مقالات

تحسين وظائف المتغيرات المتعددة (تمارين)


13.8: تحسين وظائف عدة متغيرات

البحث عن النقاط الحرجة

في التدريبات من 1 إلى 5 ، أوجد جميع النقاط الحرجة.

1) (و (س ، ص) = 1 + س ^ 2 + ص ^ 2 )

إجابه:
( (0,0))

2) (و (س ، ص) = 1 - (س -2) ^ 2 + (ص + 3) ^ 2 )

3) (و (س ، ص) = (3 س − 2) ^ 2 + (ص − 4) ^ 2 )

إجابه:
( left ( frac {2} {3}، 4 right) )

4) (f (x، y) = x ^ 4 + y ^ 4−16xy )

إجابه:
((0،0) ، رباعي (-2 ، -2) ، رباعي (2،2) )

5) (f (x، y) = 15x ^ 3−3xy + 15y ^ 3 )

إجابه:
((0،0)، quad left ( frac {1} {15}، frac {1} {15} right) )

البحث عن Extrema واختبار الجزئيات الثاني

في التدريبات من 6 إلى 9 ، ابحث عن النقاط الحرجة للوظيفة واختبر النقاط القصوى أو نقاط السرج باستخدام الأساليب الجبرية (إكمال المربع) أو عن طريق فحص شكل المعادلة. حيثما أمكن ، تحقق من نتائجك باستخدام اختبار الجزء الثاني.

6) (f (x، y) = - sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

إجابه:
كريت. نقاط: ((0 ، 0) )
Extrema: (f ) له حد أقصى نسبي (0 ) في ((0 ، 0) ).
لتبرير ذلك ، ضع في اعتبارك حقيقة أن دالة الجذر التربيعي لا يمكن أن تعطي قيمة سالبة ، لذلك لا يمكن لهذه الدالة أن تُرجع قيمة موجبة. نظرًا لأن قيمتها (0 ) عند النقطة الحرجة ((0 ، 0) ) ، فإننا نعلم أنها يجب أن تكون الوظيفة الحد الأقصى المطلق القيمة.

7) (و (س ، ص) = - س ^ 2−5 ص ^ 2 + 8 س − 10 ص − 13 )

إجابه:
كريت. نقاط: ((4، -1) )
Extrema: (f ) له حد أقصى نسبي (8 ) في ((4 ، −1) ).
لتبرير ذلك ، نكمل المربع في هذه الدالة ، مع الحرص على إخراج معامل الحدود قبل إكمال المربع.
[ start {align *} f (x، y) & = x ^ 2−5y ^ 2 + 8x − 10y − 13 & = - (x ^ 2-8x quad quad) −5 (y ^ 2 + 2y quad quad) −13 & = - (x ^ 2-8x + 16) −5 (y ^ 2 + 2y + 1) −13 + 16 + 5 & = - (x- 4) ^ 2 -5 (ص + 1) ^ 2 + 8 نهاية {محاذاة *} ]
لاحظ أن هذه الدالة متعددة الحدود التربيعية تأخذ الشكل (z = - (x ^ 2 + y ^ 2) ) ، لذلك يمكننا أن نرى أنه سيكون لها نسبيا (وفي الواقع ، مطلق) أقصى عند قمته (النقطة الحرجة ((4 ، -1) )). يمكننا أيضًا أن نجادل بأنه نظرًا لأننا نطرح الحدود التربيعية من 8 ، فلا يمكننا الحصول على قيمة دالة أكبر من 8 ، وبما أننا نحصل على القيمة 8 عند النقطة الحرجة ((4 ، -1) ) ، فإننا تعرف أنها ستكون القيمة القصوى المطلقة لهذه الوظيفة.

8) (f (x، y) = x ^ 2 + y ^ 2 + 2x − 6y + 6 )

9) (f (x، y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} +1 )

إجابه:
كريت. نقاط: ((0، 0) )
Extrema: (f ) لديه حد أدنى نسبي من (1 ) في ((0،0) ).
لتبرير ذلك ، ضع في اعتبارك حقيقة أن دالة الجذر التربيعي لا يمكن أن تعطي قيمة سالبة ، لذلك لا يمكن لهذه الدالة أن ترجع قيمة أقل من (1 ). نظرًا لأن قيمتها (1 ) عند النقطة الحرجة ((0 ، 0) ) ، فإننا نعلم أن (1 ) يجب أن تكون الوظيفة الحد الأدنى المطلق القيمة.

في التدريبات من 10 إلى 34 ، حدد أي نقاط حرجة واستخدم اختبار Patials الثاني لتحديد سلوك الوظيفة في كل نقطة حرجة ، سواء كان هناك حد أقصى أو أدنى أو نقطة سرج أو لا شيء من هذه. إذا فشل الاختبار الجزئي الثاني ، فحدد سلوك الوظيفة عند النقطة باستخدام طريقة أخرى وبرر إجابتك بوضوح.

10) (f (x، y) = - x ^ 3 + 4xy − 2y ^ 2 + 1 )

11) (و (س ، ص) = س ^ 2 ص ^ 2 )

إجابه:
كريت. نقاط: جميع النقاط على السطور (س = 0 ) و (ص = 0 ) هي نقاط حرجة لهذه الوظيفة.
Exrema: فشل اختبار الجزئيات الثاني.
نظرًا لأن (x ^ 2y ^ 2> 0 ) لكل (x ) و (y ) يختلفان عن الصفر ، و (x ^ 2y ^ 2 = 0 ) عندما يكون إما (x ) أو (y ) يساوي صفرًا (أو كليهما) ، ثم الحد الأدنى المطلق لـ (0 ) يحدث في جميع النقاط على (x ) - أو (y ) - المحاور ، أي لجميع النقاط على خطوط (س = 0 ) و (ص = 0 ).

12) (f (x، y) = x ^ 2−6x + y ^ 2 + 4y − 8 )

13) (و (س ، ص) = 2 س ص + 3 س + 4 ص )

إجابه:
كريت. النقاط: ( left (−2، - frac {3} {2} right) )
Exrema: (f ) بها نقطة سرج عند ( left (−2، - frac {3} {2}، - 6 right) ).

14) (و (س ، ص) = 8 س ص (س + ص) +7 )

15) (f (x، y) = x ^ 2 + 4xy + y ^ 2 )

إجابه:
كريت. نقاط: ((0،0) )
Exrema: (f ) بها نقطة سرج عند ((0،0،0) ).

16) (f (x، y) = x ^ 3 + y ^ 3−300x − 75y − 3 )

17) (f (x، y) = 9 ^ x ^ 4y ^ 4 )

إجابه:
كريت. نقاط: جميع النقاط على السطور (س = 0 ) و (ص = 0 ) هي نقاط حرجة لهذه الوظيفة.
Extrema: فشل اختبار الجزئيات الثاني.
نظرًا لأن المصطلح (-x ^ 4y ^ 4 <0 ) للجميع (x ) و (y ) يختلف عن الصفر ، و (-x ^ 4y ^ 4 = 0 ) عندما يكون إما (x ) أو (y ) يساوي صفرًا (أو كليهما) ، فلا يمكن لهذه الوظيفة أن تحقق قيمة أكبر من (9 ) في أي مكان ، ولكنها (9 ) عند النقاط الحرجة. وبالتالي (f ) لها حد أقصى مطلق (9 ) في جميع النقاط على (س ) - أو (ص ) - محاور ، أي لجميع النقاط على السطور (س = 0 ) و (ص = 0 ).

