مقالات

72: مقدمة في حساب الأعداد المركبة - الرياضيات


72: مقدمة في حساب الأعداد المركبة - الرياضيات

القسم أ -3. العمليات الحسابية للأرقام المعقدة

أي من الأشكال المذكورة أعلاه لـ C في Eq. (A-1) هو الأفضل للاستخدام؟ يعتمد ذلك على العملية الحسابية التي نريد إجراؤها. على سبيل المثال ، إذا قمنا بإضافة رقمين مركبين ، فإن الشكل المستطيل في المعادلة. (A-1) هو أسهل استخدام. إضافة عددين مركبين ، C1 = R1 + jI1 و C2 = R2 + jI2 ، هي مجرد مجموع الأجزاء الحقيقية زائد j مضروبة في مجموع الأجزاء التخيلية

الشكل أ -3 هو تصوير رسومي لمجموع رقمين مركبين باستخدام مفهوم الطور. هنا يكون مجموع الطور C1 + C2 في الشكل أ -3 (أ) هو الطور الجديد من بداية الطور C1 إلى نهاية الطور C2 في الشكل أ -3 (ب). تذكر أن Rs و Is يمكن أن تكون أرقام موجبة أو سالبة. يعد طرح رقم مركب واحد من الآخر أمرًا مباشرًا طالما وجدنا الفروق بين الجزأين الحقيقيين والجزءين التخيليين بشكل منفصل. هكذا

المعادلة A-11

الشكل أ -3. التمثيل الهندسي لمجموع رقمين مركبين.

تمت مناقشة مثال على إضافة الأرقام المعقدة في القسم 11.3 ، حيث غطينا موضوع متوسط ​​مخرجات تحويل فورييه السريع.

أ / ٣/٢ ضرب الأعداد المركبة

يمكننا استخدام الصيغة المستطيلة لضرب عددين مركبين

المعادلة A-12

ومع ذلك ، إذا مثلنا العددين المركبين في الصورة الأسية ، فإن حاصل ضربهما يتخذ الشكل الأبسط

المعادلة A-13

لأن الضرب ينتج عنه جمع الأسس.

كحالة خاصة لضرب رقمين مركبين ، فإن القياس هو ضرب رقم مركب في رقم مركب آخر يكون الجزء التخيلي فيه صفرًا. يمكننا استخدام الصيغ المستطيلة أو الأسية بنفس السهولة كما يلي:

المعادلة A-14

المعادلة A-15

أ / 3/3 اقتران رقم مركب

يتم الحصول على الاقتران المعقد لعدد مركب بمجرد تغيير علامة الجزء التخيلي للعدد & # 39. لذلك ، إذا أشرنا إلى C * على أنها اقتران معقد للرقم C = R + jI = Mej & oslash ، فسيتم التعبير عن C * على النحو التالي

المعادلة A-16

هناك نوعان من خصائص الاتحادات التي تكون في متناول اليد في بعض الأحيان. أولاً ، اتحاد المنتج يساوي حاصل ضرب الاتحادات. هذا هو ، إذا كان C = C1C2 ، ثم من Eq. (أ -13) ،

المعادلة A-17

ثانيًا ، حاصل ضرب العدد المركب ومرافقه هو العدد المركب & # 39s الحجم التربيعي. من السهل إظهار هذا في شكل أسي مثل

المعادلة A-18

(غالبًا ما تُستخدم هذه الخاصية في معالجة الإشارات الرقمية لتحديد القوة النسبية للطور الجيبي المعقد الذي يمثله Mejwt.)

أ / 3/4 قسمة الأعداد المركبة

يعد قسمة عددين مركبين أمرًا مناسبًا أيضًا باستخدام الأشكال الأسية والحجم والزاوية ، مثل

المعادلة A-19

المعادلة A-19 & # 39

على الرغم من أنه ليس مفيدًا تقريبًا ، يمكننا إجراء عملية قسمة معقدة في تدوين المستطيل بضرب البسط والمقام في الاتحاد المركب للمقام

المعادلة A-20

أ / / ٣/٥ معكوس رقم مركب

شكل خاص من أشكال القسمة هو معكوس أو مقلوب للعدد المركب. إذا كان C = Mej & oslash ، يتم إعطاء معكوسها بواسطة

المعادلة A-21

في الشكل المستطيل ، يُعطى معكوس C = R + jI بواسطة

المعادلة A-22

نحصل على Eq. (A-22) بالتعويض عن R1 = 1 ، I1 = 0 ، R2 = R ، و I2 = I في المعادل. (أ -20).

A.3.6 الأعداد المركبة المرفوعة إلى قوة

يمكن بسهولة رفع رقم مركب إلى قوة ما في الشكل الأسي. إذا كان C = Mej & oslash ، إذن

المعادلة A-23

على سبيل المثال ، إذا كانت C = 3ej125 & deg ، فإن C تكعيب تساوي

المعادلة A-24

نختتم هذا الملحق بأربع عمليات حسابية معقدة ليست شائعة جدًا في معالجة الإشارات الرقمية و [مدش] ولكن قد تحتاج إليها في وقت ما.

أ / / ٧ / جذور العدد المركب

الجذر k لعدد مركب C هو الرقم الذي ينتج عن ضربه في نفسه k مرات. والصيغة الأسية لـ C هي أفضل طريقة لاستكشاف هذه العملية. عندما يتم تمثيل رقم مركب بواسطة C = Mej & oslash ، تذكر أنه يمكن أيضًا تمثيله بواسطة

المعادلة A-25

في هذه الحالة ، المتغير & oslash في Eq. (A-25) بالدرجات. توجد جذور k مميزة عندما نجد الجذر k لـ C. بشكل مميز ، فإننا نعني الجذور التي يكون الأسس فيها أقل من 360 درجة. نجد تلك الجذور باستخدام ما يلي:

