مقالات

4.4: حل المتباينات المنطقية


أهداف التعلم

  • حل النسب
  • حل تطبيقات الشكل المتشابهة
  • حل تطبيقات الحركة الموحدة
  • حل تطبيقات العمل
  • حل مسائل الاختلاف المباشر
  • حل مسائل التباين العكسي

كن مستعدا

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

    مثال 2.2.13. مثال 2.5.13. مثال 2.2.9.

حل النسب

عندما يتساوى تعبيران عقلانيان ، فإن المعادلة المتعلقة بهما تسمى أ نسبة.

نسبة

النسبة هي معادلة بالصيغة ( dfrac {a} {b} = dfrac {c} {d} ) ، حيث (b neq 0، d neq 0 ).

تتم قراءة النسبة " (أ ) إلى (ب ) مثل (ج ) إلى (د )."

المعادلة ( dfrac {1} {2} = dfrac {4} {8} ) هي نسبة لأن الكسرين متساويين. تتم قراءة النسبة ( dfrac {1} {2} = dfrac {4} {8} ) "1 إلى 2 مثل 4 إلى 8."

نظرًا لأن النسبة هي معادلة ذات تعبيرات عقلانية ، فسنحل النسب بنفس الطريقة التي حلنا بها المعادلات المنطقية. سنضرب طرفي المعادلة في شاشة LCD لمسح الكسور ثم حل المعادلة الناتجة.

مثال ( PageIndex {1} )

حل: ( dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7} ).

المحلول

[ dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7} ، quad n neq-14 nonumber ]

اضرب كلا الجانبين بواسطة LCD.

[7 (n + 14) left ( dfrac {n} {n + 14} right) = 7 (n + 14) left ( dfrac {5} {7} right) nonumber ]

إزالة العوامل المشتركة من كل جانب.

[7 n = 5 (n + 14) بلا رقم ]

تبسيط.

[7 n = 5 n + 70 non number ]

حل من أجل (n ).

[ start {align} 2n & = 70 n & = 35 end {align} nonumber ]

التحقق من.

[ dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7} nonumber ]

البديل (n = 35 )

[ dfrac {35} {35 + 14} overet {؟} {=} dfrac {5} {7} nonumber ]

تبسيط.

[ dfrac {35} {49} overset {؟} {=} dfrac {5} {7} nonumber ]

اعرض العوامل المشتركة.

[ dfrac {5 cdot 7} {7 cdot 7} overset {؟} {=} dfrac {5} {7} nonumber ]

تبسيط.

[ dfrac {5} {7} = dfrac {5} {7} ؛ الجذور العدد ]

تمرين ( PageIndex {1} )

حل النسبة: ( dfrac {y} {y + 55} = dfrac {3} {8} ).

إجابه

(ص = 33 )

تمرين ( PageIndex {2} )

حل النسبة: ( dfrac {z} {z-84} = - dfrac {1} {5} ).

إجابه

(ض = 14 )

لاحظ في المثال الأخير أنه عندما قمنا بمسح الكسور عن طريق الضرب في شاشة LCD ، فإن النتيجة هي نفسها كما لو كنا قد قمنا بالضرب التبادلي.

[ start {align} dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7} quad quad quad dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7 } 7 (n + 14) left ( dfrac {n} {n + 14} right) = 7 (n + 14) left ( dfrac {5} {7} right) quad quad quad dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7} 7n = 5 (n + 14) quad quad quad 7n = 5 (n + 14) end {align} لا يوجد رقم ]

لأي نسبة ، ( dfrac {a} {b} = dfrac {c} {d} ) ، نحصل على نفس النتيجة عندما نزيل الكسور عن طريق الضرب في شاشة LCD كما هو الحال عند الضرب التبادلي.

[ start {align} dfrac {a} {b} = dfrac {c} {d} quad quad quad dfrac {a} {b} = dfrac {c} {d} bd left ( dfrac {a} {b} = frac {c} {d} right) bd quad quad quad frac {a} {b} = frac {c} {d} ad = bc quad quad quad ad = bc end {align} nonumber ]

لحل التطبيقات ذات النسب ، سوف نتبع استراتيجيتنا المعتادة لحل التطبيقات ولكن عندما نقوم بإعداد النسبة ، يجب أن نتأكد من صحة الوحدات - يجب أن تتطابق الوحدات الموجودة في البسط مع بعضها البعض ويجب أيضًا أن تتطابق الوحدات الموجودة في المقامات تطابق بعضها البعض.

عندما يصف أطباء الأطفال عقار الاسيتامينوفين للأطفال ، فإنهم يصفون 5 مليلتر (مل) من الأسيتامينوفين لكل 25 رطلاً من وزن الطفل. إذا كانت زوي تزن 80 رطلاً ، فكم مليلترًا من عقار الاسيتامينوفين سيصفها الطبيب؟

المحلول

حدد ما يطلب منا إيجاده ، واختر متغيرًا لتمثيله.

كم مل من عقار الاسيتامينوفين سيصفه الطبيب؟

دع (أ = مل ) من عقار الاسيتامينوفين.

اكتب جملة تعطي المعلومات لإيجادها.

إذا تم وصف 5 مل لكل 25 جنيها ، فكم سيتم وصفها مقابل 80 جنيها؟

ترجم إلى نسبة — كن حذرًا من الوحدات.

الخطوة 1. اكتب المتباينة في صورة خارج القسمة على اليسار وصفر على اليمين. لدينا عدم المساواة في هذا الشكل.

[ dfrac {x-1} {x + 3} geq 0 nonumber ]

الخطوة 2. حدد النقاط الحرجة - النقاط التي يكون فيها التعبير المنطقي صفرًا أو غير معرّف.

سيكون المقدار المنطقي صفرًا عندما يكون البسط صفرًا. بما أن (x-1 = 0 ) عندما (x = 1 ) ، فإن 1 هي نقطة حرجة. سيكون المقدار المنطقي غير معرّف عندما يكون المقام صفرًا. بما أن (س + 3 = 0 ) عندما (س = -3 ) ، فإن -3 نقطة حرجة.

الخطوه 3. استخدم النقاط الحرجة لتقسيم خط الأعداد إلى فترات.

