مقالات

2: الأعداد الحقيقية والحقول - الرياضيات


2: الأعداد الحقيقية والحقول - الرياضيات
تعريف: الحقل عبارة عن مجموعة تحتوي على عمليتين ثنائيتين الجمع والضرب ، وكلاهما تبادلي ، وترابطي ، ويحتوي على عناصر هوية ، ويحتوي على عناصر معكوسة. عنصر المحاذاة للجمع هو 0 ، وعنصر المحاذاة للضرب هو 1. إذا كانت x ، فإن العنصر العكسي للجمع هو -x ، والعنصر العكسي الضرب للضرب هو 1 / x (x ≠ 0). علاوة على ذلك ، يوزع الضرب على الجمع.

اشرح لماذا $ mathbb$ حقل.

افترض أن $ a، b، c، d in mathbb$. نحن نعلم أن $ mathbb$ جمع وضرب كعمليات ثنائية منذ $ (a + b) = c $ لبعض c و $ ab = d $ لبعض d. علاوة على ذلك ، نحن نعلم أن الجمع والضرب المحدد في الأعداد الحقيقية هو تبادلي وترابطي.

بالإضافة إلى ذلك ، عنصر الهوية المراد جمعه هو 0 ، منذ $ forall : x in mathbb$ ، $ x + 0 = x $ ، والعنصر المحايد للضرب هو 1 ، لأن $ 1x = x $.

أخيرًا ، العنصر المعكوس للجمع هو -x ، نظرًا لأن $ x + (-x) = 0 $ (0 يمثل هوية الجمع) ، والعنصر العكسي للضرب 1 / x منذ $ x cdot frac <1> = 1 دولار عندما x ≠ 0.


معاملة النقاط في المستوى كأرقام

    يتم وصف "إضافة" النقاط بكل بساطة على أنها إضافة ناقلات. يمكن تمثيل المتجه بقطعة مستقيمة موجهة يتم اعتبار المتجهين متساويين إذا كانا يشيران في نفس الاتجاه ولهما نفس الطول. (انظر الشكل.) يمكننا تغيير تمثيل المتجه بتحريكه (أي "ترجمته") إلى موضع جديد موازٍ للموضع الأصلي.

لإضافة متجهين الخامس1 و V.2، قم بتمثيلها بمقاطع خطية موجهة بحيث تكون النهاية الأولية لـ V.2 يقع في نهاية المحطة الطرفية V.1. وبالتالي ، فإن الأسهم في الرسم البياني تشكل مسارًا: ابدأ من النهاية الأولية لـ V.1، تابع إلى نهايته النهائية ، ثم انعطف إلى الزاوية واتبع V.2 من نهايته الأولية إلى نهايته النهائية. المجموع أو الناتج، الخامس1+ V.2، هي الرحلة التي تبدأ من النهاية الأولى لـ V.1 إلى النهاية الطرفية لـ V.2. يتم تمثيل هذا المجموع بقطعة مستقيمة واحدة موجهة ، وهي الضلع الثالث المتقطع من المثلث.

لتمثيل المتجهات باستخدام نظام الإحداثيات الديكارتية ، ارسم متجهًا V بحيث تكون نهايته الأولية في الأصل (0،0). ثم تُستخدم إحداثيات موقع نهايته النهائية كإحداثيات للمتجه. (انظر الرسم التخطيطي).

إذا استخدمنا نظام الإحداثيات هذا ، فإن صيغة إضافة المتجه تكون بسيطة للغاية: أول إحداثي V1+ V.2 هو مجموع إحداثيات أول الخامس1 و V.2، والإحداثيات الثانية لـ V.1+ V.2 هو مجموع الإحداثيات الثانية لـ V.1 و V.2. هذا هو،

إذا كان P.1 إحداثيات قطبية & ltr11& GT و P2 إحداثيات قطبية & ltr22& GT ، إذن
المنتج P.1ص2 تعرف بأنها النقطة ذات الإحداثيات القطبية & ltr1ص2, θ12& GT.

