مقالات

نظرية ستوكس - الرياضيات


أهداف التعلم

  • اشرح معنى نظرية ستوكس.
  • استخدم نظرية ستوكس لتقييم تكامل الخط.
  • استخدم نظرية ستوكس لحساب تكامل السطح.
  • استخدم نظرية ستوكس لحساب التجعيد.

في هذا القسم ، ندرس نظرية ستوكس ، وهي تعميم عالي الأبعاد لنظرية جرين. هذه النظرية ، مثل النظرية الأساسية لتكاملات الخط ونظرية جرين ، هي تعميم للنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل على أبعاد أعلى. ترتبط نظرية ستوكس بسطح متجه متكامل على السطح (S ) في الفضاء بخط متكامل حول حدود (S ). لذلك ، تمامًا مثل النظريات التي سبقتها ، يمكن استخدام نظرية ستوكس لتقليل التكامل على كائن هندسي (S ) إلى تكامل فوق حدود (S ). بالإضافة إلى السماح لنا بالترجمة بين تكاملات الخط والتكاملات السطحية ، تربط نظرية ستوكس مفهومي الضفيرة والدوران. علاوة على ذلك ، فإن للنظرية تطبيقات في ميكانيكا الموائع والكهرومغناطيسية. نستخدم نظرية ستوكس لاشتقاق قانون فاراداي ، وهي نتيجة مهمة تتعلق بالمجالات الكهربائية.

نظرية ستوكس

تنص نظرية ستوكس على أنه يمكننا حساب تدفق (curl ، vecs {F} ) عبر السطح (S ) من خلال معرفة المعلومات فقط عن قيم ( vecs {F} ) على طول حدود (س). على العكس من ذلك ، يمكننا حساب تكامل خط الحقل المتجه ( vecs {F} ) على طول حدود السطح (S ) بالترجمة إلى تكامل مزدوج من التفاف ( vecs {F} ) فوق (س).

لنفترض (S ) أن يكون سطحًا أملسًا موجهًا مع وحدة متجه عادية ( vecs {N} ). علاوة على ذلك ، افترض أن حدود (S ) هي منحنى مغلق بسيط (C ). يستحث اتجاه (S ) الاتجاه الإيجابي لـ (C ) إذا ، وأنت تمشي في الاتجاه الإيجابي حول (C ) مع توجيه رأسك باتجاه ( vecs {N} ) ، يكون السطح دائمًا على يسارك. مع هذا التعريف في مكانه ، يمكننا القول نظرية ستوكس.

Theorem ( PageIndex {1} ): نظرية ستوكس

لنفترض (S ) أن يكون سطحًا أملسًا متعدد الجوانب مع حد منحنى بسيط مغلق (C ) مع اتجاه إيجابي (الشكل ( PageIndex {1} )). إذا كان ( vecs {F} ) حقل متجه به وظائف مكون لها مشتقات جزئية مستمرة في منطقة مفتوحة تحتوي على (S ) ، إذن

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_S curl ، vecs {F} cdot d vecs S. label {Stokes1} ]

لنفترض أن السطح (S ) هو منطقة مسطحة في (س ص ) - مستوى مع اتجاه تصاعدي. ثم متجه الوحدة العادي هو ( vecs {k} ) وتكامل السطح

[ iint_S curl ، vecs {F} cdot d vecs {S} ]

هو في الواقع التكامل المزدوج

[ iint_S curl ، vecs {F} cdot vecs {k} ، dA. ]

في هذه الحالة الخاصة ، تعطي نظرية ستوكس

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_S curl ، vecs {F} cdot vecs {k} ، dA. ]

ومع ذلك ، هذا هو الشكل المتدفق لنظرية جرين ، والذي يوضح لنا أن نظرية جرين هي حالة خاصة من نظرية ستوكس. يمكن لنظرية جرين التعامل مع الأسطح في المستوى فقط ، لكن نظرية ستوكس يمكنها التعامل مع الأسطح في المستوى أو في الفضاء.

الدليل الكامل لنظرية ستوكس خارج نطاق هذا النص. ننظر إلى تفسير بديهي لحقيقة النظرية ، ثم نرى دليلًا على النظرية في الحالة الخاصة التي تشير إلى أن السطح (S ) هو جزء من رسم بياني لوظيفة ، و (S ) ، حدود (S ) و ( vecs {F} ) كلها ترويض إلى حد ما.

دليل - إثبات

أولاً ، ننظر إلى إثبات غير رسمي للنظرية. هذا الدليل ليس صارمًا ، لكن المقصود منه إعطاء شعور عام عن سبب صحة النظرية. دع (S ) يكون سطحًا واجعل (D ) قطعة صغيرة من السطح بحيث لا يشارك (D ) أي نقاط مع حدود (S ). نختار (D ) أن تكون صغيرة بما يكفي بحيث يمكن تقريبها بمربع موجه (E ). دع (D ) يرث اتجاهه من (S ) ، ويعطي (E ) نفس الاتجاه. هذا المربع له أربعة جوانب. دلل عليها (E_l ، ، E_r ، ، E_u ) ، و (E_d ) للجوانب اليسرى ، اليمنى ، الأعلى ، والأسفل ، على التوالي. في المربع ، يمكننا استخدام صيغة التدفق لنظرية جرين:

[ int_ {E_l + E_d + E_r + E_u} vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_E curl ، vecs {F} cdot vecs {N} ، d vecs { S} = iint_E curl ، vecs {F} cdot d vecs {S}. ]

لتقريب التدفق فوق السطح بالكامل ، نضيف قيم التدفق على المربعات الصغيرة التي تقترب من قطع صغيرة من السطح (الشكل ( PageIndex {2} )).

وفقًا لنظرية جرين ، فإن التدفق عبر كل مربع تقريبي هو خط متكامل فوق حدوده. لنفترض (F ) أن يكون مربعًا تقريبًا مع اتجاه موروث من (S ) وبجانبه الأيمن (E_l ) (بحيث يكون (F ) على يسار (E )). دع (F_r ) يشير إلى الجانب الأيمن من (F ) ؛ ثم (E_l = - F_r ). بعبارة أخرى ، الجانب الأيمن من (F ) هو نفس منحنى الجانب الأيسر من (E ) ، فقط موجه في الاتجاه المعاكس. وبالتالي،

[ int_ {E_l} vecs F cdot d vecs r = - int_ {F_r} vecs F cdot d vecs r. لا يوجد رقم]

نظرًا لأننا نجمع كل التدفقات على جميع المربعات التي تقترب من السطح (S ) ، تكاملات الخط

[ int_ {E_l} vecs {F} cdot d vecs {r} ]

و

[ int_ {F_r} vecs {F} cdot d vecs {r} ]

يلغي كل منهما الآخر. الأمر نفسه ينطبق على تكاملات الخط على الجوانب الثلاثة الأخرى لـ (E ). تلغي تكاملات الأسطر الثلاثة هذه مع تكامل خط الجانب السفلي من المربع أعلاه (E ) ، والخط المتكامل على الجانب الأيسر من المربع على يمين (E ) ، والخط متكامل فوق الجانب العلوي من المربع أسفل (E ) (الشكل ( PageIndex {3} )). بعد كل هذا الإلغاء يحدث في جميع المربعات التقريبية ، فإن تكاملات الخط الوحيدة الباقية هي تكاملات الخط على الجوانب التي تقترب من حدود (S ). لذلك ، يمكن تقريب مجموع كل التدفقات (والتي ، وفقًا لنظرية جرين ، هي مجموع كل تكاملات الخط حول حدود المربعات التقريبية) بخط متكامل فوق حدود (S ). في النهاية ، نظرًا لأن مناطق المربعات التقريبية تذهب إلى الصفر ، فإن هذا التقريب يقترب بشكل تعسفي من التدفق.

دعنا الآن نلقي نظرة على إثبات صارم للنظرية في الحالة الخاصة أن (S ) هو الرسم البياني للوظيفة (z = f (x ، y) ) ، حيث (x ) و (y ) تختلف عبر منطقة محدودة متصلة ببساطة (D ) من منطقة محدودة (الشكل ( PageIndex {4} )). علاوة على ذلك ، افترض أن (f ) له مشتقات جزئية مستمرة من الدرجة الثانية. دع (C ) يشير إلى حدود (S ) ودع (C ') يشير إلى حدود (D ). إذن ، (D ) هو "ظل" (S ) في المستوى و (C ") هو" ظل " (C ). افترض أن (S ) موجه لأعلى. اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة لـ (C ) موجب ، وكذلك اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة لـ (C '). لنفترض أن ( vecs F (x، y، z) = langle P، Q، R rangle ) حقل متجه مع وظائف مكون لها مشتقات جزئية مستمرة.

نأخذ المعلمات القياسية لـ (S ،: ، x = x ، ، y = y ، ، z = g (x ، y) ). متجهات الظل هي ( vecs t_x = langle 1،0، g_x rangle ) و ( vecs t_y = langle 0،1، g_y rangle ) ، وبالتالي ( vecs t_x times vecs t_y = langle -g_x ، ، -g_y ، ، 1 rangle ).

