مقالات

3.9: حل المعادلات باستخدام الأعداد الصحيحة ؛ تقسيم ملكية المساواة (الجزء الأول)


مهارات التطوير

  • حدد ما إذا كان العدد الصحيح هو حل المعادلة
  • حل المعادلات ذات الأعداد الصحيحة باستخدام خصائص الجمع والطرح للمساواة
  • نموذج لخاصية التقسيم للمساواة
  • حل المعادلات باستخدام تقسيم خاصية المساواة
  • ترجمها إلى معادلة وحلها

كن مستعدا!

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. احسب (x + 4 ) عندما (x = −4 ). إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 3.2.9.
  2. حل: (ص - 6 = 10 ). إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع مثال 2.3.6.
  3. ترجم إلى تعبير جبري (5 ) أقل من (س ). إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع الجدول 1.3.1.

حدد ما إذا كان الرقم حلًا لمعادلة

في حل المعادلات مع خصائص الطرح والجمع للمساواة ، رأينا أن حل المعادلة هو قيمة متغير يصنع بيانًا صحيحًا عند استبداله في تلك المعادلة. في هذا القسم ، وجدنا الحلول التي كانت عبارة عن أعداد صحيحة. الآن بعد أن عملنا مع الأعداد الصحيحة ، سنجد حلولاً صحيحة للمعادلات.

الخطوات التي نتخذها لتحديد ما إذا كان الرقم هو حل لمعادلة هي نفسها سواء كان الحل عددًا صحيحًا أم عددًا صحيحًا.

كيفية: تحديد ما إذا كان الرقم حلًا لمعادلة.

الخطوة 1. استبدل رقم المتغير في المعادلة.

الخطوة 2. بسّط التعابير على طرفي المعادلة.

الخطوة 3. تحديد ما إذا كانت المعادلة الناتجة صحيحة.

  • إذا كان هذا صحيحًا ، فإن الرقم هو حل.
  • إذا لم يكن صحيحًا ، فإن الرقم ليس حلاً.

مثال ( PageIndex {1} ): تحديد الحل

حدد ما إذا كان كل مما يلي يمثل حلًا لـ (2x - 5 = −13 ):

  1. (س = 4 )
  2. (س = -4 )
  3. (س = -9 )

المحلول

(أ) عوّض بـ 4 عن x في المعادلة لتحديد ما إذا كانت صحيحة.2 س - 5 = 13
استبدل ( textcolor {red} {4} ) بـ x. (2 ( textcolor {red} {4}) - 5 stackrel {؟} {=} -13 )
تتضاعف. (8 - 5 stackrel {؟} {=} -13 )
طرح او خصم. (3 neq -13 )

بما أن (x = 4 ) لا ينتج عنه معادلة صحيحة ، فإن (4 ) ليس حلاً للمعادلة.

(ب) عوض عن x ب -4 في المعادلة لتحديد ما إذا كانت صحيحة.2 س - 5 = 13
استبدل ( textcolor {red} {- 4} ) بـ x. (2 ( textcolor {red} {- 4}) - 5 stackrel {؟} {=} -13 )
تتضاعف. (- 8 - 5 مكدس {؟} {=} -13 )
طرح او خصم. (- 13 = -13 ؛ علامة اختيار )

بما أن (x = −4 ) ينتج عنه معادلة صحيحة ، فإن (- 4 ) هو حل للمعادلة.

(ب) عوض بـ -9 عن x فى المعادلة لتحديد ما إذا كانت صحيحة.2 س - 5 = 13
استبدل ( textcolor {red} {- 9} ) بـ x. (2 ( textcolor {red} {- 9}) - 5 stackrel {؟} {=} -13 )
تتضاعف. (- 18 - 5 مكدس {؟} {=} -13 )
طرح او خصم. (- 23 neq -13 )

بما أن (x = −9 ) لا ينتج عنه معادلة صحيحة ، فإن (- 9 ) ليس حلاً للمعادلة.

تمرين ( PageIndex {1} )

حدد ما إذا كان كل مما يلي يمثل حلًا لـ (2x - 8 = −14 ):

  1. (س = -11 )
  2. (س = 11 )
  3. (س = -3 )
الإجابة أ

رقم

الجواب ب

رقم

الجواب ج

نعم

تمرين ( PageIndex {2} )

حدد ما إذا كان كل مما يلي هو حل (2y + 3 = −11 ):

  1. (ص = 4 )
  2. (ص = -4 )
  3. (ص = -7 )
الإجابة أ

رقم

الجواب ب

رقم

الجواب ج

نعم

حل المعادلات ذات الأعداد الصحيحة باستخدام خصائص الجمع والطرح للتساوي

في حل المعادلات مع خصائص الطرح والجمع للمساواة ، حللنا معادلات مشابهة للمعادلتين الموضحين هنا باستخدام خصائص الطرح والجمع للمساواة. الآن يمكننا استخدامها مرة أخرى مع الأعداد الصحيحة.

[ begin {split} x + 4 & = 12 qquad qquad qquad y - 5 = 9 x + 4 textcolor {red} {- 4} & = 12 textcolor {red} {- 4} qquad ؛ ؛ ص - 5 textcolor {أحمر} {+ 5} = 9 textcolor {أحمر} {+ 5} x & = 8 qquad qquad qquad qquad ؛ ص = 14 نهاية {انقسام} غير رقم ]

عندما تضيف أو تطرح نفس الكمية من كلا طرفي المعادلة ، فلا يزال لديك تساوي.

التعريف: خصائص المساواة

طرح خاصية المساواةإضافة خاصية المساواة
لأية أرقام أ ، ب ، ج ، إذا كانت أ = ب ثم أ - ج = ب - ج.لأي أرقام أ ، ب ، ج ، إذا كانت أ = ب ثم أ + ج = ب + ج.

