مقالات

6: وظائف - رياضيات


6: وظائف - رياضيات

6: وظائف - رياضيات

الدوال ، الجبر ، الخوارزميات ، نظرية المجموعات ، النظام الثنائي

نبذة مختصرة

العلم الحديث والثقافة الغربية المعاصرة لا يمكن تصوره بدون رياضيات عالية المستوى. تتخلل أنماط التفكير الكمية والأفكار الرياضية والتقنيات الخوارزمية والتفكير الرمزي الطريقة التي نتصور بها العالم ونتفاعل معه اليوم. بعد الرقم واستخدامه في الحساب ، ربما يكون مفهوم الوظيفة ، الذي يتم التعبير عنه عادةً من خلال صيغة رمزية ، هو الفكرة الرياضية الأكثر انتشارًا المستخدمة في التطبيقات العلمية. تساعد الدوال في صياغة روابط سببية مهمة بين أنواع مختلفة من المقاييس في العديد من الحقول العلمية ، وتوفر طريقة لمقارنة الهياكل الجبرية المختلفة في الرياضيات المتقدمة.

سيكون اهتمامنا بالدوال هنا مختلفًا عما هو عليه في التفاضل والتكامل. تعمل الرسوم البيانية لحساب التفاضل والتكامل وتستكشف ميزات معينة لتلك الرسوم البيانية مثل القيم المتطرفة المحلية أو المنطقة الواقعة أسفل منحنى عن طريق إجراء حسابات دالة متخصصة معينة. سنقوم هنا بدلاً من ذلك بالتحقيق في بعض السمات الجبرية العامة للوظائف التي تظهر في العديد من تطبيقات الرياضيات المنفصلة وكذلك في مجالات الرياضيات الأكثر تقدمًا.


6: وظائف - رياضيات

وظائف الدماغ الست
شرح لوظائف الدماغ الأساسية

التصور الإبداعي:
قدرتك البصرية-المكانية هي في الواقع العديد من أنواع القدرات المختلفة ، بدءًا من انتقاء التفاصيل ، إلى إدراك ترتيب تلك التفاصيل في أنماط ، إلى ملاءمة تلك الأنماط في قاعدة معرفية حتى تعرف ما يجب أن تفعله بها.

مثل كلياتك الأخرى ، يمكن الحفاظ على ذكائك البصري المكاني أو تركه يتدهور. يمكن أن تتحداك اللقطات المرئية المقربة في عرض هذه التفاصيل على نمط أكبر ، وبالتالي ممارسة مهارات التصوير الكلي المعتمدة على الدماغ الأيمن. يمكن للأنماط المألوفة ذات التفاصيل الدقيقة أو اثنين في غير مكانها أن تختبر انتباهك للتفاصيل الموضوعية. والمهام التي تتطلب دورانًا عقليًا للأشياء المرئية ثلاثية الأبعاد يمكن أن تكون محطمة حقيقية للدماغ ، حتى تتعلم كيفية تعليقها.

الذاكرة والتعلم:
الذاكرة شريك في تنمية جميع المهارات العقلية الأخرى. مفتاح التعلم هو قدرة الدماغ على تحويل التجربة الحالية إلى رمز وتخزينها ، لذلك ، لاحقًا ، يمكن استدعاء التجربة لمصلحتك. يقوم الدماغ بترميز بعض أنواع المدخلات من الحواس بشكل دائم دون أي جهد واع من جانبك. يمكنه أيضًا تخزين أنواع أخرى من البيانات لأنك تمرر تلك البيانات بوعي عبر حلقة تدريبية بشكل متكرر - والتي ، بالمناسبة ، يمكن أن تحدث أيضًا أثناء النوم.

التخطيط التنفيذي:
يسمح لك الجزء الأمامي من القشرة (الغطاء الخارجي المجعد للدماغ) بالتنبؤ بالأهداف واتخاذ الخطوات اللازمة لتنفيذ خططك. نظرًا لكونه أحدث جزء متطور من الدماغ ، فإن الفصوص الأمامية تضم أيضًا الأجزاء الأكثر هشاشة في هويتنا ، وتدعم الكليات التي تتطلب بذل جهد وممارسة أكثر وعيًا إذا كنت ترغب في الحفاظ عليها.

الجانب الآخر من هشاشة الوظائف التنفيذية هو أنها أيضًا أكثر مرونة وقابلية للتحسين مع الممارسة. أفضل طريقة لتكون خبيرًا في تنظيم المعلومات واستخدامها لصالحك هي العمل عليها. نظرًا لأن وظائف الفص الأمامي لديك يمكن الوصول إليها بوعي شديد ، فهذه مسألة أسهل - طالما أنك على استعداد لبذل الجهد - من تعلم ضبط إيقاعات الجسم التي يتحكم فيها جذع الدماغ.

اللغة والرياضيات:
إن اكتسابنا للغة في الطفولة هو أمر غريزي وتلقائي لدرجة أننا نأخذها أحيانًا كأمر مسلم به. تُظهر لنا الأدلة الحديثة أن الاستعداد مدى الحياة لدفع ظرف قدراتنا اللغوية يساعد في الحفاظ على فروع خلايا الدماغ المتغصنة من الضمور ، وقد يساعد أيضًا في الوقاية من مرض الزهايمر.

نحن جميعًا تقريبًا نقع في نفس النطاق من القدرة الرياضية الأساسية. لماذا ، إذن ، الكثير منا يتجنب الحسابات الحسابية الذهنية وألعاب الرياضيات بحجة أننا "لسنا جيدين في الرياضيات"؟ لكن أولئك منا الذين يفكرون في الرياضيات على أنها شيء لسنا جيدين فيه يميلون إلى ترك الحسابات الذهنية للآخرين. من خلال السماح لأنفسنا بالاستقرار في هذا النوع من النمط ، فإننا نسمح لبقائنا الرياضي ، وتيقظنا العقلي العام ، بالانزلاق. هذا ، في الواقع ، هو بالضبط السبب الذي يجعل معظمنا "ليس جيدًا في الرياضيات" أصبح بهذه الطريقة - لأننا أصبحنا مرتاحين في التفكير في أنفسنا بهذه الطريقة.

استجابة عاطفية:
يكشف علم الأعصاب عن المواقع الموجودة في دماغ كلياتنا العاطفية ، والمسارات العصبية التي تربط العاطفة بالوظائف "الفكرية" للعقل. ترتبط العاطفة ارتباطًا وثيقًا بالإدراك ، وبالحفاظ على صحة خلايا الدماغ بالإضافة إلى جهاز المناعة في الجسم.

