مقالات

تيلور متعدد الحدود من الدرجة الثانية مع مثال سطحي 1


تيلور متعدد الحدود من الدرجة الثانية مع مثال سطحي 1

تيلور متعدد الحدود من الدرجة الثانية مع مثال سطحي 1

أرسل لنا ملاحظاتك / اقتراحك

للحصول على مزيد من المساعدة يرجى الاتصال بنا

تم الكشف عن مانع الإعلانات

اه اوه! يبدو أنك تستخدم مانع الإعلانات!

نظرًا لأننا عانينا كثيرًا لإجراء حسابات عبر الإنترنت لك ، فإننا نناشدك لمنحنا من خلال تعطيل أداة حظر الإعلانات لهذا النطاق.

أضف هذه الآلة الحاسبة إلى موقع الويب الخاص بك:

أضف آلة حاسبة تايلور متعددة الحدود إلى موقع الويب الخاص بك للحصول على سهولة استخدام هذه الآلة الحاسبة مباشرة. لا تتردد في حساب هذه الأداة لأنها مجانية بنسبة 100٪ وسهلة الاستخدام ، ويمكنك إضافتها على منصات متعددة عبر الإنترنت.

تساعدك آلة حاسبة من سلسلة Taylor عبر الإنترنت في العثور على الحد وسلسلة Taylor لوظيفة معينة حول النقطة المحددة n. باستخدام آلة حاسبة تايلور متعددة الحدود ، يمكنك تحديد ترتيب جميع معادلات تايلور متعددة الحدود للحصول على نتائج دقيقة. في هذا النص ، يمكنك العثور على صيغة توسيع سلسلة Taylor ، ومعرفة كيفية العثور على سلسلة Taylor يدويًا ، وغير ذلك الكثير.


سلسلة حاسبة تايلور

توفر لنا سلسلة تايلور تقريبًا متعدد الحدود لوظيفة تتمحور حول النقطة أ. نظرًا لأن سلوك كثيرات الحدود يمكن أن يكون أسهل في الفهم من دوال مثل الخطيئة (x) ، يمكننا استخدام سلسلة تايلور للمساعدة في حل المعادلات التفاضلية والمجموعات اللانهائية ومشكلات الفيزياء المتقدمة. تمثل سلسلة تايلور اللانهائية للدالة تلك الوظيفة.

ومع ذلك ، فإن سلسلة Taylor المحدودة هي مجرد تقريب للوظيفة ، حيث يكون ملف ترتبط الدقة التي تمثل فيها سلسلة تايلور الوظيفة ارتباطًا إيجابيًا بعدد المصطلحات في سلسلة تايلور. سيعطينا تنفيذ المزيد من شروط سلسلة تايلور تقريبًا أكثر دقة للوظيفة.

يرتبط عدد المصطلحات في السلسلة ارتباطًا مباشرًا بدرجة سلسلة تايلور. درجة سلسلة تايلور هي الحد الأقصى ن القيمة المكتوبة في تدوين سيجما. عدد المصطلحات في السلسلة هو ن + 1 منذ إنشاء المصطلح الأول باستخدام ن = 0. أعلى قوة في كثير الحدود هي ن = ن.

كيف تحسب سلسلة تايلور

تُعطى صيغة حساب سلسلة تايلور لوظيفة ما على النحو التالي:

أين ن هو الترتيب ، و (ن) (أ) هو مشتق من الرتبة n لـ f (x) كما تم تقييمه عند x = a ، و أ هو المكان الذي تتركز فيه السلسلة. ستكون السلسلة أكثر دقة بالقرب من نقطة التمركز.

كما نرى ، قد تكون سلسلة Taylor طويلة بلا حدود إذا اخترنا ، ولكن قد نختار أيضًا جعل سلسلتنا دقيقة أو صغيرة كما نريد. يمكننا تعيين حد أقصى ن قيمة لجعله ن طلب سلسلة تايلور.

مثال مشكلة

ابحث عن الترتيب الثاني لسلسلة تايلور للدالة الخطيئة (x) تتركز عند الصفر.

المحلول:
1.) سنضع شروطنا f (x) = sin (x) ، n = 2 ، و a = 0.
2.) المشتق الصفري الأول والثاني للخطيئة (x) هو sin (x) و cos (x) و -sin (x) على التوالي.
3.) تطبيق مشتقاتنا على F (ن) (أ) يعطينا الخطيئة (0) ، وجيب التمام (0) ، والجيب (0).
هذه تبسط إلى 0 و 1 و 0 على التوالي.
4.) تطبيق باقي الصيغة يعطينا:
(0/0!) (x & # 8211 0) 0 + (1/1!) (x & # 8211 0) 1 + (0/2!) (x & # 8211 0) 2
5.) هذا يبسط إلى الدرجة الثانية من سلسلة Taylor و (س) ≈ س.


حساب التفاضل والتكامل APEX

ضع في اعتبارك دالة (y = f (x) ) ونقطة ( big (c، f (c) big) text <.> ) المشتق ، ( fp (c) text < ،> ) يعطي معدل التغيير الفوري لـ (f ) عند (x = c text <.> ) من بين جميع الأسطر التي تمر عبر النقطة ( big (c، f (c) big ) text <،> ) السطر الذي يقارب بشكل أفضل (f ) عند هذه النقطة هو خط الظل أي الخط الذي يكون ميله (معدل التغيير) ( fp (c) text <.> )

في الشكل 4.5.2 ، نرى دالة (y = f (x) ) مخططة. يوضح الجدول في الشكل 4.5.3 أن (f (0) = 2 ) و ( fp (0) = 1 text <> ) وبالتالي ، فإن خط الظل إلى (f ) عند (x = 0 ) هو (p_1 (x) = 1 (x-0) +2 = x + 2 text <.> ) يتم إعطاء خط الظل أيضًا في الشكل. لاحظ أن "بالقرب" (x = 0 text <،> ) (p_1 (x) almost f (x) text <> ) أي أن خط الظل يقارب (f ) جيدًا.

