مقالات

10.1: إضافة وطرح كثيرات الحدود


مهارات التطوير

  • حدد كثيرات الحدود ، وحيدة الحدود ، وذات الحدين ، وثلاثية الحدود
  • حدد درجة كثيرات الحدود
  • جمع وطرح مونومال
  • جمع وطرح كثيرات الحدود
  • احسب كثير الحدود لقيمة معينة

كن مستعدا!

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. بسّط: 8x + 3x. إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 2.3.10.
  2. اطرح: (5n + 8) - (2n - 1). إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 7.4.13.
  3. التقييم: 4 سنوات2 عندما y = 5 إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع المثال 2.3.6.

تحديد كثيرات الحدود ، وحيدة ، ومثيلات ذات حدين ، وثلاثيات

في تقييم التعبيرات وتبسيطها وترجمتها ، تعلمت أن المصطلح ثابت أو منتج ثابت ومتغير واحد أو أكثر. عندما يكون من شكل الفأسم، حيث a ثابت و m عدد صحيح ، يطلق عليه monomial. يُطلق على المونومال ، أو مجموع و / أو فرق المونوميرات ، متعدد الحدود.

التعريف: كثيرات الحدود

متعدد الحدود - مونوميل ، أو اثنين أو أكثر من مونوميل ، مجتمعة عن طريق الجمع أو الطرح

أحادي - كثير حدود بمصطلح واحد بالضبط

ذات الحدين - كثيرة الحدود مع حدين بالضبط

ثلاثي الحدود - كثيرة الحدود بثلاثة حدود بالضبط

لاحظ الجذور:

  • بولي- يعني الكثير
  • كثرة الوحيدات- يعني واحد
  • ثنائية- يعني اثنين
  • ثلاثي- يعني ثلاثة

فيما يلي بعض الأمثلة على كثيرات الحدود:

متعدد الحدودب + 14 س2 - 7 سنوات + 25x5 - 4x4 + س3 + 8x2 - 9x + 1
أحادي54 ب2-9x3
ذات الحدين3 أ - 7ذ2 - 917 ضعفًا3 + 14 ضعفًا2
ثلاثي الحدودx2 - 5x + 64 س2 - 7 سنوات + 25 أ4 - 3 أ3 + أ

لاحظ أن كل أحادية وذات الحدين وثلاثية الحدود هي أيضًا كثيرة الحدود. هم أعضاء مميزون في عائلة كثيرات الحدود ولذلك لديهم أسماء خاصة. نحن نستخدم الكلمات "أحادية الحد" و "ذات الحدين" و "ثلاثي الحدود" عند الإشارة إلى كثيرات الحدود الخاصة ونطلق على الباقي "كثيرات الحدود".

مثال ( PageIndex {1} ):

حدد ما إذا كان كل كثير الحدود هو أحادي أو ذو حدين أو ثلاثي الحدود أو متعدد الحدود آخر: (أ) 8x2 - 7x - 9 (ب) −5a4 (ج) x4 - 7x3 - 6x2 + 5x + 2 (د) 11-4 ص3 (ه) ن

المحلول

متعدد الحدودعدد المصطلحاتاكتب
(أ) 8x2 - 7x - 93ثلاثي الحدود
(ب) −5 أ41أحادي
(ج) x4 - 7x3 - 6x2 + 5 س + 25متعدد الحدود
(د) 11-4 ص32ذات الحدين
(ه) ن1أحادي

تمرين ( PageIndex {1} ):

حدد ما إذا كان كل متعدد الحدود هو أحادي أو ذو حدين أو ثلاثي الحدود أو متعدد الحدود آخر. (أ) ض (ب) 2 س3 - 4x2 - x - 8 (ج) 6x2 - 4x + 1 (د) 9-4 ص2 (هـ) 3x7

الإجابة أ

أحادي

الجواب ب

متعدد الحدود

الجواب ج

ثلاثي الحدود

الجواب د

ذات الحدين

الجواب ه

أحادي

تمرين ( PageIndex {2} ):

حدد ما إذا كان كل متعدد الحدود هو أحادي أو ذو حدين أو ثلاثي الحدود أو متعدد الحدود آخر. (أ) ذ3 - 8 (ب) 9x3 - 5x2 - x (ج) x4 - 3x2 - 4x - 7 (د) −y4 (هـ) ث

الإجابة أ

ذات الحدين

الجواب ب

ثلاثي الحدود

الجواب ج

متعدد الحدود

الجواب د

أحادي

الجواب ه

أحادي

حدد درجة كثيرات الحدود

في هذا القسم ، سنعمل مع كثيرات الحدود التي لها متغير واحد فقط في كل مصطلح. يتم تحديد درجة كثير الحدود ودرجة شروطها بواسطة أسس المتغير.

المونومال الذي لا يحتوي على متغير ، مجرد ثابت ، هو حالة خاصة. درجة الثابت هي 0 - ليس لها متغير.

التعريف: درجة متعددة الحدود

درجة المصطلح هي الأس لمتغيره.

درجة الثابت هي 0.

درجة كثير الحدود هي أعلى درجة من جميع شروطها.

لنرى كيف يعمل هذا من خلال النظر إلى العديد من كثيرات الحدود. سنتخذ الأمر خطوة بخطوة ، بدءًا من المونومرات ، ثم ننتقل إلى كثيرات الحدود بمزيد من المصطلحات.

تذكر: أي أساس مكتوب بدون أس له أس ضمني 1.