التفاعل الاجتماعي:
التفاعل الاجتماعي مهارة قد لا تفكر فيها على أنها "عقلية" ، لكن لا يمكنك حقًا تجاهلها إذا كنت ترغب في تعزيز قوتك العقلية وزيادة فعالية مهاراتك العقلية الأخرى. أظهرت لنا بعض أكثر أبحاث الدماغ إثارة للاهتمام الطرق التي ترتبط بها المهارات الاجتماعية بجميع المقاييس التقليدية الأخرى للذكاء. قد يكون لدى الشخص فطنة منطقية حادة ومع ذلك يكون غير قادر على استخدام هذه المهارة لاتخاذ قرارات منطقية في الحياة ، أو حتى الانخراط في تفاعلات اجتماعية منتجة. يعتبر التفاعل الاجتماعي أيضًا أحد الركائز الثلاث لما يسمى "البيئة الغنية" ، جنبًا إلى جنب مع التحفيز الذهني والتمارين البدنية. هذا هو نوع البيئة التي تعمل على الحفاظ على جميع المهارات المعرفية حادة ، وتعزيز إنتاج خلايا دماغية جديدة ، وحتى لتقليل مخاطر الإصابة بمرض الزهايمر.


آلات الوظائف عبر الإنترنت

يطور عدد من آلات الوظائف الرائعة عبر الإنترنت نفس المفهوم. يمكن للطلاب العمل بشكل فردي ، في أزواج ، أو كفصل لحل ألغاز الآلة الوظيفية.


    تتيح هذه الآلة لتخمين قواعد الوظيفة الغامضة للمستخدم التحكم في الحد الأقصى لرقم الإدخال ، مع خيارات للإدخالات اليدوية أو الكمبيوتر وقواعد الوظيفة 1 أو 2. يتطلب خمسة مدخلات / مخرجات قبل أن يسمح للمستخدم بتخمين قاعدة (قواعد) الوظيفة.
    الآلات ذات الوظائف الثلاثة في تفاعل شودور يتضمن الموقع المساعدة والدروس للطلاب والمعلمين:
      (مع قاعدة واحدة) (مع قاعدتين) (مع قاعدتين تشتملان على أعداد صحيحة موجبة وسالبة)

    الرياضيات T STPM

    حل الفحص السريع 6.1

    حل الفحص السريع 6.2

    حل الفحص السريع 6.3

    حل الفحص السريع 6.4

    حل الفحص السريع 6.5

    حل الفحص السريع 6.6

    حل الفحص السريع 6.7

    حل للتمرين 6.10

    حل للتمرين 6.11


    المهام

    في الطريق إلى مدينة الشك ، كان علي المرور عبر وادي الغموض.

    ما هي الوظيفة؟ تعتبر فكرة الوظيفة أساسية للرياضيات ، ولكن مثل العديد من الجوانب الأساسية للرياضيات ، لم يتم تسمير تعريفها حتى وقت قريب نسبيًا. كان علماء الرياضيات يستخدمون الدوال دون التفكير بكل هذا العناء في ماهية الوظائف! دعونا نصحح ذلك.

    التعريف الذي أفضل استخدامه هو ما يلي:

    تعريف. أ وظيفة من المجموعة إلى المجموعة هي قاعدة لا لبس فيها تسند إلى كل عنصر من عناصر عنصر .

    لا لبس فيه ، أعني أن كل منهما يحتوي على عنصر واحد فقط من المخصصة لها. قد يبدو هذا واضحًا ، ولكن في الواقع هناك بعض العمليات الرياضية المثيرة للاهتمام والتي يتبين أنها غامضة بعض الشيء ، على سبيل المثال:

    تعريف. نقول ذلك هو الجذر التربيعي ل لو .

    ليس من الصعب رؤية كلاهما و هي الجذور التربيعية ل ، لذلك فإن عبارة `` الجذر التربيعي لـ "غامض في الواقع. هناك طرق مختلفة للتعامل مع هذا الغموض: على سبيل المثال ، يمكننا الاكتفاء بالرمز ، التي تمثل المجموعة المكونة من عنصرين ، ولكن بعد ذلك الجذر التربيعي لرقم ليس رقمًا !. الطريقة الأكثر مباشرة هي استبعادها عن طريق الافتراض ، كما فعلت مع تعريف الوظيفة التي قدمتها أعلاه.

    لتفعيل فكرة الجذر التربيعي ، نقوم عادة بما يلي:

    تعريف. نقول ذلك هو الجذر التربيعي الأساسي لـ ، واكتب ، لو و .

    أي إذا كان هناك خياران محتملان للجذر التربيعي ، فإننا نقرر دائمًا أن نأخذ الموجب. إن فكرة "الجذر التربيعي" هذه الآن لا لبس فيها ، أي دالة.

    دعنا نربط هذه الفكرة بالشكليات بالعلاقات. انه واضح يعبر عن علاقة بين و ، لذلك يمكننا أن نأمل أن يساعدنا عملنا في العلاقات على تطوير تعريف جيد للوظيفة كنوع من العلاقة. للحصول على وظيفة من ل ، سوف نرغب في النظر في أزواج ، لذلك علاقتنا (لنكن تقليديًا ونسميها ) مجموعة فرعية من .

    ماذا يعني أن تكون القاعدة غامضة؟ سيكون هناك بعض مع و ، أين و متميزة. هذا هو، الغموض يعني

    نشاط. اكتب رفضًا للجملة المنطقية أعلاه. هذا ما يعنيه ذلك أن تكون لا لبس فيها.

    نشاط. إذا كان رفضك يشمل فقط و ، قم بتغييرها باستخدام الحقائق المنطقية بحيث تحتوي على .


    وظائف معقدة

    ليس من السهل توضيح التطبيقات العملية للوظائف التي تكون متغيراتها أعدادًا معقدة ، لكنها مع ذلك واسعة النطاق. تحدث ، على سبيل المثال ، في الهندسة الكهربائية والديناميكا الهوائية. إذا تم تمثيل المتغير المركب في النموذج ض = x + أناذ، أين أنا هي الوحدة التخيلية (الجذر التربيعي للعدد −1) و x و ذ متغيرات حقيقية (يرى الشكل) ، من الممكن تقسيم الوظيفة المعقدة إلى أجزاء حقيقية وخيالية: F(ض) = ص(x, ذ) + أناس(x, ذ).


