مقالات

1.6: حل المتباينات المركبة


أهداف التعلم

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • حل التفاوتات المركبة باستخدام الحرفين "و"
  • حل المتباينات المركبة باستخدام "أو"
  • حل التطبيقات ذات المتباينات المركبة

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. بسّط: ( frac {2} {5} (x + 10) ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].
  2. بسّط: (- (x − 4) ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].

حل المتباينات المركبة باستخدام "و"

الآن بعد أن عرفنا كيفية حل المتباينات الخطية ، فإن الخطوة التالية هي النظر إلى المتباينات المركبة. أ عدم المساواة المركبة يتكون من متباينين ​​مرتبطين بكلمة "و" أو كلمة "أو". على سبيل المثال ، فيما يلي عدم المساواة المركبة.

[ start {array} {lll} {x + 3> −4} & { text {and}} & {4x − 5 leq 3} {2 (y + 1) <0} & { text {or}} & {y − 5 geq −2} end {array} nonumber ]

عدم مساواة المركب

أ عدم المساواة المركبة يتكون من متباينين ​​مرتبطين بكلمة "و" أو كلمة "أو".

لحل متباينة مركبة ، يعني إيجاد جميع قيم المتغير التي تجعل المتباينة المركبة بيانًا صحيحًا. نحل المتباينات المركبة باستخدام نفس الأساليب التي استخدمناها لحل المتباينات الخطية. نحل كل متباينة على حدة ثم ننظر في الحلين.

لحل متباينة مركبة باستخدام كلمة "و" ، نبحث عن جميع الأعداد التي تتكون منها على حد سواء عدم المساواة صحيح. لحل متباينة مركبة باستخدام كلمة "أو" ، نبحث عن جميع الأعداد التي تتكون منها إما عدم المساواة صحيح.

لنبدأ بأوجه عدم المساواة المركبة بـ "و". سيكون حلنا هو الأرقام التي تمثل حلولًا لـ على حد سواء عدم المساواة المعروفة باسم تقاطع اثنين من المتباينات. ضع في اعتبارك أن تقاطع شارعين - الجزء الذي تتداخل فيه الشوارع - ينتمي إلى كلا الشارعين.

لإيجاد حل المتباينة المركبة "و" ، نلقي نظرة على الرسوم البيانية لكل متباينة ثم نجد الأرقام التي تنتمي إلى كلا الرسمين البيانيين - حيث تتداخل الرسوم البيانية.

بالنسبة إلى المتباينة المركبة (x> −3 ) و (x leq 2 ) ، فإننا نرسم كل متباينة بيانيًا. ثم نبحث عن مكان "تداخل" الرسوم البيانية. سيتم تظليل الأرقام المظللة في كلا التمثيلين على التمثيل البياني لحل المتباينة المركبة. راجع الشكل ( PageIndex {1} ).

يمكننا أن نرى أن الأرقام بين (- 3 ) و (2 ) مظللة في كلا الرسمين البيانيين الأولين. ثم يتم تظليلها على الرسم البياني للحل.

الرقم (- 3 ) غير مظلل في الرسم البياني الأول ، وبالتالي نظرًا لأنه غير مظلل في كلا الرسمين البيانيين ، فإنه غير مضمن في الرسم البياني للحل.

الرقم اثنان مظلل في الرسمين البيانيين الأول والثاني. لذلك ، فهو مظلل على الرسم البياني للحل.

هذه هي الطريقة التي سنعرض بها حلنا في الأمثلة التالية.

مثال ( PageIndex {1} )

حل (6x − 3 <9 ) و (2x + 7 geq 3 ). ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة.

إجابه
(6 س − 3 <9 )و (2x + 9 جيك 3 )
الخطوة 1. حل كل منهما
عدم المساواة.
(6 س − 3 <9 ) (2x + 9 جيك 3 )
(6x <12 ) (2x geq −6 )
(س <2 )و (س جيك -3 )
الخطوة 2. ارسم كل حل بيانيًا. سيظهر الرسم البياني النهائي جميع الأرقام التي تجعل كلا المتراجحتين صحيحين — الأعداد المظللة على حد سواء من أول رسمين بيانيين.
الخطوه 3. اكتب الحل في تدوين الفترة.([−3,2))
كل الأعداد التي تجعل كلا المتراجحتين صحيحة هي حل المتباينة المركبة.

مثال ( PageIndex {2} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة: (4x − 7 <9 ) و (5x + 8 geq 3 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {3} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة: (3x − 4 <5 ) و (4x + 9 geq 1 ).

إجابه

حل مشكلة عدم المساواة المركبة باستخدام "و."

  1. حل كل متباينة.
  2. ارسم كل حل بيانيًا. ثم رسم بياني الأرقام التي تصنع على حد سواء عدم المساواة صحيح.
    يوضح هذا الرسم البياني حل المتباينة المركبة.
  3. اكتب الحل في تدوين الفترة.

