مقالات

9.7: استخدام خصائص المستطيلات والمثلثات وشبه المنحرف (الجزء 2) - الرياضيات


استخدم خصائص المثلثات

نحن نعرف الآن كيفية إيجاد مساحة المستطيل. يمكننا استخدام هذه الحقيقة لمساعدتنا في تصور صيغة مساحة المثلث. في المستطيل في الشكل ( PageIndex {9} ) ، قمنا بتسمية الطول b والعرض h ، لذا فهي مساحتها bh.

الشكل ( PageIndex {9} ) - مساحة المستطيل هي القاعدة ، b ، ضرب الارتفاع ، h.

يمكننا تقسيم هذا المستطيل إلى قسمين تتطابق مثلثات (الشكل ( PageIndex {10} )). المثلثات المتطابقة لها أطوال وزوايا متطابقة ، وبالتالي فإن مساحتها متساوية. مساحة كل مثلث تساوي نصف مساحة المستطيل ، أو ( dfrac {1} {2} ) bh. يساعدنا هذا المثال في معرفة سبب كون صيغة مساحة المثلث A = ( dfrac {1} {2} ) bh.

الشكل ( PageIndex {10} ) - يمكن تقسيم المستطيل إلى مثلثين متساويين في المساحة. مساحة كل مثلث تساوي نصف مساحة المستطيل.

صيغة مساحة المثلث هي A = ( dfrac {1} {2} ) bh ، حيث b هي القاعدة و h هي الارتفاع. لإيجاد مساحة المثلث ، عليك معرفة قاعدته وارتفاعه. القاعدة هي طول ضلع واحد من المثلث ، وعادة ما يكون الضلع في الأسفل. الارتفاع هو طول الخط الذي يربط القاعدة بالرأس المعاكس ، ويصنع زاوية 90 درجة مع القاعدة. يوضح الشكل ( PageIndex {11} ) ثلاثة مثلثات مع تحديد ارتفاع وقاعدة كل منها.

الشكل ( PageIndex {11} ) - ارتفاع المثلث h هو طول المقطع المستقيم الذي يربط القاعدة بالرأس المعاكس ويصنع زاوية 90 درجة مع القاعدة.

التعريف: خصائص المثلث

بالنسبة لأي مثلث ΔABC ، ​​يكون مجموع قياسات الزوايا 180 درجة. $$ م الزاوية أ + م الزاوية ب + م زاوية ج = 180 درجة $$ محيط المثلث هو مجموع أطوال الأضلاع $$ P = a + b + c $$ مساحة المثلث هي نصف القاعدة ، b ، ضرب الارتفاع ، h. $$ A = dfrac {1} {2} bh ]

مثال ( PageIndex {9} ):

أوجد مساحة مثلث قاعدته 11 بوصة وارتفاعه 8 بوصات.

المحلول

الخطوة 1. اقرأ المشكلة. ارسم الشكل وقم بتسميته بالمعلومات المقدمة.
الخطوة 2. تحديد ما تبحث عنه.مساحة المثلث
الخطوه 3. اسم. اختر متغير لتمثيله.دع أ = مساحة المثلث
الخطوة 4.يترجم. اكتب الصيغة المناسبة. استبدل.
الخطوة الخامسة. يحل المعادلة.أ = 44 بوصة مربعة
الخطوة 6. التحقق من.$$ start {split} A & = dfrac {1} {2} bh 44 & stackrel {؟} {=} dfrac {1} {2} (11) 8 44 & = 44 ؛ checkmark end {split} $$
الخطوة 7. إجابه السؤال.المساحة 44 بوصة مربعة.

التمرين ( PageIndex {17} ):

أوجد مساحة مثلث طول قاعدته 13 بوصة وارتفاعه 2 بوصة.

إجابه

13 قدم مربع

التمرين ( PageIndex {18} ):

أوجد مساحة مثلث قاعدته 14 بوصة وارتفاعه 7 بوصات.

إجابه

49 قدم مربع

مثال ( PageIndex {10} ):

محيط حديقة مثلثة 24 قدم. أطوال الجانبين 4 أقدام و 9 أقدام. ما هو طول الجانب الثالث؟

المحلول

الخطوة 1. ارسم الشكل وقم بتسميته بالمعلومات المقدمة.
الخطوة 2. تحديد ما تبحث عنه.طول الضلع الثالث من المثلث
الخطوة 3. اختر متغيرًا لتمثيله.دع ج = الجانب الثالث
الخطوة 4.يترجم. استبدل المعلومات المقدمة.
الخطوة الخامسة. يحل المعادلة.$$ begin {split} 24 & = 13 + c 11 & = c end {split} $$
الخطوة 6. التحقق من.$$ start {split} P & = a + b + c 24 & stackrel {؟} {=} 4 + 9 + 11 24 & = 24 ؛ checkmark end {split} $$
الخطوة 7. إجابه السؤال.يبلغ طول الضلع الثالث 11 قدمًا.

التمرين ( PageIndex {19} ):

محيط حديقة مثلثة 48 قدما. أطوال الجانبين 18 قدمًا و 22 قدمًا. ما هو طول الجانب الثالث؟

إجابه

8 قدم

التمرين ( PageIndex {20} ):

يبلغ طول ضلعي النافذة المثلثة 7 أقدام و 5 أقدام. المحيط 18 قدمًا. ما هو طول الجانب الثالث؟

إجابه

6 أقدام

مثال ( PageIndex {11} ):

تبلغ مساحة نافذة الكنيسة المثلثة 90 مترا مربعا. قاعدة النافذة 15 مترا. ما هو ارتفاع النافذة؟

المحلول

الخطوة 1. ارسم الشكل وقم بتسميته بالمعلومات المقدمة.
الخطوة 2. تحديد ما تبحث عنه.ارتفاع المثلث
الخطوة 3. اختر متغيرًا لتمثيله.دع h = الارتفاع
الخطوة 4.يترجم. استبدل المعلومات المقدمة.
الخطوة الخامسة. يحل المعادلة.$$ begin {split} 90 & = dfrac {15} {2} h 12 & = h end {split} $$
الخطوة 6. التحقق من.$$ start {split} A & = dfrac {1} {2} bh 90 & stackrel {؟} {=} dfrac {1} {2} cdot 15 cdot 12 90 & = 90 ؛ checkmark end {split} $$
الخطوة 7. إجابه السؤال.ارتفاع المثلث 12 مترًا.

التمرين ( PageIndex {21} ):

مساحة اللوحة المثلثية 126 بوصة مربعة. القاعدة 18 بوصة. ما هو الارتفاع؟

إجابه

14 بوصة.

التمرين ( PageIndex {22} ):

تبلغ مساحة باب الخيمة المثلث 15 قدمًا مربعًا. الارتفاع 5 أقدام. ما هي القاعدة؟

إجابه

6 أقدام

مثلثات متساوية الساقين ومتساوية الأضلاع

إلى جانب المثلث الأيمن ، فإن بعض المثلثات الأخرى لها أسماء خاصة. يسمى المثلث الذي له ضلعان متساويان في الطول أ مثلث متساوي الساقين. يسمى المثلث الذي له ثلاثة أضلاع متساوية الطول أ مثلث متساوي الاضلاع. يوضح الشكل ( PageIndex {12} ) كلا نوعي المثلثات.

الشكل ( PageIndex {12} ) - في مثلث متساوي الساقين ، يكون للجانبين نفس الطول ، والضلع الثالث هو القاعدة. في مثلث متساوي الأضلاع ، جميع الأضلاع الثلاثة لها نفس الطول.

التعريف: متساوي الساقين ومثلثات متساوية الأضلاع

مثلث متساوي الساقين له ضلعين بنفس الطول.

مثلث متساوي الأضلاع له ثلاثة أضلاع متساوية في الطول.

مثال ( PageIndex {12} ):

محيط مثلث متساوي الأضلاع يساوي 93 بوصة. قم بأيجاد طول كل جانب.

المحلول

الخطوة 1. ارسم الشكل وقم بتسميته بالمعلومات المقدمة.

المحيط = 93 بوصة.

الخطوة 2. تحديد ما تبحث عنه.طول أضلاع مثلث متساوي الأضلاع
الخطوة 3. اختر متغيرًا لتمثيله.دعونا s = طول كل جانب
الخطوة 4.يترجم. استبدل.
الخطوة الخامسة. يحل المعادلة.$$ begin {split} 93 & = 3s 31 & = s end {split} $$
الخطوة 6. التحقق من.$$ start {split} 93 & = 31 + 31 + 31 93 & = 93 ؛ checkmark end {split} $$
الخطوة 7. إجابه السؤال.كل جانب 31 بوصة.

التمرين ( PageIndex {23} ):

أوجد طول كل ضلع من أضلاع مثلث متساوي الأضلاع محيطه 39 بوصة.

إجابه

13 بوصة.

التمرين ( PageIndex {24} ):

أوجد طول كل ضلع من أضلاع مثلث متساوي الأضلاع محيطه 51 سنتيمترًا.

إجابه

17 سم

مثال ( PageIndex {13} ):

أريانا لديها 156 بوصة من الخرز لاستخدامها كقماش حول الوشاح. سيكون الوشاح مثلث متساوي الساقين بقاعدة 60 بوصة. إلى متى يمكنها أن تجعل الجانبين متساويين؟

المحلول

الخطوة 1. ارسم الشكل وقم بتسميته بالمعلومات المقدمة.

P = 156 بوصة.

الخطوة 2. تحديد ما تبحث عنه.أطوال الضلعين المتساويين
الخطوة 3. اختر متغيرًا لتمثيله.دعونا s = طول كل جانب
الخطوة 4.يترجم. استبدل المعلومات المقدمة.
الخطوة الخامسة. يحل المعادلة.$$ start {split} 156 & = 2s + 60 96 & = 2s 48 & = s end {split} $$
الخطوة 6. التحقق من.$$ start {split} p & = a + b + c 156 & stackrel {؟} {=} 48 + 60 + 48 156 & = 156 ؛ checkmark end {split} $$
الخطوة 7. إجابه السؤال.يمكن لأريانا أن تجعل طول كل من الضلعين المتساويين 48 بوصة.

التمرين ( PageIndex {25} ):

سطح الفناء الخلفي على شكل مثلث متساوي الساقين وقاعدته 20 قدمًا. محيط السطح ٤٨ قدمًا. ما هو طول كل جانب من الجوانب المتساوية من سطح السفينة؟

إجابه

14 قدم

التمرين ( PageIndex {26} ):

شراع القارب هو مثلث متساوي الساقين طول قاعدته 8 أمتار. المحيط 22 مترا. ما هو طول كل جانب من جوانب الشراع المتساوية؟

إجابه

7 م

استخدم خصائص شبه منحرف

أ شبه منحرف هو شكل من أربعة جوانب ، أ رباعي، مع جانبين متوازيين وضلعان غير متوازيين. تسمى الجوانب المتوازية القواعد. نسمي طول القاعدة الأصغر ب وطول القاعدة الأكبر ب. ارتفاع شبه المنحرف ، h ، هو المسافة بين القاعدتين كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {13} ).

الشكل ( PageIndex {13} ) - يحتوي شبه المنحرف على قاعدة أكبر B وقاعدة أصغر b. الارتفاع h هو المسافة بين القاعدتين.

صيغة مساحة شبه المنحرف هي:

[Area_ {شبه منحرف} = dfrac {1} {2} h (b + B) ]

قد يساعد تقسيم شبه المنحرف إلى مثلثين في فهم الصيغة. مساحة شبه المنحرف هي مجموع مساحات المثلثين. راجع الشكل ( PageIndex {14} ).

الشكل ( PageIndex {14} ) - قد يساعدك تقسيم شبه منحرف إلى مثلثين على فهم صيغة مساحته.

ارتفاع شبه المنحرف هو أيضًا ارتفاع كل من المثلثين. راجع الشكل ( PageIndex {15} ).

الشكل ( PageIndex {15} )

صيغة مساحة شبه المنحرف هي

[Area_ {trapezoid} = dfrac {1} {2} h ( textcolor {blue} {b} + textcolor {red} {B}) ]

إذا وزعنا ، نحصل على

التعريف: خصائص شبه منحرف

  • شبه منحرف له أربعة جوانب. انظر الشكل 9.25.
  • جانبان متوازيان والجانبان غير متوازيان.
  • مساحة شبه منحرف A = ( dfrac {1} {2} ) h (b + B).

مثال ( PageIndex {14} ):

أوجد مساحة شبه منحرف ارتفاعه 6 بوصات وقواعده 14 و 11 بوصة.

المحلول

الخطوة 1. ارسم الشكل وقم بتسميته بالمعلومات المقدمة.
الخطوة 2. تحديد ما تبحث عنه.منطقة شبه منحرف
الخطوة 3. اختر متغيرًا لتمثيله.دع أ = المنطقة
الخطوة 4.يترجم. استبدل.
الخطوة الخامسة. يحل المعادلة.$$ start {split} A & = dfrac {1} {2} cdot 6 (25) A & = 3 (25) A & = 75 ؛ مربع؛ بوصة نهاية {split} $$
الخطوة 6. التحقق من: هل هذا الجواب معقول؟

إذا رسمنا مستطيلاً حول شبه منحرف له نفس القاعدة الكبيرة B والارتفاع h ، فيجب أن تكون مساحته أكبر من مساحة شبه المنحرف.

إذا رسمنا مستطيلاً داخل شبه منحرف له نفس القاعدة الصغيرة ب والارتفاع h ، فيجب أن تكون مساحته أصغر من مساحة شبه المنحرف.

تبلغ مساحة المستطيل الأكبر 84 بوصة مربعة ومساحة المستطيل الأصغر 66 بوصة مربعة. لذلك فمن المنطقي أن مساحة شبه المنحرف تتراوح بين 84 و 66 بوصة مربعة

الخطوة 7. إجابه السؤال.مساحة شبه منحرف 75 بوصة مربعة.

التمرين ( PageIndex {27} ):

ارتفاع شبه منحرف 14 ياردة والقواعد 7 و 16 ياردة. ما هي المنطقة؟

إجابه

161 ياردة مربعة

التمرين ( PageIndex {28} ):

ارتفاع شبه منحرف 18 سم والقاعدتان 17 و 8 سم. ما هي المنطقة؟

إجابه

255 سم مربع

مثال ( PageIndex {15} ):

أوجد مساحة شبه منحرف ارتفاعه 5 أقدام وقواعده 10.3 و 13.7 قدمًا.

المحلول

الخطوة 1. ارسم الشكل وقم بتسميته بالمعلومات المقدمة.
الخطوة 2. استبدل.
الخطوة الخامسة. يحل المعادلة.$$ start {split} A & = dfrac {1} {2} cdot 5 (24) A & = 12 cdot 5 A & = 60 ؛ مربع؛ قدم نهاية {split} $$
الخطوة 6. التحقق من: هل هذا الجواب معقول؟ يجب أن تكون مساحة شبه المنحرف أقل من مساحة مستطيل بقاعدته 13.7 وارتفاعه 5 ، لكن يجب أن تكون أكبر من مساحة مستطيل بقاعدته 10.3 وارتفاعه 5.
الخطوة 7. إجابه السؤال.مساحة شبه منحرف 60 قدم مربع.

