مقالات

4.1: المصطلحات - الرياضيات


الاحتمال هو مقياس يرتبط بمدى تأكدنا من نتائج تجربة أو نشاط معين. ان تجربة - قام بتجارب هي عملية مخطط لها تنفذ في ظل ظروف خاضعة للرقابة. إذا لم يتم تحديد النتيجة مسبقًا ، يُقال أن التجربة ستكون أ صدفة تجربة - قام بتجارب. مثال على التجربة هو قلب عملة واحدة عادلة مرتين.

نتيجة التجربة تسمى حصيلة. ال فضاء العينة التجربة هي مجموعة جميع النتائج الممكنة. ثلاث طرق لتمثيل مساحة العينة هي: لسرد النتائج المحتملة ، لإنشاء مخطط شجرة ، أو لإنشاء مخطط Venn. الحرف الكبير س يستخدم للدلالة على مساحة العينة. على سبيل المثال ، إذا قمت بقلب عملة عادلة واحدة ، (S = { text {H، T} } ) حيث ( text {H} = ) الرؤوس و ( text {T} = ) ذيول هي النتائج.

ان حدث هي أي مجموعة من النتائج. تمثل الأحرف الكبيرة مثل ( text {A} ) و ( text {B} ) الأحداث. على سبيل المثال ، إذا كانت التجربة تقلب عملة واحدة عادلة ، فقد يكون للحدث ( text {A} ) رأس واحد على الأكثر. يتم كتابة احتمال وقوع حدث ( text {A} ) (P ( text {A}) ).

التعريف: الاحتمال

ال احتمالا من أي نتيجة هو التكرار النسبي طويل المدى لتلك النتيجة. تتراوح الاحتمالات بين صفر وواحد ، شاملة (أي صفر وواحد وجميع الأرقام بين هذه القيم).

  • (P ( text {A}) = 0 ) يعني أن الحدث ( text {A} ) لا يمكن أن يحدث أبدًا.
  • (P ( text {A}) = 1 ) يعني أن الحدث ( text {A} ) يحدث دائمًا.
  • (P ( text {A}) = 0.5 ) يعني أن الحدث ( text {A} ) من المرجح أن يحدث أو لا يحدث. على سبيل المثال ، إذا قمت بقلب عملة واحدة بشكل متكرر (من 20 إلى 2000 إلى 20000 مرة) ، فإن التردد النسبي للرؤوس يقترب من 0.5 (احتمال الوجه).

من المحتمل على متساوية يعني أن كل نتيجة من نتائج التجربة تحدث باحتمالية متساوية. على سبيل المثال ، إذا رميت ملف معرض، يموت سداسي الجوانب ، كل وجه (1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، أو 6) من المحتمل أن يحدث مثل أي وجه آخر. إذا رميت عملة معدنية عادلة ، فمن المرجح أن يحدث رأس ( ( text {H} )) وذيل ( ( text {T} )). إذا كنت تخمن عشوائيًا الإجابة على سؤال صواب / خطأ في أحد الاختبارات ، فمن المرجح أن تختار إجابة صحيحة أو إجابة غير صحيحة.

لحساب احتمال وقوع حدث أ عندما تكون جميع النتائج في مساحة العينة متساوية في الاحتمال، احسب عدد نتائج الحدث ( text {A} ) واقسم على العدد الإجمالي للنتائج في مساحة العينة. على سبيل المثال ، إذا رميت سنتًا عادلاً ونيكلًا منصفًا ، فإن مساحة العينة هي ( { text {HH، TH، HT، TT} } ) حيث ( text {T} = ) ذيول و ( text {H} = ) الرؤوس. مساحة العينة لها أربع نتائج. ( text {A} = ) الحصول على رأس واحد. هناك نتيجتان تستوفيان هذا الشرط ( text { {HT، TH }} ) ، لذا (P ( text {A}) = frac {2} {4} = 0.5 ).

لنفترض أنك تدحرج نردًا واحدًا من ستة جوانب ، بالأرقام {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6} على وجهه. دع الحدث ( text {E} = ) يتداول رقمًا على الأقل خمسة. هناك نتيجتان {5 ، 6}. (P ( text {E}) = frac {2} {6} ). إذا كنت ستدحرج النرد عدة مرات فقط ، فلن تتفاجأ إذا لم تتطابق نتائجك المرصودة مع الاحتمال. إذا كنت ستدحرج النرد عددًا كبيرًا جدًا من المرات ، فستتوقع ، بشكل عام ، أن يؤدي ( frac {2} {6} ) من القوائم إلى نتيجة "خمسة على الأقل". لا تتوقع بالضبط ( frac {2} {6} ). سيقترب التكرار النسبي طويل المدى للحصول على هذه النتيجة من الاحتمال النظري لـ ( frac {2} {6} ) حيث يزداد عدد التكرارات بشكل أكبر.

التعريف: قانون الأعداد الكبيرة

تُعرف هذه الخاصية المهمة للتجارب الاحتمالية باسم قانون الأعداد الكبيرة الذي ينص على أنه مع زيادة عدد التكرارات للتجربة ، فإن التردد النسبي الذي تم الحصول عليه في التجربة يميل إلى أن يصبح أقرب وأقرب إلى الاحتمال النظري. على الرغم من أن النتائج لا تحدث وفقًا لأي نمط أو ترتيب محدد ، بشكل عام ، فإن التردد النسبي الملاحظ على المدى الطويل سيقترب من الاحتمال النظري. (الكلمة تجريبي غالبًا ما تستخدم بدلاً من الكلمة "ملحوظة")

من المهم أن ندرك أنه في العديد من المواقف ، لا تكون النتائج متساوية في الاحتمال. قد تكون عملة معدنية أو يموت غير منصف، أو انحيازا. قام اثنان من أساتذة الرياضيات في أوروبا بإختبار طلاب الإحصاء لعملة بلجيكية واحدة باليورو واكتشفوا أنه في 250 تجربة ، تم الحصول على رأس بنسبة 56 ٪ من الوقت وتم الحصول على ذيل بنسبة 44 ٪ من الوقت. يبدو أن البيانات تظهر أن العملة ليست عملة عادلة ؛ قد يكون المزيد من التكرار مفيدًا في استخلاص استنتاج أكثر دقة حول هذا التحيز. قد تكون بعض أحجار النرد متحيزة. انظر إلى النرد في لعبة لديك في المنزل ؛ عادة ما تكون البقع الموجودة على كل وجه عبارة عن ثقوب صغيرة محفورة ومن ثم تدهن لجعل البقع مرئية. قد يكون النرد الخاص بك متحيزًا وقد لا يكون ؛ من الممكن أن تتأثر النتائج بالاختلافات الطفيفة في الوزن بسبب اختلاف عدد الثقوب في الوجوه. تجني كازينوهات القمار الكثير من المال اعتمادًا على نتائج رمي النرد ، لذلك يتم صنع نرد الكازينو بشكل مختلف للقضاء على التحيز. نرد الكازينو له وجوه مسطحة. تمتلئ الثقوب تمامًا بطلاء له نفس كثافة المادة التي يصنع منها النرد بحيث يُحتمل حدوث كل وجه بشكل متساوٍ. في وقت لاحق سوف نتعلم تقنيات لاستخدامها للعمل مع احتمالات الأحداث غير المحتملة بنفس القدر.