المعادلة A-26

بعد ذلك ، نقوم بتعيين القيم 0 ، 1 ، 2 ، 3 ،. . .، k & ndash1 إلى n في المعادلة.، k & ndash1 to n in Eq. (A-26) للحصول على جذور k لـ C. حسنًا ، نحتاج إلى مثال هنا! لنفترض أننا نبحث عن الجذر المكعب (الثالث) لـ C = 125ej (75 & deg). نمضي على النحو التالي:

المعادلة A-27

بعد ذلك نقوم بتعيين القيم n = 0 و n = 1 و n = 2 إلى Eq. (A-27) للحصول على الجذور الثلاثة لـ C. لذا فإن الجذور الثلاثة المتميزة هي

أ / 3/8 اللوغاريتمات الطبيعية لعدد مركب

يعتبر أخذ اللوغاريتم الطبيعي للعدد المركب C = Mej & oslash مباشرًا باستخدام التدوين الأسي الذي هو

المعادلة A-28

حيث 0 & oslash & lt 2p. على سبيل المثال ، إذا كانت C = 12ejp / 4 ، فإن اللوغاريتم الطبيعي لـ C هو

المعادلة A-29

هذا يعني أن e (2.485 + j0.785) = e2.485 & middot ej0.785 = 12ejp / 4.

أ / 9/9 لوغاريتم لأساس 10 لرقم مركب

يمكننا حساب اللوغاريتم الأساسي 10 للرقم المركب C = Mej & oslash باستخدام

المعادلة A-30

بالطبع e هو الرقم غير النسبي ، والذي يساوي تقريبًا 2.71828 ، والذي يساوي سجله إلى الأساس 10 تقريبًا 0.43429. مع وضع ذلك في الاعتبار ، يمكننا تبسيط المعادلة. (A-30) مثل

المعادلة A-31

كرر المثال أعلاه مع C = 12ejp / 4 وباستخدام المعادل. (A-31) بالتقريب ، لوغاريتم الأساس 10 لـ C هو

للمدة الثانية من النتيجة في المعادلة. (A-30) استخدمنا loga (xn) = n & middotlogax وفقًا لقانون اللوغاريتمات.

المعادلة A-32

النتيجة من Eq. (A-32) تعني ذلك

المعادلة A-33

A.3.10 سجل إلى الأساس 10 لرقم مركب باستخدام اللوغاريتمات الطبيعية

لسوء الحظ ، لا تحتوي بعض حزم برامج الرياضيات على دالة لوغاريتمية أساسية 10 ويمكنها حساب اللوغاريتمات الطبيعية فقط. في هذه الحالة ، نستخدم فقط

المعادلة A-34

لحساب لوغاريتم x للأساس 10. باستخدام هذا التغيير في الصيغة الأساسية ، يمكننا إيجاد لوغاريتم الأساس 10 لرقم مركب C = Mej & oslash أي ،

المعادلة A-35

نظرًا لأن log10 (e) يساوي تقريبًا 0.43429 ، فإننا نستخدم المعادل. (أ - 35) أن يذكر ذلك

المعادلة A-36

كرر ، مرة أخرى ، المثال أعلاه لـ C = 12ejp / 4 ، المعادل. (A-36) يسمح لنا التقريب بأخذ لوغاريتم C الأساسي 10 باستخدام اللوغاريتمات الطبيعية


أمثلة

في وقت سابق ، سئلت عن كيفية التفكير في القيمة المطلقة لعدد مركب. هناك طريقة جيدة للتفكير في القيمة المطلقة لجميع الأرقام وهي تعريفها على أنها المسافة من رقم إلى صفر. في حالة الأعداد المركبة حيث الرقم الفردي هو في الواقع إحداثي على مستوى ، الصفر هو الأصل.

احسب القوة التالية يدويًا واستخدم الآلة الحاسبة لدعم عملك.

(( sqrt <3> +2 i) cdot ( sqrt <3> +2 i) cdot ( sqrt <3> +2 i) )

يمكن تحويل TI-84 إلى الوضع التخيلي ثم حساب ما فعلته للتو بالضبط. لاحظ أن الآلة الحاسبة ستعطي تقريبًا عشريًا لـ (- 9 sqrt <3> ).

بسّط التعبير المعقد التالي.

لإضافة الكسور ، عليك إيجاد المقام المشترك.

أخيرًا ، احذف المكون التخيلي من المقام باستخدام المرافق.

بسّط العدد المركب التالي.

عند تبسيط الأعداد المركبة ، يجب ألا يكون (i ) قوة أكبر من 1. تتكرر صلاحيات (i ) في دورة من أربعة أجزاء:

لذلك ، ما عليك سوى تحديد مكان عام 2013 في هذه الدورة. للقيام بذلك ، حدد الباقي عند قسمة 2013 على 4. الباقي هو 1 لذا (i ^ <2013> = i ).

ارسم الرقم المركب التالي على المستوى الإحداثي المعقد وحدد قيمته المطلقة.

أضلاع المثلث القائم الزاوية هي 5 و (12، ) والتي يجب أن تعرفها على أنها فيثاغورس

ثلاثية بوتر 13. (| -12 + 5 أنا | = 13 ).

بسّط الأعداد المركبة التالية.

لكل مما يلي ، ارسم الرقم المركب على مستوى الإحداثيات المعقدة و


خلفية عن الأعداد المركبة

استنادًا إلى السرد في Cut-the-Knot ، أقدم لطلابي تاريخًا موجزًا ​​لنظام الأرقام الذي نستخدمه حاليًا. أرسم مخططًا على السبورة مثل مخطط Venn للأرقام المركبة لدعم المناقشة. عند تقديم القصة ، أؤكد أن الأسماء التي أُعطيت لمجموعات مختلفة من الأرقام تشير إلى الشكوك التي أحاطت بفائدتها. أعتقد أن هذا يساعد طلابي في التغلب على شكوكهم حول فائدة الأرقام الخيالية.

