مقالات

2.7: صحة الحجج والأخطاء الشائعة - الرياضيات


2.7: صحة الحجج والأخطاء الشائعة - الرياضيات

السؤال الضمني المنطقي والحجج الصحيحة

الوسيطة التالية صالحة: $ [[p lor (q lor r)] land neg q] rightarrow (p lor r) $. حدد صفوف الجدول الحاسمة لتقييم صحة الوسيطة والصفوف التي يمكن تجاهلها.

$ تبدأ p & amp q & amp r & amp neg q & amp q lor r & amp p lor (q lor r) & amp [[p lor (q lor r)] land neg q] & amp p lor r hline 0 & amp 0 & amp 0 & amp 1 & amp 0 & amp 0 & amp 0 & amp 0 & amp 0 0 & amp 0 & amp 1 & amp 1 & amp 1 & amp 1 & amp 1 & amp 1 0 & amp 1 & amp 0 & amp 0 & amp 1 & amp 1 & amp 0 & amp 0 0 & amp 1 & amp 1 & amp 0 & amp 1 & amp 1 & amp 1 & amp 0 & amp 1 1 & amp 0 & amp 0 & amp 1 & amp 0 & amp 1 & amp 1 & amp 1 1 & amp 0 & amp 1 & amp 1 & amp 1 & amp 1 & amp 1 & amp 1 1 & amp 1 & amp 0 & amp 0 & amp 1 & amp 1 & amp 0 & amp 1 1 & amp 1 & amp 1 & amp underbrace <0> _ < text> & amp 1 & amp underbrace <1> _ < text> & amp 0 & amp underbrace <1> _ < text> النهاية $

لذا فإن الصفوف 2 و 5 و 6 ضرورية لتقييم صحة الوسيطة ، نظرًا لأن لدينا المقدمات المنطقية والاستنتاج 1 $ في هذه الصفوف.

بعد هذا التمرين ، لدي بعض الأسئلة ، لأن النص الذي أستخدمه لا يغطي هذه التفاصيل حقًا.


2.7: الحجج الاستقرائية

  • جايسون ساوثوورث وكريس سويير
  • أستاذ (فلسفة) في جامعة ولاية فورت هايز وجامعة أوكلاهوما

سوف ندرس الحجج الاستقرائية بالتفصيل في فصل لاحق ، لذلك سننظر فيها بإيجاز هنا. نتحدث عن الحجج الاستقرائية من حيث القوة والضعف.

الحجة حثي قوي فقط في حالة:

  1. انها ليست صالحة بشكل استنتاجي ، و
  2. إذا كانت جميع مقدماتها صحيحة ، فهناك احتمال كبير أن استنتاجها سيكون صحيحًا أيضًا.

العنصر الثاني هو المهم. النقطة الوحيدة للعنصر الأول هي التأكد من عدم وجود حجة صحيحة بشكل استنتاجي و قوي استقرائيًا (هذا سيجعل الأمور أسهل بالنسبة لنا في فصول لاحقة).

هناك طريقتان مهمتان تختلف فيهما القوة الاستقرائية عن الصلاحية الاستنتاجية:

  1. على عكس الصلاحية الاستنتاجية ، القوة الاستقرائية يأتي بالدرجات.
  2. في حجة صالحة استنتاجيًا ، لا يحتوي الاستنتاج على أي معلومات لم تكن موجودة بالفعل في المبنى. على النقيض من ذلك ، في حجة قوية بشكل استقرائي ، فإن الاستنتاج يحتوي على معلومات جديدة.

حجة استنتاجية صحيحة مع كل المقدمات الحقيقية يجب استنتاج حقيقي. على النقيض من ذلك ، توفر حجة قوية استقرائية مع مقدمات حقيقية أسبابًا جيدة ، ولكن ليست قاطعة ، لاستنتاجها.

نظرًا لأننا حددنا أشياء مثل أن الحجج القوية الاستقرائية ليست صالحة بشكل استنتاجي ، فيمكننا التفكير في الحجج على أنها مرتبة على طول سلسلة متصلة من القوة التنازلية:

  1. صالح حسميا
  2. باطل استنتاجي
    1. حثي قوي
    2. ضعيف حثي
    3. عديم القيمة

    عام وخاص

    ليس من غير المألوف (خاصة إذا كنت تحاول تعلم المنطق باستخدام YouTube) أن ترى حججًا صحيحة استنتاجيًا موصوفة على أنها تنطلق من الحجج العامة إلى الخاصة ، والحجج القوية الاستقرائية التي تنطلق من الخاص إلى العام. هذه ليست طريقة جيدة للتفكير في هذين النوعين من الحجج ، ومفاهيم العمومية والخصوصية ليست ذات صلة بالمفهومين على الإطلاق. إليك حجة صحيحة استنتاجيًا تنتقل من فرضيات أكثر تحديدًا إلى استنتاج أكثر عمومية:

    إذن ، كل الأعداد الفردية بين 2 و 6 هي أعداد أولية.

    وهنا حجة استقرائية قوية تنتقل من فرضية أكثر عمومية إلى استنتاج أكثر تحديدًا.

    ومن ثم ، فإن الغراب التالي الذي سيتم ملاحظته سيكون أسود.

    أسباب صالحة استنتاجيًا وقوية استنتاجيًا

    في بعض الأحيان يكون من الطبيعي التحدث عن الأسباب بدلاً من الحجج. تقدم مجموعة من الجمل أسبابًا صحيحة استنتاجيًا لاستنتاج فقط في حالة استحالة أن تكون جميعها صحيحة والاستنتاج خاطئ. تحتوي الأسباب الصحيحة على هذه الميزة لأنه لا توجد معلومات في الاستنتاج لم تكن موجودة بالفعل في الأسباب نفسها

    أسباب قوية حثيًا: توفر مجموعة الجمل أسبابًا قوية استقرائيًا لاستنتاج فقط في حالة عدم احتمال أن تكون جميعها صحيحة والاستنتاج خاطئ. إذا كانت مجموعة من الأسباب القوية الاستقرائية للاستنتاج صحيحة ، فهناك فرصة جيدة أن تكون النتيجة صحيحة أيضًا ، ولكن لا يزال هناك احتمال أن تكون خاطئة. الأسباب القوية الاستقرائية لا تحافظ دائمًا على الحقيقة. هناك قفزة استقرائية من الأسباب إلى الاستنتاج. يأتي الدعم الاستقرائي بدرجات متفاوتة كلما كانت الأسباب الاستقرائية أقوى ، كلما كانت القفزة الاستقرائية أقل خطورة.


    8 قواعد القياس

    ان جدال يتكون من اثنين أو أكثر من المقترحات المقدمة كدليل على اقتراح آخر. في المنطق والتفكير النقدي ، تسمى الافتراضات المقدمة كدليل في الحجة بـ مقدمات، في حين أن الاقتراح الذي يتم تقديم الدليل من أجله يسمى استنتاج. وهكذا ، عندما يقدم المرء حجة ، فإنه يقدم مجموعة من المقدمات كأسباب لقبول استنتاجه. من المهم أن نلاحظ أنه عندما يقدم المرء حجة ، لا يهاجم المرء أو ينتقد الآخر بالضرورة. بهذه الطريقة ، يمكن أيضًا اعتبار الحجة بمثابة دعم لوجهة نظر شخص ما.

    أنواع الحجج

    يمكن أن تكون الحجج إما استقرائية أو استنتاجية. من ناحية أخرى ، فإن ملف حجة استقرائية هو الذي يُزعم فيه أنه إذا كانت المقدمات صحيحة ، فمن المحتمل أن يكون الاستنتاج صحيحًا. ومن ثم ، حتى لو كانت جميع المقدمات المنطقية صحيحة ، فإن الحجة أو الاستدلال الاستقرائي يسمحان بأن تكون النتيجة خاطئة. من المهم أيضًا ملاحظة أن الحجج الاستقرائية تنتقل من الخاص (أو الخاص) إلى العام. بعبارة أخرى ، تقدم الحجج الاستقرائية تعميمات واسعة من ملاحظات محددة. النظر في المثال أدناه.

    90٪ من بذور المونجو تنبت في اليوم الأول.
    وفي اليوم الثاني ، تنبت 90٪ من بذور المونجو.
    لذلك ، 90٪ من بذور المونجو تنبت.

    بناءً على المثال أعلاه ، يمكننا أيضًا أن نقول أن الحجج الاستقرائية تستند إلى الملاحظات أو التجارب.

    الحجج الاستنتاجية، من ناحية أخرى ، هو الذي يُزعم فيه أنه إذا كانت المقدمات صحيحة ، فإن الاستنتاج صحيح بالضرورة. وعلى عكس الحجج الاستقرائية ، تنتقل الحجج الاستنتاجية من العام إلى الخاص. وهكذا ، تبدأ الحجة أو الاستدلال الاستنتاجي ببيان عام أو فرضية ثم "يفحص الاحتمالات للوصول إلى نتيجة منطقية محددة". [1] دعونا ننظر في المثال أدناه.

