مقالات

Seeburger-Calculus3-13.7-2nd-Degree Taylor Polynomial مع المثال السطحي 1B


Seeburger-Calculus3-13.7-2nd-Degree Taylor Polynomial مع المثال السطحي 1B

رياضيات 172 - حساب التفاضل والتكامل II

ثم يتم تحديد النسبة المئوية للدورة التدريبية النهائية P من خلال:

لا يجوز "إسقاط" أي من درجات الاختبار أو الواجب المنزلي أو القسم.

سيتم تحويل نسبة الدورة إلى درجة حرف باستخدام المقياس التالي:

يوفر مركز تعليم الرياضيات (MLC - Wil 1-112) أيضًا دروسًا خصوصية مجانية خلال الأسبوع.
يتوفر مدرسون قادرون (بما في ذلك مدربي M172 الحاليين) وفقًا لـ
الجدول التالي

تعقد كورين كاسولارا أيضًا جلسات مراجعة ما قبل الامتحان M172 وفقًا للجدول التالي:

امتحانات الساعة الشائعة عبارة عن كتاب مغلق ولا ملاحظات ولا أجهزة إلكترونية.

الاختبار النهائي شامل ولكن نطاقه محدود.
سيتم سرد المحتويات الدقيقة في وقت لاحق من الفصل الدراسي.

السياسات المتعلقة بالاختبارات و / أو الواجبات المنزلية التي تشكل درجة القسم الخاص بك
سيبلغك معلمك بذلك.

تاريخ الامتحان وجدول موقع الغرفة: (مؤقت)

فيما يلي قائمة بمشاكل الواجبات المنزلية الإضافية من الكتاب المدرسي. إنها تشبه أسئلة مهام Webwork و (الأهم من ذلك) أنها تشير إلى أسئلة الامتحان. على الرغم من أنها ليست متدرجة
من المهم جدًا أن تعرف المادة.


Seeburger-Calculus3-13.7-2nd-Degree Taylor Polynomial مع المثال السطحي 1B

بالعودة إلى الفصل الخاص بالحدود ، رأينا طرقًا للتعامل مع الحدود التالية.

في الحد الأول إذا قمنا بالتوصيل (x = 4 ) فسنحصل على 0/0 وفي الحد الثاني إذا قمنا "بتوصيل" اللانهاية فسنحصل على (< infty> / <- infty> ) (تذكر أنه عندما ينتقل (x ) إلى ما لا نهاية ، فإن كثيرة الحدود سوف تتصرف بنفس الطريقة التي تتصرف بها أكبر قوة لها). كلاهما يسمى أشكال غير محددة. في كلتا الحالتين هناك مصالح أو قواعد متنافسة وليس من الواضح أيهما سيفوز.

في حالة 0/0 ، نفكر عادةً في أن كسر بسطه صفر يساوي صفرًا. ومع ذلك ، فإننا نميل أيضًا إلى التفكير في الكسور التي يتجه فيها المقام إلى الصفر ، في النهاية ، على أنها لانهاية أو قد لا تكون موجودة على الإطلاق. وبالمثل ، فإننا نميل إلى التفكير في كسر يكون فيه البسط والمقام واحدًا. لذا ، أيهما سيفوز؟ أو لن يفوز أي منهما وكلهم "سيلغيون" وسيصل الحد إلى قيمة أخرى؟

في حالة (< infty> / <- infty> ) لدينا مجموعة مماثلة من المشاكل. إذا كان بسط الكسر سيصل إلى ما لا نهاية ، فإننا نميل إلى التفكير في أن الكسر كله سينتقل إلى ما لا نهاية. أيضًا ، إذا كان المقام سينتهي إلى ما لا نهاية ، فإننا نميل إلى التفكير في الكسر على أنه يساوي صفرًا. لدينا أيضًا حالة الكسر الذي يكون فيه البسط والمقام متماثلين (تجاهل علامة الطرح) وبالتالي قد نحصل على -1. مرة أخرى ، ليس من الواضح أي من هؤلاء سيفوز ، إذا كان أي منهم سيفوز.

مع الحد الثاني ، هناك مشكلة أخرى وهي أن اللانهاية ليست رقمًا في الحقيقة ، وبالتالي لا ينبغي لنا حتى التعامل معها كرقم. في كثير من الأحيان لن تتصرف ببساطة كما كنا نتوقعها إذا كانت رقمًا. لإلقاء نظرة أكثر على هذا ، تحقق من قسم أنواع اللانهاية في فصل الإضافات في نهاية هذا المستند.

هذه هي مشكلة النماذج غير المحددة. ليس من الواضح ما يحدث في الحد الأقصى. هناك أنواع أخرى من النماذج غير المحددة أيضًا. بعض الأنواع الأخرى

كل هذه المصالح أو القواعد المتنافسة التي تخبرنا بما يجب أن يحدث وليس من الواضح أي من المصالح أو القواعد التي ستنتصر ، إن وجدت. موضوع هذا القسم هو كيفية التعامل مع هذه الأنواع من الحدود.

كما أشرنا من قبل ، نحن نعرف بالفعل كيفية التعامل مع بعض أنواع النماذج غير المحددة بالفعل. بالنسبة إلى الحدين أعلاه ، فإننا نعمل على النحو التالي.

في الحالة الأولى ، حللنا ببساطة وألغينا الحد وأخذنا الحد وفي الحالة الثانية أخرجنا العامل () من كل من البسط والمقام وأخذ النهاية. لاحظ كذلك أن أيًا من المصالح أو القواعد المتنافسة في هذه الحالات لم ينتصر! هذا هو الحال في كثير من الأحيان.

