مقالات

6.5: استخدم خاصية المنتج الصفري - الرياضيات


https://www.applestemhomeschool.com/module/topic/258

الجبر (بحاجة الى مساعدة سريعة)

19. إطلاق صاروخ نموذجي من سطح إلى حقل كبير. يمكن نمذجة مسار الصاروخ بالمعادلة y = 0.006x ^ 2 + 10.1x + 5 ، حيث x هي المسافة الأفقية ، بالأمتار ، من نقطة البداية على السطح و y هي الارتفاع بالأمتار الصاروخ فوق الأرض. إلى أي مدى سيسقط الصاروخ أفقيًا عن نقطة انطلاقه؟
أ 168.83 م
ب 5.00 م
ج 84.17 م
د 168.34 م

20. كم عدد حلول العدد الحقيقي للمعادلة؟ -7 س ^ 2 + 6 س + 3 = 0
حل واحد
ب. حلين
C. لا توجد حلول
D. العديد من الحلول بلا حدود
إذا كان لديك بقية امتحان الوحدة 8 للدرس 2 الفصل الدراسي B للجبر على connexus ، فيرجى إبلاغي بذلك

17.
حسنًا ، إذا كانت x = 0 ، فهذا يعمل
وإذا كان 3x +1 = 0 ، فهذا يعمل

18. أعرف بالفعل أن x = 0 و x = -1/3 يعمل لكن
18 × ^ 2 + 6 × + 0 = 0
س = [-6 +/- الجذر التربيعي (36 - 0)] / 36
س = [-6 +/- 6] / 36
س = 0/36 أو س = -12/36
لكننا عرفنا ذلك

19. تعلمت للتو كيفية حل التربيعية. إذن ما هي x عندما تكون y = 0؟ (الكبيرة ، وليست التي كانت قبل الإطلاق).

إذا كان 0 ، حل واحد (رأس القطع المكافئ يلامس المحور س فقط)
إذا كانت الحلول سلبية ومعقدة ، فلا شيء حقيقي
إذا كان موجبًا ، اثنان حقيقيان

شكرا ديمون للمساعدة! هل يمكنك سرد جميع الإجابات في رسالة واحدة حتى لا يتم الخلط بيني وبين الإجابة الخاطئة؟


PCC SLC Math Resources

عندما يكون حاصل ضرب رقمين صفرًا ، يجب أن يكون أحد الأرقام على الأقل في المنتج صفرًا. هذه خاصية تنفرد بها الصفر ، على سبيل المثال ، عندما يتضاعف رقمان إلى ، على سبيل المثال ، عشرة ، ليس فقط أن أحد الرقمين يحتاج إلى عشرة ، القيد الوحيد على الرقمين على الإطلاق هو أنه ليس أيًا منهما صفرًا .

عند حل معادلة الشكل:

الخطوة التالية في العملية هي تحديد:

ثم نحل المعادلتين الجديدتين بشكل منفصل ونذكر الحلول أو مجموعة الحلول. فمثلا:

الحلول هي (- frac <7> <4> ) و ( frac <9> <2> text <.> ) مجموعة الحل هي ( <- frac <7> <4 >، frac <9> <2> > نص <.> )

غالبًا ما يتعين علينا تنفيذ بعض الخطوات الأولية قبل استدعاء خاصية المنتج الصفري. خاصة:

  1. فك طرفي المعادلة تمامًا.
  2. أضف و / أو اطرح من / إلى كلا طرفي المعادلة بحيث يكون أحد طرفي المعادلة صفرًا. ستكون الخطوة التالية أسهل إذا تأكد من أن مصطلح الدرجة الثانية ( (ax ^ 2 )) له معامل إيجابي.
  3. حلل الجانب غير الصفري من المعادلة إلى عوامل.
  4. نحن الآن على استعداد لاستدعاء خاصية المنتج الصفري.
مثال 12.3.1.

استخدم خاصية المنتج الصفري لحل (4x ^ 2 = 4x + 15 text <.> )

الحلول هي ( frac <5> <2> ) و (- frac <3> <2> text <.> ) مجموعة الحل هي ( left < frac <5> < 2> ، - frac <3> <2> right > text <.> )

مثال 12.3.2.

استخدم خاصية المنتج الصفري لحل ((x + 6) (x-2) = - 16 text <.> )

الحل هو (- 2 text <.> ) مجموعة الحل هي ( <- 2 > text <.> )

مثال 12.3.3.

استخدم خاصية المنتج الصفري لحل ((x + 4) (4x-5) = (7x + 10) (3x-2) text <.> )

الحلول هي (0 ) و (- فارك <5> <17> نص <.> ) مجموعة الحل هي ( يسار <0 ، - فارك <5> <17> يمين > نص <.> )

مثال 12.3.4.

استخدم خاصية المنتج الصفري لحل (2-x ^ 2 = (2-x) ^ 2 text <.> )

الحل هو (1 text <.> ) مجموعة الحل هي ( <1 > text <.> )

تمارين تمارين

استخدم خاصية المنتج الصفري لحل كل معادلة تربيعية. حدد حلول كل معادلة بالإضافة إلى مجموعة الحلول لكل معادلة.

نبدأ بجعل كل عامل من العوامل من الجانب الأيسر للمعادلة يساوي صفرًا.

الحلول هي (- frac <8> <3> ) و ( frac <7> <5> text <.> )

مجموعة الحلول هي ( left <- frac <8> <3>، frac <7> <5> right > text <.> )

نبدأ بجعل كل عامل من العوامل من الجانب الأيسر للمعادلة يساوي صفرًا.

الحلول هي (0 ) و (6 نص <.> )

نبدأ بجعل الجانب الأيمن من المعادلة صفرًا ثم تحليل الجانب الأيسر من المعادلة.

الحلول هي (5 ) و (- 2 نص <.> )

نبدأ بجعل الجانب الأيمن من المعادلة صفرًا ثم تحليل الجانب الأيسر من المعادلة.

نبدأ بفك الطرف الأيسر من المعادلة ، وجعل الجانب الأيمن من المعادلة صفرًا ، ثم تحليل الجانب الأيسر من المعادلة.