لا يمتلك طلابي خلفية رياضية كافية حتى الآن لفهم فائدة الأعداد المركبة حقًا ، لكني أحاول منحهم بعض الحدس بأن الأعداد المركبة مفيدة في تمثيل الكميات التي تتكون من جزأين. على سبيل المثال ، في برنامج كمبيوتر بسيط ، قد تؤدي إضافة رقم مركب إلى تحريك كائن إلى اليمين وإلى الأعلى في نفس الوقت. وبالمثل أخبر طلابي أنه نظرًا لأن العمليات ذات الأرقام المركبة لها استخدامات في الرسوم المتحركة بالكمبيوتر ونظرية الموجات وميكانيكا الكم والكهرباء ومجالات أخرى ، فإننا نتعلم أساسيات هذه العمليات في الجبر 2 [MP4].


لا يوفر Groovy أي تسهيلات مدمجة للحسابات المعقدة. ومع ذلك ، فإنه يدعم العمليات الحسابية التحميل الزائد. وبالتالي ، ليس من الصعب جدًا إنشاء فئة أرقام معقدة قوية وكاملة وبديهية ، مثل ما يلي:

ما يلي مجمع فئة تسمح بتعديل العادية عدد السلوك عند التفاعل معها مركب.

لاحظ أيضًا أن هذا الحل يستفيد من دعم Groovy الكامل Unicode ، بما في ذلك دعم الحروف الهجائية غير الإنجليزية المستخدمة في المعرفات.

برنامج الاختبار (يمزج أساليب ComplexCategory في فئة Number):


الحساب مع الأعداد المركبة

مرحبًا ، أنا جديد في Java ، لقد حاولت & # x27ve ولكن هذا هو المكان الذي أكون فيه عالقًا. سأكون ممتنًا حقًا إذا كنت تستطيع مساعدتي في هذا الأمر! أنا أقوم ببناء مشروع ، سيكون هذا مرجعًا في المستقبل إذا اتصلت يومًا بمشكلة تتعلق بالحساب. شكرا لكم مقدما.

قم بإنشاء فئة تسمى معقدة لإجراء العمليات الحسابية بأرقام مركبة. الأعداد المركبة لها الشكل

realPart + imaginaryPart * i

أين أنا هو الجذر التربيعي لـ -1

استخدم متغيرات الفاصلة العائمة لتمثيل البيانات الخاصة للفصل. قم بتوفير مُنشئ يتيح تهيئة كائن من هذه الفئة عند التصريح عنه.

قم بإنشاء كائنين مركبين بقيمة (9.5 ، 7.7) و (1.2 ، 3.1).

قم بتوفير مُنشئ بدون وسيطة بقيم افتراضية في حالة عدم توفير مُهيئ. توفير طرق عامة لإجراء العمليات التالية:

أ) أضف رقمين مركبين: تُجمع الأجزاء الحقيقية معًا وتُجمع الأجزاء التخيلية معًا. لذا ، إذا كان لدينا (a + bi) + (c + di)) ، فيجب أن تكون النتيجة (a + c) + (b + d) i.

ب) اطرح رقمين مركبين: يتم طرح الجزء الحقيقي من المعامل الأيمن من الجزء الحقيقي من المعامل الأيسر ، ويتم طرح الجزء التخيلي من المعامل الأيمن من الجزء التخيلي من المعامل الأيسر. لذلك ، إذا كان لدينا (a + bi) - (c + di)) ، فيجب أن تكون النتيجة (a - c) + (b - d) i.

ج) اضرب رقمين مركبين: الجزء الحقيقي من النتيجة هو الجزء الحقيقي من المعامل الأيمن ، ويضرب الجزء الحقيقي من المعامل الأيسر مطروحًا منه الجزء التخيلي من المعامل الأيمن ، ثم يضرب الجزء التخيلي من المعامل الأيسر. الجزء التخيلي من النتيجة هو الجزء الحقيقي من المعامل الأيسر وضرب الجزء التخيلي من المعامل الأيسر بالإضافة إلى الجزء التخيلي من المعامل الأيسر وضرب الجزء الحقيقي من المعامل الأيمن. لذلك ، إذا كان لدينا (a + bi) * (c + di)) ، فيجب أن تكون النتيجة (ac - bd) + (ad + bc) i.

د) القسمة على رقمين مركبين: نحدد قيمة الجزء الحقيقي المربع من المقام زائد الجزء التخيلي المربع للمقام هو أ. الجزء الحقيقي من النتيجة هو أن الجزء الحقيقي من البسط يضرب الجزء الحقيقي من المقام بالإضافة إلى الجزء التخيلي من البسط يضرب الجزء التخيلي من المقام ويقسم على A. الجزء التخيلي من النتيجة هو الجزء الحقيقي من المعامل الأيسر ويضرب الجزء التخيلي من المعامل الأيسر بالإضافة إلى الجزء التخيلي من المعامل الأيسر ويضرب الحقيقي جزء من المعامل الصحيح. لذلك ، إذا كان لدينا (a + bi) / (c + di)) ، يجب أن تكون النتيجة (ac + bd) + i (bc-ad)) / (c2 + d2).

هـ) قم بطباعة الأرقام المركبة في النموذج (أ ، ب) ، حيث يمثل أ الجزء الحقيقي ، ويمثل ب الجزء التخيلي.


القسم أ -2. التمثيل الحسابي للأرقام المعقدة

تذكرنا المعادلات (A-1 & # 39 & # 39) و (A-1 & # 39 & # 39 & # 39) بأن الرقم المركب C يمكن أيضًا اعتباره طرف طور على المستوى المركب ، مع الحجم M ، في الاتجاه & oslash بالنسبة للمحور الحقيقي الموجب كما هو موضح في الشكل أ -2. (نتجنب تسمية Phaseor M بالمتجه لأن مصطلح المتجه يعني أشياء مختلفة في سياقات مختلفة. في الجبر الخطي ، المتجه هو المصطلح المستخدم للدلالة على مصفوفة أحادية البعد. من ناحية أخرى ، في الهندسة الميكانيكية ونظرية المجال ، يتم استخدام المتجهات للدلالة على الأحجام والاتجاهات ، ولكن هناك عمليات متجه (منتج رقمي أو نقطي ، وناقل أو منتج متقاطع) لا تنطبق على تعريفنا للمطور.) العلاقات بين المتغيرات في هذا الشكل تتبع علم المثلثات القياسي للمثلثات القائمة. ضع في اعتبارك أن C عدد مركب ، والمتغيرات R و I و M و & oslash كلها أرقام حقيقية. مقدار C ، يسمى أحيانًا مقياس C ، هو

