مقالات

14.6: التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الأسطوانية والكروية - الرياضيات


أهداف التعلم

  • احسب التكامل الثلاثي بالتغيير إلى إحداثيات أسطوانية.
  • احسب التكامل الثلاثي بالتغيير إلى الإحداثيات الكروية.

أوضحنا سابقًا في هذا الفصل كيفية تحويل تكامل مزدوج في إحداثيات مستطيلة إلى تكامل مزدوج في الإحداثيات القطبية من أجل التعامل بشكل أكثر ملاءمة مع المشكلات التي تتضمن التناظر الدائري. يحدث موقف مشابه مع التكاملات الثلاثية ، لكننا هنا نحتاج إلى التمييز بين التناظر الأسطواني والتماثل الكروي. في هذا القسم نقوم بتحويل التكاملات الثلاثية في الإحداثيات المستطيلة إلى تكامل ثلاثي في ​​إحداثيات أسطوانية أو كروية.

تذكر أيضًا مقدمة الفصل ، والتي أظهرت دار الأوبرا l’Hemisphèric في فالنسيا ، إسبانيا. يتكون من أربعة أقسام ، أحد الأقسام عبارة عن مسرح في كرة بارتفاع خمسة طوابق (كرة) تحت سقف بيضاوي بطول ملعب كرة قدم. يوجد بالداخل شاشة IMAX تحول الكرة إلى قبة سماوية بسماء مليئة (9000 ) بالنجوم المتلألئة. باستخدام التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الكروية ، يمكننا إيجاد أحجام الأشكال الهندسية المختلفة مثل هذه.

مراجعة إحداثيات أسطوانية

كما رأينا سابقًا ، في الفضاء ثنائي الأبعاد ( mathbb {R} ^ 2 ) يمكن تحديد نقطة ذات إحداثيات مستطيلة ((x، y) ) بـ ((r، theta) ) في الإحداثيات القطبية والعكس صحيح ، حيث (x = r ، cos theta )، (y = r ، sin ، theta، ، r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) و ( tan ، theta = left ( frac {y} {x} right) ) هي العلاقات بين المتغيرات.

في الفضاء ثلاثي الأبعاد ( mathbb {R} ^ 3 ) يمكن تحديد نقطة ذات إحداثيات مستطيلة ((x، y، z) ) بإحداثيات أسطوانية ((r، theta، z) ) والعكس صحيح. يمكننا استخدام نفس علاقات التحويل هذه ، بإضافة (z ) كمسافة رأسية إلى النقطة من ((xy ) - المستوى كما هو موضح في ( PageIndex {1} ).

للتحويل من إحداثيات مستطيلة إلى أسطوانية ، نستخدم التحويل

  • (س = r ، كوس ثيتا )
  • (y = r ، sin ، theta )
  • (ض = ض )

للتحويل من إحداثيات أسطوانية إلى مستطيلة ، نستخدم

  • (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) و
  • ( theta = tan ^ {- 1} left ( frac {y} {x} right) )
  • (ض = ض )

لاحظ أن الإحداثيات (z ) - تظل كما هي في كلتا الحالتين.

في المستوى ثنائي الأبعاد بنظام إحداثيات مستطيل ، عندما نقول (x = k ) (ثابت) فإننا نعني خطًا عموديًا غير محدود موازٍ للمحور (y ) - ومتى (y = l ) (ثابت) نعني خط أفقي غير محدود موازٍ لمحور (س ). في نظام الإحداثيات القطبية ، عندما نقول (r = c ) (ثابت) ، فإننا نعني دائرة نصف قطر (ج ) وحدات وعندما ( ثيتا = ألفا ) (ثابت) نعني بلا حدود شعاع يصنع زاوية ( alpha ) مع المحور (x ) - الموجب.

وبالمثل ، في الفضاء ثلاثي الأبعاد بإحداثيات مستطيلة ((س ، ص ، ض) ) المعادلات (س = ك ، ، ص = ل ) و (ض = م ) حيث (ك ، ) ، l ) و (m ) ثوابت ، تمثل مستويات غير محدودة موازية لـ (yz ) - الطائرة ، (xz ) - الطائرة و (xy ) - الطائرة ، على التوالي. بإحداثيات أسطوانية ((r ، theta ، z) ) ، من خلال (r = c ، ، theta = alpha ) ، و (z = m ) ، حيث (c ، alpha ) و (م ) ثوابت ، ونعني أسطوانة عمودية غير محدودة مع المحور z كمحور نصف قطري ؛ طائرة تصنع زاوية ثابتة ( ألفا ) مع (س ص ) - الطائرة ؛ ومستوى أفقي غير محدود موازٍ للمستوى (xy ) على التوالي. هذا يعني أن الأسطوانة الدائرية (x ^ 2 + y ^ 2 = c ^ 2 ) في الإحداثيات المستطيلة يمكن تمثيلها ببساطة كـ (r = c ) في إحداثيات أسطوانية. (راجع الإحداثيات الأسطوانية والكروية لمزيد من المراجعة.)

التكامل في الإحداثيات الأسطوانية

يمكن غالبًا تقييم التكاملات الثلاثية بسهولة باستخدام إحداثيات أسطوانية بدلاً من إحداثيات مستطيلة. يتم سرد بعض المعادلات الشائعة للأسطح في إحداثيات مستطيلة جنبًا إلى جنب مع المعادلات المقابلة في الإحداثيات الأسطوانية في الجدول ( PageIndex {1} ). ستصبح هذه المعادلات مفيدة بينما نواصل حل المشكلات باستخدام التكاملات الثلاثية.

الجدول ( PageIndex {1} ): معادلات بعض الأشكال الشائعة
اسطوانة دائريةمخروط دائريجسم كروىالجسم المكافئ الدوراني
مستطيلي (س ^ 2 + ص ^ 2 = ج ^ 2 ) (ض ^ 2 = ج ^ 2 (س ^ 2 + ص ^ 2) ) (س ^ 2 + ص ^ 2 + ض ^ 2 = ج ^ 2 ) (ض = ج (س ^ 2 + ص ^ 2) )
إسطواني (ص = ج ) (ض = كر ) (ص ^ 2 + ض ^ 2 = ج ^ 2 ) (ض = كر ^ 2 )

كما في السابق ، نبدأ بأبسط منطقة محدودة (B ) في ( mathbb {R} ^ 3 ) لوصف إحداثيات أسطوانية ، في شكل مربع أسطواني ، (B = {(r، theta، z) | a leq r leq b، ، alpha leq theta leq beta، ، c leq z leq d } ) (الشكل ( PageIndex {2} )). لنفترض أننا قسمنا كل فترة زمنية إلى (l ، ، m ) ، و (n ) أقسام فرعية مثل ( Delta r = frac {b cdot a} {l} ، ، Delta theta = frac { beta cdot alpha} {m} ) و ( Delta z = frac {d cdot c} {n} ). ثم يمكننا تحديد التعريف التالي للتكامل الثلاثي في ​​الإحداثيات الأسطوانية.

فريف: تكامل ثلاثي في ​​إحداثيات أسطوانية

ضع في اعتبارك الصندوق الأسطواني (معبرًا عنه بالإحداثيات الأسطوانية)

[B = {(r، theta، z) | a leq r leq b، ، alpha leq theta leq beta، ، c leq z leq d }. ]

إذا كانت الوظيفة (f (r، theta، z) ) مستمرة في (B ) وإذا ((r_ {ijk} ^ *، theta_ {ijk} ^ *، z_ {ijk} ^ * ) ) هي أي نقطة نموذجية في المربع الفرعي الأسطواني (B_ {ijk} = | r_ {i-1} ، r_i | times | theta_ {j-1} ، theta_j | times | z_ {k-1 } ، k_i | ) (الشكل ( PageIndex {2} )) ، ثم يمكننا تحديد تكامل ثلاثي في ​​إحداثيات أسطوانية كحد لمبلغ ثلاثي ريمان ، بشرط وجود الحد التالي:

[ lim_ {l، m، n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ l sum_ {j = 1} ^ m sum_ {k = 1} ^ nf (r_ {ijk} ^ *، theta_ {ijk} ^ *، z_ {ijk} ^ *) Delta r Delta theta Delta z. ]

لاحظ أنه إذا كانت (g (x، y، z) ) هي الوظيفة في إحداثيات مستطيلة ويتم التعبير عن المربع (B ) في إحداثيات مستطيلة ، فإن التكامل الثلاثي

[ iiint_B g (x، y، z) dV ]

يساوي التكامل الثلاثي

[ iiint_B g (r ، cos theta، ، r ، sin ، theta، ، z) r ، dr ، d theta ، dz ]

ونحن لدينا

[ iiint_B g (x، y، z) dV = iiint_B g (r ، cos theta، ، r ، sin ، theta، ، z) r ، dr ، d ثيتا ، dz = iiint_B f (r ، theta ، z) r ، dr ، d theta ، dz. ]

كما ذكرنا في القسم السابق ، تعمل جميع خصائص التكامل المزدوج بشكل جيد في التكاملات الثلاثية ، سواء في الإحداثيات المستطيلة أو الإحداثيات الأسطوانية. هم أيضا يحملون للتكاملات المتكررة. للتكرار ، في الإحداثيات الأسطوانية ، تأخذ نظرية فوبيني الشكل التالي:

نظرية: نظرية فوبيني في الإحداثيات الأسطوانية

افترض أن (g (x، y، z) ) مستمر على مربع مستطيل (B ) والذي عند وصفه في إحداثيات أسطوانية يبدو مثل (B = {(r، theta، z) | a leq r leq b ، ، alpha leq theta leq beta ، ، c leq z leq d } ).

ثم (g (x، y، z) = g (r ، cos theta، r ، sin ، theta، z) = f (r، theta، z) ) و

[ iiint_B g (x، y، z) dV = int_c ^ d int _ { beta} ^ { alpha} int_a ^ bf (r، theta، z) r ، dr ، d theta ، dz. ]

يمكن استبدال التكامل المتكرر بشكل مكافئ بأي واحد من التكاملات الخمسة الأخرى التي تم الحصول عليها من خلال التكامل فيما يتعلق بالمتغيرات الثلاثة في الطلبات الأخرى.

تعمل أنظمة الإحداثيات الأسطوانية بشكل جيد مع المواد الصلبة المتماثلة حول محور ، مثل الأسطوانات والأقماع. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة قبل أن نحدد التكامل الثلاثي في ​​إحداثيات أسطوانية في المناطق الأسطوانية العامة.

مثال ( PageIndex {1} ): تقييم تكامل ثلاثي على صندوق أسطواني

احسب التكامل الثلاثي

[ iiint_B (zr ، sin ، theta) r ، dr ، d theta ، dz ]

حيث يكون المربع الأسطواني (B ) (B = {(r، theta، z) | 0 leq r leq 2، ، 0 leq theta leq pi / 2، ، 0 ، leq z leq 4 }. )

المحلول

كما هو مذكور في نظرية Fubini ، يمكننا كتابة التكامل الثلاثي باعتباره التكامل المتكرر

[ iiint_B (zr ، sin ، theta) r ، dr ، d theta ، dz = int _ { theta = 0} ^ { theta = pi / 2} int_ {r = 0} ^ {r = 2} int_ {z = 0} ^ {z = 4} (zr ، sin ، theta) r ، dz ، dr ، d theta. ]

تقييم التكامل المتكرر واضح ومباشر. كل متغير في التكامل مستقل عن الآخر ، لذا يمكننا دمج كل متغير على حدة وضرب النتائج معًا. هذا يجعل الحساب أسهل بكثير:

[ int _ { theta = 0} ^ { theta = pi / 2} int_ {r = 0} ^ {r = 2} int_ {z = 0} ^ {z = 4} (zr ، sin ، theta) r ، dz ، dr ، d theta = left ( int_0 ^ { pi / 2} sin ، theta ، d theta right) left ( int_0 ^ 2 r ^ 2 dr right) left ( int_0 ^ 4 z ، dz right) = left ( left. - cos theta right | _0 ^ { pi / 2} right) يسار ( يسار. فارك {r ^ 3} {3} يمين | _0 ^ 2 يمين) يسار ( يسار. فارك {z ^ 2} {2} يمين | _0 ^ 4 يمين) = frac {64} {3}. ]

تمرين ( PageIndex {1} ):

قم بتقييم التكامل الثلاثي [ int _ { theta = 0} ^ { theta = pi} int_ {r = 0} ^ {r = 1} int_ {z = 0} ^ {z = 4} rz ، sin ، theta r ، dz ، dr ، d theta. ]

تلميح

اتبع نفس الخطوات كما في المثال السابق.

إجابه

(8)

إذا كانت المنطقة الأسطوانية التي يتعين علينا التكامل عليها هي مادة صلبة عامة ، فإننا ننظر إلى الإسقاطات على مستويات الإحداثيات. ومن ثم التكامل الثلاثي للدالة المستمرة (f (r، theta، z) ) على منطقة صلبة عامة (E = {(r، theta، z) | (r، theta) in D ، u_1 (r، theta) leq z leq u_2 (r، theta) } ) in ( mathbb {R} ^ 3 ) حيث (D ) هو إسقاط (E ) ) على (r ثيتا ) - الطائرة ، هو

[ iiint_E f (r، theta، z) r ، dr ، d theta ، dz = iint_D left [ int_ {u_1 (r، theta)} ^ {u_2 (r، theta) )} و (ص ، ثيتا ، ض) دز يمين] r ، د ، د ثيتا. ]

على وجه الخصوص ، إذا (D = {(r، theta) | G_1 ( ثيتا) leq r leq g_2 ( theta) ، alpha leq theta leq beta } ) ، إذن نحن لديك

[ iiint_E f (r، theta، z) r ، dr ، d theta = int _ { theta = alpha} ^ { theta = beta} int_ {r = g_1 ( theta) } ^ {r = g_2 ( theta)} int_ {z = u_1 (r، theta)} ^ {z = u_2 (r، theta)} f (r، theta، z) r ، dz ، دكتور ، د ثيتا. ]

توجد صيغ مماثلة للإسقاطات على مستويات الإحداثيات الأخرى. يمكننا استخدام الإحداثيات القطبية في تلك المستويات إذا لزم الأمر.

مثال ( PageIndex {2} ): إعداد تكامل ثلاثي في ​​الإحداثيات الأسطوانية على منطقة عامة

ضع في اعتبارك المنطقة (E ) داخل الاسطوانة الدائرية اليمنى مع المعادلة (r = 2 ، sin ، theta ) ، يحدها من الأسفل (r theta ) - المستوى وتحدها الكرة أعلاه مع نصف قطر (4 ) متمركز في الأصل (الشكل 15.5.3). قم بإعداد تكامل ثلاثي فوق هذه المنطقة مع وظيفة (f (r، theta، z) ) في إحداثيات أسطوانية.