18) (و (س ، ص) = س ^ 2 + 10xy + ص ^ 2 )

إجابه:
كريت. نقاط: ((0،0) )
Extrema: (f ) لديه نقطة سرج عند ((0،0،0) ).

19) (و (س ، ص) = س ^ 4 + ص ^ 2 + 2 س ص + 3 )

إجابه:
كريت. نقاط: ((0،0)، quad left (- frac { sqrt {2}} {2}، frac { sqrt {2}} {2} right)، quad left ( frac { sqrt {2}} {2} ، - frac { sqrt {2}} {2} right) )
Extrema: (f ) لها نقطة سرج عند ((0 ، 0 ، 3) ) ،
(f ) لديه حد أدنى محلي من (2.75 ) عند النقطة ( left (- frac { sqrt {2}} {2} ، frac { sqrt {2}} {2} حق) ).
(f ) لديه حد أدنى محلي من (2.75 ) عند النقطة ( left ( frac { sqrt {2}} {2} ، - frac { sqrt {2}} {2} حق) ).

20) (و (س ، ص) = 7 س ^ 2 ص + 9 س ص ^ 2 )

21) (f (x، y) = 3x ^ 2−2xy + y ^ 2−8y )

إجابه:
كريت. نقاط: ((2،6) )
Extrema: يحتوي (f ) على حد أدنى نسبي من (-24 ) يقع في ((2،6) ).

22) (و (س ، ص) = 3 س ^ 2 + 2 س ص + ص ^ 2 )

23) (و (س ، ص) = ص ^ 2 + س ص + 3 ص + 2 س + 3 )

إجابه:
كريت. نقاط: ((1، −2) )
Extrema: (f ) لديه نقطة سرج عند ((1، −2،1) ).

24) (f (x، y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2−3x )

25) (f (x، y) = x ^ 2 + 2y ^ 2 − x ^ 2y )

إجابه:
كريت. نقاط: ((0،0)، quad (-2،1)، quad (2،1) )
Extrema: (f ) لديه حد أدنى نسبي من (0 ) عند ((0،0) ) ونقاط السرج عند ((2،1،2) ) و ((2،1) ، 2) ).

26) (و (س ، ص) = س ^ 2 + ص − ه ^ ص )

27) (f (x، y) = e ^ {- (x ^ 2 + y ^ 2 + 2x)} )

إجابه:
كريت. نقاط: ((-1،0) )
Extrema: (f ) له حد أقصى نسبي (e ) يقع في ((-1،0) ).
انظر هذه المشكلة موضحة في CalcPlot3D.

28) (و (س ، ص) = س ^ 2 + س ص + ص ^ 2 − س − ص + 1 )

29) (و (س ، ص) = س ^ 2 ص (9 - س + ص) )

إجابه:
كريت. نقاط: ( left ( frac {9} {2} ، - frac {9} {4} right) ، quad (9،0) ) ، وجميع النقاط على السطر (x = 0 )
Extrema: (f ) بها نقطة سرج عند ((9،0،0) ) والحد الأدنى النسبي (- 102.515625 ) عند ( left ( frac {9} {2}، - frac {9} {4} right) ).
في النقاط الحرجة على الخط (x = 0 ) ، لا يحتوي (f ) على نقاط قصوى أو نقاط سرج نسبية ، لكنها تمثل نوعًا من القاع على السطح.

30) (f (x، y) = - x ^ 2−5y ^ 2 + 10x − 30y − 62 )

31) (f (x، y) = 120x + 120y − xy − x ^ 2 − y ^ 2 )

إجابه:
كريت. نقاط: ((40،40) )
Extrema: (f ) له حد أقصى نسبي (4800 ) يقع في ((40،40) ).

32) (و (س ، ص) = 2 س ^ 2 + 2 س ص + ص ^ 2 + 2 س − 3 )

33) (f (x، y) = x ^ 2 + x − 3xy + y ^ 3−5 )

إجابه:
كريت. النقاط: ( left ( frac {1} {4}، frac {1} {2} right) ) و ((1، 1) )
Extrema: (f ) بها نقطة سرج عند ( left ( frac {1} {4} ، frac {1} {2} ، - frac {79} {16} right) ) و حد أدنى نسبي من (-5 ) عند ((1،1) ).

34) (f (x، y) = 2xye ^ {- x ^ 2 − y ^ 2} )

في التدريبات 35 - 37 ، حدد القيم القصوى ونقاط السرج. استخدم CAS لرسم الدالة.

35) [T] (f (x، y) = ye ^ x − e ^ y )

إجابه:

توجد نقطة السرج عند ((0،0، -1). )

36) [T] (f (x، y) = x sin (y) )

37) [T] (f (x، y) = sin (x) sin (y)، quad x∈ (0،2π)، quad y∈ (0،2π) )

إجابه:

توجد نقطة سرج عند ((π ، π) ، ) الحد الأقصى المحلي عند ( left ( frac {π} {2} ، frac {π} {2} right) ) و ( يسار ( frac {3π} {2} ، frac {3π} {2} right) ) ، والحد الأدنى المحلي عند ( left ( frac {π} {2} ، frac {3π} {2 } right) ) و ( left ( frac {3π} {2} ، frac {π} {2} right) ).

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.

  • خلق Paul Seeburger (كلية مجتمع Monroe) مشكلتين 19 و 29 ، وأضاف أرقامًا ديناميكية للمشكلتين 27 و 35.

أفضل طريقة لحل التحسين بمتغيرات متعددة في ماتلاب؟

أحاول حساب الحلول عدديًا لنظام من العديد من المعادلات والمتغيرات (100+). حاولت حتى الآن ثلاثة أشياء:

  1. أنا الآن بعد أن انخفض متجه p (i) (الذي يحتوي على معظم المتغيرات الداخلية). وهكذا أعطيت ببساطة بعض نقاط البداية ، ثم قمت بزيادة (تقليل) تخميني عندما رأيت أن p المحدد كان منخفضًا جدًا (مرتفع). بالطبع كان هذا دائمًا مشروطًا بكون الآخر ثابتًا وهذا ليس هو الحال. يجب أن ينجح هذا في النهاية ، لكنه ليس فعالًا ولا واضحًا أنني أصل إلى حل في وقت محدود. لقد نجحت عند تقليل النظام إلى 4-6 متغيرات.
  2. يمكنني إنشاء أكثر من 100 حلقة حول بعضها البعض واستخدام التنصيف لكل حلقة. سيؤدي هذا في النهاية إلى الحل ، ولكن يستغرق الأمر وقتًا طويلاً في البرمجة (حيث ليس لدي أي فكرة عن كيفية إنشاء حلقات n حول بعضها البعض دون الحاجة فعليًا إلى كتابة الحلقات - وهو أمر سيء أيضًا لأنني أرغب في زيادة / تقليل كمية المتغيرات بسهولة) وتنفيذها.
  3. كنت أحاول fminsearch ، ولكن كما هو متوقع لهذا الكم الهائل من المتغيرات - بأي حال من الأحوال!

وسأكون ممتنا لأي أفكار. هذا هو الكود (هذا هو fminsearch الذي جربته):


تحسين وظائف المتغيرات المتعددة (تمارين)

فيما يلي مجموعة من مشكلات التدريب لفصل المشتقات الجزئية في ملاحظات حساب التفاضل والتكامل III.