[ iint_S curl ، vecs {F} cdot d vecs {S} = iint_D [- (R_y - Q_z) z_x - (P_z - R_x) z_y + (Q_x - P_y)] ، dA، لا يوجد رقم]

حيث يتم تقييم جميع المشتقات الجزئية عند ((x، y، g (x، y)) ) ، مما يجعل التكامل يعتمد على (x ) و (y ) فقط. افترض أن ( langle x (t) ، ، y (t) rangle ، ​​، a leq t leq b ) معلمة لـ (C '). بعد ذلك ، تكون معلمة (C ) هي ( langle x (t) ، ، y (t) ، ، g (x (t) ، ، y (t)) rangle ، ​​، a leq t leq b ). مسلح بهذه المعلمات ، قاعدة السلسلة ، ونظرية Green ، مع الأخذ في الاعتبار أن (P ) و (Q ) و (R ) كلها وظائف (x ) و (y ) ، يمكننا إيجاد قيمة تكامل الخط

[ start {align *} int_C vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_a ^ b (Px '(t) + Qy' (t) + Rz '(t)) ، dt [4pt] & = int_a ^ b left [Px '(t) + Qy' (t) + R left ( dfrac { جزئي z} { جزئي x} dfrac {dx} {dt } + dfrac { جزئي z} { جزئي y} dfrac {dy} {dt} right) right] dt [4pt] & = int_a ^ b left [ left (P + R dfrac { جزئي z} { جزئي x} يمين) x '(t) + يسار (Q + R dfrac { جزئي z} { جزئي y} يمين) y' (t) right] dt [4pt] & = int_ {C '} left (P + R dfrac { جزئي z} { جزئي x} يمين) ، dx + يسار (Q + R dfrac { جزئي z } { جزئي y} يمين) ، dy [4pt] & = iint_D left [ dfrac { جزئي} { جزئي x} يسار (Q + R dfrac { جزئي z} { جزء y} يمين) - dfrac { جزئي} { جزئي y} يسار (P + R dfrac { جزئي z} { جزئي x} يمين) يمين] ، dA [4pt] & = iint_D left ( dfrac { جزئي Q} { جزئي x} + dfrac { جزئي Q} { جزئي z} dfrac { جزئي z} { جزئي x} + dfrac { جزئي R} { جزئي x} dfrac { جزئي z} { جزئي y} + dfrac { جزئي R} { جزئي z} dfrac { جزئي z} { جزئي x} dfrac { جزئي z} { جزئي y} + R dfrac { جزئي ^ 2 z} { جزئي x جزئي y} يمين) - يسار ( dfrac { جزئي P} { جزئي y} + dfrac { part P} { جزئي z} dfrac { جزئي z} { جزئي y} + dfrac { جزئي R} { جزئي z} dfrac { جزئي z} { جزئي y} dfrac { جزئي z} { جزئي x} + R dfrac { جزئي ^ 2 z} { جزئي y جزئي x} يمين) end {align *} ]

من خلال نظرية كليروت ،

[ dfrac { جزئي ^ 2 z} { جزئي x جزئي y} = dfrac { جزئي ^ 2 z} { جزئي y جزئي x} non Number ]

إذن ، تختفي أربعة حدود من هذا التكامل المزدوج ، ويتبقى لنا

[ iint_D [- (R_y - Q_z) Z_x - (P_z - R_x) z_y + (Q_x - P_y)] ، dA، nonumber ]

الذي يساوي

[ iint_S curl ، vecs {F} cdot d vecs {S}. لا يوجد رقم]

(علبة)

لقد أظهرنا أن نظرية ستوكس صحيحة في حالة الوظيفة ذات المجال الذي هو ببساطة منطقة متصلة بمنطقة محدودة. يمكننا تأكيد هذه النظرية بسرعة لحالة أخرى مهمة: عندما يكون حقل المتجه ( vecs {F} ) حقلاً متحفظًا. إذا كانت ( vecs {F} ) محافظة ، فإن قيمة ( vecs {F} ) تساوي صفرًا ، لذلك

[ iint_S curl ، vecs {F} cdot d vecs {S} = 0. ]

بما أن حدود (S ) عبارة عن منحنى مغلق ، فهو لا يتجزأ

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r}. ]

هي أيضا صفر.

مثال ( PageIndex {1} ): التحقق من نظرية ستوكس لحالة معينة

تحقق من صحة نظرية ستوكس لحقل المتجه ( vecs {F} (x، y) = langle -z، x، 0 rangle ) والسطح (S ) ، حيث (S ) هو نصف الكرة ، موجه للخارج ، مع تحديد المعلمات ( vecs r ( phi ، theta) = langle sin phi ، cos theta ، ، sin phi ، sin theta ، ، cos phi rangle، ، 0 leq theta leq pi، ، 0 leq phi leq pi ) كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {5} ).

المحلول

دع (C ) يكون حدود (S ). لاحظ أن (C ) دائرة نصف قطرها 1 ، تتمركز في الأصل ، وتجلس في المستوى (y = 0 ). تحتوي هذه الدائرة على معلمات ( langle cos t، ، 0، ، sin t rangle، ، 0 leq t leq 2 pi ). معادلة التكاملات السطحية العددية

[ start {align *} int_C vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_0 ^ {2 pi} langle - sin t، ، cos t، ، 0 rangle cdot langle - sin t، ، 0، ، cos t rangle ، dt [4pt] & = int_0 ^ {2 pi} sin ^ 2 t ، dt [ 4pt] & = pi. النهاية {محاذاة *} ]

بواسطة معادلة تكاملات خط المتجه ،

[ start {align *} iint_S ، curl ، vecs {F} cdot d vecs S & = iint_D curl ، vecs {F} ( vecs r ( phi، theta)) cdot ( vecs t _ { phi} times vecs t _ { theta}) ، dA [4pt] & = iint_D langle 0، -1، 1 rangle cdot langle cos theta ، sin ^ 2 phi، ، sin theta ، sin ^ 2 phi، ، sin phi ، cos phi rangle ، dA [4pt] & = int_0 ^ { pi} int_0 ^ { pi} ( sin phi ، cos phi - sin theta ، sin ^ 2 phi) ، d phi d theta [4pt] & = dfrac { pi} {2} int_0 ^ { pi} sin theta ، d theta [4pt] & = pi. end {align *} ]

لذلك ، تحققنا من نظرية ستوكس في هذا المثال.

تمرين ( PageIndex {1} )

تحقق من صحة نظرية ستوكس لحقل المتجه ( vecs {F} (x، y، z) = langle y، x، -z rangle ) والسطح (S ) ، حيث (S ) ) هو الجزء الموجه لأعلى من الرسم البياني لـ (f (x، y) = x ^ 2 y ) فوق مثلث في (xy ) - الطائرة ذات الرؤوس ((0،0) ، ، ( 2،0) ) و ((0،2) ).

تلميح

احسب التكامل المزدوج والخط المتكامل بشكل منفصل.

إجابه

يعطي كلا التكاليين (- dfrac {136} {45} ):

تفسير الضفيرة

بالإضافة إلى الترجمة بين تكاملات الخط وتكاملات التدفق ، يمكن استخدام نظرية ستوكس لتبرير التفسير المادي للضفيرة التي تعلمناها. هنا نتحرى العلاقة بين الضفيرة والدوران ، ونستخدم نظرية ستوكس لتوضيح قانون فاراداي - وهو قانون مهم في الكهرباء والمغناطيسية يربط التفاف المجال الكهربائي بمعدل تغير المجال المغناطيسي.

تذكر أنه إذا كان (C ) منحنى مغلق و ( vecs {F} ) عبارة عن حقل متجه محدد في (C ) ، فإن تداول ( vecs {F} ) حول ( C ) خط متكامل

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r}. ]

إذا كان ( vecs {F} ) يمثل مجال سرعة مائع في الفضاء ، فإن الدوران يقيس ميل السائل للتحرك في اتجاه (C ).

لنفترض أن ( vecs {F} ) حقل متجه مستمر واجعل (D _ { tau} ) قرصًا صغيرًا من نصف القطر (r ) مع المركز (P_0 ) (الشكل ( فهرس الصفحة {7} )). إذا كان (D _ { tau} ) صغيرًا بدرجة كافية ، إذن ((curl ، vecs {F}) (P) almost (curl ، vecs F) (P_0) ) لجميع النقاط ( P ) في (D _ { tau} ) لأن التجعيد مستمر. لنفترض أن (C _ { tau} ) دائرة حدود (D _ { tau} ): بواسطة نظرية ستوكس ،

[ int_ {C _ { tau}} vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_ {D _ { tau}} curl ، vecs {F} cdot vecs {N} ، d vecs S almost iint_ {D _ { tau}} (curl ، vecs {F}) (P_0) cdot vecs {N} (P_0) ، d vecs S. ]

الكمية ((curl ، vecs F) (P_0) cdot vecs N (P_0) ) ثابتة ، وبالتالي

[ iint_ {D _ { tau}} (curl ، vecs F) (P_0) cdot vecs N (P_0) ، d vecs S = pi r ^ 2 [(curl ، vecs F ) (P_0) cdot vecs N (P_0)]. لا يوجد رقم]

هكذا

[ int_ {C _ { tau}} vecs F cdot d vecs r almost pi r ^ 2 [(curl ، vecs F) (P_0) cdot vecs N (P_0)] ، لا يوجد رقم]

ويقترب التقريب بشكل تعسفي مع تقلص نصف القطر إلى الصفر. لذلك فإن نظرية ستوكس تعني ذلك

[(curl ، vecs F) (P_0) cdot vecs N (P_0) = lim_ {r rightarrow 0 ^ +} dfrac {1} { pi r ^ 2} int_ {C _ { tau}} vecs F cdot d vecs r. لا يوجد رقم]

تربط هذه المعادلة تجعيد حقل متجه بالدوران. نظرًا لأن مساحة القرص ( pi r ^ 2 ) ، تنص هذه المعادلة على أنه يمكننا عرض الضفيرة (في الحد) على أنها الدورة الدموية لكل وحدة مساحة. تذكر أنه إذا كان ( vecs F ) هو حقل سرعة السائل ، فإن الدوران [ oint_ {C _ { tau}} vecs F cdot d vecs r = oint_ {C _ { tau}} vecs F cdot vecs T ، ds ] هو مقياس لميل السائل للتحرك حول (C _ { tau} ): السبب في ذلك هو أن ( vecs F cdot vecs T ) هو أحد مكونات ( vecs F ) في اتجاه ( vecs T ) ، وكلما اقترب اتجاه ( vecs F ) من ( vecs T ) ، أكبر قيمة ( vecs F cdot vecs T ) (تذكر أنه إذا كان ( vecs a ) و ( vecs b ) متجهات و ( vecs b ) تم إصلاحه ، يكون المنتج النقطي ( vecs a cdot vecs b ) هو الحد الأقصى عندما يشير ( vecs a ) إلى نفس اتجاه ( vecs b )). لذلك ، إذا كان ( vecs F ) هو حقل سرعة السائل ، فإن (curl ، vecs F cdot vecs N ) هو مقياس لكيفية دوران السائل حول المحور ( vecs N ). يكون تأثير الضفيرة أكبر بالنسبة للمحور الذي يشير في اتجاه ( vecs N ) ، لأنه في هذه الحالة يكون (curl ، vecs F cdot vecs N ) أكبر ما يمكن.