المحلول

أولاً ، حدد أن معادلة الكرة هي (r ^ 2 + z ^ 2 = 16 ). يمكننا أن نرى أن حدود (z ) تتراوح من (0 ) إلى (z = sqrt {16 - r ^ 2} ). ثم حدود (r ) هي من (0 ) إلى (r = 2 ، الخطيئة ، ثيتا ). أخيرًا ، حدود ( theta ) من (0 ) إلى ( بي ). ومن هنا تكون المنطقة (E = {(r، theta، z) | 0 leq theta leq pi، ، 0 leq r leq 2 ، sin ، theta، ، 0 leq z leq sqrt {16 - r ^ 2} }. ) إذن ، التكامل الثلاثي هو

[ iiint_E f (r، theta، z) r ، dz ، dr ، d theta = int _ { theta = 0} ^ { theta = pi} int_ {r = 0} ^ {r = 2 ، sin ، theta} int_ {z = 0} ^ {z = sqrt {16-r ^ 2}} f (r، theta، z) r ، dz ، dr ، د ثيتا. ]

تمرين ( PageIndex {2} ):

ضع في اعتبارك المنطقة داخل الاسطوانة الدائرية اليمنى مع المعادلة (r = 2 ، sin ، theta ) يحدها من الأسفل (r theta ) - المستوى ويحدها أعلاه (z = 4 - y ). قم بإعداد تكامل ثلاثي مع وظيفة (f (r، theta، z) ) في إحداثيات أسطوانية.

تلميح

حلل المنطقة وارسم مخططًا.

إجابه

[ iiint_E f (r، theta، z) r ، dz ، dr ، d theta = int _ { theta = 0} ^ { theta = pi} int_ {r = 0} ^ {r = 2 ، sin ، theta} int_ {z = 0} ^ {z = 4-r ، sin ، theta} f (r، theta، z) r ، dz ، دكتور ، د ثيتا. ]

مثال ( PageIndex {3} ): إعداد تكامل ثلاثي بطريقتين

لنفترض أن (E ) هي المنطقة التي يحدها أدناه المخروط (z = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) وما فوقها بالمكافئ (z = 2 - x ^ 2 - y ^ 2 ). (الشكل 15.5.4). قم بإعداد تكامل ثلاثي في ​​إحداثيات أسطوانية لإيجاد حجم المنطقة ، باستخدام أوامر التكامل التالية:

أ. (دز ، د ، د ثيتا )

ب. (د ، دز ، د ثيتا )

المحلول

أ. المخروط نصف قطره 1 حيث يلتقي بالمكافئ. بما أن (z = 2 - x ^ 2 - y ^ 2 = 2 - r ^ 2 ) و (z = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = r ^ 2 ) (بافتراض (r ) ) غير سالب) ، لدينا (2 - r ^ 2 = r ). الحل لدينا (r ^ 2 + r - 2 = (r + 2) (r - 1) = 0 ). منذ (r geq 0 ) ، لدينا (r = 1 ). لذلك (ض = 1 ). إذن ، تقاطع هذين السطحين هو دائرة نصف قطرها (1 ) في المستوى (ض = 1 ). المخروط هو الحد الأدنى لـ (z ) والمكافئ هو الحد الأعلى. إسقاط المنطقة على (xy ) - المستوى هو دائرة نصف القطر (1 ) المتمركزة في الأصل.

وبالتالي ، يمكننا وصف المنطقة على أنها (E = {(r، theta، z) | 0 leq theta leq 2 pi، ، 0 leq r leq 1، ، r leq z leq 2 - r ^ 2 } ).

ومن ثم فإن تكامل الحجم هو

[V = int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int_ {r = 0} ^ {r = 1} int_ {z = r} ^ {z = 2-r ^ 2 } r ، dz ، dr ، d theta. ]

ب. يمكننا أيضًا كتابة السطح المخروطي كـ (r = z ) والمكافئ كـ (r ^ 2 = 2 - z ). الحد الأدنى لـ (r ) هو صفر ، لكن الحد الأعلى يكون أحيانًا المخروط والأوقات الأخرى يكون مكافئًا. تقسم الطائرة (ض = 1 ) المنطقة إلى منطقتين. ثم يمكن وصف المنطقة على أنها [E = {(r، theta، z) | 0 leq theta leq 2 pi، ، 0 leq z leq 1، ، 0 leq r leq z } كوب {(r، theta، z) | 0 leq theta leq 2 pi، ، 1 leq z leq 2، ، 0 leq r leq sqrt {2 - ض} }. ]

الآن يصبح جزء لا يتجزأ من الحجم

[V = int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int_ {z = 0} ^ {z = 1} int_ {r = 0} ^ {r = z} r ، dr ، dz ، d theta + int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int_ {z = 1} ^ {z = 2} int_ {r = 0} ^ {r = sqrt {2-z}} r ، dr ، dz ، d theta. ]

تمرين ( PageIndex {3} ):

أعد المثال السابق بترتيب التكامل (d theta ، dz ، dr ).

تلميح

لاحظ أن ( theta ) مستقل عن (r ) و (ض ).

إجابه

(E = {(r، theta، z) | 0 leq theta leq 2 pi، ، 0 leq z leq 1، ، 0 leq r leq 2 - z ^ 2 } ) و [V = int_ {r = 0} ^ {r = 1} int_ {z = 0} ^ {z = 2 - r ^ 2} int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} r ، d theta ، dz ، dr. ]

مثال ( PageIndex {4} ): البحث عن وحدة تخزين ذات تكاملات ثلاثية بطريقتين

المحلول

أ. لاحظ أن معادلة الكرة هي

[x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 ، text {or} ، r ^ 2 + z ^ 2 = 4 ]

ومعادلة الاسطوانة

[x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ، text {or} ، r ^ 2 = 1. ]

وهكذا لدينا للمنطقة (هـ )

[E = {(r، theta، z) | 0 leq z leq sqrt {4 - r ^ 2}، ، 0 leq r leq 1، ، 0 leq theta leq 2 بي } ]

ومن ثم فإن تكامل الحجم هو

[ begin {align} V (E) = int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int_ {r = 0} ^ {r = 1} int_ {z = 0} ^ {z = sqrt {4-r ^ 2}} r ، dz ، dr ، d theta = int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int_ {r = 0} ^ {r = 1} left [ left> rz right | _ {z = 0} ^ {z = sqrt {4-r ^ 2}} right] dr ، d theta = int_ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int_ {r = 0} ^ {r = 1} left (r sqrt {4 - r ^ 2} right) dr ، d theta = int_0 ^ {2 pi} left ( frac {8} {3} - sqrt {3} right) d theta = 2 pi left ( frac {8} {3} - sqrt {3} right) ، text {وحدات مكعبة.} end {align} ]

ب. بما أن الكرة هي (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 ) ، وهي (r ^ 2 + z ^ 2 = 4 ) ، والأسطوانة هي (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) ، وهو (r ^ 2 = 1 ) ، لدينا (1 + z ^ 2 = 4 ) ، أي (z ^ 2 = 3 ). وبالتالي لدينا منطقتان ، نظرًا لأن الكرة والأسطوانة تتقاطعان عند ((1، sqrt {3}) ) في (rz ) - المستوى

[E_1 = {(r، theta، z) | 0 leq r leq sqrt {4 - r ^ 2}، ، sqrt {3} leq z leq 2، ، 0 leq theta leq 2 pi } ] و

[E_2 = {(r، theta، z) | 0 leq r leq 1، ، 0 leq z leq sqrt {3}، ، 0 leq theta leq 2 pi }. ]

ومن ثم فإن تكامل الحجم هو

[ begin {align} V (E) = int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int_ {z = sqrt {3}} ^ {z = 2} int_ {r = 0} ^ {r = sqrt {4-r ^ 2}} r ، dr ، dz ، d theta + int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int_ { z = 0} ^ {z = sqrt {3}} int_ {r = 0} ^ {r = 1} r ، dr ، dz ، d theta = sqrt {3} pi + يسار ( dfrac {16} {3} - 3 sqrt {3} right) pi = 2 pi left ( frac {8} {3} - sqrt {3} right) ، نص {وحدات مكعبة.} نهاية {محاذاة} ]

تمرين ( PageIndex {4} )

أعد المثال السابق بترتيب التكامل (d theta ، dz ، dr ).

تلميح

يمكن أن يكون الرقم مفيدًا. لاحظ أن ( theta ) مستقل عن (r ) و (ض ).

إجابه

(E_2 = {(r، theta، z) | 0 leq theta leq 2 pi، ، 0 leq r leq 1، ، r leq z leq sqrt {4 - r ^ 2} } ) و

[V = int_ {r = 0} ^ {r = 1} int_ {z = r} ^ {z = sqrt {4-r ^ 2}} int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} r ، d theta ، dz ، dr. ]

مراجعة الإحداثيات الكروية

في الفضاء ثلاثي الأبعاد ( mathbb {R} ^ 3 ) في نظام الإحداثيات الكروية ، نحدد نقطة (P ) بمسافتها ( rho ) من الأصل ، الزاوية القطبية ( theta ) من المحور الموجب (x ) - (كما هو الحال في نظام الإحداثيات الأسطواني) ، والزاوية ( varphi ) من المحور الموجب (z ) والخط (OP ) (الشكل ( PageIndex {6} )). لاحظ أن ( rho> 0 ) و (0 leq varphi leq pi ). (راجع الإحداثيات الأسطوانية والكروية للمراجعة.) الإحداثيات الكروية مفيدة للتكاملات الثلاثية على المناطق المتماثلة فيما يتعلق بالأصل.

تذكر العلاقات التي تربط الإحداثيات المستطيلة بالإحداثيات الكروية.

من الإحداثيات الكروية إلى الإحداثيات المستطيلة:

[x = rho ، sin ، varphi ، cos theta، ، y = rho ، sin ، varphi ، sin ، theta، ، and ، z = rho ، cos ، varphi. ]

من الإحداثيات المستطيلة إلى الإحداثيات الكروية:

[ rho ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2، ، tan ، theta = frac {y} {x}، ، varphi = arccos left ( frac { z} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} right). ]

العلاقات الأخرى التي من المهم معرفتها للتحويلات هي

  • (r = rho ، sin ، varphi )
  • ( theta = theta ) تستخدم هذه المعادلات للتحويل من إحداثيات كروية إلى إحداثيات أسطوانية.
  • (ض = rho ، كوس ، فارفي )

و

  • ( rho = sqrt {r ^ 2 + z ^ 2} )
  • ( theta = theta ) تستخدم هذه المعادلات للتحويل من إحداثيات أسطوانية إلى إحداثيات كروية.
  • ( varphi = arccos left ( frac {z} { sqrt {r ^ 2 + z ^ 2}} right) )

يُظهر ( PageIndex {7} ) بعض المناطق الصلبة التي يسهل التعبير عنها في الإحداثيات الكروية.

التكامل في الإحداثيات الكروية

نقوم الآن بإنشاء تكامل ثلاثي في ​​نظام الإحداثيات الكروية ، كما فعلنا من قبل في نظام الإحداثيات الأسطواني. اجعل الوظيفة (f ( rho، theta، varphi) ) مستمرة في مربع كروي محدد ، (B = {( rho، theta، varphi) | a leq rho leq ب ، ، ألفا ليك ثيتا ليك بيتا ، ، جاما ليك فارفي ليك psi } ). ثم نقسم كل فاصل زمني إلى (l، m، n ) و (n ) تقسيمات فرعية مثل ( Delta rho = frac {b - a} {l}، ، Delta theta = frac { beta - alpha} {m}. ، Delta varphi = frac { psi - gamma} {n} ). يمكننا الآن توضيح النظرية التالية للتكاملات الثلاثية في الإحداثيات الكروية مع كون (( rho_ {ijk} ^ *، theta_ {ijk} ^ *، varphi_ {ijk} ^ *) ) أي نقطة نموذجية في الشكل الكروي المربع الفرعي (B_ {ijk} ). بالنسبة لعنصر وحدة التخزين في المربع الفرعي ( Delta V ) في الإحداثيات الكروية ، لدينا ( Delta V = ( Delta rho) ، ( rho Delta varphi) ، ( rho ، sin ، varphi ، Delta theta) ) ، كما هو موضح في الشكل التالي.

التعريف: تكامل ثلاثي في ​​الإحداثيات الكروية

ال تكامل ثلاثي في ​​الإحداثيات الكروية هو حد مبلغ ريمان الثلاثي ،

[ lim_ {l، m، n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ l sum_ {j = 1} ^ m sum_ {k = 1} ^ nf ( rho_ {ijk} ^ * ، theta_ {ijk} ^ *، varphi_ {ijk} ^ *) ( rho_ {ijk} ^ *) ^ 2 sin ، varphi Delta rho Delta theta Delta varphi ]

بشرط وجود الحد.

كما هو الحال مع التكاملات المتعددة الأخرى التي درسناها ، تعمل جميع الخصائص بشكل مشابه للتكامل الثلاثي في ​​نظام الإحداثيات الكروية ، وكذلك التكاملات المتكررة. تأخذ نظرية فوبيني الشكل التالي.

نظرية: نظرية فوبيني للإحداثيات الكروية

إذا كان (f ( rho، theta، varphi) ) مستمرًا على صندوق صلب كروي (B = [a، b] times [ alpha، beta] times [ gamma، psi] )، من ثم

[ iiint_B f ( rho، theta، varphi) ، rho ^ 2 sin ، varphi d rho ، d varphi ، d theta = int _ { varphi = gamma} ^ { varphi = psi} int _ { theta = alpha} ^ { theta = beta} int _ { rho = a} ^ { rho = b} f ( rho، theta، varphi ) ، rho ^ 2 sin ، varphi ، d rho ، d varphi ، d theta. ]

يمكن استبدال هذا التكامل المتكرر بتكاملات متكررة أخرى عن طريق التكامل فيما يتعلق بالمتغيرات الثلاثة في الطلبات الأخرى.

كما ذكرنا سابقًا ، تعمل أنظمة الإحداثيات الكروية بشكل جيد مع المواد الصلبة المتماثلة حول نقطة ، مثل الكرات والأقماع. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة قبل أن نفكر في التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الكروية في المناطق الكروية العامة.

مثال ( PageIndex {5} ): تقييم تكامل ثلاثي في ​​الإحداثيات الكروية

احسب التكامل الثلاثي المتكرر

[ int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int _ { varphi = 0} ^ { varphi = pi / 2} int _ { rho = 0} ^ { rho = 1} rho ^ 2 sin ، varphi ، d rho ، d varphi ، d theta. ]

المحلول

كما كان من قبل ، في هذه الحالة ، تكون المتغيرات في التكامل المتكرر مستقلة عن بعضها البعض ، وبالتالي يمكننا دمج كل قطعة وضربها:

[ int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ 1 rho ^ 2 sin ، varphi ، d rho ، d varphi ، d theta = int_0 ^ {2 pi} d theta int_0 ^ { pi / 2} sin ، varphi ، d varphi int_0 ^ 1 rho ^ 2 d rho = (2 pi) ، ( 1) ، left ( frac {1} {3} right) = frac {2 pi} {3} ]

يمكن توسيع مفهوم التكامل الثلاثي في ​​الإحداثيات الكروية إلى التكامل على صلب عام ، باستخدام الإسقاطات على مستويات الإحداثيات. لاحظ أن (dV ) و (dA ) يعنيان الزيادات في الحجم والمساحة ، على التوالي. يتم استخدام المتغيرات (V ) و (A ) كمتغيرات للتكامل للتعبير عن التكاملات.

