مقالات

تمارين للأسطح الرباعية


للتمارين من 1 إلى 6 ، قم برسم ووصف السطح الأسطواني للمعادلة المعطاة.

1) [T] (x ^ 2 + z ^ 2 = 1 )

إجابه:

السطح عبارة عن أسطوانة بأحكام موازية لـ ذ-محور.

2) [T] (س ^ 2 + ص ^ 2 = 9 )

3) [T] (z = cos ( frac {π} {2} + x) )

إجابه:

السطح عبارة عن أسطوانة لها أحكام موازية لـ ذ-محور.

4) [T] (z = e ^ x )

5) [T] (z = 9 − y ^ 2 )

إجابه:

السطح عبارة عن أسطوانة لها أحكام موازية لـ x-محور.

6) [T] (z = ln (x) )

في التدريبات من 7 إلى 10 ، يتم إعطاء الرسم البياني لسطح تربيعي.

أ. حدد اسم السطح التربيعي.

ب. حدد محور تناظر السطح التربيعي.

7)

إجابه:
أ. اسطوانة. ب. المحور (س )

8)

9)

إجابه:
أ. زائدي من ورقتين ؛ ب. المحور (س )

10)

للتمارين 11 - 16 ، طابق السطح التربيعي المحدد مع المعادلة المقابلة له في الشكل القياسي.

أ. ( frac {x ^ 2} {4} + frac {y ^ 2} {9} - frac {z ^ 2} {12} = 1 )

ب. ( frac {x ^ 2} {4} - frac {y ^ 2} {9} - frac {z ^ 2} {12} = 1 )

ج. ( frac {x ^ 2} {4} + frac {y ^ 2} {9} + frac {z ^ 2} {12} = 1 )

د. (ض ^ 2 = 4x ^ 2 + 3y ^ 2 )

ه. (ض = 4x ^ 2 − ص ^ 2 )

F. (4x ^ 2 + y ^ 2 − z ^ 2 = 0 )

11) شكل زائد من ورقتين

إجابه:
ب.

12) الإليبسويد

13) مكافئ إهليلجي

إجابه:
د.

14) القطع المكافئ الزائدي

15) زائدي من ورقة واحدة

إجابه:
أ.

16) مخروط بيضاوي الشكل

للتمارين من 17 إلى 28 ، أعد كتابة المعادلة المعطاة للسطح التربيعي بالشكل القياسي. حدد السطح.

17) (−x ^ 2 + 36y ^ 2 + 36z ^ 2 = 9 )

إجابه:
(- frac {x ^ 2} {9} + frac {y ^ 2} { frac {1} {4}} + frac {z ^ 2} { frac {1} {4}} = 1 ، ) شكل زائد من ورقة واحدة مع محور (س ) - كمحور تناظر

18) (−4x ^ 2 + 25y ^ 2 + z ^ 2 = 100 )

19) (−3x ^ 2 + 5y ^ 2 − z ^ 2 = 10 )

إجابه:
(- frac {x ^ 2} { frac {10} {3}} + frac {y ^ 2} {2} - frac {z ^ 2} {10} = 1، ) hyperboloid لاثنين أوراق بها محور (ص ) - كمحور التناظر

20) (3x ^ 2 − y ^ 2−6z ^ 2 = 18 )

21) (5y = x ^ 2 − z ^ 2 )

إجابه:
(y = - frac {z ^ 2} {5} + frac {x ^ 2} {5}، ) القطع المكافئ مع محور (y ) - كمحور التناظر

22) (8x ^ 2−5y ^ 2−10z = 0 )

23) (س ^ 2 + 5y ^ 2 + 3z ^ 2−15 = 0 )

إجابه:
( frac {x ^ 2} {15} + frac {y ^ 2} {3} + frac {z ^ 2} {5} = 1، ) ellipsoid

24) (63x ^ 2 + 7y ^ 2 + 9z ^ 2−63 = 0 )

25) (س ^ 2 + 5y ^ 2−8z ^ 2 = 0 )

إجابه:
( frac {x ^ 2} {40} + frac {y ^ 2} {8} - frac {z ^ 2} {5} = 0، ) مخروط ناقص مع المحور (z ) - كمحور التناظر

26) (5x ^ 2−4y ^ 2 + 20z ^ 2 = 0 )

27) (6x = 3y ^ 2 + 2z ^ 2 )

إجابه:
(x = frac {y ^ 2} {2} + frac {z ^ 2} {3}، ) مكافئ بيضاوي مع محور (x ) - كمحور التناظر

28) (49y = x ^ 2 + 7z ^ 2 )

بالنسبة للتمرينات 29 - 34 ، ابحث عن أثر السطح التربيعي المحدد في مستوى الإحداثيات المحدد وقم برسمه.

29) [T] (x ^ 2 + z ^ 2 + 4y = 0، z = 0 )

إجابه:

القطع المكافئ (y = - frac {x ^ 2} {4}، )

30) [T] (x ^ 2 + z ^ 2 + 4y = 0 ، quad x = 0 )

31) [T] (−4x ^ 2 + 25y ^ 2 + z ^ 2 = 100 ، quad x = 0 )

إجابه:

القطع الناقص ( frac {y ^ 2} {4} + frac {z ^ 2} {100} = 1، )

32) [T] (−4x ^ 2 + 25y ^ 2 + z ^ 2 = 100 ، quad y = 0 )

33) [T] (x ^ 2 + frac {y ^ 2} {4} + frac {z ^ 2} {100} = 1، quad x = 0 )

إجابه:

القطع الناقص ( frac {y ^ 2} {4} + frac {z ^ 2} {100} = 1، )

34) [T] (x ^ 2 − y − z ^ 2 = 1، quad y = 0 )

35) استخدم الرسم البياني للسطح التربيعي المحدد للإجابة على الأسئلة.

أ. حدد اسم السطح التربيعي.

ب. أي من المعادلات - (16x ^ 2 + 9y ^ 2 + 36z ^ 2 = 3600،9x ^ 2 + 36y ^ 2 + 16z ^ 2 = 3600 ، ) أو (36x ^ 2 + 9y ^ 2 + 16z ^ 2 = 3600 ) - يتوافق مع الرسم البياني؟

ج. استخدم ب. لكتابة معادلة السطح التربيعي في الشكل القياسي.

