مقالات

الفصل الثاني عشر: النواقل وهندسة الفضاء - الرياضيات


جدول المحتويات

  • 12.1: المتجهات في المستوى
    يتم تحديد بعض الكميات ، مثل أو القوة ، من حيث الحجم (ويسمى أيضًا الحجم) والاتجاه. الكمية التي لها مقدار واتجاه تسمى متجه.
  • 12.1E: تمارين للمتجهات في المستوى
  • 12.2: النواقل في الفضاء
    المتجهات هي أدوات مفيدة لحل المشاكل ثنائية الأبعاد. ومع ذلك ، فإن الحياة تحدث في ثلاثة أبعاد. لتوسيع استخدام المتجهات إلى تطبيقات أكثر واقعية ، من الضروري إنشاء إطار عمل لوصف الفضاء ثلاثي الأبعاد.
  • 12.2E: تمارين للناقلات في الفضاء
  • 12.3: المنتج النقطي
    يخبرنا حاصل الضرب النقطي بشكل أساسي عن مقدار متجه القوة المطبق في اتجاه متجه الحركة. يمكن أن يساعدنا حاصل الضرب النقطي أيضًا في قياس الزاوية المكونة من زوج من المتجهات وموضع المتجه بالنسبة إلى محاور الإحداثيات. حتى أنه يوفر اختبارًا بسيطًا لتحديد ما إذا كان متجهان يلتقيان بزاوية قائمة.
  • 12.3E: تمارين للمنتج النقطي
  • 12.4: حاصل الضرب المتقاطع
    في هذا القسم ، نقوم بتطوير عملية تسمى الضرب التبادلي ، والتي تتيح لنا إيجاد متجه متعامد لمتجهين محددين. يعد حساب عزم الدوران أحد التطبيقات المهمة للمنتجات المتقاطعة ، ونقوم بفحص عزم الدوران بمزيد من التفاصيل لاحقًا في القسم.
  • 12.4E: تمارين للمنتج المتقاطع
  • 12.5: معادلات الخطوط والمستويات في الفضاء
    لكتابة معادلة لخط ، يجب أن نعرف نقطتين على الخط ، أو يجب أن نعرف اتجاه الخط ونقطة واحدة على الأقل يمر من خلالها الخط. في بعدين ، نستخدم مفهوم الميل لوصف اتجاه الخط أو اتجاهه. في ثلاثة أبعاد ، نصف اتجاه الخط باستخدام متجه موازٍ للخط. في هذا القسم ، ندرس كيفية استخدام المعادلات لوصف الخطوط والمستويات في الفضاء.
  • 12.5E: تمارين لمعادلات الخطوط والمستويات في الفضاء
  • 12.6: الأسطح الرباعية
    لقد كنا نستكشف المتجهات وعمليات المتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، وقمنا بتطوير معادلات لوصف الخطوط والمستويات والمجالات. في هذا القسم ، نستخدم معرفتنا بالمستويات والمجالات ، وهي أمثلة لأشكال ثلاثية الأبعاد تسمى الأسطح ، لاستكشاف مجموعة متنوعة من الأسطح الأخرى التي يمكن رسمها في نظام إحداثيات ثلاثي الأبعاد.
  • 12.6E: تمارين للأسطح الرباعية
  • 12.7: إحداثيات أسطوانية وكروية
    يوفر نظام الإحداثيات الديكارتية طريقة مباشرة لوصف موقع النقاط في الفضاء. ومع ذلك ، قد يكون من الصعب نمذجة بعض الأسطح باستخدام معادلات تستند إلى النظام الديكارتي. كما يوحي الاسم ، فإن الإحداثيات الأسطوانية مفيدة للتعامل مع المشكلات التي تتضمن الأسطوانات. وبالمثل ، فإن الإحداثيات الكروية مفيدة للتعامل مع المشكلات التي تتضمن المجالات.
  • 12.7E: تمارين للإحداثيات الأسطوانية والكروية
  • تمارين مراجعة الفصل 12
  • مواد جديدة

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


تمرين Stewart Calculus 7e Solutions الفصل 12 المتجهات وهندسة الفضاء تمرين 12.R

تمرين Stewart Calculus 7e Solutions الفصل 12 المتجهات وهندسة الفضاء تمرين 12.R

الإجابة 1CC.

الإجابة 1E.



الإجابة 1P.


الإجابة 1TFQ.

الإجابة 2CC.

الإجابة 2E.




الإجابة 2P.



الإجابة 2TFQ.


الإجابة 3CC.


الإجابة 3E.



الإجابة 3 P.


الإجابة 3TFQ.


الإجابة 4CC.

الإجابة 4E.












الإجابة 4P.



الإجابة 4TFQ.

الإجابة 5CC.

الإجابة 5E.

الإجابة 5 P.




الإجابة 5TFQ.