الحلول هي (- frac <5> <4> ) و ( frac <1> <8> text <.> )

مجموعة الحلول هي ( left <- frac <5> <4>، frac <1> <8> right > text <.> )

نبدأ بجعل الجانب الأيمن من المعادلة صفرًا ثم تحليل الجانب الأيسر من المعادلة.

الحلول هي (0 ) و ( فارك <1> <2> نص <.> )

مجموعة الحلول هي ( left <0، frac <1> <2> right > text <.> )

نبدأ بفك الطرف الأيسر من المعادلة ، وجعل الجانب الأيمن من المعادلة صفرًا ، ثم تحليل الجانب الأيسر من المعادلة.


5.3: الظهر والرابع (15 دقيقة)

نشاط

هذا النشاط يبني نحو إكمال المربع. يعيد الطلاب كتابة معادلة بالصيغة ((xh) ^ 2 + (yk) ^ 2 = r ^ 2 ) ، ووضعها بالصيغة (x ^ 2 + y ^ 2 + ax + by + c = 0 ) ). بعد ذلك ، يتم تقديم معادلة لدائرة تم فيها توسيع المربعات ذات الحدين. يعيد الطلاب كتابة 2 من المثلثات المربعة الكاملة في صورة تحليل العوامل ، ثم يحددون مركز الدائرة ونصف قطرها.

  1. ها هي معادلة الدائرة: ((x-2) ^ 2 + (y + 7) ^ 2 = 10 ^ 2 )
    1. ما مركز الدائرة ونصف قطرها؟
    2. قم بتطبيق خاصية التوزيع على التربيعات ذات الحدين وأعد ترتيب المعادلة بحيث يكون أحد جوانبها صفرًا. هذه هي الصيغة التي كتبت بها العديد من المعادلات الدائرية.
    1. كيف يمكنك إعادة كتابة هذه المعادلة لإيجاد مركز ونصف قطر الدائرة؟
    2. ما مركز الدائرة ونصف قطرها؟

    استجابة الطالب

    يمكن للمعلمين الذين لديهم عنوان بريد إلكتروني صالح للعمل النقر هنا للتسجيل أو تسجيل الدخول للوصول المجاني إلى رد الطلاب.

    هل أنت مستعد لأكثر من ذلك؟

    في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، هناك 3 محاور إحداثيات تسمى المحور (س ) والمحور (ص ) والمحور (ض ). اكتب معادلة للكرة ذات المركز ((أ ، ب ، ج) ) ونصف القطر (r ).

    استجابة الطالب

    يمكن للمدرسين الذين لديهم عنوان بريد إلكتروني صالح للعمل النقر هنا للتسجيل أو تسجيل الدخول للوصول المجاني إلى Extension Student Response.

    المفاهيم الخاطئة المتوقعة

    قد يواجه الطلاب صعوبة في تحديد ما إذا كانت إحداثيات مراكز الدوائر إيجابية أم سلبية. شجعهم على إعادة كتابة المعادلة بالصيغة ((x-h) ^ 2 + (y-k) ^ 2 = r ^ 2 ). ذكرهم أننا طرح او خصم إحداثيات المركز من النقطة المعينة ((x، y) ) للحصول على المسافة بين المركز والنقطة.

    توليف النشاط

    اطلب من الطلاب إعادة ترتيب معادلة الدائرة من المسألة الثانية بحيث يكون هناك 0 في جانب واحد من المعادلة: (x ^ 2 + 6x + y ^ 2-10y-30 = 0 ). اعرض هذه الأشكال الثلاثة من هذه المعادلة ليراها الجميع ، مع التأكيد على أن هذه كلها معادلات مكافئة وبالتالي تمثل الدائرة نفسها:

    الغرض من المناقشة هو إجراء اتصالات بين الأشكال المختلفة للمعادلة استعدادًا لإكمال المربع. اسأل الطلاب:

    • "في أي شكل من الأسهل العثور على مركز ونصف قطر الدائرة؟" (الاول.)
    • "قارن وقارن بين الشكلين الثاني والثالث." (يحتوي كل نموذج على المصطلحات (x ^ 2 ) و (6x ) و (y ^ 2 ) و ( text-10y ) ، لكن المصطلحات الثابتة مختلفة.)
    • "كيف يمكنك الانتقال من النموذج الأول إلى الشكل الثاني؟" (وزع مجموعتي القيم المربعة ذات الحدين.)
    • "كيف يمكنك الانتقال من الشكل الثاني إلى الشكل الثالث؟" (اجمع بين المصطلحات المتشابهة.)
    • "كيف يمكنك الانتقال من الشكل الثاني إلى الأول؟" (أعد كتابة القيم الثلاثية للمربع الكامل في صورة مربعات ذات حدين ، وأعد كتابة 64 بالشكل 8 2.)

    أهمية الصفر في الرياضيات

    يبدو أن مفهوم الصفر نشأ في حوالي 520 بعد الميلاد مع الهندي أرياباتا الذي استخدم رمزًا أسماه & # 8220kha & # 8221 كحامل مكان. براهماغوبتا ، عالم رياضيات هندي آخر عاش في القرن الخامس ، يُنسب إليه الفضل في تطوير نظام الأرقام الهندوسي العربي الذي تضمن الصفر كرقم حقيقي في النظام. قام علماء رياضيات آخرون مثل الخوارزمي وليوناردو فيبوناتشي بتوسيع استخدام الصفر. بحلول العصور الوسطى ، حوالي أوائل 1200 & # 8217 ، جاء هذا المفهوم إلى المجتمع الغربي.

    ما هي أهمية الصفر؟ إنه الرقم الذي تمتد حوله الأرقام السالبة على اليسار إلى ما لا نهاية والأرقام الموجبة على اليمين تفعل الشيء نفسه. إنها ليست إيجابية ولا سلبية. لهذا السبب ، يعد الصفر نقطة محورية في موازين الحرارة وهو نقطة الأصل لمقاييس الحمام ومحور الإحداثيات.

    الصفر مهم أيضًا عندما تفكر في المجموعات. المجموعة الفارغة أو الفارغة هي المجموعة التي لا تحتوي على عناصر فيها.

    الصفر مهم جدًا لدرجة أن كل عملية حسابية لها قواعد خاصة تسمى الخصائص التي تحكم استخدامها مع الأعداد الصحيحة الأخرى.