التكامل الثلاثي للدالة المستمرة (f ( rho، theta، varphi) ) فوق منطقة صلبة عامة

[E = {( rho، theta، varphi) | ( rho، theta) in D، u_1 ( rho، theta) leq varphi leq u_2 ( rho، theta) } ]

في ( mathbb {R} ^ 3 ) ، حيث (D ) هو إسقاط (E ) على ( rho theta ) - الطائرة ، هو

[ iiint_E f ( rho، theta، varphi) dV = iint_D left [ int_ {u_1 ( rho، theta)} ^ {u_2 ( rho، theta)} و ( rho، theta، varphi) ، d varphi right] ، dA. ]

على وجه الخصوص ، إذا (D = {( rho، theta) | g_1 ( theta) leq rho leq g_2 ( theta) ، ، alpha leq theta leq beta } ) ، لدينا

[ iiint_E f ( rho، theta، varphi) dV = int _ { alpha} ^ { beta} int_ {g_1 ( theta)} ^ {g_2 ( theta)} int_ {u_1 ( rho، theta)} ^ {u_2 ( rho، theta)} و ( rho، theta، varphi) rho ^ 2 sin ، varphi ، d varphi ، d rho ، د ثيتا. ]

تحدث الصيغ المماثلة للإسقاطات على مستويات الإحداثيات الأخرى.

مثال ( PageIndex {6} ): إعداد تكامل ثلاثي في ​​الإحداثيات الكروية

ضع جزءًا لا يتجزأ من حجم المنطقة التي يحدها المخروط (z = sqrt {3 (x ^ 2 + y ^ 2)} ) ونصف الكرة (z = sqrt {4 - x ^ 2 - y ^ 2} ) (انظر الشكل أدناه).

المحلول

باستخدام صيغ التحويل من الإحداثيات المستطيلة إلى الإحداثيات الكروية ، لدينا:

بالنسبة للمخروط: (z = sqrt {3 (x ^ 2 + y ^ 2)} ) أو ( rho ، cos ، varphi = sqrt {3} rho ، sin ، varphi ) أو ( tan ، varphi = frac {1} { sqrt {3}} ) أو ( varphi = frac { pi} {6} ).

بالنسبة للكرة: (z = sqrt {4 - x ^ 2 - y ^ 2} ) أو (z ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) أو ( rho ^ 2 = 4 ) أو ( rho = 2 ).

وبالتالي ، فإن التكامل الثلاثي للحجم هو

[V (E) = int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int _ { varphi = 0} ^ { varphi + pi / 6} int _ { rho = 0} ^ { rho = 2} rho ^ 2 sin ، varphi ، d rho ، d varphi ، d theta. ]

تمرين ( PageIndex {5} )

قم بإعداد تكامل ثلاثي لحجم المنطقة الصلبة التي يحدها أعلاه الكرة ( rho = 2 ) ويحدها أدناه المخروط ( varphi = pi / 3 ).

تلميح

اتبع خطوات المثال السابق.

إجابه

[V (E) = int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int _ { varphi = 0} ^ { varphi = pi / 3} int _ { rho = 0} ^ { rho = 2} rho ^ 2 sin ، varphi ، d rho ، d varphi ، d theta ]

مثال ( PageIndex {7} ): الترتيب التبادلي للتكامل في الإحداثيات الكروية

لنفترض أن (E ) هي المنطقة التي يحدها أدناه المخروط (z = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) وما فوقها بالكرة (z = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 ) (الشكل 15.5.10). قم بإعداد تكامل ثلاثي في ​​الإحداثيات الكروية وابحث عن حجم المنطقة باستخدام أوامر التكامل التالية:

  1. (د رهو ، د فاي ، د ثيتا )
  2. (د فارفي ، د رهو ، د ثيتا )

المحلول

أ. استخدم معادلات التحويل لكتابة معادلات الكرة والمخروط في إحداثيات كروية.

بالنسبة للكرة:

[ start {align} x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = z rho ^ 2 = rho ، cos ، varphi rho = cos ، varphi. نهاية {محاذاة} ]

للمخروط:

[ start {align} z = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} rho ، cos ، varphi = sqrt { rho ^ 2 sin ^ 2 ، varphi ، cos ^ 2 phi} rho ، cos ، varphi = sqrt { rho ^ 2 sin ^ 2 varphi ، ( cos ^ 2 phi + sin ^ 2 phi) } rho ، cos ، varphi = rho ، sin ، varphi cos ، varphi = sin ، varphi varphi = pi / 4. نهاية {محاذاة} ]

ومن ثم يصبح التكامل لحجم المنطقة الصلبة (E )

[V (E) = int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int _ { varphi = 0} ^ { varphi = pi / 4} int _ { rho = 0} ^ { rho = cos ، varphi} rho ^ 2 sin ، varphi ، d rho ، d varphi ، d theta. ]

ب. ضع في اعتبارك الطائرة ( varphi rho ). لاحظ أن نطاقات ( varphi ) و ( rho ) (من الجزء أ) هي

[ start {align} 0 leq rho sqrt {2} / 2 text {and} ، sqrt {2} leq rho 1 0 leq varphi leq pi / 4 0 leq rho leq cos ، varphi end {align} ]

المنحنى ( rho = cos ، varphi ) يلتقي بالخط ( varphi = pi / 4 ) عند النقطة (( pi / 4، sqrt {2} / 2) ) . وبالتالي ، لتغيير ترتيب التكامل ، نحتاج إلى استخدام قطعتين:

[0 leq rho leq sqrt {2} / 2 ، ، 0 leq varphi leq pi / 4 ] و

[ sqrt {2} / 2 leq rho leq 1، ، 0 leq varphi leq cos ^ {- 1} rho. ]

ومن ثم يصبح التكامل لحجم المنطقة الصلبة (E )

[V (E) = int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int _ { rho = 0} ^ { rho = sqrt {2} / 2} int _ { varphi = 0} ^ { varphi = pi / 4} rho ^ 2 sin ، varphi ، d varphi ، d rho ، d theta + int _ { theta = 0} ^ { ثيتا = 2 pi} int _ { rho = sqrt {2} / 2} ^ { rho = 1} int _ { varphi = 0} ^ { varphi = cos ^ {- 1} rho} rho ^ 2 sin ، varphi ، d varphi ، d rho ، d theta ]

في كل حالة ، ينتج عن التكامل (V (E) = frac { pi} {8} ).

قبل أن ننهي هذا القسم ، نقدم بعض الأمثلة التي يمكن أن توضح التحويل من إحداثيات مستطيلة إلى إحداثيات أسطوانية ومن إحداثيات مستطيلة إلى إحداثيات كروية.

مثال ( PageIndex {8} ): التحويل من إحداثيات مستطيلة إلى إحداثيات أسطوانية

حول التكامل التالي إلى إحداثيات أسطوانية:

[ int_ {y = -1} ^ {y = 1} int_ {x = 0} ^ {x = sqrt {1-y ^ 2}} int_ {z = x ^ 2 + y ^ 2} ^ {z = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} xyz ، dz ، dx ، dy. ]

المحلول

نطاقات المتغيرات هي

[ begin {align} -1 leq y leq y 0 leq x leq sqrt {1 - y ^ 2} x ^ 2 + y ^ 2 leq z leq sqrt {x ^ 2 + ص ^ 2}. نهاية {محاذاة} ]

تصف المتباينتان الأوليان النصف الأيمن من دائرة نصف القطر (1 ). لذلك ، فإن نطاقات ( theta ) و (r ) هي

[- frac { pi} {2} leq theta leq frac { pi} {2} ، text {and} ، 0 leq r leq 1. ]

حدود (z ) هي (r ^ 2 leq z leq r ) ، وبالتالي

[ int_ {y = -1} ^ {y = 1} int_ {x = 0} ^ {x = sqrt {1-y ^ 2}} int_ {z = x ^ 2 + y ^ 2} ^ {z = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} xyz ، dz ، dx ، dy = int _ { theta = - pi / 2} ^ { theta = pi / 2} int_ {r = 0} ^ {r = 1} int_ {z = r ^ 2} ^ {z = r} r (r ، cos theta) ، (r ، sin ، theta) ، ض ، دز ، د ، د ثيتا. ]

مثال ( PageIndex {9} ): التحويل من الإحداثيات المستطيلة إلى الإحداثيات الكروية

تحويل التكامل التالي إلى إحداثيات كروية:

[ int_ {y = 0} ^ {y = 3} int_ {x = 0} ^ {x = sqrt {9-y ^ 2}} int_ {z = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} ^ {z = sqrt {18-x ^ 2-y ^ 2}} (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) dz ، dx ، dy. ]

المحلول

نطاقات المتغيرات هي

[ begin {align} 0 leq y leq 3 0 leq x leq sqrt {9 - y ^ 2} sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} leq z leq الجذر التربيعي {18 - x ^ 2 - y ^ 2}. نهاية {محاذاة} ]

يصف النطاقان الأولان من المتغيرات ربع قرص في الربع الأول من المستوى (xy ). ومن ثم فإن نطاق ( theta ) هو (0 leq theta leq frac { pi} {2} ).

الحد الأدنى (z = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) هو النصف العلوي من المخروط والحد الأعلى (z = sqrt {18 - x ^ 2 - y ^ 2} ) هو النصف العلوي من الكرة. لذلك ، لدينا (0 leq rho leq sqrt {18} ) ، وهو (0 leq rho leq 3 sqrt {2} ).

بالنسبة إلى نطاقات ( varphi ) ، نحتاج إلى إيجاد مكان تقاطع المخروط والكرة ، لذلك حل المعادلة

[ start {align} r ^ 2 + z ^ 2 = 18 ( sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}) ^ 2 + z ^ 2 = 18 z ^ 2 + z ^ 2 = 18 2z ^ 2 = 18 z ^ 2 = 9 z = 3. end {align} ]

هذا يعطي

[ begin {align} 3 sqrt {2} ، cos ، varphi = 3 cos ، varphi = frac {1} { sqrt {2}} varphi = فارك { pi} {4}. نهاية {محاذاة} ]

وضع هذا معًا ، نحصل عليه

[ int_ {y = 0} ^ {y = 3} int_ {x = 0} ^ {x = sqrt {9-y ^ 2}} int_ {z = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} ^ {z = sqrt {18-x ^ 2-y ^ 2}} (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) dz ، dx ، dy = int _ { varphi = 0} ^ { varphi = pi / 4} int _ { theta = 0} ^ { theta = pi / 2} int _ { rho = 0} ^ { rho = 3 sqrt {2}} rho ^ 4 sin ، varphi ، d rho ، d theta ، d varphi. ]

تمرين ( PageIndex {6} ):

استخدم الإحداثيات المستطيلة ، الأسطوانية ، والكروية لإنشاء تكاملات ثلاثية لإيجاد حجم المنطقة داخل الكرة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 ) ولكن خارج الأسطوانة (x ^ 2 +) ص ^ 2 = 1 ).

الجواب: مستطيل

[ int_ {x = -2} ^ {x = 2} int_ {y = - sqrt {4-x ^ 2}} ^ {y = sqrt {4-x ^ 2}} int_ {z = - sqrt {4-x ^ 2-y ^ 2}} ^ {z = sqrt {4-x ^ 2-y ^ 2}} dz ، dy ، dx - int_ {x = -1} ^ {x = 1} int_ {y = - sqrt {1-x ^ 2}} ^ {y = sqrt {1-x ^ 2}} int_ {z = - sqrt {4-x ^ 2 -y ^ 2}} ^ {z = sqrt {4-x ^ 2-y ^ 2}} dz ، dy ، dx. ]

الجواب: أسطواني

[ int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int_ {r = 1} ^ {r = 2} int_ {z = - sqrt {4-r ^ 2}} ^ { z = sqrt {4-r ^ 2}} r ، dz ، dr ، d theta. ]

الجواب: كروي

[ int _ { varphi = pi / 6} ^ { varphi = 5 pi / 6} int _ { theta = 0} ^ { theta = 2 pi} int _ { rho = csc ، varphi} ^ { rho = 2} rho ^ 2 sin ، varphi ، d rho ، d theta ، d varphi. ]

الآن بعد أن أصبحنا على دراية بنظام الإحداثيات الكروية ، فلنجد حجم بعض الأشكال الهندسية المعروفة ، مثل الكرات والأشكال الإهليلجية.

مثال ( PageIndex {10} ): فتاحة الفصل: إيجاد حجم l’Hemisphèric

ابحث عن حجم القبة السماوية الكروية في l'Hemisphèric في فالنسيا ، إسبانيا ، والتي يبلغ ارتفاعها خمسة طوابق ونصف قطرها تقريبًا (50 ) قدمًا ، باستخدام المعادلة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = ص ^ 2 ).

المحلول

نحسب حجم الكرة في الثماني الأول ، حيث (x leq 0 ، ، y leq 0 ) ، و (z leq 0 ) ، باستخدام الإحداثيات الكروية ، ثم نضرب النتيجة في (8 ) للتماثل. نظرًا لأننا نعتبر المنطقة (D ) بمثابة الثماني الأول في التكامل ، فإن نطاقات المتغيرات هي

[0 leq varphi leq frac { pi} {2} ، ، 0 leq rho leq r ، ، 0 leq theta leq frac { pi} {2}. ]

وبالتالي،

[ start {align} V = iiint_D dx ، dy ، dz = 8 int _ { theta = 0} ^ { theta = pi / 2} int _ { rho = 0} ^ { rho = pi} int _ { varphi = 0} ^ { varphi = pi / 2} rho ^ 2 sin ، theta ، d varphi ، d rho ، d varphi = 8 int _ { varphi = 0} ^ { varphi = pi / 2} d varphi int _ { rho = 0} ^ { rho = r} rho ^ 2 d rho int _ { theta = 0} ^ { theta = pi / 2} sin ، theta ، d theta = 8 ، left ( frac { pi} {2} right) ، left ( frac {r ^ 3} {3} right) ، (1) = dfrac {4} {3} pi r ^ 3. end {align} ]

هذا يتطابق تمامًا مع ما عرفناه. لذلك بالنسبة إلى كرة نصف قطرها تقريبًا (50 ) قدمًا ، يكون الحجم ( frac {4} {3} pi (50) ^ 3 حوالي 523،600 ، قدم ^ 3 ).

في المثال التالي ، نجد حجم الشكل الإهليلجي.

مثال ( PageIndex {11} ): إيجاد حجم الشكل البيضاوي

أوجد حجم الشكل البيضاوي ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} + frac {z ^ 2} {c ^ 2} = 1 ) .

المحلول

نستخدم التناظر مرة أخرى ونحسب حجم الشكل الإهليلجي باستخدام الإحداثيات الكروية. كما في السابق ، نستخدم الثماني الأول (x leq 0 ، ، ، y leq 0 ) ، و (z leq 0 ) ثم نضرب النتيجة في (8 ).

في هذه الحالة تكون نطاقات المتغيرات

[0 leq varphi leq frac { pi} {2} ، 0 leq rho leq 1، ، text {and} ، 0 leq theta leq frac { pi } {2}. ]

نحتاج أيضًا إلى تغيير الإحداثيات المستطيلة إلى الكروية بهذه الطريقة:

[x = a rho ، cos ، varphi ، sin ، theta، ، y = b rho ، sin ، varphi ، sin ، theta، ، text {and} ، z = cp ، cos theta. ]

ثم يصبح حجم الشكل الإهليلجي

[ start {align} V = iiint_D dx ، dy ، dz = 8 int _ { theta = 0} ^ { theta = pi / 2} int _ { rho = 0} ^ { rho = 1} int _ { varphi = 0} ^ { varphi = pi / 2} abc ، rho ^ 2 sin ، theta ، d varphi ، d rho ، d theta = 8abc int _ { varphi = 0} ^ { varphi = pi / 2} d varphi int _ { rho = 0} ^ { rho = 1} rho ^ 2 d rho int _ { theta = 0} ^ { theta = pi / 2} sin ، theta ، d theta = 8abc left ( frac { pi} {2} right) left ( frac {1} {3} right) (1) = frac {4} {3} pi abc. نهاية {محاذاة} ]

مثال ( PageIndex {12} ): إيجاد حجم الفضاء داخل شكل إهليلجي وخارجه

أوجد حجم المسافة داخل الشكل البيضاوي ( frac {x ^ 2} {75 ^ 2} + frac {y ^ 2} {80 ^ 2} + frac {z ^ 2} {90 ^ 2} = 1 ) وخارج الكرة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 50 ^ 2 ).