مثال ( PageIndex {2} ):

حل: (ص + 9 = 5 ).

المحلول

اطرح 9 من كل جانب للتراجع عن الجمع. (y + 9 textcolor {red} {- 9} = 5 textcolor {red} {- 9} )
تبسيط. (ص = -4 )

تحقق من النتيجة بتعويض (- 4 ) في المعادلة الأصلية.

عوّض −4 عن y (- 4 + 9 مكدس {؟} {=} 5 )
(5 = 5 ؛ علامة اختيار )

نظرًا لأن (y = −4 ) يجعل (y + 9 = 5 ) بيانًا صحيحًا ، فقد وجدنا الحل لهذه المعادلة

تمرين ( PageIndex {3} )

حل: (ص + 11 = 7 )

إجابه

(-4)

تمرين ( PageIndex {4} )

حل: (ص + 15 = -4 )

إجابه

(-19)

مثال ( PageIndex {3} ): حل

حل: (أ - 6 = -8 )

المحلول

أضف 6 إلى كل طرف للتراجع عن عملية الطرح. (a - 6 textcolor {red} {+ 6} = -8 textcolor {red} {+ 6} )
تبسيط. (أ = -2 )
تحقق من النتيجة بتعويض 2 في المعادلة الأصلية. (أ - 6 = -8 )
استبدل −2 بـ a. (- 2 - 6 مكدس {؟} {=} -8 )
(- 8 = -8 ؛ علامة اختيار )

حل (a - 6 = −8 ) هو (- 2 ). نظرًا لأن (a = −2 ) يجعل (a - 6 = −8 ) بيانًا صحيحًا ، وجدنا الحل لهذه المعادلة.

تمرين ( PageIndex {5} )

حل: (أ - 2 = -8 )

إجابه

(-6)

تمرين ( PageIndex {6} )

حل: (n - 4 = −8 )

إجابه

(-4)

نموذج لخاصية التقسيم للمساواة

جميع المعادلات التي تم حلها حتى الآن كانت من الشكل (س + أ = ب ) أو (س - أ = ب ). تمكنا من عزل المتغير عن طريق إضافة أو طرح الحد الثابت. سنرى الآن كيفية حل المعادلات التي تتضمن قسمة. سنضع نموذجًا لمعادلة بالمغلفات والعدادات في الشكل ( PageIndex {1} ).

الشكل ( PageIndex {1} )

يوجد هنا مغلفان متطابقان يحتويان على نفس عدد العدادات. تذكر أن الجانب الأيسر من مساحة العمل يجب أن يساوي الجانب الأيمن ، لكن العدادات الموجودة على الجانب الأيسر تكون "مخفية" في الأظرف. إذن كم عدد العدادات في كل مغلف؟

لتحديد الرقم ، افصل العدادات الموجودة على الجانب الأيمن في مجموعات (2 ) من نفس الحجم. لذا فإن (6 ) العدادات المقسمة إلى (2 ) تعني أنه يجب أن يكون هناك (3 ) عدادات في كل مجموعة (منذ (6 ÷ 2 = 3 )).

ما هي المعادلة التي تمثل الموقف الموضح في الشكل ( PageIndex {2} )؟ يوجد مغلفان ، يحتوي كل منهما على (x ) عدادات. يجب أن يحتوي المغلّفان معًا على إجمالي (6 ) عدادات. إذن المعادلة التي تمثل الموقف هي (2x = 6 ).

الشكل ( PageIndex {2} )

يمكننا قسمة طرفي المعادلة على (2 ) كما فعلنا مع الأظرف والعدادات.

[ start {split} dfrac {2x} { textcolor {red} {2}} & = dfrac {6} { textcolor {red} {2}} x & = 3 end {split} لا يوجد رقم ]

وجدنا أن كل مغلف يحتوي على (3 ) عدادات. هل هذا الفحص؟ نحن نعلم (2 • 3 = 6 ) ، لذا فهو يعمل. ثلاثة عدادات في كل مظروفين يساوي ستة. يوضح الشكل ( PageIndex {3} ) مثالاً آخر.

الشكل ( PageIndex {3} )

الآن لدينا (3 ) مغلفات متطابقة و (12 ) عدادات. كم عدد العدادات في كل مغلف؟ يتعين علينا فصل (12 ) العدادات إلى (3 ) مجموعات. بما أن (12 ÷ 3 = 4 ) ، يجب أن يكون هناك (4 ) عدادات في كل مغلف. راجع الشكل ( PageIndex {4} ).

الشكل ( PageIndex {4} )

المعادلة التي تمثل الموقف هي (3x = 12 ). يمكننا قسمة طرفي المعادلة على (3 ).

[ begin {split} dfrac {3x} { textcolor {red} {3}} & = dfrac {12} { textcolor {red} {3}} x & = 4 end {split} لا يوجد رقم ]

هل هذا الفحص؟ يحدث ذلك بسبب (3 • 4 = 12 ).

مثال ( PageIndex {4} ): اكتب معادلة

اكتب معادلة على غرار المغلفات والعدادات ، ثم حلها.

المحلول

يوجد (4 ) مغلفات أو (4 ) قيم غير معروفة على اليسار تطابق عدادات (8 ) على اليمين. دعونا نستدعي الكمية غير المعروفة في المغلفات (x ).

اكتب المعادلة. (4x = 8 )
اقسم كلا الجانبين على 4. ( dfrac {4x} { textcolor {red} {4}} = dfrac {8} { textcolor {red} {4}} )
تبسيط. (س = 2 )

يوجد (2 ) عدادات في كل مغلف.

تمرين ( PageIndex {7} )

اكتب المعادلة على غرار المغلفات والعدادات. ثم حلها.