أحد أوجه القصور في هذا التقريب هو أن الخط المماس يتطابق فقط مع ميل (f text <> ) فهو لا يتطابق ، على سبيل المثال ، مع تقعر (f text <.> ) يمكننا العثور على كثير الحدود ، (p_2 (x) text <،> ) الذي يتطابق مع التقعر بالقرب من (0 ) دون صعوبة كبيرة. يقدم الجدول في الشكل 4.5.3 المعلومات التالية:

لذلك ، نريد أن يكون لكثير الحدود (p_2 (x) ) نفس الخصائص. هذا هو ، نحن بحاجة

لنبدأ بدالة تربيعية عامة

للحصول على الخصائص المطلوبة أعلاه ، يجب أن يكون لدينا

لذلك (a_0 = 2 text <،> ) (a_1 = 1 text <،> ) و (a_2 = 2/2 = 1 text <،> ) يعطينا كثير الحدود

يمكننا تكرار عملية التقريب هذه عن طريق إنشاء كثيرات الحدود من الدرجة الأعلى التي تتطابق مع المزيد من مشتقات (f ) في (س = 0 نص <.> ) بشكل عام ، يمكن لكثير الحدود من الدرجة (n ) يتم إنشاؤه لمطابقة مشتقات (n ) الأولى (f text <.> ) يوضح الشكل 4.5.4 (p_4 (x) = -x ^ 4/2-x ^ 3/6 + x ^ 2 + x + 2 text <،> ) تطابق مشتقاته الأربعة الأولى عند 0 تلك الخاصة بـ (f text <.> )

كيف يمكننا التأكد من أن مشتقات كثير الحدود لدينا تتطابق مع مشتقات (f text <؟> ) نحن ببساطة نبدأ مع كثير الحدود للدرجة المطلوبة ، ونحسب مشتقاتها ، ونقارنها بمشتقات (f text) تذكر أن كل مصطلح في كثير الحدود يتكون من قوة (x text <،> ) ومعامل ، مثل: (a_nx ^ n text <.> ) هدفنا هو تحديد القيمة لكل معامل (a_n ) بحيث تتطابق مشتقات كثير الحدود مع مشتقات وظيفتنا (f text <.> ) إذا أخذنا (k ) مشتقات المصطلح (a_nx ^ n text < ،> ) مع (k leq n text <،> ) نحصل عليها

بالنسبة إلى (k lt n text <،> ) يختفي التعبير أعلاه عندما نضع (x = 0 text <.> ) ومع ذلك ، بالنسبة لـ (n = k text <،> ) نحصل عليها القيمة الثابتة

من الدرجة (n text <.> ) إذا أخذنا مشتقات (k ) ، فإن كل المصطلحات التي تتضمن صلاحيات (س ) أقل من (ك ) تختفي ، وعندما نضع (س) = 0 نص <،> ) تختفي جميع المصطلحات التي تتضمن قوى (س ) أكبر من (ك ) ، تاركة لنا الثابت الفردي الوارد في المعادلة (4.5.1).

بالاستناد إلى التدوين (k! = 1 cdot 2 cdot 3 cdots k ) لمنتج الأعداد الصحيحة الأولى (k ) ، فقد أظهرنا ذلك

إذا أردنا أن تتوافق مشتقات (p_n ) مع بعض الوظائف غير المعروفة (f ) عندما (x = 0 text <،> ) ، فيجب أن يكون لدينا

تتم قراءة التدوين (k! ) على أنه " (k ) عاملي". حسب الاصطلاح ، نحدد أيضًا (0! = 1 نص <،> ) غالبًا لأنه يجعل الصيغ الخاصة بنا تبدو أجمل كثيرًا.

نظرًا لأننا نستخدم المزيد والمزيد من المشتقات ، فإن تقريب كثير الحدود الخاص بنا إلى (f ) يصبح أفضل وأفضل. في هذا المثال ، يصبح الفاصل الزمني الذي يكون فيه التقريب "جيدًا" أكبر وأكبر. يوضح الشكل 4.5.6 (p_ <13> (x) text <> ) يمكننا أن نؤكد بصريًا أن هذا كثير الحدود يقارب (f ) جيدًا على ([- 2،3] text <.> ) (كثير الحدود (p_ <13> (x) ) ليس "لطيفًا" بشكل خاص.

تعد كثيرات الحدود التي أنشأناها أمثلة على كثيرات الحدود تايلور، سميت على اسم عالم الرياضيات البريطاني بروك تايلور الذي قام باكتشافات مهمة حول هذه الوظائف. في المناقشة أعلاه ، ركزنا على تقييم مشتقات (f ) عند 0 ومع ذلك ، لا يوجد شيء مميز حول هذه النقطة. تمامًا كما يمكننا النظر في التقريب الخطي لوظيفة بالقرب من أي نقطة ، كذلك يمكننا أيضًا تحديد تقريب متعدد الحدود حول أي قيمة (c ) في مجال (f text <.> ) المصيد الوحيد هو ذلك سيتم بعد ذلك إعطاء كثير الحدود من حيث صلاحيات (xc text <،> ) بدلاً من قوى (x text <،> ) كما نرى في التعريف التالي.

التعريف 4.5.7. تايلور متعدد الحدود ، ماكلاورين متعدد الحدود.

لنفترض أن (f ) دالة توجد مشتقاتها الأولى (n ) في (x = c text <.> )

ال كثير حدود تايلور من الدرجة (n ) من (و ) في (س = ج ) يكون

حالة خاصة من كثير حدود تايلور هي Maclaurin كثير الحدود ، حيث (c = 0 text <.> ) وهذا هو ، متعدد حدود ماكلورين من الدرجة (n ) من (و ) يكون

ملاحظة تاريخية: كان كولين ماكلورين عالم رياضيات اسكتلنديًا ولد عام 1698. وعاش حتى عام 1746 ، وقدم عددًا من الإسهامات في تطوير الرياضيات والفيزياء. انتخابه أستاذا للرياضيات في جامعة أبردين عن عمر يناهز 19 عاما جعله أصغر أستاذ في العالم ، وهو رقم قياسي احتفظ به حتى عام 2008! كان أيضًا عدوًا قويًا لثورة اليعاقبة ، ولعب دورًا أساسيًا في الدفاع عن إدنبرة ضد جيش بوني برينس تشارلي. (لمزيد من التفاصيل ، انظر ويكيبيديا.)

سنتدرب على إنشاء كثيرات حدود تايلور وماكلورين في الأمثلة التالية.

مثال 4.5.9. إيجاد واستخدام كثيرات حدود ماكلورين.

ابحث عن (n ) متعدد حدود Maclaurin لـ (f (x) = e ^ x text <.> )

استخدم (p_5 (x) ) لتقريب قيمة (e text <.> )

نبدأ بإنشاء جدول بمشتقات (e ^ x ) التي تم تقييمها عند (x = 0 text <.> ) في هذه الحالة بالذات ، هذا بسيط نسبيًا ، كما هو موضح في الشكل 4.5.10.