التمرين ( PageIndex {29} ):

ارتفاع شبه منحرف 7 سم والقاعدتان 4.6 و 7.4 سم. ما هي المنطقة؟

إجابه

42 سم مربع

التمرين ( PageIndex {30} ):

يبلغ ارتفاع شبه المنحرف 9 أمتار والقاعدتان 6.2 و 7.8 متر. ما هي المنطقة؟

إجابه

63 مترا مربعا

مثال ( PageIndex {16} ):

لدى فيني حديقة على شكل شبه منحرف. يبلغ ارتفاع شبه المنحرف 3.4 ياردة والقواعد 8.2 و 5.6 ياردة. كم ياردة مربعة ستكون متاحة للزراعة؟

المحلول

الخطوة 1. ارسم الشكل وقم بتسميته بالمعلومات المقدمة.
الخطوة 2. استبدل.
الخطوة الخامسة. يحل المعادلة.$$ start {split} A & = dfrac {1} {2} cdot (3.4) (13.8) A & = 23.46 ؛ مربع؛ ياردة نهاية {split} $$

الخطوة 6. التحقق من: هل هذا الجواب معقول؟ نعم فعلا. مساحة شبه المنحرف أقل من مساحة مستطيل قاعدته 8.2 ياردة وارتفاعه 3.4 ياردة ، ولكنها أكبر من مساحة مستطيل بقاعدته 5.6 ياردة وارتفاعه 3.4 ياردة.

الخطوة 7. إجابه السؤال.تبلغ مساحة فيني 23.46 ياردة مربعة حيث يمكنه الزراعة.

التمرين ( PageIndex {31} ):

يريد لين أن يغرس في حديقته ، التي على شكل شبه منحرف. القواعد 10.8 ياردات و 6.7 ياردات ، والارتفاع 4.6 ياردة. كم ياردة مربعة من اللحم يحتاج؟

إجابه

40.25 ياردة مربعة

التمرين ( PageIndex {32} ):

كيرا يريد تغطية فناء منزله بأرضيات خرسانية. إذا كان الفناء على شكل شبه منحرف يبلغ طول قاعدته 18 قدمًا و 14 قدمًا ويبلغ ارتفاعه 15 قدمًا ، فكم عدد الأقدام المربعة من الأرضيات التي سيحتاجها؟

إجابه

240 قدمًا مربعة

مع التدريب يأتي الإتقان

افهم القياس الخطي والمربع والمكعب

في التدريبات التالية ، حدد ما إذا كنت ستقيس كل عنصر باستخدام وحدات خطية أو مربعة أو مكعبة.

  1. كمية الماء في حوض للأسماك
  2. طول خيط تنظيف الأسنان
  3. منطقة المعيشة للشقة
  4. مساحة أرضية بلاط الحمام
  5. ارتفاع المدخل
  6. قدرة مقطورة شاحنة

في التمارين التالية ، ابحث عن (أ) المحيط و (ب) لكل شكل. افترض أن كل جانب من جوانب المربع يساوي 1 سم.

استخدم خصائص المستطيلات

في التدريبات التالية ، أوجد محيط (أ) و (ب) لكل مستطيل.

  1. طول المستطيل 85 قدمًا وعرضه 45 قدمًا.
  2. طول المستطيل 26 بوصة وعرضه 58 بوصة.
  3. تبلغ مساحة الغرفة المستطيلة 15 قدمًا وطولها 14 قدمًا.
  4. الممر على شكل مستطيل عرضه 20 قدمًا وطوله 35 قدمًا.

في التدريبات التالية ، حل.

  1. أوجد طول مستطيل محيطه 124 بوصة وعرضه 38 بوصة.
  2. أوجد طول مستطيل محيطه 20.2 ياردة وعرضه 7.8 ياردة.
  3. أوجد عرض مستطيل محيطه 92 مترًا وطوله 19 مترًا.
  4. أوجد عرض مستطيل محيطه 16.2 مترًا وطوله 3.2 مترًا.
  5. مساحة المستطيل 414 متر مربع. الطول 18 مترا. ما هو العرض؟
  6. مساحة المستطيل 782 سنتيمترًا مربعًا. العرض 17 سم. ما هو طول؟
  7. يزيد طول المستطيل عن العرض بمقدار 9 بوصات. المحيط ٤٦ بوصة. العثور على طول وعرض.
  8. يزيد عرض المستطيل عن الطول بمقدار 8 بوصات. محيط 52 بوصة. العثور على طول وعرض.
  9. محيط المستطيل يساوي 58 مترًا. عرض المستطيل أقل من الطول بمقدار 5 أمتار. أوجد طول وعرض المستطيل.
  10. محيط المستطيل يساوي ٦٢ قدمًا. العرض أقل من الطول بمقدار 7 أقدام. العثور على طول وعرض.
  11. عرض المستطيل أقل من الطول بمقدار 0.7 متر. محيط المستطيل يساوي 52.6 مترًا. العثور على أبعاد المستطيل.
  12. طول المستطيل أقل من عرضه بمقدار 1.1 متر. محيط المستطيل يساوي 49.4 مترًا. العثور على أبعاد المستطيل.
  13. محيط مستطيل طوله ١٥٠ قدمًا. طول المستطيل ضعف العرض. أوجد طول وعرض المستطيل.
  14. طول المستطيل يساوي ثلاثة أضعاف العرض. المحيط 72 قدمًا. أوجد طول وعرض المستطيل.
  15. طول المستطيل يقل بمقدار 3 أمتار عن ضعف العرض. المحيط 36 مترا. جد الطول والعرض.
  16. طول المستطيل يزيد بمقدار 5 بوصات عن ضعف عرضه. المحيط 34 بوصة. جد الطول والعرض.
  17. عرض النافذة المستطيلة 24 بوصة. المساحة 624 بوصة مربعة. ما هو طول؟
  18. طول ملصق مستطيل 28 بوصة. المساحة 1316 بوصة مربعة. ما هو العرض؟
  19. مساحة السطح المستطيل 2310 متر مربع. الطول 42 متر. ما هو العرض؟
  20. تبلغ مساحة القنب المستطيل 132 قدمًا مربعًا. العرض 12 قدم. ما هو طول؟
  21. محيط الفناء المستطيل 160 قدماً. الطول 10 أقدام أكثر من العرض. العثور على طول وعرض.
  22. محيط لوحة مستطيلة 306 سم. الطول أكبر من العرض بمقدار 17 سم. العثور على طول وعرض.
  23. عرض نافذة مستطيلة يقل ارتفاعها بمقدار 40 بوصة.محيط المدخل 224 بوصة. العثور على طول وعرض.
  24. عرض الملعب المستطيل أقل من الطول بمقدار 7 أمتار. محيط الملعب 46 مترا. العثور على طول وعرض.

استخدم خصائص المثلثات

في التدريبات التالية ، حل باستخدام خواص المثلثات.

  1. أوجد مساحة مثلث طول قاعدته 12 بوصة وارتفاعه 5 بوصات.
  2. أوجد مساحة مثلث طول قاعدته 45 سنتيمترًا وارتفاعه 30 سنتيمترًا.
  3. أوجد مساحة مثلث قاعدته 8.3 متر وارتفاعه 6.1 متر.
  4. أوجد مساحة مثلث قاعدته 24.2 قدمًا وارتفاعه 20.5 قدمًا.
  5. العلم الثلاثي له قاعدة 1 قدم وارتفاع 1.5 قدم. ما هي مساحتها؟
  6. نافذة مثلثة لها قاعدة 8 أقدام وارتفاعها 6 أقدام. ما هي مساحتها؟
  7. إذا كان مثلث أضلاعه 6 أقدام و 9 أقدام ومحيطه 23 قدمًا ، فما طول الضلع الثالث؟
  8. إذا كان المثلث به أضلاعه 14 سم و 18 سم ومحيطه 49 سم ، فما طول الضلع الثالث؟
  9. ما قاعدة مثلث مساحته ٢٠٧ بوصة مربعة وارتفاعه ١٨ بوصة؟
  10. ما ارتفاع مثلث مساحته 893 بوصة مربعة وقاعدته 38 بوصة؟
  11. محيط بركة عاكسة مثلثة 36 ياردة. أطوال الجانبين 10 ياردة و 15 ياردة. ما هو طول الجانب الثالث؟
  12. فناء مثلث الشكل يبلغ محيطه 120 مترا. أطوال الجانبين 30 مترًا و 50 مترًا. ما هو طول الجانب الثالث؟
  13. مثلث متساوي الساقين قاعدته 20 سم. إذا كان المحيط 76 سنتيمترًا ، فأوجد طول كل جانب من الضلعين الآخرين.
  14. طول قاعدة المثلث متساوي الساقين 25 بوصة. إذا كان المحيط 95 بوصة ، فأوجد طول كل ضلع من الأضلاع الأخرى.
  15. أوجد طول كل ضلع من أضلاع مثلث متساوي الأضلاع محيطه 51 ياردة.
  16. أوجد طول كل ضلع من أضلاع مثلث متساوي الأضلاع محيطه 54 مترًا.
  17. محيط مثلث متساوي الأضلاع يساوي 18 مترًا. قم بأيجاد طول كل جانب.
  18. محيط مثلث متساوي الأضلاع يساوي 42 ميلاً. قم بأيجاد طول كل جانب.
  19. محيط مثلث متساوي الساقين يساوي ٤٢ قدمًا. طول أقصر ضلع 12 قدمًا. أوجد طول الضلعين الآخرين.
  20. محيط المثلث متساوي الساقين 83 بوصة. طول أقصر ضلع 24 بوصة. أوجد طول الضلعين الآخرين.
  21. طبق على شكل مثلث متساوي الأضلاع. يبلغ طول كل جانب 8 بوصات. أوجد المحيط.
  22. بلاط الأرضية على شكل مثلث متساوي الأضلاع. طول كل جانب 1.5 قدم. أوجد المحيط.
  23. قاعدتها 36 بوصة في إشارة طريق على شكل مثلث متساوي الساقين. إذا كان المحيط 91 بوصة ، فأوجد طول كل ضلع من الأضلاع الأخرى.
  24. وشاح على شكل مثلث متساوي الساقين طول قاعدته 0.75 متر. إذا كان المحيط مترين ، فأوجد طول كل ضلع من الأضلاع الأخرى.
  25. محيط المثلث يساوي 39 قدمًا. طول أحد أضلاع المثلث أطول بمقدار قدم واحد من الضلع الثاني. الجانب الثالث أطول بمقدار قدمين من الجانب الثاني. قم بأيجاد طول كل جانب.
  26. محيط المثلث يساوي 35 قدمًا. طول أحد أضلاع المثلث أطول بمقدار 5 أقدام من الضلع الثاني. الجانب الثالث أطول بثلاث أقدام من الجانب الثاني. قم بأيجاد طول كل جانب.
  27. ضلع واحد من المثلث هو ضعف الضلع الأصغر. الجانب الثالث يزيد بمقدار 5 أقدام عن أقصر جانب. المحيط 17 قدمًا. أوجد أطوال الأضلاع الثلاثة.
  28. أحد أضلاع المثلث يساوي ثلاثة أضعاف أصغر ضلع. الجانب الثالث يزيد بمقدار 3 أقدام عن أقصر جانب. المحيط 13 قدمًا. أوجد أطوال الأضلاع الثلاثة.

استخدم خصائص شبه منحرف

في التدريبات التالية ، حل باستخدام خصائص شبه المنحرف.

  1. يبلغ ارتفاع شبه المنحرف 12 قدمًا والقواعد 9 و 15 قدمًا. ما هي المنطقة؟
  2. يبلغ ارتفاع شبه المنحرف 24 ياردة والقواعد 18 و 30 ياردة. ما هي المنطقة؟
  3. أوجد مساحة شبه منحرف ارتفاعه 51 مترًا وقواعده 43 و 67 مترًا.
  4. أوجد مساحة شبه منحرف ارتفاعه 62 بوصة وقواعده 58 و 75 بوصة.
  5. ارتفاع شبه المنحرف 15 سم والقاعدتان 12.5 و 18.3 سم. ما هي المنطقة؟
  6. يبلغ ارتفاع شبه المنحرف 48 قدمًا والقواعد 38.6 و 60.2 قدمًا. ما هي المنطقة؟
  7. أوجد مساحة شبه منحرف ارتفاعه 4.2 متر وقواعده 8.1 و 5.5 متر.
  8. أوجد مساحة شبه منحرف ارتفاعه 32.5 سنتيمترًا وقواعده 54.6 و 41.4 سنتيمترًا.
  9. تصنع لوريل لافتة على شكل شبه منحرف. يبلغ ارتفاع اللافتة 3 أقدام والقواعد 4 و 5 أقدام. ما هي مساحة اللافتة؟
  10. نيكو يريد أن يكسو أرضية حمامه. الأرضية على شكل شبه منحرف بعرض 5 أقدام وطول 5 أقدام و 8 أقدام. ما هي مساحة الارض؟
  11. تحتاج تيريزا إلى قمة جديدة لمنضدة مطبخها. العداد على شكل شبه منحرف بعرض 18.5 بوصة وطول 62 و 50 بوصة. ما هي مساحة العداد؟
  12. إيلينا تحيك وشاحًا. سيكون الوشاح على شكل شبه منحرف بعرض 8 بوصات وطوله 48.2 بوصة و 56.2 بوصة. ما هي مساحة الوشاح؟

الرياضيات اليومية

  1. سور أزال جوزيه للتو مجموعة لعب الأطفال من الفناء الخلفي لإفساح المجال لحديقة مستطيلة. يريد أن يضع سياجًا حول الحديقة لإبعاد الكلب. لديه 50 قدمًا من السياج في مرآبه الذي يخطط لاستخدامه. لتناسب الفناء الخلفي ، يجب أن يكون عرض الحديقة 10 أقدام. كم من الوقت يمكنه أن يصنع الجانب الآخر إذا كان يريد استخدام لفة السياج بأكملها؟
  2. الحدائق تريد لوبيتا إقامة سياج في حديقة الطماطم الخاصة بها. الحديقة مستطيلة وطولها ضعف العرض. سوف يستغرق الأمر 48 قدمًا من السياج لإحاطة الحديقة. ابحث عن طول وعرض حديقتها.
  3. سور تريد كريستا وضع سياج حول فراش الزهرة المثلث الخاص بها. يبلغ طول جوانب سرير الزهرة 6 أقدام و 8 أقدام و 10 أقدام. تكلفة السور 10 دولارات للقدم. كم ستكلف كريستا سياجًا في فراش الزهرة الخاص بها؟
  4. لوحة يريد كالب أن يرسم أحد جدران العلية. الجدار على شكل شبه منحرف بارتفاع 8 أقدام وقواعده 20 قدمًا و 12 قدمًا. تبلغ تكلفة اللوحة على قدم مربع من الجدار حوالي 0.05 دولار. حول كم سيكلف كالب لطلاء جدار العلية؟

تمارين الكتابة

  1. إذا كنت بحاجة إلى وضع البلاط على أرضية مطبخك ، فهل تحتاج إلى معرفة محيط المطبخ أو مساحته؟ اشرح أسبابك.
  2. إذا كنت بحاجة إلى وضع سياج حول الفناء الخلفي الخاص بك ، فهل تحتاج إلى معرفة محيط أو مساحة الفناء الخلفي؟ اشرح أسبابك.
  3. انظر إلى الشكلين. (أ) ما الشكل الذي يبدو أنه يحتوي على مساحة أكبر؟ الذي يبدو أنه يحتوي على محيط أكبر؟ (ب) احسب الآن مساحة ومحيط كل شكل. التي لها مساحة أكبر؟ أيهما له محيط أكبر؟

  1. يزيد طول المستطيل عن عرضه بمقدار 5 أقدام. المساحة 50 قدما مربعا. العثور على طول وعرض. (أ) اكتب المعادلة التي ستستخدمها لحل المسألة. (ب) لماذا لا يمكنك حل هذه المعادلة بالطرق التي تعلمتها في الفصل السابق؟

الاختيار الذاتي

(أ) بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

(ب) على مقياس من 1 إلى 10 ، كيف تقيم إتقانك لهذا القسم في ضوء ردودك على قائمة التحقق؟ كيف يمكنك تحسين هذا؟


لماذا أكره تعريف شبه المنحرف (الجزء 3)

نعم هذا صحيح & # 8217s. أنا & # 8217m أكتب عن شبه المنحرف مرة أخرى (بعد أن كتبت بشغف عنهم هنا وهنا سابقًا). أنا & # 8217 لقد أخذت استراحة من التدوين ، كما أفعل عادة في الصيف. بالنسبة لنا ، تبدأ المدرسة في غضون أسبوعين فقط. لذلك اعتقدت أنني & # 8217d خرجت من قوقعتي وأنشر شيئًا & # 8230 وبالطبع لدي دائمًا ما أقوله حول شبه المنحرف :-).