مثال ( PageIndex {2} ):

أوجد درجة كثيرات الحدود التالية: (أ) 4x (ب) 3x3 - 5x + 7 (ج) −11 (د) −6x2 + 9 س - 3 (هـ) 8 س + 2

المحلول

(أ) 4x

أس x يساوي واحدًا. س = س1الدرجة 1.

(ب) 3x3 - 5x + 7

أعلى درجة من كل المصطلحات هي 3.الدرجة 3.

(ج) −11

درجة الثابت هي 0.الدرجة 0.

(د) −6x2 + 9 س - 3

أعلى درجة من كل المصطلحات هي 2.الدرجة 2.

(هـ) 8x + 2

أعلى درجة من كل المصطلحات هي 1.الدرجة 1.

تمرين ( PageIndex {3} ):

أوجد درجة كثيرات الحدود التالية: (أ) −6y (ب) 4x - 1 (ج) 3x4 + 4x2 - 8 (د) 2 س2 + 3y + 9 (هـ) −18

الإجابة أ

1

الجواب ب

1

الجواب ج

4

الجواب د

2

الجواب ه

0

تمرين ( PageIndex {4} ):

أوجد درجة كثيرات الحدود التالية: (أ) 47 (ب) 2 س2 - 8x + 2 (ج) x4 - 16 (د) ذ5 - 5 سنوات3 + ص (هـ) 9 أ3

الإجابة أ

0

الجواب ب

2

الجواب ج

4

الجواب د

5

الجواب ه

3

يكون العمل مع كثيرات الحدود أسهل عند سرد المصطلحات بترتيب تنازلي للدرجات. عندما تتم كتابة كثير الحدود بهذه الطريقة ، يُقال أنها في النموذج القياسي. انظر مرة أخرى إلى كثيرات الحدود في المثال 10.2. لاحظ أنها كلها مكتوبة في شكل قياسي. اعتد على كتابة المصطلح بأعلى درجة أولاً.

اجمع واطرح حدًا من الأعداد

في لغة الجبر ، قمت بتبسيط التعبيرات بدمج المصطلحات المتشابهة. إن جمع وطرح المونومر هو نفسه الجمع بين المصطلحات المتشابهة. يجب أن يكون للمصطلحات المتشابهة نفس المتغير بنفس الأس. تذكر أنه عند الجمع بين المصطلحات المتشابهة يتم فقط دمج المعاملات وليس الأسس.

مثال ( PageIndex {3} ):

إضافة: 17x2 + 6x2.

المحلول

تمرين ( PageIndex {5} ):

يضاف: 12x2 + 5x2.

إجابه

17 ضعفًا2

تمرين ( PageIndex {6} ):

أضف: −11y2 + 8 سنوات2.

إجابه

-3 ص2

مثال ( PageIndex {4} ):

اطرح: 11n - (−8n).

المحلول

تمرين ( PageIndex {7} ):

اطرح: 9n - (−5n).

إجابه

14 ن

التمرين ( PageIndex {8} ):

اطرح: −7a3 - (−5a3).

إجابه

-2 أ3

مثال ( PageIndex {5} ):

تبسيط: أ2 + 4 ب2 - 7 أ2.

المحلول

اجمع بين الشروط المتشابهة.−6a2 + 4 ب2

تذكر ، −6a2 و 4 ب2 ليست مثل الشروط. المتغيرات ليست هي نفسها.

التمرين ( PageIndex {9} ):

إضافة: 3x2 + 3 سنوات2 - 5x2.

إجابه

-2x2 + 3 سنوات2

التمرين ( PageIndex {10} ):

يضاف: 2 أ2 + ب2 - 4 أ2.

إجابه

-2 أ2 + ب2

اجمع واطرح كثيرات الحدود

يمكن اعتبار إضافة وطرح كثيرات الحدود على أنها مجرد إضافة وطرح مصطلحات متشابهة. ابحث عن المصطلحات المتشابهة - تلك التي لها نفس المتغيرات التي لها نفس الأس. تتيح لنا الخاصية التبادلية إعادة ترتيب المصطلحات لوضع المصطلحات المتشابهة معًا. قد يكون من المفيد أيضًا وضع خط تحت المصطلحات أو وضع دائرة عليها أو مربع مثلها.

مثال ( PageIndex {6} ):

أوجد المجموع: (4x2 - 5x + 1) + (3x2 - 8x - 9)

المحلول

التمرين ( PageIndex {11} ):

أوجد المجموع: (3x2 - 2 س + 8) + (س2 - 6x + 2).

إجابه

4x2 - 8x + 10

التمرين ( PageIndex {12} ):

أوجد المجموع: (7y2 + 4 سنوات - 6) + (4 سنوات2 +5 سنوات + 1)

إجابه

11 ص2 + 9 سنوات - 5

الأقواس هي رموز مجمعة. عندما نضيف كثيرات الحدود كما فعلنا في المثال 10.6 ، يمكننا إعادة كتابة التعبير بدون أقواس ثم تجميع الحدود المتشابهة. ولكن عندما نطرح كثيرات الحدود ، يجب أن نكون حريصين جدًا في التعامل مع الإشارات.

مثال ( PageIndex {7} ):

أوجد الفرق: (7u2 - 5u + 3) - (4u2 − 2).

المحلول

التمرين ( PageIndex {13} ):

أوجد الفرق: (6y2 + 3 سنوات - 1) - (3 سنوات2 − 4).

