مقالات

نظرية الاختلاف - الرياضيات


أهداف التعلم

  • اشرح معنى نظرية الاختلاف.
  • استخدم نظرية التباعد لحساب تدفق حقل متجه.
  • طبق نظرية الاختلاف على مجال إلكتروستاتيكي.

لقد درسنا عدة إصدارات من النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل في أبعاد أعلى تربط التكامل حول حد موجه لمجال إلى "مشتق" من ذلك الكيان في المجال الموجه. في هذا القسم ، نذكر نظرية الاختلاف ، وهي النظرية النهائية من هذا النوع التي سنقوم بدراستها. لنظرية الاختلاف استخدامات عديدة في الفيزياء ؛ على وجه الخصوص ، يتم استخدام نظرية الاختلاف في مجال المعادلات التفاضلية الجزئية لاشتقاق معادلات نمذجة تدفق الحرارة والحفاظ على الكتلة. نستخدم النظرية لحساب تكاملات التدفق ونطبقها على المجالات الكهروستاتيكية.

نظرة عامة على النظريات

قبل فحص نظرية الاختلاف ، من المفيد البدء بنظرة عامة على إصدارات النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل التي ناقشناها:

  1. النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل: [ int_a ^ bf '(x) ، dx = f (b) - f (a). ] هذه النظرية تتعلق بتكامل المشتق (f' ) على قطعة الخط ( [أ ، ب] ) على طول المحور (س ) - لفرق (و ) الذي تم تقييمه على الحدود.
  2. النظرية الأساسية لتكامل الخط: [ int_C vecs nabla f cdot d vecs r = f (P_1) - f (P_0) ، ] حيث (P_0 ) هي النقطة الأولية لـ (C ) ) و (P_1 ) هي النقطة النهائية لـ (C ). تسمح النظرية الأساسية لتكامل الخطوط أن يكون المسار (C ) مسارًا في مستوى أو في الفضاء ، وليس مجرد جزء خط على المحور (س ). إذا فكرنا في التدرج اللوني على أنه مشتق ، فإن هذه النظرية تتعلق بتكامل مشتق ( nabla f ) على المسار (C ) إلى اختلاف (f ) الذي تم تقييمه على حدود (C ) ).
  3. نظرية جرين ، شكل الإعارة: [ iint_D (Q_x - P_y) ، dA = int_C vecs F cdot d vecs r. ] منذ (Q_x - P_y = text {curl} vecs F cdot mathbf { hat k} ) و curl مشتق من الأنواع ، ترتبط نظرية جرين بتكامل curl ( vecs F ) على المنطقة المستوية (D ) إلى جزء لا يتجزأ من ( vecs F ) فوق حدود (د ).
  4. نظرية جرين ، صيغة التدفق: [ iint_D (P_x + Q_y) ، dA = int_C vecs F cdot vecs N ، dS. ] منذ (P_x + Q_y = text {div} vecs F ) والتباعد هو مشتق من الأنواع ، ويرتبط شكل التدفق لنظرية جرين بتكامل مشتق div ( vecs F ) على المنطقة المستوية (D ) إلى تكامل ( vecs F ) على حدود (د ).
  5. نظرية ستوكس: [ iint_S curl ، vecs F cdot d vecs S = int_C vecs F cdot d vecs r. ] إذا فكرنا في curl كمشتق من نوع ما ، فإن Stokes ' تتعلق النظرية بتكامل مشتق curl ( vecs F ) فوق السطح (S ) (ليس بالضرورة مستويًا) إلى تكامل ( vecs F ) فوق حدود (S ).

ذكر نظرية الاختلاف

تتبع نظرية الاختلاف النمط العام لهذه النظريات الأخرى. إذا فكرنا في الاختلاف باعتباره مشتقًا من الأنواع ، فإن نظرية الاختلاف تتعلق بتكامل ثلاثي للمشتق div ( vecs F ) على مادة صلبة إلى تكامل تدفق ( vecs F ) فوق حدود المادة الصلبة . بشكل أكثر تحديدًا ، ترتبط نظرية الاختلاف بتكامل تدفق لحقل المتجه ( vecs F ) فوق سطح مغلق (S ) إلى تكامل ثلاثي لتباعد ( vecs F ) على المادة الصلبة المحاطة بـ (س).

نظرية الاختلاف

لنفترض أن (S ) سطحًا مغلقًا ناعمًا ومتعدد الجوانب يحيط بصلب (E ) في الفضاء. افترض أن (S ) موجه نحو الخارج ، واجعل ( vecs F ) حقل متجه بمشتقات جزئية مستمرة في منطقة مفتوحة تحتوي على (E ) (الشكل ( فهرس الصفحة {1} )) . ثم

[ iiint_E text {div} vecs F ، dV = iint_S vecs F cdot d vecs S. label {divtheorem} ]

تذكر أن صيغة التدفق في نظرية جرين تنص على ذلك

[ iint_D text {div} vecs F ، dA = int_C vecs F cdot vecs N ، dS. ]

لذلك ، فإن نظرية الاختلاف هي نسخة من نظرية جرين في بُعد واحد أعلى.