    كل من يقتل شخصا يكون مذنبا بارتكاب جناية.
    جيم يقتل جاك.
    لذلك ، فإن جيم مذنب بارتكاب جناية.

    القياس هي حجج تتكون من ثلاث افتراضات مرتبطة ببعضها البعض بحيث أنه عندما يتم افتراض أن الافتراضين الأولين (أي المقدمات) صحيح ، فإن الافتراض الثالث (أي الاستنتاج) يجب أن يكون صحيحًا أيضًا. بمعنى آخر ، القياس المنطقي هو حجة مرتبة بطريقة محددة بطريقة تحتوي على مقدمة رئيسية وفرضية ثانوية واستنتاج. ضع في اعتبارك المثال الكلاسيكي للقياس المنطقي القاطع أدناه.

    كل الرجال بشر.
    سقراط رجل.
    لذلك ، سقراط مميت.

    كيف نحدد فرضية رئيسية, فرضية طفيفة، و ال استنتاج?

    الفرضية الرئيسية هي المقدمة التي تحتوي على المصطلح الرئيسي ، في حين أن المقدمة الثانوية هي المقدمة التي تحتوي على المصطلح الثانوي. الاستنتاج هو الاقتراح الثالث الذي يتضمن معناها وحقيقتها في المقدمات.

    كيف نحدد مصطلح رئيسي, مصطلح ثانوي، و ال حد أوسط?

    المصطلح الرئيسي هو مسند الاستنتاج ، بينما المصطلح الثانوي هو موضوع الاستنتاج. المصطلح الأوسط هو المصطلح المتبقي الذي لا يظهر (ولا يمكن) أن يظهر في الخاتمة.

    إذا نظرنا إلى المثال أعلاه ، فإننا نعلم أن المصطلح الرئيسي هو "مميت" لأنه مسند الاستنتاج والمصطلح الثانوي هو "سقراط" لأنه موضوع الاستنتاج. المصطلح الأوسط هو "رجل" أو "رجال" لأنه المصطلح المتبقي والذي لا يظهر في الخاتمة. كما نرى في المثال أدناه ، فإن المصطلح الرئيسي باللون الأحمر ، والمصطلح الثانوي باللون الأزرق ، والمصطلح الأوسط باللون الأرجواني.

    قواعد القياس

    الآن وقد قدمنا ​​المفاهيم الأساسية في الحجج أو القياس المنطقي ، فلننتقل إلى تحديد صحتها. لقد صاغ علماء المنطق ثمانية (8) قواعد للقياس المنطقي ، ولكن بالطبع يمكن توسيعها إلى 10 أو تقليلها إلى 6. ولكن دعونا نتبع ما يستخدمه علماء المنطق بشكل شائع ، أي القواعد الثمانية للقياس المنطقي. وتجدر الإشارة إلى أنه يجب استيفاء جميع القواعد الثمانية للقياس المنطقي أو استيفائها حتى تكون الحجة أو القياس المنطقي صالحة. إذا تم انتهاك واحدة على الأقل من القواعد الثمانية للقياس المنطقي ، فإن الحجة أو القياس المنطقي غير صالحة.

    القواعد الثمانية للقياس المنطقي هي كما يلي:

    1. يجب أن يكون هناك ثلاثة مصطلحات فقط في القياس المنطقي ، وهي: المصطلح الرئيسي ، والمصطلح الثانوي ، والحد الأوسط. ولا ينبغي تغيير معنى المصطلح الأوسط في الفرضية الأولى في الفرضية الثانية ، وإلا فسيكون للقياس المنطقي 4 مصطلحات.
    2. يجب أن تكون المصطلحات الرئيسية والثانوية عالمية في الخاتمة فقط إذا كانت عالمية في المبنى. بعبارة أخرى ، إذا كانت المصطلحات الرئيسية والثانوية عالمية في الخاتمة ، فيجب أن تكون أيضًا عالمية في المقدمات حتى تكون الحجة صالحة. ومن ثم ، إذا كانت المصطلحات الرئيسية والثانوية خاصة في الاستنتاج ، فإن القاعدة رقم 2 لا تنطبق.
    3. يجب أن يكون المصطلح المتوسط ​​عالميًا مرة واحدة على الأقل. أو يجب أن يكون أحد المصطلحات الوسطى على الأقل عالميًا.
    4. إذا كانت المقدمات المنطقية إيجابية ، فيجب أن تكون النتيجة إيجابية.
    5. إذا كانت إحدى الفرضيات إيجابية والأخرى سلبية ، فيجب أن تكون النتيجة سلبية.
    6. تكون الحجة غير صالحة عندما تكون المقدمات المنطقية سلبية. هذا لأننا لا نستطيع استخلاص نتيجة صحيحة من مقدمين سلبيين.
    7. فرضية واحدة على الأقل يجب أن تكون عالمية.
    8. إذا كان أحد الفرضيات محددًا ، فيجب أن يكون الاستنتاج محددًا.

    الآن ، دعونا نطبق هذه القواعد الثمانية للقياس المنطقي على الحجج أدناه. دعونا نلون المصطلحات لتجنب الالتباس. لذلك ، دعونا نخصص اللون الأحمر للمصطلح الرئيسي ، والأزرق للمصطلح الثانوي ، واللون الأرجواني للمدى المتوسط.

    القاعدة #1 من 8 قواعد القياس المنطقي: يجب أن يكون هناك ثلاثة مصطلحات فقط في القياس المنطقي ، وهي: المصطلح الرئيسي ، والمصطلح الثانوي ، والمصطلح الأوسط.

    إذا قمنا بتحليل القياس المنطقي أعلاه ، فسيظهر أن الحجة غير صحيحة لأنه ينتهك القاعدة رقم 1. كما نرى ، فإن القياس المنطقي أعلاه يحتوي على 4 مصطلحات لأن معنى المصطلح الأوسط "النجوم" في المقدمة الأولى قد تغير في المقدمة الثانية. يشير مصطلح "النجوم" في المقدمة الأولى إلى الأجسام أو الأجسام الفلكية ، بينما يشير مصطلح "نجمة" في المقدمة الثانية إلى المشاهير.

    فلننظر في مثال آخر.

    كما نرى ، يحتوي القياس المنطقي أعلاه على ثلاثة مصطلحات فقط. ومن ثم ، فإن هذا القياس المنطقي صالح في سياق القاعدة رقم 1.

    القاعدة #2 من 8 قواعد القياس المنطقي: يجب أن تكون المصطلحات الرئيسية والثانوية عالمية في الخاتمة فقط إذا كانت عالمية في المبنى.

    كما نرى ، فإن المصطلح الثانوي "إرهابي" في الخاتمة هو مصطلح عالمي بسبب الدلالة العالمية "لا". وبما أن المصطلح الثانوي "إرهابي" في المقدمة الثانية عالمي بسبب الدال العالمي "لا" ، فإن القياس المنطقي أعلاه لا ينتهك القاعدة رقم 2 في سياق المصطلح الثانوي. ومع ذلك ، فإن المصطلح الرئيسي "لامع" في الخاتمة عالمي لأن الاقتراح سلبي كما نعلم بالفعل ، والمصطلحات الأصلية لجميع الافتراضات السلبية عالمية. ولكن إذا نظرنا إلى المصطلح الرئيسي في المقدمة الأولى ، فهو خاص لأنه ، كما نعلم بالفعل ، تعتبر المصطلحات الأصلية لجميع الافتراضات الإيجابية خاصة. فى النهايه، ال القياس المنطقي في الاعلى غير صالح لأنه ينتهك القاعدة رقم 2. هذا ما يسميه المنطقيون "مغالطة التخصص غير المشروع".

    فلننظر في مثال آخر.

    نظرًا لأن المصطلح الرئيسي "إبداعي" في الخاتمة خاص ، نظرًا لأنه مصطلح أصلي لاقتراح إيجابي ، فإنه لا ينتهك القاعدة رقم 2 لأن القاعدة غير قابلة للتطبيق هنا. كما نرى ، لا تنطبق القاعدة رقم 2 إلا على المصطلحات العامة الثانوية والرئيسية. ولكن إذا تحققنا من المصطلح الثانوي "الأشخاص الغريبون" في الخاتمة ، فقد تعلمنا أنه عالمي بسبب الدال العالمي جميعًا. نظرًا لأن المصطلح البسيط "الأشخاص الغريبون" عالمي في الخاتمة ، فيجب أن يكون أيضًا عالميًا في المقدمة الثانية حتى يكون هذا القياس المنطقي صالحًا. إذا نظرنا إلى المصطلح الثانوي في المقدمة الثانية ، فهو خاص لأنه مصطلح أصلي لاقتراح إيجابي. لذلك ، في النهاية ، القياس في الاعلى غير صالح لأنه ينتهك القاعدة رقم 2. هذا ما يسميه المنطقيون "مغالطة القاصر غير المشروع".