الإجابة 6CC.

الإجابة 6E.



الإجابة 6 ص.


الإجابة 6TFQ.


الإجابة 7CC.


الإجابة 7E.





الإجابة 7 ص.








الإجابة 7TFQ.

الإجابة 8CC.


الإجابة 8E.

الإجابة 8TFQ.


الإجابة 9E.



الإجابة 9TFQ.

الإجابة 10CC.


الإجابة 10E.


الإجابة 10TFQ.

الإجابة 11CC.

الإجابة 11E.



الإجابة 11TFQ


الإجابة 12CC.

الإجابة 12 هـ.


الإجابة 12TFQ.


الإجابة 13CC.



الإجابة 13E.





الإجابة 13TFQ.

الإجابة 14CC.


الإجابة 14 هـ.


الإجابة 14TFQ.

الإجابة 15CC.



الإجابة 15 ه.


الإجابة 15TFQ.



الإجابة 16CC.


الإجابة 16E.

الإجابة 16TFQ.

الإجابة 17CC.



الإجابة 17E.

الإجابة 17TFQ.

الإجابة 18CC.

الإجابة 18E.

الإجابة 18TFQ.

الإجابة 19CC.



الإجابة 19E.


الإجابة 19TFQ.

الإجابة 20 هـ.


.
الإجابة 20TFQ.

الإجابة 21E.


الإجابة 21TFQ.

الإجابة 22 هـ.



الإجابة 22TFQ.

الإجابة 23E.



الإجابة 24E.



الإجابة 25 هـ.

.

الإجابة 27E.


الإجابة 28 هـ.



الإجابة 29E.

الإجابة 30E.


الإجابة 31E.



الإجابة 32 هـ.


الإجابة 33E.



الإجابة 34E.


الإجابة 35 هـ.


الإجابة 36 هـ.


الإجابة 37E.

الإجابة 38 هـ.





ستيوارت حساب التفاضل والتكامل 7e حلول الفصل 12 المتجهات وهندسة تمرين الفضاء 12.3

ستيوارت حساب التفاضل والتكامل 7e حلول الفصل 12 المتجهات وهندسة تمرين الفضاء 12.3

الإجابة 1E.






الإجابة 2E.

الإجابة 3E.

الإجابة 4E.

الإجابة 5E.


الإجابة 6E.

الإجابة 7E.

الإجابة 8E.


الإجابة 9E.


الإجابة 10E.

الإجابة 11E.


الإجابة 12 هـ.


الإجابة 13E.



الإجابة 14 هـ.

الإجابة 15 ه.



الإجابة 16E.



الإجابة 17E.


الإجابة 18E.


الإجابة 19E.



الإجابة 20 هـ.






الإجابة 21E.







الإجابة 22 هـ.




الإجابة 23E.




الإجابة 24E.



الإجابة 25 هـ.


الإجابة 26 هـ.


الإجابة 27E.





الإجابة 28 هـ.




الإجابة 29E.



الإجابة 30E.




الإجابة 31E.







الإجابة 32 هـ.





الإجابة 33E.



الإجابة 34E.



الإجابة 35 هـ.



الإجابة 36 هـ.



الإجابة 37E.



الإجابة 38 هـ.



الإجابة 39E.


الإجابة 40E.



الإجابة 42 هـ.



الإجابة 43 هـ.

الإجابة 44 هـ.



الإجابة 45 هـ.



الإجابة 46 هـ.




الإجابة 47E.



الإجابة 48 هـ.


الإجابة 49 هـ.

الإجابة 50 هـ.

الإجابة 51 هـ.

الإجابة 52 هـ.

الإجابة 53 هـ.






الإجابة 54 هـ.




الإجابة 55E.




الإجابة 56 هـ.


الإجابة 57E.




الإجابة 58 هـ.




الإجابة 59E.





الإجابة 60 هـ.


الإجابة 61 هـ.



الإجابة 62 هـ.



الإجابة 63E.


الإجابة 64 هـ.



ستيوارت حساب التفاضل والتكامل 7e حلول الفصل 12 المتجهات وهندسة تمرين الفضاء 12.4

ستيوارت حساب التفاضل والتكامل 7e حلول الفصل 12 المتجهات وهندسة تمرين الفضاء 12.4

الإجابة 1E.



الإجابة 2E.

Q3E.


الإجابة 4E.


الإجابة 5E.




الإجابة 6E.




الإجابة 7E.




الإجابة 8E.


الإجابة 10E.

الإجابة 11E.

الإجابة 12 هـ.

الإجابة 13E.





الإجابة 14 هـ.


الإجابة 15 ه.



الإجابة 16E.



الإجابة 17E.



الإجابة 18E.




الإجابة 19E.




الإجابة 20 هـ.


الإجابة 21E.



الإجابة 22 هـ.


