مقالات

مضاعفات لاغرانج


يمكن أن يكون حل مشكلات التحسين لوظائف متغيرين أو أكثر مماثلاً لحل مثل هذه المشكلات في حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير. ومع ذلك ، تسمح لنا تقنيات التعامل مع المتغيرات المتعددة بحل مشاكل التحسين الأكثر تنوعًا والتي نحتاج إلى التعامل مع شروط أو قيود إضافية. في هذا القسم ، ندرس إحدى الطرق الأكثر شيوعًا وفائدة لحل مشكلات التحسين ذات القيود.

مضاعفات لاغرانج

في القسم السابق ، تم استكشاف حالة تطبيقية تتضمن تعظيم دالة الربح ، تخضع لبعض القيود. في هذا المثال ، تضمنت القيود الحد الأقصى لعدد كرات الجولف التي يمكن إنتاجها وبيعها في (1 ) شهر ((x) ، ) والحد الأقصى لعدد ساعات الإعلان التي يمكن شراؤها شهريًا (( ذ) ). لنفترض أنه تم دمجها في قيود ميزانية واحدة ، مثل (20x + 4y≤216 ) ، والتي أخذت في الاعتبار كلاً من تكلفة إنتاج كرات الجولف وعدد ساعات الإعلان المشتراة شهريًا. لا يزال الهدف هو تحقيق أقصى قدر من الربح ، ولكن يوجد الآن نوع مختلف من القيود على قيم (س ) و (ص ). هذا القيد ودالة الربح المقابلة

[f (x، y) = 48x + 96y − x ^ 2−2xy − 9y ^ 2 nonumber ]

هو مثال على مشكلة التحسين، والوظيفة (f (x، y) ) تسمى دالة الهدف. يتبع رسم بياني لمنحنيات المستوى المختلفة للوظيفة (f (x ، y) ).

في الشكل ( PageIndex {1} ) ، تمثل القيمة (c ) مستويات ربح مختلفة (أي قيم الوظيفة (f )). كلما زادت قيمة (ج ) ، يتحول المنحنى إلى اليمين. نظرًا لأن هدفنا هو زيادة الأرباح إلى الحد الأقصى ، فنحن نريد اختيار منحنى إلى أقصى اليمين قدر الإمكان. إذا لم تكن هناك قيود على عدد كرات الجولف التي يمكن للشركة إنتاجها أو عدد الوحدات الإعلانية المتاحة ، فيمكننا إنتاج العديد من كرات الجولف كما نريد ، والإعلان بالقدر الذي نريده ، ولن يكون هناك أقصى ربح للشركة. لسوء الحظ ، لدينا قيود الميزانية على غرار عدم المساواة (20x + 4y≤216. ) لمعرفة كيفية تفاعل هذا القيد مع دالة الربح ، يوضح الشكل (فهرس الصفحة {2} ) الرسم البياني للخط (20x + 4y = 216 ) متراكبًا على الرسم البياني السابق.

كما ذكرنا سابقًا ، يحدث الحد الأقصى للربح عندما يكون منحنى المستوى بعيدًا عن اليمين قدر الإمكان. ومع ذلك ، يجب أن يفي مستوى الإنتاج المقابل لهذا الحد الأقصى للربح أيضًا بقيود الميزانية ، لذلك يجب أن تكون النقطة التي يحدث عندها هذا الربح أيضًا على (أو على يسار) الخط الأحمر في الشكل ( PageIndex {2} ). يكشف فحص هذا الرسم البياني عن وجود هذه النقطة حيث يكون الخط مماسًا لمنحنى مستوى (f ). تكشف التجربة والخطأ أن مستوى الربح هذا يبدو قريبًا من (395 ) ، عندما يكون (س ) و (ص ) أقل بقليل من (5 ). نعود إلى حل هذه المشكلة لاحقًا في هذا القسم. من وجهة نظر نظرية ، عند النقطة التي يكون فيها منحنى الربح مماسًا لخط القيد ، يجب أن يشير التدرج اللوني لكلتا الوظيفتين المقيَّمتين في تلك النقطة إلى نفس الاتجاه (أو عكسه). تذكر أن تدرج دالة لأكثر من متغير هو متجه. إذا كان متجهان يشيران في نفس الاتجاه (أو العكس) ، فيجب أن يكون أحدهما مضاعفًا ثابتًا للآخر. هذه الفكرة هي أساس طريقة مضاعفات لاجرانج.