حدث "OR"

تكون النتيجة في الحدث ( text {A OR B} ) إذا كانت النتيجة في ( text {A} ) أو كانت في ( text {B} ) أو في كليهما ( نص {A} ) و ( text {B} ). على سبيل المثال ، دع ( text {A} = {1، 2، 3، 4، 5 } ) و ( text {B} = {4، 5، 6، 7، 8 } ). ( text {A OR B} = {1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8 } ). لاحظ أن 4 و 5 لم يتم سردهما مرتين.

حدث "AND"

تكون النتيجة في الحدث ( text {A AND B} ) إذا كانت النتيجة في كل من ( text {A} ) و ( text {B} ) في نفس الوقت. على سبيل المثال ، دع ( text {A} ) و ( text {B} ) {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5} و {4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8} على التوالي. ثم ( text {A AND B} = {4، 5} ).

ال تكملة من الحدث ( text {A} ) يُرمز إليه ( text {A '} ) (اقرأ "A Prime"). ( text {A '} ) يتكون من جميع النتائج ليس في ( نص {A} ). لاحظ أن (P ( text {A}) + P ( text {A ′}) = 1 ). على سبيل المثال ، دع ( text {S} = {1، 2، 3، 4، 5، 6 } ) ودع ( text {A} = {1، 2، 3، 4} ) . ثم ( text {A ′} = {5، 6} ). (P (A) = frac {2} {6} ) (P ( text {A ′}) = frac {2} {6} ) و (P ( text {A }) + P ( text {A ′}) = frac {4} {6} + frac {2} {6} = 1 )

الاحتمال الشرطي لـ ( text {A} ) المعطى ( text {B} ) مكتوب (P ( text {A | B}) ). (P ( text {A | B}) ) هو احتمال وقوع الحدث ( text {A} ) نظرًا لوقوع الحدث ( text {B} ) بالفعل. الشرط يقلل من مساحة العينة. نحسب احتمال ( text {A} ) من مساحة العينة المختزلة ( text {B} ). الصيغة المطلوب حسابها (P ( text {A | B}) ) هي (P ( text {A | B}) = frac { text {P (A AND B)}} { text { P (B)}} ) حيث (P ( text {B}) ) أكبر من الصفر.

على سبيل المثال ، لنفترض أننا ألقينا نردًا واحدًا من ستة جوانب. مساحة العينة ( text {S} = {1، 2، 3، 4، 5، 6 } ). لنفترض أن ( text {A} = ) الوجه هو 2 أو 3 و ( text {B} = ) الوجه زوجي (2 ، 4 ، 6). لحساب (P ( text {A | B}) ) ، نحسب عدد النتائج 2 أو 3 في مساحة العينة ( text {B} = {2 ، 4 ، 6 } ). ثم نقسم ذلك على عدد النتائج ( text {B} ) (بدلاً من ( text {S} )).

نحصل على نفس النتيجة باستخدام الصيغة. تذكر أن ( text {S} ) له ست نتائج.

[P ( text {A | B}) = dfrac { text {P (A AND B)}} {P ( text {B})} = dfrac { dfrac { text {(الرقم من النتائج التي تكون 2 أو 3 وحتى في S)}} {6}} { dfrac { text {(عدد النتائج حتى في S)}} {6}} = dfrac { dfrac {1 } {6}} { dfrac {3} {6}} = dfrac {1} {3} ]

فهم المصطلحات والرموز

من المهم قراءة كل مشكلة بعناية للتفكير وفهم ماهية الأحداث. يعد فهم الصياغة أول خطوة مهمة جدًا في حل مشكلات الاحتمالات. أعد قراءة المشكلة عدة مرات إذا لزم الأمر. تحديد الحدث موضع الاهتمام بوضوح. تحديد ما إذا كان هناك شرط مذكور في الصياغة يشير إلى أن الاحتمال مشروط ؛ تحديد الحالة بعناية ، إن وجدت.

مثال ( PageIndex {1} )

مساحة العينة (S ) هي الأعداد الصحيحة التي تبدأ من واحد وأقل من 20.

  1. (S = ) _____________________________

    دع الحدث (A = ) الأرقام الزوجية والحدث (B = ) الأرقام أكبر من 13.

  2. (A = ) _____________________ ، (B = ) _____________________
  3. (P ( text {A}) = ) _____________، (P ( text {B}) = ) ________________
  4. ( text {A AND B} = ) ____________________، ( text {A OR B} = ) ________________
  5. (P ( text {A AND B}) = ) _________، (P ( text {A OR B}) = ) _____________
  6. ( text {A ′} = ) _____________، (P ( text {A ′}) = ) _____________
  7. (P ( text {A}) + P ( text {A ′}) = ) ____________
  8. (P ( text {A | B}) = ) ___________، (P ( text {B | A}) = ) _____________؛ هل الاحتمالات متساوية؟

إجابه

  1. ( text {S} = {1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، 12، 13، 14، 15، 16، 17، 18، 19 } )
  2. ( text {A} = {2، 4، 6، 8، 10، 12، 14، 16، 18 }، text {B} = {14، 15، 16، 17، 18، 19 } )
  3. (P ( text {A}) = frac {9} {19} ) ، (P ( text {B}) = frac {6} {19} )
  4. ( text {A AND B} = {14،16،18 } )، ( text {A OR B} = {2، 4، 6، 8، 10، 12، 14، 15، 16 ، 17 ، 18 ، 19 }
  5. (P ( text {A AND B}) = frac {3} {19} )، (P ( text {A OR B}) = frac {12} {19} )
  6. ( نص {A ′} = 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 ) ؛ (P ( text {A ′}) = frac {10} {19} )
  7. (P ( text {A}) + P ( text {A ′}) = 1 left (( frac {9} {19} + frac {10} {19} = 1 right) )
  8. (P ( text {A | B}) = frac { text {P (A AND B)}} { text {P (B)}} = frac {3} {6}، P ( text {B | A}) = frac { text {P (A AND B)}} { text {P (A)}} = frac {3} {9} ) ، لا

تمرين ( PageIndex {1} )

مساحة العينة س هي الأزواج المرتبة من عددين طبيعيين ، الأول من واحد إلى ثلاثة والثاني من واحد إلى أربعة (مثال: (1 ، 4)).