إجابه:
أ. بيضاوي
ب. المعادلة الثالثة
ج. ( frac {x ^ 2} {100} + frac {y ^ 2} {400} + frac {z ^ 2} {225} = 1 )

36) استخدم الرسم البياني للسطح التربيعي المحدد للإجابة على الأسئلة.

أ. أي من المعادلات - (36z = 9x ^ 2 + y ^ 2،9x ^ 2 + 4y ^ 2 = 36z ) ، أو (−36z = −81x ^ 2 + 4y ^ 2 ) - يتوافق مع الرسم البياني في الاعلى؟

ج. لكتابة معادلة السطح التربيعي في الشكل القياسي.

بالنسبة للتدريبات 37 - 42 ، يتم إعطاء معادلة السطح التربيعي.

أ. استخدم طريقة إكمال المربع لكتابة المعادلة بالصيغة القياسية.

ب. حدد السطح.

37) (x ^ 2 + 2z ^ 2 + 6x − 8z + 1 = 0 )

إجابه:
أ. ( frac {(x + 3) ^ 2} {16} + frac {(z − 2) ^ 2} {8} = 1 )
ب. تمركز الأسطوانة عند ((−3،2) ) بأحكام موازية لمحور (ص )

38) (4x ^ 2 − y ^ 2 + z ^ 2−8x + 2y + 2z + 3 = 0 )

39) (x ^ 2 + 4y ^ 2−4z ^ 2−6x − 16y − 16z + 5 = 0 )

إجابه:
أ. ( frac {(x − 3) ^ 2} {4} + (y − 2) ^ 2− (z + 2) ^ 2 = 1 )
ب. زائدي من ورقة واحدة متمركزة في ((3،2 ، −2) ، ) مع محور (ض ) - كمحور التناظر

40) (س ^ 2 + ض ^ 2−4 ص + 4 = 0 )

41) (x ^ 2 + frac {y ^ 2} {4} - frac {z ^ 2} {3} + 6x + 9 = 0 )

إجابه:
أ. ((x + 3) ^ 2 + frac {y ^ 2} {4} - frac {z ^ 2} {3} = 0 )
ب. مخروط إهليلجي متمركز في ((−3،0،0) ، ) مع محور (z ) - كمحور التناظر

42) (x ^ 2 − y ^ 2 + z ^ 2−12z + 2x + 37 = 0 )

43) اكتب الصيغة القياسية لمعادلة الشكل البيضاوي المتمركز في الأصل الذي يمر عبر النقاط (A (2،0،0)، B (0،0،1)، ) و (C (12، ) sqrt {11}، frac {1} {2}). )

إجابه:
( frac {x ^ 2} {4} + frac {y ^ 2} {16} + z ^ 2 = 1 )

44) اكتب الصيغة القياسية لمعادلة الشكل البيضاوي المتمركز عند النقطة (P (1،1،0) ) التي تمر عبر النقاط (A (6،1،0)، B (4،2،0) ) و (ج (1،2،1) ).

45) حدد نقاط تقاطع المخروط البيضاوي (x ^ 2 − y ^ 2 − z ^ 2 = 0 ) مع خط المعادلات المتماثلة ( frac {x − 1} {2} = frac {y + 1} {3} = z. )

إجابه:
((1، −1،0) ) و (( frac {13} {3}، 4، frac {5} {3}) )

46) حدد نقاط تقاطع القطع المكافئ للقطع الزائد (z = 3x ^ 2y2y ^ 2 ) مع خط المعادلات البارامترية (x = 3t ، y = 2t ، z = 19t ) ، حيث (t∈R . )

47) أوجد معادلة السطح التربيعي بالنقاط (P (x، y، z) ) التي تقع على مسافة متساوية من النقطة (Q (0، −1،0) ) ومستوى المعادلة (y = 1 . ) تحديد السطح.

إجابه:
(x ^ 2 + z ^ 2 + 4y = 0، ) مكافئ بيضاوي الشكل

48) أوجد معادلة السطح التربيعي بالنقاط (P (x، y، z) ) التي تقع على مسافة متساوية من النقطة (Q (0،2،0) ) ومستوى المعادلة (y = −2 . ) تحديد السطح.

49) إذا تم وصف سطح العاكس المكافئ بالمعادلة (400z = x ^ 2 + y ^ 2، ) ، ابحث عن النقطة المحورية للعاكس.

إجابه:
( (0,0,100))

50) ضع في اعتبارك العاكس المكافئ الموصوف في المعادلة (z = 20x ^ 2 + 20y ^ 2. ) ابحث عن نقطة الاتصال الخاصة به.

51) أظهر أن السطح التربيعي (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + 2xy + 2xz + 2yz + x + y + z = 0 ) يتقلص إلى مستويين متوازيين.

52) أظهر أن السطح التربيعي (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2−2xy − 2xz + 2yz − 1 = 0 ) ينخفض ​​إلى مستويين متوازيين.

53) [T] التقاطع بين الأسطوانة ((x − 1) ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) والكرة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 ) يسمى أ منحنى فيفياني.

أ. حل نظام معادلات الأسطح لإيجاد معادلة منحنى التقاطع. (تلميح: ابحث عن (س ) و (ص ) بدلالة (ض ).)

ب. استخدم نظام الجبر الحاسوبي (CAS) أو CalcPlot3D لتصور منحنى التقاطع على الكرة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 ).

إجابه:

أ. (x = 2− frac {z ^ 2} {2}، y = ± frac {z} {2} sqrt {4 − z ^ 2}، ) حيث (z∈ [−2،2 ] ؛ )

ب.

54) شكل زائد من ورقة واحدة (25x ^ 2 + 25y ^ 2 − z ^ 2 = 25 ) ومخروط بيضاوي (−25x ^ 2 + 75y ^ 2 + z ^ 2 = 0 ) ممثلة في الشكل التالي مع منحنيات التقاطع الخاصة بهم. حدد منحنيات التقاطع وابحث عن معادلاتها (تلميح: أوجد y من النظام الذي يتكون من معادلات الأسطح.)