لنبدأ & # 8217s بسؤال الاختبار السهل التالي. دون & # 8217t نظرة خاطفة. معرفة ما إذا كان يمكنك الإجابة على السؤال دون أي مساعدة.

أي من الأشكال الرباعية التالية هي شبه منحرف؟

قبل إعطاء الإجابة ، اسمحوا لي أولاً أن أذكرك بملحتي بشكل قوي جدا شغل المنصب. أعتقد أنه بدلاً من هذا التعريف النموذجي للكتاب المدرسي (التعريف الحصري & # 8220 & # 8221 نسميها & # 8217ll) الذي يقرأ:

“رباعي مع واحد فقط لا غير زوج من الجوانب المتوازية ".

يجب أن يكون التعريف شاملاً ، وأن يكون نصه كما يلي:

“رباعي مع على الاكثر زوج واحد من الجوانب المتوازية ".

إذن سؤال الاختبار أعلاه كان سهلاً ، أليس كذلك؟ الأشكال الرباعية (A) و (C) هي شبه منحرف ، أسمعك تقول.

ليس بهذه السرعة!! إذا كنت & # 8217re تستخدم التعريف الشامل ، فإن الإجابات الصحيحة هي في الواقع (أ) و (ب) و (ج) و (د) و (هـ). لكن الأمر يتحسن: إذا كنت تستخدم ملف تعريف حصري، إذن لا شيء من هؤلاء شبه منحرف. لكي يكون (A) و (C) شبه منحرفين ، بموجب التعريف الحصري ، يجب أن تثبت أن الجانبين متوازيان وأن الضلعان المتبقيان هما ليس متوازي (ويمكنك & # 8217t أن تفترض ذلك من الصورة & # 8230 خاصة لـ (C)!).

هل يمكنك أن ترى عبثية التعريف الحصري الآن؟

أختم بتقديم القائمة التالية من الأسباب التي تجعل التعريف الشامل أفضل (هل يمكنك اقتراح المزيد من الأسباب؟):

  1. يتم تحديد جميع الأشكال الرباعية الأخرى بطريقة شاملة، بحيث ترث الأشكال الرباعية & # 8220beneath & # 8221 كل خصائص & # 8220 آباءهم. & # 8221 المربع هو مستطيل لأن المربع يتوافق مع تعريف المستطيل. وبالمثل ، يجب أن تكون متوازيات الأضلاع والمستطيلات والمعينات والمربعات جميعها حالات خاصة لشبه المنحرف.
  2. لا تزال صيغة المساحة لشبه المنحرف تعمل ، حتى لو كانت الأرجل متوازية. & # 8217s صحيح! تعمل صيغة المنطقة بشكل جيد مع متوازي أضلاع أو مستطيل أو معين أو مربع.
  3. لا توجد تعريفات أخرى تتكسر عند استخدام التعريف الشامل. باستثناء التعريف أن بعض تستخدم النصوص لشبه منحرف متساوي الساقين. تحدد هذه النصوص شبه منحرف متساوي الساقين له كلا الساقين متطابقتين ، مما يجعل متوازي الأضلاع شبه منحرف متساوي الساقين. بدلاً من ذلك ، حدد شبه منحرف متساوي الساقين على أنه يحتوي على زوايا قاعدية متطابقة ، أو مكافئة ، لها خط تماثل.
  4. لا تفشل طريقة التقريب شبه المنحرف في حساب التفاضل والتكامل & # 8217t عندما يكون أحد شبه المنحرفين فعلا مستطيل. ولكن بموجب التعريف الحصري ، سيتعين عليك تغيير اسمه إلى & # 8220 شبه منحرف و / أو طريقة التقريب المستطيل ، & # 8221 أو ربما تمنع الأشخاص من القيام بالطريقة شبه المنحرفة لحل مشاكل مثل هذه: تقريبي باستخدام طريقة شبه المنحرف مع 5 فترات متساوية. (لاحظ هنا أن شبه منحرف المركز هو في الواقع مستطيل & # 8230 لا سمح الله !!)
  5. عند إثبات أن الشكل الرباعي هو شبه منحرف ، يمكن للمرء أن يتوقف بعد إثبات أن ضلعين فقط متوازيان. ولكن مع باستثناء التعريف ، لإثبات أن الشكل الرباعي هو شبه منحرف ، يجب عليك إثبات أن الجانبين متوازيان وأن الجانبين الآخرين هما ليس بالتوازي (انظر بداية هذا المنشور!).

شارك هذا:

مثله:

متعلق ب


تصنيف المثلثات حسب الزوايا باستخدام مخططات أويلر - الجزء الثالث

مجال (مجالات) الموضوع: الرياضيات ، الرياضيات (B.E.S.T. -.

نوع المورد الأساسي: البرنامج التعليمي الأصلي

في نهاية هذا البرنامج التعليمي ، يجب أن تكون قادرًا على تحديد أمثلة على الأشكال الرباعية والسمات التعريفية لتصنيفها باستخدام الرسوم البيانية.

مجال (مجالات) الموضوع: الرياضيات

نوع المورد الأساسي: البرنامج التعليمي الأصلي

استكشف سمات تعريف شبه المنحرف - نوع خاص من الأشكال الرباعية - وصنفها باستخدام الرسوم البيانية في هذا البرنامج التعليمي التفاعلي.

مجال (مجالات) الموضوع: الرياضيات ، الرياضيات (B.E.S.T. -.

نوع المورد الأساسي: البرنامج التعليمي الأصلي

تعرف على كيفية تصنيف الأشكال الرباعية - بما في ذلك متوازي الأضلاع والمستطيلات والمعينية والمربعات - بناءً على سمات تعريفها باستخدام الرسوم البيانية

مجال (مجالات) الموضوع: الرياضيات ، الرياضيات (B.E.S.T. -.

نوع المورد الأساسي: البرنامج التعليمي الأصلي

تعرف على كيفية إظهار العلاقات الممثلة في مخططات Venn & Euler وأنت تكمل هذا البرنامج التعليمي الهندسي التفاعلي. هذا هو الجزء الثاني من أربعة.

مجال (مجالات) الموضوع: الرياضيات ، الرياضيات (B.E.S.T. -.

نوع المورد الأساسي: البرنامج التعليمي الأصلي

تعرف على كيفية فرز المثلثات وتصنيفها باستخدام أطوال الأضلاع ومقاييس الزوايا في هذا البرنامج التعليمي التفاعلي. هذا هو البرنامج التعليمي النهائي في ملف

مجال (مجالات) الموضوع: الرياضيات ، الرياضيات (B.E.S.T. -.

نوع المورد الأساسي: البرنامج التعليمي الأصلي

استكشف الأشكال ثنائية الأبعاد (ثنائية الأبعاد) وشاهد كيف يمتلك كل شخصية ثنائية الأبعاد سمات فريدة في هذا البرنامج التعليمي التفاعلي. هذا هو الجزء الأول من أربعة.

مجال (مجالات) الموضوع: الرياضيات ، الرياضيات (B.E.S.T. -.

نوع المورد الأساسي: البرنامج التعليمي الأصلي

المرفقات

  • MAFS.5.G.2.3: افهم أن السمات التي تنتمي إلى فئة الأشكال ثنائية الأبعاد تنتمي أيضًا إلى جميع الفئات الفرعية لتلك الفئة. على سبيل المثال ، تحتوي جميع المستطيلات على أربع زوايا قائمة والمربعات عبارة عن مستطيلات ، لذلك تحتوي جميع المربعات على أربع زوايا قائمة.

تعلم كيفية تصنيف المثلثات واستخدام مخططات أويلر لإظهار العلاقات في هذا البرنامج التعليمي التفاعلي.

هذا جزء من ثلاثة من أربعة. انقر أدناه لفتح البرامج التعليمية الأخرى في السلسلة.


شبه المنحرف الجزء 6

مجال (مجالات) الموضوع: الرياضيات ، الرياضيات (B.E.S.T. -.

نوع المورد الأساسي: البرنامج التعليمي الأصلي

في نهاية هذا البرنامج التعليمي ، يجب أن تكون قادرًا على تحديد أمثلة على الأشكال الرباعية والسمات التعريفية لتصنيفها باستخدام الرسوم البيانية.

مجال (مجالات) الموضوع: الرياضيات

نوع المورد الأساسي: البرنامج التعليمي الأصلي

تعرف على كيفية تصنيف الأشكال الرباعية - بما في ذلك متوازي الأضلاع والمستطيلات والمعينية والمربعات - بناءً على سمات تعريفها باستخدام الرسوم البيانية

مجال (مجالات) الموضوع: الرياضيات ، الرياضيات (B.E.S.T. -.

نوع المورد الأساسي: البرنامج التعليمي الأصلي

تعرف على كيفية إظهار العلاقات الممثلة في مخططات Venn & Euler وأنت تكمل هذا البرنامج التعليمي الهندسي التفاعلي. هذا هو الجزء الثاني من أربعة.

مجال (مجالات) الموضوع: الرياضيات ، الرياضيات (B.E.S.T. -.

نوع المورد الأساسي: البرنامج التعليمي الأصلي

تعرف على كيفية فرز المثلثات وتصنيفها باستخدام أطوال الأضلاع ومقاييس الزوايا في هذا البرنامج التعليمي التفاعلي. هذا هو البرنامج التعليمي النهائي في ملف

مجال (مجالات) الموضوع: الرياضيات ، الرياضيات (B.E.S.T. -.

نوع المورد الأساسي: البرنامج التعليمي الأصلي

تعلم كيفية تصنيف المثلثات واستخدام مخططات أويلر لإظهار العلاقات في هذا البرنامج التعليمي التفاعلي. هذا جزء من ثلاثة من أربعة. انقر أدناه ل

مجال (مجالات) الموضوع: الرياضيات ، الرياضيات (B.E.S.T. -.

نوع المورد الأساسي: البرنامج التعليمي الأصلي

استكشف الأشكال ثنائية الأبعاد (ثنائية الأبعاد) وشاهد كيف يمتلك كل شخصية ثنائية الأبعاد سمات فريدة في هذا البرنامج التعليمي التفاعلي. هذا هو الجزء الأول من أربعة.

مجال (مجالات) الموضوع: الرياضيات ، الرياضيات (B.E.S.T. -.

نوع المورد الأساسي: البرنامج التعليمي الأصلي

المرفقات

  • MAFS.5.G.2.3: افهم أن السمات التي تنتمي إلى فئة الأشكال ثنائية الأبعاد تنتمي أيضًا إلى جميع الفئات الفرعية لتلك الفئة. على سبيل المثال ، تحتوي جميع المستطيلات على أربع زوايا قائمة والمربعات عبارة عن مستطيلات ، لذلك تحتوي جميع المربعات على أربع زوايا قائمة.

استكشف سمات تعريف شبه المنحرف - نوع خاص من الأشكال الرباعية - وصنفها باستخدام الرسوم البيانية في هذا البرنامج التعليمي التفاعلي. ستتعرف أيضًا على كيفية تأثير تعريفين مختلفين لشبه المنحرف على تصنيفات الأشكال الرباعية.

هذا الجزء 6 في سلسلة من 6 أجزاء. انقر أدناه لاستكشاف البرامج التعليمية الأخرى في السلسلة.


الهندسة ، النمط الأساسي المشترك

يغطي القسم 5-2 من نص U لشيكاغو الأنواع المختلفة من الأشكال الرباعية. لا توجد نظريات في هذا القسم ، ولكن مجرد تعريفات. يعتبر مفهوم التعريف مهمًا لدراسة الهندسة ، ولا يوجد أي درس حتى الآن في التعريفات أكثر بروزًا مما ورد في هذا الدرس.

يبدأ الدرس بالتعريف متوازي الاضلاع, معين, مستطيل، و ميدان. لا حرج في أي من هذه التعريفات. ولكن بعد ذلك نصل إلى تعريف مثير للجدل - تعريف شبه منحرف:

تعريف:
الرباعي هو شبه منحرف إذا وفقط إذا كان كذلك على الاكثر زوج واحد من الجوانب المتوازية.
(التركيز لي)

تمامًا كما هو الحال مع تعريف موازى بالعودة إلى القسم 1-7 ، لدينا كلمتان إضافيتان تميزان هذا عن التعريف التقليدي لـ شبه منحرف -- "على الأقل." في الكتب المدرسية الأخرى ، لا يوجد متوازي أضلاع هو شبه منحرف ، ولكن في نص U من شيكاغو ، كل متوازي الأضلاع هو شبه منحرف!

لفهم ما يحدث هنا ، دعنا نعود إلى أول مقياس جغرافي الذي حدد بعض المصطلحات في التسلسل الهرمي الرباعي - بالطبع ، أنا أتحدث عن إقليدس:

من الأشكال الرباعية ، أ ميدان هو ما هو متساوي الأضلاع وزاوية قائمة مستطيل ما هو قائم الزاوية ولكن ليس متساوي الأضلاع أ معين ما هو متساوي الأضلاع ولكن ليس قائم الزاوية و أ المعين الذي له جوانب وزوايا متقابلة متساوية مع بعضها البعض ولكنها ليست متساوية الأضلاع ولا زاوية قائمة. وليتم استدعاء الأشكال الرباعية غير هذه أرجوحة.