لرؤية هذا التأثير بطريقة أكثر واقعية ، تخيل وضع عجلة مجداف صغيرة عند النقطة (P_0 ) (الشكل ( PageIndex {8} )). تحقق عجلة المجذاف سرعتها القصوى عندما يشير محور العجلة في اتجاه التفاف ( vecs F ). هذا يبرر تفسير الضفيرة التي تعلمناها: curl هو مقياس للدوران في حقل المتجه حول المحور الذي يشير في اتجاه المتجه العادي ( vecs N ) ، وتبرر نظرية ستوكس هذا التفسير.

الآن بعد أن تعلمنا عن نظرية ستوكس ، يمكننا مناقشة التطبيقات في مجال الكهرومغناطيسية. على وجه الخصوص ، ندرس كيف يمكننا استخدام نظرية ستوكس للترجمة بين شكلين مكافئين لقانون فاراداي. قبل ذكر شكلي قانون فاراداي ، نحتاج إلى بعض المصطلحات الأساسية.

لنفترض أن (C ) منحنى مغلق يمثل سلكًا رفيعًا. في سياق المجالات الكهربائية ، قد يتحرك السلك بمرور الوقت ، لذلك نكتب (C (t) ) لتمثيل السلك. في وقت معين (t ) ، قد يختلف المنحنى (C (t) ) عن المنحنى الأصلي (C ) بسبب حركة السلك ، لكننا نفترض أن (C (t) ) هو منحنى مغلق لجميع الأوقات (t ). لنفترض أن (D (t) ) يكون سطحًا به (C (t) ) كحدود له ، ويتجه (C (t) ) بحيث يكون (D (t) ) له اتجاه إيجابي. افترض أن (C (t) ) في مجال مغناطيسي ( vecs B (t) ) يمكن أن يتغير أيضًا بمرور الوقت. بعبارة أخرى ، يحتوي ( vecs {B} ) على الشكل

[ vecs B (x، y، z) = langle P (x، y، z)، ، Q (x، y، z)، ، R (x، y، z) rangle، ]

حيث يمكن أن تختلف (P ) و (Q ) و (R ) بشكل مستمر بمرور الوقت. يمكننا إنتاج تيار على طول السلك عن طريق تغيير الحقل ( vecs B (t) ) (هذا نتيجة لقانون أمبير). الجريان ( displaystyle phi (t) = iint_ {D (t)} vecs B (t) cdot d vecs S ) ينشئ حقلًا كهربائيًا ( vecs E (t) ) يعمل. ينص الشكل المتكامل لقانون فاراداي على ذلك

[العمل = int_ {C (t)} vecs E (t) cdot d vecs r = - dfrac { جزئي phi} { جزئي t}. ]

بعبارة أخرى ، العمل الذي يقوم به ( vecs {E} ) هو الخط المتكامل حول الحدود ، والذي يساوي أيضًا معدل تغير التدفق فيما يتعلق بالوقت. ينص الشكل التفاضلي لقانون فاراداي على ذلك

[curl ، vecs {E} = - dfrac { جزئي vecs B} { جزئي t}. ]

باستخدام نظرية ستوكس ، يمكننا أن نبين أن الشكل التفاضلي لقانون فاراداي هو نتيجة لصيغة التكامل. من خلال نظرية ستوكس ، يمكننا تحويل الخط المتكامل في شكل متكامل إلى تكامل سطحي

[- dfrac { جزئي phi} { جزئي t} = int_ {C (t)} vecs E (t) cdot d vecs r = iint_ {D (t)} curl ، vecs E (t) cdot d vecs S. ]

منذ [ phi (t) = iint_ {D (t)} B (t) cdot d vecs S ، ] فطالما أن تكامل السطح لا يختلف مع الوقت لدينا أيضًا

[- dfrac { جزئي phi} { جزئي t} = iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { جزئي vecs B} { جزئي t} cdot d vecs S. ]

وبالتالي،

[ iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { جزئي vecs B} { جزئي t} cdot d vecs S = iint_ {D (t)} curl ، vecs E cdot d فيكس S. ]

لاشتقاق الصيغة التفاضلية لقانون فاراداي ، نود أن نستنتج أن (curl ، vecs E = - dfrac { جزئي vecs B} { part t} ): بشكل عام ، المعادلة

[ iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { جزئي vecs B} { جزئي t} cdot d vecs S = iint_ {D (t)} curl ، vecs E cdot d فيكس S ]

لا يكفي لاستنتاج أن (curl ، vecs E = - dfrac { جزئي vecs B} { جزئي t} ): الرموز المتكاملة لا "تلغي" ببساطة ، تاركة المساواة في التكامل. لمعرفة سبب عدم إلغاء رمز التكامل بشكل عام فقط ، ضع في اعتبارك التكاملات ذات المتغير الفردي ( displaystyle int_0 ^ 1 x ، dx ) and ( displaystyle int_0 ^ 1 f (x) ، dx ) ، حيث

[f (x) = begin {cases} 1، & text {if} 0 leq x leq 1/2 0، & text {if} 1/2 leq x leq 1. إنهاء {الحالات} ]

كلاهما يساوي ( dfrac {1} {2} ) ، لذلك ( displaystyle int_0 ^ 1 x ، dx = int_0 ^ 1 f (x) ، dx ).

ومع ذلك ، (x neq f (x) ). بالمثل ، مع معادلتنا [ iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { جزئي vecs B} { جزئي t} cdot d vecs S = iint_ {D (t)} curl ، vecs E cdot d vecs S ، ] لا يمكننا ببساطة أن نستنتج أن (curl ، vecs E = - dfrac { جزئي vecs B} { جزئي t} ) فقط لأن تكاملاتهم متساوية. ومع ذلك ، في سياقنا ، المعادلة

[ iint_ {D (t)} - ​​ dfrac { جزئي vecs B} { جزئي t} cdot d vecs S = iint_ {D (t)} curl ، vecs E cdot d فيكس S ]

هذا صحيح ل أي المنطقة ، مهما كانت صغيرة (هذا على عكس التكاملات ذات المتغير الفردي التي تمت مناقشتها للتو). إذا كان ( vecs F ) و ( vecs G ) عبارة عن حقول متجهية ثلاثية الأبعاد

[ iint_S vecs F cdot d vecs S = iint_S vecs G cdot d vecs S ]

لأي سطح (S ) ، فمن الممكن إظهار ذلك ( vecs F = vecs G ) عن طريق تقليص مساحة (S ) إلى الصفر بأخذ حد (أصغر مساحة (S) ، كلما اقتربت قيمة ( displaystyle iint_S vecs F cdot d vecs S ) من قيمة ( vecs F ) عند نقطة داخل (S )). لذلك ، يمكننا ترك المساحة (D (t) ) تتقلص إلى الصفر بأخذ حد والحصول على الشكل التفاضلي لقانون فاراداي:

[curl ، vecs E = - dfrac { جزئي vecs B} { جزئي t}. ]

في سياق المجالات الكهربائية ، يمكن تفسير تجعيد المجال الكهربائي على أنه السالب لمعدل تغير المجال المغناطيسي المقابل فيما يتعلق بالوقت.

مثال ( PageIndex {4} ): استخدام قانون فاراداي

احسب تجعيد المجال الكهربائي ( vecs {E} ) إذا كان المجال المغناطيسي المقابل هو حقل ثابت ( vecs B (t) = langle 1 ، -4 ، 2 rangle ).

المحلول

نظرًا لأن المجال المغناطيسي لا يتغير فيما يتعلق بالوقت ، (- dfrac { جزئي vecs B} { جزئي t} = vecs 0 ). وفقًا لقانون فاراداي ، فإن تجعيد المجال الكهربائي يساوي صفرًا أيضًا.

التحليلات

إحدى نتائج قانون فاراداي هي أن تجعيد المجال الكهربائي المقابل لمجال مغناطيسي ثابت هو صفر دائمًا.

تمرين ( PageIndex {4} )

احسب تجعيد المجال الكهربائي ( vecs {E} ) إذا كان المجال المغناطيسي المقابل ( vecs B (t) = langle tx ، ، ty ، ، -2tz rangle ، ​​، 0 leq ر < infty. )

تلميح
  • استخدم الصيغة التفاضلية لقانون فاراداي.
  • لاحظ أن التفاف المجال الكهربائي لا يتغير بمرور الوقت ، على الرغم من أن المجال المغناطيسي يتغير بمرور الوقت.
إجابه

(curl ، vecs {E} = langle x، ، y، ، -2z rangle )

المفاهيم الرئيسية

  • ترتبط نظرية ستوكس بتدفق متكامل على سطح ما بخط متكامل حول حدود السطح. نظرية ستوكس هي نسخة ذات أبعاد أعلى من نظرية جرين ، وبالتالي فهي نسخة أخرى من النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل في الأبعاد الأعلى.
  • يمكن استخدام نظرية ستوكس لتحويل سطح صعب لا يتجزأ إلى تكامل خط أسهل ، أو تكامل خط صعب إلى تكامل سطح أسهل.
  • من خلال نظرية ستوكس ، يمكن تقييم تكاملات الخط باستخدام أبسط سطح مع الحدود (C ).
  • يربط قانون فاراداي تجعيد المجال الكهربائي بمعدل تغير المجال المغناطيسي المقابل. يمكن استخدام نظرية ستوكس لاشتقاق قانون فاراداي.