بما أن (أ ، 0) + (ج ، 0) = (أ + ج ، 0) و (أ ، 0) & # 215 (ج ، 0) = (ج ، 0) ، فإن النقاط على طول المحور الأفقي لها حساب حسابي تمامًا مثل الأرقام "العادية" ، سنكتب (أ ، 0) بإيجاز أكثر على هيئة أ. على سبيل المثال ، (5،0) ستكتب كـ 5. النقاط الموجودة على طول المحور الرأسي لها أيضًا تدوين أقصر: النقطة (0 ، ب) ستكتب بشكل أكثر اختصارًا كـ bi على سبيل المثال ، (0،5) ستكون مكتوب كـ 5i. تعني كلمة "خيالي" للأسباب الموضحة أدناه.

تمارين مهمة. باستخدام إما الصيغة (أ ، ب) & # 215 (ج ، د) = (ac & # 8722bd ، ad + bc) أو التعريف من حيث الإحداثيات القطبية ، يجب على المبتدئ الآن التحقق من ذلك أنا 2 = & # 87221. سيكون ذلك مهمًا في المناقشة أدناه.

فيما يلي إجابات هذين التمرينين: باستخدام نظام الإحداثيات الديكارتية ، نحسب = = = أو باستخدام الإحداثيات القطبية: الرقم i له نصف قطر 1 وزاوية ومن ثم فإن الرقم له نصف قطر وزاوية الرقم المركب مع تلك الإحداثيات القطبية هو & # 87221.

ما هو "حقيقي" في الأرقام الحقيقية؟

نعلم جميعًا أنه لا يوجد حقًا أي "رقم" p يمكنه تلبية المعادلة p 2 = & # 87221. لا يمكن أن يوجد مثل هذا "الرقم" إلا في خيالنا. ولكن إذا كانت موجودة بطريقة ما ، فما نوع القواعد الحسابية التي يجب أن تتبعها؟

عليك أن تعجب بعبقرية علماء الرياضيات في القرن السادس عشر: لقد وضعوا القواعد الحسابية للأعداد المركبة بشكل صحيح على الرغم من افتقارهم إلى النموذج الهندسي البسيط الذي حسبوه باستخدام "الأرقام" التي لم يؤمنوا بوجودها!

كانت مصطلحاتهم مؤسفة. لا يوجد شيء خيالي أو يشبه الحلم في دوران المحركات ، لكن الاسم عالق. النقاط الموجودة على المحور الرأسي تسمى الآن أرقام خيالية ، على الرغم من حقيقة أن لها تطبيقات ملموسة للغاية. النقاط الموجودة على المحور الأفقي (على النقيض من ذلك) تسمى أرقام حقيقية. يتم استدعاء جميع النقاط الموجودة في الطائرة ارقام مركبة، لأنهم أكثر تعقيدًا - لديهم جزء حقيقي وجزء وهمي.

وهكذا تنتهي حكايتنا حول مصدر اسم "الرقم الحقيقي". لكننا بالكاد بدأنا التحقيق في الخصائص الرياضية المرتبطة بهذا الاسم.


الأعداد الجبرية في الحقول المغلقة الحقيقية

لقد كنت أبحث في مناقشة الحقول المغلقة الحقيقية في الملحق ب من ماركر نظرية النموذج: مقدمة. أشعر بالحيرة لما يقوله عن تفرد عمليات الإغلاق الحقيقي. ليس لدي مشكلة مع العبارة بعد Lemma B.13 مباشرة أن مجال الوظائف المنطقية $ Bbb(t) $ لديه $ c $ لإغلاق حقيقي غير متماثل.

