مقالات

15.2: تكاملات الخط - الجزء 2 - الرياضيات


تكاملات خط المتجه

النوع الثاني من تكاملات الخط هو تكاملات خط متجه ، حيث نتكامل على طول منحنى عبر حقل متجه. على سبيل المثال ، دعونا

[ vecs F (x، y، z) = P (x، y، z) ، hat { mathbf i} + Q (x، y، z) ، hat { mathbf j} + R (س ، ص ، ض) ، قبعة { mathbf k} ]

يكون مجالًا متجهًا مستمرًا في (ℝ ^ 3 ) يمثل قوة على الجسيم ، ودع (C ) يكون منحنىًا سلسًا في (ℝ ^ 3 ) موجودًا في مجال ( vecs F ). كيف نحسب العمل الذي أنجزه ( vecs F ) في تحريك جسيم على طول (C )؟

للإجابة على هذا السؤال ، لاحظ أولاً أن الجسيم يمكن أن يتحرك في اتجاهين على طول منحنى: اتجاه أمامي واتجاه خلفي. يعتمد الشغل الذي يقوم به مجال المتجه على الاتجاه الذي يتحرك فيه الجسيم. لذلك ، يجب علينا تحديد اتجاه على طول المنحنى (C ) ؛ يسمى هذا الاتجاه المحدد اتجاه المنحنى. الاتجاه المحدد هو الاتجاه الإيجابي على طول (ج ) ؛ الاتجاه المعاكس هو الاتجاه السلبي على طول (ج ). عندما يتم إعطاء (C ) اتجاهًا ، يُطلق على (C ) اسم منحنى موجه (الشكل ( PageIndex {5} )). يعتمد العمل المنجز على الجسيم على الاتجاه على طول المنحنى الذي يتحرك فيه الجسيم.

المنحنى المغلق هو المنحنى الذي يوجد له معلمات ( vecs r (t) ) ، (a≤t≤b ) ، بحيث ( vecs r (a) = vecs r (b) ) ، ويتم اجتياز المنحنى مرة واحدة بالضبط. بمعنى آخر ، تكون المعلمات واحدًا لواحد في المجال ((أ ، ب) ).

لنفترض أن ( vecs r (t) ) معلمة لـ (C ) لـ (a≤t≤b ) بحيث يتم اجتياز المنحنى مرة واحدة بالضبط بواسطة الجسيم ويتحرك الجسيم في الاتجاه الإيجابي على طول (ج ). قسّم فاصل المعلمة ([a، b] ) إلى n فترات فرعية ([t_ {i − 1}، t_i] )، (0≤i≤n ) ذات عرض متساوٍ. تشير إلى نقاط نهاية (r (t_0) ) ، (r (t_1) ) ، ... ، (r (t_n) ) بواسطة (P_0 ) ، ... ، (P_n ). النقاط (P_i ) قسّم (C ) إلى قطع n. تشير إلى طول القطعة من (P_ {i − 1} ) إلى (P_i ) بواسطة ( Delta s_i ). لكل (i ) ، اختر قيمة (t_i ^ * ) في الفاصل الزمني الفرعي ([t_ {i − 1}، t_i] ). ثم ، نقطة نهاية ( vecs r (t_i ^ *) ) هي نقطة في قطعة (C ) بين (P_ {i − 1} ) و (P_i ) (الشكل ( PageIndex {6} )). إذا كان ( Delta s_i ) صغيرًا ، فعندما يتحرك الجسيم من (P_ {i − 1} ) إلى (P_i ) على طول (C ) ، فإنه يتحرك تقريبًا في اتجاه ( vecs T (P_i) ) ، متجه ظل الوحدة عند نقطة نهاية ( vecs r (t_i ^ *) ). دع (P_i ^ * ) يشير إلى نقطة نهاية ( vecs r (t_i ^ *) ). بعد ذلك ، يكون العمل المنجز بواسطة حقل متجه القوة في نقل الجسيم من (P_ {i − 1} ) إلى (P_i ) هو ( vecs F (P_i ^ *) · ( Delta s_i vecs T (P_i ^ *)) ) ، لذا فإن إجمالي العمل المنجز على طول (C ) هو

[ sum_ {i = 1} ^ n vecs F (P_i ^ *) · ( Delta s_i vecs T (P_i ^ *)) = sum_ {i = 1} ^ n vecs F (P_i ^ * ) · vecs T (P_i ^ *) ، Delta s_i. ]

إن ترك طول القوس لقطع (C ) يصبح صغيرًا بشكل تعسفي عن طريق أخذ حد كـ (n rightarrow infty ) يعطينا العمل الذي أنجزه الحقل في تحريك الجسيم على طول (C ). لذلك ، يتم تعريف العمل الذي قام به ( vecs {F} ) في تحريك الجسيم في الاتجاه الإيجابي على طول (C ) على أنه

[W = int_C vecs {F} cdot vecs {T} ، ds، ]

الذي يعطينا مفهوم خط متجه متكامل.

التعريف: سطر متكامل لحقل متجه

خط متجه لا يتجزأ من حقل المتجه ( vecs {F} ) على طول منحنى أملس موجه (C ) هو

[ int_C vecs {F} cdot vecs {T} ، ds = lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} vecs {F} (P_i ^ *) cdot vecs {T} (P_i ^ *) Delta s_i ]

إذا كان هذا الحد موجودًا.

مع تكاملات الخط القياسي ، لا يهم الاتجاه ولا تحديد معاملات المنحنى. طالما تم اجتياز المنحنى مرة واحدة بالضبط بواسطة المعلمات ، فإن قيمة خط التكامل لا تتغير. مع تكاملات الخط المتجه ، يكون اتجاه المنحنى مهمًا. إذا فكرنا في الخط المتكامل باعتباره عملًا حسابيًا ، فهذا منطقي: إذا صعدت جبلًا ، فإن قوة الجاذبية الأرضية ستؤثر سلبًا عليك. إذا كنت تمشي على الجبل بنفس المسار بالضبط ، فإن قوة الجاذبية الأرضية ستعمل عليك بشكل إيجابي. بمعنى آخر ، يؤدي عكس المسار إلى تغيير قيمة العمل من السلبية إلى الإيجابية في هذه الحالة. لاحظ أنه إذا كان (C ) منحنى موجه ، فإننا ندع (- C ) يمثل نفس المنحنى ولكن بالاتجاه المعاكس.

كما هو الحال مع تكاملات الخط القياسي ، من الأسهل حساب تكامل خط متجه إذا قمنا بالتعبير عنه من حيث دالة المعلمات ( vecs {r} ) والمتغير (t ). لترجمة التكامل ( displaystyle int_C vecs {F} cdot vecs {T} ds ) من حيث (t ) ، لاحظ أن ناقل ظل الوحدة ( vecs {T} ) على طول (C ) مُعطى بواسطة ( vecs {T} = dfrac { vecs {r} ′ (t)} {‖ vecs {r} ′ (t) ‖} ) (بافتراض (‖ vecs {r} ′ (t) ‖ ≠ 0 )). منذ (ds = ‖ vecs r ′ (t) ‖ ، dt ) ، كما رأينا عند مناقشة تكاملات الخط القياسي ، لدينا

[ vecs F · vecs T ، ds = vecs F ( vecs r (t)) · dfrac { vecs r ′ (t)} {‖ vecs r ′ (t) ‖} ‖ vecs r ′ (t) ‖dt = vecs F ( vecs r (t)) · vecs r ′ (t) ، dt. ]

وبالتالي ، لدينا الصيغة التالية لحساب تكاملات خط المتجه:

[ int_C vecs F · vecs T ، ds = int_a ^ b vecs F ( vecs r (t)) · vecs r ′ (t) ، dt. label {lineintformula} ]

بسبب المعادلة ref {lineintformula} ، غالبًا ما نستخدم الترميز ( displaystyle int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ) للخط لا يتجزأ ( displaystyle int_C vecs F · فيكس T ، س ).