(و (س) = ه ^ س ) (السهم الأيمن) (و (0) = 1 )
( fp (x) = e ^ x ) (السهم الأيمن) ( fp (0) = 1 )
(fp '(x) = e ^ x ) (السهم الأيمن) ( fp '(0) = 1 )
( ، vdots ) ( ، vdots )
(f ، ^ <(n)> (x) = e ^ x ) (السهم الأيمن) (f ، ^ <(n)> (0) = 1 )

من خلال تعريف متعدد حدود Maclaurin ، لدينا

باستخدام إجابتنا من الجزء 1 ، لدينا

لتقريب قيمة (e text <،> ) لاحظ أن (e = e ^ 1 = f (1) almost p_5 (1) text <.> ) من السهل جدًا تقييم ( p_5 (1) text <:> )

تم إعطاء مؤامرة من (f (x) = e ^ x ) و (p_5 (x) ) في الشكل 4.5.11. بالنسبة إلى (5 ) منازل عشرية ، فإن القيمة الفعلية لـ (e ) هي (2.71828 نص <.> ) لذا فإن هذا التقريب يوافق على منزلتين عشريتين.

المثال 4.5.12. إيجاد واستخدام معادلات تايلور متعددة الحدود.

ابحث عن (n ) th Taylor كثير الحدود لـ (y = ln (x) ) في (x = 1 text <.> )

استخدم (p_6 (x) ) لتقريب قيمة ( ln (1.5) text <.> )

استخدم (p_6 (x) ) لتقريب قيمة ( ln (2) text <.> )

نبدأ بإنشاء جدول بمشتقات ( ln (x) ) تم تقييمه عند (x = 1 text <.> ) بينما لم يكن هذا مباشرًا كما كان في المثال السابق ، إلا أن النمط يظهر بالفعل (لـ (n ge 1 )) ، كما هو موضح في الشكل 4.5.13. لاحظ في الجدول أدناه أنه في كل مرة نأخذ فيها مشتقًا (بدءًا من المشتق الثاني) ، نطبق قاعدة الأس وننزل الأس لمضربه في المعامل السابق. لذا فإن (6 ) في (4 ^) المشتق هو في الواقع (1 cdot 2 cdot 3 = 3! text <.> )

(و (س) = ln (س) ) (السهم الأيمن) (و (1) = 0 )
( fp (x) = 1 / س ) (السهم الأيمن) ( fp (1) = 1 )
(fp '(x) = -1 / س ^ 2 ) (السهم الأيمن) ( fp '(1) = -1 )
(fp '' (x) = 2 / x ^ 3 ) (السهم الأيمن) ( fp '' (1) = 2 )
(و ^ <(4)> (س) = -6 / س ^ 4 ) (السهم الأيمن) (و ^ <(4)> (1) = -6 )
( ، vdots ) ( ، vdots )
(و ^ <(n)> (س) = ) (السهم الأيمن) (و ^ <(n)> (1) = )
( دس فارك <(- 1) ^(ن -1)!>) ((-1)^(ن -1)! )

لاحظ أن المعاملات تتناوب في الإشارة بدءًا من (n = 1 text <.> ) باستخدام التعريف 4.5.7 ، لدينا

لاحظ كيف تبين أن معاملات المصطلحات ((x-1) ) "لطيفة".

يمكننا حساب (p_6 (x) ) باستخدام عملنا أعلاه:

بما أن (p_6 (x) ) يقارب ( ln (x) ) قريبًا جيدًا (x = 1 text <،> ) نحن تقريبًا ( ln (1.5) تقريبًا p_6 (1.5) نص <:> )

هذا تقريب جيد حيث توضح الآلة الحاسبة أن ( ln (1.5) حوالي 0.4055 نص <.> ) الشكل 4.5.14 أدناه المؤامرات (y = ln (x) ) مع (y = p_6 (س) نص <.> ) يمكننا أن نرى ذلك ( ln (1.5) تقريبًا p_6 (1.5) نص <.> )

نحن نقرب ( ln 2 ) مع (p_6 (2) نص <:> )

هذا التقريب ليس مثيرًا للإعجاب بشكل رهيب: تظهر الآلة الحاسبة اليدوية أن ( ln (2) حوالي 0.693147 نص <.> ) يوضح الرسم البياني في الشكل 4.5.14 أن (p_6 (x) ) يوفر دقة أقل تقريب ( ln (x) ) حيث (x ) يقترب من 0 أو 2. والمثير للدهشة أنه حتى (20 ) الدرجة فشل تايلور متعدد الحدود في تقريب ( ln (x) ) لـ (x gt 2 ) جيدًا ، كما هو موضح في الشكل 4.5.15. سنناقش قريبًا سبب ذلك.

كما هو الحال دائمًا في حساب التفاضل والتكامل ، تُقاس الزوايا بالراديان ، لذا فإن (2 ) في ( cos (2) ) هي زاوية (2 ) راديان.

تُستخدم معادلات تايلور متعددة الحدود لتقريب الوظائف (f (x) ) في حالتين أساسيتين:

عندما يكون (f (x) ) معروفًا ، ولكن ربما يكون "من الصعب" حسابه مباشرة. على سبيل المثال ، يمكننا تعريف جيب التمام لزاوية إما كنسبة أضلاع مثلث قائم الزاوية ("المجاور فوق الوتر") أو باستخدام التعريف من حيث دائرة الوحدة. ومع ذلك ، لا يوفر أي من هذين الأسلوبين طريقة مناسبة للحساب ( cos (2) text <.> ) يمكن أن توفر كثيرة حدود تايلور بدرجة عالية بما فيه الكفاية طريقة معقولة لحساب مثل هذه القيم باستخدام العمليات التي عادة ما تكون مترابطة في كمبيوتر ( (+ نص <،> ) (- نص <،> ) × و ( div )).

عندما لا يكون (f (x) ) معروفًا ، لكن المعلومات حول مشتقاته معروفة. يحدث هذا في كثير من الأحيان أكثر مما يعتقده المرء ، خاصة في دراسة المعادلات التفاضلية.

في كلتا الحالتين ، يجب أن يكون لديك معلومة مهمة هي "ما مدى جودة تقريبي؟" إذا استخدمنا كثير حدود تايلور لحساب ( cos (2) text <،> ) كيف نعرف مدى دقة التقريب؟

على الرغم من أن تايلور متعدد الحدود يستطع تُستخدم في الآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر لحساب قيم الدوال المثلثية ، وهي في الواقع ليست كذلك بشكل عام. تم تطوير طرق أخرى أكثر كفاءة ودقة ، مثل خوارزمية CORDIC. ومع ذلك ، فإن فهم كيفية استخدام تيلور متعدد الحدود مهم لتطوير فهم تقنيات التقريب المختلفة.