  1. إذا كنت ترغب في الحصول على مستند بتنسيق pdf يحتوي على الحلول ، فإن علامة التبويب "تنزيل" أعلاه تحتوي على روابط لملفات pdf تحتوي على حلول للكتاب والفصل والقسم بالكامل. في الوقت الحالي ، لا أعرض ملفات pdf للحصول على حلول للمشكلات الفردية.
  2. إذا كنت ترغب في عرض الحلول على الويب ، فانتقل إلى صفحة الويب الخاصة بمجموعة المشكلات ، وانقر فوق ارتباط الحل لأي مشكلة وسيأخذك إلى حل هذه المشكلة.

لاحظ أن بعض الأقسام ستواجه مشاكل أكثر من غيرها وبعضها سيواجه أكثر أو أقل من مجموعة متنوعة من المشاكل. يجب أن تحتوي معظم الأقسام على مجموعة من مستويات الصعوبة في المشكلات على الرغم من أن هذا سيختلف من قسم إلى آخر.

فيما يلي قائمة بجميع الأقسام التي تمت كتابة مشاكل الممارسة الخاصة بها بالإضافة إلى وصف موجز للمادة التي تمت تغطيتها في الملاحظات الخاصة بهذا القسم المحدد.

الحدود - في هذا القسم ، سنلقي نظرة سريعة على تقييم حدود وظائف العديد من المتغيرات. سنرى أيضًا طريقة سريعة إلى حد ما يمكن استخدامها ، في بعض الأحيان ، لإظهار عدم وجود بعض الحدود.

المشتقات الجزئية - في هذا القسم سنلقي نظرة على فكرة المشتقات الجزئية. سنقدم التعريف الرسمي للمشتق الجزئي وكذلك الرموز القياسية وكيفية حسابها في الممارسة (أي بدون استخدام التعريف). كما سترى إذا كان بإمكانك عمل مشتقات وظائف لمتغير واحد فلن تواجه مشكلة كبيرة مع المشتقات الجزئية. لا يوجد سوى دقة واحدة (مهمة جدًا) تحتاج إلى وضعها في الاعتبار دائمًا أثناء حساب المشتقات الجزئية.

تفسيرات المشتقات الجزئية - في هذا القسم سوف نلقي نظرة على اثنين من التفسيرات الهامة للمشتقات الجزئية. أولاً ، معدل التغيير المهم دائمًا في الوظيفة. على الرغم من أن لدينا الآن "اتجاهات" متعددة يمكن أن تتغير فيها الوظيفة (على عكس حساب التفاضل والتكامل 1). سنلاحظ أيضًا أن المشتقات الجزئية تعطي ميل خطوط المماس لتتبع أثر الدالة.

المشتقات الجزئية ذات الترتيب الأعلى - في القسم سنلقي نظرة على المشتقات الجزئية ذات الترتيب الأعلى. على عكس التفاضل والتكامل 1 ، سيكون لدينا العديد من المشتقات من الدرجة الثانية ، ومشتقات متعددة من الدرجة الثالثة ، وما إلى ذلك لأننا نعمل الآن مع وظائف متعددة المتغيرات. سنناقش أيضًا نظرية Clairaut للمساعدة في بعض الأعمال في العثور على مشتقات ذات رتبة أعلى.

التفاضلات - في هذا القسم نوسع فكرة التفاضلات التي رأيناها لأول مرة في حساب التفاضل والتكامل I لتشمل دوال متعددة المتغيرات.

قاعدة السلسلة - في هذا القسم نوسع فكرة قاعدة السلسلة إلى وظائف متعددة المتغيرات. على وجه الخصوص ، سنرى أن هناك عدة متغيرات لقاعدة السلسلة هنا تعتمد جميعها على عدد المتغيرات التي تعتمد عليها وظيفتنا وكيف يمكن ، بدورها ، كتابة كل من هذه المتغيرات من حيث المتغيرات المختلفة. سنقدم أيضًا طريقة لطيفة لكتابة قاعدة السلسلة إلى حد كبير لأي موقف قد تواجهه عند التعامل مع وظائف ذات متغيرات متعددة. بالإضافة إلى ذلك ، سوف نشتق طريقة سريعة جدًا لعمل التفاضل الضمني ، لذلك لم نعد بحاجة إلى متابعة العملية التي قمنا بها في حساب التفاضل والتكامل 1.

المشتقات الاتجاهية - في هذا القسم نقدم مفهوم المشتقات الاتجاهية. مع المشتقات الاتجاهية يمكننا الآن أن نسأل كيف تتغير الدالة إذا سمحنا لجميع المتغيرات المستقلة بالتغير بدلاً من الاحتفاظ بثبات الكل باستثناء ثابت واحد كما فعلنا مع المشتقات الجزئية. بالإضافة إلى ذلك ، سوف نحدد متجه التدرج للمساعدة في بعض التدوين والعمل هنا. سيكون متجه التدرج مفيدًا جدًا في بعض الأقسام اللاحقة أيضًا. سنقدم أيضًا حقيقة لطيفة تتيح لنا تحديد الاتجاه الذي تتغير فيه وظيفة معينة بشكل أسرع.


تحسين شروط IF باستخدام المتغيرات

أظهرنا في مقال سابق أهمية استخدام المتغيرات لاستبدال مثيلات متعددة لنفس المقياس في تعبير DAX. حالة الاستخدام الشائعة جدًا هي حالة الدالة IF. تركز هذه المقالة على تكلفة محرك الصيغة بدلاً من محرك التخزين.

ضع في اعتبارك الإجراء التالي.

الفكرة الأساسية هي أنه يجب تقييم الفرق بين مبلغ المبيعات والتكلفة الإجمالية فقط إذا كان كلا المقياسين أكبر من الصفر. عند التعامل مع هذا الشرط ، ينتج محرك DAX خطة استعلام تقوم بتقييم كل مقياس مرتين. يظهر هذا في طلبات محرك التخزين التي تم إنشاؤها للاستعلام التالي.

ومع ذلك ، يجدر التأكيد على أن خطة الاستعلام المادي بها 216 صفاً ، وهي نقطة مرجعية سنأخذها في الاعتبار في الأشكال اللاحقة لنفس المقياس.

دون الخوض في التفاصيل التي تم شرحها بالفعل في مقال سابق ، تجدر الإشارة إلى أن الإشارات المتعددة لنفس الإجراء تتطلب تقييمات منفصلة - على الرغم من أن النتيجة واحدة. DAX ليس الأفضل في حفظ قيمة التعبيرات الفرعية الشائعة التي تم تقييمها في نفس سياق عامل التصفية. هذا واضح في الاختلاف التالي لمقياس الهامش. فرعي الدالة IF متطابقان ، لكن خطة الاستعلام تضيف تقييمات أخرى لكل من محرك التخزين ومحرك الصيغة.

في هذه الحالة يوجد استعلام محرك تخزين إضافي. عدد الصفوف في خطة الاستعلام الفعلية هو الآن 342. وهذا يؤدي إلى زيادة عدد السطور بأكثر من 50٪ ، مقارنة بحجم العمل السابق.

يخزن الإصدار الأمثل من هذا المقياس المقياسين في متغيرين. هذا حتى يتم تقييمها مرة واحدة فقط في دالة IF.

يظهر هذا في طلبات محرك التخزين ، والتي لا يوجد منها سوى طلبين.

إصدار دالة IF مع الفرع الثاني المتطابق مع الأول سينتج نفس استعلامات محرك التخزين.

