مقالات

3: استخدام الرسوم البيانية لتمثيل العلاقات الاجتماعية - الرياضيات


  • 3.1: مقدمة - تمثيل الشبكات بالرسوم البيانية
    يستخدم محللو الشبكات الاجتماعية نوعين من الأدوات من الرياضيات لتمثيل المعلومات حول أنماط الروابط بين الجهات الفاعلة الاجتماعية: الرسوم البيانية والمصفوفات. في هذه الصفحة ، سنتعلم ما يكفي عن الرسوم البيانية لفهم كيفية تمثيل بيانات الشبكات الاجتماعية. في الصفحة التالية ، سنلقي نظرة على تمثيلات المصفوفة للعلاقات الاجتماعية. باستخدام هذه الأدوات في متناول اليد ، يمكننا فهم معظم الأشياء التي يفعلها محللو الشبكة بهذه البيانات (على سبيل المثال ، حساب المقاييس الدقيقة "للكثافة النسبية").
  • 3.2: الرسوم البيانية والرسوم البيانية الاجتماعية
    هناك أنواع مختلفة من "الرسوم البيانية". تسمى المخططات الشريطية والمخططات الدائرية والمخططات الخطية والاتجاهية والعديد من الأشياء الأخرى بالرسوم البيانية و / أو الرسومات. يستخدم تحليل الشبكة (بشكل أساسي) نوعًا واحدًا من عرض الرسوم الذي يتكون من نقاط (أو عقد) لتمثيل الجهات الفاعلة والخطوط (أو الحواف) لتمثيل الروابط أو العلاقات. عندما استعار علماء الاجتماع طريقة الرسم البياني للأشياء هذه من علماء الرياضيات ، أعادوا تسمية رسوماتهم "الاجتماعية بالغرام".
  • 3.3: أنواع الرسوم البيانية
    نحتاج الآن إلى تقديم بعض المصطلحات لوصف أنواع مختلفة من الرسوم البيانية.
  • 3.4: ملخص
  • 3.E: استخدام الرسوم البيانية لتمثيل العلاقات الاجتماعية (تمارين)

السمات الشخصية والتكامل الاجتماعي

القدرات الاجتماعية التي يجب على الطلاب العمل على تحقيقها لتسهيل تعلمهم الرياضي هي تطوير المهارات الاجتماعية والمسؤوليات الأخلاقية وإظهار السلوكيات العاطفية والمعرفية المسؤولة.

1. تنمية المهارات الاجتماعية والمسؤولية الأخلاقية:

أ. احترم أوجه التشابه والاختلاف في الآخرين.

ب. عامل الآخرين بلطف وإنصاف.

ج. اتبع قواعد الفصل والمدرسة.

د. اشرك الآخرين في أنشطة التعلم واللعب.

ه. شارك مع الآخرين عند اتخاذ القرارات وحل المشكلات.

F. العمل بشكل إيجابي كعضو في الأسرة والفصل والمدرسة والمجتمع.

ز. استمع بنشاط للآخرين.

2. إظهار السلوكيات العاطفية والمعرفية المسؤولة.

أ. التعرف على القيم والمواهب والمهارات الخاصة بك.

ب. عبر عن نفسك بطرق إيجابية.

ج. إظهار الوعي الجمالي.

د. أظهر السلوك المناسب.

ه. التعبير عن المشاعر بشكل مناسب.

F. تلبية واحترام احتياجات الذات والآخرين.


الرسوم البيانية العشوائية

لمحاكاة كيفية تشكل شبكة اجتماعية ، يستخدم علماء الرياضيات الرسوم البيانية العشوائية هذا النموذج لكيفية إجراء الأشخاص للاتصالات عند دخولهم الشبكة.

يتم تطوير الرسوم البيانية العشوائية عن طريق إضافة عقد إلى الرسم البياني واحدة تلو الأخرى وإضافة الحواف بشكل عشوائي بين العقد وفقًا لقاعدة احتمالية. تؤدي الاختيارات المختلفة لقواعد إضافة الحافة إلى رسوم بيانية ذات هيكل مختلف تمامًا. يُطلق على أبسط نوع من الرسم البياني العشوائي اسم الرسم البياني Erdos-Renyi. عند إضافة كل عقدة ، يوجد احتمال ثابت p p p تتم فيه إضافة أي حافة ممكنة بينها وبين عقدة أخرى. هذا يعني أنه من المحتمل أن يكون أي شخصين متصلاً بنفس القدر مثل أي شخصين آخرين ، ولا يؤدي وجود اتصال مشترك إلى زيادة فرصة اتصالكما ببعضكما البعض. هذا يختلف تمامًا عما نلاحظه في الشبكات الاجتماعية الحقيقية ، حيث يميل الناس إلى التجمع معًا.

خذ نموذجًا بسيطًا لشبكة اجتماعية حيث تتشكل الصداقات بشكل عشوائي بين الأفراد. يشكل كل شخص عددًا من الصداقات مع أشخاص آخرين ، k i k_i k i. متوسط ​​عدد الصداقات التي يقوم بها أي شخص هو 1 N ∑ i k i = ⟨k⟩ frac <1> sum limits_ik_i = langle k rangle N 1 i ∑ k i = ⟨k⟩.

نسمي أ جزيرة الصداقة (FI) مجموعة من الأشخاص بحيث يمكن لأي شخص في FI الوصول إلى أي شخص آخر في FI عن طريق تمرير ملاحظة من خلال الأصدقاء المشتركين. إذا لم يتمكن شخصان من إرسال ملاحظات من خلال سلسلة من الأصدقاء المشتركين ، فيجب أن يكونا في FI مختلف.

ملاحظات وافتراضات

مثال لتوزيعات الدرجات لرسوم Erdos-Renyi (الأحمر) و Barabasi-Albert (الأزرق).

المقام هو ببساطة الدرجة الكلية لجميع العقد في الرسم البياني. لاحظ أن هذا يساوي ضعف العدد الإجمالي للحواف ، حيث يتم حساب كل حافة مرة واحدة لكل نقطة نهاية.

نظرًا لأن قوانين القوة لها مثل هذه الخصائص الأنيقة ، فقد تم استخدامها لوصف العديد من الظواهر الفيزيائية ، من عدد الروابط التي يمتلكها موقع الويب ، إلى عدد الاستشهادات التي تحصل عليها الورقة البحثية ، إلى عدد البروتينات الأخرى التي يتفاعل معها بروتين معين [1 ].

في شبكة اجتماعية على غرار الرسم البياني العشوائي لباراباسي-ألبرت ، ما هو متوسط ​​نسبة عدد الأشخاص الذين لديهم صديق واحد إلى عدد الأشخاص الذين لديهم ثلاثة أصدقاء؟


أساليب

تستند مراجعتنا المنهجية للأدبيات إلى المبادئ التوجيهية لعناصر التقارير المفضلة للمراجعات المنهجية ونهج التحليلات التلوية (PRISMA) [23].

استراتيجية البحث

استخدمنا الكلمات الرئيسية السجلات الصحية و رسم بياني مع المرادفات السجل الطبي ، سجل المريض وجميع صيغ الجمع للكلمات الرئيسية الخاصة ببحوث قاعدة البيانات الخاصة بنا في قواعد البيانات MEDLINE و Web of Science و IEEE Xplore والمكتبة الرقمية ACM. الحقول التي تم التحقيق فيها مع مصطلحات البحث كانت لقب و نبذة مختصرة. تم تضمين الكلمات الأساسية في بناء جملة الاستعلام لكل قاعدة بيانات تم التحقيق فيها. يتم عرض استعلامات قاعدة البيانات المحددة في ملحق. رسم بياني 1.

معايير الاشتمال

تم فحص الأوراق التي تم التحقيق فيها مقابل معايير الاشتمال التالية. كان المعيار الرئيسي الأول هو استخدام المصطلح رسم بياني بمعنى نظرية الرسم البياني. هذا يعني أن الرسوم البيانية يجب أن تحتوي على عقد وحواف ، وهو معيار تعريف رئيسي للرسوم البيانية لنظرية الرسم البياني. استخدمت العديد من الأوراق هذه الكلمة في سياق آخر ، على سبيل المثال حيث استخدمت بعض الرسوم البيانية مصطلح الرسم البياني كمرادف للتوضيح وبالتالي تم استبعادها. تم استبعاد المقالات أيضًا إذا كانت لا تستخدم الرسوم البيانية التي تمثل المرضى الأفراد ولكن على سبيل المثال لمجموعة من المرضى. علاوة على ذلك ، تم تضمين المقالات المكتوبة باللغة الإنجليزية أو الألمانية فقط. تم إجراء البحث في قاعدة البيانات في 20.03.2018 ولذلك تم اعتبار المقالات المنشورة والمفهرسة حتى هذا التاريخ فقط في المراجعة.

اختيار المقالات

تم فحص المقالات المسترجعة من استفسارات قاعدة البيانات من قبل أربعة مراجعين وفقًا لمعايير التضمين بناءً على العنوان والملخص. في حالة عدم وجود ملخص ، تم استخدام النص الكامل للمقالة. في البداية ، اختبر المراجعون الأربعة معايير الاشتمال على نفس العينة المكونة من عشر مقالات بشكل مستقل. تمت مناقشة نتائج مراجعة الاختبار هذه بعد ذلك للوصول إلى فهم إجماعي لمعايير الاشتمال.

