مقالات

2: البراهين ذات عمودين


2: البراهين ذات عمودين

اثنين من البراهين العمود

في هذه الدروس ، سوف نتعلم كيفية استخدام اثنتين من البراهين ذات العمودين للبراهين الهندسية.

يتكون الإثبات المكون من عمودين من قائمة العبارات ، وأسباب صحة هذه العبارات. البيانات في العمود الأيسر والأسباب في العمود الأيمن. تتكون البيانات من خطوات نحو حل المشكلة.

يعطي الشكل التالي إثباتًا من عمودين لنظرية المثلث متساوي الساقين. قم بالتمرير لأسفل الصفحة لمزيد من الأمثلة والحلول.

إثبات من عمودين (5 خطوات) تدريب 1

تدرب على كتابة برهان مكون من عمودين.

مثال:
إذا كان AD = 8 ، BC = 8 ، B̅C̅ ≅ C̅D̅
إثبات: A̅D̅ ≅ C̅D̅

إثبات من عمودين (7 خطوات) تدريب 2

تدرب على كتابة اثنتين من البراهين.

مثال:
معطى D̅E̅ ≅ F̅G̅
إثبات: س = 4

ممارسة الإثبات (5 خطوات) ممارسة 3

تدرب على كتابة اثنتين من البراهين.

مثال:
بالنظر إلى MN = PQ
إثبات: MP = NQ

الدليل التدريبي 4 (استخدم فرضية جمع الزاوية)

تدرب على كتابة اثنتين من البراهين.

مثال:
بالنظر إلى m∠RPS = m∠TPC ، m∠TPV = m∠SPT
إثبات: m∠RPV = 3 (m∠RPS)

كيفية استخدام الدليل المكون من عمودين لإثبات نظرية المثلث متساوي الساقين؟

تنص نظرية المثلث متساوي الساقين على أنه إذا كان جانبان من المثلث متطابقين ، فإن الزوايا المقابلة للأضلاع تكون متطابقة.

كيفية استخدام برهان عمودين لإثبات نظرية الزاوية الخارجية؟

تنص نظرية الزاوية الخارجية على أن مجموع الزوايا الداخلية البعيدة يساوي الزاوية الخارجية غير المجاورة.

كيفية استخدام دليل عمودين لإظهار المقاطع متعامدة؟

استخدم افتراضات SSS و SAS و ASA و AAS.

يفترض استخدام تطابق المثلث أن يوضح أن قطعتين متقاطعتين متعامدتان. (قطري طائرة ورقية)

كيفية استخدام اثبات العمود لإثبات الخطوط المتوازية؟

معطى ∠2 ≅ ∠1 ≅ ∠3
إثبات: A̅B̅ || CD̅

إثبات الشكل الرباعي متوازي الأضلاع | إثبات الهندسة

يثبت درس هندسة الفيديو هذا نظريتين متوازي الأضلاع باستخدام برهان العمودين.

دليل 1:
إذا كان قطري الشكل الرباعي ينقسمان إلى نصفين ، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

الدليل 2:
إذا كان كلا الزوجين من الضلعين المتقابلين في الشكل الرباعي متطابقين ، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

النظريات المستخدمة: إذا كان كلا الزوجين من الزوايا المتقابلة في الشكل الرباعي متطابقين ، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع ، وإذا كان زوج من الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي متطابقًا ومتوازيًا ، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع لحل المشكلات.

المتوازيات الخاصة - أدلة المعين والمستطيل

يستخدم هذا الفيديو طريقة العمودين لإثبات نظريتين.

دليل 1:
أقطار المستطيل متطابقة. هذا بمثابة دليل مثلث لاستخدام CPCTC.

الدليل 2:
أقطار المعين متعامدة.

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


أ إثبات من عمودين هي إحدى الطرق الشائعة لتنظيم البرهان في الهندسة. تحتوي البراهين ذات العمودين دائمًا على عمودين: أحدهما للجمل والآخر لأسباب. أفضل طريقة لفهم البراهين ذات العمودين هي قراءة الأمثلة.

عند كتابة برهانك المكون من عمودين ، ضع هذه الأشياء في الاعتبار:

  • ترقيم كل خطوة.
  • ابدأ بالمعلومات المقدمة.
  • يمكن دمج العبارات التي لها نفس السبب في خطوة واحدة. الأمر يعود إليك.
  • ارسم صورة وقم بتمييزها بالمعلومات المقدمة.
  • يجب أن يكون لديك سبب لكل بيان.
  • لا يكون ترتيب العبارات في الإثبات ثابتًا دائمًا ، ولكن تأكد من أن الترتيب منطقيًا.
  • ستكون الأسباب هي التعريفات والمسلمات والخصائص والنظريات المثبتة مسبقًا. يتم استخدام & ldquoGiven & rdquo كسبب فقط إذا تم تقديم المعلومات الواردة في عمود البيان في المشكلة.
  • استخدم الرموز والاختصارات للكلمات داخل البراهين. على سبيل المثال ، يمكن استخدام ( cong ) بدلاً من الكلمة تتطابق. يمكنك أيضًا استخدام ( زاوية لزاوية الكلمة.