    دعونا نفكر في حجة صحيحة أدناه في سياق القاعدة رقم 2 من 8 قواعد القياس المنطقي.

    القياس في الاعلى صالح في سياق القاعدة رقم 2 من القواعد الثمانية للقياس المنطقي لأن القاعدة رقم 2 لا تنتهك. كما نرى ، فإن المصطلح الثانوي "جريج" في الخاتمة خاص ، وبالتالي ، فإن القاعدة رقم 2 غير قابلة للتطبيق. بالطبع ، إذا كانت القاعدة غير قابلة للتطبيق ، فلا يمكن انتهاكها وإذا لم يتم انتهاك أي قاعدة أو قانون ، فستكون الحجة صالحة تلقائيًا. الآن ، إذا نظرنا إلى المصطلح الرئيسي "كاذب" في الخاتمة ، فهو عالمي لأنه مصطلح أصلي لاقتراح سلبي. ولكن نظرًا لأن المصطلح الثانوي "كاذب" عالمي أيضًا في المقدمة الأولى لأنه ، مرة أخرى ، مصطلح أصلي لاقتراح سلبي ، فإن هذه الحجة تفي بالقاعدة رقم 2.

    دعونا ننظر في حجة أخرى صالحة في سياق القاعدة رقم 2 من 8 قواعد القياس المنطقي.

    كل من المصطلحات الثانوية والرئيسية في ختام القياس المنطقي أعلاه خاصة. لهذا السبب ، لا تنطبق القاعدة رقم 2 من 8 قواعد القياس المنطقي. بالتالي، القياس هو تلقائيا صالح في سياق القاعدة رقم 2 من 8 قواعد القياس المنطقي.

    القاعدة #3 من 8 قواعد القياس المنطقي: يجب أن يكون المصطلح المتوسط ​​عالميًا مرة واحدة على الأقل.

    القياس في الاعلى صالح في سياق القاعدة رقم 3 من القواعد الثمانية للقياس المنطقي لأن المصطلح المتوسط ​​"الفول" في المقدمة الأولى عالمي. في الواقع ، تطلب القاعدة رقم 3 من القواعد الثمانية للقياس المنطقي أن يكون أحد الحدود الوسطى على الأقل عالميًا.

    فلننظر في مثال آخر.

    كما نرى ، كلا الحدين الأوسطين في الفرضية الأولى والثانية خاصان. ولكن نظرًا لأن القاعدة رقم 3 من القواعد الثمانية للقياس المنطقي تطلب أن يكون أحد المصطلحات الوسطى على الأقل عالميًا ، إذن القياس في الاعلى غير صالح.

    القاعدة #4 من 8 قواعد القياس المنطقي: إذا كانت المقدمات المنطقية إيجابية ، فيجب أن تكون النتيجة إيجابية.

    القياس في الاعلى صالح لأنه يفي بالقاعدة رقم 4 من 8 قواعد القياس المنطقي. كما نرى ، كلا المقدرين إيجابيين والنتيجة إيجابية.

    فلننظر في مثال آخر.

    القياس في الاعلى غير صالح لأنه لا يفي بالقاعدة رقم 4 من القواعد الثمانية للقياس المنطقي. كما نرى ، كلا المقدرين إيجابيين ، لكن النتيجة سلبية.

    القاعدة #5 من 8 قواعد القياس المنطقي: إذا كانت إحدى الفرضيات إيجابية والأخرى سلبية ، فيجب أن تكون النتيجة سلبية.

    القياس في الاعلى صالح في سياق القاعدة رقم 5 من 8 قواعد القياس المنطقي. كما نرى ، الافتراض الأول إيجابي ، والمقدمة الثانية سلبية ، والاستنتاج سلبي.

    القياس في الاعلى غير صالح في سياق القاعدة رقم 5 من 8 قواعد القياس المنطقي. كما نرى ، فإن الفرضية الأولى إيجابية ، والمقدمة الثانية سلبية ، لكن الاستنتاج إيجابي. ومن ثم ، فإنه ينتهك القاعدة رقم 5 من القواعد الثمانية للقياس المنطقي.

    القاعدة #6 من 8 قواعد القياس المنطقي: تكون الحجة غير صالحة عندما تكون المقدمات المنطقية سلبية.

    من الواضح ما ورد أعلاه القياس غير صالح لأن كلا المكانين سلبيان.

    القاعدة #7 من 8 قواعد القياس المنطقي: فرضية واحدة على الأقل يجب أن تكون عالمية.

    الأعلى القياس المنطقي صحيح في سياق القاعدة رقم 7 من القواعد الثمانية للقياس المنطقي لأنها تؤهل القاعدة. كما نرى ، الفرضية الأولى عالمية.

    القاعدة #8 من 8 قواعد القياس المنطقي: إذا كان أحد الفرضيات محددًا ، فيجب أن يكون الاستنتاج محددًا.

    الفرضية الأولى للقياس المنطقي أعلاه خاصة ، والاستنتاج خاص أيضًا. لذلك ، هذا syllogism صالح في سياق القاعدة رقم 8 من 8 قواعد القياس المنطقي.


    كيفية استخدام جداول الحقيقة لتحليل الحجج

    1. يرمز إلى كل فرضية والاستنتاج.

    2. قم بعمل جدول حقيقة يحتوي على عمود لكل فرضية وعمود للاستنتاج.

    3. إذا كان جدول الحقيقة يحتوي على صف حيث يكون عمود الاستنتاج FALSE بينما كل عمود فرضية هو TRUE ، فإن الوسيطة غير صالحة. وبخلاف ذلك ، تكون الوسيطة صالحة.

    المبدأ الأساسي للجدل

    تكون الحجة غير صالحة إذا وفقط إذا كان من الممكن منطقيًا أن تكون النتيجة خاطئة على الرغم من افتراض أن كل فرضية صحيحة.

    مثال 1

    استخدم جدول الحقيقة لاختبار صحة الوسيطة التالية.

    إذا استثمرت في شركة Gomermatic ، فأنت تصبح ثريًا.
    لم تستثمر في شركة Gomermatic.
    لذلك ، لم تصبح ثريًا.

    مثال 2

    استخدم جدول الحقيقة لاختبار صحة الوسيطة التالية.

    إذا كنت كلبًا كلبًا ، فأنت تعوي على القمر.
    أنت لا تعوي على القمر.
    لذلك ، أنت لست كلب كلاب الصيد.

    مثال 3

    استخدم جدول الحقيقة لاختبار صحة الوسيطة التالية.

    إذا دخلت إلى عرين القلطي ، فسأحمل جهاز القلطي الكهربائي أو علبة الصولجان.
    أنا أحمل جهاز القلطي الكهربائي ولكن ليس علبة الصولجان الخاصة بي.
    لذلك ، سوف أدخل عرين القلطي.

    مثال 4

    اختبر صحة الحجة التالية.

    سأشتري عنزة جديدة أو يوغو مستعملة.
    إذا اشتريت عنزة جديدة ويوغو مستعملة ، فسوف أحتاج إلى قرض.
    اشتريت يوغو مستعملة ولست بحاجة إلى قرض.
    لذلك ، لم أشتري ماعزًا جديدًا.

    مثال 5

    اختبر صحة الحجة التالية.

    سقراط لديه توجا جديدة أو أنه لم يضيع 30 دراخمة.
    يحتوي أفلاطون على رطل من جبنة الفيتا أو ربع لتر من زيت الزيتون.
    أهدر سقراط 30 دراخمة ولم يكن لدى أفلاطون رطل من جبن الفيتا.
    لذلك ، سقراط لديه توجا جديدة وأفلاطون لديه ربع جالون من زيت الزيتون.


    2.7: صحة الحجج والأخطاء الشائعة - الرياضيات

    محتويات
    1. مغالطات غير رسمية
    2. استنتاجي أم استقرائي؟
    3. كشف المغالطات في الحجج الاستقرائية
    4. الصحة والبطلان في الحجج الاستنتاجية
    5. تحدي الحجج الصحيحة والقوية
    6. ضعف النقد: الأخطاء الشائعة في الرد على الحجج
    7. قيمة النقد الداخلي
    8. قيمة معرفة وجهات النظر البديلة

    بالنسبة لبعض الطلاب ، سيكون هذا في الغالب مراجعة وتذكيرًا. (يمكن أن تكون التذكيرات مفيدة فقط إذا كانت تؤثر على الإجراء!)