    6: وظائف - رياضيات

    الجدول 12.10 وظائف رياضية

    اسم وصف
    عضلات المعدة() إرجاع القيمة المطلقة
    ACOS () أعد جيب التمام القوسي
    ASIN () أعد الجيب القوسي
    ATAN () أعد ظل القوس
    ATAN2 () ، ATAN () قم بإرجاع ظل القوس للحجتين
    سقف() إرجاع أصغر قيمة عدد صحيح لا تقل عن الوسيطة
    السقف() إرجاع أصغر قيمة عدد صحيح لا تقل عن الوسيطة
    كونف () تحويل الأرقام بين قواعد العدد المختلفة
    COS () أعد جيب التمام
    سرير نقال() أعد ظل التمام
    CRC32 () احسب قيمة فحص التكرار الدوري
    درجات() حول الراديان إلى درجات
    EXP () رفع إلى قوة
    الأرض() إرجاع أكبر قيمة عدد صحيح ليست أكبر من الوسيطة
    LN () إرجاع اللوغاريتم الطبيعي للوسيطة
    سجل() قم بإرجاع اللوغاريتم الطبيعي للمتغير الأول
    LOG10 () قم بإرجاع اللوغاريتم ذو الأساس 10 للوسيطة
    LOG2 () قم بإرجاع لوغاريتم الأساس 2 للوسيطة
    عصري() أعد الباقي
    PI () إرجاع قيمة باي
    POW () إعادة الحجة المرفوعة إلى القوة المحددة
    قوة() إعادة الحجة المرفوعة إلى القوة المحددة
    راديان() تحويل حجة العودة إلى راديان
    راند () إرجاع قيمة عشوائية للفاصلة العائمة
    دائري() جولة في الحجة
    إشارة() أعد علامة الحجة
    SIN () إعادة جيب الحجة
    SQRT () أعد الجذر التربيعي للوسيطة
    تان () إعادة ظل الحجة
    اقتطاع () اقتطاع إلى عدد محدد من المنازل العشرية

    جميع الدوال الرياضية ترجع NULL في حالة حدوث خطأ.

    إرجاع القيمة المطلقة لـ X أو NULL إذا X باطل .

    نوع النتيجة مشتق من نوع الوسيطة. والمضمون لهذا هو أن ABS (-9223372036854775808) ينتج خطأ لأنه لا يمكن تخزين النتيجة في قيمة BIGINT موقعة.

    هذه الوظيفة آمنة للاستخدام مع قيم BIGINT.

    إرجاع جيب التمام القوسي لـ X ، وهي القيمة التي يكون جيب التمام X . ترجع NULL إذا X ليس في النطاق من -1 إلى 1.

    ترجع جيب الزاوية القوسي لـ X ، وهي القيمة التي يكون جيبها X . ترجع NULL إذا X ليس في النطاق من -1 إلى 1.

    إرجاع ظل القوس لـ X ، وهي القيمة التي يكون ظلها X .

    تُرجع ظل القوس للمتغيرين X و ص . إنه مشابه لحساب ظل القوس ص / X ، فيما عدا أنه يتم استخدام علامات كلتا الوسيطتين لتحديد رباعي النتيجة.

    إرجاع أصغر قيمة عدد صحيح لا تقل عن X .

    بالنسبة للوسيطات الرقمية ذات القيمة الدقيقة ، تحتوي القيمة المرجعة على نوع رقمي ذي قيمة دقيقة. بالنسبة إلى وسيطات السلسلة أو الفاصلة العائمة ، تحتوي القيمة المعادة على نوع النقطة العائمة.

    يحول الأرقام بين قواعد العدد المختلفة. إرجاع تمثيل سلسلة للرقم ن ، محولة من القاعدة from_base للقاعدة إلى القاعدة . تُرجع NULL إذا كانت أي وسيطة فارغة. الحجة ن يتم تفسيره على أنه عدد صحيح ، ولكن يمكن تحديده على أنه عدد صحيح أو سلسلة. الحد الأدنى للقاعدة هو 2 والحد الأقصى هو 36. لو from_base هو رقم سالب ، ن يعتبر رقما موقعا. غير ذلك، ن يعامل على أنه غير موقع. يعمل CONV () بدقة 64 بت.

    إرجاع جيب التمام لـ X ، أين X يُعطى بالتقدير الدائري.

    إرجاع ظل التمام لـ X .

    لحساب قيمة فحص التكرار الدوري وإرجاع قيمة 32 بت غير موقعة. تكون النتيجة NULL إذا كانت الوسيطة NULL. من المتوقع أن تكون الوسيطة عبارة عن سلسلة و (إذا أمكن) يتم التعامل معها على أنها واحدة إذا لم تكن كذلك.

    إرجاع الوسيطة X ، محولة من الراديان إلى درجات.

    ترجع قيمة ه (قاعدة اللوغاريتمات الطبيعية) مرفوعة إلى قوة X . معكوس هذه الوظيفة هو LOG () (باستخدام وسيطة واحدة فقط) أو LN ().

    تُرجع أكبر قيمة عدد صحيح لا تزيد عن X .

    بالنسبة للوسيطات الرقمية ذات القيمة الدقيقة ، تحتوي القيمة المرجعة على نوع رقمي ذي قيمة دقيقة. بالنسبة إلى وسيطات السلسلة أو الفاصلة العائمة ، تحتوي القيمة المعادة على نوع النقطة العائمة.

    لتنسيق الرقم X إلى تنسيق مثل "# ، ### ، ###. ##" ، مقربًا إلى د المنازل العشرية ، وإرجاع النتيجة كسلسلة. لمزيد من التفاصيل ، راجع القسم 12.8 ، "وظائف السلسلة وعوامل التشغيل".

    يمكن استخدام هذه الوظيفة للحصول على تمثيل سداسي عشري لرقم عشري أو سلسلة تختلف الطريقة التي يتم بها ذلك وفقًا لنوع الوسيطة. راجع وصف هذه الوظيفة في القسم 12.8 ، "وظائف السلسلة وعوامل التشغيل" ، للحصول على التفاصيل.

    إرجاع اللوغاريتم الطبيعي لـ X وهذا هو الأساس- ه لوغاريتم X . لو X أصغر من أو يساوي 0 ، ثم يتم إرجاع NULL.

    هذه الوظيفة مرادفة لـ LOG ( X ). عكس هذه الوظيفة هو وظيفة EXP ().

    إذا تم استدعاؤها بمعامل واحد ، فإن هذه الدالة ترجع اللوغاريتم الطبيعي لـ X . لو X أصغر من أو يساوي 0 ، ثم يتم إرجاع NULL.

    معكوس هذه الوظيفة (عندما يتم استدعاؤها باستخدام وسيط واحد) هي وظيفة EXP ().

    إذا تم استدعاؤها باستخدام معلمتين ، فإن هذه الدالة ترجع لوغاريتم X إلى القاعدة ب . لو X أصغر من أو يساوي 0 ، أو إذا كان ب أصغر من أو يساوي 1 ، ثم يتم إرجاع NULL.

    لعرض لوغاريتم الأساس 2 لـ X .

    LOG2 () مفيد لمعرفة عدد وحدات البت التي يتطلبها الرقم للتخزين. هذه الوظيفة تعادل التعبير LOG ( X ) / السجل (2).

    لعرض لوغاريتم الأساس 10 لـ X .

    عملية مودولو. إرجاع ما تبقى من ن مقسومًا على م .

    هذه الوظيفة آمنة للاستخدام مع قيم BIGINT.