الخطوة 4. فوق خط الأعداد تظهر علامة كل عامل من عوامل التعبير المنطقي في كل فترة. تظهر أسفل خط الأعداد علامة حاصل القسمة.

استخدم القيم في كل فترة لتحديد قيمة كل عامل في الفترة. في الفترة (-3،1) ، يعد الصفر قيمة جيدة للاختبار. على سبيل المثال ، عندما (x = 0 ) ثم (x-1 = -1 ) و (x + 3 = 3 ) يتم تمييز العامل (x-1 ) بالسالب و (x + 3) ) علامة إيجابية. نظرًا لأن سالب مقسومًا على موجب هو سالب ، يتم تمييز حاصل القسمة بالسالب في تلك الفترة.

الخطوة الخامسة. حدد الفترات التي تكون فيها المتباينة صحيحة. اكتب الحل في تدوين الفترة.

نريد أن يكون حاصل القسمة أكبر من أو يساوي صفرًا ، لذا فإن الأرقام الموجودة في الفترات ((- infty ، -3) ) و ((1 ، infty) ) هي حلول. نظرًا لأنه يجب استبعاد 3 لأنه يجعل التعبير المنطقي 0 ، فلا يمكننا تضمينه في الحل. يمكننا تضمين 1 في حلنا.

[(- infty، -3) كوب [1، infty) غير عدد ]

اضرب كلا الجانبين في LCD ، 400. احذف العوامل المشتركة من كلا الجانبين. بسّط ، لكن لا تضرب في الجهة اليسرى. لاحظ الخطوة التالية.

[16 cdot 5 = 5 أ بلا رقم ]

حل من أجل (أ ).

[ start {align} dfrac {16 cdot 5} {5} & = dfrac {5 a} {5} 16 & = a end {align} nonumber ]

التحقق من. هل الجواب معقول؟ اكتب جملة كاملة.

سيصف طبيب الأطفال 16 مل من عقار الاسيتامينوفين لـ Zoe.

تمرين ( PageIndex {3} )

يصف أطباء الأطفال 5 مليلتر (مل) من عقار الاسيتامينوفين لكل 25 رطلاً من وزن الطفل. كم مليلتر من عقار الاسيتامينوفين سيصفه الطبيب لإميليا التي تزن 60 رطلاً؟

إجابه

سيصف طبيب الأطفال 12 مل من عقار الاسيتامينوفين لإميليا.

تمرين ( PageIndex {4} )

لكل 1 كيلوغرام من وزن الطفل ، يصف أطباء الأطفال 15 ملليجرام (مجم) من خافض للحرارة. إذا كان وزن إيزابيلا 12 كجم ، فكم ملليغرام من خافض الحمى سيصفه طبيب الأطفال؟

إجابه

سيصف طبيب الأطفال إيزابيلا 180 ملغ من خافض الحرارة.

حل تطبيقات الشكل المتشابهة

عندما تقوم بتقليص أو تكبير صورة على هاتف أو جهاز لوحي ، أو اكتشاف مسافة على خريطة ، أو استخدام نمط لبناء خزانة كتب أو خياطة فستان ، فأنت تعمل بأشكال متشابهة. إذا كان شكلان لهما نفس الشكل تمامًا ، لكنهما يختلفان في الحجم ، فيقال إنهما متشابهان. واحد هو نموذج مصغر للآخر. جميع الزوايا المتناظرة لها نفس المقاييس وأضلاعها المقابلة لها نفس النسبة.

أرقام متشابهة

يتشابه شكلان إذا كانت قياسات زواياهما المتناظرة متساوية وكانت أضلاعهما المقابلة لها نفس النسبة.

على سبيل المثال ، المثلثان في الشكل أدناه متشابهان. كل جانب من ( Delta ABC ) يساوي أربعة أضعاف طول الجانب المقابل لـ ( Delta XYZ ).

يتلخص هذا في خاصية المثلثات المتشابهة.

خاصية المثلثات المتشابهة

إذا كان ( Delta ABC ) مشابهًا لـ ( Delta XYZ ) ، فسيكون قياس الزاوية المقابل متساويًا وله الجوانب المقابلة لها نفس النسبة.

لحل التطبيقات ذات الأرقام المتشابهة ، سوف نتبع إستراتيجية حل المشكلات للتطبيقات الهندسية التي استخدمناها سابقًا.

مثال ( PageIndex {3} )

على الخريطة ، تشكل سان فرانسيسكو ولاس فيغاس ولوس أنجلوس مثلثًا. المسافة بين المدن تقاس بالبوصة. يمثل الشكل الموجود على اليسار أدناه المثلث الذي شكلته المدن على الخريطة. إذا كانت المسافة الفعلية من لوس أنجلوس إلى لاس فيغاس هي 270 ميلاً ، فأوجد المسافة من لوس أنجلوس إلى سان فرانسيسكو.

المحلول

نظرًا لأن المثلثات متشابهة ، فإن الأضلاع المتناظرة متناسبة.

اقرأ المشكلة. ارسم الأشكال وقم بتسميتها بالمعلومات المقدمة. الأرقام موضحة أعلاه.

تحديد ما نبحث عنه: المسافة الفعلية من لوس أنجلوس إلى سان فرانسيسكو

اسم المتغيرات: اسمحوا (س ) = المسافة من لوس أنجلوس إلى سان فرانسيسكو.

يترجم في معادلة. نظرًا لأن المثلثات متشابهة ، فإن الأضلاع المتناظرة متناسبة. سنجعل البسط "أميال" والمقام "بوصة".

[$ dfrac {x text {miles}} {1.3 text {inches}} = dfrac {270 text {miles}} {1 text {inch}} $ nonumber ]

يحل المعادلة.

[ begin {align} 1.3 left ( dfrac {x} {1.3} right) & = 1.3 left ( dfrac {270} {1} right) x & = 351 end {align} لا يوجد رقم ]

التحقق من. المسافة من لوس أنجلوس إلى سان فرانسيسكو على الخريطة هي أكثر من المسافة من لوس أنجلوس إلى لاس فيغاس. نظرًا لأن 351 أكبر من 270 ، فإن الإجابة منطقية.