  1. (S = ) _____________________________
    دع الحدث (A = ) المجموع زوجي والحدث (B = ) الرقم الأول هو عدد أولي.
  2. (A = ) _____________________ ، (B = ) _____________________
  3. (P ( text {A}) = ) _____________، (P ( text {B}) = ) ________________
  4. ( text {A AND B} = ) ____________________، ( text {A OR B} = ) ________________
  5. (P ( text {A AND B}) = ) _________، (P ( text {A OR B}) = ) _____________
  6. ( text {B ′} = ) _____________، (P ( text {B ′)} = ) _____________
  7. (P ( text {A}) + P ( text {A ′}) = ) ____________
  8. (P ( text {A | B}) = ) ___________، (P ( text {B | A}) = ) _____________؛ هل الاحتمالات متساوية؟

إجابه

  1. ( text {S} = {(1،1)، (1،2)، (1،3)، (1،4)، (2،1)، (2،2)، (2،3 ) ، (2،4) ، (3،1) ، (3،2) ، (3،3) ، (3،4) } )
  2. ( text {A} = {(1،1)، (1،3)، (2،2)، (2،4)، (3،1)، (3،3) } )
    ( text {B} = {(2،1)، (2،2)، (2،3)، (2،4)، (3،1)، (3،2)، (3،3 ) ، (3،4) } )
  3. (P ( text {A}) = frac {1} {2} ) ، (P ( text {B}) = frac {2} {3} )
  4. ( text {A AND B} = {(2،2)، (2،4)، (3،1)، (3،3) } )
    ( text {A OR B} = {(1،1)، (1،3)، (2،1)، (2،2)، (2،3)، (2،4)، (3 ، 1)، (3،2)، (3،3)، (3،4) } )
  5. (P ( text {A AND B}) = frac {1} {3}، P ( text {A OR B}) = frac {5} {6} )
  6. ( text {B ′} = {(1،1)، (1،2)، (1،3)، (1،4) }، P ( text {B ′}) = frac { 1} {3} )
  7. (P ( text {B}) + P ( text {B ′}) = 1 )
  8. (P ( text {A | B}) = frac {P ( text {A AND B})} {P ( text {B})} = frac {1} {2}، P ( text {B | A}) = frac {P ( text {A AND B})} {P ( text {B})} = frac {2} {3} ) ، لا.

مثال ( PageIndex {2A} )

يتم دحرجة نرد عادل سداسي الجوانب. وصف مساحة العينة س، حدد كل حدث من الأحداث التالية بمجموعة فرعية من س وتحسب احتمالها (النتيجة هي عدد النقاط التي تظهر).

  1. الحدث ( text {T} = ) النتيجة هي اثنان.
  2. الحدث ( text {A} = ) النتيجة هي رقم زوجي.
  3. الحدث ( text {B} = ) النتيجة أقل من أربعة.
  4. تكملة ( text {A} ).
  5. ( text {A GIVEN B} )
  6. ( text {B GIVEN A} )
  7. ( text {A AND B} )
  8. ( text {A OR B} )
  9. ( text {A OR B ′} )
  10. الحدث ( text {N} = ) النتيجة هي عدد أولي.
  11. الحدث ( text {I} = ) النتيجة سبعة.

المحلول

  1. ( text {T} = {2 } ) ، (P ( text {T}) = frac {1} {6} )
  2. (A = {2، 4، 6 } )، (P ( text {A}) = frac {1} {2} )
  3. ( text {B} = {1، 2، 3 } ) ، (P ( text {B}) = frac {1} {2} )
  4. ( text {A ′} = {1، 3، 5 }، P ( text {A ′}) = frac {1} {2} )
  5. ( text {A | B} = {2 } ) ، (P ( text {A | B}) = frac {1} {3} )
  6. ( text {B | A} = {2 } ) ، (P ( text {B | A}) = frac {1} {3} )
  7. ( text {A AND B} = {2}، P ( text {A AND B}) = frac {1} {6} )
  8. ( text {A OR B} = {1، 2، 3، 4، 6 } ) ، (P ( text {A OR B}) = frac {5} {6} )
  9. ( text {A OR B ′} = {2، 4، 5، 6 } ) ، (P ( text {A OR B ′}) = frac {2} {3} )
  10. ( text {N} = {2، 3، 5 } )، (P ( text {N}) = frac {1} {2} )
  11. لا يحتوي الزهر السداسي على سبع نقاط. (ف (7) = 0 ).

مثال ( PageIndex {2B} )

يصف الجدول توزيع عينة عشوائية (S ) من 100 فرد ، مرتبة حسب الجنس وما إذا كانوا أعسر أو أيمن.

أيمنيساري
ذكور439
إناث444

دعنا نشير إلى الأحداث (M = ) الموضوع ذكر ، (F = ) الموضوع أنثى ، (R = ) الموضوع أيمن ، (L = ) الموضوع يسار- الوفاض. احسب الاحتمالات التالية:

  1. (ف ( نص {م}) )
  2. (ف ( نص {F}) )
  3. (P ( text {R}) )
  4. (ف ( نص {L}) )
  5. (P ( text {M AND R}) )
  6. (P ( text {F AND L}) )
  7. (P ( text {M OR F}) )
  8. (P ( text {M OR R}) )
  9. (P ( text {F OR L}) )
  10. (P ( text {M '}) )
  11. (P ( text {R | M}) )
  12. (P ( text {F | L}) )
  13. (P ( text {L | F}) )

إجابه

  1. (ف ( نص {م}) = 0.52 )
  2. (ف ( نص {F}) = 0.48 )
  3. (P ( text {R}) = 0.87 )
  4. (ف ( نص {L}) = 0.13 )
  5. (P ( text {M AND R}) = 0.43 )
  6. (P ( text {F AND L}) = 0.04 )
  7. (P ( text {M OR F}) = 1 )
  8. (P ( text {M OR R}) = 0.96 )
  9. (P ( text {F OR L}) = 0.57 )
  10. (P ( text {M '}) = 0.48 )
  11. (P ( text {R | M}) = 0.8269 ) (مقرب لأربعة منازل عشرية)
  12. (P ( text {F | L}) = 0.3077 ) (مقرب لأربعة منازل عشرية)
  13. (P ( text {L | F}) = 0.0833 )

مراجعة الفصل

في هذه الوحدة ، تعلمنا المصطلحات الأساسية للاحتمال. الأحداث عبارة عن مجموعات فرعية من مساحة العينة ، ويتم تعيين احتمالية لها عبارة عن رقم بين صفر وواحد ، شاملاً.

مراجعة الصيغة

( text {A} ) و ( text {B} ) حدثان

(P ( text {S}) = 1 ) حيث ( text {S} ) هو مساحة العينة

(0 leq P ( text {A}) leq 1 )

(P ( text {A | B}) = frac { text {P (A AND B)}} { text {P (B)}} )

قائمة المصطلحات

احتمال مشروط
احتمال وقوع حدث بالنظر إلى وقوع حدث آخر بالفعل
من المحتمل على متساوية
كل نتيجة تجربة لها نفس الاحتمال.
حدث
مجموعة فرعية من مجموعة جميع نتائج التجربة ؛ تسمى مجموعة جميع نتائج التجربة أ فضاء العينة وعادة ما يتم الإشارة إليه بواسطة (S ). الحدث عبارة عن مجموعة فرعية عشوائية في (S ). يمكن أن تحتوي على نتيجة واحدة ، نتيجتين ، لا توجد نتائج (مجموعة فرعية فارغة) ، مساحة العينة بأكملها ، وما شابه. الرموز القياسية للأحداث هي أحرف كبيرة مثل (أ ، ب ، ج ) ، وما إلى ذلك.
تجربة - قام بتجارب
نشاط مخطط يتم تنفيذه في ظل ظروف خاضعة للرقابة
حصيلة
نتيجة معينة لتجربة
احتمالا
رقم بين صفر وواحد ، شاملاً ، يعطي احتمالية وقوع حدث معين ؛ يتم تقديم أساس الإحصاء من خلال البديهيات الثلاث التالية (بواسطة A.N. Kolmogorov ، 1930): دعنا يشير (S ) إلى مساحة العينة و (A ) و (B ) حدثان في س. ثم:
  • (0 leq P ( text {A}) leq 1 )
  • إذا كان ( text {A} ) و ( text {B} ) أي حدثين متنافيين ، فإن ( text {P} ( text {A OR B}) = P ( text { A}) + P ( text {B}) ).
  • (P ( text {S}) = 1 )
فضاء العينة
مجموعة جميع النتائج المحتملة للتجربة
حدث AND
تكون النتيجة في الحدث ( text {A AND B} ) إذا كانت النتيجة في كل من ( text {A AND B} ) في نفس الوقت.
الحدث التكميلي
يتكون تكملة الحدث ( text {A} ) من جميع النتائج غير الموجودة في ( text {A} ).
الاحتمال الشرطي لـ أ معطى ب
(P ( text {A | B}) ) هو احتمال وقوع الحدث ( text {A} ) نظرًا لوقوع الحدث ( text {B} ) بالفعل.
أو الحدث
تكون النتيجة في الحدث ( text {A OR B} ) إذا كانت النتيجة في ( text {A} ) أو كانت في ( text {B} ) أو في كليهما ( نص {A} ) و ( text {B} ).

