مقالات

15: المعادلة العادية - الرياضيات


التكافؤ المنتظم هو الأقل تقييدًا من بين التعريفات الثلاثة الأكثر استخدامًا للتكافؤ. هذا لأن مفهوم التكافؤ المنتظم ، والطرق المستخدمة لتحديد ووصف مجموعات التكافؤ المنتظمة تتوافق بشكل وثيق مع المفهوم الاجتماعي لـ "الدور". إن فكرة الأدوار الاجتماعية هي محور معظم التنظير الاجتماعي.

  • 15.1: تحديد المعادلة العادية
    رسميًا ، "هناك عاملان متساويان بشكل منتظم إذا كانا مرتبطين على قدم المساواة بآخرين مكافئين. أي أن مجموعات التكافؤ المنتظمة تتكون من ممثلين لديهم علاقات مماثلة لأعضاء مجموعات التكافؤ العادية الأخرى. لا يشير المفهوم إلى جهات فاعلة أخرى محددة ، أو إلى وجود في رسوم بيانية فرعية مماثلة ؛ الجهات الفاعلة متكافئة بانتظام إذا كانت لديهم روابط مماثلة مع أي أعضاء من مجموعات أخرى.
  • 15.2: استخدامات المفهوم
    نهج التكافؤ المنتظم مهم لأنه يوفر طريقة لتحديد "الأدوار" من أنماط الروابط الموجودة في الشبكة. بدلاً من الاعتماد على سمات الجهات الفاعلة لتحديد الأدوار الاجتماعية وفهم كيف تؤدي الأدوار الاجتماعية إلى ظهور أنماط من التفاعل ، يسعى تحليل التكافؤ المنتظم إلى تحديد الأدوار الاجتماعية من خلال تحديد الانتظام في أنماط روابط الشبكة - سواء أكان شاغلي الأدوار أم لا لديهم أسماء لمناصبهم.
  • 15.3: إيجاد مجموعات التكافؤ
    يقول التعريف الرسمي للتكافؤ المنتظم أن فاعلين متكافئين بانتظام إذا كان لديهما أنماط متشابهة من الروابط مع آخرين مكافئين. خذ بعين الاعتبار رجلين. لكل منها أطفال (على الرغم من أن لديهم أعدادًا مختلفة من الأطفال). لكل منهما زوجة (أشخاص مختلفون عادة). كل زوجة بدورها لديها أطفال وزوج (أي أن لديهم روابط مع عضو واحد أو أكثر من كل مجموعة). لكل طفل روابط مع فرد أو أكثر من مجموعة "الأزواج" و "الزوجات".
  • 15.S: المعادلة العادية (ملخص)
    يعتبر مفهوم التكافؤ المنتظم مفهومًا مهمًا جدًا لعلماء الاجتماع الذين يستخدمون أساليب الشبكات الاجتماعية ، لأنه يتوافق جيدًا مع مفهوم "الدور الاجتماعي". ممثلان متكافئان بانتظام إذا كانا مرتبطين بنفس القدر بأخرى معادلة. يمكن أن تكون المعادلات العادية دقيقة أو تقريبية. على عكس تعريفات التكافؤ الهيكلية والتلقائية ، قد يكون هناك العديد من الطرق الصالحة لتصنيف الجهات الفاعلة في مجموعات معادلة منتظمة لرسم بياني معين.

الأسس الحديثة لنظرية Homotopy المستقرة

م Elmendorf ،. جي بي ماي ، في دليل الطوبولوجيا الجبرية ، 1995

12 تخصص ل مو-الوحدات و مو-حلبة الأطياف

تنشأ أطياف Thom الكلاسيكية في الطبيعة مثل ه أطياف الحلقة. في الواقع ، كان فحص تعريف مستوى prespectrum الخاص بهم من حيث Grassmannians الذي أدى أولاً إلى نظرية ه. أطياف الحلقة [19]. تطبيق الممتع س (؟) ، نحصل على نماذج لأطياف Thom التبادلية س-الجبر. بالطبع ، مجموعات homotopy من مو تتركز في درجات زوجية ، وكل عنصر ليس صفريًا هو مقسوم عليه ليس صفرًا. وبالتالي فإن النتائج المذكورة أعلاه لها النتيجة الطبيعية التالية.

نظرية 12.1

دع X يكون تسلسل منتظم في MU*, دعني أكون النموذج المثالي الذي تم إنشاؤه بواسطة X ، ودع Y يكون أي تسلسل في MU*. ثم هناك طيف حلقة MU (مو/X) [ص −1 ] وخريطة طبيعية لأطياف حلقة MU (خريطة الوحدة)

يدرك التشابه الطبيعي لـ MU*-الجبر

لو مو*/أنا مركزة بالدرجات المطابقة للصفر وزارة الدفاع 4 ، ثم هناك منتج متعارف عليه فريد (مو/X) [ص −1 ], وهذا المنتج تبادلي وترابطي.

بالمقارنة مع الإنشاءات السابقة من هذا النوع استنادًا إلى نظرية Baas-Sullivan للمشعبات ذات التفردات أو على نظرية المميزات الدقيقة Landweber & # x27s (حيثما ينطبق ذلك) ، فقد حصلنا على دليل أبسط لنتيجة أقوى بكثير. نؤكد أن مو- الطيف الخيطي هو بنية أكثر ثراءً من مجرد طيف حلقي وأن التبادلية والترابط في مو- إحساس الطيف الدائري هو شروط أكثر صرامة من مجرد التبديل والترابط للطيف الدائري الأساسي.