إثبات نظرية الاختلاف خارج نطاق هذا النص. ومع ذلك ، فإننا ننظر إلى دليل غير رسمي يعطي إحساسًا عامًا عن سبب صحة النظرية ، لكنه لا يثبت النظرية بدقة كاملة. يتبع هذا التفسير التفسير غير الرسمي المقدم لسبب صحة نظرية ستوكس.

دليل - إثبات

لنفترض (B ) أن يكون صندوقًا صغيرًا به جوانب موازية لمستويات الإحداثيات بداخل (E ) (الشكل ( PageIndex {2a} )). دع مركز (B ) له إحداثيات ((x، y، z) ) وافترض أن أطوال الحافة هي ( Delta x، ، Delta y )، و ( Delta z ) . (الشكل ( PageIndex {1b} )). المتجه العادي من الجزء العلوي من المربع هو ( mathbf { hat k} ) والمتجه العادي من الجزء السفلي من المربع هو (- mathbf { hat k} ). المنتج النقطي لـ ( vecs F = langle P، Q، R rangle ) مع ( mathbf { hat k} ) هو (R ) والمنتج النقطي مع (- mathbf { hat k} ) هو (- R ). مساحة الجزء العلوي من المربع (وأسفل المربع) ( Delta S ) هي ( Delta x Delta y ).

يمكن تقريب التدفق الخارج من الجزء العلوي من المربع بواسطة (R left (x، ، y، ، z + frac { Delta z} {2} right) ، Delta x ، Delta y ) (Figure ( PageIndex {2c} )) والتدفق الخارج من أسفل المربع هو (- R left (x ، ، y ، ، z - frac { Delta z } {2} right) ، Delta x ، Delta y ). إذا أشرنا إلى الفرق بين هذه القيم كـ ( Delta R ) ، فيمكن تقريب صافي التدفق في الاتجاه الرأسي بواسطة ( Delta R ، Delta x ، Delta y ). ومع ذلك،

[ Delta R ، Delta x ، Delta y = left ( frac { Delta R} { Delta z} right) ، Delta x ، Delta y Delta z almost يسار ( frac { جزئي R} { جزئي z} يمين) ، Delta V. nonumber ]

لذلك ، يمكن تقريب صافي التدفق في الاتجاه العمودي بواسطة ( left ( frac { part R} { جزئي z} right) Delta V ). وبالمثل ، يمكن تقريب صافي التدفق في الاتجاه (س ) - من خلال ( يسار ( فارك { جزء P} { جزئي س} يمين) ، دلتا V ) وصافي التدفق في يمكن تقريب الاتجاه (y ) - بـ ( يسار ( frac { جزئي Q} { جزئي y} يمين) ، Delta V ). تعطي إضافة التدفقات في جميع الاتجاهات الثلاثة تقريبًا للتدفق الكلي خارج الصندوق:

[ نص {إجمالي التدفق} تقريبًا يسار ( frac { جزئي P} { جزئي x} + frac { جزئي Q} { جزئي y} + frac { جزئي R} { جزئي z } right) Delta V = text {div} vecs F ، Delta V. nonumber ]

يصبح هذا التقريب قريبًا بشكل تعسفي من قيمة التدفق الكلي حيث يتقلص حجم الصندوق إلى الصفر.

مجموع ( text {div} vecs F ، Delta V ) على جميع المربعات الصغيرة التي تقترب من (E ) هو تقريبًا ( iiint_E text {div} vecs F ، dV ) . من ناحية أخرى ، فإن مجموع ( text {div} vecs F ، Delta V ) فوق جميع المربعات الصغيرة التي تقترب من (E ) هو مجموع التدفقات فوق كل هذه المربعات. تمامًا كما هو الحال في الإثبات غير الرسمي لنظرية ستوكس ، فإن إضافة هذه التدفقات على جميع المربعات تؤدي إلى إلغاء الكثير من المصطلحات. إذا كان الصندوق التقريبي يتشارك وجهًا مع مربع تقريبي آخر ، فإن التدفق فوق وجه واحد هو سالب التدفق فوق الوجه المشترك للصندوق المجاور. يحذف هذان التكاملان. عند جمع كل التدفقات ، فإن تكاملات التدفق الوحيدة الباقية هي التكاملات الموجودة على الوجوه التي تقترب من حدود (E ). نظرًا لتقلص أحجام الصناديق التقريبية إلى الصفر ، يصبح هذا التقريب قريبًا بشكل تعسفي من التدفق الزائد (S ).

(علبة)

مثال ( PageIndex {1} ): التحقق من نظرية الاختلاف

تحقق من نظرية الاختلاف لحقل المتجه ( vecs F = langle x - y ، ، x + z ، ، z - y rangle ) والسطح (S ) الذي يتكون من مخروط (x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2، ، 0 leq z leq 1 ) ، والقمة الدائرية للمخروط (انظر الشكل التالي). افترض أن هذا السطح موجه بشكل إيجابي.

المحلول

دع (E ) يكون المخروط المصمت المحاط بـ (S ). للتحقق من نظرية هذا المثال ، نعرض ذلك

[ iiint_E text {div} vecs F ، dV = iint_S vecs F cdot d vecs S nonumber ]

عن طريق حساب كل متكامل على حدة.