على الرغم من أن الكثير من المحتوى المقدم في حساب التفاضل والتكامل يتعلق بالبحث عن إجابات دقيقة لمشاكل مثل التكامل والتفاضل ، فإن العديد من التطبيقات العملية لحساب التفاضل والتكامل تتضمن محاولات للعثور على تقريبية على سبيل المثال ، استخدام طريقة نيوتن لتقريب أصفار دالة ، أو التكامل العددي لتقريب قيمة التكامل الذي لا يمكن حله بالضبط. عندما يتم استخدام تقريب ، يرغب المرء بطبيعة الحال في معرفة مدى جودة التقريب. بمعنى آخر ، نبحث عن تقييد للخطأ الذي تم تقديمه من خلال العمل بالتقريب. تعطي النظرية التالية حدودًا للخطأ الذي تم إدخاله في استخدام متعدد الحدود تايلور (وبالتالي ماكلورين) لتقريب دالة.

نظرية 4.5.16. نظرية تايلور.

لنفترض أن (f ) دالة ((n + 1) نص) المشتق موجود على فاصل زمني (I ) ولجعل (c ) يكون في (I text <.> ) ثم ، لكل (x ) في (I text <،> ) يوجد (z_x ) بين (x ) و (ج ) من هذا القبيل

تتمثل إحدى طرق تحديد المدى الذي تقترب فيه إحدى الوظائف مع أخرى في استخدام طلب التي يتفقون عليها. نقول أن وظيفتين (f ) و (g ) توافق على الطلب (n ) في (ج ) إذا كان (n ) هو أكبر عدد صحيح من أجله

تخبرنا نظرية تايلور أن الوظيفة ودرجتها (n ) تيلور متعدد الحدود يوافقان على الترتيب (n text <.> ) بشكل تقريبي ، هذا يعني أن الاختلاف بينهما يذهب إلى الصفر أسرع من (n ) ال قوة (xc ) حيث تقترب (x ) من (ج نص <.> )

ينص الجزء الأول من نظرية تايلور على أن (f (x) = p_n (x) + R_n (x) text <،> ) حيث (p_n (x) ) هو (n ) ترتيب تايلور كثير الحدود و (R_n (x) ) هو الباقي ، أو الخطأ ، في تقريب تايلور. يقدم الجزء الثاني حدودًا لمدى كبر هذا الخطأ. إذا كان المشتق ((n + 1) ) كبيرًا في (I text <،> ) ، فقد يكون الخطأ كبيرًا إذا كان (x ) بعيدًا عن (c text <،> ) قد يكون الخطأ كبيرًا أيضًا. ومع ذلك ، فإن المصطلح ((n + 1)! ) في المقام يميل إلى التأكد من أن الخطأ يقل كلما زاد (n ).

يحسب المثال التالي تقديرات الخطأ لتقديرات ( ln (1.5) ) و ( ln (2) ) الواردة في المثال 4.5.12.

المثال 4.5.18. البحث عن حدود الخطأ لتايلور كثيرة الحدود.

استخدم النظرية 4.5.16 لإيجاد حدود الخطأ عند تقريب ( ln (1.5) ) و ( ln (2) ) مع (p_6 (x) text <،> ) كثير حدود تايلور للدرجة 6 من (f (x) = ln (x) ) في (x = 1 text <،> ) كما تم حسابه في المثال 4.5.12.

نبدأ بتقريب ( ln (1.5) ) بـ (p_6 (1.5) text <.> ) تشير النظرية إلى فاصل مفتوح (I ) يحتوي على كل من (x ) و (c text <.> ) كلما كان الفاصل الزمني الذي نستخدمه أصغر كلما كان ذلك أفضل سيعطينا تقديرًا أكثر دقة (وأصغر!) للخطأ. ندع (I = (0.9،1.6) text <،> ) حيث أن هذا الفاصل الزمني يحتوي على كل من (c = 1 ) و (x = 1.5 text <.> ) تشير النظرية ( max عضلات المعدة(z)> text <.> ) في حالتنا ، هذا يسأل "ما حجم المشتق (7 ) th من (y = ln (x) ) على الفاصل ((0.9 ، 1.6) text <؟> ) "المشتق السابع هو (y = -6! / x ^ 7 text <.> ) أكبر قيمة مطلقة تحصل عليها في (I ) هي حوالي 1506. ( لا توجد أرقام حرجة لـ (f ^ <(7)> ) في الفاصل الزمني لذلك نقوم بتقييم نقاط النهاية: (f ^ <(7)> (0.9) حوالي 1506 ) و (f ^ <( 7)> (1.6) حوالي 27 نص <.> )) على وجه الخصوص ، نحن نقوم بالتقييم في (x = 1.5 text <،> ) لذلك دعونا (x = 1.5 text <.> ) وبالتالي يمكننا ربط الخطأ على النحو التالي:

حسبنا (p_6 (1.5) = 0.404688 text <> ) باستخدام الآلة الحاسبة ، نجد ( ln (1.5) حوالي 0.405465 text <،> ) بحيث يكون الخطأ الفعلي حوالي (0.000778 text <،> ) وهو أقل من حدنا (0.0023 text <.> ) هذا يؤكد نظرية تايلور تنص النظرية على أن تقريبنا سيكون ضمن حوالي 2 جزء من الألف من القيمة الفعلية ، في حين أن التقريب كان في الواقع أقرب. تعطي نظرية تايلور حدًا أعلى للخطأ.

نجد مرة أخرى فاصلاً (I ) يحتوي على كل من (c = 1 ) و (x = 2 text <> ) نختار (I = (0.9،2.1) text <.> ) القيمة القصوى للمشتق السابع لـ (f ) على هذا الفاصل مرة أخرى حوالي 1506 (حيث تقترب القيم الأكبر من (x = 0.9 )). هكذا

هذا الحد ليس جيدًا كما كان من قبل. باستخدام درجة 6 Taylor متعددة الحدود في (x = 1 ) سيجعلنا في حدود 0.3 من الإجابة الصحيحة. نظرًا لأن (p_6 (2) تقريبًا 0.61667 text <،> ) يضمن تقدير الخطأ لدينا أن القيمة الفعلية لـ ( ln (2) ) تقع في مكان ما بين (0.31667 ) و (0.91667 نص < .> ) هذه الحدود ليست مفيدة بشكل خاص. في الواقع ، كان تقريبنا أقل من 0.07 فقط. ومع ذلك ، فنحن نقترب ظاهريًا لأننا لا نعرف الإجابة الحقيقية. من أجل التأكد من أن لدينا تقريبًا جيدًا ، يجب أن نلجأ إلى استخدام كثير الحدود من الدرجة الأعلى.