المعادلة أ -2

وبحكم التعريف ، فإن زاوية الطور أو الوسيطة لـ C هي قوس ظل الزاوية لـ I / R ، أو

المعادلة أ -3

المتغير & oslash في Eq. (أ -3) مصطلح زاوية عام. يمكن أن يكون لها أبعاد درجات أو راديان. بالطبع ، يمكننا التحويل ذهابًا وإيابًا بين الدرجات والراديان باستخدام p راديان = 180 درجة. لذا ، إذا كانت & oslashr بالتقدير الدائري و & oslashd بالدرجات ، فيمكننا تحويل & oslashr إلى درجات بالتعبير

المعادلة A-4

وبالمثل ، يمكننا تحويل & oslashd إلى راديان بالتعبير

المعادلة A-5

الشكل الأسي للعدد المركب له خاصية مثيرة للاهتمام يجب أن نضعها في الاعتبار. في حين أن تعبيرًا واحدًا فقط في شكل مستطيل يمكنه وصف رقم مركب واحد ، يمكن لعدد لا حصر له من التعبيرات الأسية أن يصف رقمًا مركبًا واحدًا ، بينما في الشكل الأسي ، يمكن تمثيل الرقم المركب C بواسطة C = Mej & oslash ، يمكن أيضًا تمثيلها بواسطة

المعادلة A-6

حيث n = & plusmn1، & plusmn2، & plusmn3،. . . و & oslash بالتقدير الدائري. عندما & oslash بالدرجات ، مكافئ. (A-6) في النموذج

المعادلة A-7

تكاد المعادلات (A-6) و (A-7) لا تحتاج إلى تفسير. تشير إلى أن النقطة الموجودة على المستوى المعقد التي يمثلها طرف الطور C تظل دون تغيير إذا قمنا بتدوير الطور بعض المضاعفات المتكاملة لـ 2p راديان أو مضاعف متكامل لـ 360 درجة. لذلك ، على سبيل المثال ، إذا كان C = Mej (20 & deg) ، إذن

المعادلة A-8

لا يلزم أن يكون المتغير & oslash ، زاوية الطور في الشكل A-2 ، ثابتًا. غالبًا ما نواجه تعبيرات تحتوي على شكل جيبي معقد يأخذ الشكل

المعادلة A-9

تمثل المعادلة (A-9) طورًا بحجم M تتزايد زاويته في الشكل A-2 خطيًا بمرور الوقت بمعدل w راديان كل ثانية. إذا كانت w = 2p ، فإن الطور الموصوف بواسطة Eq. (A-9) يدور عكس اتجاه عقارب الساعة بمعدل 2p راديان في الثانية وثورة mdashone في الثانية و mdashone وهذا سبب تسمية w بالتردد الراديان. من حيث التردد ، مكافئ. (A-9) & # 39 s يدور الطور عكس اتجاه عقارب الساعة عند w = 2pf راديان في الثانية ، حيث f هو التردد الدوري بالدورات في الثانية (هرتز). إذا كان التردد الدوري f = 10 Hz ، فإن الجاسور يدور 20p راديان في الثانية. وبالمثل ، فإن التعبير

المعادلة A-9 & # 39

يمثل طورًا بحجم M يدور في اتجاه عقارب الساعة حول أصل المستوى المعقد بتردد راديان سالب قدره & ndashw راديان في الثانية.


الرياضيات (MATH)

قم بزيارة دليل النقل في كولومبيا البريطانية - bctransferguide.ca - للحصول على معلومات حول نقل الدورة التدريبية في بريتش كولومبيا.

سيقوم الطلاب بتطوير المهارات الحسابية والفهم المفاهيمي للجبر والوظائف والرسوم البيانية اللازمة للشروع في التفكير الرياضي الأكثر تقدمًا. سوف يدرسون المعادلات ، وعدم المساواة ، والرسوم البيانية ، والوظائف ، وعلم المثلثات للزاوية القائمة ، والتطبيقات لحل المشكلات.

المتطلبات الأساسية: المستوى E1 كما هو محدد في جدول البدائل الرياضية.

سيطور الطلاب الفهم المفاهيمي ومهارات الحساب التي ستوفر أساسًا متينًا لدراسة التفاضل والتكامل. سوف يدرسون الوظائف والرسوم البيانية وتطبيقاتها لحل المشكلات. على وجه الخصوص ، سوف يدرسون الدوال متعددة الحدود ، والعقلانية ، والأسية ، واللوغاريتمية ، والمثلثية. سوف يطورون قدرتهم على استخدام وفهم مفاهيم ولغة الرياضيات

المتطلبات الأساسية: المستوى C1 كما هو محدد في جدول البدائل الرياضية

سيقوم الطلاب بتلخيص البيانات وعرضها وإجراء استنتاجات حول النسب والوسائل والانحرافات المعيارية لمجموعة أو مجموعتين من السكان. سيقوم الطلاب بتلخيص البيانات وعرضها ، والعثور على فترات الثقة ، وإجراء اختبارات الفرضيات للنسب والوسائل والانحرافات المعيارية ، لمجموعة أو مجموعتين من السكان ، كبيرة وصغيرة. سيقومون أيضًا بإجراء تحليل الانحدار وتحديد الاحتمالات.

