مقالات

تكاملات مزدوجة الجزء 1 (تمارين) - الرياضيات


في التمرينين 1 و 2 ، استخدم قاعدة نقطة الوسط مع (م = 4 ) و (ن = 2 ) لتقدير حجم المادة الصلبة التي يحدها السطح (ض = و (س ، ص) ) ، المستويات العمودية (س = 1 ) ، (س = 2 ) ، (ص = 1 ) ، (ص = 2 ) ، والمستوى الأفقي (س = 0 ).

1) (و (س ، ص) = 4x + 2y + 8xy )

إجابه:
(27)

2) (f (x، y) = 16x ^ 2 + frac {y} {2} )

في التمرينين 3 و 4 ، قم بتقدير حجم المادة الصلبة تحت السطح (z = f (x ، y) ) وفوق المنطقة المستطيلة ص باستخدام مجموع Riemann مع (m = n = 2 ) ونقاط العينة ستكون الزوايا اليسرى السفلية للمستطيلات الفرعية للقسم.

3) (f (x، y) = sin x - cos y )، (R = [0، pi] times [0، pi] )

إجابه:
(0)

4) (f (x، y) = cos x + cos y )، (R = [0، pi] times [0، frac { pi} {2}] )

5) استخدم قاعدة النقطة المتوسطة مع (m = n = 2 ) لتقدير ( iint_R f (x، y) ، dA ) ، حيث قيم الدالة F على (R = [8،10] مرات [9،11] ) معطاة في الجدول التالي.

(ص )
(س )99.51010.511
89.856.755.6
8.59.44.585.43.4
98.74.665.53.4
9.56.764.55.46.7
106.86.45.55.76.8
إجابه:
(21.3)

6) قيم الدالة (f ) على المستطيل (R = [0،2] times [7،9] ) موضحة في الجدول التالي. تقدير التكامل المزدوج ( iint_R f (x، y) ، dA ) باستخدام مجموع Riemann مع (m = n = 2 ). حدد نقاط العينة لتكون الزوايا اليمنى العلوية للمربعات الفرعية ص.

(ص_0 = 7 ) (y_1 = 8 ) (ص_2 = 9 )
(x_0 = 0 )10.2210.219.85
(س_1 = 1 )6.739.759.63
(س_2 = 2 )5.627.838.21

7) يرد في الجدول التالي عمق مسبح الأطفال الذي يبلغ طوله 4 أقدام في 4 أقدام ، ويتم قياسه على فترات متقطعة.

  1. تقدير حجم الماء في حمام السباحة باستخدام مجموع ريمان مع (م = ن = 2 ). حدد عينات النقاط باستخدام قاعدة النقطة المتوسطة في (R = [0،4] times [0،4] ).
  2. ابحث عن متوسط ​​عمق المسبح.
    (ص )
    (س )01234
    011.522.53
    111.522.53
    211.51.52.53
    3111.522.5
    41111.52
إجابه:
أ. 28 ( نص {قدم} ^ 3 )
ب. 1.75 قدم

8) يرد في الجدول التالي عمق حفرة 3 أقدام في 3 أقدام في الأرض ، مقاسة بفواصل زمنية قدرها 1 قدم.

  1. قدر حجم الحفرة باستخدام مجموع Riemann مع (m = n = 3 ) ونقاط العينة لتكون الزوايا اليسرى العلوية للمربعات الفرعية في (ص ).
  2. أوجد متوسط ​​عمق الحفرة.
    (ص )
    (س )0123
    066.56.46
    16.577.56.5
    26.56.76.56
    366.555.6

9) منحنيات المستوى (f (x، y) = k ) للدالة (f ) موضحة في الرسم البياني التالي ، حيث (k ) ثابت.

  1. طبق قاعدة النقطة المتوسطة مع (m = n = 2 ) لتقدير التكامل المزدوج ( iint_R f (x، y) ، dA ) ، حيث (R = [0.2،1] times [0، 0.8] ).
  2. تقدير متوسط ​​قيمة الوظيفة (f ) في (ص ).

إجابه:
أ. 0.112
ب. (f_ {ave} 0.175 ) ؛ هنا (f (0.4،0.2) ≃ 0.1 ) ، (f (0.2،0.6) ≃− 0.2 ) ، (f (0.8،0.2) ≃ 0.6 ) ، و (f (0.8،0.6) ≃ 0.2 )

10) منحنيات المستوى (f (x، y) = k ) للدالة (f ) موضحة في الرسم البياني التالي ، حيث (k ) ثابت.

  1. طبق قاعدة النقطة المتوسطة مع (m = n = 2 ) لتقدير التكامل المزدوج ( iint_R f (x، y) ، dA ) ، حيث (R = [0.1،0.5] times [0.1، 0.5] ).
  2. تقدير متوسط ​​قيمة الوظيفة F على (ص ).

11) المادة الصلبة الموجودة تحت السطح (z = sqrt {4 - y ^ 2} ) وفوق المنطقة المستطيلة (R = [0،2] times [0،2] ) موضحة في الرسم البياني التالي. احسب التكامل المزدوج ( iint_Rf (x، y) ) حيث (f (x، y) = sqrt {4 - y ^ 2} ) بإيجاد حجم المادة الصلبة المقابلة.

إجابه:
(2 بي )

12) المادة الصلبة الواقعة تحت المستوى (z = y + 4 ) وفوق المنطقة المستطيلة (R = [0،2] times [0،4] ) موضحة في الرسم البياني التالي. احسب التكامل المزدوج ( iint_R f (x، y) ، dA ) حيث (f (x، y) = y + 4 ) عن طريق إيجاد حجم المادة الصلبة المقابلة.