لذا ، يمكننا التعامل مع بعض هؤلاء. ومع ذلك ، ماذا عن الحدين التاليين.

هذه الصيغة الأولى هي 0/0 غير محددة ، لكن لا يمكننا تحليل هذا. والثاني هو (< infty> / < infty> ) شكل غير محدد ، لكن لا يمكننا فقط تحليل () من البسط. لذلك ، لا شيء لدينا في حقيبة الحيل لدينا سيعمل مع هذين الحدين.

هذا هو المكان الذي يدخل فيه موضوع هذا القسم.

قاعدة L’Hospital

لنفترض أن لدينا إحدى الحالات التالية ،

حيث (أ ) يمكن أن يكون أي رقم حقيقي أو ما لا نهاية أو ما لا نهاية سالب. في هذه الحالات لدينا ،

لذلك ، تخبرنا قاعدة لوبيتال أنه إذا كان لدينا شكل غير محدد 0/0 أو (< infty> / < infty> ) كل ما نحتاج إليه هو التفريق بين البسط وتفريق المقام ثم أخذ حد.

قبل متابعة الأمثلة ، اسمحوا لي أن أتناول تهجئة "L’Hospital". التهجئة الأكثر حداثة هي "L’Hôpital". ومع ذلك ، عندما تعلمت حساب التفاضل والتكامل لأول مرة ، استخدم معلمي الإملاء الذي أستخدمه في هذه الملاحظات وأول كتاب نصي قمت بتدريسه في حساب التفاضل والتكامل ، استخدم أيضًا التهجئة التي أستخدمها هنا.

أيضًا ، كما هو مذكور في صفحة Wikipedia الخاصة بـ L’Hospital's Rule ،

"في القرنين السابع عشر والثامن عشر ، تم تهجئة الاسم بشكل شائع & quotl'Hospital & quot ، وقد قام بنفسه بتهجئة اسمه بهذه الطريقة. ومع ذلك ، فقد تم تغيير التهجئات الفرنسية: تمت إزالة الحرف الصامت واستبداله بالحروف المتحركة فوق حرف العلة السابق. لا يزال التهجئة السابقة مستخدمة في اللغة الإنجليزية حيث لا توجد أحرف معقوفة ".

لذا ، فإن التهجئة التي استخدمتها هنا هي تهجئة مقبولة لاسمه ، وإن لم تكن التهجئة الحديثة ، ولأنني معتاد على تهجئتها على أنها "L'Hospital" ، فهذا هو التهجئة التي سأستخدمها في هذه الملاحظات.

  1. ( displaystyle mathop < lim> limits_ frac << sin x >>)
  2. ( displaystyle mathop < lim> limits_ فارك << 5- 4 - 1 >> << 10 - ر - 9>>)
  3. ( displaystyle mathop < lim> limits_ فارك <<<< bf> ^ س >>> <<>>)

لذلك ، لقد أثبتنا بالفعل أن هذا نموذج 0/0 غير محدد ، لذا دعنا نطبق قاعدة L’Hospital's.

في هذه الحالة ، لدينا أيضًا صيغة 0/0 غير محددة ، وإذا كنا جيدًا في التحليل ، فيمكننا تحليل البسط والمقام ، وتبسيطها وأخذ النهاية. ومع ذلك ، سيكون هذا العمل أكثر من مجرد استخدام L’Hospital’s Rule.

كان هذا هو الحد الآخر الذي بدأنا النظر إليه ونعلم أنه الشكل غير المحدد (< infty> / < infty> ) لذا فلنطبق قاعدة L’Hospital’s.

الآن لدينا مشكلة صغيرة. هذا الحد الجديد هو أيضًا نموذج (< infty> / < infty> ) غير محدد. ومع ذلك ، فهي ليست مشكلة في الحقيقة. نحن نعرف كيف نتعامل مع هذه الأنواع من الحدود. ما عليك سوى تطبيق قاعدة L’Hospital’s.

سنحتاج أحيانًا إلى تطبيق قاعدة L’Hospital's أكثر من مرة.

تعمل قاعدة L’Hospital’s بشكل رائع على الشكلين غير المحددين 0/0 و (<< pm ، infty >> / << pm ، infty >> ). ومع ذلك ، هناك العديد من النماذج غير المحددة هناك كما رأينا سابقًا. دعونا نلقي نظرة على بعض هؤلاء ونرى كيف نتعامل مع تلك الأنواع من الأشكال غير المحددة.

سنبدأ بالصيغة غير المحددة ( left (0 right) left (< pm ، infty> right) ).

لاحظ أننا نحتاج فعلاً إلى وضع حد اليد اليمنى هنا. نحن نعلم أن اللوغاريتم الطبيعي محدد فقط للإيجابية (س ) وبالتالي فإن هذا هو الحد الوحيد الذي له معنى.

الآن ، في الحد الأقصى ، نحصل على الشكل غير المحدد ( left (0 right) left (<- infty> right) ). لن تعمل قاعدة L’Hospital’s على المنتجات ، بل تعمل فقط على حواجز القسمة. ومع ذلك ، يمكننا تحويل هذا إلى كسر إذا أعدنا كتابة الأشياء قليلاً.

الوظيفة هي نفسها ، تمت إعادة كتابتها فقط ، والآن أصبح الحد بالشكل (- < infty> / < infty> ) ويمكننا الآن استخدام قاعدة L’Hospital’s.

الآن ، هذه فوضى ، لكنها تنظف بشكل جيد.