المتطلبات الأساسية: المستوى C1 كما هو محدد في جدول البدائل الرياضية

سيدرس الطلاب بنية الرياضيات وتطورها من وجهة نظر غير الرياضياتيين. سوف يدرسون المواد التاريخية حول تطور الأفكار الرياضية الكلاسيكية بالإضافة إلى تطور وهيكل الرياضيات الحديثة ، واكتساب تقدير للتفكير الرياضي التاريخي والمعاصر. هذه دورة استكشافية في الرياضيات للطلاب الذين لديهم الحد الأدنى من الخلفية الرياضية والذين تكمن اهتماماتهم الرئيسية خارج العلوم. يمكن استخدام هذه الدورة للوفاء جزئيًا بالمتطلبات الكمية لدرجة البكالوريوس. لا يجوز استخدامه كشرط أساسي لمزيد من دورات الرياضيات.

المتطلبات الأساسية: المستوى E1 كما هو محدد في جدول البدائل الرياضية

سيقوم الطلاب بدراسة المفاهيم والأساليب الجبرية ، والاستفادة منها بشكل عام وحل المشكلات البيئية. سوف يدرسون الهندسة الأساسية وعلم المثلثات ، بالإضافة إلى الوظائف (متعدد الحدود ، والعقلاني ، والأسي ، واللوغاريتمي).

المتطلبات الأساسية: المستوى E1 كما هو محدد في جدول البدائل الرياضية

سيتعلم الطلاب التفريق بين الوظائف الجبرية والابتدائية المتعالية وتطبيق هذه المهارات على الرسوم البيانية ، والحد الأقصى والحد الأدنى ، والمعدلات ذات الصلة ، والحركة المستقيمة. سيتم تعريفهم بالمنحنيات البارامترية وحسابهم التفاضلي. لا يجوز للطلاب الحاصلين على درجات في الرياضيات 1130 الالتحاق بهذه الدورة للحصول على درجات إضافية.

المتطلبات الأساسية: المستوى A1 كما هو محدد في جدول البدائل الرياضية

سيقوم الطلاب بدراسة التفاضل والتكامل وتطبيقاته في العلوم البيولوجية. على وجه الخصوص ، سوف يدرسون حدود وتمايز الدوال المتعالية الجبرية والأولية ، مع تطبيقات الرسوم البيانية والتحسين. لا يجوز للطلاب الحاصلين على درجات في الرياضيات 1120 أن يأخذوا الرياضيات 1130 للحصول على درجات إضافية.

المتطلبات الأساسية: المستوى B1 كما هو محدد في جدول البدائل الرياضية

سيقوم الطلاب بتطوير مهاراتهم في حل المشكلات الرياضية. سيقومون بدراسة المنطق المقترح والكمي وتطبيق هذه المعرفة لحل المشكلات وعلى نظرية المجموعة الأولية ، بما في ذلك العلاقات والوظائف.

المتطلبات الأساسية: المستوى C1 كما هو محدد في جدول البدائل الرياضية

سيقوم الطلاب بدراسة التمايز بين الدوال الجبرية والابتدائية المتعالية وتطبيق هذه المهارات على الرسوم البيانية ، وإيجاد الحدود القصوى والدنيا وحل المشكلات في الأعمال والاقتصاد والعلوم الاجتماعية. سيقوم الطلاب أيضًا بدراسة المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى والثانية

المتطلبات الأساسية: المستوى B1 كما هو محدد في جدول البدائل الرياضية

سيقوم الطلاب بحل أنظمة المعادلات الخطية ، ودراسة جبر المصفوفات ، والمحددات ، والقابلية للخصم ، والقيم الذاتية والمتجهات الذاتية ، والقابلية للقطر وأنظمة المعادلات التفاضلية العادية الخطية (ODE's). سوف يدرسون هندسة الفضاء الإقليدي ، والضربات النقطية والمتقاطعة ، وحساب الأعداد المركبة ، وأسي الأعداد المركبة ، والمستوى المركب. سيستخدم الطلاب نظام الجبر الحاسوبي لحل المشكلات في جبر المصفوفة.

المتطلبات الأساسية: واحد من: رياضيات 1120 ، أو 1130 (ج +) ، أو 1140 (ب-) ، أو 1230 ، أو 1240.

سيقوم الطلاب بدراسة نظرية وتطبيقات الحساب والهندسة وتحليل البيانات (الإحصاء). تم تصميم هذه الدورة للطلاب الذين يخططون لمهنة كمدرس مدرسة ابتدائية.

المتطلبات الأساسية: المستوى E1 كما هو محدد في جدول البدائل الرياضية ، و 9 ساعات معتمدة من الدورات على مستوى 1100 أو أعلى.

سيدرس الطلاب المبادئ والأساليب والتراكيب الرياضية المستخدمة في الفنون البصرية. سوف يدرسون الهندسة الإقليدية وغير الإقليدية ، والتماثل ، والإطارات في المستوى ، والهندسة الكسورية ، والمنظور. ملاحظة: لا يجوز استخدام هذه الدورة التدريبية كشرط أساسي لمزيد من دورات الرياضيات.

المتطلبات الأساسية: المستوى E1 كما هو محدد في جدول البدائل الرياضية.

سيتعلم الطلاب دمج الوظائف الجبرية والابتدائية المتعالية وتطبيق هذه المهارات على المشكلات المناسبة. بالإضافة إلى ذلك ، سوف يتعلمون النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل ، وحساب التفاضل والتكامل للمنحنيات البارامترية ، ومتعدد حدود تايلور ، والمتواليات والمتسلسلات والمعادلات التفاضلية البسيطة.

سيدرس الطلاب حساب التفاضل والتكامل المتكامل وتطبيقاته في العلوم البيولوجية. على وجه الخصوص ، سوف يدرسون تقنيات التكامل ، بما في ذلك التكامل بالأجزاء والكسور الجزئية المعادلات التفاضلية ، بما في ذلك أنظمة المعادلات التفاضلية الخطية والنماذج الرياضية في العلوم البيولوجية.

سيدرس الطلاب أنظمة المعادلات الخطية ، والمصفوفات ، والمحددات ، والقيم الذاتية ، والمتجهات الذاتية ، والمنتجات النقطية ، والمنتجات المتقاطعة ، وعملية جرام-شميدت ، والإسقاطات المتجهية والعدادية ، والخطوط والمستويات في الفضاء الإقليدي. سيقوم الطلاب أيضًا بدراسة مساحات المتجهات ، بما في ذلك المساحات العامة والمتجهات ، والاستقلالية الخطية ، والمجموعات الممتدة ، والقواعد ، والتحولات الخطية. سيقوم الطلاب بكتابة البراهين البسيطة.

