مقالات

4.2: أحداث مستقلة وحصرية - الرياضيات


مستقل و لا يعتمدوا على بعض لا تعني نفس الشيء.

أحداث مستقلة

حدثان مستقلان إذا كان ما يلي صحيحًا:

  • (P ( text {A | B}) = P ( text {A}) )
  • (P ( text {B | A}) = P ( text {B}) )
  • (P ( text {A AND B}) = P ( text {A}) P ( text {B}) )

يعتبر حدثان ( text {A} ) و ( text {B} ) مستقلين إذا كانت معرفة أن أحدهما لا تؤثر على فرصة حدوث الآخر. على سبيل المثال ، فإن نتائج دورين من الموت العادل هي أحداث مستقلة. نتيجة اللفة الأولى لا تغير من احتمالية نتيجة اللفة الثانية. لإظهار أن حدثين مستقلين ، يجب عليك إظهار شرط واحد فقط من الشروط المذكورة أعلاه. إذا كان حدثان غير مستقلين ، فإننا نقول إنهما تابعان.

أخذ عينات من السكان

يمكن أخذ العينات بالاستبدال أو بدون استبدال (الشكل ( PageIndex {1} )):

  • مع الاستبدال: إذا تم استبدال كل فرد من السكان بعد اختياره ، فإن هذا العضو لديه إمكانية اختياره أكثر من مرة. عندما يتم أخذ العينات مع الاستبدال ، فإن الأحداث تعتبر كذلك مستقل، مما يعني أن نتيجة الاختيار الأول لن تغير احتمالات الاختيار الثاني.
  • من دون بديل: عندما يتم أخذ العينات بدون استبدال ، يمكن اختيار كل فرد من السكان مرة واحدة فقط. في هذه الحالة ، تتأثر احتمالات الانتقاء الثاني بنتيجة الاختيار الأول. تعتبر الأحداث أن تكون يعتمد أو غير مستقل.

الشكل ( PageIndex {1} ): تمثيل مرئي لعملية أخذ العينات. إذا تم استبدال عناصر العينة بعد كل حدث أخذ عينات ، فسيكون هذا "أخذ العينات مع الاستبدال" إذا لم يكن كذلك ، فعندئذ يكون "أخذ العينات بدون استبدال". الصورة مستخدمة بإذن (CC BY-SA 4.0؛ Dan Kernler).

إذا لم يكن معروفًا ما إذا كان ( text {A} ) و ( text {B} ) مستقلين أو تابعين ، افترض أنهما تابعان حتى يمكنك إظهار خلاف ذلك.

مثال ( PageIndex {1} ): أخذ العينات باستبدال وبدون استبدال

لديك مجموعة ورق عادلة ومخلوطة جيدًا مكونة من 52 بطاقة. يتكون من أربع بدلات. البدلات هي النوادي والماس والقلوب والبستوني. هناك 13 بطاقة في كل مجموعة تتكون من 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، ( text {J} ) (جاك) ، ( text {Q} ) (ملكة) ، ( text {K} ) (ملك) تلك البدلة.

أ. أخذ العينات مع الاستبدال:

لنفترض أنك اخترت ثلاث بطاقات مع الاستبدال. أول بطاقة تختارها من بين 52 بطاقة هي ( text {Q} ) البستوني. يمكنك وضع هذه البطاقة مرة أخرى ، وتعديل البطاقات واختيار بطاقة ثانية من مجموعة الأوراق المكونة من 52 بطاقة. إنها العشرة الأندية. يمكنك وضع هذه البطاقة مرة أخرى ، وتعديل البطاقات واختيار بطاقة ثالثة من مجموعة الأوراق المكونة من 52 بطاقة. هذه المرة ، البطاقة هي ( text {Q} ) البستوني مرة أخرى. اختياراتك هي { ( text {Q} ) من البستوني ، وعشرة مضارب ، ( text {Q} ) من البستوني}. لقد اخترت ( text {Q} ) البستوني مرتين. يمكنك اختيار كل بطاقة من مجموعة البطاقات المكونة من 52 بطاقة.

ب. أخذ العينات بدون استبدال:

لنفترض أنك اخترت ثلاث بطاقات بدون استبدال. أول بطاقة تختارها من بين 52 بطاقة هي ( text {K} ) القلوب. تضع هذه البطاقة جانبًا وتختار البطاقة الثانية من بين 51 بطاقة متبقية في المجموعة. إنها الماسات الثلاثة. تضع هذه البطاقة جانبًا وتختار البطاقة الثالثة من البطاقات الخمسين المتبقية في المجموعة. البطاقة الثالثة هي ( text {J} ) البستوني. اختياراتك هي { ( text {K} ) من القلوب ، وثلاثة من الماس ، ( text {J} ) من البستوني}. نظرًا لأنك اخترت البطاقات بدون استبدال ، لا يمكنك اختيار نفس البطاقة مرتين.

تمرين ( PageIndex {1} )

لديك مجموعة ورق عادلة ومخلوطة جيدًا مكونة من 52 بطاقة. هناك 13 بطاقة في كل مجموعة تتكون من 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، ( text {J} ) (جاك) ، ( text {Q} ) (ملكة) ، ( text {K} ) (ملك) تلك الدعوى. يتم اختيار ثلاث بطاقات بشكل عشوائي.

  1. لنفترض أنك تعلم أن البطاقات المختارة هي ( نص {Q} ) من البستوني ، ( النص {K} ) من القلوب و ( النص {Q} ) من البستوني. هل يمكنك أن تقرر ما إذا كانت العينة مع استبدال أم لا؟
  2. لنفترض أنك تعلم أن البطاقات المختارة هي ( text {Q} ) من البستوني ، و ( text {K} ) من القلوب ، و ( text {J} ) من البستوني. هل يمكنك أن تقرر ما إذا كانت العينة مع استبدال أم لا؟

إجابه

  1. مع الاستبدال
  2. لا

مثال ( PageIndex {2} )

لديك مجموعة ورق عادلة ومخلوطة جيدًا مكونة من 52 بطاقة. البدلات هي النوادي والماس والقلوب والبستوني. هناك 13 بطاقة في كل مجموعة تتكون من 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، ( text {J} ) (جاك) ، ( text {Q} ) (ملكة) و ( نص {K} ) (ملك) من تلك الدعوى. ( text {S} = ) البستوني ، ( text {H} = ) القلوب ، ( text {D} = ) الماس ، ( text {C} = ) النوادي.

  1. افترض أنك اخترت أربع بطاقات ، لكن لا تعيد أي أوراق إلى المجموعة. بطاقاتك هي ( text {QS} ، 1 text {D} ، 1 text {C} ، text {QD} ).
  2. لنفترض أنك اخترت أربع بطاقات وأعدت كل بطاقة قبل أن تختار البطاقة التالية. بطاقاتك هي ( text {KH} ، 7 text {D} ، 6 text {D} ، text {KH} ).

أي من. أو ب. هل قمت بأخذ عينات مع الاستبدال وأي منها أخذت عينة بدون استبدال؟

حل

  1. من دون بديل
  2. مع الاستبدال

تمرين ( PageIndex {2} )

لديك مجموعة ورق عادلة ومخلوطة جيدًا مكونة من 52 بطاقة. ( text {S} = ) البستوني ، ( text {H} = ) القلوب ، ( text {D} = ) الماس ، ( text {C} = ) النوادي. افترض أنك أخذت عينة من أربع بطاقات بدون استبدال. أي من النتائج التالية ممكن؟ أجب عن نفس السؤال لأخذ العينات مع الاستبدال.

  1. ( text {QS}، 1 text {D}، 1 text {C}، text {QD} )
  2. ( text {KH}، 7 text {D}، 6 text {D}، text {KH} )
  3. ( text {QS}، 7 text {D}، 6 text {D}، text {KS} )

إجابه

بدون بديل: أ. ممكن؛ ب. مستحيل ، ج. ممكن

مع الاستبدال: أ. ممكن؛ ج. ممكن ، ج. ممكن

احداث حصرية متبادلة

( text {A} ) و ( text {B} ) هما حدثان متنافيان إذا كانا لا تستطيع تحدث في نفس الوقت. هذا يعني أن ( text {A} ) و ( text {B} ) لا يشتركان في أي نتائج و (P ( text {A AND B}) = 0 ).

على سبيل المثال ، افترض مساحة العينة

[S = {1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10 }. ]

اسمح ( text {A} = {1، 2، 3، 4، 5 }، text {B} = {4، 5، 6، 7، 8 } ) ، و ( text {C} = {7، 9 } ). ( text {A AND B} = {4، 5 } ).

[P ( text {A AND B}) = dfrac {2} {10} ]

ولا يساوي الصفر. لذلك ، فإن ( text {A} ) و ( text {B} ) ليسا متنافيين. ليس لدى ( text {A} ) و ( text {C} ) أي أرقام مشتركة ، لذلك (P ( text {A AND C}) = 0 ). لذلك ، فإن ( text {A} ) و ( text {C} ) متنافيان.

إذا لم يكن معروفًا ما إذا كان ( text {A} ) و ( text {B} ) متنافيان ، افترض أنها ليست كذلك حتى يمكنك إظهار خلاف ذلك. توضح الأمثلة التالية هذه التعريفات والمصطلحات.

مثال ( PageIndex {3} )

اقلب عملتين من العملات العادلة.

مساحة العينة هي ( {HH ، HT ، TH ، TT } ) حيث (T = ) tails و (H = ) الرؤوس. النتائج هي (HH و HT و TH ) و (TT ). النتائج (HT ) و (TH ) مختلفة. تعني (HT ) أن العملة الأولى أظهرت وجهًا بينما أظهرت العملة الثانية ذيولًا. تعني (TH ) أن العملة الأولى أظهرت ذيولًا بينما أظهرت العملة الثانية وجهًا.

  • دعونا ( text {A} = ) حدث الحصول على ذيل واحد على الأكثر. (بحد أقصى ذيل واحد يعني صفرًا أو ذيلًا واحدًا.) ثم يمكن كتابة ( text {A} ) كـ ( {HH، HT، TH } ). النتيجة (HH ) تظهر صفر ذيول. (HT ) و (TH ) يظهر كل منهما ذيلًا واحدًا.
  • دعونا ( text {B} = ) حدث الحصول على كل ذيول. ( text {B} ) يمكن كتابته كـ ( {TT } ). ( text {B} ) هو ملف تكملة من ( text {A} ) ، لذلك ( text {B} = text {A ′} ). أيضًا ، (P ( text {A}) + P ( text {B}) = P ( text {A}) + P ( text {A ′}) = 1 ).
  • احتمالات ( text {A} ) و ( text {B} ) هي (P ( text {A}) = dfrac {3} {4} ) و (P ( text {B}) = dfrac {1} {4} ).
  • دعونا ( text {C} = ) حدث الحصول على كل الرؤوس. ( text {C} = {HH } ). بما أن ( text {B} = {TT } ) ، (P ( text {B AND C}) = 0 ). ( text {B} ) والرعاية بشكل متبادل. ليس لدى ( text {B} ) و ( text {C} ) أعضاء مشتركون لأنه لا يمكنك الحصول على كل الأطراف وجميع الرؤوس في نفس الوقت.)
  • دعونا ( text {D} = ) حدث الحصول على أكثر من واحد ذيل. ( text {D} = {TT } ). (P ( text {D}) = dfrac {1} {4} )
  • دعونا ( text {E} = ) حدث الحصول على الرأس في أول لفة. (هذا يعني أنه يمكنك الحصول على رأس أو ذيل في اللفة الثانية.) ( text {E} = {HT، HH } ). (P ( text {E}) = dfrac {2} {4} )
  • أوجد احتمال الحصول مرة على الأقل (واحد أو اثنان) ذيل في قلبين. دعونا ( text {F} = ) حدث الحصول على ذيل واحد على الأقل في قلبين. ( text {F} = {HT، TH، TT } ). (P ( text {F}) = dfrac {3} {4} )

تمرين ( PageIndex {3} )

ارسم ورقتين من مجموعة قياسية من 52 بطاقة مع الاستبدال. أوجد احتمال الحصول على بطاقة سوداء واحدة على الأقل.

إجابه

مساحة العينة لرسم بطاقتين مع الاستبدال من مجموعة قياسية مكونة من 52 بطاقة فيما يتعلق بالألوان هي ( {BB ، BR ، RB ، RR } ).

الحدث (A = ) الحصول على بطاقة سوداء واحدة على الأقل (= {BB، BR، RB } )

(P ( text {A}) = dfrac {3} {4} = 0.75 )

مثال ( PageIndex {4} )

اقلب عملتين من العملات العادلة. أوجد احتمالات الأحداث.