    ربما تكون أفضل طريقة لتعلم كيفية تقييم الحجج هي أن تأخذ دورة في المنطق وأثناء الدورة تقدم لنفسك لتعلم المهارات كما لو كانت حياتك ستعتمد عليها. (إذا كان صحيحًا أن الحياة غير المختبرة لا تستحق العيش ، فإن شيئًا أكثر أهمية من مجرد الحياة يعتمد عليها ، أي رفاهية عقلك!)

    نظرًا لأنه من المستحيل أن تحل صفحة ويب مختصرة محل دورة المنطق ، فكل ما يمكنني فعله هنا هو تقديم اقتراحات وإعطاء تذكيرات وربما اقتراح مزيد من القراءة.

    بمجرد تفكيك الحجة الأكثر تعقيدًا التي ترغب في تقييمها في الوسيطات "البسيطة" المكونة لها (انظر تحليل الحجج (إصدار 2006)) ، يمكنك طرح بعض الأسئلة المدببة حول الحجج "البسيطة" التي تشكل الحجج الأكثر تعقيدًا.

    مغالطات غير رسمية

    في بعض الأحيان يمكنك اكتشاف واحدة من العديد من المغالطات غير الرسمية التي تحدث في كثير من الأحيان وقد تم تسميتهم بأسماء وتتم مناقشتها في معظم كتب المنطق التمهيدية وفي فصول عن المنطق في كتب الفلسفة التمهيدية. تندرج هذه في فئات رئيسية قليلة ، مثل مغالطات الصلة (مثل عربة اليد ، والنداء غير الشرعي للسلطة ، و Ad Hominem ، والنداء غير المشروع للشفقة ، وما إلى ذلك) ومغالطات الغموض (المراوغة ، البرمائيات ، التكوين ، التقسيم).

    إن أفضل الفلاسفة يدركون هذه الأنواع من المغالطات ويبذلون جهدًا خاصًا لتجنبها. تحدث مثل هذه المغالطات في كثير من الأحيان في الجدل غير الرسمي ، في النقاش السياسي ، وفي الإعلانات. (هذا لا يعني أن الفلاسفة محصنون ضدهم تمامًا).

    استنتاجي أم استقرائي؟

    ربما ستحتاج إلى تحديد ما إذا كان المؤلف ينوي أن تكون الحجة استنتاجية أو حجة استقرائية. هل ينوي المؤلف أن تشير المقدمات إلى الاستنتاج بالضرورة؟ (إذا كانت الإجابة بنعم ، تعامل مع الحجة على أنها استنتاجية). أم أن المؤلف ينوي المقدمات المنطقية لجعل الاستنتاج محتملاً؟ (إذا كانت الإجابة بنعم ، تعامل مع الحجة على أنها استقرائية).

    الحجج الاستقرائية

    إذا كانت الحجة حجة استقرائية ، فإن السؤال العام الذي يجب أن تطرحه هو ما إذا كانت المقدمات ، بافتراض حقيقتها ، تعطي درجة الدعم المحتمل للاستنتاج الذي يبدو أن المؤلف يدعيه؟ (قد تقدم المقدمة بعض الدعم للنتيجة ولكن ليس بقدر ما يريد المؤلف منا تصديقه).

    إذا كانت الحجة الاستقرائية هي حجة سببية ، فاحترس من المغالطات الشائعة في التفكير السببي ، مثل بعد هذا ولذلك بسبب هذا.

    إذا كانت الحجة الاستقرائية تحاول الاستدلال من حقيقة ، من المفترض أن تكون نتيجة لشيء آخر ، إلى سببها المزعوم ، فربما نواجه نوعًا من الحجة يُعرف باسم The Argument to the Best Explanation. ولكن ما يبدو أنه تفسير لحقيقة (أو شيء من المفترض أن يكون حقيقة لأغراض التقييم) قد يفسر الحقيقة دون أن يكون أفضل تفسير متاح. إذا كانت هناك تفسيرات أفضل ، فقد تكون الحجة الخاصة من التأثير إلى السبب ضعيفة.

    إذا كانت الحجة الاستقرائية توصل إلى نتيجة عامة من المقدمات المنطقية حول التفاصيل ، فاحذر من مغالطة التعميم المتسارع.

    أسلوب آخر من الحجة الاستقرائية هو الحجة من القياس: يمكن أن تكون الحجج التناظرية ضعيفة من نواح مختلفة. (انظر النص المنطقي للحصول على التفاصيل.)

    الحجج الاستنتاجية

    تحقق من الصلاحية. تكون الحجة الاستنتاجية صالحة فقط في حالة ما إذا كانت المقدمات صحيحة ، فيجب أن يكون الاستنتاج صحيحًا. خلاف ذلك ، فإن الوسيطة الاستنتاجية غير صالحة.

    الصلاحية الشكلية. في بعض الأحيان ، تنجم صلاحية إحدى الحجة عن شكلها المنطقي: على سبيل المثال ، تكون القياسات المنطقية الفئوية التي لها الشكل التالي صالحة: جميع M هي P
    كل S هي M.
    : كل ​​S هي P

    في الشكل الرمزي للقيم المنطقية الفئوية ، ترمز الأحرف إلى "الفئات" أو الأوصاف العامة (عادةً ما يتم تحديدها بواسطة الأسماء أو العبارات الاسمية). وبالتالي ، قد ترمز "S" إلى البشر ، و "M" تعني الثدييات ، و "P" تعني الكائنات البشرية.

    إذا كان p ، ثم q
    ص
    : .q

    في الشكل الرمزي لمثل هذه القياسات المنطقية ، ترمز الأحرف إلى العبارات (وتسمى أيضًا "الافتراضات"). وبالتالي فإن الحرفين "p" و "q" قد يرمزان إلى "إنها تمطر" و "الأرض رطبة" على التوالي.

    الأشكال الاستنتاجية التالية هي نوعان من العديد من الأشكال غير الصالحة:

    كل P هي M
    كل S هي M
    : كل ​​S هي P

    إذا كان p ، ثم q
    ف
    : .p

    الحجة الصحيحة هي حجة استنتاجية ، حيث أن حقيقة فرضياتها تتطلب حقيقة الاستنتاج. الحجة القوية هي حجة استقرائية ، حيث أن حقيقة مقدماتها ستعطي قدرًا كبيرًا من الدعم المحتمل للنتيجة كما يدعي المؤلف.

    يمكن أن تظل مثل هذه الحجج معيبة إذا كانت مقدماتها خاطئة. لذلك يمكن الطعن عليهم من خلال الحجج الجيدة التي تظهر زيف واحد أو أكثر من مقدماتهم.

    يمكن للمرء في بعض الأحيان بناء حجج استقرائية لاستنتاجات مفادها أن فرضية في حجة شخص آخر خاطئة. (يحدث هذا النوع من التفكير في البحث التاريخي أو العلمي ، والصحافة الاستقصائية ، والعمل البوليسي ، والحجج القانونية ، والاستدلال الأخلاقي ، والدعوة السياسية).

    إذا كان الافتراض عبارة عن بيان عام بالنموذج "All S are P" أو "No S are P" (أو أشكال مختلفة متوازية مثل "متى حدث S ، يحدث P" أو "عندما يحدث S ، لا يحدث P" ) ، يمكنك دحضها باكتشاف مثال مضاد. "All S are P" ، على سبيل المثال ، تم دحضه من خلال اكتشاف S ليس P.

    إذا كان المقصود من الافتراض أن يكون تعريفًا ، وواحدًا يستند إلى المعنى العادي للمصطلح ، فيمكنك تحدي التعريف من خلال إنتاج مثال مضاد. ("العازب هو ذكر بالغ غير متزوج" يتم دحضه بذكر قطة ذكر ، والتي لن نسميها حرفيًا أعزب. لكن هذا المثال المضاد لن يكون فعالًا ضد "العازب هو رجل بالغ غير متزوج").

    1. رفض غير مدعوم للاستنتاج.

    2. مناشدة مجرد رأي أو شعور.

    3. إنكار الاستنتاج الذي يدعمه سبب لم يتم فحص أهميته بالنسبة لموقف المؤلف الذي يتم انتقاده.

    لا يحاول النقد الداخلي دحض استنتاج المؤلف بشكل مباشر. بل إنه يوضح أنه في أماكن عمل المؤلف نفسها ، كان ينبغي أو كان من الممكن أن تتوصل إلى نتيجة مختلفة. ربما تستخدم افتراضًا غير مذكور خاطئ أو ربما يكون خاطئًا ، وإذا تم استبداله بافتراض صحيح أو على الأرجح صحيح ، فلن يتبع استنتاج المؤلف ويمكن إثبات استنتاج مختلف.