المتطلبات الأساسية: واحد مما يلي: MATH 1120 (C) أو MATH 1130 (C +) أو MATH 1140 (B-) أو MATH 1220 (C) أو MATH 1230 (C) أو MATH 1240 (C)

سيقوم الطلاب بدراسة الاحتمالات التمهيدية والإحصاءات باستخدام خلفية حساب التفاضل والتكامل. سيقومون بدراسة المفاهيم بما في ذلك العشوائية ، والاحتمالية ، وتوزيعات الاحتمالات للمتغيرات العشوائية المنفصلة والمستمرة ، والإحصاءات الوصفية ، والتوزيعات متعددة المتغيرات ، وقوانين التوقع ، ووظائف المتغيرات العشوائية ، والاستدلال الإحصائي ، واختبار الفرضيات. ستشمل التوزيعات المدروسة التوزيعات ذات الحدين ، والطبيعي ، والهندسي ، والهندسي الفائق ، والأسي ، والتوزيعات البواسون.

المتطلبات الأساسية: واحد مما يلي: رياضيات 1220 ، 1230 ، رياضيات 1240

سوف يدرس الطلاب حساب التفاضل والتكامل من ثلاثة أبعاد. سوف يدرسون المتجهات والخطوط والمستويات والدوال الأسطوانية والأسطح المتجهة ، ومنحنيات الفضاء والحركة في الفضاء وحساب التفاضل والتكامل لوظائف عدة متغيرات. سيدرس الطلاب التحسين ، بما في ذلك مضاعفات لاغرانج. سوف يدرسون أنظمة إحداثيات مستطيلة ، قطبية ، أسطوانية وكروية. سيقوم الطلاب بدراسة المشكلات التطبيقية واستخدام نظام الجبر الحاسوبي.

المتطلبات الأساسية: رياضيات 1220 (ج) ، رياضيات 1230 (ج +) ، رياضيات 1240 (ب-)

سيقوم الطلاب بدراسة النظرية التي يقوم عليها حساب التفاضل والتكامل. على وجه الخصوص ، سوف يدرسون الأرقام الحقيقية ، وحدود التسلسل ، وحدود الوظائف ، والاستمرارية ، وسوف يتعلمون كيفية بناء البراهين التي تنطوي على هذه المفاهيم.

المتطلبات الأساسية: واحد من MATH 1220 أو MATH 1230 (C +) أو MATH 1240 (B-) أو MATH 2232

سيتعلم الطلاب التقنيات الإحصائية وتطبيقها في علوم الحياة. سيقومون بدراسة الإحصاء الوصفي ، والاحتمالية الأولية ، وتوزيعات الاحتمالات ، على وجه الخصوص ، التوزيعات ذات الحدين ، والعادي ، و t و chi-square ، وفترات الثقة واختبار الفرضيات للوسائل السكانية ، والنسب ، وكذلك الاختلافات في متوسطات السكان والنسب. سيدرس الطلاب أيضًا الانحدار الخطي واختبار خي مربع الجودة. لا يجوز للطلاب الحاصلين على درجات في الرياضيات 2341 الحصول على MATH 2335 للحصول على درجات إضافية.

سيتعلم الطلاب التقنيات الإحصائية وتطبيقها على الأعمال والاقتصاد. سيقومون بدراسة الإحصاء الوصفي ، الاحتمالية الأولية ، المتغيرات العشوائية ، توزيعات العينات ، الانحدار الخطي ، الارتباط ، التقدير واختبار الفرضيات. سيتعلمون أيضًا كيفية تطبيق البرامج الإحصائية على الإحصاء الوصفي والاستنتاجي. ستشمل التوزيعات المدروسة التوزيعات ذات الحدين ، والطبيعي ، وتوزيعات t- و chi-square. لا يجوز للطلاب الحاصلين على رصيد لـ MATH 2335 أن يأخذوا MATH 2341 للحصول على درجات إضافية.

المتطلبات الأساسية: المستوى C1 كما هو محدد في جدول البدائل الرياضية ، و 9 ساعات معتمدة من الدورات على مستوى 1100 أو أعلى.

سيدرس الطلاب التقنيات الأساسية للرياضيات المنفصلة ، بما في ذلك طرق المنطق ، والتفكير الرسمي ، والاستقراء ، والتكرار ، والعد ، والوظائف والعلاقات ، والحساب المعياري ، والهياكل مثل الرسوم البيانية والأشجار.

المتطلبات المسبقة: CPSC 1103 وواحد مما يلي: MATH 1120 أو MATH 1130 أو MATH 1140

سيستخدم الطلاب اختزال الصفوف لحل أنظمة المعادلات الخطية. سيقومون بدراسة الخوارزميات الخاصة بضرب المصفوفة ، والانعكاس ، والتبديل ، والمحددات ، والقيم الذاتية والمتجهات الذاتية ، والقطرية ، وتطبيق هذه المهارات على المشكلات العملية. سوف يدرسون هندسة الفضاء الإقليدي. سوف يدرسون الحساب ، الأسي واللوغاريتمات للأعداد المركبة ، ويستخدمونها لحل مجموعة متنوعة من المشاكل التطبيقية في الفيزياء والهندسة. سيستخدم الطلاب نظام الجبر الحاسوبي لحل المشكلات في جبر المصفوفة.

سوف يدرس الطلاب مبادئ حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات والمتجه. سوف يدرسون الأسطح ، والمشتقات الجزئية ، والتدرجات ، والتكاملات المتعددة في أنظمة الإحداثيات القطبية ، الأسطوانية ، والكروية. سيدرس الطلاب أيضًا مشتقات الدوال ذات القيمة المتجهية ، والعوامل التفاضلية ، وتكاملات الخط ، ونظرية جرين ، والتكاملات السطحية بما في ذلك نظريات التباعد وستوكس ، والمجالات المحافظة ، والإمكانيات ، مع التركيز على التطبيقات.