    تعمل MOD () أيضًا على القيم التي تحتوي على جزء كسري وتُرجع الباقي الدقيق بعد القسمة:

    تُرجع قيمة π (باي). العدد الافتراضي للأماكن العشرية المعروضة هو سبعة ، لكن MySQL تستخدم قيمة الدقة المزدوجة الكاملة داخليًا.

    ترجع قيمة X رفع إلى قوة ص .

    إرجاع الوسيطة X ، محولة من درجات إلى راديان.

    π راديان يساوي 180 درجة.

    تُرجع قيمة عشوائية للفاصلة العائمة الخامس في النطاق 0 & lt = الخامس & lt 1.0. للحصول على عدد صحيح عشوائي ص في النطاق أنا & lt = ص & lt ي ، استخدم التعبير FLOOR ( أنا + راند () * ( يأنا )). على سبيل المثال ، للحصول على عدد صحيح عشوائي في النطاق 7 & lt = ص & lt 12 ، استخدم العبارة التالية:

    إذا كانت حجة عدد صحيح ن محددًا ، يتم استخدامه كقيمة أولية:

    باستخدام وسيطة مُهيئ ثابتة ، تتم تهيئة الأصل مرة واحدة عند إعداد البيان ، قبل التنفيذ.

    باستخدام وسيطة مُهيئ غير ثابتة (مثل اسم العمود) ، تتم تهيئة الأصل بقيمة كل استدعاء لـ RAND ().

    أحد الآثار الضمنية لهذا السلوك هو أنه بالنسبة لقيم الوسيطة المتساوية ، RAND ( ن ) تُرجع نفس القيمة في كل مرة ، وبالتالي تنتج تسلسلًا متكررًا لقيم العمود. في المثال التالي ، تسلسل القيم التي ينتجها RAND (3) هو نفس المكانين اللذين يحدث فيهما.

    يتم تقييم RAND () في عبارة WHERE لكل صف (عند الاختيار من جدول واحد) أو مجموعة من الصفوف (عند التحديد من ربط متعدد الجداول). وبالتالي ، لأغراض المحسن ، فإن RAND () ليست قيمة ثابتة ولا يمكن استخدامها لتحسين الفهرس. لمزيد من المعلومات ، راجع القسم 8.2.1.17 ، "تحسين استدعاء الوظائف".

    قد يؤدي استخدام عمود بقيم RAND () في عبارة ORDER BY أو GROUP BY إلى نتائج غير متوقعة لأنه يمكن تقييم تعبير RAND () عدة مرات للصف نفسه ، في كل مرة يتم إرجاع نتيجة مختلفة. إذا كان الهدف هو استرداد الصفوف بترتيب عشوائي ، فيمكنك استخدام عبارة مثل هذه:

    لتحديد عينة عشوائية من مجموعة صفوف ، ادمج ORDER BY RAND () مع LIMIT:

    لا يُقصد من RAND () أن تكون منشئًا عشوائيًا مثاليًا. إنها طريقة سريعة لإنشاء أرقام عشوائية عند الطلب تكون محمولة بين الأنظمة الأساسية لنفس إصدار MySQL.

    هذه الوظيفة غير آمنة للنسخ المتماثل القائم على البيان. يتم تسجيل تحذير إذا استخدمت هذه الوظيفة عند ضبط binlog_format على STATEMENT.

    تقريب الحجة X ل د منازل عشرية. تعتمد خوارزمية التقريب على نوع بيانات X . د افتراضيات إلى 0 إذا لم يتم تحديدها. د يمكن أن يكون سببًا سلبيًا د الأرقام المتبقية من الفاصلة العشرية للقيمة X ليصبح صفرا. أقصى قيمة مطلقة لـ د هو 30 رقمًا يتم اقتطاع أي رقم يزيد عن 30 (أو -30).

    القيمة المعادة لها نفس نوع الوسيطة الأولى (بافتراض أنها عدد صحيح أو مزدوج أو عشري). هذا يعني أنه بالنسبة إلى وسيطة عدد صحيح ، تكون النتيجة عددًا صحيحًا (لا توجد منازل عشرية):

    يستخدم ROUND () القواعد التالية بناءً على نوع الوسيطة الأولى:

    بالنسبة للأرقام ذات القيمة الدقيقة ، تستخدم ROUND () قاعدة "تقريب النصف بعيدًا عن الصفر" أو قاعدة "التقريب نحو الأقرب": يتم تقريب القيمة ذات الجزء الكسري 0.5 أو أكبر إلى العدد الصحيح التالي إذا كان موجبًا أو لأسفل إلى العدد الصحيح التالي إذا كان سالب. (بمعنى آخر ، يتم تقريبه بعيدًا عن الصفر.) يتم تقريب القيمة التي بها جزء كسري أقل من .5 إلى العدد الصحيح التالي إذا كان موجبًا أو إلى العدد الصحيح التالي إذا كان سالبًا.

    بالنسبة لأرقام القيمة التقريبية ، تعتمد النتيجة على مكتبة C. في العديد من الأنظمة ، هذا يعني أن ROUND () يستخدم قاعدة "تقريب إلى أقرب زوجي": يتم تقريب القيمة ذات الجزء الكسري في منتصف المسافة بين عددين صحيحين إلى أقرب عدد صحيح زوجي.

    يوضح المثال التالي كيف يختلف التقريب للقيم الدقيقة والتقريبية:

    تُرجع علامة الوسيطة كـ -1 أو 0 أو 1 ، بناءً على ما إذا كان X سلبي أو صفر أو موجب.

    إرجاع جيب X ، أين X يُعطى بالتقدير الدائري.

    تعرض الجذر التربيعي لعدد غير سالب X .

    إرجاع ظل الزاوية X ، أين X يُعطى بالتقدير الدائري.

    يُرجع الرقم X ، مقطوع إلى د منازل عشرية. لو د هي 0 ، النتيجة لا تحتوي على فاصلة عشرية أو جزء كسري. د يمكن أن يكون سببًا سلبيًا د الأرقام المتبقية من الفاصلة العشرية للقيمة X ليصبح صفرا.


    6: وظائف - رياضيات

    نحن الآن بحاجة إلى الانتقال إلى الموضوع الثاني من هذا الفصل. قبل أن نفعل ذلك ، نحتاج إلى تعريف سريع يتم الاهتمام به.

    تعريف العلاقة

    أ علاقة هي مجموعة من الأزواج المرتبة.

    يبدو هذا تعريفًا غريبًا ولكننا سنحتاجه لتعريف الوظيفة (وهو الموضوع الرئيسي في هذا القسم). ومع ذلك ، قبل أن نعطي تعريفًا للدالة فعليًا ، دعنا نرى ما إذا كان بإمكاننا التعامل مع ماهية العلاقة فقط.

    فكر في العودة إلى المثال 1 في قسم الرسوم البيانية في هذا الفصل. في هذا المثال ، أنشأنا مجموعة من الأزواج المرتبة التي استخدمناها لرسم الرسم البياني لـ (y = < left ( يمين) ^ 2> - 4 ). فيما يلي الأزواج المرتبة التي استخدمناها.

