.

نحن نعلم الآن في كل "أفقي" $ y = < rm const.> $ الحد الأدنى للقيمة المأخوذة بواسطة $ f $ ومجموعة النقاط حيث يتم أخذ هذه القيمة الدنيا. ننتقل إلى الخطوة الثانية: ضع $ mu: = min_ ز (ص) ، qquad T: = . $ ثم $ mu $ هي القيمة الإجمالية الدنيا لـ $ f $ ، ومجموعة $ (x، y) $ حيث يتم أخذ هذه القيمة تعطى بواسطة (ضع علامة عليها!) $ f ^ <-1> ( mu) = <(x، y) & gt | & gty in T، x in S (y) > . $ when $ S (y) = $ لدينا $ g (y) = f bigl (x ^ * (y)، y bigr) $ ، وعندما نجد في الخطوة الثانية $ T = $ ، ثم $ mu = f bigl (x ^ * (y ^ *) ، y ^ * bigr) $ ، ويُسمح لنا بكتابة $ < rm argmin> & gtf = bigl (x ^ * ( y ^ *) ، y ^ * bigr) . $

يحرر: ملاحظة جانبية بخصوص التحدب فيما يتعلق بالعديد من المتغيرات

في الحالة التي ينظر فيها OP ، تكون الوظيفة $ f $ محدبة بشكل منفصل فقط في كل من المتغيرين $ x $ و $ y $. في هذه الحالة لا يمكن توقع أن تكون الوظيفة $ f $ أو $ g $ محدبة. خذ بعين الاعتبار المثال $ f (x، y): = x ^ 2-4xy + y ^ 2 . $ ثم $ f_= f_ equiv2 $ ، لذلك $ f $ محدب في كل من المتغيرين بشكل منفصل ولكن $ f (x، y) = (x-2y) ^ 2-3y ^ 2 tag <1> $ يظهر أن $ f $ ليس كذلك محدب كدالة لمتغيرين. من $ (1) $ نستنتج $ g (y) = - 3y ^ 2 $ ، وهو بالتأكيد ليس محدبًا. (في هذه الحالة $ inf_> g (y) = - infty $ لكني أظن أنه يمكن للمرء أن يطبخ مثالًا من هذا النوع بحد أدنى محدود $ mu $.)


ملكيات

أسماء الفهرس & # 8212 أسماء الفهرس '' (افتراضي) | صفيف الخلايا من السلاسل | مجموعة خلايا من ناقلات الأحرف

أسماء الفهرس ، المحددة كمصفوفة خلايا من السلاسل أو متجهات الأحرف. للحصول على معلومات حول استخدام أسماء الفهرس ، راجع الفهرس المحدد لمتغيرات التحسين.

أنواع البيانات: زنزانة

المتغيرات & # 8212 متغيرات التحسين في الكائن هيكل التحسين: كائنات متغيرة

هذه الخاصيه للقراؤه فقط.

متغيرات التحسين في الكائن ، المحددة كهيكل لكائنات OptimizationVariable.


شاهد الفيديو: الحلقه الاولى تحديد مجال دوال فى اكثر من متغير (شهر اكتوبر 2021).