سيتعلم الطلاب مجموعة متنوعة من التقنيات والأساليب المفيدة في الرياضيات التطبيقية. سوف يدرسون دالة جاما والوظائف المثلثية الزائدية. سيقوم الطلاب بالتحقيق في طرق سلسلة القوى وسلسلة Frobenius لحل المعادلات التفاضلية العادية ، بما في ذلك المعادلات التفاضلية المهمة المختارة في الفيزياء الرياضية. علاوة على ذلك ، سوف يدرسون مشاكل Sturm-Liouville وسلسلة المتعامد. سيتم توفير مقدمة موجزة عن المعادلات التفاضلية الجزئية وفصل المتغيرات.

سيقوم الطلاب بدراسة وتنفيذ النظريات المتعلقة بتدريس الرياضيات. سيقومون بمراجعة والتحقيق في ممارسات تدريس الرياضيات الحالية والسابقة. سوف يكملون مشروعًا يدمج النظرية مع الممارسة وينتجون مجموعة من الأعمال المكتوبة. سيُطلب من الطلاب تطبيق النظرية من خلال أنشطة مثل تدريس الرياضيات أو المساعدة في الفصل الدراسي أو تطوير مواد المناهج الدراسية.

المتطلبات الأساسية: رياضيات 2232 (ج) ، رياضيات 2321 (ج) ، رياضيات 2331 (ج) ، رياضيات 2410 (ج). ملاحظة: يوصى باستخدام EDUC 2220 (C).

سيقوم الطلاب بتصميم وتنفيذ برامج MATLAB و Maple لحل المشكلات من الرياضيات وتطبيقات الرياضيات. سيتم تعريفهم بمعالجة الكلمات الرياضية باستخدام LaTeX. يجب أن يكون لدى الطلاب جهاز كمبيوتر محمول قادر على تشغيل البرامج على النحو الذي يحدده المعلم.

المتطلبات الأساسية: جميع: (أ) CPSC 1103 و MATH 2321 (ب) رياضيات 1152 أو 2232 و (ج) أحد رياضيات 1115 أو 2315 أو 2335 أو 2341

سيقوم الطلاب بدراسة البنية الأساسية للرياضيات ، بما في ذلك الرمزية الرياضية ، ومقدمة لنظرية المجموعة ومقدمة للمنطق. سيطورون فهمًا لأساليب الإثبات وتقديرًا لبنية الرياضيات.

المتطلبات الأساسية: رياضيات 2232 (ج) وواحدة من: رياضيات 1220 (ج) ، أو 1230 (ج +) ، أو 1240 (ب-).

سيقوم الطلاب بدراسة المفاهيم الأساسية ونتائج نظرية المجموعة. سيقومون بدراسة المجموعات والمجموعات الفرعية ، نظرية لاغرانج ، التشابهات ، المجموعات الفرعية الطبيعية ، مجموعات العوامل ، نظرية كوشي والمنتجات المباشرة.

المتطلبات الأساسية: كلاهما (أ) رياضيات 1220 ورياضيات 1230 (ج +) أو رياضيات 1240 (ب-) و (ب) رياضيات 2232.

سيقوم الطلاب بدراسة الأعداد المعقدة ، وظائف الأعداد المركبة ، الوظائف التحليلية ، معادلات كوشي-ريمان ، الوظائف الأولية ، تكامل الكنتور ، نظرية وصيغة كوشي المتكاملة ، التمثيل المتسلسل للوظائف التحليلية ، الأعمدة والمخلفات ، مع تطبيقات في الفيزياء والهندسة.

سيقوم الطلاب بدراسة الإقليدية والهندسة الأخرى ، وبناء البراهين والأشياء الهندسية. سوف يطبقون المفاهيم الهندسية والتفكير في المشاكل العملية.

المتطلبات الأساسية: رياضيات 2232 (ج) وواحد مما يلي: رياضيات 1220 (ج) ، 1230 (ج +) ، أو 1240 (ب-)

سيتم تعريف الطلاب بالتقنيات القياسية لتحليل الانحدار المتعدد. سيقومون بدراسة الانحدار البسيط ، ANOVA ، التوزيعات متعددة المتغيرات ، تحليل القيم المتبقية والنماذج الخطية العامة ودورها في البحث.

المتطلبات المسبقة: 15 ساعة معتمدة من الدورات بمستوى 1100 أو أعلى وواحد من: MATH 1115 أو MATH 2335 أو MATH 2341 أو MATH 2315.

سيقوم الطلاب بدراسة حساب التفاضل والتكامل للوظائف ذات القيمة المتجهية وحقول المتجهات. سيقومون بدراسة مشتقات الدوال ذات القيمة المتجهية ، وقاعدة السلسلة ، واليعاقبة والعكسية ، والعوامل التفاضلية ، وتكاملات الخط ، ونظرية جرين ، والتكاملات السطحية بما في ذلك نظريات التباعد ، واستقلالية المسار ، والمجالات والإمكانات المحافظة.

المتطلبات الأساسية: رياضيات 2321 (ج) وواحدة مما يلي: رياضيات 2232 (ج) ، رياضيات 1152 (ج)

سيدرس الطلاب حل المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى ، والمعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة ، وتحويلات لابلاس ، وأنظمة المعادلات التفاضلية الخطية ، وتطبيقات المعادلات التفاضلية. سيستخدم الطلاب أيضًا نظام الجبر الحاسوبي.

المتطلبات الأساسية: [Math 2232 (C) أو Math 1152 (C)] و [MATH 1220 (C) أو MATH 1230 (C +) أو MATH 1240 (B-)]

سيدرس الطلاب معادلة الموجة ومعادلة الحرارة ومعادلة لابلاس والمعادلات الكلاسيكية الأخرى للفيزياء الرياضية. سوف يدرسون المنحنيات المميزة ، وحلول معادلات الحرارة والموجة على الخط اللانهائي ، وشبه اللانهائي ، والخط المنتهي ، وسلسلة فورييه ، وتحويلات لابلاس ، والحلول العددية باستخدام الفروق المحدودة.