لتقليل عبء العمل على المراجعين ، تم تقسيم العدد الإجمالي للمقالات إلى نصفين ، تم تخصيصهما لفريقين من مراجعين اثنين. قام أعضاء كل فريق بتقييم المقالات المخصصة مع نتائج شركائهم المعماة للتأكد من حصول كل مقالة على صوتين مستقلين. وضع المراجعون علامة "متضمنة" أو "مستبعدة" على كل مقالة. بالنسبة للمقالات المستبعدة ، تم توثيق سبب الاستبعاد. تم اختيار المقالات ، التي تم تضمينها من قبل كلا المراجعين ، للتحقيق في النص الكامل. تم تقييم هذه المقالات ، التي تم تضمينها من قبل أحد المراجعين واستبعادها من قبل المراجع الآخر ، من قبل مراجع ثالث للوصول إلى قرار نهائي. قرر المراجع الثالث إدراج أو استبعاد المادة المعنية.

استخراج البيانات وتوليفها

تم تحليل المقالات الواردة في الخطوات السابقة بنص كامل. لا يزال يتعين استبعاد بعض المقالات في هذه المرحلة ، لأن استيفاء معايير التضمين ، التي تم الاعتراف بها في مرحلة الفرز ، لا يمكن إعارته عن طريق تحليل النص الكامل. لدعم تحليل النص الكامل ، تم استخدام برنامج تحليل البيانات النوعية بمساعدة الكمبيوتر (CAQDAS) MAXQDA [24 ، 25]. في MAXQDA أنشأنا نظام تشفير ، تم إنشاؤه في البداية باستخدام مقالة واحدة كأساس. في نظام الترميز ، تم جمع جميع الكلمات الرئيسية المركزية لجميع المقالات التي تم فحصها والمضمنة في شكل هيكل هرمي. يمكن تخصيص كل كلمة رئيسية لمقالات متعددة ويمكن تخصيص كل مقالة لكلمات رئيسية متعددة. تم تطوير نظام الترميز بشكل متكرر من خلال التحقيق في المقالات الإضافية. لذلك ، تم تحميل الأوراق في MAXQDA كملفات PDF لتمييز المعلومات التي تعبر عنها الأكواد في نظام الترميز. بعد ذلك ، تم تحليل تكرارات المقالات المتقاطعة للترميز المختلفة واستخراج البيانات الرئيسية: أنواع الرسوم البيانية المستخدمة في الأوراق ، وأنواع مصادر البيانات ، ومحتويات العقدة والحافة بالإضافة إلى طرق المعالجة المستخدمة في الأوراق.


محتويات

تختلف التعريفات في نظرية الرسم البياني. فيما يلي بعض الطرق الأساسية لتعريف الرسوم البيانية والهياكل الرياضية ذات الصلة.

تحرير الرسم البياني

في أحد الحس المقيد ولكن الشائع جدًا للمصطلح ، [1] [2] أ رسم بياني هو زوج مرتب G = (V، E) يشتمل على:

  • V < displaystyle V> ، مجموعة من الرؤوس (وتسمى أيضا العقد أو نقاط)
  • E ⊆ < ∣ x، y ∈ V و x ≠ y> منتصف س ، ص في V < textrm > x neq y >> ، مجموعة من حواف (وتسمى أيضا الروابط أو خطوط) ، وهي أزواج غير مرتبة من الرؤوس (أي ، ترتبط الحافة برأسين متميزين).

لتجنب الغموض ، يمكن تسمية هذا النوع من الكائنات بدقة بـ رسم بياني بسيط غير موجه.

بمعنى أكثر عمومية للمصطلح الذي يسمح بالحواف المتعددة ، [3] [4] أ رسم بياني هي ثلاثية مرتبة G = (V، E، ϕ) تشتمل على:

  • V < displaystyle V> ، مجموعة من الرؤوس (وتسمى أيضا العقد أو نقاط)
  • E < displaystyle E> ، مجموعة من حواف (وتسمى أيضا الروابط أو خطوط)
  • ϕ: E → < ∣ x، y ∈ V و x ≠ y> < displaystyle phi: E to < منتصف س ، ص في V < textrm > x neq y >> ، أن وظيفة الإصابة تعيين كل حافة إلى زوج غير مرتب من الرؤوس (أي ، ترتبط الحافة برأسين متميزين).

لتجنب الغموض ، يمكن تسمية هذا النوع من الكائنات على وجه التحديد بـ مالتيجراف غير موجه.

في رسم بياني بسيط غير موجه للطلب ن، الدرجة القصوى لكل رأس هي ن - 1 والحد الأقصى لحجم الرسم البياني هو ن(ن − 1)/2 .

حواف رسم بياني بسيط غير موجه تسمح بالحلقات G < displaystyle G> تحث على علاقة متماثلة متجانسة

تحرير الرسم البياني الموجه

أ مخطط موجه أو ديجراف هو رسم بياني تكون فيه الحواف ذات اتجاهات.

في أحد الحس المقيد ولكن الشائع جدًا للمصطلح ، [5] أ مخطط موجه هو زوج مرتب G = (V، E) يشتمل على:

  • V < displaystyle V> ، مجموعة من الرؤوس (وتسمى أيضا العقد أو نقاط)
  • E ⊆ <(x، y) ∣ (x، y) ∈ V 2 و x ≠ y> < textrm > x neq y right >> ، مجموعة من حواف (وتسمى أيضا حواف موجهة, روابط موجهة, خطوط موجهة, السهام أو أقواس) والتي هي أزواج مرتبة من الرؤوس (أي أن الحافة مرتبطة برأسين متميزين).

لتجنب الغموض ، يمكن تسمية هذا النوع من الكائنات بدقة a توجيه رسم بياني بسيط.

بمعنى أكثر عمومية لمصطلح السماح بالحواف المتعددة ، [5] أ مخطط موجه هي ثلاثية مرتبة G = (V، E، ϕ) تشتمل على:

  • V < displaystyle V> ، مجموعة من الرؤوس (وتسمى أيضا العقد أو نقاط)
  • E < displaystyle E> ، مجموعة من حواف (وتسمى أيضا حواف موجهة, روابط موجهة, خطوط موجهة, السهام أو أقواس)
  • ϕ: E → <(x، y) ∣ (x، y) ∈ V 2 و x ≠ y> < textrm > x neq y right >> ، ان وظيفة الإصابة تعيين كل حافة إلى زوج مرتب من الرؤوس (أي ، ترتبط الحافة برأسين متميزين).

لتجنب الغموض ، يمكن تسمية هذا النوع من الكائنات بدقة a متعدد الرسم البياني الموجه.

حواف الرسم البياني البسيط الموجه الذي يسمح بالحلقات G < displaystyle G> هي علاقة متجانسة

يمكن استخدام الرسوم البيانية لنمذجة العديد من أنواع العلاقات والعمليات في النظم الفيزيائية والبيولوجية [7] [8] الاجتماعية ونظم المعلومات. [9] يمكن تمثيل العديد من المشكلات العملية بالرسوم البيانية. التأكيد على تطبيقها على أنظمة العالم الحقيقي ، المصطلح شبكة الاتصال يُعرّف أحيانًا على أنه يعني رسمًا بيانيًا ترتبط فيه السمات (مثل الأسماء) بالرؤوس والحواف ، ويسمى الموضوع الذي يعبر ويفهم أنظمة العالم الحقيقي كشبكة بعلم الشبكة.

تحرير علوم الكمبيوتر

في علوم الكمبيوتر ، تُستخدم الرسوم البيانية لتمثيل شبكات الاتصال وتنظيم البيانات والأجهزة الحسابية وتدفق الحساب وما إلى ذلك ، على سبيل المثال ، يمكن تمثيل بنية الارتباط لموقع الويب برسم بياني موجه ، حيث تمثل الرؤوس صفحات الويب وتمثل الحواف الموجهة الروابط من صفحة إلى أخرى. يمكن اتباع نهج مماثل لمشاكل وسائل التواصل الاجتماعي ، [10] السفر ، وعلم الأحياء ، وتصميم شرائح الكمبيوتر ، ورسم خرائط تطور الأمراض التنكسية العصبية ، [11] [12] والعديد من المجالات الأخرى. لذلك فإن تطوير الخوارزميات للتعامل مع الرسوم البيانية له أهمية كبيرة في علوم الكمبيوتر. غالبًا ما يتم إضفاء الطابع الرسمي على تحويل الرسوم البيانية ويتم تمثيله بواسطة أنظمة إعادة كتابة الرسم البياني. تكملة أنظمة تحويل الرسم البياني التي تركز على معالجة الرسوم البيانية في الذاكرة على أساس القواعد ، وهي قواعد بيانات رسوم بيانية موجهة نحو التخزين الآمن للمعاملات والاستعلام عن البيانات المهيكلة بالرسومات.

تحرير اللغويات

أثبتت الطرق النظرية للرسم البياني ، في أشكال مختلفة ، أنها مفيدة بشكل خاص في علم اللغة ، لأن اللغة الطبيعية غالبًا ما تفسح المجال لبنية منفصلة. تقليديا ، يتبع بناء الجملة والدلالات التركيبية الهياكل القائمة على الأشجار ، والتي تكمن قوتها التعبيرية في مبدأ التركيب ، على غرار الرسم البياني الهرمي. المناهج الأكثر حداثة مثل بناء الجملة التي يحركها الرأس النموذج النحوي بناء جملة اللغة الطبيعية باستخدام تراكيب الميزات المكتوبة ، والتي هي رسوم بيانية غير دورية موجهة. ضمن الدلالات المعجمية ، خاصة عند تطبيقها على أجهزة الكمبيوتر ، يكون نمذجة معنى الكلمة أسهل عندما يتم فهم كلمة معينة من حيث الكلمات ذات الصلة ، وبالتالي فإن الشبكات الدلالية مهمة في اللغويات الحسابية. ومع ذلك ، فإن الأساليب الأخرى في علم الأصوات (مثل نظرية المثالية ، التي تستخدم الرسوم البيانية الشبكية) والتشكيل (مثل مورفولوجيا الحالة المحدودة ، باستخدام محولات الحالة المحدودة) شائعة في تحليل اللغة كرسم بياني. في الواقع ، تحملت فائدة هذا المجال من الرياضيات لعلم اللغة منظمات مثل TextGraphs ، بالإضافة إلى العديد من مشاريع "Net" ، مثل WordNet و VerbNet وغيرها.