الإجابة 23E.


الإجابة 24E.





الإجابة 26 هـ.




الإجابة 27E.


الإجابة 28 هـ.



الإجابة 29E.



الإجابة 30E.


الإجابة 31E.




الإجابة 32 هـ.



الإجابة 33E.


الإجابة 35 هـ.


الإجابة 36 هـ.



الإجابة 37E.



الإجابة 38 هـ.



الإجابة 39E.



الإجابة 40E.





الإجابة 41 هـ.




الإجابة 42 هـ.




الإجابة 44 هـ.


الإجابة 45 هـ.







الإجابة 46 هـ.








الإجابة 47E.


الإجابة 48 هـ.


الإجابة 49 هـ.


الإجابة 50 هـ.




الإجابة 51 هـ.

الإجابة 52 هـ.


الإجابة 53 هـ.



الإجابة 54 هـ.






STPM الرياضيات الإضافية T

سيكون هذا الفصل استمرارًا ومزيجًا لما تعلمته من فصول تنسيق الهندسة والمتجهات. نظرًا لأننا نصل إلى 3 أبعاد ، فإننا نستفيد من المتجهات لأنها تجعل تحليلنا أسهل بكثير. نقدم هنا أنظمة الإحداثيات للفضاء ثلاثي الأبعاد 2. تقودنا دراسة الفراغات ثلاثية الأبعاد إلى الإعداد لدراستنا لحساب وظائف متغيرين وثلاثة متغيرين لاحقًا في الجامعة.

قمنا بإعداد نظام إحداثيات ثلاثي الأبعاد من خلال تحديد نقطة ا في الفضاء (يسمى الأصل) وخذ ثلاثة خطوط تمر عبر O متعامدة مع بعضها البعض. تم تصنيف هذه الأسطر كـ المحور السيني, المحور ص و المحور z على التوالى. يتم تحديد اتجاه المحور z بواسطة حكم اليد اليمنى:

أعتقد أنه يجب أن تكون على دراية بهذه القاعدة في الفيزياء. عندما تشير أصابعك في الاتجاه في المحور السيني ، وتجعلها تلتف باتجاه المحور الصادي ، فإن إبهامك سيشير إلى المحور ع. حاول أن تعتاد على هذا الإعداد: مع توجيه المحور z لأعلى ، و x على اليسار ، و y على اليمين.

يمكن تمثيل النقطة P في الفضاء بثلاثية مرتبة (أ ، ب ، ج) أين أ, ب و ج هي توقعات لهذه النقطة ص على المحور x و y و z على التوالي. يُطلق على الفضاء ثلاثي الأبعاد أيضًا اسم xyz الفضاء.

ربما يجب أن تعرف كيف نمثل متجهًا ثلاثي الأبعاد. استخدام نفس اصطلاحات متجهات الوحدة أنا و ي، نضيف واحدًا آخر فقط ك لتمثيل متجه الوحدة في اتجاه z (على سبيل المثال ، 2أنا + 3ي – 5ك). كل شيء يتعلق بالمتجه في 2D يعمل بنفس الطريقة تقريبًا في الأبعاد الثلاثية. طول المتجه الفوسفور (أ ، ب ، ج) يتبع علاقة فيثاغورس

وبالمثل ، المسافة بين متجهي الموضع أ و ب يمكن العثور عليها من خلال المعادلة

لنقم بمراجعة صغيرة لخصائص المتجهات ، والضرب العددي ، والجمع ، والطرح ، وما إلى ذلك. أ, ب و ج يكون 3 متجهات ، k و h يكونان 2 ثوابت ، ثم لدينا

(1) أ + ب = ب + أ
(2) أ + (ب + ج) = (أ + ب) + ج
(3) أ + 0 = أ
(4) أ + (& # 8211 أ) = 0
(5) ك(أ + ب) = كأ + ك ب
(6) (ك + ح) أ = كأ + ح أ
(7) (خ) أ = ك(حأ)
(8) 1أ = أ

منتج سكلار

المنتج القياسي ، المعروف أيضًا باسم المنتج نقطة، هو ضرب من متجهين (أ ، ب ، ج) و (د ، هـ ، و) مثل ذلك

ينتج عن المنتج القياسي إجابة في شكل مقياس ، وهي قيمة بدلاً من متجه. في علم المثلثات ، يمكن تمثيله بالمعادلة
أ & # 8226 ب = | أ || ب | كوس θ

أعتقد أن كل هذه الأمور ليست جديدة عليك ، حيث أنك درستها في الرياضيات ت. ومع ذلك ، في هذا القسم ، سنناقش تفاصيل جبر المتجهات ، على عكس الرياضيات T حيث ركزت أكثر على التطبيقات ، أي ال القوة / السرعة الناتجة و السرعة النسبية. دعونا نلقي نظرة على خصائص المنتجات العددية. معطى أ, ب و ج هي نواقل ، د كونها ثابتة ، لدينا