في التدريبات من 13 إلى 20 ، احسب التكاملات بعكس ترتيب التكامل.

13) ( displaystyle int _ {- 1} ^ 1 left ( int _ {- 2} ^ 2 (2x + 3y + 5) ، dx right) space dy )

إجابه:
(40)

14) (displaystyle int_0 ^ 2 left (int_0 ^ 1 (x + 2e ^ y + 3)، dx right) space dy)

15) ( displaystyle int_1 ^ {27} left ( int_1 ^ 2 ( sqrt [3] {x} + sqrt [3] {y}) ، dy right) space dx )

إجابه:
( frac {81} {2} + 39 sqrt [3] {2} )

16) ( displaystyle int_1 ^ {16} left ( int_1 ^ 8 ( sqrt [4] {x} + 2 sqrt [3] {y}) ، dy right) space dx )

17) ( displaystyle int _ { ln 2} ^ { ln 3} left ( int_0 ^ 1 e ^ {x + y} ، dy right) space dx )

إجابه:
(ه - 1 )

18) ( displaystyle int_0 ^ 2 left ( int_0 ^ 1 3 ^ {x + y} ، dy right) space dx )

19) ( displaystyle int_1 ^ 6 left ( int_2 ^ 9 frac { sqrt {y}} {y ^ 2} ، dy right) space dx )

إجابه:
(15 - frac {10 sqrt {2}} {9} )

20) ( displaystyle int_1 ^ 9 left ( int_4 ^ 2 frac { sqrt {x}} {y ^ 2} ، dy right) ، dx )

في التدريبات 21 - 34 ، قم بتقييم التكاملات المتكررة باختيار ترتيب التكامل.

21) ( displaystyle int_0 ^ { pi} int_0 ^ { pi / 2} sin (2x) cos (3y) ، dx space dy )

إجابه:
(0)

22) ( displaystyle int _ { pi / 12} ^ { pi / 8} int _ { pi / 4} ^ { pi / 3} [ cot x + tan (2y)] ، dx مساحة دى )

23) ( displaystyle int_1 ^ e int_1 ^ e left [ frac {1} {x} sin ( ln x) + frac {1} {y} cos ( ln y) right ] ، dx space dy )

إجابه:
((هـ - 1) (1 + الخطيئة 1 - كوس 1) )

24) ( displaystyle int_1 ^ e int_1 ^ e frac { sin ( ln x) cos ( ln y)} {xy} ، dx space dy )

25) ( displaystyle int_1 ^ 2 int_1 ^ 2 left ( frac { ln y} {x} + frac {x} {2y + 1} right) ، dy space dx )

إجابه:
( frac {3} {4} ln left ( frac {5} {3} right) + 2b space ln ^ 2 2 - ln 2 )

26) ( displaystyle int_1 ^ e int_1 ^ 2 x ^ 2 ln (x) ، dy space dx )

27) ( displaystyle int_1 ^ { sqrt {3}} int_1 ^ 2 y space arctan left ( frac {1} {x} right) ، dy space dx )

إجابه:
( frac {1} {8} [(2 sqrt {3} - 3) pi + 6 space ln 2] )

28) ( displaystyle int_0 ^ 1 int_0 ^ {1/2} ( arcsin x + arcsin y) ، dy space dx )

29) ( displaystyle int_0 ^ 1 int_0 ^ 2 xe ^ {x + 4y} ، dy space dx )

إجابه:
( frac {1} {4} e ^ 4 (e ^ 4 - 1) )

30) ( displaystyle int_1 ^ 2 int_0 ^ 1 xe ^ {x-y} ، dy space dx )

31) ( displaystyle int_1 ^ e int_1 ^ e left ( frac { ln y} { sqrt {y}} + frac { ln x} { sqrt {x}} right) ، dy space dx )

إجابه:
(4 (e - 1) (2 - sqrt {e}) )

32) ( displaystyle int_1 ^ e int_1 ^ e left ( frac {x space ln y} { sqrt {y}} + frac {y space ln x} { sqrt {x }} right) ، dy space dx )

33) ( displaystyle int_0 ^ 1 int_1 ^ 2 left ( frac {x} {x ^ 2 + y ^ 2} right) ، dy space dx )

إجابه:
(- frac { pi} {4} + ln left ( frac {5} {4} right) - frac {1} {2} ln 2 + arctan 2 )

34) ( displaystyle int_0 ^ 1 int_1 ^ 2 frac {y} {x + y ^ 2} ، dy space dx )

في التدريبات 35 - 38 ، أوجد متوسط ​​قيمة الدالة على المستطيلات المعطاة.

35) (f (x، y) = x + 2y )، (R = [0،1] times [0،1] )

إجابه:
( فارك {1} {2} )

36) (f (x، y) = x ^ 4 + 2y ^ 3 )، (R = [1،2] times [2،3] )

37) (f (x، y) = sinh x + sinh y )، (R = [0،1] times [0،2] )

إجابه:
( frac {1} {2} (2 space cosh 1 + cosh 2 - 3) ).