إذا كان ( vecs r (t) = ⟨x (t) ، y (t) ، z (t)⟩ ) ، فإن ( dfrac {d vecs {r}} {dt} ) يشير إلى متجه (⟨x ′ (t) و y ′ (t) و z ′ (t)⟩ ) و (d vecs {r} = vecs r '(t) ، dt ).

مثال ( PageIndex {5} ): تقييم تكامل خط متجه

أوجد قيمة التكامل ( displaystyle int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ) ، حيث (C ) هو نصف دائرة محدد بواسطة ( vecs {r} (t) = ⟨ cos t ، sin t⟩ ) ، (0≤t≤ pi ) و ( vecs F = ⟨− y ، x⟩ ).

المحلول

يمكننا استخدام المعادلة المرجع {lineintformula} لتحويل متغير التكامل من (s ) إلى (t ). ثم لدينا

[ vecs F ( vecs r (t)) = ⟨− sin t، cos t⟩ ؛ نص {and} ؛ vecs r ′ (t) = ⟨− sin t ، cos t⟩. لا يوجد رقم]

وبالتالي،

[ start {align *} int_C vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_0 ^ { pi} ⟨− sin t، cos t⟩ · ⟨− sin t، cos t⟩ ، dt [4pt] & = int_0 ^ { pi} { sin} ^ 2 t + { cos} ^ 2 t ، dt [4pt] & = int_0 ^ { pi } 1 ، dt = pi. end {محاذاة *} ]

راجع الشكل ( PageIndex {7} ).

مثال ( PageIndex {6} ): عكس الاتجاه

أوجد قيمة التكامل ( displaystyle int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ) ، حيث (C ) هو نصف دائرة معلمة بواسطة ( vecs r (t) = ⟨ cos (t + π) ، sin t⟩ ) ، (0≤t≤ pi ) و ( vecs F = ⟨− y ، x⟩ ).

المحلول

لاحظ أن هذه هي نفس مشكلة المثال ( PageIndex {5} ) ، باستثناء اتجاه المنحنى الذي تم اجتيازه. في هذا المثال ، تبدأ المعلمة عند ( vecs r (0) = ⟨-1،0⟩ ) وتنتهي عند ( vecs r ( pi) = ⟨1،0⟩ ). بواسطة المعادلة المرجع {lineintformula} ،

[ start {align *} int_C vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_0 ^ { pi} ⟨− sin t، cos (t + pi)⟩ · ⟨− الخطيئة (t + pi) ، cos t⟩dt [4pt] & = int_0 ^ { pi} ⟨− sin t، - cos t⟩ · ⟨ sin t، cos t⟩dt [4pt] & = int_ {0} ^ {π} (- { sin} ^ 2 t - { cos} ^ 2 t) dt [4pt] & = int_ {0} ^ { pi} −1dt [4pt] & = - pi. النهاية {محاذاة *} ]

لاحظ أن هذه هي الإجابة السالبة في المثال ( PageIndex {5} ). من المنطقي أن تكون هذه الإجابة سلبية لأن اتجاه المنحنى يتعارض مع "تدفق" مجال المتجه.

دع (C ) منحنى موجه ودع (- C ) تشير إلى نفس المنحنى ولكن مع عكس الاتجاه. ثم يوضح المثالان السابقان الحقيقة التالية:

[ int _ {- C} vecs {F} cdot d vecs {r} = - int_C vecs {F} cdot d vecs {r}. ]

أي أن عكس اتجاه المنحنى يغير إشارة خط متكامل.

تمرين ( PageIndex {6} )

لنفترض أن ( vecs F = x ، hat { mathbf i} + y ، hat { mathbf j} ) يكون حقل متجه ودع (C ) يكون المنحنى ذو المعلمات (⟨t ، t ^ 2⟩ ) لـ (0≤t≤2 ). أيهما أكبر: ( displaystyle int_C vecs F · vecs T ، ds ) أو ( displaystyle int _ {- C} vecs F · vecs T ، ds )؟

تلميح

تخيل أنك تتحرك على طول المسار وتحسب المنتج النقطي ( vecs F · vecs T ) أثناء تقدمك.

إجابه

[ int_C vecs F · vecs T ، ds ]

رمز قياسي آخر للتكامل ( displaystyle int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ) هو ( displaystyle int_C P ، dx + Q ، dy + R ، dz ). في هذا الترميز ، (P ، ، Q ) ، و (R ) هي وظائف ، ونفكر في (d vecs {r} ) على أنها متجه (⟨dx ، dy ، dz⟩ ) . لتبرير هذا الاصطلاح ، تذكر أن (d vecs {r} = vecs T ، ds = vecs r ′ (t) ، dt = left langle dfrac {dx} {dt}، dfrac { dy} {dt} ، dfrac {dz} {dt} يمين rangle ، dt ). وبالتالي،

[ vecs {F} cdot d vecs {r} = ⟨P، Q، R⟩ · ⟨dx، dy، dz⟩ = P ، dx + Q ، dy + R ، dz. ]

إذا (d vecs {r} = ⟨dx، dy، dz⟩ ) ، إذن ( dfrac {dr} {dt} = left langle dfrac {dx} {dt} ، dfrac {dy} {dt} ، dfrac {dz} {dt} right rangle ) ، مما يعني أن (d vecs {r} = left langle dfrac {dx} {dt} ، dfrac {dy} { dt} ، dfrac {dz} {dt} يمين rangle ، dt ). وبالتالي

[ start {align} int_C vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_C P ، dx + Q ، dy + R ، dz [4pt] & = int_a ^ ب يسار (P كبير ( vecs r (t) كبير) dfrac {dx} {dt} + Q big ( vecs r (t) big) dfrac {dy} {dt} + R كبير ( vecs r (t) big) dfrac {dz} {dt} right) ، dt. التسمية {eq14} نهاية {محاذاة} ]

مثال ( PageIndex {7} ): إيجاد قيمة تكامل النموذج ( displaystyle int_C P ، dx + Q ، dy + R ، dz )

أوجد قيمة التكامل ( displaystyle int_C z ، dx + x ، dy + y ، dz ) حيث (C ) هو المنحنى المحدد بواسطة ( vecs r (t) = t ^ 2 ، sqrt {t} ، t⟩ ) ، (1≤t≤4 ).

المحلول

كما هو الحال مع الأمثلة السابقة ، لحساب تكامل السطر هذا ، يجب علينا إجراء تغيير في المتغيرات لكتابة كل شيء من حيث (t ). في هذه الحالة ، تسمح لنا المعادلة ref {eq14} بإجراء هذا التغيير:

[ start {align *} int_C z ، dx + x ، dy + y ، dz & = int_1 ^ 4 left (t (2t) + t ^ 2 left ( frac {1} { 2 sqrt {t}} right) + sqrt {t} right) ، dt [4pt] & = int_1 ^ 4 left (2t ^ 2 + frac {t ^ {3/2} } {2} + sqrt {t} right) ، dt [4pt] & = { left [ dfrac {2t ^ 3} {3} + dfrac {t ^ {5/2}} { 5} + dfrac {2t ^ {3/2}} {3} right]} _ {t = 1} ^ {t = 4} [4pt] & = dfrac {793} {15}. نهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {7} )

أوجد قيمة ( displaystyle int_C 4x ، dx + z ، dy + 4y ^ 2 ، dz ) حيث (C ) هو المنحنى المحدد بواسطة ( vecs r (t) = 4 cos (2t) ، 2 sin (2t) ، 3⟩ ) ، (0≤t≤ dfrac { pi} {4} ).