خفضت خطة الاستعلام المادي عدد الصفوف من 216 إلى 126.

هذه نتيجه مهمه. يعتبر أسلوب التحسين هذا مفيدًا بشكل خاص عند التعامل مع مراجع متعددة لمقياس له تكلفة عالية في محرك الصيغة. في الواقع ، لا تعمل ذاكرة التخزين المؤقت DAX إلا ​​على مستوى محرك التخزين.


حل مشاكل التحسين خلال فاصل زمني مغلق ومحدود

الفكرة الأساسية لـ مشاكل التحسين التالي هو نفسه. لدينا كمية معينة نهتم بتعظيمها أو تصغيرها. ومع ذلك ، لدينا أيضًا بعض الشروط الإضافية التي يجب تلبيتها. على سبيل المثال ، في (الشكل) ، نحن مهتمون بتعظيم مساحة الحديقة المستطيلة. بالتأكيد ، إذا واصلنا جعل الأطوال الجانبية للحديقة أكبر ، فستستمر المساحة في التزايد. ومع ذلك ، ماذا لو كان لدينا بعض القيود على مقدار السياج الذي يمكننا استخدامه للمحيط؟ في هذه الحالة ، لا يمكننا جعل الحديقة كبيرة كما نحب. دعونا نلقي نظرة على كيفية تعظيم مساحة المستطيل الخاضع لبعض القيود على المحيط.

تعظيم مساحة الحديقة

يتم إنشاء حديقة مستطيلة باستخدام جدار صخري كجانب واحد من الحديقة وسياج سلكي للجوانب الثلاثة الأخرى ((الشكل)). بالنظر إلى 100 قدم من السياج السلكي ، حدد الأبعاد التي من شأنها إنشاء حديقة ذات مساحة قصوى. ما هي أقصى مساحة؟

شكل 1. نريد تحديد القياسات و سيؤدي ذلك إلى إنشاء حديقة ذات مساحة قصوى باستخدام 100 قدم من السياج.

المحلول

يترك تشير إلى طول جانب الحديقة بشكل عمودي على الجدار الصخري و تشير إلى طول الجانب الموازي للجدار الصخري. ثم مساحة الحديقة

نريد إيجاد أقصى مساحة ممكنة تخضع لقيود السور الكلي من (الشكل) ، سيكون المبلغ الإجمالي للسياج المستخدم لذلك ، فإن معادلة القيد هي

حل هذه المعادلة ل لدينا وبالتالي ، يمكننا كتابة المنطقة على شكل

قبل محاولة تكبير وظيفة المنطقة نحن بحاجة إلى تحديد المجال قيد النظر. لبناء حديقة مستطيلة ، نحتاج بالتأكيد إلى أن تكون أطوال الجانبين موجبة. لذلك نحن بحاجة و منذ لو من ثم لذلك ، نحاول تحديد القيمة القصوى لـ إلى عن على خلال الفترة المفتوحة لا نعلم أن الوظيفة لها بالضرورة قيمة قصوى خلال فترة مفتوحة. ومع ذلك ، فإننا نعلم أن الدالة المستمرة لها حد أقصى مطلق (وأدنى حد مطلق) خلال فترة مغلقة. لذلك ، دعونا ننظر في الوظيفة خلال الفترة المغلقة إذا حدثت القيمة القصوى في نقطة داخلية ، فقد وجدنا القيمة في الفترة المفتوحة يزيد من مساحة الحديقة. لذلك فإننا نعتبر المشكلة التالية:

تحقيق أقصى قدر خلال الفترة

كما ذكرنا سابقًا ، منذ ذلك الحين هي دالة متصلة على فاصل زمني مغلق ومحدود ، بواسطة نظرية القيمة القصوى ، لها حد أقصى وحد أدنى. تحدث هذه القيم القصوى إما عند نقاط النهاية أو النقاط الحرجة. عند نقاط النهاية ، لأن المنطقة إيجابية للجميع في الفترة المفتوحة يجب أن يحدث الحد الأقصى في نقطة حرجة. تفريق الوظيفة نحصل

لذلك ، فإن النقطة الحرجة الوحيدة هي ((شكل)). نستنتج أن الحد الأقصى للمنطقة يجب أن يحدث عندما إذن لدينا لتعظيم مساحة الحديقة ، دعنا قدم و مساحة هذه الحديقة

الشكل 2. لتعظيم مساحة الحديقة ، نحتاج إلى إيجاد القيمة القصوى للدالة

حدد الحد الأقصى للمساحة إذا أردنا إنشاء نفس الحديقة المستطيلة كما في (الشكل) ، ولكن لدينا 200 قدم من السياج.

المحلول

أقصى مساحة

نحن بحاجة إلى تعظيم الوظيفة خلال الفترة

دعنا الآن نلقي نظرة على إستراتيجية عامة لحل مشاكل التحسين المشابهة لـ (الشكل).

إستراتيجية حل المشكلات: حل مشكلات التحسين

  1. قدم جميع المتغيرات. إذا كان ذلك ممكنًا ، ارسم شكلًا وقم بتسمية جميع المتغيرات.
  2. حدد الكمية التي سيتم تكبيرها أو تصغيرها ، ولأي نطاق من قيم المتغيرات الأخرى (إذا كان من الممكن تحديد ذلك في هذا الوقت).
  3. اكتب صيغة للكمية المطلوب تكبيرها أو تصغيرها من حيث المتغيرات. قد تتضمن هذه الصيغة أكثر من متغير واحد.
  4. اكتب أي معادلات تتعلق بالمتغيرات المستقلة في الصيغة من الخطوة 3. استخدم هذه المعادلات لكتابة الكمية المطلوب تكبيرها أو تصغيرها كدالة لمتغير واحد.
  5. حدد مجال الاعتبار للوظيفة في الخطوة 4 بناءً على المشكلة المادية المراد حلها.
  6. حدد موقع القيمة القصوى أو الدنيا للوظيفة من الخطوة 4. تتضمن هذه الخطوة عادةً البحث عن النقاط الحرجة وتقييم دالة عند نقاط النهاية.

دعنا الآن نطبق هذه الإستراتيجية لزيادة حجم الصندوق المفتوح إلى أقصى حد نظرًا لقيود على كمية المواد التي سيتم استخدامها.

تكبير حجم الصندوق

يجب أن يُصنع الصندوق المفتوح من قطعة 24 × 36 بوصة من الورق المقوى عن طريق إزالة مربع من كل ركن من أركان الصندوق وطي اللوحات على كل جانب. ما هو حجم المربع الذي يجب قطعه من كل زاوية للحصول على صندوق بأقصى حجم؟

المحلول

الخطوة 1: دع يكون طول جانب المربع المراد إزالته من كل زاوية ((الشكل)). بعد ذلك ، يمكن طي اللوحات الأربع المتبقية لتشكيل صندوق مفتوح من أعلى. يترك يكون حجم الصندوق الناتج.

الشكل 3. مربع بطول ضلعه يتم إزالة بوصات من كل زاوية من قطعة من الورق المقوى. يتم طي اللوحات المتبقية لتشكيل صندوق مفتوح.

الخطوة 2: نحن نحاول زيادة حجم الصندوق. لذلك ، فإن المشكلة تكمن في تعظيم

الخطوة 3: كما هو مذكور في الخطوة 2 ، نحاول تكبير حجم الصندوق. حجم الصندوق هو أين هي الطول والعرض والارتفاع ، على التوالي.