    النقد الداخلي لا يستبعد تطوير حجة بديلة ، مع عدة مقدمات جديدة (تشكل نظرية منافسة) ، والتي تتعارض استنتاجها مع استنتاج المؤلف تحت النقد. يمكن للنقد الداخلي أن يمهد الطريق لتطوير نظرية منافسة جديدة ، أو إذا كانت النظرية المنافسة موجودة بالفعل ، لتقدير نقاط القوة في تلك النظرية.

    لا يتعين على فلاسفة وطلاب الفلسفة اليوم إعادة اختراع العجلة عندما يواجهون مواقف مقنعة ظاهريًا ولكنها معيبة. (يمكن تقديم نقطة موازية لمنطق اليوم الأخلاقي وطلاب الأخلاق.) ربما كانت هذه المواقف موجودة لبعض الوقت وقد جذبت النقاد في وقت سابق. عند تقييم الحجة ، من المفيد معرفة المفكرين الذين قاموا بتقييمها بشكل نقدي في تجسدها السابق. يمكن للمرء في كثير من الأحيان استخدام أفكار النقاد الأوائل ، أو تكييفها لاستخدامها اليوم. (المثال التالي يتعلق بجدل ميتافيزيقي وإبستمولوجي).

    على سبيل المثال ، في حواره The Phaedo Plato يحاول إظهار أن الروح منفصلة عن الجسد. ينوي أن يثبت لاحقًا أنه خالد. يجادل لاستنتاجه من المقدمات بأن (1) لدينا مفاهيم عامة (على سبيل المثال ، عن المساواة والجمال)

    (2) لا يمكننا الحصول عليها من تجربة الحس

    (3) التجربة الوحيدة التي مررنا بها منذ وجودنا في أجسادنا الحالية هي التجربة الحسية

    (4) بالنسبة لأي فكرة لدينا ، إما أننا حصلنا عليها من تجربة الحس أو مستقلة عن تجربة الحس عندما كنا متحررين من أجسادنا.

    يوضح مثال استجابة أرسطو لأفلاطون أيضًا أهمية الإبداع الفلسفي. في الوقت الذي جادل فيه أفلاطون بأن الروح كانت موجودة في حالة خارج الجسد قبل هذه الحياة ، لم يكن يبدو أن لديه من بين أدواته الفلسفية النظرية العامة للأشكال داخل المادة التي يمكن من خلالها استخلاص شيء مثل النسخ المعقولة و " مخزنة ، "إذا جاز التعبير ، كمفاهيم عقلية. من الواضح أن أرسطو نفسه ابتكر هذه الأداة المفاهيمية ، جزئيًا ردًا على عدم رضاه عن جوانب فلسفة أفلاطون. بفضل أرسطو ، يمكننا أن نبين كيف يكتسب البشر مفاهيم عامة حتى لو لم تكن أرواحهم موجودة في حالة سابقة خارج الجسد. نظهر في نفس الوقت أن الحجة (المنسوبة إلى أفلاطون) أعلاه حول إمكانية فصل الروح لا تستند إلى مقدمات محصنة ضد التحدي الجاد.


    2.7: صحة الحجج والأخطاء الشائعة - الرياضيات

    الموضوعات التي يتم تناولها هنا هي أخطاء يرتكبها الطلاب غالبًا في ممارسة الجبر ، وليست مجرد أخطاء تحدث عادةً في فصل الجبر. لقد رأيت كل واحدة من هذه الأخطاء التي ارتكبها الطلاب في جميع مستويات الفصول الدراسية ، من فصول الجبر إلى فصول الرياضيات في المستويات العليا! في الواقع ، ستأتي بعض الأمثلة في هذا القسم من التفاضل والتكامل.

    إذا لم يكن لديك حساب التفاضل والتكامل يمكنك تجاهل هذه الأمثلة. في كل حالة قدمت فيها أمثلة ، حاولت تضمين أمثلة من فصل الجبر بالإضافة إلى مثال مناسبة من دورات المستوى الأعلى مثل حساب التفاضل والتكامل.

    أنا مقتنع بأن العديد من الأخطاء الواردة هنا ناتجة عن كسول الناس أو التعجل وعدم الالتفات إلى ما يفعلونه. يمكنك تجنب الغالبية العظمى من هذه الأخطاء عن طريق التباطؤ والانتباه إلى ما تفعله والاهتمام بالتدوين الصحيح.

    القسمة على صفر

    يعلم الجميع أن ( frac <0> <2> = 0 ) المشكلة هي أن الكثير من الناس يقولون أيضًا ( frac <2> <0> = 0 ) أو ( frac <2> <0> = 2 )! تذكر أن القسمة على الصفر غير معرفة! لا يمكنك ببساطة القسمة على الصفر ، لذا لا تفعل ذلك!

    فيما يلي مثال جيد جدًا لأنواع الخراب التي يمكن أن تنشأ عندما تقسم على صفر. تحقق مما إذا كان يمكنك العثور على الخطأ الذي ارتكبته في العمل أدناه.

    1. (a = b ) سنبدأ في افتراض أن هذا صحيح.
    2. (أب = ) اضرب كلا الطرفين في أ.
    3. (أب - = - ) طرح او خصم () من كلا الجانبين.
    4. (ب اليسار ( يمين) = يسار ( يمين شمال( right) ) حلل كلا الجانبين.
    5. (b = a + b ) قسّم كلا الجانبين على (a - b ).
    6. (ب = 2 ب ) تذكر أننا بدأنا بافتراض (أ = ب ).
    7. (1 = 2 ) اقسم كلا الجانبين على ب.

    لذلك ، تمكنا من إثبات أن 1 = 2! الآن ، نعلم أن هذا ليس صحيحًا ، لذا فمن الواضح أننا ارتكبنا خطأ في مكان ما. هل تستطيع أن ترى أين وقع الخطأ؟

    كان الخطأ في الخطوة 5. تذكر أننا بدأنا بافتراض (أ = ب ). ومع ذلك ، إذا كان هذا صحيحًا ، فلدينا (أ - ب = 0 )! لذا ، في الخطوة 5 ، نقسم حقًا على صفر!

    قادنا هذا الخطأ البسيط إلى شيء كنا نعلم أنه ليس صحيحًا ، ومع ذلك ، في معظم الحالات ، لن تكون إجابتك خاطئة بشكل واضح. لن يكون واضحًا دائمًا أنك تقسم على صفر ، كما كان الحال في هذا المثال. عليك أن تكون على اطلاع على هذا النوع من الأشياء.

    تذكر أنه لا يمكنك القسمة على الصفر!

    الأقواس السيئة / المفقودة / المفترضة

    ربما يكون هذا هو الخطأ الذي أجده هو الأكثر إحباطًا. هناك بعض الأخطاء التي يرتكبها الناس عادة هنا.

    الخطأ الأول هو أن الناس يصبحون كسالى ويقررون أن الأقواس ليست ضرورية في خطوات معينة أو أنه يمكنهم تذكر أن الأقواس من المفترض أن تكون موجودة. بالطبع ، تكمن المشكلة هنا في أنهم غالبًا ما يميلون إلى نسيانهم في الخطوة التالية!

    الخطأ الآخر هو أن الطلاب في بعض الأحيان لا يفهمون مدى أهمية الأقواس حقًا. غالبًا ما يُرى هذا في الأخطاء التي يتم إجراؤها في الأس كما يظهر أول مثالين لي.

    لاحظ الفرق المهم جدا بين هذين! عند التعامل مع الأس ، تذكر أن الكمية الموجودة على يسار الأس هي فقط التي تحصل على الأس. لذلك ، في الحالة غير الصحيحة ، فإن x هي الكمية الموجودة على يسار الأس مباشرةً ، لذا فنحن نربيع فقط x بينما 4 ليست مربعة. في الحالة الصحيحة ، يكون القوس على يسار الأس مباشرةً ، لذا فإن هذا يدل على أن كل شيء داخل الأقواس يجب تربيعه!

    الأقواس مطلوبة في هذه الحالة للتأكد من أننا نربّع كل شيء ، وليس فقط x، فلا تنساهم!

    هذا مشابه للسابق ، لكن لديه دقة تسبب مشاكل في بعض الأحيان. تذكر أن الكمية الموجودة على يسار الأس فقط هي التي تحصل على الأس. لذلك ، في الحالة غير الصحيحة ، يكون الرقم 3 فقط على يسار الأس وبالتالي يتم تربيع 3 فقط!

    يعرف الكثير من الناس أنه من المفترض تقنيًا أنهم مربّعون -3 ، لكنهم يصبحون كسالى ولا يكتبون الأقواس على أساس أنهم سيتذكرونهم عندما يحين الوقت لتقييمها فعليًا. However, it’s amazing how many of these folks promptly forget about the parenthesis and write down -9 anyway!