نوضح من خلال شرح كيف BP يظهر في هذا السياق. إصلاح رئيس ص واكتب (؟)ص للترجمة في ص. يترك BP كن طيف براون بيترسون في ص. نحن نفكر في بناء Quillen & # x27s المثالي [24] ، ولدينا خرائط مقسمة أنا : BPموص و ه : موصBP. هذه خرائط لأطياف الحلقة التبادلية والرابطية من هذا القبيل هأنا = معرف. يترك أنا كن نواة المركب

ثم أنا يتم إنشاؤه بواسطة تسلسل منتظم X، و لنا مو/X هي نسخة أساسية أساسية من BP. في الوقت الحالي ، دعنا BP ′ = (مو/X)ص. دع ξ: BPBP ′ كن المركب

إنه فوري أن ξ هو التكافؤ. في الواقع ، نظرًا لأننا رتبنا ذلك ηص له نفس التأثير على مجموعات homotopy مثل ه، ξ يستحث خريطة هوية (مو*/أنا)ص على مجموعات homotopy. عن طريق تقسيم موص وحقيقة أن الخرائط الذاتية لـ موص يتم تحديدها من خلال تأثيرها على مجموعات homotopy [2 ، II.9.3] ، الخرائط موصBP يتم تحديدها من خلال تأثيرها على مجموعات homotopy. هذا يعني أن ξ ○ ه = ηص : موصBP ′. المنتج على BP هو المركب

منذ ηص هي خريطة مو- من الأطياف وبالتالي الأطياف الحلقية ، تظهر مطاردة الرسم التخطيطي التافهة الآن أن التكافؤ ξ: BPBP ′ هي خريطة أطياف الحلقة.

نستنتج أن لدينا BP ′ هو نموذج ل BP هذا هو مو- الطيف التبادلي والرابطي إذا ص & GT 2. الوضع ل ص = 2 مثيرة للاهتمام. نستنتج من التكافؤ أن BP ′ هو تبادلي وترابطي كطيف حلقي ، على الرغم من أننا لا نعلم أنه تبادلي أو ترابطي باعتباره موالطيف الخيطي.

أذكر ذلك π*(BP) = ℤ(ص)[الخامسأنا|درجة(الخامسأنا) = 2(ص ط - 1)] حيث المولدات الخامسأنا تأتي من π*(مو) (بشرط أن نستخدم مولدات Hazewinkel). نسرد بعض الأطياف المشتقة من BP، بحلقات معاملها. لنفترض أن F p تشير إلى المجال ص عناصر.

من خلال الطريقة الموضحة للتو ، يمكننا إنشاء إصدارات أساسية متكاملة من BPن> و ه(ن). كل هذه الأطياف تتناسب مع سياق النظرية 11.1. لو ص & gt 2 ، فجميعهم يمتلكون جميعًا تبادليًا وترابطيًا فريدًا مو- طيف التراكيب. هناك حاجة إلى مزيد من الدراسة عندما ص = 2. على أي حال ، تجعل هذه النظرية من غير الضروري اللجوء إلى نظرية Baas-Sullivan أو نظرية المميزات الدقيقة Landweber & # x27s لبناء وتحليل أطياف مثل هذه.

وبتقنيات أكثر تطوراً أثبت المؤلف الثاني [14] ذلك BP يمكن بناؤها على أنها تبادلية س-الجبر ، وفي الواقع يعترف بالعديد من هذه الهياكل المميزة بشكل لا يحصى. هناك الكثير من الأعمال الأخرى الجارية على بناء وتطبيق تبادلي جديد س-الجبر ، بواسطة هوبكنز ، ميلر ، مكلور ، وآخرين ، وقد أثبتنا مؤخرًا أن الدورية كالأطياف النظرية KO و KU يمكن بناؤها على أنها تبادلية س-الجبر. أصبحت الهياكل المضاعفة المخصبة على الحلقات والوحدات التي ناقشناها بسرعة أداة قياسية في دراسة الظواهر الدورية في نظرية التماثل المستقر.


1 إجابة 1

اسمحوا لي أن أعيد كتابة الإجابة بالكامل.

لقد كتبت ثلاثة تعريفات لكاردينال عادي ، وقدمت ادعاءين كاذبين. أولاً ، اسمحوا لي أن أكتب التعاريف ، حتى نكون واضحين بشأنها.

لنفترض أن $ kappa $ هو ترتيبي أولي لانهائي (على سبيل المثال ، أساسي في سياق $ sf ZFC $).

  1. $ kappa $ هو $ 1 $ - غير منتظم إذا كان لكل مجموعة فرعية غير محدودة من $ kappa $ نوع طلب $ kappa $.
  2. $ kappa $ هو $ 2 $ - منتظم إذا كان كل اتحاد أقل من $ kappa $ مجموعات فرعية من $ kappa $ ، كل اتحاد أقل من $ kappa $ ، هو نفسه أصل أقل من $ kappa $.
  3. $ kappa $ هو $ 3 $-منتظم إذا كان كل $ X subseteq kappa $ مثل أن $ | X | & lt kappa $ لديه خاصية $ bigcup X & lt kappa $.

لقد زعمت أيضًا أن 1 دولار و 2 دولار متكافئان إذا افترضنا بديهية الاختيار ، وأردت إظهار أن 3 دولارات متكافئة أيضًا مع أولئك الذين ليس لديهم بديهية الاختيار. لكن الحقيقة هي أن بديهية الاختيار ليست ضرورية لإظهار أن الثلاثة جميعهم متساوون.

إذا كان $ kappa $ هو $ 1 $ - عادي ، فعندئذٍ عندما يكون $ X subseteq kappa $ و $ | X | & lt kappa $ ، يجب أن يكون نوع الطلب $ X $ (كمجموعة مرتبة جيدًا) أقل من $ kappa $ ، لذا $ bigcup X = sup X & lt kappa $ بافتراض أنه $ 1-منتظم.

إذا كان $ kappa $ هو $ 3 $ - منتظم ، فلندع $ A $ مجموعة فرعية غير محدودة من $ kappa $ ثم $ bigcup A = sup A = kappa $ ، ثم حسب التعريف $ 3 $-منتظم يجب أن يكون لدينا هذا $ | A | = kappa $ ، ولكن نظرًا لأن $ kappa $ هو ترتيب ترتيبي أولي ، فإنه لا يحتوي على مجموعات فرعية من الحجم $ kappa $ التي لا يكون نوع طلبها $ kappa $ نفسه. لذلك يحتوي $ A $ على نوع الطلب $ kappa $.

يؤدي هذا إلى إنشاء المعادلة بين 1 دولار و 3 دولارات. لم يكن هناك على الإطلاق أي استخدام لبديهية الاختيار. $ bigcup X $ هو ترتيبي لأنه اتحاد الترتيبي.

الآن لتوضيح أن هذه تعادل $ 2-منتظم.