إجابه

(4x = 12 ) ؛ (س = 3 )

تمرين ( PageIndex {8} )

اكتب المعادلة على غرار المغلفات والعدادات. ثم حلها.

إجابه

(3 س = 6 ) ؛ (س = 2 )

حل المعادلات باستخدام خاصية القسمة للمساواة

الأمثلة السابقة تؤدي إلى تقسيم الملكية من المساواة. عندما تقسم كلا طرفي المعادلة على أي رقم غير صفري ، فلا يزال لديك مساواة.

التعريف: تقسيم ملكية المساواة

لأية أرقام (أ ، ب ، ج ) ، و (ج ≠ 0 ) ،

[ text {If} a = b text {then} dfrac {a} {c} = dfrac {b} {c} ldotp ]

مثال ( PageIndex {5} ): حل

حل: (7x = −49 ).

المحلول

لعزل (x ) ، نحتاج إلى التراجع عن الضرب.

قسّم كل جانب على 7. ( dfrac {7x} { textcolor {red} {7}} = dfrac {-49} { textcolor {red} {7}} )
تبسيط (س = -7 )

تحقق من الحل.

عوّض −7 عن x. (7 (-7) stackrel {؟} {=} -49 )
(- 49 = -49 ؛ علامة اختيار )

إذن ، (- 7 ) هو حل المعادلة.

تمرين ( PageIndex {9} )

حل: (8 أ = 56 )

إجابه

(7)

تمرين ( PageIndex {10} )

حل: (11 ن = 121 )

إجابه

(11)

مثال ( PageIndex {6} ): حل

حل: (- 3y = 63 ).

المحلول

لعزل (y ) ، نحتاج إلى التراجع عن الضرب.

قسّم كل جانب على −3. ( dfrac {-3y} { textcolor {red} {- 3}} = dfrac {63} { textcolor {red} {- 3}} )
تبسيط. (ص = -21 )

تحقق من الحل.

عوّض −21 عن y. (- 3 (-21) stackrel {؟} {=} 63 )
(63 = 63 ؛ علامة اختيار )

نظرًا لأن هذه جملة صحيحة ، فإن (y = −21 ) هو حل المعادلة.

تمرين ( PageIndex {11} )

حل: (- 8 ع = 96 )

إجابه

(-12)

تمرين ( PageIndex {12} )

حل: (- 12 م = 108 )

إجابه

(-9)


خاصية تقسيم المساواة و [مدش] تعريف ومثال

ال تقسيم ممتلكات المساواة يقول إن قسمة طرفي المعادلة على نفس الرقم لا يؤثر على المعادلة. طريقة أخرى للنظر في الأمر هي أنك إذا قسمت جانبًا واحدًا من المعادلة على رقم ، فأنت يجب اقسم الجانب الآخر على نفس الرقم.

يشترك الضرب والقسمة في خصائص وتأثيرات متشابهة على المعادلات.

تقسيم الملكية لصيغة المساواة

ينص تقسيم ملكية المساواة على ما يلي:

أنا f & # xA0 a & # xA0 = & # xA0 b، & # xA0 t h e n & # xA0 a c & # xA0 = & # xA0 b c

هذا مشابه جدًا لخاصية الضرب للمساواة ، حيث يمكننا ضرب طرفي أي معادلة دون التأثير على المعادلة.

خصائص المساواة هي:

  • تقسيم الممتلكات من المساواة
  • خاصية الطرح من المساواة
  • إضافة خاصية المساواة
  • خاصية الضرب في المساواة

3.9: حل المعادلات باستخدام الأعداد الصحيحة خاصية قسمة المساواة (الجزء 1)

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

حل المعادلات باستخدام خصائص القسمة والضرب للمساواة

قدمنا ​​خصائص الضرب والقسمة للمساواة في حل المعادلات باستخدام الأعداد الصحيحة وخاصية قسمة المساواة وحل المعادلات ذات الكسور. قمنا بنمذجة كيفية عمل هذه الخصائص باستخدام الأظرف والعدادات ثم طبقناها على حل المعادلات (انظر حل المعادلات باستخدام الأعداد الصحيحة وخاصية القسمة للمساواة). نعيد صياغتها مرة أخرى هنا بينما نستعد لاستخدام هذه الخصائص مرة أخرى.

خاصية القسمة للمساواة: لجميع الأعداد الحقيقية أ ، ب ، ج ، أ ، ب ، ج ، ج & # 8800 0 ، ج & # 8800 0 ، إذا كانت أ = ب ، أ = ب ، ثم ج = ب ج. أ ج = ب ج.

خاصية الضرب للمساواة: لجميع الأعداد الحقيقية أ ، ب ، ج ، أ ، ب ، ج ، إذا كانت أ = ب ، أ = ب ، ثم ج = ب ج. أ ج = ب ج.

عندما تقسم أو تضرب طرفي المعادلة بنفس الكمية ، فلا يزال لديك مساواة.

لنراجع & # 8217s كيف يمكن تطبيق خصائص المساواة هذه من أجل حل المعادلات. تذكر أن الهدف هو & # 8216undo & # 8217 العملية على المتغير. في المثال أدناه ، يتم ضرب المتغير في 4 ، 4 ، لذلك سنقسم كلا الجانبين على 4 4 إلى & # 8216undo & # 8217 عملية الضرب.

نستخدم خاصية التقسيم للمساواة لتقسيم كلا الجانبين على 4. 4.

قسّم كلا الطرفين على 4 للتراجع عن الضرب.
تبسيط.
تحقق من إجابتك. دع x = & # 87227 x = & # 87227.

في المثال السابق ، قمنا بالقسمة على & # 8216undo & # 8217 الضرب. كيف تعتقد أننا & # 8216undo & # 8217 التقسيم؟

اضرب كلا الطرفين بـ & # 87227 & # 87227.
تبسيط.
تحقق من إجابتك. لنفترض أن أ = 294 أ = 294.