  1. دعونا ( text {F} = ) حدث الحصول على ذيل واحد على الأكثر (صفر أو ذيل واحد).
  2. دعونا ( text {G} = ) حدث الحصول على وجهين متطابقين.
  3. دعونا ( text {H} = ) حدث الحصول على الرأس في الوجه الأول متبوعًا برأس أو ذيل على الوجه الثاني.
  4. هل ( text {F} ) و ( text {G} ) متنافيان؟
  5. دعونا ( text {J} = ) حدث الحصول على كل ذيول. هل ( text {J} ) و ( text {H} ) متنافيان؟

حل

انظر إلى نموذج المساحة في مثال ( PageIndex {3} ).

  1. تحدث الأطراف الصفرية (0) أو واحد (1) عند ظهور النتائج (HH ، TH ، HT ). (P ( text {F}) = dfrac {3} {4} )
  2. يتشابه وجهان في حالة ظهور (HH ) أو (TT ). (P ( text {G}) = dfrac {2} {4} )
  3. يحدث رأس على الوجه الأول متبوعًا برأس أو ذيل على الوجه الثاني عند ظهور (HH ) أو (HT ). (P ( text {H}) = dfrac {2} {4} )
  4. ( text {F} ) و ( text {G} ) شارك (HH ) لذلك (P ( text {F AND G}) ) لا يساوي الصفر (0). ( text {F} ) و ( text {G} ) غير متنافيين.
  5. يحدث الحصول على كل ذيول عندما تظهر ذيول على كلتا القطعتين ( (TT )). نتائج ( text {H} ) هي (HH ) و (HT ).

لا يوجد شيء مشترك بين ( text {J} ) و ( text {H} ) لذلك (P ( text {J AND H}) = 0 ). ( text {J} ) و ( text {H} ) متنافيان.

تمرين ( PageIndex {4} )

صندوق به كرتان ، واحدة بيضاء والأخرى حمراء. نختار كرة واحدة ، ونعيدها إلى الصندوق ، ونختار كرة ثانية (أخذ العينات مع الاستبدال). أوجد احتمال الأحداث التالية:

  1. دعونا ( text {F} = ) حدث الحصول على الكرة البيضاء مرتين.
  2. دعونا ( text {G} = ) حدث الحصول على كرتين من ألوان مختلفة.
  3. دعونا ( text {H} = ) حدث الحصول على اللون الأبيض في الاختيار الأول.
  4. هل ( text {F} ) و ( text {G} ) متنافيان؟
  5. هل ( text {G} ) و ( text {H} ) متنافيان؟

إجابه

  1. (P ( text {F}) = dfrac {1} {4} )
  2. (P ( text {G}) = dfrac {1} {2} )
  3. (P ( text {H}) = dfrac {1} {2} )
  4. نعم
  5. لا

مثال ( PageIndex {5} )

دحرج نردًا واحدًا سداسي الجوانب. مساحة العينة هي {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6}. لنفترض أن الحدث ( text {A} = ) وجه غريب. ثم ( text {A} = {1، 3، 5 } ). دع الحدث ( text {B} = ) الوجه زوجي. ثم ( text {B} = {2، 4، 6 } ).

  • ابحث عن مكمل ( text {A} ) ، ( text {A ′} ). تكملة ( text {A} ) ، ( text {A ′} ) ، هي ( text {B} ) لأن ( text {A} ) و ( text { B} ) معًا تشكل مساحة العينة. (P ( text {A}) + P ( text {B}) = P ( text {A}) + P ( text {A ′}) = 1 ). أيضًا ، (P ( text {A}) = dfrac {3} {6} ) و (P ( text {B}) = dfrac {3} {6} ).
  • دع الحدث ( text {C} = ) وجوه غريبة أكبر من اثنين. ثم ( text {C} = {3، 5 } ). دع الحدث ( text {D} = ) جميع الوجوه أصغر من خمسة. ثم ( text {D} = {2، 4 } ). (P ( text {C AND D}) = 0 ) لأنه لا يمكن أن يكون لديك وجه فردي وزوجي في نفس الوقت. لذلك ، ( text {C} ) و ( text {D} ) حدثان متنافيان.
  • دع الحدث ( text {E} = ) كل الوجوه أقل من خمسة. ( text {E} = {1، 2، 3، 4 } ).

هل ( text {C} ) و ( text {E} ) حدثان متنافيان؟ (أجب بنعم أو لا.) لماذا أو لم لا؟

إجابه

لا. ( text {C} = {3، 5 } ) و ( text {E} = {1، 2، 3، 4 } ). (P ( text {C AND E}) = dfrac {1} {6} ). لكي يتم استبعاد بعضهما البعض ، يجب أن يكون (P ( text {C AND E}) ) صفرًا

  • ابحث عن (P ( text {C | A}) ). هذا احتمال مشروط. تذكر أن الحدث ( text {C} ) هو {3، 5} والحدث ( text {A} ) هو {1، 3، 5}. للعثور على (P ( text {C | A}) ) ، ابحث عن احتمال ( text {C} ) باستخدام مساحة العينة ( text {A} ). لقد قللت مساحة العينة من مساحة العينة الأصلية {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6} إلى {1 ، 3 ، 5}. إذن ، (P ( text {C | A}) = dfrac {2} {3} ).

تمرين ( PageIndex {5} )

دع الحدث ( text {A} = ) يتعلم اللغة الإسبانية. دع الحدث ( text {B} ) = تعلم اللغة الألمانية. ثم ( text {A AND B} ) = تعلم الإسبانية والألمانية. افترض (P ( text {A}) = 0.4 ) و (P ( text {B}) = 0.2 ). (P ( text {A AND B}) = 0.08 ). هل الأحداث ( text {A} ) و ( text {B} ) مستقلتان؟ تلميح: يجب عليك إظهار واحد مما يلي:

  • (P ( text {A | B}) = P ( text {A}) )
  • (P ( text {B | A}) )
  • (P ( text {A AND B}) = P ( text {A}) P ( text {B}) )

إجابه

[P ( text {A | B}) = dfrac { text {P (A AND B)}} {P ( text {B})} = dfrac {0.08} {0.2} = 0.4 = P ( text {A}) ]

الأحداث مستقلة لأن (P ( text {A | B}) = P ( text {A}) ).

مثال ( PageIndex {6} )

دع الحدث ( text {G} = ) يأخذ فصل الرياضيات. دع الحدث ( text {H} = ) يأخذ فصل العلوم. بعد ذلك ، ( text {G AND H} = ) أخذ فصل الرياضيات وفصل العلوم. افترض (P ( text {G}) = 0.6 ) ، (P ( text {H}) = 0.5 ) ، و (P ( text {G AND H}) = 0.3 ). هل ( text {G} ) و ( text {H} ) مستقلان؟

إذا كان ( text {G} ) و ( text {H} ) مستقلين ، فيجب عليك إظهار واحد من التالي:

  • (P ( text {G | H}) = P ( text {G}) )
  • (P ( text {H | G}) = P ( text {H}) )
  • (P ( text {G AND H}) = P ( text {G}) P ( text {H}) )

اختيارك يعتمد على المعلومات التي لديك. يمكنك اختيار أي من الطرق هنا لأن لديك المعلومات اللازمة.

  1. أ. أظهر أن (P ( text {G | H}) = P ( text {G}) ).
  2. ب. أظهر (P ( text {G AND H}) = P ( text {G}) P ( text {H}) ).

حل

  1. (P ( text {G | H}) = dfrac {P ( text {G AND H})} {P ( text {H})} = dfrac {0.3} {0.5} = 0.6 = ص(نص{G}))
  2. (P ( text {G}) P ( text {H}) = (0.6) (0.5) = 0.3 = P ( text {G AND H}) )

نظرًا لأن ( text {G} و text {H} ) مستقلان ، فإن معرفة أن شخصًا ما يأخذ فصلًا في العلوم لا يغير من فرصة حضوره لفصل الرياضيات. إذا لم يكن الحدثان مستقلين (أي أنهما تابعان) فإن معرفة أن شخصًا ما يأخذ فصلًا في العلوم من شأنه أن يغير فرصته في أخذ الرياضيات. للتدريب ، أظهر أن (P ( text {H | G}) = P ( text {H}) ) لإظهار أن ( text {G} ) و ( text {H} ) هي أحداث مستقلة.

تمرين ( PageIndex {6} )

في كيس ، توجد ست كرات حمراء وأربع كرات زجاجية خضراء. تم تمييز الكرات الحمراء بالأرقام 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6. أما الكرات الخضراء فيتم تمييزها بالأرقام 1 و 2 و 3 و 4.

  • ( text {R} = ) رخام أحمر
  • ( text {G} = ) رخام أخضر
  • ( text {O} = ) قطعة رخامية بأرقام فردية
  • مساحة العينة هي ( text {S} = {R1، R2، R3، R4، R5، R6، G1، G2، G3، G4 } ).

( text {S} ) له عشر نتائج. ما هو (P ( text {G AND O}) )؟

إجابه

الحدث ( text {G} ) و ( text {O} = {G1، G3 } )

(P ( text {G and O}) = dfrac {2} {10} = 0.2 )

مثال ( PageIndex {7} )

دع الحدث ( text {C} = ) يأخذ فصلًا في اللغة الإنجليزية. دع الحدث ( text {D} = ) يأخذ فصل الكلام.

افترض (P ( text {C}) = 0.75 ) ، (P ( text {D}) = 0.3 ) ، (P ( text {C | D}) = 0.75 ) و ( الفوسفور ( نص {C AND D}) = 0.225 ).

برر إجاباتك على الأسئلة التالية عدديًا.

  1. هل ( text {C} ) و text {D} ) مستقلان؟
  2. هل ( text {C} ) و ( text {D} ) متنافيان؟
  3. ما هو (P ( text {D | C}) )؟

حل

  1. نعم ، لأن (P ( text {C | D}) = P ( text {C}) ).
  2. لا ، لأن (P ( text {C AND D}) ) لا يساوي الصفر.
  3. (P ( text {D | C}) = dfrac {P ( text {C AND D})} {P ( text {C})} = dfrac {0.225} {0.75} = 0.3 )

تمرين ( PageIndex {7} )

يذهب الطالب إلى المكتبة. دع الأحداث ( text {B} = ) يقوم الطالب بفحص كتاب و ( text {D} = ) يقوم الطالب بفحص قرص DVD.افترض أن (P ( text {B}) = 0.40 ) ، (P ( text {D}) = 0.30 ) و (P ( text {B AND D}) = 0.20 ).

  1. ابحث عن (P ( text {B | D}) ).
  2. ابحث عن (P ( text {D | B}) ).
  3. هل ( text {B} ) و ( text {D} ) مستقلان؟
  4. هل ( text {B} ) و ( text {D} ) متنافيان؟

إجابه

  1. (ف ( نص {ب | د}) = 0.6667 )
  2. (ف ( نص {د | ب}) = 0.5 )
  3. لا
  4. لا

مثال ( PageIndex {8} )

يوجد في الصندوق ثلاث بطاقات حمراء وخمس بطاقات زرقاء. يتم تمييز البطاقات الحمراء بالأرقام 1 و 2 و 3 ، ويتم تمييز البطاقات الزرقاء بالأرقام 1 و 2 و 3 و 4 و 5. البطاقات مرتبة جيدًا. تصل إلى الصندوق (لا يمكنك أن ترى فيه) وترسم بطاقة واحدة.

يترك

  • ( text {R =} ) تم رسم بطاقة حمراء ،
  • ( text {B} = ) تم رسم بطاقة زرقاء ،
  • ( text {E} = ) يتم رسم البطاقة ذات الأرقام الزوجية.

مساحة العينة (S = R1 ، R2 ، R3 ، B1 ، B2 ، B3 ، B4 ، B5 ).

(S ) له ثمانية نتائج.

  • (P ( text {R}) = dfrac {3} {8} ). (P ( text {B}) = dfrac {5} {8} ). (P ( text {R AND B}) = 0 ). (لا يمكنك رسم بطاقة واحدة باللونين الأحمر والأزرق.)
  • (P ( text {E}) = dfrac {3} {8} ). (هناك ثلاث بطاقات ذات أرقام زوجية ، (R2 ، B2 ) ، و (B4 ).)
  • (P ( text {E | B}) = dfrac {2} {5} ). (هناك خمس بطاقات زرقاء: (B1 ، B2 ، B3 ، B4 ) ، و (B5 ). من بين البطاقات الزرقاء ، هناك بطاقتان زوجيتان ؛ (B2 ) و (B4 ). )
  • (P ( text {B | E}) = dfrac {2} {3} ). (هناك ثلاث بطاقات زوجية: (R2 ، B2 ) ، و (B4 ). من بين البطاقات ذات الأرقام الزوجية ، تكون زرقاء ؛ (B2 ) و (B4 ).)
  • الأحداث ( text {R} ) و ( text {B} ) متنافيتان لأن (P ( text {R AND B}) = 0 ).
  • دع ( text {G} = ) بطاقة برقم أكبر من 3. ( text {G} = {B4، B5 } ). (P ( text {G}) = dfrac {2} {8} ). دعونا ( text {H} = ) بطاقة زرقاء مرقمة بين واحد وأربعة ، ضمنا. ( text {H} = {B1، B2، B3، B4 } ). (P ( text {G | H}) = فارك {1} {4} ). (البطاقة الوحيدة في ( text {H} ) التي تحتوي على رقم أكبر من ثلاثة هي B4.) منذ ( dfrac {2} {8} = dfrac {1} {4} ) ، ( P ( text {G}) = P ( text {G | H}) ) ، مما يعني أن ( text {G} ) و ( text {H} ) مستقلان.