طريقة مضاعفات لاجرانج: قيد واحد

النظرية ( PageIndex {1} ):لنفترض أن (f ) و (g ) دالات لمتغيرين مع مشتقات جزئية مستمرة في كل نقطة من مجموعة مفتوحة تحتوي على المنحنى السلس (g (x ، y) = k ) ، حيث (k ) ) ثابت. افترض أن (f ) ، عندما يقتصر على النقاط على المنحنى (g (x، y) = k ) ، له حد أقصى محلي عند النقطة ((x_0، y_0) ) وأن ( vecs ∇g (x_0 ، y_0) ≠ 0 ). ثم هناك رقم (λ ) يسمى أ مضاعف لاغرانج ، لأي منهم

[ vecs ∇f (x_0، y_0) = λ vecs ∇g (x_0، y_0). ]

دليل

افترض أن الحد الأقصى المقيّد يحدث عند النقطة ((x_0، y_0). ) علاوة على ذلك ، نفترض أن المعادلة (g (x، y) = k ) يمكن تحديد معلماتها بسلاسة

(س = س (ق) ؛ نص {و} ؛ ص = ص (ق) )

حيث (s ) هي معلمة طول القوس بنقطة مرجعية ((x_0 ، y_0) ) في (s = 0 ). لذلك ، فإن الكمية (z = f (x (s)، y (s)) ) لها حد أقصى نسبي أو حد أدنى نسبي عند (s = 0 ) ، وهذا يعني أن ( dfrac {dz} { ds} = 0 ) في تلك المرحلة. من قاعدة السلسلة ،

[ start {align *} dfrac {dz} {ds} & = dfrac {∂f} {∂x} ⋅ dfrac {∂x} {∂s} + dfrac {∂f} {∂y} ⋅ dfrac {∂y} {∂s} [5pt] & = left ( dfrac {∂f} {∂x} hat { mathbf i} + dfrac {∂f} {∂y} قبعة { mathbf j} right) ⋅ left ( dfrac {∂x} {∂s} hat { mathbf i} + dfrac {∂y} {∂s} hat { mathbf j} right ) [5pt] & = 0، end {align *} ]

حيث يتم تقييم جميع المشتقات عند (s = 0 ). ومع ذلك ، فإن العامل الأول في حاصل الضرب النقطي هو تدرج (f ) ، والعامل الثاني هو متجه ظل الوحدة ( vec { mathbf T} (0) ) إلى منحنى القيد. نظرًا لأن النقطة ((x_0 ، y_0) ) تتوافق مع (s = 0 ) ، فإنه يتبع من هذه المعادلة أن

[ vecs ∇f (x_0، y_0) ⋅ vecs { mathbf T} (0) = 0، nonumber ]

مما يعني أن التدرج اللوني إما متجه صفري ( vecs 0 ) أو أنه طبيعي لمنحنى القيد عند أقصى حد نسبي مقيد. ومع ذلك ، فإن منحنى القيد (g (x، y) = k ) هو منحنى مستوى للدالة (g (x، y) ) بحيث إذا ( vecs ∇g (x_0، y_0) ≠ 0 ) ثم ( vecs ∇g (x_0، y_0) ) أمر طبيعي لهذا المنحنى عند ((x_0، y_0) ) ويتبع ذلك ، إذن ، أن هناك عددًا قياسيًا (λ ) بحيث

[ vecs ∇f (x_0، y_0) = λ vecs ∇g (x_0، y_0) nonumber ]

(ميدان)

للتقديم نظرية ( PageIndex {1} ) بالنسبة إلى مشكلة تحسين مشابهة لتلك التي تواجه الشركة المصنعة لكرات الجولف ، فنحن بحاجة إلى استراتيجية لحل المشكلات.

استراتيجية حل المشكلات: خطوات استخدام مضاعفات لاغرانج

  1. تحديد دالة الهدف (f (x، y) ) ووظيفة القيد (g (x، y). ) هل تتضمن مشكلة التحسين تكبير أو تصغير وظيفة الهدف؟
  2. قم بإعداد نظام المعادلات باستخدام القالب التالي: [ start {align} vecs ∇f (x، y) & = λ vecs ∇g (x، y) [5pt] g (x، y) & = k end {محاذاة}. ]
  3. حل من أجل (س ) و (ص ) لتحديد نقاط لاغرانج، أي النقاط التي ترضي معادلة لاغرانج المضاعف.
  4. إذا كانت دالة الهدف مستمرة على القيد وكان القيد منحنى مغلق (مثل دائرة أو قطع ناقص) ، فإن أكبر قيم (f ) في الحلول الموجودة في الخطوة (3 ) يكبر (و ) ، خاضعة للقيد ؛ أصغر هذه القيم تصغير (f ) ، تخضع للقيود.

    لكن في حالات أخرى ، نحتاج إلى تقييم الوظائف الموضوعية (f ) عند نقاط من القيد على جانبي كل نقطة لاغرانج لتحديد ما إذا كنا قد حصلنا على حد أقصى نسبي أو حد أدنى نسبي.

لاحظ أنه من الممكن ألا يكون لوظيفة الهدف حدًا أقصى نسبيًا أو حدًا أدنى نسبيًا عند نقطة لاغرانج معينة. يمكن أن يحدث هذا في حالتين ، ولكن في أغلب الأحيان عندما تكون نقطة لاغرانج أيضًا نقطة حرجة للوظيفة الموضوعية التي تعطينا نقطة سرج. في معظم الأوقات ، سنظل نحصل على حد أقصى نسبي عند نقطة سرج خاضعة لقيود ، لكن في بعض الأحيان لن نفعل ذلك. انظر الشكل ( PageIndex {3} ) للحصول على مثال لهذه الحالة.