أعد كتابة & # 8722 r & # 8722 r as & # 87221 r & # 87221 r.
قسّم كلا الجانبين على & # 87221 & # 87221.
التحقق من.
البديل r = & # 87222 r = & # 87222
تبسيط.

في حل المعادلات ذات الكسور ، رأينا أن هناك طريقتين أخريين لحل & # 8722 r = 2. & # 8722 ص = 2.

يمكننا ضرب كلا الطرفين في & # 87221. & # 87221.

يمكننا أن نأخذ عكس كلا الطرفين.

اضرب بالمقلوب 2 3 2 3.
المقلوبة تتضاعف في واحد.
تتضاعف.
تحقق من إجابتك. دع x = 27 x = 27

حل المعادلات التي تحتاج إلى تبسيط

تبدأ العديد من المعادلات أكثر تعقيدًا من المعادلات التي قمنا بحلها للتو. أولًا ، علينا تبسيط طرفي المعادلة قدر الإمكان

ابدأ بجمع الحدود المتشابهة لتبسيط كل جانب.

اجمع بين الشروط المتشابهة.
اقسم كلا الطرفين على 12 لعزل x.
تبسيط.
تحقق من إجابتك. دع x = 1 x = 1

بسّط كل طرف بدمج الحدود المتشابهة.

بسّط كل جانب.
اقسم كلا الجانبين على 3 لعزل y.
تبسيط.
تحقق من إجابتك. دع y = & # 87223 y = & # 87223

لاحظ أن المتغير انتهى بالجانب الأيمن من علامة التساوي عندما حللنا المعادلة. قد تفضل اتخاذ خطوة أخرى لكتابة الحل مع المتغير الموجود على الجانب الأيسر من علامة التساوي.


3.9: حل المعادلات باستخدام الأعداد الصحيحة خاصية قسمة المساواة (الجزء 1)

بداية الجبر
الدرس 13: مضاعفة خاصية المساواة

  1. استخدم خصائص الضرب والقسمة للمساواة لحل المعادلات الخطية.
  2. حل معادلة باستخدام أكثر من خاصية واحدة.
  3. تعرف على كيفية التعبير عن الأعداد الصحيحة المتتالية من حيث x ، إذا كان العدد الصحيح الأول هو x .
  4. تعرف على كيفية التعبير عن الأعداد الصحيحة المتتالية من حيث x ، إذا كان أول عدد صحيح زوجي هو x .
  5. تعرف على كيفية التعبير عن الأعداد الصحيحة المتتالية الفردية من حيث x ، إذا كان أول عدد صحيح فردي هو x .

يمكن استخدام المعادلات لمساعدتنا في حل مجموعة متنوعة من المسائل. في البرامج التعليمية اللاحقة ، سنستخدمها لحل مشاكل الكلمات.

يتم تعيين تعبيرين متساويين.

معادلة يمكن كتابتها بالصيغة
الفأس + ب = ج
حيث أ ، ب ، ج ثوابت.

قيمة ، بحيث عندما تستبدل المتغير بها ،
يجعل المعادلة صحيحة.

(يخرج الجانب الأيسر مساويا للجانب الأيمن)

احصل على المتغير الذي تحله بمفردك من جانب وكل شيء آخر على الجانب الآخر باستخدام عمليات INVERSE.

إذا كان a = b ، فإن a / c = b / c حيث c لا يساوي 0.

لاحظ أن الضرب والقسمة عمليتان عكسيتان لبعضهما البعض. على سبيل المثال ، إذا كان لديك رقم يتم ضربه وتحتاج إلى الانتقال إلى الجانب الآخر من المعادلة ، فحينئذٍ ستقسمه على طرفي هذه المعادلة.

لاحظ أنه لا يهم الجانب الذي يوجد فيه المتغير & # 8217t. -6 = أ يعني نفس الشيء مثل أ = -6.

ومع ذلك ، في معظم الأوقات ، يتعين علينا استخدام العديد من الخصائص لإنجاز المهمة. فيما يلي إستراتيجية يمكنك استخدامها لمساعدتك في حل المعادلات الخطية الأكثر ارتباطًا بقليل.

استراتيجية لحل معادلة خطية

الخطوة 1: بسّط كل جانب ، إذا لزم الأمر.

الخطوة 2: استخدم Add./Sub. خصائص لنقل المصطلح المتغير إلى جانب وجميع المصطلحات الأخرى إلى الجانب الآخر.

الخطوة 3: استخدم Mult./Div. خصائص لإزالة أي قيم موجودة أمام المتغير.

الخطوة 4: تحقق من إجابتك.

ما يتلخص في ذلك هو أنك تريد الحصول على المتغير الذي تحله بمفردك من جانب وكل شيء آخر على الجانب الآخر باستخدام عمليات INVERSE.

مثال 4 : حل المعادلة .

* عكس الإضافة. 10 فرعي. 10

* معكوس متعدد. من -3 هي div. بمقدار -3

إذا أعدت 1 إلى x في المشكلة الأصلية ، فسترى ذلك 1 هو الحل الذي نبحث عنه.

* معكوس الباطن. 5 تضيف 5

* معكوس متعدد. بنسبة -1 هي div. بنسبة -1

* معكوس الباطن. 2 هو إضافة 2

* معكوس متعدد. بنسبة 7 هي div. بنسبة 7

أعداد صحيحة متتالية هي أعداد صحيحة تتبع بعضها البعض بالترتيب.

إذا سمحنا x تمثل العدد الصحيح الأول ، كيف يمكننا تمثيل العدد الصحيح الثاني المتتالي بدلالة x ؟ حسنًا ، إذا نظرنا إلى 5 و 6 و 7 - لاحظ أن الرقم 6 هو أكثر من 5 ، العدد الصحيح الأول.