لنفترض أنه قد تم إخبارك أن ( الزاوية س ص ع ) زاوية قائمة وأن ( سهم مفرط) منصف ( زاوية XYZ ). يطلب منك بعد ذلك إثبات ( زاوية XYW تسكع زاوية WYZ ).

اكتب إثباتًا من عمودين لما يلي:

إذا كانت (A ) ، (B ) ، (C ) ، و (D ) هي نقاط على السطر ، بالترتيب المحدد ، و (AB = CD ) ، إذن (AC = BD ).

عندما يتم إعطاء العبارة بهذه الطريقة ، يكون الجزء & ldquoif & rdquo هو المعطى والجزء & ldquothen & rdquo هو ما نحاول إثباته.

ابدأ دائمًا برسم صورة لما أعطيت لك.

ارسم النقاط بالترتيب (أ ) ، (ب ) ، (ج ) ، (د ) على سطر.

الشكل ( PageIndex <1> )

الشكل ( PageIndex <2> )

ارسم البرهان المكون من عمودين وابدأ بالمعلومات المعطاة.

معطى: ( overrightarrow) منصف ( زاوية ABC ) ( زاوية ABD تسونغ زاوية CBE )

ثبت: ( زاوية DBF تسونغ زاوية EBF )

الشكل ( PageIndex <3> )

أولاً ، ضع العلامات المناسبة على الصورة. أذكر أن هذا الشطر يعني & ldquoto مقطوعًا إلى نصفين. & rdquo لذلك (م زاوية ABF = م زاوية FBC ).

4. (م الزاوية ABF = م الزاوية ABD + م زاوية DBF )

(م زاوية FBC = م زاوية EBF + م زاوية CBE )

ال نظرية الزاوية اليمنى ينص على أنه إذا كانت زاويتان قائمتين ، فإن الزاويتين متطابقتان. إثبات هذه النظرية.

لإثبات هذه النظرية ، قم بإعداد الرسم الخاص بك وتسمية بعض الزوايا بحيث يكون لديك زوايا محددة للحديث عنها.

معطى: ( الزاوية أ ) و ( الزاوية ب ) زوايا قائمة

ثبت: ( الزاوية أ تسونغ الزاوية ب )

بيان سبب
1. ( الزاوية أ ) و ( الزاوية ب ) زوايا قائمة 1. معطى
2. (م زاوية أ = 90 ^ < دائرة> ) و (م زاوية ب = 90 ^ < دائرة> ) 2. تعريف الزوايا القائمة
3. (م الزاوية أ = م الزاوية ب ) 3. متعدية PoE
4. ( الزاوية أ تسونغ الزاوية ب ) 4. ( cong ) الزوايا لها = قياسات

في أي وقت يتم ذكر الزوايا القائمة في الإثبات ، ستحتاج إلى استخدام هذه النظرية لتقول إن الزوايا متطابقة.

ال نفس الزاوية مكملات نظرية ينص على أنه إذا كانت زاويتان مكملتان للزاوية نفسها ، فإن الزاويتين متطابقتان. إثبات هذه النظرية.

معطى: ( الزاوية أ ) و () الزاوية ب زاويتان مكملتان. ( الزاوية ب ) و ( الزاوية ج ) زاويتان مكملتان.

ثبت: ( زاوية أ تسونغ زاوية ج )

1. ( الزاوية أ ) و ( الزاوية ب ) مكملتان

( الزاوية ب ) و ( الزاوية ج ) مكملتان

ال نظرية الزوايا العمودية تنص على أن الزوايا الرأسية متطابقة. إثبات هذه النظرية.

معطى: الخطوط (ك ) و (م ) تتقاطعان.

ثبت: ( الزاوية 1 تسكع الزاوية 3 )

الشكل ( PageIndex <5> )

2. ( الزاوية 1 ) و ( الزاوية 2 ) أ زوج خطي

() الزاوية 2 و ( الزاوية 3 ) زوج خطي

3. ( الزاوية 1 ) و ( الزاوية 2 ) مكملتان

( الزاوية 2 ) و ( الزاوية 3 ) مكملان

( الزاوية 1 تسونغ الزاوية 4 ) و ( الزاوية ج ) و ( الزاوية F ) زوايا قائمة.