المعادلات الرئيسية

  • نظرية ستوكس

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r} = iint_S curl ، vecs {F} cdot d vecs {S} nonumber ]

قائمة المصطلحات

نظرية ستوكس
يربط التدفق المتكامل على سطح (S ) بخط متكامل حول الحدود (C ) للسطح (S )
سطح مستقل
تكاملات التدفق لحقول متجه الضفيرة تكون مستقلة عن السطح إذا كان تقييمها لا يعتمد على السطح ولكن فقط على حدود السطح

نظرية ستوكس

يشير المصطلح ، في الأدب الحديث ، إلى النظرية التالية.

نظرية 1 لنفترض أن $ M $ عبارة عن مشعب قابل للتفاضل قابل للتوجيه مع حد (يُشار إليه بـ $ جزئي M $) واجعل $ k $ هو بُعد $ M $. إذا كان $ omega $ نموذجًا تفاضليًا $ k-1 $ ، إذن ابدأضع الكلمة المناسبة int_M d omega = int_ < part M> omega end (انظر التكامل على المشعب لتعريف تكامل النموذج في مشعب قابل للتفاضل).

يمكن اعتبار النظرية بمثابة تعميم للنظرية الأساسية في التفاضل والتكامل. يمكن استرداد نظرية Gauss-Green الكلاسيكية وصيغة Stokes "الكلاسيكية" كحالات معينة. غالبًا ما يُطلق على هذا الأخير أيضًا نظرية ستوكس ويتم ذكره على النحو التالي.

نظرية 2 لنفترض أن $ Sigma subset mathbb R ^ 3 $ يكون سطحًا مضغوطًا عاديًا بقيمة $ 2 $ Sigma $ يحد منحنى $ C ^ 1 $ $ gamma $ ودع $ v $ يكون $ C ^ 1 $ حقل شعاعي. ثم ابدأضع الكلمة المناسبة int_ Sigma ( nabla times v) cdot nu = int_ gamma tau cdot v ،، end أين

  • $ nu $ حقل متجه مستمر للوحدة عادي على السطح $ Sigma $
  • $ tau $ حقل متجه مستمر للوحدة مماس للمنحنى $ gamma $ ، متوافق مع $ nu $
  • $ nabla times v $ هو تجعيد حقل المتجه $ v $.

الجانب الأيمن من eqref يسمى تدفق $ v $ عبر $ Sigma $، في حين أن الجانب الأيسر يسمى تداول $ v $ على طول $ gamma $. يمكن تعميم النظرية بسهولة على الأسطح التي تتكون حدودها من عدد محدود من المنحنيات: الجانب الأيمن من eqref ثم يتم استبدالها بمجموع التكاملات على المنحنيات المقابلة.

كلاهما eqref و eqref غالبا ما تسمى صيغة ستوكس. إذا تم تقديم حقل المتجه للنظرية 2 ، في الإحداثيات $ x_1، x_2، x_3 $، بواسطة $ (v_1، v_2، v_3) $ ونقدم $ 1 $ -form [ omega = v_1 dx_1 + v_2 dx_2 + v_3 dx_3 ،، ] ثم الجانب الأيمن من eqref هو بالفعل [ int_ Sigma d omega ،، ] بينما الجانب الأيسر هو [ int_ < part Sigma> omega ،. ]

افتراضات الانتظام على $ gamma $ و $ part M $ في كلا النظريتين يمكن تخفيفها إلى حد ما. على وجه الخصوص ، لا تزال الصيغ سارية إذا كانت هذه الحدود متعددة التعريفات $ C ^ 1 $ ، مع ركن-نوع التفردات.

ملاحظة 3 التوافق بين الحقول المتجهة $ tau $ و $ nu $ في النظرية 2 يمكن التعبير عنها بشكل بديهي على النحو التالي. يحدد $ nu $ العادي "القاع" و "القمة" على السطح $ Sigma $. بالنسبة للمراقب الذي يقف في الأعلى ، يعطي $ tau $ اتجاهًا عكس اتجاه عقارب الساعة للمنحنى $ gamma $. التعريف الرياضي الدقيق أكثر تعقيدًا. إصلاح $ p_0 in gamma $ ، دع $ V مجموعة فرعية mathbb R ^ 3 $ يكون حيًا مفتوحًا بقيمة $ x_0 $ و $ U مجموعة فرعية mathbb R ^ 2 $ تقاطع حي مفتوح in mathbb R ^ 2 $ بنصف المستوى العلوي المغلق $ <(x_1، x_2): x_2 geq 0 > $. افترض أن $ Phi: U to V $ هي معلمة محلية لـ $ Sigma cap V $ مع $ Phi (0) = p_0 $ ، أي أن

  • $ Phi $ هو $ C ^ 1 $ و $ D Phi $ له المرتبة 2 في كل نقطة من $ U $
  • $ Phi $ هو تماثل بين $ U $ و $ Sigma cap V $
  • خرائط $ Phi $ cap U $ على $ gamma cap V $.

ثم حقل المتجه [n: = فارك < جزئي Phi> < جزئي x_1> مرات فارك < جزئي Phi> < جزئي x_2> ] هو حقل متجه غير صفري عادي على السطح $ Sigma $ وبالتالي المنتج القياسي [n (x) cdot nu ( Phi (x)) ] إما إيجابي في كل مكان أو سلبي في كل مكان. في الحالة الأولى [ tau (x_0) = يسار | فارك < جزئي Phi> < جزئي x_1> (0) يمين | ^ <-1> فارك < جزئي فاي> < جزئي x_1> (0) ،، ] خلاف ذلك [ tau (x_0) = - left | frac < جزئي Phi> < جزئي x_1> (0) right | ^ <-1> frac < جزئي Phi> < جزئي x_1> (0) ،. ]


محتويات

حل المعادلات هو سرعة التدفق. إنه حقل متجه - لكل نقطة في مائع ، في أي لحظة في فترة زمنية ، فإنه يعطي متجهًا يكون اتجاهه وحجمه هو اتجاه سرعة السائل عند تلك النقطة في الفضاء وفي تلك اللحظة من الزمن. يتم دراستها عادةً في ثلاثة أبعاد مكانية وبُعد زمني واحد ، على الرغم من استخدام حالتين (مكانيتين) وحالة ثابتة كنماذج ، ويتم دراسة نظائرها ذات الأبعاد الأعلى في كل من الرياضيات البحتة والتطبيقية. بمجرد حساب مجال السرعة ، يمكن العثور على كميات أخرى ذات أهمية مثل الضغط أو درجة الحرارة باستخدام المعادلات والعلاقات الديناميكية. هذا يختلف عما يراه المرء عادةً في الميكانيكا الكلاسيكية ، حيث تكون الحلول عادةً عبارة عن مسارات لموضع جسيم أو انحراف لسلسلة متصلة. تعتبر دراسة السرعة بدلاً من الموضع أكثر منطقية بالنسبة للسائل ، على الرغم من أنه لأغراض التصور يمكن للمرء حساب مسارات مختلفة. على وجه الخصوص ، خطوط انسيابية مجال متجه ، والتي يتم تفسيرها على أنها سرعة تدفق ، هي المسارات التي ينتقل عبرها جسيم سائل عديم الكتلة. هذه المسارات هي منحنيات متكاملة يكون مشتقها عند كل نقطة مساويًا للحقل المتجه ، ويمكنها أن تمثل بصريًا سلوك حقل المتجه عند نقطة زمنية.

يمكن اشتقاق معادلة زخم نافييه-ستوكس كشكل معين من معادلة زخم كوشي ، والتي يكون شكلها الحراري العام هو

  • د / د هو المشتق المادي ، كما هو محدد
  • ∂ / ∂ر + ش ⋅ ∇ ,
  • ρ هي الكثافة ،
  • ش هي سرعة التدفق ،
  • ∇ ⋅ هو الاختلاف ،
  • ص هو الضغط ،
  • ر حان الوقت
  • τ هو موتر الإجهاد الانحرافي ، الذي له الترتيب 2 ،
  • ز يمثل تسارع الجسم الذي يعمل على الاستمرارية ، على سبيل المثال الجاذبية ، والتسارع بالقصور الذاتي ، والتسارع الكهروستاتيكي ، وما إلى ذلك ،

في هذا النموذج ، من الواضح أنه في افتراض وجود سائل غير لزج - لا يوجد إجهاد انحراف - تختزل معادلات كوشي إلى معادلات أويلر.

بافتراض الحفاظ على الكتلة ، يمكننا استخدام معادلة الاستمرارية الجماعية (أو ببساطة معادلة الاستمرارية) ،

يصف الجانب الأيسر من المعادلة التسارع ، وقد يتكون من مكونات تعتمد على الوقت ومكونات الحمل الحراري (أيضًا تأثيرات الإحداثيات غير بالقصور الذاتي إن وجدت). الجانب الأيمن من المعادلة هو في الواقع مجموع التأثيرات الهيدروستاتيكية ، وتباعد الإجهاد الانحراف وقوى الجسم (مثل الجاذبية).

يمكن اشتقاق جميع معادلات التوازن غير النسبية ، مثل معادلات نافييه-ستوكس ، بالبدء بمعادلات كوشي وتحديد موتر الإجهاد من خلال علاقة تأسيسية. من خلال التعبير عن موتر الإجهاد المنحرف (القص) من حيث اللزوجة وتدرج سرعة السائل ، وبافتراض لزوجة ثابتة ، فإن معادلات كوشي أعلاه ستؤدي إلى معادلات نافييه-ستوكس أدناه.