    تنص خاصية الجمع للصفر على أنه كلما تمت إضافة الصفر إلى عدد صحيح أو العكس ، فسيكون المجموع هو العدد الصحيح. مثال: كان لدى بن 3 تفاحات ولم يكن لدى سارة أي منها. إذا قاموا بدمج تفاحهم ، فكم سيكون العدد الإجمالي؟

    تشير خاصية الطرح للصفر إلى أنه عندما يُطرح الصفر من عدد صحيح ، يكون الفرق هو العدد الصحيح ، وكلما طُرح عدد صحيح من نفسه ، سيكون الفرق صفرًا.

    تشبه خاصية الضرب للصفر إلى حد ما خاصية الإضافة من حيث أنه لا يهم في أي ترتيب تقوم بالعملية على العدد الصحيح. وهكذا ، فإن ضرب عدد صحيح في صفر يساوي صفرًا ، والعكس صحيح.

    خاصية قسمة الصفر مثيرة للاهتمام. إذا تم قسمة الصفر على عدد صحيح ، فسيكون حاصل القسمة صفرًا. هذا مماثل لقول & # 8220 اقسم الصفر إلى عدد x من المجموعات وكم عدد العناصر في كل مجموعة؟ & # 8221 الإجابة بالطبع هي صفر. ومع ذلك ، لا يمكنك قسمة عدد صحيح على صفر ، لأنه لا يمكنك الخروج ببيان معكوس يكون منطقيًا. هل يمكنك تقسيم x عدد من العملات المعدنية إلى مجموعات من الصفر؟ مستحيل! هذا هو السبب في أن علماء الرياضيات لديهم مصطلح خاص لـ x / 0 يسمونه اللانهاية.

    الصفر مهم جدًا لقيمته. إذا كان لديك رقم مثل مائتين وأربعة ، فكيف تكتبه حتى تفهم أنه لا يوجد عشرات في العدد؟ لا يمكنك كتابته بالرقم 24 لأن هذا رقم مختلف تمامًا.

    شيء واحد أنيق عند التعامل مع قوى عشرة: 10 تربيع = 100. لاحظ أن الأس 2 يوضح عدد الأصفار التي ستظهر في الشكل المكتوب للعدد. عندما تضرب رقمين يمثلان أسًا لعشرة ، فإن عدد الأصفار في الإجابة يساوي مجموع الأصفار في العوامل. على سبيل المثال ، 2000 مضروبًا في 300 يساوي 600000 ، أو 6 مع 5 أصفار بعدها.

    عندما تقرب أرقامًا مثل 6934 لأقرب عشرة ، فإنك تضع صفرًا في خانة الآحاد. 6934 مقربًا لأقرب عشرة يساوي 6930.

    إذا كنت تكتب رقمًا بكسر عشري ، فلن تحتاج إلى الاستمرار في وضع الأصفار على يمين العلامة العشرية. لا يزال الرقم العشري .033 (ثلاثة وثلاثون جزءًا من الألف) ثلاثة وثلاثين جزءًا من الألف إذا كتبته .03300000. لماذا تكتب كل هذه الأصفار الإضافية؟ لكن الصفر في خانة الجزء من عشرة مهم للغاية لأنه يحتل & # 8217 خانة العشر من خلال إظهار عدم وجود أعشار في العلامة العشرية.

    سواء كنت تسميها صفرًا أو لا شيء أو لا شيء ، فإن الصفر له مكانة مهمة في مجال الرياضيات.


    6.5 معادلات كثيرة الحدود

    لقد أمضينا وقتًا طويلاً في تعلم كيفية تحليل كثيرات الحدود إلى عوامل. سننظر الآن إلى المعادلات متعددة الحدود ونحلها باستخدام التحليل ، إن أمكن.

    المعادلة متعددة الحدود هي معادلة تحتوي على تعبير متعدد الحدود. درجة معادلة كثير الحدود هي درجة كثير الحدود.

    معادلة كثيرة الحدود

    أ معادلة كثيرة الحدود هي معادلة تحتوي على تعبير متعدد الحدود.

    ال درجة المعادلة متعددة الحدود هي درجة كثير الحدود.

    لقد حللنا بالفعل المعادلات متعددة الحدود من الدرجة الأولى. المعادلات متعددة الحدود من الدرجة الأولى هي معادلات خطية على شكل أ س + ب = ج. أ س + ب = ج.

    سنقوم الآن بحل المعادلات متعددة الحدود من الدرجة الثانية. تسمى المعادلة متعددة الحدود من الدرجة الثانية بالمعادلة التربيعية. المدرجة أدناه هي بعض الأمثلة على المعادلات التربيعية:

    لا يبدو أن المعادلة الأخيرة تحتوي على المتغير تربيعًا ، ولكن عندما نبسط التعبير الموجود على اليسار ، فسنحصل على n 2 + n. ن 2 + ن.

    معادلة من الدرجة الثانية

    تسمى المعادلة بالصيغة أ س 2 + ب س + ج = 0 أ س 2 + ب س + ج = 0 معادلة تربيعية.

    لحل المعادلات التربيعية ، نحتاج إلى طرق مختلفة عن تلك التي استخدمناها في حل المعادلات الخطية. سنلقي نظرة على طريقة واحدة هنا ثم عدة طرق أخرى في فصل لاحق.

    استخدم خاصية المنتج الصفري

    سنحل أولاً بعض المعادلات التربيعية باستخدام خاصية المنتج الصفري. تنص خاصية المنتج الصفري على أنه إذا كان ناتج كميتين يساوي صفرًا ، فإن إحدى الكميتين على الأقل هي صفر. الطريقة الوحيدة للحصول على منتج يساوي صفرًا هي الضرب في صفر نفسه.

    خاصية المنتج الصفري

    سنستخدم الآن خاصية المنتج الصفري لحل المعادلة التربيعية.

    مثال 6.44

    كيفية حل معادلة من الدرجة الثانية باستخدام خاصية المنتج الصفري

    حل: (5 ن - 2) (6 ن - 1) = 0. (5 ن - 2) (6 ن - 1) = 0.