الخطوة 4: من (الشكل) ، نرى أن ارتفاع الصندوق هو بوصة ، الطول بوصة والعرض بوصة. لذلك ، فإن حجم الصندوق هو

الخطوة 5: لتحديد مجال النظر ، دعنا نفحص (الشكل). بالتأكيد ، نحن بحاجة علاوة على ذلك ، لا يمكن أن يكون طول ضلع المربع أكبر من أو يساوي نصف طول الجانب الأقصر ، 24 بوصة ، وإلا فسيتم قطع إحدى اللوحات تمامًا. لذلك ، نحاول تحديد ما إذا كان هناك حجم أقصى للمربع لـ خلال الفترة المفتوحة منذ هي دالة مستمرة خلال الفترة المغلقة نعلم سيكون له حد أقصى مطلق خلال الفترة المغلقة. لذلك نحن نعتبر خلال الفترة المغلقة وتحقق مما إذا كان الحد الأقصى المطلق يحدث في نقطة داخلية.

الخطوة 6: منذ هي دالة مستمرة على الفترة المغلقة والمحدودة يجب أن يكون له حد أقصى مطلق (وحد أدنى مطلق). منذ عند نقاط النهاية و إلى عن على يجب أن يحدث الحد الأقصى في نقطة حرجة. المشتق هو

لإيجاد النقاط الحرجة ، علينا حل المعادلة

بقسمة طرفي هذه المعادلة على 12 ، تبسط المسألة لحل المعادلة

باستخدام الصيغة التربيعية ، نجد أن النقاط الحرجة هي

منذ ليس في مجال النظر ، النقطة الحاسمة الوحيدة التي نحتاج إلى النظر فيها هي لذلك ، يتم تكبير الحجم إذا سمحنا بذلك الحجم الأقصى هو كما هو موضح في الرسم البياني التالي.

الشكل 4. يؤدي تعظيم حجم المربع إلى إيجاد القيمة القصوى لكثير الحدود التكعيبي.

شاهد مقطع فيديو حول تحسين حجم الصندوق.

افترض أن أبعاد الكرتون في (الشكل) هي 20 بوصة في 30 بوصة كن طول ضلع كل مربع واكتب حجم الصندوق المفتوح كدالة لـ تحديد مجال النظر ل

المحلول

المجال هو

حجم الصندوق

تقليل وقت السفر

جزيرة شمال أقرب نقطة لها على طول خط ساحلي مستقيم. زائر يقيم في كوخ على الشاطئ أي غرب تلك النقطة. الزائر يخطط للذهاب من المقصورة إلى الجزيرة. افترض أن الزائر يعمل بمعدل ويسبح بمعدل ما المسافة التي يجب أن يركضها الزائر قبل السباحة لتقليل الوقت المستغرق للوصول إلى الجزيرة؟

المحلول

الخطوة 1: دع تكون المسافة تشغيل والسماح تكون مسافة السباحة ((الشكل)). يترك يكون الوقت المستغرق للانتقال من المقصورة إلى الجزيرة.

الشكل 5. كيف نختار و لتقليل وقت السفر من المقصورة إلى الجزيرة؟

الخطوة 2: المشكلة هي التقليل

الخطوة 3: لمعرفة الوقت الذي تقضيه في السفر من المقصورة إلى الجزيرة ، أضف الوقت الذي يقضيه في الجري والوقت الذي يقضيه في السباحة. منذ المسافة معدل وقت الوقت الذي يقضيه الجري هو

والوقت الذي يقضيه في السباحة

لذلك ، فإن إجمالي الوقت الذي يقضيه السفر هو

الخطوة 4: من (الشكل) ، مقطع خط من الأميال تشكل وتر المثلث القائم الزاوية بأرجل بطول و لذلك ، من خلال نظرية فيثاغورس ، ونحصل عليها وبالتالي ، فإن إجمالي الوقت المستغرق في السفر يتم تحديده بواسطة الوظيفة

الخطوة 5: من (الشكل) ، نرى ذلك وبالتالي، هو مجال النظر.

الخطوة 6: منذ هي دالة متصلة على فاصل زمني مغلق ومحدود ، ولها حد أقصى وحد أدنى. لنبدأ بالبحث عن أي نقاط حرجة في خلال الفترة المشتق هو

لو من ثم

بتربيع طرفي هذه المعادلة ، نرى أنه إذا /> يفي بهذه المعادلة ، إذن /> يجب أن يرضي

نستنتج أنه إذا كانت /> نقطة حرجة ، إذن /> ترضي

لذلك ، فإن احتمالات النقاط الحرجة هي

منذ ليس في المجال ، وليس إمكانية لنقطة حرجة. على الجانب الآخر، في المجال. نظرًا لأننا قمنا بتربيع جانبي (الشكل) للوصول إلى النقاط الحرجة المحتملة ، يبقى التحقق من ذلك يرضي (الشكل). منذ يفي بهذه المعادلة ، نستنتج ذلك هي نقطة حرجة ، وهي الوحيدة. لتبرير تقليل الوقت لهذه القيمة نحتاج فقط إلى التحقق من قيم في نقاط النهاية و ومقارنتها بقيمة في النقطة الحرجة نجد ذلك و بينما لذلك ، نستنتج ذلك لديه حد أدنى محلي في ميل.

لنفترض أن الجزيرة على بعد ميل واحد من الشاطئ ، وأن المسافة من الكابينة إلى النقطة على الشاطئ الأقرب للجزيرة هي افترض أن زائرًا يسبح بمعدل ويعمل بمعدل يترك تشير إلى المسافة التي سيجريها الزائر قبل السباحة ، والعثور على وظيفة للوقت الذي يستغرقه الزائر للوصول من المقصورة إلى الجزيرة.

المحلول

الوقت

في مجال الأعمال ، تهتم الشركات بزيادة الإيرادات إلى الحد الأقصى. في المثال التالي ، نأخذ في الاعتبار سيناريو قامت فيه الشركة بجمع بيانات حول عدد السيارات التي يمكنها تأجيرها ، اعتمادًا على السعر الذي تفرضه على عملائها لاستئجار سيارة. دعنا نستخدم هذه البيانات لتحديد السعر الذي يجب أن تفرضه الشركة لتعظيم مقدار الأموال التي تجلبها.

تعظيم الإيرادات

قرر مالكو شركة تأجير السيارات أنهم إذا فرضوا رسومًا على العملاء دولار في اليوم لاستئجار سيارة ، حيث عدد السيارات يمكنهم تأجيرها في اليوم على غرار الدالة الخطية إذا كانوا يشحنون في اليوم أو أقل ، سوف يؤجرون جميع سياراتهم. إذا كانوا يشحنون في اليوم أو أكثر ، لن يستأجروا أي سيارات. بافتراض أن المالكين يخططون لشحن العملاء ما بين 50 دولارًا في اليوم و في اليوم الواحد لاستئجار سيارة ، ما المبلغ الذي يجب أن يتقاضوه لتعظيم إيراداتهم؟

المحلول

الخطوة 1: دع يكون السعر الذي يتم تحصيله لكل سيارة في اليوم ودعنا هو عدد السيارات المستأجرة في اليوم. يترك أن تكون الإيرادات في اليوم.