مثال ( PageIndex {4} )

حل (3 (2x + 5) leq 18 ) و (2 (x − 7) <- 6 ). ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة.

إجابه
(3 (2x + 5) leq 18 )و (2 (س − 7) <- 6 )
حل كل منهما
عدم المساواة.
(6x + 15 leq 18 ) (2 س − 14 <6 )
(6x leq 3 ) (2x <8 )
(x leq frac {1} {2} )و (س <4 )
رسم بياني لكل منهما
المحلول.
ارسم الأرقام
التي تجعل كلاهما
عدم المساواة صحيح.
اكتب الحل
في تدوين الفاصل.
((- infty، frac {1} {2}] )

مثال ( PageIndex {5} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل في شكل الفترة الزمنية: (2 (3x + 1) leq 20 ) و (4 (x − 1) <2 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {6} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل في شكل الفترة الزمنية: (5 (3x − 1) leq 10 ) و (4 (x + 3) <8 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {7} )

حل ( frac {1} {3} x − 4 geq −2 ) و (- 2 (x − 3) geq 4 ). ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة.

إجابه
( frac {1} {3} x − 4 geq −2 )و (- 2 (x − 3) geq 4 )
حل كل متباينة. ( frac {1} {3} x − 4 geq −2 ) (- 2 س + 6 جيك 4 )
( frac {1} {3} x geq 2 ) (- 2x geq −2 )
(س جيك 6 )و (س leq 1 )
ارسم كل حل بيانيًا.
ارسم الأرقام التي
جعل كلا من عدم المساواة
حقيقية.
لا توجد أرقام تجعل كلا التفاوتين صحيحين.

هذا تناقض لذلك لا يوجد حل ، لا توجد أرقام تجعل كلا التفاوتين صحيحين.

هذا تناقض لذلك لا يوجد حل ، لا توجد أرقام تجعل كلا التفاوتين صحيحين.

هذا تناقض لذا لا يوجد حل.

مثال ( PageIndex {8} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل بترميز الفترة الزمنية: ( frac {1} {4} x − 3 geq −1 ) و (- 3 (x − 2) geq 2 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {9} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل بترميز الفترة الزمنية: ( frac {1} {5} x − 5 geq −3 ) و (- 4 (x − 1) geq −2 ).

إجابه

أحيانًا يكون لدينا متباينة مركبة يمكن كتابتها بإيجاز أكبر. على سبيل المثال ، يمكن كتابة (a عدم المساواة المزدوجة. الشكلين متكافئان.

ضعف عدم المساواة

المتباينة المزدوجة هي متباينة مركبة مثل (a

[ text {Other Forms:} quad begin {array} {lllll} {a x> b} & { text {يعادل}} & {a> x} & { text {and}} & {x> b} {a geq x geq b} & { text {يعادل}} & {a geq x} & { text {and}} & {x geq b} end {array} nonumber ]

لحل المتباينة المزدوجة ، نقوم بإجراء نفس العملية على "الأجزاء" الثلاثة من المتباينة المزدوجة بهدف عزل المتغير في المركز.

مثال ( PageIndex {10} )

حل (- 4 leq 3x − 7 <8 ). ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة.

إجابه
أضف 7 إلى الأجزاء الثلاثة.
تبسيط. (3 لو 3 س <15 )
قسّم كل جزء على ثلاثة. ( dfrac {3} { color {red} {3}} leq dfrac {3x} { color {red} {3}} < dfrac {15} { color {red} {3}} )
تبسيط. (1 leq x <5 )
ارسم الحل.
اكتب الحل في تدوين الفترة.( [1, 5) )

عند كتابتها في صورة متباينة مزدوجة ، (1 leq x <5 ) ، من السهل ملاحظة أن الحلول هي الأرقام التي تم التقاطها بين واحد وخمسة ، بما في ذلك واحد ، ولكن ليس خمسة. يمكننا بعد ذلك رسم الحل على الفور كما فعلنا أعلاه.

هناك طريقة أخرى لرسم حل (1 leq x <5 ) وهي رسم كل من حل (x geq 1 ) وحل (x <5 ). سنجد بعد ذلك الأعداد التي تجعل كلا المتباينات صحيحة كما فعلنا في الأمثلة السابقة.

مثال ( PageIndex {11} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل بعلامة الفترة: (- 5 leq 4x − 1 <7 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {12} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل على شكل الفترة الزمنية: (- 3 <2x − 5 leq 1 ).

إجابه

حل المتباينات المركبة باستخدام "أو"

لحل أ عدم المساواة المركبة بـ "أو" ، نبدأ تمامًا كما فعلنا مع المتباينات المركبة بـ "و" - نحل المتراجعتين. ثم نجد كل الأرقام التي تصنعها إما عدم المساواة صحيح.