ما هي الزوايا المتطابقة ولماذا؟

الشكل ( PageIndex <6> )

من خلال نظرية الزاوية اليمنى ، ( الزاوية C تسونغ الزاوية F ). أيضًا ، ( زاوية 2 تسونغ زاوية 3 ) بواسطة نفس الزوايا تكمل نظرية لأن ( زاوية 1 تسونغ زاوية 4 ) وهما أزواج خطية مع هذه الزوايا المتطابقة.


اثنان من الأدلة على العمود - المشكلة 1

لتوضيح أن مثلثين متطابقين في برهان من عمودين ، قم أولاً بتمييز الرسم التخطيطي ، إذا تم توفيره ، باستخدام المعلومات المعطاة حول هذا المثلث. يتضمن ذلك تعليم الأجزاء التي يجب أن تكون متطابقة. على سبيل المثال ، تذكر أن النقطة الوسطى تقسم القطعة إلى قطعتين متطابقتين. العمل للخلف من الهدف (وهو إظهار أن المثلثات متطابقة) ، لاحظ الزوايا والأضلاع المتطابقة والمتطابقة. بتطبيق اختصار SSS أو SAS أو ASA أو AAS أو HL على هذه الجوانب والزوايا المتطابقة / المتوافقة ، يمكنك إظهار أن المثلث متطابق.

لنلقِ نظرة على إثبات العمودين ، حيث يُطلب منك إظهار تطابق مثلثين. عادةً عندما تعرض مثلثين متطابقين ، فلن تحتاج إلى استخدام أداة تعديل اللسان هذه ، CPCTC. لنبدأ بما أعطينا.

دائمًا ، إذا لم يتم وضع علامة عليه ، فابدأ دائمًا بوضع علامة على الرسم التخطيطي. أولًا نعلم أن القطعة المستقيمة AB مطابقة للقطعة المستقيمة BC ، لذلك لدينا هنا AB ، وسأضع علامة على أنها تطابق القطعة المستقيمة BC. الآن على الفور سأعتقد أن هذا مثلث متساوي الساقين لأن لدي خطين متطابقين.

لذا سأستمر في العمل وسأحدد الزاوية A و C متطابقتين. بعد ذلك تقول D هي نقطة المنتصف. حسنًا ، هذه هي النقطة D ، وهذا يعني أنها تقسم هذا الجزء المستقيم AC ، لذلك سأضع علامة AD و DC متطابقتين ، وهو تعريف نقطة المنتصف. فلننتقل الآن ونلقي نظرة على دليلنا المكون من عمودين.

لدينا عمود واحد للبيان وعمود واحد للسبب. إذن ، بياننا الأخير سيكون المثلث ABD مطابقًا لاتفاقية التنوع البيولوجي ، لذلك علينا العمل بشكل عكسي. لنبدأ بكيفية إثبات تطابق هذين المثلثين؟ أرى أن لدي جانبين متطابقين ومتطابقين. لدي زاويتان وضلعان إضافيان ، لذا فإن الاختصار الخاص بي سيكون جانب زاوية جانبي. إذن ، ستثبت بياناتي الثلاثة الأولى أن الجانبين متطابقان ، وزاويتان متطابقتان ، ثم جانبان آخران.

لذا فإن أول بيان لدينا سيكون AB و BC متطابقان ، لذلك سأكتب ذلك. المقطع المستقيم AB مطابق للقطعة المستقيمة BC وسبب استخدامي للرقم واحد لكليهما هو أنه تم إعطاؤه.

بياني الثاني سيكون حول هذه الزوايا. سأقول أن الزاوية A مطابقة للزاوية C وسببي هو تعريف المثلث متساوي الساقين وسأختصر التعريف ، لأننا نعلم أن AB و BC متطابقان وهذا يعني أن لدينا متساوي الساقين مثلث.

لذا فإن بياني الثالث سيكون حول الجانبين الآخرين المتطابقين ، لذلك سأقول أن AD متطابق مع DC وسيكون سببي هو تعريف نقطة المنتصف. ومرة أخرى سأختصر "تعريف". إذن لدينا الآن 1 ، 2 ، 3 أسباب لنقول إن هذين المثلثين يجب أن يكونا متطابقين ، وهو ما سيقودني إلى بياني الأخير ، والذي سيكون جزء الإثبات.