تمرين ( PageIndex {8} )

في ملعب كرة السلة ،

  • 70٪ من المشجعين يؤيدون الفريق المضيف.
  • 25٪ من المعجبين يرتدون اللون الأزرق.
  • 20٪ من المشجعين يرتدون اللون الأزرق ويؤيدون الفريق الضيف.
  • من المشجعين الذين يتأصلون مع الفريق الضيف ، 67٪ يرتدون الأزرق.

لنفترض أن ( text {A} ) هو الحدث الذي يقوم فيه أحد المشجعين بتجذير الفريق الضيف.

لنفترض أن ( text {B} ) هو الحدث الذي يرتدي فيه أحد المعجبين اللون الأزرق.

هل أحداث التأصيل للفريق الضيف ولبس الأزرق مستقل؟ هل هم متعارضون؟

إجابه

  • (ف ( نص {ب | أ}) = 0.67 )
  • (ف ( نص {ب}) = 0.25 )

لذلك (P ( text {B}) ) لا يساوي (P ( text {B | A}) ) مما يعني أن ( text {B} و text {A} ) ليسوا كذلك مستقل (ارتداء اللون الأزرق والتجذير للفريق الضيف ليسوا مستقلين). كما أنها ليست حصرية بشكل متبادل ، لأن (P ( text {B AND A}) = 0.20 ) ، وليس (0 ).

مثال ( PageIndex {9} )

في فصل جامعي معين ، 60 ٪ من الطلاب هم من الإناث. 50٪ من الطلاب في الفصل لديهم شعر طويل. خمسة وأربعون في المائة من الطلاب هم من الإناث ولديهم شعر طويل. 75٪ من الطالبات لديهن شعر طويل. لنكن ( text {F} ) الحدث الذي تكون فيه الطالبة أنثى. لنفترض أن ( text {L} ) حدث أن الطالب لديه شعر طويل. يتم اختيار طالب واحد بشكل عشوائي. هل أحداث كونك أنثى وشعر طويل مستقلة؟

  • يتم إعطاء الاحتمالات التالية في هذا المثال:
  • (P ( text {F}) = 0.60 ) ؛ (ف ( نص {L}) = 0.50 )
  • (P ( text {F AND L}) = 0.45 )
  • (P ( text {L | F}) = 0.75 )

اختيارك يعتمد على المعلومات التي لديك. يمكنك استخدام الشرط الأول أو الأخير في القائمة لهذا المثال. أنت لا تعرف (P ( text {F | L}) ) حتى الآن ، لذلك لا يمكنك استخدام الشرط الثاني.

الحل 1

تحقق مما إذا كان (P ( text {F AND L}) = P ( text {F}) P ( text {L}) ). لقد علمنا أن (P ( text {F AND L}) = 0.45 ) ، ولكن (P ( text {F}) P ( text {L}) = (0.60) (0.50) = 0.30 ). أحداث كونك أنثى وشعر طويل ليست مستقلة لأن (P ( text {F AND L}) ) لا يساوي (P ( text {F}) P ( text {L}) ) .

الحل 2

تحقق مما إذا كان (P ( text {L | F}) ) يساوي (P ( text {L}) ). لقد علمنا أن (P ( text {L | F}) = 0.75 ) ، ولكن (P ( text {L}) = 0.50 ) ؛ ليسوا متساوين. حادثة كونك أنثى وشعر طويل ليست مستقلة.

تفسير النتائج

حادثة كونك أنثى وشعر طويل ليست مستقلة ؛ معرفة أن الطالبة أنثى يغير احتمالية أن يكون للطالب شعر طويل.

تمرين ( PageIndex {9} )

يحدد مارك الطريق الذي يجب أن يسلكه إلى العمل. اختياراته هي ( نص {أنا} = ) الطريق السريع و ( النص {F} = ) الشارع الخامس.

  • (P ( text {I}) = 0.44 ) و (P ( text {F}) = 0.55 )
  • (P ( text {I AND F}) = 0 ) لأن Mark سيأخذ مسارًا واحدًا فقط للعمل.

ما هو احتمال (P ( text {I OR F}) )؟

إجابه

لأن (P ( text {I AND F}) = 0 ) ،

(P ( text {I OR F}) = P ( text {I}) + P ( text {F}) - P ( text {I AND F}) = 0.44 + 0.56 - 0 = 1 )

مثال ( PageIndex {10} )

  1. ارمِ عملة واحدة عادلة (للعملة المعدنية وجهان ، ( text {H} ) و ( text {T} )). النتائج ________. عد النتائج. هناك ____ نتائج.
  2. ارمِ نردًا واحدًا سداسي الجوانب (يحتوي النرد على 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5 أو 6 نقاط على جانب). النتائج هي ________________. هناك ___ نتيجة.
  3. اضرب عددي النتائج. الجواب هو _______.
  4. إذا قمت بقلب عملة واحدة واتبعتها بإلقاء نرد واحد من ستة جوانب ، فإن الإجابة في ثلاثة هي عدد النتائج (حجم مساحة العينة). ما هي النتائج؟ (تلميح: اثنان من النتائج هما (H1 ) و (T6 ).)
  5. حدث ( نص {A} = ) رؤوس ( ( نص {H} )) على العملة متبوعًا برقم زوجي (2 ، 4 ، 6) على النرد.
    ( text {A} ) = {_________________}. ابحث عن (P ( text {A}) ).
  6. الحدث ( text {B} = ) رؤوس على العملة متبوعة بثلاثة على النرد. ( text {B} = ) {________}. ابحث عن (P ( text {B}) ).
  7. هل ( text {A} ) و ( text {B} ) متنافيان؟ (تلميح: ما هو (P ( text {A AND B}) )؟ If (P ( text {A AND B}) = 0 ) ، ثم ( text {A} ) و ( text {B} ) متنافيان.)
  8. هل ( text {A} ) و ( text {B} ) مستقلان؟ (تلميح: هل (P ( text {A AND B}) = P ( text {A}) P ( text {B}) )؟ إذا (P ( text {A AND B}) = P ( text {A}) P ( text {B}) ) ، ثم ( text {A} ) و ( text {B} ) مستقلان. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فإنهما تابعان ).

حل

  1. ( text {H} ) و ( text {T} ) ؛ 2
  2. 1, 2, 3, 4, 5, 6; 6
  3. 2(6) = 12
  4. (T1، T2، T3، T4، T5، T6، H1، H2، H3، H4، H5، H6 )
  5. ( text {A} = {H2، H4، H6 } ) ؛ (P ( text {A}) = dfrac {3} {12} )
  6. ( text {B} = {H3 } ) ؛ (P ( text {B}) = dfrac {1} {12} )
  7. نعم ، لأن (P ( text {A AND B}) = 0 )
  8. (P ( text {A AND B}) = 0 ). (P ( text {A}) P ( text {B}) = left ( dfrac {3} {12} right) left ( dfrac {1} {12} right) ). (P ( text {A AND B}) ) لا يساوي (P ( text {A}) P ( text {B}) ) ، لذلك ( text {A} ) و ( text {B} ) تابعان.

تمرين ( PageIndex {10} )

صندوق به كرتان ، واحدة بيضاء والأخرى حمراء. لنكن (text {T} ) حدث الحصول على الكرة البيضاء مرتين ، ( text {F} ) حدث التقاط الكرة البيضاء أولاً ، ( text {S} ) حدث الالتقاط الكرة البيضاء في الرسم الثاني.

  1. احسب (P ( text {T}) ).
  2. احسب (P ( text {T | F}) ).
  3. هل (text {T} ) و ( text {F} ) مستقلان ؟.
  4. هل ( text {F} ) و ( text {S} ) متنافيان؟
  5. هل ( text {F} ) و ( text {S} ) مستقلان؟

إجابه

  1. (P ( text {T}) = dfrac {1} {4} )
  2. (P ( text {T | F}) = dfrac {1} {2} )
  3. لا
  4. لا
  5. نعم

مراجع

  1. لوبيز ، شين ، بريتي سيدو. "نحن. يحب المعلمون حياتهم ، لكنهم يكافحون في مكان العمل ". Gallup Wellbeing ، 2013. http://www.gallup.com/poll/161516/te...workplace.aspx (تمت الزيارة في 2 مايو 2013).
  2. بيانات من جالوب. متاح على الإنترنت على www.gallup.com/ (تمت الزيارة في 2 مايو 2013).

مراجعة الفصل

يعتبر حدثان ( text {A} ) و ( text {B} ) مستقلين إذا كانت معرفة أن أحدهما لا تؤثر على فرصة حدوث الآخر. إذا لم يكن حدثان مستقلان ، فإننا نقول إنهما تابعان.

عند أخذ العينات مع الاستبدال ، يتم استبدال كل فرد من السكان بعد اختياره ، بحيث يكون لهذا العضو إمكانية اختياره أكثر من مرة ، وتعتبر الأحداث مستقلة. في أخذ العينات بدون استبدال ، يمكن اختيار كل فرد من السكان مرة واحدة فقط ، وتعتبر الأحداث غير مستقلة. عندما لا تشترك الأحداث في النتائج ، فإنها تستبعد بعضها البعض.

مراجعة الصيغة

  • إذا كان ( text {A} ) و ( text {B} ) مستقلين ، (P ( text {A AND B}) = P ( text {A}) P ( text {B }) ، P ( text {A | B}) = P ( text {A}) ) و (P ( text {B | A}) = P ( text {B}) ).
  • إذا كان ( text {A} ) و ( text {B} ) متنافيين ، (P ( text {A OR B}) = P (text {A}) + P ( text { B}) و P ( text {A AND B}) = 0 ).

المساهمون

تمرين 3.3.11

( text {E} ) و ( text {F} ) حدثان متنافيان. (P ( text {E}) = 0.4 ) ؛ (P ( text {F}) = 0.5 ). ابحث عن (P ( text {E∣F}) ).

تمرين 3.3.12

( text {J} ) و ( text {K} ) حدثان مستقلان. (P ( text {J | K}) = 0.3 ). ابحث عن (P ( text {J}) ).

إجابه

(P ( text {J}) = 0.3 )

تمرين 3.3.13

( text {U} ) و ( text {V} ) حدثان متنافيان. (P ( text {U}) = 0.26 ) ؛ (P ( text {V}) = 0.37 ). يجد:

  1. (P ( text {U AND V}) = )
  2. (P ( text {U | V}) = )
  3. (P ( text {U OR V}) = )

تمرين 3.3.14

( text {Q} ) و ( text {R} ) حدثان مستقلان. (P ( text {Q}) = 0.4 ) و (P ( text {Q AND R}) = 0.1 ). ابحث عن (P ( text {R}) ).

إجابه

(P ( text {Q AND R}) = P ( text {Q}) P ( text {R}) )

(0.1 = (0.4) ف ( نص {R}) )

(P ( text {R}) = 0.25 )

اجمعها معا

تمرين 3.3.16

في العام السابق ، كانت أوزان أعضاء سان فرانسيسكو 49ers و ال رعاة البقر في دالاس تم نشرها في سان خوسيه ميركوري نيوز. يتم تجميع البيانات الواقعية في الجدول.

قميص#≤ 210211–250251–290290≤
1–3321500
34–6661874
66–99612225

لما يلي ، افترض أنك قمت باختيار لاعب واحد عشوائيًا من بين 49ers أو Cowboys.

إذا كان الحصول على رقم قميص من واحد إلى 33 ووزنه 210 أرطال بحد أقصى حدثا مستقلا ، فماذا يجب أن يكون صحيحا بخصوص (P ( text {Shirt} # 1–33 | leq 210 text {جنيه}) )؟

تمرين 3.3.17

يبلغ احتمال إصابة الرجل بنوع من السرطان في حياته 0.4567. احتمال أن يكون لدى الرجل نتيجة اختبار إيجابية خاطئة واحدة على الأقل (بمعنى أن الاختبار يعود للسرطان عندما لا يكون الرجل مصابًا به) هو 0.51. لا تحتوي بعض الأسئلة التالية على معلومات كافية للإجابة عليها. اكتب "معلومات غير كافية" لتلك الإجابات. دعونا ( text {C} = ) يصاب الرجل بالسرطان في حياته و ( text {P} = ) لدى الرجل على الأقل إيجابية خاطئة واحدة.