    Be careful and note the difference between the two! In the first case I put parenthesis around then (4x - 5) and in the second I didn’t. Since we are subtracting a polynomial we need to make sure we subtract the WHOLE polynomial! The only way to make sure we do that correctly is to put parenthesis around it.

    Again, this is one of those errors that people do know that technically the parenthesis should be there, but they don’t put them in and promptly forget that they were there and do the subtraction incorrectly.

    This comes back to same mistake in the first two. If only the quantity to the left of the exponent gets the exponent. So, the incorrect case is really (7<2>>> = 7sqrt x ) and this is clearly NOT the original root.

    Note the use of the parenthesis. The problem states that it is -3 times the WHOLE integral not just the first term of the integral (as is done in the incorrect example).

    Improper Distribution

    Be careful when using the distribution property! There two main errors that I run across on a regular basis.

    Make sure that you distribute the 4 all the way through the parenthesis! Too often people just multiply the first term by the 4 and ignore the second term. This is especially true when the second term is just a number. For some reason, if the second term contains variables students will remember to do the distribution correctly more often than not.

    Remember that exponentiation must be performed BEFORE you distribute any coefficients through the parenthesis!

    Additive Assumptions

    I didn’t know what else to call this, but it’s an error that many students make. Here’s the assumption. Since (2left( ight) = 2x + 2y) then everything works like this. However, here is a whole list in which this doesn’t work.

    [ ight)^2> e + ] [sqrt e sqrt x + sqrt y ] [frac<1><> e frac<1> + frac<1>] [cos left( ight) e cos x + cos y]

    It’s not hard to convince yourself that any of these aren’t true. Just pick a couple of numbers and plug them in! For instance,

    You will find the occasional set of numbers for which one of these rules will work, but they don’t work for almost any randomly chosen pair of numbers.

    Note that there are far more examples where this additive assumption doesn’t work than what I’ve listed here. I simply wrote down the ones that I see most often. Also, a couple of those that I listed could be made more general. For instance,

    Canceling Errors

    These errors fall into two categories. Simplifying rational expressions and solving equations. Let’s look at simplifying rational expressions first.

    Notice that in order to cancel the (x) out of the denominator I first factored an (x) out of the numerator. You can only cancel something if it is multiplied by the WHOLE numerator and denominator, or if IS the whole numerator or denominator (as in the case of the denominator in our example).

    Contrast this with the next example which contains a very common error that students make.

    Far too many students try to simplify this as,

    In other words, they cancel the (x) in the denominator against only one of the (x)’s in the numerator (i.e. cancel the (x) only from the first term or only from the second term). THIS CAN’T BE DONE. In order to do this canceling you MUST have an (x) in both terms.

    To convince yourself that this kind of canceling isn’t true consider the following number example.

    This can easily be done just be doing the arithmetic as follows

    However, let’s do an incorrect cancel similar to the previous example. We’ll first cancel the two in the denominator into the eight in the numerator. This is NOT CORRECT, but it mirrors the canceling that was incorrectly done in the previous example. هذا يعطي،

    Clearly these two aren’t the same! So you need to be careful with canceling!

    Now, let’s take a quick look at canceling errors involved in solving equations.

    Too many students get used to just canceling (i.e. simplifying) things to make their life easier. So, the biggest mistake in solving this kind of equation is to cancel an (x) from both sides to get,

    [2x = 1 hspace <0.25in>Rightarrow hspace <0.25in>x = frac<1><2>]

    While, (x = frac<1><2>) is a solution, there is another solution that we’ve missed. Can you see what it is? Take a look at the next example to see what it is.

    Here’s the correct way to solve this equation. First get everything on one side then factor!

    From this we can see that either,

    [x = 0 hspace <0.5in>mbox hspace <0.5in>2x - 1 = 0]

    In the second case we get the (x = frac<1><2>) we got in the first attempt, but from the first case we also get (x = 0) that we didn’t get in the first attempt. Clearly (x = 0) will work in the equation and so is a solution!

    We missed the (x = 0) in the first attempt because we tried to make our life easier by “simplifying” the equation before solving. While some simplification is a good and necessary thing, you should NEVER divide out a term as we did in the first attempt when solving. If you do this, you WILL lose solutions.

    Proper Use of Square Root

    There seems to be a very large misconception about the use of square roots out there. Students seem to be under the misconception that

    This is not correct however. Square roots are ALWAYS positive or zero! So the correct value is

    This is the ONLY value of the square root! If we want the -4 then we do the following

    [ - sqrt <16>= - left( > ight) = - left( 4 ight) = - 4]

    Notice that I used parenthesis only to make the point on just how the minus sign was appearing! In general, the middle two steps are omitted. So, if we want the negative value we have to actually put in the minus sign!

    I suppose that this misconception arises because they are also asked to solve things like ( = 16). Clearly the answer to this is (x = pm ,4) and often they will solve by “taking the square root” of both sides. There is a missing step however. Here is the proper solution technique for this problem.

    Note that the ( pm ) shows up in the second step before we actually find the value of the square root! It doesn’t show up as part of taking the square root.

    I feel that I need to point out that many instructors (including myself on occasion) don’t help matters in that they will often omit the second step and by doing so seem to imply that the ( pm ) is showing up because of the square root.

    So, remember that square roots ALWAYS return a positive answer or zero. If you want a negative you’ll need to put it in a minus sign BEFORE you take the square root.

    Ambiguous Fractions

    This is more a notational issue than an algebra issue. I decided to put it here because too many students come out of algebra classes without understanding this point. There are really three kinds of “bad” notation that people often use with fractions that can lead to errors in work.

    The first is using a “/” to denote a fraction, for instance 2/3. In this case there really isn’t a problem with using a “/”, but what about 2/3(x)? This can be either of the two following fractions.

    It is not clear from 2/3(x) which of these two it should be! You, as the student, may know which one of the two that you intended it to be, but a grader won’t. Also, while you may know which of the two you intended it to be when you wrote it down, will you still know which of the two it is when you go back to look at the problem when you study?

    You should only use a “/” for fractions when it will be clear and obvious to everyone, not just you, how the fraction should be interpreted.

    The next notational problem I see fairly regularly is people writing,

    It is not clear from this if the (x) belongs in the denominator or the fraction or not. Students often write fractions like this and usually they mean that the (x) shouldn’t be in the denominator. The problem is on a quick glance it often looks like it should be in the denominator and the student just didn’t draw the fraction bar over far enough.

    If you intend for the (x) to be in the denominator then write it as such that way, (frac<2><<3x>>), i.e. make sure that you draw the fraction bar over the WHOLE denominator. If you don’t intend for it to be in the denominator then don’t leave any doubt! Write it as (frac<2><3>x).

    The final notational problem that I see comes back to using a “/” to denote a fraction, but is really a parenthesis problem. This involves fractions like

    Often students who use “/” to denote fractions will write this is fraction as

    These students know that they are writing down the original fraction. However, almost anyone else will see the following

    This is definitely NOT the original fraction. So, if you MUST use “/” to denote fractions use parenthesis to make it clear what is the numerator and what is the denominator. So, you should write it as


    Introduction

    This topic brings out the important part of categorical syllogism, which helps to determine the validity of arguments. In this blog post, we have tried to cover the basic concepts of Venn Diagrams along with the steps of validating the arguments with the help of rules /sets of arguments.

    The standard dictionary meaning of the argument is “Discussion where there is disagreement”.

    In other words, we can say if the conclusion of an argument is guaranteed, the argument is valid and if it’s not guaranteed the argument is invalid.

    Saying that an argument is valid does not mean that the conclusion is true: We verify the situation by an example. Consider two premises 1. All doctors are men, 2. My mother is a doctor. Then the valid argument “My mother is a man” is not a true conclusion.

    Saying that an argument is invalid does not mean that the conclusion is false. We verify the situation also by an example. Consider two premises 1. All professional wrestlers are actors, 2. The Rock is an actor. Then the invalid argument “the Rock is a professional wrestler”, may not be false.

    We will verify valid and invalid arguments and conclusions with Venn diagram.

    What are Venn diagrams?

    A Venn diagram uses overlapping circles or other shapes to illustrate the logical relationships between two or more sets of items. Often, they serve to graphically organize things, highlighting how the items are similar and different.

    Venn diagrams are named after British logician John Venn.

    Venn diagrams, also called Set diagrams or Logic diagrams, are widely used in mathematics, statistics, logic, teaching, linguistics, computer science and business. Many people first encounter them in school as they study math in set theory syllabus.

    Venn diagram use cases

    1. رياضيات: Venn diagrams are commonly used in school to teach basic math concepts such as sets, unions and intersections.
    2. Statistics and probability: Statistics experts use Venn diagrams to predict the likelihood of certain occurrences. This ties in with the field of predictive analytics. Different data sets can be compared to find degrees of commonality and differences.
    3. Logic: Venn diagrams are used to determine the validity of particular arguments and conclusions. In deductive reasoning, if the premises are true and the argument form is correct, then the conclusion must be true.