تمامًا كما أن الولايات المتحدة هي اتحاد جميع الولايات الخمسين ، فإن الحل سيكون اتحاد جميع الأرقام التي تجعل أيًا من عدم المساواة صحيحًا. لإيجاد حل المتباينة المركبة ، نلقي نظرة على الرسوم البيانية لكل متباينة ، ونوجد الأعداد التي تنتمي إلى أي من الرسمين البيانيين ونجمع كل هذه الأرقام معًا.

لكتابة الحل في تدوين الفاصل، سنستخدم غالبًا ملحق رمز الاتحاد، ( كوب ) ، لإظهار اتحاد الحلول الموضحة في الرسوم البيانية.

حل مشكلة عدم المساواة المركبة باستخدام "أو."

  1. حل كل متباينة.
  2. ارسم كل حل بيانيًا. ثم رسم بيانيًا الأرقام التي تجعل عدم المساواة صحيحة.
  3. اكتب الحل في تدوين الفترة.

مثال ( PageIndex {13} )

حل (5−3x leq −1 ) أو (8 + 2x leq 5 ). ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة.

إجابه
(5−3x leq −1 )أو (8 + 2x leq 5 )
حل كل متباينة. (5−3x leq −1 ) (8 + 2x leq 5 )
(- 3x leq −6 ) (2x leq −3 )
(س جيك 2 )أو (x leq - frac {3} {2} )
ارسم كل حل بيانيًا.
أرقام الرسم البياني
جعل إما عدم المساواة
حقيقية.
((- infty، −32] كوب [2، infty) )

مثال ( PageIndex {14} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة الزمنية: (1−2x leq −3 ) أو (7 + 3x leq 4 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {15} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة الزمنية: (2−5x leq −3 ) أو (5 + 2x leq 3 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {16} )

حل ( frac {2} {3} x − 4 leq 3 ) أو ( frac {1} {4} (x + 8) geq −1 ). ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة.

إجابه
( frac {2} {3} x − 4 leq 3 )أو ( frac {1} {4} (x + 8) geq −1 )
حل كل منهما
عدم المساواة.
(3 ( frac {2} {3} x − 4) leq 3 (3) ) (4⋅ فارك {1} {4} (س + 8) geq 4⋅ (−1) )
(2x − 12 leq 9 ) (س + 8 جيك −4 )
(2x leq 21 ) (س جيك −12 )
(x leq frac {21} {2} )
(x leq frac {21} {2} )أو (س جيك −12 )
رسم بياني لكل منهما
المحلول.
أرقام الرسم البياني
التي تجعل إما
عدم المساواة صحيح.
الحل يغطي جميع الأرقام الحقيقية.
((- infty، infty) )

مثال ( PageIndex {17} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل بتدوين الفترة: ( frac {3} {5} x − 7 leq −1 ) أو ( frac {1} {3} (x + 6) geq −2 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {18} )

حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل بتدوين الفترة: ( frac {3} {4} x − 3 leq 3 ) أو ( frac {2} {5} (x + 10) geq 0 ) .

إجابه

حل التطبيقات ذات المتباينات المركبة

المواقف في العالم الحقيقي تنطوي أيضًا على عدم مساواة مركبة. سنستخدم نفس استراتيجية حل المشكلات التي استخدمناها لحل المعادلات الخطية وتطبيقات عدم المساواة.

تذكر أن استراتيجيات حل المشكلات هي قراءة المشكلة أولاً والتأكد من فهم كل الكلمات. ثم حدد ما نبحث عنه وقم بتعيين متغير لتمثيله. بعد ذلك ، أعد صياغة المشكلة في جملة واحدة لتسهيل الترجمة إلى ملف عدم المساواة المركبة. أخيرًا ، سنحل المتباينة المركبة.

مثال ( PageIndex {19} )

بسبب الجفاف في ولاية كاليفورنيا ، فإن العديد من المجتمعات لديها معدلات مياه متدرجة. هناك معدلات مختلفة لاستخدام الحفظ والاستخدام العادي والاستخدام المفرط. يقاس الاستخدام بعدد مائة قدم مكعب يستخدمها صاحب العقار.

خلال فصل الصيف ، سيدفع مالك العقار 24.72 دولارًا أمريكيًا بالإضافة إلى 1.54 دولارًا أمريكيًا لكل hcf للاستخدام العادي. ستكون فاتورة الاستخدام العادي بين أو تساوي 57.06 دولارًا و 171.02 دولارًا. كم hcf يمكن للمالك استخدامه إذا أراد أن يظل استخدامه في النطاق الطبيعي؟

إجابه
حدد ما نبحث عنه.عدد hcf الذي يمكنه استخدامه والبقاء في نطاق فواتير "الاستخدام العادي".
اسم ما نبحث عنه.دع x = x = عدد hcf الذي يمكنه استخدامه.
ترجمة إلى عدم المساواة.الفاتورة هي 24.72 دولارًا أمريكيًا بالإضافة إلى 1.54 دولارًا لعدد مضاعفات hcf التي يستخدمها أو (24.72 + 1.54x ).