لذلك سأقول إن المثلث ABD مطابق لمثلث CBD وسبب كتابتنا له بالفعل ، وهذا هو الضلع-الزاوية. لذا بدأنا بالعكس ، قلنا جيدًا كيف سنثبت أن هذين المثلثين متطابقان؟ ثم أظهرنا أسبابنا. تذكر أن البيان الأخير الخاص بك سيكون دائمًا ما يُطلب منك إثباته أو إظهاره.


اثنان من البراهين العمود - المفهوم

يتم تنظيم اثنتين من إثباتات العمود في أعمدة البيان والسبب. يجب تبرير كل عبارة في عمود السبب. قبل البدء أ إثبات عمودين، ابدأ بالعمل بشكل عكسي من عبارة "أثبت" أو "عرض". سيتضمن عمود السبب عادةً "معطى" وتعريفات المفردات والتخمينات والنظريات.

أحد أكثر أجزاء الهندسة رعباً هو اثباتان على العمود. السبب في صعوبة الأمر لأنه غالبًا يمكن أن تأخذ كل ما تحاول قوله وتنظيمه في عمودين. واحد للبيان وسبب واحد ، لذلك يجب أن يكون لكل بيان تدلي به سبب وأن تُعطى الزاوية الخطية ، الزوايا الرأسية الانعكاسية شيء من هذا القبيل ، لذلك في كل مرة تدلي ببيان عليك أن تدعمه. أنت & # 39 في الأساس مثل المحامي في القضية الابتدائية.
يبدأ زوجان من المفاتيح الأخرى التي تريد أن تتذكرها دائمًا بإعطاء الأسباب التي تجعلك تستطيع الوصول إلى نتيجة دون الإدلاء بشهادتك ، لذا بمجرد تقديمك لأسبابك ، فأنت بحاجة إلى استخلاص نتيجة. إذا كنت ترغب في ذلك يمكنك العمل إلى الوراء. ما ستذهب إليه لما يُطلب منك إثباته أو إظهاره اعتمادًا على ما قد يستخدمه كتابك المدرسي في لغته العامية سيكون السطر الأخير ، لذا فإن آخر شيء ستكتبه دائمًا لإثباتك المكون من عمودين هو أي شيء يُطلب منك إثبات أو إظهار ذلك ، لذا ضع هذه الأشياء الثلاثة في اعتبارك وستحصل دائمًا على علامة + في اثبات العمود الخاص بك.


البراهين الهندسية: عمودان من البراهين

مقاطع الفيديو والحلول وأوراق العمل والألعاب والأنشطة لمساعدة طلاب الهندسة في الصف التاسع على تعلم كيفية استخدام اثباتات العمود.

اثنين من البراهين العمود
يتم تنظيم اثنتين من إثباتات العمود في أعمدة البيان والسبب. يجب تبرير كل عبارة في عمود السبب. قبل أن تبدأ برهانًا مكونًا من عمودين ، ابدأ بالعمل بشكل عكسي من عبارة "أثبت" أو "عرض". سيتضمن عمود السبب عادةً "معطى" وتعريفات المفردات والتخمينات والنظريات.

كيف تنظم برهان ذو عمودين؟
كتابة أول إثبات مكون من عمودين
يوضح هذا الفيديو عملية كتابة برهان من عمودين وتدفق.

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


القسم 2.4 البراهين ذات العمودين ¶ الرابط الثابت

إذا كنت قد قضيت وقتًا طويلاً في محاولة التحقق من عمل شخص آخر في حل مشكلة جبرية ، فمن المحتمل أن توافق على أنه سيكون من المفيد معرفة ما كان عليه محاولة للقيام به في كل خطوة. لدى معظم الأشخاص فكرة غامضة إلى حد ما مفادها أنه يُسمح لهم "بفعل الشيء نفسه على كلا الجانبين" ويسمح لهم بتبسيط جوانب المعادلة بشكل منفصل - ولكن في أغلب الأحيان ، يتم تنفيذ العديد من الأشياء المختلفة على الخط ، يتم ارتكاب الأخطاء ، وقد يكون من المستحيل تقريبًا معرفة الخطأ الذي حدث وأين.