الخطوة 2: المشكلة هي تحقيق الحد الأقصى

الخطوة 3: العائد (في اليوم) يساوي عدد السيارات المستأجرة في اليوم مضروبًا في السعر الذي يتم تحصيله لكل سيارة في اليوم - أي ،

الخطوة 4: نظرًا لأن عدد السيارات المستأجرة يوميًا يتم تحديده من خلال الوظيفة الخطية الإيرادات يمكن أن تمثلها الوظيفة

الخطوة 5: بما أن المالكين يخططون لشحن ما بين لكل سيارة في اليوم و لكل سيارة في اليوم ، تكمن المشكلة في العثور على الحد الأقصى للإيرادات إلى عن على في الفترة المغلقة

الخطوة 6: منذ هي دالة مستمرة على الفترة المغلقة والمحدودة لها حد أقصى مطلق (وحد أدنى مطلق) في تلك الفترة. للعثور على القيمة القصوى ، ابحث عن النقاط الحرجة. المشتق هو لذلك ، فإن النقطة الحرجة هي متي متي متي لذلك ، يحدث الحد الأقصى المطلق عند يجب أن تتقاضى شركة تأجير السيارات في اليوم لكل سيارة لزيادة الإيرادات إلى أقصى حد كما هو موضح في الشكل التالي.

الشكل 6. لتحقيق أقصى قدر من الإيرادات ، يتعين على شركة تأجير السيارات أن توازن بين سعر الإيجار وعدد السيارات التي سيستأجرها الأشخاص بهذا السعر.

شركة تأجير السيارات تفرض رسومًا على عملائها دولار في اليوم ، أين وقد وجد أن عدد السيارات المستأجرة في اليوم يمكن نمذجة بالدالة الخطية كم يجب أن تتقاضى الشركة كل عميل لزيادة الإيرادات؟

المحلول

يجب أن تتقاضى الشركة لكل سيارة في اليوم.

أين هو عدد السيارات المستأجرة و هو السعر الذي يتم تحصيله لكل سيارة.

تكبير مساحة المستطيل المحيط

يجب كتابة المستطيل في القطع الناقص

ماذا يجب أن تكون أبعاد المستطيل لتكبير مساحته؟ ما هي أقصى مساحة؟

المحلول

الخطوة 1: لكي يُدرج المستطيل في القطع الناقص ، يجب أن تكون جوانب المستطيل موازية للمحاور. يترك يكون طول المستطيل و يكون عرضه. يترك تكون مساحة المستطيل.

الشكل 7. نريد تكبير مساحة المستطيل المحفور في القطع الناقص.

الخطوة 2: المشكلة هي تحقيق الحد الأقصى

الخطوة 3: مساحة المستطيل هي

الخطوة 4: دع يكون ركن المستطيل الذي يقع في الربع الأول ، كما هو موضح في (الشكل). يمكننا كتابة الطول والعرض منذ و لدينا لذلك ، فإن المنطقة

الخطوة 5: من (الشكل) ، نرى أنه لإدراج مستطيل في القطع الناقص ، فإن ملف - يجب أن يفي تنسيق الزاوية في الربع الأول لذلك ، تقلل المشكلة إلى البحث عن القيمة القصوى لـ خلال الفترة المفتوحة منذ سيكون له حد أقصى مطلق (وأدنى حد مطلق) خلال الفترة المغلقة نحن نعتبر خلال الفترة إذا حدث الحد الأقصى المطلق عند نقطة داخلية ، فقد وجدنا قيمة قصوى مطلقة في الفترة المفتوحة.

الخطوة 6: كما ذكرنا سابقًا ، هي دالة مستمرة على الفترة المغلقة والمحدودة لذلك ، لديها حد أقصى مطلق (وأدنى حد مطلق). عند نقاط النهاية و إلى عن على لذلك ، يجب أن يحدث الحد الأقصى عند نقطة حرجة. أخذ مشتق نحصل

للعثور على النقاط الحرجة ، نحتاج إلى تحديد مكانها يمكننا أن نرى ذلك إذا هو حل

من ثم يجب أن ترضي

وبالتالي، هكذا، هي الحلول الممكنة لـ (الشكل). بما أننا نفكر في ذلك خلال الفترة هو احتمال لنقطة حرجة ، ولكن ليس. لذلك ، نتحقق مما إذا كان هو حل (الشكل). منذ هو حل (الشكل) ، نستنتج ذلك هي النقطة الحرجة الوحيدة في الفترة وبالتالي، يجب أن يكون له حد أقصى مطلق عند النقطة الحرجة لتحديد أبعاد المستطيل ، علينا إيجاد الطول والعرض لو من ثم

لذلك ، أبعاد المستطيل و مساحة هذا المستطيل هي

تعديل وظيفة المنطقة إذا كان المستطيل سيسجل في دائرة الوحدة ما هو مجال النظر؟

المحلول

مجال النظر هو

لو هي رأس المربع الذي يقع في الربع الأول ، ثم تكون مساحة المربع


4.7 مشكلات التحسين التطبيقي

أحد التطبيقات الشائعة لحساب التفاضل والتكامل هو حساب الحد الأدنى أو الحد الأقصى لقيمة الدالة. على سبيل المثال ، غالبًا ما ترغب الشركات في تقليل تكاليف الإنتاج أو زيادة الإيرادات إلى الحد الأقصى. في التصنيع ، غالبًا ما يكون من المرغوب فيه تقليل كمية المواد المستخدمة في تغليف منتج بحجم معين. في هذا القسم ، نوضح كيفية إعداد هذه الأنواع من مشاكل التصغير والتعظيم وحلها باستخدام الأدوات التي تم تطويرها في هذا الفصل.

حل مشاكل التحسين خلال فاصل زمني مغلق ومحدود

الفكرة الأساسية لمشاكل التحسين التالية هي نفسها. لدينا كمية معينة نهتم بتعظيمها أو تصغيرها. ومع ذلك ، لدينا أيضًا بعض الشروط الإضافية التي يجب تلبيتها. على سبيل المثال ، في المثال 4.32 ، نحن مهتمون بتكبير مساحة الحديقة المستطيلة. بالتأكيد ، إذا واصلنا جعل الأطوال الجانبية للحديقة أكبر ، فستستمر المساحة في التزايد. ومع ذلك ، ماذا لو كان لدينا بعض القيود على مقدار السياج الذي يمكننا استخدامه للمحيط؟ في هذه الحالة ، لا يمكننا جعل الحديقة كبيرة كما نحب. دعونا نلقي نظرة على كيفية تعظيم مساحة المستطيل الخاضع لبعض القيود على المحيط.

مثال 4.32

تعظيم مساحة الحديقة

سيتم إنشاء حديقة مستطيلة باستخدام جدار صخري كجانب واحد من الحديقة وسياج سلكي للجوانب الثلاثة الأخرى (الشكل 4.62). بالنظر إلى 100 قدم من سياج الأسلاك ، حدد الأبعاد التي من شأنها إنشاء حديقة ذات مساحة قصوى. ما هي أقصى مساحة؟

المحلول

نريد إيجاد أقصى مساحة ممكنة تخضع لقيود أن إجمالي السياج هو 100 قدم. 100 قدم من الشكل 4.62 ، سيكون المبلغ الإجمالي للسياج المستخدم 2 × + ص. 2 س + ص. لذلك ، فإن معادلة القيد هي


9.6 التحسين

تحسين غير مقيد. الهدف: معطى الدالة f (x) ، ابحث عن x * بحيث يتم تكبير f (x) أو تصغيره. إذا كانت f (x) قابلة للتفاضل ، فإننا نبحث عن x * بحيث تكون f '(x *) = 0. ومع ذلك ، قد يؤدي هذا إلى نقاط دنيا أو قصوى أو نقاط سرج محلية.