55) [T] استخدم CAS أو CalcPlot3D لإنشاء التقاطع بين الأسطوانة (9x ^ 2 + 4y ^ 2 = 18 ) و ellipsoid (36x ^ 2 + 16y ^ 2 + 9z ^ 2 = 144 ) ، و أوجد معادلات منحنيات التقاطع.

إجابه:

علامتا حذف من المعادلات ( frac {x ^ 2} {2} + frac {y ^ 2} { frac {9} {2}} = 1 ) في المستويات (z = ± 2 sqrt {2 } )

56) [T] الشكل الكروي هو شكل بيضاوي ذو نصفين متساويين. على سبيل المثال ، يتم إعطاء معادلة شكل كروي مع المحور z كمحور تناظره بواسطة ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {a ^ 2} + frac {z ^ 2} {c ^ 2} = 1 ) ، حيث (a ) و (c ) أرقام حقيقية موجبة. يسمى الشكل الكروي مضطرب إذا (ج <أ ) ، ويمتد من أجل (ج> أ ).

أ. يتم تقريب قرنية العين على أنها كروية متدلية ذات محور هو العين ، حيث (a = 8.7mm ) و (c = 9.6mm ). اكتب معادلة الكرة الكروية التي تشكل القرنية ورسم السطح .

ب. أعط مثالين لأجسام ذات أشكال كروية متداخلة.

57) [T] في رسم الخرائط ، يتم تقريب الأرض بواسطة كروي مفلطح بدلاً من كرة. يبلغ نصف القطر عند خط الاستواء والقطبين تقريبًا (3963 ) ميل و (3950 ) ميل على التوالي.

أ. اكتب المعادلة في الشكل القياسي للقطع الناقص الذي يمثل شكل الأرض. افترض أن مركز الأرض في الأصل وأن التتبع المتشكل بالطائرة (z = 0 ) يتوافق مع خط الاستواء.

ب. ارسم الرسم البياني.

ج. أوجد معادلة منحنى تقاطع السطح مع المستوى (z = 1000 ) الذي يوازي xy-طائرة. يسمى منحنى التقاطع أ موازى.

د. أوجد معادلة منحنى تقاطع السطح مع المستوى (x + y = 0 ) الذي يمر عبر ض-محور. يسمى منحنى التقاطع خط الزوال.

إجابه:

أ. ( frac {x ^ 2} {3963 ^ 2} + frac {y ^ 2} {3963 ^ 2} + frac {z ^ 2} {3950 ^ 2} = 1 )

ب.

ج. منحنى التقاطع هو القطع الناقص للمعادلة ( frac {x ^ 2} {3963 ^ 2} + frac {y ^ 2} {3963 ^ 2} = frac {(2950) (4950)} {3950 ^ 2 } ) ، والتقاطع عبارة عن قطع ناقص.
د. منحنى التقاطع هو القطع الناقص للمعادلة ( frac {2y ^ 2} {3963 ^ 2} + frac {z ^ 2} {3950 ^ 2} = 1. )

58) [T] مجموعة من المغناطيسات المثيرة (أو "بيض أفعى الجرسية") تشتمل على مغناطيسين متلألئين ، مصقولين ، فائق القوة على شكل كروي معروفين بترفيه الأطفال. كل مغناطيس طوله (1.625 ) بوصة وعرضه (0.5 ) بوصة في المنتصف. أثناء رميهم في الهواء ، يصدرون صوتًا طنينًا أثناء جذبهم لبعضهم البعض.

أ. اكتب معادلة الشكل الكروى البروليتى المتمركز عند نقطة الأصل التى تصف شكل أحد المغناطيسات.

ب. اكتب معادلات الأجسام الشبه الكروية البروليتية التي تمثل شكل المغناطيسات المثيرة. استخدم CAS أو CalcPlot3D لإنشاء الرسوم البيانية.

59) [T] السطح على شكل قلب يتم الحصول عليه من خلال المعادلة ((x ^ 2 + frac {9} {4} y ^ 2 + z ^ 2−1) ^ 3 − x ^ 2z ^ 3− frac {9} {80} ص ^ 2z ^ 3 = 0. )

أ. استخدم CAS أو CalcPlot3D لرسم بياني للسطح الذي يمثل هذا الشكل.

ب. تحديد ورسم أثر السطح على شكل قلب على xz-طائرة.

إجابه:

أ.

ب. منحنى التقاطع هو ((x ^ 2 + z ^ 2−1) ^ 3 − x ^ 2z ^ 3 = 0. )

60) [T] الحلقة المتماثلة حول المحور z هي نوع خاص من السطح في الطوبولوجيا وتعطى معادلته بواسطة ((x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + R ^ 2 − r ^ 2 ) ^ 2 = 4R ^ 2 (x ^ 2 + y ^ 2) ) ، حيث (R> r> 0 ). الأرقام (R ) و (r ) تسمى نصف القطر الرئيسي والثانوي ، على التوالي ، من السطح. يوضح الشكل التالي حلقة دائرية من أجلها (R = 2 ) و (r = 1 ).

أ. اكتب معادلة الحلقة الحلقية باستخدام (R = 2 ) و (r = 1 ) ، واستخدم CAS أو CalcPlot3D لرسم بياني للسطح. قارن الرسم البياني بالشكل المعطى.

ب. تحديد المعادلة ورسم تتبع الحلقة الحلقية من أ. على الطائرة xy.

ج. أعط مثالين لأجسام ذات أشكال حلقية دائرية.

المساهمون

جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.

تمارين و LaTeX من تحرير بول سيبرغر


حلول NCERT للفئة 10 الرياضيات & # 8217s & # 8211 المعادلات التربيعية

حلول NCERT للصف 10 الرياضيات الفصل 4: الخطوة الأولى نحو التحضير لامتحان المجلس هي حل أسئلة تمارين الكتاب المدرسي NCERT. وهكذا ، يبحث الطلاب عن حلول NCERT للرياضيات للصف 10 يمكن أن تمر أسئلة تمرين الفصل 4 (المعادلات التربيعية) في هذه المقالة. تتضمن حلول NCERT للرياضيات للصف 10 الفصل 4 التمرين 4.1 ، والتمرين 4.2 ، والتمرين 4.3 ، والتمرين 4.4 والتمرين 4.5. لقد قدمنا ​​لك حلول NCERT Class 10 Chapter 4 في PDF بحيث يمكنك الرجوع إليها حلول NCERT حاليا كذلك. علاوة على ذلك ، يمكن للطلاب أيضًا تنزيل حلول NCERT للفصل 10 الرياضيات الفصل 4 بتنسيق PDF. تابع القراءة للحصول على حلول تمارين الرياضيات للفصل 10 من NCERT للفصل 4 & # 8211 المعادلات التربيعية.