تحرير تسريع الحمل

من السمات المهمة لمعادلة كوشي وبالتالي جميع المعادلات المتصلة الأخرى (بما في ذلك أويلر ونافير-ستوكس) وجود تسارع الحمل الحراري: تأثير تسارع التدفق فيما يتعلق بالفضاء. في حين أن جسيمات السوائل الفردية تعاني بالفعل من تسارع يعتمد على الوقت ، فإن التسارع الحراري لمجال التدفق هو تأثير مكاني ، أحد الأمثلة على ذلك هو تسريع السوائل في فوهة.

ملاحظة: هنا ، موتر الإجهاد كوشي يشار إليه σ (بدلا من τ كما كان الحال في معادلات الاستمرارية العامة وفي قسم التدفق غير القابل للضغط).

تنتج معادلة الزخم القابل للانضغاط Navier-Stokes من الافتراضات التالية حول موتر الإجهاد Cauchy: [5]

  • الضغط ثابت الجليل: لا يعتمد بشكل مباشر على سرعة التدفق ، ولكن فقط على المشتقات المكانية لسرعة التدفق. إذن ، متغير الإجهاد هو تدرج موتر ∇ش .
  • الضغط خطي في هذا المتغير: σ(∇ش) = ج : (∇ش) ، أين ج هو موتر من الدرجة الرابعة يمثل ثابت التناسب ، ويسمى موتر اللزوجة أو المرونة ، وهو: منتج النقطة المزدوجة.
  • يُفترض أن يكون المائع خواص الخواص ، كما هو الحال مع الغازات والسوائل البسيطة ، وبالتالي الخامس هو موتر متناحي الخواص علاوة على ذلك ، نظرًا لأن موتر الإجهاد متماثل ، من خلال تحلل هيلمهولتز ، يمكن التعبير عنه من خلال معلمتين قياسيتين لامي ، اللزوجة السائبة λ واللزوجة الديناميكية μ ، كما هو معتاد في المرونة الخطية:

نظرًا لأن تتبع موتر معدل الإجهاد في ثلاثة أبعاد هو:

يصبح أثر موتر الإجهاد في ثلاثة أبعاد:

لذلك عن طريق تحلل موتر الإجهاد بدلاً من ذلك إلى متماثل و انحراف أجزاء ، كالعادة في ديناميكيات الموائع: [6]

نصل إلى المعادلة التأسيسية الخطية بالشكل المستخدم عادةً في الهيدروليكا الحرارية: [5]

لا يلزم أن تكون كل من اللزوجة الثانية ζ واللزوجة الديناميكية μ ثابتة - بشكل عام ، تعتمد على الكثافة ، على بعضها البعض (يتم التعبير عن اللزوجة بالضغط) ، وفي التدفقات القابلة للانضغاط أيضًا على درجة الحرارة. تسمى أي معادلة تجعل أحد معامل النقل واضحًا في متغيرات الحفظ معادلة الحالة. [7]

تصبح معادلات نافييه-ستوكس الأكثر عمومية

في معظم الحالات ، يمكن افتراض أن اللزوجة الثانية ζ ثابتة. تأثير اللزوجة الحجمية هو أن الضغط الميكانيكي لا يعادل الضغط الديناميكي الحراري: [8] منذ

إذا كان من المفترض أيضًا أن تكون اللزوجة الديناميكية μ ثابتة ، فيمكن تبسيط المعادلات بشكل أكبر. By computing the divergence of the stress tensor, since the divergence of tensor ∇ش is ∇ 2 ش and the divergence of tensor (∇ش) T is ∇(∇ ⋅ ش) , one finally arrives to the compressible (most general) Navier–Stokes momentum equation: [10]

Bulk viscosity is assumed to be constant, otherwise it should not be taken out of the last derivative. The convective acceleration term can also be written as

For the special case of an incompressible flow, the pressure constrains the flow so that the volume of fluid elements is constant: isochoric flow resulting in a solenoidal velocity field with ∇ ⋅ ش = 0 . [11]

The incompressible momentum Navier–Stokes equation results from the following assumptions on the Cauchy stress tensor: [5]

  • the stress is Galilean invariant: it does not depend directly on the flow velocity, but only on spatial derivatives of the flow velocity. So the stress variable is the tensor gradient ∇ش .
  • the fluid is assumed to be isotropic, as with gases and simple liquids, and consequently τ is an isotropic tensor furthermore, since the deviatoric stress tensor can be expressed in terms of the dynamic viscosity μ :

Dynamic viscosity μ need not be constant – in incompressible flows it can depend on density and on pressure. Any equation that makes explicit one of these transport coefficient in the conservative variables is called an equation of state. [7]

The divergence of the deviatoric stress is given by:

Incompressibility rules out density and pressure waves like sound or shock waves, so this simplification is not useful if these phenomena are of interest. The incompressible flow assumption typically holds well with all fluids at low Mach numbers (say up to about Mach 0.3), such as for modelling air winds at normal temperatures. [12] For incompressible (uniform density ρ0 ) flows the following identity holds:

where w is the specific (with the sense of per unit mass) thermodynamic work, the internal source term. Then the incompressible Navier–Stokes equations are best visualised by dividing for the density:

Velocity profile (laminar flow):

Integrate twice to find the velocity profile with boundary conditions ذ = ح , ش = 0 , ذ = −ح , ش = 0 :

From this equation, substitute in the two boundary conditions to get two equations:

Substitute and solve for A :

Finally this gives the velocity profile:

It is well worth observing the meaning of each term (compare to the Cauchy momentum equation):

The higher-order term, namely the shear stress divergence ∇ ⋅ τ , has simply reduced to the vector Laplacian term ميكرومتر∇ 2 ش . [13] This Laplacian term can be interpreted as the difference between the velocity at a point and the mean velocity in a small surrounding volume. This implies that – for a Newtonian fluid – viscosity operates as a diffusion of momentum, in much the same way as the heat conduction. In fact neglecting the convection term, incompressible Navier–Stokes equations lead to a vector diffusion equation (namely Stokes equations), but in general the convection term is present, so incompressible Navier–Stokes equations belong to the class of convection–diffusion equations.

In the usual case of an external field being a conservative field:

one can finally condense the whole source in one term, arriving to the incompressible Navier–Stokes equation with conservative external field:

The incompressible Navier–Stokes equations with conservative external field is the fundamental equation of hydraulics. The domain for these equations is commonly a 3 or less Euclidean space, for which an orthogonal coordinate reference frame is usually set to explicit the system of scalar partial differential equations to be solved. In 3-dimensional orthogonal coordinate systems are 3: Cartesian, cylindrical, and spherical. Expressing the Navier–Stokes vector equation in Cartesian coordinates is quite straightforward and not much influenced by the number of dimensions of the euclidean space employed, and this is the case also for the first-order terms (like the variation and convection ones) also in non-cartesian orthogonal coordinate systems. But for the higher order terms (the two coming from the divergence of the deviatoric stress that distinguish Navier–Stokes equations from Euler equations) some tensor calculus is required for deducing an expression in non-cartesian orthogonal coordinate systems.

The incompressible Navier–Stokes equation is composite, the sum of two orthogonal equations,

The explicit functional form of the projection operator in 3D is found from the Helmholtz Theorem:

An equivalent weak or variational form of the equation, proved to produce the same velocity solution as the Navier–Stokes equation, [14] is given by,

for divergence-free test functions ث satisfying appropriate boundary conditions. Here, the projections are accomplished by the orthogonality of the solenoidal and irrotational function spaces. The discrete form of this is eminently suited to finite element computation of divergence-free flow, as we shall see in the next section. There one will be able to address the question "How does one specify pressure-driven (Poiseuille) problems with a pressureless governing equation?".

The absence of pressure forces from the governing velocity equation demonstrates that the equation is not a dynamic one, but rather a kinematic equation where the divergence-free condition serves the role of a conservation equation. This all would seem to refute the frequent statements that the incompressible pressure enforces the divergence-free condition.

Variational form of the incompressible Navier–Stokes equations Edit

Strong form Edit

Consider the incompressible Navier–Stokes equations for a Newtonian fluid of constant density ρ in a domain

Weak form Edit

In order to find a variational form of the Navier–Stokes equations, firstly, consider the momentum equation [15]

Using these relations, one gets: [15]

Discrete velocity Edit

With partitioning of the problem domain and defining basis functions on the partitioned domain, the discrete form of the governing equation is

It is desirable to choose basis functions which reflect the essential feature of incompressible flow – the elements must be divergence-free. While the velocity is the variable of interest, the existence of the stream function or vector potential is necessary by the Helmholtz theorem. Further, to determine fluid flow in the absence of a pressure gradient, one can specify the difference of stream function values across a 2D channel, or the line integral of the tangential component of the vector potential around the channel in 3D, the flow being given by Stokes' theorem. Discussion will be restricted to 2D in the following.

We further restrict discussion to continuous Hermite finite elements which have at least first-derivative degrees-of-freedom. With this, one can draw a large number of candidate triangular and rectangular elements from the plate-bending literature. These elements have derivatives as components of the gradient. In 2D, the gradient and curl of a scalar are clearly orthogonal, given by the expressions,

Adopting continuous plate-bending elements, interchanging the derivative degrees-of-freedom and changing the sign of the appropriate one gives many families of stream function elements.

Taking the curl of the scalar stream function elements gives divergence-free velocity elements. [16] [17] The requirement that the stream function elements be continuous assures that the normal component of the velocity is continuous across element interfaces, all that is necessary for vanishing divergence on these interfaces.

Boundary conditions are simple to apply. The stream function is constant on no-flow surfaces, with no-slip velocity conditions on surfaces. Stream function differences across open channels determine the flow. No boundary conditions are necessary on open boundaries, though consistent values may be used with some problems. These are all Dirichlet conditions.

The algebraic equations to be solved are simple to set up, but of course are non-linear, requiring iteration of the linearized equations.

Similar considerations apply to three-dimensions, but extension from 2D is not immediate because of the vector nature of the potential, and there exists no simple relation between the gradient and the curl as was the case in 2D.