تحقق من (x = 351 ) في النسبة الأصلية. استخدم الآلة الحاسبة.

[ start {align} dfrac {x text {miles}} {1.3 text {inches}} & = dfrac {270 text {miles}} {1 text {inch}} dfrac { 351 text {miles}} {1.3 text {inches}} & overset {؟} {=} dfrac {270 text {miles}} {1 text {inch}} dfrac {270 text {miles}} {1 text {inch}} & = dfrac {270 text {miles}} {1 text {inch}} surd end {align} nonumber ]

إجابه السؤال: المسافة من لوس أنجلوس إلى سان فرانسيسكو 351 ميلاً.

على الخريطة ، تشكل سياتل وبورتلاند وبويز مثلثًا. المسافة الفعلية من سياتل إلى بويسي 400 ميل.

تمرين ( PageIndex {5} )

أوجد المسافة الفعلية من سياتل إلى بورتلاند.

إجابه

المسافة 150 ميلا.

تمرين ( PageIndex {6} )

أوجد المسافة الفعلية من بورتلاند إلى بويز.

إجابه

المسافة 350 ميلا.

يمكننا استخدام أرقام متشابهة لإيجاد ارتفاعات لا يمكننا قياسها بشكل مباشر.

مثال ( PageIndex {4} )

يبلغ طول تايلر 6 أقدام. في وقت متأخر من عصر أحد الأيام ، كان طول ظله 8 أقدام. في الوقت نفسه ، كان طول ظل الشجرة 24 قدمًا. أوجد ارتفاع الشجرة.

المحلول

اقرأ المشكلة وارسم شكلاً. نحن نبحث عن ارتفاع الشجرة.

سنستخدم مثلثات متشابهة لكتابة معادلة. المثلث الصغير يشبه المثلث الكبير.

[ dfrac {h} {24} = dfrac {6} {8} nonumber ]

حل النسبة.

[ start {align} 24 left ( dfrac {6} {8} right) & = 24 left ( dfrac {h} {24} right) 18 & = h end {align} لا يوجد رقم ]

تبسيط. التحقق من.

ارتفاع تايلر أقل من طول ظله ، لذا فمن المنطقي أن يكون ارتفاع الشجرة أقل من طول ظلها. تحقق من (ح = 18 ) في النسبة الأصلية.

[ begin {align} & dfrac {6} {8} = dfrac {h} {24} & dfrac {6} {8} overset {؟} {=} dfrac {18} { 24} & dfrac {3} {4} = dfrac {3} {4} surd end {align} nonumber ]

تمرين ( PageIndex {7} )

عمود الهاتف يلقي بظلاله بطول 50 قدمًا. في الجوار ، هناك لافتة مرور يبلغ ارتفاعها 8 أقدام تلقي بظلالها التي يبلغ طولها 10 أقدام. كم يبلغ ارتفاع عمود الهاتف؟

إجابه

يبلغ ارتفاع عمود الهاتف 40 قدمًا.

تمرين ( PageIndex {8} )

تلقي شجرة الصنوبر بظلالها على ارتفاع 80 قدمًا بجوار مبنى يبلغ ارتفاعه 30 قدمًا يلقي بظلاله على ارتفاع 40 قدمًا. كم يبلغ ارتفاع شجرة الصنوبر؟

إجابه

يبلغ طول شجرة الصنوبر 60 قدمًا.

حل تطبيقات الحركة الموحدة

لقد حللنا مشاكل الحركة الموحدة باستخدام الصيغة (D = r t ) في الفصول السابقة. استخدمنا جدولًا مثل الجدول أدناه لتنظيم المعلومات وقيادتنا إلى المعادلة.

معدل ( cdot ) الوقت = المسافة

تفترض الصيغة (D = r t ) أننا نعرف (r ) و (t ) ونستخدمها لإيجاد (D ). إذا علمنا (D ) و (r ) وأردنا إيجاد (t ) ، فسنحل معادلة (t ) ونحصل على الصيغة (t = dfrac {D} {r } ).

لقد أوضحنا أيضًا كيف يؤثر الطيران مع الريح أو عكسها على سرعة الطائرة. سنعيد النظر في هذه الفكرة في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {5} )

يمكن للطائرة أن تطير 200 ميل في سرعة 30 ميل في الساعة في نفس الوقت الذي تستغرقه للطيران 300 ميل مع رياح خلفية 30 ميل في الساعة. ما هي سرعة الطائرة؟

المحلول

هذه حالة حركة موحدة. سيساعدنا الرسم التخطيطي على تصور الموقف.

نقوم بملء المخطط لتنظيم المعلومات.

نحن نبحث عن سرعة الطائرة. دع (r ) = سرعة الطائرة.

عندما تطير الطائرة مع الريح ، تزيد الرياح من سرعتها وبالتالي يكون المعدل (r + 30 ).

عندما تطير الطائرة عكس الريح ، تقل سرعتها وتكون السرعة (ص - 30 ).

اكتب في الأسعار. اكتب في المسافات. منذ (D = r cdot t ) ، قمنا بالحل من أجل (t ) والحصول على (t = dfrac {D} {r} ). نقسم المسافة على المعدل في كل صف ، ونضع التعبير في عمود الوقت.

معدل ( cdot ) الوقت = المسافة
رياح معاكسة (ص -30 ) ( dfrac {200} {r-30} )200
الريح الخلفية (ص + 30 ) ( dfrac {300} {r + 30} )300

نعلم أن الأوقات متساوية ، لذا نكتب المعادلة.

[ dfrac {200} {r-30} = dfrac {300} {r + 30} nonumber ]

نضرب كلا الجانبين في شاشة LCD.

[(r + 30) (r-30) يسار ( frac {200} {r-30} يمين) = (r + 30) (r-30) يسار ( frac {300} {r + 30} right) nonumber ]

بسّط وحل.

[ start {align} (r + 30) (200) & = (r-30) 300 200 r + 6000 & = 300 r-9000 15000 & = 100 r end {align} nonumber ]

التحقق من.