إجابه

3 س2 + 3 سنوات + 3

التمرين ( PageIndex {14} ):

أوجد الفرق: (8u2 - 7 ش - 2) - (5 ش2 - 6 ش - 4).

إجابه

3 ش2 - ش + 2

مثال ( PageIndex {8} ):

طرح: (م2 - 3 م + 8) من (9 م2 - 7 م + 4).

المحلول

التمرين ( PageIndex {15} ):

اطرح: (4n2 - 7n - 3) من (8n2 + 5 ن - 3).

إجابه

4 ن2 + 12 ن

التمرين ( PageIndex {16} ):

طرح: (أ2 - 4 أ - 9) من (6 أ2 + 4 أ - 1).

إجابه

5 أ2 +8 أ + 8

احسب كثير الحدود لقيمة معينة

في لغة الجبر قمنا بتقييم التعبيرات. نظرًا لأن كثيرات الحدود عبارة عن تعبيرات ، فسوف نتبع نفس الإجراءات لإيجاد كثيرات الحدود - نعوض بالقيمة المعطاة للمتغير في كثير الحدود ، ثم نبسط.

مثال ( PageIndex {9} ):

أوجد قيمة 3x 2 - 9x + 7 عندما (a) x = 3 (b) x = −1

المحلول

(أ) س = 3

عوّض 3 من أجل x.3(3)2 − 9(3) + 7
بسّط التعبير مع الأس.3 • 9 − 9(3) + 7
تتضاعف.27 − 27 + 7
تبسيط.7

(ب) س = -1

عوّض عن x ب -1.3(-1)2 − 9(-1) + 7
بسّط التعبير مع الأس.3 • 1 − 9(-1) + 7
تتضاعف.3 + 9 + 7
تبسيط.19

التمرين ( PageIndex {17} ):

التقييم: 2x2 + 4x - 3 عندما (أ) س = 2 (ب) س = −3

الإجابة أ

13

الجواب ب

3

التمرين ( PageIndex {18} ):

التقييم: 7 سنوات2 - ص - 2 عندما (أ) ص = −4 (ب) ص = 0

الإجابة أ

114

الجواب ب

-2

مثال ( PageIndex {10} ):

يعطي كثير الحدود −16t 2 + 300 ارتفاع الجسم t ثانية بعد إسقاطه من جسر ارتفاعه 300 قدم. أوجد الارتفاع بعد t = 3 ثوانٍ.

المحلول

البديل 3 لـ t.-16(3)2 + 300
بسّط التعبير مع الأس.-16 • 9 + 300
تتضاعف.-144 + 300
تبسيط.156

التمرين ( PageIndex {19} ):

كثير الحدود −8t2 + 24t + 4 تعطي ارتفاع الكرة بالقدم t ثانية بعد رميها في الهواء من ارتفاع مبدئي 4 أقدام. أوجد الارتفاع بعد t = 3 ثوانٍ.

إجابه

4 أقدام

التمرين ( PageIndex {20} ):

كثير الحدود −8t2 + 24t + 4 تعطي ارتفاع الكرة بالقدم × ثانية بعد رميها في الهواء ، من ارتفاع أولي يبلغ 4 أقدام. أوجد الارتفاع بعد t = 2 ثانية.

إجابه

20 قدم

مع التدريب يأتي الإتقان

تحديد كثيرات الحدود ، وحيدة ، ومثيلات ذات الحدين وثلاثيات

في التدريبات التالية ، حدد ما إذا كان كل من كثيرات الحدود هو أحادي أو ذو حدين أو ثلاثي الحدود أو متعدد الحدود آخر.

  1. 5x + 2
  2. ض2 - 5z - 6
  3. أ2 +9 أ + 18
  4. − 12 ص4
  5. ذ3 - 8 سنوات2 + 2 سنة - 16
  6. 10 - 9x
  7. 23 ص2
  8. م4 +4 م3 +6 م2 + 4 م + 1

حدد درجة كثيرات الحدود

في التدريبات التالية ، حدد درجة كل كثير الحدود.

  1. 8 أ5 - 2 أ3 + 1
  2. 5 ج3 + 11 ج2 - ج - 8
  3. 3x - 12
  4. 4 سنوات + 17
  5. −13
  6. −22

اجمع واطرح حدًا من الأعداد

في التدريبات التالية ، قم بإضافة أو طرح المونوميرات.

  1. 6x2 + 9x2
  2. 4 س3 + 6 سنوات3
  3. −12u + 4u
  4. −3 م + 9 م
  5. 5 أ + 7 ب
  6. 8 سنوات + 6 ز
  7. إضافة: 4 أ ، - 3 ب ، - 8 أ
  8. إضافة: 4x ، 3y ، - 3x
  9. 18x - 2x
  10. 13 أ - 3 أ
  11. اطرح 5x6 من - 12x6
  12. اطرح 2p4 من - 7 ص4

اجمع واطرح كثيرات الحدود

في التمارين التالية ، اجمع أو اطرح كثيرات الحدود.