    المحلول

    حل: (3 م - 2) (2 م + 1) = 0. (3 م - 2) (2 م + 1) = 0.

    حل: (4 ص + 3) (4 ص - 3) = 0. (4 ص + 3) (4 ص - 3) = 0.

    كيف

    استخدم خاصية المنتج الصفري.

    1. الخطوة 1. ضع كل عامل مساويًا للصفر.
    2. الخطوة 2. حل المعادلات الخطية.
    3. الخطوة 3. تحقق.

    حل المعادلات التربيعية بالتحليل

    تعمل خاصية Zero Product Property بشكل جيد جدًا لحل المعادلات التربيعية. يجب تحليل المعادلة التربيعية إلى عوامل ، مع عزل الصفر في أحد طرفيها. لذلك يجب أن نتأكد من البدء بالمعادلة التربيعية في الصورة القياسية ، أ س 2 + ب س + ج = 0. أ س 2 + ب س + ج = 0. ثم علينا تحليل المقدار الموجود على اليسار.

    مثال 6.45

    كيفية حل معادلة من الدرجة الثانية بالتحليل

    المحلول

    كيف

    حل معادلة تربيعية بالتحليل إلى عوامل.

    قبل أن نحلل ، يجب أن نتأكد من أن المعادلة التربيعية في الصورة القياسية.

    سيؤدي حل المعادلات التربيعية عن طريق التحليل إلى الاستفادة من جميع تقنيات العوملة التي تعلمتها في هذا الفصل! هل تتعرف على نمط المنتج الخاص في المثال التالي؟

    مثال 6.46

    المحلول

    نترك الفحص لك.

    في المثال التالي ، تم تحليل الجانب الأيسر من المعادلة ، لكن الجانب الأيمن ليس صفرًا. من أجل استخدام خاصية المنتج الصفري ، يجب أن يكون جانب واحد من المعادلة صفراً. سنضرب العوامل ثم نكتب المعادلة في الصورة القياسية.

    مثال 6.47

    حل: (3 x - 8) (x - 1) = 3 x. (3 × - 8) (× - 1) = 3 ×.

    المحلول

    حل: (2 م + 1) (م + 3) = 1 2 م. (2 م + 1) (م + 3) = 1 2 م.

    في المثال التالي ، عندما نحلل المعادلة التربيعية سنحصل على ثلاثة عوامل. لكن العامل الأول ثابت. نعلم أن هذا العامل لا يمكن أن يساوي 0.

    مثال 6.48

    المحلول

    تنطبق خاصية المنتج الصفري أيضًا على منتج ثلاثة عوامل أو أكثر. إذا كان المنتج يساوي صفرًا ، فيجب أن يكون أحد العوامل على الأقل صفراً. يمكننا حل بعض المعادلات من الدرجة الأكبر من اثنين باستخدام خاصية المنتج الصفري ، تمامًا كما حللنا المعادلات التربيعية.

    مثال 6.49

    حل: 9 م 3 + 100 م = 60 م 2. 9 م 3 + 100 م = 60 م 2.

    المحلول

    حل: 8 × 3 = 24 × 2-18 ×. 8 × 3 = 24 × 2-18 ×.

    حل: 16 y 2 = 32 y 3 + 2 y. 16 ص 2 = 32 ص 3 + 2 ص.

    حل المعادلات ذات وظائف كثيرة الحدود

    مع استمرار دراستنا للوظائف متعددة الحدود ، سيكون من المهم غالبًا معرفة متى سيكون للدالة قيمة معينة أو ما هي النقاط الموجودة على الرسم البياني للدالة. سيساعدنا عملنا مع خاصية Zero Product Property في العثور على هذه الإجابات.

    مثال 6.50

    للدالة f (x) = x 2 + 2 x - 2 ، f (x) = x 2 + 2 x - 2 ،

    المحلول

    للدالة f (x) = x 2-2 x - 8 ، f (x) = x 2-2 x - 8 ،

    للدالة f (x) = x 2-8 x + 3 ، f (x) = x 2-8 x + 3 ،

    تساعدنا خاصية Zero Product Property أيضًا في تحديد مكان وجود الدالة صفرًا. قيمة x حيث تكون الوظيفة 0 ، تسمى صفر من الوظيفة.

    صفر من وظيفة

    مثال 6.51

    للدالة f (x) = 3 x 2 + 10 x - 8، f (x) = 3 x 2 + 10 x - 8 ، أوجد

    ⓐ أصفار الدالة ⓑ أي x- مفاهيم الرسم البياني للدالة ⓒ أي ذ- مفاهيم الرسم البياني للدالة

    المحلول

    ⓐ لإيجاد أصفار الدالة ، نحتاج إلى معرفة متى تكون قيمة الدالة 0.

    للدالة f (x) = 2 x 2-7 x + 5، f (x) = 2 x 2-7 x + 5 ، أوجد

    ⓐ أصفار الدالة ⓑ أي x- مفاهيم الرسم البياني للدالة ⓒ أي ذ- مفاهيم الرسم البياني للدالة.

    للدالة f (x) = 6 x 2 + 13 x - 15، f (x) = 6 x 2 + 13 x - 15 ، أوجد

    ⓐ أصفار الوظيفة ⓑ أي x- مفاهيم الرسم البياني للدالة ⓒ أي ذ- مفاهيم الرسم البياني للدالة.

    حل التطبيقات التي تم تصميمها باستخدام المعادلات متعددة الحدود

    ستعمل إستراتيجية حل المشكلات التي استخدمناها سابقًا للتطبيقات التي تترجم إلى معادلات خطية أيضًا مع التطبيقات التي تترجم إلى معادلات متعددة الحدود. سنقوم بنسخ استراتيجية حل المشكلات هنا حتى نتمكن من استخدامها كمرجع.

    كيف

    استخدم إستراتيجية حل المشكلات لحل المشكلات الكلامية.

    1. الخطوة 1. اقرأ المشكلة. تأكد من فهم كل الكلمات والأفكار.
    2. الخطوة 2. تحديد ما نبحث عنه.
    3. الخطوه 3. اسم ما نبحث عنه. اختر متغيرًا لتمثيل تلك الكمية.
    4. الخطوة 4. يترجم في معادلة. قد يكون من المفيد إعادة صياغة المشكلة في جملة واحدة بكل المعلومات المهمة. ثم ترجم الجملة الإنجليزية إلى معادلة جبرية.
    5. الخطوة الخامسة. يحل المعادلة باستخدام تقنيات الجبر المناسبة.
    6. الخطوة 6. التحقق من الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
    7. الخطوة 7. إجابه السؤال بجملة كاملة.