( color {Cerulean} { underbrace { color {black} { text {ستكون فاتورته بين أو تساوي} $ 57.06 text {and} $ 171.02.}}} )

(57.06 leq 24.74 + 1.54x leq 171.02 )

حل المتباينة.

(57.06 leq 24.74 + 1.54x leq 171.02 )

(32.34 leq 1.54x leq 146.3 )

( dfrac {32.34} { color {red} {1.54}} leq dfrac {1.54x} { color {red} {1.54}} leq dfrac {146.3} { color {red} {1.54 }} )

(21 leq x leq 95 )

اجب على السؤال.يمكن لمالك العقار استخدام (21–95 ) hcf ولا يزال يقع ضمن نطاق فواتير "الاستخدام العادي".

مثال ( PageIndex {20} )

بسبب الجفاف في كاليفورنيا ، أصبح لدى العديد من المجتمعات الآن معدلات مياه متدرجة. يقاس الاستخدام بعدد مائة قدم مكعب يستخدمها صاحب العقار.

خلال فصل الصيف ، سيدفع مالك العقار 24.72 دولارًا أمريكيًا بالإضافة إلى 1.32 دولارًا أمريكيًا لكل hcf لاستخدام الحفظ. ستكون فاتورة استخدام الحفظ بين أو تساوي 31.32 دولارًا أمريكيًا و 52.12 دولارًا أمريكيًا. كم عدد hcf الذي يمكن للمالك استخدامه إذا أراد أن يظل استخدامه في نطاق الحفظ؟

إجابه

يمكن لمالك المنزل استخدام (5–20 ) hcf ولا يزال يقع ضمن نطاق فواتير "استخدام الحفظ".

مثال ( PageIndex {21} )

بسبب الجفاف في ولاية كاليفورنيا ، فإن العديد من المجتمعات لديها معدلات مياه متدرجة. يقاس الاستخدام بعدد مائة قدم مكعب يستخدمها صاحب العقار.

خلال فصل الشتاء ، سيدفع مالك العقار 24.72 دولارًا أمريكيًا بالإضافة إلى 1.54 دولارًا أمريكيًا لكل hcf للاستخدام العادي. ستكون فاتورة الاستخدام العادي بين أو تساوي 49.36 دولارًا أمريكيًا و 86.32 دولارًا أمريكيًا. كم عدد hcf الذي سيسمح له باستخدامه إذا أراد أن يظل استخدامه في النطاق الطبيعي؟

إجابه

يمكن لمالك المنزل استخدام (16–40 ) hcf ولا يزال يقع ضمن نطاق فواتير "الاستخدام العادي".

قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية لحل التفاوتات المركبة.

  • عدم المساواة المركبة

المفاهيم الرئيسية

  • كيفية حل مشكلة عدم المساواة المركبة باستخدام "و"
    1. حل كل متباينة.
    2. ارسم كل حل بيانيًا. ثم رسم بياني الأرقام التي تصنع على حد سواء عدم المساواة صحيح. يوضح هذا الرسم البياني حل المتباينة المركبة.
    3. اكتب الحل في تدوين الفترة.
  • عدم المساواة المزدوجة
    • أ عدم المساواة المزدوجة هي متباينة مركبة مثل (a أشكال أخرى: [ start {align *} a a≤x≤b & & text {مكافئ لـ} & & a≤x ؛ text {and} ؛ x≤b
      a> x> b & & text {يكافئ} & & a> x ؛ text {and} ؛ x> b
      a≥x≥b & & text {مكافئ لـ} & & a≥x ؛ text {and} ؛ x≥b end {align *} ]

  • كيفية حل مشكلة عدم المساواة المركبة باستخدام "أو"
    1. حل كل متباينة.
    2. ارسم كل حل بيانيًا. ثم رسم بيانيًا الأرقام التي تجعل عدم المساواة صحيحة.
    3. اكتب الحل في تدوين الفترة.

قائمة المصطلحات

عدم المساواة المركبة
تتكون المتباينة المركبة من متباينين ​​مرتبطين بكلمة "و" أو كلمة "أو".

الاختلافات بين و / أو في المتباينات المركبة

يختلف مفهوم المتباينات المركبة عن المتباينات البسيطة ، فعند التعامل مع المتباينات البسيطة ، نقوم عادةً بتقييم مجموعات الحلول مع مراعاة متباينة واحدة في كل مرة. ومع ذلك ، أثناء حل المتباينات المركبة ، نقوم بتقييم مشكلتين أو أكثر من مشاكل عدم المساواة في نفس الوقت.