تمرين 3.2.2

في فصل جامعي معين ، هناك طلاب وطالبات. بعض الطلاب لديهم شعر طويل وبعض الطلاب لديهم شعر قصير. اكتب ال حرف او رمز لاحتمالات الأحداث للأجزاء من أ إلى ي. (لاحظ أنه لا يمكنك العثور على إجابات عددية هنا. لم يتم إعطاؤك معلومات كافية للعثور على أي قيم احتمالية حتى الآن ؛ ركز على فهم الرموز.)

  • لنكن ( text {F} ) الحدث الذي تكون فيه الطالبة أنثى.
  • لنفترض أن ( text {M} ) هو الحدث الذي يكون فيه الطالب ذكرًا.
  • لنفترض أن ( text {S} ) حدث أن الطالب لديه شعر قصير.
  • لنفترض أن ( text {L} ) حدث أن الطالب لديه شعر طويل.
  1. احتمالية ألا يكون لدى الطالب شعر طويل.
  2. احتمال أن يكون الطالب ذكرًا أو لديه شعر قصير.
  3. احتمالية أن تكون الطالبة أنثى ولها شعر طويل.
  4. احتمالية أن يكون الطالب ذكرًا إذا كان شعر الطالب طويلًا.
  5. احتمال أن يكون شعر الطالب طويلاً كون الطالب ذكر.
  6. من بين جميع الطالبات ، احتمال أن يكون شعر الطالبة قصيرًا.
  7. من بين جميع الطلاب ذوي الشعر الطويل ، من المحتمل أن تكون الطالبة أنثى.
  8. احتمال أن تكون الطالبة أنثى أو لديها شعر طويل.
  9. احتمالية أن يكون الطالب الذي تم اختياره عشوائيًا طالبًا ذا شعر قصير.
  10. احتمال أن تكون الطالبة أنثى.

إجابه

  1. (P ( text {L ′)} = P ( text {S}) )
  2. (ف ( نص {م أو س}) )
  3. (P ( text {F AND L}) )
  4. (P ( text {M | L}) )
  5. (P ( text {L | M}) )
  6. (P ( text {S | F}) )
  7. (P ( text {F | L}) )
  8. (P ( text {F OR L}) )
  9. (P ( text {M AND S}) )
  10. (ف ( نص {F}) )

استخدم المعلومات التالية للإجابة على التمارين الأربعة التالية. صندوق مليء بالعديد من هدايا الحفلات. تحتوي على 12 قبعة و 15 صانع ضوضاء وعشرة أفخاخ للأصابع وخمسة أكياس من قصاصات الورق الملون.

دعونا (H = ) حدث الحصول على قبعة.

دعونا (N = ) حدث الحصول على الضوضاء.

دعونا (F = ) حدث الحصول على مصيدة الأصابع.

دعونا (C = ) حالة الحصول على كيس قصاصات ورق.

تمرين 3.2.3

ابحث عن (P ( text {H}) ).

تمرين 3.2.4

ابحث عن (P ( text {N}) ).

إجابه

(P ( text {N}) = frac {15} {42} = frac {5} {14} = 0.36 )

تمرين 3.2.5

ابحث عن (P ( text {F}) ).

تمرين 3.2.6

ابحث عن (P ( text {C}) ).

إجابه

(P ( text {C}) = frac {5} {42} = 0.12 )

استخدم المعلومات التالية للإجابة على التدريبات الستة التالية. عبوة مكونة من 150 حبة جيلي تحتوي على 22 حبة جيلي حمراء و 38 أصفر و 20 أخضر و 28 بنفسجي و 26 أزرق والباقي برتقالي.

دعونا (B = ) حدث الحصول على حبة جيلي زرقاء

دعونا (G = ) حدث الحصول على حبة جيلي خضراء.

دعونا (س = ) حدث الحصول على حبة جيلي برتقالية.

دعونا (P = ) حدث الحصول على حبة جيلي أرجوانية.

دعونا (R = ) حدث الحصول على حبة جيلي حمراء.

دعونا (Y = ) حدث الحصول على حبة جيلي صفراء.

تمرين 3.2.7

ابحث عن (P ( text {B}) ).

تمرين 3.2.8

ابحث عن (P ( text {G}) ).

إجابه

(P ( text {G}) = frac {20} {150} = frac {2} {15} = 0.13 )

تمرين 3.2.9

ابحث عن (P ( text {P}) ).

تمرين 3.2.10

ابحث عن (P ( text {R}) ).

إجابه

(P ( text {R}) = frac {22} {150} = frac {11} {75} = 0.15 )

تمرين 3.2.11

ابحث عن (P ( text {Y}) ).

تمرين 3.2.12

ابحث عن (P ( text {O}) ).

إجابه

(P (text {O}) = frac {150-22-38-20-28-26} {150} = frac {16} {150} = frac {8} {75} = 0.11 )

استخدم المعلومات التالية للإجابة على التدريبات الستة التالية. هناك 23 دولة في أمريكا الشمالية ، و 12 دولة في أمريكا الجنوبية ، و 47 دولة في أوروبا ، و 44 دولة في آسيا ، و 54 دولة في إفريقيا ، و 14 دولة في أوقيانوسيا (منطقة المحيط الهادئ).

لنفترض ( text {A} = ) أن دولة ما في آسيا.

لنفترض ( text {E} = ) الحدث الذي يشير إلى وجود بلد ما في أوروبا.

لنترك ( text {F} = ) حدث بلد ما في إفريقيا.

لنفترض ( text {N} = ) وقوع بلد ما في أمريكا الشمالية.

دعونا ( text {O} = ) الحدث الذي يوجد فيه بلد ما في أوقيانوسيا.

لنفترض ( text {S} = ) وقوع بلد ما في أمريكا الجنوبية.

تمرين 3.2.13

ابحث عن (P ( text {A}) ).

تمرين 3.2.14

ابحث عن (P ( text {E}) ).

إجابه

(P ( text {E}) = frac {47} {194} = 0.24 )

تمرين 3.2.15

ابحث عن (P ( text {F}) ).

تمرين 3.2.16

ابحث عن (P ( text {N}) ).