المحلول

ترتبط هذه المشكلة ارتباطًا مباشرًا بالبنية اللمفورية. قد يكون حجم المساحة داخل الشكل الإهليلجي وخارج الكرة مفيدًا في العثور على حساب تدفئة أو تبريد تلك المساحة. يمكننا استخدام المثالين السابقين لحجم الكرة والإهليلجي ثم الاستبدال.

أولاً نجد حجم القطع الناقص باستخدام (a = 75 ) قدم ، (ب = 80 ) قدم ، و (c = 90 ) قدم في النتيجة من المثال. ومن هنا فإن حجم الشكل الإهليلجي هو

[V_ {ellipsoid} = frac {4} {3} pi (75) (80) (90) حوالي 2،262،000 ، قدم ^ 3. ]

من المثال ، حجم الكرة هو

[V_ {sphere} حوالي 523،600 ، قدم ^ 3. ]

لذلك ، فإن حجم المسافة داخل الشكل البيضاوي ( frac {x ^ 2} {75 ^ 2} + frac {y ^ 2} {80 ^ 2} + frac {z ^ 2} {90 ^ 2} = 1 ) وخارج الكرة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 50 ^ 2 ) تقريبًا

[V_ {Hemispheric} = V_ {ellipsoid} - V_ {sphere} = 1،738،400 ، ft ^ 3. ]

مشروع الطالب: بالونات الهواء الساخن

منطاد الهواء الساخن هو هواية مريحة وهادئة يستمتع بها الكثير من الناس. تقام العديد من تجمعات المنطاد حول العالم ، مثل مهرجان البوكيرك الدولي للبالون. يعد حدث البوكيرك أكبر مهرجان لمنطاد الهواء الساخن في العالم ، حيث يشارك أكثر من (500) بالون كل عام.

كما يوحي الاسم ، تستخدم بالونات الهواء الساخن الهواء الساخن لتوليد الرفع. (الهواء الساخن أقل كثافة من الهواء البارد ، لذلك يطفو البالون طالما بقي الهواء الساخن ساخنًا.) تتولد الحرارة عن طريق موقد البروبان المعلق أسفل فتحة السلة. بمجرد إقلاع البالون ، يتحكم الطيار في ارتفاع البالون ، إما باستخدام الموقد لتسخين الهواء والصعود أو باستخدام فتحة تهوية بالقرب من الجزء العلوي من البالون لإطلاق الهواء الساخن والنزول. لا يملك الطيار سوى القليل من التحكم في المكان الذي يذهب إليه المنطاد ، فالمناطيد تحت رحمة الرياح. إن عدم اليقين بشأن المكان الذي سننتهي إليه هو أحد الأسباب التي تجعل من ينجذب المنطاد إلى هذه الرياضة.

في هذا المشروع ، نستخدم التكاملات الثلاثية لمعرفة المزيد عن بالونات الهواء الساخن. نصمم البالون في قطعتين. يتكون الجزء العلوي من البالون من نصف كرة نصف قطرها 28

أقدام. تم تصميم الجزء السفلي من البالون بواسطة فراء مخروط (فكر في مخروط الآيس كريم مع قطع طرف مدبب). يبلغ نصف قطر النهاية الكبيرة للفرن (28 ) قدمًا ونصف قطر النهاية الصغيرة للفرن (28 ) قدمًا. يظهر الرسم البياني لنموذج البالون الخاص بنا ومخطط المقطع العرضي للأبعاد في الشكل التالي.

نريد أولًا إيجاد حجم البالون. إذا نظرنا إلى الجزء العلوي والجزء السفلي من البالون بشكل منفصل ، فسنلاحظ أنهما مواد صلبة هندسية مع صيغ حجم معروفة. ومع ذلك ، لا يزال من المفيد إنشاء وتقييم التكاملات التي نحتاجها لإيجاد الحجم. إذا قمنا بحساب الحجم باستخدام التكامل ، فيمكننا استخدام صيغ الحجم المعروفة للتحقق من إجاباتنا. سيساعد هذا في ضمان إعداد التكاملات بشكل صحيح للمراحل اللاحقة الأكثر تعقيدًا من المشروع.

1. ابحث عن حجم البالون بطريقتين.

أ. استخدم التكاملات الثلاثية لحساب الحجم. ضع في اعتبارك كل جزء من البالون على حدة. (ضع في اعتبارك استخدام الإحداثيات الكروية للجزء العلوي والإحداثيات الأسطوانية للجزء السفلي.)

ب. تحقق من الإجابة باستخدام الصيغ الخاصة بحجم الكرة ، (V = frac {4} {3} pi r ^ 3 ) ، ولحجم المخروط ، (V = frac {1} {3} pi r ^ 2 h ).

في الواقع ، يعد حساب درجة الحرارة عند نقطة داخل البالون مسعى معقدًا للغاية. في الواقع ، فإن فرعًا كاملاً من فروع الفيزياء (الديناميكا الحرارية) مكرس لدراسة الحرارة ودرجة الحرارة. ومع ذلك ، لأغراض هذا المشروع ، سنقوم ببعض الافتراضات المبسطة حول كيفية اختلاف درجة الحرارة من نقطة إلى أخرى داخل البالون. افترض أنه قبل الإقلاع مباشرة ، تختلف درجة حرارة الهواء داخل البالون (بالدرجات فهرنهايت) وفقًا للوظيفة [T_0 (r، theta، z) = frac {z - r} {10} + 210. ]

2. ما هو متوسط ​​درجة حرارة الهواء في البالون قبل الإقلاع مباشرة؟ (مرة أخرى ، انظر إلى كل جزء من البالون على حدة ، ولا تنس تحويل الوظيفة إلى إحداثيات كروية عند النظر إلى الجزء العلوي من البالون.)

الآن يقوم الطيار بتنشيط الموقد لمدة (10 ​​) ثوانٍ. يؤثر هذا الإجراء على درجة الحرارة في (12 ) - عمود بعرض القدم / ارتفاع (20 ) قدم ، مباشرة فوق الموقد. مقطع عرضي للبالون يصور هذا العمود كما هو موضح في الشكل التالي

افترض أنه بعد أن يقوم الطيار بتنشيط الموقد لمدة (10 ​​) ثوانٍ ، فإن درجة حرارة الهواء في العمود الموصوف أعلاه يزيد حسب الصيغة

[H (r، theta، z) = -2z - 48. ]

ثم تُعطى درجة حرارة الهواء في العمود بواسطة [T_1 (r، theta، z) = frac {z - r} {10} + 210 + (-2z - 48)، ]

بينما لا تزال درجة الحرارة في باقي البالون معطاة بواسطة [T_0 (r، theta، z) = frac {z - r} {10} + 210. ]

3. أوجد متوسط ​​درجة حرارة الهواء في البالون بعد أن يقوم الطيار بتنشيط الشعلة لمدة (10 ​​) ثوانٍ.

المفاهيم الرئيسية

  • لتقييم تكامل ثلاثي في ​​الإحداثيات الأسطوانية ، استخدم التكامل المتكرر [ int _ { theta = alpha} ^ { theta = beta} int_ {r = g_1 ( theta)} ^ {r = g_2 ( ثيتا)} int_ {z = u_1 (r، theta)} ^ {u_2 (r، theta)} f (r، theta، z) r ، dz ، dr ، d theta. عدد غير رقم ]
  • لتقييم تكامل ثلاثي في ​​الإحداثيات الكروية ، استخدم التكامل المتكرر [ int _ { theta = alpha} ^ { theta = beta} int _ { rho = g_1 ( theta)} ^ { rho = g_2 ( theta)} int _ { varphi = u_1 (r، theta)} ^ {u_2 (r، theta)} و ( rho، theta، varphi) ، rho ^ 2 sin varphi ، د فارفي ، د rho ، د ثيتا. عدد غير رقم ]

المعادلات الرئيسية

  • تكامل ثلاثي في ​​إحداثيات أسطوانية [ iiint_B g (s، y، z) dV = iiint_B g (r ، cos theta، ، r ، sin ، theta، ، z) r ، dr ، d ثيتا ، dz = iiint_B f (r، theta، z) r ، dr ، d theta ، dz nonumber ]
  • تكامل ثلاثي في ​​الإحداثيات الكروية [ iiint_B f ( rho، theta، varphi) rho ^ 2 sin varphi ، d rho ، d varphi ، d theta = int _ { varphi = gamma} ^ { varphi = psi} int _ { theta = alpha} ^ { theta = beta} int _ { rho = a} ^ { rho = b} f ( rho، theta، varphi) rho ^ 2 sin ، varphi ، d rho ، d varphi ، d theta nonumber ]

قائمة المصطلحات

تكامل ثلاثي في ​​إحداثيات أسطوانية

حد مبلغ ريمان الثلاثي ، بشرط وجود الحد التالي:

[lim_ {l، m، n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ l sum_ {j = 1} ^ m sum_ {k = 1} ^ nf (r_ {ijk} ^ *، theta_ {ijk} ^ *، s_ {ijk} ^ *) r_ {ijk} ^ * Delta r Delta theta Delta z nonumber ]

تكامل ثلاثي في ​​الإحداثيات الكروية

حد مبلغ ريمان الثلاثي ، بشرط وجود الحد التالي:

[lim_ {l، m، n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ l sum_ {j = 1} ^ m sum_ {k = 1} ^ nf ( rho_ {ijk} ^ *، theta_ {ijk} ^ * ، varphi_ {ijk} ^ *) ( rho_ {ijk} ^ *) ^ 2 sin ، varphi Delta rho Delta theta Delta varphi nonumber ]


التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الأسطوانية والكروية

حسنًا ، حتى تعرف التكاملات المزدوجة وكيفية التعامل معها في الإحداثيات القطبية الآن ، حان الوقت لتعلم التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الأسطوانية والكروية. ستجد العديد من الأمثلة التي أشرحها بالتفصيل هنا.


هل تريد معرفة المزيد عن حساب التفاضل والتكامل 3؟ لدي دورة تدريبية خطوة بخطوة لذلك. :)

احسب التكامل الثلاثي في ​​الإحداثيات الأسطوانية.

لنبدأ بتحويل حدود التكامل من إحداثيات مستطيلة إلى إحداثيات أسطوانية ، بدءًا من التكامل الأعمق. ستكون هذه هي حدود التكامل لـ. ض. مما يعني أنها بحاجة إلى حل من أجلها. ض. بمجرد وصولهم إلى إحداثيات أسطوانية. الحد الأعلى. 3. يمكن أن تبقى كما هي منذ ذلك الحين. ض = ض. عندما ننتقل من الإحداثيات المستطيلة إلى الأسطوانية ، ولكن الحد الأدنى يحتاج إلى التحويل باستخدام صيغ التحويل.

باستخدام المتطابقة المثلثية. الخطيئة ^ 2+ cos ^ 2= 1. يمكننا التبسيط إليه

هذا يعني أن حدود التكامل فيما يتعلق. ض. في إحداثيات أسطوانية. [ص ، 3].

بعد ذلك ، سنفعل حدود التكامل للتكامل الأوسط. ستكون هذه هي حدود التكامل لـ. x. مما يعني أنها بحاجة إلى حل من أجلها. ص. بمجرد وصولهم إلى إحداثيات أسطوانية.

يتم إعطاء الحد الأدنى بواسطة

يتم إعطاء الحد الأعلى بواسطة

يبدو أن حدود التكامل لـ. ص. في إحداثيات أسطوانية ستعطى بواسطة. [-3،3]. ومع ذلك ، تذكر ذلك. ص. يمثل نصف القطر أو المسافة من الأصل. ليس من المنطقي أن نقول إننا كذلك. -3. وحدات بعيدة عن الأصل. بدلاً من ذلك ، نقول دائمًا أن الحد الأدنى لـ. ص. يكون . 0. مثل هذا. 0. هو أقرب ما يمكن أن نكونه من الأصل (مباشرة من الأصل) ، و. 3. هو أبعد ما يمكن أن نكون عليه من الأصل. لذا فإن حدود التكامل ل. ص. سوف يكون . [0،3].

أخيرًا ، سنفعل حدود التكامل للتكامل الخارجي. ستكون هذه هي حدود التكامل لـ. ذ. مما يعني أنها بحاجة إلى حل من أجلها. ثيتا. بمجرد وصولهم إلى إحداثيات أسطوانية. ولكن بما أننا ذاهبون. ثيتا. يمكننا فقط افتراض أن الفترة الزمنية. [0،2 pi]. لأن هذا الفاصل يمثل مجموعة كاملة من القيم لـ. ثيتا. وهي الزاوية بين أي نقطة والاتجاه الإيجابي لـ. x. -محور.

بعد ذلك سنستخدم صيغ التحويل لتحويل الوظيفة نفسها إلى إحداثيات أسطوانية.

وضع كل هذا زائد. dV = r dz dr d ثيتا. في التكامل يعطي

. int ^ <2 pi> _0 int ^ 3_ <0> int ^ 3_rrz cos < theta> left (r dz dr d theta right).

. int ^ <2 pi> _0 int ^ 3_ <0> int ^ 3_rr ^ 2z cos < theta> dz dr d theta.

سنحتاج إلى تحويل حدود التكامل ، والدالة نفسها ، و dV من إحداثيات مستطيلة إلى إحداثيات أسطوانية.

نحن نتكامل دائمًا من الداخل إلى الخارج ، مما يعني أننا سنتكامل أولاً فيما يتعلق بـ. ض. معاملة جميع المتغيرات الأخرى على أنها ثوابت.

الآن سوف نتكامل فيما يتعلق. ص. معاملة جميع المتغيرات الأخرى على أنها ثوابت.


14.6: التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الأسطوانية والكروية - الرياضيات

تحتوي هذه الصفحة على الأقسام التالية:

يتم الحصول على إحداثيات أسطوانية من الإحداثيات الديكارتية عن طريق استبدال إحداثيات x و y بالإحداثيات القطبية r وثيتا وترك إحداثيات z دون تغيير.

من الأسهل توصيل الأفكار بمثال. ضع في اعتبارك كائنًا يحده أعلاه مكافئ مكافئ مقلوب z = 16-x ^ 2-y ^ 2 وأدناه بالمستوى xy. افترض أن كثافة الجسم تعطى بواسطة f (x، y، z) = 8 + x + y. ما هي كتلة الجسم؟

الكائن مبين أعلاه. يتم إعطاء الكتلة بالتكامل الثلاثي:

بما أن z يرضي 0 & lt = z & lt = 16-x ^ 2-y ^ 2 ، يصبح التكامل الثلاثي

حيث المنطقة D هي إسقاط R على المستوى xy. يمكن إثبات أن D هو القرص نصف القطر 4 المتمركز في الأصل. (الدائرة x ^ 2 + y ^ 2 = 16 هي نقطة تقاطع الشكل المكافئ والمستوى z = 0).