الشكل ( PageIndex {3} ): رسم بياني لـ (f (x، y) = x ^ 2-y ^ 3 ) مع القيد ((x-1) ^ 2 + y ^ 2 = 1 ). لاحظ أنه لا يوجد حد أقصى نسبي عند ((0،0) ) ، على الرغم من أن هذه النقطة ستلبي معادلة Lagrange Multiplier مع ( lambda = 0 ).

مثال ( PageIndex {1} ): استخدام مضاعفات لاغرانج

استخدم طريقة مضاعفات لاغرانج لإيجاد القيمة الدنيا لـ (f (x، y) = x ^ 2 + 4y ^ 2−2x + 8y ) تخضع للقيد (x + 2y = 7. )

حل

دعنا نتبع استراتيجية حل المشكلات:

1. دالة الهدف هي (f (x، y) = x ^ 2 + 4y ^ 2−2x + 8y. ) وظيفة القيد تساوي الجانب الأيسر من معادلة القيد عندما يكون ثابتًا فقط على الجانب الأيمن. إذن هنا (g (x، y) = x + 2y ). تطلب منا المشكلة إيجاد القيمة الدنيا لـ (f ) ، مع مراعاة القيد (الشكل ( PageIndex {4} )).

2. يجب علينا بعد ذلك حساب التدرجات اللونية لكل من (f ) و (g ):

[ vecs nabla f left (x، y right) = left (2x - 2 right) hat { mathbf {i}} + left (8y + 8 right) hat { mathbf {j}} vecs nabla g left (x، y right) = hat { mathbf {i}} + 2 hat { mathbf {j}}. ]

تصبح المعادلة ( vecs nabla f left (x، y right) = lambda vecs nabla g left (x، y right) )

[ left (2 x - 2 right) hat { mathbf {i}} + left (8 y + 8 right) hat { mathbf {j}} = lambda left ( hat { mathbf {i}} + 2 hat { mathbf {j}} right) ، ]

والتي يمكن إعادة كتابتها كـ

[ left (2 x - 2 right) hat { mathbf {i}} + left (8 y + 8 right) hat { mathbf {j}} = lambda hat { mathbf { i}} + 2 lambda hat { mathbf {j}}. ]

بعد ذلك ، قمنا بتعيين معاملات ( hat { mathbf {i}} ) و ( hat { mathbf {j}} ) متساوية مع بعضها البعض:

[ start {align} 2 x - 2 & = lambda 8 y + 8 & = 2 lambda. نهاية {محاذاة} ]

المعادلة (g left (x، y right) = k ) تصبح (x + 2 y = 7 ). لذلك ، نظام المعادلات التي تحتاج إلى حل هو

[ start {align} 2 x - 2 & = lambda 8 y + 8 & = 2 lambda x + 2 y & = 7. end {align} ]

3. هذا نظام خطي من ثلاث معادلات في ثلاثة متغيرات. نبدأ بحل المعادلة الثانية لـ (λ ) واستبدالها في المعادلة الأولى. هذا يعطي (λ = 4y + 4 ) ، لذا فإن استبدال هذا في المعادلة الأولى يعطي [2x − 2 = 4y + 4. non Number ] حل هذه المعادلة لـ (x ) يعطي (x = 2y + 3 ). ثم نستبدل هذا في المعادلة الثالثة: [ start {align *} (2y + 3) + 2y & = 7 [5pt] 4y & = 4 [5pt] y & = 1. end {align *} ] بما أن (x = 2y + 3، ) يعطي هذا (x = 5. )

4. بعد ذلك ، نقيم (f (x، y) = x ^ 2 + 4y ^ 2−2x + 8y ) عند النقطة ((5،1) ) ، [f (5،1) = 5 ^ 2 + 4 (1) ^ 2−2 (5) +8 (1) = 27. ] للتأكد من أن هذا يتوافق مع الحد الأدنى لقيمة دالة القيد ، دعنا نجرب بعض النقاط الأخرى على القيد من جانبي النقطة ((5،1) ) ، مثل تقاطعات (g (x، y) = 0 ) ، والتي هي ((7،0) ) و ((0،3.5) ).

نحصل على (f (7،0) = 35 gt 27 ) و (f (0.3.5) = 77 gt 27 ).

لذلك يبدو أن (f ) لديه حد أدنى نسبي (27 ) في ((5،1) ) ، مع مراعاة القيد المحدد.

تمرين ( PageIndex {1} )

استخدم طريقة مضاعفات لاغرانج لإيجاد القيمة القصوى لـ

[f (x، y) = 9x ^ 2 + 36xy − 4y ^ 2−18x − 8y non number ]

تخضع للقيد (3 س + 4 ص = 32. )

تلميح

استخدم إستراتيجية حل المشكلات لطريقة مضاعفات لاغرانج.