إجابه

(P ( text {N}) = frac {23} {194} = 0.12 )

تمرين 3.2.17

ابحث عن (P ( text {O}) ).

تمرين 3.2.18

ابحث عن (P ( text {S}) ).

إجابه

(P ( text {S}) = frac {12} {194} = frac {6} {97} = 0.06 )

تمرين 3.2.19

ما هو احتمال سحب بطاقة حمراء في مجموعة قياسية مكونة من 52 بطاقة؟

تمرين 3.2.20

ما هو احتمال سحب نادٍ في مجموعة أوراق اللعب القياسية المكونة من 52 بطاقة؟

إجابه

( frac {13} {52} = frac {1} {4} = 0.25 )

تمرين 3.2.21

ما هو احتمال دحرجة عدد زوجي من النقاط بنرد عادل سداسي الأضلاع مرقّم من واحد إلى ستة؟

تمرين 3.2.22

ما هو احتمال دحرجة عدد أولي من النقاط بنردة عادلة سداسية الأضلاع مرقمة من واحد إلى ستة؟

إجابه

( frac {3} {6} = frac {1} {2} = 0.5 )

استخدم المعلومات التالية للإجابة على التمرينين التاليين. ترى لعبة في معرض محلي. عليك رمي نبلة على عجلة الألوان. كل قسم على عجلة الألوان متساوٍ في المساحة.

الشكل 3.2.1.

دعونا ( text {B} = ) حدث الهبوط على اللون الأزرق.

دعونا ( text {R} = ) حدث الهبوط على اللون الأحمر.

دعونا ( text {G} = ) حدث الهبوط على الأخضر.

دعونا ( text {Y} = ) حدث الهبوط على اللون الأصفر.

تمرين 3.2.23

إذا وصلت إلى ( text {Y} ) ، فستحصل على أكبر جائزة. ابحث عن (P ( text {Y}) ).

تمرين 3.2.24

إذا هبطت على اللون الأحمر ، فلن تحصل على جائزة. ما هو (P ( text {R}) )؟

إجابه

( text {P} (R) = frac {4} {8} = 0.5 )

استخدم المعلومات التالية للإجابة على التدريبات العشرة التالية. في فريق البيسبول ، هناك لاعبو دفاع ولاعبون خارجيون. بعض اللاعبين هم ضاربون رائعون ، وبعض اللاعبين ليسوا ضاربين رائعين.

اسمحوا ( text {I} = ) الحدث أن لاعب في لاعب.

دعونا ( text {O} = ) الحدث الذي يعتبر اللاعب لاعب دفاع.

دعونا ( text {H} = ) الحدث الذي يعتبر اللاعب ضاربًا رائعًا.

دعونا ( text {N} = ) حدث أن اللاعب ليس ضاربا كبيرا.

تمرين 3.2.25

اكتب الرموز الخاصة باحتمالية أن اللاعب ليس لاعبًا دفاعًا.

تمرين 3.2.26

اكتب الرموز الخاصة باحتمالية أن يكون اللاعب لاعبًا دفاعًا أو ضاربًا رائعًا.

إجابه

(P ( text {O OR H}) )

تمرين 3.2.27

اكتب الرموز الخاصة باحتمالية أن يكون اللاعب لاعبًا وليس ضاربًا جيدًا.

تمرين 3.2.28

اكتب الرموز الخاصة باحتمالية أن يكون اللاعب ضاربًا رائعًا ، بالنظر إلى أن اللاعب لاعب مهاجم.

إجابه

(P ( text {H | I}) )

تمرين 3.2.29

اكتب الرموز الخاصة باحتمالية أن يكون اللاعب لاعبًا لاعباً ، بالنظر إلى أن اللاعب ضارب عظيم.

تمرين 3.2.30

اكتب الرموز لاحتمالية أنه من بين جميع لاعبي الدفاع ، لا يكون اللاعب ضاربًا جيدًا.

إجابه

(P ( text {N | O}) )

تمرين 3.2.31

اكتب الرموز التي تشير إلى احتمال أن يكون اللاعب لاعبًا دفاعًا من بين جميع الضاربين العظماء.

تمرين 3.2.32

اكتب الرموز الخاصة باحتمالية أن يكون اللاعب لاعبًا لاعباً أو ليس ضارباً عظيماً.

إجابه

(P ( text {I OR N}) )

تمرين 3.2.33

اكتب الرموز الخاصة باحتمالية أن يكون اللاعب لاعبًا دفاعًا وضاربًا رائعًا.

تمرين 3.2.34

اكتب الرموز الخاصة باحتمالية أن يكون اللاعب لاعباً.

إجابه

(ف ( نص {I}) )

تمرين 3.2.35

ما هي كلمة مجموعة كل النتائج الممكنة؟

تمرين 3.2.36

ما هو الاحتمال الشرطي؟

إجابه

احتمال وقوع حدث بالنظر إلى وقوع حدث آخر بالفعل.

تمرين 3.2.37

رف يتسع لـ 12 كتابًا. ثمانية منها خيال والباقي خيالي. كل كتاب مختلف بعنوان فريد. كتب الخيال مرقمة من واحد إلى ثمانية. الكتب الواقعية مرقمة من واحد إلى أربعة. اختر كتابًا واحدًا بشكل عشوائي

دعونا ( text {F} = ) حدث هذا الكتاب هو خيال

لنفترض أن ( text {N} = ) حدث هذا الكتاب غير خيالي

ما هي مساحة العينة؟

تمرين 3.2.38

ما هو مجموع احتمالات الحدث ومكملته؟

إجابه

1

استخدم المعلومات التالية للإجابة على التمرينين التاليين. أنت تقوم بتدوير مكعب أرقام عادل من ستة جوانب. دع ( text {E} = ) حدث هبوطه على رقم زوجي. لنفترض ( text {M} = ) وقوع الحدث على مضاعف ثلاثة.

تمرين 3.2.39

ماذا يعني (P ( text {E | M}) ) بالكلمات؟

تمرين 3.2.40

ماذا يعني (P ( text {E OR M}) ) بالكلمات؟

إجابه

احتمال الهبوط على عدد زوجي أو مضاعف ثلاثة


صفحات كين وارد للرياضيات

السلسلة هي مجموعة من الأرقام مثل:
1+2+3
الذي لديه مبلغ. تسمى السلسلة أحيانًا بالتقدم ، كما هو الحال في "التقدم الحسابي".

التسلسل ، من ناحية أخرى ، هو مجموعة من الأرقام مثل:
2,1,3
حيث ترتيب الأرقام مهم. تسلسل مختلف مما ورد أعلاه هو:
1, 2, 3
سلسلة مثل:
1+2+3.
له نفس المبلغ مثل:
2+1+3
لكن الأرقام في تسلسل مختلف.


20 مصطلحات ورموز الرياضيات الأكثر شيوعًا في اللغة الإنجليزية

يوجد أدناه ملخص للرموز الرياضية الشائعة التي تمت مناقشتها أدناه ، جنبًا إلى جنب مع الكلمات باللغة الإنجليزية المستخدمة لوصفها.

يمكن أن تكون الرياضيات محبطة بدرجة كافية في لغتك الأم. ولكن عند تعلم لغة جديدة ، قد تجد أنك لن تحتاج إلى إعادة تعلم الأرقام فقط ، ولكن أيضًا العديد من المصطلحات المستخدمة في عالم الرياضيات.