38) (f (x، y) = arctan (xy) )، (R = [0،1] times [0،1] )

39) لنفترض أن (f ) و (g ) هما وظيفتان متصلتان مثل (0 leq m_1 leq f (x) leq M_1 ) لأي (x ∈ [a، b] ) و (0 leq m_2 leq g (y) leq M_2 ) لأي (y ∈ [c، d] ). أظهر أن عدم المساواة التالية صحيحة:

[m_1m_2 (b-a) (c-d) leq int_a ^ b int_c ^ d f (x) g (y) ، dy dx leq M_1M_2 (b-a) (c-d). ]

في التدريبات 40 - 43 ، استخدم الخاصية مقابل التكاملات المزدوجة والإجابة من التمرين السابق لتوضيح أن المتباينات التالية صحيحة.

40) ( frac {1} {e ^ 2} leq iint_R e ^ {- x ^ 2 - y ^ 2} space dA leq 1 ) ، حيث (R = [0،1] مرات [0،1] )

41) ( frac { pi ^ 2} {144} leq iint_R sin x cos y space dA leq frac { pi ^ 2} {48} ) ، حيث (R = يسار [ frac { pi} {6} ، frac { pi} {3} right] times left [ frac { pi} {6} ، frac { pi} {3} right ] )

42) (0 leq iint_R e ^ {- y} space cos x space dA leq frac { pi} {2} ) ، حيث (R = left [0، frac { pi} {2} right] times left [0، frac { pi} {2} right] )

43) (0 leq iint_R ( ln x) ( ln y) ، dA leq (e - 1) ^ 2 ) ، حيث (R = [1، e] times [1، e ] )

44) لنفترض أن (f ) و (g ) هما وظيفتان متصلتان مثل (0 leq m_1 leq f (x) leq M_1 ) لأي (x ∈ [a، b] ) و (0 leq m_2 leq g (y) leq M_2 ) لأي (y ∈ [c، d] ). أظهر أن عدم المساواة التالية صحيحة:

[(m_1 + m_2) (ب - أ) (ج - د) leq int_a ^ b int_c ^ d | f (x) + g (y) | مسافة dy space dx leq (M_1 + M_2) (b - a) (c - d) ]

في التدريبات 45-48 ، استخدم الخاصية مقابل التكاملات المزدوجة والإجابة من التمرين السابق لتوضيح أن المتباينات التالية صحيحة.

45) ( frac {2} {e} leq iint_R (e ^ {- x ^ 2} + e ^ {- y ^ 2}) ، dA leq 2 ) ، حيث (R = [ 0،1] مرات [0،1] )

46) ( frac { pi ^ 2} {36} iint_R ( sin x + cos y) ، dA leq frac { pi ^ 2 sqrt {3}} {36} ) ، حيث (R = [ frac { pi} {6}، frac { pi} {3}] times [ frac { pi} {6}، frac { pi} {3}] )

47) ( frac { pi} {2} e ^ {- pi / 2} leq iint_R ( cos x + e ^ {- y}) ، dA leq pi ) ، حيث (R = [0، frac { pi} {2}] times [0، frac { pi} {2}] )

48) ( frac {1} {e} leq iint_R (e ^ {- y} - ln x) ، dA leq 2 ) ، حيث (R = [0، 1] times [ 0 ، 1] )

في التدريبات 49-50 ، يتم إعطاء الدالة (f ) بدلالة التكاملات المزدوجة.

  1. حدد الشكل الصريح للدالة (f ).
  2. أوجد حجم المادة الصلبة تحت السطح (z = f (x، y) ) وفوق المنطقة (R ).
  3. ابحث عن متوسط ​​قيمة الوظيفة (f ) في (R ).
  4. استخدم نظام الجبر الحاسوبي (CAS) لرسم (z = f (x، y) ) و (z = f_ {ave} ) في نفس نظام الإحداثيات.

49) [T] (f (x، y) = int_0 ^ y int_0 ^ x (xs + yt) ds space dt ) ، حيث ((x، y) in R = [0،1] times [0 ، 1] )

إجابه:

أ. (f (x، y) = frac {1} {2} xy (x ^ 2 + y ^ 2) ) ؛
ب. (V = int_0 ^ 1 int_0 ^ 1 f (x، y) ، dx space dy = frac {1} {8} ) ؛
ج. (f_ {ave} = frac {1} {8} ) ؛

د.

50) [T] (f (x، y) = int_0 ^ x int_0 ^ y [ cos (s) + cos (t)] ، dt space ds ) ، حيث ((x، y) in R = [0،3] مرات [0،3] )

51) أظهر أنه إذا كان (f ) و (g ) متواصلين في ([أ ، ب] ) و ([ج ، د] ) ، على التوالي ، إذن

(displaystyle int_a ^ b int_c ^ d | f (x) + g (y) | dy space dx = (d - c) int_a ^ b f (x) ، dx)

(displaystyle + int_a ^ b int_c ^ dg (y) ، dy space dx = (b - a) int_c ^ dg (y) ، dy + int_c ^ d int_a ^ bf (x) ، dx مساحة دى ).

52) بيّن أن ( displaystyle int_a ^ b int_c ^ d yf (x) + xg (y) ، dy space dx = frac {1} {2} (d ^ 2 - c ^ 2) يسار ( int_a ^ bf (x) ، dx right) + frac {1} {2} (b ^ 2 - a ^ 2) left ( int_c ^ dg (y) ، dy right) ).

53) [T] ضع في اعتبارك الوظيفة (f (x، y) = e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} ) ، حيث ((x، y) in R = [−1،1] times [−1 ، 1] ).