تلميح

اكتب التكامل من حيث (t ) باستخدام المعادلة المرجع {eq14}.

إجابه

(−26)

لقد تعلمنا كيفية دمج المنحنيات السلسة المنحى. الآن ، افترض أن (C ) هو منحنى موجه ليس سلسًا ، ولكن يمكن كتابته على أنه اتحاد للعديد من المنحنيات الملساء. في هذه الحالة ، نقول إن (C ) منحنى متجانس متعدد التعريف. على وجه الدقة ، يكون المنحنى (C ) سلسًا إذا كان من الممكن كتابة (C ) كاتحاد لـ n منحنيات ناعمة (C_1 ) ، (C_2 ) ، ... ، (C_n ) بحيث نقطة نهاية (C_i ) هي نقطة البداية لـ (C_ {i + 1} ) (الشكل ( PageIndex {8} )). عندما تفي المنحنيات (C_i ) بشرط أن تكون نقطة نهاية (C_i ) هي نقطة البداية (C_ {i + 1} ) ، نكتب اتحادهم كـ (C_1 + C_2 + ⋯ + C_n ) .

تلخص النظرية التالية العديد من الخصائص الأساسية لتكاملات خط المتجه.

نظرية: خصائص تكامل خط المتجه

لنفترض أن ( vecs F ) و ( vecs G ) عبارة عن حقول متجهية مستمرة مع المجالات التي تتضمن المنحنى السلس الموجه (C ). ثم

  1. ( displaystyle int_C ( vecs F + vecs G) · d vecs {r} = int_C vecs {F} cdot d vecs {r} + int_C vecs G · d vecs {r} )
  2. ( displaystyle int_C k vecs {F} cdot d vecs {r} = k int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ) حيث (k ) ثابت
  3. ( displaystyle int_C vecs {F} cdot d vecs {r} = int _ {- C} vecs {F} cdot d vecs {r} )
  4. افترض بدلاً من ذلك أن (C ) عبارة عن منحنى سلس متعدد التعريف في مجالات ( vecs F ) و ( vecs G ) ، حيث (C = C_1 + C_2 + ⋯ + C_n ) و (C_1 ، C_2 ، ... ، C_n ) عبارة عن منحنيات سلسة بحيث تكون نقطة نهاية (C_i ) هي نقطة البداية لـ (C_ {i + 1} ). ثم

    [ int_C vecs F · d vecs {r} = int_ {C_1} vecs F · d vecs {r} + int_ {C_2} vecs F · d vecs {r} + ⋯ + int_ {C_n} vecs F · d vecs {r}. ]

لاحظ أوجه التشابه بين هذه العناصر وخصائص التكاملات ذات المتغير الفردي. خصائص i. والثاني. لنفترض أن تكاملات الخط خطية ، وهذا ينطبق أيضًا على التكاملات ذات المتغير الفردي. الملكية ثالثا. يقول أن عكس اتجاه المنحنى يغير علامة التكامل. إذا فكرنا في التكامل على أنه حساب العمل المنجز على جسيم يسافر على طول (C ) ، فهذا منطقي. إذا تحرك الجسيم للخلف بدلاً من الأمام ، فإن قيمة العمل المنجز لها علامة معاكسة. هذا مشابه للمعادلة ( displaystyle int_a ^ b f (x) ، dx = - int_b ^ af (x) ، dx ). أخيرًا ، إذا كانت ([a_1، a_2] ) ، ([a_2، a_3] ) ، ... ، ([a_ {n − 1} ، a_n] ) فترات ، إذن

[ int_ {a_1} ^ {a_n} f (x) ، dx = int_ {a_1} ^ {a_2} f (x) ، dx + int_ {a_1} ^ {a_3} f (x) ، dx + ⋯ + int_ {a_ {n − 1}} ^ {a_n} f (x) ، dx ، ]

وهو مشابه للملكية الرابع.

مثال ( PageIndex {8} ): استخدام الخصائص لحساب تكامل خط متجه

أوجد قيمة التكامل ( displaystyle int_C vecs F · vecs T ، ds ) حيث (C ) هو المستطيل (موجه عكس اتجاه عقارب الساعة) في مستوى به رؤوس ((0،0) ) ، ((2،0) ) ، ((2،1) ) ، و ((0،1) ) ، وحيث ( vecs F = ⟨x − 2y ، y − x⟩ ) (الشكل ( PageIndex {9} )).

المحلول

لاحظ أن المنحنى (C ) هو اتحاد أضلاعه الأربعة ، وكل جانب أملس. لذلك (C ) سلس. دع (C_1 ) يمثل الجانب من ((0،0) ) إلى ((2،0) ) ، دع (C_2 ) يمثل الجانب من ((2،0) ) إلى ((2،1) ) ، دع (C_3 ) تمثل الجانب من ((2،1) ) إلى ((0،1) ) ، واجعل (C_4 ) يمثل الجانب من ((0،1) ) إلى ((0،0) ) (الشكل ( PageIndex {9} )). ثم،

[ int_C vecs F · vecs T ، dr = int_ {C_1} vecs F · vecs T ، dr + int_ {C_2} vecs F · vecs T ، dr + int_ {C_3} vecs F · vecs T ، dr + int_ {C_4} vecs F · vecs T ، dr. ]

نريد حساب كل من التكاملات الأربعة على الجانب الأيمن باستخدام المعادلة ref {eq12a}. قبل القيام بذلك ، نحتاج إلى تحديد معلمات لكل جانب من جوانب المستطيل. فيما يلي أربع معلمات (لاحظ أنها تتجاوز (C ) عكس اتجاه عقارب الساعة):

[ start {align *} C_1 &: ⟨t، 0⟩، 0≤t≤2 [4pt] C_2 &: ⟨2، t⟩، 0≤t≤1 [4pt] C_3 &: ⟨2 − t ، 1⟩، 0≤t≤2 [4pt] C_4 &: ⟨0،1 − t⟩، 0≤t≤1. النهاية {محاذاة *} ]

وبالتالي،

[ start {align *} int_ {C_1} vecs F · vecs T ، dr & = int_0 ^ 2 vecs F ( vecs r (t)) · vecs r ′ (t) ، dt [4pt] & = int_0 ^ 2 ⟨t − 2 (0)، 0 − t⟩ · ⟨1،0⟩ ، dt = int_0 ^ 2 t ، dt [4pt] & = كبير [ tfrac {t ^ 2} {2} Big] _0 ^ 2 = 2. النهاية {محاذاة *} ]

لاحظ أن قيمة هذا التكامل موجبة ، وهذا لا ينبغي أن يكون مفاجئًا. بينما نتحرك على طول المنحنى (C_1 ) من اليسار إلى اليمين ، تتدفق حركتنا في الاتجاه العام للحقل المتجه نفسه. في أي نقطة على طول (C_1 ) ، يشكل متجه المماس للمنحنى والمتجه المقابل في الحقل زاوية أقل من 90 درجة. لذلك ، فإن متجه المماس ومتجه القوة لهما حاصل ضرب نقطي موجب على طول (C_1 ) ، وسيكون لمتكامل الخط قيمة موجبة.