طريقة التنصيف. الهدف: معطى الدالة f (x) ، ابحث عن x * بحيث تكون f (x *) = 0. افترض أنك تعرف الفاصل الزمني [a ، b] بحيث أن f (a) 0.

طريقة نيوتن. Quadratic approximation. Fast convergence if close enough to answer. The update formulas below are for finding the root of f(x) and f'(x).

Newton's method only reliable if started "close enough" to solution. Bad example (Smale): f(x) = x^3 - 2*x + 2. If you start in the interval [-0.1, 0.1] , Newton's method reaches a stable 2-cycle. If started to the left of the negative real root, it will converge.

To handle general differentiable or twice differentiable functions of one variable, we might declare an interface

Program Newton.java runs Newton's method on a differentiable function to compute points x* where f(x*) = 0 and f'(x*) = 0.

The probability of finding an electron in the 4s excited state of hydrogen ar radius r is given by: f(x) = (1 - 3x/4 + x 2 /8 - x 3 /192) 2 e -x/2 ، أين x is the radius in units of the Bohr radius (0.529173E-8 cm). Program BohrRadius.java contains the formula for f(x), f'(x), and f''(x). By starting Newton's method at 0, 4, 5, and 13, and 22, we obtain all three roots and all five local minima and maxima.

Newton's method in higher dimensions. [probably omit or leave as an exercise] Use to solve system of nonlinear equations. In general, there are no good methods for solving a nonlinear system of equations

where J is the Jacobian matrix of partial derivatives. In practice, we don't explicitly compute the inverse. Instead of computing y = J -1 f, we solve the linear system of equations Jy = f.

To illustrate the method, suppose we want to find a solution (x, y) to the following system of two nonlinear equations.

In this example, the Jacobian is given by

If we start Newton's method at the point (-0.6, 0.6), we quickly obtain one of the roots (-1/2, sqrt(3)/2) up to machine accuracy. The other roots are (-1/2, -sqrt(3)/2) and (1, 0). Program TestEquations.java uses the interface Equations.java and EquationSolver.java to solve the system of equations. We use the Jama matrix library to do the matrix computations.

Optimization. Use same method to optimize a function of several variables. Good methods exist if multivariate function is sufficiently smooth.

Need gradient g(x) = &nablaf(x) and Hessian H(x) = &nabla 2 f(x). Method finds an x* where g(x*) = 0, but this could be a maxima, minima, or saddle point. If Hessian is positive definite (all eigenvalues are positive) then it is a minima if all eigenvalues are negative, then it's a maxima otherwise it's a saddle point.

Also, 2nd derivatives change slowly, so it may not be necessary to recalculate the Hessian (or its LU decomposition) at each step. In practice, it is expensive to compute the Hessian exactly, so other so called quasi-Newton methods are preferred, including the Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS) update rule.

Linear programming. Create matrix interface. Generalizes two-person zero-sum games, many problems in combinatorial optimization, . run AMPL from the web.

Programming = planning. Give some history. Decision problem not known to be in P for along time. In 1979, Khachian resolved the question in the affirmative and made headlines in the New York Times with a geometric divide-and-conquer algorithm known as the ellipsoid algorithm. It requires O(N 4 L) bit operations where N is the number of variables and L is the number of bits in the input. Although this was a landmark in optimization, it did not immediately lead to a practical algorithm. In 1984, Karmarkar proposed a projective scaling algorithm that takes O(N 3.5 L) time. It opened up the door for efficient implementations because by typically performing much better than its worst case guarantee. Various interior point methods were proposed in the 1990s, and the best known complexity bound is O(N 3 L). More importantly, these algorithm are practical and competitive with the simplex method. They also extend to handle even more general problems.

Linear programming solvers. In 1947, George Dantzig proposed the simplex algorithm for linear programming. One of greatest and most successful algorithms of all time. Linear programming, but not industrial strength. Program LPDemo.java illustrates how to use it. The classes MPSReader و MPSWriter can parse input files and write output files in the standard MPS format. Test LP data files in MPS format.

More applications. OR-Objects also has graph coloring, traveling salesman problem, vehicle routing, shortest path.


Multi-product Transportation Problem¶

In the previous transportation problem, we considered only one kind of goods produced at the production plants. In the real-world, however, that is a very restrictive scenario: A producer typically produces many different kinds of products and the customers typically demand different sets of the products available from the producers. Moreover, some producers may be specialized into producing only certain kinds of products while some others may only supply to certain customers. Therefore, a general instance of the transportation problem needs to be less restrictive and account for many such possibilities.

A more general version of the transportation problem is typically studied as a multi-commodity transportation model. A linear-optimization model can be built using decision variables (x_) where (i) denotes the customer, (j) denotes the production plant and (k) denotes the product type. Customer demand is indexed by (i) and (k) to denote the customer and product type. Then the model can be stated as follows.

Note that the objective function addresses the minimum total cost for all possible cost combinations involving customers, production plants and product types. The first set of constraints ensure that all demands of the product types from the customers are met exactly while the second set of constraints ensure that capacity at each production plant is not exceeded by taking into account all product types and all customers.

A model for this in Python/Gurobi can be written as follows:

Variables are created in line 5. In lines 9 and 10 we create a list the variables that appear in each demand-satisfaction constraint, and the corresponding coefficients these are then used for creating a linear expression, which is used as the left-hand side of a constraint in line 11. Capacity constraints are created in a similar way, in lines 13 to 15. For an example, consider now the same three production plants and five customers as before. Plant 1 produces two products, football and volleyball it can supply football only to Customer 1 and volleyball to all five customers. Plant 2 produces football and basketball it can supply football to Customers 2 and 3, basketball to Customers 1, 2 and 3. Plant 3 produces football, basketball and rugby ball it can supply football and basketball to Customers 4 and 5, rugby ball to all five customers.

Let us specify the data for this problem in a Python program. First of all, we must state what products each of the plants can manufacture on dictionary produce the key is the plant, to which we are associating a list of compatible products. We also create a dictionary M with the capacity of each plant (3000 units, in this instance).

The demand for each of the customers can be written as a double dictionary: for each customer, we associate a dictionary of products and quantities demanded.

For determining the transportation cost, we may specify the unit weight for each product and the transportation cost per unit of weight then, we calculate (c_) as their product:

We are now ready to construct a model using this data, and solving it:

If we execute this Python program, the output is the following:

Readers may have noticed by now that for these two transportation problems, even though we have used linear-optimization models to solve them, the optimal solutions are integer-valued — as if we have solved integer-optimization models instead. This is because of the special structures of the constraints in the transportation problems that allow this property, commonly referred to as unimodularity. This property has enormous significance because, for many integer-optimization problems that can be modeled as transportation problems, we only need to solve their linear-optimization relaxations.


Mathematical methods for economic theory

إلى عن على ن = 1, the definition coincides with the definition of an interval: a set of numbers is convex if and only if it is an interval.

إلى عن على ن = 2, two examples are given in the following figures. The set in the first figure is convex, because every line segment joining a pair of points in the set lies entirely in the set. The set in the second figure is not convex, because the line segment joining the points x و x' does not lie entirely in the set.

The following property of convex sets (which you are asked to prove in an exercise) is sometimes useful.