هل (150 mathrm {mph} ) سرعة معقولة للطائرة؟ نعم فعلا. إذا كانت الطائرة تسافر (150 mathrm {mph} ) وكانت الرياح (30 mathrm {mph} ) ،

[ text {Tailwind} quad 150 + 30 = 180 mathrm {mph} quad dfrac {300} {180} = dfrac {5} {3} text {hours} nonumber ]

[ text {Headwind} 150-30 = 120 mathrm {mph} dfrac {200} {120} = dfrac {5} {3} text {hours} nonumber ]

الأوقات متساوية ، لذلك يتحقق. كانت الطائرة مسافرة (150 mathrm {mph} ).

تمرين ( PageIndex {9} )

يمكن لـ Link ركوب دراجته 20 ميلاً في رياح معاكسة تبلغ 3 أميال في الساعة في نفس الوقت الذي يمكنه فيه ركوب 30 ميلاً مع رياح خلفية تبلغ 3 أميال في الساعة. ما هي سرعة ركوب الدراجات في Link؟

إجابه

سرعة ركوب الدراجات في Link هي 15 ميلاً في الساعة.

تمرين ( PageIndex {10} )

يمكن لدانيكا أن تبحر بقاربها لمسافة 5 أميال في سرعة 7 أميال في الساعة في نفس الوقت الذي تستطيع فيه الإبحار 12 ميلاً مع رياح خلفية تبلغ 7 أميال في الساعة. ما هي سرعة قارب دانيكا بدون ريح؟

إجابه

سرعة قارب دانيكا 17 ميلاً في الساعة.

في المثال التالي ، سنعرف الوقت الإجمالي الناتج عن السفر مسافات مختلفة بسرعات مختلفة.

مثال ( PageIndex {6} )

تدربت جزمين لمدة 3 ساعات يوم السبت. ركضت مسافة 8 أميال ثم قطعت الدراجة لمسافة 24 ميلاً. سرعة ركوب دراجتها أسرع بـ 4 أميال في الساعة من سرعة ركضها. ما هي سرعتها في الجري؟

المحلول

هذه حالة حركة موحدة. سيساعدنا الرسم التخطيطي على تصور الموقف.

نقوم بملء المخطط لتنظيم المعلومات. نحن نبحث عن سرعة تشغيل Jazmine. دعونا (r ) = سرعة تشغيل Jazmine.

سرعة ركوب دراجتها أسرع بـ 4 أميال من سرعة ركضها. (r + 4 ) = سرعة ركوب الدراجة

تم إعطاء المسافات ، أدخلها في المخطط. منذ (D = r cdot t ) ، قمنا بالحل من أجل (t ) والحصول على (t = dfrac {D} {r} ).نقسم المسافة على المعدل في كل صف ، ونضع التعبير في عمود الوقت.

معدل ( cdot ) الوقت = المسافة
يركض (ص ) ( dfrac {8} {r} )8
دراجة هوائية (ص + 4 ) ( dfrac {24} {r + 4} )24
3

اكتب جملة كلمة: وقتها بالإضافة إلى وقت ركوب الدراجة 3 ساعات.

ترجم الجملة للحصول على المعادلة.

[ dfrac {8} {r} + dfrac {24} {r + 4} = 3 nonumber ]

يحل.

[ ابدأ {محاذاة}
r (r + 4) left ( dfrac {8} {r} + dfrac {24} {r + 4} right) & = 3 cdot r (r + 4)
8 (ص + 4) +24 ص & = 3 ص (ص + 4)
8 ص + 32 + 24 ص & = 3 ص ^ {2} +12 ص
32 + 32 ص & = 3 ص ^ {2} +12 ص
0 & = 3 ص ^ {2} -20 ص -32
0 & = (3 ص + 4) (ص 8)
نهاية {محاذاة} غير رقم ]

[ start {array} {lc} {(3 r + 4) = 0} & {(r-8) = 0} إلغاء {r = dfrac {4} {3}} quad & { r = 8} نهاية {مجموعة} غير رقم ]

التحقق من.

السرعة السالبة لا معنى لها في هذه المشكلة ، لذا (r = 8 ) هو الحل.

8 ميلا في الساعة هي سرعة تشغيل معقولة؟ نعم فعلا.

إذا كان معدل تشغيل Jazmine هو 4 ، فإن معدل ركوبها للدراجة (r + 4 ) ، وهو (8 + 4 = 12 ).

[ text {Run} 8 mathrm {mph} quad dfrac {8 mathrm {miles}} {8 mathrm {mph}} = 1 text {hour} nonumber ]

[ text {Bike} 12 text {mph} quad dfrac {24 text {miles}} {12 mathrm {mph}} = 2 text {hours} nonumber ]

سرعة تشغيل Jazmine هي 8 ميل في الساعة.

تمرين ( PageIndex {11} )

ذهب دينيس للتزلج الريفي على الثلج لمدة 6 ساعات يوم السبت. تزلج 20 ميلا صعودا ثم 20 ميلا إلى أسفل المنحدر ، والعودة إلى نقطة البداية. كانت سرعته الشاقة 5 ميل في الساعة أبطأ من سرعة الانحدار. ماذا كانت سرعة دينيس صعودًا وسرعته تنخفض؟

إجابه

كانت سرعة صعود دينيس 10 ميل في الساعة وسرعة انحدارها كانت 5 ميل في الساعة.

تمرين ( PageIndex {12} )

قاد جون السيارة لمدة 4 ساعات إلى منزله ، حيث قطع 208 أميال على الطريق السريع و 40 ميلًا على الطرق الريفية. إذا كان يقود سيارته بسرعة 15 ميلاً في الساعة على الطريق السريع أسرع منه على الطرق الريفية ، فما هو معدله على الطرق الريفية؟

إجابه

معدل جون على الطرق الريفية هو 50 ميلاً في الساعة.

مرة أخرى ، سنستخدم صيغة الحركة الموحدة التي تم حلها للمتغير (t ).

مثال ( PageIndex {7} )

ركب هاميلتون دراجته على المنحدر لمسافة 12 ميلًا على درب النهر من منزله إلى المحيط ثم ركب صعودًا للعودة إلى المنزل. كانت سرعته الشاقة 8 أميال في الساعة أبطأ من سرعة الانحدار. استغرق وصوله إلى المنزل ساعتين أكثر مما استغرقه للوصول إلى المحيط. اكتشف سرعة انحدار هاملتون.