(أنا) أ & # 8226 ب = ب & # 8226 أ (تبادلية)
(ثانيا) أ & # 8226 (ب + ج) = أ & # 8226 ب + أ & # 8226 ج (قانون التوزيع)
(ثالثا) (دأ) & # 8226 ب = د(أ & # 8226 ب) = أ & # 8226 (دب)
(رابعا) 0 & # 8226 أ = 0
(الخامس) أ & # 8226 أ = | أ | 2

نقول أن اثنين من النواقل متعامد على بعضها البعض عندما تكون متعامدة مع بعضها البعض. متجهان أ و ب تكون متعامدة إذا وفقط إذا أ & # 8226 ب = 0. في 3D ، نقول أن ناقل أ متعامد مع النواقل ب و ج لو أ عمودي على كليهما ب و ج.

ال مكون من ب على أ (أو الإسقاط القياسي) هو الجزء الذي تم حله من أ في اتجاه ب. هذا يعني أنه عندما يكون لدينا متجهان أ و ب يشير إلى اتجاهين مختلفين ، مع ارتباط ذيل السهم ببعضهما البعض ، مكون ب على أ هو طول الإسقاط المتعامد ب على أ.

نكتب التدوين شركاتأ ب لتمثيل مكون ب على أورياضيا ، لها قيمة

ووفقًا للصورة أعلاه ، فهو طول ملاحظة.

ال ناقلات الإسقاط من ب على أ هو مجرد ناقل ملاحظة بحد ذاتها. لها الصيغة

نكتب التدوين مشروعأ ب لتمثيل إسقاط ب على أ. تذكر أن الإجابة هي متجه ، وليست مجرد قيمة.

لناقل أ (أأنا، أي، أك)، ال نسبة الاتجاه مكتوب كـ أأنا : أي : أك, حيث يمكن أن تكون إجابتك في أبسط صورة (مقسومة على القاسم المشترك الأكبر). ال جيب التمام الاتجاه من المتجه أ نكون

على التوالى.

ال زاوية بين ال المتجه و ال المحور z يمكن إيجادها باستخدام المعادلة

وبالتالي يمكنك استنتاج الزاوية بين المتجه والمحور السيني والمحور الصادي أمبير على التوالي.

إذ يشير إلى أن حاصل الضرب النقطي لمتجهين ، أ & # 8226 ب = | أ || ب | كوس θ، يمكننا بسهولة العثور على زاوية بين متجهين,

منتج ناقل

يُعرف أيضًا باسم المنتوج الوسيط، منتج المتجه هو شيء جديد بالنسبة لك ، لأنه لا يمكن أن يوجد في مستوى ثنائي الأبعاد. نحدد منتج المتجه لمتجهين (أ ، ب ، ج) و (د ، هـ ، و) أن تكون

ينتج عن حاصل الضرب الاتجاهي متجه (له امتداد الحجم و أ اتجاه) ، وهو متعامد لكل من المتجهين الأصليين. في علم المثلثات ، حاصل الضرب التبادلي أ & # 215 ب = | أ || ب | الخطيئة θ.

يمكنك استخدام قاعدة اليد اليمنى لتحديد اتجاه حاصل الضرب الاتجاهي. أشر بأصابعك إلى اتجاه أ، قم بلفها في اتجاه ب، ثم يشير إبهامك في اتجاه أ & # 215 ب. هذه المعلومات مهمة للغاية نأتي إلى القسم الخاص بها طائرات.

بخلاف حاصل الضرب النقطي ، فإن أي متجه يتقاطع مع نفسه ينتج عنه صفر.
i & # 816 & # 215 i & # 816 = 0، j & # 816 & # 215 j & # 816 = 0، k & # 816 & # 215 k & # 816 = 0

أو بعبارة أخرى ، حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين متوازيين هو صفر. يمكنك استخدام قاعدة يدك اليمنى للتحقق من ذلك. بالنسبة لمتجهات الوحدة ، يمكنك أيضًا الحصول على النتائج التالية:

سنرى الآن خصائص حاصل الضرب الاتجاهي. لو أ, ب و ج هي نواقل و d عددية ، إذن

(أنا) أ & # 215 ب = & # 8211b & # 215 أ
(ثانيا) (دأ) & # 215 ب = د(أ & # 215 ب) = أ & # 215 (دب)
(ثالثا) أ & # 215 (ب + ج) = أ & # 215 ب + أ & # 215 ج
(رابعا) (أ + ب) & # 215 ج = أ & # 215 ج + ب & # 215 ج
(الخامس) أ & # 8226 (ب & # 215 ج) = (أ & # 215 ب) & # 8226 ج
(السادس) أ & # 215 (ب & # 215 ج) = (أ & # 8226 ج) ب & # 8211 (أ & # 8226 ب) ج
(السابع) (أ & # 215 ب) & # 8226 أ = 0

ربما يصعب تذكر (السادس). (vii) هو مجرد تعريف للمنتج النقطي ، حيث يساوي حاصل الضرب النقطي لمتجهين متعامدين صفرًا. لاحظ أيضًا أن المنتج التبادلي ليس تبادليًا. عكس أ& # 8217s و ب& # 8217s سيؤدي إلى علامة ناقص إضافية.