ومع ذلك ، لا أصدق العبارة التي تقول "لأن $ Bbb( sqrt <2>) $ له ترتيبان مختلفان ، له إغلاقان حقيقيان غير متماثلان ". بالتأكيد الإغلاق الحقيقي لأي حقل فرعي $ F $ للحقل $ cal R $ للأرقام الجبرية الحقيقية متماثل إلى $ cal R $ (لأن كل دولار جبري حقيقي $ x $ يمكن تحديده على $ Bbb$). الطلبان المحتملان على $ F = Bbb( sqrt <2>) $ يؤدي إلى اثنين من الزخارف المتميزة بالدولار F $ في $ cal R $ ، وليس إغلاقين حقيقيين غير متشابهين. هل أنا مخطئ في هذا؟

قبل هذه البيانات مباشرة ، هناك دليل على أن $ Bbb( sqrt <2>، sqrt <-2>) $ حقل حقيقي ، وهو بالتأكيد مستحيل لأن $ -2 $ يجب أن يكون سالبًا في أي حقل مرتب بينما يجب أن تكون المربعات غير الصفرية موجبة. التخمين في إصلاحات بعض الأخطاء المطبعية ، على سبيل المثال ، الاستئناف إلى Corollary B.5 غير موجود ، أعتقد أن الحجة تثبت بالفعل أن $ Bbb( sqrt <- sqrt <2>>) $ حقل حقيقي ، وهذا ليس مفاجئًا لأن هذا الحقل متماثل إلى $ Bbb( sqrt [4] <2>) $. هل يمكن لأي شخص أن يفهم هذه الحجة بشكل أفضل أو يؤكد رأيي أنه لا يثبت أن $ Bbb( sqrt <2>) $ له إغلاقان حقيقيان غير متشابهين؟

أعلم أن مقالة ويكيبيديا عن الحقول المغلقة الحقيقية تفرد $ Bbb( sqrt <2>) $ كمثال على حقل لا يكون إغلاقها الحقيقي حقلاً ، لكنني أعتقد أن هذا ينطبق على تعريف مختلف نوعًا ما للإغلاق الحقيقي الذي يُقصد منه أن يكون منطقيًا للحلقات المغلقة الحقيقية ، وليس فقط الحقيقية الحقول المغلقة.


4 إجابات 4

لست متأكدًا تمامًا مما تريد رؤيته ، ولكن إليك عددًا من الخصائص "الجبرية" الخاصة للحقل $ Bbb$. إنها مترابطة للغاية ، وبالطبع ، تعتمد على الخصائص الطوبولوجية للأرقام الحقيقية (الاكتمال في الغالب).

  1. كل كثير حدود من الدرجة الفردية مع معاملات حقيقية لها صفر حقيقي ، ومن ثم $ Bbb$ ليس لديه امتدادات درجة فردية.
  2. الحقل $ Bbb(i) ، i ^ 2 + 1 = 0 $ ، تم إغلاقه جبريًا.
  3. جبر القسمة (الترابطية) على $ Bbb$ قليلة ، ولديها درجات $ 1،2،4 $ فقط.
  4. في نظرية مجال الصنف (نظرية الأعداد الجبرية على المنشطات) ننظر إلى سلوك الأعداد الأولية لحقل رقمي $ K $ في امتداداته المحدودة. للحصول على صورة كاملة ومتماسكة للموقف ، نحتاج إلى تضمين "رئيس الوزراء اللانهائي" ، مما يعني أننا ننظر أيضًا إلى الزخارف الحقيقية / المعقدة لـ $ K $ (والإمتداد).

من الواضح أن العناصر 1-3 مرتبطة ببعضها البعض ، ولكنها لا تحتاج حقًا إلى الاكتمال الطوبولوجي لـ $ Bbb$. في الواقع ، لديهم أيضًا (عرّف ، حتى) ما يسمى بالحقول المغلقة الحقيقية ، انظر هنا للحصول على شرح محلي للعنصر 3. علاوة على ذلك ، تخبرنا نظرية ترجع إلى Artin و Schreier أنه إذا كان الحقل مغلقًا جبريًا $ overline$ هو امتداد محدود لحقله الفرعي $ L $ ، فنحن في السمة الصفرية و $ overline= L (i) $.