في المثال السابق ، استخدمنا حقيقة أنه يمكننا دائمًا كتابة منتج من الدوال كحاصل من خلال القيام بأحد الإجراءات التالية.

سيسمح لنا استخدام هاتين الحقيقتين بتحويل أي حد بالصيغة ( left (0 right) left (< pm ، infty> right) ) إلى حد بالصيغة 0/0 أو (<< pm ، infty >> / << pm ، infty >> ). أي من هذين الاثنين الذي نحصل عليه بعد إعادة الكتابة سيعتمد على الحقيقة التي استخدمناها لإعادة الكتابة. سيعطي أحد المعاد كتابته 0/0 والآخر سيعطي (<< pm ، infty >> / << pm ، infty >> ). كل هذا يتوقف على الوظيفة التي تبقى في البسط والتي يتم نقلها إلى المقام.

دعونا نلقي نظرة على مثال آخر.

إذن ، فهو في الشكل ( left ( infty right) left (0 right) ). هذا يعني أننا سنحتاج إلى كتابته كحاصل. لقد نجح نقل (x ) إلى المقام في المثال السابق ، فلنجرب ذلك مع هذه المشكلة أيضًا.

كتابة المنتج بهذه الطريقة يعطينا منتجًا بالصيغة 0/0 في الحد. لذلك ، دعونا نستخدم قاعدة L’Hospital's على حاصل القسمة.

هممم…. لا يبدو أن هذا يقودنا إلى أي مكان. مع كل تطبيق لقاعدة L’Hospital’s Rule ، ننتهي للتو بصيغة 0/0 أخرى غير محددة وفي الحقيقة يبدو أن المشتقات تزداد سوءًا. لاحظ أيضًا أنه إذا قمنا بتبسيط حاصل القسمة إلى منتج ، فسننتهي إما بـ ( left ( infty right) left (0 right) ) أو ( left (<- infty> ) يمين) يسار (0 يمين) ) وبذلك لن يفيدنا ذلك.

هذا لا يعني مع ذلك أنه لا يمكن عمل الحد. هذا يعني أننا نقلنا الدالة الخطأ إلى المقام. دعنا ننتقل إلى الدالة الأسية بدلاً من ذلك.

لاحظ أننا استخدمنا حقيقة أن ،

لتبسيط حاصل القسمة قليلاً. سيساعدنا هذا عندما يحين وقت أخذ بعض المشتقات. حاصل القسمة هو الآن شكل غير محدد من (- < infty> / < infty> ) وباستخدام L’Hospital’s Rule يعطي ،

لذلك ، عند مواجهة منتج ( left (0 right) left (< pm ، infty> right) ) يمكننا تحويله إلى حاصل قسمة يسمح لنا باستخدام قاعدة L’Hospital's Rule. ومع ذلك ، كما رأينا في المثال الأخير ، يجب أن نكون حذرين في كيفية القيام بذلك في بعض الأحيان. في بعض الأحيان يمكننا استخدام حاصل القسمة وفي حالات أخرى واحد فقط يعمل.

دعنا الآن نلقي نظرة على النماذج غير المحددة ،

يمكن التعامل مع كل هذه الأمور بالطريقة التالية ، لذا سنعمل على مثال واحد فقط.

في الحد هذا هو الشكل غير المحدد [< infty ^ 0> ]. سننفق في الواقع معظم هذه المشكلة على حدود مختلفة. دعنا أولا نحدد ما يلي.

الآن ، إذا أخذنا اللوغاريتم الطبيعي لكلا الجانبين ، فسنحصل على

دعنا الآن نلقي نظرة على الحد التالي.

كان هذا الحد مجرد مشكلة في قاعدة L’Hospital ونعرف كيفية القيام بذلك. إذن ، ما علاقة هذا بحدنا؟ حسنًا ، لاحظ أولاً ذلك ،

ولذا يمكن كتابة حدنا على النحو التالي ،

يمكننا الآن استخدام الحد أعلاه لإنهاء هذه المشكلة.

من خلال قاعدة L’Hospital’s Rule ، يمكننا الآن اتخاذ الحد الأقصى من مجموعة متنوعة من النماذج غير المحددة التي لم نتمكن من التعامل معها قبل هذا القسم.


Seeburger-Calculus3-13.7-2nd-Degree Taylor Polynomial مع المثال السطحي 1B

عندما تحدثنا لأول مرة عن تقارب السلاسل ، ذكرنا بإيجاز نوعًا أقوى من التقارب ولكننا لم نفعل أي شيء به لأنه لم يكن لدينا أي أدوات تحت تصرفنا يمكننا استخدامها لحل المشكلات المتعلقة به. لدينا الآن بعض هذه الأدوات ، لذا حان الوقت الآن للتحدث عن التقارب المطلق بالتفصيل.

أولاً ، دعونا نعود إلى تعريف التقارب المطلق.

تعريف

سلسلة (displaystyle sum <> ) يسمى متقاربة تماما إذا (displaystyle sum > right |> ) متقارب. إذا كان ( displaystyle sum <>) متقارب و (displaystyle sum > right |> ) متشعب نسميه السلسلة متقاربة مشروطًا.

لدينا أيضًا الحقيقة التالية حول التقارب المطلق.

إذا كان ( displaystyle sum <> ) متقاربة تمامًا ، فهي أيضًا متقاربة.