  1. (P ( text {C}) = ) ______
  2. (P ( text {P | C}) = ) ______
  3. (P ( text {P | C '}) = ) ______
  4. إذا كانت نتيجة الاختبار إيجابية ، بناءً على القيم العددية ، فهل يمكنك افتراض إصابة الرجل بالسرطان؟ برر عدديًا واشرح لماذا أو لم لا.

إجابه

  1. (P ( text {C}) = 0.4567 )
  2. لا توجد معلومات كافية
  3. لا توجد معلومات كافية
  4. لا ، لأن أكثر من نصف الرجال (0.51) لديهم نص إيجابي خاطئ واحد على الأقل

تمرين 3.3.18

معطى الأحداث ( text {G} ) و ( النص {H}: P ( text {G}) = 0.43 ) ؛ (P ( text {H}) = 0.26 ) ؛ (P ( text {H AND G}) = 0.14 )

  1. ابحث عن (P ( text {H OR G}) ).
  2. أوجد احتمال تكملة الحدث ( ( text {H AND G} )).
  3. أوجد احتمال تكملة الحدث ( ( text {H OR G} )).

تمرين 3.3.19

معطى الأحداث ( text {J} ) و ( text {K}: P ( text {J}) = 0.18 ) ؛ (P ( text {K}) = 0.37 ) ؛ (P ( text {J OR K}) = 0.45 )

  1. ابحث عن (P ( text {J AND K}) ).
  2. أوجد احتمال تكملة الحدث ( ( text {J AND K} )).
  3. أوجد احتمال تكملة الحدث ( ( text {J AND K} )).

إجابه

  1. (P ( text {J OR K}) = P ( text {J}) + P ( text {K}) - P ( text {J AND K}) ؛ 0.45 = 0.18 + 0.37 - P ( text {J AND K}) ) ؛ حل لإيجاد (P ( text {J AND K}) = 0.10 )
  2. (P ( text {NOT (J AND K)}) = 1 - P ( text {J AND K}) = 1 - 0.10 = 0.90 )
  3. (P ( text {NOT (J OR K)}) = 1 - P ( text {J OR K}) = 1 - 0.45 = 0.55 )

قائمة المصطلحات

الأحداث التابعة
إذا كان حدثان غير مستقلين ، فإننا نقول إنهما تابعان.
أخذ العينات مع الاستبدال
إذا تم استبدال كل فرد من السكان بعد اختياره ، فإن هذا العضو لديه إمكانية اختياره أكثر من مرة.
أخذ العينات بدون استبدال
عندما يتم أخذ العينات بدون استبدال ، يمكن اختيار كل فرد من السكان مرة واحدة فقط.
الاحتمال الشرطي لحدث معين في ظل حدث آخر
ص(أ|ب) هو احتمال هذا الحدث أ سيحدث بالنظر إلى أن الحدث ب قد حدث بالفعل.
أو حدثين
النتيجة في الحدث أ أو ب إذا كانت النتيجة في أ، في داخل ب، أو في كليهما أ و ب.

حدثان مستقلان إذا كان ما يلي صحيحًا:

حدثان أ و ب نكون مستقل إذا كانت المعرفة بحدوث أحدهما لا تؤثر على فرصة حدوث الآخر. على سبيل المثال ، فإن نتائج دورين من الموت العادل هي أحداث مستقلة. نتيجة اللفة الأولى لا تغير من احتمالية نتيجة اللفة الثانية. لإظهار حدثين مستقلين ، يجب عليك إظهار واحد فقط من الشروط المذكورة أعلاه.

إذا لم يكن هناك حدثان مستقلان ، فإننا نقول أنهما كذلك يعتمد.

قد يتم أخذ العينات مع الاستبدال أو من دون بديل.

  • مع الاستبدال: إذا تم استبدال كل فرد من السكان بعد اختياره ، فإن هذا العضو لديه إمكانية اختياره أكثر من مرة. عندما يتم أخذ العينات مع الاستبدال ، فإن الأحداث تعتبر مستقلة ، مما يعني أن نتيجة الاختيار الأول لن تغير احتمالات الاختيار الثاني.
  • من دون بديل: عندما يتم أخذ العينات بدون استبدال ، يمكن اختيار كل فرد من السكان مرة واحدة فقط. في هذه الحالة ، تتأثر احتمالات الانتقاء الثاني بنتيجة الاختيار الأول. تعتبر الأحداث تابعة أو غير مستقلة.

إذا كان من غير المعروف ما إذا كان أ و ب مستقلة أو تابعة ، افترض أنهم يعتمدون على الآخرين حتى تتمكن من إظهار خلاف ذلك.

لديك مجموعة ورق عادلة ومخلوطة جيدًا مكونة من 52 بطاقة. يتكون من أربع بدلات. البدلات هي النوادي والماس والقلوب والبستوني. هناك 13 بطاقة في كل مجموعة تتكون من 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، ي (جاك)، س (ملكة)، ك (ملك) تلك الدعوى.

  1. ساالاختلاط مع الاستبدال:لنفترض أنك اخترت ثلاث بطاقات مع الاستبدال. أول بطاقة تختارها من بين 52 بطاقة هي
    س البستوني. يمكنك وضع هذه البطاقة مرة أخرى ، وتعديل البطاقات واختيار بطاقة ثانية من مجموعة الأوراق المكونة من 52 بطاقة. إنها العشرة الأندية. يمكنك وضع هذه البطاقة مرة أخرى ، وتعديل البطاقات واختيار بطاقة ثالثة من مجموعة الأوراق المكونة من 52 بطاقة. هذه المرة ، البطاقة هي س من البستوني مرة أخرى. اختياراتك هي <س من البستوني ، عشرة من النوادي ، س البستوني>. لقد اخترت س من البستوني مرتين. يمكنك اختيار كل بطاقة من مجموعة البطاقات المكونة من 52 بطاقة.
  2. أخذ العيناتمن دون بديل:لنفترض أنك اخترت ثلاث بطاقات بدون استبدال. أول بطاقة تختارها من بين 52 بطاقة هي
    ك القلوب. تضع هذه البطاقة جانبًا وتختار البطاقة الثانية من بين 51 بطاقة متبقية في المجموعة. إنها الماسات الثلاثة. تضع هذه البطاقة جانبًا وتختار البطاقة الثالثة من البطاقات الخمسين المتبقية في المجموعة. البطاقة الثالثة هي ي البستوني. اختياراتك هي <ك من القلوب ، وثلاثة من الماس ، ي البستوني>. نظرًا لأنك اخترت البطاقات بدون استبدال ، لا يمكنك اختيار نفس البطاقة مرتين.

احداث حصرية متبادلة

أ و ب نكون لا يعتمدوا على بعض الأحداث إذا كانت لا يمكن أن تحدث في نفس الوقت. هذا يعني ذاك أ و ب لا تشارك أي نتائج و ص(أ و ب) = 0.

إذا كان من غير المعروف ما إذا كان أ و ب متنافية ، افترض أنها ليست كذلك حتى يمكنك إظهار خلاف ذلك. توضح الأمثلة التالية هذه التعريفات والمصطلحات.

مثال

اقلب عملتين من العملات العادلة. (هذه تجربة).

مساحة العينة هي <ح ح, HT, ذ, TT> أين تي = ذيول و ح = الرؤوس. النتائج ح ح, HT, ذ، و TT. نتائج HT و TH مختلفة. ال HT يعني أن العملة الأولى أظهرت وجهًا وأظهرت العملة الثانية ذيولًا. ال ذ يعني أن العملة الأولى أظهرت ذيولًا وأظهرت العملة الثانية وجهًا.

  • يترك أ = حدث الحصول على فيمعظم ذيل واحد. (ذيل واحد على الأكثر يعني صفرًا أو ذيلًا واحدًا). ​​ثم أ يمكن كتابتها كـ <ح ح, HT,ذ>. النتيجة ح ح يظهر صفر ذيول. HT و ذ كل عرض ذيل واحد.
  • يترك ب = حدث الحصول على كل ذيول. ب يمكن كتابتها كـ <TT>. ب هل تكملة من أ، وبالتالي ب = أ'. أيضا، ص(أ) + ص(ب) = ص(أ) + ص(أ') = 1.
  • احتمالات أ ولل ب نكون ص(أ) = [لاتكس] displaystyle frac <<3>> <<4>> [/ latex].
  • يترك ج = حدث الحصول على كل الرؤوس. ج = <ح ح>. حيث ب = <TT>, ص(ب و ج) = 0. ب و ج متنافية. (ب و ج ليس لديك أعضاء مشتركون لأنه لا يمكن أن يكون لديك كل ذيول وكل الرؤوس في نفس الوقت.)
  • يترك د = حدث الحصول على أكثر من واحد ذيل. د = <TT>. ص(د) = [لاتكس] displaystyle frac <<1>> <<4>> [/ latex]
  • يترك ه = حدث الحصول على رأس في أول لفة. (هذا يعني أنه يمكنك الحصول على رأس أو ذيل في لفة ثانية.) ه = <HT,ح ح>. ص(ه) = [لاتكس] displaystyle frac <<2>> <<4>> [/ latex]
  • أوجد احتمال الحصول مرة على الأقل (واحد أو اثنان) ذيل في قلبين. يترك F = حدث الحصول على ذيل واحد على الأقل في قلبين.F = <HT, ذ, TT>. ص(F) = [اللاتكس] displaystyle frac <<3>> <<4>> [/ latex]

جربها

ارسم ورقتين من مجموعة قياسية من 52 بطاقة مع الاستبدال. أوجد احتمال الحصول على بطاقة سوداء واحدة على الأقل.

مساحة العينة لرسم بطاقتين مع الاستبدال من مجموعة قياسية مكونة من 52 بطاقة فيما يتعلق بالألوان هي <BB, BR, RB, RR>.

حدث أ = الحصول على بطاقة سوداء واحدة على الأقل = <BB, BR, RB>

مثال

اقلب عملتين من العملات العادلة. أوجد احتمالات الأحداث.

  1. يترك F = حدث الحصول على ذيل واحد على الأكثر (صفر أو ذيل واحد).
  2. يترك جي = حالة الحصول على وجهين متطابقين.
  3. يترك ح = حدث الحصول على رأس في الوجه الأول متبوعًا برأس أو ذيل على الوجه الثاني.
  4. نكون F و جي لا يعتمدوا على بعض؟
  5. يترك ي = حدث الحصول على كل ذيول. نكون ي و ح لا يعتمدوا على بعض؟

انظر إلى مساحة العينة في المثال 3.

  1. الذيول صفر (0) أو واحد (1) يحدث عند النتائج ح ح, ذ, HT اظهر. ص(F) = [لاتكس] displaystyle frac <<3>> <<4>> [/ latex]
  2. وجهان متماثلان إذا ح ح أو TT اظهر. ص(جي) = [لاتكس] displaystyle frac <<2>> <<4>> [/ latex]
  3. عندما يحدث رأس على الوجه الأول متبوعًا برأس أو ذيل على الوجه الثاني ح ح أو HT اظهر. ص(ح) = [لاتكس] displaystyle frac <<2>> <<4>> [/ latex]
  4. F و جي شارك ح ح وبالتالي ص(F و جي) لا يساوي صفرًا (0). F و جي لا يستبعد أحدهما الآخر.
  5. يحدث الحصول على كل ذيول عندما تظهر ذيول على كلتا القطعتين (TT). ح& # 8216s النتائج ح ح و HT.

ي و ح لا يوجد شيء مشترك ص(ي و ح) = 0. ي و ح متنافية.

يقدم هذا الفيديو مثالين آخرين لإيجاد احتمالية وقوع أحداث متنافية.

جربها

صندوق به كرتان ، واحدة بيضاء والأخرى حمراء. نختار كرة واحدة ، ونعيدها إلى الصندوق ، ونختار كرة ثانية (أخذ العينات مع الاستبدال). أوجد احتمال الأحداث التالية:

  1. يترك F = حالة الحصول على الكرة البيضاء مرتين.
  2. يترك جي = حالة الحصول على كرتين بألوان مختلفة.
  3. يترك ح = حدث الحصول على اللون الأبيض من الاختيار الأول.
  4. نكون F و جي لا يعتمدوا على بعض؟
  5. نكون جي و ح لا يعتمدوا على بعض؟
  1. ص(F) = [لاتكس] displaystyle frac <<1>> <<4>> [/ latex]
  2. ص(جي) = [لاتكس] displaystyle frac <<1>> <<2>> [/ latex]
  3. ص(ح) = [لاتكس] displaystyle frac <<1>> <<2>> [/ latex]
  4. نعم
  5. لا

مثال

دحرج نردًا واحدًا سداسي الجوانب. مساحة العينة هي <1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6>. دعونا الحدث
أ = وجه غريب. ثم أ = <1، 3، 5>. دعونا الحدث ب = الوجه متساوي. ثم ب = <2, 4, 6>.