بسبب التناظر الدائري للكائن في المستوى xy ، فمن الملائم التحويل إلى الإحداثيات القطبية. نجعل الاستبدالات

مع هذه الاستبدالات ، يصبح المكافئ z = 16-r ^ 2 والمنطقة D تعطى بالقيمة 0 & lt = r & lt = 4 و 0 & lt = theta & lt = 2 * pi. ومن ثم ، يتم إعطاء التكامل الثلاثي بواسطة

لاحظ أنه يمكننا تغيير ترتيب تكامل r و theta بحيث يمكن أيضًا التعبير عن التكامل

بحساب التكامل المتكرر ، وجدنا أن كتلة الجسم تساوي 1024 * pi.

في الإحداثيات المستطيلة ، يُعطى عنصر الحجم dV بواسطة dV = dxdydz ، ويتوافق مع حجم منطقة متناهية الصغر بين x و x + dx و y و y + dy و z و z + dz. في الإحداثيات الأسطوانية ، لدينا dV = rdzdrd (ثيتا) ، وهو حجم قطاع متناهي الصغر بين z و z + dz و r و r + dr وثيتا وثيتا + d (ثيتا). كما هو موضح في الصورة ، فإن القطاع يشبه الشكل المكعب تقريبًا. الطول في الاتجاهين r و z هو dr و dz على التوالي. الطول في اتجاه ثيتا هو r * d (ثيتا) ، وهذا ينتج نتيجة الحجم. يمكن أيضًا اشتقاق هذه النتيجة عن طريق اليعقوبي.

بالنسبة لبعض المشاكل ، يجب على المرء أن يتكامل فيما يتعلق بـ r أو ثيتا أولاً. على سبيل المثال ، إذا كانت g_1 (theta، z) & lt = r & lt = g_2 (theta، z) ، إذن

حيث D هو إسقاط R على مستوى theta-z. إذا كانت g_1 (r، z) & lt = theta & lt = g_2 (r، z) ،

حيث D هو إسقاط R على المستوى rz.

تذكر أنه في الإحداثيات الكروية ، توجد نقطة في مساحة xyz تتميز بالإحداثيات الثلاثة rho و theta و phi. ترتبط هذه المعادلات بـ x و y و z

أو بالكلمات: x = rho * sin (phi) * cos (theta) ، y = rho * sin (phi) * sin (theta) ، و z = rho * cos (phi) ، حيث

ضع في اعتبارك المثال التالي: يقع الجسم الصلب بين كرة أو نصف قطر 2 وكرة أو نصف قطر 3 في المنطقة y & gt = 0 و z & gt = 0. أوجد كتلته إذا كانت الكثافة f (x ، y ، z) تساوي المسافة إلى نقطة الأصل.

حيث R هي المنطقة في مساحة xyz التي تحتلها المادة الصلبة.

في الإحداثيات الكروية ، يحتل الجسم المنطقة ذات

يصبح التكاملاند في الإحداثيات الكروية rho. أخيرًا ، يتم إعطاء عنصر الحجم بواسطة

لن نستمد هذه النتيجة هنا. يمكن اشتقاقه عن طريق اليعاقبة. انظر إلى كتاب مدرسي للاشتقاق الهندسي. بتجميع كل شيء معًا ، نحصل على التكامل المتكرر

في هذا المثال ، نظرًا لأن حدود التكامل ثوابت ، يمكن تغيير ترتيب التكامل. بالتكامل فيما يتعلق بـ rho و phi و theta ، نجد أن التكامل يساوي 65 * pi / 4.

بشكل عام ، سيكون للتكاملات في الإحداثيات الكروية حدود تعتمد على 1 أو 2 من المتغيرات. في هذه الحالات ، يكون ترتيب الاندماج مهمًا. لن نتطرق إلى التفاصيل هنا.

لتحويل تكامل من الإحداثيات الديكارتية إلى إحداثيات أسطوانية أو كروية:

(1) عبر عن الحدود بالصيغة المناسبة (2) عبر عن التكامل و من حيث المتغيرات المناسبة (3) اضرب في عنصر الحجم الصحيح


تمارين على التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الأسطوانية والكروية

ممارسه الرياضه. احسب التكاملات المتكررة التالية.

$ (1) quad int_0 ^ < pi> int_0 ^ 2 int_0 ^ < sqrt <4-r ^ 2 >> r sin theta ، dz ، dr ، d theta $

$ (2) quad int_0 ^ < pi / 4> int_0 ^ 1 int_0 ^ < sqrt> r ^ 2 sin theta ، dz ، dr ، d theta $

$ (3) quad int_0 ^ <2 pi> int_0 ^ 4 int_0 ^ 1z r ، dz ، dr ، d theta $

$ (5) quad int_0 ^ < pi / 2> int_0 ^ < pi / 4> int_0 ^ < cos phi> rho ^ 2 sin phi ، d rho ، d ثيتا ، د فاي $

$ (6) quad int_0 ^ < pi / 2> int_0 ^ <2 pi> int_0 ^ 2 cos phi sin phi ، d rho ، d theta ، d phi $


التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الأسطوانية والكروية - عرض تقديمي باستخدام PowerPoint PPT

تذكر أن الإحداثيات الديكارتية والأسطوانية مرتبطة بالصيغ. لنفترض أن منطقة E هي منطقة من النوع 1 وافترض أن إسقاطها D في المستوى xy يمكن ذلك. & ndash عرض PowerPoint PPT

يعد موقع PowerShow.com موقعًا رائدًا لمشاركة العروض التقديمية / عرض الشرائح.سواء كان تطبيقك يتعلق بالعمل ، أو الكيفية ، أو التعليم ، أو الطب ، أو المدرسة ، أو الكنيسة ، أو المبيعات ، أو التسويق ، أو التدريب عبر الإنترنت أو لمجرد التسلية ، فإن موقع PowerShow.com هو مورد رائع. والأفضل من ذلك كله ، أن معظم ميزاته الرائعة مجانية وسهلة الاستخدام.

يمكنك استخدام PowerShow.com للعثور على أمثلة على عروض PowerPoint التقديمية عبر الإنترنت وتنزيلها حول أي موضوع يمكنك تخيله حتى تتمكن من تعلم كيفية تحسين الشرائح والعروض التقديمية مجانًا. أو استخدمه للعثور على عروض تقديمية عالية الجودة لـ PowerPoint وتنزيلها مع شرائح مصورة أو متحركة ستعلمك كيفية القيام بشيء جديد ، مجانًا أيضًا. أو استخدمه لتحميل شرائح PowerPoint الخاصة بك حتى تتمكن من مشاركتها مع المعلمين أو الفصل أو الطلاب أو الرؤساء أو الموظفين أو العملاء أو المستثمرين المحتملين أو العالم. أو استخدمها لإنشاء عروض شرائح صور رائعة حقًا - مع انتقالات ثنائية وثلاثية الأبعاد ورسوم متحركة وخيارات الموسيقى التي يمكنك مشاركتها مع أصدقائك على Facebook أو دوائر Google+. هذا كله مجاني أيضًا!

مقابل رسوم رمزية ، يمكنك الحصول على أفضل خصوصية على الإنترنت في المجال أو الترويج للعروض التقديمية وعروض الشرائح ذات الترتيب الأعلى بشكل عام. لكن بصرف النظر عن ذلك فهو مجاني. سنقوم بتحويل العروض التقديمية وعروض الشرائح إلى تنسيق الفلاش العالمي بكل مجدها الأصلي للوسائط المتعددة ، بما في ذلك الرسوم المتحركة ، وتأثيرات الانتقال ثنائية وثلاثية الأبعاد ، والموسيقى المضمنة أو أي صوت آخر ، أو حتى الفيديو المضمّن في الشرائح. كل هذا مجانا. يمكن مشاهدة معظم العروض التقديمية وعروض الشرائح على PowerShow.com مجانًا ، بل إن الكثير منها مجاني للتنزيل. (يمكنك اختيار ما إذا كنت ستسمح للأشخاص بتنزيل عروض PowerPoint التقديمية الأصلية وعروض شرائح الصور مقابل رسوم أو مجانًا أم لا على الإطلاق.) تحقق من PowerShow.com اليوم - مجانًا. حقا هناك شيء للجميع!

العروض التقديمية مجانًا. أو استخدمه للعثور على عروض تقديمية عالية الجودة لـ PowerPoint وتنزيلها مع شرائح مصورة أو متحركة ستعلمك كيفية القيام بشيء جديد ، مجانًا أيضًا. أو استخدمه لتحميل شرائح PowerPoint الخاصة بك حتى تتمكن من مشاركتها مع المعلمين أو الفصل أو الطلاب أو الرؤساء أو الموظفين أو العملاء أو المستثمرين المحتملين أو العالم. أو استخدمها لإنشاء عروض شرائح صور رائعة حقًا - مع انتقالات ثنائية وثلاثية الأبعاد ورسوم متحركة وخيارات الموسيقى التي يمكنك مشاركتها مع أصدقائك على Facebook أو دوائر Google+. هذا كله مجاني أيضًا!


مثل الإحداثيات الديكارتية (أو المستطيلة) والإحداثيات القطبية ، فإن الإحداثيات الأسطوانية هي مجرد طريقة أخرى لوصف النقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

تذكر أن الإحداثيات الأسطوانية هي بالضبط نفس الإحداثيات القطبية ، فقط في الفضاء ثلاثي الأبعاد بدلاً من الفضاء ثنائي الأبعاد. نظرًا لأن الإحداثيات القطبية في 2D تُعطى كـ. (ص ، ثيتا). تتطلب منا الإحداثيات الأسطوانية فقط إضافة قيمة لـ. ض. لحساب الفضاء ثلاثي الأبعاد ، مما يعني أن الإحداثيات الأسطوانية تُعطى كـ. (ص ، ثيتا ، ض).

أقوم بإنشاء دورات عبر الإنترنت لمساعدتك في تحسين حصة الرياضيات. قراءة المزيد.

مستطيلي الإحداثيات. (س ، ص ، ض).

أين . x. هي المسافة. (س ، ص ، ض). من الأصل على طول. x. -محور

أين . ذ. هي المسافة. (س ، ص ، ض). من الأصل على طول. ذ. -محور

أين . ض. هي المسافة. (س ، ص ، ض). من الأصل على طول. ض. -محور

إسطواني الإحداثيات. (ص ، ثيتا ، ض).

أين . ص. هي المسافة. (ص ، ثيتا ، ض). من الأصل

أين . ثيتا. هي الزاوية بين. ص. (الخط الذي يربط. (r ، theta ، z). إلى الأصل) والاتجاه الإيجابي لـ. x. -محور

أين . ض. هي المسافة. (ص ، ثيتا ، ض). من الأصل على طول. ض. -محور

للتحويل بين الإحداثيات الأسطوانية والإحداثيات المستطيلة ، نستخدم صيغ التحويل


14.6: التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الأسطوانية والكروية - الرياضيات

وصف المحاضرة

محاضرة الفيديو هذه ، جزء من السلسلة متجه حساب التفاضل والتكامل بواسطة البروفيسور كريستوفر تيسديل ، ليس لديه حاليًا وصف تفصيلي وعنوان محاضرة فيديو. إذا كنت قد شاهدت هذه المحاضرة وتعرف ما تدور حوله ، ولا سيما موضوعات الرياضيات التي تمت مناقشتها ، فيرجى مساعدتنا من خلال التعليق على هذا الفيديو مع اقتراحك وصف و لقب. شكرا جزيلا من ،

- فريق CosmoLearning

فهرس المقرر

  1. تطبيقات التكاملات المزدوجة
  2. تكاملات المسار: كيفية التكامل عبر المنحنيات
  3. ما هو الحقل المتجه؟
  4. ما هو الاختلاف؟
  5. ما هو الضفيرة؟
  6. ما هو خط متكامل؟
  7. تطبيقات تكاملات الخط
  8. النظرية الأساسية لتكامل الخط
  9. ما هي نظرية جرين؟
  10. نظرية جرين
  11. الأسطح ذات الحدود المحددة
  12. ما هو تكامل السطح؟ (الجزء الأول)
  13. المزيد عن التكاملات السطحية
  14. التكاملات السطحية وحقول المتجهات
  15. نظرية الاختلاف لغاوس
  16. كيفية حل PDEs عن طريق فصل المتغيرات وسلسلة فورييه
  17. مراجعة المتجهات
  18. مقدمة عن المنحنيات ووظائف المتجه
  19. حدود وظائف المتجهات
  20. حساب دوال المتجهات: متغير واحد
  21. حساب التفاضل والتكامل لدوال المتجهات
  22. دروس وظائف المتجهات
  23. مقدمة عن وظائف متغيرين
  24. حدود وظائف متغيرين
  25. المشتقات الجزئية
  26. المشتقات الجزئية و PDEs البرنامج التعليمي
  27. وظائف متعددة المتغيرات: الرسوم البيانية والحدود
  28. قاعدة سلسلة متعددة المتغيرات وقابلية التفاضل
  29. قاعدة السلسلة: مشتق جزئي من $ arctan (y / x) $ w.r.t. $ x $
  30. قاعدة السلسلة والمشتقات الجزئية
  31. قاعدة السلسلة: الهوية التي تنطوي على مشتقات جزئية
  32. قاعدة سلسلة متعددة المتغيرات
  33. قاعدة لايبنيز: التكامل عن طريق التمايز تحت علامة متكاملة
  34. تقييم تحدي التكاملات عن طريق التمايز: قاعدة لايبنيز
  35. مشتق التدرج والاتجاه
  36. مشتق التدرج والاتجاه
  37. مشتق اتجاهي لـ $ f (x، y) $
  38. تقريب المستوى المماسي وتقدير الخطأ
  39. المستوى المتدرج والظل
  40. المشتقات الجزئية وتقدير الخطأ
  41. متعدد المتغيرات تايلور متعدد الحدود
  42. متعدد الحدود تايلور: وظائف متغيرين
  43. حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات: الحدود وقاعدة السلسلة وطول القوس
  44. النقاط الحرجة للوظائف
  45. كيفية البحث عن النقاط الحرجة للوظائف
  46. كيفية البحث عن النقاط الحرجة للوظائف
  47. الاختبار الاشتقاقي الثاني: متغيرين
  48. حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات: النقاط الحرجة واختبار المشتق الثاني
  49. كيفية البحث عن النقاط الحرجة للوظائف وتصنيفها
  50. مضاعفات لاغرانج
  51. مضاعفات لاغرانج: قيدان
  52. مضاعفات لاجرانج: القيم المتطرفة لوظيفة تخضع لقيد
  53. مثال مضاعفات لاغرانج
  54. مثال مضاعف لاغرانج: تصغير دالة تخضع لقيد
  55. اختبار المشتق الثاني ، مضاعفات الحد الأقصى / الأدنى ، ومضاعفات لاغرانج
  56. مقدمة عن مصفوفة يعقوبية والتفاضل
  57. قاعدة السلسلة اليعقوبية ونظرية الدالة العكسية
  58. مقدمة عن التكاملات المزدوجة
  59. تكاملات مزدوجة على المناطق العامة
  60. التكاملات المزدوجة: الحجم بين سطحين
  61. التكاملات المزدوجة: حجم رباعي السطوح
  62. تكامل مزدوج
  63. تكاملات مزدوجة ومنطقة
  64. التكاملات المزدوجة في الإحداثيات القطبية
  65. عكس الترتيب في التكاملات المزدوجة
  66. التكاملات المزدوجة: عكس ترتيب التكامل
  67. تطبيقات التكاملات المزدوجة
  68. التكاملات المزدوجة والإحداثيات القطبية
  69. تكاملات مزدوجة
  70. Centroid والمزدوج لا يتجزأ
  71. مركز الكتلة والتكاملات المزدوجة والإحداثيات القطبية
  72. ثلاثي متكامل
  73. التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الأسطوانية والكروية
  74. التكاملات الثلاثية ومركز الكتلة
  75. تغيير المتغيرات في التكاملات المزدوجة
  76. تكامل المسار (خط عددي متكامل) من متجه حساب التفاضل والتكامل
  77. مثال على تكامل الخط في الفضاء ثلاثي الأبعاد
  78. خط متكامل من متجه حساب التفاضل والتكامل على منحنى مغلق
  79. مثال خط متكامل من متجه حساب التفاضل والتكامل
  80. تباعد حقل متجه
  81. حليقة حقل متجه (مثال رقم 1)
  82. عقدة حقل متجه (مثال رقم 2)
  83. نظرية الاختلاف لغاوس
  84. مقدمة عن سلسلة فورييه وكيفية حسابها
  85. كيفية حساب سلسلة فورييه: مثال
  86. ما هي سلسلة فورييه؟
  87. سلسلة فورييه
  88. سلسلة فورييه والمعادلات التفاضلية

وصف الدورة التدريبية

في هذه الدورة ، يقدم البروفيسور كريس تيسديل 88 محاضرة بالفيديو حول Vector Calculus. هذه سلسلة من المحاضرات عن "عدة متغيرات حساب التفاضل والتكامل" و "Vector Calculus" ، وهي مادة رياضيات للسنة الثانية تدرس في جامعة نيو ساوث ويلز ، سيدني. توفر قائمة التشغيل هذه لمحة عن بعض المحاضرات التي تم تقديمها في الجلسة 1 ، 2009 والجلسة 1 ، 2011. تركز هذه المحاضرات على تقديم حساب متجه في سياق تطبيقي وهندسي ، مع الحفاظ على الدقة الرياضية. وبالتالي ، قد تكون قائمة التشغيل هذه مفيدة لطلاب الرياضيات ، ولكن أيضًا لطلاب الهندسة والفيزياء والعلوم التطبيقية. هناك تركيز على الأمثلة وكذلك على البراهين. الدكتور كريس تيسديل محاضر أول في الرياضيات التطبيقية.