المحلول

هذه حالة حركة موحدة. سيساعدنا الرسم التخطيطي على تصور الموقف.

نقوم بملء المخطط لتنظيم المعلومات.

نحن نبحث عن سرعة انحدار هاملتون. دعونا (ح ) = سرعة انحدار هاميلتون.

سرعته الشاقة أبطأ بمقدار 8 أميال في الساعة. (h-8 ) = سرعة صعود هاميلتون.

أدخل الأسعار في الرسم البياني.

المسافة هي نفسها في كلا الاتجاهين: 12 ميلاً.

منذ (D = r cdot t ) ، قمنا بالحل من أجل (t ) والحصول على (t = dfrac {D} {r} ). نقسم المسافة على المعدل في كل صف ، ونضع التعبير في عمود الوقت.

معدل ( cdot ) الوقت = المسافة
انحدار (ح ) ( dfrac {12} {h} )12
شاق (ح -8 ) ( dfrac {12} {h-8} )12

اكتب جملة كلمة عن السطر: لقد استغرق ساعتين أطول من المنحدر. وقت الصعود هو 2 أكثر من وقت الانحدار.

ترجم الجملة للحصول على المعادلة.

[ dfrac {12} {h-8} = dfrac {12} {h} +2 nonumber ]

يحل.

[ ابدأ {محاذاة}
h (h-8) left ( dfrac {12} {h-8} right) & = h (h-8) left ( dfrac {12} {h} +2 right)
12 ساعة & = 12 (ح -8) +2 ساعة (ح -8)
12 ساعة & = 12 ساعة -96 + 2 ساعة ^ {2} -16 ساعة
0 & = 2 ساعة ^ {2} -16 ساعة -96
0 & = 2 يسار (ح ^ {2} -8 س -48 يمين)
0 & = 2 (ح -12) (ح + 4)
نهاية {محاذاة} غير رقم ]

[ start {array} {lc} h-12 = 0 & h + 4 = 0 h = 12 & cancell {h = 4} end {array} nonumber ]

التحقق من. هل (12 mathrm {mph} ) سرعة معقولة لركوب الدراجة المنحدرة؟ نعم فعلا.

[ text {Downhill} 12 mathrm {mph} quad dfrac {12 text {miles}} {12 mathrm {mph}} = 1 text {hour} nonumber ]

[ text {Uphill} 12-8 = 4 mathrm {mph} quad dfrac {12 text {miles}} {4 mathrm {mph}} = 3 text {hours} nonumber ]

وقت الصعود هو ساعتان أكثر من وقت الانحدار.

سرعة انحدار هاميلتون هي (12 mathrm {mph} ).

تمرين ( PageIndex {13} )

ركبت كايلا دراجتها على بعد 75 ميلاً من الكلية إلى المنزل في عطلة نهاية أسبوع واحدة ثم استقلت الحافلة عائدة إلى الكلية. استغرقت عودتها إلى الكلية في الحافلة ساعتين أقل مما استغرقته للوصول إلى المنزل على دراجتها ، وكان متوسط ​​سرعة الحافلة 10 أميال في الساعة أسرع من سرعة ركوب كايلا للدراجات. اكتشف سرعة ركوب الدراجات في كايلا.

إجابه

كانت سرعة ركوب الدراجات في كايلا 15 ميلاً في الساعة.

تمرين ( PageIndex {14} )

تهرول فيكتوريا مسافة 12 ميلاً إلى المنتزه على طول ممر مسطح ثم تعود بالركض على درب منحدر يبلغ طوله 20 ميلاً. ركضت مسافة ميل واحد في الساعة على درب التلال أبطأ مما كانت عليه في المسار المسطح ، وتستغرق رحلة عودتها ساعتين أطول. ابحث عن معدل ركضها على الطريق المسطح.

إجابه

ركضت فيكتوريا 6 ميل في الساعة على الطريق المسطح.

حل تطبيقات العمل

تحتوي مجلة الشائعات الأسبوعية على قصة كبيرة عن طفل الأميرة ويريد المحرر طباعة المجلة في أسرع وقت ممكن. لقد طلبت من الطابعة تشغيل مطبعة إضافية لإنجاز الطباعة بسرعة أكبر. اضغط على # 1 يستغرق 6 ساعات للقيام بالمهمة ، ثم اضغط على # 2 يستغرق 12 ساعة للقيام بالمهمة. كم من الوقت ستستغرق الطابعة لطباعة المجلة مع تشغيل كلتا المطابع معًا؟

هذا هو تطبيق "عمل" نموذجي. هناك ثلاث كميات متضمنة هنا - الوقت الذي سيستغرقه كل من المطابعين للقيام بالمهمة بمفردهما والوقت الذي سيستغرقهما لأداء المهمة معًا.

إذا كان بإمكان الضغط على # 1 إكمال المهمة في 6 ساعات ، فسيتم إكمال ( dfrac {1} {6} ) المهمة خلال ساعة واحدة.

إذا كان بإمكان الضغط على # 2 إكمال المهمة في 12 ساعة ، فسيتم إكمال ( dfrac {1} {12} ) المهمة خلال ساعة واحدة.

سنجعل (t ) عدد الساعات التي ستستغرقها المطابع لطباعة المجلات مع تشغيل كلتا المطابع معًا. لذلك في ساعة واحدة من العمل معًا ، أكملوا ( dfrac {1} {t} ) المهمة.

يمكننا نمذجة هذا باستخدام معادلة الكلمة ثم ترجمتها إلى معادلة منطقية. للعثور على الوقت الذي ستستغرقه المطابع لإكمال المهمة إذا عملوا معًا ، قمنا بالحل من أجل (t ).

اتبع الخطوات لتنظيم المعلومات. نحن نبحث عن عدد الساعات التي سيستغرقها إكمال المهمة مع تشغيل كلتا المطابع معًا.

الخطوة 1: اسمحوا (t ) = عدد الساعات اللازمة لإكمال المهمة معًا.

الخطوة 2: أدخل الساعات لكل مهمة من أجل Press # 1 ، Press # 2 ، وعندما يعملان معًا.