إجابه

مع مراعاة القيد المحدد ، (f ) له قيمة قصوى تبلغ (976 ) عند النقطة ((8،2) ).

لنعد الآن إلى المشكلة المطروحة في بداية القسم.

مثال ( PageIndex {2} ): كرات الجولف ومضاعفات لاغرانج

طورت الشركة المصنعة لكرات الجولف ، Pro-T ، نموذجًا للربح يعتمد على عدد (x ) كرات الجولف المباعة شهريًا (تقاس بالآلاف) ، وعدد ساعات الإعلان شهريًا ذ حسب الوظيفة

[z = f (x، y) = 48x + 96y − x ^ 2−2xy − 9y ^ 2، nonumber ]

حيث (ض ) يقاس بآلاف الدولارات. يتم إعطاء دالة قيود الميزانية المتعلقة بتكلفة إنتاج آلاف كرات الجولف والوحدات الإعلانية من خلال (20x + 4y = 216. ) أوجد قيم (x ) و (y ) التي تزيد الربح إلى أقصى حد ، و أوجد أقصى ربح.

حل:

مرة أخرى ، نتبع استراتيجية حل المشكلات:

  1. الوظيفة الموضوعية هي (f (x، y) = 48x + 96y − x ^ 2−2xy − 9y ^ 2. ) لتحديد وظيفة القيد ، نقسم كلا الجانبين على (4 ) ، مما يعطي ( 5x + y = 54. ) دالة القيد تساوي الطرف الأيسر ، لذا (g (x، y) = 5x + y. ) تطلب منا المسألة إيجاد القيمة القصوى لـ (f ) ، مع مراعاة هذا القيد.
  2. لذلك ، نحسب تدرجات كل من (f ) و (g ): [ start {align *} vecs ∇f (x، y) & = (48−2x − 2y) hat { mathbf i} + (96−2x − 18y) hat { mathbf j} [5pt] vecs ∇g (x، y) & = 5 hat { mathbf i} + hat { mathbf j} . end {align *} ] المعادلة ( vecs ∇f (x، y) = λ vecs ∇g (x، y) ) تصبح [(48−2x − 2y) hat {i} + (96−2x − 18y) hat { mathbf j} = λ (5 hat { mathbf i} + hat { mathbf j}) ، nonumber ] والتي يمكن إعادة كتابتها كـ [(48−2x −2y) hat { mathbf i} + (96−2x − 18y) hat { mathbf j} = λ5 hat { mathbf i} + λ hat { mathbf j}. nonumber ] نحن بعد ذلك اضبط معاملات ( hat { mathbf i} ) و ( hat { mathbf j} ) متساوية مع بعضها البعض: [ start {align *} 48−2x − 2y & = 5λ [ 5pt] 96−2x − 18y & =. end {align *} ] المعادلة (g (x، y) = k ) تصبح (5x + y = 54 ). لذلك ، نظام المعادلات التي يجب حلها هو [ start {align *} 48−2x − 2y & = 5λ [5pt] 96−2x − 18y & = λ [5pt] 5x + y & = 54. النهاية {محاذاة *} ]
  3. نستخدم الجانب الأيسر من المعادلة الثانية لاستبدال (λ ) في المعادلة الأولى: [ start {align *} 48−2x − 2y & = 5 (96−2x − 18y) [5pt] 48−2x − 2y & = 480−10x − 90y [5pt] 8x & = 432−88y [5pt] x & = 54−11y. end {align *} ] ثم نستبدل هذا في المعادلة الثالثة: [ begin {align *} 5 (54−11y) + y & = 54 [5pt] 270−55y + y & = 54 [ 5pt] 216 & = 54y [5pt] y & = 4. end {align *} ] بما أن (x = 54−11y، ) هذا يعطي (x = 10. )
  4. ثم نعوض ((10،4) ) في (f (x، y) = 48x + 96y − x ^ 2−2xy − 9y ^ 2، ) مما يعطي [ begin {align *} f ( 10،4) & = 48 (10) +96 (4) - (10) ^ 2−2 (10) (4) −9 (4) ^ 2 [5pt] & = 480 + 384−100−80 −144 = 540. end {align *} ] لذلك فإن الحد الأقصى للربح الذي يمكن تحقيقه ، وفقًا لقيود الميزانية ، هو ($ 540،000 ) بمستوى إنتاج (10،000 ) كرة جولف و (4 ) ) ساعات من الإعلانات تم شراؤها شهريًا. دعنا نتحقق للتأكد من أن هذا هو بالفعل الحد الأقصى. نقطتا نهاية السطر الذي يحدد القيد هي ((10.8،0) ) و ((0،54) ) لنقم بتقييم (f ) في كلتا النقطتين: [ start {align *} f (10.8،0) & = 48 (10.8) +96 (0) −10.8 ^ 2−2 (10.8) (0) −9 (0 ^ 2) [5pt] & = 401.76 [5pt] f (0،54) & = 48 (0) +96 (54) −0 ^ 2−2 (0) (54) −9 (54 ^ 2) [5pt] & = - 21،060. end {align *} ] تمثل القيمة الثانية خسارة ، حيث لم يتم إنتاج كرات جولف. لا تتجاوز أي من هاتين القيمتين (540 ) ، لذلك يبدو أن أقصى قيمة لدينا هي (f ) ، تخضع لقيد معين.