Pressure recovery Edit

Recovering pressure from the velocity field is easy. The discrete weak equation for the pressure gradient is,

where the test/weight functions are irrotational. Any conforming scalar finite element may be used. However, the pressure gradient field may also be of interest. In this case one can use scalar Hermite elements for the pressure. For the test/weight functions زأنا one would choose the irrotational vector elements obtained from the gradient of the pressure element.

The rotating frame of reference introduces some interesting pseudo-forces into the equations through the material derivative term. Consider a stationary inertial frame of reference K , and a non-inertial frame of reference K′ , which is translating with velocity يو(ر) and rotating with angular velocity Ω(ر) with respect to the stationary frame. The Navier–Stokes equation observed from the non-inertial frame then becomes

Here x و ش are measured in the non-inertial frame. The first term in the parenthesis represents Coriolis acceleration, the second term is due to centrifugal acceleration, the third is due to the linear acceleration of K′ with respect to K and the fourth term is due to the angular acceleration of K′ with respect to K .

The Navier–Stokes equations are strictly a statement of the balance of momentum. To fully describe fluid flow, more information is needed, how much depending on the assumptions made. This additional information may include boundary data (no-slip, capillary surface, etc.), conservation of mass, balance of energy, and/or an equation of state.

Continuity equation for incompressible fluid Edit

Regardless of the flow assumptions, a statement of the conservation of mass is generally necessary. This is achieved through the mass continuity equation, given in its most general form as:

For incompressible fluid, density along the line of flow remains constant over time,

Therefore divergence of velocity is always zero:

Taking the curl of the incompressible Navier–Stokes equation results in the elimination of pressure. This is especially easy to see if 2D Cartesian flow is assumed (like in the degenerate 3D case with شض = 0 and no dependence of anything on z ), where the equations reduce to:

Differentiating the first with respect to y , the second with respect to x and subtracting the resulting equations will eliminate pressure and any conservative force. For incompressible flow, defining the stream function ψ through

This single equation together with appropriate boundary conditions describes 2D fluid flow, taking only kinematic viscosity as a parameter. Note that the equation for creeping flow results when the left side is assumed zero.

In axisymmetric flow another stream function formulation, called the Stokes stream function, can be used to describe the velocity components of an incompressible flow with one scalar function.

The incompressible Navier–Stokes equation is a differential algebraic equation, having the inconvenient feature that there is no explicit mechanism for advancing the pressure in time. Consequently, much effort has been expended to eliminate the pressure from all or part of the computational process. The stream function formulation eliminates the pressure but only in two dimensions and at the expense of introducing higher derivatives and elimination of the velocity, which is the primary variable of interest.

Nonlinearity Edit

The Navier–Stokes equations are nonlinear partial differential equations in the general case and so remain in almost every real situation. [18] [19] In some cases, such as one-dimensional flow and Stokes flow (or creeping flow), the equations can be simplified to linear equations. The nonlinearity makes most problems difficult or impossible to solve and is the main contributor to the turbulence that the equations model.

The nonlinearity is due to convective acceleration, which is an acceleration associated with the change in velocity over position. Hence, any convective flow, whether turbulent or not, will involve nonlinearity. An example of convective but laminar (nonturbulent) flow would be the passage of a viscous fluid (for example, oil) through a small converging nozzle. Such flows, whether exactly solvable or not, can often be thoroughly studied and understood. [20]

Turbulence Edit

Turbulence is the time-dependent chaotic behavior seen in many fluid flows. It is generally believed that it is due to the inertia of the fluid as a whole: the culmination of time-dependent and convective acceleration hence flows where inertial effects are small tend to be laminar (the Reynolds number quantifies how much the flow is affected by inertia). It is believed, though not known with certainty, that the Navier–Stokes equations describe turbulence properly. [21]

The numerical solution of the Navier–Stokes equations for turbulent flow is extremely difficult, and due to the significantly different mixing-length scales that are involved in turbulent flow, the stable solution of this requires such a fine mesh resolution that the computational time becomes significantly infeasible for calculation or direct numerical simulation. Attempts to solve turbulent flow using a laminar solver typically result in a time-unsteady solution, which fails to converge appropriately. To counter this, time-averaged equations such as the Reynolds-averaged Navier–Stokes equations (RANS), supplemented with turbulence models, are used in practical computational fluid dynamics (CFD) applications when modeling turbulent flows. Some models include the Spalart–Allmaras, k – ω , k – ε , and SST models, which add a variety of additional equations to bring closure to the RANS equations. Large eddy simulation (LES) can also be used to solve these equations numerically. This approach is computationally more expensive—in time and in computer memory—than RANS, but produces better results because it explicitly resolves the larger turbulent scales.

Applicability Edit

Together with supplemental equations (for example, conservation of mass) and well formulated boundary conditions, the Navier–Stokes equations seem to model fluid motion accurately even turbulent flows seem (on average) to agree with real world observations.

The Navier–Stokes equations assume that the fluid being studied is a continuum (it is infinitely divisible and not composed of particles such as atoms or molecules), and is not moving at relativistic velocities. At very small scales or under extreme conditions, real fluids made out of discrete molecules will produce results different from the continuous fluids modeled by the Navier–Stokes equations. For example, capillarity of internal layers in fluids appears for flow with high gradients. [22] For large Knudsen number of the problem, the Boltzmann equation may be a suitable replacement. [23] Failing that, one may have to resort to molecular dynamics or various hybrid methods. [24]

Another limitation is simply the complicated nature of the equations. Time-tested formulations exist for common fluid families, but the application of the Navier–Stokes equations to less common families tends to result in very complicated formulations and often to open research problems. For this reason, these equations are usually written for Newtonian fluids where the viscosity model is linear truly general models for the flow of other kinds of fluids (such as blood) do not exist. [25]

The Navier–Stokes equations, even when written explicitly for specific fluids, are rather generic in nature and their proper application to specific problems can be very diverse. This is partly because there is an enormous variety of problems that may be modeled, ranging from as simple as the distribution of static pressure to as complicated as multiphase flow driven by surface tension.

Generally, application to specific problems begins with some flow assumptions and initial/boundary condition formulation, this may be followed by scale analysis to further simplify the problem.

Parallel flow Edit

Assume steady, parallel, one dimensional, non-convective pressure-driven flow between parallel plates, the resulting scaled (dimensionless) boundary value problem is:

The boundary condition is the no slip condition. This problem is easily solved for the flow field:

From this point onward more quantities of interest can be easily obtained, such as viscous drag force or net flow rate.

Radial flow Edit

Difficulties may arise when the problem becomes slightly more complicated. A seemingly modest twist on the parallel flow above would be the شعاعي flow between parallel plates this involves convection and thus non-linearity. The velocity field may be represented by a function F(ض) that must satisfy:

This ordinary differential equation is what is obtained when the Navier–Stokes equations are written and the flow assumptions applied (additionally, the pressure gradient is solved for). The nonlinear term makes this a very difficult problem to solve analytically (a lengthy implicit solution may be found which involves elliptic integrals and roots of cubic polynomials). Issues with the actual existence of solutions arise for ص > 1.41 (approximately this is not √ 2 ), the parameter R being the Reynolds number with appropriately chosen scales. [26] This is an example of flow assumptions losing their applicability, and an example of the difficulty in "high" Reynolds number flows. [26]

Convection Edit

A type of natural convection which can be described by the Navier–Stokes equation is the Rayleigh–Bénard convection. It is one of the most commonly studied convection phenomena because of its analytical and experimental accessibility.

Some exact solutions to the Navier–Stokes equations exist. Examples of degenerate cases—with the non-linear terms in the Navier–Stokes equations equal to zero—are Poiseuille flow, Couette flow and the oscillatory Stokes boundary layer. But also, more interesting examples, solutions to the full non-linear equations, exist, such as Jeffery–Hamel flow, Von Kármán swirling flow, stagnation point flow, Landau–Squire jet, and Taylor–Green vortex. [27] [28] [29] Note that the existence of these exact solutions does not imply they are stable: turbulence may develop at higher Reynolds numbers.

Under additional assumptions, the component parts can be separated. [30]

For example, in the case of an unbounded planar domain with ثنائي الأبعاد — incompressible and stationary — flow in polar coordinates (ص,φ) , the velocity components (شص,شφ) and pressure p are: [31]

where A and B are arbitrary constants. This solution is valid in the domain ص ≥ 1 and for أ < −2ν .

In Cartesian coordinates, when the viscosity is zero ( ν = 0 ), this is:

For example, in the case of an unbounded Euclidean domain with three-dimensional — incompressible, stationary and with zero viscosity ( ν = 0 ) — radial flow in Cartesian coordinates (x,ذ,ض) , the velocity vector الخامس and pressure p are: [ بحاجة لمصدر ]

There is a singularity at x = ذ = ض = 0 .

A three-dimensional steady-state vortex solution Edit

A steady-state example with no singularities comes from considering the flow along the lines of a Hopf fibration. Let r be a constant radius of the inner coil. One set of solutions is given by: [32]

for arbitrary constants A and B . This is a solution in a non-viscous gas (compressible fluid) whose density, velocities and pressure goes to zero far from the origin. (Note this is not a solution to the Clay Millennium problem because that refers to incompressible fluids where ρ is a constant, and neither does it deal with the uniqueness of the Navier–Stokes equations with respect to any turbulence properties.) It is also worth pointing out that the components of the velocity vector are exactly those from the Pythagorean quadruple parametrization. Other choices of density and pressure are possible with the same velocity field:

Another choice of pressure and density with the same velocity vector above is one where the pressure and density fall to zero at the origin and are highest in the central loop at ض = 0 , x 2 + ذ 2 = ص 2 :

In fact in general there are simple solutions for any polynomial function f where the density is:

Wyld diagrams are bookkeeping graphs that correspond to the Navier–Stokes equations via a perturbation expansion of the fundamental continuum mechanics. Similar to the Feynman diagrams in quantum field theory, these diagrams are an extension of Keldysh's technique for nonequilibrium processes in fluid dynamics. In other words, these diagrams assign graphs to the (often) turbulent phenomena in turbulent fluids by allowing correlated and interacting fluid particles to obey stochastic processes associated to pseudo-random functions in probability distributions. [33]

Cartesian coordinates Edit

From the general form of the Navier–Stokes, with the velocity vector expanded as ش = (شx, شذ, شض) , sometimes respectively named u , v , w , we may write the vector equation explicitly,

Note that gravity has been accounted for as a body force, and the values of gx , gذ , gض will depend on the orientation of gravity with respect to the chosen set of coordinates.