    سنبدأ بمشكلة عددية للتدرب على ترجمة الكلمات إلى معادلة متعددة الحدود.

    مثال 6.52

    حاصل ضرب عددين فرديين متتاليين هو 323. أوجد الأعداد الصحيحة.

    المحلول

    الخطوة 1. اقرأ المشكلة.
    الخطوة 2. تحديد ما نبحث عنه. نحن نبحث عن رقمين صحيحين متتاليين.
    الخطوة 3. الاسم ما نبحث عنه. دع n = العدد الصحيح الأول. ن = أول عدد صحيح.
    n + 2 = العدد الصحيح الفردي التالي n + 2 = العدد الصحيح الفردي التالي
    الخطوة 4. الترجمة في معادلة. أعد صياغة المشكلة في جملة. حاصل ضرب عددين فرديين متتاليين هو 323.
    ن (ن + 2) = 323 ن (ن + 2) = 323
    الخطوة 5. حل المعادلة. ن 2 + 2 ن = 323 ن 2 + 2 ن = 323
    اجلب كل الشروط إلى جانب واحد. ن 2 + 2 ن - 323 = 0 ن 2 + 2 ن - 323 = 0
    حلل ثلاثي الحدود إلى عوامل. (ن - 17) (ن + 19) = 0 (ن - 17) (ن + 19) = 0
    استخدم خاصية المنتج الصفري.
    حل المعادلات.
    ن - 17 = 0 ن + 19 = 0 ن = 17 ن = 19 ن - 17 = 0 ن + 19 = 0 ن = 17 ن = 19
    هناك نوعان من قيم ن هذه حلول لهذه المشكلة. إذن ، هناك مجموعتان من الأعداد الصحيحة الفردية المتتالية ستعمل.
    إذا كان العدد الصحيح الأول هو n = 17 n = 17 إذا كان العدد الصحيح الأول هو n = −19 n = 19
    ثم العدد الصحيح الفردي التالي هو ثم العدد الصحيح الفردي التالي هو
    ن + 2 ن + 2 ن + 2 ن + 2
    17 + 2 17 + 2 − 19 + 2 − 19 + 2
    19 19 − 17 − 17
    17 , 19 17 , 19 − 17 , −19 − 17 , −19
    الخطوة 6. تحقق الاجابة.
    النتائج هي أعداد صحيحة فردية متتالية
    17 و 19 و - 19 و 17. 17 و 19 و - 19 و 17.
    17 · 19 = 323 ✓ − 19 ( − 17 ) = 323 ✓ 17 · 19 = 323 ✓ − 19 ( − 17 ) = 323 ✓
    كلا أزواج الأعداد الصحيحة المتتالية عبارة عن حلول.
    الخطوة 7. الإجابة السؤال الأعداد الصحيحة المتتالية هي 17 و 19 و - 19 و 17. - 19 ، −17.

    حاصل ضرب عددين فرديين متتاليين هو 255. أوجد الأعداد الصحيحة.

    حاصل ضرب عددين فرديين متتاليين هو 483 أوجد الأعداد الصحيحة.

    هل فوجئت بزوج الأعداد الصحيحة السالبة التي تعتبر أحد الحلول للمثال السابق؟ ينتج عن حاصل ضرب عددين موجبين وحاصل ضرب عددين سالبين نتائج موجبة.

    في بعض التطبيقات ، تنتج الحلول السلبية من الجبر ، لكنها لن تكون واقعية بالنسبة للموقف.

    مثال 6.53

    غرفة نوم مستطيلة بمساحة 117 قدم مربع. يبلغ طول غرفة النوم أربعة أقدام أكثر من عرضها. ابحث عن طول وعرض غرفة النوم.

    المحلول

    الخطوة 1. اقرأ المشكلة. في المشاكل التي تنطوي على
    الأشكال الهندسية ، يمكن أن يساعدك الرسم على التصور
    الوضع.
    الخطوة 2. تحديد ما تبحث عنه. نحن نبحث عن الطول والعرض.
    الخطوة 3. الاسم ما تبحث عنه. دع w = w = عرض غرفة النوم.
    الطول أربعة أقدام أكثر من العرض. w + 4 = w + 4 = طول الحديقة
    الخطوة 4. الترجمة في معادلة.
    أعد ذكر المعلومات المهمة في جملة. تبلغ مساحة غرفة النوم 117 قدم مربع.
    استخدم صيغة مساحة المستطيل. A = l · w A = l · w
    عوّض في المتغيرات. 117 = (w + 4) w 117 = (w + 4) w
    الخطوة 5. حل توزيع المعادلة أولا. 117 = عرض 2 + 4 ع 117 = عرض 2 + 4 ث
    احصل على صفر في جانب واحد. 117 = عرض 2 + 4 ع 117 = عرض 2 + 4 ث
    حلل ثلاثي الحدود إلى عوامل. 0 = w 2 + 4 w - 117 0 = w 2 + 4 w - 117
    استخدم خاصية المنتج الصفري. 0 = (عرض 2 + 13) (ث - 9) 0 = (عرض 2 + 13) (ث - 9)
    حل كل معادلة. 0 = عرض + 13 0 = عرض - 9 0 = عرض + 13 0 = عرض - 9
    منذ ث عرض غرفة النوم لا
    من المنطقي أن تكون سلبية. نحن نتخلص من تلك القيمة لـ ث.
    −13 = عرض 9 = عرض −13 = عرض 9 = عرض
    w = 9 w = 9 العرض 9 أقدام.
    أوجد قيمة الطول. ع + 4 ث + 4
    9 + 4 9 + 4
    13 الطول 13 قدم.
    الخطوة 6. تحقق الاجابة.
    هل الجواب منطقي؟


    نعم ، هذا منطقي.
    الخطوة 7. الإجابة السؤال. عرض غرفة النوم 9 أقدام و
    الطول 13 قدم.