  1. (4 سنوات2 + 10 سنوات + 3) + (8 سنوات2 - 6 سنوات + 5)
  2. (7x2 - 9x + 2) + (6x2 - 4x + 3)
  3. (x2 + 6 س + 8) + (-4 س2 +11 × - 9)
  4. 2 + 9y + 4) + (−2y2 - 5 سنوات - 1)
  5. (3 أ2 + 7) + (أ2 - 7 أ - 18)
  6. 2 - 5 ص - 11) + (3 ص2 + 9)
  7. (6 م2 - 9 م - 3) - (2 م2 + م - 5)
  8. (3n2 - 4n + 1) - (4n2 - ن - 2)
  9. 2 + 8z + 9) - (z2 - 3z + 1)
  10. 2 - 7 ز + 5) - (ض2 - 8z + 6)
  11. (12 ثانية2 - 15 ثانية) - (ق - 9)
  12. (10r2 - ص 20) - (ص - 8)
  13. أوجد مجموع (2p3 - 8) و (ص2 + 9 ب + 18)
  14. أوجد مجموع (q2 + 4q + 13) و (7q3 − 3)
  15. اطرح (7x2 - 4x + 2) من (8x2 - x + 6)
  16. اطرح (5x2 - x + 12) من (9x2 - 6x - 20)
  17. أوجد الفرق بين (w2 + ث - 42) و (ث2 - 10 واط + 24)
  18. أوجد الفرق بين (z2 - 3z - 18) و (z2 + 5z - 20)

احسب كثير الحدود لقيمة معينة

في التدريبات التالية ، قم بتقييم كل كثير حدود للقيمة المحددة.

  1. تقييم 8y2 - 3 سنوات + 2
    1. ص = 5
    2. ص = −2
    3. ص = 0
  2. تقييم 5y2 - ص - 7 عندما:
    1. ص = −4
    2. ص = 1
    3. ص = 0
  3. احسب 4 - 36x عندما:
    1. س = 3
    2. س = 0
    3. س = -1
  4. احسب 16 - 36x2 متي:
    1. س = -1
    2. س = 0
    3. س = 2
  5. تسقط غسالة النوافذ ممسحة من منصة بارتفاع 275 قدمًا. كثير الحدود −16t2 + 275 يعطي ارتفاع الممسحة بعد ثوانٍ من سقوطها. أوجد الارتفاع بعد t = 4 ثوانٍ.
  6. وجدت إحدى الشركات المصنعة لأفران الميكروويف أن الإيرادات المتلقاة من بيع أفران الميكروويف بتكلفة p دولار لكل منها يتم توفيرها بواسطة متعدد الحدود −5p2 + 350 ص. أوجد العائد الذي تحصل عليه عندما تكون p = 50 دولارًا.

الرياضيات اليومية

  1. كفاءة الوقود يتم تحديد كفاءة استهلاك الوقود (بالأميال لكل جالون) للحافلة التي تسير بسرعة x ميل في الساعة بواسطة متعدد الحدود (- dfrac {1} {160} x ^ {2} + dfrac {1} {2 } س ). أوجد كفاءة الوقود عندما تكون x = 40 ميلاً في الساعة.
  2. مسافة التوقف عدد الأقدام الذي تستغرقه السيارة التي تسافر بسرعة x ميل في الساعة للتوقف على الخرسانة الجافة ، يُعطى في كثير الحدود 0.06x2 + 1.1x. أوجد مسافة التوقف عندما تكون x = 60 ميل في الساعة.

تمارين الكتابة

  1. باستخدام كلماتك الخاصة ، اشرح الفرق بين أحادية الحدين وثلاثية الحدود.
  2. يعتقد Eloise أن المجموع 5x2 + 3x4 هو 8x6. ما الخطأ في تفكيرها؟

الاختيار الذاتي

(أ) بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

(ب) إذا كانت معظم الشيكات الخاصة بك:

…بثقة. تهانينا! لقد حققت الأهداف في هذا القسم. فكر في مهارات الدراسة التي استخدمتها حتى تتمكن من الاستمرار في استخدامها. ماذا فعلت لتصبح واثقًا من قدرتك على فعل هذه الأشياء؟ كن دقيقا.

... مع بعض المساعدة. يجب معالجة هذا بسرعة لأن الموضوعات التي لا تتقنها تصبح حفرًا في طريقك إلى النجاح. في الرياضيات ، كل موضوع يعتمد على عمل سابق. من المهم التأكد من أن لديك أساسًا قويًا قبل المضي قدمًا.

من يمكنك طلب المساعدة؟ زملائك في الفصل والمدرس هم موارد جيدة. هل يوجد مكان في الحرم الجامعي يتوفر فيه مدرسو الرياضيات؟ هل يمكن تحسين مهاراتك الدراسية؟

... لا - لا أفهم! هذه علامة تحذير ويجب ألا تتجاهلها. يجب أن تحصل على المساعدة على الفور وإلا ستغرق بسرعة. راجع معلمك في أقرب وقت ممكن لمناقشة وضعك. يمكنكما معًا وضع خطة لتزويدك بالمساعدة التي تحتاجها.


إضافة وطرح كثيرات الحدود - شرح وأمثلة أمبير

كثير الحدود هو تعبير يحتوي على متغيرات ومعاملات.

على سبيل المثال ، الفأس + ب ، 2 × 2 - 3 × + 9 ، × 4 - 16 هي كثيرة الحدود.

كلمة "كثير الحدود" مشتق من الكلمات "بولي" و "نوميال، "وهو ما يعني العديد من المصطلحات على التوالي. يمكن أن يحتوي كثير الحدود على متغيرات وثوابت وأسس ، لكن التعبير ليس متعدد الحدود إذا كان المتغير في المقام ، مثل 2 / x + 3 ، 9xy -2 ، إلخ.