الآن ، بعد كل شيء ، من المفترض أن يكمن جمال الرياضيات في وضوحها الكريستالي ، لذا فإن هذا النوع من المواقف غير مقبول حقًا. قد يكون هدفًا مستحيلًا جعل "الشخص العادي" يقوم بمعالجة جبرية بوضوح ، ولكن أولئك منا الذين يطمحون إلى أن يصبحوا علماء رياضيات يجب أن يلتزموا بمعايير أعلى. عادةً ما تكون البراهين ذات العمودين هي المقصود بـ "معيار أعلى" عندما نتحدث عن معالجات ميكانيكية نسبيًا - مثل إجراء الجبر ، أو أكثر من ذلك ، لإثبات التكافؤ المنطقي. الآن لا تيأس! لن يُتوقع منك ، في مهنة الرياضيات ، تقديم أدلة من عمودين في كثير من الأحيان. في الواقع ، في العمل الأكثر تقدمًا يميل المرء إلى عدم العطاء أي نوع من الإثبات لبيان يفسح المجال لمقاربة من عمودين. ولكن ، إذا وجدت نفسك تكتب "كما يمكن للقارئ التحقق بسهولة ، فإن المعادلة 17 تحمل ..." في ورقة ، أو تدلي ببعض الملاحظات المماثلة لطلابك ، فأنت ملزم أخلاقيا لتكون قادرًا على إنتاج برهان من عمودين.

إذن ما هو الدليل المكون من عمودين بالضبط؟ في العمود الأيسر ، تُظهر عملك ، مع الحرص على الانتقال خطوة واحدة في كل مرة. في العمود الأيمن ، تقدم تبريرًا لكل خطوة.

سنستعرض بعض الأمثلة من البراهين ذات العمودين في سياق إثبات التكافؤ المنطقي. شيء واحد يجب الانتباه إليه: إذا كنت تحاول إثبات تكافؤ معين ، وأول شيء تكتبه هو هذا التكافؤ ذاته ، هذا خطأ! قد يشكل هذا الخطأ المنطقي المعروف باسم "استجداء السؤال" المعروف أيضًا باسم "التفكير الدائري". من الواضح أنه ليس من المقبول محاولة إظهار بعض الحقائق أولاً مؤكدا نفس الحقيقة. ومع ذلك ، هناك (لسبب غير معروف) إغراء قوي لفعل هذا الشيء بالذات. لتجنب ارتكاب هذا الخطأ ، لن نضع أي معادلات في سطر واحد. بدلاً من ذلك ، سنبدأ بجانب أو آخر من العبارة المراد إثباتها ، ونعدلها باستخدام قواعد التكافؤ المعروفة ، حتى نصل إلى الجانب الآخر.

بدون مزيد من اللغط ، دعنا نقدم دليلًا على التكافؤ (A land (B lor < lnot> A) cong A land B ). 1 يجب التحقق من هذا التكافؤ باستخدام جداول الحقيقة في التمارين من القسم السابق.

(A land (B lor < lnot> A) )
قانون التوزيع
( cong (A land B) lor (A land < lnot> A) )
التكامل
( تسونغ (أ الأرض ب) لور ج )
قانون الهوية
( تسونغ (أ الأرض ب) )

لقد جمعنا تسلسلًا لطيفًا خطوة بخطوة من المتكافئات - كل منها مبرر بقانون معروف - يبدأ بالجانب الأيسر من الجملة المراد إثباته وينتهي بالجانب الأيمن. هذا دليل لا يقبل الجدل!

في المثال التالي سوف نسلط الضوء على عادة قذرة قليلاً من التفكير والتي تميل إلى أن تكون مشكلة. عادة ما يربط الناس (في البداية) اتجاهًا بالمعادلات المنطقية الأساسية. هذا معقول بالنسبة للعديد منهم لأن أحد الجانبين أبسط بشكل ملحوظ من الآخر. على سبيل المثال ، عادةً ما تُستخدم قاعدة الهيمنة لاستبدال جزء من العبارة التي تبدو مثل " (A land c )" بالتعبير الأبسط " (c )". هناك قدر معين من الإستراتيجيات اللازمة للقيام بهذه البراهين ، وعادة ما أنصح الناس بالبدء بالجانب الأكثر تعقيدًا من التكافؤ ليتم إثباته. من الصواب العمل في اتجاه جعل الأمور أبسط ، ولكن هناك أوقات يتعين على المرء فيها التراجع خطوة واحدة قبل المضي قدمًا في خطوتين ...

دعونا نلقي نظرة على تكافؤ آخر: (A land (B lor C) cong (A land (B lor C)) lor (A land C) ). هناك العديد من الطرق المختلفة التي يمكن من خلالها دمج الخطوات الصحيحة لتحويل جانب واحد من هذا التكافؤ إلى الجانب الآخر ، لذلك فإن الهدف الفرعي هو العثور على دليل يستخدم أقل عدد من الخطوات. باتباع نصيحتي الخاصة ، سأبدأ بالجانب الأيمن من هذا.