قائمة أوراق عمل المعادلة التربيعية

توجه بطلابك من خلال هذه المجموعة المتنوعة من أوراق عمل pdf! تعرف عليهم بإيجاد مجموع ومنتج جذور معادلة تربيعية معينة. جهزهم لاستخدام هذا المجموع والمنتج لتشكيل المعادلة التربيعية وتحديد المعاملات المفقودة أو الثابت فيها.

تحتوي هذه المجموعة من تمارين pdf لطلاب المدارس الثانوية على بعض الممارسات الغزيرة في حل المعادلات التربيعية عن طريق التحليل. حلل إلى عوامل وحل الجذور الحقيقية أو المعقدة للمعادلات التربيعية ذات المعاملات الصحيحة والكسرية والجذرية.

حافظ على طلاب المدارس الثانوية مع تطبيق خاصية الجذر التربيعي في حل المعادلات التربيعية البحتة ، مع تجميع أوراق العمل القابلة للطباعة. افصل حد x 2 في أحد طرفي المعادلة والحد الثابت في الطرف الآخر ، وحل من أجل x بأخذ الجذور التربيعية.

أكمل مربع المعادلة التربيعية الآتية وحل من أجل الجذور. ارفع المستوى من خلال العمل مع المعادلات التي تتضمن معاملات جذرية ، وكسرية ، وعدد صحيح ، وعشري.

قم بتمييز جميع الحقائق الأساسية حول تمييز مع هذه المجموعة من أوراق عمل المدرسة الثانوية. أوجد المميز بإيجاد التعبير ب 2 - 4 أ حيث أن أ هو معامل س 2 ، ب هو معامل س ، وج الحد الثابت في معادلة تربيعية.

هل يمكنك معرفة ما إذا كانت جذور المعادلة التربيعية متساوية أم غير متساوية دون حلها؟ خذ جولة سريعة في هذه المجموعة من نشرات الجذور القابلة للطباعة! توقع ما إذا كانت الجذور متساوية أو غير متساوية وأيضًا إذا كانت حقيقية أو معقدة.

سواء كان الأمر يتعلق بإيجاد المتوسط ​​أو المنطقة أو معرفة المنحدر أو أي حساب رياضي آخر ، فإن الصيغ مهمة بلا شك! عزز قدرتك على استخدام الصيغة التربيعية وابحث عن حلول لمعادلة تربيعية باستخدام هذه المجموعة من موارد التدريب!

إلقاء نظرة على مجموعة متنوعة من أمثلة الحياة الواقعية حيث تثبت المعادلات التربيعية أن لها دورًا مهمًا تلعبه! اقرأ كل مشكلة كلامية بعناية ، وقم بتكوين المعادلة بالبيانات المقدمة ، وحلها من أجل المجهول.


تمارين للأسطح الرباعية

1 مخروط مع أقسام

4 القطع المكافئ الزائدي

5 القطع الزائد البيضاوي 1

6 القطع الزائد البيضاوي 2

7 اسطوانة بيضاوية

8 اسطوانة دائرية

9 اسطوانة مكافئ

10 اسطوانة زائدية

11 مخروط دائري

12 قطع زائد دائري

13 مكافئ إهليلجي

14 إهليلجي مع أقسام

السطح التربيعي (أو التربيعي) هو سطح في ثلاثة فضاء محدد بمعادلة الدرجة الثانية. وبالتالي فهو التناظرية ثلاثية الأبعاد للقسم المخروطي ، وهو منحنى في فضاءين محدد بمعادلة الدرجة الثانية. يجب أن تكون المقاطع العرضية المستوية للسطح التربيعي مقاطع مخروطية ، وتشير أسماء الأسطح التربيعية إلى الأنواع المختلفة للمقاطع العرضية المستوية التي تمتلكها. تظهر النماذج في هذه المجموعة الأنواع المختلفة.

يتم الحصول على أسطح الدوران من خلال تدوير مقطع مخروطي حول أحد محاوره. يُطلق على سطح الدوران الذي تم الحصول عليه من القطع الناقص الشكل الإهليلجي ، ويسمى السطح المتحصل عليه من القطع المكافئ بالمكافئ. يؤدي القطع الزائد إلى ظهور أسطح مختلفة للثورة ، اعتمادًا على ما إذا كان يدور حول المحور المقترن (الذي يمر بين فرعي القطع الزائد) أو المحور العرضي (الذي يتقاطع مع الفرعين). الأول يعطي شكل زائد من ورقتين ، والثاني يعطي شكل زائد من ورقة واحدة. سطوح الثورة لها مقاطع عرضية دائرية متعامدة مع محور الثورة. تحتوي الأسطح الأكثر عمومية على مقاطع عرضية بيضاوية أو زائدية: وبالتالي يحصل المرء على مكافئ بيضاوي وزائدي ، وأشكال زائدة بيضاوية لصفحة أو ورقتين.

تحدث الأسطح التربيعية المنحلة عندما تكون جميع المقاطع العرضية للمستوى عبر خط مستقيم معين مخروطية متدهورة: إما زوج من الخطوط المستقيمة المتوازية ، مما يؤدي إلى ظهور أسطوانة ، أو زوج من الخطوط المستقيمة المتقاطعة ، مما يؤدي إلى ظهور مخروط.


سطوح المستوى والأسطح التربيعية

تفاعل على سطح المكتب والجوال والسحابة باستخدام برنامج Wolfram Player المجاني أو منتجات Wolfram Language الأخرى.

لوظيفة من ثلاثة متغيرات ، , ، و ، مستوى سطح المستوى يتم تعريفه على أنه مجموعة النقاط في هذه حلول . السطح التربيعي أو التربيعي هو سطح يتم توفيره بواسطة معادلة متعددة الحدود من الدرجة الثانية في المتغيرات الثلاثة , ، و .