لحساب التكامل الثلاثي ، لاحظ أن ( text {div} vecs F = P_x + Q_y + R_z = 2 ) ، وبالتالي فإن التكامل الثلاثي هو

[ start {align *} iiint_E text {div} vecs F ، dV & = 2 iiint_E dV [4pt] & = 2 ، (volume ، of ، E). النهاية {محاذاة *} ]

حجم المخروط الدائري الأيمن مُعطى بواسطة ( pi r ^ 2 frac {h} {3} ). في هذه الحالة ، (ح = ص = 1 ). وبالتالي،

[ iiint_E text {div} vecs F ، dV = 2 ، (volume ، of ، E) = frac {2 pi} {3}. nonumber ]

لحساب تكامل التدفق ، لاحظ أولاً أن (S ) سلس متعدد التعريف ؛ يمكن كتابة (S ) كاتحاد الأسطح الملساء. لذلك ، نقوم بتقسيم التدفق المتكامل إلى جزأين: تدفق واحد متكامل عبر الجزء العلوي الدائري للمخروط وتدفق واحد متكامل عبر الجزء المتبقي من المخروط. اتصل بالجزء العلوي الدائري (S_1 ) والجزء الموجود أسفل الجزء العلوي (S_2 ). نبدأ بحساب التدفق عبر الجزء العلوي الدائري للمخروط. لاحظ أن (S_1 ) له معلمات

[ vecs r (u، v) = langle u ، cos v، ، u ، sin v، ، 1 rangle، ، 0 leq u leq 1، ، 0 leq v leq 2 pi. nonumber ]

ثم ، متجهات الظل هي ( vecs t_u = langle cos v ، ، sin v ، ، 0 rangle ) و ( vecs t_v = langle -u ، sin v ، ، u ، cos v، 0 rangle ). لذلك ، التدفق عبر (S_1 ) هو

[ start {align *} iint_ {S_1} vecs F cdot d vecs S & = int_0 ^ 1 int_0 ^ {2 pi} vecs F ( vecs r (u، v)) cdot ( vecs t_u times vecs t_v) ، dA [4pt] & = int_0 ^ 1 int_0 ^ {2 pi} langle u ، cos v - u ، sin v، ، u ، cos v + 1، ، 1 - u ، sin v rangle cdot langle 0،0، u rangle ، dv ، du [4pt] & = int_0 ^ 1 int_0 ^ {2 pi} u - u ^ 2 sin v ، dv du [4pt] & = pi. النهاية {محاذاة *} ]

نحسب الآن التدفق على (S_2 ). معلمة من هذا السطح

[ vecs r (u، v) = langle u ، cos v، ، u ، sin v، ، u rangle، ، 0 leq u leq 1، ، 0 leq v leq 2 pi. nonumber ]

متجهات الظل هي ( vecs t_u = langle cos v، ، sin v، ، 1 rangle ) و ( vecs t_v = langle -u ، sin v، ، u ، cos v ، 0 rangle ) ، وبالتالي يكون حاصل الضرب الاتجاهي

[ vecs t_u times vecs t_v = langle - u ، cos v، ، -u ، sin v، ، u rangle. nonumber ]

لاحظ أن العلامات السلبية الموجودة على مكونات (س ) و (ص ) تحفز الاتجاه السلبي (أو الداخلي) للمخروط. نظرًا لأن السطح موجه بشكل إيجابي ، فإننا نستخدم المتجه ( vecs t_v times vecs t_u = langle u ، cos v ، ، u ، sin v ، ، -u rangle ) في التدفق متكامل. ثم يكون التدفق عبر (S_2 )

[ start {align *} iint_ {S_2} vecs F cdot d vecs S & = int_0 ^ 1 int_0 ^ {2 pi} vecs F ( vecs r (u، v)) cdot ( vecs t_u times vecs t_v) ، dA [4pt] & = int_0 ^ 1 int_0 ^ {2 pi} langle u ، cos v - u ، sin v، ، u ، cos v + u، ، u ، - u sin v rangle cdot langle u ، cos v، ، u ، sin v، ، -u rangle ، dv ، du [4pt] & = int_0 ^ 1 int_0 ^ {2 pi} u ^ 2 cos ^ 2 v + 2u ^ 2 sin v - u ^ 2 ، dv ، du [4pt] & = - frac { pi} {3} end {align *} ]

التدفق الكلي عبر (S ) هو

[ iint_ {S} vecs F cdot d vecs S = iint_ {S_1} vecs F cdot d vecs S + iint_ {S_2} vecs F cdot d vecs S = frac { 2 pi} {3} = iiint_E text {div} vecs F ، dV، nonumber ]

وقد تحققنا من نظرية الاختلاف في هذا المثال.

تمرين ( PageIndex {1} )

تحقق من نظرية الاختلاف لحقل المتجه ( vecs F (x، y، z) = langle x + y + z، ، y، ، 2x - y rangle ) والسطح (S ) معطى بواسطة الأسطوانة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1، ، 0 leq z leq 3 ) بالإضافة إلى الجزء العلوي والسفلي الدائري للأسطوانة. افترض أن (S ) موجه بشكل إيجابي.

تلميح

احسب كلا من تكامل التدفق والتكامل الثلاثي باستخدام نظرية الاختلاف وتحقق من تساويهما.