Concave and convex functions

More precisely, we can make the following definition (which is again essentially the same as the corresponding definition for a function of a single variable). Note that only functions defined on convex sets are covered by the definition.

f((1 − λ)x + λx') = أ·[(1−λ)x + λx'] for all x, x', and λ ∈ [0, 1]
= (1−λ)أ·x + λأ·x' for all x, x', and λ ∈ [0, 1]
= (1−λ)f(x) + λf(x') for all x, x', and λ ∈ [0, 1].

First note that the domain of f is a convex set, so the definition of concavity can apply.

The functions g و f are illustrated in the following figures. (The axes for g are shown in perspective, like those for f, to make the relation between the two figures clear. If we were plotting only g, we would view it straight on, so that the x-axis would be horizontal. Note that every cross-section of the graph of f parallel to the x-axis is the graph of the function g.)

From the graph of f (the roof of a horizontal tunnel), you can see that it is concave. The following argument is precise.

f((1−λ)(x, ذ) + λ(x', ذ'))
= f((1−λ)x + λx', (1−λ)ذ + λذ')
= g((1−λ)x + λx')
(1−λ)g(x) + λg(x')
= (1−λ)f(x, ذ) + λf(x', ذ')

The strict concavity of f implies that

f((1−λ)(x, ذ) + λ(x', ذ'))
= f(x, (1−λ)ذ + λذ')
= g(x)
= (1−λ)f(x, ذ) + λf(x, ذ').

Characterizations of concave and convex functions

First suppose f is concave and let (x, ذ) ∈ L and (x', ذ') ∈ L . ثم x ∈ S , x' ∈ S , ذf(x) و ذ' ≤ f(x'). The last two inequalities imply that

Conversely, suppose L is convex. يترك x ∈ S and x' ∈ S . Then (x, f(x)) ∈ L and (x', f(x')) ∈ L , so by the convexity of L , (1 − λ)(x, f(x)) + λ(x', f(x')) = ((1 − λ)x + λx', (1 − λ)f(x) + λf(x')) ∈ L for any λ ∈ [0, 1]. Thus (1 − λ)f(x) + λf(x') ≤ f((1 − λ)x + λx'), establishing that f is concave.

The argument for a convex function is symmetric.

The function f of many variables defined on the convex set S is convex if and only if for all ن ≥ 2

If the inequality is satisfied for all ن, it is satisfied in particular for ن = 2, so that f is concave directly from the definition of a concave function.

Now suppose that f is concave. Then the definition of a concave function implies directly that the inequality is satisfied for ن = 2. To show that it is satisfied for all ن ≥ 3 I argue by induction. يترك m ≥ 2 and suppose that the inequality is satisfied for all نm. I show that it is satisfied for ن = m + 1. Take any x1 ∈ S , . xm+1 ∈ S and λ1 ≥ 0, . λm+1 ≥ 0 with ∑ m+1
أنا=1 λأنا = 1. If λ1 = 1 then λ2 = . = λm+1 = 0, so that the inequality is trivially satisfied. If λ1 < 1 then

Differentiable concave and convex functions

f(x) − f(x*) ن
أنا=1 f'أنا(x*)·(xأناx*أنا) for all x ∈ S and x* ∈ S
f(x) − f(x*) ن
أنا=1 f'أنا(x*)·(xأناx*أنا) for all x ∈ S and x* ∈ S .

Twice-differentiable concave and convex functions

To determine whether a twice-differentiable function of many variables is concave or convex, we need to examine all its second partial derivatives. We call the matrix of all the second partial derivatives the Hessian of the function.

We can determine the concavity/convexity of a function by determining whether the Hessian is negative or positive semidefinite, as follows.

  • f is concave if and only if H (x) is negative semidefinite for all x ∈ S
  • if H (x) is negative definite for all x ∈ S then f is strictly concave
  • f is convex if and only if H (x) is positive semidefinite for all x ∈ S
  • if H (x) is positive definite for all x ∈ S then f is strictly convex.

Thus if you want to determine whether a function is strictly concave or strictly convex, you should first check the Hessian. If the Hessian is negative definite for all values of x then the function is strictly concave, and if the Hessian is positive definite for all values of x then the function is strictly convex. If the Hessian is not negative semidefinite for all values of x then the function is not concave, and hence of course is not strictly concave. Similarly, if the Hessian is not positive semidefinite the function is not convex. If the Hessian is not negative definite for all values of x لكن is negative semidefinite for all values of x, the function may or may not be strictly concave. In this case, you need to use some other method to determine whether the function is strictly concave (for example, you could use the basic definition of strict concavity). Similarly, if the Hessian is not positive definite for all values of x but is positive semidefinite for all values of x, the function may or may not be strictly convex.


Optimization of Functions of Several Variables (Exercises)

You are about to erase your work on this activity. Are you sure you want to do this?

Updated Version Available

There is an updated version of this activity. If you update to the most recent version of this activity, then your current progress on this activity will be erased. Regardless, your record of completion will remain. How would you like to proceed?

Mathematical Expression Editor

Now we put our optimization skills to work.

so the minimum cost occurs when the height is times the radius. If, for example, there is no difference in the cost of materials, the height is twice the radius.

Notice that the function we want to maximize, , depends on اثنين variables. Our next step is to find the relationship and use it to solve for one of the variables in terms of the other, so as to have a function of only one variable to maximize. In this problem, the condition is apparent in the figure, as the upper corner of the triangle, whose coordinates are , must be on the circle of radius . Write Solving for , since is found in the formula for the volume of the cone, we find Substitute this into the formula for the volume of the cone to find

We want to maximize when is between and . We solve finding or . We compute and The maximum is the latter. Since the volume of the sphere is , the fraction of the sphere occupied by the cone is

The optimal solution likely has the line being run along the ground for a while, then underwater, as the figure implies. We need to label our unknown distances: the distance run along the ground and the distance run underwater. Recognizing that the underwater distance can be measured as the hypotenuse of a right triangle, we can label our figure as follows

We now work a similar problem without concrete numbers.

You travel the distance from to at speed , and then the distance from to at speed . The distance from to is . By the Pythagorean theorem, the distance from to is Hence the total time for the trip is We want to find the minimum value of when is between 0 and . As usual we set and solve for . Write We find that Notice that does not appear in the last expression, but is not irrelevant, since we are interested only in critical values that are in , and is either in this interval or not. If it is, we can use the second derivative to test it: Since this is always positive there is a local minimum at the critical point, and so it is a global minimum as well.

If the critical value is not in it is larger than . In this case the minimum must occur at one of the endpoints. We can compute

but it is difficult to determine which of these is smaller by direct comparison. If, as is likely in practice, we know the values of , , , and , then it is easy to determine this. With a little cleverness, however, we can determine the minimum in general. We have seen that is always positive, so the derivative is always increasing. We know that at the derivative is zero, so for values of less than that critical value, the derivative is negative. This means that , so the minimum occurs when .

So the upshot is this: If you start farther away from than then you always want to cut across the sand when you are a distance from point . If you start closer than this to , you should cut directly across the sand.

With optimization problems you will see a variety of situations that require you to combine problem solving skills with calculus. Focus on the process. One must learn how to form equations from situations that can be manipulated into what you need. Forget memorizing how to do ‘‘this kind of problem’’ as opposed to ‘‘that kind of problem.’’

Learning a process will benefit one far more than memorizing a specific technique.


شاهد الفيديو: Calculus: Functions of several variables domain and range (شهر اكتوبر 2021).