دليل - إثبات

لاحظ أولاً أن ( left | <> right | ) إما () أم أنها (- ) حسب علامته. هذا يعني أنه يمكننا القول ،

[0 جنيه + اليسار | <> حق | le 2 اليسار | <> حق | ]

الآن ، بما أننا نفترض أن ( sum < left | <> right |> ) متقارب ثم ( sum <2 left | <> right |> ) هي أيضًا متقاربة نظرًا لأنه يمكننا فقط تحليل 2 من السلسلة ومضاعفة القيمة المحدودة ستظل محدودة. ومع ذلك ، يسمح لنا هذا باستخدام اختبار المقارنة لنقول أن ( sum left (<+ اليسار | <> right |> right) ) هي أيضًا سلسلة متقاربة.

وهكذا ( sum <> ) هو الفرق بين سلسلتين متقاربتين وكذلك متقارب.

هذه الحقيقة هي إحدى الطرق التي يكون من خلالها التقارب المطلق نوعًا "أقوى" من التقارب. المتسلسلات المتقاربة تمامًا مضمونة لتكون متقاربة. ومع ذلك ، قد تكون السلاسل المتقاربة متقاربة تمامًا وقد لا تكون كذلك.

دعونا نلقي نظرة سريعة على مثالين للتقارب المطلق.

  1. ( displaystyle sum limits_^ infty < frac <<<< left (<- 1> right)> ^ n >>>> )
  2. ( displaystyle sum limits_^ infty < frac <<<< left (<- 1> right)> ^>>><<>>> )
  3. ( displaystyle sum limits_^ infty < frac << sin n >> <<>>> )

هذه هي السلسلة التوافقية المتناوبة وقد رأينا في القسم الأخير أنها سلسلة متقاربة لذلك لا نحتاج إلى التحقق من ذلك هنا. لذا ، دعونا نرى ما إذا كانت سلسلة متقاربة تمامًا. للقيام بذلك ، سنحتاج إلى التحقق من تقارب.

هذه هي السلسلة التوافقية ونعلم من قسم الاختبار المتكامل أنها متباعدة.

لذلك ، هذه السلسلة ليست متقاربة تمامًا. ومع ذلك ، فهو متقارب بشكل مشروط لأن السلسلة نفسها تتقارب.

في هذه الحالة ، دعنا نتحقق فقط من التقارب المطلق أولاً لأنه إذا كان متقاربًا تمامًا ، فلن نحتاج إلى عناء التحقق من التقارب لأننا سنحصل عليه مجانًا.

هذه السلسلة متقاربة من خلال اختبار السلسلة (p ) وبالتالي فإن السلسلة متقاربة تمامًا. لاحظ أن هذا يشير أيضًا إلى أنها سلسلة متقاربة.

في هذا الجزء يجب أن نكون حذرين بعض الشيء. أولاً ، هذه ليست سلسلة بديلة ولذا لا يمكننا استخدام أي أدوات من هذا القسم.

ما سنفعله هنا هو التحقق من التقارب المطلق أولاً مرة أخرى لأن ذلك سيعطي التقارب أيضًا. هذا يعني أننا بحاجة إلى التحقق من تقارب المتسلسلة التالية.

للقيام بذلك ، سنحتاج إلى ملاحظة ذلك

[- 1 le sin n le 1 hspace <0.25in> hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> hspace <0.25in> left | < sin n> right | le 1 ]

يتقارب من خلال اختبار السلسلة (p ) وهكذا من خلال اختبار المقارنة نعرف ذلك أيضًا

لذلك ، فإن السلسلة الأصلية متقاربة تمامًا (وبالتالي فهي متقاربة).

دعنا نغلق هذا القسم بتلخيص موضوع رأيناه سابقًا. عندما ناقشنا لأول مرة تقارب السلاسل بالتفصيل ، لاحظنا أنه لا يمكننا التفكير في السلسلة على أنها مجموع لا نهائي لأن بعض السلاسل يمكن أن يكون لها مبالغ مختلفة إذا أعدنا ترتيب شروطها. في الواقع ، أعطينا ترتيبين مختلفين لسلسلة توافقية متناوبة أعطت قيمتين مختلفتين. لقد أغلقنا هذا القسم بالحقيقة التالية ،

حقائق

بالنظر إلى السلسلة ( displaystyle sum <> ),

    إذا كان ( displaystyle sum <> ) متقاربة تمامًا وقيمتها هي (ق ) ثم أي إعادة ترتيب لـ ( مجموع <> ) سيكون لها أيضًا قيمة (ق ).

الآن وقد حصلنا على الأدوات اللازمة لتحديد التقارب المطلق والمشروط ، يمكننا تقديم بعض التعليقات الإضافية حول هذا الموضوع.

أولاً ، كما أوضحنا أعلاه في المثال 1 أ ، فإن التوافقية البديلة متقاربة شرطيًا ، وبالتالي بغض النظر عن القيمة التي اخترناها ، فهناك بعض إعادة ترتيب المصطلحات التي ستعطي هذه القيمة. لاحظ أيضًا أن هذه الحقيقة لا تخبرنا بما يجب أن يكون عليه هذا الترتيب فقط في حال وجوده.

بعد ذلك ، أوضحنا في المثال 1 ب أن ،

متقاربة تمامًا ، لذا بغض النظر عن كيفية إعادة ترتيب مصطلحات هذه السلسلة ، سنحصل دائمًا على نفس القيمة. في الواقع ، يمكن إثبات أن قيمة هذه السلسلة هي ،


2 إجابات 2

تحجب العلاقات المظلية تلك الخاصة بالتحويل الأساسي ذي الحدين ، وتكشف عن الروابط الأساسية بين مجالات الرياضيات المتنوعة (كما تنبأ ليبنتز نفسه - انظر H. Davis & quot Theory of Linear Operators & quot):

[تحرير 17 يونيو 2021: هناك عرض تقديمي مختلف قليلاً في MO هنا.]