((أ الأرض (ب لور ج)) لور (أ الأرض ج) )
قانون التوزيع
( cong ((A land B) lor (A land C)) lor (A land C) )
القانون الترابطي
( cong (A land B) lor ((A land C) lor (A land C)) )
العاطفة
( تسونغ (أ الأرض ب) لور (أ الأرض ج) )
قانون التوزيع
( cong A land (B lor C) )

لاحظ أنه في المثال الذي قمنا به للتو ، يذهب تطبيقي قانون التوزيع في اتجاهين متعاكسين فيما يتعلق بتأثيرهما على تعقيد التعبيرات.


البراهين ذات عمودين أن البراهين المكونة من عمودين رهيبة

النظرية # 1: "تبرير الخطوات" يجب أن تكون عملية مبهمة ومحبطة.

قبل أن تحملني السخرية بعيدًا في النهر البلاغي ، دعني أزرع مجذافًا وأشرح موقفي.

أرى جاذبية البراهين ذات العمودين. إنهم نظيفون. من السهل تصنيفها. إنها توفر سقالة وهيكل وإطار عمل رسمي للطلاب للاعتماد عليه. مفهومة بشكل صحيح ، فهي تعمل تقريبًا مثل الرسوم البيانية للحجج ، ويمكن أن تكون بمثابة أدوات مفيدة.

لكن في الممارسة العملية ، غالبًا ما يشوشون أكثر مما ينيرون. الدليل الجيد لا يحتوي فقط على بيانات صريحة عن الحقائق ، بل يحتوي أيضًا على نسيج ضام للتفسير. في برهان مكون من عمودين ، يتم التخلص من المادة العضوية التي تربط الحجة معًا ، واستبدالها بعمود أيمن مليء بالنقاط النقطية المقتضبة التي قد يستخدمها الطلاب دون فهم على الإطلاق.

النظرية # 2: الدليل هو مجرد عرض غير مفهوم لحقيقة كنت تعرفها بالفعل.

ما يثير اهتمامي هنا هو أن دورة الهندسة غالبًا ما تبدأ بـ "براهين" محيرة من عمودين للحقائق الأولية. على سبيل المثال ، خذ "نظرية تطابق الزاوية اليمنى" ، والتي تنص على أن جميع الزوايا القائمة متطابقة مع بعضها البعض:

2. تعريف الزاوية اليمنى

3. الملكية الانتقالية للمساواة

4. تعريف زاوية التطابق

عندما أدير مثل هذه الحجج من قبل أصدقاء دكتوراه في الرياضيات ، نظروا إليّ مذهولين. "لماذا سوف ثبت الذي - التي؟" هم يسألون. هناك دروس مهمة هنا بالتأكيد - على سبيل المثال ، حتى الحقائق الواضحة تتطلب التبرير. لكن الجدل يتوقف على التمييز الفني الصعب بين الزاوية (كائن هندسي) و يقيس من الزاوية (رقم يصف حجم هذا الكائن). إذا كنت طالبًا في الصف التاسع - أو حتى قابلت أحدهم - فأنت تعلم أن مثل هذا التمييز ليس أكثر بساط ترحيبي يدعو إلى الهندسة.

النظرية # 3: البراهين ذات عمودين هي رائعة التحضير للمستقبل.

أخيرًا ، هناك حقيقة أنه لا يوجد عالم رياضيات - في الواقع ، لا يوجد إنسان بالغ بخلاف مدرس الهندسة - يستخدم البراهين المكونة من عمودين. قم بقلب دفتر يوميات الرياضيات ، وستجد فقط ما تسميه الكتب المدرسية الهندسية "إثبات الفقرة" - أي أن النثر الإنجليزي يعرض حجة. بالتأكيد ، البراهين كثيفة ، وغالبًا ما يتم مقاطعتها بواسطة المعادلات التي تغطي عرض الصفحة ، ولكن تمت كتابتها لتكون مفهومة ، وليس للالتزام بصيغة مربعة اصطناعية.

كيف نصلح النظام؟ فيما يلي بعض الاقتراحات غير الكاملة:

ابدأ ببراهين أفضل. ابدأ فصلًا دراسيًا في الهندسة بوحدة على بنية الإثبات ، ولا تقلق بشأن ذلك ماذا او ما أنت تثبت. إثبات وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية. إثبات نظرية فيثاغورس. أثبت أنه لا توجد مدرسة يوم السبت. أثبت أن الدب سيهزم أسدًا في القتال. يمكن أن يأتي التطور البديهي للهندسة الإقليدية لاحقًا. أولاً ، يحتاج الطلاب إلى ممارسة لعب اللعبة.