عند التعامل مع عدم المساواة المركبة مع و ' صياغات، فقط قيم المتغير الشائعة في مجموعات الحلول لكلا التفاوتات تعتبر إجابات ، أما بالنسبة لل ' أو ' صياغات، طالما تم استيفاء حتى 1 من المتباينة ، يمكن إضافة القيمة إلى مجموعة حل المتباينة المركبة.

نظرًا لأن المتباينات المركبة هي مزيج من اثنين على الأقل أو أكثر من المتباينات الخطية ، فإنها إما مرتبطة ببعضها البعض بواسطة الكلمة "AND" ، أو الكلمة "OR". تشترك الحلول الرياضية للعبارتين في أوجه التشابه بالإضافة إلى الاختلافات المهمة ، لذلك يميل الطلاب إلى الخلط بسهولة عند التعامل مع المتباينتين المركبتين.

ومن ثم ، للحصول على إجابات دقيقة ، دعونا نناقش كل نوع من أنواع عدم المساواة المركبة بالتفصيل.


عندما نستخدم المتباينات المركبة

يمكن أن تكون المتباينات المركبة مطلوبة عندما لا يمكننا كتابة متباينة كاملة معًا.


على سبيل المثال ، عدم المساواة المزدوجة & nbsp & nbsp -4 ونبسب x & nbsp & nbsp & nbsp جيد هذا الطلب.

-4& nbsp أقل من & nbsp x ، & nbsp مع & nbsp x & nbsp أقل من & nbsp4.

لكن إذا كتبنا: & nbsp & nbsp -4 نبسب> نبسب x & nbsp> & nbsp 4 .

القراءة من اليسار إلى اليمين تقول ذلك & nbsp x & nbsp أقل من & nbsp-4، & nbsp لكن أكبر من & nbsp4.
لكن هذا لا يمكن أن يكون هو الحال في نفس الوقت.


لذا بدلاً من ذلك يمكننا أن نقول: & nbsp & nbsp x & nbsp & nbsp & nbsp أو & nbsp & nbsp x & nbsp> & nbsp 4 .


حل المتباينات المركبة

تحتوي المتباينة المركبة على متباينتين على الأقل مفصولة إما بعلامة "و" أو "أو".

يمثل الرسم البياني لمتباينة مركبة مع "و" تقاطع الرسم البياني للمتباينات. الرقم هو حل للمتباينة المركبة إذا كان الرقم حلًا لكلا المتراجحتين. يمكن كتابتها إما x & gt -1 و x & lt 2 أو -1 & lt x & lt 2.

يمثل الرسم البياني لمتباينة مركبة مع "أو" اتحاد الرسوم البيانية للمتباينات. الرقم هو حل للمتباينة المركبة إذا كان الرقم حلًا لواحدة على الأقل من المتباينات. تتم كتابته كـ x & lt -1 أو x & gt 2


1.6: حل المتباينات المركبة

* و cricle مغلق أقل من أو يساوي أو مبشور ثم أو يساوي.




1-6 حل المتباينات المركبة والقيمة المطلقة

  • تتكون المتباينة المركبة من متراجعتين متصلتين بالكلمة و أو الكلمة أو . يحتوي الرسم البياني لمتباينة مركبة على و هو المثير للاهتمام من مجموعات الروح من اثنين من عدم المساواة.
  • يحتوي الرسم البياني لمتباينة مركبة على أو هي اتحاد مجموعتي حل المتباينتين.

والمتباينات المركبة

الكلمات: متباينة مركبة تحتوي على كلمة وصحيح إذا وفقط إذا كانت كلا المتباينات.

فيديو يوتيوب


المتباينات المركبة في الشكل [لاتكس] أ & ltx & ltb [/ لاتكس]

بدلاً من تقسيم عدم المساواة المركبة في شكل [لاتكس] a & ltx & ltb [/ لاتكس] إلى متباينين ​​[لاتكس] x & ltb [/ لاتكس] و [اللاتكس] x & gta [/ latex] ، يمكنك حل عدم المساواة بسرعة أكبر عن طريق تطبيق خصائص عدم المساواة على جميع الأجزاء الثلاثة من عدم المساواة المركبة.

مثال

حل من أجل x. [لاتكس] 3 lt2x + 3 leq 7 [/ لاتكس]

افصل المتغير عن طريق طرح 3 من جميع أجزاء المتباينة الثلاثة ثم قسمة كل جزء على 2.

تدوين عدم المساواة: [اللاتكس] displaystyle 0 lt le 2 [/ لاتكس]

تدوين الفاصل الزمني: [لاتكس] يسار (0،2 يمين] [/ لاتكس]

في الفيديو أدناه ، سترى مثالًا آخر على كيفية حل عدم المساواة في الشكل [اللاتكس] a & ltx & ltb [/ latex].

مثال

حل المتباينة المركبة مع المتغيرات في الأجزاء الثلاثة: [اللاتكس] 3 + x & gt7x - 2 & gt5x - 10 [/ latex].

لنجرب الطريقة الأولى: اكتب متراجعتين.