نحن نتدرب مرة أخرى. هذه المرة ، نستخدم نظرية تايلور للعثور على (n ) الذي يضمن أن يكون التقريب في حدود مبلغ معين.

مثال 4.5.19. إيجاد معادلات تايلور متعددة الحدود دقيقة بشكل كافٍ.

ابحث عن (n ) بحيث أن (n ) متعدد حدود تايلور لـ (f (x) = cos (x) ) في (x = 0 ) يقارب ( cos (2) ) ضمن (0.001 ) من الإجابة الفعلية. ما هو (p_n (2) text <؟> )

باتباع نظرية تايلور ، نحتاج إلى حدود على حجم مشتقات (f (x) = cos (x) text <.> ) في حالة هذه الدالة المثلثية ، هذا سهل. جميع مشتقات جيب التمام هي ( pm sin (x) ) أو ( pm cos (x) text <.> ) في جميع الحالات ، هذه الدوال لا تزيد أبدًا عن 1 في القيمة المطلقة. نريد أن يكون الخطأ أقل من (0.001 text <.> ) للعثور على (n text <،> ) المناسب ، ضع في اعتبارك عدم المساواة التالية:

وجدنا (n ) يلبي هذا التفاوت الأخير بالتجربة والخطأ. عندما (n = 8 text <،> ) لدينا ( ds frac <2 ^ <8 + 1 >> <(8 + 1)!> حوالي 0.0014 text <> ) عندما ( n = 9 text <،> ) لدينا ( ds frac <2 ^ <9 + 1 >> <(9 + 1)!> حوالي 0.000282 lt 0.001 text <.> ) وهكذا نحن تريد تقريب ( cos (2) ) مع (p_9 (2) نص <.> )

لقد شرعنا الآن في حساب (p_9 (x) text <.> ) نحتاج مرة أخرى إلى جدول بمشتقات (f (x) = cos (x) ) المقيمة عند (x = 0 ) text <.> ) يرد جدول بهذه القيم في الشكل 4.5.20.

(و (س) = كوس (س) ) (السهم الأيمن) (و (0) = 1 )
( fp (x) = - الخطيئة (x) ) (السهم الأيمن) ( fp (0) = 0 )
( fp '(x) = - cos (x) ) (السهم الأيمن) (fp '(0) = -1 )
( fp '' (x) = الخطيئة (x) ) (السهم الأيمن) (fp '' (0) = 0 )
(f ^ <(4)> (x) = cos (x) ) (السهم الأيمن) (و ^ <(4)> (0) = 1 )
(f ^ <(5)> (x) = - sin (x) ) (السهم الأيمن) (و ^ <(5)> (0) = 0 )
(f ^ <(6)> (x) = - cos (x) ) (السهم الأيمن) (و ^ <(6)> (0) = -1 )
(f ^ <(7)> (x) = sin (x) ) (السهم الأيمن) (و ^ <(7)> (0) = 0 )
(و ^ <(8)> (س) = كوس (س) ) (السهم الأيمن) (و ^ <(8)> (0) = 1 )
(f ^ <(9)> (x) = - sin (x) ) (السهم الأيمن) (و ^ <(9)> (0) = 0 )

لاحظ كيف أن المشتقات ، المقيمة عند (x = 0 text <،> ) تتبع نمطًا معينًا. ستختفي جميع القوى الفردية لـ (س ) في كثير حدود تايلور لأن معاملها هو (0 نص <.> ) بينما تشير حدود الخطأ لدينا إلى أننا بحاجة (p_9 (x) نص <،> ) ) يوضح عملنا أن هذا سيكون هو نفسه (p_8 (x) text <.> )

نظرًا لأننا نشكل كثير الحدود الخاص بنا في (x = 0 text <،> ) ، فإننا نقوم بإنشاء متعدد حدود Maclaurin ، و:

أخيرًا قمنا بتقريب ( cos (2) text <:> )

يضمن خطأنا المرتبط أن هذا التقريب ضمن (0.001 ) من الإجابة الصحيحة. توضح لنا التكنولوجيا أن تقريبنا في الواقع يقع في حدود (0.0003 ) من الإجابة الصحيحة.

يوضح الشكل 4.5.21 رسمًا بيانيًا لـ (y = p_8 (x) ) و (y = cos (x) text <.> ) لاحظ مدى اتفاق الوظيفتين حول ((- pi ، pi) text <.> )

المثال 4.5.22. إيجاد واستخدام معادلات تايلور متعددة الحدود.

أوجد الدرجة 4 كثير حدود تايلور ، (p_4 (x) text <،> ) لـ (f (x) = sqrt) في (س = 4 نص <.> )

استخدم (p_4 (x) ) لتقريب ( sqrt <3> text <.> )

ابحث عن حدود للخطأ عند تقريب ( sqrt <3> ) مع (p_4 (3) text <.> )

نبدأ بتقييم مشتقات (f ) في (x = 4 text <.> ) ويتم ذلك في الشكل 4.5.23.

(و (س) = الجذر التربيعي) (السهم الأيمن) (و (4) = 2 )
( ds fp (x) = فارك <1> <2 sqrt>) (السهم الأيمن) ( ds fp (4) = فارك <1> <4> )
( ds fp '(x) = فارك <-1> <4x ^ <3/2 >> ) (السهم الأيمن) ( ds fp '(4) = فارك <-1> <32> )
( ds fp '' (x) = frac3 <8x ^ <5/2 >> ) (السهم الأيمن) ( ds fp '' (4) = فارك <3> <256> )
( ds f ^ <(4)> (x) = frac <-15> <16x ^ <7/2 >> ) (السهم الأيمن) ( ds f ^ <(4)> (4) = فارك <-15> <2048> )

تسمح لنا هذه القيم بتشكيل متعدد الحدود لتايلور (p_4 (x) text <:> )

كـ (p_4 (x) تقريبًا sqrt) بالقرب من (x = 4 text <،> ) نحن نقرب ( sqrt <3> ) مع (p_4 (3) = 1.73212 text <.> )