أنا) تدوين Umbral موجز وموحي (بإذن من Blissard والمعاصرين):

$ displaystyle (a.) ^ n = a_n $ (متغير المظلة وخفض الكتابة المرتفعة).

التعبير عن الالتواء ذي الحدين ببساطة:

$ displaystyle (a. + b.) ^ = sum_^ الحصر أ_ ب_ $ (احرص على تقييم $ (a. + b.) ^ 0 = a_0b_0 $ و $ (a. + b.) ^ 1 = a_0b_1 + a_1b_0 $) ، $ displaystyle e ^= sum_ a_n فارك ,$

التدوين الأكثر دقة هو استخدام $ langle a. ^ n rangle = a_n $ لتحديد وقت إجراء التخفيض أو تقييم كمية المظلة بوضوح. على سبيل المثال ،

$ langle a. ^ n a. ^ m rangle = langle a. ^ rangle = أ_ ne a_n a_m = langle a. ^ n rangle langle a. ^ m rangle $

$ ne exp [ langle ln (1 + a.x) rangle] = exp left [ sum_ langle فارك rangle right] = exp left [ sum_ فارك حق] . $

II) نفس الشيء بالنسبة للعمليات المُظللة ، مما يسمح بتحديد واشتقاق العديد من العلاقات ، خاصة بين الوظائف الخاصة. يتعلق قدر كبير من حساب التفاضل والتكامل المظلي بتعريف هذه العمليات للتسلسلات الخاصة ، مثل انخفاض $ (x) _= x! / (x-n)! $ والعوامل الصاعدة $ (x) _ < bar> = (x + n-1)! / (x-1)! $ ومتعدد حدود Bell $ phi_n (x) $.

$ (: AB:) ^ n = A ^ n B ^ n $ (defn. لأمر الحفاظ على الأس لأية عوامل تشغيل)

من $ xD x ^ = n x ^$ ، من السهل الاشتقاق

ثالثا) تسمح الأزواج المعكوسة التركيبية المظلية بالاشتقاق السهل للهويات الاندماجية وتكشف عن الارتباطات بين ممثلين مختلفين لحساب المشغل.

انظر كيف يربط هذا الأُس عامل التوزيع $: xD: ^ n = x ^ nD ^ n $ مع التخفيض المظلي للنصوص المرتفعة. العوامل المتساقطة ومتعدد حدود الجرس هما زوج معكوس مظلل ، أي $ phi_n ((x).) = x ^ n = ( phi. (x)) _ n $. ينعكس هذا في الدالتين $ log (1 + t) $ و $ e ^ t-1 $ ، مع تحديد على سبيل المثال: f.s $ e ^$ و $ e ^$ ، كونها مقلوبات تركيبية منتظمة والمصفوفات المثلثية السفلية التي تحتوي على معاملات كثيرات الحدود (أرقام ستيرلنج من النوعين الأول والثاني) هي انعكاسات مضاعفة ، لذلك يمكننا التنقل بين العديد من الممثلين للعثور على العديد من الصيغ وربطها. من أجل مندوب المرجع المشتق ،

لذلك لدينا صلة بالتخفيض المظلي للمؤشرات

رابعا) تقع سلسلة Taylor المعممة أو عامل النقل في قلب حساب التفاضل والتكامل المظلي:

(على سبيل المثال ، هذا الإدخال في فئة A من العوامل التفاضلية وآخر في Bernoulli كثيرات الحدود) مع حالات خاصة

$ e ^ <- (1-q. (x)) D_y> y ^ |_ = (1- (1-q. (x))) ^ ، $ إعطاء استيفاء Gauss-Newton لـ $ q_n (x) $ (ظلال العلاقات ذات الحدين).

يمكن استخدامه غالبًا للكشف بسهولة عن العلاقات الاندماجية المثيرة للاهتمام بين المشغلين. مثال بسيط:

$ e ^ و (س) = ه ^ f (x) = e ^ <(e ^ t-1): xD:> f (x) = f (e ^x) . $ يمكنك حتى مظلة $ t $ للحصول على صيغة Faa di Bruno. حاول اكتشاف بعض العلاقات العملية مع كثيرات حدود لاجير (تلميح - انظر إلى $: Dx: ^ n = D ^ nx ^ n $. راجع عمليات الاختلاف و fcts المتراكمة الفائقة).

كمثال آخر (تمت إضافته في مايو 2015) للتفاعل بين عوامل التشغيل التفاضلية وحساب التفاضل والتكامل والاختلافات المحدودة ، لاحظ العلاقات الخاصة بـ Bell متعدد الحدود

وتطبيق هذه العوامل على $ x ^ m $، $ e ^$ و $ x ^ s $. (S (n، k) هي أرقام ستيرلنغ من النوع الثاني.)

لقد استخدمت أحادي القوة $ x ^ n $ وما يرتبط بها من عمليات رفع وخفض ، $ x $ و $ D_x $ ، لكن هذه العلاقات مظللة برفع وخفض العمليات لكل التسلسلات المظلية $ p_n (x) $ such أن $ R p_n (x) = p_(x) $ و $ L p_n (x) = n p_(x) $. (ظلال الكذب وميكانيكا الكم هنا أيضًا).

الخامس) (تمت الإضافة في سبتمبر 2020): يتم اشتقاق تعريف Chu-Vandermonde المعمم للتفاف منفصل للمعاملات ذات الحدين - وهو جزء لا يتجزأ من فهم خصائص الدوال الفائقة التكدس وممثليها المختلفين - بسهولة من حساب التفاضل والتكامل الخاص بشيفر.