إجابه

كلا التكاملات يساوي (6 pi ).

تذكر أن تباعد المجال المستمر ( vecs F ) عند النقطة (P ) هو مقياس "التدفق الخارج" للحقل عند (P ). إذا كان ( vecs F ) يمثل مجال سرعة مائع ، فيمكن اعتبار الاختلاف على أنه المعدل لكل وحدة حجم للسائل المتدفق إلى الخارج أقل من معدل تدفق كل وحدة حجم. تؤكد نظرية الاختلاف هذا التفسير. لرؤية هذا ، دع (P ) يكون نقطة ودع (B _ { tau} ) كرة ذات نصف قطر صغير (r ) متمركزة في (P ) (الشكل ( PageIndex {3 } )). لنفترض أن (S _ { tau} ) يكون المجال الحدودي لـ (B _ { tau} ). نظرًا لأن نصف القطر صغير و ( vecs F ) مستمر ، ( text {div} vecs F (Q) almost text {div} vecs F (P) ) لجميع النقاط الأخرى ( س ) في الكرة. لذلك ، يمكن تقريب التدفق عبر (S _ { tau} ) باستخدام نظرية الاختلاف:

تمرين ( PageIndex {2} )

استخدم نظرية التباعد لحساب تكامل التدفق [ iint_S vecs F cdot d vecs S ، nonumber ] حيث (S ) هو حدود المربع المعطى بواسطة (0 leq x leq 2 ، ، 0 leq y leq 4، ، 0 leq z leq 1 ) و ( vecs F = langle x ^ 2 + yz، ، y - z، ، 2x + 2y + 2z rangle ) (انظر الشكل التالي).

تلميح

احسب التكامل الثلاثي المقابل.

إجابه

40

مثال ( PageIndex {3} ): تطبيق نظرية الاختلاف

لنفترض أن ( vecs v = left langle - frac {y} {z}، ، frac {x} {z}، ، 0 right rangle ) هو حقل سرعة السائل. لنفترض أن (C ) هو المكعب الصلب المعطى بواسطة (1 leq x leq 4 ، ، 2 leq y leq 5 ، ، 1 leq z leq 4 ) ، ودعنا (S ) أن تكون حدود هذا المكعب (انظر الشكل التالي). أوجد معدل تدفق السائل عبر (S ).

المحلول

معدل تدفق السائل عبر (S ) هو ( iint_S vecs v cdot d vecs S ). قبل حساب تكامل التدفق هذا ، دعنا نناقش قيمة التكامل. استنادًا إلى الشكل ( PageIndex {4} ) ، نرى أنه إذا وضعنا هذا المكعب في السائل (طالما أن المكعب لا يشمل الأصل) ، فإن معدل دخول السائل إلى المكعب هو نفسه معدل السائل الخارج من المكعب. المجال دوراني بطبيعته ، وبالنسبة لدائرة معينة موازية لـ (xy ) - المستوى الذي يقع مركزه على ض-المحور ، المتجهات على طول تلك الدائرة كلها بنفس الحجم. هذه هي الطريقة التي يمكننا بها أن نرى أن معدل التدفق هو نفسه دخول وخروج المكعب. يتم إلغاء التدفق إلى المكعب مع التدفق خارج المكعب ، وبالتالي يجب أن يكون معدل تدفق السائل عبر المكعب صفراً.

للتحقق من هذا الحدس ، نحتاج إلى حساب تكامل التدفق. يتطلب حساب تكامل التدفق بشكل مباشر كسر تكامل التدفق إلى ستة تكاملات تدفق منفصلة ، واحدة لكل وجه من وجه المكعب. نحتاج أيضًا إلى إيجاد متجهات الظل ، وحساب حاصل الضرب الاتجاهي. ومع ذلك ، فإن استخدام نظرية الاختلاف يجعل هذه العملية الحسابية أسرع بكثير:

[ begin {align *} iint_S vecs v cdot d vecs S & = iiint_C text {div} vecs v ، dV [4pt]
& = iiint_C 0 ، dV = 0. end {align *} ]

لذلك فإن التدفق هو صفر ، كما هو متوقع.

تمرين ( PageIndex {3} )

لنفترض أن ( vecs v = left langle frac {x} {z}، ، frac {y} {z}، ، 0 right rangle ) هو حقل سرعة السائل. أوجد معدل تدفق السائل عبر (S ).

تلميح

استخدم نظرية التباعد واحسب التكامل الثلاثي

إجابه

(9 ، ln (16) )

يوضح المثال نتيجة ملحوظة لنظرية الاختلاف. لنفترض أن (S ) يكون سطحًا مغلقًا متعدد العناصر وسلسًا ودع ( vecs F ) عبارة عن حقل متجه محدد في منطقة مفتوحة تحتوي على السطح المحاط بـ (S ). إذا كان ( vecs F ) له شكل (F = langle f (y ، z) ، ، g (x ، z) ، ، h (x ، y) rangle ) ، فإن اختلاف ( vecs F ) يساوي صفرًا. وفقًا لنظرية الاختلاف ، فإن تدفق ( vecs F ) عبر (S ) يساوي صفرًا أيضًا. هذا يجعل من السهل للغاية حساب تكاملات التدفق. على سبيل المثال ، لنفترض أننا أردنا حساب تكامل التدفق ( iint_S vecs F cdot d vecs S ) حيث (S ) عبارة عن مكعب و