لا تدع الطلاب يقدمون "تعريف أ" أو "نظرية ب" كأسباب. على الأقل ليس في البداية. يجب أن يفهموا أن السبب هو حقيقة وليس جملة. يحجب التنسيق الحالي للبروفات المكونة من عمودين المحتوى المنطقي الذي يدعم الوسيطات. بدلاً من السماح للطلاب باستدعاء "نظرية المكملات المتطابقة" ، اجعلهم يكتبون ، "إذا كانت هناك زاويتان بهما مكملات متطابقة ، فعندئذٍ تكونان متطابقتان." (يمكنك فطمهم عن مثل هذه التفسيرات الكلامية لاحقًا.)

استخدم البراهين المكونة من عمودين مثل التوابل أو التوابل: بشكل مقتصد. يمكن أن تكون مفيدة في توضيح العوامل. ولكن يجب أن تحتل البراهين ذات العمودين مكانًا في الهندسة مشابهًا لـ "براهين الانسياب" التي ترغب بعض الكتب المدرسية في الاستشهاد بها. يجب أن يكونوا غذاء "في بعض الأحيان" ، وليس عنصرًا أساسيًا في النظام الغذائي.

ضع في اعتبارك إضافة عمود ثالث. بدأ مدرس الهندسة الخاص بي السنة مع ثلاثةبراهين العمود: (1) العبارة (2) السبب (3) الخطوات السابقة التي تعتمد عليها هذه الخطوة. بهذه الطريقة ، فإن "السبب" لا يبدو وكأنه كلمة مرور سرية ، ولكن ما هو عليه: رابط بين العبارات التي جاءت من قبل والبيان الحالي.

أود أن أسمع رأي معلمي الهندسة الآخرين في الدليل المكون من عمودين ، خاصةً أي شخص لديه دفاع عاطفي (أو نزيه) عن قيمته التربوية.


البراهين ذات عمودين

أنا ضائع تمامًا ولدي اختبار يوم الاثنين
هل يمكن لأي شخص مساعدتي في 2 من البراهين؟

1. GIVEN: AB = BC PROVE: 1 / 2AC = BC

أسباب الكشوف
أ. AB = BC معطى
ب. AC = AB + BC متماثل
ج. AB + AB = تعويض AC
د. AC = قسم 2BC
ه. 1 / 2AC = الضرب BC

لست متأكدا إذا كانت الأسباب صحيحة!

2. المعطاة: الزاوية 1 والزاوية 3 هما زوجان خطيان من الزاويتين 2 والزاوية 3 زوجان خطيان
إثبات: م زاوية 1 = م زاوية 2 ، دون استخدام نظرية الزاوية الرأسية

أسباب الكشوف
أ. الزاويتان 1 و 3 هما تعريفان مكملان للزوايا التكميلية
الزاوية 2 والزاوية 3 مكملتان
ب. الزاوية 1 هي الزاوية المطابقة 2 التعويض
ج. الزاوية 1 تساوي الزاوية 2 تعريف الزوايا المتطابقة

مرة أخرى ، لست متأكدًا مما إذا كان صحيحًا.

مرسبى

كبار الأعضاء

أنا ضائع تمامًا ولدي اختبار يوم الاثنين
هل يمكن لأي شخص مساعدتي في 2 من البراهين؟

1. GIVEN: AB = BC PROVE: 1 / 2AC = BC

أسباب الكشوف
أ. AB = BC معطى
ب. AC = AB + BC متماثل
ج. AB + AB = تعويض AC
د. AC = قسم 2BC
ه. 1 / 2AC = الضرب BC

لست متأكدا إذا كانت الأسباب صحيحة!

أنا متأكد تمامًا من أن بعضًا منهم على الأقل غير صحيح. لكنني لن أضع أي افتراضات حول نوع الرسم البياني الذي تم توفيره مع هذا التمرين. أنا متأكد من أن هناك واحدة.

2. المعطاة: الزاوية 1 والزاوية 3 هما زوجان خطيان من الزاويتين 2 والزاوية 3 زوجان خطيان
إثبات: م زاوية 1 = م زاوية 2 ، دون استخدام نظرية الزاوية الرأسية

أسباب الكشوف
أ. الزاويتان 1 و 3 هما تعريفان مكملان للزوايا التكميلية
الزاوية 2 والزاوية 3 مكملتان
أعتقد أن الزاوية 1 والزاوية 3 مكملتان ، والزاوية 2 والزاوية 3 مكملتان بسبب ما يسميه كتابي & quot بالفرضية الزوجية. & quot. يقول تعريف الزوايا التكميلية أن & quottwo زاويتان مكملتان إذا وفقط إذا كان مجموعهما المقاييس 180 درجة. & quot ؛ لم يقل أي شيء في الدليل حتى الآن أي شيء عن مقاييس الزاوية.