  1. استخدم قاعدة النقطة المتوسطة مع (m = n = 2،4، ...، 10 ) لتقدير التكامل المزدوج (I = iint_R e ^ {- x ^ 2 - y ^ 2} dA ). قرب إجابتك لأقرب جزء من مائة.
  2. بالنسبة إلى (m = n = 2 ) ، ابحث عن متوسط ​​قيمة F فوق المنطقة ص. قرب إجابتك لأقرب جزء من مائة.
  3. استخدم CAS لرسم بياني في نفس نظام الإحداثيات على الجسم الذي تم تحديد حجمه بواسطة ( iint_R e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} dA ) والمستوى (z = f_ {ave} ).
إجابه:

أ. بالنسبة إلى (m = n = 2 ) ، (I = 4e ^ {- 0.5} تقريبًا 2.43 )
ب. (f_ {ave} = e ^ {- 0.5} simeq 0.61 ) ؛

ج.

54) [T] ضع في اعتبارك الوظيفة (f (x، y) = sin (x ^ 2) space cos (y ^ 2) ) ، حيث ((x، y in R = [1،1] times [−1،1] ).

  1. استخدم قاعدة النقطة المتوسطة مع (m = n = 2،4، ...، 10 ) لتقدير التكامل المزدوج (I = iint_R sin (x ^ 2) cos (y ^ 2) space dA ). قرب إجابتك لأقرب جزء من مائة.
  2. بالنسبة إلى (m = n = 2 ) ، ابحث عن متوسط ​​ (f ) فوق المنطقة تم العثور على R. قرب إجابتك لأقرب جزء من مائة.
  3. استخدم CAS لرسم بياني في نفس نظام الإحداثيات على الصلب الذي تم تحديد حجمه بواسطة ( iint_R sin (x ^ 2) cos (y ^ 2) space dA ) والمستوى (z = f_ {ave } ).

في التمارين 55 - 56 ، يتم إعطاء الوظائف (f_n ) ، حيث (n geq 1 ) هو رقم طبيعي.

  1. ابحث عن حجم المواد الصلبة (S_n ) تحت الأسطح (z = f_n (x، y) ) وفوق المنطقة (R ).
  2. تحديد حدود أحجام المواد الصلبة (S_n ) حيث (n ) يزيد بلا حدود.

55) (f (x، y) = x ^ n + y ^ n + xy، space (x، y) in R = [0،1] times [0،1] )

إجابه:
أ. ( frac {2} {n + 1} + frac {1} {4} )
ب. ( فارك {1} {4} )

56) (f (x، y) = frac {1} {x ^ n} + frac {1} {y ^ n}، space (x، y) in R = [1،2] مرات [1،2] )

57) أظهر أن متوسط ​​قيمة دالة (f ) على منطقة مستطيلة (R = [a، b] times [c، d] ) هي (f_ {ave} almost frac {1 } {mn} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (x_ {ij} ^ *، y_ {ij} ^ *) ) ، حيث ((x_ {ij} ^ * ، y_ {ij} ^ *) ) هي نقاط عينة من قسم (R ) ، حيث (1 leq i leq m ) و (1 leq j leq n ).

58) استخدم قاعدة النقطة المتوسطة مع (m = n ) لإظهار أن متوسط ​​قيمة دالة (f ) في منطقة مستطيلة (R = [a، b] times [c، d] ) يتم تقريبه بواسطة

[f_ {ave} almost frac {1} {n ^ 2} sum_ {i، j = 1} ^ nf left ( frac {1} {2} (x_ {i = 1} + x_i) ، space frac {1} {2} (y_ {j = 1} + y_j) right). ]

59) خريطة تساوي الحرارة هي مخطط يربط بين نقاط لها نفس درجة الحرارة في وقت معين لفترة زمنية معينة. استخدم التمرين السابق وقم بتطبيق قاعدة نقطة الوسط مع (m = n = 2 ) للعثور على متوسط ​​درجة الحرارة فوق المنطقة الواردة في الشكل التالي.

إجابه:
(56.5 ^ { circ} ) ف ؛ هنا (f (x_1 ^ *، y_1 ^ *) = 71، space f (x_2 ^ *، y_1 ^ *) = 72، space f (x_2 ^ *، y_1 ^ *) = 40، space f ( x_2 ^ * ، y_2 ^ *) = 43 ) ، حيث (x_i ^ * ) و (y_j ^ * ) هما نقطتا منتصف الفترات الفرعية لأقسام ([a، b] ) و ([ج ، د] ) ، على التوالي.

تكاملات مزدوجة الجزء 1 (تمارين) - الرياضيات

وصف المحاضرة

محاضرة الفيديو هذه ، جزء من السلسلة مقاطع فيديو حساب التفاضل والتكامل: التكامل بواسطة البروفيسور ، ليس لديه حاليًا وصف تفصيلي وعنوان محاضرة فيديو. إذا كنت قد شاهدت هذه المحاضرة وتعرف ما تدور حوله ، ولا سيما موضوعات الرياضيات التي تتم مناقشتها ، فيرجى مساعدتنا من خلال التعليق على هذا الفيديو مع اقتراحك وصف و لقب. شكرا جزيلا من ،