حساب التفاضل والتكامل APEX

مثلما أعطتنا الإحداثيات القطبية طريقة جديدة لوصف المنحنيات في المستوى ، سنرى في هذا القسم كيف إسطواني و كروي الإحداثيات تعطينا طرقًا جديدة لوصف الأسطح والمناطق في الفضاء.

القسم الفرعي 14.7.1 إحداثيات أسطوانية

باختصار ، يمكن اعتبار الإحداثيات الأسطوانية مزيجًا من أنظمة الإحداثيات القطبية والمستطيلة. يمكن تحديد نقطة ((x_0، y_0، z_0) text <،> ) في إحداثيات مستطيلة ، مع النقطة ((r_0، theta_0، z_0) text <،> ) المعطاة في إحداثيات أسطوانية ، حيث (z ) - القيمة في كلا النظامين هي نفسها ، والنقطة ((x_0، y_0) ) في الطائرة (x ) - (y ) محددة بالنقطة القطبية (P (r_0، theta_0) text <> ) انظر الشكل 14.7.1. بحيث يتم تحديد كل نقطة في الفضاء لا تقع على المحور (z ) - بشكل فريد ، سنقيد (r geq 0 ) و (0 leq theta leq 2 pi text < .> )

نستخدم الهوية (z = z ) جنبًا إلى جنب مع الهويات الموجودة في Key Idea 10.4.6 للتحويل بين الإحداثي المستطيل ((x، y، z) ) والإحداثيات الأسطوانية ((r، theta ، ض) نص <،> ) وهي:

هذه الهويات ، إلى جانب التحويلات المتعلقة بالإحداثيات الكروية ، ترد لاحقًا في Key Idea 14.7.11.

تستخدم صيغ التحويل المستطيلة إلى القطبية (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 text <،> ) مما يسمح بقيم (r ) سالبة. نظرًا لأننا نقيد الآن (r geq 0 text <،> ) يمكننا استخدام (r = sqrt نص <.> )

مثال 14.7.2. التحويل بين الإحداثيات المستطيلة والاسطوانية.

حول النقطة المستطيلة ((2، -2،1) ) إلى إحداثيات أسطوانية ، وقم بتحويل النقطة الأسطوانية ((4،3 pi / 4،5) ) إلى مستطيل.

باتباع الهويات المذكورة أعلاه (ولاحقًا في Key Idea 14.7.11) ، لدينا (r = sqrt <2 ^ 2 + (- 2) ^ 2> = 2 sqrt <2> text <.> ) باستخدام ( tan ( theta) = y / x text <،> ) نجد ( theta = tan ^ <-1> (-2/2) = - pi / 4 text < .> ) نظرًا لأننا نقصر ( theta ) على أن تكون بين (0 ) و (2 بي نص <،> ) قمنا بتعيين ( ثيتا = 7 بي / 4 نص <. > ) أخيرًا ، (z = 1 text <،> ) إعطاء النقطة الأسطوانية ((2 sqrt2،7 pi / 4،1) text <.> )

عند تحويل النقطة الأسطوانية ((4،3 pi / 4،5) ) إلى مستطيل ، لدينا (x = 4 cos big (3 pi / 4 big) = -2 sqrt <2 > text <،> ) (y = 4 sin big (3 pi / 4 big) = 2 sqrt <2> ) and (z = 5 text <،> ) إعطاء نقطة مستطيلة ((- 2 sqrt <2>، 2 sqrt <2>، 5) text <.> )

تعيين كل من (r text <،> ) ( theta ) و (z ) يساوي ثابتًا يحدد السطح في الفضاء ، كما هو موضح في المثال التالي.

مثال 14.7.3. الأسطح المتعارف عليها بإحداثيات أسطوانية.

صف الأسطح (r = 1 text <،> ) ( theta = pi / 3 ) و (z = 2 text <،> ) الواردة في إحداثيات أسطوانية.

تصف المعادلة (r = 1 ) جميع النقاط في الفضاء التي تبعد وحدة واحدة عن المحور (z ). هذا السطح عبارة عن "أنبوب" أو "أسطوانة" نصف قطرها 1 ، تتمحور حول محور (z ) ، كما هو مبيّن في الشكل 11.1.12 (الذي يصف الأسطوانة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) ) في الفضاء).

تصف المعادلة ( theta = pi / 3 ) المستوى الذي تم تشكيله عن طريق تمديد السطر ( theta = pi / 3 text <،> ) كما هو محدد بواسطة الإحداثيات القطبية في (x ) - (ص ) المستوى الموازي لمحور (ض ).

تصف المعادلة (z = 2 ) مستوى جميع النقاط في الفضاء التي تكون وحدتين فوق مستوى (x ) - (y ). هذا المستوى هو نفس المستوى الموصوف بواسطة (z = 2 ) في إحداثيات مستطيلة.

تم رسم الأسطح الثلاثة في الشكل 14.7.4. لاحظ كيف يحدد تقاطعهم النقطة بشكل فريد (P = (1، pi / 3،2) text <.> )

الإحداثيات الأسطوانية مفيدة عند وصف مجالات معينة في الفضاء ، مما يسمح لنا بتقييم التكاملات الثلاثية على هذه المجالات بسهولة أكبر مما لو استخدمنا إحداثيات مستطيلة.

توضح النظرية 14.6.25 كيفية تقييم ( iiint_Dh (x، y، z) ، dV ) باستخدام إحداثيات مستطيلة. في هذا التقييم ، نستخدم (dV = dz ، dy ، dx ) (أو أحد أوامر التكامل الخمسة الأخرى). تذكر كيف أن الحدود على (y ) ، في ترتيب التكامل هذا ، هي "منحنى إلى منحنى" والحدود على (س ) هي "نقطة إلى نقطة": تصف هذه الحدود منطقة (ص ) في الطائرة (س ) - (ص ). يمكننا وصف (R ) باستخدام الإحداثيات القطبية كما هو موضح في القسم 14.3. في هذا القسم ، رأينا كيف استخدمنا (dA = r ، dr ، d theta ) بدلاً من (dA = dy ، dx text <.> )

بالنظر إلى الأفكار المذكورة أعلاه ، لدينا (dV = dz big (r ، dr ، d theta big) = r ، dz ، dr ، d theta text <.> ) وضعنا الحدود على (z ) كـ "سطح إلى سطح" كما حدث في القسم السابق ، ثم استخدم حدود "منحنى إلى منحنى" و "نقطة إلى نقطة" على حدود (r ) و ( ثيتا نص <،> ) على التوالى. أخيرًا ، باستخدام الهويات المذكورة أعلاه ، نقوم بتغيير التكامل و (ح (س ، ص ، ض) ) إلى (ح (ص ، ثيتا ، ض) نص <.> )

يجب أن تبدو هذه العملية معقولة ، حيث تنص النظرية التالية على أنها حقًا طريقة لتقييم التكامل الثلاثي.

نظرية 14.7.5. التكامل الثلاثي في ​​الإحداثيات الأسطوانية.

لنفترض (w = h (r، theta، z) ) أن تكون دالة مستمرة في منطقة مغلقة ومحدودة (D ) في الفضاء ، ومحدودة بإحداثيات أسطوانية بـ ( alpha leq theta leq بيتا نص <،> ) (g_1 ( theta) leq r leq g_2 ( theta) ) و (f_1 (r ، theta) leq z leq f_2 (r ، theta) نص <.> ) ثم

مثال 14.7.6. حساب التكامل الثلاثي بإحداثيات أسطوانية.

أوجد كتلة المادة الصلبة التي تمثلها المنطقة في الفضاء المحاط بـ (z = 0 text <،> ) (z = sqrt <4-x ^ 2-y ^ 2> +3 ) والأسطوانة (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) (كما هو موضح في الشكل 14.7.7) ، مع دالة الكثافة ( دلتا (x ، y ، z) = x ^ 2 + y ^ 2 + z + 1 text <،> ) باستخدام تكامل ثلاثي في ​​إحداثيات أسطوانية. تُقاس المسافات بالسنتيمتر والكثافة تقاس بالجرام / سم (^ 3 نص <.> )

نبدأ بوصف هذه المنطقة من الفضاء بإحداثيات أسطوانية. تم ترك الطائرة (z = 0 ) دون تغيير مع الهوية (r = sqrt text <،> ) نقوم بتحويل نصف الكرة نصف القطر 2 إلى المعادلة (z = sqrt <4-r ^ 2> text <> ) الأسطوانة (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) إلى (r ^ 2 = 4 text <،> ) أو ، بشكل أكثر بساطة ، (r = 2 text <.> ) نقوم أيضًا بتحويل دالة الكثافة: ( delta (r، ) ثيتا ، ض) = ص ^ 2 + ض + 1 نص <.> )

لوصف هذه المادة الصلبة بحدود تكامل ثلاثي ، قمنا بربط (z ) بـ (0 leq z leq sqrt <4-r ^ 2> +3 text <> ) نحن ملزمون (r ) مع (0 leq r leq 2 text <> ) ربطنا ( theta ) بـ (0 leq theta leq 2 pi text <.> )

باستخدام التعريف 14.6.26 والنظرية 14.7.5 ، لدينا كتلة المادة الصلبة

حيث نترك تفاصيل التكامل المزدوج المتبقي للقارئ.

مثال 14.7.8. إيجاد مركز الكتلة بإحداثيات أسطوانية.

أوجد مركز كتلة المادة الصلبة ذات الكثافة الثابتة التي يمكن وصف قاعدتها بالمنحنى القطبي (r = cos (3 theta) ) والتي يتم تحديد قمتها بالمستوى (z = 1-x + 0.1 y text <،> ) حيث تقاس المسافات بالأقدام ، كما هو موضح في الشكل 14.7.9. (تم العثور على حجم هذه المادة الصلبة في المثال 14.3.10.)

نقوم بتحويل معادلة المستوى لاستخدام إحداثيات أسطوانية: (z = 1-r cos ( theta) + 0.1r sin ( theta) text <.> ) وبالتالي فإن المنطقة هي مساحة يحدها (0 leq z leq 1-r cos ( theta) + 0.1r sin ( theta) text <،> ) (0 leq r leq cos (3 theta) text < ،> ) (0 leq theta leq pi ) (تذكر أن منحنى الوردة (r = cos (3 theta) ) تم تتبعه مرة واحدة في ([0، pi] نص <.> )

نظرًا لأن الكثافة ثابتة ، قمنا بتعيين ( دلتا = 1 ) وإيجاد الكتلة يكافئ إيجاد حجم المادة الصلبة. قمنا بإعداد التكامل الثلاثي لحساب هذا ولكن لا نقوم بتقييمه ، نتركه للقارئ للتأكد من أنه يقيم بنفس النتيجة الموجودة في المثال 14.3.10.

من التعريف 14.6.26 قمنا بإعداد التكاملات الثلاثية لحساب اللحظات حول مستويات الإحداثيات الثلاثة. يُترك حساب كل منها للقارئ (يوصى باستخدام التكنولوجيا):

يقع مركز الكتلة ، في إحداثيات مستطيلة ، عند ((- 0.147،0.015،0.467) text <،> ) الذي يقع خارج حدود المادة الصلبة.

القسم الفرعي 14.7.2 الإحداثيات الكروية

باختصار ، يمكن اعتبار الإحداثيات الكروية "تطبيقًا مزدوجًا" لنظام الإحداثيات القطبية. في الإحداثيات الكروية ، يتم تحديد النقطة (P ) بـ (( rho، theta، varphi) text <،> ) حيث ( rho ) هي المسافة من الأصل إلى (P text <،> ) ( theta ) هي نفس الزاوية المستخدمة لوصف (P ) في نظام الإحداثيات الأسطوانية ، و ( varphi ) هي الزاوية بين الموجب (ض ) - المحور والشعاع من الأصل إلى (P text <> ) انظر الشكل 14.7.10. بحيث يتم تحديد كل نقطة في الفضاء لا تقع على المحور (z ) - بشكل فريد ، سنقيد ( rho geq 0 text <،> ) (0 leq theta leq 2 pi ) و (0 leq varphi leq pi text <.> )

الرمز ( rho ) هو الحرف اليوناني "rho". يتم استخدامه تقليديًا في نظام الإحداثيات الكروية ، بينما يتم استخدام (r ) في أنظمة الإحداثيات القطبية والأسطوانية.

تعطي الفكرة الأساسية التالية تحويلات من / إلى أنظمة الإحداثيات المكانية الثلاثة.

الفكرة الرئيسية 14.7.11. التحويل بين الإحداثيات المستطيلة والأسطوانية والكروية.

يختلف دور ( theta ) و ( varphi ) في الإحداثيات الكروية بين علماء الرياضيات والفيزياء. عند القراءة عن الفيزياء في الإحداثيات الكروية ، احرص على ملاحظة كيفية استخدام هذا المؤلف المعين لهذه المتغيرات وإدراك أن هذه الهويات قد لا تكون صالحة بعد الآن.

مثال 14.7.12. التحويل بين الإحداثيات المستطيلة والكروية.

قم بتحويل النقطة المستطيلة ((2، -2،1) ) إلى إحداثيات كروية ، وقم بتحويل النقطة الكروية ((6، pi / 3، pi / 2) ) إلى إحداثيات مستطيلة وأسطوانية.