The continuity equation reads:

Thus, for the incompressible version of the Navier–Stokes equation the second part of the viscous terms fall away (see Incompressible flow).

This system of four equations comprises the most commonly used and studied form. Though comparatively more compact than other representations, this is still a nonlinear system of partial differential equations for which solutions are difficult to obtain.

Cylindrical coordinates Edit

A change of variables on the Cartesian equations will yield [12] the following momentum equations for r , φ , and z [34]

The gravity components will generally not be constants, however for most applications either the coordinates are chosen so that the gravity components are constant or else it is assumed that gravity is counteracted by a pressure field (for example, flow in horizontal pipe is treated normally without gravity and without a vertical pressure gradient). The continuity equation is:

This cylindrical representation of the incompressible Navier–Stokes equations is the second most commonly seen (the first being Cartesian above). Cylindrical coordinates are chosen to take advantage of symmetry, so that a velocity component can disappear. A very common case is axisymmetric flow with the assumption of no tangential velocity ( شφ = 0 ), and the remaining quantities are independent of φ :

Spherical coordinates Edit

|In spherical coordinates, the r , φ , and θ momentum equations are [12] (note the convention used: θ is polar angle, or colatitude, [35] 0 ≤ θ ≤ π ):

Mass continuity will read:

The Navier–Stokes equations are used extensively in video games in order to model a wide variety of natural phenomena. Simulations of small-scale gaseous fluids, such as fire and smoke, are often based on the seminal paper "Real-Time Fluid Dynamics for Games" [36] by Jos Stam, which elaborates one of the methods proposed in Stam's earlier, more famous paper "Stable Fluids" [37] from 1999. Stam proposes stable fluid simulation using a Navier–Stokes solution method from 1968, coupled with an unconditionally stable semi-Lagrangian advection scheme, as first proposed in 1992.

More recent implementations based upon this work run on the game systems graphics processing unit (GPU) as opposed to the central processing unit (CPU) and achieve a much higher degree of performance. [38] [39] Many improvements have been proposed to Stam's original work, which suffers inherently from high numerical dissipation in both velocity and mass.

An introduction to interactive fluid simulation can be found in the 2007 ACM SIGGRAPH course, Fluid Simulation for Computer Animation. [40]


Stokes' Theorem - Mathematics

Consider the surface S described by the parabaloid z=16-x^2-y^2 for z>=0, as shown in the figure below.

Let n denote the unit normal vector to S with positive z component. The intersection of S with the z plane is the circle x^2+y^2=16. Let C denote this circle traversed in the counter clockwise direction. If F is a vector field with continuous partial derivatives in some region containing S, then Stokes' Theorem states

In general C is the boundary of S and is assumed to be piecewise smooth.

For the above equality to hold the direction of the normal vector n and the direction in which C is traversed must be consistent. Suppose that n points in some direction and consider a person walking on the curve C with their head pointing in the same direction as n . For consistency C must be traversed in such a way so that the surface is always on the left.

Verify Stokes' Theorem for the surface S described above and the vector field F =<3y,4z,-6x>.

Let us first compute the line integral. The curve C can be parameterized by the vector function r (t)=<4cos(t),4sin(t),0> and r '(t)=<-4sin(t),4cos(t),0> for 0<=t<=2*pi. Recall that

In this case, F =<12sin(t),0,-24cos(t)>. The line integral is given by

Now, let us compute the surface integral. Recall that for F =<P,Q,R>,

For our vector field, the curl is <-4,6,-3>. For z=g(x,y)=16-x^2-y^2 the normal vector to S pointing in the positive z direction is given by <-g_x,-g_y,1>=<2x,2y,1>. Using the formula for the surface integral of a vector field, we have

where R is the disk 0<=x^2+y^2<=16, the projection of S onto the xy plane. The expression on the right is

It is convenient to convert to polar coordinates to compute the double integral. The region of integration is 0<=r<=4 and 0<=theta<=2*pi. Recall, that x=rcos(theta) and y=rsin(theta). The double integral becomes


Exercises 18.8

Ex 18.8.1 Let $<f F>=langle z,x,y angle$. The plane $z=2x+2y-1$ and the paraboloid $z=x^2+y^2$ intersect in a closed curve. Stokes's Theorem implies that $dint ( abla imes<f F>)cdot <f N>,dS= oint_C <f F>cdot d<f r>= dint ( abla imes<f F>)cdot <f N>,dS, $ where the line integral is computed over the intersection $C$ of the plane and the paraboloid, and the two surface integrals are computed over the portions of the two surfaces that have boundary $C$ (provided, of course, that the orientations all match). Compute all three integrals. (answer)

Ex 18.8.2 Let $D$ be the portion of $z=1-x^2-y^2$ above the $x$-$y$ plane, oriented up, and let $<f F>=langle xy^2,-x^2y,xyz angle$. Compute $dsdint ( abla imes<f F>)cdot <f N>,dS$. (answer)

Ex 18.8.3 Let $D$ be the portion of $z=2x+5y$ inside $x^2+y^2=1$, oriented up, and let $<f F>=langle y,z,-x angle$. Compute $dsint_ <f F>cdot d<f r>$. (answer)

Ex 18.8.4 Compute $dsoint_C x^2z,dx + 3x,dy - y^3,dz$, where $C$ is the unit circle $ds x^2+y^2=1$ oriented counter-clockwise. (answer)

Ex 18.8.5 Let $D$ be the portion of $z=px+qy+r$ over a region in the $x$-$y$ plane that has area $A$, oriented up, and let $<f F>=langle ax+by+cz,ax+by+cz,ax+by+cz angle$. Compute $dsint_ <f F>cdot d<f r>$. (answer)

Ex 18.8.6 Let $D$ be any surface and let $<f F>=langle P(x),Q(y),R(z) angle$ ($P$ depends only on $x$, $Q$ only on $y$, and $R$ only on $z$). Show that $dsint_ <f F>cdot d<f r>=0$.

Ex 18.8.7 Show that $dsint_C f abla g+g abla fcdot d<f r>=0$, where $f r$ describes a closed curve $C$ to which Stokes's Theorem applies. (See theorems 14.4.1 and 18.5.2.)


مثال 2

Let $mathbf(x, y, z) = xyz vec + xy vec + x^2yz vec$ and let $delta$ be the surface of the top and sides of the cube with vertices $(pm 1, pm 1, pm 1) in mathbb^3$ oriented outward. Use Stokes' theorem to evaluate $iint_ mathrm (mathbf) cdot d vec$ .

We note that the boundary curve $C$ of this surface is the square formed with the vertices $(1, 1, -1)$ , $(1, -1, -1)$ , $(-1, 1, -1)$ and $(-1, -1, -1)$ lying on the plane $z = -1$ .

Thus $C$ is comprised of $4$ lines, $C_1$ , $C_2$ , $C_3$ , and $C_4$ defined parametrically below:

We apply Stokes' theorem to get that:

Let's compute each of these integrals separately:

Therefore $iint_ mathrm (mathbf) cdot d vec = 0$ .

Alternatively, we can simplify this problem without computing four line integrals. Let $gamma$ be the bottom face of the cube described above. Then this cube has the same boundary curve $C$ . By Stokes' theorem we have that:

Let $hat = vec$ . Then note that this vector is normal the square face $gamma$ and induces the same orientation on the curve $C$ as did $delta$ . Furthermore, we have that the region $gamma$ can be described as


George Gabriel Stokes

It was during George's three years in Dublin that his father died and this event had, as one would expect, a major effect on the young man.

In 1835 , at the age of 16 , George Stokes moved to England and entered Bristol College in Bristol. The two years which Stokes spent in Bristol at this College were important ones in preparing him for his studies at Cambridge. The Principal of the College, Dr Jerrard, was an Irishman who had attended Cambridge University with William Stokes, one of George's elder brothers. Dr Jerrard was himself a mathematician but Stokes was taught mathematics at Bristol College by Francis Newman ( who was the brother of John Henry Newman, later Cardinal Newman, who became the leader of the Oxford Movement in the Church of England which was founded in 1833) . Clearly Stokes talent for mathematics was shown during his studies at Bristol College, for he won mathematics prizes and Dr Jerrard wrote to him ( see [ 4 ] ) :-

It was William Hopkins who advised Stokes to undertake research into hydrodynamics and indeed this was the area in which Stokes began to work. In addition to Hopkins's advice, Stokes was also inspired to enter this field by the recent work of George Green. Stokes published papers on the motion of incompressible fluids in 1842 and 1843 , in particular On the steady motion of incompressible fluids in 1842 . After completing this research Stokes discovered that Duhamel had already obtained similar results but, since Duhamel had been working on the distribution of heat in solids, Stokes decided that his results were obtained in a sufficiently different situation to justify him publishing.

Stokes then continued his investigations, looking at the situation where he took into account internal friction in fluids in motion. After he had deduced the correct equations of motion Stokes discovered that again he was not the first to obtain the equations since Navier, Poisson and Saint-Venant had already considered the problem. In fact this duplication of results was not entirely an accident, but was rather brought about by the lack of knowledge of the work of continental mathematicians at Cambridge at that time. Again Stokes decided that his results were obtained with sufficiently different assumptions to justify publication and he published On the theories of the internal friction of fluids in motion in 1845 . The work also discussed the equilibrium and motion of elastic solids and Stokes used a continuity argument to justify the same equation of motion for elastic solids as for viscous fluids.