[ vecs F = langle sin (y) ، e ^ {yz}، ، x ^ 2z ^ 2، ، cos (xy) ، e ^ { sin x} rangle. ]

سيكون حساب تكامل التدفق مباشرة أمرًا صعبًا ، إن لم يكن مستحيلًا ، باستخدام التقنيات التي درسناها سابقًا. على أقل تقدير ، علينا تقسيم التدفق المتكامل إلى ستة تكاملات ، واحد لكل وجه من أوجه المكعب. ولكن نظرًا لأن الاختلاف في هذا المجال يساوي صفرًا ، فإن نظرية الاختلاف تُظهر على الفور أن تكامل التدفق هو صفر.

يمكننا الآن استخدام نظرية الاختلاف لتبرير التفسير المادي للتباعد الذي ناقشناه سابقًا. تذكر أنه إذا كان ( vecs F ) عبارة عن حقل متجه ثلاثي الأبعاد مستمر و (P ) كانت نقطة في مجال ( vecs F ) ، فإن تباعد ( vecs F ) في (P ) هو مقياس "التدفق الخارج" لـ ( vecs F ) في (P ). إذا كان ( vecs F ) يمثل مجال سرعة السائل ، فإن تباعد ( vecs F ) في (P ) هو مقياس لمعدل التدفق الصافي خارج النقطة (P ) ( تدفق السائل من (P ) أقل من تدفق السائل إلى (P )). لمعرفة كيف تبرر نظرية الاختلاف هذا التفسير ، دع (B _ { tau} ) كرة ذات نصف قطر صغير جدًا ص مع المركز (P ) ، وافترض أن (B _ { tau} ) يقع في مجال ( vecs F ). علاوة على ذلك ، افترض أن (B _ { tau} ) له اتجاه خارجي إيجابي. نظرًا لأن نصف قطر (B _ { tau} ) صغير و ( vecs F ) مستمر ، فإن تباعد ( vecs F ) يكون ثابتًا تقريبًا على (B _ { tau} ). أي ، ifv (P ') هي أي نقطة في (B _ { tau} ) ، ثم ( text {div} vecs F (P) almost text {div} vecs F (P ') ). لنفترض (S _ { tau} ) أن تشير إلى المجال الحدودي لـ (B _ { tau} ). يمكننا تقريب التدفق عبر (S _ { tau} ) باستخدام نظرية الاختلاف على النحو التالي:

[ begin {align *} iint_ {S _ { tau}} vecs F cdot d vecs S & = iiint_ {B _ { tau}} text {div} vecs F ، dV [4 نقطة]
& تقريبًا iiint_ {B _ { tau}} text {div} vecs F (P) ، dV [4pt]
& = text {div} vecs F (P) ، V (B _ { tau}). النهاية {محاذاة *} ]

نظرًا لتقليص نصف القطر (r ) إلى الصفر عبر حد معين ، فإن الكمية ( text {div} vecs F (P) ، V (B _ { tau}) ) تقترب بشكل تعسفي من التدفق. وبالتالي،

[ text {div} vecs F (P) = lim _ { tau rightarrow 0} frac {1} {V (B _ { tau})} iint_ {S _ { tau}} vecs F cdot d vecs S ]

ويمكننا اعتبار الاختلاف عند (P ) بمثابة قياس المعدل الصافي للتدفق الخارجي لكل وحدة حجم عند (P ). نظرًا لأن "outflowing-ness" مصطلح غير رسمي للمعدل الصافي للتدفق الخارجي لكل وحدة حجم ، فقد بررنا التفسير المادي للاختلاف الذي ناقشناه سابقًا ، وقد استخدمنا نظرية الاختلاف لإعطاء هذا التبرير.

التطبيق على المجالات الكهروستاتيكية

نظرية الاختلاف لها تطبيقات عديدة في الفيزياء والهندسة. يسمح لنا بكتابة العديد من القوانين الفيزيائية في شكل متكامل وشكل تفاضلي (بنفس الطريقة التي سمحت لنا فيها نظرية ستوكس بالترجمة بين شكل متكامل وتفاضلي لقانون فاراداي). تحتوي مجالات الدراسة مثل ديناميات الموائع والكهرومغناطيسية وميكانيكا الكم على معادلات تصف الحفاظ على الكتلة أو الزخم أو الطاقة ، وتسمح لنا نظرية الاختلاف بإعطاء هذه المعادلات في كل من الأشكال التكاملية والتفاضلية.

أحد التطبيقات الأكثر شيوعًا لنظرية الاختلاف هو المجالات الكهروستاتيكية. نتيجة مهمة في هذا الموضوع هي قانون غاوس. ينص هذا القانون على أنه إذا كان (S ) سطحًا مغلقًا في مجال إلكتروستاتيكي ( vecs E ) ، فإن تدفق ( vecs E ) عبر (S ) هو إجمالي الشحنة المحاطة بـ ( S ) (مقسومًا على ثابت كهربائي). نستخدم الآن نظرية التباعد لتبرير الحالة الخاصة لهذا القانون حيث يتم إنشاء المجال الكهروستاتيكي بواسطة شحنة نقطة ثابتة في الأصل.