    تبلغ مساحة اللافتة المستطيلة 30 قدمًا مربعة. طول العلامة أكبر من العرض بمقدار قدم واحدة. أوجد طول وعرض العلامة.

    فناء مستطيل مساحته 180 قدم مربع. عرض الفناء أقل بثلاثة أقدام من الطول. ابحث عن طول وعرض الفناء.

    سنستخدم هذه الصيغة في المثال التالي.

    مثال 6.54

    يكون شراع القارب على شكل مثلث قائم الزاوية كما هو موضح. سيكون طول الوتر 17 قدمًا. سيكون طول أحد الجانبين أقل بمقدار 7 أقدام من طول الجانب الآخر. أوجد أطوال جانبي الشراع.

    المحلول

    الخطوة 1. اقرأ المشكلة
    الخطوة 2. تحديد ما تبحث عنه. نحن نبحث عن أطوال
    جوانب الشراع.
    الخطوة 3. الاسم ما تبحث عنه.
    أحد الجانبين أقل بمقدار 7 من الآخر.
    دع x = x = طول جانب من الشراع.
    س - 7 = س - 7 = طول الضلع الآخر
    الخطوة 4. الترجمة في معادلة. نظرًا لأن هذا ملف
    المثلث القائم الزاوية يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس.
    أ 2 + ب 2 = ص 2 أ 2 + ب 2 = ص 2
    عوّض في المتغيرات. س 2 + (س - 7) 2 = 17 2 × 2 + (س - 7) 2 = 17 2
    الخطوة 5. حل المعادلة
    تبسيط.
    x 2 + x 2-14 x + 49 = 289 x 2 + x 2-14 x + 49 = 289
    2 × 2-14 × + 49 = 289 2 × 2-14 × + 49 = 289
    إنها معادلة تربيعية ، لذا ضع صفرًا في أحد طرفيها. 2 × 2 - 14 × - 240 = 0 2 × 2 - 14 × - 240 = 0
    حلل العامل المشترك الأكبر. 2 (× 2-7 × - 120) = 0 2 (× 2-7 × - 120) = 0
    حلل ثلاثي الحدود إلى عوامل. 2 (x - 15) (x + 8) = 0 2 (x - 15) (x + 8) = 0
    استخدم خاصية المنتج الصفري. 2 ≠ 0 س - 15 = 0 س + 8 = 0 2 ≠ 0 س - 15 = 0 س + 8 = 0
    يحل. 2 ≠ 0 س = 15 س = −8 2 ≠ 0 س = 15 س = −8
    منذ x هو أحد أضلاع المثلث ، أما x = −8 x = −8 فلا
    منطقي.
    2 ≠ 0 س = 15 س = −8 2 ≠ 0 س = 15 س = −8
    أوجد طول الضلع الآخر.
    إذا كان طول جانب واحد
    ثم طول الجانب الآخر



    8 هو طول الضلع الآخر.
    الخطوة 6. تحقق الجواب في المشكلة
    هل هذه الأرقام منطقية؟

    الخطوة 7. الإجابة السؤال طول جوانب الشراع 8 و 15 و 17 قدمًا.

    تريد جوستين وضع سطح في زاوية الفناء الخلفي لها على شكل مثلث قائم الزاوية. طول جانب واحد من السطح يزيد بمقدار 7 أقدام عن الجانب الآخر. طول الوتر هو 13. أوجد أطوال ضلعي السطح.

    حديقة التأمل على شكل مثلث قائم الزاوية ، بساق واحدة 7 أقدام. طول الوتر أكثر من طول الساق الأخرى. أوجد طول الوتر والساق الأخرى.

    يستخدم المثال التالي الوظيفة التي تعطي ارتفاع الكائن كدالة للوقت عندما يتم رميها من 80 قدمًا فوق الأرض.

    مثال 6.55

    سيرمي دينيس كرة الشريط المطاطي لأعلى من أعلى مبنى الحرم الجامعي. عندما يرمي كرة الشريط المطاطي من 80 قدمًا فوق الأرض ، فإن الوظيفة h (t) = −16 t 2 + 64 t + 80 h (t) = −16 t 2 + 64 t + 80 نماذج الارتفاع ، حالكرة فوق الأرض كدالة للوقت ، ر. يجد:

    ⓐ أصفار هذه الوظيفة التي تخبرنا عندما تصطدم الكرة بالأرض ، عندما تكون الكرة على ارتفاع 80 قدمًا فوق الأرض ، ⓒ ارتفاع الكرة عند t = 2 t = 2 ثانية.

    المحلول

    ⓐ تم إيجاد أصفار هذه الدالة بحل h (t) = 0. ح (ر) = 0. سيخبرنا هذا عن موعد اصطدام الكرة بالأرض.

    ⓑ ستكون الكرة على ارتفاع 80 قدمًا فوق الأرض عندما يكون h (t) = 80. ح (ر) = 80.

    جينيفيف سترمي صخرة من أعلى ممر يطل على المحيط. عندما ترمي الصخرة لأعلى من 160 قدمًا فوق المحيط ، فإن الدالة h (t) = −16 t 2 + 48 t + 160 h (t) = −16 t 2 + 48 t + 160 تمثل الارتفاع ، ح، للصخرة فوق المحيط كدالة للوقت ، ر. يجد:

    ⓐ أصفار هذه الوظيفة التي تخبرنا متى ستصطدم الصخرة بالمحيط ، عندما تكون الصخرة على ارتفاع 160 قدمًا فوق المحيط ، ⓒ ارتفاع الصخرة عند t = 1.5 t = 1.5 ثانية.

    كاليب سوف يرمي فلسه المحظوظ من شرفته على متن سفينة سياحية. عندما يقذف البنس لأعلى من 128 قدمًا فوق الأرض ، فإن الدالة h (t) = −16 t 2 + 32 t + 128 h (t) = −16 t 2 + 32 t + 128 نماذج الارتفاع ، ح، من البنس فوق المحيط كدالة للوقت ، ر. يجد:

    ⓐ أصفار هذه الوظيفة وهي عندما يصطدم البنس بالمحيط ، عندما يكون البنس 128 قدمًا فوق المحيط ، الارتفاع سيكون عند t = 1 t = 1 ثانية وهو الوقت الذي سيكون فيه العملة المعدنية في أعلى نقطة.