    أي مما يلي عبارة عن علاقات لأنها تتكون من مجموعة من الأزواج المرتبة.

    هناك بالطبع العديد من العلاقات التي يمكننا تكوينها من قائمة الأزواج المرتبة أعلاه ، لكننا أردنا فقط سرد بعض العلاقات الممكنة لإعطاء بعض الأمثلة. لاحظ أيضًا أنه يمكننا أيضًا الحصول على أزواج مرتبة أخرى من المعادلة ونضيفها إلى أي من العلاقات أعلاه إذا أردنا ذلك.

    الآن ، في هذه المرحلة ربما تسأل فقط لماذا نهتم بالعلاقات وهذا سؤال جيد. بعض العلاقات خاصة جدًا وتستخدم في جميع مستويات الرياضيات تقريبًا. يخبرنا التعريف التالي فقط عن العلاقات التي تمثل هذه العلاقات الخاصة.

    تعريف الوظيفة

    أ وظيفة هي علاقة ترتبط فيها كل قيمة من المجموعة بالمكونات الأولى للأزواج المرتبة بقيمة واحدة بالضبط من مجموعة المكونات الثانية للزوج المرتب.

    حسنًا ، هذا فم ممتلئ. دعونا نرى ما إذا كان بإمكاننا معرفة ما يعنيه ذلك بالضبط. دعنا نلقي نظرة على المثال التالي الذي نأمل أن يساعدنا في اكتشاف كل هذا.

    من هذه الأزواج المرتبة ، لدينا المجموعات التالية من المكونات الأولى (بمعنى آخر. الرقم الأول من كل زوج مرتب) والمكونات الثانية (بمعنى آخر. الرقم الثاني من كل زوج مرتب).

    بالنسبة لمجموعة المكونات الثانية ، لاحظ أن "-3" حدث في زوجين مرتبين ولكننا أدرجناه مرة واحدة فقط.

    لمعرفة سبب كون هذه العلاقة دالة ، ما عليك سوى اختيار أي قيمة من مجموعة المكونات الأولى. الآن ، ارجع مرة أخرى إلى العلاقة وابحث عن كل زوج مرتب يكون فيه هذا الرقم هو المكون الأول وقم بإدراج جميع المكونات الثانية من تلك الأزواج المرتبة. ستتألف قائمة المكونات الثانية من قيمة واحدة بالضبط.

    على سبيل المثال ، دعنا نختار 2 من مجموعة المكونات الأولى. من العلاقة ، نرى أن هناك زوجًا مرتبًا واحدًا بالضبط مع 2 كمكون أول ، ( left (<2 ، - 3> right) ). لذلك ، فإن قائمة المكونات الثانية (بمعنى آخر. قائمة القيم من مجموعة المكونات الثانية) المرتبطة بـ 2 هي رقم واحد بالضبط ، -3.

    لاحظ أننا لا نهتم بأن -3 هو المكون الثاني من التكافؤ المرتبة الثاني في العلاقة. هذا مقبول تمامًا. لا نريد أن يكون هناك أكثر من زوج واحد مرتب مع 2 كمكون أول.

    لقد نظرنا إلى قيمة واحدة من مجموعة المكونات الأولى لمثالنا السريع هنا ولكن النتيجة ستكون واحدة لجميع الاختيارات الأخرى. بغض النظر عن اختيار المكونات الأولى ، سيكون هناك عنصر واحد مرتبط بها بالضبط.

    لذلك ، هذه العلاقة هي وظيفة.

    من أجل التعرف حقًا على ما يخبرنا به تعريف الوظيفة ، ربما يجب علينا أيضًا التحقق من مثال على علاقة ليست دالة.

    لا تقلق بشأن مصدر هذه العلاقة. إنه واحد فقط قمنا بتكوينه في هذا المثال.

    فيما يلي قائمة المكونات الأولى والثانية

    من مجموعة المكونات الأولى ، دعنا نختار 6. الآن ، إذا صعدنا إلى العلاقة ، نرى أن هناك زوجين مرتبين مع 6 كمكون أول: ( left (<6،10> right) ) و ( يسار (<6 ، - 4> يمين) ). قائمة المكونات الثانية المرتبطة بـ 6 هي إذن: 10 ، -4.

    تحتوي قائمة المكونات الثانية المرتبطة بـ 6 على قيمتين ، وبالتالي فإن هذه العلاقة ليست دالة.

    لاحظ أنه إذا اخترنا -7 أو 0 من مجموعة المكونات الأولى ، فهناك رقم واحد فقط في قائمة المكونات الثانية المرتبطة بكل منها. هذا لا يهم. حقيقة أننا وجدنا حتى قيمة واحدة في مجموعة المكونات الأولى مع أكثر من مكون واحد مرتبط بها كافية للقول أن هذه العلاقة ليست دالة.

    كتعليق أخير حول هذا المثال ، دعنا نلاحظ أنه إذا أزلنا الزوج الأول و / أو الرابع المرتب من العلاقة ، فسيكون لدينا وظيفة!

    لذا ، آمل أن يكون لديك على الأقل شعور بما يخبرنا به تعريف الوظيفة.

    الآن بعد أن أجبرناك على استعراض التعريف الفعلي للدالة ، دعنا نعطي تعريفًا "عمليًا" آخر للدالة التي ستكون أكثر فائدة لما نقوم به هنا.

    التعريف الفعلي يعمل على العلاقة. ومع ذلك ، كما رأينا في العلاقات الأربع التي قدمناها قبل تعريف الوظيفة والعلاقة التي استخدمناها في المثال 1 ، غالبًا ما نحصل على العلاقات من بعض المعادلات.

    من المهم أن نلاحظ أنه ليست كل العلاقات تأتي من المعادلات! العلاقة من المثال الثاني على سبيل المثال كانت مجرد مجموعة من الأزواج المرتبة التي كتبناها للمثال ولم تأتي من أي معادلة. يمكن أن يكون هذا صحيحًا أيضًا مع العلاقات التي تكون وظائف. ليس عليهم أن يأتوا من المعادلات.

    ومع ذلك ، بعد قولي هذا ، فإن الوظائف التي سنستخدمها في هذه الدورة التدريبية تأتي جميعها من المعادلات. لذلك ، دعنا نكتب تعريفًا للدالة التي تعترف بهذه الحقيقة.

    قبل أن نعطي تعريف "العمل" للدالة ، نحتاج إلى الإشارة إلى أن هذا ليس التعريف الفعلي للدالة ، المعطى أعلاه. هذا ببساطة "تعريف عملي" جيد لوظيفة تربط الأشياء بأنواع الوظائف التي سنعمل معها في هذه الدورة.

    "تعريف العمل" للوظيفة

    أ وظيفة هي معادلة أي (س ) يمكن توصيلها بالمعادلة سينتج عنها (ص ) واحدًا بالضبط من المعادلة.