إذا كانت المهمة في Press # 1 تستغرق 6 ساعات ، فسيتم إكمال ( dfrac {1} {6} ) خلال ساعة واحدة.

وبالمثل ، ابحث عن جزء المهمة المكتملة / ساعات لـ Press # 2 وعندما يكونا معًا.

عدد الساعات لانجاز العمل.جزء من العمل مكتمل / ساعة
اضغط على # 16 ( dfrac {1} {6} )
اضغط على # 212 ( dfrac {1} {12} )
سويا (ر ) ( dfrac {1} {t} )

اكتب جملة كلمة. الجزء المكتمل بالضغط على رقم 1 بالإضافة إلى الجزء المكتمل بالضغط على رقم 2 يساوي المبلغ المكتمل معًا.

الخطوه 3: ترجم إلى معادلة.

[ text {اكتمل العمل بواسطة} underbrace { text {Press} # 1 + text {Press} # 2 = text {Together}} dfrac {1} {6} qquad + qquad dfrac {1} {12} qquad = qquad dfrac {1} {t} nonumber ]

الخطوة 4: يحل. تبسيط.

[ dfrac {1} {6} + dfrac {1} {12} = dfrac {1} {t} nonumber ]

اضرب في LCD ، (12t ) وبسّط.

[ ابدأ {محاذاة}
12 t left ( dfrac {1} {6} + dfrac {1} {12} right) & = 12 t left ( dfrac {1} {t} right)
2 ر + ر & = 12
3 ر & = 12
ر & = 4
نهاية {محاذاة} غير رقم ]

عند تشغيل كلتا المطابع ، يستغرق الأمر 4 ساعات للقيام بالمهمة.

ضع في اعتبارك أنه يجب أن يستغرق الأمر وقتًا أقل لضغطتين لإكمال مهمة تعمل معًا مقارنة بأي من الضغطتين للقيام بذلك بمفردهما.

مثال ( PageIndex {8} )

افترض أن بيت يمكنه رسم غرفة في 10 ساعات. إذا كان يعمل بوتيرة ثابتة ، فسوف يرسم ( dfrac {1} {10} ) في غضون ساعة واحدة. إذا استغرقت أليسيا 8 ساعات لطلاء نفس الغرفة ، فستقوم بعد ساعة بطلاء ( dfrac {1} {8} ) من الغرفة. كم من الوقت سيستغرق بيت وأليسيا لطلاء الغرفة إذا عملوا معًا (ولم يتدخل كل منهما في تقدم الآخر)؟

المحلول

هذا تطبيق "عمل". ستساعدنا الخطوات أدناه في تنظيم المعلومات. نحن نبحث عن عدد الساعات التي سيستغرقها طلاء الغرفة معًا.

في غضون ساعة واحدة ، أجرى بيت ( dfrac {1} {10} ) المهمة. قامت أليسيا ( dfrac {1} {8} ) بالمهمة. وقاموا معًا ( dfrac {1} {t} ) بالمهمة.

الخطوة 1: اسمحوا (t ) أن يكون عدد الساعات اللازمة لطلاء الغرفة معًا.

الخطوة 2: أدخل الساعات لكل وظيفة لـ Pete و Alicia ووقت العمل معًا. في ساعة واحدة من العمل معًا ، أكملوا ( dfrac {1} {t} ) المهمة. وبالمثل ، ابحث عن جزء من الوظيفة أكمله / ساعة بواسطة Pete ثم Alicia.

عدد الساعات لانجاز العمل.جزء من العمل مكتمل / ساعة
بيت10 ( dfrac {1} {10} )
أليسيا8 ( dfrac {1} {8} )
سويا (ر ) ( dfrac {1} {t} )

اكتب جملة كلمة. العمل الذي أنجزه بيت بالإضافة إلى العمل الذي أنجزته أليسيا يساوي إجمالي العمل المنجز.

الخطوه 3: ترجم إلى معادلة.

[ text {اكتمل العمل بواسطة} underbrace { text {Pete} + text {Alicia} = text {Together}} dfrac {1} {10} qquad + qquad dfrac {1 } {8} qquad = qquad dfrac {1} {t} nonumber ]

الخطوة 4: تبسيط. يحل.

اضرب في LCD ، (40t ).

[40 t left ( dfrac {1} {10} + dfrac {1} {8} right) = 40 t left ( dfrac {1} {t} right) nonumber ]

نشر.

[40 t cdot dfrac {1} {10} +40 t cdot dfrac {1} {8} = 40 t left ( dfrac {1} {t} right) nonumber ]

بسّط وحل.

[ ابدأ {مجموعة} {r}
{4 طن + 5 طن = 40}
{9 ر = 40}
{t = dfrac {40} {9}}
نهاية {مجموعة} غير رقم ]

سنكتب في صورة عدد كسري حتى نتمكن من تحويله إلى ساعات ودقائق.

[t = 4 dfrac {4} {9} text {hours} nonumber ]

تذكر ، 1 ساعة = 60 دقيقة.

[t = 4 text {hours} + dfrac {4} {9} (60 text {minutes}) nonumber ]

اضرب ثم قرّب لأقرب دقيقة.

[t = 4 text {hours} +27 text {minutes} nonumber ]

سيستغرق طلاء الغرفة من بيت وأليكا حوالي 4 ساعات و 27 دقيقة.

تمرين ( PageIndex {15} )

يمكن لبستاني واحد جز ملعب الجولف في 4 ساعات ، بينما يمكن لبستاني آخر جز ملعب الجولف نفسه في 6 ساعات. كم من الوقت سيستغرق إذا عمل البستانيان معًا لقص ملعب الجولف؟

إجابه

عندما يعمل البستانيان معًا ، يستغرق الأمر ساعتين و 24 دقيقة.

تمرين ( PageIndex {16} )

تستطيع داريا إزالة الأعشاب الضارة من الحديقة في 7 ساعات ، بينما يمكن لأمها أن تفعل ذلك في 3 ساعات. كم من الوقت سيستغرق عملهما معًا؟

إجابه

عندما تعمل داريا ووالدتها معًا ، يستغرق الأمر ساعتين و 6 دقائق.