بشكل عام، يمكننا تمثيل العدد الصحيح الثاني على التوالي بواسطة x + 1. وماذا عن العدد الصحيح الثالث على التوالي.

حسنًا ، لاحظ كيف أن الرقم 7 هو أكثر من 5. بشكل عام ، يمكننا تمثيل العدد الصحيح الثالث على التوالي x + 2.

حتى الأعداد الصحيحة المتتالية بل هي أعداد صحيحة تتبع بعضها البعض بالترتيب.

إذا سمحنا x تمثل العدد الصحيح الأول ، كيف يمكننا تمثيل العدد الصحيح الزوجي الثاني المتتالي بدلالة x ؟ لاحظ أن العدد 6 هو 2 أكثر من 4 ، وهو أول عدد صحيح زوجي.

بشكل عام، يمكننا تمثيل العدد الصحيح الثاني على التوالي بواسطة x + 2.

وماذا عن العدد الصحيح حتى الثالث على التوالي؟ حسنًا ، لاحظ كيف أن الرقم 8 أكبر من 4. بشكل عام ، يمكننا تمثيل العدد الصحيح الثالث على التوالي على النحو التالي x + 4.

أعداد صحيحة متتالية من ODD هي أعداد صحيحة فردية تتبع بعضها البعض بالترتيب.

إذا سمحنا x تمثل أول عدد صحيح لـ ODD ، كيف يمكننا تمثيل العدد الصحيح الفردي الثاني على التوالي من حيث x ؟ لاحظ أن الرقم 7 هو أكثر من 5 ، وهو أول عدد صحيح فردي.

بشكل عام، يمكننا تمثيل العدد الصحيح الثاني على التوالي ODD بواسطة x + 2.

وماذا عن العدد الصحيح الفردي الثالث على التوالي؟ حسنًا ، لاحظ كيف أن 9 تساوي 4 أكثر من 5. بشكل عام ، يمكننا تمثيل العدد الصحيح الثالث على التوالي ODD كـ x + 4.

لاحظ أن الاعتقاد الخاطئ الشائع هو أننا نريد رقمًا فرديًا لا يجب أن نضيف 2 وهو رقم زوجي. لا تنسى x يمثل رقم ODD وأن الرقم الفردي التالي هو 2 بعيدًا ، تمامًا مثل 7 هو 2 بعيدًا عن 5 ، لذلك نحتاج إلى إضافة 2 إلى الرقم الفردي الأول للوصول إلى الرقم الفردي الثاني على التوالي.

لو x يمثل أول أربعة أعداد صحيحة متتالية ، ويعبر عن مجموع الأعداد الصحيحة الأربعة من حيث x.

يمكننا تمثيلهم بالطريقة التالية:

x + 1 = ثاني عدد صحيح متتالي

x + 2 = ثالث عدد صحيح متتالي

x + 3 = رابع عدد صحيح متتالي

ثانيًا نحتاج إلى ذلك اكتبه كمجموع للأعداد الصحيحة الأربعة ثم نبسطه:

لو x يمثل أول ثلاثة أعداد صحيحة متتالية فردية ، ويعبر عن مجموع الأعداد الصحيحة الأولى والثالثة من حيث x .

يمكننا تمثيلهم بالطريقة التالية:

x + 2 = 2 عدد صحيح فردي متتالي

x + 4 = ثالث عدد صحيح فردي متتالي

ثانيًا ، نحتاج إلى كتابته بصيغة مجموع الأعداد الفردية الأولى والثالثة بدلالة x ثم قم بتبسيطها:

لتحقيق أقصى استفادة من هذه ، يجب عليك حل المشكلة بنفسك ثم التحقق من إجابتك بالنقر فوق الارتباط الخاص بالإجابة / المناقشة الخاصة بهذه المشكلة. ستجد في الرابط الإجابة بالإضافة إلى أي خطوات تم اتباعها للعثور على هذه الإجابة.

مشاكل الممارسة 1 أ - 1 د: حل المعادلة الآتية.

تمرن على مشكلة 2 أ: اكتب تعبيرًا جبريًا وبسّطه إن أمكن.


تمت آخر مراجعة في 26 يوليو 2011 بواسطة Kim Seward.
جميع حقوق الطبع والنشر للمحتويات (C) 2001 - 2010 ، WTAMU و Kim Seward. كل الحقوق محفوظة.


ما هي خصائص المساواة الثمانية؟

فيما يلي خصائص المساواة الثمانية:

ملكية طلب
الاستبدال إذا كان (a = b ) ، فإن & quotb & quot يمكن استبدال & quota & quot في أي تعبير.
إضافة إذا (أ = ب ) ، إذن (أ + ج = ب + ج )
الطرح إذا (أ = ب ) ، إذن (أ - ج = ب - ج )
عمليه الضرب إذا (أ = ب ) ، إذن (ج = ق )
قسم إذا (a = b ) و (c neq 0 ) ، إذن ( dfrac= dfrac)
متماثل إذا (أ = ب ) ، إذن (ب = أ )
لا ارادي (أ = أ ) أنا. ه. الرقم يساوي نفسه
متعد إذا (أ = ب ) و (ب = ج ) ، ثم (أ = ج )

  • تتيح لنا خاصية تقسيم المساواة مع الخصائص الأخرى حل المعادلات.
  • تذكر أن تقسم على نفس الرقم في كلا طرفي المعادلة لموازنة المعادلة.