سيدرس الطلاب جوانب تاريخ الرياضيات منذ بداياتها الأولى في حل المشكلات الملموسة من خلال تطوير التجريد والصرامة في القرن التاسع عشر وأوائل القرن العشرين. سيقومون بفحص وتحليل كل من نمو الأفكار والسياق الذي تطورت فيه ، مع التركيز على الرياضيات التي يتم تدريسها في المدرسة الثانوية والسنتين الأولين من الدراسة الجامعية.

المتطلبات المسبقة: رياضيات 2232 (ج) وواحدة من: رياضيات 1220 (ج) ، رياضيات 1230 (ج +) ، رياضيات 1240 (ب-)

سوف يستكشف الطلاب النظريات والاتجاهات في تعليم الرياضيات. سيقومون بمسح العوامل التاريخية والفلسفية والنفسية والمجتمعية الهامة التي تؤثر على تطوير تعليم الرياضيات كمجال للتحقيق ، وسوف يقومون بفحص ومناقشة النظريات الحالية والبحوث في تعليم الرياضيات بشكل نقدي. They will investigate problem solving, reasoning and communication in mathematics.

Prerequisite(s): One of: MATH 2232 (C), MATH 2321 (C), MATH 2331 (C), MATH 2410 (C). Note: EDUC 2220 (C) is recommended.

Students will study the following topics: divisibility, properties of types of integer numbers, primes, congruences, Diophantine equations, primitive roots, and quadratic residues.

Prerequisite(s): Both (a) MATH 1220, MATH 1230 (C+) or MATH 1240 (B-), and (b) MATH 2232.

Students will study the fundamental concepts and results of point-set (general) topology. They will study sets, relations and functions, order, cardinality, Axiom of Choice, topological spaces, bases and subbases, continuity and homeomorphisms, metric spaces, countability and compactness.

Prerequisite(s): MATH 2232 (C) and MATH 2331 (C) and one of the following: MATH 1220 (C), 1230 (C+), or 1240 (B-)

Students will study mathematical modelling and data analysis for biological systems. They will focus on developing and analysing dynamic models of biological systems and processes. They will study the mathematics of population dynamics, models of metabolic processes, genomics and epidemiology.

Students will study the theory and practical application of numerical methods for approximating solutions of linear and nonlinear problems. They will study solutions to nonlinear equations, interpolation and splines, numerical differentiation and integration, solution of initial and boundary value problems, and error sources and analysis. Students are required to have a portable computer able to run software as designated by the instructor.

Students will study the formation, analysis, and interpretation of mathematical models drawn from the physical, biological, economic, and social sciences. They will study continuous and discrete, deterministic and stochastic models. Students will use techniques such as differential and difference equations, matrix analysis, optimization, simple stochastic processes, and numerical methods. NOTE: Students are required to have a portable computer able to run software as designated by the instructor.

Students will study a particular advanced topic in mathematics, depending upon student interest and faculty availability. Note: Students may take this course multiple times for further credit on different topics.

Prerequisite(s): MATH 2232 (C) and one of: MATH 1220 (C), MATH 1230 (C+), MATH 1240 (B-)

Students will complete a substantial research project under the supervision of an instructor. They will identify relevant sources of information, in the form of a literature search and review, and submit a final paper investigating a research question. Students will present their project and research results.


Quotable Mathematics

"√-1 is take for granted today. No serious mathematician would deny that it is a number. Yet it took centuries for √-1 to be officially admitted to the pantheon of numbers. For almost three centuries, it was controversial mathematicians didn't know what to make of it many of them worked with it successfully without admitting its existence. […] Primarily for cognitive reasons. Mathematicians simply could not make it fit their idea of what a number was supposed to be. A number was supposed to be a magnitude. √-1 is not a magnitude comparable to the magnitudes of real numbers. No tree can be √-1 units high. You cannot owe someone √-1 dollars. Numbers were supposed to be linearly ordered. √-1 is not linearly ordered with respect to other numbers." (George Lakoff & Rafael E Nuñez, "Where Mathematics Come From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being, 2000)

"From a formal perspective, much about complex numbers and arithmetic seems arbitrary. From a purely algebraic point of view, i arises as a solution to the equation x^2+1=0. There is nothing geometric about this - no complex plane at all. Yet in the complex plane, the i-axis is 90° from the x-axis. Why? Complex numbers in the complex plane add like vectors. Why? Complex numbers have a weird rule of multiplication […]" (George Lakoff & Rafael E Nuñez, "Where Mathematics Come From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being, 2000)

"[…] i is not a real number-not ordered anywhere relative to the real numbers! In other words, it does not even have the central property of ‘numbers’, indicating a magnitude that can be linearly compared to all other magnitudes. You can see why i has been called imaginary. It has almost none of the properties of the small natural numbers-not subitizability, not groupability, and not even relative magnitude. If i is to be a number, it is a number only by virtue of closure and the laws of arithmetic." (George Lakoff & Rafael E Nuñez, "Where Mathematics Come From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being, 2000)

"The complex plane is just the 90° rotation plane-the rotation plane with the structure imposed by the 90° Rotation metaphor added to it. Multiplication by i is "just" rotation by 90°. This is not arbitrary it makes sense. Multiplication by-1 is rotation by 180°. A rotation of 180° is the result of two 90° rotations. Since i times i is -1, it makes sense that multiplication by i should be a rotation by 90°, since two of them yield a rotation by 180°, which is multiplication by -1." (George Lakoff & Rafael E Nuñez, "Where Mathematics Come From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being, 2000)


شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يُرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع الإلكتروني أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر وموقعه الدقيق ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورز ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


شاهد الفيديو: الأعداد المركبة ونظرية ديموافر الجزء الثالث للصف الثالث ثانوي الفصل الدراسي الثاني (شهر اكتوبر 2021).