مثل الأرقام ، يمكن أن يخضعوا لنفس النوع من العمليات. عملية إضافة وطرح كثيرات الحدود سهلة مثل الفطيرة. ما عليك سوى أن تكون على دراية بدمج المصطلحات المتشابهة وترتيب العمليات داخل السؤال. قبل أن نبدأ ، دعونا نتذكر ما هي المصطلحات المتشابهة.

في الرياضيات ، المصطلحات المتشابهة هي المصطلحات التي تحتوي على متغيرات وأسس متطابقة ، بغض النظر عن معاملاتها. يمكنك تبسيط التعبير عن طريق الجمع أو الطرح اعتمادًا على الإشارات الموجودة قبل الحدود.

فمثلا ، 7xy + 6y + 6xy هي كثيرة الحدود شروطها 7xy و 6xy. لذلك ، يمكننا تبسيط كثير الحدود من خلال الجمع بين الحدود المتشابهة مثل 7xy + 6xy + 6y = 13xy + y. عند دمج المصطلحات المتشابهة ، نضيف أو نطرح فقط معاملات المتغيرات المتطابقة.

من ناحية أخرى ، على عكس المصطلحات ، فإن المصطلحات ليست متطابقة من حيث المتغيرات أو الأس.

فمثلا ، التعبير 4x + 9y 2 ، يحتوي على مصطلحات مختلفة لأن المتغيرين x و y مختلفان ولا يتم رفعهما إلى نفس القوة.


10.1: إضافة وطرح كثيرات الحدود

فيما يلي الخطوات المطلوبة لإضافة وطرح كثيرات الحدود من الباطن:

الخطوة 1: احذف كل الأقواس. أقترح كتابة المشكلة عموديًا وليس أفقيًا لأنها تجعل الخطوة التالية أسهل. عند الجمع ، وزع العلامة الموجبة (أو الجمع) التي لا تغير أيًا من العلامات. عند الطرح ، وزع علامة السالب (أو الطرح) ، والتي تغير كل علامة بعد علامة الطرح.
الخطوة 2: اجمع بين الشروط المتشابهة. هذه الخطوة أسهل بكثير إذا تمت كتابة الأشياء عموديًا لأن المصطلحات المتشابهة مكتوبة فوق بعضها البعض. تذكر أنه للجمع بين الحدود المتشابهة ، يجب أن تكون قوة كل متغير متطابقة تمامًا.

مثال 1 & ndash تبسيط: (3x 3 & # 8211 5x + 9) + (6x 3 + 8x & # 8211 7)

مثال 2 & ndash تبسيط: (& # 82113x 2 + 9xy & # 8211 5y 2) & # 8211 (4x 2 + 7xy & # 8211 8y 2)

مثال 3 & ndash تبسيط: (5x 3 & # 8211 7x 2 & # 8211 8) & # 8211 (4x 2 + 5x & # 8211 6)

مثال 4 & ndash أضف 4x 3 & # 8211 9x + 3 و 5x 2 & # 8211 4x + 7.

مثال 5 & ndash اطرح 4x 2 & # 8211 7x + 5 من 3x 2 & # 8211 2x + 6.


إضافة وطرح كثيرات الحدود

تأكد من تغيير الطرح إلى الجمع قبل الجمع بين المصطلحات المتشابهة.

مثال 2: اطرح كثيرات الحدود.

(4x - 5y 2 + 2 - x 2) - (- 2y + 2x2-3x + 7)

غير القسمة إلى جمع بتوزيع سالب واحد على المجموعة الثانية من الأقواس. تتغير علامة كل حد في القوس الثاني.

(4x −5y 2 + 2 - x 2) - (- 2y + 2x 2-3x + 7)

= 4x ​​−5y 2 + 2 - x 2 + 2y - 2x 2 + 3x - 7

أعد كتابة التعبير بحيث يتم تجميع المصطلحات المتشابهة:

(4x + 3x) + (- x 2-2x 2) + (2-7) −5y 2 + 2y

اجمع الحدود المتشابهة بإضافة المعاملات.

الصيغة المبسطة لـ (4x - 5y 2 + 2 - x 2) - (- 2y + 2x 2-3x + 7) هي
7x −3x 2-5 −5y 2 + 2y.


اجمع واطرح كثيرات الحدود

مقاطع فيديو وأوراق عمل وحلول وأنشطة لمساعدة طلاب الجبر على التعرف على إضافة وطرح كثيرات الحدود.

كثيرات الحدود (الجزء 2 من 4) - دمج المصطلحات المتشابهة في كثيرات الحدود

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


مقدمة في كثيرات الحدود

التعبيرات المعروفة باسم كثيرات الحدود تستخدم على نطاق واسع في الجبر. تطبيقات هذه التعبيرات ضرورية للعديد من المهن ، بما في ذلك الاقتصاديون والمهندسون والعلماء. في هذا الفصل ، سنكتشف ماهية كثيرات الحدود وكيفية معالجتها من خلال العمليات الحسابية الأساسية.

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
    • المؤلفون: لين ماريسيك ، ماري آن أنتوني سميث
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: Prealgebra
    • تاريخ النشر: 25 سبتمبر 2015
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/prealgebra/pages/1-introduction
    • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/prealgebra/pages/10-introduction-to-polynomials

    © سبتمبر 16 ، 2020 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    اجمع واطرح كثيرات الحدود

      تبسيط:

    حدد درجة كثيرات الحدود

    لقد تعلمنا أن أ مصطلح هو ثابت أو ناتج ثابت ومتغير واحد أو أكثر. المونومال هو تعبير جبري بمصطلح واحد. عندما يكون من الشكل أين أ هو ثابت و م هو عدد صحيح ، ويسمى أحادي في متغير واحد. بعض الأمثلة على monomial في متغير واحد هي. يمكن أن تحتوي الأحادية أيضًا على أكثر من متغير مثل و

    أ أحادي هو تعبير جبري بمصطلح واحد.