المنتج المتقاطع له العديد من التطبيقات ، خاصة في الفيزياء. يمكنك استخدام حاصل الضرب الاتجاهي لإيجاد عزم الدوران والقوة المغناطيسية وما إلى ذلك. في الهندسة ، نرى أن مساحة المثلث تتكون من 3 ناقلات أ ، ب و ج يكون

أ منتج ثلاثي عددي من النواقل أ ، ب و ج يكون أ & # 8226 ب & # 215 ج. إذا كنت قد لاحظت ، فعليك إجراء الضرب التبادلي أولاً قبل المنتج النقطي. إذا كنت قد أنجزت حاصل الضرب النقطي أولاً ، فستحصل على رقم قياسي يتقاطع مع متجه ، والذي لا يوجد به التعريف. لاحظ أيضًا أن أ & # 8226 ب & # 215 ج = أ & # 215 ب & # 8226 ج. يمكننا التقييم أ & # 8226 ب & # 215 ج باستخدام المحدد

أين أ = (أ1، أ2، أ3) ، ب = (ب1، ب2، ب3), و ج = (ج1، ج2، ج3) على التوالى. نستخدم المنتج القياسي الثلاثي لإيجاد أحجام المواد الصلبة المختلفة. منذ ب & # 215 ج هي المساحة الأساسية لمجسم ما ، عندما تتخللها متجه آخر أ، فإنه يضاعف المساحة بجيب تمام الارتفاع. لذلك فإن صيغ المواد الصلبة المختلفة هي كما يلي:


1. حجم مكعباني شبيه بالمكعب & أمبير متوازي الاضلاع:
أ & # 8226 ب & # 215 ج


2.
حجم رباعي الوجوه:


3.
حجم منشور ثلاثي


4.
حجم هرم

ليس من الصعب حقًا على ما أعتقد. قد يُطلب منك على الأرجح تبسيط معادلة من خلال الاستفادة من خصائص حاصل الضرب الاتجاهي والنقطي. تعتاد عليها ، سوف تستخدمها في القسمين التاليين! & # 9786


المتجهات وهندسة الفضاء - عرض تقديمي باستخدام PowerPoint PPT

يعد موقع PowerShow.com موقعًا رائدًا لمشاركة العروض التقديمية / عرض الشرائح. سواء كان تطبيقك يتعلق بالعمل ، أو الكيفية ، أو التعليم ، أو الطب ، أو المدرسة ، أو الكنيسة ، أو المبيعات ، أو التسويق ، أو التدريب عبر الإنترنت أو لمجرد التسلية ، فإن موقع PowerShow.com هو مورد رائع. والأفضل من ذلك كله ، أن معظم ميزاته الرائعة مجانية وسهلة الاستخدام.

يمكنك استخدام PowerShow.com للعثور على أمثلة لعروض PowerPoint التقديمية عبر الإنترنت وتنزيلها حول أي موضوع يمكنك تخيله حتى تتمكن من تعلم كيفية تحسين الشرائح والعروض التقديمية مجانًا. أو استخدمه للعثور على عروض تقديمية عالية الجودة لـ PowerPoint وتنزيلها مع شرائح مصورة أو متحركة ستعلمك كيفية القيام بشيء جديد ، مجانًا أيضًا. أو استخدمه لتحميل شرائح PowerPoint الخاصة بك حتى تتمكن من مشاركتها مع المعلمين أو الفصل أو الطلاب أو الرؤساء أو الموظفين أو العملاء أو المستثمرين المحتملين أو العالم. أو استخدمها لإنشاء عروض شرائح صور رائعة حقًا - مع انتقالات ثنائية وثلاثية الأبعاد ورسوم متحركة وخيارات الموسيقى التي يمكنك مشاركتها مع أصدقائك على Facebook أو دوائر Google+. هذا كله مجاني أيضًا!