العنصران 4 و 5 متصلان أيضًا ، لكنني لا أعرف ما إذا كان الاكتمال الطوبولوجي لـ $ Bbb$ ضروري أم لا. تعتمد بعض المناهج / البراهين على تقنيات تحليلية ، لذلك ظاهريًا تحتاج إلى الاكتمال. لكني أجهل كثيرًا أن أقول ما إذا كان الاكتمال ضروريًا للغاية هناك.

أعتقد أنه يجب أن يكون هناك نوعان من الأسئلة المنفصلة هنا: هل يمكننا تجنب الحجج بناءً على الترتيب على $ mathbb$ ، وهل يمكننا تجنب استخدام الأعداد الحقيقية "غير الجبرية" $ mathbb$ .

الجواب على السؤال الثاني هو بالتأكيد نعم. في الواقع ، بالنسبة لأي تطبيق جبري / حسابي ، يمكنك استبدال $ mathbb بأمان$ بالإغلاق الحقيقي لـ $ mathbb$ ، وهو امتداد جبري. يمكنك وصفه بأنه تقاطع $ mathbb$ والأرقام الجبرية في $ mathbb$ ، ولكن يمكن بناؤه دون ذكر على الإطلاق لـ $ mathbb$ أو $ mathbb$. تسلط إجابة جيركي الضوء على بعض خصائص الحقول المغلقة الحقيقية التي يمكن أن تكون مفيدة. على وجه الخصوص ، الإغلاق الجبري لـ $ mathbbيتم الحصول على $ من هذا الحقل المغلق الحقيقي عن طريق ربط الجذر التربيعي لـ $ -1 $ ، بحيث يمكنك تقليد جميع الوسائط بناءً على الاقتران المعقد.

السؤال الأول أكثر حساسية. الجواب الأول الذي يتبادر إلى ذهني هو "ولكن لماذا تريد ، رغم ذلك؟". حقيقة أن $ mathbbيعتبر الأمر $ (بشكل فريد) خاصية جبرية مثيرة للاهتمام ، ولا يوجد سبب لعدم استخدامه. هناك نظرية كاملة لترتيب المجال ، مع روابط مع الأشكال التربيعية ، ونظرية التقييم ، والهندسة الجبرية ، وما إلى ذلك. واستخدامها كحجة لإثبات (على سبيل المثال) أن بعض الامتداد هو أو لا يعتبر Galois لا ينبغي أن ينظر إليه على أنه "التخلي" استخدام الحجج "الحسابية البحتة" (مهما كان ذلك يعني). لا توجد طريقة شاملة للتعامل مع امتدادات جالوا لـ $ mathbb$ ، وباستخدام حقيقة أن $ mathbb$ هو حقل مرتب ، مع إغلاق حقيقي ، ويمكن تضمين بعض حقول الأرقام في هذا الإغلاق بينما لا يمكن أن يكون البعض جزءًا من مجموعة الأدوات القياسية.


عزيزي الطالب إذا شعرت بأي خطأ في أي MCQ ، فاتصل بنا على هذا البريد الإلكتروني: [email protected] (المسؤول) أو اكتب التعليقات & # 8230.