للعثور على حد للخطأ ، نحتاج إلى فاصل زمني مفتوح يحتوي على (x = 3 ) و (x = 4 text <.> ) قمنا بتعيين (I = (2.9،4.1) text <. > ) أكبر قيمة هو المشتق الخامس من (f (x) = sqrt) يأخذ هذا الفاصل الزمني بالقرب من (x = 2.9 text <،> ) عند حوالي (0.0273 text <.> ) (غالبًا ما نرسم ((n + 1) ^) لإيجاد قيمته القصوى. في هذه الحالة يكون (f ^ <(5)> (x) = 105 / (32x ^ <9/2>) ) يتناقص دائمًا ، لذلك يحدث الحد الأقصى عند (2.9 text <.> )) هكذا

يوضح هذا أن تقريبنا دقيق على الأقل لأول منزلتين بعد العلامة العشرية. (اتضح أن تقريبنا دقيق بالفعل لأربعة أماكن بعد العلامة العشرية.) رسم بياني لـ (f (x) = sqrt x ) و (p_4 (x) ) موضح في الشكل 4.5.24. لاحظ كيف لا يمكن تمييز الوظيفتين تقريبًا في ((2،7) text <.> )

يعطي مثالنا الأخير مقدمة موجزة عن استخدام Taylor متعدد الحدود لحل المعادلات التفاضلية.

مثال 4.5.25. تقريب وظيفة غير معروفة.

الدالة (y = f (x) ) غير معروفة باستثناء الحقائق التالية.

(تقول هذه الحقيقة الثانية أنه من المثير للدهشة أن مشتق الدالة هو في الواقع تربيع الدالة!)

أوجد الدرجة 3 متعدد حدود Maclaurin (p_3 (x) ) من (y = f (x) text <.> )

قد يعتقد المرء في البداية أنه لا توجد معلومات كافية للعثور على (p_3 (x) text <.> ) ومع ذلك ، لاحظ كيف تتيح لنا الحقيقة الثانية أعلاه معرفة ما هو (y '(0) ):

بما أن (y (0) = 1 text <،> ) نستنتج أن (y '(0) = 1 text <.> )

الآن نجد معلومات حول (y '' text <.> ) بدءًا من (y '= y ^ 2 text <،> ) أخذ مشتقات من كلا الجانبين ، فيما يتعلق (س ). هذا يعني أنه يجب علينا استخدام التفاضل الضمني.

الآن قم بتقييم كلا الجانبين على (x = 0 text <:> )

يبدأ y '' (0) amp = 2y (0) cdot y '(0) y' '(0) amp = 2 text <.> end

نكرر هذا مرة أخرى للعثور على (y '' (0) text <.> ) مرة أخرى نستخدم التفاضل الضمني هذه المرة ، قاعدة المنتج مطلوبة أيضًا.

الآن قم بتقييم كلا الجانبين على (x = 0 text <:> )

يبدأ y '' (0) amp = 2y '(0) ^ 2 + 2y (0) y' '(0) y' '' (0) amp = 2 + 4 = 6 text <.> نهاية

اتضح أن المعادلة التفاضلية التي بدأنا بها ، (y '= y ^ 2 text <،> ) حيث (y (0) = 1 text <،> ) يمكن حلها دون صعوبة كبيرة:

يوضح الشكل 4.5.26 هذه الوظيفة المرسومة باستخدام (p_3 (x) text <.> ) لاحظ مدى تشابههما بالقرب من (x = 0 text <.> )

إنه خارج نطاق هذا النص لمتابعة تحليل الخطأ عند استخدام Taylor متعدد الحدود لتقريب الحلول للمعادلات التفاضلية. غالبًا ما يتم التطرق إلى هذا الموضوع في دورات المعادلات التفاضلية التمهيدية وعادة ما يتم تغطيته بعمق في دورات التحليل العددي. مثل هذا التحليل مهم جدًا يحتاج المرء إلى معرفة مدى جودة تقريبه. لقد اكتشفنا هذا المثال ببساطة لإثبات فائدة تيلور متعدد الحدود.

تعلمنا أولاً عن المشتق في سياق معدلات التغيير اللحظية ومنحدرات خطوط الظل. لقد عززنا فهمنا لقوة المشتق من خلال دراسة كيفية ارتباطه بالرسم البياني للوظيفة (مما يؤدي إلى أفكار الزيادة / النقصان والتقعر).

تمارين تمارين

الشروط والمفاهيم

ما هو الفرق بين كثير حدود تايلور و Maclaurin كثير الحدود؟


حساب التفاضل والتكامل واضح

تعليمات: اعمل مع مجموعتك على المشكلة الموكلة إليك. نحن نشجعك على التعاون داخل الفصل وخارجه ، ولكن يجب عليك كتابة ردودك بشكل فردي.

اكتب (n ^ text) درجة تيلور متعددة الحدود من أجل (f (x) = e ^ x ) متمركزة في (a = 0 ). استخدم معادلة لاجرانج المتبقية (أو عدم مساواة تايلور) لتحديد أصغر درجة يمكنك استخدامها لتقريب (e ) في حدود 0.02٪ من قيمتها الفعلية ، أي ( إبسيلون = 0.0002e ).

في العلوم ، غالبًا ما يستخدم التقريب ( sin theta almost theta ) للزوايا الصغيرة.

برر ذلك باستخدام سلسلة تايلور. استخدم باقي لاغرانج لتحديد الزوايا الصغيرة التي يكون هذا التقريب دقيقًا لها ضمن حدود الخطأ ( epsilon = 0.1 ).

تقريبي ( sin 92 ^ circ ) إلى دقة 5 أرقام عشرية ( ( epsilon = 5 مرات 10 ^ <-6> )) باستخدام سلسلة تايلور لـ ( sin (x) ) المتمركز في (س = 0 ). ما الدرجة التي احتجت لاستخدامها في تيلور متعدد الحدود؟

تقريبي ( sin 92 ^ circ ) إلى 5 أرقام عشرية باستخدام سلسلة تايلور من ( sin (x) ) في (x = frac < pi> <2> ). ما الدرجة التي احتجت لاستخدامها في تيلور متعدد الحدود؟

إذا أردنا استخدام 7 (^ text) درجة تيلور متعددة الحدود متمركزة في (أ = 0 ) لتقريب (و ) ، ونريد ربط الخطأ ليكون أقل من ( إبسيلون = 0.1 ) ، ابحث عن أكبر فاصل زمني ممكن لـ ( س ).