مقابل رسوم رمزية ، يمكنك الحصول على أفضل خصوصية على الإنترنت في المجال أو الترويج للعروض التقديمية وعروض الشرائح مع أعلى التصنيفات. لكن بصرف النظر عن ذلك فهو مجاني. سنقوم بتحويل العروض التقديمية وعروض الشرائح إلى تنسيق الفلاش العالمي بكل مجدها الأصلي للوسائط المتعددة ، بما في ذلك الرسوم المتحركة ، وتأثيرات الانتقال ثنائية وثلاثية الأبعاد ، والموسيقى المضمنة أو أي صوت آخر ، أو حتى الفيديو المضمّن في الشرائح. كل هذا مجانا. يمكن مشاهدة معظم العروض التقديمية وعروض الشرائح على PowerShow.com مجانًا ، بل إن الكثير منها مجاني للتنزيل. (يمكنك اختيار ما إذا كنت ستسمح للأشخاص بتنزيل عروض PowerPoint التقديمية الأصلية وعروض شرائح الصور مقابل رسوم أو مجانًا أم لا على الإطلاق.) تحقق من PowerShow.com اليوم - مجانًا. حقا هناك شيء للجميع!

العروض التقديمية مجانًا. أو استخدمه للعثور على عروض تقديمية عالية الجودة لـ PowerPoint وتنزيلها مع شرائح مصورة أو متحركة ستعلمك كيفية القيام بشيء جديد ، مجانًا أيضًا. أو استخدمه لتحميل شرائح PowerPoint الخاصة بك حتى تتمكن من مشاركتها مع المعلمين أو الفصل أو الطلاب أو الرؤساء أو الموظفين أو العملاء أو المستثمرين المحتملين أو العالم. أو استخدمها لإنشاء عروض شرائح صور رائعة حقًا - مع انتقالات ثنائية وثلاثية الأبعاد ورسوم متحركة وخيارات الموسيقى التي يمكنك مشاركتها مع أصدقائك على Facebook أو دوائر Google+. هذا كله مجاني أيضًا!


الفصل الثاني عشر: النواقل وهندسة الفضاء - الرياضيات

هذا فصل قصير إلى حد ما. سنلقي نظرة سريعة على النواقل وبعض خصائصها. سنحتاج إلى بعض من هذه المواد في الفصل التالي ، وستستخدم تلك التي تتجه نحو حساب التفاضل والتكامل III قدرًا لا بأس به من هذه المواد هناك أيضًا.

فيما يلي قائمة بالموضوعات في هذا الفصل.

المفاهيم الأساسية - في هذا القسم سوف نقدم بعض الرموز الشائعة للمتجهات بالإضافة إلى بعض المفاهيم الأساسية حول المتجهات مثل حجم المتجه ومتجهات الوحدة. نوضح أيضًا كيفية العثور على متجه من نقطتي البداية والنهاية.

حساب المتجهات - في هذا القسم سنناقش التفسير الرياضي والهندسي لمجموع المتجهين واختلافهما. نقوم أيضًا بتعريف وإعطاء تفسير هندسي للضرب القياسي. نقدم أيضًا بعض الخصائص الأساسية لحساب المتجهات ونقدم التدوين المشترك (i ) ، (j ) ، (k ) للمتجهات.

المنتج النقطي - في هذا القسم سوف نحدد حاصل الضرب النقطي لمتجهين. نعطي بعض الخصائص الأساسية للمنتجات النقطية ونحدد المتجهات المتعامدة ونوضح كيفية استخدام المنتج النقطي لتحديد ما إذا كان المتجهان متعامدين. نناقش أيضًا العثور على إسقاطات المتجهات وجيب التمام في هذا القسم.

Cross Product - في هذا القسم نحدد الضرب التبادلي لمتجهين ونعطي بعض الحقائق والخصائص الأساسية للمنتجات المتقاطعة.


منتجات اثنين من النواقل

سيكون زوج المتجهات عموديًا إذا كان $ < rm < vec a >>. < rm < vec b >> $ = 0.

أو ، $ overrightarrow << rm>> $ = (2،3،4) $ overrightarrow << rm>> $ = (5,4,-1),

أو ، $ overrightarrow << rm>> $ = (3،6،2) $ overrightarrow << rm>> $ = (1,2,0)

أو ، $ overrightarrow << rm>> $ = $ overrightarrow << rm>> $ & ndash $ overrightarrow << rm>> $ = (5،4، -1) & ndash (2،3،4) = (3،1، -5).

أو ، $ overrightarrow << rm>> $ = $ overrightarrow << rm>> $ & ndash $ overrightarrow << rm>> $ = (1،2،0) & ndash (3،6،2) = (-2 ، -4 ، -2).

أو ، $ overrightarrow << rm>>. overrightarrow << rm>> $ = (3،1، -5). [- 2، -4، -2) = - 6 & ndash 4 + 10 = 0.

AB عمودي على القرص المضغوط.