مجموعة الحل هي [اللاتكس] -4 & ltx & lt dfrac <5> <6> [/ latex] أو في الفاصل الزمني [اللاتكس] left (-4، dfrac <5> <6> normalsize right) [/ latex ]. لاحظ أنه عندما نكتب الحل في صيغة الفترة ، فإن العدد الأصغر يأتي أولاً. نقرأ الفواصل الزمنية من اليسار إلى اليمين كما تظهر على خط الأعداد.

لحل التفاوتات مثل [اللاتكس] a & ltx & ltb [/ latex] ، استخدم خصائص الجمع والضرب لعدم المساواة لحل عدم المساواة في x. مهما كانت العملية التي تجريها في الجزء الأوسط من المتباينة ، يجب عليك أيضًا إجراؤها على كل قسم من الأقسام الخارجية أيضًا. انتبه بشكل خاص للقسمة أو الضرب بالسالب.

حل المتباينة المركبة مع و هو دائمًا التداخل بين حل كل متباينة. هناك ثلاث نتائج محتملة لمتباينات مركبة مرتبطة بالكلمة و:

حالة 1:
وصف يمكن أن يكون الحل هو كل القيم الموجودة بين نقطتي نهاية
عدم المساواة [اللاتكس] x le <1> [/ latex] و [latex] x gt <-1> [/ latex] ، أو كمتباينة محدودة: [اللاتكس] <-1> lt le <1> [/ لاتكس]
فاصلة [لاتكس] يسار (-1،1 يمين] [/ لاتكس]
الرسوم البيانية
الحالة 2:
وصف يمكن أن يبدأ الحل عند نقطة على خط الأعداد ويمتد في اتجاه واحد.
عدم المساواة [اللاتكس] x gt3 [/ اللاتكس] و [اللاتكس] x ge4 [/ اللاتكس]
فاصلة [لاتكس] يسار [4، infty يمين) [/ لاتكس]
الرسوم البيانية
الحالة 3:
وصف في الحالات التي لا يوجد فيها تداخل بين المتباينتين ، لا يوجد حل للمتباينة المركبة
عدم المساواة [اللاتكس] x lt <-3> [/ اللاتكس] و [اللاتكس] x gt <3> [/ اللاتكس]
فترات [اللاتكس] left (- infty، -3 right) [/ latex] و [latex] left (3، infty right) [/ latex]
رسم بياني

في المثال أدناه ، لا يوجد حل للمتباينة المركبة لأنه لا يوجد تداخل بين المتباينات.

مثال

حل من أجل x. [لاتكس] x + 2 & gt5 [/ لاتكس] و [لاتكس] x + 4 & lt5 [/ لاتكس]


المتباينة المركبة هي متباينة تجمع بين متباينتين بسيطتين من خلال & # 8220و& # 8221 أو & # 8220أو“.

تظهر عدم المساواة المركبة مع & # 8220AND & # 8221 أن إحدى العبارتين صحيحة في الطبيعة. إذا كان هناك تداخل في حل البيانات الفردية للمتباينة المركبة. في حين أن "Or" تشير إلى أنه طالما أن أيًا من العبارات الواحدة صحيحة ، فإن الجملة المركبة بأكملها صحيحة. يطلق عليه اتحاد مجموعات الحلول للبيانات الفردية.

عدم المساواة المركبة: أو

يمثل الرسم البياني لعدم المساواة مع & # 8220OR & # 8221 الاتحاد حيث أن أيًا من العبارة الواحدة صحيح ، الجملة المركبة بأكملها صحيحة. حل أو عدم المساواة ، يجب أن تجعل القيمة جزءًا واحدًا فقط من عدم المساواة صحيحًا. الرقم هو حل للمتباينة المركبة إذا كان الرقم هو حل لواحدة على الأقل من المتباينات .. يشكل العطف "أو" - عند استخدامه في متباينة مركبة - ما يُشار إليه بـ & # 8217s انفصال.

مثال: x & lt 3 OR x> 5

العددين 0 و 6 كلاهما حل المتباينة ، لكن الرقم 4 ليس حلاً للمتباينة المعطاة

عدم المساواة المركبة: AND

يمثل الرسم البياني لمتباينة مركبة مع & # 8220 و & # 8221 تقاطع الرسم البياني للمتباينات. لكي تكون إجابة على متباينة AND ، يجب أن تجعل كلا الجزأين صحيحين. إنه التداخل أو التقاطع بين مجموعات الإجابات للبيانات الفردية. قد يكون العدد حلاً للمتباينة المركبة إذا كان المقدار هو حل لكلتا المتراجحتين. تُفهم المتباينة المركبة التي تستخدم كلمة "و" على أنها بالاشتراك.

مثال: x> 0 AND x & lt 4

إذن ، في هذه الحالة ، 2 هو حل للمتباينة المركبة ، لكن 5 ليس لأنه يفي بإحدى المتباينات فقط ، وليس كليهما.