تسلسل ذو الحدين شيفر من كثيرات الحدود (BSP) لها مثال f.s من النموذج

حيث $ h (t) $ وهو قابل للعكس ويختفي عند الأصل. هذا يعني

$ e ^ <(x + y) h (t)> = e ^ = البريد ^ه ^ = البريد ^ه ^ = البريد ^، $ لذا يتبع خاصية التراكم $ (B. (x) + B. (y)) ^ n = B_n (x + y). $ كثيرات حدود ستيرلينغ من النوع الأول ، $ ST1_n (x) = (x) _n $ ، هي BSP مع $ h (t) = ln (1 + t) $ و


مقدمة

غالبًا ما تتضمن مشكلات التحسين التي تنشأ في تطبيقات العلوم والهندسة المعقدة عمليات محاكاة يكون تقييمها مكلفًا من الناحية الحسابية (عدة دقائق إلى ساعات أو أكثر لكل تقييم). عادة ما تكون عمليات المحاكاة غير خطية وصندوق أسود ليس لدينا وصف تحليلي للوظيفة f (⋅) التي تحدد مدخلات المعلمة x ∈ D ⊂ R n لمخرجات المحاكاة. يحد المصروف الحسابي من عدد التقييمات التي يمكننا القيام بها أثناء التحسين. من الأساليب المستخدمة على نطاق واسع للتخفيف من هذه الصعوبة استخدام أسلوب التقييم السريع نموذج بديل، s (x) ، كوكيل للمحاكاة [1]: f (x) = s (x) + e (x) ، حيث تشير e (x) إلى الفرق بين الوظيفة الحقيقية والنموذج البديل. نحن نلائم نموذجًا بديلًا يعتمد على مجموعة من أزواج قيمة المعلمة والوظيفة التي تم تقييمها مسبقًا ونستخدمها أثناء بحث التحسين ، وبالتالي تقليل عدد الاستعلامات إلى المحاكاة باهظة الثمن. تشمل أنواع النماذج البديلة نماذج العمليات الغاوسية [2] ، وظائف الأساس الشعاعي [3] ، خطوط الانحدار التكيفية متعددة المتغيرات [4] ، ونماذج الانحدار متعدد الحدود [5].

تتمتع النماذج متعددة الحدود بالعديد من المزايا ، مثل التمثيل البسيط وسهولة البناء والاستخدام ، ومع ذلك ، فإن لديها سلوك استقراء ضعيف ومحدودة بشدة في قدرتها على التعامل مع التفردات. يمكن أن تقلل هذه العيوب من فعاليتها في تمثيل عناصر الفيزياء في العديد من التطبيقات. بسبب هذه العوائق ، يتحول المرء إلى نماذج تستند إلى وظائف عقلانية (حاصل ضرب متعدد الحدود) ، والتي يمكن أن تجعلها قدرتها على التقاط التفردات بشكل طبيعي عبر أقطابها أقوى بكثير من كثيرات الحدود [6] ، [7]. لسوء الحظ ، يمكن أن تكون التقديرات المنطقية هشة عدديًا للحساب وتكون عرضة لوجود تفردات زائفة. علاوة على ذلك ، فإن كيفية تحديد التركيبة المناسبة من درجة البسط والمقام ليست واضحة دائمًا.

في هذه المقالة ، نتحرى فائدة التقريبات العقلانية كنماذج بديلة. نقترح طريقتين لحساب التقريب المنطقي متعدد المتغيرات r (x) = p (x) ∕ q (x). يعتمد الأسلوب الأول على الطرق أحادية المتغير لـ [8] ، [9] ويوفر طريقة قوية وفعالة لحساب معاملات p (x) و q (x). على الرغم من أنه يحاول تقليل ميل r (x) الناتج لاحتواء التفردات غير المرغوب فيها باستخدام أفكار من الجبر الخطي لتقليل درجة q (x) ، فإنه لا ضمان أن r (x) ستكون خالية من الأقطاب في مجال المعلمة.

يستخدم النهج الثاني صيغة تحسين مقيدة تتضمن قيودًا هيكلية على r (x) لفرض عدم وجود أعمدة في D. يتم تحفيز هذه القيود من التطبيقات التي تنشأ ، على سبيل المثال ، في محاكاة الفيزياء عالية الطاقة (HEP). على الرغم من أنها أكثر تكلفة من الناحية الحسابية من الطريقة الأولى ، إلا أن الطريقة الثانية تسمح لنا بضمان أن يكون التقريب المحسوب خاليًا من الأعمدة الخاصة بمجالات المعلمات على شكل صندوق ، والتي يمكن أن تكون حاسمة في سياق نماذج بديلة للحوسبة لاستخدامها في التحسين. على وجه الخصوص ، يضمن الغياب المضمون للأعمدة أن مشاكل التحسين اللاحقة التي تتضمن تقديراتنا المنطقية محددة جيدًا.

الأدبيات حول التقريب العقلاني واسعة جدًا بحيث لا يمكن تغطيتها بشكل شامل هنا ، ونحيل القارئ إلى نصوص قياسية مثل [10 ، الفصل. الخامس] ، [11 ، الفصل. 5] ، و [12 ، الفصل. 23–27] للتاريخ والمفاهيم الأساسية. في هذه المقالة ، نحن مهتمون بالنماذج متعددة المتغيرات. تمت دراسة التقريب المنطقي متعدد المتغيرات على نطاق واسع من قبل Cuyt والمؤلفين المشاركين [13] ، [14] على وجه الخصوص ، طور Cuyt و Yang مؤخرًا حدود خطأ عملية [15].