ب. الزاوية 1 هي الزاوية المطابقة 2 رقم الاستبدال ، يمكنك القول أن الزاوية 3 مطابقة للزاوية 3 بسبب الخاصية الانعكاسية للتطابق
ج. الزاوية 1 تساوي الزاوية 2 تعريف الزوايا المتطابقة رقم يمكنك القول إن الزاوية 1 مطابقة للزاوية 2 لأن زاويتين مكملتين للزاوية نفسها متطابقتان مع بعضهما البعض. من أجل استخدام تعريف الزوايا المتطابقة (التي تنص على أن الزاويتين متطابقتان إذا وفقط إذا كانت قياساتهما متطابقة) ، يجب عليك إظهار أن الزاويتين المعنيتين لهما قياسات متساوية


مثال على إثبات عمودين مقابل إثبات فقرة

فيما يلي مثال للمقارنة بين إثبات مكتوب في شكل عمودين أو مكتوب كنص. وسأوضح لك أيضًا عملية التفكير الخاصة بي عندما كنت أفكر في هذا. لم أفعل هذا النوع من المشاكل في السنوات الأخيرة ، لذلك ليس لدي الدليل المحفوظ.

الفكرة هي إظهار أن الإثبات المكون من عمودين ليس هو النوع الوحيد من الإثبات الموجود ، كما أنه ليس بالضرورة "الأفضل". فكرة الإثبات هي التواصل بوضوح بطريقة مقنعة في حجتك. في بعض الأحيان قد يكون ذلك أسهل في مجرد نثر عادي.

المشكلة: أثبت أنه إذا كان القطرين في الشكل الرباعي ينقسمان إلى بعضهما البعض ، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

عملية أفكاري:
من الأفضل رسم صورة أولاً وقبل كل شيء. إنه شكل رباعي بأقطار. من المفترض أن نثبت أنه متوازي أضلاع. سأحاول رسم صورة لا تشبه بالضبط متوازي الأضلاع بمعنى آخر صورة غير دقيقة.

(لماذا؟ لأنه في كثير من الأحيان ، عند النظر إلى صورة مرسومة بالضبط ، نقول ، "حسنًا ، أرى أنه متوازي أضلاع. لا حاجة لإثبات ذلك." لذا بدلاً من ذلك ، أريد رسم رباعي الأضلاع لا يبدو للوهلة الأولى مثل متوازي الأضلاع.)

إذن ، ما لديك هو شكل رباعي بقطرين ينصفان بعضهما البعض. بمعنى أن نقطة التقاطع هي نقطة منتصف لكلا القطرين.

حسنًا ، يبدو أن بعض مقاطع الخطوط سيكون لها أطوال متساوية. ويشكل خطان متقاطعان دائمًا زوجين من الزوايا الرأسية. لذلك سيكون لدي بعض الزوايا نفسها وبعض الأجزاء المستقيمة نفسها. يبدو أنني أستطيع بسهولة إثبات وجود مثلثين متطابقين ومثلثين آخرين متطابقين.

ولكن كيف يمكن للمرء أن ينتقل من ذلك إلى إثبات أن الخطوط المكونة للشكل الرباعي متوازية؟

يجب أن تكون الزوايا المقابلة هي التي ستعمل هناك. سيكون لدي زوايا بنفس القياس ، مما يجعل المستقيمين يجب أن يكونا متوازيين.

حسنًا ، الدليل جاهز في ذهني الآن. فقط عليك كتابتها حتى يفهمها الآخرون.

دليل مكتوب في شكل "فقرة":

الرجاء إلقاء نظرة على الصورة. نظرًا لأن الأقطار تقسم بعضها البعض ، فإن مقاطع الخط المميزة بخط صغير واحد متساوية ، وبالمثل ، فإن مقاطع الخط المميزة بخطوط صغيرة مزدوجة. الزاويتان المحددتان بخط أزرق داكن متساويان ، وهما زاويتان رأسيتان. ويترتب على نظرية التطابق SAS أن المثلثين الأصفرين متطابقان.

نظرًا لأنهما متطابقتان ، فإن الزاويتين A و A لهما نفس المقياس. والزاويتان "أ" و "أ" متماثلتان لأنهما زاويتان رأسيتان. لذا بما أن A و A "متماثلان ، و A" و A "متماثلان ، فإن ذلك يعني أن الزاويتين A و A" متماثلتان.

لكن هذا يكافئ الخطين اللذين يشكلان الجزء العلوي والسفلي للشكل الرباعي المتوازيين.

حجة متطابقة باستخدام المثلثين الأبيضين بدلاً من المثلثين الأصفر تثبت أن ضلعي الشكل الرباعي متوازيان.