    ذلك هو. هذا هو تعريف الوظائف التي سنستخدمها وربما يكون من الأسهل فهم ما تعنيه.

    قبل أن نفحص هذا ، لاحظ أننا استخدمنا العبارة " (x ) التي يمكن توصيلها" في التعريف. هذا يشير إلى أنه لا يمكن تعويض كل (x ) في معادلة وهذا في الواقع صحيح. سنعود ونناقش هذا بمزيد من التفصيل في نهاية هذا القسم ، ولكن في هذه المرحلة فقط تذكر أنه لا يمكننا القسمة على صفر وإذا كنا نريد أعدادًا حقيقية من المعادلة فلا يمكننا أخذ الجذر التربيعي لـ رقم سالب. لذلك ، من خلال هذين المثالين ، من الواضح أننا لن نكون قادرين دائمًا على إدخال كل (س ) في أي معادلة.

    علاوة على ذلك ، عند التعامل مع الوظائف ، سنفترض دائمًا أن كلا من (x ) و (y ) سيكونان أرقامًا حقيقية. بعبارة أخرى ، سننسى أننا نعرف أي شيء عن الأعداد المركبة لبعض الوقت أثناء تعاملنا مع هذا القسم.

    حسنًا ، مع هذا بعيدًا ، دعنا نعود إلى تعريف الدالة ودعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة على المعادلات التي هي دوال ومعادلات لا تعمل.

    يقول تعريف "العمل" للوظيفة أنه إذا أخذنا جميع القيم الممكنة لـ (x ) وقمنا بإدخالها في المعادلة وحلنا من أجل (y ) ، فسنحصل على قيمة واحدة بالضبط لكل قيمة (x) ). في هذه المرحلة من اللعبة ، قد يكون من الصعب جدًا إظهار أن المعادلة هي دالة لذلك سنتحدث في الغالب عن طريقنا من خلالها. من ناحية أخرى ، غالبًا ما يكون من السهل جدًا إظهار أن المعادلة ليست دالة.

    لذلك ، نحتاج إلى إظهار أنه بغض النظر عن (س ) فإننا نعوض في المعادلة ونحل من أجل (ص ) سنحصل فقط على قيمة واحدة (ص ). لاحظ أيضًا أن قيمة (y ) من المحتمل أن تكون مختلفة لكل قيمة من (x ) ، على الرغم من أنها لا يجب أن تكون كذلك.

    لنبدأ هذا عن طريق إدخال بعض قيم (س ) ونرى ما سيحدث.

    [يبدأx & = - 4: hspace <0.25in> & y & = 5 left (<- 4> right) + 1 = - 20 + 1 = - 19 x & = 0: hspace <0.25in> & y & = 5 left (0 right) + 1 = 0 + 1 = 1 x & = 10: hspace <0.25in> & y & = 5 left (<10> right) + 1 = 50 + 1 = 51 النهاية]

    لذلك ، لكل من هذه القيم من (س ) حصلنا على قيمة واحدة من (ص ) من المعادلة. الآن ، هذا لا يكفي للادعاء بأن هذه دالة. من أجل إثبات أن هذه دالة رسميًا ، نحتاج إلى إظهار أن هذا سيعمل بغض النظر عن قيمة (x ) التي نعوض بها في المعادلة.

    بالطبع ، لا يمكننا التعويض بكل القيم الممكنة لـ (x ) في المعادلة. هذا ليس ممكنًا ماديًا. ومع ذلك ، دعونا نعود وننظر إلى تلك التي قمنا بتوصيلها. لكل (x ) ، عند التوصيل ، قمنا أولاً بضرب (x ) في 5 ثم أضفنا 1 إليها. الآن ، إذا ضربنا عددًا في 5 ، فسنحصل على قيمة واحدة من عملية الضرب. وبالمثل ، سنحصل على قيمة واحدة فقط إذا أضفنا 1 إلى رقم. لذلك ، يبدو من المعقول أنه بناءً على العمليات المتضمنة في توصيل (x ) في المعادلة ، سنحصل فقط على قيمة واحدة لـ (y ) من المعادلة.

    إذن ، هذه المعادلة دالة.

    مرة أخرى ، دعنا نعوض بقيمتين (س ) ونحل من أجل (ص ) لنرى ما سيحدث.

    [يبدأx & = - 1: hspace <0.25in> & y = < left (<- 1> right) ^ 2> + 1 = 1 + 1 = 2 x & = 3: hspace <0.25in> & y = < left (3 right) ^ 2> + 1 = 9 + 1 = 10 end]

    الآن ، دعونا نفكر قليلاً فيما كنا نفعله بالتقييمات. أولاً ، قمنا بتربيع قيمة (x ) التي عوضنا بها. عندما نربّع رقمًا ، ستكون هناك قيمة واحدة ممكنة. ثم نضيف 1 إلى هذا ، ولكن مرة أخرى ، سينتج عن ذلك قيمة واحدة.

    لذا ، يبدو أن هذه المعادلة دالة أيضًا.

    لاحظ أنه من المقبول الحصول على نفس قيمة (y ) لمختلف (x ) 's. فمثلا،

    [x = - 3: hspace <0.25in> y = < left (<- 3> right) ^ 2> + 1 = 9 + 1 = 10 ]

    لا يمكننا الحصول على أكثر من (y ) واحد من المعادلة بعد أن نعوض بـ (x ).

    كما فعلنا مع المعادلتين السابقتين ، دعنا نعوض بقيمتين (س ) ، ونحل من أجل (ص ) ونرى ما نحصل عليه.

    [يبدأx & = 3: hspace <0.25in> & & = 3 + 1 = 4 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> y = pm 2 x & = - 1: hspace <0.25in> & & = - 1 + 1 = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> y = 0 x & = 10: hspace <0.25in> & & = 10 + 1 = 11 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> y = pm sqrt <11> end]

    الآن ، تذكر أننا نحل من أجل (y ) وهذا يعني أنه في الحالة الأولى والأخيرة أعلاه سنحصل بالفعل على قيمتين مختلفتين (y ) من (x ) وبالتالي هذه المعادلة ليست وظيفة.

    لاحظ أنه يمكننا الحصول على قيم (x ) التي ستنتج (y ) مفرد كما رأينا أعلاه ، لكن هذا لا يهم. إذا كانت قيمة واحدة لـ (x ) تنتج أكثر من قيمة (y ) عند حل المعادلة فلن تكون دالة.

    ما يعنيه هذا حقًا هو أننا لم نكن بحاجة إلى الذهاب أبعد من التقييم الأول ، لأن ذلك أعطى قيمًا متعددة لـ (ص ).