إن تقديراتنا المنطقية هي نماذج المربعات الصغرى ، والتي يمكن صياغتها بطريقة غير خطية أو خطية كما هو موضح أدناه. نهجنا الأول هو امتداد للخوارزميات الخاصة بالمسألة الخطية المقدمة في [8] ، [9] ، [16]. المشكلة غير الخطية هي مثال على أ قابل للفصل مشكلة المربعات الصغرى غير الخطية ، وغالبًا ما تستغل الخوارزميات هذه البنية. تشمل الأمثلة خوارزمية غاوس ونيوتن التي طورها جولوب وبيريرا [17] وخوارزمية نيوتن الكاملة لبورج [18]. ما يسمى بخوارزمية "AAA" لـ [19] هي بديل مثير للاهتمام تم تطويره مؤخرًا للطرق التقليدية لمشكلات المربعات الصغرى المنطقية ، ومع ذلك ، نظرًا لأنها تعمل حاليًا فقط في السياق أحادي المتغير ، فإننا لا نستكشفها أكثر هنا. بالطبع ، تقديرات المربعات الصغرى ليست النوع الوحيد من النموذج العقلاني. تتضمن الأعمال الحديثة ذات الأهمية على النماذج العقلانية بخلاف تقريب المربعات الصغرى البسيطة خوارزمية التقريب الأدنى المنطقي لـ [20].

تتمثل إحدى جاذبية نهج المربعات الصغرى للتقريب العقلاني في أنه قوي بشكل طبيعي في مواجهة الضوضاء في البيانات التي يتم ملاءمتها. قام كل من Cuyt و Salazar Celis والمؤلفون المشاركون [21] ، [22] ، [23] بتطوير نهج بديل للتقريب العقلاني في مواجهة البيانات الصاخبة أو غير المؤكدة التي تأخذ كمدخلاتها مجموعة من فترات عدم اليقين لكل مرجع و ثم يحل مشكلة البرمجة الخطية أو التربيعية لإيجاد دالة منطقية تمر عبر جميع فترات عدم اليقين. تختلف طريقتنا عن هذا النهج وهي مناسبة بشكل أفضل لتطبيقنا. في سياقنا ، ليس من الواضح كيفية بناء فترات عدم اليقين التي تتطلبها هذه الطريقة البديلة. علاوة على ذلك ، فإنه يبذل جهدًا إضافيًا (حل مشكلة التحسين) مقارنةً بنهجنا القائم على الجبر الخطي دون تقديم ضمان خالٍ من الأعمدة الذي يوفره التحسين شبه اللامتناهي.

نهج التحسين شبه اللانهائي لدينا هو شكل متعدد المتغيرات من التقريب العقلاني للمقام المقيد ، والذي تمت دراسته على نطاق واسع في السياق أحادي المتغير انظر ، على سبيل المثال ، [24] ، [25]. في [25] ، أثبت المؤلفون وجود أفضل التقريبات العقلانية (المنتظمة) ذات الحد الأدنى على المقام ومعاملات المقام المحدودة. يقدم المؤلفون أيضًا خوارزمية التصحيح التفاضلي للمقام المحدود ويظهرون أنها تتقارب في ظل ظروف معينة. في [24] ، اعتبر المؤلف كلاً من الحدود الدنيا والعليا للمقام. لقد أظهر هذه الحدود لتكون مكافئة للقيود المحدبة على معاملات المقام ، وبالتالي يدل على وجود أفضل حل. تقدم صياغتنا لمشكلة المقام المقيد باستخدام التحسين شبه اللامتناهي منظورًا مختلفًا عن هذا العمل السابق. بالإضافة إلى كونه عمليًا ، فقد ينتج عنه رؤية نظرية أيضًا ، على الرغم من أننا لا نستكشف هذا بالتفصيل هنا. على سبيل المثال ، من خلال استدعاء شروط مثالية شبه لانهائية (انظر ، على سبيل المثال ، [26]) ، يمكننا ، من حيث المبدأ ، الحصول على الشروط اللازمة لتقريب منطقي مثالي خالٍ من القطب. هذا من شأنه أن يجيب جزئيًا على سؤال مفتوح من [24] بشأن توصيف أفضل التقريبات العقلانية المقيدة.

يحفز عملنا المحاكاة لدراسة الظواهر الفيزيائية المعقدة ، خاصة في فيزياء الطاقة العالية. غالبًا ما تستخدم المحاكاة لتوجيه تجارب العالم الحقيقي من أجل إيجاد فيزياء "مثيرة للاهتمام" أو للتحقق من أن النماذج المشتقة من الفهم المادي تتفق مع التجارب [27]. ومع ذلك ، فإن هذه المحاكاة (بالإضافة إلى التجارب الفيزيائية) بشكل عام تتطلب موارد كثيفة (حسابية أو غير ذلك) [28]. قد تتطلب محاكاة واحدة عدة ساعات من وقت الحوسبة على كمبيوتر عملاق حديث ، مما يحد من عدد عمليات تشغيل المحاكاة التي يمكن إجراؤها بشكل واقعي.

هذا يحد بشدة من التطبيقات التي تتطلب استكشافًا واسعًا لفضاء المعلمات. هدفنا هو استبدال عمليات المحاكاة المكلفة بتقديرات منطقية أرخص بكثير في التقييم. على وجه الخصوص ، نريد إنشاء وظيفة موضوعية وتحسينها عدديًا عبر مساحة معلمات النموذج التي يتم تعريفها على أنها عدم التوافق بين البيانات التجريبية وتنبؤات المحاكاة.