إذا كان $ kappa $ هو $ 2 $-منتظم ، فدع $ X subseteq kappa $ مثل $ | X | & lt kappa $. نظرًا لأن $ kappa $ هو ترتيبي أولي ، فإن جميع أعضاء $ X $ لديهم قيمة أساسية أقل تمامًا من قيمة $ kappa $. لذلك نأخذ اتحادًا أقل من $ kappa $ مجموعات من الحجم أقل من $ kappa $ ، و 2 $-منتظم $ | bigcup X | & lt kappa $. ولكن هذا يعني أن $ sup X & lt kappa $ كما هو مطلوب.

إذا كان $ kappa $ هو $ 3 $ - منتظم ، فلندع $ P $ مجموعة أقل من $ kappa $ مجموعات فرعية من $ kappa $ ، كل من أصل $ kappa $. ثم مقابل كل دولار A في P $ لدينا هذا $ bigcup A = sup A & lt kappa $ حسب التعريف $ 3 $ -norm. دع $ X = < sup A mid A in P > $ ، ثم $ | P | leq | X | & lt kappa $ وبالتالي $ bigcup X & lt kappa $. ويترتب على ذلك أن $ bigcup P & lt kappa $ أيضًا ، لأن هناك بعض $ alpha & gt bigcup X $ وهذا يعني أن $ alpha notin A $ لكل $ A في P $. لذلك فإن $ kappa $ هو $ 2-منتظم كما هو مطلوب. $ مربع $

في التعليقات التي لاحظت أن معلمك تحدى المهمة التالية ، إذا كان $ X subseteq aleph _ < alpha + 1> $ و $ | X | & lt aleph _ < alpha + 1> $ ، فأنت تبحث عن حقنة من $ bigcup X $ إلى $ aleph_ alpha times aleph_ alpha $.

لكن هذا يعني أنه عليك افتراض أن $ aleph _ < alpha + 1> $ عادي. في حين أن كل كاردينال وريث في $ sf $ ZFC هو حقًا منتظم ، فإنه يتوافق مع $ sf ZF $ أن الخلفاء هم ليس عادي. في الواقع ، بافتراض تناسق الكرادلة الكبيرة جدًا ، يمكننا إنشاء نموذج $ sf ZF $ حيث لا يوجد كاردينالات عاديين باستثناء $ aleph_0 $.

لذا من أجل العثور على هذا الحقن ، يجب أن نفترض أن $ aleph _ < alpha + 1> $ منتظم ، وهو افتراض لا يمكننا إثباته بدون مساعدة بديهية الاختيار ، وبالتالي لا يمكننا كتابة حقنة صريحة من $ sup X $ إلى $ aleph_ alpha times aleph_ alpha $.


2 إجابات 2

تحرير لتوضيح إجابتي. تم تمييز جوهر الحل باللون الأصفر.

أقدم ما يلي مفيد المفهوم ، يسمح ذلك بإيجاد سبب أفضل للتعبيرات النمطية.

تعريف. أكتب $ R مجموعة فرعية S $ إذا كان هناك $ T $ مثل أن $ R + T = S $.

ليما. إذا كان $ R مجموعة فرعية S $ ، فإن $ R + S = S $.

الآن ، عد إلى مشكلتك. لدينا $ (a + b ^ *) (b + a ^ *) = ab + aa ^ * + b ^ * b + b ^ * a ^ * ، $ لكن $ aa ^ * مجموعة فرعية b ^ * a ^ * $ و $ b ^ * b المجموعة الفرعية b ^ * a ^ * $ ، لذلك $ (a + b ^ *) (b + a ^ *) = ab + b ^ * a ^ *. $

قد تسأل ، لماذا $ aa ^ * subset b ^ * a ^ *؟ $ حسنًا ، هذا سهل لأن $ b ^ * a ^ * = ( epsilon + b ^ *) ( epsilon + a) a ^ * = aa ^ * + text. $

من أجل منتقي القصاصات. في الصيغة الأخيرة ، استخدمنا أيضًا $ b ^ * = b ^ * + epsilon $ في البداية. نظرًا لأن هذا ليس من بين المعادلات المحددة ، يكون الاشتقاق المحتمل كما يلي: $ R ^ * + epsilon = RR ^ * + epsilon + epsilon = RR ^ * + epsilon = R ^ * $.

بخلاف ذلك ، باستخدام مفهوم المجموعة الفرعية المفيدة ، لاحظ أن $ epsilon المجموعة الفرعية R ^ * $ ، لأن $ R ^ * = epsilon + RR ^ * $ ولكن بعد ذلك يقول lemma $ R ^ * + epsilon = R ^ * $ .

في الختام ، أحثك ​​على تجربة نفس التمرين بتعبير منتظم أكثر تعقيدًا ومعرفة ما إذا كان هذا مجموعة فرعية الشيء بالفعل يبسط الاشتقاقات أم لا.


فئات التكافؤ

أنا هو
كما انت هو
كما انت انا
ونحن جميعًا معًا.

جون لينون وبول مكارتني ، أنا الفظ

لقد تعاملت بالفعل مع الحساب النمطي لمعظم حياتك: يمثل وجه الساعة الحساب بالمعامل 12. إذا سبق لك أن خدمت في الجيش أو استمعت إلى خدمة BBC World Service ، فأنت على دراية بالمقياس الحسابي 24 أيضًا .

عندما نتعامل مع الوقت ، لا تتردد في استخدام الرمز /> للإشارة إلى أي وقت يكون من مضاعف 12 ساعة بعيدًا عن 1 صباحًا أو 1 مساءً. لاحظ أن الانتقالي يعني أننا لا نهتم حقًا أي خاص بالرجوع إلى الساعة 1 صباحًا أو الساعة 1 ظهرًا ، نختار - ولكن إذا كنت قلقًا بشأن ذلك ، فيمكننا اتباع Bishop Ussher ونقول إن نموذجنا الأصلي /> هو 1 صباحًا يوم الأحد 23 أكتوبر 4004 قبل الميلاد. من المفيد جدًا أن يكون لديك رمز لـ الكل الساعة الواحدة ، رمزًا لكل الساعتين ، وما إلى ذلك ، حتى نتمكن من كتابة أشياء مثل

بعد سبع ساعات يكون .

التعريف التالي يجعل هذه الفكرة دقيقة.