بالطبع ، المصطلح الحديث لـ "مستطيل" هو مستطيل، و "المعين" أصبح الآن a متوازي الاضلاع. كلمة "شبه منحرف" هي في الواقع صيغة جمع "شبه منحرف". في اللغة الإنجليزية البريطانية ، "شبه المنحرف" هو ما نطلق عليه نحن الأمريكيين شبه منحرف، ولكن بالنسبة لإقليدس ، فإن أي شكل رباعي ليس متوازي أضلاع (أو أسفله في التسلسل الهرمي الرباعي) هو "شبه منحرف". لكن الجزء المهم هنا هو أنه بالنسبة لإقليدس ، فإن المربع ، على سبيل المثال ، ليس مستطيلًا (مستطيلًا) ولا معينًا. يتأكد من أن المستطيل (المستطيل) "ليس متساوي الأضلاع" ، وأن المعين "ليس بزاوية قائمة". وبالطبع ، ليس المستطيل ولا المعين متوازي أضلاع (معيني).

وتسمى هذه التعريفات "الحصرية". بالنسبة لإقليدس ، لم يكن هناك تسلسل هرمي رباعي - كل فئة من الأشكال الرباعية كانت منفصلة عن الفئات الأخرى. ولكن منذ أيام إقليدس ، أضاف المزيد والمزيد من النصوص الهندسية ببطء تعريفات أكثر "شمولية".

أحد التعريفات الشاملة الأولى التي رأيتها كان تعريف مستطيل. تم ذكره في حلقة من قناة Square One TV ، عندما كان من المفترض أن تأكل شخصية محاكاة ساخرة بكمن يُدعى ماثمان مستطيلات ، ثم أكل مربعًا لأن "كل مربع هو مستطيل". أود تقديم رابط YouTube ، لكنني لم أجد الرابط منذ سنوات ولم يظهر في البحث. (أتذكر حتى أن شخصًا ما نشر في التعليقات كما هو الحال بالنسبة لي ، أول لقاء له بالتعريف الشامل لـ مستطيل كان من خلال مشاهدة هذا المقطع عندما تم بثه لأول مرة منذ سنوات عديدة!)

لكن العديد من أفراد عائلتي كانوا أيضًا معلمين ، وأعطاني أحد الأقارب كتابًا مدرسيًا قديمًا لا يزال يذكر بعض التعريفات الحصرية. على وجه الخصوص ، أعلن أن المربع ليس معينًا. بعد ذلك بقليل ، قام معلم الصف الخامس الخاص بي بتدريس التعريف الشامل لـ معين. ثم أوضحت أن المربع ليس معينًا ، ثم أحضرت بالفعل النص القديم إلى المدرسة لإثبات ذلك! أجابت: "واو!" ولكن بعد ذلك ، إذا تذكرت بشكل صحيح ، أخبرني أن هذا التعريف قديم ، وأنه وفقًا للتعريف الجديد ، فإن المربع هو معين. وهكذا تصنف جميع النصوص الحديثة المربع على أنه مستطيل ومعين ، وأن كل هذه تعتبر متوازي أضلاع.

لذلك نرى أن هناك ميلًا لأن تصبح التعريفات أكثر شمولاً مع مرور الوقت. (نرى هذا يحدث في السياسة أيضًا - على سبيل المثال ، تعريف زواج. لكني استطرد.) وهكذا نرى أن الخطوة الطبيعية التالية هي اعتبار متوازي الأضلاع شبه منحرف.

أحد المناصرين الأوائل الذين رأيتهم لتعريف شامل لـ شبه منحرف هو عالم الرياضيات الشهير في جامعة برنستون جون هـ. كونواي. اشتهر باختراعه لعبة الحياة الرياضية ، التي لها موقعها على الإنترنت:

لكن كونواي متخصص أيضًا في مجالات الرياضيات الأخرى ، مثل الهندسة ونظرية المجموعة (والتي هي ، في بعض النواحي ، دراسة التناظر). قبل اثني عشر عامًا ، نشر المعلومات التالية حول سبب تفضيله للتعريفات الشاملة:

ينشأ تفضيل التعريفات الحصرية ، على ما أعتقد ، من
ما أسميه "الاستخدام الوصفي". بالطبع ، لا يمكن للمرء أن يصف
طاولة مربعة مثل "مستطيلة" ، لأن ذلك قد يستخدم بشكل عشوائي
على المدى الطويل لنقل معلومات أقل. لذلك في الاستخدامات الوصفية ،
هناك افتراض طبيعي بأن طاولة تسمى "مستطيلة"
لن يكون في الواقع مربعًا - بمعنى آخر ، افتراض طبيعي
أن المصطلحات ستستخدم حصريًا.

لكن الاستخدام الوصفي غير مهم للهندسة ، حيث أن
الشيء المهم حقًا هو حقيقة النظريات. هذا يعني أننا
يجب استخدام المصطلح "A" لتضمين "B" إذا كانت كل الهويات التي
عقد لجميع "A" سيحمل أيضًا جميع "B" (بالطريقة التي
تنطبق نظرية المنطقة شبه المنحرفة على جميع متوازي الأضلاع ، من أجل
نموذج).

قد تقلق بشأن اتساق التبديل إلى
الاستخدام الشامل بينما يستمر الآخرون في الاستخدام الحصري.
لكن لا يمكن أن يكون هناك انسجام مع الأشخاص غير المتسقين!
لقد رأيت العديد من كتب الهندسة التي تصنع التعاريف الحصرية ،
ولكن لا أحد منهم يمكنه استخدامها باستمرار لأكثر من عدد قليل
النظريات.

في الواقع ، دعا كونواي إلى اتخاذ خطوة واحدة للأمام وإلغاء شبه منحرف بالفعل وامتلاك شبه منحرف متساوي الساقين فقط في التسلسل الهرمي! بعد كل شيء ، لا يوجد الكثير الذي يمكن للمرء أن يقوله عن شبه منحرف ليس متساوي الساقين - فقط انظر إلى القسم 5-5. هناك نظرية واحدة فقط مدرجة هناك حول شبه المنحرف العام - نظرية الزاوية شبه المنحرفة ، وهذه في الحقيقة مجرد نظرية عواقب الزاوية الداخلية من نفس الجانب والتي يمكن إثباتها دون الرجوع إلى شبه المنحرف على الإطلاق. تشير جميع النظريات الأخرى في الدرس إلى متساوي الساقين شبه منحرف. على وجه الخصوص ، تشير نظريات التناظر في الدرس إلى شبه المنحرف متساوي الساقين. (تذكر أن كونواي متخصص في نظرية المجموعة - والتي كما كتبت أعلاه هي دراسة تناظر.) أظن أن السبب الوحيد لوجود شبه منحرف عامة هو أنها أبسط شكل رباعي يمكن إعطاء صيغة المنطقة له.

هذا الآن استطراد آخر من Common Core Geometry ، لذلك سأقدم رابطًا آخر. لاحظ أنه هنا ، يقترح Conway أيضًا ملف سداسي الزوايا التسلسل الهرمي على أساس التناظر. هناك أيضًا تسلسل هرمي خماسي ، ولكن هناك ثلاثة أنواع فقط من الخماسيات - عامة ، متماثلة خطية ، ومنتظمة - تمامًا كما هو الحال بالنسبة للمثلثات. من الأسهل عمل أشكال بعدد زوجي من الأضلاع متماثلة.

مدافع آخر عن التعريفات الشاملة هو السيد تشيس ، مدرس الرياضيات في المدرسة الثانوية من ولاية ماريلاند. أرى أنه متحمس جدًا للتعريف الشامل لـ شبه منحرف أنه كرس ثلاث منشورات مدونة كاملة لسبب كرهه للتعريف الحصري لـ شبه منحرف:

أحد أسباب تشيس لاستخدام التعريفات الشاملة هو أنه يبسط البراهين:

عند إثبات أن الشكل الرباعي هو شبه منحرف ، يمكن للمرء أن يتوقف بعد إثبات أن ضلعين فقط متوازيان . ولكن مع باستثناء التعريف ، لإثبات أن الشكل الرباعي هو شبه منحرف ، يجب عليك إثبات أن الجانبين متوازيان وأن الجانبين الآخرين هما ليس موازى.

فيما يتعلق ببعض الآخرين الذين أحيل إليهم بانتظام ، يستخدم الدكتور وو التعريف الشامل:

"الشكل الرباعي مع زوج واحد على الأقل من الأضلاع المتقابلة المتوازية يسمى شبه منحرف. يسمى شبه المنحرف الذي يحتوي على زوجين من الأضلاع المتقابلة المتوازية متوازي الأضلاع."

بينما يستخدم الدكتور ميسون التعريف الحصري:

"شبه المنحرف بالتعريف رباعي مع واحد بالتحديد زوج من الجوانب المتوازية ".
(التركيز الدكتور م)

إذن أي تعريف يجب أن أستخدمه شبه منحرف؟ حسنًا ، هذه مدونة Common Core ، لذا فإن التعريف الذي تفضله Common Core يجب أن يكون له الأولوية على جميع التعريفات الأخرى. فيما يلي رابط إلى المعلومات التي ستظهر في تقييم نهاية العام لـ PARCC للهندسة:

وهناك في العمود الموجود أسفل "توضيحات" ، يقرأ:

ط) يُعرّف شبه المنحرف بأنه & # 8220A رباعي الأضلاع بزوج واحد على الأقل من الأضلاع المتوازية. & # 8221

وهذا يحسم الأمر بوضوح. يستخدم التقييم الأساسي المشترك لـ PARCC التعريف الشامل لـ شبه منحرف، ومن واجبي في مدونة Common Core استخدام تعريف Common Core. بالطبع ، نلاحظ أن هذا هو التعريف الذي قدمه PARCC - لكن حتى الآن لم أر أي معلومات حول التعريف الذي يستخدمه Smarter Balanced. سيكون من المأساوي أن تستخدم PARCC تعريفًا واحدًا وأذكى متوازنًا الآخر. ولكن بما أنني لا أستطيع أن أقول أي شيء عن Smarter Balanced ، فسأستخدم التعريف الوحيد الذي هو معروف أن تكون في اختبار Core Common ، وهذا هو التعريف الشامل. حقيقة أن هذا التعريف مستخدم بالفعل من قبل U of Chicago هو تثليج على الكعكة.

هناك مشكلة واحدة مع التعريف الشامل لـ شبه منحرف، وذلك عندما نحاول التعريف شبه منحرف متساوي الساقين. الكلمة متساوي الساقين يشير إلى أنه ، كما هو الحال في المثلث متساوي الساقين ، فإن شبه المنحرف متساوي الساقين له ضلعان متساويان - الأضلاع المتاخمة للقواعد (الموازية). لكن في متوازي الأضلاع ، حيث يمكن اعتبار أي من الضلعين المتقابلين القواعد - الأضلاع المجاورة لهاتين القاعدتين متساوية أيضًا هذا من شأنه أن يجعل كل متوازي الأضلاع شبه منحرف متساوي الساقين. لكن هذا غير مرغوب فيه - فالشبه المنحرف متساوي الساقين له العديد من الخصائص التي تفتقر إليها متوازي الأضلاع بشكل عام. إن أقطار شبه المنحرف متساوي الساقين متساوية ، لكن تلك الموجودة في متوازي الأضلاع بشكل عام ليست كذلك. لكن قطري المستطيل متساويان. لذلك نود اعتبار المستطيلات ، وليس متوازي الأضلاع بشكل عام ، شبه منحرف متساوي الساقين.

تم ذكر هذه المعضلة في التعليقات الموجودة على أحد روابط Chase. تمت الإشارة إلى أن هناك طريقتين للخروج من هذه الفوضى - يمكننا إما تعريف شبه منحرف متساوي الساقين من حيث التناظر ، كما يفعل كونواي ، أو يمكننا استخدام تعريف U الخاص بشيكاغو:

"شبه المنحرف هو متساوي الساقين إذا وفقط إذا كان له زوج من زوايا القاعدة متساوية في القياس."

البعض لا يحب هذا التعريف لأنه ينتهك النقاء اللغوي - الكلمة متساوي الساقين تأتي من اليونانية ، وتعني "الأرجل المتساوية" ، وليس "الزوايا المتساوية". ولكن كما اتضح ، فإنه ثمن ضئيل يجب دفعه لإنجاز التسلسل الهرمي الرباعي والنظريات الأخرى. وإلى جانب ذلك ، أي مقياس جغرافي يسمي مضلعًا ذا تسعة جوانب أ نوناجون يجب أن يصمت فقط بشأن النقاء اللغوي!

هناك تعريف واحد في هذا الدرس أهملت ذكره - ال طائرة ورقية. كما اتضح ، هناك تعريفان لـ طائرة ورقية، واحد حصري والآخر شامل. يجعل التعريف الشامل كل المعين (وبالتالي كل مربع) طائرة ورقية. بطبيعة الحال ، أولئك الذين يفضلون التعريف الحصري لـ شبه منحرف، مثل Dr. M ، يفضل أيضًا التعريف الحصري لـ طائرة ورقية، بينما يأخذ الآخرون تعريفات شاملة لكليهما شبه منحرف و طائرة ورقية. (لا يتطرق وو إلى هذه المسألة - فهو لا يذكر الطائرات الورقية الموجودة على موقعه على الإطلاق).

حقيقة أن التعريفات الحصرية تجعل البراهين أطول - كما ذكر كل من كونواي وتشيس - يمكن ملاحظتها عندما ننظر إلى درس الدكتور م عن الطائرات الورقية (الدرس 6.6 على موقعه). نظرًا لأنه يستخدم التعريف الحصري لـ طائرة ورقية، يجب أن يتأكد الدكتور م من أن كل خاصية تمتلكها الطائرة الورقية ، مثل وجود زوج من الزوايا المتقابلة المتساوية ، تنطبق فقط على زوج واحد من الزوايا وليس على الآخر - وإلا فإن الشكل سيكون متوازي أضلاع (في الواقع المعين ) وليس طائرة ورقية. ولكن إذا أردنا استخدام التعريف الشامل ، فلا داعي للخوف من أن يكون الشكل معينًا لأن المعين لا يزال يعتبر طائرة ورقية. يحتوي درس دكتور إم على 15 صفحة بوربوينت ، ولكن يمكننا قص نصفها تقريبًا ببساطة باستخدام التعريف الشامل - خمس صفحات من الإثباتات غير المباشرة "وليس الأخرى" وصفحتان أخريان لشرح سبب "عدم الأخرى" البراهين مطلوبة!

إذن هذا هو تعريف U لشيكاغو للطائرة الورقية:

الشكل الرباعي هو طائرة ورقية إذا وفقط إذا كان لها زوجان متميزان من الأضلاع المتتالية من نفس الطول.

(لاحظ ذلك هنا خامد يعني أن هناك زوجين مختلفين لهما نفس الطول ، بإجمالي أربعة جوانب - وليس أن الأطوال نفسها يجب أن تكون مميزة.)