- فريق التعلم CosmoLearning

فهرس المقرر

  1. تدوين التلخيص
  2. التكامل المحدد: فهم التعريف
  3. تقريب التكامل المحدد باستخدام المستطيلات
  4. قاعدة شبه منحرف لتقريب التكامل المحدد
  5. قاعدة سيمبسون لتقريب التكامل المحدد
  6. قاعدة سيمبسون وحدود الخطأ
  7. حساب تكامل محدد باستخدام مجموع ريمان (الجزء الأول)
  8. حساب تكامل محدد باستخدام مجموع ريمان (الجزء الثاني)
  9. صيغ التكامل الأساسية
  10. أمثلة أساسية Antiderivate: تكامل غير محدد
  11. المزيد من مشاكل التكامل الأساسية
  12. مثال أساسي محدد لا يتجزأ
  13. تكامل غير محدد: استبدال حرف U
  14. لا يتجزأ محدد: الاستبدال U
  15. المزيد من التكامل باستخدام تعويض U (الجزء 1)
  16. المزيد من التكامل باستخدام استبدال حرف U (الجزء 2)
  17. التكامل الذي يتضمن الدوال المثلثية المعكوسة
  18. التكامل بالأجزاء: تكامل غير محدد
  19. التكامل بالأجزاء: تكامل محدد
  20. أمثلة غير محددة / محددة لا يتجزأ
  21. التكامل حسب الأجزاء: استخدام شراكة الموازنة الدولية مرتين
  22. التكامل بالأجزاء: مثال "Loopy"
  23. التكاملات المثلثية: الجزء 1 من 6
  24. التكاملات المثلثية: الجزء 2 من 6
  25. التكاملات المثلثية: الجزء 3 من 6
  26. التكاملات المثلثية: الجزء 4 من 6
  27. التكاملات المثلثية: الجزء 5 من 6
  28. التكاملات المثلثية: الجزء 6 من 6
  29. التعويض المثلثي (جزء 1)
  30. التعويض المثلثي (الجزء 2)
  31. التعويض المثلثي (الجزء 3)
  32. التعويض المثلثي (الجزء 4)
  33. التعويض المثلثي (الجزء 5)
  34. الكسور الجزئية: تحليل دالة عقلانية
  35. الكسور الجزئية: معاملات التحلل الجزئي
  36. الكسور الجزئية: مشكلة
  37. الكسور الجزئية: مشكلة باستخدام تعويض عقلاني
  38. حساب التكاملات المزدوجة على مناطق مستطيلة
  39. حساب التكاملات المزدوجة على المناطق العامة
  40. عكس ترتيب التكامل (الجزء الأول)
  41. عكس ترتيب التكامل (الجزء الثاني)
  42. إيجاد المناطق في الإحداثيات القطبية
  43. تكامل مزدوج باستخدام الإحداثيات القطبية (الجزء 1)
  44. تكامل مزدوج باستخدام الإحداثيات القطبية (الجزء 2)
  45. تكامل مزدوج باستخدام الإحداثيات القطبية (الجزء 3)
  46. ثلاثية التكاملات
  47. التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الكروية
  48. تكاملات الخط
  49. حل المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى
  50. إيجاد Centroids / مراكز الكتلة (الجزء 1)
  51. إيجاد Centroids / مراكز الكتلة (الجزء 2)
  52. التكاملات غير الصحيحة: مقدمة
  53. تكاملات غير لائقة: استخدام قاعدة لو هوسبيتس
  54. التكاملات غير الصحيحة: اللانهاية في الحد العلوي والسفلي
  55. التكاملات غير الصحيحة: انقطاع لانهائي عند نقطة النهاية
  56. التكاملات غير الصحيحة: انقطاع لانهائي في منتصف الفترة
  57. أحجام الثورة: طريقة القرص / الغسالة وتناوب المناطق حول خط أفقي
  58. أحجام الثورة: طريقة القرص / الغسالة والمناطق المتناوبة حول الخط العمودي
  59. أحجام الثورة: طريقة القرص / الغسالة (تابع)
  60. مشاكل العمل: إيجاد العمل لتفريغ خزان مملوء بالماء

وصف الدورة التدريبية


في هذه الدورة ، يقدم مدرس حساب التفاضل والتكامل باتريك 60 محاضرة بالفيديو حول حساب التفاضل والتكامل. بعض الموضوعات التي يتم تناولها هي: التكاملات غير المحددة ، التكاملات المحددة ، التكاملات المثلثية ، الاستبدال المثلثي ، الكسور الجزئية ، التكاملات المزدوجة ، التكاملات الثلاثية ، الإحداثيات القطبية ، الإحداثيات الكروية ، تكاملات الخط ، النقاط المركزية / مراكز الكتلة ، التكاملات غير الصحيحة ، أحجام الثورة ، العمل وغير ذلك الكثير.


مرحبا!

هذه واحدة من أكثر من 2400 دورة تدريبية في OCW. استكشف المواد الخاصة بهذه الدورة التدريبية في الصفحات المرتبطة على اليسار.

معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا OpenCourseWare هو منشور مجاني ومفتوح لمواد من آلاف دورات معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، يغطي منهج معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا بأكمله.

لا تسجيل أو تسجيل. تصفح واستخدام مواد OCW بحرية وفقًا لسرعتك الخاصة. لا يوجد اشتراك ولا تواريخ بدء أو انتهاء.

المعرفة هي مكافأتك. استخدم OCW لتوجيه التعلم مدى الحياة ، أو لتعليم الآخرين. لا نقدم ائتمانًا أو شهادة لاستخدام OCW.

صنع للمشاركة. تنزيل الملفات لوقت لاحق. أرسل إلى الأصدقاء والزملاء. قم بالتعديل وإعادة المزج وإعادة الاستخدام (تذكر فقط ذكر OCW كمصدر.)