    Deductive Logic and Validity

    Let’s first understand the concept of the validity of deductive arguments.

    Deductive arguments are arguments wherein the conclusion is necessarily true (assuming true premises and a valid form).

    In other words, it is impossible to have a situation where:

    (1) the premises of the argument are true, and

    (2) the form of the argument is valid, and

    (3) the conclusion is false.

    The reason for this is very simple: the conclusion of a deductive argument does not contain any new information –it is already contained (in some implicit form) in the premises itself.

    An example of an argument using deductive arguments:

    1. All men are mortal. (First premise)
    2. Socrates is a man. (Second premise)
    3. Therefore, Socrates is mortal. (Conclusion)

    The first premise states that all objects classified as “men” have the attribute “mortal.” The second premise states that “Socrates” is classified as a “man” – a member of the set “men.” The conclusion then states that “Socrates” must be “mortal” because he inherits this attribute from his classification as a “man.”

    Further, we can see from the above that the concept of validity is very important for deductive arguments. The conclusion is guaranteed to be true only if the form of the argument is valid and the premises are true.

    Also, NOTE: validity and invalidity apply only to deductive arguments. Inductive arguments are neither valid nor invalid.

    Testing Validity Using Venn’s Diagrams

    So, what is validity? Questions of validity are purely formal. In testing for validity, we are not in any way concerned with the actual content of an argument. We are only concerned with its form –the way in which the premises are supposed to provide support for the conclusion.

    This is usually performed with the help of abstraction step to the replacement of particular content with variables (In Most Cases Alphabets such as A, B, C, D…) and arrange them in the same specific form.

    Let’s talk above example again –

    1. All men are mortal. (First premise)
    1. Socrates is a man. (Second premise)
    2. Therefore, Socrates is mortal. (Conclusion)

    Note the content of argument we are talking about – > Men = (A), Mortal = (B) and Socrates = (C).

    Now arranging the variable in the same form: –

    Once we have the argument translated into the variable form we are going to ask a simple question: given that the premises are true, does the conclusion necessarily follow?

    If you have categorical syllogisms, then you test this question by using Venn Diagrams. If you have compound statements using logical operators, then you use Truth Tables. We are going to look only at Venn Diagrams here, but the basic principle is the same: assuming that the premises are true, does the conclusion necessarily follow?

    Venn Diagrams types and Validity

    In most of the examination, the question asked from this topic will be based on 2 or 3 term arguments.

    As there are some severe limitations to their usefulness as the number of terms grows. First, while it is possible to construct a 16 region Venn-type diagram for a 4 term argument, and even a 32 region diagram for a 5 term argument, those diagrams are almost impossible to read or use. What is more, it is impossible to construct a 64 region diagram for a 6 term argument–there is no way to get exactly the right 64 regions in a 2-dimensional diagram

    You must remember the old school formula –

    n ( A ∪ B) = n(A ) + n ( B ) – n ( A∩ B)
    n (A ∪ B ∪ C) = n(A ) + n ( B ) + n (C) – n ( A ∩ B) – n ( B ∩ C) – n ( C ∩ A) + n (A ∩ B ∩ C )

    To test the validity of a categorical syllogism, one can use the method of Venn diagrams. Since a categorical syllogism has three terms, we need a Venn diagram using three intersecting circles, one representing each of the three terms in a categorical syllogism.

    A three-term diagram has eight regions (the number of regions being 2n where n is the number of terms).

    So far in the NET Examination, we have seen question-based on CATEGORICAL SYLLOGISM so we will restrict our details for solving the Categorical Syllogism based question only.

    Covering the entire concept of Syllogism is beyond the scope of this article and we would see only important concepts such as –

    1. Four (and only four) basic categorical claims.
    2. Diagramming Categorical Syllogisms (DCS) & Some rules of translation along with shading an area
    3. And Finally Validate the argument.
    Four Types of basic categorical claims.
    1. Universal Affirmative. – Example- all humans are animals (This is not reversible relationship)
    2. Universal Negative. – Example- No A Are B (Note that this is reversible:e. No B Are A is also true)
    3. Particular Affirmative. Example- Some humans are rational)
    4. Particular Negative. Example – Some humans are not reptilian

    Diagramming Categorical Syllogisms (DCS).

    Heads up! You can use various online available tool to create Venn diagram

    Canva’s Venn diagram maker is the easiest way to make a Venn diagram online. Start by choosing a template – they’ve got hundreds of Venn diagram examples to choose from. With a suite of easy to use design tools, you have complete control over the way it looks.

    First, translate the argument into a categorical structure. This involves identifying the categories that are being related to one another, and the manner of relation (Universal Affirmation, Universal Negation, Particular Affirmation, and Particular Negation).

    Step 2 –
    Replace categories with variables.[See example above]

    Then, after step two, we are ready for the process of diagramming. The process of diagramming is again very simple. We use overlapping circles to represent the various categories and their interrelation. Since all categorical syllogisms will have three (and only three) categories, there will always be three circles.

    Shading and Putting and X

    Shading is only used when dealing with All and No claims (Universal affirmation and negation), putting an X is used only when dealing with Some are and some are not claims (Particular affirmation and negation).

    In step three we shade the area where all the ALL or NO claims found in the argument, note that you should always start with ALL and NO claims.

    In step four we put ‘X’ in the area where the ‘Some’ or ‘Some are NOT’ claims found in the argument, note that you should always start with ALL and NO claims.

    Now, you check for validity. Note, that you only diagram the premises. After having diagramed the premises, the conclusion should be evident. If it is not evident, if you have to do more work to make the conclusion evident, then the argument is clearly invalid.

    وبالتالي، Determining Validity with Venn Diagrams works through

    If the conclusion is true in the diagram, the syllogism is valid if not, not.

    Solved Example

    1. People who shave their legs don’t wear ties.
    2. All cyclists shave their legs.
    3. Therefore, no cyclist wears a tie.

    Let’s put them in Standard form and replace with variables

    1. No leg shavers are tie wearers. – No L Are T
    2. All cyclists are leg shavers. – All C are L
    3. Therefore, no cyclists are tie wearers. – Therefore No C are T

    If both our premises are universal, as in this argument, we can diagram either premise first. So let’s diagram the minor premise:

    Now we look to see if the content of the conclusion is already there

    But we see that the shaded region here was shaded automatically when we diagrammed the premises. So the argument is valid.

    Heads up! There is another type of question-based on the formula of Sets and Venn Diagrams were asked previously so its worth to add here.

    Question: A school has 63 students studying Physics, Chemistry and Biology. 33 study Physics, 25 studies Chemistry and 26 Biology. 10 study both Physics and Chemistry, 9 study Biology and Chemistry, while 8 study both Physics and Biology. Equal numbers study all three subjects as those who learn none of the three. How many students study all three subjects?

    From the given problem above, it is a Venn Diagram Problem because it involves the intersection or mutual items of the sets. Consider the figure below

    Venn diagram problem
    P only=33-18-x
    B only =26-17-x
    C only =25-19-x
    15-x+9-x+6-x+8+10+9+x=63
    -2x=63
    X=-3
    Which means you have to work with 3 in the middle


    2.7: Validity of arguments and common errors - Mathematics

    We’ve called this section Intervals of Validity because all of the examples will involve them. However, there is a lot more to this section. We will see a couple of theorems that will tell us when we can solve a differential equation. We will also see some of the differences between linear and nonlinear differential equations.

    First let's take a look at a theorem about linear first order differential equations. This is a very important theorem although we’re not going to really use it for its most important aspect.

    Theorem 1

    Consider the following IVP.

    [y' + pleft( t ight)y = gleft( t ight)hspace<0.25in>yleft( <> ight) = ]

    If (p(t)) and (g(t)) are continuous functions on an open interval (alpha < t < eta ) and the interval contains (t_), then there is a unique solution to the IVP on that interval.

    So, just what does this theorem tell us? First, it tells us that for nice enough linear first order differential equations solutions are guaranteed to exist and more importantly the solution will be unique. We may not be able to find the solution but do know that it exists and that there will only be one of them. This is the very important aspect of this theorem. Knowing that a differential equation has a unique solution is sometimes more important than actually having the solution itself!

    Next, if the interval in the theorem is the largest possible interval on which (p(t)) and (g(t)) are continuous then the interval is the interval of validity for the solution. This means, that for linear first order differential equations, we won't need to actually solve the differential equation in order to find the interval of validity. Notice as well that the interval of validity will depend only partially on the initial condition. The interval must contain (t_), but the value of (y_), has no effect on the interval of validity.