    الأحادي في متغير واحد هو مصطلح من النموذج أين أ هو ثابت و م هو رقم صحيح.

    المونومال ، أو اثنين أو أكثر وحيدة أو أكثر مجتمعة عن طريق الجمع أو الطرح ، هي كثيرة الحدود. بعض كثيرات الحدود لها أسماء خاصة ، بناءً على عدد المصطلحات. الأحادي هو كثير الحدود بمصطلح واحد بالضبط. ذات الحدين لها حدان بالضبط ، وثلاثية الحدود لها ثلاثة حدود بالضبط. لا توجد أسماء خاصة للعديد من الحدود بأكثر من ثلاثة مصطلحات.

    متعدد الحدود—المحدود ، أو اثنين أو أكثر من المصطلحات الجبرية مجتمعة عن طريق الجمع أو الطرح هي كثيرة الحدود.

    أحادي- كثيرة الحدود مع مصطلح واحد بالضبط تسمى أحادية الحد.

    ذات الحدين- كثيرة الحدود ذات المصطلحين بالضبط تسمى ذات الحدين.

    ثلاثي الحدود- كثير الحدود الذي يحتوي على ثلاثة مصطلحات بالضبط يسمى ثلاثي الحدود.

    فيما يلي بعض الأمثلة على كثيرات الحدود.

    متعدد الحدود
    أحادي 14
    ذات الحدين
    ثلاثي الحدود

    لاحظ أن كل أحادية وذات الحدين وثلاثية الحدود هي أيضًا كثيرة الحدود. إنهم مجرد أعضاء مميزين في "عائلة" متعددي الحدود ولذا لديهم أسماء خاصة. نحن نستخدم الكلمات أحادي, ذات الحدين، و ثلاثي الحدود عند الإشارة إلى كثيرات الحدود الخاصة واستدعاء الباقي كثيرات الحدود.

    يتم تحديد درجة كثير الحدود ودرجة شروطها بواسطة أسس المتغير.

    المونومال الذي لا يحتوي على متغير ، مجرد ثابت ، هو حالة خاصة. درجة الثابت هي 0.

    ال درجة المصطلح هو مجموع الأس لمتغيراته.

    ال درجة ثابتة هو 0.

    ال درجة كثيرة الحدود هي أعلى درجة من جميع شروطها.

    دعونا نرى كيف يعمل هذا من خلال النظر إلى العديد من كثيرات الحدود. سنتخذ الأمر خطوة بخطوة ، بدءًا من الأحادية ، ثم نتقدم إلى كثيرات الحدود بمزيد من المصطلحات.

    لنبدأ & # 8217s بالنظر إلى مونومال. مونومال له متغيرين أ و ب. لإيجاد الدرجة علينا إيجاد مجموع الأسس. المتغير a ليس لديه & # 8217t أس مكتوبًا ، لكن تذكر أن هذا يعني أن الأس هو 1. أس ب هو 2. مجموع الأس ، هي 3 وبالتالي فإن الدرجة هي 3.

    فيما يلي بعض الأمثلة الإضافية.

    يكون العمل مع كثيرات الحدود أسهل عند سرد المصطلحات بترتيب تنازلي للدرجات. عندما تتم كتابة كثير الحدود بهذه الطريقة ، يُقال أنها في الشكل القياسي لكثير الحدود. اعتد على كتابة المصطلح بأعلى درجة أولاً.

    حدد ما إذا كان كل متعدد الحدود هو أحادي أو ذو حدين أو ثلاثي الحدود أو متعدد الحدود آخر. ثم أوجد درجة كل كثير الحدود.

    ⓔ 15

    متعدد الحدود عدد المصطلحات اكتب درجة المصطلحات درجة كثيرة الحدود
    3 ثلاثي الحدود 2, 1, 0 2
    1 أحادي 4, 2 6
    5 متعدد الحدود 5, 3, 2, 1, 0 5
    2 ذات الحدين 1, 4 4
    15 1 أحادي 0 0

    حدد ما إذا كان كل متعدد الحدود هو أحادي أو ذو حدين أو ثلاثي الحدود أو متعدد الحدود آخر. ثم أوجد درجة كل كثير الحدود.

    ⓑ كثير الحدود ، 3 ⓒ ثلاثي الحدود ، 3

    حدد ما إذا كان كل متعدد الحدود هو أحادي أو ذو حدين أو ثلاثي الحدود أو متعدد الحدود آخر. ثم أوجد درجة كل كثير الحدود.

    ⓐ ذات الحدين ، 3 ⓑ ثلاثي الحدود ، 3 أحادية الحد ، 0 ⓓ كثيرة الحدود ، 4 أحادية الحد ، 7

    اجمع واطرح كثيرات الحدود

    لقد تعلمنا كيفية تبسيط المقادير بدمج الحدود المتشابهة. تذكر ، يجب أن تحتوي الحدود المتشابهة على نفس المتغيرات بنفس الأس. نظرًا لأن المونوميل عبارة عن مصطلحات ، فإن إضافة وطرح المونوميل هو نفسه دمج المصطلحات المتشابهة. إذا كانت المونومال متشابهة ، فإننا نجمعها فقط عن طريق جمع أو طرح المعاملات.