مثال ( PageIndex {9} )

يمكن لرشون تنظيف المنزل في 7 ساعات. عندما تساعده أخته ، يستغرق الأمر 3 ساعات. كم تستغرق أخته من الوقت عندما تقوم بتنظيف المنزل بمفردها؟

المحلول

هذه مشكلة عمل. نحن نبحث عن عدد الساعات التي ستستغرقها أخت روشون لإكمال الوظيفة بنفسها.

الخطوة 1: لنحدد عدد الساعات التي تستغرقها أخت روشون لتنظيف المنزل بمفردها.

الخطوة 2: أدخل عدد الساعات لكل وظيفة لأخته روشون ، وعندما يعملان معًا. إذا استغرقت رعشون 7 ساعات ، فسيتم إكمال ( dfrac {1} {s} ) خلال ساعة واحدة. إذا استغرقت أخت رشون (s ) ساعات ، فسيتم إكمال ( dfrac {1} {s} ) خلال ساعة واحدة.

عدد الساعات لانجاز العمل.جزء من العمل مكتمل / ساعة
رشون7 ( dfrac {1} {7} )
أخته(س) ( dfrac {1} {s} )
سويا3 ( dfrac {1} {3} )

اكتب جملة كلمة. الجزء الذي أكمله رعشون والجزء الذي أكملته أخته يساوي المبلغ المكتمل معًا.

الخطوه 3: ترجم إلى معادلة.

[ text {اكتمل العمل} underbrace { text {Ra'shon} + text {His sister} = text {Together}} dfrac {1} {7} qquad + qquad dfrac {1} {s} qquad = qquad dfrac {1} {3} nonumber ]

الخطوة 4: تبسيط. يحل.

[ dfrac {1} {7} + dfrac {1} {5} = dfrac {1} {3} nonumber ]

اضرب في شاشة LCD ، 21 ثانية.

[ ابدأ {محاذاة}
21 ثانية يسار ( dfrac {1} {7} + dfrac {1} {s} right) & = left ( dfrac {1} {3} right) 21 ثانية
3 ق + 21 & = 7 ث
نهاية {محاذاة} غير رقم ]

تبسيط.

[ ابدأ {محاذاة}
-4 ق & = - 21
s & = frac {-21} {- 4} = frac {21} {4}
نهاية {محاذاة} غير رقم ]

اكتب كرقم كسري لتحويله إلى ساعات ودقائق.

[s = 5 dfrac {1} {4} text {hours} nonumber ]

هناك 60 دقيقة في 1 ساعة.

[s = 5 text {hours} + dfrac {1} {4} (60 text {minutes}) s = 5 text {hours} +15 text {minutes} nonumber ]

سيستغرق تنظيف المنزل بمفردها 5 ساعات و 15 دقيقة.

تمرين ( PageIndex {17} )

يمكن لأليس أن ترسم غرفة في 6 ساعات. إذا ساعدتها كريستينا ، يستغرق الأمر 4 ساعات لطلاء الغرفة. كم من الوقت ستستغرق كريستينا لطلاء الغرفة بنفسها؟

إجابه

يمكن أن ترسم كريستينا الغرفة في 12 ساعة.

تمرين ( PageIndex {18} )

يمكن لـ Tracy وضع بلاطة من الخرسانة في 3 ساعات ، وبمساعدة جوردان يمكنهم القيام بذلك في غضون ساعتين. إذا كان الأردن يعمل بمفرده ، فكم من الوقت سيستغرق؟

إجابه

سوف يستغرق الأردن 6 ساعات.

حل مشاكل التباين المباشر

عندما ترتبط كميتان بنسبة ، نقول إنهما متناسبان مع بعضهما البعض. هناك طريقة أخرى للتعبير عن هذه العلاقة وهي التحدث عن تباين الكميتين. سنناقش الاختلاف المباشر والاختلاف العكسي في هذا القسم.

تحصل Lindsay على 15 دولارًا لكل ساعة في وظيفتها. إذا سمحنا أن يكون راتبها و h هو عدد الساعات التي عملت بها ، فيمكننا نمذجة هذا الموقف بالمعادلة

[الصورة = 15 ساعة عدد غير محدد ]

راتب Lindsay هو نتاج ثابت ، 15 ، وعدد ساعات عملها. نقول إن راتب Lindsay يختلف بشكل مباشر مع عدد ساعات عملها. يختلف متغيرين بشكل مباشر إذا كان أحدهما ناتجًا عن ثابت والآخر.

اختلاف مباشر

لأي متغيرين (س ) و (ص ) ، (ص ) يختلف مباشرة مع (س ) إذا

(y = kx ) حيث (k neq 0 )

يسمى الثابت (ك ) بثابت التباين.

في التطبيقات التي تستخدم الاختلاف المباشر ، سنعرف عمومًا قيم زوج واحد من المتغيرات وسيُطلب منا إيجاد المعادلة التي تتعلق (x ) و (y ). ثم يمكننا استخدام هذه المعادلة لإيجاد قيم (y ) لقيم أخرى لـ (س ).

سنقوم بسرد الخطوات هنا.

كيفية حل مشاكل الاختلاف المباشر

الخطوة 1. اكتب معادلة الاختلاف المباشر.

الخطوة 2. عوّض بالقيم المعطاة للمتغيرات.

الخطوه 3. حل من أجل ثابت التباين.

الخطوة 4. اكتب المعادلة التي تتعلق بـ (س ) و (ص ) باستخدام ثابت التباين.

سنحل الآن تطبيق الاختلاف المباشر.

مثال ( PageIndex {10} )

عندما يركض راؤول على جهاز الجري في صالة الألعاب الرياضية ، فإن عدد السعرات الحرارية ، (ج ) ، يحترق بشكل مباشر مع عدد الدقائق ، (م ) ، يستخدم جهاز المشي. أحرق 315 سعرة حرارية عندما استخدم جهاز المشي لمدة 18 دقيقة.