Perhaps the most important event in the recognition of Stokes as a leading mathematician was his Report on recent researches in hydrodynamics presented to the British Association for the Advancement of Science in 1846 . But a study of fluids was certainly not the only area in which he was making major contributions at this time. In 1845 Stokes had published an important work on the aberration of light, the first of a number of important works on this topic. He also used his work on the motion of pendulums in fluids to consider the variation of gravity at different points on the earth, publishing a work on geodesy of major importance On the variation of gravity at the surface of the earth in 1849 .

In 1849 Stokes was appointed Lucasian Professor of Mathematics at Cambridge. In 1851 he was elected to the Royal Society, awarded the Rumford medal of that Society in 1852 , and he was appointed secretary of the Society in 1854 . The Lucasian chair paid very poorly so Stokes needed to earn additional money and he did this by accepting an additional position to the Lucasian chair, namely that of Professor of Physics at the Government School of Mines in London.

Stokes' work on the motion of pendulums in fluids led to a fundamental paper on hydrodynamics in 1851 when he published his law of viscosity, describing the velocity of a small sphere through a viscous fluid. He published several important investigations concerning the wave theory of light, such as a paper on diffraction in 1849 . This paper is discussed in detail in [ 14 ] in which the authors write:-

Stokes named and explained the phenomenon of fluorescence in 1852 . His interpretation of this phenomenon, which results from absorption of ultraviolet light and emission of blue light, is based on an elastic aether which vibrates as a consequence of the illuminated molecules. The paper [ 12 ] discusses this in detail and is particularly interesting since the author makes full use of Stokes' unpublished notebooks.

In 1854 Stokes theorised an explanation of the Fraunhofer lines in the solar spectrum. He suggested these were caused by atoms in the outer layers of the Sun absorbing certain wavelengths. However when Kirchhoff later published this explanation, Stokes disclaimed any prior discovery.

Stokes' career certainly took a rather different tack in 1857 when he moved from his highly active theoretical research period into one where he became more involved with administration and experimental work. Certainly his marriage in 1857 was not unconnected with the change in tack and, particularly since it gives us an insight into Stokes' personality, we shall look at the events. Stokes became engaged to marry Mary Susanna Robinson, the daughter of the astronomer at Armagh Observatory in Ireland. In [ 4 ] a number of letters from Stokes to Mary Susanna Robinson are given. On 21 January 1857 he wrote of his feelings for her:-

The marriage did go ahead and Stokes certainly turned away from his life of intense mathematical research. It may appear from the above quotations that in fact Stokes was really looking for this change in his life and perhaps he sought marriage partly so that this change in his life-style could come about.

At that time Fellows at Cambridge had to be unmarried, and so on his marriage in 1857 Stokes had to give up his fellowship at Pembroke College. However, a change in the rules in 1862 allowed married men to hold fellowships and he was able to take up the fellowship at Pembroke again. Stokes continued as secretary of the Royal Society from his appointment in 1854 until 1885 when he was elected President of the Society. He held the position of President until 1890 . He was also president of the Victoria Institute from 1886 until his death in 1903 . There were other administrative tasks which he undertook. In 1859 he had written to Thomson saying:-

Stokes received the Copley medal from the Royal Society in 1893 and he was given the highest possible honour by his College when he served as Master of Pembroke College in 1902 - 3 .

Stokes' influence is summed up well by Parkinson in [ 1 ] :-

One notable omission from his publication list was a treatise on light. This omission was in part due to the change in his research output after 1857 but it was also partly due to not wishing to report upon speculative ideas in a field which was in a rapid state of progress. Stokes' failure to publish a treatise on optics is discussed in detail in [ 8 ] . However, he did lecture on optics in his Burnett lectures at the University of Aberdeen in 1891 - 93 and these lectures were published.

Stokes' mathematical and physical papers were published in five volumes, the first three of which Stokes edited himself in 1880 , 1883 and 1891 . The last two were edited by Sir Joseph Larmor with the work being completed in 1905 .


انسايت الرياضيات

One important subtlety of Stokes' theorem is orientation. We need to be careful about orientating the surface (which is specified by the normal vector $vc$) properly with respect to the orientation of the boundary (which is specified by the tangent vector). Remember, changing the orientation of the surface changes the sign of the surface integral. If we choose the wrong $vc$ (i.e., the wrong orientation), we could be off by a minus sign.

Look at the below applet from the Stokes' theorem introduction, where the &ldquomicroscopic circulation&rdquo is sketched by green circles on the surface. Notice how the arrows on the little green circles (indicating the &ldquomicroscopic circulation&rdquo) are aligned with the red arrow indicating the direction of the curve $dlc$. If, for example, the arrows on the green circles were going the other direction, the green circles and the red curve wouldn't match, and we'd be off by a minus sign.

Applet loading

Macroscopic and microscopic circulation in three dimensions. العلاقة بين الدوران العياني لحقل متجه $ dlvf $ حول منحنى (الحد الأحمر للسطح) والدوران المجهري لـ $ dlvf $ (موضّح بدوائر خضراء صغيرة) على طول سطح في ثلاثة أبعاد يجب أن يكون ثابتًا لأي سطح الذي حدوده هو المنحنى. بغض النظر عن السطح الذي تختاره (قم بتغييره بسحب النقطة الخضراء في شريط التمرير العلوي) ، يجب أن يساوي إجمالي الدوران المجهري $ dlvf $ على طول السطح دوران $ dlvf $ حول المنحنى. (نفترض أن حقل المتجه $ dlvf $ محدد في كل مكان على السطح.) يمكنك تغيير المنحنى إلى شكل أكثر تعقيدًا عن طريق سحب النقطة الزرقاء على شريط التمرير السفلي ، والعلاقة بين الدوران المجهري والإجمالي لا تزال يحمل. يتم توجيه السطح بواسطة المتجه الطبيعي الموضح (سهم سماوي متحرك على السطح) ، ويتم توجيه المنحنى بواسطة السهم الأحمر.

بالنظر من المحور الموجب $ z $ ، تشير كل من الدوائر الخضراء والمنحنى الأحمر إلى الدوران في عكس اتجاه عقارب الساعة. لتحديد اتجاه نظرية جرين ، كان هذا كافيًا. لقد أصررنا ببساطة على توجيه المنحنى $ dlc $ عكس اتجاه عقارب الساعة. بالنسبة إلى نظرية ستوكس ، لا يمكننا أن نقول فقط & ldquocounterclockwise ، & rdquo لأن الاتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة يعتمد على الاتجاه الذي تنظر منه. إذا أخذت التطبيق الصغير وقمت بتدويره 180 دولارًا ^ circ $ بحيث تنظر إليه من المحور السالب $ z $ ، سيبدو المنحنى نفسه كما لو كان موجهًا في اتجاه عقارب الساعة. نظرًا لأن الدوائر الخضراء ستبدو أيضًا وكأنها موجهة في اتجاه عقارب الساعة ، فلا يزال بإمكانك رؤية أن الدوائر الخضراء والمنحنى الأحمر متطابقتان.

تذكر أيضًا أن المنحنى $ dlc $ يمكن أن يكون عائمًا أو ملتويًا في أي اتجاه. لا يجب أن تبدو بسيطة كما في الأمثلة أعلاه. لحسن الحظ ، لا يجب أن يكون اختيار الاتجاه الصحيح أمرًا صعبًا للغاية إذا كنت تتذكر قاعدة اليد اليمنى. إذا نظرت إلى يدك اليمنى من جانب إبهامك ، فإن أصابعك تلتف في اتجاه عكس عقارب الساعة. فكر في إبهامك على أنه المتجه العادي $ vcدولار من سطح. إذا كان إبهامك يشير إلى الجانب الإيجابي من السطح ، فإن أصابعك تشير إلى الدوران المقابل لـ $ curl dlvf cdot vc$. في التطبيق الصغير أعلاه ، يظهر المتجه الطبيعي المقابل لاتجاه الدوائر الخضراء كسهم سماوي. إذا وضعت إبهام يدك اليمنى بحيث تشير في اتجاه المتجه الطبيعي السماوي ، فإن أصابع يدك اليمنى تلتف في الاتجاه المقابل لاتجاه الدوائر الخضراء.

مع توجيه إبهامك إلى المتجه الطبيعي السماوي ، حرك يدك على طول السطح باتجاه حوافه. عندما تكون أصابعك بجوار حدود السطح ، يجب أن يكون المنحنى الأحمر $ dlc $ موجهًا (بالسهم الأحمر) للالتفاف في نفس الاتجاه الذي تشير إليه أصابعك. إذا كانت العلاقة بين المتجه العادي $ vcلا يتطابق $ واتجاه $ dlc $ مع العلاقة بين الإبهام وأصابع يدك اليمنى ، وستكون بعيدًا عن طريق علامة الطرح عند محاولة تطبيق نظرية ستوكس.

طريقة أخرى للتفكير في التوجه الصحيح هي التالية. تخيل أنك تمشي على الجانب الإيجابي من السطح (على سبيل المثال ، الجانب مع ناقل طبيعي سماوي في التطبيق الصغير أعلاه). إذا كنت تمشي بالقرب من حافة السطح في الاتجاه المقابل لاتجاه $ dlc $ ، فيجب أن يكون السطح على يسارك والحافة $ dlc $ على يمينك.

عندما يتم توجيه المنحنى $ dlc $ والسطح $ dls $ كما هو موصوف أعلاه بحيث يتم تطبيق نظرية ستوكس ، فإننا نقول أن $ dlc $ هو حد موجب التوجه بقيمة $ dls $.


شاهد الفيديو: برهان نظرية ستوكس 1. الرياضيات. التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات (شهر اكتوبر 2021).