تحرير الفيزياء والكيمياء

تستخدم نظرية الرسم البياني أيضًا لدراسة الجزيئات في الكيمياء والفيزياء. في فيزياء المادة المكثفة ، يمكن دراسة البنية ثلاثية الأبعاد للهياكل الذرية المحاكاة المعقدة بشكل كمي من خلال جمع الإحصائيات حول الخصائص النظرية للرسم البياني المتعلقة بطوبولوجيا الذرات. أيضًا ، "تُلخِّص الرسوم البيانية لقواعد Feynman وقواعد الحساب نظرية المجال الكمومي في نموذج على اتصال وثيق بالأرقام التجريبية التي يريد المرء أن يفهمها". [13] في الكيمياء ، يصنع الرسم البياني نموذجًا طبيعيًا للجزيء ، حيث تمثل الرؤوس الذرات والروابط الحواف. يستخدم هذا النهج بشكل خاص في المعالجة الحاسوبية للهياكل الجزيئية ، بدءًا من المحررين الكيميائيين إلى البحث في قاعدة البيانات. في الفيزياء الإحصائية ، يمكن أن تمثل الرسوم البيانية الروابط المحلية بين الأجزاء المتفاعلة من النظام ، بالإضافة إلى ديناميكيات العملية الفيزيائية على هذه الأنظمة. وبالمثل ، في علم الأعصاب الحسابي ، يمكن استخدام الرسوم البيانية لتمثيل الروابط الوظيفية بين مناطق الدماغ التي تتفاعل لتؤدي إلى عمليات معرفية مختلفة ، حيث تمثل الرؤوس مناطق مختلفة من الدماغ وتمثل الحواف الروابط بين تلك المناطق. تلعب نظرية الرسم البياني دورًا مهمًا في النمذجة الكهربائية للشبكات الكهربائية ، وهنا ترتبط الأوزان بمقاومة مقاطع الأسلاك للحصول على الخصائص الكهربائية لهياكل الشبكة. [14] تُستخدم الرسوم البيانية أيضًا لتمثيل القنوات الصغيرة الحجم للوسائط المسامية ، حيث تمثل الرؤوس المسام وتمثل الحواف القنوات الأصغر التي تربط المسام. تستخدم نظرية الرسم البياني الكيميائي الرسم البياني الجزيئي كوسيلة لنمذجة الجزيئات. تعد الرسوم البيانية والشبكات نماذج ممتازة لدراسة وفهم انتقالات الطور والظواهر الحرجة. تؤدي إزالة العقد أو الحواف إلى انتقال حرج حيث تنقسم الشبكة إلى مجموعات صغيرة تتم دراستها كمرحلة انتقالية. تمت دراسة هذا الانهيار من خلال نظرية الترشيح. [15] [16]

تحرير العلوم الاجتماعية

تُستخدم نظرية الرسم البياني أيضًا على نطاق واسع في علم الاجتماع كطريقة ، على سبيل المثال ، لقياس مكانة الممثلين أو لاستكشاف انتشار الشائعات ، لا سيما من خلال استخدام برامج تحليل الشبكات الاجتماعية. تحت مظلة الشبكات الاجتماعية ، توجد أنواع مختلفة من الرسوم البيانية. [18] الرسوم البيانية للمعارف والصداقة تصف ما إذا كان الناس يعرفون بعضهم البعض. تمثل الرسوم البيانية للتأثير ما إذا كان يمكن لأشخاص معينين التأثير في سلوك الآخرين. أخيرًا ، تمثل الرسوم البيانية التعاونية نموذجًا لما إذا كان شخصان يعملان معًا بطريقة معينة ، مثل التمثيل في فيلم معًا.

تحرير علم الأحياء

وبالمثل ، فإن نظرية الرسم البياني مفيدة في جهود علم الأحياء والحفظ حيث يمكن أن يمثل الرأس المناطق التي توجد فيها أنواع معينة (أو تعيش) وتمثل الحواف مسارات الهجرة أو الحركة بين المناطق. هذه المعلومات مهمة عند النظر إلى أنماط التكاثر أو تتبع انتشار الأمراض أو الطفيليات أو كيف يمكن للتغييرات في الحركة أن تؤثر على الأنواع الأخرى.

تُستخدم الرسوم البيانية أيضًا بشكل شائع في البيولوجيا الجزيئية وعلم الجينوم لنمذجة مجموعات البيانات ذات العلاقات المعقدة وتحليلها. على سبيل المثال ، غالبًا ما تُستخدم الأساليب القائمة على الرسم البياني "لتجميع" الخلايا معًا في أنواع الخلايا في تحليل النسخ أحادية الخلية. استخدام آخر هو نمذجة الجينات أو البروتينات في مسار ما ودراسة العلاقات بينها ، مثل المسارات الأيضية وشبكات تنظيم الجينات. [19] الأشجار التطورية ، والشبكات البيئية ، والتكتل الهرمي لأنماط التعبير الجيني يتم تمثيلها أيضًا على هيئة هياكل بيانية. الأساليب القائمة على الرسوم البيانية منتشرة بشكل كبير لدرجة أن الباحثين في بعض مجالات علم الأحياء ، وسوف تصبح هذه الأساليب أكثر انتشارًا مع تطور التكنولوجيا للاستفادة من هذا النوع من البيانات متعددة الأبعاد عالية الجودة.

تُستخدم نظرية الرسم البياني أيضًا في علم الوصلات [20] ويمكن اعتبار الجهاز العصبي بمثابة رسم بياني ، حيث تكون العقد عبارة عن خلايا عصبية وتكون الحواف هي الوصلات بينها.

تحرير الرياضيات

في الرياضيات ، تعتبر الرسوم البيانية مفيدة في الهندسة وأجزاء معينة من الطوبولوجيا مثل نظرية العقدة. ترتبط نظرية الرسم البياني الجبري ارتباطًا وثيقًا بنظرية المجموعة. تم تطبيق نظرية الرسم البياني الجبري على العديد من المجالات بما في ذلك الأنظمة الديناميكية والتعقيد.

مواضيع أخرى تحرير

يمكن تمديد هيكل الرسم البياني عن طريق تعيين وزن لكل حافة من حافة الرسم البياني. تُستخدم الرسوم البيانية ذات الأوزان أو الرسوم البيانية الموزونة لتمثيل الهياكل التي تحتوي فيها الوصلات الزوجية على بعض القيم العددية. على سبيل المثال ، إذا كان الرسم البياني يمثل شبكة طريق ، فيمكن أن تمثل الأوزان طول كل طريق. قد يكون هناك العديد من الأوزان المرتبطة بكل حافة ، بما في ذلك المسافة (كما في المثال السابق) أو وقت السفر أو التكلفة المالية. تُستخدم هذه الرسوم البيانية الموزونة بشكل شائع لبرمجة نظام تحديد المواقع العالمي (GPS) ومحركات البحث الخاصة بالتخطيط للسفر والتي تقارن أوقات الرحلات والتكاليف.

تعتبر الورقة التي كتبها ليونارد أويلر عن الجسور السبعة في كونيجسبيرج ونشرت عام 1736 أول ورقة في تاريخ نظرية الرسم البياني. [21] هذه الورقة ، بالإضافة إلى تلك التي كتبها فاندرموند على مشكلة الفارس استمر مع موقع التحليل بدأ من قبل Leibniz. تمت دراسة صيغة أويلر المتعلقة بعدد الأضلاع والرؤوس والوجوه لمتعدد السطوح المحدب وتعميمها بواسطة كوشي [22] ولهويلييه ، [23] وتمثل بداية فرع الرياضيات المعروف بالطوبولوجيا.

بعد مرور أكثر من قرن على ورقة أويلر حول جسور كونيجسبيرج وبينما كان الإدراج يقدم مفهوم الطوبولوجيا ، قاد كايلي اهتمامه بأشكال تحليلية معينة ناشئة عن حساب التفاضل لدراسة فئة معينة من الرسوم البيانية ، الأشجار. [24] كان لهذه الدراسة العديد من الآثار المترتبة على الكيمياء النظرية. تتعلق التقنيات التي استخدمها بشكل أساسي بتعداد الرسوم البيانية بخصائص معينة. نشأت نظرية الرسم البياني العددي بعد ذلك من نتائج كايلي والنتائج الأساسية التي نشرتها بوليا بين عامي 1935 و 1937. وقد عمم دي بروين هذه النتائج في عام 1959. ربط كايلي نتائجه على الأشجار بالدراسات المعاصرة للتركيب الكيميائي. [25] بدأ اندماج الأفكار من الرياضيات مع الأفكار من الكيمياء ما أصبح جزءًا من المصطلحات القياسية لنظرية الرسم البياني.

على وجه الخصوص ، تم تقديم مصطلح "الرسم البياني" من قبل سيلفستر في ورقة نشرت عام 1878 في طبيعة، حيث يرسم تشابهًا بين "الثوابت الكمية" و "المتغيرات المشتركة" للجبر والمخططات الجزيئية: [26]

"[...] وبالتالي يصبح كل متغير متغير معبرًا عنه بواسطة a رسم بياني متطابقة تمامًا مع مخطط Kekuléan أو مخطط كيميائي. [...] أعطي قاعدة لمضاعفة الرسوم البيانية الهندسية ، بمعنى آخر. لبناء أ رسم بياني لمنتج المتغيرات الداخلية أو المتغيرات المشتركة التي ترد الرسوم البيانية المنفصلة. [...] "(مائل كما في الأصل).