إذا كانت ((x، y، z) ) نقطة في الفضاء ، فإن المسافة من النقطة إلى الأصل هي (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} ). لنفترض أن ( vecs F _ { tau} ) تشير إلى حقل متجه شعاعي ( vecs F _ { tau} = dfrac {1} { tau ^ 2} left langle dfrac {x} { tau} ، ، dfrac {y} { tau}، ، dfrac {z} { tau} right rangle ). يشير المتجه عند موضع معين في المسافة في اتجاه الوحدة الشعاعية المتجه ( يسار langle dfrac {x} { tau} ، ، dfrac {y} { tau} ، ، dfrac {z} { tau} right rangle ) ويتم تحجيمها بالكمية ( 1 / tau ^ 2 ). لذلك ، فإن حجم المتجه عند نقطة معينة يتناسب عكسيًا مع مربع مسافة المتجه من الأصل. لنفترض أن لدينا شحنة ثابتة مقدارها (q ) كولوم في الأصل موجودة في فراغ. تولد الشحنة مجالًا إلكتروستاتيكيًا معطى بواسطة

[ vecs E = dfrac {q} {4 pi epsilon_0} vecs F _ { tau}، ]

حيث يكون التقريب ( epsilon_0 = 8.854 times 10 ^ {- 12} ) farad (F) / m ثابتًا كهربائيًا. (الثابت ( epsilon_0 ) هو مقياس للمقاومة التي يتم مواجهتها عند تكوين مجال كهربائي في فراغ.) لاحظ أن ( vecs E ) هو حقل متجه شعاعي مشابه لحقل الجاذبية الموصوف في [رابط] . الفرق هو أن هذا المجال يشير إلى الخارج بينما يشير مجال الجاذبية إلى الداخل. لان

[ vecs E = dfrac {q} {4 pi epsilon_0} vecs F _ { tau} = dfrac {q} {4 pi epsilon_0} left ( dfrac {1} { tau ^ 2} left langle dfrac {x} { tau} ، ، dfrac {y} { tau} ، ، dfrac {z} { tau} right rangle right) ، ]

نقول أن الحقول الكهروستاتيكية تخضع لقانون التربيع العكسي. أي أن القوة الكهروستاتيكية عند نقطة معينة تتناسب عكسياً مع مربع المسافة من مصدر الشحنة (والتي تكون في هذه الحالة في الأصل). بالنظر إلى حقل المتجه هذا ، نوضح أن التدفق عبر السطح المغلق (S ) يساوي صفرًا إذا كانت الشحنة خارج (S ) ، وأن التدفق هو (q / epsilon_0 ) إذا كانت الشحنة داخل (س). بمعنى آخر ، التدفق عبر س هي الشحنة داخل السطح مقسومة على ثابت ( epsilon_0 ). هذه حالة خاصة لقانون غاوس ، وهنا نستخدم نظرية الاختلاف لتبرير هذه الحالة الخاصة.

لإظهار أن التدفق عبر (S ) هو الشحنة داخل السطح مقسومة على ثابت ( epsilon_0 ) ، نحتاج إلى خطوتين وسيطتين. نوضح أولاً أن اختلاف ( vecs F _ { tau} ) يساوي صفرًا ثم نوضح أن تدفق ( vecs F _ { tau} ) عبر أي سطح أملس (S ) إما صفر أو (4 بي ). يمكننا بعد ذلك تبرير هذه الحالة الخاصة لقانون غاوس.

مثال ( PageIndex {4} ): اختلاف (F _ { tau} ) يساوي صفرًا

تحقق من أن اختلاف ( vecs F _ { tau} ) يساوي صفرًا حيث تم تعريف ( vecs F _ { tau} ) (بعيدًا عن الأصل).

المحلول

بما أن ( tau = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} ) ، فإن قاعدة خارج القسمة تعطينا

[ تبدأ {محاذاة *} dfrac { جزئي} { جزئي x} يسار ( dfrac {x} { tau ^ 3} right) & = dfrac { جزئي} { جزئي x} يسار ( dfrac {x} {(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ {3/2}} right) [4pt]
& = dfrac {(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ {3/2} - x left [ dfrac {3} {2} (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ {1/2} 2x right]} {(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ 3} [4pt]
& = dfrac { tau ^ 3 -3x ^ 2 tau} { tau ^ 6} = dfrac { tau ^ 2 - 3x ^ 2} { tau ^ 5}. النهاية {محاذاة *} ]

بصورة مماثلة،

[ dfrac { جزئي} { جزئي y} يسار ( dfrac {y} { tau ^ 3} right) = dfrac { tau ^ 2 - 3y ^ 2} { tau ^ 5} و ، dfrac { جزئي} { جزئي z} يسار ( dfrac {z} { tau ^ 3} right) = dfrac { tau ^ 2 - 3z ^ 2} { tau ^ 5 }. لا يوجد رقم ]

وبالتالي،

[ begin {align *} text {div} vecs F _ { tau} & = dfrac { tau ^ 2 - 3x ^ 2} { tau ^ 5} + dfrac { tau ^ 2 - 3y ^ 2} { tau ^ 5} + dfrac { tau ^ 2 - 3z ^ 2} { tau ^ 5} [4pt]
& = dfrac {3 tau ^ 2 - 3 (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)} { tau ^ 5} [4pt]
& = dfrac {3 tau ^ 2 - 3 tau ^ 2} { tau ^ 5} = 0. end {align *} ]

لاحظ أنه نظرًا لأن تباعد ( vecs F _ { tau} ) يساوي صفرًا و ( vecs E ) يتم ( vecs F _ { tau} ) تحجيمه بواسطة ثابت ، فإن تباعد المجال الكهروستاتيكي ( vecs E ) هي أيضًا صفر (باستثناء الأصل).