    في هذه الحالة ، سنستخدم الدرس الذي تعلمناه في الجزء السابق ونرى ما إذا كان بإمكاننا العثور على قيمة (س ) والتي ستعطي أكثر من قيمة (ص ) عند الحل. لأننا حصلنا على ص 2 في المشكلة ، لا ينبغي أن يكون هذا صعبًا للغاية لأن الحل سيعني في النهاية استخدام خاصية الجذر التربيعي التي ستعطي أكثر من قيمة واحدة لـ (y ).

    [x = 0: hspace <0.25in> <0 ^ 2> + = 4 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> = 4 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> y = pm ، 2 ]

    إذن ، هذه المعادلة ليست دالة. تذكر أنه من القسم السابق هذه معادلة الدائرة. الدوائر ليست وظائف أبدا.

    نأمل أن تكون هذه الأمثلة قد أعطتك إحساسًا أفضل لماهية الوظيفة في الواقع.

    نحن الآن بحاجة إلى الانتقال إلى شيء يسمى تدوين الوظيفة. سيتم استخدام ترميز الوظيفة بكثافة في معظم الفصول المتبقية في هذه الدورة التدريبية ، ولذا فمن المهم فهمها.

    لنبدأ بالمعادلة التربيعية التالية.

    يمكننا استخدام عملية مشابهة لما استخدمناه في مجموعة الأمثلة السابقة لإقناع أنفسنا بأن هذه وظيفة. نظرًا لأن هذه وظيفة ، فسوف نشير إليها على النحو التالي ،

    لذلك ، قمنا باستبدال (y ) بالتدوين (f left (x right) ). يُقرأ هذا كـ "f لـ (x )". لاحظ أنه لا يوجد شيء مميز حول (f ) الذي استخدمناه هنا. كان بإمكاننا استخدام أي مما يلي بسهولة ،

    [ز يسار (س يمين) = - 5x + 3 ، ، ، hspace <0.25in> h left (x right) = - 5x + 3 hspace <0.25in> R left (x right) = - 5x + 3 ]

    لا يهم الحرف الذي نستخدمه. المهم هو الجزء " ( left (x right) )". يجب أن يتطابق الحرف الموجود بين القوسين مع المتغير المستخدم على الجانب الأيمن من علامة التساوي.

    من المهم جدًا ملاحظة أن (f left (x right) ) ليس في الحقيقة أكثر من طريقة رائعة للكتابة (y ). إذا كنت تضع ذلك في الاعتبار ، فقد تجد أن التعامل مع تدوين الوظيفة يصبح أسهل قليلاً.

    أيضا ، هذا هو ليس ضرب (و ) ب (س )! يعد هذا أحد الأخطاء الأكثر شيوعًا التي يرتكبها الأشخاص عند تعاملهم مع الوظائف لأول مرة. هذا مجرد تدوين يستخدم للدلالة على الوظائف.

    بعد ذلك نحتاج إلى التحدث عنه وظائف التقييم. Evaluating a function is really nothing more than asking what its value is for specific values of (x). Another way of looking at it is that we are asking what the (y) value for a given (x) is.

    Evaluation is really quite simple. Let’s take the function we were looking at above

    and ask what its value is for (x = 4). In terms of function notation we will “ask” this using the notation (fleft( 4 ight)). So, when there is something other than the variable inside the parenthesis we are really asking what the value of the function is for that particular quantity.

    Now, when we say the value of the function we are really asking what the value of the equation is for that particular value of (x). Here is (fleft( 4 ight)).

    [fleft( 4 ight) = - 5left( 4 ight) + 3 = 16 - 20 + 3 = - 1]

    Notice that evaluating a function is done in exactly the same way in which we evaluate equations. All we do is plug in for (x) whatever is on the inside of the parenthesis on the left. Here’s another evaluation for this function.

    [fleft( < - 6> ight) = ight)^2> - 5left( < - 6> ight) + 3 = 36 + 30 + 3 = 69]

    So, again, whatever is on the inside of the parenthesis on the left is plugged in for (x) in the equation on the right. Let’s take a look at some more examples.

    1. (fleft( 3 ight)) and (gleft( 3 ight))
    2. (fleft( < - 10> ight)) and (gleft( < - 10> ight))
    3. (fleft( 0 ight))
    4. (fleft( t ight))
    5. (fleft( ight)) and (fleft( حق))
    6. (fleft( <> ight))
    7. (gleft( <- 5> ight))

    Okay we’ve got two function evaluations to do here and we’ve also got two functions so we’re going to need to decide which function to use for the evaluations. The key here is to notice the letter that is in front of the parenthesis. For (fleft( 3 ight)) we will use the function (fleft( x ight)) and for (gleft( 3 ight)) we will use (gleft( x ight)). In other words, we just need to make sure that the variables match up.

    Here are the evaluations for this part.

    [يبدأfleft( 3 ight) & = - 2left( 3 ight) + 8 = 9 - 6 + 8 = 11 gleft( 3 ight) & = sqrt <3 + 6>= sqrt 9 = 3end]

    This one is pretty much the same as the previous part with one exception that we’ll touch on when we reach that point. Here are the evaluations.

    [fleft( < - 10> ight) = ight)^2> - 2left( < - 10> ight) + 8 = 100 + 20 + 8 = 128]

    Make sure that you deal with the negative signs properly here. Now the second one.

    We’ve now reached the difference. Recall that when we first started talking about the definition of functions we stated that we were only going to deal with real numbers. In other words, we only plug in real numbers and we only want real numbers back out as answers. So, since we would get a complex number out of this we can’t plug -10 into this function.

    [fleft( 0 ight) = - 2left( 0 ight) + 8 = 8]

    Again, don’t forget that this isn’t multiplication! For some reason students like to think of this one as multiplication and get an answer of zero. Be careful.

    The rest of these evaluations are now going to be a little different. As this one shows we don’t need to just have numbers in the parenthesis. However, evaluation works in exactly the same way. We plug into the (x)’s on the right side of the equal sign whatever is in the parenthesis. In this case that means that we plug in (t) for all the (x)’s.

    Note that in this case this is pretty much the same thing as our original function, except this time we’re using (t) as a variable.

    Now, let’s get a little more complicated, or at least they appear to be more complicated. Things aren’t as bad as they may appear however. We’ll evaluate (fleft( ight)) first. This one works exactly the same as the previous part did. All the (x)’s on the left will get replaced with (t + 1). We will have some simplification to do as well after the substitution.

    Be careful with parenthesis in these kinds of evaluations. It is easy to mess up with them.

    Now, let’s take a look at (fleft( حق)). With the exception of the (x) this is identical to (fleft( ight)) and so it works exactly the same way.

    Do not get excited about the fact that we reused (x)’s in the evaluation here. In many places where we will be doing this in later sections there will be (x)’s here and so you will need to get used to seeing that.

    Again, don’t get excited about the (x)’s in the parenthesis here. Just evaluate it as if it were a number.

    One more evaluation and this time we’ll use the other function.