كتب Dénes Kőnig أول كتاب مدرسي عن نظرية الرسم البياني ، ونُشر في عام 1936. [27] كتاب آخر لفرانك هاري ، نُشر في عام 1969 ، "يُعتبر الكتاب المدرسي النهائي حول هذا الموضوع" مكن علماء الرياضيات والكيميائيين والمهندسين الكهربائيين وعلماء الاجتماع من التحدث مع بعضهم البعض. تبرع هراري بجميع الإتاوات لتمويل جائزة بوليا. [29]

من أشهر المشاكل وأكثرها تحفيزًا في نظرية الرسم البياني مشكلة الألوان الأربعة: "هل صحيح أن أي خريطة مرسومة في المستوى يمكن أن تكون مناطقها ملونة بأربعة ألوان ، بطريقة تجعل أي منطقتين لهما حدود مشتركة ألوان مختلفة؟" تم طرح هذه المشكلة لأول مرة من قبل فرانسيس جوثري في عام 1852 وكان أول سجل مكتوب لها في رسالة من De Morgan موجهة إلى هاميلتون في نفس العام. تم اقتراح العديد من الأدلة غير الصحيحة ، بما في ذلك تلك التي قدمها كايلي وكيمبي وآخرين. أدت دراسة هذه المشكلة وتعميمها بواسطة Tait و Heawood و Ramsey و Hadwiger إلى دراسة ألوان الرسوم البيانية المضمنة على الأسطح ذات الجنس العشوائي. ولدت إعادة صياغة Tait فئة جديدة من المشاكل ، وهي مشاكل العوامل، ودرس بشكل خاص من قبل Petersen و Kőnig. كانت أعمال Ramsey على التلوين وبشكل أكثر تحديدًا النتائج التي حصل عليها Turán في عام 1941 في أصل فرع آخر من نظرية الرسم البياني ، نظرية الرسم البياني القصوى.

ظلت مشكلة الألوان الأربعة دون حل لأكثر من قرن. في عام 1969 نشر Heinrich Heesch طريقة لحل المشكلة باستخدام أجهزة الكمبيوتر. [30] الدليل بمساعدة الكمبيوتر الذي تم إنتاجه في عام 1976 من قبل كينيث أبيل وولفغانغ هاكن يستخدم بشكل أساسي فكرة "التفريغ" التي طورها هيش. [31] [32] تضمن الدليل فحص خصائص 1936 تكوينًا بواسطة الكمبيوتر ، ولم يتم قبولها بالكامل في ذلك الوقت نظرًا لتعقيدها. تم تقديم دليل أبسط يأخذ في الاعتبار 633 تكوينًا فقط بعد عشرين عامًا من قبل روبرتسون وسيمور وساندرز وتوماس. [33]

يعود التطور المستقل للطوبولوجيا من عام 1860 إلى عام 1930 في نظرية الرسم البياني المخصب من خلال أعمال جوردان وكوراتوفسكي وويتني نشأ عامل مهم آخر للتطور المشترك لنظرية الرسم البياني والطوبولوجيا من استخدام تقنيات الجبر الحديثة. يأتي المثال الأول لمثل هذا الاستخدام من عمل الفيزيائي جوستاف كيرشوف ، الذي نشر في عام 1845 قوانين دائرة كيرشوف لحساب الجهد والتيار في الدوائر الكهربائية.

أدى إدخال الأساليب الاحتمالية في نظرية الرسم البياني ، لا سيما في دراسة Erdős و Rényi للاحتمال المقارب لاتصال الرسم البياني ، إلى ظهور فرع آخر يعرف باسم نظرية الرسم البياني العشوائي، والتي كانت مصدرًا مثمرًا لنتائج نظرية الرسم البياني.

يتم تمثيل الرسوم البيانية بصريًا عن طريق رسم نقطة أو دائرة لكل رأس ، ورسم خط بين رأسين إذا كانا متصلين بواسطة حافة. إذا تم توجيه الرسم البياني ، يتم تحديد الاتجاه برسم سهم.

لا ينبغي الخلط بين رسم الرسم البياني والرسم البياني نفسه (الهيكل المجرد غير المرئي) حيث توجد عدة طرق لهيكلة رسم الرسم البياني. كل ما يهم هو أي من القمم يتصل بها الآخرون من خلال عدد الأضلاع وليس التخطيط الدقيق. من الناحية العملية ، غالبًا ما يكون من الصعب تحديد ما إذا كان رسمان يمثلان نفس الرسم البياني. اعتمادًا على مجال المشكلة ، قد تكون بعض التخطيطات أكثر ملاءمة وأسهل في الفهم من غيرها.

كان العمل الرائد لـ W. T. Tutte مؤثرًا جدًا في موضوع الرسم البياني. من بين الإنجازات الأخرى ، قدم استخدام الطرق الجبرية الخطية للحصول على رسومات بيانية.

يمكن القول أيضًا أن الرسم البياني يشمل المشكلات التي تتعامل مع رقم العبور وتعميماته المختلفة. رقم عبور الرسم البياني هو الحد الأدنى لعدد التقاطعات بين الحواف التي يجب أن يحتويها رسم الرسم البياني في المستوى. بالنسبة للرسم البياني المستوي ، فإن رقم العبور هو صفر بحكم التعريف.

كما تمت دراسة الرسومات على الأسطح غير المستوية.

هناك طرق مختلفة لتخزين الرسوم البيانية في نظام الكمبيوتر. تعتمد بنية البيانات المستخدمة على كل من بنية الرسم البياني والخوارزمية المستخدمة لمعالجة الرسم البياني. من الناحية النظرية ، يمكن للمرء التمييز بين هياكل القائمة والمصفوفة ولكن في التطبيقات الملموسة ، غالبًا ما يكون أفضل هيكل هو مزيج من الاثنين. غالبًا ما تُفضل هياكل القوائم للرسوم البيانية المتفرقة نظرًا لاحتوائها على متطلبات ذاكرة أصغر. من ناحية أخرى ، توفر هياكل المصفوفة وصولاً أسرع لبعض التطبيقات ولكنها يمكن أن تستهلك كميات هائلة من الذاكرة. تعتبر تطبيقات هياكل المصفوفة المتناثرة الفعالة في معماريات الكمبيوتر المتوازية الحديثة موضوعًا للتحقيق الحالي. [34]

تتضمن هياكل القائمة قائمة الحافة ، ومجموعة من أزواج الرؤوس ، وقائمة الجوار ، والتي تسرد بشكل منفصل جيران كل رأس: إلى حد كبير مثل قائمة الحافة ، يحتوي كل رأس على قائمة بالرؤوس المجاورة لها.

تتضمن هياكل المصفوفة مصفوفة الوقوع ، مصفوفة من 0 و 1 تمثل صفوفها الرؤوس وتمثل أعمدتها الحواف ، والمصفوفة المجاورة ، حيث يتم فهرسة الصفوف والأعمدة بالرؤوس. في كلتا الحالتين ، يشير الرقم 1 إلى كائنين متجاورين بينما يشير الرقم 0 إلى كائنين غير متجاورين. تشير مصفوفة الدرجات إلى درجة الرؤوس. مصفوفة لابلاسيان هي شكل معدل من مصفوفة الجوار التي تتضمن معلومات حول درجات الرؤوس ، وهي مفيدة في بعض العمليات الحسابية مثل نظرية كيرشوف حول عدد الأشجار الممتدة في الرسم البياني. تحتوي مصفوفة المسافة ، مثل مصفوفة الجوار ، على صفوفها وأعمدتها المفهرسة بالرؤوس ، ولكن بدلاً من احتوائها على 0 أو 1 في كل خلية ، فإنها تحتوي على أقصر مسار بين رأسين.

تحرير التعداد

هناك مؤلفات كبيرة حول التعداد الرسومي: مشكلة عد الرسوم البيانية التي تلبي الشروط المحددة. تم العثور على بعض من هذا العمل في Harary and Palmer (1973).

تحرير الرسوم البيانية الفرعية ، والرسوم الفرعية المستحثة ، والقصر

هناك مشكلة شائعة ، تسمى مشكلة تماثل الرسم البياني الفرعي ، وهي إيجاد رسم بياني ثابت كرسم بياني فرعي في رسم بياني معين. أحد أسباب الاهتمام بمثل هذا السؤال هو وجود العديد من خصائص الرسم البياني وراثي بالنسبة إلى الرسوم البيانية الفرعية ، مما يعني أن الرسم البياني له الخاصية إذا وفقط إذا كانت جميع الرسوم البيانية الفرعية تحتوي عليه أيضًا. لسوء الحظ ، غالبًا ما يكون العثور على الرسوم البيانية الفرعية القصوى من نوع معين مشكلة NP كاملة. فمثلا:

حالة خاصة واحدة من تماثل الرسم البياني الفرعي هي مشكلة تماثل الرسم البياني. يسأل ما إذا كان هناك رسمان بيانيان متماثلان. من غير المعروف ما إذا كانت هذه المشكلة مكتملة NP ، ولا ما إذا كان يمكن حلها في وقت متعدد الحدود.