  • ابحث عن تكملة أ, أ'. تكملة أ, أ'، يكون ب لأن أ و ب معا تشكل مساحة العينة. ص(أ) +ص(ب) = ص(أ) + ص(أ') = 1. أيضًا ، ص(أ) = [لاتكس] displaystyle frac <<3>> <<6>> [/ latex].
  • دعونا الحدث ج = وجوه فردية أكبر من اثنين. ثم ج = <3، 5>. دعونا الحدث د = كل الوجوه أصغر من خمسة. ثم د = <2, 4>. ص(جو د) = 0 لأنه لا يمكن أن يكون لديك وجه فردي وزوجي في نفس الوقت. لذلك، ج و د هي أحداث متنافية.
  • دعونا الحدث ه = كل الوجوه أقل من خمسة. ه = <1, 2, 3, 4>.

نكون ج و ه احداث حصرية متبادلة؟ (أجب بنعم أو لا.) لماذا أو لم لا؟

  • تجد ص(ج|أ). هذا احتمال مشروط. أذكر أن الحدث ج هو <3 ، 5> والحدث أ هو <1، 3، 5>. لايجاد ص(ج|أ) ، أوجد احتمال ج باستخدام مساحة العينة أ. لقد قللت مساحة العينة من مساحة العينة الأصلية <1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6> إلى <1 ، 3 ، 5>. وبالتالي، ص(ج|أ) = [لاتكس] displaystyle frac <<2>> <<3>> [/ latex].

جربها

دعونا الحدث أ = تعلم الاسبانية. دعونا الحدث ب = تعلم اللغة الألمانية. ثم أ و ب = تعلم الإسبانية والألمانية. يفترض ص(أ) = 0.4 و ص(ب) = 0.2. ص(أ و ب) = 0.08. هي أحداث أ وب لا يعتمد؟ تلميح: يجب عليك إظهار واحد مما يلي:

مثال

دعونا الحدث جي = أخذ حصة رياضيات. دعونا الحدث ح = أخذ حصة في العلوم. ثم، جي و ح = أخذ حصة رياضيات وفصل علوم. يفترض ص(جي) = 0.6, ص(ح) = 0.5 و ص(جي و ح) = 0.3. نكون جي و ح لا يعتمد؟

إذا جي و ح مستقلة ، إذًا يجب أن تظهر واحد من التالي:

اختيارك يعتمد على المعلومات التي لديك. يمكنك اختيار أي من الطرق هنا لأن لديك المعلومات اللازمة.

حيث جي و ح مستقلون ، فمعرفة أن شخصًا ما يأخذ فصلًا في العلوم لا يغير من فرصة حضوره لفصل الرياضيات. إذا لم يكن الحدثان مستقلين (أي أنهما تابعان) فإن معرفة أن شخصًا ما يأخذ فصلًا في العلوم من شأنه أن يغير فرصته في أخذ الرياضيات. للممارسة ، أظهر ذلك ص(ح|جي) = ص(ح) لعرض ذلك جي و ح هي أحداث مستقلة.

جربها

في كيس ، توجد ست كرات حمراء وأربع كرات زجاجية خضراء. تم تمييز الكرات الحمراء بالأرقام 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6. أما الكرات الخضراء فيتم تمييزها بالأرقام 1 و 2 و 3 و 4.

  • ص = رخام أحمر
  • جي = رخام أخضر
  • ا = رخام فردي
  • مساحة العينة س = <ص1, ص2, ص3, ص4, ص5, ص6, جي1, جي2, جي3, جي4>.

مثال

دعونا الحدث ج = أخذ فصل في اللغة الإنجليزية. دعونا الحدث د = أخذ حصة في الكلام.

برر إجاباتك على الأسئلة التالية عدديًا.

  1. نعم لأن ص(ج|د) = ص(ج).
  2. لا ل ص(ج و د) لا يساوي الصفر.
  3. [اللاتكس] displaystyle

    <()> = فارك <<

    <( نص <و>)>>><<

    <() >>> = فارك << 0.225 >> << 0.75 >> = <0.3> [/ لاتكس]

جربها

يذهب الطالب إلى المكتبة. دعونا الأحداث ب = يقوم الطالب بفحص كتاب و د = يقوم الطالب بفحص قرص DVD. لنفترض أن ص(ب) = 0.40, ص(د) = 0.30 و ص(ب و د) = 0.20.

  1. تجد ص(ب|د).
  2. تجد ص(د|ب).
  3. نكون ب و د لا يعتمد؟
  4. نكون ب و د لا يعتمدوا على بعض؟

مثال

يوجد في الصندوق ثلاث بطاقات حمراء وخمس بطاقات زرقاء. يتم تمييز البطاقات الحمراء بالأرقام 1 و 2 و 3 ، ويتم تمييز البطاقات الزرقاء بالأرقام 1 و 2 و 3 و 4 و 5. البطاقات مرتبة جيدًا. تصل إلى الصندوق (لا يمكنك أن ترى فيه) وترسم بطاقة واحدة.

يترك ص = تم سحب البطاقة الحمراء ، ب = بطاقة زرقاء مرسومة ، ه = يتم رسم البطاقة ذات الأرقام الزوجية.

  • ص(ص) = [لاتكس] displaystyle frac <<3>> <<8>> [/ latex]. ص(ص و ب) = 0. (لا يمكنك رسم بطاقة واحدة باللونين الأحمر والأزرق.)
  • ص(ه) = [لاتكس] displaystyle frac <<3>> <<8>> [/ latex]. (هناك ثلاث بطاقات ذات أرقام زوجية ، ص2, ب2 و ب4.)
  • ص(ه|ب) = [لاتكس] displaystyle frac <<2>> <<5>> [/ latex]. (هناك خمس بطاقات زرقاء: ب1, ب2, ب3, ب4 و ب5. من البطاقات الزرقاء ، هناك بطاقتان زوجيتان ب2 وب4.)
  • ص(ب|ه) = [لاتكس] displaystyle frac <<2>> <<3>> [/ latex]. (توجد ثلاث بطاقات ذات أرقام زوجية: ص2, ب2 و ب4. من البطاقات ذات الأرقام الزوجية إلى اللون الأزرق ب2 وب4.)
  • الأحداث ص و ب هي حصرية لأن ص(ص و ب) = 0.
  • يترك جي = بطاقة برقم أكبر من 3. جي = <ب4, ب5>. ص(جي) = [لاتكس] displaystyle frac <<2>> <<8>> [/ latex] ، ص(جي) = ص(جي|ح)، مما يعنى جي و ح مستقلة.

جربها

  • 70٪ من المشجعين يؤيدون الفريق المضيف.
  • 25٪ من المعجبين يرتدون اللون الأزرق.
  • 20٪ من المشجعين يرتدون اللون الأزرق ويؤيدون الفريق الضيف.
  • من المشجعين الذين يتأصلون مع الفريق الضيف ، 67٪ يرتدون الأزرق.

يترك أ يكون الحدث الذي يتجذر فيه أحد المشجعين للفريق الضيف.

يترك ب هل حدث أن يرتدي أحد المشجعين اللون الأزرق ، فهل أحداث تأصيل الفريق الضيف ولبس الأزرق مستقل؟ هل هم متعارضون؟

وبالتالي ص(ب) لا يساوي ص(ب|أ) مما يعنى ب و أ ليسوا مستقلين (ارتداء اللون الأزرق والتجذير للفريق الضيف ليسوا مستقلين). هم أيضا لا يستبعد أحدهما الآخر ، لأنص(حافظة مسافة أ) = 0.20 وليس 0.

مثال

في فصل جامعي معين ، 60 ٪ من الطلاب هم من الإناث. 50٪ من الطلاب في الفصل لديهم شعر طويل. خمسة وأربعون في المائة من الطلاب هم من الإناث ولديهم شعر طويل. 75٪ من الطالبات لديهن شعر طويل. يترك F يكون الحدث أن تكون الطالبة أنثى. يترك إل يكون الحدث أن الطالب لديه شعر طويل. يتم اختيار طالب واحد بشكل عشوائي. هل أحداث كونك أنثى وشعر طويل مستقلة؟

  • يتم إعطاء الاحتمالات التالية في هذا المثال:
  • ص(F) = 0.60 ص(إل) = 0.50
  • ص(F و إل) = 0.45
  • ص(إل|F) = 0.75

ملحوظة:اختيارك يعتمد على المعلومات التي لديك. يمكنك استخدام الشرط الأول أو الأخير في القائمة لهذا المثال. أنت لا تعرف ص(F|إل) حتى الآن ، لذلك لا يمكنك استخدام الشرط الثاني.

تحقق مما إذا كان ص(إل|F) يساوي ص(إل). لقد أعطينا ذلك ص(إل|F) = 0.75 لكن ص(إل) = 0.50 ليسوا متساويين. حادثة كونك أنثى وشعر طويل ليست مستقلة.

تفسير النتائج

إن أحداث كونك أنثى وذات شعر طويل ليست مستقلة ، مع العلم أن الطالبة أنثى يغير احتمالية أن يكون للطالب شعر طويل.

جربها

يحدد مارك الطريق الذي يجب أن يسلكه إلى العمل. اختياراته أنا = الطريق السريع و F = الشارع الخامس.

ما هو احتمال ص(أنا أو F)?

مثال

  1. ارم عملة واحدة عادلة (للعملة وجهان ، ح و تي). النتائج ________. عد النتائج. هناك ____ نتائج.
  2. ارمِ نردًا واحدًا سداسي الجوانب (يحتوي النرد على 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5 أو 6 نقاط على جانب). النتائج هي ________________. عد النتائج. هناك ___ نتيجة.
  3. اضرب عددي النتائج. الجواب هو _______.
  4. إذا قمت بقلب عملة واحدة واتبعتها بإلقاء نرد واحد من ستة جوانب ، فإن الإجابة في ثلاثة هي عدد النتائج (حجم مساحة العينة). ما هي النتائج؟ (تلميح: اثنان من النتائج ح1 و تي6.)
  5. حدث أ = رؤوس (ح) على العملة المعدنية متبوعًا برقم زوجي (2 ، 4 ، 6) على النرد.
    أ = <_________________>. تجد ص(أ).
  6. حدث ب = رؤوس على العملة متبوعة بثلاثة عند الزهر. ب = <________>. تجد ص(ب).
  7. نكون أ و ب لا يعتمدوا على بعض؟ (تلميح: ما هو ص(أ و ب)؟ إذا ص(أ و ب) = 0 إذن أ و ب متنافيون.)
  8. نكون أ و ب لا يعتمد؟ (تلميح: هل ص(أ و ب) = ص(أ)ص(ب)؟ إذا ص(أ و ب) = ص(أ)ص(ب)، ومن بعد أ و ب مستقلة. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فهم تابعون)
  1. ح و تي 2
  2. 1, 2, 3, 4, 5, 6 6
  3. 2(6) = 12
  4. تي1, تي2, تي3, تي4, تي5, تي6, ح1, ح2, ح3, ح4, ح5, ح6
  5. أ = <ح2, ح4, ح6> ص(أ) = [لاتكس] displaystyle frac <<3>> <<12>> [/ latex]
  6. ب = <ح3> ص(ب) = [لاتكس] displaystyle frac <<1>> <<12>> [/ latex]
  7. نعم لأن ص(أ و ب) = 0
  8. ص(أ و ب) = 0.ص(أ)ص(ب) = [لاتكس] displaystyle <(frac <<3>> <<12>>)> <(frac <<1>> <<12>>)> [/ latex]. ص(أ و ب) لا يساوي ص(أ)ص(ب)، وبالتالي أ و ب تعتمد.

جربها

صندوق به كرتان ، واحدة بيضاء والأخرى حمراء. نختار كرة واحدة ، ونعيدها إلى الصندوق ، ونختار كرة ثانية (أخذ العينات مع الاستبدال). يترك تي يكون حدث الحصول على الكرة البيضاء مرتين ، F حدث التقاط الكرة البيضاء أولاً ، س حالة التقاط الكرة البيضاء في الرسم الثاني.