  1. اكتب المعادلة التي تتعلق (ج ) و (م ).
  2. كم عدد السعرات الحرارية التي سيحرقها إذا ركض على جهاز المشي لمدة 25 دقيقة؟

المحلول

    عدد السعرات الحرارية ، (ج ) ، يختلف بشكل مباشر مع عدد الدقائق ، (م ) ، على جهاز المشي ، و (ج = 315 ) عندما (م = 18 ).

    اكتب معادلة الاختلاف المباشر.

    [y = kx nonumber ]

    سنستخدم (ج ) بدلاً من (ص ) و (م ) بدلاً من (س ).

    [c = k m nonumber ]

    عوّض بالقيم المعطاة للمتغيرات.

    [315 = ك cdot 18 غير رقم ]

    حل من أجل ثابت التباين.

    [ ابدأ {محاذاة}
    & dfrac {315} {18} = dfrac {k cdot 18} {18}
    & 17.5 = ك
    نهاية {محاذاة} غير رقم ]

    اكتب المعادلة التي تتعلق (ج ) و (م ).

    [c = k m nonumber ]

    عوّض في ثابت التباين.

    [ج = 17.5 م غير رقم ]

      اكتب المعادلة التي تتعلق (ج ) و (م ).

      [ج = 17.5 م غير رقم ]

      استبدل القيمة المعطاة لـ (m ).

      [c = 17.5 (25) nonumber ]

      تبسيط.

      [ج = 437.5 بدون رقم ]

      سيحرق راؤول 437.5 سعرة حرارية إذا استخدم جهاز المشي لمدة 25 دقيقة.

      تمرين ( PageIndex {19} )

      عدد السعرات الحرارية ، (ج ) ، المحروقة يختلف بشكل مباشر مع مقدار الوقت ، (t ) ، الذي يقضيه في التمرين. أرنولد أحرق 312 سعرة حرارية في 65 دقيقة من التمرين.

      1. اكتب المعادلة التي تتعلق (ج ) و (تي ).
      2. كم عدد السعرات الحرارية التي سيحرقها إذا تمرن لمدة 90 دقيقة؟
      إجابه
      1. (ج = 4.8 طن )
      2. سيحرق 432 سعرة حرارية.

      تمرين ( PageIndex {20} )

      المسافة التي يقطعها الجسم المتحرك ، (د ) ، تختلف بشكل مباشر مع الوقت ، (t ) ، يتحرك. قطار يسافر 100 ميل في ساعتين.

      1. اكتب المعادلة التي تتعلق (د ) و (تي ).
      2. كم ميلا ستقطعه في 5 ساعات؟
      إجابه
      1. (د = 50 ر )
      2. سوف يسافر 250 ميلا.

      حل مسائل التباين العكسي

      تتضمن العديد من التطبيقات متغيرين يختلفان عكسيًا. كلما زاد أحد المتغيرات ، انخفض الآخر. المعادلة التي تربطهم هي (y = dfrac {k} {x} )

      التباين العكسي

      لأي متغيرين (س ) و (ص ) ، (ص ) يختلف عكسيًا مع (س ) إذا

      (y = dfrac {k} {x} ) ، حيث (k neq 0 )

      يسمى الثابت (ك ) بثابت التباين.

      تشير كلمة "معكوس" في التباين العكسي إلى معكوس الضرب. المعكوس الضربي لـ (x ) هو ( dfrac {1} {x} ).

      نحن نحل مشاكل التباين العكسي بنفس الطريقة التي حلنا بها مشاكل التباين المباشر. فقط الشكل العام للمعادلة قد تغير. سننسخ مربع الإجراء هنا ونغير "مباشر" إلى "معكوس".

      كيفية حل مسائل التباين العكسي

      الخطوة 1. اكتب صيغة التباين العكسي.

      الخطوة 2. اكتب المعادلة التي تتعلق بـ (س ) و (ص ) باستخدام ثابت التباين.

      مثال ( PageIndex {11} )

      يختلف تردد وتر الغيتار عكسيًا مع طوله. يبلغ تردد سلسلة 26 بوصة 440 اهتزازًا في الثانية.

      1. Write the equation of variation.
      2. How many vibrations per second will there be if the string’s length is reduced to 20 inches by putting a finger on a fret?

      المحلول

        The frequency varies inversely with the length.

        Name the variables. Let (f) = frequency. (L) = length

        Write the formula for inverse variation.

        [y=dfrac{k}{x} onumber ]

        We will use (f) in place of (y) and (L) in place of (x).

        [f=dfrac{k}{L} onumber ]

        [f=440 ext { when } L=26 onumber ]

        Substitute the given values for the variables.

        [440=dfrac{k}{26} onumber ]

        Solve for the constant of variation.

        [egin{aligned}
        &26(440)=26left(dfrac{k}{26} ight)
        &11,440=k
        end{aligned} onumber ]

        Write the equation that relates (f) and (L).

        [f=dfrac{k}{L} onumber ]

        Substitute the constant of variation.

        [f=dfrac{11,440}{L} onumber ]

          Find (f) when (L=20).

          Write the equation that relates (f) and (L).

          [f=dfrac{11,440}{L} onumber ]

          Substitute the given value forL.

          [f=dfrac{11,440}{20} onumber ]

          Simplify.

          [f=572 onumber ]

          A 20''-guitar string has frequency 572 vibrations per second.

          Exercise (PageIndex{21})

          The number of hours it takes for ice to melt varies inversely with the air temperature. Suppose a block of ice melts in 2 hours when the temperature is 65 degrees Celsius.

          1. Write the equation of variation.
          2. How many hours would it take for the same block of ice to melt if the temperature was 78 degrees?
          Answer
          1. (h=dfrac{130}{t})
          2. (1 dfrac{2}{3}) hours

          Exercise (PageIndex{22})

          Xander’s new business found that the daily demand for its product was inversely proportional to the price, (p). When the price is $5, the demand is 700 units.

          1. Write the equation of variation.
          2. What is the demand if the price is raised to $7?
          Answer
          1. (x=dfrac{3500}{p})
          2. 500 units

          Access this online resource for additional instruction and practice with applications of rational expressions

          • Applications of Rational Expressions


          شاهد الفيديو: الدرس7: حل المتباينات بالضرب والقسمة -الوحدة السادسة - الصف السابع - الفصل الثاني (شهر اكتوبر 2021).