يترك , ، و تكون ثوابت غير صفرية. نحن نرسم الأسطح المستوية للوظائف التربيعية في ثلاثة متغيرات ، والتي تعطي بعض الأسطح التربيعية المعروفة:

&الماس يعطي الشكل الإهليلجي عندما ، هذه كرة تتمحور حول أصل نصف القطر .

&الماس أو تعطي اسطوانات بيضاوية مع محاور التناظر على طول المحور و المحور المقابل ل و .

&الماس يعطي مكافئ إهليلجي ، يفتح لأعلى أو لأسفل مثل أو .

&الماس و ، مع تعطي مخاريط بيضاوية. إلى عن على ، الأسطح المستوية عبارة عن أسطح زائدة من ورقة واحدة.

&الماس ( ) و ( ) تعطي hyperboloids من ورقتين.

بمساهمة: آنا مورا سانتوس وجو وأتيلديو بيدرو بارجانا (Instituto Superior T & eacutecnico) (مارس 2011)
افتح المحتوى المرخص بموجب CC BY-NC-SA


تمارين لمساعدة عرق النسا

معظم تمارين عرق النسا مخصصة لأسفل الظهر. استشر طبيبك قبل تجربة هذه التمارين التي يمكنك القيام بها في المنزل:

تمرين الركبة إلى الصدر

يستهدف هذا التمدد البسيط أسفل الأرداف ومنطقة الفخذ العليا.

  • الخطوة 1: استلقِ على ظهرك مع ثني ساقيك وقدميك مفرودتين على الأرض.
  • الخطوة 2: اجلب ركبة واحدة إلى الصدر مع إبقاء القدم الأخرى على الأرض.
  • الخطوة 3: استمر في الضغط على أسفل الظهر على الأرض ، واستمر لمدة تصل إلى 30 ثانية.
  • الخطوة 4: كرر على الجانب الآخر.

جرب من 2 إلى 4 مرات على كل جانب. لجعل التمرين أكثر صعوبة ، حافظ على ساق واحدة مستقيمة على الأرض مع رفع الأخرى إلى الصدر. يمكنك أيضًا إحضار كلتا الركبتين إلى الصدر.

تمدد أوتار الركبة

توخ الحذر عند القيام بهذا التمرين. تمسك بشيء إذا لزم الأمر ، ولا تفرط في التمدد.

  • الخطوة 1: قف بشكل مستقيم وضع قدم واحدة على سطح أعلى قليلاً ، مثل درجة السلم.
  • الخطوة 2: افرد الساق على الخطوة ووجه أصابع القدم لأعلى.
  • الخطوة 3: انحن قليلاً إلى الأمام مع الحفاظ على استقامة الظهر.
  • الخطوة 4: استمر لمدة 20 إلى 30 ثانية. تذكر أن تتنفس.
  • الخطوة 5: كرر مع الرجل الأخرى.

جرب من 2 إلى 3 مرات مع كل رجل.

تمرين إمالة الحوض

هذا تمرين آخر بسيط مخادع مفيد لعرق النسا.

  • الخطوة 1: استلق على ظهرك مع ثني ساقيك وذراعيك بجانبك.
  • الخطوة 2: شد عضلات بطنك ، واضغط على ظهرك على الأرض ، وقم بهز الوركين والحوض لأعلى قليلاً.
  • الخطوة 3: شغل هذا المنصب بينما تتخيل أن زر بطنك يلامس العمود الفقري. لا تنس أن تتنفس.
  • الخطوة 4: حرر بعد بضع ثوان. ثم كرر.

جرب 8 إلى 12 تكرارًا.

غلوت بريدجز

الألوية هي مجموعة من العضلات في الأرداف. إذا كانت ضيقة ، فيمكنها الضغط على العصب الوركي.

  • الخطوة 1: استلق على ظهرك على الأرض مع ثني الركبتين. يجب أن تكون القدمان متباعدتان بمقدار عرض الكتفين. أرخ ذراعيك على جانبيك.
  • الخطوة 2: ادفع من خلال الكعب ، ارفع وركيك حتى يشكل جسمك خطًا مستقيمًا من الركبتين إلى الكتفين.
  • الخطوة 3: شغل المنصب لبضع ثوان.
  • الخطوة 4: أنزل الوركين ببطء على الأرض. ثم كرر.

الشكل الجيد مهم لهذا التمرين. تجنب تقويس الظهر أو تدويره. جرب مجموعتين أو ثلاث مجموعات من 8 إلى 10 مرات.

تمدد الألوية العميقة الكاذبة

إذا كنت تفتقر إلى المرونة ، فقد تحتاج إلى تعديل هذا التمرين قليلاً.

  • الخطوة 1: استلق على ظهرك مع ثني الساقين. ارفع كاحلك الأيمن ، وضعه على ركبتك اليسرى.
  • الخطوة 2: باستخدام كلتا يديك ، اربط أصابعك خلف فخذك الأيسر واسحبها برفق نحوك ، مع إبقاء رأسك وظهرك على الأرض.
  • الخطوة 3: استمر لمدة 20 إلى 30 ثانية.
  • الخطوة 4: كرر مع الرجل الأخرى.

قد تحتاج إلى رفع رأسك قليلاً بكتاب أو وسادة صلبة تحتها. إذا لم تتمكن من الوصول إلى فخذك بسهولة ، يمكنك لف منشفة حول الفخذ واستخدامها لسحب فخذك نحوك. كرري التمرين مرتين إلى ثلاث مرات لكل ساق.