هذه النقطة المستطيلة هي نفسها المستخدمة في المثال 14.7.2. باستخدام Key Idea 14.7.11 ، نجد ( rho = sqrt <2 ^ 2 + (- 1) ^ 2 + 1 ^ 2> = 3 text <.> ) باستخدام نفس المنطق كما في المثال 14.7. 2 ، نجد ( theta = 7 pi / 4 text <.> ) أخيرًا ، ( cos ( varphi) = 1/3 text <،> ) إعطاء ( varphi = cos ^ <-1> (1/3) حوالي 1.23 نص <،> ) أو حوالي (70.53 ^ circ text <.> ) وبالتالي تكون الإحداثيات الكروية تقريبًا ((3،7 pi / 4،1.23) نص <.> )

تحويل النقطة الكروية ((6، pi / 3، pi / 2) ) إلى مستطيل ، لدينا (x = 6 sin ( pi / 2) cos ( pi / 3) = 3 نص <،> ) (y = 6 sin ( pi / 2) sin ( pi / 3) = 3 sqrt <3> ) و (z = 6 cos ( pi / 2) = 0 نص <.> ) وبالتالي فإن الإحداثيات المستطيلة هي ((3،3 sqrt <3>، 0) text <.> )

لتحويل هذه النقطة الكروية إلى أسطوانية ، لدينا (r = 6 sin ( pi / 2) = 6 text <،> ) ( theta = pi / 3 ) و (z = 6 ) cos ( pi / 2) = 0 text <،> ) إعطاء النقطة الأسطوانية ((6، pi / 3،0) text <.> )

مثال 14.7.13. الأسطح المتعارف عليها في إحداثيات كروية.

صِف الأسطح ( rho = 1 text <،> ) ( theta = pi / 3 ) و ( varphi = pi / 6 text <،> ) الواردة في إحداثيات كروية.

تصف المعادلة ( rho = 1 ) جميع النقاط في الفضاء التي تبعد وحدة واحدة عن الأصل: هذه هي كرة نصف القطر 1 ، المتمركزة في الأصل.

تصف المعادلة ( theta = pi / 3 ) نفس السطح في الإحداثيات الكروية كما هو الحال في الإحداثيات الأسطوانية: بدءًا من السطر ( theta = pi / 3 ) في (x ) - (y ) المستوى كما هو محدد في الإحداثيات القطبية ، قم بتمديد الخط الموازي للمحور (z ) ، لتشكيل مستوى.

تصف المعادلة ( varphi = pi / 6 ) جميع النقاط (P ) في الفضاء حيث يصنع الشعاع من الأصل إلى (P ) زاوية ( pi / 6 ) مع الموجب (ض ) - المحور. يصف هذا المخروط ، مع المحور الموجب (z ) - محور التناظر ، مع نقطة في الأصل.

تم رسم الأسطح الثلاثة في الشكل 14.7.14. لاحظ كيف يحدد تقاطعهم النقطة بشكل فريد (P = (1، pi / 3، pi / 6) text <.> )

الإحداثيات الكروية مفيدة عند وصف مجالات معينة في الفضاء ، مما يسمح لنا بتقييم التكاملات الثلاثية على هذه المجالات بسهولة أكبر مما لو استخدمنا إحداثيات مستطيلة أو إحداثيات أسطوانية. إن جوهر إعداد تكامل ثلاثي في ​​الإحداثيات الكروية يصف بشكل مناسب "كمية صغيرة من الحجم" ، (dV text <،> ) المستخدمة في التكامل.

بالنظر إلى الشكل 14.7.15 ، يمكننا صنع "إسفين كروي" صغير عن طريق تغيير ( rho text <،> ) ( theta ) و ( varphi ) كل كمية صغيرة ، ( Delta rho text <،> ) ( Delta theta ) و ( Delta varphi text <،> ) على التوالي. يكون هذا الإسفين مستطيلًا صلبًا تقريبًا عندما يكون التغيير في كل إحداثي صغيرًا ، مما يعطي حجمًا تقريبًا

بالنظر إلى منطقة (D ) في الفضاء ، يمكننا تقريب حجم (D ) مع العديد من هذه الأوتاد. نظرًا لأن حجم كل من ( Delta rho text <،> ) ( Delta theta ) و ( Delta varphi ) ينتقل إلى الصفر ، يزداد عدد الأوتاد إلى ما لا نهاية وحجم من (د ) هو تقريب أكثر دقة ، عطاء

مرة أخرى ، يجب أن يبدو تطور (dV ) معقولًا ، وتنص النظرية التالية على أنها الطريقة المناسبة لتقييم التكاملات الثلاثية في إحداثيات كروية.

من البديهي بشكل عام تقييم التكامل الثلاثي في ​​النظرية 14.7.16 من خلال التكامل فيما يتعلق بـ ( rho ) أولاً ، غالبًا ما لا يهم ما إذا كنا نتكامل بعد ذلك فيما يتعلق ( ثيتا ) أو ( فارفي text <.> ) تقدم النصوص المختلفة أوامر قياسية مختلفة ، يفضل البعض (d varphi ، d theta ) بدلاً من (d theta ، d varphi text <.> ) كحدود هذه المتغيرات عادة ما تكون ثوابت في الممارسة ، فهي بشكل عام مسألة تفضيل.

نظرية 14.7.16. التكامل الثلاثي في ​​الإحداثيات الكروية.

لنفترض أن (w = h ( rho، theta، varphi) ) تكون دالة مستمرة في منطقة مغلقة ومحدودة (D ) في الفضاء ، ومحدودة في إحداثيات كروية بـ ( alpha_1 leq varphi leq alpha_2 text <،> ) ( beta_1 leq theta leq beta_2 ) و (f_1 ( theta ، varphi) leq rho leq f_2 ( theta ، varphi) نص <.> ) ثم

مثال 14.7.17. تحديد حجم الكرة.

لنفترض أن (D ) هي المنطقة في الفضاء التي يحدها الكرة ، في مركزها في الأصل ، من نصف القطر (r text <.> ) استخدم تكاملًا ثلاثيًا في الإحداثيات الكروية للعثور على الحجم (V ) من (د نص <.> )

مجال نصف القطر (r text <،> ) المتمركز في الأصل ، به معادلة ( rho = r text <.> ) للحصول على الكرة الكاملة ، الحدود على ( ثيتا ) و ( varphi ) هي (0 leq theta leq 2 pi ) و (0 leq varphi leq pi text <.> ) وهذا يقودنا إلى:

الصيغة المألوفة لحجم الكرة. لاحظ كيف كانت خطوات التكامل سهلة ، وليس باستخدام الجذور التربيعية ولا خطوات التكامل مثل الاستبدال.

مثال 14.7.18. إيجاد مركز الكتلة باستخدام الإحداثيات الكروية.

ابحث عن مركز كتلة المادة الصلبة بكثافة ثابتة محاطًا بالأعلى بـ ( rho = 4 ) وأسفل بـ ( varphi = pi / 6 text <،> ) كما هو موضح في الشكل 14.7.19.

سنقوم بإعداد التكاملات الثلاثية الأربعة اللازمة لإيجاد مركز الكتلة (أي لحساب (M نص <،> ) (M_ نص <،> ) (M_) و (م _)) واترك الأمر للقارئ لتقييم كل جزء. بسبب التناظر ، نتوقع أن تكون إحداثيات مركز الكتلة (x ) - و (y ) 0.

بينما يتم إعطاء الأسطح التي تصف المادة الصلبة في بيان المشكلة ، لوصف كامل صلب (D text <،> ) نستخدم الحدود التالية: (0 leq rho leq 4 text <، > ) (0 leq theta leq 2 pi ) و (0 leq varphi leq pi / 6 text <.> ) نظرًا لأن الكثافة ( دلتا ) ثابتة ، فإننا افترض ( دلتا = 1 نص <.> )

لحساب (M_ text <،> ) التكامل هو (x text <> ) باستخدام Key Idea 14.7.11 ، لدينا (x = rho sin ( varphi) cos ( theta) text <. > ) هذا يعطي:

الذي توقعناه كما توقعنا ( overline = 0 نص <.> )

لحساب (M_ text <،> ) التكامل هو (y text <> ) باستخدام Key Idea 14.7.11 ، لدينا (y = rho sin ( varphi) sin ( theta) text <. > ) هذا يعطي:

الذي توقعناه أيضًا كما توقعنا ( overline = 0 نص <.> )

لحساب (M_ text <،> ) التكامل هو (z text <> ) باستخدام Key Idea 14.7.11 ، لدينا (z = rho cos ( varphi) text <.> ) وهذا يعطي:

وبالتالي فإن مركز الكتلة هو ((0،0، M_/ م) تقريبا (0،0،2.799) نص <،> ) كما هو مبين في الشكل 14.7.19.

قدم هذا القسم مقدمة موجزة عن نظامي إحداثيات جديدين مفيدين لتحديد النقاط في الفضاء. يمكن استخدام كل منها لتحديد مجموعة متنوعة من الأسطح في الفضاء خارج الأسطح المتعارف عليها كما تم تقديم كل نظام.

ومع ذلك ، فإن فائدة أنظمة الإحداثيات هذه لا تكمن في مجموعة متنوعة من الأسطح التي يمكنها وصفها ولا في المناطق الموجودة في الفضاء التي قد تحتويها هذه الأسطح. بدلاً من ذلك ، تُستخدم الإحداثيات الأسطوانية في الغالب لوصف الأسطوانات وتستخدم الإحداثيات الكروية في الغالب لوصف المجالات. هذه الأشكال ذات أهمية خاصة في العلوم ، وخاصة في الفيزياء ، والحسابات على / داخل هذه الأشكال صعبة باستخدام الإحداثيات المستطيلة. على سبيل المثال ، في دراسة الكهرباء والمغناطيسية ، غالبًا ما يدرس المرء آثار تيار كهربائي يمر عبر سلك يكون السلك أساسًا أسطوانة ، موصوفة جيدًا بواسطة إحداثيات أسطوانية.

بحث هذا الفصل في المتابعة الطبيعية للمشتقات الجزئية: التكامل المتكرر. تعلمنا كيفية استخدام حدود التكامل المزدوج لوصف منطقة في المستوى باستخدام إحداثيات مستطيلة وإحداثيات قطبية ، ثم تم توسيعها لاحقًا لاستخدام حدود التكامل الثلاثي لوصف منطقة في الفضاء. استخدمنا التكاملات المزدوجة لإيجاد الأحجام تحت الأسطح ، ومساحة السطح ، ومركز كتلة الصفيحة ، استخدمنا التكاملات الثلاثية كطريقة بديلة لإيجاد أحجام مناطق الفضاء وأيضًا لإيجاد مركز كتلة منطقة في الفضاء.

الاندماج لا يتوقف هنا. يمكننا الاستمرار في تكرار تكاملاتنا ، ثم التحقق من "التكاملات الرباعية" التي تصف حدودها منطقة في فضاء رباعي الأبعاد (والتي يصعب تصورها). يمكننا أيضًا الرجوع إلى التكامل "العادي" حيث وجدنا المنطقة الواقعة أسفل منحنى في المستوى. التناظرية الطبيعية لهذا هو إيجاد "المنطقة الواقعة أسفل منحنى" ، حيث يكون المنحنى في الفضاء وليس في المستوى. هذه مجرد طريقتين من العديد من السبل للاستكشاف تحت عنوان "التكامل".

تمارين 14.7.3 تمارين

اشرح الفرق بين الأدوار (r text <،> ) في الإحداثيات الأسطوانية ، و ( rho text <،> ) في الإحداثيات الكروية ، واللعب في تحديد موقع النقطة.

في الشكل الأسطواني ، يحدد (r ) المسافة التي يبعدها المرء عن الأصل في مستوى (س ) - (ص ) قبل التفكير في (ض ) - المكون. بالتساوي ، إذا كانت نقطة في إحداثيات أسطوانية على مستوى (x ) - (y ) في المشاريع ، ستكون (r ) هي مسافة هذا الإسقاط من الأصل.

بشكل كروي ، ( rho ) هي المسافة من الأصل إلى النقطة.

لماذا لا يتم تحديد النقاط على المحور (ض ) بشكل فريد عند استخدام الإحداثيات الأسطوانية والكروية؟

إذا (r = 0 ) أو ( rho = 0 text <،> ) فإن النقطة في كل نظام إحداثي تقع على (z ) - المحور بغض النظر عن قيمة ( theta text <.> )

ما هي الأسطح التي يتم تحديدها بشكل طبيعي باستخدام الإحداثيات الأسطوانية؟

الأسطوانات (الأنابيب) المتمركزة في الأصل ، بالتوازي مع (ض ) - مستويات المحور الموازية للمحور (ض ) - الذي يتقاطع مع (ض ) - مستويات المحور الموازية لـ (س ) - (ص ) الطائرة.

ما هي الأسطح التي يتم تحديدها بشكل طبيعي باستخدام الإحداثيات الكروية؟

المجالات المتمركزة في المستويات الأصلية الموازية للمحور (z ) - المحور الذي يتقاطع مع (z ) - أقماع المحور المتمركزة على (ض ) - المحور مع النقطة في الأصل.

في التدريبات التالية ، يتم إعطاء النقاط إما في أنظمة الإحداثيات المستطيلة أو الأسطوانية أو الكروية. أوجد إحداثيات النقاط في الأنظمة الأخرى.

النقاط في إحداثيات مستطيلة: ((2،2،1) ) و ((- sqrt <3> ، 1،0) )

النقاط في إحداثيات أسطوانية: ((2، pi / 4،2) ) و ((3،3 pi / 2، -4) )

النقاط في الإحداثيات الكروية: ((2، pi / 4، pi / 4) ) و ((1،0،0) )

أسطواني: ((2 sqrt 2، pi / 4،1) ) و ((2،5 pi / 6،0) ) كروي: ((3، pi / 4، cos ^ <-1> (1/3)) ) و ((2،5 pi / 6، pi / 2) )

مستطيل: (( sqrt 2، sqrt 2،2) ) و ((0، -3، -4) ) كروي: ((2 sqrt 2، pi / 4، pi / 4 ) ) و ((5،3 pi / 2، pi- tan ^ <-1> (3/4)) )

مستطيل: ((1،1، sqrt <2>) ) و ((0،0،1) ) أسطواني: (( sqrt <2>، pi / 4، sqrt <2> ) ) و ((0،0،1) )

النقاط في إحداثيات مستطيلة: ((0،1،1) ) و ((- 1،0،1) )

النقاط في إحداثيات أسطوانية: ((0، pi، 1) ) و ((2،4 pi / 3،0) )

النقاط في الإحداثيات الكروية: ((2، pi / 6، pi / 2) ) و ((3، pi، pi) )

أسطواني: ((1، pi / 2،1) ) و ((1، pi، 1) ) كروي: (( sqrt 2، pi / 2، pi / 4) ) و (( sqrt <2>، pi، pi / 4) )

مستطيل: ((0،0،1) ) و ((- 1، - sqrt 3،0) ) كروي: ((1، pi، 0) ) و ((2،4 بي / 3 ، بي / 2) )

مستطيل: (( sqrt 3،1،0) ) و ((0،0، -3) ) أسطواني: ((2، pi / 6،0) ) و ((0، بي ، -3) )

في التمارين التالية ، صِف المنحنى أو السطح أو المنطقة في الفضاء التي تحددها الحدود المحددة.