يتم إجراء العمليات الحسابية للتكاملات الخطية الثلاثة الأخرى بالمثل:

[ begin {align *} int_ {C_2} vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_ {0} ^ {1} ⟨2−2t، t − 2⟩ · ⟨0، 1⟩ ، dt [4pt] & = int_ {0} ^ {1} (t − 2) ، dt [4pt] & = Big [ tfrac {t ^ 2} {2} - 2t Big] _0 ^ 1 = - dfrac {3} {2} ، end {align *} ]

[ start {align *} int_ {C_3} vecs F · vecs T ، ds & = int_0 ^ 2⟨ (2 − t) −2،1− (2 − t)⟩ · ⟨− 1 ، 0⟩ ، dt [4pt] & = int_0 ^ 2t ، dt = 2، end {align *} ]

و

[ start {align *} int_ {C_4} vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_0 ^ 1⟨ − 2 (1 − t)، 1 − t⟩ · ⟨0، - 1⟩ ، dt [4pt] & = int_0 ^ 1 (t − 1) ، dt [4pt] & = Big [ tfrac {t ^ 2} {2} −t Big] _0 ^ 1 = - dfrac {1} {2}. النهاية {محاذاة *} ]

وبالتالي ، لدينا ( displaystyle int_C vecs {F} cdot d vecs {r} = 2 ).

تمرين ( PageIndex {8} )

احسب سطر متكامل ( displaystyle int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ) حيث ( vecs F ) هو حقل متجه (⟨y ^ 2،2xy + 1⟩ ) و (C ) مثلث برؤوسه ((0،0) ) ، ((4،0) ) ، و ((0،5) ) ، موجه عكس اتجاه عقارب الساعة.

تلميح

اكتب المثلث باتحاد أضلاعه الثلاثة ، ثم احسب ثلاثة تكاملات مستقيمة منفصلة.

إجابه

0

تطبيقات تكاملات الخط

تكاملات الخط العددي لها العديد من التطبيقات. يمكن استخدامها لحساب طول أو كتلة السلك ، أو مساحة سطح ورقة بارتفاع معين ، أو الجهد الكهربي لسلك مشحون في ظل كثافة شحنة خطية. تكاملات خط المتجه مفيدة للغاية في الفيزياء. يمكن استخدامها لحساب الشغل المبذول على جسيم أثناء تحركه خلال مجال القوة ، أو معدل تدفق مائع عبر منحنى. هنا ، نحسب كتلة السلك باستخدام خط عددي متكامل والشغل المبذول بواسطة قوة باستخدام خط متجه متكامل.

افترض أن قطعة من السلك تم تشكيلها على شكل منحنى ج في الفضاء. الكتلة لكل وحدة طول (الكثافة الخطية) للسلك هي دالة متصلة ( rho (x ، y ، z) ). يمكننا حساب الكتلة الكلية للسلك باستخدام الخط القياسي المتكامل ( displaystyle int_C rho (x، y، z) ، ds ). السبب هو أن الكتلة هي الكثافة مضروبة في الطول ، وبالتالي يمكن تقريب كثافة قطعة صغيرة من السلك بـ ( rho (x ^ *، y ^ *، z ^ *) ، Delta s ) لبعض النقاط ((x ^ *، y ^ *، z ^ *) ) في القطعة. ترك طول القطع يتقلص إلى الصفر مع حد ينتج عنه سطر متكامل ( displaystyle int_C rho (x، y، z) ، ds ).

مثال ( PageIndex {9} ): حساب كتلة السلك

احسب كتلة زنبرك على شكل منحنى معلمات بواسطة (⟨t، 2 cos t، 2 sin t⟩ )، (0≤t≤ dfrac { pi} {2} ) ، مع دالة كثافة مُعطاة بواسطة ( rho (x، y، z) = e ^ x + yz ) kg / m (الشكل ( PageIndex {10} )).

المحلول

لحساب كتلة الزنبرك ، علينا إيجاد قيمة الخط القياسي المتكامل ( displaystyle int_C (e ^ x + yz) ، ds ) حيث (C ) هو الحلزون المعطى. لحساب هذا التكامل ، نكتبه من حيث (t ) باستخدام المعادلة المرجع {eq12a}:

[ begin {align *} int_C left (e ^ x + yz right) ، ds & = int_0 ^ { tfrac { pi} {2}} left ((e ^ t + 4 cos t sin t) sqrt {1 + (- 2 cos t) ^ 2 + (2 sin t) ^ 2} right) ، dt [4pt] & = int_0 ^ { tfrac { pi} {2}} left ((e ^ t + 4 cos t sin t) sqrt {5} right) ، dt [4pt] & = sqrt {5} Big [e ^ t + 2 sin ^ 2 t Big] _ {t = 0} ^ {t = pi / 2} [4pt] & = sqrt {5} (e ^ { pi / 2} +1 ). النهاية {محاذاة *} ]

إذن ، الكتلة ( sqrt {5} (e ^ { pi / 2} +1) ) كجم.

تمرين ( PageIndex {9} )

احسب كتلة الزنبرك على شكل حلزون معلمة بواسطة ( vecs r (t) = ⟨ cos t، sin t، t⟩ )، (0≤t≤6 pi ) ، مع دالة كثافة معطاة بواسطة ( rho (x، y، z) = x + y + z ) kg / m.

تلميح

احسب تكامل خط ( rho ) فوق المنحنى باستخدام المعلمات ( vecs r ).

إجابه

(18 sqrt {2} { pi} ^ 2 ) كجم

عندما حددنا تكاملات الخط المتجه لأول مرة ، استخدمنا مفهوم العمل لتحفيز التعريف. لذلك ، فليس من المستغرب أن يتم حساب العمل الذي قام به حقل متجه تمثل القوة استخدامًا قياسيًا لتكاملات خط المتجه. تذكر أنه إذا تحرك كائن على طول منحنى (C ) في حقل القوة ( vecs F ) ، فإن العمل المطلوب لتحريك الكائن يتم إعطاؤه بواسطة ( displaystyle int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ).

مثال ( PageIndex {10} ): حساب العمل

ما مقدار العمل المطلوب لتحريك كائن في حقل القوة المتجهة ( vecs F = ⟨yz، xy، xz⟩ ) على طول المسار ( vecs r (t) = ⟨t ^ 2، t، t ^ 4⟩ ، ، 0≤t≤1؟ ) راجع الشكل ( PageIndex {11} ).