تعريف. يترك تكون علاقة تكافؤ في المجموعة ، والسماح . ال فئة التكافؤ تحت التكافؤ هي المجموعة

لجميع عناصر التي تعادل .

على سبيل المثال النظر في العلاقة على معطى بواسطة لو . ثم , ، إلخ.

على سبيل المثال ضع في اعتبارك علاقة التكافؤ على معطى بواسطة لو . ثم

ومن السهل أن ترى أن جميع فئات التكافؤ الأخرى ستكون عبارة عن دوائر تتمحور حول الأصل. لاحظ أن لدينا .

تعريف. نظرا لعلاقة التكافؤ على ، فإن مجموعة جميع فئات التكافؤ تسمى < em حاصل بواسطة >. نحن نكتب

لاحظ أن حاصل قسمة /> بعلاقة تكافؤ هو أ مجموعة من مجموعات العناصر من />.

على سبيل المثال النظر في العلاقة على معطى بواسطة لو . ثم

على سبيل المثال لو هي علاقة التكافؤ على معطى بواسطة لو ، من ثم هي مجموعة الدوائر المتمركزة في الأصل.

على سبيل المثال يحتوي على 12 عنصرًا:

طريقة مناسبة لتمثيلهم هي , , ، إلخ. لاحظ أن الاصطلاح الرياضي يجب أن يبدأ من 0 ويصعد إلى 11 ، وهو ما يختلف عن كيفية ترقيم الساعات.

نظرية. يترك تكون علاقة التكافؤ على . يترك . iff .

دليل - إثبات. يفترض . منذ ، لدينا ، لذلك من خلال تعريف ، لدينا .

يفترض . سوف نظهر . يترك . ثم . منذ هو متعد ، لدينا . منذ متماثل ، هذا يعني ، بمعنى آخر. .

الدليل على ذلك يشابه. .

نظرية. يتكون من العناصر بالضبط , ، ldots، .

دليل - إثبات. يطلب منا إظهار المساواة المحددة. من الواضح أن كل إلى عن على هي فئة تكافؤ ، لذلك لدينا مجموعة تضمين واحدة.

للحصول على المجموعة الأخرى ، افترض هي فئة معادلة. ثم هناك البعض مع . نطبق خوارزمية القسمة على الكتابة

أين . ثم من مضاعفات ، وبالتالي . هكذا و منذ ذلك الحين ، لقد أظهرنا ذلك موجود في قائمة فئات التكافؤ لدينا. .

من الخصائص المهمة لفئات التكافؤ أنها "تقطع" المجموعة الأساسية:

نظرية. يترك كن مجموعة و تكون علاقة التكافؤ على . ثم:

  1. لا توجد فئة معادلة فارغة.
  2. فئات التكافؤ التغطية هذا هو، .
  3. لا تتداخل فئات التكافؤ.

دليل - إثبات. الأولين واضحان إلى حد ما من الانعكاسية.

  1. أي فئة معادلة هي بالنسبة للبعض . منذ هو انعكاسي ، ، بمعنى آخر. . وبالتالي غير فارغ.
  2. يترك . نحن بحاجة لإظهار ذلك . هذا هو ، نحن بحاجة إلى إيجاد البعض لأي منهم . استخدام والملاحظة أعلاه لدينا .

البند الثالث أكثر تعقيدًا ، غالبًا لأننا نحتاج إلى فهم ما تعنيه. النظر في حالة , . ثم و تتداخل بالتأكيد - كلاهما يحتوي على ، فمثلا. لذلك إذا أخذنا "فئات التكافؤ لا تتداخل" بشكل حرفي لا يمكن أن يكون ذلك صحيحًا.

لكن لاحظ ذلك و لا تتداخل فقط ، بل هي في الواقع مساو. لذلك سنقوم بالتعديل

لا تتداخل فئات التكافؤ

خامد لا تتداخل فئات التكافؤ

نظرية. لو من ثم .

دليل - إثبات. سنثبت عكس ذلك: إذا ، من ثم .

يفترض غير فارغ. ثم هناك البعض . وبالتالي و .

منذ متماثل .

منذ متعد ، . وبالتالي . .

توضح هذه النظرية ، على سبيل المثال ، أنه لا يوجد فائض في القائمة , ، ldots، من فئات التكافؤ modulo .

مثال من الحساب: الأعداد المنطقية

ممارسه الرياضه. النظر في العلاقة على معطى بواسطة: لو . اظهر ذلك هي علاقة تكافؤ. لا تستخدم الكسور في دليلك.

ما هي فئات التكافؤ في إطار العلاقة ?

مطالبة. هي مجموعة كل أزواج النموذج .

دليل - إثبات. أولا نظهر أن كل . هذا يعادل العرض . ولكن من خلال تعريف ، كل ما نحتاج إلى إظهاره هو - وهو أمر واضح لأن كلا الجانبين كذلك .

الآن نظهر ذلك إذا ، إذن يجب أن يكون الأمر كذلك . يعني أن ، أي أن . .

ممارسه الرياضه. اظهر ذلك هي مجموعة كل أزواج النموذج .

نحن نكتب لفئة المعادلة ونحدد:

تعريف. مجموعة الأعداد المنطقية يكون . أي أن الرقم المنطقي هو فئة تكافؤ من أزواج الأعداد الصحيحة.


معادلة Automata

لإثبات وجود DFA مقابل لكل NDFA ، سنعرض كيفية إزالة اللاحتمية من NDFA ، وبالتالي إنتاج DFA الذي يقبل نفس السلاسل مثل NDFA.

يشار إلى التقنية الأساسية باسم بناء مجموعة فرعية، لأن كل ولاية في DFA تتوافق مع مجموعة فرعية من حالات NDFA.

الفكرة هي كما يلي: بينما نتتبع مجموعة المسارات المحتملة من خلال NDFA ، يجب علينا تسجيل جميع الحالات الممكنة التي يمكن أن نكون فيها نتيجة للمدخلات التي شوهدت حتى الآن. نقوم بإنشاء DFA الذي يشفر مجموعة حالات NDFA التي يمكن أن نكون فيها داخل حالة واحدة من DFA.