المفاهيم الرئيسية

  • حل معادلة بها متغيرات وثوابت على كلا الجانبين
    1. اختر جانبًا ليكون الضلع المتغير ثم الآخر سيكون الجانب الثابت.
    2. اجمع المصطلحات المتغيرة إلى الجانب المتغير ، باستخدام خاصية الجمع أو الطرح للمساواة.
    3. اجمع الثوابت على الجانب الآخر باستخدام خاصية الجمع أو الطرح للمساواة.
    4. اصنع معامل المتغير 1 ، باستخدام خاصية الضرب أو القسمة للمساواة.
    5. افحص الحل بالتعويض في المعادلة الأصلية.
  • الإستراتيجية العامة لحل المعادلات الخطية
    1. بسّط كل جانب من المعادلة قدر الإمكان. استخدم خاصية التوزيع لإزالة أي أقواس. اجمع بين الشروط المتشابهة.
    2. اجمع كل الحدود المتغيرة في أحد طرفي المعادلة. استخدم خاصية الجمع أو الطرح للمساواة.
    3. اجمع كل الحدود الثابتة في الجانب الآخر من المعادلة. استخدم خاصية الجمع أو الطرح للمساواة.
    4. اجعل معامل المصطلح المتغير يساوي 1. استخدم خاصية الضرب أو القسمة للمساواة. حدد حل المعادلة.
    5. تحقق من الحل. استبدل الحل بالمعادلة الأصلية للتأكد من أن النتيجة صحيحة.

3.9: حل المعادلات باستخدام الأعداد الصحيحة خاصية قسمة المساواة (الجزء 1)

دع & # 8217s نراجع خصائص القسمة والضرب للمساواة بينما نستعد لاستخدامها لحل المعادلات أحادية الخطوة.

تقسيم ممتلكات المساواة

لجميع الأعداد الحقيقية [لاتكس] أ ، ب ، ج [/ لاتكس] ، و [لاتكس] ج ني 0 [/ لاتكس] ، إذا كان [لاتكس] أ = ب [/ لاتكس] ، ثم [لاتكس] فارك= فارك[/ لاتكس].

مضاعفة خاصية المساواة

لجميع الأعداد الحقيقية [اللاتكس] أ ، ب ، ج [/ لاتكس] ، إذا كان [اللاتكس] أ = ب [/ لاتكس] ، ثم [اللاتكس] ac = bc [/ اللاتكس].

وبتعبير بسيط ، عندما تقسم أو تضرب طرفي المعادلة بنفس الكمية ، فلا يزال لديك مساواة.

دعونا نراجع كيف يمكن تطبيق خصائص المساواة هذه من أجل حل المعادلات. تذكر أن الهدف هو & # 8220undo & # 8221 العملية على المتغير. في المثال أدناه ، يتم ضرب المتغير بـ [latex] 4 [/ latex] ، لذلك سنقسم كلا الجانبين على [latex] 4 [/ latex] على & # 8220undo & # 8221 الضرب.

مثال

لحل هذه المعادلة ، نستخدم خاصية القسمة للمساواة لتقسيم كلا الجانبين بواسطة [اللاتكس] 4 [/ اللاتكس].

[لاتكس] 4x = -28 [/ لاتكس]
قسّم كلا الطرفين على 4 للتراجع عن الضرب. [اللاتكس] frac <4x> < color4> = فارك <28> < لون4> [/ لاتكس]
تبسيط. [اللاتكس] x = -7 [/ لاتكس]
تحقق من إجابتك. [لاتكس] 4x = -28 [/ لاتكس]
دع [اللاتكس] x = -7 [/ لاتكس]. استبدل [latex] -7 [/ latex] بـ x. [اللاتكس] 4 ( color<-7>) stackrel < text <؟ >> <=> - 28 [/ لاتكس]
[اللاتكس] -28 = -28 [/ لاتكس]

نظرًا لأن هذا بيان صحيح ، فإن [اللاتكس] x = -7 [/ اللاتكس] هو حل لـ [اللاتكس] 4x = -28 [/ اللاتكس].

يمكنك الآن محاولة حل معادلة تتطلب القسمة وتتضمن أرقامًا سالبة.

جربها

في المثال السابق ، قمنا بالقسمة على & # 8220undo & # 8221 الضرب. كيف تعتقد أننا & # 8220undo & # 8221 تقسيم؟ بعد ذلك ، سنعرض مثالًا يتطلب منا استخدام الضرب للتراجع عن عملية القسمة.

مثال

المحلول:
هنا [لاتكس] أ [/ لاتكس] مقسومة على [لاتكس] -7 [/ لاتكس]. يمكننا ضرب كلا الجانبين في [لاتكس] -7 [/ لاتكس] لعزل [لاتكس] أ [/ لاتكس].

الآن يمكنك معرفة ما إذا كان بإمكانك حل مشكلة تتطلب الضرب للتراجع عن عملية القسمة. تذكر القواعد الخاصة بضرب عددين سالبين & # 8211 يعطي سالبان موجبًا عند ضربهما.

جربها

عندما تبدأ في حل المعادلات التي تتطلب عدة خطوات ، قد تجد أنك تنتهي بمعادلة تشبه تلك الموجودة في المثال التالي ، مع متغير سالب. كممارسة قياسية ، من الجيد التأكد من أن المتغيرات إيجابية عند حل المعادلات. سيوضح لك المثال التالي كيف.

مثال

المحلول:
تذكر [لاتكس] -r [/ لاتكس] يعادل [لاتكس] -1r [/ لاتكس].

[اللاتكس] -r = 2 [/ لاتكس]
أعد كتابة [latex] -r [/ latex] كـ [latex] -1r [/ latex]. [اللاتكس] -1r = 2 [/ اللاتكس]
قسّم كلا الجانبين على [لاتكس] -1 [/ لاتكس]. [لاتكس] فارك <-1 ر> < لون<-1>> = فارك <2> < لون<-1>> [/ لاتكس]
تبسيط. [اللاتكس] r = -2 [/ اللاتكس]
التحقق من. [اللاتكس] -r = 2 [/ لاتكس]
البديل [اللاتكس] r = -2 [/ اللاتكس] [اللاتكس] - ( color<-2>) stackrel < text <؟ >> <=> 2 [/ لاتكس]
تبسيط. [لاتكس] 2 = 2 رباعي علامة اختيار [/ لاتكس]

يمكنك الآن محاولة حل معادلة ذات متغير سالب.