على سبيل المثال ، قد يكون من الصعب عليك حساب إكرامية في مطعم بصوت عالٍ لصديقك المتحدث باللغة الإنجليزية ، ولكن شيئًا من هذا القبيل يمكن أن يكون مفيدًا بالتأكيد. للمساعدة ، إليك مجموعة من المصطلحات (وأمثلة المعادلات) التي يستخدمها المتحدثون باللغة الإنجليزية عند هز أدمغتهم بالأرقام والمعادلات.

إضافة

6 + 4 = 12
ستة زائد أربعة يساوي اثني عشر.

يسمى هذا النوع من الحسابات إضافة ، وهو عندما تجمع رقمين أو أكثر معًا. عند نطق المعادلة بصوت عالٍ ، نستخدم w أو d "plus" ، والرمز "+" يسمى a علامة زائد . نتيجة معادلة الجمع تسمى أ مجموع .

معادلة

عادة ، نقول ذلك تعبير واحد يساوي آخر ، والرمز "=" يسمى بشكل مناسب علامة يساوي . على الرغم من أنه من الشائع في اللغة الإنجليزية قول كلمة "يساوي" ، إلا أنه من الجيد أيضًا استخدام صيغة المفرد "is". على سبيل المثال ، اثنان زائد ثلاثة يكون خمسة. أي بيان رياضي يتضمن علامة التساوي يسمى معادلة .

علامة لا يساوي

6 + 4 ≠ 13
ستة زائد أربعة لا يساوي ثلاثة عشر.

يُطلق على الرمز "a" اسم علامة لا يساوي ، ونقول هذا التعبير هو لا يساوي اخر.

الطرح

15 – 8 = 7
خمسة عشر ناقص ثمانية يساوي سبعة.

يسمى هذا النوع من الحسابات الطرح ، وهو عندما طرح او خصم رقم واحد من الآخر للحصول على الفارق. عند نطق المعادلة بصوت عالٍ ، نستخدم كلمة "ناقص" ، ويُطلق على الرمز "-" - كما خمنته - a علامة ناقص . ومع ذلك ، لا يتم استخدام كلمة "ناقص" عند وصف الأرقام السالبة (على عكس الأرقام الموجبة). على سبيل المثال ، ثلاثة ناقص أربعة ليست "ناقص واحد" ولكن " نفي واحد."

زائد ناقص إشارة

4 ± 3 = 1 أو 7
أربعة زائد أو ناقص ثلاثة يساوي واحدًا أو سبعة.

يُطلق على الرمز "±" اسم زائد ناقص إشارة ، وعند استخدامها في معادلة ، نقول ذلك الرقم زائد أو ناقص ينتج عن آخر مجموعان محتملان.

عمليه الضرب

5 × 2 = 10
خمسة في اثنين يساوي عشرة.
خمسة في اثنين يساوي عشرة.

الآن وصلنا إلى عمليه الضرب ، وهناك طريقتان لقراءة مثل هذا الحساب. إحدى الطرق هي أن نقول أن عددًا ما ينتج عنه منتج. الطريقة الأخرى هي استخدام المصطلح المنطقي " مضروبا . " يعتبر الرمز "×" هو علامة الضرب ، على الرغم من أنه يمكنك أيضًا استخدام نقطة (⋅) أو علامة النجمة (∗).

قسم

21 ÷ 7 = 3
واحد وعشرون على سبعة يساوي ثلاثة.

عند التعامل مع قطاع ، نقول أن رقمًا واحدًا هو مقسومًا على رقم آخر للحصول على حاصل القسمة . نسمي رمز "÷" أ علامة القسمة ، ولكن من الشائع أيضًا استخدام الشرطة المائلة (/) ، وهو رمز يُستخدم أيضًا للكسور. إذا احتوت الإجابة على باقي ، فأنت ببساطة تقول " بقية "حيث" r ". على سبيل المثال ، 22 ÷ 7 = 3r1 سيكون "اثنان وعشرون على سبعة يساوي ثلاثة باقي واحد."

عدم المساواة

18.5 > 18
ثمانية عشر فاصلة خمسة أكبر من ثمانية عشر.

هذا النوع من المعادلات يسمى عدم المساواة ، وعادة ما تقرأ من اليسار إلى اليمين. لذلك منطقيًا ، يُطلق على الرمز ">" اسم " أكبر من علامة "والرمز" & lt "يسمى" أقل من علامة . " يمكنك أيضًا استخدام الرموز "" أو "" إذا كان الرقم ، غالبًا ما يكون متغيرًا أكبر من أو يساوي رقم آخر ، أو اقل او يساوي هو - هي.

عدد عشري

18.5 يعتبر أ عدد عشري ، وتسمى الفترة المستخدمة لكتابة هذا الرقم أ العلامة العشرية .

عندما نقول بصوت عالٍ ، عادة ما نستخدم كلمة "نقطة" ، متبوعة بسلسلة من الأرقام الفردية. على سبيل المثال ، يمكن نطق 3.141 "ثلاثة فاصل واحد أربعة واحد". ومع ذلك ، مع أبسط الأرقام ، من الشائع استخدام كسر مثل "خمسة أعشار". لا تقلق ، سيتم تغطية هذا بعد ذلك.

تميل النقود إلى التلاوة بشكل مختلف قليلاً. على سبيل المثال ، إذا كانت تكلفة شيء ما 5.75 دولارًا أمريكيًا ، فلن تقول "خمسة فاصل سبعة وخمسة دولارات". بدلًا من ذلك يمكنك أن تقول "خمسة دولارات وخمسة وسبعون سنتًا" أو "خمسة وسبعون سنتًا".

تقريب

π ≈ 3.14
Pi يساوي 3.14 تقريبًا

هذا النوع من المعادلات يسمى تقريب حيث القيمة الواحدة تقريبا يساوي قيمة أخرى. يُطلق على الرمز "an" اسم علامة يساوي تقريبا.

تميل مجالات الرياضيات والعلوم إلى استعارة الكثير من الأحرف من الأبجدية اليونانية كرموز شائعة ، وتميل اللغة الإنجليزية إلى إحداث تغيير في نطق هذه الأحرف. على سبيل المثال ، لا يتم نطق الحرف / pi / كما هو معتاد ، ولكن بالأحرى كـ / paj / ، مثل كلمة "فطيرة".

كن حذرًا بشأن نطق الأحرف اليونانية باللغة الإنجليزية لأنه في كثير من الأحيان لن تكون هي نفسها.

النسبة (البسط ، المقام)

1 ÷ 3 = ⅓
واحد على ثلاثة يساوي ثلثًا.

في الكسر ، الرقم العلوي يسمى البسط والرقم السفلي يسمى المقام - صفة مشتركة - حالة . عند نطق الكسور بصوت عالٍ ، عادة ما نتعامل مع المقام كرقم ترتيبي. هذا يعني أن ⅓ تُنطق "ثالثًا" ، ¼ تُنطق "رابع" ، إلخ. استثناء واحد هو ½ ، والذي يُطلق عليه عادةً "أ نصف ، "وليس" ثانية ". وبالمثل ، يمكن تسمية ¼ "أ ربع ، بالإضافة إلى رابع ، لكن هذه هي المخالفات الوحيدة.