    وسائل الإعلام

    قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية باستخدام المعادلات التربيعية.

    تمارين القسم 6.5

    مع التدريب يأتي الإتقان

    استخدم خاصية المنتج الصفري

    في التدريبات التالية ، حل.

    حل المعادلات التربيعية بالتحليل

    في التدريبات التالية ، حل.

    حل المعادلات ذات وظائف كثيرة الحدود

    في التدريبات التالية ، حل.

    في التمارين التالية ، ابحث عن كل دالة: أصفار الوظيفة x- مفاهيم الرسم البياني للدالة ⓒ ذ-مقطع الرسم البياني للدالة.

    حل التطبيقات المنمذجة بواسطة المعادلات التربيعية

    في التدريبات التالية ، حل.

    حاصل ضرب عددين فرديين متتاليين هو 143. أوجد الأعداد الصحيحة.

    حاصل ضرب عددين فرديين متتاليين هو 195. أوجد الأعداد الصحيحة.

    حاصل ضرب عددين صحيحين متتاليين هو 168. أوجد الأعداد الصحيحة.

    حاصل ضرب عددين صحيحين متتاليين هو 288. أوجد الأعداد الصحيحة.

    مساحة السجادة المستطيلة 28 قدم مربع. الطول أكبر بثلاثة أقدام من العرض. أوجد طول وعرض السجادة.

    تبلغ مساحة الجدار الاستنادي المستطيل 15 قدمًا مربعًا. ارتفاع الجدار أقل من طوله قدمين. أوجد ارتفاع الجدار وطوله.

    تبلغ مساحة لوحة الإعلانات 55 قدمًا مربعًا. الطول أربعة أقدام أقل من ثلاثة أضعاف العرض. ابحث عن طول وعرض لوحة الإعلانات.

    مرآب مستطيل مساحته 150 قدم مربع. عرض المرآب أقل بخمسة أقدام من ضعف طوله. أوجد عرض وطول المرآب.

    يتشكل الراية على شكل مثلث قائم الزاوية بطول 10 أقدام. طول أحد جوانب الراية أطول بمقدار قدمين من طول الجانب الآخر. أوجد طول ضلعي الراية.

    نافذة زجاجية ملونة على شكل مثلث قائم الزاوية. طول الوتر 15 قدمًا. ساق واحدة أكثر من الأخرى بثلاث. أوجد أطوال الرجلين.

    البركة العاكسة على شكل مثلث قائم الزاوية ، مع ساق واحدة على طول جدار المبنى. طول الوتر 9 أقدام أطول من الجانب على طول المبنى. الجانب الثالث أطول بمقدار 7 أقدام من الجانب على طول المبنى. أوجد أطوال الأضلاع الثلاثة للبركة العاكسة.

    حظيرة الماعز على شكل مثلث قائم الزاوية. تم بناء ساق واحدة من العلبة على جانب الحظيرة. الساق الأخرى هي 4 أقدام أكثر من الساق ضد الحظيرة. الوتر هو 8 أقدام أكثر من الساق على طول الحظيرة. ابحث عن الجوانب الثلاثة لحيز الماعز.

    جولي ستطلق صاروخًا نموذجيًا في فناء منزلها الخلفي. عندما تطلق الصاروخ ، الدالة h (t) = −16 t 2 + 32 t h (t) = −16 t 2 + 32 t تمثل الارتفاع ، ح، للصاروخ فوق الأرض كدالة للوقت ، ر. يجد:

    ⓐ أصفار هذه الوظيفة ، والتي تخبرنا متى سيكون الصاروخ على الأرض. ⓑ الوقت سيكون الصاروخ 16 قدما فوق الأرض.

    ستقوم جيانا برمي كرة من الطابق العلوي من مدرستها الإعدادية. عندما ترمي الكرة من ارتفاع 48 قدمًا فوق الأرض ، فإن الدالة h (t) = −16 t 2 + 32 t + 48 h (t) = −16 t 2 + 32 t + 48 تمثل الارتفاع ، حالكرة فوق الأرض كدالة للوقت ، ر. يجد:

    ⓐ أصفار هذه الوظيفة التي تخبرنا متى ستضرب الكرة الأرض. ⓑ الوقت (الأوقات) ستكون الكرة 48 قدمًا فوق الأرض. ⓒ ارتفاع الكرة سيكون عند t = 1 t = 1 ثانية وهو عندما تكون الكرة في أعلى نقطة لها.

    تمارين الكتابة

    اشرح كيف تحل معادلة من الدرجة الثانية. كم عدد الإجابات التي تتوقع الحصول عليها لمعادلة تربيعية؟

    أعط مثالاً لمعادلة تربيعية تحتوي على العامل المشترك الأكبر ولا يكون أي من حلول المعادلة صفرًا.

    الاختيار الذاتي

    ⓐ بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة المراجعة هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

    ⓑ بشكل عام ، بعد الاطلاع على قائمة المراجعة ، هل تعتقد أنك مستعد جيدًا للقسم التالي؟ لما و لما لا؟

    بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

    هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

      إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

    • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
      • المؤلفون: لين ماريسيك ، أندريا هانيكوت ماتيس
      • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
      • عنوان الكتاب: Intermediate Algebra 2e
      • تاريخ النشر: 6 مايو 2020
      • المكان: هيوستن ، تكساس
      • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
      • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/6-5-polynomial-equations

      © 21 يناير 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


      6.5: استخدم خاصية المنتج الصفري - الرياضيات

      قد تكون هذه الطريقة في حل المعادلات التربيعية مألوفة لك. تذكر أنه قبل محاولة حل أي معادلة من الدرجة الثانية ، يجب أن نضعها في الشكل القياسي:

      بمجرد أن تصبح المعادلة في الشكل القياسي ، حاول تحليلها. إذا لم تكن متأكدًا بشأن العوملة ، فراجع ملاحظات العوملة. بعد العوملة ، سنطبق خاصية المنتج الصفري.

      خاصية المنتج الصفري

      إذا كان AB = 0 ، فإن A = 0 أو B = 0. بمعنى أنه إذا ضربنا شيئين معًا وحصلنا على 0 ، فيجب أن يكون أحدهما صفرًا.