بناء مجموعة فرعية لـ NDFA

لإنشاء DFA يقبل نفس السلاسل مثل NDFA هذا ، نقوم بإنشاء حالة لتمثيل جميع مجموعات الحالات التي يمكن لـ NDFA إدخالها.

من المثال السابق (من NDFA للتعرف على سلاسل الإدخال التي تحتوي على الكلمة & # 8220main & # 8221) من 5 حالات NDFA ، يمكننا إنشاء DFA مقابل (مع ما يصل إلى 2 ^ 5 حالات) التي تتوافق حالاتها مع جميع المجموعات الممكنة من تنص في NDFA:

لاحظ أن العديد من هذه الولايات فازت & # 8217t في DFA لأنه لا توجد طريقة لإدخال مجموعة الحالات هذه في NDFA. ومع ذلك ، في بعض الحالات ، قد نحتاج إلى كل هذه الحالات في DFA لالتقاط جميع المجموعات الممكنة من الدول في NDFA.

بناء المجموعة الفرعية لـ NDFA (تابع)

يكون لدى DFA الذي يقبل نفس السلاسل كما في مثال NDFA الانتقالات التالية:

حالة البداية هي والحالة النهائية هي ، وهو الوحيد الذي يحتوي على الحالة النهائية لاتفاقية NDFA.

حدود آلية محدودة

السمة المميزة لـ FA هي أن لديهم فقط عددًا محدودًا من الدول. ومن ثم ، فإن الأوتوماتا المحدودة يمكنها فقط & # 8220count & # 8221 (أي ، الحفاظ على عداد ، حيث تتوافق الحالات المختلفة مع قيم مختلفة للعداد) عددًا محدودًا من سيناريوهات الإدخال.

لا يوجد إنسان آلي محدود يتعرف على هذه الأوتار:

  • مجموعة السلاسل الثنائية تتكون من عدد متساوٍ من 1 & # 8217s و 0 & # 8217s
  • مجموعة السلاسل فوق & # 8216 (& # 8216 و & # 8216) & # 8217 التي تحتوي على & # 8220balanced & # 8221 أقواس

يمكن استخدام & # 8216pumping lemma & # 8217 لإثبات عدم وجود FA مثل هذه الأمثلة.


تنفيذ علاقات التكافؤ في C ++

قررنا مجموعة القيم التي نريد نمذجتها ، وعلاقة التكافؤ التي نرغب في تنفيذها وواجهة التنفيذ. كيف نكتبها؟

دعونا نتعامل مع المساواة الحقيقية أولاً. ثم يتساوى كائنان إذا وفقط إذا كانت قيمهما الحالية متساوية. إذن كيف ننتقل من كائن إلى قيمة؟

عند تنفيذ عمليات المساواة ، فإننا نتعامل مع الأنواع المركبة ، على سبيل المثال هيكل أو فئة. يمكن أن يكون لها خصائص متعددة ، إما بشكل مباشر أو غير مباشر. الخصائص المباشرة هي متغيرات الأعضاء من النوع ، والخصائص غير المباشرة هي كائنات يمكن الوصول إليها من المؤشرات التي تكون إما خصائص مباشرة أو غير مباشرة. أو الخصائص هي وظائف تحسب الخصائص الجديدة بناءً على قيمة الخصائص الأخرى.

على سبيل المثال ، يحتوي std :: vector & ltT & gt على ثلاث خصائص مباشرة: المؤشر إلى الذاكرة والحجم والسعة. والخصائص غير المباشرة كلها أشياء في الذاكرة تشير إليها. ولكن يمكن أن تحتوي أيضًا على ثلاثة مؤشرات كخصائص مباشرة وحساب الحجم والسعة عن طريق طرحها. ومع ذلك ، هذا يعادل قيمة المتجه.

ليست كل الخصائص جزءًا من قيمة الكائن. على سبيل المثال ، قيمة std :: shared_ptr هي المؤشر الذي يمتلكه ، وليس عدد عناصر التحكم ، وليس الخاصية غير المباشرة ، النقطة. لذلك من أجل مقارنة مؤشرين مشتركين ، يجب فقط مقارنة المؤشر.

بالطبع تحديد قيمة std :: shared_ptr هو سؤال مختلف. لقد افترضت للتو أنه المؤشر الذي يمتلكه وليس قيمة الكائن الذي يشير إليه.

من ناحية أخرى ، بالنسبة لـ std :: vector ، تكون القيمة هي تسلسل العناصر المخزنة في المتجه. لذا فإن مقارنة عنصرين متجهين تقارن العناصر ، الخصائص غير المباشرة. لا يقارن المؤشر نفسه ، ولكن الكائنات التي يشير إليها.

دع & rsquos استدعاء الخصائص التي هي جزء من القيمة بارزة ، والخصائص الأخرى غير بارزة. ثم يتساوى جسمان إذا تساوت جميع خصائصهما البارزة.

عادة ما تتم مقارنة الخصائص مع مساواتهم ولكن في بعض الأحيان يجب تجاوزها. هذا هو الحال بشكل خاص بالنسبة للمؤشرات (أو الأشياء التي تتصرف مثل المؤشرات). مساواتهم هي مجرد معالجة للمساواة ، لأن هذه هي قيمة المؤشر. لكن في بعض الأحيان تكون المساواة بين النقاط نفسها مرغوبة ، لذلك يمكننا استخدام عامل التشغيل المتوفر == ولكننا نحتاج إلى كتابة رمز مخصص.

القاعدة: تنفيذ المساواة ، أي عامل == ، من خلال مقارنة الخصائص التي تشكل القيمة بالفعل. يمكن أن تكون هذه أعضاء مباشرة أو كائنات أخرى يمكن الوصول إليها بشكل غير مباشر من المؤشرات.

بمجرد أن نعرف كيفية تنفيذ المساواة ، يمكن تنفيذ علاقة تكافؤ أقل صرامة من حيث ذلك: ما عليك سوى إرجاع القيمة الصحيحة للكائنات المتكافئة ولكن غير المتساوية ، مرة أخرى عن طريق مقارنة الخصائص التي تشكل القيمة.

في حالة اللون ، تبدو علاقة التكافؤ كما يلي:

عندما يكون لديك علاقة تكافؤ فقط ولا توجد مساواة ، فلا يزال بإمكانك القيام بذلك. ثم يتم تضمين تعريف المساواة فقط في تنفيذ التكافؤ.