يحتوي النص على تسلسل هرمي رباعي الأضلاع ، ولكن مع وجود رابط واحد مفقود ، من المعين إلى متوازي الأضلاع. ينص على أنه سيتم إثبات ذلك في الدرس 5-4 (في الواقع 5-6) ، لأنه يستخدم اختبار الزوايا الداخلية البديلة الذي لا يظهر حتى هذا الدرس. ولكن هنا في هذه المدونة ، أثبتنا بالفعل اختبار AIA ، لذلك يمكننا بالفعل إثبات التسلسل الهرمي بأكمله الآن.

الآن قد يلاحظ البعض شيئًا ما هنا. بالأمس ، كتبت أن الأقسام الأربعة الأولى من الفصل الخامس لا تتطلب فرضية موازية. ومع ذلك ، أنا أناقش اليوم الأشكال الرباعية الأضلاع مثل المستطيلات والمربعات ، وكما اتضح ، فإن المستطيلات (وبالتالي المربعات) لا توجد حتى بدون فرضية موازية!

إذن ما الذي يعطي هنا؟ في الواقع ، كل عبارة تم إثباتها في هذا الدرس لا تزال صحيحة في الهندسة غير الإقليدية ، حتى تلك التي مثل "كل مستطيل هو متوازي أضلاع". إذا لم تكن المستطيلات موجودة ، فإن العبارة "كل مستطيل هو متوازي أضلاع" صحيحة بشكل خالي - لا يوجد أي مستطيلات ، وكلها صفر متوازي أضلاع! (وبالمثل ، كل حيدات القرن بيضاء.) لا يوجد بيان حول المستطيلات أو المربعات الواردة في هذا الدرس يتطلب في الواقع وجود أي منها - فقط ذلك إذا هم موجودون ، ثم لديهم هذه الخصائص. يقوم Wu بنفس الحيلة على صفحته:

"يسمى الشكل الرباعي الذي تكون جميع زواياه قائمة بالمستطيل. يسمى المستطيل الذي تكون جميع جوانبه متساوية الطول بالمربع. اعلم أنه في هذه المرحلة ، لا نعرف ما إذا كان هناك
مربع أم لا ، أو الأسوأ من ذلك ، سواء كان هناك مستطيل أم لا ".

أيضًا ، العبارة التي تفيد بأن كل معين هو متوازي أضلاع تستخدم الزوايا الداخلية البديلة اختبار، لكنها الموازية الآثاروليس الموازي الاختبارات، التي تتطلب مسلمة موازية. لن نحتاج إلى فرضية موازية حتى القسم 5-5 ، حيث نشتق خصائص شبه المنحرف باستخدام نتائج أضلاعها المتوازية.

دعنا ننتقل إلى التدريبات. قررت طرح الأسئلة الثمانية الأولى منذ تحديد الأنواع السبعة من الأشكال الرباعية الأضلاع ورسمها ووضعها في تسلسل هرمي تتلاءم بشكل أفضل مع الملاحظات ، وليس في التمارين التي تأتي بعد الملاحظات. بالنسبة للأسئلة الأخرى ، من المثير للاهتمام الإشارة إلى كيف يمكن أن تكون الإجابات مختلفة باستخدام التعريفات الشاملة / الحصرية ، أو الهندسة الإقليدية / غير الإقليدية.

أقوم بتضمين أول ثلاثة أسئلة صواب / خطأ ، من 9-11. السؤال 9 صحيح ، حتى في الهندسة غير الإقليدية (حيث يكون صحيحًا بشكل خالي) والسؤال 10 يكون خاطئًا دائمًا. السؤال 11 صحيح ، لكنه يصبح خاطئًا إذا استخدمنا تعريفًا حصريًا للطائرة الورقية. (لاحظ أن تماريني لا تشير إلى شبه المنحرف ، بل تشير فقط إلى الطائرات الورقية ، نظرًا لأن الطائرات الورقية ستأتي قريبًا في القسم 5-4).

ثم انتقلت إلى السؤال 20. إذا كانت المجموعة A هي مجموعة كل المستطيلات والمجموعة B هي مجموعة كل المعينات ، فإن A التقاطع B هو مجموعة كل المربعات. يظل هذا صالحًا حتى في الهندسة غير الإقليدية ، حيث تصبح المجموعة A ، مجموعة جميع المستطيلات ، هي المجموعة الفارغة. إذن ، سيكون التقاطع A هو المجموعة الفارغة ، التي تساوي مجموعة كل المربعات ، بما أن هذه هي المجموعة الفارغة أيضًا.

ولكن هناك مشكلة تقاطع مشابهة متقدمة جدًا بحيث لا يمكن ذكرها هنا ، وحيث تختلف الإجابة اعتمادًا على الشكل الهندسي الذي يستخدمه المرء. تقاطع مجموعة جميع متوازيات الأضلاع ومجموعة شبه منحرف متساوي الساقين هو ، في الهندسة الإقليدية ، مجموعة كل المستطيلات. (إحدى الطرق لإثبات ذلك هي ملاحظة أن شبه المنحرف متساوي الساقين لها أقطار متساوية ، وعلى الرغم من عدم إثبات ذلك في U في شيكاغو ، فإن متوازيات الأضلاع ذات الأقطار المتساوية عبارة عن مستطيلات.) ومع ذلك ، في الهندسة الزائدية ، لا توجد مستطيلات ، ولكن توجد أشكال على حد سواء متوازية الأضلاع وشبه المنحرف متساوي الساقين - على وجه الخصوص ، فإن شكل ساكيري الرباعي كلاهما. قد يخطئ مقياس الأرض الزائدي حقيقة أن رباعي Saccheri هو شبه منحرف متساوي الساقين لأنه يستخدم التعريف الحصري ، حيث لا يمكن أن يكون متوازي الأضلاع شبه منحرف. ولكن في بعض النواحي ، يشبه شكل رباعي ساكيري شبه منحرف إقليدي متساوي الساقين أكثر من متوازي أضلاع إقليدي ، نظرًا لأن شبه منحرف ساكيري وشبه المنحرف متساوي الساقين يشتركان في نفس نوع خط التناظر الذي يفتقر إليه متوازي الأضلاع العام.

في السؤال 21 ، نثبت ذلك NOPQ هي طائرة ورقية - دليل لا يتطلب سوى أربع خطوات (لأنني أقوم دائمًا بإضافة خطوة معينة إلى الخطوات الثلاث المطلوبة في الكتاب). ولكن إذا استخدمنا التعريف الحصري لـ طائرة ورقية, NOPQ قد لا تكون طائرة ورقية لأنها يمكن أن تكون المعين. من الناحية الفنية ، لا يمكننا إثبات ذلك NOPQ هي طائرة ورقية حصرية ما لم نضيف فرضية أخرى ، مثل الدوائر ا و س وجود أنصاف أقطار غير متساوية.


الهندسة ، النمط الأساسي المشترك

اليوم هو يوم خالٍ من الطلاب في منطقتي الجديدة ، على غرار يوم 15 أكتوبر في منطقتي القديمة. يتبع تقويم المدونة الحي القديم ، ولذا فإن اليوم هو يوم النشر.

من ناحية أخرى ، فإن الطريقة الوحيدة التي يمكنني الاستغناء عنها اليوم هي من خلال منطقتي القديمة. بالطبع ، كان هذا غير مرجح للغاية ، وفي النهاية لم أستسلم اليوم.

ها أنا ذا مرة أخرى ، أجعل منشورًا تقليديًا خارج الجدول الزمني. في الأسبوع الماضي في اليوم المحدد ، لم أكتب كثيرًا وأعلنت أن مشاركات التقليديين الحقيقيين هي منشورات "Sue Teele" ، حيث أن ذكائها المتعدد هو الجانب الآخر من النقاش.

لكن خلال عطلة نهاية الأسبوع ، نشر زعيمنا التقليدي الرئيسي باري غاريليك. وهو يرد على مقال كتبه مؤلف آخر رأينا أفكاره مؤخرًا - جو بوالر:

قررت منطقة المدارس الموحدة في سان فرانسيسكو & # 8217s إلغاء الوصول إلى الجبر لطلاب الصف الثامن حتى لو كان الطالب مؤهلاً لأخذ مثل هذه الدورة. أحدث مقال لتبرير هذا الإجراء هو مقال كتبه جو بوالر (الذي كان أسلوبه في تعليم الرياضيات في رأيي ورأي الكثيرين الآخرين في التعليم ممن أحترمهم غير فعال ومضرًا) وآلان شونفيلد ، أستاذ الرياضيات من جامعة كاليفورنيا في بيركلي التي يتفق موقفها مع مصلحي الرياضيات. أي ، & # 8220 الفهم & # 8221 الأسبقية على الإجراء ، من بين أمور أخرى.

ذكر Garelick والتقليديون الآخرون سان فرانسيسكو الموحدة في الماضي. يكاد يكون دائمًا انتقاد سياسة الجبر للصف الثامن في المنطقة. يقتبس مقال بوالر:

& # 8220 رفعت معايير الدولة الأساسية المشتركة مستوى وصرامة رياضيات الصف الثامن لتشمل محتوى الجبر 1 بالإضافة إلى موضوعات الهندسة والموضوعات الإحصائية التي تم تدريسها سابقًا في المدرسة الثانوية. & # 8221

والتقليدي يختلف مع ذلك. في مقالته ، ذكر في النهاية حساب التفاضل والتكامل AP في العام الأول - الفصل الذي يهتم به التقليديون حقًا. إن رفع صرامة الرياضيات 8 لتضمين المزيد من الجبر غير ذي صلة إذا لم يؤد ذلك إلى حصول كبار السن على فصل يسمى AP Calculus. أوه، وبالمناسبة:

الترجمة: بالنسبة لأولئك الطلاب الذين يرغبون في دراسة التفاضل والتكامل في الصف الثاني عشر ، يمكنهم مضاعفة دورات الرياضيات في الصف الحادي عشر ، حتى يتمكنوا من أخذ الجبر 2 و Prealculus. بقدر ما يقصدون بـ & # 8220 الدورات الغنية بالمفاهيم التي تفيد الجميع & # 8221 ، فإنه & # 8217s أي شخص & # 8217s تخمين.

بعبارة أخرى ، لا يتم اعتباره طريقًا حقيقيًا لحساب التفاضل والتكامل ما لم يتمكن الطلاب من أخذ الرياضيات لفترة واحدة فقط في اليوم ، بدون مدرسة صيفية ، مع AP Calculus باعتباره الفصل الرئيسي. (أنا أتفق مع Garelick في أن Algebra II و Pre-Calc معًا يمثلان عبئًا صعبًا للغاية بالنسبة للمبتدئين).

تتضمن الدورة على مستوى المدرسة الثانوية التعبيرات المنطقية (أي الكسور الجبرية) ، والقسمة متعددة الحدود ، والعوامل ، والمعادلات التربيعية ، والتباين المباشر والعكسي. لا تتضمن معايير الصف الثامن هذه. أقوم بتدريس فصل الرياضيات للصف الثامن وكذلك الجبر في المدرسة الثانوية لطلاب الصف الثامن.

أنا موافق جزئياً فقط. عادةً ما أعتبر أن Core Core 8 يتماشى مع النصف الأول من الجبر I. لذا فإن التحليل إلى العوامل التربيعية هي موضوعات الجبر 1B التي لا تظهر في النواة المشتركة 8. نصوص ، لكن العديد من مدرسي المدارس الثانوية يحتفظون بها لنهاية العام ويتخطون هذه الموضوعات في النهاية. منذ أن صرح Garelick أنه يُدرس مادة الجبر الثامن I ، أتساءل عما إذا كان يعلم هذه الموضوعات ، وإذا كان يعلم ، ما هو الحرف الذي يكتسبه طلابه في الصف الثامن في الاختبارات. (بالنسبة للاختلاف المباشر ، يعالج Garelick هذا لاحقًا في منشوره.)

لاحظ أيضًا أن Boaler لم يدعي أبدًا أن Common Core Math 8 أكثر صرامة من الجبر 1. إنها تعني أن Common Core Math 8 أكثر صرامة من الرياضيات 8 قبل الأساسية في معظم الولايات (بخلاف كاليفورنيا) التي لا تساوي الرياضيات 8 الجبر 1 تعتبر الرياضيات الأساسية المشتركة 8 أكثر صرامة من الرياضيات غير الأساسية 8 في ذلك بعض (ليس كل) تمت إضافة محتوى الجبر 1. لكن من السهل أن تشعر بالارتباك لأن هذا مقال في صحيفة كالي عن منطقة كالي ، ولذا تعتقد Garelick أنها تحاول مقارنة Common Core Math 8 مع Cali pre-Core Math 8 (= Algebra I).

يقارن Garelick الرياضيات الأساسية المشتركة بنص Dolciani المفضل لديه منذ 50 عامًا:

أكمل بحرية مع كتاب ما قبل الجبر من تأليف Dolciani كتب في 70 & # 8217s ومواد أخرى. إن التركيز على النسبة والنسبة في الصفين السابع والثامن مستمد إلى حد ما ويمكن إجراؤه بشكل أكثر إيجازًا ، بدلاً من العزف على ما هو الاختلاف المباشر والعلاقة النسبية.تقدم دورات الجبر 1 التقليدية تباينًا مباشرًا بطريقة أكثر قابلية للفهم ، بدلاً من تقنية & # 8220 الالتفاف حول الأدغال & # 8221 التي تحدد العلاقات مثل وظائف الخط المستقيم التي تمر عبر الأصل ، والتي يساوي ميلها & # 8220 ثابت التباين التناسب / # 8221.

تذكر أنني وجدت نسخة من نص Dolciani 1970 في بيع كتب مكتبة. لكن لم أجد أي ذكر للاختلاف المباشر في النص. (يُطلق على النص الخاص بي اسم "الدورة التدريبية 2" - أظن أن Garelick يستخدم بالفعل "الدورة التدريبية 3" في فصله الدراسي.)

ألقي نظرة على نصي الآخر من حقبة الستينيات ، هندسة مويس ، ولاحظت هذا في المقدمة:

"في السنوات الأخيرة ، كان هناك نقاش مستفيض حول محتوى دورة الهندسة التي تدرس عادة في الصف العاشر."

بالنسبة إلى مويس ، فإن الهندسة هي دورة في السنة الثانية ، ولكن بالنسبة إلى التقليديين الذين يفضلون نصوصًا من عصره ، فإن الهندسة هي دورة للطلاب الجدد. فكرة أن طلاب الصف الثامن يجب أن يكونوا في الجبر 1 أو كبار السن في حساب التفاضل والتكامل هي فكرة حديثة إلى حد ما. لم يخطر ببال Moise و Dolciani وغيرهما من مؤلفي الكتب المدرسية في الستينيات والسبعينيات من القرن الماضي أنه يجب تدريس حساب التفاضل والتكامل في المدرسة الثانوية.

لكن الهدف الحقيقي من حذف سان فرانسيسكو & # 8217s للجبر في الصف الثامن هو سد فجوة التحصيل كما يتضح من الفقرة الأخيرة في المقالة.