لنفترض أن A و B و C هي رؤوس المثلث بمتجهات الموضع 7 $ < rm < vec j >> $ + 10 $ < rm < vec k >> $، $ - < rm < vec i >> $ + 6 $ < rm < vec j >> $ + 6 $ < rm < vec k >> $ و $ - 4 < rm < vec i >> $ + 9 $ < rm < vec j >> $ + 6 $ < rm < vec k >> $ على التوالي. دع O يكون الأصل. ثم،

إذن ، BA عمودي على BC ، أي $ زاوية $ B = 90 درجة

إذن ، المثلث هو مثلث قائم الزاوية.

ثم ، $ overrightarrow << rm>> $ = $ overrightarrow << rm>> $ + $ overrightarrow << rm>> $

أو ، $ overrightarrow << rm>> $ = $ overrightarrow << rm>> $ + $ overrightarrow << rm>> $.

ضرب كل مصطلح بشكل عشوائي في $ < rm < vec b >> $.

أو ، $ overrightarrow << rm>> $ = $ overrightarrow << rm>> + overrightarrow << rm>> $

أو ، $ overrightarrow << rm>> $ = $ overrightarrow << rm>> + overrightarrow << rm>> $ = $ - overrightarrow << rm>> - overrightarrow << rm>> $.

أو ، a 2 = b 2 + c 2 & ndash 2.bc cosA.

أو b 2 = c 2 + a 2 & ndash 2.c.a cosB.

لنفترض أن $ angle $ XOS = A و $ angle $ ROX & rsquo = B لذا ، فإن $ angle $ SOR = & pi & ndash (A + B) ،

إذا كان OS = r1 و OR = r2، فإن إحداثيات S و R هي:

إذن ، cos (A + B) = cosA.cosB & ndash sinA.sinB.

لنفترض أن O هو الأصل والحواف الثلاثة المشتركة OA و OB و OC للمكعب AE تؤخذ كمحور x & ndash ومحور y & ndash ومحور z & ndash على التوالي.

ثم ، $ overrightarrow << rm>> $ = $ overrightarrow << rm>> + overrightarrow << rm>> + overrightarrow << rm>> $.

الآن ، cos 2 & alpha + cos 2 & beta + cos 2 & gamma + cos 2 & delta.

في المثلث المتساوي الساقين ABC ، ​​افترض أن AB = AC و AD هما الوسيط.

بما أن D هي النقطة الوسطى لـ BC ، لذلك.

إذن ، AD عمودي على BC.

لنفترض أن D هي نقطة منتصف وندش الوتر BC لمثلث قائم الزاوية ABC ، ​​الزاوية اليمنى عند A.

أو ، $ overrightarrow << rm>> $ = $ overrightarrow << rm>> + overrightarrow << rm>> $ = $ overrightarrow << rm>> $ + $ < rm < vec a >> $.

أو ، $ overrightarrow << rm>> $ = $ overrightarrow << rm>> $ + $ overrightarrow << rm>> $ = $ overrightarrow << rm>> - < rm < vec a >> $.

أو ، $ overrightarrow << rm>>. overrightarrow << rm>> $ = 0 ($ angle $ A = 90 & deg).

ومن ثم ، فإن D تساوي المسافة من الرؤوس A و B و C.

لنفترض أن ABCD متوازي أضلاع يتساوى فيه القطران AC و BD.

ومن ثم ، فإن ABCD عبارة عن مستطيل.

لنفترض أن OD و OE هما المنصفان العموديان للجانبين BC و CA للمثلث ABC. لنفترض أن F هي النقطة الوسطى من AB. الانضمام إلى.

اسمحوا $ overrightarrow $ = $ vec a. overrightarrow $ = $ vec b $ و $ overrightarrow $ = $ vec c $.

ثم ، $ overrightarrow $ = $ overrightarrow >> - vec ب $.

أو ، $ overrightarrow $ = $ overrightarrow >> - vec c $.

و $ overrightarrow $ = $ overrightarrow >> - vec a $.

بما أن D هي النقطة الوسطى من BC ، لذا $ overrightarrow $ = $ frac <1> <2> left (< overrightarrow >> + vec c> right) $.

بما أن OD هو المنصف العمودي لـ BC ، لذلك ، $ overrightarrow << rm>> $. $ < rm <: >> overrightarrow << rm>> $ = 0.

مرة أخرى ، $ overrightarrow << rm>>. overrightarrow << rm>> $ = 0.

إذن ، OF هي العمودي على AB.

لنفترض أن AD و BE و CF هي متوسطات المثلث ABC. دع O يكون الأصل ودع $ overrightarrow << rm>> $ = $ < rm < vec a >> $، $ overrightarrow << rm>> $ = $ overrightarrow << rm>> $ و $ overrightarrow << rm>> $ = $ < rm < vec c >> $.

بما أن D هي نقطة منتصف & ndash من BC ، لذلك ،

لنفترض أن G نقطة تقسم AD بنسبة 2: 1.

وبالمثل ، فإن متجهات الموضع للنقاط التي تقسم BE و CF في النسبة 2: 1 هي $ frac <<< rm < vec a >> + < rm < vec b >> + < rm < vec ج >>>> <3> $.