تُدرس الحلقات بشكل شائع من حيث وحداتها ، حيث يمكن النظر إلى الوحدات على أنها تمثيلات للحلقات. كل حلقة ص له طبيعة ص-بنية الوحدة على نفسها حيث يتم تعريف عمل الوحدة على أنه الضرب في الحلقة ، وبالتالي فإن النهج عبر الوحدات يكون أكثر عمومية ويعطي معلومات مفيدة. لهذا السبب ، غالبًا ما يدرس المرء حلقة من خلال دراسة فئة الوحدات فوق تلك الحلقة. يأخذ تكافؤ موريتا وجهة النظر هذه إلى نتيجة طبيعية من خلال تحديد الحلقات لتكون مكافئة لموريتا إذا كانت فئات وحداتها متساوية. هذه الفكرة مهمة فقط عند التعامل مع الحلقات غير التبادلية ، حيث يمكن إثبات أن حلقتين تبادليتين مكافئتان لموريتا إذا وفقط إذا كانتا متشابهتين.

حلقتين ص و س (الترابطية ، مع 1) يقال إنها (موريتا) ما يعادل إذا كان هناك تكافؤ لفئة الوحدات (اليسرى) أكثر ص, R-Mod، وفئة الوحدات (اليسرى) أكثر س, S-Mod. يمكن أن تظهر أن فئات الوحدة اليسرى R-Mod و S-Mod تكون متكافئة إذا وفقط إذا كانت فئات الوحدات الصحيحة وزارة الدفاع- R و وزارة الدفاع- S متكافئة. علاوة على ذلك يمكن أن يظهر أن أي functor من R-Mod ل S-Mod التي ينتج عنها معادلة مضافة تلقائيًا.

أي حلقتين متشابهتين هي مكافئة لموريتا.

خاتم ن-بواسطة-ن المصفوفات مع العناصر في ص، تدل على من(ص) ، تعادل موريتا ص لأي ن & GT 0. لاحظ أن هذا يعمم تصنيف الحلقات الارتينية البسيطة التي قدمتها نظرية أرتين ويديربورن. لرؤية التكافؤ ، لاحظ أنه إذا X هو اليسار ص-الوحدة بعد ذلك X ن هو حرف M.ن(ص) -الوحدة حيث يتم إعطاء بنية الوحدة عن طريق ضرب المصفوفة على يسار متجهات العمود من X. هذا يسمح بتعريف الممتلئ من فئة اليسار ص-الوحدات لفئة اليسار Mن(ص) -الوحدات. يتم تعريف الممر العكسي بإدراك ذلك لأي من(ص) -وحدة هناك يسار ص-وحدة X مثل أن من(ص) - يتم الحصول على الوحدة من X كما هو موضح أعلاه.

بشكل أكثر تحديدا ، حلقتان ص و س هي Morita مكافئة إذا وفقط إذا كان S ≅ End ⁡ (P R) (P_)> لوحدة أولية صص، [2] وهذا هو الحال إذا وفقط إذا

(تماثل الحلقات) لبعض الأعداد الصحيحة الإيجابية ن وكامل طاقته ه في حلقة المصفوفة M.ن(ص).

ومن المعروف أنه إذا ص تعادل موريتا سثم الحلقة C (ص) متماثل للحلقة C (س) ، حيث تشير C (-) إلى مركز الحلقة ، علاوة على ذلك ص/ي(ص) يساوي موريتا س/ي(س)، أين ي(-) يدل على راديكالية جاكوبسون.

في حين أن الحلقات المتشابهة مكافئة لموريتا ، يمكن أن تكون الحلقات المكافئة لموريتا غير متشابهة. مثال سهل هو أن حلقة القسمة د تعادل موريتا جميع حلقات المصفوفة من(د) ، ولكن لا يمكن أن يكون متشابهًا عندما ن & gt 1. في الحالة الخاصة للحلقات التبادلية ، تكون الحلقات المكافئة لموريتا في الواقع متشابهة. هذا يتبع مباشرة من التعليق أعلاه ، إذا ص تعادل موريتا س، R = C ⁡ (R) ≅ C ⁡ (S) = S (R) cong operatorname (S) = S>.

يتم الاحتفاظ بالعديد من الخصائص بواسطة عامل التكافؤ للكائنات في فئة الوحدة النمطية. بشكل عام ، فإن أي خاصية للوحدات النمطية محددة بحتة من حيث الوحدات النمطية وتماثلها (وليس العناصر الأساسية أو الحلقة) هي الملكية الفئوية والتي سيتم الحفاظ عليها بواسطة عامل التكافؤ. على سبيل المثال ، إذا F(-) هو عامل التكافؤ من R-Mod ل S-Mod، ثم ص وحدة م له أي من الخصائص التالية إذا وفقط إذا كان س وحدة F(م) هل: حقنة ، إسقاطية ، مسطحة ، مخلصة ، بسيطة ، شبه بسيطة ، متكونة بشكل نهائي ، مقدمة بشكل نهائي ، Artinian ، و Noetherian. تتضمن الأمثلة على الخصائص التي لم يتم الحفاظ عليها بالضرورة أن تكون مجانية ، وكونها دورية.

يتم ذكر العديد من الخصائص النظرية للحلقة من حيث وحداتها ، وبالتالي يتم الحفاظ على هذه الخصائص بين حلقات Morita المكافئة. تسمى الخصائص المشتركة بين الحلقات المتكافئة ثابت موريتا الخصائص. على سبيل المثال ، خاتم ص يكون شبه بسيط إذا وفقط إذا كانت جميع وحداته شبه بسيطة ، وبما أنه يتم الاحتفاظ بالوحدات شبه البسيطة تحت تكافؤ موريتا ، فإن حلقة مكافئة س يجب أن تحتوي أيضًا على جميع وحداتها شبه البسيطة ، وبالتالي تكون حلقة شبه بسيطة بحد ذاتها.