مع كل هذه الكسور ، من المقبول استخدام كلمة "واحد" بدلاً من "أ" ، لذلك يمكن تسمية ½ "نصف" بالإضافة إلى "نصف". وإذا كان البسط رقمًا أكبر من واحد ، قل هذا الرقم بصوت عالٍ. ¾ ستكون "ثلاثة أرباع" ، ستكون "خمسين" ، إلخ. لاحظ استخدام الشرطة عند كتابة الكسر.

مع أي كسر ، من الممكن أيضًا أن نقول ببساطة أن أحد الأرقام "فوق" آخر. بينما يمكن نطق ⅖ "خمسين" ، فمن الجيد أيضًا أن تقول "اثنان على خمسة". في الواقع ، عند التعامل مع المتغيرات (الحروف التي تمثل الأرقام) ، إنها في الواقع الطريقة الوحيدة الملائمة لقولها. على سبيل المثال ، سيُقال x / y كـ "x على y" ، بينما لن يقول أي شخص "x-yth".

جزء غير لائق

2 ÷ 3 = 1½
اثنان على ثلاثة يساوي واحدًا ونصفًا.

ان جزء غير لائق هو مزيج من عدد صحيح ( عدد صحيح ) وكسر ويتضمن استخدام كلمة "و". إذن 1½ سيكون واحدًا و نصف ، 2¾ تساوي اثنين و ثلاثة أرباع ، إلخ. كما ذكرنا سابقًا ، يمكن أحيانًا ذكر الكسور العشرية ككسر غير فعلي. في حين أنه من الطبيعي نطق 0.7 كـ "صفر نقطة سبعة" أو "النقطة سبعة" ، يمكن أيضًا أن يُقال على أنها "سبعة أعشار" ، نظرًا لأنها تقنيًا تساوي 7/10. وبالمثل ، يمكن قول 0.75 على أنها "خمسة وسبعون جزءًا من مائة".

ومع ذلك ، فإن طريقة قراءة الكسور العشرية هذه يمكن أن تصبح عديمة الجدوى ومربكة ، ولذلك فمن الشائع والمريح الالتزام بطريقة "النقطة".

النسبة المئوية

20 × 40% = 8
عشرون في أربعين بالمائة يساوي ثمانية.
أربعون بالمائة من عشرين تساوي ثمانية.

ال علامة في المئة (٪) تستخدم للإشارة إلى أ النسبة المئوية . عند قراءة نسبة مئوية ، ما عليك سوى نطق الرقم وكلمة " نسبه مئويه "بعدها ، لذا يُقرأ 50٪ على أنها" خمسون بالمائة ". عند حساب شيء يتضمن نسبة مئوية ، يمكنك ببساطة نطقه كمعادلة ضرب قياسية ، أو يمكنك القول أن نسبة مئوية معينة من رقم آخر ينتج عنها منتج.

في علوم الكمبيوتر ، تميل علامة النسبة المئوية إلى أن يكون لها وظيفة مختلفة ويتم استخدامها بالفعل على أنها مشغل modulo ، والتي تعمل كعملية حسابية للقسمة ولكنها تنتج الباقي فقط. حيث تكون علامة النسبة المئوية ، يمكنك أن تقول " مودولو " أو " عصري " لفترة قصيرة. على سبيل المثال ، 15٪ 6 == 3 سيكون "خمسة عشر تعديلًا ستة يساوي ثلاثة" (عادةً ما تُستخدم علامة النسبة المئوية المزدوجة في لغات الكمبيوتر ، ولكنها تُقرأ بنفس الطريقة).

متسارع

3 3 = 27
ثلاثة تكعيب يساوي سبعة وعشرين.
ثلاثة أس الثالث يساوي سبعة وعشرين.
Three to the power of three equals twenty-seven.

ان exponent is when you take a number and multiply it by itself a certain number of times, an operation called exponentiation . In other words, you take one number to the power من another number. This is the easiest way to read an exponent out loud, since it works easily with decimals and fractions (“four to the seven point five,” “three to the four-fifths,” etc.).

However, it is also common to use an ordinal number when reading aloud an exponent. For example, x 3 reads “x to the third,” x 4 reads “x to the fourth,” etc. Note that this is different from saying “x-thirds” or “x-fourths,” which would turn the number into a fraction.

It is not common to say x 2 as “x to the second.” Instead, the convention is to say “x squared,” which relates to concepts of geometry. Similarly, it is common to say x 3 as “x cubed.”

However, there is no equivalent for x 4 and numbers beyond that. “Squared” and “cubed” are also used when talking about units of length in two or three dimensions. For example, 5 ft 2 would be read as “five feet squared,” and 50 km 3 would be read as “fifty kilometers cubed.

Square root

√16 = 4
The square root of sixteen is four.

The result of this equation is called a square root , and the “√” symbol is called a radical sign (“radical” literally means “root”). It is typical to state that the square root of one number equals another number.

A square root is essentially a number to the power of a half. In other words, √16 is the same as 16 1/2 . However, if the number is to the power of a different fraction, say ⅓, then the root becomes a cube root , written as 3 √16.

For this, you can say “the cube root of sixteen,” but you can also say “sixteen root three.” Similarly, 4 √16 would be “sixteen root four,” etc.

Imaginary number

√(–4) = 2i
The square root of negative four is two i.

ان imaginary number is the result of taking the square root of a negative number. When reading an imaginary number aloud, simply pronounce the letter “i” as it is. 2i is pronounced “two i,” 3i is “three i,” etc.

Logarithm

سجل28 = 3
Log base two of eight equals three.

أ اللوغاريتم is basically an inverse of an exponential equation, and though it seems complicated, reading one may actually be easier and more consistent.

In the case of log28, since the “2” is considered to be the base of the logarithm, you would say that log base two of eight equals three. An expression containing “ln” is called a natural log . For example, lnx would be stated as “the natural log of x.”

12m / 4s = 3m/s
Twelve meters divided by four seconds equals three meters per second.

  • This class will meet five times لكل (Five times a week)
  • I usually assist ten customers لكل (Ten customers every shift)

Infinity

0 < x < ∞
X is greater than zero and less than infinity.

Infinity (∞) is an abstraction of the largest number imaginable, the opposite of which is negative infinity (–∞). The “∞” symbol is called the infinity symbol , sometimes called a lemniscate because of its figure-eight shape. Notice that it’s different from the word “infinite,” which is an adjective that describes something that is endless or limitless.

Factorial

أ factorial is represented by an exclamation point, and you simply say the word “factorial” after the number. Things don’t get much easier…

Equation of those number

5 x (4 + 3) = 35
Five times the quantity of four plus three equals thirty-five.

Saying equations out loud can get a bit tricky when there are parentheses involved.

One method is to take short pauses before saying numbers grouped in parentheses. But a more effective way would be to call them the quantity of those numbers, almost as if you’re making a calculation within a calculation, which is essentially what you’re doing.

This phrase also comes in handy when you’re dealing with complex fractions. For example, an easy way to say x / (y + z) would be “x over the quantity of y plus z.”