المحلول

دع (C ) يشير إلى المسار المحدد. علينا إيجاد قيمة ( displaystyle int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ). للقيام بذلك ، نستخدم المعادلة المرجع {lineintformula}:

[ start {align *} int_C vecs {F} cdot d vecs {r} & = int_0 ^ 1 (⟨t ^ 5، t ^ 3، t ^ 6⟩ · ⟨2t، 1،4t ^ 3⟩) ، dt [4pt] & = int_0 ^ 1 (2t ^ 6 + t ^ 3 + 4t ^ 9) ، dt [4pt] & = { Big [ dfrac {2t ^ 7} {7} + dfrac {t ^ 4} {4} + dfrac {2t ^ {10}} {5} Big]} _ {t = 0} ^ {t = 1} = dfrac {131 } {140} ؛ text {وحدات العمل}. النهاية {محاذاة *} ]

المفاهيم الرئيسية

  • تكامل الخط يعمم فكرة المتغير الفردي المتكامل لأبعاد أعلى. مجال التكامل في التكامل أحادي المتغير هو مقطع خط على طول المحور (x ) ، لكن مجال التكامل في خط متكامل هو منحنى في مستوى أو في الفضاء.
  • إذا كان (C ) منحنى ، فسيكون طول (C ) هو ( displaystyle int_C ، ds ).
  • يوجد نوعان من تكامل الخط: تكاملات الخط القياسي وتكاملات الخط المتجه. يمكن استخدام تكاملات الخط العددي لحساب كتلة السلك ؛ يمكن استخدام تكاملات الخط المتجه لحساب الشغل المبذول على جسيم ينتقل عبر حقل.
  • يمكن حساب تكاملات الخط القياسي باستخدام المعادلة المرجع {eq12a} ؛ يمكن حساب تكاملات خط المتجه باستخدام المعادلة المرجع {lineintformula}.
  • يتم التعبير عن مفهومين رئيسيين من حيث تكامل الخط هما التدفق والتداول. يقيس التدفق المعدل الذي يعبر فيه الحقل خطًا معينًا ؛ يقيس الدوران اتجاه المجال للتحرك في نفس اتجاه منحنى مغلق معين.

المعادلات الرئيسية

  • حساب خط عددي متكامل
    (displaystyle int_C f (x، y، z)، ds = int_a ^ bf (vecs r (t)) sqrt {{(x ′ (t))} ^ 2 + {(y + ( t))} ^ 2 + {(z ′ (t))} ^ 2} ، dt )
  • حساب خط متجه متكامل
    ( displaystyle int_C vecs F · d vecs {r} = int_C vecs F · vecs T ، ds = int_a ^ b vecs F ( vecs r (t)) · vecs r ′ (ر) ، دت )
    أو
    ( displaystyle int_C P ، dx + Q ، dy + R ، dz = int_a ^ b left (P big ( vecs r (t) big) dfrac {dx} {dt} + س كبير ( vecs r (t) كبير) dfrac {dy} {dt} + R big ( vecs r (t) big) dfrac {dz} {dt} right) ، dt )
  • حساب التدفق
    ( displaystyle int_C vecs F · dfrac { vecs n (t)} {‖ vecs n (t) ‖} ، ds = int_a ^ b vecs F ( vecs r (t)) · vecs n (t) ، dt )

قائمة المصطلحات

الدوران
ميل المائع للتحرك في اتجاه المنحنى (ج ). إذا كان (C ) منحنى مغلق ، فإن تداول ( vecs F ) على طول (C ) هو خط متكامل (∫_C vecs F · vecs T ، ds ) ، وهو ما نحن تشير أيضًا إلى (∮_C vecs F · vecs T ، ds ).
منحنى مغلق
منحنى يوجد له معلمات ( vecs r (t) ، a≤t≤b ) ، بحيث ( vecs r (a) = vecs r (b) ) ، ويتم اجتياز المنحنى بالضبط مرة واحدة
تدفق
معدل تدفق السائل عبر منحنى في مجال متجه ؛ تدفق حقل المتجه ( vecs F ) عبر منحنى المستوى (C ) خط متكامل (∫_C vecs F · frac { vecs n (t)} {‖ vecs n (t) ‖ } ، دس )
خط متكامل
تكامل دالة على طول منحنى في مستوى أو في الفضاء
اتجاه المنحنى
اتجاه المنحنى (C ) هو اتجاه محدد لـ (C )
منحنى سلس متعدد التعريف
منحنى موجه غير سلس ، ولكن يمكن كتابته على أنه اتحاد للعديد من المنحنيات الملساء
خط عددي متكامل
الخط القياسي لا يتجزأ من دالة (f ) على طول منحنى (C ) فيما يتعلق بطول القوس هو التكامل ( displaystyle int_C f ، ds ) ، وهو تكامل دالة عددية (و) على طول منحنى في مستو أو في الفضاء ؛ يتم تعريف هذا التكامل من حيث مجموع ريمان ، كما هو الحال مع تكامل متغير واحد
خط متجه متكامل
خط المتجه لا يتجزأ من حقل المتجه ( vecs F ) على طول المنحنى (C ) هو تكامل المنتج النقطي لـ ( vecs F ) مع متجه ظل الوحدة ( vecs T ) من ( C ) فيما يتعلق بطول القوس ، (∫_C vecs F · vecs T ، ds ) ؛ يتم تعريف هذا التكامل من حيث مجموع ريمان ، على غرار تكامل متغير واحد

15.2: تكاملات الخط - الجزء 2 - الرياضيات

8. تقييم ( displaystyle int limits_ <<- ، ds >> ) لكل من المنحنيات التالية.

  1. (C ) هو الجزء المستقيم من ( left (<3،6> right) ) إلى ( left (<0،0> right) ) متبوعًا بمقطع السطر من ( يسار (<0،0> right) ) إلى ( left (<3، - 6> right) ).
  2. (C ) هو الجزء المستقيم من ( left (<3،6> right) ) إلى ( left (<3، - 6> right) ).

a (C ) هو الجزء المستقيم من ( left (<3،6> right) ) إلى ( left (<0،0> right) ) متبوعًا بمقطع السطر من ( يسار (<0،0> يمين) ) إلى ( يسار (<3 ، - 6> يمين) ). إظهار كل الخطوات إخفاء كل الخطوات
ابدأ الحل

لنبدأ برسم تخطيطي سريع لمنحنى هذا الجزء من المشكلة.

لذلك ، يأتي هذا المنحنى في جزأين وسنحتاج إلى تحديد معلمات لكل منهما ، لذا دعنا نعتني بذلك بعد ذلك.

(: ، ، vec r left (t right) = left (<1 - t> right) left langle <3،6> right rangle + t left langle <0،0 > يمين rangle = يسار langle <3 - 3t ، 6 - 6t> يمين rangle hspace <0.25in> ، ، ، ، ، ، ، 0 le t le 1 )
(: ، ، vec r left (t right) = left (<1 - t> right) left langle <0،0> right rangle + t left langle <3، - 6> right rangle = left langle <3t، - 6t> right rangle hspace <0.25in> ، ، ، ، ، ، ، 0 le t le 1 )

لكل من هذه المنحنيات ، استخدمنا فقط الشكل المتجه للقطعة المستقيمة بين نقطتين. في الحالة الأولى ، احتجنا إلى ذلك لأن الاتجاه كان في اتجاه (y ) تنازلي وتذكر أن الحدود التكاملية يجب أن تكون من قيمة أصغر إلى قيمة أكبر. في الحالة الثانية ، كان من الممكن أن تكون المعادلة سهلة الاستخدام ولكننا قررنا فقط استخدام شكل المقطع المستقيم للحدود الأكثر جمالًا.

حسنًا ، نحتاج الآن لحساب الخط المتكامل على طول كل من هذين المنحنيين. على عكس المشكلات القليلة الأولى في هذا القسم حيث وجدنا الحجم والتكامل وقبل خطوة التكامل ، سننتقل مباشرة إلى التكامل ونقوم بكل العمل هناك.

هذا هو التكامل على طول كل من المنحنيات.