في بعض الأحيان لا يكون من الواضح على الفور لماذا يجب الحفاظ على الممتلكات. على سبيل المثال ، استخدام تعريف قياسي واحد للحلقة العادية فون نيومان (للجميع أ في ص، يوجد x في ص مثل ذلك أ = أكسا) ليس من الواضح ما إذا كانت الحلقة المكافئة يجب أن تكون منتظمة من فون نيومان. ومع ذلك ، هناك صيغة أخرى هي: الحلقة تكون منتظمة من فون نيومان إذا وفقط إذا كانت جميع وحداتها مسطحة. نظرًا لأنه يتم الحفاظ على التسطيح عبر معادلة موريتا ، فمن الواضح الآن أن انتظام فون نيومان هو موريتا ثابتًا.

الخصائص التالية هي موريتا ثابتة:

    ، semisimple
  • يمين (أو يسار) نويثيري ، يمين (أو يسار) ارتيني
  • حق (أو يسار) حقنة ذاتية ، يمين (أو يسار) بدائي ، شبه جرمي ، شبه أساسي
  • اليمين (أو اليسار) (شبه) وراثي
  • يمين (أو يسار) nonsingular
  • يمين (أو يسار) متماسك ، يمين (أو يسار) مثالي ، شبه كامل

أمثلة على الخصائص التي ليس يشمل ثابت Morita التبادلي ، والمحلي ، والمختصر ، والمجال ، واليمين (أو الأيسر) Goldie ، و Frobenius ، ورقم الأساس الثابت ، و Dedekind محدود

يوجد اختباران آخران على الأقل لتحديد ما إذا كانت خاصية الحلقة P >> هو موريتا ثابت. عنصر ه في الخاتم ص هو كامل العاطفة متي ه 2 = ه و ReR = ص.

المزدوج لنظرية التكافؤ هو نظرية الثنائيات بين فئات الوحدة ، حيث تكون الدوافع المستخدمة متناقضة وليست متغيرة. هذه النظرية ، على الرغم من تشابهها في الشكل ، لها اختلافات كبيرة لأنه لا توجد ازدواجية بين فئات الوحدات لأي حلقات ، على الرغم من وجود ثنائيات للفئات الفرعية. بمعنى آخر ، لأن وحدات الأبعاد اللانهائية [ التوضيح المطلوب ] ليست انعكاسية بشكل عام ، فإن نظرية الثنائيات تنطبق بسهولة أكبر على الجبر المحدود على الحلقات noetherian. ربما ليس من المستغرب أن يكون للمعيار أعلاه نظير للثنائيات ، حيث يُعطى التماثل الطبيعي من حيث المتغير المنزلي بدلاً من الممول الموتر.

يمكن أيضًا تعريف تكافؤ موريتا في مواقف أكثر تنظيماً ، مثل المجموعات المتعاطفة و C * الجبر. في حالة C * -algebras ، يسمى تكافؤ النوع الأقوى معادلة موريتا القوية، مطلوب للحصول على نتائج مفيدة في التطبيقات ، بسبب البنية الإضافية للجبر C * (قادمة من التشغيل اللاإرادي *) وأيضًا لأن C * -الجبر لا تحتوي بالضرورة على عنصر هوية.

إذا كانت الحلقتان مكافئتان لموريتا ، فهناك تكافؤ مستحث للفئات ذات الصلة من الوحدات الإسقاطية لأن معادلات موريتا ستحافظ على التسلسلات الدقيقة (وبالتالي الوحدات الإسقاطية). نظرًا لأن النظرية الجبرية K للحلقة يتم تعريفها (في نهج Quillen) من حيث مجموعات homotopy (تقريبًا) لمساحة التصنيف لعصب الفئة (الصغيرة) للوحدات الإسقاطية المتولدة بشكل نهائي فوق الحلقة ، فإن حلقات Morita المكافئة يجب أن يكون لديك مجموعات متشابهة K.


في الرياضيات ، علاقة التكافؤ هي علاقة ثنائية بين عنصرين من مجموعة تجمعهما معًا على أنهما "مكافئان" بطريقة ما. لنفترض أن (أ) و (ب) و (ج) عناصر اعتباطية في مجموعة ما س

تشير "b" أو "a ≡ b" إلى أن a تعادل b.

علاقة التكافؤ "

"انعكاسي ومتماثل ومتعدد.

بمعنى آخر ، = هو مجرد مثال لعلاقة التكافؤ.

يحرر: هذه المعايير التي تبدو بسيطة لكونها انعكاسية ومتماثلة ومتعدية ليست دائمًا تافهة. انظر Bloch's Effective Java 2nd ed p. 35 على سبيل المثال ،

يكسر تطبيق يساوي أعلاه التناظر لأن CaseInsensitiveString تعرف شيئًا عن فئة String ، لكن فئة String لا تعرف شيئًا عن CaseInsensitiveString.

أنا أعتبر سؤالك حول تدوين الرياضيات بدلاً من البرمجة. يمكن كتابة علامة المساواة الثلاثية التي تشير إليها & ampequiv بتنسيق HTML أو equiv في LaTeX.

يعني a & equiv b الأكثر شيوعًا "يتم تعريف a على أنه b" أو "دع a يكون مساويًا لـ b".

إليك جدول معادل سهل الاستخدام:

(الإجابات الأخرى حول علاقات التكافؤ صحيحة أيضًا ولكن لا أعتقد أنها شائعة. هناك أيضًا a & equiv b (mod m) والتي تُنطق "a تتطابق مع b ، mod m" وفي لغة المبرمج سيتم التعبير عنها مثل mod (a، m) == mod (b، m). وبعبارة أخرى ، a و b متساويان بعد التعديل بواسطة m.)

تميز الكثير من اللغات بين المساواة في الأشياء والمساواة في قيم تلك الأشياء.

لدى روبي على سبيل المثال ثلاث طرق مختلفة لاختبار المساواة. الأول ، يساوي؟ ، يقارن متغيرين لمعرفة ما إذا كانا يشيران إلى نفس الحالة. هذا مكافئ في لغة C-style لإجراء فحص لمعرفة ما إذا كان هناك مؤشرين يشيران إلى نفس العنوان. الطريقة الثانية ، == ، تختبر المساواة في القيمة. إذن 3 == 3.0 سيكون صحيحًا في هذه الحالة. الثالث ، eql؟ ، يقارن بين كل من القيمة ونوع الفئة.

لدى Lisp أيضًا مفاهيم مختلفة عن المساواة اعتمادًا على ما تحاول اختباره.