  1. إحصاء - عد ص(تي).
  2. إحصاء - عد ص(تي|F).
  3. نكون تي و F لا يعتمد؟.
  4. نكون F و س لا يعتمدوا على بعض؟
  5. نكون F و س لا يعتمد؟
  1. ص(تي) = [لاتكس] displaystyle frac <<1>> <<4>> [/ latex]
  2. ص(تي|F) = [لاتكس] displaystyle frac <<1>> <<2>> [/ latex]
  3. لا
  4. لا
  5. نعم

أحداث مستقلة

حدثان مستقلان إذا كان ما يلي صحيحًا:

حدثان أ و ب نكون أحداث مستقلة إذا كانت المعرفة بحدوث أحدهما لا تؤثر على فرصة حدوث الآخر. على سبيل المثال ، فإن نتائج دورين من الموت العادل هي أحداث مستقلة. نتيجة اللفة الأولى لا تغير من احتمالية نتيجة اللفة الثانية. لإظهار حدثين مستقلين ، يجب عليك إظهار واحد فقط من الشروط المذكورة أعلاه. إذا لم يكن هناك حدثان مستقلان ، فإننا نقول أنهما كذلك الأحداث التابعة.

قد يتم أخذ العينات مع استبدال أو من دون بديل.

  • مع الاستبدال: إذا تم استبدال كل فرد من السكان بعد اختياره ، فإن هذا العضو لديه إمكانية اختياره أكثر من مرة. عندما يتم أخذ العينات مع الاستبدال ، فإن الأحداث تعتبر مستقلة ، مما يعني أن نتيجة الاختيار الأول لن تغير احتمالات الاختيار الثاني.

كيس يحتوي على أربع كرات زرقاء وثلاث كرات بيضاء. يسحب جيمس قطعة واحدة من الكيس عشوائيًا ، ويسجل اللون ، ويحل محل الرخام. احتمالية الرسم باللون الأزرق هي 4 7 4 7. عندما يسحب جيمس كرة من الكيس مرة ثانية ، يظل احتمال الرسم باللون الأزرق 4 7 4 7. استبدل جيمس الرخام بعد السحب الأول ، لذلك لا تزال هناك أربع كرات زرقاء وثلاث كرات بيضاء.

  • من دون بديل: عندما يتم أخذ العينات بدون استبدال ، يمكن اختيار كل فرد من السكان مرة واحدة فقط. في هذه الحالة ، تتأثر احتمالات الانتقاء الثاني بنتيجة الاختيار الأول. تعتبر الأحداث تابعة أو غير مستقلة.

إذا كان من غير المعروف ما إذا كان أ و ب مستقلة أو تابعة ، افترض أنهم يعتمدون على الآخرين حتى تتمكن من إظهار خلاف ذلك.

مثال 3.4

لديك مجموعة ورق عادلة ومخلوطة جيدًا مكونة من 52 بطاقة. يتكون من أربع بدلات. البدلات هي النوادي والماس والقلوب والبستوني. النوادي والبستوني سوداء ، بينما الماس والقلوب بطاقات حمراء. هناك 13 بطاقة في كل مجموعة تتكون من أ (الآس) ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، ي (جاك)، س (ملكة)، ك (ملك) تلك الدعوى.

أ. أخذ العينات مع الاستبدال

ب. أخذ العينات بدون استبدال

لديك مجموعة ورق عادلة ومخلوطة جيدًا مكونة من 52 بطاقة. يتكون من أربع بدلات. البدلات هي النوادي والماس والقلوب والبستوني. هناك 13 بطاقة في كل مجموعة تتكون من 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، ي (جاك)، س (ملكة)، ك (ملك) تلك الدعوى. يتم اختيار ثلاث بطاقات بشكل عشوائي.

  1. افترض أنك تعلم أن البطاقات المختارة هي س من البستوني ، ك القلوب و س البستوني.هل يمكنك أن تقرر ما إذا كانت العينة مع استبدال أم لا؟
  2. افترض أنك تعلم أن البطاقات المختارة هي س من البستوني ، ك القلوب ، و ي البستوني. هل يمكنك أن تقرر ما إذا كانت العينة مع استبدال أم لا؟

مثال 3.5

لديك مجموعة ورق عادلة ومخلوطة جيدًا مكونة من 52 بطاقة. يتكون من أربع بدلات. البدلات هي النوادي والماس والقلوب والبستوني. هناك 13 بطاقة في كل مجموعة تتكون من 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، ي (جاك)، س (ملكة) و ك (ملك) تلك الدعوى. س = البستوني ، ح = قلوب ، د = الماس ، ج = النوادي.

  1. افترض أنك اخترت أربع بطاقات ، لكن لا تعيد أي أوراق إلى المجموعة. بطاقاتك QS, 1د, 1ج, QD.
  2. لنفترض أنك اخترت أربع بطاقات وأعدت كل بطاقة قبل أن تختار البطاقة التالية. بطاقاتك KH, 7د, 6د, KH.

أي من. أو ب. هل قمت بأخذ عينات مع الاستبدال وأي منها أخذت عينة بدون استبدال؟

أ. نظرًا لأنك لا تعيد أي بطاقات ، تتغير التشكيلة بعد كل سحب. هذه الأحداث تعتمد ، وهذا أخذ العينات دون استبدال ب. نظرًا لأنك أعدت كل بطاقة قبل اختيار البطاقة التالية ، فلن يتغير السطح أبدًا. هذه الأحداث مستقلة ، لذلك هذا هو أخذ العينات مع الاستبدال.

لديك مجموعة ورق عادلة ومخلوطة جيدًا مكونة من 52 بطاقة. يتكون من أربع بدلات. البدلات هي النوادي والماس والقلوب والبستوني. هناك 13 بطاقة في كل مجموعة تتكون من 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، ي (جاك)، س (ملكة) و ك (ملك) تلك الدعوى. س = البستوني ، ح = قلوب ، د = الماس ، ج = النوادي. افترض أنك أخذت عينة من أربع بطاقات بدون استبدال. أي من النتائج التالية ممكن؟ أجب عن نفس السؤال لأخذ العينات مع الاستبدال.


الحدث هو شيء يحدث ، خاصة عندما يكون غير عادي أو مهم. يمكنك استخدام الأحداث لوصف كل الأشياء التي تحدث في موقف معين. الحدث هو مناسبة مخططة ومنظمة ، على سبيل المثال لقاء اجتماعي أو مباراة رياضية.

إذا كان A و B حدثين مستقلين ، فسيكون الحدثان A و B & # 8217 مستقلين أيضًا. الإثبات: الأحداث A و B مستقلتان ، لذلك P (A ∩ B) = P (A) P (B). من مخطط Venn ، نرى أن الأحداث A ∩ B و A ∩ B & # 8217 متناقضة وتشكل معًا الحدث A.


الآن دعنا نرى ما يحدث عندما تكون الأحداث لا يستبعد بعضها بعضا.

مثال: القلوب والملوك

قلوب و الملوك هم فقط ملك القلوب:

لكن القلوب أو الملوك هو:

لكن هذا يحسب ملك القلوب مرتين!

لذلك نصحح إجابتنا ، بطرح الجزء الإضافي "و":

16 بطاقة = 13 قلوب + 4 ملوك ناقص ملك القلوب الإضافي

عدهم للتأكد من أن هذا يعمل!

P (A أو B) = P (A) + P (B) & ناقص P (A و B)

"احتمال A أو B يساوي احتمال A زائد احتمال ب
ناقص احتمالية A و ب"

هنا هو نفس الصيغة، ولكن باستخدام &كوب و &قبعة:


المحتوى: حدث حصري للطرفين مقابل حدث مستقل

رسم بياني للمقارنة

أساس المقارنةاحداث حصرية متبادلةأحداث مستقلة
المعنىيقال إن حدثين متنافيين ، عندما لا يكون حدوثهما متزامنًا.يقال إن حدثين مستقلين ، عندما لا يتمكن وقوع حدث واحد من التحكم في حدوث حدث آخر.
تأثيرسيؤدي وقوع حدث واحد إلى عدم حدوث الآخر.لن يكون لوقوع حدث واحد أي تأثير على حدوث الآخر.
معادلة رياضيةالفوسفور (أ و ب) = 0الفوسفور (أ و ب) = ف (أ) ف (ب)
مجموعات في مخطط فينلا تتداخلالتداخلات

تعريف الحدث الحصري المتبادل

الأحداث الحصرية المتبادلة هي تلك الأحداث التي لا يمكن أن تحدث بشكل متزامن ، أي حيث يؤدي وقوع حدث واحد إلى عدم حدوث الحدث الآخر. مثل هذه الأحداث لا يمكن أن تكون صحيحة في نفس الوقت. لذلك ، فإن وقوع حدث ما يجعل حدوث حدث آخر أمرًا مستحيلًا. تُعرف هذه أيضًا باسم الأحداث المنفصلة.

لنأخذ & # 8217s مثالاً على رمي عملة معدنية ، حيث ستكون النتيجة إما رأسًا أو ذيلًا. لا يمكن أن يحدث كل من الرأس والذيل في وقت واحد. خذ مثالًا آخر ، افترض إذا كانت الشركة تريد شراء آلات ، والتي لديها خياران هما الآلة أ و ب. سيتم اختيار الآلة ذات التكلفة المنخفضة والإنتاجية الأفضل. سيؤدي قبول الجهاز A تلقائيًا إلى رفض الجهاز B والعكس صحيح.

تعريف الحدث المستقل

كما يوحي الاسم ، فإن الأحداث المستقلة هي الأحداث التي لا يتحكم فيها احتمال حدث واحد في احتمال وقوع الحدث الآخر. إن حدوث أو عدم حدوث مثل هذا الحدث ليس له أي تأثير على الإطلاق على حدوث أو عدم حدوث حدث آخر. ناتج احتمالاتهما المنفصلة يساوي احتمال وقوع كلا الحدثين.

لنأخذ مثالاً ، لنفترض أنه إذا تم رمي عملة معدنية مرتين ، والذيل في الفرصة الأولى والذيل في الثانية ، فإن الأحداث مستقلة. مثال آخر على ذلك ، لنفترض أنه إذا تم رمي النرد مرتين ، و 5 في الفرصة الأولى و 2 في الثانية ، فإن الأحداث مستقلة.


4.2: أحداث مستقلة وحصرية - الرياضيات

لأي مجموعة فرعية M & subK. على سبيل المثال ، لكي تكون الأحداث الأربعة أ ، ب ، ج ، د مستقلة عن بعضها البعض ، يجب أن يكون لدينا

وبالتالي ، من خلال التعريفات ، فإن الاستقلال المتبادل يعني الاستقلال الثنائي. لحدثين ، تتطابق التعريفات في الواقع. لأكثر من حدثين ، فهي ليست كذلك. هناك أحداث زوجية مستقلة ليست مستقلة بشكل متبادل. تم إنتاج مثالين بواسطة S.N. Bernstein قبل سنوات وتمت مناقشتهما مؤخرًا (2007) بواسطة C.

فكر في وعاء يحتوي على أربع كرات ، مرقمة 110 و 101 و 011 و 000 ، تُسحب منها كرة واحدة بشكل عشوائي. دع أك تكون حالة رسم كرة مع 1 في الموضع k. وبالتالي ، فإن الأحداث الثلاثة مستقلة عن بعضها البعض. ومع ذلك ، منذ A1& كاب2& كاب3 = & أوسلاش ، فهما ليسا مستقلين بشكل متبادل.

للحصول على مثال ثان ، دع Bك يكون حدث رسم كرة مع 0 في الموضع k. الآن ، لأنه في أي من المواضع الثلاثة ، يظهر 0 بالضبط مرتين من أربعة احتمالات. لأي مؤشرين متميزين k و m ، P (Bك& capBم) = 1/4 ، لأن كرة واحدة فقط من أصل أربعة بها أصفار في كل من الموضعين k و m. لذلك فإن الأحداث بك هم (زوجي) مستقلون. ومع ذلك ، وهذا يختلف عن معنى أن الأحداث ليست مستقلة بشكل متبادل.

يختلف المثالان اختلافًا جوهريًا لأنه في المثال الأول يكون تقاطع A فارغًا بينما في الثاني لا يكون تقاطع B's كذلك.

مع ملاحظة ذلك ، يشرع ستيبنياك في إثبات أن برنشتاين هي الأمثلة الوحيدة الممكنة في الفضاء مع أربع نتائج. لذلك افترض أن ثلاثة أحداث مستقلة (زوجية) أ ، ب ، ج مُعرَّفة في الفراغ بأربع نتائج ، ولا شيء يمثل المساحة بأكملها. لا يمكن أن تتكون من نتيجة واحدة. لنفترض إذن أن x قد تنتمي أو لا تنتمي إلى ، على سبيل المثال ، B. إذا كانت x & isinB ، ومن ناحية أخرى ، إذا كانت x & notinB ، و A و B منفصلة ، وبالتالي فهي ليست مستقلة. ويترتب على ذلك أن كل حدث يحتوي على عنصرين على الأقل. نظرًا لأن تكملة حدثين مستقلة فقط عن الأحداث نفسها ، فإننا نرى أن مكملات الأحداث A و B و C تتكون أيضًا من نتيجتين على الأقل لكل منهما. نستنتج أن كل منها يتكون من نتيجتين بالضبط.