جربها

في المثال التالي لدينا معادلة تحتوي على متغير مضروب في كسر. سنستخدم مقلوبًا لعزل المتغير.

مثال

المحلول:
نظرًا لأن حاصل ضرب الرقم ومقاومته هو [اللاتكس] 1 [/ اللاتكس] ، فإن استراتيجيتنا ستكون عزل [اللاتكس] x [/ اللاتكس] عن طريق الضرب بالمثل [اللاتكس] فارك <2> <3> [/ لاتكس].

[لاتكس] فارك <2> <3> س = 18 [/ لاتكس]
اضرب بالمقلوب [لاتكس] فارك <2> <3> [/ لاتكس]. [لاتكس] فارك < لون<3>> < color<2>>cdotfrac<2> <3> x [/ اللاتكس]
المقلوبة تتضاعف في واحد. [اللاتكس] 1x = frac <3> <2> cdot frac <18> <1> [/ لاتكس]
تتضاعف. [اللاتكس] x = 27 [/ اللاتكس]
تحقق من إجابتك. [لاتكس] فارك <2> <3> س = 18 [/ لاتكس]
دع [اللاتكس] x = 27 [/ اللاتكس]. [اللاتكس] frac <2> <3> cdot color<27> stackrel < text <؟ >> <=> 18 [/ لاتكس]
[لاتكس] 18 = 18 رباعي علامة اختيار [/ لاتكس]

لاحظ أنه كان بإمكاننا تقسيم جانبي المعادلة [اللاتكس] frac <2> <3> x = 18 [/ اللاتكس] بواسطة [اللاتكس] frac <2> <3> [/ اللاتكس] لعزل [اللاتكس] x [/ لاتكس]. في حين أن هذا قد ينجح ، فإن الضرب في المعاملة بالمثل يتطلب خطوات أقل.

جربها

يتضمن الفيديو التالي أمثلة على استخدام خصائص القسمة والضرب لحل المعادلات ذات المتغير الموجود على الجانب الأيمن من علامة التساوي.


الرياضيات اليومية

رحلة ميدانية كل نص [لاتكس] 5 [/ لاتكس] طلاب الصف في مدرسة لينكولن الابتدائية يذهبون في رحلة ميدانية إلى متحف العلوم. بحساب جميع الأطفال والمعلمين والمرافقين ، سيكون هناك [اللاتكس] 147 [/ اللاتكس] شخصًا. كل حافلة تحمل [اللاتكس] 44 [/ لاتكس] شخصا.
ⓐ كم عدد الحافلات المطلوبة؟
ⓑ لماذا يجب أن تكون الإجابة عددًا صحيحًا؟
ⓒ لماذا & # 8217t تقرب الإجابة بالطريقة المعتادة؟

رعاية الطفل تريد سيرينا فتح مركز رعاية أطفال مرخص. تتطلب دولتها ألا يكون هناك أكثر من [اللاتكس] 12 [/ اللاتكس] من الأطفال لكل معلم. إنها ترغب في أن يخدم مركز رعاية الأطفال التابع لها [اللاتكس] 40 [/ اللاتكس].
ⓐ كم عدد المعلمين المطلوب؟
ⓑ لماذا يجب أن تكون الإجابة عددًا صحيحًا؟
ⓒ لماذا & # 8217t تقرب الإجابة بالطريقة المعتادة؟

ⓐ 4
ⓑ لا يمكن تقسيم المعلمين
ⓒ سوف ينتج عنه رقم أقل.


3.9: حل المعادلات باستخدام الأعداد الصحيحة خاصية قسمة المساواة (الجزء 1)

حل 12.5 + x = -7.5.

نظرًا لأنه يتم إضافة 12.5 إلى المتغير ، اطرح 12.5 لعزل المتغير.

للحفاظ على المعادلة متوازنة ، اطرح 12.5 من طرفي المعادلة.

يتم استدعاء الأمثلة أعلاه أحيانًا معادلات من خطوة واحدة لأنها تتطلب خطوة واحدة لحلها. في هذه الأمثلة ، قمت إما بإضافة أو طرح ملف مستمر من طرفي المعادلة لعزل المتغير وحل المعادلة.

ماذا ستفعل لعزل المتغير في المعادلة أدناه باستخدام خطوة واحدة فقط؟

أ) أضف 10 إلى طرفي المعادلة.

ب) اطرح 10 من الجانب الأيسر للمعادلة فقط.

ج) أضف 65 لطرفي المعادلة.

د) اطرح 10 من طرفي المعادلة.

أ) أضف 10 إلى طرفي المعادلة.

غير صحيح. إضافة 10 إلى كلا طرفي المعادلة يعطي معادلة مكافئة ، x + 20 = 65 + 10 ، لكن هذه الخطوة لا تجعل المتغير وحده في أحد طرفي المعادلة. الإجابة الصحيحة هي: اطرح 10 من طرفي المعادلة.

ب) اطرح 10 من الجانب الأيسر للمعادلة فقط.

غير صحيح. بطرح 10 من الطرف الأيسر سيعزل المتغير ، لكن طرح 10 من جانب واحد فقط من المعادلة لا يبقي المعادلة متوازنة. وفقًا لخصائص المساواة ، يجب إجراء نفس العملية بالضبط على كل جانب من جوانب المعادلة ، لذلك يجب أيضًا طرح 10 من 65 للحفاظ على توازن المعادلة. الإجابة الصحيحة هي: اطرح 10 من طرفي المعادلة.