لا يرغب التقليديون في سد فجوة الإنجاز - بدلاً من ذلك ، يفضلون التتبع ، وهو عكس ذلك تمامًا. إذا كان معظم الطلاب في الصف الثامن من Algebra I من Garelick أو فصل AP Calculus أعضاء في مجموعات مميزة (مع "امتياز" كما هو محدد بواسطة Eugenia Cheng) ، فليكن.

يعود SteveH للتعليق في هذا الموضوع:

ستيف ح:
مذهل. لماذا لا تستبعد المجموعات المستوية في K-6 التي يستخدمونها في التعليم المتباين؟ لم يكن كل شيء & # 8217t أي معنى بالنسبة للمراقب العادي. لدى CCSS منحدر لا يؤدي إلى أي علاج في الجبر الجامعي & # 8211 يقولون هذا! & # 8211 لكن جو بوالر ، وآخرون. يدعي أنه من الطبيعي تغيير ذلك المنحدر بطريقة سحرية في المدرسة الثانوية للوصول إلى حساب التفاضل والتكامل ، وهو مستوى صعب حتى بالنسبة لأولئك الذين يحصلون على الجبر في الصف الثامن.

تذكر أن Boaler كتبت مقدمة كتاب Number Talks ، لذلك أفترض أنها تدعم الأساليب المستخدمة في هذا الكتاب. إحدى مؤلفيها ، كاثي همفريز ، تذكر بالفعل حساب التفاضل والتكامل في كتابها (في الفصل الخاص بالكسور). اسمحوا لي أن أقدم السياق الكامل:

"ذات يوم ، بينما كانت كاثي تعمل مع تلاميذ الصف السادس لمساعدتهم على إيجاد طرق مختلفة لمقارنة الكسور ، كان الفصل سلبًا بشكل غير عادي - وشبه متجهم. أخيرًا توقفت وسألت عما هو الخطأ. بعد دقيقة أو نحو ذلك ، تحدث أنتوني. ، وعلى الرغم من أنه كان منذ بضع سنوات ، إلا أن كلماته لا تزال محفورة في ذهنها: "السيدة همفريز ، لدينا كسور في الصف الثالث والصف الرابع والصف الخامس. لم نحصل عليها بعد ذلك ، ونحن لا نفعل ذلك" لن نحصل عليهم الآن - ولا نريد أن نفعلهم بعد الآن! " عدم القدرة على "الحصول" على الكسور جعل أنتوني يشعر بالفشل - ومن يريد العمل على أشياء تجعلنا نشعر بذلك؟

"ولكن للنجاح في المدرسة الثانوية ، لا يوجد تجنب الكسور. الطلاب الذين يتعلمون بنجاح مفاهيم معقدة في الجبر وعلم المثلثات وحساب التفاضل والتكامل يمكن أن يصابوا بالارتباك بسبب كسر في منتصف المعادلة."

لاحظ أن أنتوني ، طالب الصف السادس ، لا يريد عمل الكسور. يفضل ترك مشكلة فارغة بدلاً من الإجابة على السؤال رقم 1 إذا كانت تحتوي على كسر.

نحن نعلم الحل الذي ستوصي به كاثي همفريز وجو بوالر - ابدأ في إجراء محادثات الأرقام على الكسور. ولكن بالنسبة إلى Garelick و SteveH وغيرهما من التقليديين ، فإن أي شيء بخلاف الرياضيات التقليدية من شأنه أن يمنع أنتوني من الوصول إلى AP Calc.

حسنًا ، إذن ، أود أن أرى ما سيفعله التقليديون مع طالب مثل أنتوني. يوضح أنه لا يريد عمل الكسور ، لذا افترض أنه سيرفض الإجابة على السؤال رقم 1 في مجموعة p تقليدية مع الكسور. هيا ، أيها التقليديون ، أظهروا لنا سحرك!

يسمى الدرس 5-2 من نص U لشيكاغو "أنواع الأشكال الرباعية". في النسخة الثالثة الحديثة من النص ، تظهر الأشكال الرباعية في الدرس 6-4.

هذا ما كتبته قبل عامين عن درس اليوم:

يغطي الدرس 5-2 من نص U لشيكاغو الأنواع المختلفة من الأشكال الرباعية. لا توجد نظريات في هذا القسم ، ولكن مجرد تعريفات. يعتبر مفهوم التعريف مهمًا لدراسة الهندسة ، ولا يوجد أي درس حتى الآن في التعريفات أكثر بروزًا مما ورد في هذا الدرس.

يبدأ الدرس بالتعريف متوازي الاضلاع , معين , مستطيل ، و مربع . لا حرج في أي من هذه التعريفات. ولكن بعد ذلك نصل إلى تعريف مثير للجدل - تعريف شبه منحرف :

تعريف:
الرباعي هو شبه منحرف إذا وفقط إذا كان كذلك على الأقل زوج واحد من الجوانب المتوازية.
(التركيز لي)

تمامًا كما هو الحال مع تعريف موازى مرة أخرى في الدرس 1-7 ، لدينا كلمتان إضافيتان تميزان هذا عن التعريف التقليدي لـ شبه منحرف -- "على الأقل." في الكتب المدرسية الأخرى ، لا يوجد متوازي أضلاع هو شبه منحرف ، ولكن في نص U من شيكاغو ، كل متوازي الأضلاع هو شبه منحرف!

لفهم ما يحدث هنا ، دعنا نعود إلى أول مقياس جغرافي الذي حدد بعض المصطلحات في التسلسل الهرمي الرباعي - بالطبع ، أنا أتحدث عن إقليدس:

من الأشكال الرباعية ، أ مربع هو ما هو متساوي الأضلاع وزاوية قائمة مستطيل ما هو قائم الزاوية ولكن ليس متساوي الأضلاع أ معين ما هو متساوي الأضلاع ولكن ليس قائم الزاوية و أ المعين الذي له جوانب وزوايا متقابلة متساوية مع بعضها البعض ولكنها ليست متساوية الأضلاع ولا زاوية قائمة. وليتم استدعاء الأشكال الرباعية غير هذه أرجوحة.

بالطبع ، المصطلح الحديث لـ "مستطيل" هو مستطيل ، و "المعين" أصبح الآن a متوازي الاضلاع . كلمة "شبه منحرف" هي في الواقع صيغة جمع "شبه منحرف". في اللغة الإنجليزية البريطانية ، "شبه المنحرف" هو ما نطلق عليه نحن الأمريكيين شبه منحرف ، ولكن بالنسبة لإقليدس ، فإن أي رباعي الأضلاع ليس متوازي أضلاع (أو أسفله في التسلسل الهرمي الرباعي) هو "شبه منحرف". لكن الجزء المهم هنا هو أنه بالنسبة لإقليدس ، فإن المربع ، على سبيل المثال ، ليس مستطيلًا (مستطيلًا) ولا معينًا. يتأكد من أن المستطيل (المستطيل) "ليس متساوي الأضلاع" ، وأن المعين "ليس بزاوية قائمة". وبالطبع ، ليس المستطيل ولا المعين متوازي أضلاع (معين الشكل).

وتسمى هذه التعريفات "الحصرية". بالنسبة لإقليدس ، لم يكن هناك تسلسل هرمي رباعي - كل فئة من الأشكال الرباعية كانت منفصلة عن الفئات الأخرى. ولكن منذ أيام إقليدس ، أضاف المزيد والمزيد من النصوص الهندسية ببطء تعريفات أكثر "شمولية".

أحد التعريفات الشاملة الأولى التي رأيتها كان تعريف مستطيل . تم ذكره في حلقة من قناة Square One TV ، عندما كان من المفترض أن تأكل شخصية محاكاة ساخرة بكمن يُدعى ماثمان مستطيلات ، ثم أكل مربعًا لأن "كل مربع هو مستطيل". أود تقديم رابط YouTube ، لكنني لم أجد الرابط منذ سنوات ولم يظهر في البحث. (أتذكر حتى أن شخصًا ما نشر في التعليقات كما هو الحال بالنسبة لي ، أول لقاء له للتعريف الشامل لـ مستطيل كان من خلال مشاهدة هذا المقطع عندما تم بثه لأول مرة منذ سنوات عديدة!)

لكن العديد من أفراد عائلتي كانوا أيضًا مدرسين ، وأعطاني أحد الأقارب كتابًا قديمًا لا يزال يذكر بعض التعريفات الحصرية. على وجه الخصوص ، أعلن أن المربع ليس معينًا. بعد ذلك بقليل ، قام معلم الصف الخامس الخاص بي بتدريس التعريف الشامل لـ معين . ثم أوضحت أن المربع ليس معينًا ، ثم أحضرت بالفعل النص القديم إلى المدرسة لإثبات ذلك! أجابت: "واو!" ولكن بعد ذلك ، إذا تذكرت بشكل صحيح ، أخبرني أن هذا التعريف قديم ، وأنه وفقًا للتعريف الجديد ، فإن المربع هو معين. وهكذا تصنف جميع النصوص الحديثة المربع على أنه مستطيل ومعين ، وأن كل هذه تعتبر متوازي أضلاع.

لذلك نرى أن هناك ميلًا لأن تصبح التعريفات أكثر شمولاً مع مرور الوقت. (نرى هذا يحدث في السياسة أيضًا - على سبيل المثال ، تعريف زواج . لكني استطرد.) وهكذا نرى أن الخطوة الطبيعية التالية هي اعتبار متوازي الأضلاع شبه منحرف.

أحد المناصرين الأوائل الذين رأيتهم لتعريف شامل لـ شبه منحرف هو عالم الرياضيات الشهير في جامعة برنستون جون هـ. كونواي. اشتهر باختراعه لعبة الحياة الرياضية ، التي لها موقعها على الإنترنت:

لكن كونواي متخصص أيضًا في مجالات الرياضيات الأخرى ، مثل الهندسة ونظرية المجموعة (والتي هي ، في بعض النواحي ، دراسة التناظر). قبل اثني عشر عامًا ، نشر المعلومات التالية حول سبب تفضيله للتعريفات الشاملة:

ينشأ تفضيل التعريفات الحصرية ، كما أعتقد ، من
ما أسميه "الاستخدام الوصفي". بالطبع ، لا يمكن للمرء أن يصف
طاولة مربعة مثل "مستطيلة" ، لأن ذلك قد يستخدم بشكل عشوائي
على المدى الطويل لنقل معلومات أقل. لذلك في الاستخدامات الوصفية ،
هناك افتراض طبيعي بأن طاولة تسمى "مستطيلة"
لن يكون في الواقع مربعًا - بمعنى آخر ، افتراض طبيعي
أن المصطلحات ستستخدم حصريًا.

لكن الاستخدام الوصفي غير مهم للهندسة ، حيث أن
الشيء المهم حقًا هو حقيقة النظريات. هذا يعني أننا
يجب استخدام المصطلح "A" لتضمين "B" إذا كانت كل الهويات التي
عقد لجميع "A" سيحمل أيضًا جميع "B" (بالطريقة التي
تنطبق نظرية المنطقة شبه المنحرفة على جميع متوازي الأضلاع ، من أجل
نموذج).

قد تقلق بشأن اتساق التبديل إلى
الاستخدام الشامل بينما يستمر الآخرون في الاستخدام الحصري.
لكن لا يمكن أن يكون هناك انسجام مع الأشخاص غير المتسقين!
لقد رأيت العديد من كتب الهندسة التي تصنع التعاريف الحصرية ،
ولكن لا أحد منهم يمكنه استخدامها باستمرار لأكثر من عدد قليل
النظريات.

في الواقع ، دعا كونواي إلى اتخاذ خطوة واحدة للأمام وإلغاء شبه منحرف بالفعل وامتلاك شبه منحرف متساوي الساقين فقط في التسلسل الهرمي! بعد كل شيء ، لا يوجد الكثير الذي يمكن للمرء أن يقوله عن شبه منحرف ليس متساوي الساقين - فقط انظر إلى الدرس 5-5. هناك نظرية واحدة فقط مدرجة هناك حول شبه المنحرف العام - نظرية الزاوية شبه المنحرفة ، وهذه في الحقيقة مجرد نظرية عواقب الزاوية الداخلية من نفس الجانب والتي يمكن إثباتها دون الرجوع إلى شبه المنحرف على الإطلاق. تشير جميع النظريات الأخرى في الدرس إلى متساوي الساقين شبه منحرف. على وجه الخصوص ، تشير نظريات التناظر في الدرس إلى شبه المنحرف متساوي الساقين. (تذكر أن كونواي متخصص في نظرية المجموعة - والتي كما كتبت أعلاه هي دراسة تناظر .) أظن أن السبب الوحيد لوجود شبه منحرف عامة هو أنها أبسط شكل رباعي يمكن إعطاء صيغة المنطقة له.

هذا الآن استطراد آخر من Common Core Geometry ، لذلك سأقدم رابطًا آخر. لاحظ أنه هنا ، يقترح Conway أيضًا ملف سداسي الزوايا التسلسل الهرمي على أساس التناظر. هناك أيضًا تسلسل هرمي خماسي ، ولكن هناك ثلاثة أنواع فقط من الخماسيات - عامة ، متماثلة خطية ، ومنتظمة - تمامًا كما هو الحال بالنسبة للمثلثات. من الأسهل عمل أشكال بعدد زوجي من الأضلاع متماثلة.

مدافع آخر عن التعريفات الشاملة هو السيد تشيس ، مدرس الرياضيات في مدرسة ثانوية في ماريلاند. (ولا ، في مقال الأمس واليوم أشير إليهما مختلفين معلمي ماريلاند.) أرى أنه متحمس جدًا للتعريف الشامل لـ شبه منحرف أنه كرس ثلاث منشورات مدونة كاملة لسبب كرهه للتعريف الحصري لـ شبه منحرف :

أحد أسباب تشيس لاستخدام التعريفات الشاملة هو أنه يبسط البراهين:

عند إثبات أن الشكل الرباعي هو شبه منحرف ، يمكن للمرء أن يتوقف بعد إثبات أن ضلعين فقط متوازيان . ولكن مع باستثناء التعريف ، لإثبات أن الشكل الرباعي هو شبه منحرف ، يجب عليك إثبات أن الجانبين متوازيان وأن الجانبين الآخرين هما ليس موازى.

فيما يتعلق ببعض الآخرين الذين أحيل إليهم بانتظام ، يستخدم الدكتور وو التعريف الشامل:

"الشكل الرباعي مع زوج واحد على الأقل من الأضلاع المتقابلة المتوازية يسمى شبه منحرف. يسمى شبه المنحرف الذي يحتوي على زوجين من الأضلاع المتقابلة المتوازية متوازي الأضلاع."