هناك احتمالان فقط. هناك نتيجة مشتركة لجميع الأحداث الثلاثة ، والتي تعطي التكوين للمثال الثاني. أو لا توجد نتيجة مشتركة لجميع الأحداث ، مما يعطي تكوين المثال الأول.


3.2 الأحداث المستقلة والحصرية المتبادلة

تفعل مستقلة وحصرية ليس يعني نفس الشيء.

أحداث مستقلة

حدثان مستقلان إذا كان ما يلي صحيحًا:

حدثان أ و ب مستقلة إذا كانت المعرفة بحدوث أحدهما لا تؤثر على فرصة حدوث الآخر. على سبيل المثال ، فإن نتائج دورين من الموت العادل هي أحداث مستقلة. نتيجة اللفة الأولى لا تغير من احتمالية نتيجة اللفة الثانية. لإظهار حدثين مستقلين ، يجب عليك إظهار واحد فقط من الشروط المذكورة أعلاه. إذا لم يكن هناك حدثان مستقلان ، فنحن نقول أنهما كذلك متكل.

قد يتم أخذ العينات مع استبدال أو من دون بديل.

  • مع الاستبدال: إذا تم استبدال كل فرد من السكان بعد اختياره ، فإن هذا العضو لديه إمكانية اختياره أكثر من مرة. عندما يتم أخذ العينات مع الاستبدال ، فإن الأحداث تعتبر مستقلة ، مما يعني أن نتيجة الاختيار الأول لن تغير احتمالات الاختيار الثاني.
  • من دون بديل: عندما يتم أخذ العينات بدون استبدال ، يمكن اختيار كل فرد من السكان مرة واحدة فقط. في هذه الحالة ، تتأثر احتمالات الانتقاء الثاني بنتيجة الاختيار الأول. تعتبر الأحداث تابعة أو غير مستقلة.

إذا كان من غير المعروف ما إذا كان أ و ب مستقلة أو تابعة ، افترض أنهم تابعون حتى تتمكن من إظهار خلاف ذلك.

مثال 3.4

لديك مجموعة ورق عادلة ومخلوطة جيدًا مكونة من 52 بطاقة. يتكون من أربع بدلات. البدلات هي النوادي والماس والقلوب والبستوني. هناك 13 بطاقة في كل مجموعة تتكون من 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، ي (جاك)، س (ملكة)، ك (ملك) تلك الدعوى.

أ. أخذ العينات مع الاستبدال:
لنفترض أنك اخترت ثلاث بطاقات مع الاستبدال. أول بطاقة تختارها من بين 52 بطاقة هي س البستوني. يمكنك وضع هذه البطاقة مرة أخرى ، وتعديل البطاقات واختيار بطاقة ثانية من مجموعة البطاقات المكونة من 52 بطاقة. إنها العشرة الأندية. يمكنك وضع هذه البطاقة مرة أخرى ، وتعديل البطاقات واختيار بطاقة ثالثة من مجموعة الأوراق المكونة من 52 بطاقة. هذه المرة ، البطاقة هي س من البستوني مرة أخرى. اختياراتك هي <س من البستوني ، عشرة من النوادي ، س البستوني>. لقد اخترت س من البستوني مرتين. يمكنك اختيار كل بطاقة من مجموعة البطاقات المكونة من 52 بطاقة.

ب. أخذ العينات بدون استبدال:
لنفترض أنك اخترت ثلاث بطاقات بدون استبدال. أول بطاقة تختارها من بين 52 بطاقة هي ك القلوب. تضع هذه البطاقة جانبًا وتختار البطاقة الثانية من بين 51 بطاقة متبقية في المجموعة. إنها الماسات الثلاثة. تضع هذه البطاقة جانبًا وتختار البطاقة الثالثة من البطاقات الخمسين المتبقية في المجموعة. البطاقة الثالثة هي ي البستوني. اختياراتك هي <ك من القلوب ، وثلاثة من الماس ، ي البستوني>. نظرًا لأنك اخترت البطاقات بدون استبدال ، لا يمكنك اختيار نفس البطاقة مرتين.

لديك مجموعة ورق عادلة ومخلوطة جيدًا مكونة من 52 بطاقة. يتكون من أربع بدلات. البدلات هي النوادي والماس والقلوب والبستوني. هناك 13 بطاقة في كل مجموعة تتكون من 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، ي (جاك)، س (ملكة)، ك (ملك) تلك الدعوى. يتم اختيار ثلاث بطاقات بشكل عشوائي.

  1. افترض أنك تعلم أن البطاقات المختارة هي س من البستوني ، ك القلوب و س البستوني. هل يمكنك أن تقرر ما إذا كانت العينة مع استبدال أم لا؟
  2. افترض أنك تعلم أن البطاقات المختارة هي س من البستوني ، ك القلوب ، و ي البستوني. هل يمكنك أن تقرر ما إذا كانت العينة مع استبدال أم لا؟

مثال 3.5

لديك مجموعة ورق عادلة ومخلوطة جيدًا مكونة من 52 بطاقة. يتكون من أربع بدلات. البدلات هي النوادي والماس والقلوب والبستوني. هناك 13 بطاقة في كل مجموعة تتكون من 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، ي (جاك)، س (ملكة) و ك (ملك) تلك الدعوى. س = البستوني ، ح = قلوب ، د = الماس ، ج = النوادي.

  1. افترض أنك اخترت أربع بطاقات ، لكن لا تعيد أي أوراق إلى المجموعة. بطاقاتك QS, 1د, 1ج, QD.
  2. لنفترض أنك اخترت أربع بطاقات وأعدت كل بطاقة قبل أن تختار البطاقة التالية. بطاقاتك KH, 7د, 6د, KH.

أي من. أو ب. هل قمت بأخذ عينات مع الاستبدال وأي منها أخذت عينة بدون استبدال؟

الحل 1

أ. بدون استبدال ب. مع الاستبدال

لديك مجموعة ورق عادلة ومخلوطة جيدًا مكونة من 52 بطاقة. يتكون من أربع بدلات. البدلات هي النوادي والماس والقلوب والبستوني. هناك 13 بطاقة في كل مجموعة تتكون من 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، ي (جاك)، س (ملكة) و ك (ملك) تلك الدعوى. س = البستوني ، ح = قلوب ، د = الماس ، ج = النوادي. افترض أنك أخذت عينة من أربع بطاقات بدون استبدال. أي من النتائج التالية ممكن؟ أجب عن نفس السؤال لأخذ العينات مع الاستبدال.

احداث حصرية متبادلة

أ و ب هي أحداث متنافية إذا لم تحدث في نفس الوقت. هذا يعني ذاك أ و ب لا تشارك أي نتائج و ص(أ و ب) = 0.

إذا كان من غير المعروف ما إذا كان أ و ب متنافية ، افترض أنها ليست كذلك حتى يمكنك إظهار خلاف ذلك. توضح الأمثلة التالية هذه التعريفات والمصطلحات.

مثال 3.6

اقلب عملتين من العملات العادلة. (هذه تجربة).

مساحة العينة هي <ح ح, HT, ذ, TT> أين تي = ذيول و ح = الرؤوس. النتائج ح ح, HT, ذ، و TT. نتائج HT و TH مختلفة. ال HT يعني أن العملة الأولى أظهرت وجهًا وأظهرت العملة الثانية ذيولًا. ال ذ يعني أن العملة الأولى أظهرت ذيولًا وأظهرت العملة الثانية وجهًا.

  • يترك أ = حدث الحصول على ذيل واحد على الأكثر. (ذيل واحد على الأكثر يعني صفرًا أو ذيلًا واحدًا). ​​ثم أ يمكن كتابتها كـ <ح ح, HT, ذ>. النتيجة ح ح يظهر صفر ذيول. HT و ذ كل عرض ذيل واحد.
  • يترك ب = حدث الحصول على كل ذيول. ب يمكن كتابتها كـ <TT>. ب هل تكملة من أ، وبالتالي ب = أ'. أيضا، ص(أ) + ص(ب) = ص(أ) + ص(أ') = 1.
  • احتمالات أ ولل ب نكون ص(أ) = 3 4 3 4 و ص(ب) = 1 4 1 4 .
  • يترك ج = حدث الحصول على كل الرؤوس. ج = <ح ح>. حيث ب = <TT>, ص(ب و ج) = 0. ب و ج متنافية. (ب و ج ليس لديك أعضاء مشتركون لأنه لا يمكن أن يكون لديك كل ذيول وكل الرؤوس في نفس الوقت.)
  • يترك د = حدث الحصول على أكثر من واحد ذيل. د = <TT>. ص(د) = 1 4 1 4
  • يترك ه = حدث الحصول على رأس في أول لفة. (هذا يعني أنه يمكنك الحصول على رأس أو ذيل في لفة ثانية.) ه = <HT, ح ح>. ص(ه) = 2 4 2 4
  • أوجد احتمال الحصول مرة على الأقل (واحد أو اثنان) ذيل في قلبين. يترك F = حدث الحصول على ذيل واحد على الأقل في قلبين. F = <HT, ذ, TT>. ص(F) = 3 4 3 4

ارسم بطاقتين من مجموعة قياسية مكونة من 52 بطاقة مع الاستبدال. أوجد احتمال الحصول على بطاقة سوداء واحدة على الأقل.

مثال 3.7

اقلب عملتين من العملات العادلة. أوجد احتمالات الأحداث.

  1. يترك F = حدث الحصول على ذيل واحد على الأكثر (صفر أو ذيل واحد).
  2. يترك جي = حالة الحصول على وجهين متطابقين.
  3. يترك ح = حدث الحصول على رأس في الوجه الأول متبوعًا برأس أو ذيل على الوجه الثاني.
  4. نكون F و جي لا يعتمدوا على بعض؟
  5. يترك ي = حدث الحصول على كل ذيول. نكون ي و ح لا يعتمدوا على بعض؟

الحل 1

انظر إلى مساحة العينة في المثال 3.6.

ي و ح لا يوجد شيء مشترك ص(ي و ح) = 0. ي و ح متنافية.

صندوق به كرتان ، واحدة بيضاء والأخرى حمراء. نختار كرة واحدة ، ونعيدها إلى الصندوق ، ونختار كرة ثانية (أخذ العينات مع الاستبدال). أوجد احتمال الأحداث التالية:

  1. يترك F = حالة الحصول على الكرة البيضاء مرتين.
  2. يترك جي = حالة الحصول على كرتين بألوان مختلفة.
  3. يترك ح = حدث الحصول على اللون الأبيض من الاختيار الأول.
  4. نكون F و جي لا يعتمدوا على بعض؟
  5. نكون جي و ح لا يعتمدوا على بعض؟

مثال 3.8

دحرج نردًا واحدًا سداسي الجوانب. مساحة العينة هي <1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6>. دعونا الحدث أ = وجه غريب. ثم أ = <1، 3، 5>. دعونا الحدث ب = الوجه متساوي. ثم ب = <2, 4, 6>.

  • ابحث عن تكملة أ, أ'. تكملة أ, أ'، يكون ب لأن أ و ب معا تشكل مساحة العينة. ص(أ) + ص(ب) = ص(أ) + ص(أ') = 1. أيضًا ، ص(أ) = 3 6 3 6 و ص(ب) = 3 6 3 6 .
  • دعونا الحدث ج = وجوه فردية أكبر من اثنين. ثم ج = <3، 5>. دعونا الحدث د = كل الوجوه أصغر من خمسة. ثم د = <2, 4>. ص(ج و د) = 0 لأنه لا يمكن أن يكون لديك وجه فردي وزوجي في نفس الوقت. لذلك، ج و د هي أحداث متنافية.
  • دعونا الحدث ه = كل الوجوه أقل من خمسة. ه = <1, 2, 3, 4>.

نكون ج و ه احداث حصرية متبادلة؟ (أجب بنعم أو لا.) لماذا أو لم لا؟

الحل 1

  • تجد ص(ج|أ). هذا احتمال مشروط. أذكر أن الحدث ج هو <3 ، 5> والحدث أ هو <1، 3، 5>. لايجاد ص(ج|أ) ، أوجد احتمال ج باستخدام مساحة العينة أ. لقد قللت مساحة العينة من مساحة العينة الأصلية <1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6> إلى <1 ، 3 ، 5>. وبالتالي، ص(ج|أ) = 2 3 2 3 .