الاثنين:

  • لامع: مجموعات Picard ، تعريف وأمثلة بسيطة (P ^ 2 ، سطح رباعي في P ^ 3) ملاحظات (pdf)
  • فان لويك: القاسم المتعارف عليه على السطح الفائق للدرجة d في P ^ n وعلى التقاطعات الكاملة ملاحظات قواسم كثيرة (pdf)
  • تيستا: التصنيف وبرنامج النموذج الأدنى ملاحظات هودج الماسية (pdf)
  • تمارين 1 (pdf)

يوم الثلاثاء:

  • لامع: Riemann-Roch على الأسطح والجنس وفعالية (-1) -curves ، صيغة المرافقة
  • فان لويك: ملاحظات مجموعات Picard من سطوح del Pezzo (pdf)
  • تيستا: مشابك الجذر ومجموعات التشكل الآلي الخاصة بهم Segre-Manin لأسطح del Pezzo التي ألاحظها (pdf)
  • تمارين 2 (pdf)

الأربعاء:

  • تيستا: Segre-Manin لأسطح del Pezzo II
  • فان لويك: نمو النقاط العقلانية
  • لامع: أمثلة محسوبة صراحة لعرقلة Brauer-Manin من خلال ملاحظات المعاملة بالمثل التربيعية (pdf)

يوم الخميس:

  • تيستا: ملاحظات الجبر البسيطة المركزية ومجموعات Brauer (pdf)
  • لامع: إعادة صياغة الأمثلة السهلة للملاحظات التنويرية (pdf)
  • فان لويك: علم التعايش Galois الأول
  • التمارين 3 (pdf)

يوم الجمعة:

  • فان لويك Galois Cohomology II
  • برايت وتستا: كيف تجد الجبر من علم المجتمع جالوا؟ برنامج الصهارة

المتطلبات الأساسية. يُفترض بعض الإلمام بالهندسة الجبرية والحسابية الأساسية على مستوى الفصلين الأولين من كتاب سيلفرمان "حساب المنحنيات الإهليلجية".

قراءة أولية. قد يجد المشاركون أنه من المفيد العمل من خلال الفصول القليلة الأولى من "الفصول على الأسطح الجبرية" لمايلز ريد (متاح على الإنترنت). ستكون القراءة الأولية حول علم التعايش الجماعي مفيدة أيضًا ، والمرجع الجيد هو الفصل 2 من ملاحظات ميلن حول نظرية مجال الفصل.

التسجيل مغلق الآن

قد يتمكن المشاركون من الجامعات التي تنتمي إلى شبكة GTEM من الحصول على نفقات السفر والإقامة من GTEM ، يرجى الاتصال بالعالم المحلي المسؤول.


تمارين للأسطح الرباعية

مقياس التحسين. الوضع الافتراضي للهبوط المتدرج هو اختيار المقياس الذي يقلل الطاقة في اتجاه الحركة هذا. يتضمن هذا البحث الخطي على طول خط الحركة للحصول على الحد الأدنى من الطاقة. يقوم Evolver بالبحث عن طريق تقييم الطاقة للعديد من المقاييس ، ورفع المقياس أو خفضه حتى يصبح له ثلاثة مقاييس تكون الطاقة المتوسطة فيها أقل من الطاقة الخارجية. ثم يستخدم الاستقراء التربيعي للحصول على المقياس النهائي. يتم سرد خطوات تكرار واحد بالتفصيل هنا.

حد الحجم. من الممكن أن يذهب بحث السطر المذكور أعلاه بعيدًا في ظروف معينة ، لذلك هناك حد أعلى للمقياس ، والحد الافتراضي هو 1.0. يمكن تغيير ذلك باستخدام "scale_limit القيمة"عبارة في الجزء العلوي من ملف البيانات ، أو عن طريق تعيين متغير scale_limit في وقت التشغيل ، أو استجابةً للموجه الناتج عن الأمر" m ".

المقاييس المعقولة. عادة ما يتم الإشارة إلى مشكلة التطور بمقياس صغير ، مما يعني أن هناك بعض العوائق أمام التطور. بالطبع ، هذا يعني أنه يجب عليك معرفة المقياس المعقول ، وهذا يعتمد على نوع الطاقة التي تستخدمها ومدى صقل سطحك. في التطور الطبيعي ، يتم تحديد حجم المقياس من خلال تطور خشونة صغيرة الحجم في السطح. بالاقتران مع القليل من التحليل البعدي ، يؤدي ذلك إلى استنتاج مفاده أن المقياس يجب أن يختلف كـ L 2-q ، حيث L هو طول الحافة النموذجي ووحدات الطاقة هي الطول q. يذهب تحليل الأبعاد على النحو التالي: لنفترض أن D هو اضطراب رأس واحد بعيدًا عن سطح التوازن. بشكل عام ، الطاقة تربيعية حول التوازن ، لذلك

لذا فإن المقياس بترتيب L 2-q. بعض الأمثلة: الاعتماد على الأبعاد للمقياس
طاقةبعد الطاقة مقياسملف مثال
منطقة صابون م 2 L 0 رباعي
طول الخيط م 1 م 1 زهرة
الانحناء التربيعي للخيط م -1 م 3 مرن 8.fe
التربيع يعني انحناء الرقيقة الصابونية L 0 م 2 sqcube.fe
على وجه الخصوص ، مقياس تطور المنطقة مستقل عن الصقل ، ولكن بالنسبة لمعظم الطاقات الأخرى ، يتناقص المقياس مع الصقل.

التأثير الشائع الآخر على مقياس تطور المنطقة هو التوتر السطحي. إجراء محاكاة اللحام السائل في نظام الوحدات حيث يتم تعيين التوتر السطحي للأوجه بقيمة 470 ، على سبيل المثال ، يعني أن جميع التدرجات المحسوبة يتم ضربها في 470 ، وبالتالي ينخفض ​​المقياس بمعامل 470 للحصول على نفس الحركة الهندسية. لذلك يجب عليك ضبط scale_limit ليكون معكوس التوتر السطحي.

مقياس ثابت. قد يكون من المفيد التكرار بمقياس ثابت. على سبيل المثال ، إذا قمت بإجراء تغيير على حجم الجسم وأردت أن يسري هذا التعديل دون تعقيد محاولة تقليل الطاقة في نفس الوقت ، فقم بالتكرار مرة واحدة بمقياس صفري. على سبيل المثال ، إذا قمت بتشغيل cube.fe وهل سترى ضبط حجم خالص. يبدل الأمر "m" ذهابًا وإيابًا بين التحسين والمقياس الثابت ، إلا عندما تتبعه برقم ، فإنه يحدد مقياسًا ثابتًا.

استخدام آخر للمقياس الثابت هو محاكاة نمو الحبوب. هنا يتم تعريف حركة حدود الحبيبات على أنها سرعة تتناسب مع متوسط ​​انحناءها ، لذا فأنت تريد الحفاظ على المقياس صغيرًا بدرجة كافية بحيث يكون التقريب الخطي للحركة جيدًا بشكل معقول.