حسنًا ، لإنهاء هذه المسألة ، كل ما علينا فعله هو جمع تكاملات الخط على هذه المنحنيات للحصول على تكامل الخط الكامل.

لاحظ أننا نضع أقواسًا حول نتيجة كل سطر فردي متكامل ببساطة لتوضيح مصدره وليس هناك حاجة إليها بشكل عام بالطبع.

ب (ج ) هو قطعة خط من ( يسار (<3،6> يمين) ) إلى ( يسار (<3 ، - 6> يمين) ). إظهار كل الخطوات إخفاء كل الخطوات
ابدأ الحل

لنبدأ برسم تخطيطي سريع لمنحنى هذا الجزء من المشكلة.

إذن ، ما لدينا في هذا الجزء هو منحنى مختلف يبدأ من ( left (<3،6> right) ) إلى ( left (<3، - 6> right) ). على الرغم من حقيقة أن هذا المنحنى له نفس نقطة البداية والنهاية مثل المنحنى في الجزء الأول ، فلا يوجد سبب لتوقع أن يكون للمتكامل الخط نفس القيمة. لذلك سنحتاج إلى متابعة العمل ومعرفة ما نحصل عليه من خط التكامل.

سنحتاج إلى تحديد معايير المنحنى ، لذلك دعونا نتولى ذلك.

(C: ، ، vec r left (t right) = left (<1 - t> right) left langle <3،6> right rangle + t left langle < 3، - 6> right rangle = left langle <3،6 - 12t> right rangle hspace <0.25in> ، ، ، ، ، ، ، 0 le t جنيه 1 )

نظرًا لأن هذا المنحنى في اتجاه التناقص (y ) ويحتاج التكامل إلى حدوده للانتقال من القيم الأصغر إلى القيم الأكبر ، كان علينا استخدام الشكل المتجه للقطعة المستقيمة بين نقطتين.

كل ما علينا فعله الآن هو حساب تكامل الخط.

لذلك ، كما لوحظ في بداية هذا الجزء ، لم تكن قيمة خط التكامل هي نفسها قيمة الخط المتكامل في الجزء الأول على الرغم من نفس نقاط البداية والنهاية للمنحنى. لاحظ أنه من الممكن أن يكون لتكامل سطرين لهما نفس نقطتي البداية والنهاية نفس القيمة ولكن لا يمكننا توقع حدوث ذلك ولذا نحتاج إلى المضي قدمًا والقيام بالعمل.


خطوط وتقاطعات باراميتريزيد

قم بتنزيل الفيديو من iTunes U أو Internet Archive.

DAVID JORDAN: أهلا ومرحبا بكم من جديد في التلاوة. المشكلة التي أود العمل معك اليوم هي تقاطع سطرين محددين.

إذن لدينا سطرين هنا. L_1 ، معطى مع البارامترات بدلالة المتغير t. و L_2 ، معطى أيضًا مع المعلمة بدلالة المتغير t. لذا فإن السؤال الأول الذي أريد أن نجيب عليه هو هل تتقاطع هذه الخطوط؟ وإذا كان الأمر كذلك ، فنحن نريد معرفة مكان تقاطعهما.

فلماذا لا توقف الفيديو مؤقتًا وتعمل على هذا. ويمكننا التحقق مرة أخرى بعد قليل وسنرى كيف تمكنت من حلها.

حسنًا ، مرحبًا بعودتك. هيا بنا نبدأ. إذن لدينا هذين الخطين في الفضاء. قبل أن نبدأ في إجراء أي حسابات ، أجد أنه من المفيد رسم صورة. لذلك دعونا نرى ما يحدث.

حسنا. إذن لدينا هذين الخطين. يمكننا فقط إيجاد بعض النقاط المشتركة بين الخطوط.

حسنًا ، إذا وضعنا t يساوي 0 هنا ، فيبدو أننا نحصل على النقطة 2 فاصلة 1. حسنًا. والآن إذا عوضنا ، دعنا نقول ، أن t ناقص 1 هنا ، فسنحصل على - إذا عوضنا عن t يساوي ناقص 1 هنا ، فسنحصل على x يساوي 3 و y يساوي 0. إذن لدينا الخط L_1.

والآن لنرى ، L_2. إذا عوضنا بـ t يساوي 0 ، فسنحصل على 2-1 ، 2 ، 3-4. وإذا عوضنا ، دعنا نقول ، t يساوي ناقص 1 مرة أخرى ، فسنحصل على 1 و 2. حسنًا؟ إذن هناك L_2.

وبالفعل ، يبدو أنها تتقاطع. ربما توقعنا أنهما يتقاطعان بالنظر إلى الوراء هنا في صيغتي L_1 و L_2 ، لأننا نرى أن نوع الاتجاه الذي يتحرك فيه هذا ، يمكننا أخذ المشتقات في t. ونلاحظ أن L_2 ، هذا الخط يتحرك في الاتجاه 1 فاصلة 2. و L_1 يتحرك في الاتجاه ناقص 1 فاصلة 1. وبالتالي فإن هذين الاتجاهين غير متوازيين.

ونعلم أن الطريقة الوحيدة التي يمكن أن يفشل فيها الخطان في التقاطع هي إذا كانا متوازيين. لذا في الواقع ، حتى بدون رسم هذا ، كان بإمكاننا أن نخمن أن هذه الخطوط تتقاطع. نعلم الآن أن هذين المستقيمين يتقاطعان.

وفي الحقيقة ، يبدو الأمر وكأنه يتقاطع - من رسمنا - عند النقطة - يبدو وكأنه - 1 فاصلة 2. يبدو أنه نقطة التقاطع. لكن ، كما تعلم ، كنا محظوظين قليلاً برسمنا هنا. لذلك دعونا نرى ما إذا كان هذا صحيحًا بالفعل. دعونا نرى ما إذا كان بإمكاننا التحقق من ذلك بالطريقة العامة التي ناقشناها في المحاضرة.

لذا ، يوجد الآن مكان واحد علينا توخي الحذر فيه. لدينا خطان هنا ، وقمنا بتحديد كلاهما باستخدام المتغير t. لكن علينا أن نتذكر أن t هو ما يسمى بالمتغير الوهمي. ليس لها أي معنى هندسي للمشكلة.

وعلى وجه الخصوص ، ما أريد أن أحذرك بشأنه هو أننا إذا بدأنا للتو في حل هاتين المعادلتين جبريًا كما تم إعطاؤهما لنا بالمتغير t ، فإن المشكلة التي يمكن أن نواجهها هي أننا ، كما تعلمون ، نفرز من التحرك - حيث نختلف t - نحن نتحرك على طول هذا الخط ، وبما أننا نختلف t مرة أخرى ، فإننا نتحرك على طول هذا الخط. وترى أننا نتحرك في نفس الوقت. وهذا حقاً يحل مشكلة مختلفة. هذا لا يسأل عن متى تقاطع هذه الخطوط ، ولكن هذا سيسأل عن متى يصطدم جسيمان على هذه الخطوط ، وهي مشكلة أصعب.

لذا بدلًا من ذلك ، ما علينا فعله هو تغيير متغيرات الخط L_2. ما أريد فعله هو أن أكتب L_2 - سأكتب المعادلات نفسها ، لكني سأقدم متغيرًا جديدًا u.