ملاحظة: يمكن كتابتها أيضًا باسم ،

0 & lt x & lt 4


مشاكل عدم المساواة المركبة

المسألة 1: حل من أجل x في 2x + 3≥7 أو 2x + 9> 11

بحل المتباينة الأولى لـ x ، نحصل على:

2x + 3≥7

2x≥4

x2

بحل المتباينة الثانية لـ x ، نحصل على:

2x + 9> 11

2x> 2

x> 1

بيانيا ، نحصل على:

يمكن التعبير عن عدم المساواة على أنها عدم المساواة البسيطة:

x> 1

المشكلة 2: حل من أجل y في 2y + 7 & lt 13 أو 3y - 2 & lt10


الحل هو كل الأعداد الحقيقية.

يوضح خط الأعداد هذا مجموعة حل y & lt 3 أو y ≥ 4.

المسألة 3: حل 5−3x≤ − 1 أو 8 + 2x ≤5. ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة.

معطى 5 & # 8211 3x ≤ & # 8211 1 أو 8 + 2x ≤ 5

حل كل متباينة. 5 & ​​# 8211 3x ≤ & # 8211 1 8 + 2x ≤ 5

−3x ≤ −6 2x ≤ −3

x ≥ 2 أو x ≤ −32

ارسم بيانيًا للأرقام التي تجعل عدم المساواة صحيحة.

إجابة المتباينات المعطاة هي (−∞، −32] ∪ [2، ∞)

المشكلة 4: حل من أجل x: 3 x + 2 & lt 14 و 2 x & # 8211 5> -11.

لحل هذه المشكلة ، سنبدأ بحل كل معادلة على حدة. وبما أنه تم ربطهما بـ "و" ، فهذا يعني أن الحل المطلوب هو تداخل أو تقاطع.

3x + 2 & lt14

الآن ، اطرح 2 من الشكل واقسمه على 3 على كلا الجانبين

3x + 2 & # 8211 2 & lt 14 & # 8211 2

3x / 3 & lt 12/3

x & lt 4 2x & # 8211 5> -11

الآن،

أضف 5 لطرفي المعادلة وقسم المعادلة على 2

2x & # 8211 6 + 5> -11 + 5

2x> -6

س> -3

تشير x & lt 4 إلى أن جميع الأرقام الموجودة على اليسار هي 4 ، بينما تشير x> (-3) إلى أن جميع الأعداد على يمين المتباينة هي -3. ومن ثم ، فإن حل هذه المتباينات المركبة سيكون x> –3 و x & lt 4

المشكلة 5: حل 3 (2x + 5) ≤ 18 و 2 (x & # 8211 7) & lt -6. ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة.

3 (2x + 5) 18 و 2 (x & # 8211 7) & lt − 6

حل كل متباينة. 6x + 15≤18 2x & # 8211 14 & lt-6

6x ≤ 3 2x & lt8

x ≤ 12 و x & lt4

إجابة المتباينات المعطاة هي (−∞ ، 12]

المسألة 6: حل المتباينة المركبة. ارسم الحل واكتب الحل في تدوين الفترة: 5 (3x & # 8211 1) ≤ 10 و 4 (x + 3) & lt 8.


الممارسة المستقلة

تتكون الممارسة المستقلة من كلا النوعين من عدم المساواة المركبة. يزود الطلاب بمزيد من الممارسة للتمييز بين "و" و "أو". بعد الممارسة الموجهة ، أقوم بتعيين الطلاب للعمل على الممارسة المستقلة.

عندما يتبقى 10 دقائق في الفترة ، أخطط لتسليم طلابي قسيمة خروج لإكمالها. إذا لم يتم الانتهاء منها بعد مع الممارسة المستقلة ، فيجب إكمالها كواجب منزلي. يجب على الطلاب الذين انتهوا من تسليم ورقة عمل الممارسة المستقلة قبل مغادرتهم.

أحاول الحصول على مفتاح إجابة لتمكين الطلاب من التحقق من عملهم في الممارسة المستقلة. أعتقد أن التعليقات الفورية مفيدة في هذه المرحلة من الدورة.


خطة الدرس - احصل عليها!

س: كيف يصاب مدرس الرياضيات بكسر مركب؟

في هذا عدم المساواة في السلسلة ، لقد عالجت مجموعة كبيرة من عدم المساواة.

الآن ، حان الوقت لمعالجة أصعب حالات عدم المساواة: عدم المساواة المركبة!

إذا كنت بحاجة إلى مراجعة أولاً ، فابحث في الشريط الجانبي الأيمن أسفل الدروس ذات الصلة.

بالنسبة إلى عدم المساواة المركبة ، لا يتم حل متباينة واحدة فقط ، بل متعددة ، ويجب أن نكون حذرين للغاية في صياغة المشكلة لضمان عدم تفويت أي معلومات مهمة!