التقارب. من المستحيل بشكل عام معرفة متى يكون الانحدار قريبًا من التقارب. يمكن أن تكون الأسطح بعيدة بشكل تعسفي عن الحد الأدنى ، وتتحرك نحوها ببطء تعسفي. على سبيل المثال ، قم بتشغيل ملف البيانات capillary3.fe. هذا أنبوب مضغوط قليلاً مع صابون عبره. يأتي الحد الأدنى من الطاقة عندما يكون الفيلم في منتصف العنق بالضبط. جرب هذا التطور: ليس في العنق بعد. جرب المزيد من خطوات g. تعرف على العدد الذي تحتاجه للتقارب مع الحد الأدنى من الطاقة وهو 3.13262861328124 إلى 8 منازل عشرية على سبيل المثال.

مشكلة أخرى يمكن أن تكون نقاط السرج. إذا بدأت بسطح متماثل ، فيجب أن يظل السطح متماثلًا تحت التكرار "g". إذا كان للسطح نقطة سرج متماثلة ، فيمكن للتكرار الاقتراب منه ويبدو أنه كان يتقارب إلى الحد الأدنى.

المترافقة التدرج

في الممارسة العملية ، تتذكر طريقة التدرج المترافق "متجه التاريخ" التراكمي ، والذي يتم دمجه مع التدرج اللوني العادي لمعرفة اتجاه التدرج المترافق. والنتيجة هي أن التدرج المترافق يمكن أن يتقارب بشكل أسرع من التدرج اللوني العادي. في الحالة المثالية لدالة الطاقة التربيعية في متغيرات N والدقة العددية المثالية ، سيصل التدرج المترافق إلى الحد الأدنى الدقيق ضمن خطوات N.

يمكن تبديل التدرج اللوني المقترن بأمر U ، أو باستخدام conj_grad toggle. يجب استخدامه دائمًا مع مقياس التحسين.

لرؤية التحسن الهائل الذي يمكن أن ينتج عن التدرج المترافق ، قم بتشغيل capillary3.fe مرة أخرى ، مع هذا التطور: يمكن أن يتسبب التدرج اللوني المقترن في مشكلة ، خاصةً عند استخدامه مبكرًا جدًا عندما يقوم السطح بإجراء تعديلات كبيرة. لمشاهدة مثال ، قم بتشغيل capillary3.fe مع هذا التطور: وألق نظرة فاحصة على الفيلم في المركز.

باختصار ، يجب على المرء أن يدير بضع خطوات من نزول التدرج العادي في بداية تطور السطح أو بعد إجراء تغييرات كبيرة ، ولكن يجب أن يتم الجزء الأكبر من التكرار في وضع التدرج المترافق.

ملاحظات: تم تصميم طريقة التدرج المترافق لوظائف الطاقة التربيعية. طالما أن دالة الطاقة تربيعية تقريبًا ، حيث يجب أن تكون قريبة من الحد الأدنى للطاقة ، فإن التدرج المترافق يعمل جيدًا. وإلا فقد يسيء التصرف ، إما باتخاذ خطوات كبيرة جدًا أو بالتوقف. يرجع كلا التأثيرين إلى أن ناقل التاريخ مضلل. لمنع الخطوات الكبيرة جدًا ، يجب على المرء أن يتكرر بدون تدرج مترافق لبضع خطوات كلما تم إجراء تغييرات كبيرة على السطح (صقل ، تغيير قيد ، إلخ). من ناحية أخرى ، إذا بدا أن التدرج المترافق يتقارب ، فقد يكون مرتبكًا ببساطة بسبب تاريخه. انظر مثال catenoid للحصول على حالة في هذه النقطة. إشارة الخطر هي عامل المقياس الذي يذهب إلى الصفر. إذا كنت مريبًا ، فبدِّل التدرج المترافق بين إيقاف تشغيله وتشغيله ("يو 2"بشكل جيد) لمحو ناقل التاريخ والبدء من جديد.


تمارين للأسطح الرباعية

أحدث إصدار من برنامجك هائل. إلى جانب واجهة المستخدم الرسومية ، أحببت بشكل خاص "المعالجات" التي تجعل إدخال مشاكل النوع الهندسي أسهل بكثير. لم أستخدم الميزات الأكثر تقدمًا حتى الآن (العمليات الوظيفية وما إلى ذلك) ، ولكن سيصبح هذا مفيدًا بمجرد أن أصل إلى College Algebra.
كانديس روزنبرغر ، فاتو

في البداية ، كان لدي انطباع بأن برنامجك كان يستهدف المرحلتين الابتدائية والثانوية ، لذلك لم أستخدمه على الإطلاق. أخيرًا ، ذات ليلة جربتها في نزوة ، وبعد تجاوز منحنى التعلم الأولي ، تفاجأت بمدى تقدمه حقًا! أعني ، سأستخدم طوال الطريق من خلال درجة البكالوريوس في الأنثروبولوجيا!
أنتوني واشنطن ، ميزوري

كان Algebrator مفيدًا للغاية ، فقد ساعدني على العودة إلى المسار الصحيح واستعادة مهاراتي لموسمي الدراسي القادم. يعرض البرنامج الحلول خطوة بخطوة التي جعلت التعلم أسهل. أعتقد أن هذا سيكون مفيدًا جدًا لأي شخص بدأ للتو في تعلم الجبر ، أو حتى لو كانوا يعرفون ذلك بالفعل ، فسيصقل مهاراتهم.
كين إدواردز ، واشنطن

أنا أعتبر هذا البرنامج كبديل لمعلم الجبر البشري. هذا أيضًا بسعر مناسب جدًا.
دانيال سوان ، IA

كان Algebrator أقل تكلفة بكثير من معلمي الجبر التقليديين ، وسمح لي بالعمل على وتيرتي مع كل مشكلة. إذا لم يكن ذلك من أجل Algebrator ، فأنا أخشى أن أكون قد رسبت في صفي Algebra. كنت منقذا للحياة!
فرانكلين برادلي ، أ


MathHelp.com

أول شيء سأفعله هنا هو الضرب في الجانب الأيسر ، وبعد ذلك سأحرك 4 من الجانب الأيمن إلى الجانب الأيسر:

نظرًا لعدم وجود عوامل لـ (1) (& ndash4) = & ndash4 تضيف ما يصل إلى & ndash2 ، فإن هذه المعادلة التربيعية لا تؤثر. (بعبارة أخرى ، لا توجد طريقة ممكنة لحل العوملة الزائفة لـ & quot x = 4, x & ndash 2 = 4 & quot يمكن أن تكون صحيحة قليلاً.)