لنفترض الآن أننا نريد أن يكون التقريب دقيقًا ضمن ( epsilon = 0.1 ) من الإجابة الصحيحة على فاصل زمني أكبر ، لنقل (- 5 leq x leq 5 ). كم عدد المصطلحات التي نحتاج لاستخدامها في سلسلة تايلور؟ (تلميح: إنها أكثر من 10)

أظهر أن المصطلح الأول في سلسلة تايلور من (F (h) ) المتمركز في (h = 0 ) هو (P_0 (h) = mg ).

استخدم باقي لاغرانج لتحديد المسافة التي يمكنك السفر إليها عن مستوى سطح البحر قبل أن يكون الخطأ في (F ) أكثر من 10٪ من التقريب (P_0 (h) = mg )؟

(تلميح: هذا يعني أن الخطأ المرتبط هو ( epsilon = .1 * ملغ )).

ما هو التقريب الخطي (P_1 (ح) )؟ ما هو الخطأ المرتبط ، ( epsilon ) ، للتقريب الخطي على المسافة التي حددتها في الجزء ب (يمكنك استخدام (ملغ ) في الحد الخاص بك)؟

استخدم سلسلة Taylor المتمركزة في (a = 1 ) لتقريب ( ln (2) ) بحيث يكون الخطأ أقل من ( epsilon = 0.1 ).


تيلور متعدد الحدود من الدرجة الثانية مع مثال سطحي 1

6. ابحث عن سلسلة Taylor لـ (f left (x right) = 7 - 6 س + 1 ) حوالي (س = 2 ).

إظهار كل الخطوات إخفاء كل الخطوات

أولاً ، دعونا لا نتحمس كثيرًا لحقيقة أن لدينا كثير الحدود هنا لهذه المشكلة. إنه يعمل بنفس الطريقة تمامًا مع بعض الاختلافات الصغيرة.

سنبدأ بأخذ بعض مشتقات الدالة وتقييمها عند (x = 2 )

[يبدأ & & f يسار (س يمين) & = 7 - 6x + 1 & f يسار (2 يمين) & = 17 & & f ' left (x right) & = 14x - 6 & f' left (2 right) & = 22 & & f '' يسار (x يمين) & = 14 & f '' يسار (2 يمين) & = 14 & & > يسار (س يمين) & = 0 & > يسار (2 يمين) & = 0 نهاية]

حسنًا ، هذا هو أحد الاختلافات بين كثير الحدود وأنواع الوظائف الأخرى التي نراها عادةً مع مشاكل Taylor Series. بعد نقطة ما ، ستكون جميع المشتقات صفرًا. هذا ليس شيئًا يثير الحماس. في الواقع ، هذا يجعل المشكلة أسهل قليلاً!

نظرًا لأن جميع المشتقات تساوي صفرًا بعد نقطة ما ، فلا نحتاج إلى صيغة للمصطلح العام. كل ما نحتاجه هو قيم المصطلحات المشتقة غير الصفرية.

بمجرد أن نحصل على القيم من الخطوة السابقة ، كل ما نحتاج إليه هو كتابة سلسلة Taylor. للقيام بذلك ، كل ما نحتاج إلى فعله هو تجريد كل الحدود غير الصفرية من المتسلسلة ثم الاعتراف بأن الباقي سيكون صفراً فقط (كل الحدود المتبقية هي صفر بعد كل شيء!).

يبدو غريباً بعض الشيء لكن ها هو لا تضرب / تبسط هذا. هذا حقا هو الجواب الذي نبحث عنه.

أيضًا ، لا تعتقد أن هذه مشكلة تم إجراؤها للتو لجعلك تعمل على مشكلة أخرى. هناك تطبيقات لسلسلة (خارج نطاق هذه الدورة ولكن ...) تتطلب فعلاً القيام بهذا النوع من الأشياء التي قد تبدو غريبة!


تيلور متعدد الحدود من الدرجة الثانية مع مثال سطحي 1

وبالتالي ، فإن مشتق f (t) هو. منذ ذلك الحين ، نحصل على معادلة لخط المماس عند:

إحدى الطرق لمعرفة أن خط المماس للدالة f (x) عند نقطة معينة هو أفضل خط يقترب من الوظيفة هو ملاحظة أن خط الظل هو الخط (فقط) الذي يمر عبر النقطة وله نفس ميل f (x) في.

إذن ماذا عن إيجاد القطع المكافئ "الأفضل" الذي يقترب من الدالة f (x) القريبة؟ يجب أن نبحث عن القطع المكافئ الذي يمر عبره ، والذي له نفس ميل (المشتق الأول) مثل f (x) عند ، والذي يحتوي على نفس المشتق الثاني مثل f (x) عند!

لنجربها: فكر في القرب. القطع المكافئ الذي نحاول إيجاده له الشكل العام:

عند كتابة القطع المكافئ بهذه الطريقة ، يكون من الأسهل حساب مشتقاته على النحو التالي: p '(x) = b +2 c (x -1) and p' '(x) = 2 c. الاستبدال الذي نحصل عليه:

تذكر أننا نريد إيجاد القطع المكافئ الذي له نفس المشتقات في f (x). هذا ينتج الشروط:

الآن و. نحصل على حل المعامِلات والاستعاضة عنها في صيغة p (x)

كثير الحدود ص (س) يسمى الدرجة الثانية تيلور كثير الحدود للوظيفة عند النقطة.

تُظهر الصورة أدناه f (x) باللون الأسود ودرجتها الثانية Taylor متعددة الحدود باللون الأحمر.

ليس من الصعب رؤية الشكل الذي ستبدو عليه الصيغة العامة: إذا استبدلنا بـ "عام" أعلاه ، نحصل على:

كالصيغة العامة لكثيرات الحدود تايلور في نحن بحاجة إلى ذلك

يسمى مركز تيلور كثير الحدود. ملاحظة: المركز ثابت ، اسم المتغير لكثير الحدود هو x. حتى إذا أخذنا في الاعتبار نفس الوظيفة f (x) ، فعادة ما تنتج المراكز المختلفة متغيرات تايلور متعددة الحدود (تمامًا كما تحتوي الوظيفة عادةً على خطوط ظل مختلفة في نقاط مختلفة!).


تيلور متعدد الحدود من الدرجة الثانية مع مثال سطحي 1

أنت على وشك امسح عملك في هذا النشاط. هل انت متأكد من أنك تريد أن تفعل هذا؟

نسخة محدثة متوفرة

هناك نسخة محدثة من هذا النشاط. إذا قمت بالتحديث إلى أحدث إصدار من هذا النشاط ، فسيتم مسح تقدمك الحالي في هذا النشاط. بغض النظر ، سيبقى سجل الإنجاز الخاص بك. كيف تريد المتابعة؟

محرر التعبير الرياضي

تمارين مختلفة تتعلق بتطبيق سلسلة Taylor على مشاكل أخرى ذات أهمية.