الحدود بإحداثيات أسطوانية:

(r = 1 text <،> ) (0 leq theta leq 2 pi text <،> ) (0 leq z leq 1 )

(1 leq r leq 2 text <،> ) (0 leq theta leq pi text <،> ) (0 leq z leq 1 )

الحدود في الإحداثيات الكروية:

( rho = 3 text <،> ) (0 leq theta leq2 pi text <،> ) (0 leq varphi leq pi / 2 )

(2 leq rho leq3 text <،> ) (0 leq theta leq2 pi text <،> ) (0 leq varphi leq pi )

سطح أو أنبوب أسطواني ، يتم توسيطه على طول (ض ) - محور نصف القطر 1 ، ويمتد من (س ) - (ص ) حتى المستوى (ض = 1 ) (أي ، يبلغ طول الأنبوب 1).

هذه منطقة من الفضاء ، كونها نصف أنبوب بجدران "سميكة" نصف قطرها الداخلي 1 ونصف قطر خارجي 2 ، تتمحور حول محور (ض ) بطول 1 ، حيث يكون النصف "أسفل" (x ) - (z ) تتم إزالة الطائرة.

هذا هو النصف العلوي من كرة نصف القطر 3 المتمركزة في الأصل (أي ، النصف العلوي من الكرة الأرضية).

هذه منطقة من الفضاء ، حيث تتم إزالة الكرة التي يبلغ نصف قطرها 2 ، المتمركزة في نقطة الأصل ، من الكرة التي يبلغ نصف قطرها 3 ، والمتمركزة في نقطة الأصل.

الحدود بإحداثيات أسطوانية:

(1 leq r leq 2 text <،> ) ( theta = pi / 2 text <،> ) (0 leq z leq 1 )

(r = 2 text <،> ) (0 leq theta leq 2 pi text <،> ) (z = 5 )

الحدود في الإحداثيات الكروية:

(0 leq rho leq2 text <،> ) (0 leq theta leq pi text <،> ) ( varphi = pi / 4 )

( rho = 2 text <،> ) (0 leq theta leq2 pi text <،> ) ( varphi = pi / 6 )

جزء مربع من مستوى (y ) - (z ) بزوايا في ((0،1،0) نص <،> ) ((0،1،1) نص <،> ) ((0،2،1) ) و ((0،2،0) نص <.> )

هذا منحنى ، دائرة نصف قطرها 2 ، تتمركز في ((0،0،5) text <،> ) موازية للطائرة (x ) - (y ) (أي في الطائرة (ض = 5 )).

هذه منطقة من الفضاء ، نصف مخروط صلب ذو قمة مستديرة ، حيث يكون الجزء العلوي المستدير جزءًا من الكرة نصف قطرها 2 متمركزة في الأصل وتكون جوانب المخروط زاوية من ( pi / 4 ) بالمحور الموجب (ض ). الحدود الموجودة على ( ثيتا ) تعني فقط الجزء "أعلاه" من (س ) - (ض ) يتم الاحتفاظ به.

هذا منحنى ، دائرة نصف قطرها 1 متمركزة في ((0،0، sqrt 3) text <،> ) موازية للطائرة (x ) - (y ).

في التدريبات التالية ، يتم عرض المناطق القياسية في الفضاء ، كما هو محدد بواسطة الإحداثيات الأسطوانية والكروية. قم بإعداد التكامل الثلاثي الذي يدمج الدالة المعطاة على المنطقة الرسومية.


CLP-3 حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات

العديد من المشاكل لها تناسق طبيعي. يمكننا أن نجعل عملنا أسهل باستخدام أنظمة إحداثيات ، مثل الإحداثيات القطبية ، المصممة لتلك التماثلات. سننظر في نظامي إحداثيات آخرين - الإحداثيات الأسطوانية والكروية.

القسم الفرعي 3.6.1 إحداثيات أسطوانية

في حالة رغبتنا في حساب ، على سبيل المثال ، كتلة كائن ثابت في ظل التدوير حول (z ) - المحور 1 ، فمن المفيد استخدام التعميم الطبيعي للإحداثيات القطبية إلى ثلاثة أبعاد. يسمى نظام الإحداثيات إحداثيات أسطوانية.

التعريف 3.6.1.

يتم الإشارة إلى الإحداثيات الأسطوانية 2 (r نص <،> ) ( ثيتا ) و (ض ) ويتم تعريفها بواسطة

أي ، (r ) و ( ثيتا ) هما الإحداثيات القطبية المعتادة و (ض ) هو المعتاد (ض نص <.> )

ترتبط الإحداثيات الديكارتية والأسطوانية بـ 3

المعادلة 3.6.2.

فيما يلي رسومات لأسطح ثابتة (r نص <،> ) ثابت ( ثيتا نص <،> ) وثابت (ض نص <.> )

القسم الفرعي 3.6.2 عنصر الحجم في الإحداثيات الأسطوانية

قبل أن نبدأ في التكامل باستخدام هذه الإحداثيات ، نحتاج إلى تحديد عنصر الحجم. تذكر أنه قبل الدمج في الإحداثيات القطبية ، كان علينا إثبات ذلك ( dee = r ، dee، dee < theta> text <.> ) في الحجج التالية نثبت أن ( dee = r ، dee ، دي < ثيتا> ، دي نص <.> )

أولا تقطيعها إلى شرائح أفقية سمك ( دي) باستخدام مستويات ثابتة (ض نص <،> )

ثم تقسيم الألواح إلى أسافين باستخدام أسطح ثابتة ( ثيتا نص <،> ) قل مع الفرق بين ( ثيتا ) المتتالية ( دي < ثيتا> نص <،> )

ثم تقسيم الأوتاد إلى مكعبات تقريبية باستخدام أسطح ثابتة (r text <،> ) قل مع الفرق بين الكينونة المتتالية ( dee نص <،> )

ينتهي بنا الأمر بمكعبات تقريبية تشبه

  • عندما قدمنا ​​شرائح باستخدام أسطح ثابتة (r text <،> ) كان الفرق بين (r ) المتتالية هو ( dee text <،> ) بحيث يكون طول الحافة المشار إليها للمكعب ( dee نص <.> )
  • عندما قدمنا ​​شرائح باستخدام أسطح ثابتة (z text <،> ) كان الفرق بين (z ) المتتالية هو ( dee text <،> ) بحيث يكون طول الحواف الرأسية للمكعب ( dee نص <.> )
  • عندما قدمنا ​​شرائح باستخدام أسطح ثابتة ( theta text <،> ) كان الفرق بين ( theta ) المتتالية ( dee < theta> text <،> ) لذا فإن الحواف المتبقية للمكعب هي أقواس دائرية نصف قطرها أساسًا 4 (r ) تقابل زاوية ( ثيتا نص <،> ) وبالتالي يكون لها طول (r ، دي < ثيتا> نص < .> ) انظر اشتقاق المعادلة 3.2.5.

لذا فإن حجم المكعب التقريبي في الإحداثيات الأسطوانية هو (أساسًا 5)

المعادلة 3.6.3.

القسم الفرعي 3.6.3 عينة من التكاملات في الإحداثيات الأسطوانية

الآن يمكننا استخدام 3.6.3 للتعامل مع متغير للمثال 3.5.1 حيث تكون الكثافة ثابتة في ظل التدوير حول محور (ض ). يتم ضبط الإحداثيات الأسطوانية لتوفير تكاملات أسهل للتقييم عندما يكون التكامل ثابتًا تحت التدوير حول (z ) - المحور ، أو عندما يكون مجال التكامل أسطوانيًا.

مثال 3.6.4.

أوجد كتلة الجسم الصلب المكون من داخل الكرة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 ) إذا كانت الكثافة ( rho (x، y، z) = x ^ 2 + ص ^ 2 نص <.> )

قبل أن نبدأ ، لاحظ أن (x ^ 2 + y ^ 2 ) هو مربع المسافة من ((x ، y ، z) ) إلى (z ) - المحور. وبالتالي فإن كلا من التكامل ، (x ^ 2 + y ^ 2 text <،> ) ومجال التكامل ، (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 le 1 text <،> ) ومن ثم فإن المواد الصلبة الخاصة بنا ثابتة تحت التدوير حول (ض ) - المحور 6. هذا يجعل هذا التكامل مرشحًا جيدًا للإحداثيات الأسطوانية.

مرة أخرى ، من خلال التناظر ، ستكون الكتلة الكلية للكرة ثمانية أضعاف الكتلة في الثماني الأول. سنقطع الجزء الثماني الأول من الكرة إلى قطع صغيرة باستخدام إحداثيات أسطوانية. أي أننا سنقطعها باستخدام مستويات ثابتة (ض نص <،> ) مستويات ثابتة ( ثيتا نص <،> ) وأسطح ثابتة (ص نص <.> )

قم أولاً بتقسيم الكرة (الجزء الثماني الأول من) إلى ألواح أفقية عن طريق إدخال العديد من المستويات الثابتة (z text <،> ) بقيم مختلفة لـ (z ) تختلف بـ ( دي text <.> ) يوضح الشكل الموجود على اليسار أدناه جزء من لوحة واحدة في الثماني الأول المحدد باللون الأحمر. كل طبق

  • له سمك ( دي نص <،> )
  • له (ض ) ثابتًا بشكل أساسي على اللوحة ، و
  • به ((x، y) ) يعمل على (x ge 0 text <،> ) (y ge 0 text <،> ) (x ^ 2 + y ^ 2 le 1 -z ^ 2 text <.> ) في الإحداثيات الأسطوانية ، يمتد (r ) من (0 ) إلى ( sqrt <1-z ^ 2> ) و ( ثيتا ) يبدأ من (0 ) إلى ( frac < pi> <2> text <.> )
  • تحتوي اللوحة السفلية ، بشكل أساسي ، على (z = 0 ) واللوحة العلوية ، بشكل أساسي ، (z = 1 text <.> ) انظر الشكل على اليمين أدناه.

حتى الآن ، يبدو هذا تمامًا مثل ما فعلناه في المثال 3.5.1.

ركز على أي طبق واحد. قسّمها إلى أسافين بإدخال العديد من المستويات الثابتة ( ( ثيتا ) مع اختلاف قيم ( ثيتا ) حسب ( دي < ثيتا> نص <.> ) يوضح الشكل الموجود على اليسار أدناه أحد هذه الإسفين المحدد باللون الأزرق. كل إسفين

  • لديه (ض ) و ( ثيتا ) بشكل أساسي ثابت على الإسفين ، و
  • لديه (r ) يعمل على (0 le r le sqrt <1-z ^ 2> text <.> )
  • يحتوي الإسفين الموجود في أقصى اليسار ، بشكل أساسي ، على ( theta = 0 ) والإسفين الموجود في أقصى اليمين ، بشكل أساسي ، ( theta = frac < pi> <2> text <.> ) انظر الشكل الموجود على اليمين أقل.

ركز على أي إسفين. قسّمها إلى مكعبات صغيرة تقريبية عن طريق إدخال العديد من الأسطح الثابتة (r text <،> ) بقيم مختلفة لـ (r ) تختلف بـ ( دي text <.> ) يوضح الشكل الموجود على اليسار أدناه الجزء العلوي من مكعب واحد تقريبي باللون الأسود. كل مكعب

  • لديه حجم (r ، dee ، دي < ثيتا> ، دي text <،> ) بنسبة 3.6.3 ، و
  • لديه (r text <،> ) ( theta ) و (z ) كلها ثابتة بشكل أساسي على المكعب.
  • يحتوي المكعب الأول ، بشكل أساسي ، على (r = 0 ) والمكعب الأخير ، بشكل أساسي ، (r = sqrt <1-z ^ 2> text <.> ) انظر الشكل على اليمين أدناه.

الآن يمكننا بناء الكتلة.

ركز على مكعب واحد تقريبي. لنفترض أنه يحتوي على النقطة ذات الإحداثيات الأسطوانية (r text <،> ) ( theta ) و (z text <.> )

  • يحتوي المكعب على حجم أساسي ( dee= r ، dee ، دي < ثيتا> ، دي) و
  • ذات كثافة أساسية ( rho (x، y، z) = rho (r cos theta، r sin theta، z) = r ^ 2 ) وهكذا
  • أساسًا له كتلة (r ^ 3 ، dee ، دي < ثيتا> ، دي text <.> ) (تعرف على مدى روعة نظام الإحداثيات الصحيح!)

على سبيل المقارنة فقط ، هذا هو التكامل في الإحداثيات الديكارتية الذي يعطي الكتلة في أول ثماني. (وجدنا حدود التكامل في المثال 3.5.1.)

في المثال التالي ، نحسب لحظة القصور الذاتي لمخروط دائري قائم. كان التعريف 3.3.13 من لحظة القصور الذاتي مقصورًا على بعدين. ومع ذلك ، كما أشير في ذلك الوقت ، فإن نفس التحليل يمتد بشكل طبيعي إلى التعريف

المعادلة 3.6.5.

من لحظة القصور الذاتي للصلب ( cV ) في ثلاثة أبعاد. هنا

  • ( rho (x ، y ، z) ) هي كثافة كتلة المادة الصلبة عند النقطة ((x ، y ، z) ) و
  • (D (x، y، z) ) هي المسافة من ((x، y، z) ) إلى محور الدوران.
مثال 3.6.6.

أوجد لحظة القصور الذاتي لمخروط دائري قائم

حول محور من خلال الرأس (أي طرف المخروط) وموازٍ للقاعدة.

هنا رسم تخطيطي للمخروط.

دعونا نختار نظام إحداثيات مع

  • الرأس في الأصل ،
  • المخروط المتماثل حول (ض ) - المحور و
  • محور الدوران هو المحور (ص ).

سنستخدم 3.6.5 لإيجاد لحظة القصور الذاتي. في المشكلة الحالية ، محور الدوران هو محور (ص ). النقطة الموجودة على المحور (y ) - الأقرب إلى ((x، y، z) ) هي ((0، y، 0) ) بحيث تكون المسافة من ((x، y، ض) ) للمحور فقط

المواد الصلبة لدينا لها كثافة وكتلة ثابتة (M نص <،> ) لذلك

تم اشتقاق حجم المخروط في المثال 1.6.1 من نص CLP-2 وفي التذييل B.5.2 من نص CLP-1. لكن بسبب التشابه بين ( text( cV) = tripInt_ cV دي ، دي ، دي) والتكامل ( tripInt_ cV (x ^ 2 + z ^ 2) dee ، دي ، دي text <،> ) التي نحتاجها لحساب (I_ cA text <،> ) من السهل إعادة إنشاء صيغة الحجم وسنفعل ذلك.

سنحسب التكاملات أعلاه باستخدام إحداثيات أسطوانية.

ابدأ بتقطيع المخروط إلى ألواح أفقية بإدخال العديد من المستويات الثابتة (z text <،> ) مع اختلاف القيم المختلفة لـ (z ) بـ ( dee نص <.> )

بمثلثات متشابهة ، كما في الشكل على اليمين أدناه ، القرص في الارتفاع (ض ) له نصف قطر (ص ) يطيع

ركز الآن على أي طبق واحد. قسّمها إلى أسافين بإدخال العديد من المستويات الثابتة ( theta text <،> ) مع اختلاف القيم المختلفة لـ ( theta ) بـ ( دي < ثيتا> نص <.> )

ركز على أي إسفين. قسّمها إلى مكعبات صغيرة تقريبية 7 عن طريق إدخال العديد من الأسطح الثابتة (r text <،> ) بقيم مختلفة لـ (r ) تختلف بـ ( دي text <.> ) كل مكعب


شاهد الفيديو: Triple Integrals in Rectangular Coordinates + Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coor (شهر اكتوبر 2021).