سمات:

  • طريقة بسيطة وأسهل لعرض MCQs.
  • عند تحديث صفحة موقع الويب ، يتم تبديل كل سؤال وإجابة عشوائيًا في MCQs.
  • يتم عرض المهلة الزمنية لكل اختبار.
  • لا يلزم تسجيل الدخول وكلمة المرور للاختبار.
  • يتم الترفيه عن كل استعلام عبر الإنترنت عبر البريد الإلكتروني أو WhatsApp.
  • عرض بطاقة النتيجة.
  • عرض الإجابة الصحيحة في نهاية كل سؤال (إذا كانت الإجابة خاطئة).
  • قائمة كاملة بأرقام الأسئلة في الخلايا (الكتل) على سبيل المثال 1 ، 2 ، 3 ، رقم 8230.
  • تظهر الخلايا الحمراء إجاباتك الخاطئة.
  • تظهر الخلايا الخضراء الإجابات الصحيحة.
  • تظهر نسبة النتائج التي حصلت عليها بعد كل سؤال.
  • استخدم معمل الكمبيوتر والإنترنت لزيادة قدرة الطلاب.
  • ودية المحمول

اختر فصل آخر | الفصل السابق | الفصل القادم


المراجعات والتأييدات

"يشتمل كل مجال من هذه المجالات على العديد من الهياكل الجبرية والطوبولوجية المتشابكة بشكل وثيق. سالزمان (الرياضيات ، يو توبينغن) وزملاؤه المؤلفون جروندوفر (الرياضيات ، يو ورزبورغ> ، هال (الرياضيات ، يو شتوتغارت) ولوين (الرياضيات ، تكنيش يو Braunchwieg) يشرح التفاعل والاعتماد المتبادل بين هذه الحقول. ويبدأ بالأرقام الحقيقية ، ويصف الأعداد الحقيقية كمجموعة مرتبة ويشرح مفهوم الأعداد الحقيقية كحقل وكمجموعة مرتبة ومجموعة طوبولوجية. يشرحون الأعداد المعقدة و الأعداد المنطقية ، والتوسع على الأخير كحقل ووصف الأعداد المنطقية كحقل ، ثم العمل من خلال مفهوم الإكمال ، كسلاسل ، ومجموعات مرتبة ، ومجموعات أبليان طوبولوجية ، وحلقات وحقول طوبولوجية. - الأعداد الأصلية ومربعاتها وقيمها المطلقة وتقييماتها وطوبولوجيا نوع التقييم والحقول المحلية والحقول المدمجة محليًا. utions. "- أخبار الكتاب

". الاكتفاء الذاتي. ناجح تمامًا في تحقيق نوايا الدولة.. قد يكون العرض التفصيلي ، على سبيل المثال ، حاصلات المجموعة والتحليل موضع اهتمام الطلاب الأكثر تقدمًا الذين يبحثون عن أمثلة. ويمكن إدراجها على أنها مؤلفات ثانوية موصى بها لـ أكثر تقليدية في الهندسة الجبرية. " - جون إيفيند فاتني (بيرغن) ، مراجعات رياضية


الأرقام المنطقية مقابل الأعداد غير المنطقية

الرقم المنطقي هو رقم يمكن التعبير عنه في صورة كسر حيث يكون البسط والمقام أعدادًا صحيحة ، ينتج عن نسبته رقم عشري نهائي ، أو عدد عشري غير منتهي يتكرر. تتم الإشارة إلى الكسور العشرية المكررة بكتابة شريط أفقي أعلى جزء العلامة العشرية الذي يتكرر. على سبيل المثال ، يتكرر & frac13 إلى أجل غير مسمى:

يتكون العدد غير النسبي من جميع الأعداد الحقيقية التي ليست أرقامًا منطقية: الكسور العشرية غير المنتهية التي لا تتكرر. تتضمن الأمثلة & pi ورقم أويلر e والنسبة الذهبية.


أنواع الأعداد الحقيقية

لدينا بالفعل الأعداد الطبيعية ، والأعداد الصحيحة ، والأعداد المنطقية ، وغير المنطقية. يتم تصنيف الأرقام غير المنطقية أيضًا على أساس ما إذا كانت هي جذر كثير الحدود مع معاملات عدد صحيح أم لا.