التمرين ( PageIndex {2} ): تحسين وظيفة Cobb-Douglas

حددت إحدى الشركات أن مستوى إنتاجها مُعطى من خلال دالة Cobb-Douglas (f (x، y) = 2.5x ^ {0.45} y ^ {0.55} ) حيث يمثل (x ) إجمالي عدد العمالة ساعة في (1 ) عام و (ص ) يمثل إجمالي مدخلات رأس المال للشركة. افترض (1 ) وحدة تكاليف العمالة (40 دولارًا ) و (1 ) وحدة تكاليف رأس المال (50 دولارًا ). استخدم طريقة مضاعفات لاغرانج لإيجاد القيمة القصوى لـ (f (x، y) = 2.5x ^ {0.45} y ^ {0.55} ) الخاضعة لقيود الميزانية ($ 500،000 ) في السنة.

تلميح

استخدم إستراتيجية حل المشكلات لطريقة مضاعفات لاغرانج.

إجابه:

مع مراعاة القيد المحدد ، يحدث الحد الأقصى لمستوى الإنتاج (13890 ) مع (5625 ) ساعات العمل و (5500 دولارًا ) من إجمالي مدخلات رأس المال.

في حالة وجود دالة موضوعية ذات ثلاثة متغيرات ووظيفة قيد واحدة ، فمن الممكن استخدام طريقة مضاعفات لاغرانج لحل مشكلة تحسين أيضًا. مثال على دالة موضوعية ذات ثلاثة متغيرات يمكن أن يكون وظيفة كوب دوغلاس في التمرين ( PageIndex {2} ): (f (x، y، z) = x ^ {0.2} y ^ {0.4} z ^ {0.4}، ) حيث يمثل (x ) التكلفة من العمالة ، (ص ) يمثل مدخلات رأس المال ، و (ض ) يمثل تكلفة الإعلان. الطريقة هي نفسها بالنسبة للطريقة ذات دالة من متغيرين ؛ المعادلات المراد حلها هي

[ start {align *} vecs ∇f (x، y، z) & = λ vecs ∇g (x، y، z) [5pt] g (x، y، z) & = k. النهاية {محاذاة *} ]

مثال ( PageIndex {3} ): مضاعفات لاغرانج مع دالة هدف ذات ثلاثة متغيرات

تكبير الدالة (f (x، y، z) = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 ) تخضع للقيد (x + y + z = 1. )

حل:

1. الوظيفة الهدف هي (f (x، y، z) = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2. ) لتحديد دالة القيد ، قمنا بتعيينها مساوية للتعبير المتغير على اليسار جانب من معادلة القيد: (x + y + z = 1 ) الذي يعطي دالة القيد كـ (g (x، y، z) = x + y + z. )

2. بعد ذلك ، نحسب ( vecs ∇f (x، y، z) ) و ( vecs ∇g (x، y، z): ) [ start {align *} vecs ∇f (x، y، z) & = ⟨2x، 2y، 2z⟩ [5pt] vecs ∇g (x، y، z) & = ⟨1،1،1⟩. end {align *} ] يؤدي هذا إلى المعادلات [ start {align *} ⟨2x، 2y، 2z⟩ & = λ⟨1،1،1⟩ [5pt] x + y + z & = 1 end {align *} ] والتي يمكن إعادة كتابتها بالشكل التالي: [ begin {align *} 2x & = λ [5pt] 2y & = λ [5pt] 2z & = λ [5pt] x + y + z & = 1. النهاية {محاذاة *} ]

3. نظرًا لأن كل من المعادلات الثلاثة الأولى بها (λ ) على الجانب الأيمن ، فإننا نعلم أن (2x = 2y = 2z ) وجميع المتغيرات الثلاثة متساوية مع بعضها البعض. ينتج عن استبدال (y = x ) و (z = x ) في المعادلة الأخيرة (3x = 1، ) لذا (x = frac {1} {3} ) و (y = frac {1} {3} ) و (z = frac {1} {3} ) والتي تتوافق مع نقطة حرجة على منحنى القيد.