بالنسبة إلى المتباينة المركبة ، يجب أولاً تقسيم المتباينة ، ثم مقارنتها معًا ، مع الأخذ في الاعتبار الكلمة الرابطة و أو أو. سوف نتناول عبارات "و" أولاً.

إلى عن على و العبارات ، ابحث عن المكان الذي تتداخل فيه المتباينات وهذا هو المكان الوحيد الذي يمكننا أن نحصل فيه على حل.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك عدم المساواة المركبة هذه: x & gt 5 و x & lt 7. عندما نقارن الرسمين البيانيين ، يكون x & gt 5 هو:

لذلك ، المكان الوحيد الذي فيه على حد سواء الرياضيات من 5 إلى 7 ، غير شامل. يمكننا إعادة كتابة ذلك بصيغة

5 & ​​lt x & lt 7 ، وهو ما يعني x يجب أن يكون أكبر من 5 ولكن أصغر من 7.

ماذا لو كان لدينا معادلتين لا تفعل تداخل؟ على سبيل المثال x & gt 3 و x & lt 1. لدينا لا حل نظرًا لأن الرقم لا يمكن أن يكون أكبر من 3 وأصغر من 1.

في كثير من الأحيان ، يتم إعطاؤنا معادلة واحدة ذات معادلة خفية و، على سبيل المثال: 4 & lt x + 2 & lt 8. يمكن أيضًا إعادة كتابة هذا كـ

4 & lt x + 2 و x + 2 & lt 8 ، وهي أسهل بكثير في الحل.

نحصل على 2 & lt x و x & lt 6 ، والتي يمكننا تجميعها مرة أخرى للحصول على 2 & lt x & lt 6. لذا ، x بين 2 و 6.

هناك طريقة أبسط لحل عبارة "و" وهي تركها في شكلها الأصلي على سبيل المثال:

لحلها دون فصل المتباينة عن بعضها - أو فعل أشياء للطرفين كما هو الحال في المعادلات - يجب علينا أن نفعل ذلك الكل ثلاثة أجزاء. لذلك ، عندما نطرح 3 ، يجب أن نطرح 3 من كلاهما & ndash5 و 2x + 3 و 9 للحصول على & ndash8 & lt 2x & lt 6. الآن ، نقسم كل شيء على 2 لنحصل على & ndash4 & lt x & lt 6.

لكن انتظر! ماذا لو اضطررنا للقسمة أو الضرب على سالب ، كما في

& ndash8 & lt -2x & lt 6؟ بدلاً من قلب اتجاه العلامات عند القسمة ، سنقلب الرقمين الخارجيين بعد القسمة للحصول على الإجابة الصحيحة!

ننتهي بـ & ndash3 & lt x & lt 4 ، وهو أمر منطقي مقابل 4 & gt x.

الآن ، لدينا فكرة عن كيفية حل عبارات "و" ، دعنا ننتقل إلى "أو" العبارات.

إلى عن على أو عبارات ، بدلاً من أن تكون القيم الصحيحة هي تلك التي تتداخل فيها كلتا التفاوتات ، كما في و البيانات ، ل أو البيانات ، القيمة يجب أن تعمل فقط من أجلها واحد عدم المساواة. لو على حد سواء عمل عظيم ، لكننا نحتاج واحدًا فقط.

لنجرب & ndash4 + a & gt 1 أو & ndash4 + a & lt -3.

فقط قم بحل اللغتين (a & gt 5 أو a & lt 1).

لا توجد طريقة لدمج ملف أو بيان.

الآن بعد أن عرفنا كيفية حلها و و أو العبارات ، دعنا نتدرب على حلها ورسمها.


مثال 1: عدم المساواة المركبة

حل ورسم المتباينة التالية: 10 & lt 2x + 8 & lt16

لاحظ أن هذا هو عدم المساواة "اقتران". عادة ما تتضمن عدم المساواة في الاقتران كلمة "و".

إذا قرأنا هذا بصوت عالٍ ، فسنقول ، "10 أقل من 2x + 8 و 2x + 8 أقل من 16 ". لاحظ كيف تقسم كلمة" و "هذا إلى متراجعتين؟

هناك طريقتان مختلفتان لحل هذه المتباينة. الطريقة الأولى هي فصل هذا إلى متباينتين مختلفتين وحل كل منهما على حدة. الطريقة الثانية هي حل كلا الجزأين في نفس الوقت. سأوضح لك كلا الطريقتين ويمكنك أن تقرر ما هو الأفضل لك.

الطريقة الأولى: حل متباينتين بشكل مستقل

في هذه الطريقة ، سنستخدم كلمة "و" لكتابة متراجعتين مختلفتين.

لاحظ كيفية استخدام التعبير في المنتصف مرتين لكتابة متراجعتين مختلفتين.


شاهد الفيديو: حل المتباينات المركبة (شهر اكتوبر 2021).