    Let’s take a look at an example.

    First, in order to use the theorem to find the interval of validity we must write the differential equation in the proper form given in the theorem. So we will need to divide out by the coefficient of the derivative.

    Next, we need to identify where the two functions are not continuous. This will allow us to find all possible intervals of validity for the differential equation. So, (p(t)) will be discontinuous at (t = pm ,3) since these points will give a division by zero. Likewise, (g(t)) will also be discontinuous at (t = pm ,3) as well as (t = 5) since at this point we will have the natural logarithm of zero. Note that in this case we won't have to worry about natural log of negative numbers because of the absolute values.

    Now, with these points in hand we can break up the real number line into four intervals where both (p(t)) and (g(t)) will be continuous. These four intervals are,

    [ - infty < t < - 3hspace <0.25in>- 3 < t < 3hspace<0.25in>3 < t < 5hspace<0.25in>5 < t < infty ]

    The endpoints of each of the intervals are points where at least one of the two functions is discontinuous. This will guarantee that both functions are continuous everywhere in each interval.

    Finally, let's identify the actual interval of validity for the initial value problem. The actual interval of validity is the interval that will contain (t_ = 4). So, the interval of validity for the initial value problem is.

    In this last example we need to be careful to not jump to the conclusion that the other three intervals cannot be intervals of validity. By changing the initial condition, in particular the value of (t_), we can make any of the four intervals the interval of validity.

    The first theorem required a linear differential equation. There is a similar theorem for non-linear first order differential equations. This theorem is not as useful for finding intervals of validity as the first theorem was so we won’t be doing all that much with it.

    Theorem 2

    Consider the following IVP.

    If (f(t,y)) and (frac<><>) are continuous functions in some rectangle (alpha < t < eta ), (gamma < y < delta ) containing the point ((t_, y_)) then there is a unique solution to the IVP in some interval (t_– h < t < t_ + h) that is contained in (alpha < t < eta ).

    That’s it. Unlike the first theorem, this one cannot really be used to find an interval of validity. So, we will know that a unique solution exists if the conditions of the theorem are met, but we will actually need the solution in order to determine its interval of validity. Note as well that for non-linear differential equations it appears that the value of (y_<0>) may affect the interval of validity.

    Here is an example of the problems that can arise when the conditions of this theorem aren’t met.

    First, notice that this differential equation does NOT satisfy the conditions of the theorem.

    So, the function is continuous on any interval, but the derivative is not continuous at (y = 0) and so will not be continuous at any interval containing (y = 0). In order to use the theorem both must be continuous on an interval that contains (y_ = 0) and this is problem for us since we do have (y_ = 0).

    Now, let’s actually work the problem. This differential equation is separable and is fairly simple to solve.

    Applying the initial condition gives (c = 0) and so the solution is.

    So, we’ve got two possible solutions here, both of which satisfy the differential equation and the initial condition. There is also a third solution to the IVP. (y(t) = 0) is also a solution to the differential equation and satisfies the initial condition.

    In this last example we had a very simple IVP and it only violated one of the conditions of the theorem, yet it had three different solutions. All the examples we’ve worked in the previous sections satisfied the conditions of this theorem and had a single unique solution to the IVP. This example is a useful reminder of the fact that, in the field of differential equations, things don’t always behave nicely. It’s easy to forget this as most of the problems that are worked in a differential equations class are nice and behave in a nice, predictable manner.

    Let’s work one final example that will illustrate one of the differences between linear and non-linear differential equations.

    Before proceeding in this problem, we should note that the differential equation is non-linear and meets both conditions of the Theorem 2 and so there will be a unique solution to the IVP for each possible value of (y_).

    Also, note that the problem asks for any dependence of the interval of validity on the value of (y_). This immediately illustrates a difference between linear and non-linear differential equations. Intervals of validity for linear differential equations do not depend on the value of (y_). Intervals of validity for non-linear differential can depend on the value of (y_) as we pointed out after the second theorem.

    So, let’s solve the IVP and get some intervals of validity.

    First note that if (y_ = 0) then (y(t) = 0) is the solution and this has an interval of validity of

    So, for the rest of the problem let's assume that ( e 0). Now, the differential equation is separable so let's solve it and get a general solution.

    Applying the initial condition gives

    Now that we have a solution to the initial value problem we can start finding intervals of validity. From the solution we can see that the only problem that we’ll have is division by zero at

    This leads to two possible intervals of validity.

    That actual interval of validity will be the interval that contains (t_ = 0). This however, depends on the value of (y_). If (y_ < 0 ) then (frac<1><<>> < 0) and so the second interval will contain (t_ = 0). Likewise, if (y_ > 0) then (frac<1><<>> > 0) and in this case the first interval will contain (t_ = 0).

    This leads to the following possible intervals of validity, depending on the value of (y_).

    On a side note, notice that the solution, in its final form, will also work if (y_ = 0).

    So, what did this example show us about the difference between linear and non-linear differential equations?

    First, as pointed out in the solution to the example, intervals of validity for non-linear differential equations can depend on the value of (y_), whereas intervals of validity for linear differential equations don’t.

    Second, intervals of validity for linear differential equations can be found from the differential equation with no knowledge of the solution. This is definitely not the case with non-linear differential equations. It would be very difficult to see how any of these intervals in the last example could be found from the differential equation. Knowledge of the solution was required in order for us to find the interval of validity.


    Logical Fallacies in Common Language

    In the previous discussion, we saw that logical arguments can be invalid when the premises are not true, when the premises are not sufficient to guarantee the conclusion, or when there are invalid chains in logic. There are a number of other ways in which arguments can be invalid, a sampling of which are given here.

    Ad hominem

    An ad hominem argument attacks the person making the argument, ignoring the argument itself.

    مثال

    “Jane says that whales aren’t fish, but she’s only in the second grade, so she can’t be right.”

    Here the argument is attacking Jane, not the validity of her claim, so this is an ad hominem argument.

    مثال

    “Jane says that whales aren’t fish, but everyone knows that they’re really mammals—she’s so stupid.”

    جربها

    Appeal to ignorance

    This type of argument assumes something is true because it hasn’t been proven false.

    مثال

    “Nobody has proven that photo isn’t Bigfoot, so it must be Bigfoot.”

    Appeal to authority

    These arguments attempt to use the authority of a person to prove a claim. While often authority can provide strength to an argument, problems can occur when the person’s opinion is not shared by other experts, or when the authority is irrelevant to the claim.

    جربها

    مثال

    “A diet high in bacon can be healthy – Doctor Atkins said so.”

    مثال

    “Jennifer Hudson lost weight with Weight Watchers, so their program must work.”

    Here, there is an appeal to the authority of a celebrity. While her experience does provide evidence, it provides no more than any other person’s experience would.

    Appeal to Consequence

    An appeal to consequence concludes that a premise is true or false based on whether the consequences are desirable or not.

    مثال

    “Humans will travel faster than light: faster-than-light travel would be beneficial for space travel.”

    جربها

    False dilemma

    A false dilemma argument falsely frames an argument as an “either or” choice, without allowing for additional options.

    مثال

    “Either those lights in the sky were an airplane or aliens. There are no airplanes scheduled for tonight, so it must be aliens.”

    This argument ignores the possibility that the lights could be something other than an airplane or aliens.

    جربها

    Circular reasoning

    Circular reasoning is an argument that relies on the conclusion being true for the premise to be true.

    مثال

    “I shouldn’t have gotten a C in that class I’m an A student!”

    In this argument, the student is claiming that because they’re an A student, though shouldn’t have gotten a C. But because they got a C, they’re not an A student.

    جربها

    Straw man

    A straw man argument involves misrepresenting the argument in a less favorable way to make it easier to attack.

    مثال

    “Senator Jones has proposed reducing military funding by 10%. Apparently he wants to leave us defenseless against attacks by terrorists”

    Here the arguer has represented a 10% funding cut as equivalent to leaving us defenseless, making it easier to attack.

    Post hoc (post hoc ergo propter hoc)

    A post hoc argument claims that because two things happened sequentially, then the first must have caused the second.

    مثال

    “Today I wore a red shirt, and my football team won! I need to wear a red shirt everytime they play to make sure they keep winning.”

    جربها

    Correlation implies causation

    Similar to post hoc, but without the requirement of sequence, this fallacy assumes that just because two things are related one must have caused the other. Often there is a third variable not considered.

    مثال

    “Months with high ice cream sales also have a high rate of deaths by drowning. Therefore ice cream must be causing people to drown.”

    This argument is implying a causal relation, when really both are more likely dependent on the weather that ice cream and drowning are both more likely during warm summer months.


    شاهد الفيديو: الفرق بين اليقين المنطقي و الأصولي. السيد كمال الحيدري (شهر اكتوبر 2021).