حول MIT OpenCourseWare

MIT OpenCourseWare هو منشور عبر الإنترنت لمواد من أكثر من 2500 دورة تدريبية في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، وتبادل المعرفة بحرية مع المتعلمين والمعلمين في جميع أنحاء العالم. اعرف المزيد & raquo

& نسخ 2001 & ndash2018
معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا

يخضع استخدامك لموقع MIT OpenCourseWare والمواد الخاصة به إلى ترخيص المشاع الإبداعي الخاص بنا وشروط الاستخدام الأخرى.


مرحبا!

هذه واحدة من أكثر من 2400 دورة تدريبية في OCW. استكشف المواد الخاصة بهذه الدورة التدريبية في الصفحات المرتبطة على اليسار.

معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا OpenCourseWare هو منشور مجاني ومفتوح لمواد من آلاف دورات معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، يغطي منهج معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا بأكمله.

لا تسجيل أو تسجيل. تصفح واستخدام مواد OCW بحرية وفقًا لسرعتك الخاصة. لا يوجد اشتراك ولا تواريخ بدء أو انتهاء.

المعرفة هي مكافأتك. استخدم OCW لتوجيه التعلم مدى الحياة ، أو لتعليم الآخرين. لا نقدم ائتمانًا أو شهادة لاستخدام OCW.

صنع للمشاركة. تنزيل الملفات لوقت لاحق. أرسل إلى الأصدقاء والزملاء. قم بالتعديل وإعادة المزج وإعادة الاستخدام (تذكر فقط ذكر OCW كمصدر.)

حول MIT OpenCourseWare

MIT OpenCourseWare هو منشور عبر الإنترنت لمواد من أكثر من 2500 دورة تدريبية في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، وتبادل المعرفة بحرية مع المتعلمين والمعلمين في جميع أنحاء العالم. اعرف المزيد & raquo

& نسخ 2001 & ndash2018
معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا

يخضع استخدامك لموقع MIT OpenCourseWare والمواد الخاصة به إلى ترخيص المشاع الإبداعي الخاص بنا وشروط الاستخدام الأخرى.


مرحبا!

هذه واحدة من أكثر من 2400 دورة تدريبية في OCW. استكشف المواد الخاصة بهذه الدورة التدريبية في الصفحات المرتبطة على اليسار.

معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا OpenCourseWare هو منشور مجاني ومفتوح لمواد من آلاف دورات معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، يغطي منهج معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا بأكمله.

لا تسجيل أو تسجيل. تصفح واستخدام مواد OCW بحرية وفقًا لسرعتك الخاصة. لا يوجد اشتراك ولا تواريخ بدء أو انتهاء.

المعرفة هي مكافأتك. استخدم OCW لتوجيه التعلم مدى الحياة ، أو لتعليم الآخرين. لا نقدم ائتمانًا أو شهادة لاستخدام OCW.

صنع للمشاركة. تنزيل الملفات لوقت لاحق. أرسل إلى الأصدقاء والزملاء. قم بالتعديل وإعادة المزج وإعادة الاستخدام (تذكر فقط ذكر OCW كمصدر.)

حول MIT OpenCourseWare

MIT OpenCourseWare هو منشور عبر الإنترنت لمواد من أكثر من 2500 دورة تدريبية في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، وتبادل المعرفة بحرية مع المتعلمين والمعلمين في جميع أنحاء العالم. اعرف المزيد & raquo

& نسخ 2001 & ndash2018
معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا

يخضع استخدامك لموقع MIT OpenCourseWare والمواد الخاصة به إلى ترخيص المشاع الإبداعي الخاص بنا وشروط الاستخدام الأخرى.


تطبيق مسابقة التكاملات المزدوجة

المسافة المقطوعة بواسطة أي جسم هي

تكامل مزدوج من تسارعه

تكامل مزدوج لسرعته

تكامل مزدوج لقوتها

تكامل مزدوج من زخمها

شرح: نعلم أن ،
x (t) = & int & inta (t) dtdt.

أوجد المسافة التي قطعتها سيارة تتحرك بعجلة معطاة من a (t) = t 2 + t ، إذا كانت تتحرك من t = 0 sec إلى t = 10 sec ، إذا كانت سرعة السيارة عند t = 0sec تساوي 40 كم / ساعة .

شرح: إضافة ثابت آليًا
نحن نعرف ذلك،

أوجد المسافة التي قطعتها سيارة تتحرك بعجلة معطاة من a (t) = Sin (t) ، إذا كانت تتحرك من t = 0 sec إلى t = & pi / 2 sec ، إذا كانت سرعة السيارة عند t = 0sec تساوي 10 كم / ساعة.

شرح: إضافة ثابت آليًا
نحن نعرف ذلك،

أوجد المسافة التي تقطعها سيارة تتحرك بعجلة معطاة من a (t) = t 2 & ndash t ، إذا كانت تتحرك من t = 0 sec إلى t = 1 sec ، إذا كانت سرعة السيارة عند t = 0sec تساوي 10 km / hr .


الاختبار: التكاملات المزدوجة والثلاثية - 1

قيمة ال dxdy تغيير ترتيب التكامل هو

حجم القطع الناقص هو

وحدات مكعبة abc

وحدات مكعبة abc

المساحة التي يحدها المنحنى y = & psi (x) والمحور x والخطوط x = l و x = m (l & ltm) تعطى بواسطة

يتم إعطاء حجم كائن معبر عنه في إحداثيات كروية sin & phi dr d & phi d & theta. قيمة التكامل

dx dy يساوي

باستخدام التحويل x + y = u، y = v. قيمة Jacobian (J) للتكامل هو

المساحة التي يحدها القطع المكافئ y 2 = 4ax والخط المستقيم x + y = 3a تساوي

ضع في اعتبارك المنطقة المثلثية المظللة P الموضحة في الشكل ، ما هي قيمة ?