      لتطبيق خاصية حاصل الضرب الصفري ، قمنا بتعيين كل عامل يساوي صفرًا وحل المتغير.

      هذا مثال: x 2 - 2x - 15 = 0

      نظرًا لأن المعادلة موجودة بالفعل في الشكل القياسي ، فإن الخطوة الأولى هي تحليل:

      الآن قم بتطبيق خاصية المنتج الصفري. ضبط x - 5 = 0 و x + 3 = 0 ينتج الإجابات x = 5 و x = -3.

      قم بحل كل مما يلي بالتحليل إلى عوامل واستخدام خاصية المنتج الصفري.

      نظرًا لأن المعادلة موجودة بالفعل في الشكل القياسي ، فإن الخطوة الأولى هي التحليل. لاحظ أن لدينا فرقًا في المربعات:

      الآن طبِّق خاصية المنتج الصفري واضبط كل عامل على مساوٍ للصفر.

      لدينا الآن معادلتان خطيتان لحلهما.

      نظرًا لأن المعادلة ليست في الشكل القياسي ، فإن الخطوة الأولى هي وضعها في الشكل القياسي. اطرح 43x و 40 من طرفي هذه المعادلة. عند القيام بذلك ، نحصل على:

      الآن بعد أن أصبحت المعادلة في الصورة القياسية ، حلل ثلاثي الحدود إلى عوامل.

      بعد ذلك ، قم بتطبيق خاصية المنتج الصفري وقم بتعيين كل عامل من العوامل مساويًا للصفر.


      مثال

      المحلول

      توضح هذه الصورة خطوات حل 3 p (10 p + 7) = 0. الخطوة الأولى هي استخدام خاصية المنتج الصفري لتعيين كل عامل يساوي 0 أو 3p = 0 أو 10 p + 7 = 0. والخطوة التالية هي حل المعادلتين ، p = 0 أو p = سالب 7/10. أخيرًا ، تحقق من الحلول عن طريق استبدال الإجابات في المعادلة الأصلية.

      قد يبدو أن هناك عامل واحد فقط في المثال التالي. تذكر ، مع ذلك ، أن (< left (y-8 right)> ^ <2> ) يعني ( left (y-8 right) left (y-8 right) ).


      الخاصية التبادلية - التعريف بالأمثلة

      تنص الخاصية التبادلية على أنه يمكن نقل الأرقام التي نعمل عليها أو تبديلها من مواقعها دون إحداث أي فرق في الإجابة. تنطبق الخاصية على الجمع والضرب ، ولكن ليس للطرح والقسمة.

      إضافة
      الطرح
      عمليه الضرب
      قسم

      توضح الأمثلة أعلاه بوضوح أنه يمكننا تطبيق خاصية التبادل على الجمع والضرب. ومع ذلك ، لا يمكننا تطبيق خاصية التبادل على الطرح والقسمة. إذا قمت بتحريك موضع الأرقام في الطرح أو القسمة ، فإنه يغير المشكلة بأكملها.

      لذلك ، إذا كان a و b رقمين غير صفريين ، فعندئذٍ:

      الخاصية التبادلية للإضافة هي:

      الخاصية التبادلية للضرب هي:

      باختصار ، في الخاصية التبادلية ، يمكن إضافة الأرقام أو مضاعفتها مع بعضها البعض بأي ترتيب دون تغيير الإجابة.

      دعونا نرى بعض الأمثلة لفهم الخاصية التبادلية.

      مثال 1: خاصية تبادلية مع الجمع

      تمتلك ميرا 5 كرات و 3 كرات لريك. كم عدد الكرات التي لديهم في المجموع؟

      لإيجاد الإجابة ، علينا إضافة 5 و 3.

      ومن ثم ، يمكننا معرفة ما إذا كنا نضيف 5 + 3 أو 3 + 5 ، فالجواب دائمًا هو 8.

      المثال 2: خاصية تبادلية مع طرح.

      يمتلك ألفين 12 تفاحة. يعطي أخته 8 تفاحات. كم عدد التفاحات المتبقية مع ألفين؟

      هنا ، نطرح 8 من 12 ونحصل على الإجابة في صورة 4 تفاحات. ومع ذلك ، لا يمكننا طرح 12 من 8 والحصول على 8 كإجابة.

      المثال 3: خاصية تبادلية مع عملية الضرب.

      تشتري سارة 3 علب من الكعك. كل عبوة بها 4 كعكات. كم عدد الكعك الذي اشترته؟

      هنا ، إذا ضربنا 3 في 4 أو 4 في 3 ، في كلتا الحالتين نحصل على الإجابة على أنها 12 كعكة.

      لذا ، فإن الخاصية التبادلية تنطبق على الضرب.

      So, commutative property holds true for multiplication.

      Example 4: Commutative property with division.

      If you have to divide 25 strawberries to 5 kids, each kid will receive 5 strawberries. However, if you have to divide 5 strawberries amongst 25 children, every kid will get a tiny fraction of the strawberry. Therefore, we cannot apply the commutative property with the division.


      6.5: Use the Zero Product Property - Mathematics

      Here are the steps required for Solving Quadratics by Factoring:

      الخطوة 1: Write the equation in the correct form. To be in the correct form, you must remove all parentheses from each side of the equation by distributing, combine all like terms, and finally set the equation equal to zero with the terms written in descending order.
      الخطوة 2: Use a factoring strategies to factor the problem.
      الخطوه 3: Use the Zero Product Property and set each factor containing a variable equal to zero.
      الخطوة 4: Solve each factor that was set equal to zero by getting the x on one side and the answer on the other side.

      مثال 1 &ndash Solve: x 2 + 16 = 10x

      مثال 2 &ndash Solve: 18x 2 – 3x = 6

      مثال 3 &ndash Solve: 50x 2 = 72

      مثال 4 &ndash Solve: x(2x – 1) = 3

      مثال 5 &ndash Solve: (x + 3)(x – 5) = 𔃅


      شاهد الفيديو: #مراجعة رياضيات عاشر الوحدة الخامسةاهداف الاختبار النهائي (شهر اكتوبر 2021).