مشكلة مماثلة هي إيجاد الرسوم البيانية الفرعية المستحثة في رسم بياني معين. مرة أخرى ، فإن بعض خصائص الرسم البياني المهمة وراثية فيما يتعلق بالرسوم البيانية الفرعية المستحثة ، مما يعني أن الرسم البياني له خاصية إذا وفقط إذا كانت جميع الرسوم البيانية الفرعية المستحثة تحتوي عليها أيضًا. غالبًا ما يكون العثور على الرسوم البيانية الفرعية المستحثة القصوى من نوع معين أيضًا مكتمل NP. فمثلا:

لا تزال هناك مشكلة أخرى من هذا القبيل ، وهي مشكلة الاحتواء الصغيرة ، وهي العثور على رسم بياني ثابت كرسومات ثانوية لرسم بياني معين. إن العقد الثانوي أو الفرعي للرسم البياني هو أي رسم بياني يتم الحصول عليه بأخذ رسم بياني فرعي والتعاقد على بعض الحواف (أو لا). العديد من خصائص الرسم البياني وراثية للقصر ، مما يعني أن الرسم البياني له خاصية إذا وفقط إذا كان جميع القاصرين يمتلكونها أيضًا. على سبيل المثال ، تنص نظرية واغنر:

  • يكون الرسم البياني مستويًا إذا كان يحتوي على رسم ثانوي لا يحتوي على الرسم البياني الكامل الثنائي الجزءك3,3 (انظر مشكلة الأكواخ الثلاثة) ولا الرسم البياني الكامل ك5.

مشكلة مماثلة ، مشكلة احتواء التقسيم الفرعي ، هي العثور على رسم بياني ثابت كتقسيم فرعي من رسم بياني معين. التقسيم الفرعي أو الشكل المتماثل للرسم البياني هو أي رسم بياني يتم الحصول عليه عن طريق تقسيم بعض الحواف (أو عدم وجودها). يرتبط احتواء التقسيم الفرعي بخصائص الرسم البياني مثل التسوية. على سبيل المثال ، تنص نظرية كوراتوفسكي على:

مشكلة أخرى في احتواء التقسيم الفرعي هي تخمين Kelmans-Seymour:

فئة أخرى من المشاكل لها علاقة بمدى تحديد الأنواع المختلفة وتعميمات الرسوم البيانية من خلالهم الرسوم البيانية الفرعية المحذوفة بنقطة. فمثلا:

تحرير تلوين الرسم البياني

ترتبط العديد من المشكلات والنظريات في نظرية الرسم البياني بطرق مختلفة لتلوين الرسوم البيانية. عادةً ما يهتم المرء بتلوين رسم بياني بحيث لا يكون هناك رأسان متجاوران لهما نفس اللون ، أو مع قيود أخرى مماثلة. يمكن للمرء أيضًا التفكير في حواف التلوين (ربما بحيث لا يكون هناك حواف متزامنة بنفس اللون) ، أو أشكال أخرى. من بين النتائج والتخمينات الشهيرة المتعلقة بتلوين الرسم البياني ما يلي:

تحرير الاكتتاب والتوحيد

تتعلق نظريات نمذجة القيود بعائلات الرسوم البيانية الموجهة المرتبطة بترتيب جزئي. في هذه التطبيقات ، يتم ترتيب الرسوم البيانية حسب الخصوصية ، مما يعني أن الرسوم البيانية الأكثر تقييدًا - والتي تكون أكثر تحديدًا وبالتالي تحتوي على قدر أكبر من المعلومات - يتم تضمينها من قبل تلك الأكثر عمومية. تتضمن العمليات بين الرسوم البيانية تقييم اتجاه علاقة الامتصاص بين رسمين بيانيين ، إن وجد ، وتوحيد الرسم البياني الحاسوبي. يُعرَّف توحيد الرسوم البيانية للوسائط على أنه الرسم البياني الأكثر عمومية (أو حسابه) الذي يتوافق مع (أي يحتوي على جميع المعلومات الموجودة في) المدخلات ، إذا كان مثل هذا الرسم البياني موجودًا ، فمن المعروف أن خوارزميات التوحيد الفعالة معروفة.

بالنسبة لأطر القيد التي تكون تركيبية بشكل صارم ، فإن توحيد الرسم البياني هو الوظيفة الكافية للرضا والجمع. تشمل التطبيقات المعروفة إثبات النظرية التلقائية ونمذجة تطوير البنية اللغوية.

مشاكل المسار تحرير

تحرير تدفق الشبكة

هناك العديد من المشاكل التي تنشأ بشكل خاص من التطبيقات التي لها علاقة بمفاهيم مختلفة للتدفقات في الشبكات ، على سبيل المثال:

مشاكل الرؤية تحرير

تغطية المشاكل تحرير

قد تشير مسائل التغطية في الرسوم البيانية إلى مشاكل غطاء مجموعة متنوعة على مجموعات فرعية من الرؤوس / الرسوم البيانية الفرعية.

    المشكلة هي الحالة الخاصة لمشكلة غطاء المجموعة حيث تكون المجموعات هي الأحياء المغلقة. هي الحالة الخاصة لمشكلة غطاء المجموعة حيث تكون المجموعات المراد تغطيتها هي كل الحواف.
  • يمكن وصف مشكلة غطاء المجموعة الأصلية ، والتي تسمى أيضًا مجموعة الضرب ، على أنها غطاء رأس في رسم بياني.

مشاكل التحلل تحرير

التحلل ، الذي يُعرَّف بأنه تقسيم مجموعة حواف الرسم البياني (مع وجود العديد من الرؤوس حسب الضرورة مصاحبة لحواف كل جزء من القسم) ، لديه مجموعة متنوعة من الأسئلة. Often, the problem is to decompose a graph into subgraphs isomorphic to a fixed graph for instance, decomposing a complete graph into Hamiltonian cycles. Other problems specify a family of graphs into which a given graph should be decomposed, for instance, a family of cycles, or decomposing a complete graph كن into ن − 1 specified trees having, respectively, 1, 2, 3, . ن − 1 edges.

Some specific decomposition problems that have been studied include:

    , a decomposition into as few forests as possible , a decomposition into a collection of cycles covering each edge exactly twice , a decomposition into as few matchings as possible , a decomposition of a regular graph into regular subgraphs of given degrees

Graph classes Edit

Many problems involve characterizing the members of various classes of graphs. Some examples of such questions are below:


History Integration

It is important not to think of integration as using the particular subject to solve math problems, but as a way to use math to solve problems and answer questions about those topics.

The National Council for the Social Studies uses such words as compare, explain, articulate, analyze, predict, demonstrate and interpret. These are all words that must be used when dealing with mathematics as well.

1) Math tasks are based on background provided by Social Studies:

-Comparing resources, numbers, etc of events such as the Civil War.

-Distances involved in exploration, war, and expansion.

2) Data is obtained through social science inquiry

-students create charts, graphs and tables to represent numerical data.


المهام

Of special interest are relations where every x-value corresponds to exactly one ذ-value. A relation with this property is called a function A relation where each element in the domain corresponds to exactly one element in the range. .

Example 2

Determine the domain and range of the following relation and state whether it is a function or not:

Here we separate the domain (x-values), and the range (y-values), and depict the correspondence between the values with arrows.

The relation is a function because each x-value corresponds to exactly one ذ-value.

Answer: The domain is <−1, 0, 2, 3, 4>and the range is <−2, 3, 4, 7>. العلاقة هي وظيفة.

Example 3

Determine the domain and range of the following relation and state whether it is a function or not:

The given relation is not a function because the x-value 3 corresponds to two ذ-values. We can also recognize functions as relations where no x-values are repeated.

Answer: The domain is <−4, −2, 0, 3>and the range is <−3, 3, 5, 6, 7>. This relation is not a function.

Consider the relations consisting of the seven ordered pair solutions to y = | x | − 2 and x = | y | + 1 . The correspondence between the domain and range of each can be pictured as follows:

Notice that every element in the domain of the solution set of y = | x | − 2 corresponds to only one element in the range it is a function. The solutions to x = | y | + 1 , on the other hand, have values in the domain that correspond to two elements in the range. In particular, the x-value 4 corresponds to two ذ-values −3 and 3. Therefore, x = | y | + 1 does not define a function.

We can visually identify functions by their graphs using the vertical line test If any vertical line intersects the graph more than once, then the graph does not represent a function. . If any vertical line intersects the graph more than once, then the graph does not represent a function.

The vertical line represents a value in the domain, and the number of intersections with the graph represent the number of values to which it corresponds. As we can see, any vertical line will intersect the graph of y = | x | − 2 only once therefore, it is a function. A vertical line can cross the graph of x = | y | + 1 more than once therefore, it is not a function. As pictured, the x-value 3 corresponds to more than one ذ-value.

Example 4

Given the graph, state the domain and range and determine whether or not it represents a function:

From the graph we can see that the minimum x-value is −1 and the maximum x-value is 5. Hence, the domain consists of all the real numbers in the set from [ − 1 , 5 ] . The maximum ذ-value is 3 and the minimum is −3 hence, the range consists of ذ-values in the interval [ − 3 , 3 ] .

In addition, since we can find a vertical line that intersects the graph more than once, we conclude that the graph is not a function. There are many x-values in the domain that correspond to two ذ-values.

Answer: Domain: [ − 1 , 5 ] range: [ − 3 , 3 ] function: no

جرب هذا! Given the graph, determine the domain and range and state whether or not it is a function:

Answer: Domain: ( − ∞ , 15 ] range: ℝ function: no


Louisiana State Standards for Mathematics: Grade 3

في الوقت الحالي ، اقترح Perma-Bound فقط عناوين مقترحة للصفوف K-8 في مجالات العلوم والدراسات الاجتماعية. ونحن نعمل على توسيع هذا.

LA.N. Number and Number Relations: In problem-solving investigations, students demonstrate an understanding of the real number system and communicate the relationships within that system using a variety of techniques and tools.

N-1-E. Constructing number meaning and demonstrating that a number can be expressed in many different forms (e.g., standard notation, number words, number lines, geometrical representation, fractions, and decimals).