نفترض أن x + 2 = t 2 dx = 2t dt

لتقييم فوق المنطقة A التي يحدها المنحنى r = r1، ص = ص2 والخطوط المستقيمة & ثيتا = & ثيتا1، & ثيتا = & ثيتا & # 82032، ندمج أولاً

ص بين الحدود ص = ص1 و ص = ص2 التعامل مع ثيتا بشكل ثابت

& ثيتا بين الحدود & ثيتا = & ثيتا1 و & ثيتا2 التعامل مع r باعتباره ثابتًا

لتغيير المستوى الديكارتي (x ، y ، z) إلى الإحداثيات القطبية الكروية (r ، & theta ، & phi)

x = r sin & theta sin & phi ، y = r cos & theta cos & phi ، z = r cos & theta

x = r sin & theta cos & phi ، y = r cos & theta sin & phi ، z = r cos & theta

x = r sin & phi cos & phi ، y = r sin & theta sin & phi ، z = r cos & phi

r 2 = x 2 + y 2 + z 2، tan & theta = y / x، & phi = arccos (z / & radic (x 2 + y 2 + z 2))

لتحويل نقطة من الإحداثيات الديكارتية إلى إحداثيات كروية ، استخدم المعادلات

r 2 = x 2 + y 2 + z 2، tan & theta = y / x، & phi = arccos (z / & radic (x 2 + y 2 + z 2))

إذا كان التكامل الثلاثي فوق المنطقة التي يحدها المستوى 2x + y + z = 4 ، x = 0 ، y = 0 ، z = 0 يتم إعطاء الدالة & lambda (x) & ndash & pi (x ، y) هي

حيث V هي المنطقة التي يحدها المستوى 2x + y + z = 4 x = 0 ، y = 0 ، z = 0

ما هي الكتلة الإجمالية للمكعب بين الحدود 0 & le x & le 1، 0 & le y & le 1، 0 & lez & le1 في أي نقطة بواسطة xyz؟

المساحة التي يحدها المنحنيات y 2 = x 3 و x 2 = y 3 هي

قيمة ال (x + y + z) dzdydx تساوي

عن طريق تغيير ترتيب التكامل في القيمة

عن طريق تغيير المتغير x (u ، v) = uv ، y (u ، v) = u / v هو تكامل مزدوج ، يتغير التكامل و f (x ، y) إلى . ثم ، & phi (u، v) تساوي

حجم رباعي السطوح يحده المستوى والمستويات الإحداثي تساوي

هنا
دع u = x / a ، v = y / b ، w = z / c
ثم dx = a du ، dy = b dv ، dz = c dw
لذا ، الحجم المطلوب
الخامس = abc du dv dw
حيث u + v + w & le 1، u، v، w & ge 0
هكذا


ومن ثم فإن الإجابة الصحيحة هي (د).

قيمة التكامل dxdy هو


الرياضيات H53: مرتبة الشرف في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات

ساعات عمل المدرب: ساعات العمل العادية: 4:30 - 5:30 يوم الثلاثاء و 2-3: 30 يوم الخميس. تحقق من Bcourses "المنهج" لمعرف التكبير. لا تتردد دائمًا في إرسال الأسئلة إلي أو طلب ساعات عمل بديلة.

إمتحان نهائي: تحقق من جدول الامتحان النهائي لجامعة كاليفورنيا في بيركلي

المتطلبات الأساسية: الرياضيات 1 ب أو ما يعادلها.

نص: النصوص الأساسية لهذه الدورة هي متجه حساب التفاضل والتكامل بواسطة مايكل كورال ([شركة]) و ملاحظات على حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات بواسطة قايين وهيرودس ([CH]). يجب أن يشعر الطلاب بالحرية في الرجوع إلى الكتب الأخرى للحصول على تمارين إضافية و / أو عروض تقديمية بديلة للمادة. تحتوي ويكيبيديا أيضًا على الكثير من المقالات الرائعة حول الموضوعات المطروحة. من المتوقع أن يقرأ الطلاب الأقسام ذات الصلة من الملاحظات ، حيث أن المحاضرات تهدف إلى استكمال الملاحظات وليس استبدالها ، ولدينا الكثير من المواد لتغطيتها.

وضع العلامات: ستكون درجة واجبك المنزلي (hw) هي متوسط ​​جميع الواجبات المنزلية ، مع انخفاض أدنى مستوى. سيتم احتساب درجة امتحانك (الاختبارات) على أساس الحد الأقصى من المخططات الثلاثة التالية: (0.2) MT1 + (0.2) MT2 + (0.4) F (0.2) MT1 + (0.6) F (0.2) MT2 + (0.6) F. أخيرًا ، سيتم احتساب الدرجة الإجمالية الخاصة بك كحد أقصى: (0.2) hw + (0.8) من الاختبارات ، (0.3) hw + (0.7) من الاختبارات.

موقع إلكتروني: في الوقت الحالي ، الموقع الوحيد هو هذه الصفحة ، http://math.berkeley.edu/

dcorwin / mathh53s21.html. سأستخدم bcourses للحلول وغيرها من المعلومات غير العامة ، مثل مقتطفات من الكتب والامتحانات ورقم هاتفي.