إذن ، x يساوي 2 زائد u ، و y يساوي 4 زائد 2u. حسنا. الآن بعد أن فعلنا ذلك ، لإيجاد نقطة التقاطع ، حسنًا ، ستكون نقطة التقاطع على وجه التحديد نقطة على L_2 حيث يتفق إحداثي x وإحداثي y مع نقطة أخرى على L_1 مع نفس إحداثي س وص. هذا هو ، لدينا - ما نريد فعله هو تعيين إحداثي x لـ L_2.

نريد مساواة هذا الإحداثي x لـ L_1 ، وهو 2 ناقص t. لذلك كان هذا من أجل L_1. وبالمثل هنا ، نريد أن نجعل إحداثي y لـ L_2 يساوي إحداثي y لـ L_1.

إذا فكرت الآن في الأمر ، إذا تمكنا من حل نظام المعادلات هذا ، فإن ما فعلناه هو أننا وجدنا في نفس الوقت نقطة على L_1 و L_2. وهذا هدفنا. لذلك ستكون نقطة تقاطع. حسنًا ، لدينا الآن هذا النظام المكون من معادلتين خطيتين ومتغيرين ، ونحتاج فقط إلى حله.

الآن ، يمكننا أن نفعل - بشكل عام ، مع معادلة مثل هذه ، قد نحاول إضافة أو طرح المعادلات. لكن هذه المعادلة بسيطة للغاية ، لدرجة أنني أرى أن المعادلة العليا هي نفس الشيء مثل t يساوي ناقص u. هذا ما تقوله المعادلة العليا إذا ألغينا العدد 2.

وبالتالي ، إذا عوضنا بذلك في المعادلة التالية ، فسنحصل على 4 زائد 2u يساوي 1 ناقص u. ومن ثم يمكننا حل هذا ، ونحصل على ذلك ، فيبدو أن 3 يساوي ناقص 3u ، مما يخبرنا أن u يساوي ناقص 1 ، ثم يخبرنا ذلك أن t يساوي زائد 1. حسنًا؟

إذن ، أوجدنا المعلمتين t و u. ونحن لم ننتهي بعد. ما يتعين علينا القيام به هو أننا بحاجة للعودة إلى المعلمات الخاصة بنا. دعوني أعود إلى المعلمة الأصلية هنا ، ولدينا L_1 كان 2 ناقص t و 1 زائد t. And over here, we found that t equals 1 was the value that we're after.

So that tells us that x is 1-- 2 minus 1-- and y is 2. Excuse me. I wrote that in a funny way. x is 1 and y is 2.

Now, just as a reality check. We also found that if we solved for L_2, we wanted the variable u to be equal to minus 1. So we had 2 plus u, and 4 plus 2u.

And so let's see what happens when we plug in u equals minus 1 here. We again get x equals 2 plus minus 1 is 1. And y equals 4 plus minus 2 is 2. So we just double check that this is a point of intersection of both lines. And I'll leave it at that.


تعليقات

Kausin Kausin wrote 7 years ago.
Very helpful video

mohammad sami wrote 9 years ago.
i need this lectures as i am a lecturer in the technical
institute

shaney wrote 9 years ago.
waooo osum

john renenl wrote 9 years ago.
nice.

carlos wrote 9 years ago.
hi

prakash wrote 9 years ago.
have you gonna do the maths

arsalan wrote 9 years ago.
Basic Integration Formulas

mukesh wrote 9 years ago.
none

pratik wrote 10 years ago.
thanks!

CosmoLearning is promoting these materials solely for nonprofit educational purposes, and to recognize contributions made by Patrick's Just Math Tutoring (Patrick JMT) to online education. We do not host or upload any copyrighted materials, including videos hosted on video websites like YouTube*, unless with explicit permission from the author(s). All intellectual property rights are reserved to Patrick JMT and involved parties. CosmoLearning is not endorsed by Patrick JMT, and we are not affiliated with them, unless otherwise specified. Any questions, claims or concerns regarding this content should be directed to their creator(s).

*If any embedded videos constitute copyright infringement, we strictly recommend contacting the website hosts directly to have such videos taken down. In such an event, these videos will no longer be playable on CosmoLearning or other websites.


15.2: Line Integrals - Part 2 - Mathematics

MA 26100 Summer 2020
Video Lectures and Lecture Notes

Monday, 6/15--Course Introduction: Video, Slides
Monday, 6/15--Lesson 1 (13.1-13.4: Review of Vectors): Video, Notes

Tuesday, 6/16--Lesson 2 (13.5, 13.6 part 1: Lines, Planes, and Quadric Surfaces): Video, Notes
Thursday, 6/18--Lesson 3 (13.6,part 2, 14.1 Quadric Surfaces, Vector-Valued Functions): Video, Notes
Friday, 6/19--Lesson 4 (14.2, 14.3 part 1: Calculus of Vector-Valued Functions, Motion in Space): Video, Notes
Monday, 6/22--Lesson 5 (14.3 part 2, 14.4, 14.5: Motion in Space, Length of Curves, Curvature): Video, Notes
Tuesday, 6/23--Lesson 6 (15.1, 15.2: Functions of Several Variables, Limits and Continuity): Video, Notes
Thursday, 6/25--Lesson 7 (15.3, 15.4: Partial Derivatives, Chain Rule): Video, Notes
Friday, 6/26--Lesson 8 (15.5, 15.6: Directional Derivative and the Gradient, Tangent Plane and Linear Approximation): Video, Notes
Monday, 6/29--Lesson 9 (15.7 both parts: Maximum and Minimum Problems): Video, Notes
Monday, 6/29--Exam 1 Review: Video, Notes
Thursday, 7/2--Lesson 10 (15.8: Lagrange Multipliers): Video, Notes
Monday, 7/6--Lesson 11 (16.1: Double Integrals over Rectangular Regions): Video, Notes
Tuesday, 7/7--Lesson 12 (16.2: Double Integrals over General Regions): Video, Notes
Thursday, 7/9--Lesson 13 (16.3: Double Integrals in Polar Coordinates): Video, Notes
Friday, 7/10--Lesson 14 (16.4: Triple Integrals): Video, Notes
Monday, 7/13--Lesson 15 (16.5 both parts: Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coordinates): Video, Notes
Tuesday, 7/14--Lesson 16 (16.6: Integrals in Mass Calculations, 17.1: Vector Fields): Video, Notes
Thursday, 7/16--Lesson 17 (17.2 both parts: Line Integrals of Functions and Vector Fields): Video, Notes
Friday, 7/17--Lesson 18 (17.3: Conservative Vector Fields and the Fundamental Theorem of Line Integrals): Video, Notes
Friday, 7/17--Exam 2 Review: Video, Notes
Tuesday, 7/21--Lesson 19 (17.4: Green's Theorem, 17.5: Curl and Divergence): Video, Notes
Thursday, 7/23--Lesson 20 (17.6 part 1: Surface Integrals): Video, Notes
Friday, 7/24--Lesson 21 (17.6 part 2: Surface Integrals): Video, Notes
Monday, 7/27--Lesson 22 (17.6 part 3: Surface Integrals): Video, Notes

Tuesday, 7/28--Lesson 23 (17.7 part 1: Stokes' Theorem): Video, Notes
Thursday, 7/30--Lesson 24 (17.7 part 2: Stokes' Theorem): Video, Notes
Friday, 7/31--Lesson 25 (17.8 part 1: The Divergence Theorem): Video, Notes
Monday, 8/3--Lesson 26 (17.8 part 2: The Divergence Theorem): Video, Notes


Analytic Geometry and Calculus III, MATH 222, Fall 2018

Course information <------ Click here.
Free Textbooks. (Unless you donate)
1. Marsden and Weinstein
2. Openstax
I will refer to the first one as "Mars" and the second one as "Open" in the table below.
Mars has the advantage of being much shorter than Open.
Open has the advantage of being much longer than Mars.
If you can do the HW and the practice tests then you are good to go.
I don't expect you to read more than you feel that you need to solving problems is much more important.