التدفق عبر سطح أملس

لنفترض أن (S ) سطحًا مغلقًا متجانسًا ومتصلًا وسلسًا ودع ( vecs F _ { tau} = dfrac {1} { tau ^ 2} left langle dfrac {x} { tau} ، ، dfrac {y} { tau} ، ، dfrac {z} { tau} right rangle ). ثم،

[ iint_S vecs F _ { tau} cdot d vecs S = begin {cases} 0، & text {if} S text {لا يشمل الأصل} 4 pi، & text {if} S text {يشمل الأصل.} end {cases} ]

بمعنى آخر ، تقول هذه النظرية أن تدفق ( vecs F _ { tau} ) عبر أي سطح مغلق أملس متعدد العناصر (S ) يعتمد فقط على ما إذا كان الأصل داخل (S ).

دليل - إثبات

منطق هذا الدليل يتبع منطق [الرابط] ، فقط نحن نستخدم نظرية الاختلاف بدلاً من نظرية جرين.

أولاً ، افترض أن (S ) لا يشمل الأصل. في هذه الحالة ، تكون المادة الصلبة المحاطة بـ (S ) في مجال ( vecs F _ { tau} ) ، وبما أن اختلاف ( vecs F _ { tau} ) يساوي صفرًا ، يمكن تطبيق نظرية الاختلاف على الفور وتجد أن [ iint_S vecs F cdot d vecs S ] صفر.

افترض الآن أن (S ) يشمل الأصل. لا يمكننا استخدام نظرية الاختلاف فقط لحساب التدفق ، لأن الحقل غير محدد في الأصل. لنفترض أن (S_a ) كرة نصف قطرها أ داخل (S ) متمركزة في الأصل. الحقل المتجه الطبيعي الخارجي على الكرة ، في الإحداثيات الكروية ، هو

[ vecs t _ { phi} times vecs t _ { theta} = langle a ^ 2 cos theta ، sin ^ 2 phi، ، a ^ 2 sin theta ، sin ^ 2 phi ، ، a ^ 2 sin phi ، cos phi rangle ]

(انظر [الرابط]). لذلك ، على سطح الكرة ، يكون المنتج النقطي ( vecs F _ { tau} cdot vecs N ) (في الإحداثيات الكروية) هو

[ start {align *} vecs F _ { tau} cdot vecs N & = left langle dfrac { sin phi ، cos theta} {a ^ 2}، ، dfrac { sin phi ، sin theta} {a ^ 2}، ، dfrac { cos phi} {a ^ 2} right rangle cdot langle a ^ 2 cos theta ، sin ^ 2 phi، a ^ 2 sin theta ، sin ^ 2 phi، ، a ^ 2 sin phi ، cos phi rangle [4pt]
& = sin phi ( langle sin phi ، cos theta، ، sin phi ، sin theta، ، cos phi rangle cdot langle sin phi ، cos theta، sin phi ، sin theta، ، cos phi rangle) [4pt]
& = sin phi. النهاية {محاذاة *} ]

تدفق ( vecs F _ { tau} ) عبر (S_a ) هو

[ iint_ {S_a} vecs F _ { tau} cdot vecs N dS = int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ { pi} sin phi ، d phi ، d theta = 4 بي. ]

الآن ، تذكر أننا مهتمون بالتدفق عبر (S ) ، وليس بالضرورة التدفق عبر (S_a ). لحساب التدفق عبر (S ) ، دع (E ) يكون صلبًا بين الأسطح (S_a ) و (S ). بعد ذلك ، تتكون حدود (E ) من (S_a ) و (S ). قم بالإشارة إلى هذه الحدود بواسطة (S - S_a ) للإشارة إلى أن (S ) موجه للخارج ولكن الآن (S_a ) موجه نحو الداخل. نود تطبيق نظرية الاختلاف على (E ) صلب. لاحظ أن نظرية التباعد ، كما هو مذكور ، لا يمكنها معالجة مادة صلبة مثل (E ) لأن (E ) بها ثقب. ومع ذلك ، يمكن تمديد نظرية الاختلاف للتعامل مع المواد الصلبة ذات الثقوب ، تمامًا كما يمكن توسيع نظرية جرين للتعامل مع المناطق التي بها ثقوب. هذا يسمح لنا باستخدام نظرية الاختلاف بالطريقة التالية. من خلال نظرية الاختلاف ،

[ begin {align *} iint_ {S-S_a} vecs F _ { tau} cdot d vecs S & = iint_S vecs F _ { tau} cdot d vecs S - iint_ {S_a } vecs F _ { tau} cdot d vecs S [4pt]
& = iiint_E text {div} vecs F _ { tau} ، dV [4pt]
& = iiint_E 0 ، dV = 0. end {align *} ]

وبالتالي،

[ iint_S vecs F _ { tau} cdot d vecs S = iint_ {S_a} vecs F _ { tau} cdot d vecs S = 4 pi، nonumber ]

ولدينا النتيجة المرجوة.