ج) أضف 65 لطرفي المعادلة.

غير صحيح. هذه الخطوة لن تعزل المتغير. ستعطي فقط معادلة مكافئة. x + 10 + 65 = 65 + 65. الإجابة الصحيحة هي: اطرح 10 من طرفي المعادلة.

د) اطرح 10 من طرفي المعادلة.

صيح. ينتج عن طرح 10 من كل جانب من المعادلة معادلة مكافئة مع المتغير المعزول لإعطاء الحل: x + 10-10 = 65-10 إذن x = 55.

ماذا ستفعل لعزل المتغير في المعادلة أدناه باستخدام خطوة واحدة فقط؟

أ) اطرح من طرفي المعادلة.

ب) أضف إلى طرفي المعادلة.

ج) اطرح من طرفي المعادلة.

د) أضف إلى طرفي المعادلة.

أ) اطرح من طرفي المعادلة.

غير صحيح. ينتج عن الطرح من كلا طرفي المعادلة المعادلة ، والتي هي نفسها. ومع ذلك ، فإن هذه الخطوة لا تجعل المتغير وحده في جانب واحد من المعادلة. الإجابة الصحيحة هي: أضف إلى طرفي المعادلة.

ب) أضف إلى طرفي المعادلة.

صيح. تؤدي إضافة كل جانب من المعادلة إلى معادلة مكافئة وتعزل المتغير:

ج) اطرح من طرفي المعادلة.

غير صحيح. سينتج عن الطرح من كلا الطرفين التعبير المكافئ ، والذي يمكن إعادة كتابته ، لكن هذه الخطوة لا تجعل المتغير وحده في جانب واحد من المعادلة. الإجابة الصحيحة هي: أضف إلى طرفي المعادلة.

د) أضف إلى طرفي المعادلة.

غير صحيح. ستؤدي إضافة كلا الجانبين إلى التعبير المكافئ ، والذي يمكن إعادة كتابته ، أو لكن هذه الخطوة لا تجعل المتغير وحده في جانب واحد من المعادلة. الإجابة الصحيحة هي: أضف إلى طرفي المعادلة.

مع أي معادلة ، يمكنك التحقق من الحل عن طريق استبدال قيمة المتغير في المعادلة الأصلية. بمعنى آخر ، تقوم بتقييم المعادلة الأصلية باستخدام الحل الخاص بك. إذا حصلت على بيان صحيح ، فإن الحل الخاص بك هو الصحيح.

يحل x + 10 =65. تحقق من الحل الخاص بك.

نظرًا لأنه يتم إضافة 10 إلى المتغير ، اطرح 10 من كلا الطرفين. لاحظ أن طرح 10 يماثل جمع - 10.

للتحقق ، استبدل الحل - 75 عن x في المعادلة الأصلية.

تبسيط. هذه المعادلة صحيحة ، فالحل صحيح.

x = - 75 هو حل المعادلة x + 10 = – 65.

من الجيد دائمًا التحقق من إجابتك سواء تم طلبها أم لا.

استخدام خاصية الضرب في المساواة

مثلما يمكنك جمع أو طرح نفس الكمية الدقيقة على كلا طرفي المعادلة ، يمكنك أيضًا ضرب طرفي المعادلة بنفس الكمية لكتابة معادلة مكافئة. دعونا نلقي نظرة على المعادلة الرقمية ، 5 • 3 = 15 ، للبدء. إذا ضربت طرفي هذه المعادلة في 2 ، فستظل لديك معادلة صحيحة.

يتم تعميم خاصية المعادلات هذه في خاصية الضرب من المساواة.

مضاعفة خاصية المساواة

لجميع الأعداد الحقيقية أ , ب ، و ج : لو أ = ب ، من ثم أج = بج (أو أب = أ ).

إذا تساوى تعبيرين مع بعضهما البعض وضربت كلا الجانبين في نفس الرقم ، فستكون التعبيرات الناتجة متساوية أيضًا.

عندما تتضمن المعادلة عمليات الضرب أو القسمة ، يمكنك "التراجع" عن هذه العمليات باستخدام العملية العكسية لعزل المتغير. عندما تكون العملية هي الضرب أو القسمة ، فإن هدفك هو تغيير المعامل إلى 1 ، الهوية المضاعفة.

يحل 3x = 24. تحقق من الحل الخاص بك.

اقسم طرفي المعادلة على 3 لعزل المتغير (معامل 1).

القسمة على 3 هي نفسها الضرب في.

تحقق بالتعويض عن الحل ، 8 ، للمتغير في المعادلة الأصلية.

يمكنك أيضًا ضرب المعامل في معكوس الضرب (مقلوب) لتغيير المعامل إلى 1.

سول هاء . تحقق من الحل الخاص بك.

المعامل هو. بما أن المعكوس الضربي هو 2 ، يمكنك ضرب طرفي المعادلة في 2 للحصول على معامل 1 للمتغير.


أخذ المقلوب (1 / القيمة) لكل من a و b يمكن أن تغير الاتجاه من عدم المساواة.

عندما تكون أ و ب كلاهما إيجابي أو كلاهما سلبي:

مثال: أكمل "أليكس" و "بيلي" رحلة طولها 12 كيلومترًا.

اليكس يركض في 6 كم / ساعة ويمشي بيلي في 4 كم / ساعة.

سرعة أليكس أكبر من سرعة بيلي

لكن وقت أليكس أقل من وقت بيلي:

ولكن عندما إما أ أو ب سالب (ليس كلاهما) الاتجاه يبقى كما هو:


شاهد الفيديو: المعادلات الخطية بمعاملات مجهولة. الرياضيات. حل المعادلات (شهر اكتوبر 2021).