بينما يستخدم الدكتور ميسون التعريف الحصري:

"شبه المنحرف بالتعريف رباعي مع واحد بالتحديد زوج من الجوانب المتوازية ".
(التركيز الدكتور م)

إذن ما هو التعريف الذي يجب أن أستخدمه شبه منحرف ؟ حسنًا ، هذه مدونة Common Core ، لذا فإن التعريف الذي تفضله Common Core يجب أن يكون له الأولوية على جميع التعريفات الأخرى. فيما يلي رابط إلى المعلومات التي ستظهر في تقييم نهاية العام لـ PARCC للهندسة:

وهناك في العمود الموجود أسفل "توضيحات" ، يقرأ:

ط) يُعرّف شبه المنحرف بأنه & # 8220A رباعي الأضلاع بزوج واحد على الأقل من الأضلاع المتوازية. & # 8221

وهذا يحسم الأمر بوضوح. يستخدم التقييم الأساسي المشترك لـ PARCC التعريف الشامل لـ شبه منحرف ، ومن واجبي في مدونة Common Core استخدام تعريف Common Core. بالطبع ، نلاحظ أن هذا هو التعريف الذي قدمه PARCC - لكن حتى الآن لم أر أي معلومات حول التعريف الذي يستخدمه Smarter Balanced. سيكون من المأساوي أن تستخدم PARCC تعريفًا واحدًا وأذكى متوازنًا الآخر. ولكن بما أنني لا أستطيع أن أقول أي شيء عن Smarter Balanced ، فسأستخدم التعريف الوحيد الذي هو معروف أن تكون في اختبار Core Common ، وهذا هو التعريف الشامل. حقيقة أن هذا التعريف مستخدم بالفعل من قبل U of Chicago هو تثليج على الكعكة.

هناك مشكلة واحدة مع التعريف الشامل لـ شبه منحرف ، وذلك عندما نحاول التعريف شبه منحرف متساوي الساقين . الكلمة متساوي الساقين يشير إلى أنه ، كما هو الحال في المثلث متساوي الساقين ، فإن شبه المنحرف متساوي الساقين له ضلعان متساويان - الأضلاع المتاخمة للقواعد (الموازية). لكن في متوازي الأضلاع ، حيث يمكن اعتبار أي من الضلعين المتقابلين القواعد - الأضلاع المجاورة لهاتين القاعدتين متساوية أيضًا. هذا من شأنه أن يجعل كل متوازي الأضلاع شبه منحرف متساوي الساقين. لكن هذا غير مرغوب فيه - فالشبه المنحرف متساوي الساقين له العديد من الخصائص التي تفتقر إليها متوازي الأضلاع بشكل عام. إن أقطار شبه المنحرف متساوي الساقين متساوية ، لكن تلك الموجودة في متوازي الأضلاع بشكل عام ليست كذلك. لكن قطري المستطيل متساويان. لذلك نود اعتبار المستطيلات ، وليس متوازي الأضلاع بشكل عام ، شبه منحرف متساوي الساقين.

[تحديث 2018: وفقًا لنص Moise القديم الذي ذكرته أعلاه ، فإن جميع متوازي الأضلاع هو شبه منحرف متساوي الساقين بينما لا توجد طائرة ورقية على شكل معين. وإلا فإن تعريفه لشبه المنحرف يطابق حرف U الخاص بشيكاغو.]

تم ذكر هذه المعضلة في التعليقات الموجودة على أحد روابط Chase. تمت الإشارة إلى أن هناك طريقتين للخروج من هذه الفوضى - يمكننا إما تعريف شبه منحرف متساوي الساقين من حيث التناظر ، كما يفعل كونواي ، أو يمكننا استخدام تعريف U الخاص بشيكاغو:

"شبه المنحرف هو متساوي الساقين إذا وفقط إذا كان له زوج من زوايا القاعدة متساوية في القياس."

البعض لا يحب هذا التعريف ، لأنه ينتهك النقاء اللغوي - الكلمة متساوي الساقين تأتي من اليونانية وتعني "الأرجل المتساوية" وليس "الزوايا المتساوية". ولكن كما اتضح ، فإنه ثمن ضئيل يجب دفعه لإنجاز التسلسل الهرمي الرباعي والنظريات الأخرى. وإلى جانب ذلك ، أي مقياس جغرافي يسمي مضلعًا ذا تسعة جوانب أ نوناجون يجب أن يصمت فقط بشأن النقاء اللغوي!

ملاحظة: قام السيد تشيس بعمل منشور واحد فقط في عام 2018. الأمر كله يتعلق باستخدام الهندسة الخالصة لإثبات الهويات في Trig.


الهندسة ، النمط الأساسي المشترك

هذا ما كتبته تيوني باباس في الصفحة 303 منها سحر الرياضيات:

"باستخدام مهارات التصور وتقنيات الطي الخاصة بك ، حدد طريقة لعمل قطع مستقيم واحد لفصل رقعة الشطرنج إلى مربعات 2 * 2 ، مثل هذا."

هذه هي الصفحة الثانية من القسم الفرعي "هوس رقعة الشطرنج". مرة أخرى ، تم حظر الصفحة الأولى من هذا القسم بحلول نهاية الأسبوع.

لكننا لسنا بحاجة إلى رؤية الصفحة الأولى - ولا الصور الموجودة على هذه الصفحة - من أجل فهم المشكلة. رقعة الداما قياسية 8 * 8 ، ويطلب منا طيها بحيث يقسمها قطع واحد إلى ستة عشر مربعًا 2 * 2. يصفه باباس بأنه "تفكيك رقعة الشطرنج بضربة واحدة."

كالعادة ، سوف أنشر الحل غدًا. هذه المشكلة ليست سهلة على الإطلاق - الطيات والقطع الذي يجب القيام به ذكي للغاية.

يسمى الدرس 5-2 من نص U لشيكاغو "أنواع الأشكال الرباعية". في النسخة الثالثة الحديثة من النص ، تظهر الأشكال الرباعية في الدرس 6-4.

هذا ما كتبته قبل عامين عن درس اليوم:

يغطي الدرس 5-2 من نص U لشيكاغو الأنواع المختلفة من الأشكال الرباعية. لا توجد نظريات في هذا القسم ، ولكن مجرد تعريفات. يعتبر مفهوم التعريف مهمًا لدراسة الهندسة ، ولا يوجد أي درس حتى الآن في التعريفات أكثر بروزًا مما ورد في هذا الدرس.

يبدأ الدرس بالتعريف متوازي الاضلاع , معين , مستطيل ، و مربع . لا حرج في أي من هذه التعريفات. ولكن بعد ذلك نصل إلى تعريف مثير للجدل - تعريف شبه منحرف :

تعريف:
الرباعي هو شبه منحرف إذا وفقط إذا كان كذلك على الأقل زوج واحد من الجوانب المتوازية.
(التركيز لي)

تمامًا كما هو الحال مع تعريف موازى مرة أخرى في الدرس 1-7 ، لدينا كلمتان إضافيتان تميزان هذا عن التعريف التقليدي لـ شبه منحرف -- "على الأقل." في الكتب المدرسية الأخرى ، لا يوجد متوازي أضلاع هو شبه منحرف ، ولكن في نص U من شيكاغو ، كل متوازي الأضلاع هو شبه منحرف!

لفهم ما يحدث هنا ، دعنا نعود إلى أول مقياس جغرافي الذي حدد بعض المصطلحات في التسلسل الهرمي الرباعي - بالطبع ، أنا أتحدث عن إقليدس:

من الأشكال الرباعية ، أ مربع هو ما هو متساوي الأضلاع وزاوية قائمة مستطيل ما هو قائم الزاوية ولكن ليس متساوي الأضلاع أ معين ما هو متساوي الأضلاع ولكن ليس قائم الزاوية و أ المعين الذي له جوانب وزوايا متقابلة متساوية مع بعضها البعض ولكنها ليست متساوية الأضلاع ولا زاوية قائمة. وليتم استدعاء الأشكال الرباعية غير هذه أرجوحة.

بالطبع ، المصطلح الحديث لـ "مستطيل" هو مستطيل ، و "المعين" أصبح الآن ملف متوازي الاضلاع . كلمة "شبه منحرف" هي في الواقع صيغة جمع "شبه منحرف". في اللغة الإنجليزية البريطانية ، "شبه المنحرف" هو ما نطلق عليه نحن الأمريكيين شبه منحرف ، ولكن بالنسبة لإقليدس ، فإن أي شكل رباعي ليس متوازي أضلاع (أو أسفله في التسلسل الهرمي الرباعي) هو "شبه منحرف". لكن الجزء المهم هنا هو أنه بالنسبة لإقليدس ، فإن المربع ، على سبيل المثال ، ليس مستطيلًا (مستطيلًا) ولا معينًا. يتأكد من أن المستطيل (المستطيل) "ليس متساوي الأضلاع" ، وأن المعين "ليس بزاوية قائمة". وبالطبع ، ليس المستطيل ولا المعين متوازي أضلاع (معيني).

وتسمى هذه التعريفات "الحصرية". بالنسبة لإقليدس ، لم يكن هناك تسلسل هرمي رباعي - كل فئة من الأشكال الرباعية كانت منفصلة عن الفئات الأخرى. ولكن منذ أيام إقليدس ، أضاف المزيد والمزيد من النصوص الهندسية ببطء تعريفات أكثر "شمولية".

أحد التعريفات الشاملة الأولى التي رأيتها كان تعريف مستطيل . تم ذكره في حلقة من قناة Square One TV ، عندما كان من المفترض أن تأكل شخصية محاكاة ساخرة بكمن يُدعى ماثمان مستطيلات ، ثم أكل مربعًا لأن "كل مربع هو مستطيل". أود تقديم رابط YouTube ، لكنني لم أجد الرابط منذ سنوات ولم يظهر في البحث. (أتذكر حتى أن شخصًا ما نشر في التعليقات كما هو الحال بالنسبة لي ، أول لقاء له للتعريف الشامل لـ مستطيل كان من خلال مشاهدة هذا المقطع عندما تم بثه لأول مرة منذ سنوات عديدة!)

لكن العديد من أفراد عائلتي كانوا أيضًا مدرسين ، وأعطاني أحد الأقارب كتابًا قديمًا لا يزال يذكر بعض التعريفات الحصرية. على وجه الخصوص ، أعلن أن المربع ليس معينًا. بعد ذلك بقليل ، قام معلم الصف الخامس الخاص بي بتدريس التعريف الشامل لـ معين . ثم أوضحت أن المربع ليس معينًا ، ثم أحضرت بالفعل النص القديم إلى المدرسة لإثبات ذلك! أجابت: "واو!" ولكن بعد ذلك ، إذا تذكرت بشكل صحيح ، أخبرني أن هذا التعريف قديم ، وأنه وفقًا للتعريف الجديد ، فإن المربع هو معين. وهكذا تصنف جميع النصوص الحديثة المربع على أنه مستطيل ومعين ، وأن كل هذه تعتبر متوازي أضلاع.

لذلك نرى أن هناك ميلًا لأن تصبح التعريفات أكثر شمولاً مع مرور الوقت. (نرى هذا يحدث في السياسة أيضًا - على سبيل المثال ، تعريف زواج . لكني استطرد.) وهكذا نرى أن الخطوة الطبيعية التالية هي اعتبار متوازي الأضلاع شبه منحرف.

أحد المناصرين الأوائل الذين رأيتهم لتعريف شامل لـ شبه منحرف هو عالم الرياضيات الشهير في جامعة برنستون جون هـ. كونواي. اشتهر باختراعه لعبة الحياة الرياضية ، التي لها موقعها على الإنترنت:

لكن كونواي متخصص أيضًا في مجالات الرياضيات الأخرى ، مثل الهندسة ونظرية المجموعة (والتي هي ، في بعض النواحي ، دراسة التناظر). قبل اثني عشر عامًا ، نشر المعلومات التالية حول سبب تفضيله للتعريفات الشاملة:

ينشأ تفضيل التعريفات الحصرية ، كما أعتقد ، من
ما أسميه "الاستخدام الوصفي". بالطبع ، لا يمكن للمرء أن يصف
طاولة مربعة مثل "مستطيلة" ، لأن ذلك قد يستخدم بشكل عشوائي
على المدى الطويل لنقل معلومات أقل. لذلك في الاستخدامات الوصفية ،
هناك افتراض طبيعي بأن طاولة تسمى "مستطيلة"
لن يكون في الواقع مربعًا - بمعنى آخر ، افتراض طبيعي
أن المصطلحات ستستخدم حصريًا.

لكن الاستخدام الوصفي غير مهم للهندسة ، حيث أن
الشيء المهم حقًا هو حقيقة النظريات. هذا يعني أننا
يجب استخدام المصطلح "A" لتضمين "B" إذا كانت كل الهويات التي
عقد لجميع "A" سيحمل أيضًا جميع "B" (بالطريقة التي
تنطبق نظرية المنطقة شبه المنحرفة على جميع متوازي الأضلاع ، من أجل
نموذج).

قد تقلق بشأن اتساق التبديل إلى
الاستخدام الشامل بينما يستمر الآخرون في الاستخدام الحصري.
لكن لا يمكن أن يكون هناك انسجام مع الأشخاص غير المتسقين!
لقد رأيت العديد من كتب الهندسة التي تصنع التعاريف الحصرية ،
ولكن لا أحد منهم يمكنه استخدامها باستمرار لأكثر من عدد قليل
النظريات.

في الواقع ، دعا كونواي إلى اتخاذ خطوة واحدة للأمام وإلغاء شبه منحرف بالفعل وامتلاك شبه منحرف متساوي الساقين فقط في التسلسل الهرمي! بعد كل شيء ، لا يوجد الكثير الذي يمكن للمرء أن يقوله عن شبه منحرف ليس متساوي الساقين - فقط انظر إلى الدرس 5-5. هناك نظرية واحدة فقط مدرجة هناك حول شبه المنحرف العام - نظرية الزاوية شبه المنحرفة ، وهذه في الحقيقة مجرد نظرية عواقب الزاوية الداخلية من نفس الجانب والتي يمكن إثباتها دون الرجوع إلى شبه المنحرف على الإطلاق. تشير جميع النظريات الأخرى في الدرس إلى متساوي الساقين شبه منحرف. على وجه الخصوص ، تشير نظريات التناظر في الدرس إلى شبه المنحرف متساوي الساقين. (تذكر أن كونواي متخصص في نظرية المجموعة - والتي كما كتبت أعلاه هي دراسة تناظر .) أظن أن السبب الوحيد لوجود شبه منحرف عامة هو أنها أبسط شكل رباعي يمكن إعطاء صيغة المنطقة له.

هذا الآن استطراد آخر من Common Core Geometry ، لذلك سأقدم رابطًا آخر. لاحظ أنه هنا ، يقترح Conway أيضًا ملف سداسي الزوايا التسلسل الهرمي على أساس التناظر. هناك أيضًا تسلسل هرمي خماسي ، ولكن هناك ثلاثة أنواع فقط من الخماسيات - عامة ، متماثلة خطية ، ومنتظمة - تمامًا كما هو الحال بالنسبة للمثلثات. من الأسهل عمل أشكال بعدد زوجي من الأضلاع متماثلة.