4. ثم نقيم (f ) عند النقطة ( left ( frac {1} {3} ، frac {1} {3} ، frac {1} {3} right) ) : [f left ( frac {1} {3} ، frac {1} {3} ، frac {1} {3} right) = left ( frac {1} {3} right ) ^ 2 + left ( frac {1} {3} right) ^ 2 + left ( frac {1} {3} right) ^ 2 = frac {3} {9} = frac { 1} {3} ] لذلك ، الحد الأقصى المحتمل للدالة هو ( frac {1} {3} ). للتحقق من أنه الحد الأدنى ، اختر النقاط الأخرى التي تفي بالقيد من جانبي النقطة التي حصلنا عليها أعلاه وحساب (f ) في تلك النقاط. على سبيل المثال ، [ begin {align *} f (1،0،0) & = 1 ^ 2 + 0 ^ 2 + 0 ^ 2 = 1 [5pt] f (0، −2،3) & = 0 ^ 2 ++ (- 2) ^ 2 + 3 ^ 2 = 13. end {align *} ] كلتا القيمتين أكبر من ( frac {1} {3} ) ، مما يجعلنا نعتقد أن الحد الأقصى هو الحد الأدنى ، مع مراعاة القيد المحدد.

تمرين ( PageIndex {3} ):

استخدم طريقة مضاعفات لاغرانج لإيجاد الحد الأدنى لقيمة الدالة

[f (x، y، z) = x + y + z non number ]

خاضع للقيد (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1. )

تلميح

استخدم إستراتيجية حل المشكلات لطريقة مضاعفات لاغرانج بوظيفة موضوعية من ثلاثة متغيرات.

إجابه

يعطينا تقييم (f ) في كلتا النقطتين اللتين حصلنا عليهما ، [ start {align *} f left ( dfrac { sqrt {3}} {3} ، dfrac { sqrt {3}} { 3} ، dfrac { sqrt {3}} {3} right) & = dfrac { sqrt {3}} {3} + dfrac { sqrt {3}} {3} + dfrac { sqrt {3}} {3} = sqrt {3} f left (- dfrac { sqrt {3}} {3} ، - dfrac { sqrt {3}} {3} ، - dfrac { sqrt {3}} {3} right) & = - dfrac { sqrt {3}} {3} - dfrac { sqrt {3}} {3} - dfrac { sqrt {3 }} {3} = - sqrt {3} end {align *} ] نظرًا لأن القيد مستمر ، فإننا نقارن هذه القيم ونستنتج أن (f ) لديه حد أدنى نسبي من (- sqrt {3 } ) عند النقطة ( left (- dfrac { sqrt {3}} {3} ، - dfrac { sqrt {3}} {3} ، - dfrac { sqrt {3}} { 3} right) ) ، تخضع لقيد معين.

مشاكل مع اثنين من القيود

يمكن تطبيق طريقة مضاعفات لاغرانج على المشكلات ذات أكثر من قيد واحد. في هذه الحالة ، تكون الوظيفة الهدف ، (w ) دالة من ثلاثة متغيرات:

[w = f (x، y، z) ]

وهي تخضع لقيدين:

[ز (س ، ص ، ض) = 0 ؛ نص {and} ؛ ح (س ، ص ، ض) = 0. ]

هناك نوعان من مضاعفات لاغرانج ، (λ_1 ) و (_2 ) ، ويصبح نظام المعادلات

[ start {align *} vecs ∇f (x_0، y_0، z_0) & = λ_1 vecs ∇g (x_0، y_0، z_0) + λ_2 vecs ∇h (x_0، y_0، z_0) [5pt ] g (x_0، y_0، z_0) & = 0 [5pt] h (x_0، y_0، z_0) & = 0 end {align *} ]

مثال ( PageIndex {4} ): مضاعفات لاغرانج مع قيدين

أوجد القيم القصوى والدنيا للدالة

[f (x، y، z) = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 non number ]

تخضع للقيود (z ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) و (x + y − z + 1 = 0. )

حل:

دعنا نتبع استراتيجية حل المشكلات:

  1. دالة الهدف هي (f (x، y، z) = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2. ) لتحديد وظائف القيد ، نطرح أولاً (z ^ 2 ) من كلا جانبي القيد الأول ، والذي يعطي (x ^ 2 + y ^ 2 − z ^ 2 = 0 ) ، لذلك (g (x، y، z) = x ^ 2 + y ^ 2 − z ^ 2 ). دالة القيد الثانية هي (h (x، y، z) = x + y − z + 1. )
  2. نحسب بعد ذلك تدرجات (f، g، ) و (h ): [ start {align *} vecs ∇f (x، y، z) & = 2x hat { mathbf i} + 2y hat { mathbf j} + 2z hat { mathbf k} [5pt] vecs ∇g (x، y، z) & = 2x hat { mathbf i} + 2y hat { mathbf j} −2z hat { mathbf k} [5pt] vecs ∇h (x، y، z) & = hat { mathbf i} + hat { mathbf j} - hat { mathbf ك}. end {align *} ] المعادلة ( vecs ∇f (x، y، z) = λ_1 vecs ∇g (x، y، z) + +_2 vecs sh (x، y، z) ) يصبح [2x hat { mathbf i} + 2y hat { mathbf j} + 2z hat { mathbf k} = λ_1 (2x hat { mathbf i} + 2y hat { mathbf j} −2z hat { mathbf k}) + λ_2 ( hat { mathbf i} + hat { mathbf j} - hat { mathbf k}) ، ] والتي يمكن إعادة كتابتها كـ [2x hat { mathbf i} + 2y hat { mathbf j} + 2z hat { mathbf k} = (2λ_1x + λ_2) hat { mathbf i} + (2λ_1y + λ_2) hat { mathbf j} - (2λ_1z + λ_2) hat { mathbf k}. ] بعد ذلك ، قمنا بتعيين معاملات ( hat { mathbf i} ) و ( hat { mathbf j} ) متساوية مع بعضها البعض: [ start {align *} 2x & = 2λ_1x + λ_2 [5pt] 2y & = 2λ_1y + λ_2 [5pt] 2z & = - 2λ_1z − λ_2. end {align *} ] المعادلتان اللتان تنشأان من القيود هما (z ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) و (x + y − z + 1 = 0 ). يؤدي دمج هذه المعادلات مع المعادلات الثلاث السابقة إلى [ start {align *} 2x & = 2λ_1x + λ_2 [5pt] 2y & = 2λ_1y + λ_2 [5pt] 2z & = - 2λ_1z − λ_2 [5pt] z ^ 2 & = x ^ 2 + y ^ 2 [5pt] x + y − z + 1 & = 0. النهاية {محاذاة *} ]
  3. تحتوي المعادلات الثلاث الأولى على المتغير (λ_2 ). يؤدي حل المعادلة الثالثة لـ (λ_2 ) والاستبدال في المعادلتين الأولى والثانية إلى تقليل عدد المعادلات إلى أربعة: [ start {align *} 2x & = 2λ_1x − 2λ_1z − 2z [5pt] 2y & = 2λ_1y− 2λ_1z − 2z [5pt] z ^ 2 & = x ^ 2 + y ^ 2 [5pt] x + y − z + 1 & = 0. end {align *} ] بعد ذلك ، نحل المعادلة الأولى والثانية لـ (λ_1 ). تعطي المعادلة الأولى (λ_1 = dfrac {x + z} {x − z} ) ، وتعطي المعادلة الثانية (λ_1 = dfrac {y + z} {y − z} ). نجعل الجانب الأيمن من كل معادلة متساويًا مع بعضنا البعض وضربًا تبادليًا: [ start {align *} dfrac {x + z} {x − z} & = dfrac {y + z} {y −z} [5pt] (x + z) (y − z) & = (x − z) (y + z) [5pt] xy − xz + yz − z ^ 2 & = xy + xz − yz −z ^ 2 [5pt] 2yz − 2xz & = 0 [5pt] 2z (y − x) & = 0. end {align *} ] لذلك ، إما (z = 0 ) أو (y = x ). إذا كان (z = 0 ) ، يصبح القيد الأول (0 = x ^ 2 + y ^ 2 ). الحل الحقيقي الوحيد لهذه المعادلة هو (x = 0 ) و (y = 0 ) ، والذي يعطي الترتيب الثلاثي ((0،0،0) ). هذه النقطة لا تفي بالقيد الثاني ، لذا فهي ليست حلاً. بعد ذلك ، نأخذ في الاعتبار (y = x ) ، مما يقلل عدد المعادلات إلى ثلاثة: [ start {align *} y & = x [5pt] z ^ 2 & = x ^ 2 + y ^ 2 [5pt] x + y -z + 1 & = 0. end {align *} ] استبدلنا المعادلة الأولى في المعادلتين الثانية والثالثة: [ start {align *} z ^ 2 & = x ^ 2 + x ^ 2 [5pt] & = x + x -z + 1 = 0. end {align *} ] ثم نحل المعادلة الثانية لـ (z ) والتي تعطي (z = 2x + 1 ). ثم نستبدل هذا في المعادلة الأولى ، [ start {align *} z ^ 2 & = 2x ^ 2 [5pt] (2x ^ 2 +1) ^ 2 & = 2x ^ 2 [5pt] 4x ^ 2 + 4x +1 & = 2x ^ 2 [5pt] 2x ^ 2 + 4x +1 & = 0، end {align *} ] واستخدم الصيغة التربيعية لحل (x ): [x = dfrac {-4 pm sqrt {4 ^ 2 -4 (2) (1)}} {2 (2)} = dfrac {-4 pm sqrt {8}} {4} = dfrac {-4 pm 2 sqrt {2}} {4} = -1 pm dfrac { sqrt {2}} {2}. ] أذكر (y = x ) ، لذا فإن هذا يحل لـ (y ) أيضًا. ثم (z = 2x + 1 ) ، لذا [z = 2x +1 = 2 left (-1 pm dfrac { sqrt {2}} {2} right) +1 = -2 + 1 pm sqrt {2} = -1 pm sqrt {2}. ] لذلك ، هناك حلان ثلاثيان مرتبان: [ left (-1 + dfrac { sqrt {2}} {2}، -1 + dfrac { sqrt {2}} {2}، -1 + sqrt {2} right) ؛ نص {and} ؛ يسار (-1 - dfrac { sqrt {2}} {2}، -1 - dfrac { sqrt {2}} {2} ، -1 - sqrt {2} right). ]
  4. نستبدل ( left (−1+ dfrac { sqrt {2}} {2}، - 1+ dfrac { sqrt {2}} {2}، −1+ sqrt {2} right) ) إلى (f (x، y، z) = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 ) ، مما يعطي [ start {align *} f left (-1 + dfrac { sqrt {2}} {2}، -1 + dfrac { sqrt {2}} {2}، -1 + sqrt {2} right) & = left (-1+ dfrac { sqrt {2 }} {2} right) ^ 2 + left (-1 + dfrac { sqrt {2}} {2} right) ^ 2 + (-1+ sqrt {2}) ^ 2 [ 5pt] & = left (1- sqrt {2} + dfrac {1} {2} right) + left (1- sqrt {2} + dfrac {1} {2} right) + (1 -2 sqrt {2} +2) [5pt] & = 6-4 sqrt {2}. end {align *} ] ثم نستبدل ( left (−1− dfrac { sqrt {2}} {2}، -1+ dfrac { sqrt {2}} {2} ، - 1+ sqrt {2} right) ) إلى (f (x، y، z) = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 ) ، مما يعطي [ begin {align *} f يسار (−1− dfrac { sqrt {2}} {2}، -1+ dfrac { sqrt {2}} {2}، -1+ sqrt {2} right) & = left ( -1- dfrac { sqrt {2}} {2} right) ^ 2 + left (-1 - dfrac { sqrt {2}} {2} right) ^ 2 + (-1- sqrt {2}) ^ 2 [5pt] & = left (1+ sqrt {2} + dfrac {1} {2} right) + left (1+ sqrt {2} + dfrac {1} {2} right) + (1 +2 sqrt {2} +2) [5pt] & = 6 + 4 sqrt {2}. end {align *} ] (6 + 4 sqrt {2} ) هي القيمة القصوى و (6−4 sqrt {2} ) هي الحد الأدنى لقيمة (f (x، y، z) ) ، مع مراعاة القيود المحددة.