  • سيتم تعيين الواجب المنزلي بانتظام (انظر المنهج الدراسي) ويكون موعده في تمام الساعة 11 مساءً في Gradescope. أمنح تمديدات في ظروف معقولة ، لكن يجب أن تتحدث معي أبكر وقت ممكن. كلما طال انتظاري ، سأكون أقل مرونة.
  • يمكنك العمل معًا لمعرفة مشاكل الواجبات المنزلية ، ولكن يجب عليك كتابة الحلول بكلماتك الخاصة من أجل الحصول على الائتمان. على وجه الخصوص ، يرجى عدم نسخ الإجابات من الإنترنت أو كتيبات الحلول. نظرًا لأن الغرض الرئيسي من الواجب المنزلي هو إعدادك للامتحانات ، فإنني أشجعك على إعطاء كل مشكلة لقطة صادقة بنفسك (على سبيل المثال ، ثلاثين دقيقة على الأقل) قبل مناقشتها مع الآخرين. من الممارسات المفيدة الأخرى أنك إذا واجهتك مشكلة ما ، فاحضر إلى ساعات العمل واطلب تلميحًا. كلما زادت معرفتك بمفردك ، كان فهمك أفضل للمادة ، وكان أداءك أفضل في الامتحانات وفي مساعيك المستقبلية التي قد تتطلب الجبر المجرد.
  • يمكنك الاستشهاد بأية نتائج من الملاحظات ، ما لم يُنص على خلاف ذلك.
  • تنطبق التوقعات والإجراءات المعتادة للنزاهة الأكاديمية في جامعة كاليفورنيا في بيركلي. سينتج عن الغش في الامتحان درجة رسوب وسيتم إبلاغ مكتب الجامعة لتسيير الطلاب. من فضلك لا تضعني من خلال هذا.
  • يرجى إعلامي عاجلاً وليس آجلاً إذا كنت بحاجة إلى أي وسائل راحة تتعلق ببرنامج الطلاب المعوقين (DSP). أنا أكثر من سعيد لاتخاذ الترتيبات ، ولكن من المفيد حقًا أن تخبرني في وقت مبكر وليس لاحقًا.
  • وفقًا لإرشادات الجامعة ، تقع على عاتقك مسؤولية إخطار المعلم كتابيًا بحلول نهاية الأسبوع الثاني من الفصول الدراسية (31 يناير) بأي تعارض في المواعيد بسبب الالتزام الديني أو الأنشطة اللامنهجية ، واقتراح حل لتلك التعارضات.

موارد إضافية (ستكون على Bcourses عند الحاجة):

  • حساب التفاضل والتكامل: التجاوزات المبكرة بواسطة جيمس ستيوارت ، يشار إليها [S]
  • حجم حساب التفاضل والتكامل II بواسطة Tom Apostol ، يُشار إليه ب [A]
  • div grad curl وكل ذلك بواسطة H. M. Schey ، يشار إليها بـ [dgcaat]
  • تكاملات الخط ونظرية جرين بقلم جيريمي أورلوف ، يشار إليه ب [س]

نظرة عامة على الدورة التدريبية: الموضح أدناه هو الجدول الزمني التقريبي للدورة. اعتمادًا على كيفية تقدم الفصل ، قد يخضع لتغييرات طفيفة على مدار الفصل الدراسي.


حول حساب حدود التكاملات (الجزء 1)

لنفترض أن $ a و x $ و $ y $ عبارة عن ثلاثة ثوابت عدد حقيقي و $ t $ متغير حقيقي. الآن حدد الرقم المركب ، $ z = -y + i (a + x-t) $ واعتبر جزءًا لا يتجزأ من النموذج $ int_^ z text <> tanh ( pi z) log (z ^ 2 + a ^ 2) dz $ لبعض الوظائف الحقيقية $ f $ و $ g $.

من الواضح أن $ dz = -i dt $ ومن ثم فهو جزء لا يتجزأ من $ t $. افترض أنه يضمن أن نطاق $ t $ الذي يتم فيه التكامل لا يصطدم بأي من أقطابها أو نقاط الفروع / التخفيضات الخاصة بالتكامل.

الآن ما أريده هو حساب $ lim_ [ int_^ z text <> tanh ( pi z) log (z ^ 2 + a ^ 2) dz] $

من الواضح أن هذا التكامل غير ممكن ، حيث يمكنني فقط إجراء التكامل ثم أخذ النهاية في النهاية.

أولاً إذا كان صحيحًا أن $ lim_ و (س ، ص) = ليم_ g (x، y) $ إذن هل يمكنني أن أستنتج فورًا أن القيمة المحددة للتكامل هي $ دون أي تحليل إضافي؟

هل يمكنني القول بتوسيع التكامل و $ z text <> tanh ( pi z) log (z ^ 2 + a ^ 2) $ في سلسلة Taylor في $ x $ و $ y $ ثم قم بالتكامل على المصطلح الثابت الذي تم الحصول عليه ثم أخذ الحد؟ (لأن أي حد في السلسلة بقوة غير صفرية $ x $ و / أو $ y $ سيتلاشى بوضوح في الحد النهائي)

هل يمكنني أيضًا أخذ حد $ x و y rightarrow 0 $ بشكل منفصل على حدود التكامل وبالتالي تجنب حساب التكامل الكامل مع $ f $ و $ g $ بالكامل؟

هل كان بإمكاني استبدال $ z = i (a-t) $ في التكامل من البداية نفسها؟


شاهد الفيديو: Integration Of Rational Functions1 تكامل الكسور الجزئية (شهر اكتوبر 2021).