مدافع آخر عن التعريفات الشاملة هو السيد تشيس ، مدرس الرياضيات في مدرسة ثانوية في ماريلاند. (ولا ، في مقال الأمس واليوم أشير إليهما مختلفينمعلمي ماريلاند.) أرى أنه متحمس جدًا للتعريف الشامل لـ شبه منحرف أنه كرس ثلاث منشورات مدونة كاملة لسبب كرهه للتعريف الحصري لـ شبه منحرف :

أحد أسباب تشيس لاستخدام التعريفات الشاملة هو أنه يبسط البراهين:

عند إثبات أن الشكل الرباعي هو شبه منحرف ، يمكن للمرء أن يتوقف بعد إثبات أن ضلعين فقط متوازيان . ولكن مع باستثناء التعريف ، لإثبات أن الشكل الرباعي هو شبه منحرف ، يجب عليك إثبات أن الجانبين متوازيان وأن الجانبين الآخرين هما ليس موازى.

فيما يتعلق ببعض الآخرين الذين أحيل إليهم بانتظام ، يستخدم الدكتور وو التعريف الشامل:

"الشكل الرباعي مع زوج واحد على الأقل من الأضلاع المتقابلة المتوازية يسمى شبه منحرف. يسمى شبه المنحرف الذي يحتوي على زوجين من الأضلاع المتقابلة المتوازية متوازي الأضلاع."

بينما يستخدم الدكتور ميسون التعريف الحصري:

"شبه المنحرف بالتعريف رباعي مع واحد بالتحديد زوج من الجوانب المتوازية ".
(التركيز الدكتور م)

إذن ما هو التعريف الذي يجب أن أستخدمه شبه منحرف ؟ حسنًا ، هذه مدونة Common Core ، لذا فإن التعريف الذي تفضله Common Core يجب أن يكون له الأولوية على جميع التعريفات الأخرى. فيما يلي رابط إلى المعلومات التي ستظهر في تقييم نهاية العام لـ PARCC للهندسة:

وهناك في العمود الموجود أسفل "توضيحات" ، يقرأ:

ط) يُعرّف شبه المنحرف بأنه & # 8220A رباعي الأضلاع بزوج واحد على الأقل من الأضلاع المتوازية. & # 8221

وهذا يحسم الأمر بوضوح. يستخدم التقييم الأساسي المشترك لـ PARCC التعريف الشامل لـ شبه منحرف ، ومن واجبي في مدونة Common Core استخدام تعريف Common Core. بالطبع ، نلاحظ أن هذا هو التعريف الذي قدمه PARCC - لكن حتى الآن لم أر أي معلومات حول التعريف الذي يستخدمه Smarter Balanced. سيكون من المأساوي أن تستخدم PARCC تعريفًا واحدًا وأذكى متوازنًا الآخر. ولكن بما أنني لا أستطيع أن أقول أي شيء عن Smarter Balanced ، فسأستخدم التعريف الوحيد الذي هو معروف أن تكون في اختبار Core Common ، وهذا هو التعريف الشامل. حقيقة أن هذا التعريف مستخدم بالفعل من قبل U of Chicago هو تثليج على الكعكة.

هناك مشكلة واحدة مع التعريف الشامل لـ شبه منحرف ، وذلك عندما نحاول التعريف شبه منحرف متساوي الساقين . الكلمة متساوي الساقين يشير إلى أنه ، كما هو الحال في المثلث متساوي الساقين ، فإن شبه المنحرف متساوي الساقين له ضلعان متساويان - الأضلاع المتاخمة للقواعد (الموازية). لكن في متوازي الأضلاع ، حيث يمكن اعتبار أي من الضلعين المتقابلين القواعد - الأضلاع المجاورة لهاتين القاعدتين متساوية أيضًا. هذا من شأنه أن يجعل كل متوازي الأضلاع شبه منحرف متساوي الساقين. لكن هذا غير مرغوب فيه - فالشبه المنحرف متساوي الساقين له العديد من الخصائص التي تفتقر إليها متوازي الأضلاع بشكل عام. إن أقطار شبه المنحرف متساوي الساقين متساوية ، لكن تلك الموجودة في متوازي الأضلاع بشكل عام ليست كذلك. لكن قطري المستطيل متساويان. لذلك نود اعتبار المستطيلات ، وليس متوازي الأضلاع بشكل عام ، شبه منحرف متساوي الساقين.

تم ذكر هذه المعضلة في التعليقات الموجودة على أحد روابط Chase. تمت الإشارة إلى أن هناك طريقتين للخروج من هذه الفوضى - يمكننا إما تعريف شبه منحرف متساوي الساقين من حيث التناظر ، كما يفعل كونواي ، أو يمكننا استخدام تعريف U الخاص بشيكاغو:

"شبه المنحرف هو متساوي الساقين إذا وفقط إذا كان له زوج من زوايا القاعدة متساوية في القياس."

البعض لا يحب هذا التعريف ، لأنه ينتهك النقاء اللغوي - الكلمة متساوي الساقين تأتي من اليونانية وتعني "الأرجل المتساوية" وليس "الزوايا المتساوية". ولكن كما اتضح ، فإنه ثمن ضئيل يجب دفعه لإنجاز التسلسل الهرمي الرباعي والنظريات الأخرى. وإلى جانب ذلك ، أي مقياس جغرافي يسمي مضلعًا ذا تسعة جوانب أ نوناجون يجب أن يصمت فقط بشأن النقاء اللغوي!

بالمناسبة ، عاد السيد تشيس للنشر في عام 2017 ، على الأقل في يناير وحتى أبريل. وكانت أحدث منشوراته حول المهرجان الوطني للرياضيات الذي يعقد كل عامين ، والذي عقد في واشنطن العاصمة.


9.7: استخدام خصائص المستطيلات والمثلثات وشبه المنحرف (الجزء 2) - الرياضيات

أقدم خصائص شبه منحرف ونظرية الجزء الأوسط
أمثلة في 3:56 7:54 13:20

فهرس المقرر

  1. خطوط ومستويات النقاط في الهندسة
  2. المزيد من المسلمات والنظريات النقاط والخطوط والمستويات
  3. قطعة ، شعاع ، مسافة على خط الأعداد
  4. مقدمة في الزوايا
  5. أزواج زاوية خاصة
  6. جزء وزاوية الإنشاءات الأساسية
  7. إنشاءات منصف الزوايا والمقطع
  8. صيغة المسافة ونظرية فيثاغورس
  9. صيغة نقطة المنتصف
  10. محيط منطقة الطائرة
  11. مساحة منطقة الطائرة
  12. الاستدلال الاستنتاجي إذا ثم العبارات
  13. مقدمة إلى 2 من إثباتات هندسة العمود
  14. الزوايا المتطابقة
  15. الخطوط المتوازية وخطوط الانحراف ، الزوايا المتكونة من مستعرض
  16. خطوط متوازية وزوايا مستعرضة
  17. إثبات خطوط متوازية
  18. دليل الخطوط المتوازية والعمودية
  19. زوايا المثلثات والخطوط المتوازية
  20. خطوط الرسم البياني بصيغة الميل والتقاطع y = mx + b
  21. معادلات الخطوط والرسوم البيانية
  22. معدل التغيير معادلة ميل ونقطة انحدار الخطوط
  23. معادلات الخطوط المتوازية والعمودية
  24. المضلعات المتطابقة ونظرية الزاوية الثالثة
  25. المثلثات المتطابقة SSS SAS
  26. المثلثات المتطابقة ASA AAS
  27. نظريات عدم التطابق AAA SSA
  28. الأجزاء المقابلة لـ CPCTC من المثلثات المتطابقة متطابقة
  29. خصائص متساوية الساقين ومثلث متساوي الأضلاع
  30. مثلث متساوي الأضلاع / مثلث متساوي الزوايا
  31. المثلثات اليمنى المتطابقة HL Hypotenuse Leg Theorem
  32. نظرية المثلث الأوسط
  33. إثبات نظرية الجزء الأوسط
  34. نظرية المنصف العمودي
  35. نظرية منصف الزاوية
  36. المثلث المنصفات العمودية والختان
  37. منصف زاوية المثلث و Incenter
  38. متوسطات مثلثات و Centroid
  39. ارتفاعات المثلثات و Orthocenter
  40. نظرية المثلث عدم المساواة
  41. المتباينات نظرية المفصلة 2 مثلثات
  42. نظريات مجموع زاوية المضلع
  43. خصائص متوازي الأضلاع
  44. إثبات الأشكال الرباعية متوازية الأضلاع
  45. المعين والمستطيلات والمربعات
  46. المزيد من الأمثلة المعين والمستطيل
  47. خصائص شبه المنحرفين ونظرية الجزء المتوسط
  48. خصائص الطائرات الورقية
  49. المضلعات في المستوى الإحداثي
  50. النسب والنسب
  51. النسب والمضلعات المتشابهة / الأشكال المتشابهة
  52. مثلثات الإثبات مماثلة لـ AA SAS SSS
  53. التشابه في المثلثات القائمة
  54. نسب نظرية الفاصل الجانبي في المثلثات
  55. النسب في منصف زاوية المثلثات
  56. نظرية فيثاغورس
  57. نظرية فيثاغورس كونفرس وثلاثية
  58. مثلثات قائمة خاصة 45-45-90 30-60-90
  59. حساب المثلثات القائم الزاوية الجزء 1: إيجاد الجوانب المفقودة
  60. حساب المثلثات القائم الزاوية الجزء 2: حل الزوايا الحادة
  61. زاوية الارتفاع والانخفاض مثلث قائم الزاوية
  62. مساحة متوازيات الأضلاع والمثلثات
  63. منطقة طائرة ورقية شبه منحرف المعين
  64. منطقة مقدمة المضلع المنتظم مع أمثلة السداسي
  65. منطقة المضلعات المنتظمة مع حساب المثلثات
  66. نسب محيط ومساحة أرقام متشابهة
  67. مقدمة الدائرة وطول القوس
  68. منطقة القطاع والجزء في الدوائر
  69. منطقة المقطع في الدوائر طرق أسرع
  70. طول الاحتمالات الهندسية
  71. منطقة الاحتمالات الهندسية
  72. مساحة سطح المنشور الأيمن
  73. مساحة سطح الاسطوانة
  74. أمثلة على مساحة سطح الهرم العادي غير المثلثية
  75. مساحة سطح الهرم مع حساب المثلثات
  76. مساحة سطح المخروط
  77. حجم المنشور وحجم الاسطوانة
  78. حجم الهرم 3 أمثلة
  79. حجم المخروط 3 أمثلة
  80. مساحة سطح الكرة وحجم الكرة
  81. خطوط الظل إلى الدوائر
  82. بالنظر إلى خط الظل والدائرة ، أوجد نقطة التماس
  83. أقواس الحبال والأقطار في الدائرة
  84. الزوايا المحيطية في الدوائر وخطوط الظل
  85. الزوايا في الدوائر الأوتار القاطعة المماسية والأقواس
  86. أطوال المقطع في الدوائر مع الأوتار والقطع والمظللات

وصف الدورة التدريبية

في هذه السلسلة ، يقوم مدرس الرياضيات المفيد والممتع السيد تارو بتعليم الطلاب دورة كاملة عن الهندسة من البداية إلى النهاية. مقاطع الفيديو الخاصة به ودودة وسهلة الفهم ومسلية ومنظمة بشكل جيد للغاية ، كل ذلك بفضل السيد تارو التفاني الكبير في التدريس والرياضيات


تركز هذه المجموعة من التحديات الهندسية على إنشاء مجموعة متنوعة من المضلعات أثناء قيام الطلاب بحل مشكلة والتفكير أثناء تعلمهم البرمجة باستخدام برنامج تشفير الكتلة. سيحتاج الطالب إلى استخدام معرفته بسمات المضلعات والمبادئ الرياضية للهندسة لإنجاز التحديات المحددة. تبدأ التحديات بشكل بسيط إلى حد ما وتنتقل إلى مواقف أكثر تعقيدًا حيث يمكن للطلاب استكشافها بالسرعة التي تناسبهم أو العمل كفريق. تتشابك معايير علوم الكمبيوتر بسلاسة مع معايير الرياضيات مع توفير "Step it up!" و "القفز فوق!" فرص زيادة الصرامة.

في هذا الدرس ، سيستخدم الطلاب الأشكال الرباعية والمثلثات القائمة على المعايير لتصميم برج الأفعوانية. سيستخدم الطلاب عملية التصميم الهندسي للعمل من خلال العمليات في هذا الدرس.

في هذا الدرس ، سوف يتدرب الطلاب على تصنيف وتسمية الأشكال الرباعية. سيقوم الطلاب بتدوين الملاحظات واستخدام الملاحظات لإكمال مخطط فين رباعي الأضلاع. سيُطلب من الطلاب تسمية وتصنيف الأشكال الرباعية باستخدام جميع الأسماء القابلة للتطبيق.

"أين توجد الأشكال الرباعية في فين؟"هو نشاط يساعد الطالب على تطوير فهم أفضل لتصنيف الأشكال ثنائية الأبعاد في تسلسل هرمي يعتمد على الخصائص.

خلال هذا النشاط ، سيقرأ الطلاب كتابًا عن جسر بروكلين. بعد مناقشة الفصل بأكمله ، سيستكشف الأطفال أنواعًا مختلفة من الجسور والبيانات ، من أجل فك شفرة أي جسر هو الأقوى. سيعمل الطلاب بشكل تعاوني في مجموعات مع تعيين الأدوار للطلاب. سوف يستخدم الطلاب التفكير العالي لإيجاد حل. النشاط المتوج هو عرض تقديمي للحل للصف بأكمله.

سيقوم الطلاب ببناء العديد من الأشكال متعددة الوجوه البسيطة ، ثم عد عدد الوجوه والحواف والرؤوس. يجب أن تشير هذه البيانات إلى صيغة أويلر.

سيشارك الطالب في عمل طائرة ورقية أثناء اكتشاف سمات المثلثات المختلفة سيتعلم الطلاب أوجه التشابه والاختلاف بين المثلثات التالية: Scene ، متساوي الساقين ، متساوي الأضلاع ، يمين ، منفرج ، وحاد.


خصائص المستطيلات ومتوازيات الأضلاع وشبه المنحرف

مقاطع فيديو وألعاب وأنشطة وأوراق عمل لمساعدة طلاب ACT على مراجعة خصائص المستطيلات ومتوازيات الأضلاع وشبه المنحرف. خصائص متوازيات الأضلاع الخاصة - المعين ، المستطيل ، المربع:
المربعات والمستطيلات هي أنواع خاصة من متوازي الأضلاع بخصائص خاصة. المربع هو نوع من متوازي الأضلاع متساوي الزوايا وتشتمل خصائص المربع على أقطار متطابقة وأقطار تقسم بعضها البعض. المستطيل هو نوع من الأشكال الرباعية المنتظمة. تشمل خصائص المستطيل (1) الأقطار المتطابقة ، (2) الأقطار المتعامدة التي تنصف بعضها البعض و (3) الأقطار التي تقسم كل زاوية من الزوايا.

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


شاهد الفيديو: المستوى الخامس الدرس 11 المعين و متوازي الاضلاع و شبه المنحرف المحيط و المساحة الجزء الاول (شهر اكتوبر 2021).