تعريف تم استدعاء الرقم الحقيقي (a in mathbb R ) جبري إذا كان هناك كثير الحدود (f (x) = a_n x ^ n + a_س ^+ cdots a_1x + a_0 ) معاملاتها كلها أعداد صحيحة ، (a_i in mathbb Z ) للجميع (i = 0،1 ، ldots ، n ) ، بحيث يكون (a ) هو صفر من كثير الحدود هذا ، (و (أ) = 0 ).

تعريف تم استدعاء الرقم الحقيقي (a in mathbb R ) متسام إذا لم يكن جبريًا.

لقد ثبت أن مجموعة الأعداد المتسامية لا حصر لها.

( sqrt2 ) جبري لأنه صفر من كثير الحدود (f (x) = x ^ 2-2 ).

الأرقام غير المنطقية ( pi ) و (e ) متساميتان. من الصعب للغاية إثبات ذلك بشكل عام. هناك العديد من الأرقام المتسامية الشهيرة.

جميع الأعداد المنطقية جبرية. لنفترض ( frac ab in mathbb Q ) ، إذن هذا الرقم هو جذر متعدد الحدود (f (x) = ax-b ).


الفرق بين الأعداد الحقيقية والأعداد الصحيحة

نطاق الأعداد الحقيقية والأعداد الصحيحة

تتضمن الأعداد الحقيقية الأعداد الصحيحة والأعداد المنطقية وغير المنطقية والطبيعية والأرقام الصحيحة. من ناحية أخرى ، يهتم نطاق الأعداد الصحيحة بشكل أساسي بالأعداد الصحيحة السالبة والموجبة. وبالتالي ، فإن الأرقام الحقيقية أكثر عمومية.

الكسور

يمكن أن تتضمن الأعداد الحقيقية كسورًا مثل الأعداد المنطقية وغير المنطقية. ومع ذلك ، لا يمكن أن تكون الكسور أعدادًا صحيحة.

خاصية الحد الأدنى العلوي

الأعداد الحقيقية لها خاصية الحد الأعلى الأدنى والتي تُعرف أيضًا باسم "الاكتمال". هذا يعني أن مجموعة خطية من الأعداد الحقيقية لها مجموعات فرعية ذات صفات عليا. على العكس من ذلك ، لا تحتوي الأعداد الصحيحة على خاصية الحد الأدنى العلوي.

ممتلكات أرخميدس

يمكن تطبيق خاصية أرخميدس ، وهي افتراض أن هناك عددًا طبيعيًا يساوي أو أكبر من أي رقم حقيقي ، على الأعداد الحقيقية. على العكس من ذلك ، لا يمكن تطبيق خاصية أرخميدس على الأعداد الصحيحة.

حقل

الأعداد الحقيقية هي نوع من الحقول التي هي بنية جبرية أساسية حيث يتم تعريف العمليات الحسابية. على العكس من ذلك ، لا تعتبر الأعداد الصحيحة حقلاً.

قابل للعد

كمجموعة ، الأرقام الحقيقية غير معدودة بينما الأعداد الصحيحة قابلة للعد.

رموز الأعداد الحقيقية والأعداد الصحيحة

الأعداد الحقيقية يرمز لها بـ "R" بينما مجموعة الأعداد الصحيحة يرمز لها بـ "Z". ن. بورباكي ، مجموعة من علماء الرياضيات الفرنسيين في الثلاثينيات ، حددوا "Z" من الكلمة الألمانية "Zahlen" التي تعني العدد أو الأعداد الصحيحة.

أصل كلمة للأرقام الحقيقية والأعداد الصحيحة

تشير الأرقام الحقيقية إلى الجذور الحقيقية للعديد من الحدود بينما جاء العدد الصحيح من الكلمة اللاتينية ، "كامل" لأنها لا تتضمن الكسور العشرية أو الكسور.


شاهد الفيديو: رياضيات تاسع - الفصل الأول - الوحدة الأولى - الحصة 2 الاعداد الحقيقية (شهر اكتوبر 2021).