N-1-E-GLE 1. Model, read, and write place value in word, standard, and expanded form for numbers through 9999 (N-1-E)

N-1-E-GLE 2. Read, write, compare, and order whole numbers through 9999 using symbols (i.e., <, =, >) and models (N-1-E) (N-3-E)

N-1-E-GLE 3. Use region and set models and symbols to represent, estimate, read, write, and show understanding of fractions through tenths (N-1-E) (N-2-E)

N-2-E. Demonstrating number sense and estimation skills, giving particular attention to common equivalent reference points (i.e., 1/4 = 25% = .25 2 = 50% = .5 $1 = 100%, etc.).

N-2-E-GLE 3. Use region and set models and symbols to represent, estimate, read, write, and show understanding of fractions through tenths (N-1-E) (N-2-E)

N-3-E. Reading, writing, representing, comparing, ordering, and using whole numbers in a variety of forms (e.g., standard notation, number line, and geometrical representation.

N-3-E-GLE 2. Read, write, compare, and order whole numbers through 9999 using symbols (i.e., <, =, >) and models (N-1-E) (N-3-E)

N-4-E. Demonstrating a conceptual understanding of the meaning of the basic arithmetic operations (add, subtract, multiply, and divide) and their relationships to each other.

N-4-E-GLE 4. Use the concepts of associative and commutative properties of multiplication to simplify computations (N-4-E) (N-7-E)

N-4-E-GLE 5. Recognize and model multiplication as a rectangular array or as repeated addition (N-4-E) (N-7-E)

N-4-E-GLE 6. Recognize and model division as separating quantities into equal subsets (fair shares) or as repeated subtraction (N-4-E) (N-7-E)

N-4-E-GLE 7. Recognize and apply multiplication and division as inverse operations (N-4-E)

N-4-E-GLE 9. Know basic multiplication and division facts [0s, 1s, 2s, 5s, 9s, and turn-arounds (commutative facts), including multiplying by 10s] (N-6-E) (N-4-E)

N-4-E-GLE 16. Use number sentences to represent real-life problems involving multiplication and division (A-1-E) (N-4-E)

N-5-E. Selecting appropriate operation(s) (add, subtract, multiply, and divide) for a given situation.

N-5-E-GLE 8. Recognize, select, connect, and use operations, operational words, and symbols (i.e., +, -, x, /) to solve real-life situations (N-5-E) (N-6-E) (N-9-E)

N-6-E. Applying a knowledge of basic math facts and arithmetic operations to real-life situations.

N-6-E-GLE 8. Recognize, select, connect, and use operations, operational words, and symbols (i.e., +, -, x, /) to solve real-life situations (N-5-E) (N-6-E) (N-9-E)

N-6-E-GLE 9. Know basic multiplication and division facts [0s, 1s, 2s, 5s, 9s, and turn-arounds (commutative facts), including multiplying by 10s] (N-6-E) (N-4-E)

N-6-E-GLE 10. Calculate the value of a combination of bills and coins and make change up to $5.00 (N-6-E) (M-1-E) (M-5-E)

N-6-E-GLE 11. Add and subtract numbers of 3 digits or less (N-6-E) (N-7-E)

N-7-E. Constructing, using, and explaining procedures to compute and estimate with whole numbers (e.g., mental math strategies).

N-7-E-GLE 4. Use the concepts of associative and commutative properties of multiplication to simplify computations (N-4-E) (N-7-E)

N-7-E-GLE 5. Recognize and model multiplication as a rectangular array or as repeated addition (N-4-E) (N-7-E)

N-7-E-GLE 6. Recognize and model division as separating quantities into equal subsets (fair shares) or as repeated subtraction (N-4-E) (N-7-E)

N-7-E-GLE 11. Add and subtract numbers of 3 digits or less (N-6-E) (N-7-E)

N-7-E-GLE 12. Round to the nearest 1000 and identify situations in which such rounding is appropriate (N-7-E) (N-9-E)

N-8-E. Selecting and using appropriate computational methods and tools for given situations involving whole numbers (e.g., estimation, mental arithmetic, calculator, or paper and pencil).

N-8-E-GLE 13. Determine when and how to estimate, and when and how to use mental math, calculators, or paper/pencil strategies to solve addition and subtraction problems (N-8-E) (N-9-E)

N-9-E. Demonstrating the connection of number and number relations to the other strands and to real-life situations.

N-9-E-GLE 8. Recognize, select, connect, and use operations, operational words, and symbols (i.e., +, -, x, /) to solve real-life situations (N-5-E) (N-6-E) (N-9-E)

N-9-E-GLE 12. Round to the nearest 1000 and identify situations in which such rounding is appropriate (N-7-E) (N-9-E)

N-9-E-GLE 13. Determine when and how to estimate, and when and how to use mental math, calculators, or paper/pencil strategies to solve addition and subtraction problems (N-8-E) (N-9-E)

LA.A. Algebra: In problem-solving investigations students demonstrate an understanding of concepts and processes that allow them to analyze, represent, and describe relationships among variable quantities and to apply algebraic methods to real-world situations.

A-1-E. Demonstrating a conceptual understanding of variables, expressions, equations, and inequalities (e.g., use letters or boxes to represent values understand =, not equal to, <, and > symbols).

A-1-E-GLE 14. Use the symbols <, >, and the not equal to symbol to express inequalities (A-1-E)

A-1-E-GLE 15. Use objects, pictures, numbers, symbols, and words to represent multiplication and division problem situations (A-1-E)

A-1-E-GLE 16. Use number sentences to represent real-life problems involving multiplication and division (A-1-E) (N-4-E)

A-1-E-GLE 17. Analyze and describe situations where proportional trades or correspondences are required (e.g., trade 2 pieces of candy for 3 pieces of gum, make equivalent actions on pans to keep balance scale in equilibrium, plan for the number of pieces of bread needed for x sandwiches) (A-1-E)

A-2-E. Modeling and developing strategies for solving equations and inequalities.

A-2-E-GLE 18. Use letters as variables in mathematical statements that represent real-life problems (e.g., 2 x n = 8) (A-2-E)

A-3-E. Recognizing the connection of algebra to the other strands and to real-life situations (e.g., number sentences or formulas to represent real-world problems).

LA.M. Measurement: In problem-solving investigations, students demonstrate an understanding of the concepts, processes, and real-life applications of measurement.

M-1-E. Applying (measure or solve measurement problem) the concepts of length (inches, feet, yards, miles, millimeters, centimeters, decimeters, meters, kilometers), area, volume, capacity (cups, liquid pints and quarts, gallons, milliliters, liters), weight (ounces, pounds, tons, grams, kilograms), mass, time (seconds, minutes, hours, days, weeks, months, years), money, and temperature (Celsius and Fahrenheit) to real-world experiences.

M-1-E-GLE 10. Calculate the value of a combination of bills and coins and make change up to $5.00 (N-6-E) (M-1-E) (M-5-E)

M-1-E-GLE 19. Measure length to the nearest yard, meter, and half-inch (M-1-E)

M-1-E-GLE 20. Measure capacity using pints and gallons (M-1-E)

M-1-E-GLE 21. Measure weight using grams and ounces (M-1-E)

M-1-E-GLE 22. Find the perimeter of a geometric shape given the length of its sides (M-1-E)

M-1-E-GLE 23. Find the area in square units of a given rectangle (including squares) drawn on a grid or by covering the region with square tiles (M-1-E)

M-1-E-GLE 24. Find elapsed time involving hours and minutes, without regrouping, and tell time to the nearest minute (M-1-E) (M-5-E)

M-2-E. Selecting and using appropriate standard and non-standard units of measure (e.g., paper clips and Cuisenaire rods) and tools for measuring length, area, capacity, weight/mass, and time for a given situation by considering the purpose and precision required for the task.

M-2-E-GLE 25. Select and use the appropriate standard units of measure, abbreviations, and tools to measure length and perimeter (i.e., in., cm, ft., yd., m), area (square inch, square centimeter), capacity (i.e., cup, pint, quart, gallon, liter), and weight/mass (i.e., oz., lb., g, kg, ton) (M-2-E)

M-3-E. Using estimation skills to describe, order, and compare measures of length, capacity, weight/mass, time, and temperature.

M-3-E-GLE 26. Order a set of measures within the same system (M-3-E)

M-3-E-GLE 27. Compare U.S. and metric measurements using approximate reference points without using conversions (e.g., a meter is longer than a yard) (M-3-E) (M-4-E)

M-3-E-GLE 28. Estimate length, weight/mass, and capacity (M-3-E)

M-4-E. Converting from one unit of measurement to another within the same system (customary and metric) comparisons between systems should be based on intuitive reference points, not formal computations (e.g., a meter is a little longer than a yard).

M-4-E-GLE 27. Compare U.S. and metric measurements using approximate reference points without using conversions (e.g., a meter is longer than a yard) (M-3-E) (M-4-E)

M-5-E. Demonstrating the connection of measurement to the other strands and to real-life situations.

M-5-E-GLE 10. Calculate the value of a combination of bills and coins and make change up to $5.00 (N-6-E) (M-1-E) (M-5-E)

M-5-E-GLE 24. Find elapsed time involving hours and minutes, without regrouping, and tell time to the nearest minute (M-1-E) (M-5-E)

LA.G. Geometry: In problem-solving investigations, students demonstrate an understanding of geometric concepts and applications involving one-, two-, and three-dimensional geometry, and justify their findings.

G-1-E. Determining the relationships among shapes.

G-1-E-GLE 29. Classify and describe 2- and 3-dimensional objects according to given attributes (triangle vs. quadrilateral, parallelogram vs. prism) (G-2-E) (G-1-E) (G-4-E)

G-1-E-GLE 34. Fold a 2-dimensional net into a 3-dimensional object (G-4-E) (G-1-E)

G-2-E. Identifying, describing, comparing, constructing, and classifying two-dimensional and three-dimensional geometric shapes using a variety of materials.