دعونا الحدث أ = تعلم الاسبانية. دعونا الحدث ب = تعلم اللغة الألمانية. ثم أ و ب = تعلم الإسبانية والألمانية. يفترض ص(أ) = 0.4 و ص(ب) = 0.2. ص(أ و ب) = 0.08. هي أحداث أ و ب لا يعتمد؟ تلميح: يجب عليك إظهار واحد مما يلي:

مثال 3.9

دعونا الحدث جي = أخذ حصة رياضيات. دعونا الحدث ح = أخذ حصة في العلوم. ثم، جي و ح = أخذ حصة رياضيات وفصل علوم. يفترض ص(جي) = 0.6, ص(ح) = 0.5 و ص(جي و ح) = 0.3. نكون جي و ح لا يعتمد؟

لو جي و ح مستقلة ، إذًا يجب أن تظهر واحد من التالي:

اختيارك يعتمد على المعلومات التي لديك. يمكنك اختيار أي من الطرق هنا لأن لديك المعلومات اللازمة.


3.2 الأحداث المستقلة والحصرية المتبادلة

تفعل مستقلة وحصرية ليس يعني نفس الشيء.

أحداث مستقلة

حدثان مستقلان إذا تحقق أحدهما:

حدثان أ و ب مستقلة إذا كانت المعرفة بحدوث أحدهما لا تؤثر على فرصة حدوث الآخر. على سبيل المثال ، فإن نتائج دورين من الموت العادل هي أحداث مستقلة. نتيجة اللفة الأولى لا تغير من احتمالية نتيجة اللفة الثانية. لإظهار حدثين مستقلين ، يجب عليك إظهار واحد فقط من الشروط المذكورة أعلاه. إذا لم يكن هناك حدثان مستقلان ، فإننا نقول أنهما كذلك يعتمد.

قد يتم أخذ العينات مع استبدال أو من دون بديل.

  • مع الاستبدال: إذا تم استبدال كل فرد من السكان بعد اختياره ، فإن هذا العضو لديه إمكانية اختياره أكثر من مرة. عندما يتم أخذ العينات مع الاستبدال ، فإن الأحداث تعتبر مستقلة ، مما يعني أن نتيجة الاختيار الأول لن تغير احتمالات الاختيار الثاني.
  • من دون بديل: عندما يتم أخذ العينات بدون استبدال ، يمكن اختيار كل فرد من السكان مرة واحدة فقط. في هذه الحالة ، تتأثر احتمالات الانتقاء الثاني بنتيجة الاختيار الأول. تعتبر الأحداث تابعة أو غير مستقلة.

إذا كان من غير المعروف ما إذا كان أ و ب مستقلة أو تابعة ، افترض أنهم تابعون حتى تتمكن من إظهار خلاف ذلك.

مثال 3.4

لديك مجموعة ورق عادلة ومخلوطة جيدًا مكونة من 52 بطاقة. يتكون من أربع بدلات. البدلات هي النوادي والماس والقلوب والبستوني. هناك 13 بطاقة في كل مجموعة تتكون من 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، ي (جاك)، س (ملكة)، ك (ملك) تلك الدعوى.

أ. أخذ العينات مع الاستبدال:
لنفترض أنك اخترت ثلاث بطاقات مع الاستبدال. أول بطاقة تختارها من بين 52 بطاقة هي س البستوني. يمكنك وضع هذه البطاقة مرة أخرى ، وتعديل البطاقات واختيار بطاقة ثانية من مجموعة البطاقات المكونة من 52 بطاقة. إنها العشرة الأندية. يمكنك وضع هذه البطاقة مرة أخرى ، وتعديل البطاقات واختيار بطاقة ثالثة من مجموعة الأوراق المكونة من 52 بطاقة. هذه المرة ، البطاقة هي س من البستوني مرة أخرى. اختياراتك هي <س من البستوني ، عشرة من النوادي ، س البستوني>. لقد اخترت س من البستوني مرتين. يمكنك اختيار كل بطاقة من المجموعة المكونة من 52 بطاقة.

ب. أخذ العينات بدون استبدال:
لنفترض أنك اخترت ثلاث بطاقات بدون استبدال. أول بطاقة تختارها من بين 52 بطاقة هي ك القلوب. تضع هذه البطاقة جانبًا وتختار البطاقة الثانية من بين 51 بطاقة متبقية في المجموعة. إنها الماسات الثلاثة. تضع هذه البطاقة جانبًا وتختار البطاقة الثالثة من البطاقات الخمسين المتبقية في المجموعة. البطاقة الثالثة هي ي البستوني. اختياراتك هي <ك من القلوب ، وثلاثة من الماس ، ي البستوني>. نظرًا لأنك اخترت البطاقات بدون استبدال ، لا يمكنك اختيار نفس البطاقة مرتين. يُطلق على احتمال انتقاء الماسات الثلاثة اسم احتمال مشروط لأنه مشروط بما تم اختياره أولاً. وينطبق هذا أيضًا على احتمال اختيار J البستوني. إن احتمال اختيار J من البستوني مشروط بالفعل على حد سواء اللقطات السابقة.

لديك مجموعة ورق عادلة ومخلوطة جيدًا مكونة من 52 بطاقة. يتكون من أربع بدلات. البدلات هي النوادي والماس والقلوب والبستوني. هناك 13 بطاقة في كل مجموعة تتكون من 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، ي (جاك)، س (ملكة)، ك (ملك) تلك الدعوى. يتم اختيار ثلاث بطاقات بشكل عشوائي.

  1. افترض أنك تعلم أن البطاقات المختارة هي س من البستوني ، ك القلوب و س البستوني. هل يمكنك أن تقرر ما إذا كانت العينة مع استبدال أم لا؟
  2. افترض أنك تعلم أن البطاقات المختارة هي س من البستوني ، ك القلوب ، و ي البستوني. هل يمكنك أن تقرر ما إذا كانت العينة مع استبدال أم لا؟

مثال 3.5

لديك مجموعة ورق عادلة ومخلوطة جيدًا مكونة من 52 بطاقة. يتكون من أربع بدلات. البدلات هي النوادي والماس والقلوب والبستوني. هناك 13 بطاقة في كل مجموعة تتكون من 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، ي (جاك)، س (ملكة) و ك (ملك) تلك الدعوى. س = البستوني ، ح = قلوب ، د = الماس ، ج = النوادي.

  1. افترض أنك اخترت أربع بطاقات ، لكن لا تعيد أي أوراق إلى المجموعة. بطاقاتك QS, 1د, 1ج, QD.
  2. لنفترض أنك اخترت أربع بطاقات وأعدت كل بطاقة قبل أن تختار البطاقة التالية. بطاقاتك KH, 7د, 6د, KH.

أي من. أو ب. هل قمت بأخذ عينات مع الاستبدال وأيها قمت بأخذ عينات بدون استبدال؟

الحل 1

أ. بدون استبدال ب. مع الاستبدال

لديك مجموعة ورق عادلة ومخلوطة جيدًا مكونة من 52 بطاقة. يتكون من أربع بدلات. البدلات هي النوادي والماس والقلوب والبستوني. هناك 13 بطاقة في كل مجموعة تتكون من 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، ي (جاك)، س (ملكة) و ك (ملك) تلك الدعوى. س = البستوني ، ح = قلوب ، د = الماس ، ج = النوادي. افترض أنك أخذت عينة من أربع بطاقات بدون استبدال. أي من النتائج التالية ممكن؟ أجب عن نفس السؤال لأخذ العينات مع الاستبدال.

احداث حصرية متبادلة

أ و ب هي أحداث متنافية إذا لم تحدث في نفس الوقت. قال بطريقة أخرى ، إذا أ حدث ذلك الحين ب لا يمكن أن يحدث وملزمة بالعكس. هذا يعني ذاك أ و ب لا تشارك أي نتائج و P (A ∩ B) = 0 P (A ∩ B) = 0.

إذا كان من غير المعروف ما إذا كان أ و ب متنافية ، افترض أنها ليست كذلك حتى يمكنك إظهار خلاف ذلك. توضح الأمثلة التالية هذه التعريفات والمصطلحات.

مثال 3.6

اقلب عملتين من العملات العادلة. (هذه تجربة).

مساحة العينة هي <ح ح, HT, ذ, TT> أين تي = ذيول و ح = الرؤوس. النتائج ح ح, HT, ذ، و TT. نتائج HT و TH مختلفة. ال HT يعني أن العملة الأولى أظهرت وجهًا وأظهرت العملة الثانية ذيولًا. ال ذ يعني أن العملة الأولى أظهرت ذيولًا وأظهرت العملة الثانية وجهًا.

  • يترك أ = حدث الحصول على ذيل واحد على الأكثر. (ذيل واحد على الأكثر يعني صفرًا أو ذيلًا واحدًا). ​​ثم أ يمكن كتابتها كـ <ح ح, HT, ذ>. النتيجة ح ح يظهر صفر ذيول. HT و ذ كل عرض ذيل واحد.
  • يترك ب = حدث الحصول على كل ذيول. ب يمكن كتابتها كـ <TT>. ب هل تكملة من أ، وبالتالي ب = أ'. أيضا، ص(أ) + ص(ب) = ص(أ) + ص(أ') = 1.
  • احتمالات أ ولل ب نكون ص(أ) = 3 4 3 4 و ص(ب) = 1 4 1 4 .
  • يترك ج = حدث الحصول على كل الرؤوس. ج = <ح ح>. منذ ب = <TT>، الفوسفور (B ∩ C) = 0 الفوسفور (B ∩ C) = 0. ب و ج متنافية. (ب و ج ليس لديك أعضاء مشتركون لأنه لا يمكن أن يكون لديك كل ذيول وكل الرؤوس في نفس الوقت.)
  • يترك د = حدث الحصول على أكثر من واحد ذيل. د = <TT>. ص(د) = 1 4 1 4
  • يترك ه = حدث الحصول على رأس في أول لفة. (هذا يعني أنه يمكنك الحصول على رأس أو ذيل في لفة ثانية.) ه = <HT, ح ح>. ص(ه) = 2 4 2 4
  • أوجد احتمال الحصول مرة على الأقل (واحد أو اثنان) ذيل في قلبين. يترك F = حدث الحصول على ذيل واحد على الأقل في قلبين. F = <HT, ذ, TT>. ص(F) = 3 4 3 4

ارسم بطاقتين من مجموعة قياسية مكونة من 52 بطاقة مع الاستبدال. أوجد احتمال الحصول على بطاقة سوداء واحدة على الأقل.

مثال 3.7

اقلب عملتين من العملات العادلة. أوجد احتمالات الأحداث.

  1. يترك F = حدث الحصول على ذيل واحد على الأكثر (صفر أو ذيل واحد).
  2. يترك جي = حالة الحصول على وجهين متطابقين.
  3. يترك ح = حدث الحصول على رأس في الوجه الأول متبوعًا برأس أو ذيل على الوجه الثاني.
  4. نكون F و جي لا يعتمدوا على بعض؟
  5. يترك ي = حدث الحصول على كل ذيول. نكون ي و ح لا يعتمدوا على بعض؟

الحل 1

انظر إلى مساحة العينة في المثال 3.6.

صندوق به كرتان ، واحدة بيضاء والأخرى حمراء. نختار كرة واحدة ، ونعيدها إلى الصندوق ، ونختار كرة ثانية (أخذ العينات مع الاستبدال). أوجد احتمال الأحداث التالية:

  1. يترك F = حالة الحصول على الكرة البيضاء مرتين.
  2. يترك جي = حالة الحصول على كرتين بألوان مختلفة.
  3. يترك ح = حدث الحصول على اللون الأبيض من الاختيار الأول.
  4. نكون F و جي لا يعتمدوا على بعض؟
  5. نكون جي و ح لا يعتمدوا على بعض؟

مثال 3.8

رمي نردًا واحدًا سداسي الجوانب. مساحة العينة هي <1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6>. دعونا الحدث أ = وجه غريب. ثم أ = <1، 3، 5>. دعونا الحدث ب = الوجه متساوي. ثم ب = <2, 4, 6>.

  • ابحث عن تكملة أ, أ'. تكملة أ, أ'، يكون ب لان أ و ب معا تشكل مساحة العينة. ص(أ) + ص(ب) = ص(أ) + ص(أ') = 1. أيضًا ، ص(أ) = 3 6 3 6 و ص(ب) = 3 6 3 6 .
  • دعونا الحدث ج = وجوه فردية أكبر من اثنين. ثم ج = <3، 5>. دعونا الحدث د = كل الوجوه أصغر من خمسة. ثم د = <2، 4>. P (C ∩ D) = 0 P (C ∩ D) = 0 لأنه لا يمكن أن يكون لديك وجه فردي وزوجي في نفس الوقت. وبالتالي، ج و د هي أحداث متنافية.
  • دعونا الحدث ه = كل الوجوه أقل من خمسة. ه = <1, 2, 3, 4>.

نكون ج و ه احداث حصرية متبادلة؟ (أجب بنعم أو لا.) لماذا أو لم لا؟


شاهد الفيديو: الرياضيات. الصف السادس. مراجعة عامة الفصل الأول (شهر اكتوبر 2021).