تمرين ( PageIndex {4} )

استخدم طريقة مضاعفات لاغرانج لإيجاد الحد الأدنى لقيمة الدالة

[f (x، y، z) = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 ]

تخضع للقيود (2x + y + 2z = 9 ) و (5x + 5y + 7z = 29. )

تلميح

استخدم إستراتيجية حل المشكلات لطريقة مضاعفات لاغرانج بقيدتين.

إجابه

(f (2،1،2) = 9 ) هو حد أدنى نسبي لـ (f ) ، يخضع للقيود المحددة

المفاهيم الرئيسية

  • وظيفة موضوعية مقترنة بقيد واحد أو أكثر هي مثال على مشكلة التحسين.
  • لحل مشاكل التحسين ، نطبق طريقة مضاعفات لاغرانج باستخدام استراتيجية حل المشكلات المكونة من أربع خطوات.

المعادلات الرئيسية

  • طريقة مضاعفات لاجرانج قيد واحد

( vecs ∇f (x، y) = λ vecs ∇g (x، y) )

(ز (س ، ص) = ك )

  • طريقة مضاعفات لاجرانج ، قيدان

( vecs ∇f (x_0، y_0، z_0) = λ_1 vecs ∇g (x_0، y_0، z_0) + λ_2 vecs ∇h (x_0، y_0، z_0) )

(ز (س_0 ، ص_0 ، ض_0) = 0 )

(ح (س_0 ، ص_0 ، ض_0) = 0 )

قائمة المصطلحات

قيد
متباينة أو معادلة تتضمن متغيرًا واحدًا أو أكثر يتم استخدامه في مشكلة التحسين ؛ يفرض القيد حدًا للحلول الممكنة للمشكلة
مضاعف لاغرانج
الثابت (أو الثوابت) المستخدم في طريقة مضاعفات لاغرانج ؛ في حالة وجود ثابت واحد ، يتم تمثيله بالمتغير (λ )
طريقة مضاعفات لاجرانج
طريقة لحل مشكلة تحسين تخضع لقيود واحدة أو أكثر
دالة الهدف
الوظيفة التي سيتم تكبيرها أو تصغيرها في مشكلة التحسين
مشكلة التحسين
حساب الحد الأقصى أو الحد الأدنى لقيمة دالة من عدة متغيرات ، غالبًا باستخدام مضاعفات لاغرانج

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


شاهد الفيديو: حل مفصل لتمرين حول مضاعفات لاغرانج السنة الأولى جامعي تسيير وإقتصاد (شهر اكتوبر 2021).