    اجمع أو اطرح: ⓐ

    اجمع أو اطرح: ⓐ

    اجمع أو اطرح: ⓐ

    تذكر أن الحدود المتشابهة يجب أن يكون لها نفس المتغيرات بنفس الأسس.

    بسّط: ⓐ

    يضاف: ⓐ

    يضاف: ⓐ

    يمكننا أن نفكر في إضافة وطرح كثيرات الحدود على أنها مجرد جمع وطرح سلسلة من كثيرات الحدود. ابحث عن الحدود المتشابهة - تلك التي لها نفس المتغيرات ونفس الأس. تتيح لنا الخاصية التبادلية إعادة ترتيب المصطلحات لوضع المصطلحات المتشابهة معًا.

    ابحث عن المجموع:

    ابحث عن المجموع:

    ابحث عن المجموع:

    كن حذرًا مع العلامات أثناء التوزيع أثناء طرح كثيرات الحدود في المثال التالي.

    جد الفرق:

    جد الفرق:

    جد الفرق:

    لاستخلاص من نكتبه كـ وضع ال أول.

    طرح او خصم من

    طرح او خصم من

    طرح او خصم من

    ابحث عن المجموع:

    ابحث عن المجموع:

    ابحث عن المجموع:

    عندما نجمع ونطرح أكثر من اثنين من كثيرات الحدود ، فإن العملية هي نفسها.

    تبسيط:

    تبسيط:

    تبسيط:

    تقييم دالة متعددة الحدود لقيمة معينة

    دالة كثيرة الحدود هي دالة تحددها كثيرة الحدود. فمثلا، و هي وظائف كثيرة الحدود ، لأن و متعددة الحدود.

    أ الدالة متعددة الحدود هي وظيفة يتم تحديد قيم نطاقها بواسطة كثير الحدود.

    في الرسوم البيانية والدوال ، حيث قدمنا ​​الدالات لأول مرة ، تعلمنا أن تقييم الدالة يعني إيجاد قيمة لقيمة معينة x. لإيجاد دالة كثيرة الحدود ، سنعوض بالقيمة المعطاة للمتغير ثم نبسطها باستخدام ترتيب العمليات.

    من أجل الوظيفة تجد: ⓐ

    بسّط الأسس.
    تتضاعف.
    تبسيط.
    بسّط الأسس.
    تتضاعف.
    تبسيط.
    بسّط الأسس.
    تتضاعف.
    تبسيط.

    من أجل الوظيفة تجد ⓐ

    ⓐ 18 ⓑ 50 ⓒ

    من أجل الوظيفة تجد ⓐ

    ⓐ 20 ⓑ 2 ⓒ

    تُستخدم وظائف كثيرة الحدود المشابهة لتلك الموجودة في المثال التالي في العديد من المجالات لتحديد ارتفاع كائن ما في وقت ما بعد إسقاطه في الهواء. يتم استخدام كثير الحدود في الوظيفة التالية خصيصًا لإسقاط شيء ما من 250 قدمًا.

    دالة كثيرة الحدود يعطي ارتفاع الكرة ر بعد ثوانٍ من إسقاطه من مبنى ارتفاعه 250 قدمًا. أوجد الارتفاع بعد ثواني.

    دالة كثيرة الحدود يعطي ارتفاع الحجر ر بعد ثوانٍ من سقوطه من جرف ارتفاعه 150 قدمًا. أوجد الارتفاع بعد ثواني (الارتفاع الأولي للكائن).

    الارتفاع أقدام.

    دالة كثيرة الحدود يعطي ارتفاع الكرة ر بعد ثوانٍ من إسقاطه من جسر ارتفاعه 175 قدمًا. أوجد الارتفاع بعد ثواني.

    اجمع واطرح دوال كثيرة الحدود

    مثلما يمكن إضافة وطرح كثيرات الحدود ، يمكن أيضًا إضافة وطرح دوال كثيرة الحدود.

    للوظائف و

    للوظائف و يجد:

    أعد الكتابة بدون الأقواس.
    ضع الشروط المتشابهة معًا.
    اجمع بين الشروط المتشابهة.

    ⓑ في الجزء (أ) وجدنا ويطلب الآن أن تجد

    لاحظ أنه كان من الممكن أن نجد من خلال إيجاد قيم و بشكل منفصل ثم إضافة النتائج.

    يجد
    يجد
    يجد

    أعد الكتابة بدون الأقواس.
    ضع الشروط المتشابهة معًا.
    اجمع بين الشروط المتشابهة.

    للوظائف و تجد: ⓐ

    للوظائف و تجد ⓐ

    قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على إرشادات وممارسات إضافية مع إضافة وطرح كثيرات الحدود.

    المفاهيم الرئيسية

    • أحادي
      • أ أحادي هو تعبير جبري بمصطلح واحد.
      • الأحادي في متغير واحد هو مصطلح من النموذج أين أ هو ثابت و م هو رقم صحيح.
      • متعدد الحدود—المحدود ، أو اثنين أو أكثر من المصطلحات الجبرية مجتمعة عن طريق الجمع أو الطرح هي كثيرة الحدود.
      • أحادي - كثيرة الحدود مع مصطلح واحد بالضبط تسمى أحادية الحد.
      • ذات الحدين - كثيرة الحدود ذات المصطلحين بالضبط تسمى ذات الحدين.
      • ثلاثي الحدود - كثير الحدود الذي يحتوي على ثلاثة مصطلحات بالضبط يسمى ثلاثي الحدود.
      • ال درجة المصطلح هو مجموع الأس لمتغيراته.
      • ال درجة ثابتة هو 0.
      • ال درجة كثيرة الحدود هي أعلى درجة من جميع شروطها.