لذا لن تنجح عملية التحليل ، لكن يمكنني استخدام الصيغة التربيعية في هذه الحالة ، وسأعوض القيم أ = 1, ب = & ndash2 و ج = & ndash4:

x = & ndash1.24 ، x = 3.24 ، مقربًا لأقرب منزلتين عشريتين.

كمرجع ، إليك ما هو الرسم البياني للمخطط التربيعي المرتبط ، ذ = x 2 و - 2x & ndash 4 ، يشبه:

كما ترى ، تتطابق الحلول من الصيغة التربيعية مع x - اعتراضات. المواقع التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع x - يعطي المحور القيم التي تحل المعادلة الأصلية.

هناك ارتباط آخر بين الحلول من الصيغة التربيعية والرسم البياني للقطع المكافئ: يمكنك معرفة عدد الحلول x - تعترضات ستحصل عليها من القيمة الموجودة داخل الجذر التربيعي. وسيطة الجذر التربيعي (أي المحتويات) هي التعبير ب 2 و - 4أ ، يسمى & quotdiscriminant & quot لأنه باستخدام قيمته ، يمكنك "التمييز" بين أنواع الحلول المختلفة (أي أن تكون قادرًا على التمييز بين).

في هذه الحالة ، قيمة المميز ب 2 و - 4أ كان 20 على وجه الخصوص ، كانت القيمة ليس صفر وكان ليس نفي. نظرًا لأن القيمة لم تكن سالبة ، كان من المفترض أن يكون للمعادلة حل واحد على الأقل (حقيقي القيمة) لأن القيمة لم تكن صفرية ، وكان الحلان مختلفان (أي أنهما سيكونان مختلفين عن بعضهما البعض ).

حل 9x 2 + 12x + 4 = 0. اترك إجابتك في شكلها الصحيح.

استخدام أ = 9, ب = 12 و ج = 4 ، تعطيني الصيغة التربيعية:

في المثال الأول في هذه الصفحة ، حصلت على حلين لأن قيمة المميز (أي القيمة داخل الجذر التربيعي) كانت موجبة وغير صفرية. نتيجة لذلك ، أعطاني جزء & quotplus-ناقص & quot من الصيغة قيمتين مختلفتين إحداهما للجزء & quotplus & quot من البسط والأخرى للجزء & quotminus & quot. ومع ذلك ، في هذه الحالة ، تم تقليل الجذر التربيعي إلى صفر ، لذلك لم يتم احتساب موجب ناقص لأي شيء.

هذا النوع من الحلول ، حيث تحصل على قيمة واحدة فقط لأن & quotplus أو ناقص صفر & quot لم يغير أي شيء ، يسمى & quotrepeated & quot root ، لأنه x تساوي ، لكنها تساوي هذه القيمة مرتين: و.

يمكنك رؤية هذا التكرار بشكل أفضل إذا عاملت المعادلة التربيعية (ولأن الحلول كانت كسورًا أنيقة وجميلة ، فإن التربيعية يجب العامل): 9x 2 + 12x + 4 = (3x + 2)(3x + 2) = 0 ، لذا فإن العامل الأول يعطينا 3x + 2 = 0 لذا و (من العامل الثاني المتطابق) 3x + 2 = 0 مرة أخرى.

في أي وقت ينتهي بك الأمر إلى الصفر داخل الجذر التربيعي للصيغة التربيعية ، ستحصل على حل واحد فقط للمعادلة ، بمعنى الحصول على رقم واحد يحل المعادلة. لكنك ستحصل على حلين ، بمعنى أن القيمة الواحدة تحسب مرتين. بمعنى آخر ، المميز (أي التعبير ب 2 و - 4أ ) بقيمة صفر تعني أنك ستحصل على قيمة حل & quot؛ متكررة & quot.

يوجد أدناه الرسم البياني للوظيفة المرتبطة ، ذ = 9x 2 + 12x + 4 ، يشبه:

القطع المكافئ فقط يلامس x -axis at it doesn't actually cross. This relationship is always true: if you have a root that appears exactly twice (or, which is the same thing, if you get zero inside the square root), then the graph will "kiss" the axis at the solution value, but it will not pass through the axis.

Solve 3x 2 + 4x + 2 = 0

Since there are no factors of (3)(2) = 6 that add up to 4 , this quadratic does not factor. But the Quadratic Formula always works in this case, I'll be plugging in the values أ = 3, ب = 4, and ج = 2 :

At this point, I have a negative number inside the square root. If you haven't learned about complex numbers yet, then you would have to stop here, and the answer would be "no solution" if you do know about complex numbers, then you can continue the calculations:

Thus, depending upon your level of study, your answer will be one of the following:

real-number solutions: no solution

But whether or not you know about complexes, you know that you cannot graph your answer, because you cannot graph the square root of a negative number on the regular Cartesian place. There are no such values on the x -محور. Since you can't find a graphable solution to the quadratic, then reasonably there should not be any x -intercepts (because you علبة graph an x -intercept).

Here's the graph of the associated function, ذ = 3x 2 + 4x + 2 :

As you can see, the graph does not cross, or even touch, the x -محور. This relationship is always true: If you get a negative value inside the square root, then there will be no real number solution, and therefore no x -intercepts. In other words, if the the discriminant (being the expression ب 2 &ndash 4ac ) has a value which is negative, then you won't have any graphable zeroes.

(The relationship between the discriminant (being the value inside the square root), the type of solutions (two distinct solutions, one repeated solution, or no graphable solutions), and the number of x -intercepts on the graph (two, one, or none) is summarized in a chart on the next page.)


شاهد الفيديو: CalcBLUE 1: Ch.: Examples of Quadratic Surfaces (شهر اكتوبر 2021).