في القسم 2 ، نؤسس التدوين الخاص بنا ووصف أنواع النماذج التي سننشئها. في القسم 3 ، نبتكر طريقة لبناء نماذج عقلانية تعتمد على الجبر الخطي. هذا النهج مرن وسهل التنفيذ ، لكن له عيبًا يتمثل في وجود التفردات. على الرغم من أن التفردات مقبولة في بعض السياقات ، إلا أنه يتعين علينا عمومًا منع التفردات في مناطق معينة من مساحة المعلمة لأنها قد تسبب وظيفة موضوعية غير محدودة في إجراء التحسين الخاص بنا ، وهو أمر غير مقبول. في القسم 4 ، نصف نهجًا منفصلاً يعتمد على التحسين شبه اللامتناهي الذي يسمح لنا بتحقيق هذا الهدف. في القسم 5 ، نقدم بعض النتائج العددية ، وفي القسم 6 نصف تطبيقنا في فيزياء الطاقة العالية ونعرض الأداء المتفوق لتقديراتنا المنطقية الخالية من الأعمدة على التقريبات متعددة الحدود والتقريب المنطقي مع الأعمدة. في القسم 7 ، نلخص النتائج الرئيسية التي توصلنا إليها ونناقش السبل المحتملة لمزيد من البحث.


نبذة مختصرة

تقدم هذه الدراسة الأدبيات حول شغف ريادة الأعمال ، والتي تكافح لشرح متى وكيف تؤثر تجربة العاطفة على الأداء على مستوى المشروع ، من خلال تحويل التركيز إلى مستوى الفريق والتحقيق في الآليات والحالات الطارئة الكامنة وراء هذه العلاقة. بالاعتماد على نظرية التحكم في الهوية والأدبيات المتعلقة بمراحل دورة حياة المشروع الجديدة ، فإننا نفترض ونختبر أن شغف ريادة الأعمال الجماعي (TEP) يؤثر على أداء فريق المشروع الجديد من خلال تضارب العلاقات ، وأن هذه الآلية تختلف اعتمادًا على ما إذا كان تركيز شغف الفريق متوافقًا مرحلة تطوير المشروع. استنادًا إلى بيانات المسح ونتائج مسابقة بدء التشغيل من 86 فريقًا جديدًا للمشروع ، نستنتج أن أحد المتطلبات الأساسية للفريق للاستفادة من تجربة TEP ، هو أن تركيزه العاطفي يعكس على الأقل أنشطة ريادة الأعمال المطلوبة لتطوير معين المرحلة التي يعمل فيها المشروع. وتناقش الآثار المترتبة على البحث والممارسة.


خيارات الوصول

شراء مقال واحد

الوصول الفوري إلى المقال الكامل PDF.

سيتم الانتهاء من حساب الضريبة أثناء الخروج.

اشترك في المجلة

الوصول الفوري عبر الإنترنت إلى جميع الإصدارات اعتبارًا من عام 2019. سيتم تجديد الاشتراك تلقائيًا سنويًا.

سيتم الانتهاء من حساب الضريبة أثناء الخروج.


يصف هذا البحث طريقة دقيقة عالية المستوى لحساب التكاملات على الأسطح المنحنية ذات الحدود. بالنظر إلى مواقع البيانات الموزعة بشكل تعسفي على السطح ، جنبًا إلى جنب مع بعض الوصف الوظيفي للسطح وحدوده ، تنتج الخوارزمية أوزان تربيعية متطابقة. يمتد هذا إلى طرق المؤلفين & # x27 السابقة للتكامل فوق سطح الكرة وعلى الأسطح المغلقة الملساء ذات الشكل التعسفي من خلال النظر أيضًا في حدود المجال. يتكون النهج الأساسي مرة أخرى من الجمع بين تقريب RBF-FD (الفرق المحدود الناتج عن وظيفة الأساس الشعاعي) لمثلثات السطح المنحنية ، والتي تشكل معًا السطح الكامل. تتضمن الأمثلة المتوفرة كلاً من المجالات المنحنية والمسطحة. في حالة خاصة للغاية للعقد متساوية التباعد على فترة منتظمة في 1-D ، توفر الطريقة فرصة جديدة لتحسين تحسينات غريغوري الكلاسيكية لقاعدة شبه المنحرف.

Major, United States Air Force, supported by the Department of Defense and the Office of Naval Research's Atmospheric Propagation Sciences of High Energy Lasers and the Air Force Office of Scientific Research's Radial Basis Functions for Numerical Simulation . The views expressed in this article are those of the authors and do not reflect the official policy or position of the United States Air Force, Department of Defense, or U.S. Government.


5 CONCLUSIONS

In this paper an efficient surrogate modeling technique for quantifying uncertainties in the material and geometry of high-frequency and optical devices was presented. The proposed method is based on gPC to achieve spectral convergence. Through a combination with conformal maps we were able to enlarge the region of analyticity. This led to an improved convergence rate, which was numerically demonstrated for two benchmark problems. In particular, the approach showed significant gains in either accuracy or computational cost, requiring only minor modifications of an existing code. Due to orthogonality of the proposed basis, stochastic moments as well as Sobol indices can be directly obtained from the coefficients. It is worth noting that this technique can also be combined with other techniques for convergence acceleration such as adjoint-error correction, sparse-grids and (adjoint-based) adaptivity for the multivariate case. 11