      مع التدريب يأتي الإتقان

      حدد نوع كثيرات الحدود

      في التدريبات التالية ، حدد ما إذا كانت كثيرة الحدود أحادية الحد أم ذات الحدين أم ثلاثية الحدود أم كثيرة الحدود أخرى.

      ⓐ ثلاثي الحدود ، 5 متعدد الحدود ، 3 ذو حدين ، 1 ⓓ وحيد الحد ، 1


      اجمع واطرح كثيرات الحدود



      أمثلة ومقاطع فيديو وحلول لمساعدة طلاب الجبر 1 على تعلم كيفية إضافة وطرح كثيرات الحدود.

      ولاية نيويورك الأساسية العامة الرياضيات الجبر 1 ، الوحدة 1 ، الدرس 8

      يفهم الطلاب أن مجموع أو اختلاف اثنين من كثيرات الحدود ينتج كثير حدود آخر ويربط كثيرات الحدود بنظام الأعداد الصحيحة التي يجمعها الطلاب ويطرحونها.

      أ أحادي هو تعبير متعدد الحدود تم إنشاؤه باستخدام عامل الضرب فقط (__ & مرات__). وبالتالي ، فإنه لا يحتوي على عوامل + أو & ndash. تتم كتابة المونومال بعوامل عددية مضروبة معًا ورموز متغيرة أو أخرى تحدث مرة واحدة (باستخدام الأس لتكثيف مثيلات متعددة من نفس المتغير)

      أ متعدد الحدود هو مجموع (أو فرق) المونومال.

      ال درجة أحادية هو مجموع الأس للرموز المتغيرة التي تظهر في المونومال.

      ال درجة كثيرة الحدود هي درجة المصطلح الأحادي بأعلى درجة.

      1. هل يجب أن يكون مجموع ثلاث كثيرات حدود مرة أخرى؟

      جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

      نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


      (7.1.2) & # 8211 تقييم كثير الحدود للقيم المعطاة

      يمكنك تقييم كثيرات الحدود تمامًا كما كنت تقيم التعبيرات طوال الوقت. لتقييم تعبير لقيمة المتغير ، يمكنك استبدال قيمة المتغير كل مرة يظهر. ثم استخدم ترتيب العمليات للعثور على القيمة الناتجة للتعبير.

      مثال

      قم بتقييم [latex] 3x ^ <2> -2x + 1 [/ latex] لـ [latex] x = -1 [/ latex].

      باتباع ترتيب العمليات ، قم بتقييم الأسس أولاً.

      اضرب 3 مرات 1 ، ثم اضرب [لاتكس] -2 [/ لاتكس] مرات [لاتكس] -1 [/ لاتكس].

      غيّر عملية الطرح إلى جمع المقابل.

      إجابه

      [اللاتكس] 3x ^ <2> -2x + 1 = 6 [/ latex] ، لـ [اللاتكس] x = -1 [/ اللاتكس]

      مثال

      تقييم [latex] displaystyle - frac <2> <3> p ^ <4> + 2 ^ <3> -p [/ latex] لـ [latex] p = 3 [/ latex].

      [لاتكس] displaystyle - frac <2> <3> left (3 right) ^ <4> +2 left (3 right) ^ <3> -3 [/ latex]

      باتباع ترتيب العمليات ، قم بتقييم الأسس أولاً ثم اضرب.

      [اللاتكس] displaystyle - frac <2> <3> left (81 right) +2 left (27 right) -3 [/ latex]

      اجمع ثم اطرح للحصول على [لاتكس] -3 [/ لاتكس].

      إجابه

      [لاتكس] displaystyle - frac <2> <3> p ^ <4> + 2p ^ <3> -p = -3 [/ latex] ، لـ [latex] p = 3 [/ latex]

      نعرض في الفيديو التالي المزيد من الأمثلة على تقييم كثيرات الحدود لقيم معينة للمتغير.


      إضافة / طرح كثيرات الحدود

      من السهل إضافة أو طرح اثنين من كثيرات الحدود. نحن ببساطة نجمع أو نطرح حدودًا من نفس الدرجة. فمثلا:

      ضع في اعتبارك اثنين من كثيرات الحدود للدرجات م و ن. افترض أننا نجمع أو نطرح كثيرات الحدود. تظهر حالتان الآن:

      لو م و ن غير متكافئة ، فإن كثير الحدود الناتج سيكون بدرجة مساوية لأكبر م و ن.

      لو م و ن متساوية ، فإن كثير الحدود الناتج سيكون له درجة تساوي على الأكثر م و ن، ولكن يمكن أن يكون لها أيضًا درجة أقل من م و ن.

      دع & rsquos نفهم هذه الحقائق من خلال الأمثلة التالية:

      وهكذا ، في حالة أن كثيرات الحدود لها درجات متساوية ، نرى أن هناك احتمالية أن تلغي المصطلحات ذات الدرجة الأعلى بعضها البعض عند الجمع أو الطرح ، وبالتالي فإن كثير الحدود الناتج قد يكون له درجة أقل من الدرجات الأصلية لـ اثنين من كثيرات الحدود.


      شاهد الفيديو: جمع وطرح كثيرات الحدود (شهر اكتوبر 2021).