الفصل الثاني عشر: النواقل وهندسة الفضاء - الرياضيات

معلم: أكرم علي الشاهي
بريد إلكتروني: [email protected]
صفحة على الإنترنت: courseworks.columbia.edu و math.columbia.edu/

الشاهي / CalcIII.html
ساعات العمل: الإثنين: ظهرًا - 1 مساءً والأربعاء: 3 مساءً - 4 مساءً أو عن طريق التعيين في رياضيات 613

مساعدو التدريس:

غرفة المساعدة: مركز ميلشتاين للتعليم والتعلم الغرفة: 502

كتاب مدرسي: جيمس ستيوارت حساب التفاضل والتكامل: التجاوزات المبكرة، الطبعة الثامنة. لمزيد من المعلومات: http://www.math.columbia.edu/programs-math/undergraduate-program/calculus-classes/#textbook

تعد النسخة السابقة من الكتاب جيدة أيضًا وأرخص بكثير ، لكن مراجع الواجبات المنزلية تأتي من الطبعة الثامنة. الرجاء الحصول على المشاكل الصحيحة من المكتبة أو من صديق.

ملخص: مرحبًا بك في حساب التفاضل والتكامل III! الموضوعات التي ستتعلمها عن هذا الفصل الدراسي هي

  • المتجهات وهندسة الفضاء (القسم 10.5 والفصل 12)
  • دالات المتجهات (الفصل 13)
  • دوال المتغيرات المتعددة والمشتقات الجزئية (الفصل 14).

يتم تغطية المواد المطلوبة مسبقًا لهذه الدورة في حساب التفاضل والتكامل I. الإلمام بمواد حساب التفاضل والتكامل II مفيد ولكنه ليس ضروريًا. يرجى إعلامي إذا كان لديك أي أسئلة بخصوص ما إذا كانت هذه هي الدورة التدريبية المناسبة لك.

الواجب المنزلي: سيكون هناك مجموعات مشاكل كل أسبوع ، مستحقة في بداية الفصل يوم الاثنين ، ما لم يذكر خلاف ذلك. إذا كان بإمكانك & # 39t الوصول إلى الفصل ، ضعه في المربع المخصص خارج 410 Math.

مرحبًا بك للعمل على المهام معًا ، ولكن يجب أن تكتبها بكلماتك الخاصة.

لا يتم قبول الواجبات المنزلية المتأخرة. سيتم نشر حلول الواجبات المنزلية على الدورات الدراسية بعد استحقاق كل مهمة.

امتحان: سيكون هناك اختباران نصفيان في الفصل مدة كل منهما 75 دقيقة ، واختبارًا نهائيًا.

إذا كان لديك تعارض مع أي من مواعيد الامتحانات ، فيجب عليك الاتصال بي في وقت مبكر حتى نتمكن من اتخاذ الترتيبات اللازمة. (يفضل قبل أسبوع على الأقل). إذا كنت غير قادر على أداء الامتحان بسبب مشكلة طبية ، فيجب عليك الذهاب إلى المركز الصحي والحصول على مذكرة منهم - والاتصال بي في أقرب وقت ممكن.


يقوم فريق الرياضيات الخبير في Vedantu بتصميم أفضل حلول RS Aggarwal من الفئة 12 Straight Line in Space ، مع مراعاة مستوى فهم الطلاب. إنه فصل واسع يتعلق بالهندسة ثلاثية الأبعاد. يجب أن يفهم طلاب فئة المجلس المفهوم بأكمله بعمق من أجل الاستعداد والتسجيل بشكل جيد في المجالس وامتحانات القبول على المستوى التنافسي.

Class 12 RS Aggarwal Solutions يوفر الفصل 27 مواد تدريبية إضافية للطلاب ، مما يضمن أن جميع الطامحين في الهندسة الذين يهدفون إلى متابعة الرياضيات في التعليم العالي لن يواجهوا أبدًا أي مشاكل في أي مفهوم. هذه ضرورية لمنح الطلاب دفعة من التحضير والتأكد من حصولهم على كل المساعدة متى علقوا في أي فكرة.

الفصل 12 هو امتحان مجلس ، وغالبًا ما يُنصح الطلاب بالتدرب والاستعداد بانتظام وبقدر الإمكان. نظرًا لأن الرياضيات تتضمن العديد من المفاهيم المعقدة التي تتطلب ساعات من الاستعدادات وأسئلة متعددة للممارسة لضمان أن يصبح الطالب خبيرًا فيها ، فمن الضروري أن تكون حلول الطلاب في متناول اليد.


شاهد الفيديو: الصف الثاني عشر المسار العلمي والتكنولوجي الرياضيات المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد 2 (شهر اكتوبر 2021).