Courses and Curriculum

MATH-ACM students may double count 15 credits (5 courses) of 500 level courses toward both the B.S./A.B. in Mathematics and M.S. in Applied and Computational Mathematics degrees. The courses double counted must be elected at the 500 level and include:

  • Math 551 (Advanced Calculus), Math 562 (Math Modeling), and either Math 572 (Numerical Analysis) or Math 573 (Matrix Computations). This satisfies part of both the Analysis/Algebra option and the Applied Courses for the B.S. and all of the Core requirements for the M.S. الدرجة العلمية.
  • و إما Option I, II or III:

Two additional electives that satisfy both the B.S. degree electives and the Modeling Specialization requirements of the M.S. الدرجة العلمية. Choices include: Math 504, Math 520, Math 525, Math 554, Math 558, Math 523, Math 514, Math 516.

Two courses that satisfy the cognate option for the B.S. الدرجة العلمية. Choices include: Stat 530, Stat 535, Stat 545, Stat 560, or select courses at the graduate level from CIS, ECE, ECON, IMSE, ME, PHYS and others.

One course from Option I and one course from the Option II.

A student may not receive credit for both a 400 and 500 level equivalent courses (for example, both Math 455 and Math 555).


Checked Indexed Accesses ( --noUncheckedIndexedAccess )

TypeScript has a feature called index signatures. These signatures are a way to signal to the type system that users can access arbitrarily-named properties.

In the above example, Options has an index signature that says any accessed property that’s not already listed should have the type string | number . This is often convenient for optimistic code that assumes you know what you’re doing, but the truth is that most values in JavaScript do not support every potential property name. Most types will not, for example, have a value for a property key created by Math.random() like in the previous example. For many users, this behavior was undesirable, and felt like it wasn’t leveraging the full strict-checking of --strictNullChecks .

That’s why TypeScript 4.1 ships with a new flag called --noUncheckedIndexedAccess . Under this new mode, every property access (like foo.bar ) or indexed access (like foo["bar"] ) that ends up resolving to an index signature is considered potentially undefined. That means that in our last example, opts.yadda will have the type string | number | undefined as opposed to just string | number . If you need to access that property, you’ll either have to check for its existence first or use a non-null assertion operator (the postfix ! character).

One consequence of using --noUncheckedIndexedAccess is that indexing into an array is also more strictly checked, even in a bounds-checked loop.

If you don’t need the indexes, you can iterate over individual elements by using a for – of loop or a forEach call.

This flag can be handy for catching out-of-bounds errors, but it might be noisy for a lot of code, so it is not automatically enabled by the --strict flag however, if this feature is interesting to you, you should feel free to try it and determine whether it makes sense for your team’s codebase!


English for Maths

Maths students of English 2 will not sit June 2021 exams. Instead, they will be evaluated by making an oral presentation through Webex – with cameras on – on a science-oriented topic. (You may choose from a wide range of areas of interest. Your topic should be relevant to your School of Technology & Engineering, while it can be possibly combined with topics taken from schools of different sciences, or even arts, as well.) The presentation should strictly last 10 minutes. Your first 5 minutes should focus on the presentation of your topic. The last 5 minutes should be based on a brief oral commentary of all elements of academic language that you have used in an essay (without a word limit) written by you on the same topic (coherence and cohesion devices, types of sentences, features of academic writing, topic sentence, controlling idea, primary and secondary supports, conclusion, method of development, pattern, sentence structure and sentence style). These elements should be demonstrated on the screen (you decide on your highlighting system, i.e., using different colours, initial letters, notes etc.). Helpful guidelines and links with respect to a successful presentation are provided through the blog. Try to be fluent, communicative and confident. Never just read your written work. Show that you are familiar enough with your topic and linguistic analysis. You should also refer to your sources and bibliography while applying the strategies of summarizing and paraphrasing, thus avoiding plagiarism. Try to produce your own written texts. Copying somebody else’s original work will be considered a fail.On your presentation day you are required to submit an electronic copy of your work. Your mark will be based on your oral performance of content and language. Presentations will take place in the first two weeks after Easter vacations. As for the exact dates of your presentation you will be informed in one of these days. You will be sent the available days and times through google docs, so that you could sign up. ال same system will take place in September 2021 exams.

Maria Koutraki ([email protected] [email protected])


Common Core Math Vocabulary & Standards

The Math Common Core State Standards provide clear goals defining what students should understand and be able to do at every grade level. On every math page, there is a “standards overview table” summarizing the Common Core Standards’ math learning goals and skills for that grade and content area.

The Common Core State Standards for Mathematical Practice establish eight main math skills that K12 educators should develop in their students:

  • Make sense of problems and persevere in solving them.
  • Reason abstractly and quantitatively.
  • Construct viable arguments and critique the reasoning of others.
  • Model with mathematics.
  • Use appropriate tools strategically.
  • Attend to precision.
  • Look for and make use of structure.
  • Look for and express regularity in repeated reasoning.

Parts of an Expression

Algebraic expressions are combinations of variables , numbers, and at least one arithmetic operation.

For example, 2 x + 4 y &minus 9 is an algebraic expression.

Term: Each expression is made up of terms. A term can be a signed number, a variable, or a constant multiplied by a variable or variables.

Factor: Something which is multiplied by something else. A factor can be a number, variable, term, or a longer expression. For example, the expression 7 x ( y + 3 ) has three factors: 7 , x , and ( y + 3 ) .

Coefficient: The numerical factor of a multiplication expression that contains a variable. Consider the expression in the figure above, 2 x + 4 y &minus 9 . In the first term, 2 x , the coefficient is 2 : in the second term, 4 y , the coefficient is 4 .

Constant: A number that cannot change its value. In the expression 2 x + 4 y &minus 9 , the term 9 is a constant.

Like Terms: Terms that contain the same variables such as 2 m , 6 m or 3 x y and 7 x y . If an expression has more than one constant terms, those are also like terms.

Difference of a number and 7

Identify the terms, like terms, coefficients, and constants in the expression.

First, we can rewrite the subtractions as additions.

9 m &minus 5 n + 2 + m &minus 7 = 9 m + ( &minus 5 n ) + 2 + m + ( &minus 7 )

So, the مصطلحات are 9 m , ( &minus 5 n ) , m , 2 , and ( &minus 7 ) .

Like terms are terms that contain the same variables.

9 m and 9 m are a pair of like terms . The constant terms 2 and &minus 7 are also like terms.

Coefficients are the numerical parts of a term that contains a variable.

So, here the coefficients are 9 , ( &minus 5 ) , and 1 . ( 1 is the coefficient of the term m .)

ال constant terms are the terms with no variables, in this case 2 and &minus 7 .

Algebraic expressions must be written and interpreted carefully. The algebraic expression 5 ( x + 9 ) is ليس equivalent to the algebraic expression, 5 x + 9 .

See the difference between the two expressions in the table below.

In writing expressions for unknown quantities, we often use standard formulas. For example, the algebraic expression for "the distance if the rate is 50 miles per hour and the time is T hours" is D = 50 T (using the formula D = R T ).

An expression like x n is called a power. Here x is the base, and n is the exponent. The exponent is the number of times the base is used as a factor. The word phrase for this expression is " x to the n th power."


شاهد الفيديو: Prep3- 1st term -Ratio and proportion شرح ماث ثالثه إعدادى لغات (شهر اكتوبر 2021).