    Function evaluation is something that we’ll be doing a lot of in later sections and chapters so make sure that you can do it. You will find several later sections very difficult to understand and/or do the work in if you do not have a good grasp on how function evaluation works.

    While we are on the subject of function evaluation we should now talk about piecewise functions. We’ve actually already seen an example of a piecewise function even if we didn’t call it a function (or a piecewise function) at the time. Recall the mathematical definition of absolute value.

    This is a function and if we use function notation we can write it as follows,

    This is also an example of a piecewise function. A piecewise function is nothing more than a function that is broken into pieces and which piece you use depends upon value of (x). So, in the absolute value example we will use the top piece if (x) is positive or zero and we will use the bottom piece if (x) is negative.

    Let’s take a look at evaluating a more complicated piecewise function.

    evaluate each of the following.

    1. (gleft( < - 6> ight))
    2. (gleft( < - 4> ight))
    3. (gleft( 1 ight))
    4. (gleft( <15> ight))
    5. (gleft( <21> ight))

    Before starting the evaluations here let’s notice that we’re using different letters for the function and variable than the ones that we’ve used to this point. That won’t change how the evaluation works. Do not get so locked into seeing (f) for the function and (x) for the variable that you can’t do any problem that doesn’t have those letters.

    Now, to do each of these evaluations the first thing that we need to do is determine which inequality the number satisfies, and it will only satisfy a single inequality. When we determine which inequality the number satisfies we use the equation associated with that inequality.

    So, let’s do some evaluations.

    In this case -6 satisfies the top inequality and so we’ll use the top equation for this evaluation.

    [gleft( < - 6> ight) = 3 ight)^2> + 4 = 112]

    Now we’ll need to be a little careful with this one since -4 shows up in two of the inequalities. However, it only satisfies the top inequality and so we will once again use the top function for the evaluation.

    In this case the number, 1, satisfies the middle inequality and so we’ll use the middle equation for the evaluation. This evaluation often causes problems for students despite the fact that it’s actually one of the easiest evaluations we’ll ever do. We know that we evaluate functions/equations by plugging in the number for the variable. In this case there are no variables. That isn’t a problem. Since there aren’t any variables it just means that we don’t actually plug in anything and we get the following,

    Again, like with the second part we need to be a little careful with this one. In this case the number satisfies the middle inequality since that is the one with the equal sign in it. Then like the previous part we just get,

    Don’t get excited about the fact that the previous two evaluations were the same value. This will happen on occasion.

    For the final evaluation in this example the number satisfies the bottom inequality and so we’ll use the bottom equation for the evaluation.

    [gleft( <21> ight) = 1 - 6left( <21> ight) = - 125]

    Piecewise functions do not arise all that often in an Algebra class however, they do arise in several places in later classes and so it is important for you to understand them if you are going to be moving on to more math classes.

    As a final topic we need to come back and touch on the fact that we can’t always plug every (x) into every function. We talked briefly about this when we gave the definition of the function and we saw an example of this when we were evaluating functions. We now need to look at this in a little more detail.

    First, we need to get a couple of definitions out of the way.

    Domain and Range

    ال نطاق of an equation is the set of all (x)’s that we can plug into the equation and get back a real number for (y). ال نطاق of an equation is the set of all (y)’s that we can ever get out of the equation.

    Note that we did mean to use equation in the definitions above instead of functions. These are really definitions for equations. However, since functions are also equations we can use the definitions for functions as well.

    Determining the range of an equation/function can be pretty difficult to do for many functions and so we aren’t going to really get into that. We are much more interested here in determining the domains of functions. From the definition the domain is the set of all (x)’s that we can plug into a function and get back a real number. At this point, that means that we need to avoid division by zero and taking square roots of negative numbers.

    Let’s do a couple of quick examples of finding domains.

    1. (displaystyle gleft( x ight) = frac<><<+ 3x - 10>>)
    2. (fleft( x ight) = sqrt <5 - 3x>)
    3. (displaystyle hleft( x ight) = frac <>><<+ 4>>)
    4. (displaystyle Rleft( x ight) = frac <>><<- 16>>)

    The domains for these functions are all the values of (x) for which we don’t have division by zero or the square root of a negative number. If we remember these two ideas finding the domains will be pretty easy.

    So, in this case there are no square roots so we don’t need to worry about the square root of a negative number. There is however a possibility that we’ll have a division by zero error. To determine if we will we’ll need to set the denominator equal to zero and solve.

    [ + 3x - 10 = left( يمين شمال( ight) = 0hspace<0.25in>x = - 5,,,x = 2]

    So, we will get division by zero if we plug in (x = - 5) or (x = 2). That means that we’ll need to avoid those two numbers. However, all the other values of (x) will work since they don’t give division by zero. The domain is then,

    In this case we won’t have division by zero problems since we don’t have any fractions. We do have a square root in the problem and so we’ll need to worry about taking the square root of a negative numbers.

    This one is going to work a little differently from the previous part. In that part we determined the value(s) of (x) to avoid. In this case it will be just as easy to directly get the domain. To avoid square roots of negative numbers all that we need to do is require that

    This is a fairly simple linear inequality that we should be able to solve at this point.

    [5 ge 3xhspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>x le frac<5><3>]

    The domain of this function is then,

    In this case we’ve got a fraction, but notice that the denominator will never be zero for any real number since x 2 is guaranteed to be positive or zero and adding 4 onto this will mean that the denominator is always at least 4. In other words, the denominator won’t ever be zero. So, all we need to do then is worry about the square root in the numerator.

    [يبدأ7x + 8 & ge 0 7x & ge - 8 x & ge - frac<8><7>end]

    Now, we can actually plug in any value of (x) into the denominator, however, since we’ve got the square root in the numerator we’ll have to make sure that all (x)’s satisfy the inequality above to avoid problems. Therefore, the domain of this function is

    In this final part we’ve got both a square root and division by zero to worry about. Let’s take care of the square root first since this will probably put the largest restriction on the values of (x). So, to keep the square root happy (بمعنى آخر. no square root of negative numbers) we’ll need to require that,

    [يبدأ10x - 5 & ge 0 10x & ge 5 x & ge frac<1><2>end]

    So, at the least we’ll need to require that (x ge frac<1><2>) in order to avoid problems with the square root.

    Now, let’s see if we have any division by zero problems. Again, to do this simply set the denominator equal to zero and solve.

    [ - 16 = left( يمين شمال( ight) = 0hspace <0.25in>Rightarrow hspace <0.25in>x = - 4,,,x = 4]

    Now, notice that (x = - 4) doesn’t satisfy the inequality we need for the square root and so that value of (x) has already been excluded by the square root. On the other hand, (x = 4) does satisfy the inequality. This means that it is okay to plug (x = 4) into the square root, however, since it would give division by zero we will need to avoid it.


    شاهد الفيديو: المتجهات. رياضيات. التحصيلي علمي. 1441-1442 (شهر اكتوبر 2021).