MATLAB Projects.
0. Start here: A gentle introduction
This part is never due, but I strongly encourage you to at least skim it as it may save you a lot of time.
1. First project, Due TBA (Not before the first test): Graphing
2. Second project, Due TBA: Root Finding and Optimization
3. Third project, Due TBA: Integration

Final Exam Locations.

Instructor
Reference Number
Room:
Arash Goligerdian
12053
T 101 - Thompson 101
Jared Hoppis
12055 or 12051
AK 120 - Ackert 120
Luke Langston 12047 or 12056
W 114 - Willard 114
John Pratt
12054
KG 004 - King 004
Jon Rehmert
15960 or 16270
TH 1018 - Throckmorton 1018
Alex Thomson
15565 or 16695
BB 1088 - Business Building 1088
Ilia Zharkov
12050
BB 1070 - Business Building 1070


Week of:

الواجب المنزلي:

Due 7:15 PM on Wednesday of the week in question (unless otherwise indicated)

Final Exam: Wednesday December 12th, 6:20 PM - 8:10

Comments:
1. "40-2" means "40, 41, and 42." "30-38 even" means "30, 32, 34, 36, and 38."
2. The first assignment is due September 2nd.

Other Important Dates:
September 10th: Last day for a full refund for a drop.
September 14th: Last day to change grading option to A/Pass/F.
September 17th: Last day for a 50% refund for a drop.
September 24th: Last day to drop without a "W."
October 26th: Last day to drop. (No refund at this date.)


Chapter 16 -- Vector Calculus

These lesson videos are my in-class lectures for Chapter 16 during the Fall 2013 semester of Calculus III. These were prepared as a resource to be used during my maternity leave in Spring 2014. Please note that these are unedited videos filmed by my student T.A. For some days we used different recording resolutions, so the videos may not be consistent in quality. Each lesson is a playlist of the lecture recorded in shorter segments.

  • Lesson Videos: 16.1 & 16.5 Vector Fields, Curl, and Divergence (playlist)
  • Mathematica Activity: Mathematica "Vector Fields and Mathematica" (PDF)
  • HW: Do 16.1 & 16.5 on Assignment Sheet
  • Print: Scalar/Vector Flash Cards to have ready for class (same as before)
  • Optional Practice: 16.1 Vector Fields Worksheet (solutions)
  • Preview of Chapter: Integration Summary for Vector Calculus (last page of notes)
  • HW Video: 16.1 & 16.5 HW Video

  • Lesson Videos: 16.3 The Fundamental Theorem of Line Integrals
  • HW: Do 16.3 on Assignment Sheet
  • Extra HW Help: 16.3 & 16.4 HW Hints
  • HW Video: 16.3 HW Video

  • Lesson Videos: 16.4 Green's Theorem
  • HW: Do 16.4 on Assignment Sheet
  • Extra HW Help: 16.3 & 16.4 HW Hints
  • HW Video: 16.4 HW Video

  • Lesson Videos: 16.6 Parametric Surfaces
  • Mathematica Activity: Parametric Surfaces (PDF)
  • HW: do 16.6 on Assignment Sheet
  • HW Video: 16.6 HW Video

  • Lesson Videos: 16.7 Surface Integrals
    Note: Surface Integrals Flow Chart added to notes in 2015
  • HW: Do 16.7 on Assignment Sheet
  • HW Video: 16.7 HW Video
  • Extra (keeping link here for my own reference): Another Summary of Integrals (in 16.7 notes too)

  • Integration Summary for Vector Calculus (last page of notes)
  • Chapter 16 Summary
  • Activity. Will be posted via Google Classroom
  • Course Outline Calculus D
  • Calc D Final Study Questions and Test Info
    Note: Test structure still TBD.

The above course notes, assignments, and quizzes are for the Calculus D (SDSU Math 252) classes I teach at Torrey Pines High School. I wrote and modified these notes over several semesters. ال explanations are my own however, I borrowed several examples and diagrams from the textbooks* my classes used while I taught the course. Over time, I have changed some examples and have forgotten which ones came from which sources. Also, I have chosen to keep the notes in my own handwriting rather than type to maintain their informality and to avoid the tedious task of typing so many formulas, equations, and diagrams. These notes are free for use by my current and former students. If other calculus students and teachers find these notes useful, I would be happy to know that my work was helpful. - Abby Brown

**حساب التفاضل والتكامل: التجاوزات المبكرة, 6th & 4th editions, James Stewart, ©2007 & 1999 Brooks/Cole Publishing Company, ISBN 0-495-01166-5 & 0-534-36298-2. (Chapter, section, page, and formula numbers refer to this text.)

*i>Calculus, 5th edition, Roland E. Larson, Robert P. Hostetler, & Bruce H. Edwards, ©1994 D. C. Heath and Company, ISBN 0-669-35335-3.


المنهج

This is a distance class, all the students enrolled in this class should be highly responsible in managing their schedule. This course moves very fast. If you fall behind, even by one section, you may not be able to catch up, since each section generally depends very heavily on the ones before. A student enrolled in this class has to be capable to read and understand the textbook. If in the past you struggled in self-lecturing mathematics, then this is not the class for you and it is highly recommended you switch to a face-to-face class. The instructor expects for the student to read each section of the textbook, watch the videos and read the class-notes before attempting to solve the homework problems. When asking for help you need to show all your work, by typing it on the email (better) or by attaching a scanned copy of your work. When asking for help for a WebWork problem it is recommended you use the button email to the instructor at the bottom of the screen, otherwise you may not get any answer.


المنهج

This is a distance class, all the students enrolled in this class should be highly responsible in managing their schedule. This course moves very fast. If you fall behind, even by one section, you may not be able to catch up, since each section generally depends very heavily on the ones before. A student enrolled in this class has to be capable to read and understand the textbook. If in the past you struggled in self-lecturing mathematics, then this is not the class for you and it is highly recommended you switch to a face-to-face class. The instructor expects for the student to read each section of the textbook, watch the videos and read the class-notes before attempting to solve the homework problems. When asking for help you need to show all your work, by typing it on the email (better) or by attaching a scanned copy of your work. When asking for help for a WebWork problem it is recommended you use the button email to the instructor at the bottom of the screen, otherwise you may not get any answer.


المنهج

This is a distance class, all the students enrolled in this class should be highly responsible in managing their schedule. This course moves very fast. If you fall behind, even by one section, you may not be able to catch up, since each section generally depends very heavily on the ones before. A student enrolled in this class has to be capable to read and understand the textbook. If in the past you struggled in self-lecturing mathematics, then this is not the class for you and it is highly recommended you switch to a face-to-face class. The instructor expects for the student to read each section of the textbook, watch the videos and read the class-notes before attempting to solve the homework problems. When asking for help you need to show all your work, by typing it on the email (better) or by attaching a scanned copy of your work. When asking for help for a WebWork problem it is recommended you use the button email to the instructor at the bottom of the screen, otherwise you may not get any answer.


شاهد الفيديو: ما هو التفاضل (شهر اكتوبر 2021).