G-2-E-GLE 29. Classify and describe 2- and 3-dimensional objects according to given attributes (triangle vs. quadrilateral, parallelogram vs. prism) (G-2-E) (G-1-E) (G-4-E)

G-2-E-GLE 30. Apply concepts of congruence, similarity, and symmetry in real-life situations (G-2-E)

G-3-E. Making predictions regarding combinations, subdivisions, and transformations (slides, flips, turns) of simple plane geometric shapes.

G-3-E-GLE 31. Draw or reconstruct figures from visual memory or verbal descriptions (G-3-E)

G-3-E-GLE 32. Recognize and execute specified flips, turns, and slides of geometric figures using manipulatives and correct terminology (including clockwise and counterclockwise) (G-3-E)

G-4-E. Drawing, constructing models, and comparing geometric shapes, with special attention to developing spatial sense.

G-4-E-GLE 29. Classify and describe 2- and 3-dimensional objects according to given attributes (triangle vs. quadrilateral, parallelogram vs. prism) (G-2-E) (G-1-E) (G-4-E)

G-4-E-GLE 33. Construct and draw rectangles (including squares) with given dimensions (e.g., grid paper, square tiles) (G-4-E)

G-4-E-GLE 34. Fold a 2-dimensional net into a 3-dimensional object (G-4-E) (G-1-E)

G-5-E. Identifying and drawing lines and angles and describing their relationships to each other and to the real world.

G-5-E-GLE 35. Identify, give properties of, and distinguish among points, lines, line segments, planes, rays, and angles (G-5-E)

G-5-E-GLE 36. Identify and draw segments, rays, and lines that are perpendicular, parallel, and intersecting (G-5-E)

G-5-E-GLE 37. Identify, describe, and draw intersecting, horizontal, vertical, parallel, diagonal, and perpendicular lines, rays, and right angles in the real world (G-5-E) (G-6-E)

G-6-E. Demonstrating the connection of geometry to the other strands and to real-life situations.

G-6-E-GLE 37. Identify, describe, and draw intersecting, horizontal, vertical, parallel, diagonal, and perpendicular lines, rays, and right angles in the real world (G-5-E) (G-6-E)

G-6-E-GLE 38. Find the length of a path (that does not include diagonals) between two points on a grid (G-6-E)

LA.D. Data Analysis, Probability, and Discrete Math: In problem-solving investigations, students discover trends, formulate conjectures regarding cause-and-effect relationships, and demonstrate critical thinking skills in order to make informed decisions.

D-1-E. Collecting, organizing, and describing data based on real-life situations

D-1-E-GLE 39. Identify categories and sort objects based on qualitative (categorical) and quantitative (numerical) characteristics (D-1-E)

D-1-E-GLE 40. Read, describe, and organize a two-circle Venn diagram (D-1-E) (D-2-E)

D-1-E-GLE 41. Explain the word average and use it appropriately in discussing what is ''typical'' of a data set (D-1-E)

D-2-E. Constructing, reading, and interpreting data in charts, graphs, tables, etc

D-2-E-GLE 40. Read, describe, and organize a two-circle Venn diagram (D-1-E) (D-2-E)

D-2-E-GLE 42. Match a data set to a graph, table, or chart and vice versa (D-2-E)

D-3-E. Formulating and solving problems that involve the use of data

D-3-E-GLE 43. Represent and solve problems using data from a variety of sources (e.g., tables, graphs, maps, advertisements) (D-3-E)

D-4-E. Exploring, formulating, and solving sequence-of-pattern problems involving selection and arrangement of objects/numerals

D-5-E. Predicting outcomes based on probability (e.g., make predictions of same chance, more likely, or less likely determine fair and unfair games)

D-5-E-GLE 44. Discuss chance situations in terms of certain/impossible and equally likely (D-5-E)

D-5-E-GLE 45. Use manipulatives to discuss the probability of an event (e.g., number cubes, spinners to determine what is most likely or least likely) (D-5-E)

D-6-E. Demonstrating the connection of data analysis, probability, and discrete math to other strands and real-life situations.

LA.P. Patterns, Relations, and Functions: In problem-solving investigations, students demonstrate an understanding of patterns, relations, and functions that represent and explain real-world situations.

P-1-E. Recognizing, describing, extending, and creating a wide variety of numerical (e.g., skip counting of whole numbers), geometrical, and statistical patterns.

P-1-E-GLE 46. Identify and model even and odd numbers with objects, pictures, and words (P-1-E)

P-1-E-GLE 47. Find patterns to complete tables, state the rule governing the shift between successive terms, and continue the pattern (including growing patterns) (P-1-E) (P-2-E)

P-2-E. Representing and describing mathematical relationships using tables, variables, open sentences, and graphs.

P-2-E-GLE 47. Find patterns to complete tables, state the rule governing the shift between successive terms, and continue the pattern (including growing patterns) (P-1-E) (P-2-E)

P-3-E. Recognizing the use of patterns, relations, and functions in other strands and in real-life situations.


Independent Practice

As I circulate, I watch to see that students are carefully graphing Problem 1. The values on the y-axis are not the values that they'll have in the table, so students will need to plot in between the grid marks.

When I check in with individual students, I ask them questions about the particular equation they're working on. I'll ask about the meaning of the coefficient, how they decided on the values for the table, what the relationship is, how we could use this line to predict other values, etc.


Linear relations and their graphing

In this section we examine one of the simplest types of relations, the linear relation. Every linear relation has a graph that is a straight line, and so we need only find two points on the graph in order to sketch it. Examples of linear relations are y=2x+3 , y=x and 3x + 2y = 6

LINEAR RELATION A linear relation in two variables is a relation that can be written in the form

y=ax+b ,
where a and b are real numbers.

ملحوظة Linear relations are often written in the form Ax + By = C , where A , B , and C are real, and A and B are not both 0 . This is called the standard form of a linear relation.

In the equation Ax + By = C , any number can be used for x or y , so both the domain and range of a linear relation in which neither A nor B is 0 are the set of real numbers (-inf,inf) ,

GRAPHING LINEAR RELATIONS. The graph of a linear relation can be found by plotting at least two points. Two points that are especially useful for sketching the graph of a line are found with the intercepts. An x -intercept is an x -value at which a graph crosses the x -axis. A y -intercept is a y -value at which a graph crosses the y-axis. Since y = 0 on the x-axis, an x-intercept is found by setting y equal to 0 in the equation and solving for x . Similarly, a y -intercept is found by setting x=0 in the equation and solving for y .

Example 1 GRAPHING A LINEAR RELATION USING INTERCEPTS

Graph 3x + 2y = 6 .
Use the intercepts. The y -intercept is
found by letting x=0 .
3.0+2y=6

y=3
For the x -intercept, let y=0 , getting


3x+2.0=6
3x=6
x=2 .
Plotting (0,3) and (2,0) gives the graph in Figure 3.7. A third point could be found as a check if desired.

Let&rsquos see how our math solver generates graphs of this and similar problems. Click on "Solve Similar" button to see more examples.

Example 2 GRAPHING HORIZONTAL AND VERTICAL LINES

Since y always equals -3 , the value of y can never be 0 . This means that the graph has no x -intercept. The only way a straight line can have no x -intercept is for it to be parallel to the x -axis, as shown in Figure 3.8. Notice that the domain of this linear relation is (-inf,inf) but the range is <-3>.

Here, since x always equals -3 , the value of x can never be 0 , and the graph has no y -intercept. Using reasoning similar to that of part (a), we find that this graph is parallel to the y -axis, as shown in Figure 3.9. The domain of this relation is <-3>, while the range is (-inf,inf) ,

From this example we may conclude that a linear relation of the form y=k has as its graph a horizontal line through (0,k) , and one of the form x=k has as its graph a vertical line through (k,0) .

Example 3 GRAPHING A LINE THROUGH THE ORIGIN

Find the intercepts. If x=0 , then

Letting y=0 leads to the same ordered pair, 0=0 . The graph of this relation has just one intercept&mdashat the origin. Find another point by choosing a different value for x (or y ). Choosing x=5 gives
4(5)-5y=0

4=y
which leads to the ordered pair (5,4) . Complete the graph using the two points (0,0) and (5,4) , with a third point as a check. See Figure 3.10.

Let&rsquos see various graphs of line passing through origin. Click on "Solve Similar" button to see more examples.

SLOPE An important characteristic of a straight line is its slope, a numerical measure of the steepness of the line. (Geometrically, this may be interpreted as the ratio of rise to run.) To find this measure, start with the line through the two distinct points (x_1,y_1) and (x_2,y_2) , as shown in Figure 3.11 , where (x_1!=x_2) .The difference
(x_2-y_1)

is called the change in x and denoted by (x) (read &ldquodelta x &rsquo), where is the Greek letter delta. In the same way, the change in y can be written

The slope of a nonvertical line is defined as the quotient of the change in y and the change in x , as follows.

SLOPE The slope m of the line through the points (x_1,y_1) and (x_2,y_2) is

CAUTION When using the slope formula, be sure that it is applied correctly. It makes no difference which point is (x_1,y_1) or (x_2,y_2) however, it is important to be consistent. Start with the x - and y -value of one point (either one) and subtract the corresponding values of the other point.

The slope of a line can be found only if the line is nonvertical. This guarantees that (x_2!=x_1) , so that the denominator (x_2-x_1)!=0 . It is not possible to define the slope of a vertical line.

The slope of a vertical line is undefined.