(علبة)

نعود الآن إلى حساب التدفق عبر سطح أملس في سياق المجال الكهروستاتيكي ( vecs E = dfrac {q} {4 pi epsilon_0} vecs F _ { tau} ) لشحنة نقطية عند الأصل. دع (S ) سطحًا مغلقًا أملسًا متعدد العناصر يشمل الأصل. ثم

[ begin {align *} iint_S vecs E cdot d vecs S & = iint_S dfrac {q} {4 pi epsilon_0} vecs F _ { tau} cdot d vecs S [4 نقطة]
& = dfrac {q} {4 pi epsilon_0} iint_S vecs F _ { tau} cdot d vecs S [4pt]
& = dfrac {q} { epsilon_0}. النهاية {محاذاة *} ]

إذا كان (S ) لا يشمل الأصل ، إذن

[ iint_S vecs E cdot d vecs S = dfrac {q} {4 pi epsilon_0} iint_S vecs F _ { tau} cdot d vecs S = 0. nonumber ]

لذلك ، قمنا بتبرير الادعاء الذي شرعنا في تبريره: التدفق عبر السطح المغلق (S ) يساوي صفرًا إذا كانت الشحنة خارج (S ) ، والتدفق هو (q / epsilon_0 ) إذا كانت الشحنة داخل (S ).

يعمل هذا التحليل فقط إذا كانت هناك نقطة شحن واحدة في الأصل. في هذه الحالة ، ينص قانون غاوس على أن تدفق ( vecs E ) عبر (S ) هو إجمالي الشحنة المرفقة بـ (S ). يمكن تمديد قانون جاوس للتعامل مع العديد من المواد الصلبة المشحونة في الفضاء ، وليس مجرد نقطة واحدة في الأصل. المنطق مشابه للتحليل السابق ، لكن خارج نطاق هذا النص. بشكل عام ، ينص قانون غاوس على أنه إذا كان (S ) سطحًا مغلقًا أملسًا متعدد العناصر و (Q ) هو المبلغ الإجمالي للشحنة داخل (S ) ، فإن تدفق ( vecs E ) عبر (S ) هو (Q / epsilon_0 ).

مثال ( PageIndex {5} ): استخدام قانون جاوس

لنفترض أن لدينا أربع شحنات نقطية ثابتة في الفضاء ، وكلها بتكلفة 0.002 كولوم (C). تقع الرسوم في ((0،0،1) ، ، (1،1،4) ، (-1،0،0) ) ، و ((- 2 ، -2،2) ) . اسمح ( vecs E ) بالإشارة إلى المجال الكهروستاتيكي الناتج عن شحنات النقاط هذه. إذا كان (S ) هو مجال نصف القطر (2 ) موجه للخارج ومتمركز في الأصل ، فابحث عن

[ iint_S vecs E cdot d vecs S. nonumber ]

المحلول

وفقًا لقانون جاوس ، فإن تدفق ( vecs E ) عبر (S ) هو إجمالي الشحنة داخل (S ) مقسومًا على الثابت الكهربائي. نظرًا لأن (S ) له نصف قطر (2 ) ، لاحظ أن اثنتين فقط من الشحنات موجودة داخل (S ): الشحنة عند (0،1،1) ) والشحنة عند (( -1،0،0) ). لذلك ، فإن إجمالي الشحنة التي يشملها (S ) هو (0.004 ) وبحسب قانون غاوس ،

[ iint_S vecs E cdot d vecs S = dfrac {0.004} {8.854 times 10 ^ {- 12}} تقريبًا 4.418 times 10 ^ 9 ، V - m. لا يوجد رقم]

تمرين ( PageIndex {4} )

استخدم المثال السابق للسطح (S ) الذي هو كرة نصف قطرها 4 تتمحور في الأصل ، وموجهة للخارج.

تلميح

استخدم قانون غاوس.

إجابه

( حوالي 6.777 مرات 10 ^ 9 )

نظرية الاختلاف
نظرية تستخدم لتحويل التدفق الصعب المتكامل إلى تكامل ثلاثي أسهل والعكس صحيح
قانون غاوس
لو س عبارة عن سطح مغلق أملس ومتعدد الجوانب في فراغ و (Q ) هو إجمالي الشحنة الثابتة داخل (S ) ، ثم تدفق الحقل الكهروستاتيكي ( vecs E ) عبر (S ) هو (س / epsilon_0 )
قانون التربيع العكسي
تتناسب القوة الكهروستاتيكية عند نقطة معينة عكسيا مع مربع المسافة من مصدر الشحنة


شاهد الفيديو: م3 أنواع المسارات kinds of the Edges. نظرية البيانات Graphs theory (شهر اكتوبر 2021).