في اللغات التي رأيت أنها تفرق بين المساواة والتكافؤ ، عادةً ما تعني المساواة النوع و القيمة هي نفسها بينما التكافؤ يعني أن القيم فقط هي نفسها. فمثلا:

أنا و د سيكون لهما علاقة تكافؤ حيث أنهما يمثلان نفس القيمة ولكن لا يمثلان المساواة لأن لهما أنواع مختلفة. قد تحتوي اللغات الأخرى على أفكار مختلفة عن التكافؤ (مثل ما إذا كان متغيرين يمثلان نفس الشيء).

الإجابات أعلاه صحيحة / صحيحة جزئيًا لكنها لا توضح الفرق بالضبط. في علم الكمبيوتر النظري (وربما في فروع أخرى من الرياضيات) يتعلق الأمر بالقياس الكمي على المتغيرات الحرة للمعادلة المنطقية (أي عندما نستخدم الترميزين في وقت واحد).

بالنسبة لي ، فإن أفضل الطرق لفهم الاختلاف هي:

حسب التعريف
أ ≡ ب
يعني
لجميع القيم الممكنة للمتغيرات الحرة في A و B ، A = B

على سبيل المثال
س = 2 س
iff (في الواقع iff هو نفسه ≡)
س = 0

س ≡ 2x
iff (لأنه ليس كذلك أن x = 2x لجميع القيم الممكنة لـ x)
خاطئة

شيء آخر جاء إلى رأسي هو تعريفات الاثنين.

يتم تعريف A = B على أنه A & lt = B و A> = B ، حيث & lt = (أصغر يساوي ، لا يعني ضمنيًا) يمكن أن يكون أي علاقة ترتيب

يتم تعريف A ≡ B على أنه A & lt => B (iff ، فقط إذا كان يشير إلى كلا الجانبين) ، تجدر الإشارة إلى أن الضمني هو أيضًا علاقة ترتيب وبالتالي فمن الممكن (ولكن أقل دقة وغالبًا ما يكون محيرًا) استخدام = بدلاً من ذلك من ≡.

أعتقد أن الاستنتاج هو أنه عندما ترى = ، يجب عليك معرفة نية المؤلفين بناءً على السياق.

خذها خارج عالم البرمجة.

(31) متساو - (له نفس الكمية أو القيمة أو المقياس مثل الآخر "بشروط متساوية" "كل الرجال متساوون أمام القانون")

equivalent, tantamount -- (being essentially equal to something "it was as good as gold" "a wish that was equivalent to a command" "his statement was tantamount to an admission of guilt"

At least in my dictionary, 'equivelance' means its a good-enough subsitute for the original, but not necessarily identical, and likewise 'equality' conveys complete identical.

( Some people use &asymp to represent nonidentical values instead )

The difference resides above all in the level at which the two concepts are introduced. '≡' is a symbol of formal logic where, given two propositions a and b, a ≡ b means (a => b AND b => a).

'=' is instead the typical example of an equivalence relation on a set, and presumes at least a theory of sets. When one defines a particular set, usually he provides it with a suitable notion of equality, which comes in the form of an equivalence relation and uses the symbol '='. For example, when you define the set Q of the rational numbers, you define equality a/b = c/d (where a/b and c/d are rational) if and only if ad = bc (where ad and bc are integers, the notion of equality for integers having already been defined elsewhere).

Sometimes you will find the informal notation f(x) ≡ g(x), where f and g are functions: It means that f and g have the same domain and that f(x) = g(x) for each x in such domain (this is again an equivalence relation). Finally, sometimes you find ≡ (or


A User-Friendly Theory

In order to translate infinity categories into objects that could do real mathematical work, Lurie had to prove theorems about them. And to do that, he had to choose a landscape in which to create those proofs, just as someone doing geometry has to choose a coordinate system in which to work. Mathematicians refer to this as choosing a model.

Lurie developed infinity categories in the model of quasi-categories. Other mathematicians had previously developed infinity categories in different models. While those efforts were far less comprehensive than Lurie’s, they’re easier to work with in some situations. “Jacob picked a model and checked that everything worked in that model, but often that’s not the easiest model to work in,” Zakharevich said.

In geometry, mathematicians understand exactly how to move between coordinate systems. They’ve also proved that theorems proved in one setting work in the others.

With infinity categories, there are no such guarantees. Yet when mathematicians write papers using infinity categories, they often move breezily between models, assuming (but not proving) that their results carry over. “People don’t specify what they’re doing, and they switch between all these different models and say, ‘Oh, it’s all the same,’” Haine said. “But that’s not a proof.”

For the past six years, a pair of mathematicians have been trying to make those guarantees. Riehl and Dominic Verity, of Macquarie University in Australia, have been developing a way of describing infinity categories that moves beyond the difficulties created in previous model-specific frameworks. Their work, which builds on previous work by Barwick and others, has proved that many of the theorems in Higher Topos Theory hold regardless of which model you apply them in. They prove this compatibility in a fitting way: “We’re studying infinity categories whose objects are themselves these infinity categories,” Riehl said. “Category theory is kind of eating itself here.”

Riehl and Verity hope to move infinity category theory forward in another way as well. They’re specifying aspects of infinity category theory that work regardless of the model you’re in. This “model-independent” presentation has a plug-and-play quality that they hope will invite mathematicians into the field who might have been staying away while Higher Topos Theory was the only way in.

“There’s a moat you have to get across to get into this world,” Hopkins said, “and they are lowering the drawbridge.”

Riehl and Verity expect to finish their work next year. Meanwhile, Lurie has recently started a project called Kerodon that he intends as a Wikipedia-style textbook for higher category theory. Thirteen years after Higher Topos Theory formalized the mathematics of equivalence, these new initiatives are an attempt to refine and promote the ideas — to make the mathematics of equivalence more universally accessible.

“Genius has an important role in developing mathematics, but actually the knowledge itself is the result of the activity of a community,” Joyal said. “It’s the real goal of knowledge to become the knowledge of the community, not the knowledge of one or two persons.”


شاهد الفيديو: الكسر في أبسط صورة صفحة -الصف الخامس - الفصل الدراسي الثاني (شهر اكتوبر 2021).