  • الشروط الأولى لسلسلة Maclaurin هي
  • قم بالتوصيل والطرح:
  • اضرب في ، أهمل الكل ما عدا المصطلح السائد ، واستنتج
  • اجمع أولاً اللوغاريتمات لتبسيط قليلاً:
  • اكتب المصطلحات القليلة الأولى من سلسلة Maclaurin واستبدلها في التعبير المناسب الذي يتضمن:
  • اضرب في ، إهمال الكل ما عدا المصطلح السائد (كما نستنتج
  • احسب المصطلحات القليلة الأولى من سلسلة تايلور للبسط والمقام المتمركزة في:
  • إهمال الكل ما عدا الحدود السائدة في البسط والمقام. لاحظ أن الكلمة المهيمنة هنا تعني. ثم خذ الحد:
  • تقول الصيغة المتبقية أنه بالنسبة لبعض النقاط التي تعتمد على الفاصل الزمني وتقع في مكان ما في الفترة الزمنية. الحد الأعلى لمقدار هذه الفترة هو.
  • لأي قيم لدينا (تحقق يدويًا من وجود قيم صغيرة للاستخدام بين و.)
  • The Maclaurin series of the function converges conditionally at to . Compute the Maclaurin series: (Reindex your answer to match the template above if your answer doesn’t work as-is.)
  • What degree Taylor polynomial would you need to use to approximate the value of to an error strictly less than ? Answer: Taylor polynomial used should have degree or greater.
  • A similar but distinct strategy would be to compute instead because we know . Evaluating the Maclaurin series at and doing a little simplification, we see from the above series that (Once again, reindex if your answer does not already start at .)
  • The presence of a factor exponential in suggests that this second series converges to much slower slightly slower slightly faster much faster than the first series. Of the two series, then, the first second series presents a more efficient way to compute numerically.
  • Guided by the example above, we will use the Maclaurin series First, compute the derivatives of . Find a pattern which holds for all : When is between and , the largest value of the -st derivative is what?
  • Using this upper bound for the -st derivative, we know that (use the upper bound and the remainder formula.)
  • For which values of is the expression you just found less than ? Check by hand for smallish values of to find the smallest one which works.

Sample Quiz Questions

Use Taylor series to estimate the value of to within an error of at most . (Hints will not be revealed until you choose a response.)

Use Taylor series to estimate the value of to within an error of at most .


The Taylor series out to second-order terms for a function of two variables is $ f(x,y)=f(x_0,y_0)+(x-x_0)f_x(x_0,y_0)+(y-y_0)f_y(x_0,y_0)+frac12((x-x_0)^2f_(x_0,y_0)+2(x-x_0)(y-y_0)f_(x_0,y_0)+(y-y_0)^2f_(x_0,y_0))+O(|(x,y)-(x_0,y_0)|^3). $ Just as with the Taylor series for $cos x$ at $, in which every other coefficient is $, it’s perfectly fine for some of these partial derivatives to be $. In this case, $f_y=-sin-pi xsin=0$ and $f_=pi^2ysin=0$ at $(1,2)$, so the series won’t have a $(y-2)$ or $(x-1)^2$ term.

متعلق ب

أسئلة الشبكة الساخنة


Geometric Partial Differential Equations - Part I

Robert I. Saye , James A. Sethian , in Handbook of Numerical Analysis , 2020

4.1.3 Modern reinitialization techniques

In some applications of level set methods and implicit interface methods, a high-order approximation of the signed distance function is required. This is because distances or closest points to the implicitly defined interface may in some way be used to infer the geometry of the surface itself, such as when calculating normal vector fields, or curvature quantities like mean curvature or Gaussian curvature, or extension velocities discussed in the next section. Chopp's reinitialization method operates by interpolating the level set function in each grid cell via bicubic polynomials and then uses a quasi-Newton iterative method to compute distances to the zero level set of the polynomials. For sufficiently smooth problems, this procedure results in third-order accuracy. More modern and sophisticated reinitialization techniques extending this idea were introduced by Saye (2014) and allow for arbitrary order accuracy. The essential idea in this class of techniques is to fit high-order polynomials to each grid cell and apply a full Newton root finding method for increased accuracy and efficiency.

The algorithm consists of two main stages. First, in an initialization stage, a level set function ϕ defined on a mesh is piecewise approximated by high-order polynomials. In a finite element method, these polynomials may already be defined by the polynomials on the mesh in a finite difference method, these polynomials could be constructed via piecewise bicubic polynomials (as in Chopp's approach) or Taylor polynomials of sufficient degree using compact stencils, as shown in Fig. 6 (left). These polynomials are then “sampled” by seeding points on their zero level set, with sufficient density to form a scattered cloud of points approximating the interface of ϕ. Seeding points on the zero level set of a polynomial is inexpensive and can be done via a couple iterations of xأنا+1 = xأناص(xأنا)∇ص(xأنا)/∥∇ص(xأنا)∥ 2 , where ص is the polynomial and x0 is chosen somewhere in the interior of the grid cell or mesh element. In the second stage of the algorithm, given a query point x in the computational domain, the closest point in the cloud to x is found. This closest seed forms an approximation of the actual closest point to x the approximation is then improved by using the original polynomial from which it was created, together with Newton's method for solving the minimum-distance optimization problem. The full Newton's method operates by computing the objective functional's Hessian using the gradient and Hessian of the polynomial evaluated at each iterate, and falls back to Chopp's quasi-Newton method in the very rare case that the full Hessian cannot be reliably inverted.

Fig. 6 . Left: High-order accurate reinitialization methods can choose stencils of varying sizes to yield different orders of accuracy. حق: Subgrid details of an interface can be captured with a high-order accurate method. Here, level set values are defined only at the grid points, while the curves show the contours of the computed signed distance function—subcell features, such as the fully enclosed interface droplet, can be recovered with high-order polynomial interpolation.

Adapted from Saye, R. I., 2014. High-order methods for computing distances to implicitly defined surfaces. Commun. Appl. رياضيات. حاسوب. علوم. 9, 107–141.


شاهد الفيديو: دراسة اشارة كثير حدود من الدرجة الثانية (شهر اكتوبر 2021).