Example 4.FINDING SLOPES WITH THE SLOPE FORMULA

Find the slope of the line through each of the following pairs of points.

(a) (-4, 8), (2, -3)
Let x_1=-4 , y_1=8 , and x_2=-2 , y_2=-3 . ثم

A sketch would show that the line through (2, 7) and (2, -4) is vertical. As mentioned above, the slope of a vertical line is not defined. (An attempt to use the
definition of slope here would produce a zero denominator.)

By definition of slope,
m=(-3-(-3))/(-2-5)=0/-7=0

Drawing a graph through the points in Example 4(c) would produce a line that is horizontal, which suggests the following generalization.

The slope of a horizontal line is 0.

Figure 3.12 shows lines of various slopes. As the figure shows, a line with a positive slope goes up from left to right, but a line with a Positive slope negative slope goes down from left to right.

It can be shown, using theorems for similar triangles, that the slope slope is independent of the choice of points on the line. That is, the slope of a line is the same no matter which pair of distinct points on the line are used to find it.

Since the slope of a line is the ratio of vertical change to horizontal change, if we know the slope of a line and the coordinates of a point on the line, the graph of the line can be drawn. The next example illustrates this.

Example 5 GRAPHING A LINE USING A POINT AND THE SLOPE

Graph the line passing through (-1,5) and having slope -5/3 .
First locate the point (-1,5) as shown in Figure 3.13. Since the slope of this line is -5/3 , a change of -5 units vertically (that is, 5 units down) produces a change of 3 units horizontally ( 3 units to the right).

This gives a second point, (2,0) , which can then be used to complete the graph.

Because -5/3=5/(-3) , another point could be obtained by starting at (-1,5) and moving 5 units up and 3 units to the left. We would reach a different second point, but the line would be the same.

EQUATIONS OF A LINE Since equations can define relations, we now consider methods of finding equations of linear relations. Figure 3.14 shows the line passing through the fixed point (x_1,y_1) and having slope m . (Assuming that the
line has a slope guarantees that it is not vertical.) Let (x,y) be any other point on the line. By the definition of slope, the slope of the line is
(y-y_1)/(x-x_1)
Since the slope of the line is m ,
(y-y_1)/(x-x_1)=m
Multiplying both sides by x-x_1 gives
y-y_1=m(x-x_1)

This result, called the point-slope form of the equation of a line, identifies points on a given line: a point (x,y) lies on the line through (x_1,y_1) with slope m if and only if
y-y_1=m(x-x_1)

POINT-SLOPE FORM The line with slope m passing through the point (x_1,y_1) has an equation

the point-slope form of the equation of a line.

Example 6 USING THE POINT-SLOPE FORM (GIVEN A POINT AND THE SLOPE)

Write an equation of the line through (-4,1) with slope -3 .

Here x_1=-4 , y_1=1 , and m=-3 . Use the point-slope form of the equation of a line to get

y-1=-3x-12) Distributive property

CAUTION The definition of &ldquostandard form&rdquo is not standard from one text to another. Any linear equation can be written in many different (all equally correct) forms. For example, the equation 2x+3y=8 can be written as 2x=8-3y , 3y=8-2x , x+3/2y=4 , 4x+6y=16 and so on. In addition to writing it in the form Ax + By = C (with A>=0 ), let us agree that the form 2x+3y=8 is preferred over any multiples of both sides, such as 4x+6y=16 .

Example 7 USING THE POINT-SLOPE FORM (GIVEN TWO POINTS)

Find an equation of the line through (-3,2) and (2,-4)
Find the slope first. By the definition of slope,
m=(-4-2)/(2-(-3))=-6/5

Either (-3,2) or (2,-4) can be used for (x_1,y_1) . Choosing (x_1=-3 and (y_1=2 in the point-slope form gives
y-2=-6/5[x-(-3)
5(y-2)=-6(x+3) Multiply by 5.
5y-10=-6x-18 Distributive property

Verify that the same equation results if (2,-4) is used instead of (-3,2) in the Point-slope form.

As a special case of the point-slope form of the equation of a line, suppose that a line passes through the point (0, b) , so the line has y -intercept b . If the line has slope m , then using the point-slope form with x_1=0 and y_1=b gives
y-y_1=m(x-x_1)

y=mx+b
as an equation of the line. Since this result Shows the slope of the line and the y -intercept, it is called the slope-intercept form of the equation of the line.

SLOPE-INTERCEPT FORM The line with slope m and y -intercept b has an equation
y=mx+b
the slope-intercept form of the equation of a line.

Example 8 USING THE SLOPE-INTERCEPT FORM TO GRAPH A LINE

Find the slope and y -intercept of 3x-y=2 Graph the line using this information.

First write 3x-y=2 in the slope-intercept form, y=mx+b , by solving for y , getting 3x-y=2 . This result shows that the Slope is m=3 and the y -intercept is b=-2 . To draw the graph, first locate the y -intercept. See Figure 3.15. Then, as in Example 5, use the slope of 3 , or 3/1 , to get a second point on the graph. The line through these two points is the graph of 3x-y=2 .

In the preceding discussion, it was assumed that the given line had a slope. The only lines having undefined slope are vertical lines. The vertical line through the point (a, b) passes through all the points of the form (a, y) , for any value of y . This fact determines the equation of a vertical line.

EQUATION OF A VERTICAL LINE An equation of the vertical line through the point (a, b) is x=a

For example, the vertical line through (-4,9) has equation x=-4 , while the vertical line through (0,1/4) has equation x=0 . (This is the y -axis.)

The horizontal line through the point (a, b) passes through all points of the
form (x, b) , for any value of x . Therefore, the equation of a horizontal line involves only the variable y .

EQUATION OF A HORIZONTAL LINE An equation of the horizontal line through the point (a, b) is y=b .

For example, the horizontal line through (1,-3) has the equation y=-3 . See Figure 3.8 for the graph of this equation. The equation of the x -axis is y=0 .

PARALLEL. AND PERPENDICULAR LINES Slopes can be used to decide whether or not two lines are parallel. Since two parallel lines are equally &ldquosteep,&rdquo they should have the same slope. Also, two distinct lines with the same &ldquosteepness&rdquo are parallel. The following result summarizes this discussion.

PARALLEL LINES Two distinct non vertical lines are parallel if and only if they have the same slope.

Slopes are also used to determine if two lines are perpendicular. Whenever two lines have slopes with a product of -1 , the lines are perpendicular.
PERPENDICULAR LINES Two lines, neither of which is vertical, are perpendicular if and only if their slopes have a product of -1 .

For example, if the slope of a line is -3/4 , the slope of any line perpendicular
to it is 4/3 , since (-3/4)(4/3)=-1 . We often refer to numbers like -3/4 and 4/3 as &ldquonegative reciprocals.&rdquo A proof of this result is outlined in Exercises 63-66.

USING THE SLOPE RELATIONSHIPS FOR PARALLEL AND PERPENDICULAR

Find the equation of the line that passes through the point (3,5) and satisfies the given condition.

(a) parallel to the line 2x+5y=4

Since it is given that the point (3,5) is on the line, we need only find the slope to use the point-slope form. Find the slope by writing the equation of the given line in slope-intercept form. (That is, solve for y .)
2x+5y=4

y=-2/5x+4/5
The slope is -2/5 . Since the lines are parallel, -2/5 is also the slope of the line whose equation is to be found. Substituting m=-2/5 , x_1=3 , and y_1=5 into the point-slope form gives

(b) perpendicular to the line 2x+5y=4
In part (a) it was found that the slope of this line is -2/5 , so the slope of any line perpendicular to it is 5/2 . Therefore, use m=5/2 , x_1=3 , and y_1=5 in the point-slope form.
y-5=5/2(x-3)

All the lines discussed above have equations that could be written in the form

Ax + By = C for real numbers A , B , and C . As mentioned earlier, the equation Ax + By = C is the standard form of the equation of a line. The various forms of linear equations are listed below.

LINER EQUATIONS

General Equation Type of Equation
Ax+by=C Standard form (if A!=0 and B!=0 ), x -intercept C/A , y -intercept C/B , slope -A/B
x=k Vertical line x -intercept k , no y -intercept, undefined slope
y=k Horizontal line y -intercept k , no x -intercept, slope 0
y=mx+b Slope-intercept form, y -intercept b , slope m
y-y_1=m(x-x_1) Point-slope form , slope m , through (x_1,y_1)

PROBLEM SOLVING

A straight line is often the best approximation of a set of data points that result from a real situation. If the equation is known, it can be used to predict the value of one variable, given a value of the other. For this reason, the equation is written as a linear relation in slope-intercept form. One way to find the equation of such a straight line is to use two typical data points and the point-slope form of the equation of a line.

Example 10 FINDING AN EQUATION FROM DATA POINTS

Scientists have found that the number of chirps made by a cricket of a particular Species per minute is almost linearly related to the temperature. Suppose that for a particular species, at 68 °F a cricket chirps 124 times per minute, while at 80 ° F the cricket chirps 172 times per minute. Find the linear equation that relates the number of chirps to the temperature.

Think of the ordered pairs in the relation as (chirps, temperature), or (c, t) . Then c takes on the role of x and t takes on the role of y . Since we are using a linear relationship, find the slope of the line by using the slope formula with the points (124,68) and (172,80) .
m=(68-80)/(124-172)=-12/-48=1/4
Choose one of the points, say (124,68) , and substitute into the point-slope form, with m=1/4 .
&emsp&emsp t-68=1/4(c-124)

The equation is t=1/4c+37 . By substituting the number of chirps per minute into this equation, the temperature t can be approximated.


شاهد الفيديو: Calculus III: Three Dimensional Coordinate Systems Level 7 of 10. Sphere Examples I (شهر اكتوبر 2021).